Lista 1 de Álgebra 2

Avaliação II Álgebra II DMEI 0422 Prof Dr Bruno Calazans Turma Data Aluno Regras da Avaliação O aluno deve entregar as respostas escritas em papel utilizando caneta Na folha deve conter seu nome completo e turma Os cálculos fazem parte da resposta Escreva todos os cálculos que te levaram até a resposta Problema 1 20 ptos Seja E o conjunto de todas as retas de um plano α Quais das relações abaixo definidas são relações de equivalência em E a xRy se e somente se x e y têm o mesmo coeficiente angular b xRy se e somente se x e y são concorrentes Problema 2 30 ptos Seja E x Z 3 x 3 e seja R a relação sobre E definida por xRy se e somente se x2 3x y2 3y a Mostre que R é uma relação de equivalência b Descreva todas as classes de equivalência c Descreva o conjunto quociente Problema 3 30 ptos Seja C o conjunto dos números complexos e sejam x a bi e y c di dois elementos de C Considere a relação R sobre C definida por xRy se e somente se x y onde x a2 b2 denota o módulo do número complexo x a Mostre que R é uma relação de ordem parcial sobre C b Assinale no plano de ArgandGauss o conjunto A dos complexos z tais que zR1 i e o conjunto B dos complexos z tais que 1 iRz 1 c Decida C é totalmente ordenado por R Justifique sua resposta Problema 4 20 ptos Seja B x Q 1 x2 4 um subconjunto de Q em que se considera a relação de ordem habitual Determine os limites superiores os limites inferiores o supremo o ínfimo o máximo e o mínimo de B 2 Problema 1 Seja E o conjunto de todas as retas de um plano α Analisamos as relacoes a xRy se e somente se x e y tˆem o mesmo coeficiente angular Verificacao dos axiomas 1 Reflexividade Toda reta x tem o mesmo coeficiente angular que si mesma Logo xRx 2 Simetria Se xRy entao x e y tˆem o mesmo coeficiente angular impli cando yRx 3 Transitividade Se xRy e yRz entao x y e z tˆem o mesmo coeficiente angular logo xRz Conclusao E relacao de equivalˆencia Sim b xRy se e somente se x e y sao concorrentes Verificacao dos axiomas 1 Reflexividade Uma reta nao e concorrente consigo mesma a menos que se considere intersecao trivial mas geralmente nao Viola reflex ividade Conclusao Nao e relacao de equivalˆencia Nao Problema 2 Seja E x Z 3 x 3 e R definida por xRy x2 3x y2 3y a Mostre que R e relacao de equivalˆencia Verificacao 1 Reflexividade x2 3x x2 3x para todo x E Logo xRx 2 Simetria Se x2 3x y2 3y entao y2 3y x2 3x Logo xRy yRx 3 Transitividade Se xRy e yRz entao x23x y23y e y23y z23z Portanto x2 3x z2 3z ou seja xRz 1 b Classes de equivalência Resolvendo x2 3x k para k constante x2 3x k 0 x 3 9 4k 2 Para x E calculamos os valores possíveis de k x 0 ou x 3 k 0 x 1 ou x 2 k 2 x 1 ou x 4 4 não está em E k 4 x 2 ou x 5 5 não está em E k 10 x 3 k 18 Classes 0 0 3 1 1 2 1 1 2 2 3 3 c Conjunto quociente ER 3 2 1 1 2 0 3 Problema 3 Seja C o conjunto dos números complexos e R definida por xRy x y a Mostre que R é ordem parcial Verificação 1 Reflexividade x x para todo x C 2 Antissimetria Se x y e y x então x y Porém x e y podem ser diferentes eg 1 e i Logo R não é antissimétrica no sentido estrito Correção R é uma ordem parcial não estrita 3 Transitividade Se x y e y z então x z b Conjuntos A e B no plano de ArgandGauss Para zR1 i temos A e o cırculo fechado de raio 2 centrado na origem isto e A z z 2 Para 1 iRz temos B z z 2 ℜ ℑ B 1 i A c C e totalmente ordenado por R Nao pois existem elementos nao comparaveis Por exemplo 1 e i tˆem ambos modulo mas sao diferentes Problema 4 Seja B x Q 1 x2 4 Solucao Limites superiores 2 Q Limites inferiores 2 Q Supremo 2 menor limite superior Infimo 2 maior limite inferior Maximo 2 pertence a B Mınimo 2 pertence a B 3