Noções de Derivadas

Campus Paraíso do Tocantins Curso Bacharelado em Administração Exercícios Noções de derivadas Alunoa Professora Rosângela Bandeira Data 27 de maio de 2024 Questão 1 1 Calcule a taxa média de variação de cada função nos intervalos indicados a fx x2 2x 3 para 2 x 1 b fx x 1 para 3 x 8 c fx 2x0 x 4 Questão 2 A posição de um objeto em função do tempo é dada por st 4t 2t2 t 0 Calcule a taxa média de variação da posição no intervalo entre os instantes t 0 e t 10 Questão 3 Calcule a taxa de variação instantânea da função fx x2 4 para x 3 e para x 1 Questão 4 MEDICINA A cura de um certo tipo de machucado é medida pela diminuição em sua área superficial na pele Um machucado tem sua área superficial dada em função do tempo pela função At 20 201t onde At é medida em cm2 e t em dias a Qual é a taxa média de variação da cura do machucado em 2 dias b Qual é a taxa média de variação entre t 2 e t 2 h c Fazendo h tender a zero qual é a taxa instantânea de variação no 2º dia Questão 5 Aplicando a definição determine a derivada da função fx5x2 1 nos pontos indicados a x 10 b x 3 Questão 6 Dada a função fx 1 x2 calcule se existir a f 6 b f 0 Questão 7 Determine a inclinação da curva fx 9x x3 em a x 2 b x 1 MATEMÁTICA Questão 1 Seja uma função fx Chamase taxa média de variação de f no intervalo a b ao número real dado por fb fa b a a Seja a função fx x2 2x 3 A taxa média de variação de f no intervalo 2 1 é dada por f1 f2 1 2 12 21 3 22 22 3 1 2 1 2 3 4 4 3 3 0 3 3 33 1 Portanto a taxa média de variação de f no intervalo 2 1 é 1 b Seja a função fx x 1 A taxa média de variação de f no intervalo 3 8 é dada por f8 f3 8 3 81 31 5 9 4 5 3 2 5 15 02 Portanto a taxa média de variação de f no intervalo 3 8 é 02 c Seja a função fx 2x A taxa média de variação de f no intervalo 0 4 é dada por f4 f0 4 0 24 20 4 16 1 4 15 4 375 Portanto a taxa média de variação de f no intervalo 0 4 é 375 Questão 2 Seja a função posição st 4t 2t2 A taxa média de variação de s no intervalo 0 10 é dada por s10 s0 10 0 410 2102 40 202 10 40 200 0 10 240 10 24 Portanto a taxa média de variação de s no intervalo 0 10 é 24 Questão 3 Seja uma função fx Chamase taxa de variação instantânea de f no ponto x a ao número real dado por limxa fx fa x a Seja a função fx x2 4 Para x 3 temos limx3 fx f3 x 3 limx3 x2 4 32 4 x 3 limx3 x2 4 5 x 3 limx3 x2 9 x 3 limx3 x 3x 3 x 3 limx3 x 3 3 3 6 Portanto a taxa de variação instantânea de f no ponto x 3 é 6 Para x 1 temos limx1 fx f1 x 1 limx1 x2 4 12 4 x 1 limx1 x2 4 3 x 1 limx1 x2 1 x 1 limx1 x 1x 1 x 1 limx1 x 1 1 1 2 Portanto a taxa de variação instantânea de f no ponto x 1 é 2 Questão 4 Seja a função At 20 2⁰¹ᵗ a A taxa média de variação de A no intervalo 0 2 é dada por A2 A0 2 0 20 2⁰¹² 20 2⁰¹⁰ 2 20 2⁰² 20 2⁰ 2 20 087 20 2 174 20 2 26 2 13 Portanto a taxa média de variação da cura do machucado em 2 dias é de aproximadamente 13 cm² por dia b A taxa média de variação de A no intervalo 2 2 h é dada por A2 h A2 2 h 2 20 2⁰¹2h 20 2⁰¹² h c Fazendo h 0 temos lim h0 A2 h A2 2 h 2 lim h0 20 2⁰¹2h 20 2⁰¹² h lim h0 20 2⁰²⁰¹ʰ 20 2⁰² h lim h0 20 2⁰² 2⁰¹ʰ 20 2⁰² h lim h0 20 2⁰² 2⁰¹ʰ 1 h 20 2⁰² lim h0 2⁰¹ʰ 1 h 20 2⁰² ln2⁰¹ 20 2⁰² 01 ln2 2 2⁰² ln2 121 Portanto a taxa de variação instantânea da cura do machucado no 2º dia é de aproximadamente 121 cm² por dia Questão 5 Seja a função fx 5x² 1 Pela definição a derivada de f em um ponto x a é dada por fa lim h0 fa h fa h a Para x 10 temos que f10 lim h0 f10 h f10 h lim h0 510 h² 1 5 10² 1 h lim h0 5 100 20h h² 1 500 1 h lim h0 500 100h 5h² 1 501 h lim h0 100h 5h² h lim h0 100 5h 100 5 0 100 Portanto temos que f10 100 b Para x 3 temos que f3 lim h0 f3 h f3 h lim h0 53 h² 1 5 3² 1 h lim h0 5 9 6h h² 1 45 1 h lim h0 45 30h 5h² 1 46 h lim h0 30h 5h² h lim h0 30 5h 30 5 0 30 Portanto temos que f3 30 Questão 6 Seja a função 𝑓 𝑥 1 𝑥2 Pela definição a derivada de 𝑓 em um ponto 𝑥 𝑎 é dada por 𝑓 𝑎 lim ℎ0 𝑓 𝑎 ℎ 𝑓 𝑎 ℎ ou ainda 𝑓 𝑎 lim 𝑥𝑎 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑥 𝑎 a Para 𝑥 6 temos que 𝑓 6 lim 𝑥6 𝑓 𝑥 𝑓 6 𝑥 6 lim 𝑥6 1 𝑥2 1 62 𝑥 6 lim 𝑥6 1 𝑥2 1 36 𝑥 6 lim 𝑥6 36 𝑥2 36𝑥2 𝑥 6 lim 𝑥6 36 𝑥2 36𝑥2 𝑥 6 lim 𝑥6 6 𝑥6 𝑥 36𝑥2 𝑥 6 lim 𝑥6 𝑥 6𝑥 6 36𝑥2 𝑥 6 lim 𝑥6 𝑥 6 36𝑥2 6 6 36 62 12 36 36 12 1296 1 108 Portanto temos que 𝑓 6 1 108 b Para 𝑥 0 temos que 𝑓 0 lim 𝑥0 𝑓 𝑥 𝑓 0 𝑥 0 lim 𝑥0 1 𝑥2 1 02 𝑥 Como o limite acima não existe a derivada de 𝑓 no ponto 𝑥 0 não existe Questão 7 Seja a função fx 9x x³ A inclinação da curva de f no ponto x a é dada por fa lim xa fx fa x a a Para x 2 temos que f2 lim x2 fx f2 x 2 lim x2 9x x³ 92 2³ x 2 lim x2 9x x³ 18 8 x 2 lim x2 9x x³ 26 x 2 lim x2 9x x³ 26 x 2 lim x2 x 2 x² 2x 13 x 2 lim x2 x² 2x 13 2² 2 2 13 4 4 13 21 Portanto a inclinação da curva de f no ponto x 2 é 21 b Para x 1 temos que f1 lim x1 fx f1 x 1 lim x1 9x x³ 91 1³ x 1 lim x1 9x x³ 9 1 x 1 lim x1 9x x³ 10 x 1 lim x1 9x x³ 10 x 1 lim x1 x 1x² x 10 x 1 lim x1 x² x 10 1² 1 10 1 1 10 12 Portanto a inclinação da curva de f no ponto x 1 é 12