Atividade de Vibrações Mecânicas

IFPB Instituto Federal da Paraíba Primeira Avaliação de Vibrações Mecânicas Aluno Template Matrícula Template Curso Template Template Template 12072024 1 O objetivo desta questão é obter as matrizes de massa rigidez e amortecimento do sistema abaixo Para alcançar este objetivo serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema com 4 graus de liberdade somente há a movimentação das massas na direção horizontal O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado k 1k3k5k7k k 3k62k m1m3m m2m42m C1C2C3C A coordenada utilizada para descrever os movimentos das massas são as coordenadas x1 x2x3e x4 Desta forma será empregada a Equação de Lagrange na solução deste problema Para empregar a Equação de Lagrange é necessário conhecer a energia cinética do sistema sua energia portencial e a energia dissipada nos amortecedores que para o sistema em questão são dadas por T1 2 m x1 21 2 2m x2 2 1 2 m x3 2 1 2 2m x4 4 V1 2 k x1 2 1 2 k x2x1 21 2 2k x2 2 1 2 k x3x2 21 2 k x4x3 2 1 2 2k x4x2 2 1 2 k x4 2 D1 2 C x2 2 1 2 C x4x2 2 1 2 C x 4 2 Com isso temos que a Equação de Lagrange é dada por d dt L q L q D q 0LTV Assim temos que o Lagrangeano do sistema é dado por L1 2 m x1 2 1 2 2m x2 21 2 m x3 21 2 2m x4 41 2 k x1 21 2 kx2x1 21 2 2k x2 21 2 k x3x2 21 2 k x4x3 21 2 2k x4x2 21 2 k x4 2 Baseado no exposto acima aplicaremos a equação para cada coordenada do sistema qx1 d dt L x1 m x1 L x1 k x1kx2x1 D x1 0 Logo m x12k x1k x20 qx2 d dt L x2 2m x2 L x2 kx2x12k x2k x3x22kx4x2 D x2 C x2C x4x2 Logo 2m x2k x16k x2k x32k x42C x2C x40 qx3 d dt L x3 m x3 L x3 k x3x2kx4x3 D x3 0 Logo m x3k x22k x3k x40 qx4 d dt L x4 2m x2 L x4 k x4x3k x42k x4x2 D x1 C x4C x4x2 Logo 2m x42k x2k x34k x42C x4C x20 Combinando estas equações na forma de uma equação matricial temos que m 0 0 0 0 2m 0 0 0 0 m 0 0 0 0 2m x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 2C 0 C 0 0 0 0 0 C 0 2C x1 x2 x3 x4 2k k 0 0 k 6 k k 2k 0 k 2k k 0 2k k 4 k x1 x2 x3 x4 0 M xC xKx0 Sendo a primeira matriz a matriz de massa a segunda a matriz de amortecimento e a terceira a matriz de rigidez O cálculo das frequências naturais e dos modos de vibração está associado ao problema de autovalores e autovetores da matriz M 1 K Porém por se tratar de uma matriz de ordem 4 o cálculo de determinantes fica complicado de ser realizado manualmente portanto iremos utilizar o software MATLAB para obter a solução destes problemas A matriz a ser analisada é dada por M 1 K k m 2 1 0 0 1 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 2 2 Determine os autovalores e autovetores Pelo método Jacobi Códigos Utilizados Questão 1 Clear all Clc Syms k m real M mdiag1 2 1 2 K k2 1 0 01 2 1 10 1 2 10 2 1 4 wveigM1K Questão 2 clc clear all Questão 2 DADOS m22 keq965e3 wnsqrtkeqm fnwn2pi xi02 1 135 c2mwnxi CONDIÇÕES INICIAIS v00 y0001 VETOR TEMPO t00000012 RESPOSTA for i1lengthxi if xii1 wdwnsqrt1xii2 A0sqrty02v0xiiwny0wd2 phiatanv0xiiwny0wdy0 yiA0expxiiwntcoswdtphi viA0costwdphiwnxiiexptwnxii A0wdsintwdphiexptwnxii aciA0costwdphiwn2xii2exptwnxii 2A0wdsintwdphiwnxiiexptwnxii A0wd2costwdphiexptwnxii end if xii1 yiy0v0wny0texpwnt viexptwnwny0v0wnexp twntwny0v0y0 aciwn2exptwntwny0v0y02wnexp twnwny0v0 end if xii1 C1y0wnxiisqrtxii21v02wnsqrtxii2 1 C2y0wnxiisqrtxii21v02wnsqrtxii2 1 yiC1expxiisqrtxii21wntC2expxii sqrtxii21wnt end end figure1 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplotty11000rLinewidth15 hold on bplotty21000bLinewidth15 cplotty31000kLinewidth15 xlabelt s ylabelDeslocamento mm yt grid on leg legendabcy1y2y3 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 figure2 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplottv11000rLinewidth15 hold on bplottv21000bLinewidth15 xlabelt s ylabelVelocidade mms vt grid on leg legendaby1y2 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 figure3 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplottac11000rLinewidth15 hold on bplottac21000bLinewidth15 xlabelt s ylabelAceleracao mms2 at grid on leg legendaba1a2 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 FFT Fs1t2t1 nlengtht freqFs0n2n for i1lengthxi Yifftyi YfiYi1n21n2 end figure4 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplotfreqabsYf11000rLinewidth15 hold on bplotfreqabsYf21000bLinewidth15 cplotfreqabsYf31000kLinewidth15 xlabelFrequencia Hz ylabelModulo do Deslocamento mm Y grid on leg legendabcy1y2y3 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 50 IFPB Instituto Federal da Paraíba Primeira Avaliação de Vibrações Mecânicas Aluno Template Matrícula Template Curso Template Template Template 12072024 1 O objetivo desta questão é obter os modos e frequências naturais do sistema utilizando o Método de Jacobi Para alcançar este objetivo serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema com 3 graus de liberdade somente há a movimentação das massas na direção horizontal O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado Todas as molas possuem a mesma rigidez k As coordenadas utilizadas para descrever os movimentos das massas são as coordenadas x1 x2e x3 Desta forma será empregada a Equação de Lagrange na solução deste problema Para empregar a Equação de Lagrange é necessário conhecer a energia cinética do sistema sua energia portencial e a energia dissipada nos amortecedores que para o sistema em questão são dadas por T1 2 m x1 21 2 2m x2 2 1 2 m x3 2 V1 2 k x1 2 1 2 k x2x1 21 2 k x2 2 1 2 k x3x2 2 Com isso temos que a Equação de Lagrange é dada por d dt L q L q 0LTV Assim temos que o Lagrangeano do sistema é dado por L1 2 m x1 2 1 2 2m x2 21 2 m x3 21 2 k x1 21 2 k x2x1 21 2 2k x2 21 2 k x3x2 2 Baseado no exposto acima aplicaremos a equação para cada coordenada do sistema qx1 d dt L x1 m x1 L x1 k x1kx2x1 Logo m x12k x1k x20 qx2 d dt L x2 2m x2 L x2 kx2x1k x2k x3x2 Logo 2m x2k x13k x2k x30 qx3 d dt L x3 m x3 L x3 k x3x2 Logo m x3k x22k x30 Combinando estas equações na forma de uma equação matricial temos que m 0 0 0 2m 0 0 0 m x1 x2 x3 2k k 0 k 3k k 0 k k x1 x2 x3 0 M xKx0 Sendo a primeira matriz a matriz de massa a segunda a matriz de rigidez O cálculo das frequências naturais e dos modos de vibração está associado ao problema de autovalores e autovetores da matriz M 1 K A matriz a ser analisada é dada por M 1 K k m 2 1 0 1 2 3 2 1 2 0 1 1 Porém percebese que esta matriz não é simétrica logo o algoritmo de Jacobi não pode ser empregado neste caso dado que ele é limitado para o cálculo de autovalores e autovetores de matrizes reais simétricas As frequências naturais deste sistema calculadas com o auxílio da função eig do Matlab são ωn 16180 12247 06180 rads E os autovetores associados são V 08090 2 3 03090 05 1 3 05 03090 2 3 0 08090 Porém visando o emprego do método de Jacobi para cálculo de autovetores vamos calcular os autovetores e autovalores da matriz de rigidez ou seja da matriz 2k k 0 k 3k k 0 k k Que seria o equivalente a calcular os modos e frequências naturais do mesmo sistema supondo que todas as massas são iguais a m e m1 Supondo k1 temos que admitindo uma tolerância de convergência de 10 6 os resultados obtidos são ωn 2 04679 0 0 0 38794 0 0 0 16527 V 02931 04491 08440 04491 08440 02931 08440 02931 04491 O algoritmo levou 905518 iterações em 10137s para convergir Códigos Utilizados Questão 1 A 2 1 01 3 10 1 1 Tol 106 DScounttempo jacobieigAtol function DScounttempo jacobieigAtol n lengthA D A S eyen conv 10000 count 1 tic while convtol encontrando o valor máximo fora da diagonalj pivot 0 for i11n1 for ji1n if absDijpivot pivot Dij pi i pj j end end end if abspivottol break end if DpipiDpjpj th pi4 else th 12atan2DpipjDpjpjDpipi end G eyen Gpipicosth Gpipjsinth Gpjpisinth Gpjpjcosth D GDG S SG count count1 end tempotoc Questão 2 clc clear all Questão 2 DADOS m22 keq965e3 wnsqrtkeqm fnwn2pi xi02 1 135 c2mwnxi CONDIÇÕES INICIAIS v00 y0001 VETOR TEMPO t00000012 RESPOSTA for i1lengthxi if xii1 wdwnsqrt1xii2 A0sqrty02v0xiiwny0wd2 phiatanv0xiiwny0wdy0 yiA0expxiiwntcoswdtphi viA0costwdphiwnxiiexptwnxii A0wdsintwdphiexptwnxii aciA0costwdphiwn2xii2exptwnxii 2A0wdsintwdphiwnxiiexptwnxii A0wd2costwdphiexptwnxii end if xii1 yiy0v0wny0texpwnt viexptwnwny0v0wnexp twntwny0v0y0 aciwn2exptwntwny0v0y02wnexp twnwny0v0 end if xii1 C1y0wnxiisqrtxii21v02wnsqrtxii2 1 C2y0wnxiisqrtxii21v02wnsqrtxii2 1 yiC1expxiisqrtxii21wntC2expxii sqrtxii21wnt end end figure1 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplotty11000rLinewidth15 hold on bplotty21000bLinewidth15 cplotty31000kLinewidth15 xlabelt s ylabelDeslocamento mm yt grid on leg legendabcy1y2y3 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 figure2 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplottv11000rLinewidth15 hold on bplottv21000bLinewidth15 xlabelt s ylabelVelocidade mms vt grid on leg legendaby1y2 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 figure3 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplottac11000rLinewidth15 hold on bplottac21000bLinewidth15 xlabelt s ylabelAceleracao mms2 at grid on leg legendaba1a2 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 14 FFT Fs1t2t1 nlengtht freqFs0n2n for i1lengthxi Yifftyi YfiYi1n21n2 end figure4 setgrootDefaultAxesTickLabelInterpreterlatex set0defaulttextinterpreterlatex set0DefaultTextFontname CMU Serif set0DefaultAxesFontName CMU Serif setgcaTickLabelInterpreterlatex aplotfreqabsYf11000rLinewidth15 hold on bplotfreqabsYf21000bLinewidth15 cplotfreqabsYf31000kLinewidth15 xlabelFrequencia Hz ylabelModulo do Deslocamento mm Y grid on leg legendabcy1y2y3 setlegboxofforientationhorizontalinterpreterla tex xlim0 50