Lista de Revisão de Vibrações

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS CAMPUS MANAUS CENTRO DEPARTAMENTO DE PROCESSOS INDUSTRIAIS PROFESSOR FERNANDO ANTONIO ALVES DOS SANTOS JR DISCIPLINA Dinâmica das Máquinas e Vibrações Bacharelado Lista 01 Projeto de um eixo sob cargas cíclicas NOME 1 Defina a frequência natural de resposta de um sistema massa mola de um grau de liberdade o qual possui a Massa de 08 kg rigidez de 016 Nm b Massa de 60 kg rigidez de 12 Nm c Compare e explique os resultados encontrados nos itens a e b 2 Dado um sistema sem amortecimento no qual K 1000 Nm m 250 kg considere que esse sistema começa a oscilar em t0 com x0 1 mm v0 234 mms Plote um gráfico com t ϵ 0 10 sobre a resposta desse sistema 3 Para se projetar um sistema massamola muitas vezes é importante escolher uma mola de rigidez a qual a frequência natural esteja dentro de certos valores especificados Considere o caso em que um sistema com 20kg e rigidez de mola de 400 Nm deve ter sua mola substituída para que a frequência do sistema seja aumentada a Qual deve ser o novo valor de rigidez de mola para o sistema caso se deseje que a frequência seja aumentada em 10 b Plote um gráfico mostrando uma relação entre os valores de rigidez de mola mostrando a frequência inicial até uma frequência 100 maior 4 Considere que um carro com massa estimada de 1000 kg e rigidez do sistema de amortecimento de 400000 Nm possui 10cm como deflexão máxima do sistema Considere que 4 ocupantes entram no carro e que a massa média de cada ocupante seja de 75kg a Calcule a mudança de velocidade máxima de oscilação e também de aceleração OBS utilize como premissa que a deflexão do sistema continuará constante após a entrada das pessoas b Apresente como a velocidade máxima de oscilação e a aceleração iriam mudar caso a rigidez do sistema variasse entre 200000 Nm e 600000 Nm 5 Considere que engenheiros ao avaliarem as condições de operação de uma máquina viram que uma máquina que está submetida a fortes vibrações pode ser simplificada como um sistema massa mola de um grau de liberdade Os instrumentos de análise indicaram que a vibração a qual a máquina está submetida tem frequência de 8 Hz e o acelerômetro acoplado indicou um pico de 10000 ms² Indique qual deve ser a amplitude do deslocamento e a velocidade máxima do sistema nas condições de operação 6 Considere um sistema de massa 100kg rigidez de 3000 Nm e coeficiente de amortecimento de 100kgs a Classifique tal sistema quanto ao tipo de oscilação que ele terá Assim como sua frequência de oscilação b Escolha um parâmetro para variar de forma que a oscilação possa variar entre os três tipos possíveis Plote esse resultado em um gráfico Você pode escolher os intervalos que achar melhor 7 Considere um sistema torcional com Momento de Inercia 1000 m² kg Coeficiente de amortecimento 20 Nmsrad Rigidez de mola 400 Nmrad a Indique qual será a sua frequência de oscilação b Apresente a frequência natural de oscilação caso a rigidez variasse entre 200 Nmrad a 600 Nmrad 8 Considere que uma prancha para salto de mergulhadores que possui 1 metro de comprimento é feita de madeira E 54 x 109 Nm² E que um mergulhador de 100kg deseja oscilar na ponta dessa prancha com 3 Hz a Qual deve ser a inércia dessa prancha para que isso ocorra b Encontre a resposta do item anterior considerando tamanhos diferentes de prancha de 1m até 2m 9 Considere que um helicóptero utilize um sistema de pouso no qual componentes feitos de uma liga com Módulo de Young de 20 x 1010 Nm² a qual absorverá boa parte dos esforços envolvidos e que sofrerão esses esforços de forma completamente vertical Considerando que a frequência natural do sistema seja de 500 Hz e que a massa do componente é de 100kg a Qual deve ser a área do sistema caso o comprimento do sistema seja de 04 m b Plote um gráfico mostrando qual deveria ser a área do sistema caso o comprimento variasse entre l ϵ 01 10 c Caso os projetistas desse sistema quisessem dissipar a energia e a oscilação mais rapidamente possível como eles poderiam fazer isso justifique sua resposta 10 Considerando um sistema de frequência natural ωn 2 rads e condições iniciais x0 1 mm v0 1 mms Plote como as respostas variam considerando ζ ϵ 01 09 Questão 2 A resposta de um sistema sem amortecimento é dada por xt x₀ cosωₙ t v₀ωₙ sinωₙ t onde ωₙ Km Cálculo dos Parâmetros Dados Rigidez K 1000 Nm Massa m 250 kg Deslocamento inicial x₀ 1 mm 0001 m Velocidade inicial v₀ 234 mms 000234 ms Calculando ωₙ ωₙ 1000250 2 rads Substituindo na equação xt 0001 cos2t 000117 sin2t Gráfico da Resposta Figure 1 Resposta do sistema xt para t 0 10 Resolução de Questões de Vibrações Questão 1 A frequência natural de um sistema massamola é dada pela fórmula fₙ 12π km Item a Dados Massa m 08 kg Rigidez k 016 Nm Substituindo os valores na fórmula fₙ 12π 01608 12π 02 0225 Hz Item b Dados Massa m 60 kg Rigidez k 12 Nm Substituindo os valores na fórmula fₙ 12π 1260 12π 02 0225 Hz Item c A relação km 02 é idêntica em ambos os casos portanto as frequências naturais são iguais Questão 3 A frequência natural é dada por fₙ 12π km Item a Para aumentar a frequência natural em 10 fₙnovo 11 fₙinicial Substituindo na equação knovo 11 k knovo 11² k 484 Nm Item b A relação entre rigidez k e frequência natural fₙ foi calculada para valores de k variando de 400 a 800 Nm Figure 2 Relação entre k e fₙ para k 400 800 Questão 4 Considere o sistema massamola representando um carro Os cálculos para a velocidade máxima de oscilação e aceleração são apresentados a seguir Dados fornecidos Massa do carro mc 1000 kg Rigidez inicial k 400000 Nm Deflexão máxima inicial xmax 01 m Massa de cada ocupante mo 75 kg Número de ocupantes 4 massa total dos ocupantes mocupantes 300 kg Frequência natural A frequência natural de um sistema massamola é dada por fn 12πkm Antes da entrada dos ocupantes fninicial 12π4000001000 318 Hz Depois da entrada dos ocupantes fnfinal 12π4000001000 300 279 Hz Velocidade máxima de oscilação A velocidade máxima é calculada por vmax 2π fn xmax Antes da entrada dos ocupantes vmaxinicial 2π31801 200 ms Depois da entrada dos ocupantes vmaxfinal 2π27901 175 ms Aceleracao maxima de oscilacao A aceleracao maxima e calculada por amax 2πfn2xmax Antes da entrada dos ocupantes amaxinicial 2π3 1820 1 40 00 ms2 Depois da entrada dos ocupantes amaxfinal 2π2 7920 1 30 77 ms2 Graficos para diferentes valores de rigidez Abaixo estao os graficos mostrando como a velocidade maxima vmax e a aceleracao maxima amax variam com a rigidez k Figure 3 Variacao da velocidade maxima e da aceleracao maxima com a rigidez Resposta da Questao 5 Dado que a frequˆencia da vibracao e f 8 Hz e o pico de aceleracao e amax 10000 ms2 os calculos sao realizados como segue Frequˆencia angular ω 2πf 2π 8 50 27 rads 5 Amplitude do deslocamento Xmax amaxω² 100005027² 396 m Velocidade máxima vmax ω Xmax 5027 396 19894 ms Resultados Amplitude do deslocamento Xmax 396 m Velocidade máxima vmax 19894 ms Resposta da Questão 6 Dado o sistema com m 100 kg k 3000 Nm e c 100 kgs realizamos os cálculos a seguir Parte a Classificação e frequência de oscilação Frequência natural ωn km 3000100 548 rads Razão de amortecimento ζ c2km 10023000100 0091 Frequência amortecida ωd ωn 1 ζ² 548 1 0091² 545 rads Como ζ 1 o sistema é subamortecido Parte b Variação do amortecimento O gráfico a seguir mostra a transição entre os três tipos de oscilação conforme o coeficiente de amortecimento c varia Legenda ζ 1 Subamortecido ζ 1 Criticamente amortecido ζ 1 Superamortecido Questão 7 Considere um sistema torcional com os seguintes parâmetros Momento de Inércia I 1000 kg m² Coeficiente de amortecimento c 20 N m srad Rigidez de mola k 400 N mrad a Frequência de Oscilação A frequência de oscilação amortecida ωd é calculada como ωd ωn² ζ² ωn² Onde omegan sqrtfrackI e zeta fracc2sqrtkI Substituindo os valores omegan 0632 ext rads zeta 00158 omegad 0632 ext rads b Frequência Natural para Diferentes Rigidezes A frequência natural omegan é calculada como omegan sqrtfrackI Resultados para diferentes valores de k Rigidez k N mrad Frequência Natural omegan rads 200 0447 300 0548 400 0632 500 0707 600 0775 Table 1 Frequência natural para diferentes valores de rigidez Questão 8 Uma prancha de salto de mergulho possui Comprimento inicial L 1 m Módulo de elasticidade E 54 imes 109 Nm2 Frequência desejada f 3 Hz Massa do mergulhador m 100 kg a Momento de Inercia para L 1 m A frequˆencia natural e dada por I 2πf2mL3 3E Substituindo os valores I 219 106 m4 b Momento de Inercia para Diferentes Comprimentos Comprimento L m Momento de Inercia I m4 100 219 106 125 428 106 150 740 106 175 118 105 200 175 105 Table 2 Momento de inercia para diferentes comprimentos Questao 9 Considere o sistema de pouso de um helicoptero com Modulo de elasticidade E 20 1010 Nm2 Frequˆencia natural fn 500 Hz Massa do componente m 100 kg Comprimento inicial l 04 m a Area da Secao Transversal para l 04 m A area e calculada como A 2πfn2ml E Substituindo os valores A 197 103 m2 9 Comprimento l m Area A m2 01 493 104 02 987 104 03 148 103 04 197 103 05 247 103 06 296 103 07 345 103 08 395 103 09 444 103 10 493 103 Table 3 Area da secao transversal para diferentes comprimentos b Area para Diferentes Comprimentos c Como Dissipar Energia Mais Rapidamente Para dissipar energia e reduzir as oscilacoes mais rapidamente devese au mentar o coeficiente de amortecimento c Isso pode ser alcancado uti lizando materiais ou dispositivos que absorvam mais energia vibracional como amortecedores viscoelasticos ou hidraulicos Questao 10 Considere um sistema com frequˆencia natural ωn 2 rads e condicoes inici ais x0 1 mm e v0 1 mms Plote como as respostas variam considerando ζ 01 09 Solucao O grafico a seguir apresenta as respostas do sistema para diferentes valores do coeficiente de amortecimento ζ 10 Figure 4 Respostas do sistema para diferentes valores de ζ 11