Atividade de Vibrações Mecânicas

INSTITUTO FEDERAL Paraíba IFPB Campus João Pessoa Curso Engenharia Mecânica Disciplina Vibrações Mecânicas Professor Alexandre Ribeiro Andrade 1 Avaliação 1 Dado a figura abaixo de um sistema massamola em vibração livre calcule a Qual a referência da mola escolhida e da rigidez k encontrada na tabela 1 para que o sistema massamola figura ao lado oscile na frequência natural na faixa de 35 011 Hz sabendo que a massa do sistema é 220 005 kg 5 pontos b Qual a rigidez equivalente keq deste sistema massamola Nmm 5 pontos c Qual a frequência natural do sistema em Hz após a escolha da mola do catálogo 5 pontos d Qual a equação do sistema EDO em função da rigidez da mola do catálogo k da massa m e do tempo t e posição inicial y0 e velocidade inicial v0 5 pontos e Obtenha a solução da EDO em termos da rigidez k massa m tempo t posição inicial y0 e velocidade inicial v0 10 pontos Faça um programa MATLAB SCILAB ou OCTAVE f Trace o gráfico do tempo s x deslocamento mm 5 pontos g Trace o gráfico do tempo s x velocidade mms 5 pontos h Trace o gráfico do tempo s x aceleração mms2 5 pontos i Trace o gráfico da FFT do sistema 5 pontos TABELA 1 Dados das molas que devem ser usadas na solução da questão 1 DH Dd b x h l0 mm Referência Rigidez Nmm 25 30 40 D Aprox mm N mm N mm N mm N 10 5 17 x 11 25 V 10 25 10 63 63 75 75 100 100 135 135 32 V 10 32 85 80 68 96 82 128 109 175 149 38 V 10 38 68 95 65 114 78 152 103 208 141 44 V 10 44 60 110 66 132 79 176 106 239 143 51 V 10 51 50 128 64 153 77 204 102 289 145 64 V 10 64 43 160 69 192 83 256 110 361 155 76 V 10 76 32 190 61 228 73 304 97 432 138 305 V 10 305 11 763 84 915 101 1220 134 1787 197 16 8 32 x 15 25 V 16 25 234 63 147 75 176 100 234 126 295 32 V 16 32 229 80 183 96 220 128 293 164 376 38 V 16 38 193 95 183 114 220 152 293 197 380 44 V 16 44 171 110 188 132 226 176 301 225 385 51 V 16 51 157 128 201 153 240 204 320 263 413 64 V 16 64 107 160 171 192 205 256 274 333 356 76 V 16 76 100 190 190 228 228 304 304 402 402 89 V 16 089 86 223 192 267 230 356 306 476 409 102 V 16 102 78 255 199 306 239 408 318 554 432 115 V 16 115 66 288 190 345 228 460 304 603 401 305 V 16 305 25 763 191 915 229 1220 305 1653 413 INSTITUTO FEDERAL Paraíba IFPB Campus João Pessoa Curso Engenharia Mecânica Disciplina Vibrações Mecânicas Professor Alexandre Ribeiro Andrade 2 Após ajustes no projeto e considerando as alterações realizadas na figura da questão 1 no qual foram retiradas algumas molas e acrescentando um amortecedor além de uma mola desconhecida kx no sistema massamola em vibração livre conforme figura abaixo a Quais as novas referências das molas escolhidas na tabela 1 para que o sistema tenha a mesma rigidez equivalente da questão 1 Admita a frequência natural na faixa de 34 05 Hz Obtenha o valor do amortecimento c molas k e kx para cada caso 5 pontos Caso 1 ξ 02 Caso 2 ξ 10 Caso 3 ξ 135 b Qual a equação do sistema EDO em função da rigidez da mola do catálogo k da massa m e do tempo t e posição inicial y0 e velocidade inicial v0 5 pontos Caso 1 ξ 02 Caso 2 ξ 10 Caso 3 ξ 135 c Obtenha a solução da EDO para cada caso de amortecimento em termos do fator de amortecimento ξ tempo t posição inicial y0 e velocidade inicial v0 5 pontos Faça um programa MATLAB SCILAB ou OCTAVE Para cada caso de amortecimento d Trace o gráfico do tempo s x deslocamento mm 5 pontos e Trace o gráfico do tempo s x velocidade mms 5 pontos f Trace o gráfico do tempo s x aceleração mms2 5 pontos g Trace o gráfico da FFT do sistema 5 pontos 1ª Avaliação da Disciplina de Vibrações Mecânicas 1 Para a resolução da questão 1 serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema de 1 grau de liberdade somente há a movimentação da massa na direção vertical O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado Não existe a presença de efeitos dissipativos no sistema A coordenada utilizada para descrever o movimento da massa é a coordenadas y apresentada na Figura 1 Figura 1 Esquema do Sistema MassaMola do Exercício 1 a Para ser estimada a rigidez da mola 𝑘 necessária para produzir uma frequência natural na faixa de 𝑓𝑛 35 011 𝐻𝑧 ou seja 𝜔𝑛 2199 069 𝑟𝑎𝑑𝑠 é necessário primeiramente obter a rigidez equivalente do sistema massa mola Com isso serão feitas as associações de resistências para as hastes e entre as hastes Entre a Haste A e o Apoio E a rigidez equivalente será de 𝑘𝐴𝐸 𝑘 𝑘 𝑘 3𝑘 Entre a Haste B e a Haste A a rigidez será de 𝑘𝐵𝐴 3𝑘 Assim temse uma associação em série entre 𝑘𝐵𝐴 𝑒 𝑘𝐴𝐸 de tal forma que a rigidez equivalente da associação será dada por E 𝑘𝑒𝑞1 𝑘𝐵𝐴 𝑘𝐴𝐸 𝑘𝐵𝐴 𝑘𝐴𝐸 3𝑘 3𝑘 3𝑘 3𝑘 15 𝑘 Logo entre a Haste B e o apoio E haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de 𝑘𝑒𝑞2 𝑘 𝑘𝑒𝑞1 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 15𝑘 𝑘 2 3𝑘 Entre a Haste C e B a rigidez será de 𝑘𝐶𝐵 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 4𝑘 Assim temse novamente uma associação em série dada por 𝑘𝑒𝑞3 𝑘𝐶𝐵 𝑘 𝑘𝐶𝐵 𝑘 4𝑘 𝑘 4𝑘 𝑘 4𝑘2 5𝑘 08𝑘 E entre as Hastes B e D haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de 𝑘𝑒𝑞4 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘𝑒𝑞3 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 2 08𝑘 𝑘 2 18𝑘 Logo do apoio E até a massa 𝑚 terá uma associação em série sendo a rigidez equivalente do sistema dada por 𝑘𝑒𝑞 1 1 𝑘𝑒𝑞2 1 𝑘𝑒𝑞4 1 𝑘 1 1 3𝑘 5 4𝑘 1 𝑘 1 4 15 12 12𝑘 12𝑘 31 Da definição de frequência natural para um sistema de 1 grau de liberdade tem se que 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝜔𝑛 2 12𝑘 31 𝑚𝜔𝑛 2 𝑘 31 12 𝑚𝜔𝑛 2 31 12 22 0052199 0692 𝑘 27485 0692 103 𝑁 𝑚 𝑜𝑢 27485 0692 𝑁 𝑚𝑚 OBS A incerteza da resposta foi obtida por meio das fórmulas de propagação de incertezas Isso implica que a rigidez deverá estar entre os valores de 26792 e 28178 Nmm Analisando a Tabela 1 a rigidez que mais se aproximaria do intervalo indicado seria da mola V 1625 cuja rigidez é de 234 Nmm b A partir da rigidez selecionada a rigidez equivalente do sistema será de 𝑘𝑒𝑞 12𝑘 31 12234 31 9058 𝑁 𝑚𝑚 c Com isso a frequência natural do sistema em Hz será de 𝑓𝑛 𝜔𝑛 2𝜋 1 2𝜋 𝑘𝑒𝑞 𝑚 323 𝐻𝑧 d Para obter a equação do movimento do sistema será analisada o diagrama de corpo livre da massa abaixo Figura 2 Diagrama de Corpo Livre da Massa da Questão 1 Com isso realizando a somatória de forças na direção 𝑦 𝑚𝑦 𝑘𝑒𝑞𝑦 𝑚𝑦𝑡 𝑘𝑒𝑞𝑦𝑡 0 No qual 𝑦𝑡 representa a aceleração da massa em relação ao tempo Para um sistema de 1 grau de liberdade sem amortecimento a resposta do sistema pode ser dada por 𝑦𝑡 𝐴0 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜙 No qual 𝐴0 𝑦0 2 𝑣0 𝜔𝑛 2 05 é a amplitude sendo 𝑦0 a posição inicial e 𝑣0 a velocidade inicial da massa e 𝜙 𝑡𝑔1 𝑣0 𝑦0𝜔𝑛 é a fase e A velocidade e aceleração do sistema podem ser obtidas derivando a resposta do sistema sendo assim estas dadas por 𝑦𝑡 𝜔𝑛𝐴0 sen 𝜔𝑛𝑡 𝜙 𝑦𝑡 𝜔𝑛 2𝐴0 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜙 Os gráficos solicitados seguem nas figuras a seguir Para traçalos foi considerada uma velocidade inicial nula 𝑣0 0 e um deslocamento inicial de 10 mm 𝑦0 001 𝑚 𝑘𝑒𝑞𝑦 Figura 3 a Deslocamento x Tempo b Velocidade x Tempo c Aceleração x Tempo d FFT a b c d 2 Para a resolução da questão 2 serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema de 1 grau de liberdade somente há a movimentação da massa na direção vertical O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado A coordenada utilizada para descrever o movimento da massa é a coordenadas y apresentada na Figura 1 Figura 4 Esquema do Sistema MassaMola do Exercício 2 a Para ser estimada a rigidez da mola 𝑘 necessária para produzir uma frequência natural na faixa de 𝑓𝑛 35 011 𝐻𝑧 ou seja 𝜔𝑛 2199 069 𝑟𝑎𝑑𝑠 é necessário primeiramente obter a rigidez equivalente do sistema massa mola Com isso serão feitas as associações de resistências para as hastes e entre as hastes Entre a Haste A e o Apoio E a rigidez equivalente será de 𝑘𝐴𝐸 𝑘 𝑘 2𝑘 Entre a Haste B e a Haste A a rigidez será de 𝑘𝐵𝐴 2𝑘 Assim temse uma associação em série entre 𝑘𝐵𝐴 𝑒 𝑘𝐴𝐸 de tal forma que a rigidez equivalente da associação será dada por 𝑘𝑒𝑞1 𝑘𝐵𝐴 𝑘𝐴𝐸 𝑘𝐵𝐴 𝑘𝐴𝐸 2𝑘 2𝑘 2𝑘 2𝑘 𝑘 E Logo entre a Haste B e o apoio E haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de 𝑘𝑒𝑞2 𝑘 𝑘𝑒𝑞1 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 2 25𝑘 Entre a Haste C e B a rigidez será de 𝑘𝐶𝐵 𝑘 𝑘 2𝑘 Assim temse novamente uma associação em série dada por 𝑘𝑒𝑞3 𝑘𝐶𝐵 𝑘 𝑘𝐶𝐵 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 2𝑘2 3𝑘 2 3 𝑘 E entre as Hastes B e D haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de 𝑘𝑒𝑞4 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘𝑒𝑞3 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 2 2 3 𝑘 𝑘 2 3𝑘 4𝑘 3𝑘 6 10 6 𝑘 5𝑘 3 Logo do apoio E até a massa 𝑚 terá uma associação em série sendo a rigidez equivalente do sistema dada por 𝑘𝑒𝑞 1 1 𝑘𝑒𝑞2 1 𝑘𝑒𝑞4 1 𝑘 1 2 5𝑘 3 5𝑘 1 𝑘𝑥 1 2𝑘𝑥 3𝑘𝑥 5𝑘 5𝑘𝑘𝑥 5𝑘𝑘𝑥 5𝑘𝑥 5𝑘 𝑘𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘 Na questão 1 a rigidez equivalente obtida foi de 9058 𝑁 𝑚𝑚 Desta forma 𝑘𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘 9058 𝑁 𝑚𝑚 Com o intuito de facilitar a seleção da mola será adotado que ambas sejam idênticas assim a rigidez das molas a ser selecionada 𝑘𝑠𝑒𝑙 será dada por 𝑘𝑠𝑒𝑙 𝑘𝑠𝑒𝑙 𝑘𝑠𝑒𝑙 𝑘𝑠𝑒𝑙 9058 𝑘𝑠𝑒𝑙 2 9058 18116 𝑁 𝑚𝑚 Assim as molas 𝑘𝑥 𝑒 𝑘 deveriam apresentar uma rigidez de 18116 Nmm Com base na Tabela 1 a mola de maior rigidez que mais se aproxima da rigidez calculada é a mola V 1038 cuja rigidez é de 193 Nmm Logo 𝑘𝑥 𝑘 193 𝑁𝑚𝑚 Com isso será verificada a nova rigidez equivalente e frequência natural com o intuito de verificar se a frequência natural se encontrará na faixa de 34 05 𝐻𝑧 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝑘𝑥 𝑘𝑥 𝑘 193193 193 193 965 𝑁 𝑚𝑚 𝑓𝑛 1 2𝜋 𝑘𝑒𝑞 𝑚 1 2𝜋 965 103 22 3333 𝐻𝑧 Com isso podese afirmar que a mola V 1038 pode ser utilizada como as molas 𝑘𝑥 𝑒 𝑘 em vista da frequência natural estar dentro do intervalo de 34 05 𝐻𝑧 Para o cálculo do coeficiente de amortecimento 𝑐 será utilizada a seguinte expressão 𝑐 𝜉𝑐𝑥𝑟 2𝜉𝑚𝜔𝑛 4𝜋𝜉𝑚𝑓𝑛 De tal forma que para cada caso teremos um coeficiente de amortecimento diferente Para o Caso 1 𝑐1 4𝜋 02223333 1843 𝑁 𝑠𝑚 Para o Caso 2 𝑐2 4𝜋 1223333 9215 𝑁 𝑠𝑚 Para o Caso 3 𝑐3 4𝜋 135223333 12440 𝑁 𝑠𝑚 b Para obter a equação do movimento do sistema será analisada o diagrama de corpo livre da massa abaixo Figura 5 Diagrama de Corpo Livre da Massa da Questão 2 Com isso realizando a somatória de forças na direção 𝑦 𝑚𝑦 𝑘𝑒𝑞𝑦 𝑐𝑦 𝑚𝑦𝑡 𝑐𝑦𝑡 𝑘𝑒𝑞𝑦𝑡 0 No qual 𝑦𝑡 representa a velocidade da massa em relação ao tempo c Para um sistema de 1 grau de liberdade com amortecimento a resposta do sistema se diferencia de acordo com o fator de amortecimento Para o Caso 1 no qual o fator de amortecimento é menor que 1 o sistema é subamortecido com isso a resposta do sistema será dada por 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏 𝑦1𝑡 𝐴0𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 cos𝜔𝑑𝑡 𝜙0 No qual 𝐴0 𝑦0 2 𝑣0𝜉𝜔𝑛𝑦0 𝜔𝑑 2 05 é a amplitude sendo 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜉2 é a frequência natural amortecida e 𝜙0 𝑡𝑔1 𝑣0𝜉𝜔𝑛𝑦0 𝜔𝑑𝑦0 é a fase Para o Caso 2 no qual o fator de amortecimento é igual a 1 o sistema é criticamente com isso a resposta do sistema será dada por 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐 𝑦2𝑡 𝑦0 𝑣0 𝜔𝑛𝑦0t𝑒𝜔𝑛𝑡 𝑘𝑒𝑞𝑦 𝑐𝑦 No Caso 3 no qual o fator de amortecimento é igual a 135 o sistema é superamortecido com isso a resposta do sistema será dada por 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟑 𝑦3𝑡 𝐶1𝑒𝜉𝜉21𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒𝜉𝜉21𝜔𝑛𝑡 No qual 𝐶1 𝑦0𝜔𝑛𝜉 𝜉2 1 𝑣0 2𝜔𝑛𝜉2 1 e 𝐶2 𝑦0𝜔𝑛𝜉 𝜉2 1 𝑣0 2𝜔𝑛𝜉2 1 Os gráficos solicitados seguem nas figuras a seguir Para traçalos foi considerada uma velocidade inicial nula 𝑣0 0 e um deslocamento inicial de 10 mm 𝑦0 001 𝑚 Figura 6 a Deslocamento x Tempo b Velocidade x Tempo c Aceleração x Tempo d FFT do Sistema a b OBS para a obtenção da expressão da velocidade e aceleração as expressões do deslocamento foram derivadas em relação ao tempo Devido ao tamanho das expressões as mesmas não foram inseridas no trabalho Além disso é válido citar que não foram estimadas as expressões da velocidade e aceleração para o caso 3 devido ao tamanho das expressões Entretanto esperase um comportamento próximo ao caso criticamente amortecido possuindo uma velocidade e aceleração menos intensa Para o caso 1 𝑣𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 A0 cosωd𝑡 𝜑 ωn𝜉e𝑡ξωn A0ωd sen𝜔𝑑𝑡 𝜑 e𝑡𝜉ωn at A0 cos𝜔𝑑𝑡 𝜑 ωn 2𝜉2e𝑡ωn𝜉 2A0ωd sen𝜔𝑑𝑡 𝜑 ωn𝜉e𝑡ωn𝜉 A0ωd 2 cos𝜔𝑑𝑡 𝜑 e𝑡ωn𝜉 c d 1ª Avaliação da Disciplina de Vibrações Mecânicas 1 Para a resolução da questão 1 serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema de 1 grau de liberdade somente há a movimentação da massa na direção vertical O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado Não existe a presença de efeitos dissipativos no sistema A coordenada utilizada para descrever o movimento da massa é a coordenadas y apresentada na Figura 1 Figura 1 Esquema do Sistema MassaMola do Exercício 1 a Para ser estimada a rigidez da mola k necessária para produzir uma frequência natural na faixa de f n35011 Hz ou seja ωn2199069rad s é necessário primeiramente obter a rigidez equivalente do sistema massa mola Com isso serão feitas as associações de resistências para as hastes e entre as hastes Entre a Haste A e o Apoio E a rigidez equivalente será de k AEkkk3k Entre a Haste B e a Haste A a rigidez será de k BA3 k Assim temse uma associação em série entre k BAek AE de tal forma que a rigidez equivalente da associação será dada por E k eq1 kBAk AE k BAk AE 3 k3k 3k3k 15k Logo entre a Haste B e o apoio E haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de k eq2kkeq1 k k kk k15k k 23k Entre a Haste C e B a rigidez será de k CBkkkk4 k Assim temse novamente uma associação em série dada por k eq3 kCBk kCBk 4 kk 4 kk 4 k 2 5k 08k E entre as Hastes B e D haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de k eq4 k k kk keq 3 k k kk k 208k k 218k Logo do apoio E até a massa m terá uma associação em série sendo a rigidez equivalente do sistema dada por k eq 1 1 keq2 1 keq 4 1 k 1 1 3k 5 4k 1 k 1 41512 12k 12k 31 Da definição de frequência natural para um sistema de 1 grau de liberdade tem se que ωn keq m keqmωn 2 12k 31 mωn 2 k31 12 mωn 231 12 22005 2199069 2 k27485069210 3 N m ou274850692 N mm OBS A incerteza da resposta foi obtida por meio das fórmulas de propagação de incertezas Isso implica que a rigidez deverá estar entre os valores de 26792 e 28178 Nmm Analisando a Tabela 1 a rigidez que mais se aproximaria do intervalo indicado seria da mola V 1625 cuja rigidez é de 234 Nmm b A partir da rigidez selecionada a rigidez equivalente do sistema será de k eq12k 31 1223 4 31 9058 N mm c Com isso a frequência natural do sistema em Hz será de f n ωn 2π 1 2π k eq m 323Hz d Para obter a equação do movimento do sistema será analisada o diagrama de corpo livre da massa abaixo Figura 2 Diagrama de Corpo Livre da Massa da Questão 1 Com isso realizando a somatória de forças na direção y m yk eq y m ytk eq yt0 No qual yt representa a aceleração da massa em relação ao tempo Para um sistema de 1 grau de liberdade sem amortecimento a resposta do sistema pode ser dada por y tA0cos ωntϕ No qual A0 y0 2 v0 ωn 2 0 5 é a amplitude sendo y0 a posição inicial e v0 a velocidade inicial da massa e ϕt g 1 v0 y0ωn é a fase e A velocidade e aceleração do sistema podem ser obtidas derivando a resposta do sistema sendo assim estas dadas por y tωn A0 senωntϕ y tωn 2 A0cos ωntϕ Os gráficos solicitados seguem nas figuras a seguir Para traçalos foi considerada uma velocidade inicial nula v00 e um deslocamento inicial de 10 mm y0001m k eq y Figura 3 a Deslocamento x Tempo b Velocidade x Tempo c Aceleração x Tempo d FFT a b c d 2 Para a resolução da questão 2 serão consideradas as seguintes hipóteses Sistema de 1 grau de liberdade somente há a movimentação da massa na direção vertical O sistema está sujeito à vibração livre não há a aplicação de forças externas Todas as hastes apresentam massa desprezível e o movimento rotacional das mesmas é desprezado A coordenada utilizada para descrever o movimento da massa é a coordenadas y apresentada na Figura 1 Figura 4 Esquema do Sistema MassaMola do Exercício 2 a Para ser estimada a rigidez da mola k necessária para produzir uma frequência natural na faixa de f n35011 Hz ou seja ωn2199069rad s é necessário primeiramente obter a rigidez equivalente do sistema massa mola Com isso serão feitas as associações de resistências para as hastes e entre as hastes Entre a Haste A e o Apoio E a rigidez equivalente será de k AEkk2k Entre a Haste B e a Haste A a rigidez será de k BA2k Assim temse uma associação em série entre k BAek AE de tal forma que a rigidez equivalente da associação será dada por k eq1 kBAk AE k BAk AE 2k 2k 2k2k k E Logo entre a Haste B e o apoio E haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de k eq2kkeq1 k k kk kk k 225k Entre a Haste C e B a rigidez será de k CBkk2k Assim temse novamente uma associação em série dada por k eq3 kCBk kCBk 2kk 2kk 2k 2 3k 2 3 k E entre as Hastes B e D haverá uma associação em paralelo dada pela rigidez equivalente de k eq4 k k kk keq 3 k k kk k 2 2 3 k k 23k4k3k 6 10 6 k5k 3 Logo do apoio E até a massa m terá uma associação em série sendo a rigidez equivalente do sistema dada por k eq 1 1 keq2 1 keq 4 1 k 1 2 5k 3 5 k 1 k x 1 2k x3k x5k 5k k x 5k k x 5kx5k k k x k xk Na questão 1 a rigidez equivalente obtida foi de 9058 N mm Desta forma k kx k xk 9058 N mm Com o intuito de facilitar a seleção da mola será adotado que ambas sejam idênticas assim a rigidez das molas a ser selecionada k sel será dada por kselksel kselksel 9058k sel2905818116 N mm Assim as molas k x ek deveriam apresentar uma rigidez de 18116 Nmm Com base na Tabela 1 a mola de maior rigidez que mais se aproxima da rigidez calculada é a mola V 1038 cuja rigidez é de 193 Nmm Logo k xk193N mm Com isso será verificada a nova rigidez equivalente e frequência natural com o intuito de verificar se a frequência natural se encontrará na faixa de 3405 Hz k eq k k x k xk 193193 1931939 65 N mm f n 1 2π keq m 1 2 π 96510 3 22 3333Hz Com isso podese afirmar que a mola V 1038 pode ser utilizada como as molas k x ek em vista da frequência natural estar dentro do intervalo de 3405 Hz Para o cálculo do coeficiente de amortecimento c será utilizada a seguinte expressão cξc xr2ξm ωn4 πξm f n De tal forma que para cada caso teremos um coeficiente de amortecimento diferente Para o Caso 1 c14 π02223333184 3 N sm Para o Caso 2 c24 π12233339215 N sm Para o Caso 3 c34 π1352233331244 0 N sm b Para obter a equação do movimento do sistema será analisada o diagrama de corpo livre da massa abaixo Figura 5 Diagrama de Corpo Livre da Massa da Questão 2 Com isso realizando a somatória de forças na direção y m yk eq yc y m y t c y t keq yt0 No qual yt representa a velocidade da massa em relação ao tempo c Para um sistema de 1 grau de liberdade com amortecimento a resposta do sistema se diferencia de acordo com o fator de amortecimento Para o Caso 1 no qual o fator de amortecimento é menor que 1 o sistema é subamortecido com isso a resposta do sistema será dada por Caso1 y1t A0e ξ ωntcosωdtϕ0 No qual A0 y0 2 v0ξ ωn y0 ωd 2 05 é a amplitude sendo ωdωn1ξ 2 é a frequência natural amortecida e ϕ0t g 1 v0ξωn y0 ωd y0 é a fase Para o Caso 2 no qual o fator de amortecimento é igual a 1 o sistema é criticamente com isso a resposta do sistema será dada por k eq y c y Caso2 y2t y0v0ωn y0t e ωnt No Caso 3 no qual o fator de amortecimento é igual a 135 o sistema é superamortecido com isso a resposta do sistema será dada por Caso3 y3t C1e ξξ 21ωntC2e ξξ 21 ωnt No qual C1 y0ωnξξ 21v0 2ωnξ 21 eC2y 0ωnξξ 21v0 2ωnξ 21 Os gráficos solicitados seguem nas figuras a seguir Para traçalos foi considerada uma velocidade inicial nula v00 e um deslocamento inicial de 10 mm y0001m Figura 6 a Deslocamento x Tempo b Velocidade x Tempo c Aceleração x Tempo d FFT do Sistema a b v1 v2 Velocidade mms v0 t t s c a1 a2 Aceleração mms2 a t t s OBS para a obtenção da expressão da velocidade e aceleração as expressões do deslocamento foram derivadas em relação ao tempo Devido ao tamanho das expressões as mesmas não foram inseridas no trabalho Além disso é válido citar que não foram estimadas as expressões da velocidade e aceleração para o caso 3 devido ao tamanho das expressões Entretanto esperase um comportamento próximo ao caso criticamente amortecido possuindo uma velocidade e aceleração menos intensa Para o caso 1 v t dy dt A0cosωdtφ ωnξ e t ξωnA0ωdsenωdtφe tξωn a t A0cosωdtφωn 2ξ 2e t ωnξ2 A0ωd s enωdtφωnξe tωnξA0ωd 2cosωdtφe t ωnξ 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