Lista de Exercicios Algebra Linear - Rotacao de Coordenadas e Conicas

1 3 pontos Dada as bases B u1 u2 de um sistema de coordenadas retangulares xy e as bases B u1 u2 do mesmo sistema girado no sentido antihorário em torno da origem por um ângulo heta que produz um sistema de coordenadas xy em R2 a Faça um esboço do sistema Oxy e do sistema girada Oxy b Mostre que a matriz de transição de B para B é dada por cos heta sin heta sin heta cos heta c Sabendo que PBB e PBB são ortogonais obtenha PBB d Calcule a matriz de transição de B para B para uma rotação de pi4 e Calcule A10 no sistema de coordenadas girado em pi4 2 4 pontos As seguintes cônicas nãodegeneradas foram rodadas para fora da posição padrão Em cada item a expresse a forma quadrática ax2 2bxy cy2 dx ey f 0 na forma matricial vtAv Kv f 0 b expresse a forma quadrática 4xy sqrt2x sqrt2y 3 0 na forma matricial c identifique a matriz A d obtenha a matriz P que diagonaliza A Dica Não esqueça de normaliza os autovetores e escreva v Pv f faça a substituição de v Pv na forma matricial obtida no item b g identifique qual o tipo de cônica e faça um esboço da curva identificando os eixos xy e xy 3 2 pontos a Dada a matriz Ann e a matriz Pnn invertível sabendo que A é diagonalizável D P1AP mostre que a késima potência da matriz A Ak onde k é um número inteiro é dada por Ak PDkP1 b Calcular A5 onde A 0 3 1 2 4 1 ponto Dado o sistema de equações diferenciais lineares y1 3y2 y2 1y1 2y2 a Escreva o sistema de forma matricial Y AY b Encontre a matriz P que diagonaliza A c Resolva U DU d Determine Y a a partir da equação Y PU QUESTÃO 3 a Dp1 p1 A p p1 I Dp1 p1 A I p1 A pD p1 p p1 A I A pD p1 Ak p D p1p D p1 p D p1 k vezes Ak pDk p1 b A MATRIZ D É UMA MATRIZ FORMADA PELOS AUTORES E P É FORMADA PELOS AUTOVETORES detA lambda I lambda 3 1 2lambda 0 lambda2 lambda 3 0 lambda2 2 lambda 3 0 lambda1 1 lambda2 3 lambda 1 1 3 1 3a b 0 0 a 3b a 3b 0 0 a 3b Auto1 a b a 3a 1 3 lambda 3 3 3 1 1a b 0 0 3a 3b 0 a b 0 a b Auto2 a b a a 1 1 Digitalizado com CamScanner A 1 1 3 10 2 3 11 1 14 1 3 11 0 0 314 14 34 14 A5 1 1 3 11 0 0 24314 14 34 14 1 243 3 24314 14 34 14 A5 182 61 183 60 QUESTÃO 4 a y1 y2 0 3 1 2y1 y2 b A é a matriz da questão 3 P 1 1 3 1 c id y1 y2 1 0 0 3y1 y2 y1 y1 y1x ex y2 3y2 y2x e3x QUESTÃO 1 a y y p x y θ θ y x b x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ M cos θ sen θ sen θ cos θ c PBB cosθ senθ senθ cosθ cos θ sen θ sen θ cos θ d PSB 0 1 1 0 e v 1 0 x y 0 1 1 00 1 QUESTÃO 2 a x ya b b cx y d ex y f c b x y0 2 2 cx y 2 2x y 3 0 c A 0 2 2 c d λ 2 2 λ λ2 4 0 λ 2 λ1 2 2 2 2 2a b 2a 2b 2a 2b 0 0 a b Autλ2 a a 1 1 v1 22 22 λ2 2 2 2 2 2a b 2a 2b 2a 2b 0 0 a b Autλ2 a a 1 1 v2 22 22 P 22 22 22 22 e x y 22 22 22 22x y x 22x y y 22x y f 12 x y x y0 2 2 cx y x y 2 222x y3 0 g HIPÉRBOLE x y x y