Calcular Dados de Manipulador

1º Para manipulador abaixo responda os seguintes itens Dados Elo 1 30 cm Elo 2 20 cm Elo 4 15 cm Esférico a O operador do manipulador deseja posicionar o punho no ponto P207045 com o auxílio de uma planilha do Excel simule os possíveis resultados para θ1 θ2 L3 e θ3 que atenderão a posição desejada Considere uma variação para Gama de 0º a 360º com incremento de 5º a cada interação b Definidos os possíveis valores para as variáveis junta no item anterior escolha uma das opções de posicionamento das juntas e verifique através das equações da cinemática direta se o ponto P207045 será atingido 2º No manipulador abaixo desconsidere os movimentos da juntas J4 J5 e J6 relacionadas ao punho e responda os seguintes itens Dados Elo 1 30 cm Elo 2 15 cm Elo 3 20 cm a Conhecidas as variáveis de junta θ1 30º θ2 0º e θ3 90º calcule as variáveis cartesianas x y e z b O operador do manipulador deseja posicionar o punho no ponto P13850 para esta situação qual deverá ser os valores das variáveis das juntas θ1 θ2 e θ3 c Qual a exatidão cartesiana do manipulador se a posição real for θ1 30º θ2 0º e θ3 90º Questão 1 Analisando a estrutura temse um manipulador esférico ou polar Sua configuração de juntas é 1 Uma junta de revolução na base gira em torno do eixo Z que define o ângulo θ1 2 Uma junta de revolução no ombro gira em torno de um eixo horizontal que define o ângulo de elevação θ2 3 Uma junta prismática linear que estende e retrai o braço que corresponde à variável L3 O ponto Px y z que se quer alcançar é o centro do punho do robô Dados do Problema Ponto Desejado P x20 y70 z45 cm Elo 1 30 cm Este é o deslocamento vertical fixo da base até o eixo da segunda junta Chamase de d1 Elo 2 20 cm Este é o comprimento fixo do braço antes da parte extensível Chamase de a2 Elo 4 15 cm Este elo faz parte do punhoefetuador mas seu comprimento não afeta a posição do centro do punho apenas a posição final da garra Variáveis de Junta a serem encontradas θ1 θ2 L3 a Fazse uso de equações da cinemática inversa θ3 é um ângulo de rotação do punho que não afeta a posição xyz do centro do punho Gama não é uma variável padrão para este robô podendo ser ignorada na resolução do problema Passo 1 Cálculo do ângulo da base θ1 O ângulo θ1 é responsável por direcionar o braço na direção do ponto P visto de cima no plano XY x 20 y 70 Podese encontrar θ1 usando a função atan2y x que lida corretamente com todos os quadrantes θ1 atan7020 θ1 atan35 θ1 7405 Também existe uma segunda solução θ1 7405 180 25405 que corresponderia a uma configuração para trás mas essa geralmente não é a solução primária ou viável Passo 2 Cálculo do ângulo de elevação θ2 e a extensão total do braço Ltotal Observandose o robô lateralmente no plano vertical que contém o braço verificase que este plano é definido pelo ângulo θ1 que foi encontrado Nele as coordenadas são a distância radial r e a altura z Primeiramente calculase a distância radial r a projeção do ponto no plano XY r x² y² 20² 70² 400 4900 5300 r 728 cm Agora podese desenhar um triângulo retângulo onde O cateto horizontal é r 728 cm O cateto vertical é a altura do punho em relação ao eixo da junta 2 zrelativo z d1 45 30 15 cm A hipotenusa é o comprimento total do braço a partir da junta 2 que se denomina Ltotal Ltotal a2 L3 O ângulo θ2 é o ângulo entre a hipotenusa e o cateto horizontal r Podese encontrar θ2 usando a tangente tanθ2 zrelativo r 15 728 θ2 atan15 728 atan0206 θ2 1166 Passo 3 Cálculo da extensão da junta prismática L3 Primeiramente calculase o comprimento total Ltotal usando o Teorema de Pitágoras no mesmo triângulo Ltotal r² zrelativo² 728² 15² 5300 225 5525 Ltotal 7433 cm Sabese que o comprimento total é a soma da parte fixa a2 com a parte extensível L3 Ltotal a2 L3 7433 20 L3 L3 7433 20 L3 5433 cm Conclusão Os valores das variáveis de junta para alcançar o ponto P20 70 45 são θ1 7405 θ2 1166 L3 5433 cm θ3 pode ser qualquer valor pois não afeta a posição do punho Por exemplo θ3 0 b Verificação com a Cinemática Direta Agora fazse o processo inverso Usamse os valores de junta obtidos θ1 θ2 L3 para calcular as coordenadas x y z do punho O resultado deve ser muito próximo de 20 70 45 Equações da Cinemática Direta As equações que convertem os ângulos e a extensão de junta em coordenadas cartesianas são x a2 L3 cosθ2 cosθ1 y a2 L3 cosθ2 sinθ1 z d1 a2 L3 sinθ2 Substituindo os valores θ1 7405 θ2 1166 L3 5433 cm d1 30 cm a2 20 cm Primeiramente calculamse os termos comuns a2 L3 20 5433 7433 cm cos7405 02748 sin7405 09615 cos1166 09795 sin1166 02021 Agora calculase cada coordenada x 7433 cos1166 cos7405 x 7433 09795 02748 x 7280 02748 x 1999 cm 20 cm y 7433 cos1166 sin7405 y 7433 09795 09615 y 7280 09615 y 6999 cm 70 cm z 30 7433 sin1166 z 30 7433 02021 z 30 1502 z 4502 cm 45 cm Conclusão Ao se aplicar os valores de junta θ17405 θ21166 L35433 cm nas equações da cinemática direta obtémse o ponto P 1999 6999 4502 o que verifica que a solução está correta e o ponto P20 70 45 é atingido Pequenas diferenças são devidas aos arredondamentos durante os cálculos Questão 2 Dados e Interpretação do Robô Junta 1 J1 Rotação na base em torno do eixo Z Ângulo θ1 Junta 2 J2 Rotação do ombro elevação Ângulo θ2 Junta 3 J3 Rotação do cotovelo Ângulo θ3 Elo 1 d1 30 cm É a distância vertical fixa da base até o eixo da junta 2 Elo 2 a2 15 cm É o comprimento do braço entre as juntas 2 e 3 Elo 3 a3 20 cm É o comprimento do antebraço entre a junta 3 e o centro do punho a Cinemática Direta Neste item usamse as equações da cinemática direta para se encontrar a posição do punho x y z a partir dos ângulos fornecidos Analisando a geometria do manipulador 1 A coordenada z depende apenas de d1 a2 a3 θ2 e θ3 2 As coordenadas x e y dependem da projeção do braço no plano XY distância radial r e do ângulo da base θ1 Calculase primeiramente a posição do punho no plano vertical do braço e depois girase essa posição usando θ1 Passo 1 Cálculo da posição no plano do braço antes de girar com θ1 Chamamse as coordenadas nesse plano de r distância horizontal a partir do eixo J1 e z altura a partir da base A distância r é a soma das projeções horizontais dos elos 2 e 3 r a2 cosθ2 a3 cosθ2 θ3 θ2 0 θ3 90 r 15 cos0 20 cos0 90 r 15 1 20 0 r 15 cm A altura z é a altura do Elo 1 mais as projeções verticais dos elos 2 e 3 z d1 a2 sinθ2 a3 sinθ2 θ3 z 30 15 sin0 20 sin0 90 z 30 15 0 20 sin90 z 30 0 20 1 z 50 cm Passo 2 Projeção das coordenadas x e y usando θ1 Com a distância radial r e a altura z usase o ângulo da base θ1 para encontrar as coordenadas cartesianas finais θ1 30 x r cosθ1 15 cos30 x 15 3 2 15 0866 x 130 cm y r sinθ1 15 sin30 y 15 1 2 y 75 cm Conclusão Para θ130 θ20 e θ390 as variáveis cartesianas são x 130 cm y 75 cm z 50 cm b Cinemática Inversa Aqui fazse o processo inverso Temse o ponto Px y z e se deseja encontrar os ângulos θ1 θ2 e θ3 Ponto Desejado P x 13 y 8 z 50 Passo 1 Cálculo do ângulo da base θ1 θ1 é determinado pelas coordenadas x e y θ1 atan2y x atan28 13 θ1 atan0615 θ1 316 Passo 2 Cálculo dos ângulos do braço θ2 e θ3 Para isso são necessárias as coordenadas do punho em relação ao sistema de coordenadas que se inicia na junta 2 Distância radial no plano XY r x² y² 13² 8² 169 64 233 r 1526 cm Altura relativa à junta 2 z z d1 50 30 z 20 cm Agora temse um triângulo formado pelos elos a2 e a3 e é preciso posicionar sua extremidade no ponto r z 1526 20 Usando a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos a distância D do ombro J2 ao punho é dada por D r² z² 1526² 20² 233 400 633 D 2516 cm Usando também a Lei dos Cossenos no triângulo formado por a2 a3 e D escrevese D² a2² a3² 2 a2 a3 cos180 θ3 cos180 θ3 cosθ3 D² a2² a3² 2 a2 a3 cosθ3 cosθ3 D² a2² a3² 2 a2 a3 cosθ3 633 15² 20² 2 15 20 cosθ3 633 225 400 600 cosθ3 8 600 00133 θ3 acos00133 892 θ2 é a soma de dois ângulos α e β α atan2z r atan220 1526 atan131 α 526 Para β usase novamente a Lei dos Cossenos a3² a2² D² 2 a2 D cosβ cosβ a2² D² a3² 2 a2 D cosβ 15² 633 20² 2 15 2516 cosβ 225 633 400 7548 cosβ 458 7548 06068 β acos06068 526 θ2 α β 526 526 θ2 0 Conclusão Os valores de junta para atingir P13 8 50 são aproximadamente θ1 316 θ2 0 θ3 892 c Análise de Exatidão Por exatidão entendese como a diferença entre a posição comandada e a posição realmente alcançada Podese calcular o erro Ponto Desejado de b Pdesejado 13 8 50 Ponto Alcançado de a Palcançado 13 75 50 O erro cartesiano distância Euclidiana entre os dois pontos seria Erro 1313² 758² 5050² Erro 0² 05² 0² Erro 025 Erro 05 cm Conclusão Considerando que a posição desejada era P13 8 50 e a posição alcançada com os ângulos arredondados 30 0 90 foi P13 75 50 a diferença ou erro cartesiano é de 05 cm Essa medida pode ser vista como uma forma de quantificar a inexatidão resultante do uso de ângulos aproximados Questão 1 Analisando a estrutura temse um manipulador esférico ou polar Sua configuração de juntas é 1 Uma junta de revolução na base gira em torno do eixo Z que define o ângulo θ1 2 Uma junta de revolução no ombro gira em torno de um eixo horizontal que define o ângulo de elevação θ2 3 Uma junta prismática linear que estende e retrai o braço que corresponde à variável L3 O ponto Px y z que se quer alcançar é o centro do punho do robô Dados do Problema Ponto Desejado P x20 y70 z45 cm Elo 1 30 cm Este é o deslocamento vertical fixo da base até o eixo da segunda junta Chamase de d1 Elo 2 20 cm Este é o comprimento fixo do braço antes da parte extensível Chamase de a2 Elo 4 15 cm Este elo faz parte do punhoefetuador mas seu comprimento não afeta a posição do centro do punho apenas a posição final da garra Variáveis de Junta a serem encontradas θ1 θ2 L3 a Fazse uso de equações da cinemática inversa θ3 é um ângulo de rotação do punho que não afeta a posição xyz do centro do punho Gama não é uma variável padrão para este robô podendo ser ignorada na resolução do problema Passo 1 Cálculo do ângulo da base θ1 O ângulo θ1 é responsável por direcionar o braço na direção do ponto P visto de cima no plano XY x 20 y 70 Podese encontrar θ1 usando a função atan2y x que lida corretamente com todos os quadrantes θ1 atan7020 θ1 atan35 θ1 7405 Também existe uma segunda solução θ1 7405 180 25405 que corresponderia a uma configuração para trás mas essa geralmente não é a solução primária ou viável Passo 2 Cálculo do ângulo de elevação θ2 e a extensão total do braço Ltotal Observandose o robô lateralmente no plano vertical que contém o braço verificase que este plano é definido pelo ângulo θ1 que foi encontrado Nele as coordenadas são a distância radial r e a altura z Primeiramente calculase a distância radial r a projeção do ponto no plano XY r x² y² 20² 70² 400 4900 5300 r 728 cm Agora podese desenhar um triângulo retângulo onde O cateto horizontal é r 728 cm O cateto vertical é a altura do punho em relação ao eixo da junta 2 zrelativo z d1 45 30 15 cm A hipotenusa é o comprimento total do braço a partir da junta 2 que se denomina Ltotal Ltotal a2 L3 O ângulo θ2 é o ângulo entre a hipotenusa e o cateto horizontal r Podese encontrar θ2 usando a tangente tanθ2 zrelativo r 15 728 θ2 atan15 728 atan0206 θ2 1166 Passo 3 Cálculo da extensão da junta prismática L3 Primeiramente calculase o comprimento total Ltotal usando o Teorema de Pitágoras no mesmo triângulo Ltotal r² zrelativo² 728² 15² 5300 225 5525 Ltotal 7433 cm Sabese que o comprimento total é a soma da parte fixa a2 com a parte extensível L3 Ltotal a2 L3 7433 20 L3 L3 7433 20 L3 5433 cm Conclusão Os valores das variáveis de junta para alcançar o ponto P20 70 45 são θ1 7405 θ2 1166 L3 5433 cm θ3 pode ser qualquer valor pois não afeta a posição do punho Por exemplo θ3 0 b Verificação com a Cinemática Direta Agora fazse o processo inverso Usamse os valores de junta obtidos θ1 θ2 L3 para calcular as coordenadas x y z do punho O resultado deve ser muito próximo de 20 70 45 Equações da Cinemática Direta As equações que convertem os ângulos e a extensão de junta em coordenadas cartesianas são x a2 L3 cosθ2 cosθ1 y a2 L3 cosθ2 sinθ1 z d1 a2 L3 sinθ2 Substituindo os valores θ1 7405 θ2 1166 L3 5433 cm d1 30 cm a2 20 cm Primeiramente calculamse os termos comuns a2 L3 20 5433 7433 cm cos7405 02748 sin7405 09615 cos1166 09795 sin1166 02021 Agora calculase cada coordenada x 7433 cos1166 cos7405 x 7433 09795 02748 x 7280 02748 x 1999 cm 20 cm y 7433 cos1166 sin7405 y 7433 09795 09615 y 7280 09615 y 6999 cm 70 cm z 30 7433 sin1166 z 30 7433 02021 z 30 1502 z 4502 cm 45 cm Conclusão Ao se aplicar os valores de junta θ17405 θ21166 L35433 cm nas equações da cinemática direta obtémse o ponto P 1999 6999 4502 o que verifica que a solução está correta e o ponto P20 70 45 é atingido Pequenas diferenças são devidas aos arredondamentos durante os cálculos Questão 2 Dados e Interpretação do Robô Junta 1 J1 Rotação na base em torno do eixo Z Ângulo θ1 Junta 2 J2 Rotação do ombro elevação Ângulo θ2 Junta 3 J3 Rotação do cotovelo Ângulo θ3 Elo 1 d1 30 cm É a distância vertical fixa da base até o eixo da junta 2 Elo 2 a2 15 cm É o comprimento do braço entre as juntas 2 e 3 Elo 3 a3 20 cm É o comprimento do antebraço entre a junta 3 e o centro do punho a Cinemática Direta Neste item usamse as equações da cinemática direta para se encontrar a posição do punho x y z a partir dos ângulos fornecidos Analisando a geometria do manipulador 1 A coordenada z depende apenas de d1 a2 a3 θ2 e θ3 2 As coordenadas x e y dependem da projeção do braço no plano XY distância radial r e do ângulo da base θ1 Calculase primeiramente a posição do punho no plano vertical do braço e depois girase essa posição usando θ1 Passo 1 Cálculo da posição no plano do braço antes de girar com θ1 Chamamse as coordenadas nesse plano de r distância horizontal a partir do eixo J1 e z altura a partir da base A distância r é a soma das projeções horizontais dos elos 2 e 3 r a2 cosθ2 a3 cosθ2 θ3 θ2 0 θ3 90 r 15 cos0 20 cos0 90 r 15 1 20 0 r 15 cm A altura z é a altura do Elo 1 mais as projeções verticais dos elos 2 e 3 z d1 a2 sinθ2 a3 sinθ2 θ3 z 30 15 sin0 20 sin0 90 z 30 15 0 20 sin90 z 30 0 20 1 z 50 cm Passo 2 Projeção das coordenadas x e y usando θ1 Com a distância radial r e a altura z usase o ângulo da base θ1 para encontrar as coordenadas cartesianas finais θ1 30 x r cosθ1 15 cos30 x 15 3 2 15 0866 x 130 cm y r sinθ1 15 sin30 y 15 1 2 y 75 cm Conclusão Para θ130 θ20 e θ390 as variáveis cartesianas são x 130 cm y 75 cm z 50 cm b Cinemática Inversa Aqui fazse o processo inverso Temse o ponto Px y z e se deseja encontrar os ângulos θ1 θ2 e θ3 Ponto Desejado P x 13 y 8 z 50 Passo 1 Cálculo do ângulo da base θ1 θ1 é determinado pelas coordenadas x e y θ1 atan2y x atan28 13 θ1 atan0615 θ1 316 Passo 2 Cálculo dos ângulos do braço θ2 e θ3 Para isso são necessárias as coordenadas do punho em relação ao sistema de coordenadas que se inicia na junta 2 Distância radial no plano XY r x² y² 13² 8² 169 64 233 r 1526 cm Altura relativa à junta 2 z z d1 50 30 z 20 cm Agora temse um triângulo formado pelos elos a2 e a3 e é preciso posicionar sua extremidade no ponto r z 1526 20 Usando a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos a distância D do ombro J2 ao punho é dada por D r² z² 1526² 20² 233 400 633 D 2516 cm Usando também a Lei dos Cossenos no triângulo formado por a2 a3 e D escrevese D² a2² a3² 2 a2 a3 cos180 θ3 cos180 θ3 cosθ3 D² a2² a3² 2 a2 a3 cosθ3 cosθ3 D² a2² a3² 2 a2 a3 cosθ3 633 15² 20² 2 15 20 cosθ3 633 225 400 600 cosθ3 8 600 00133 θ3 acos00133 892 θ2 é a soma de dois ângulos α e β α atan2z r atan220 1526 atan131 α 526 Para β usase novamente a Lei dos Cossenos a3² a2² D² 2 a2 D cosβ cosβ a2² D² a3² 2 a2 D cosβ 15² 633 20² 2 15 2516 cosβ 225 633 400 7548 cosβ 458 7548 06068 β acos06068 526 θ2 α β 526 526 θ2 0 Conclusão Os valores de junta para atingir P13 8 50 são aproximadamente θ1 316 θ2 0 θ3 892 c Análise de Exatidão Por exatidão entendese como a diferença entre a posição comandada e a posição realmente alcançada Podese calcular o erro Ponto Desejado de b Pdesejado 13 8 50 Ponto Alcançado de a Palcançado 13 75 50 O erro cartesiano distância Euclidiana entre os dois pontos seria Erro 1313² 758² 5050² Erro 0² 05² 0² Erro 025 Erro 05 cm Conclusão Considerando que a posição desejada era P13 8 50 e a posição alcançada com os ângulos arredondados 30 0 90 foi P13 75 50 a diferença ou erro cartesiano é de 05 cm Essa medida pode ser vista como uma forma de quantificar a inexatidão resultante do uso de ângulos aproximados