Atividade de Teoria 2

1 Utilizando o método dos deslocamentos com redução de deslocabilidades esboce o diagrama DMF da estrutura abaixo através da determinação dos valores dos momentos fletores finais nos nós da estrutura segundo a convenção de barra isolada Calcule as reações de apoio para a estrutura hiperestática Dados α 10⁵ C¹ EI 10⁴ tfm² Barras AD e CE h 40 cm BE h 30 cm DE h 50 cm Faça todas as etapas a seguir Sistema hipergeométrico Grau de hipergeometria Casos básicos Coeficientes locais NÃO calcule as reações de apoio reais para cada caso básico o Entregar o diagrama de Williot Coeficientes globais Montagem e solução do sistema de equações Esforços finais o cálculo dos coeficientes de momento fletor finais o cálculo das reações de apoio reais através das barras isoladas da estrutura hiperestática final 1 Método dos Deslocamentos Rigidez da estrutura Barras AD e CE 𝐸𝐼 15 104𝑡𝑓𝑚2 ℎ 040𝑚 𝛼 105𝐶 Barra BE 𝐸𝐼 10 104𝑡𝑓𝑚2 ℎ 030𝑚 𝛼 105𝐶 Barra DE 𝐸𝐼 20 104𝑡𝑓𝑚2 ℎ 050𝑚 𝛼 105𝐶 Grau de hipergeometria 𝐺𝐻 3 Sistema de hipergeométrico Deslocabilidades 𝐷 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝐷 𝐷1 𝜃𝐷 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝐸 𝐷2 𝜃𝐸 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐷 𝐷3 𝛿𝑥𝐷 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝐷 𝐷4 𝛿𝑦𝐷 Análise do caso básico 1 aplicar rotação unitária em D 𝐷1 Reações horizontais 𝐻𝐴 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 2500𝑡𝑓 𝐻𝐵 0 𝐻𝐶 0 𝐻𝐷 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 2500𝑡𝑓 𝐻𝐸 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 6𝐸𝐼 𝐿2 6 2 104 82 1875𝑡𝑓 𝑉𝐸 6𝐸𝐼 𝐿2 6 2 104 82 1875𝑡𝑓 Momentos fletores 𝑀𝐴 2𝐸𝐼 𝐿 2 15 104 6 5000𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 0 𝑀𝐷 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 4 15 104 6 4 2 104 8 20000𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸 2𝐸𝐼 𝐿 2 2 104 8 5000𝑡𝑓𝑚 Análise do caso básico 2 aplicar rotação unitária em E 𝐷2 Reações horizontais 𝐻𝐴 0 𝐻𝐵 3𝐸𝐼 𝐿2 3 1 104 42 1875𝑡𝑓 𝐻𝐶 0 𝐻𝐷 0 𝐻𝐸 3𝐸𝐼 𝐿2 3 1 104 42 1875𝑡𝑓 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 2500𝑡𝑓 𝑉𝐷 6𝐸𝐼 𝐿2 6 2 104 82 1875𝑡𝑓 𝑉𝐸 6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 6 2 104 82 625𝑡𝑓 Momentos fletores 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 2𝐸𝐼 𝐿 2 15 104 6 5000𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐷 2𝐸𝐼 𝐿 2 2 104 8 5000𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 3𝐸𝐼 𝐿 4 2 104 8 4 15 104 6 3 1 104 4 27500𝑡𝑓𝑚 Análise do caso básico 3 aplicar deslocamento horizontal unitário em D 𝐷3 Reações horizontais 𝐻𝐴 12𝐸𝐼 𝐿3 12 15 104 63 83333𝑡𝑓𝑚 𝐻𝐵 0 𝐻𝐶 0 𝐻𝐷 12𝐸𝐼 𝐿3 12 15 104 63 83333𝑡𝑓𝑚 𝐻𝐸 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 0 𝑉𝐸 0 Momentos fletores 𝑀𝐴 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 2500𝑡𝑓 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 0 𝑀𝐷 6𝐸𝐼 𝐿2 6 15 104 62 2500𝑡𝑓 𝑀𝐸 0 Análise do caso básico 4 aplicar deslocamento vertical unitário em D 𝐷4 Reações horizontais 𝐻𝐴 0 𝐻𝐵 0 𝐻𝐶 0 𝐻𝐷 0 𝐻𝐸 0 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 12𝐸𝐼 𝐿3 12 2 104 83 46875𝑡𝑓𝑚 𝑉𝐸 12𝐸𝐼 𝐿3 12 2 104 83 46875𝑡𝑓𝑚 Momentos fletores 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 0 𝑀𝐷 6𝐸𝐼 𝐿2 6 2 104 82 1875𝑡𝑓 𝑀𝐸 6𝐸𝐼 𝐿2 6 2 104 82 1875𝑡𝑓 Análise do caso básico 0 esforços perfeitos Reações horizontais 𝐻𝐴 0 𝐻𝐵 10000 4 2500𝑡𝑓 𝐻𝐶 0 𝐻𝐷 0 𝐻𝐸 10000 4 2500𝑡𝑓 Reações verticais 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 0 𝑉𝐶 0 𝑉𝐷 0 𝑉𝐸 0 Momentos fletores 𝑀𝐴 0 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 15 104 040 105 50 25 9375𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐷 𝐸𝐼 ℎ 𝛼𝑇 2 104 050 105 30 25 2000𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸 𝐸𝐼 ℎ 𝛼𝑇 3𝐸𝐼 2ℎ 𝛼𝑇 15 104 040 105 50 25 2 104 050 105 30 25 3 104 2 030 105 50 30 𝑀𝐸 9375 2000 10000 2625𝑡𝑓𝑚 Matriz rigidez 𝑘11 20000𝑡𝑓𝑚 𝑘12 5000𝑡𝑓𝑚 𝑘13 2500𝑡𝑓 𝑘14 1875𝑡𝑓 𝑘21 5000𝑡𝑓𝑚 𝑘22 27500𝑡𝑓𝑚 𝑘23 0 𝑘24 1875𝑡𝑓 𝑘31 2500𝑡𝑓 𝑘32 0 𝑘33 83333𝑡𝑓𝑚 𝑘34 0 𝑘41 1875𝑡𝑓 𝑘42 1875𝑡𝑓 𝑘43 0 𝑘44 46875𝑡𝑓𝑚 𝐾 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑘13 𝑘14 𝑘23 𝑘24 𝑘31 𝑘32 𝑘41 𝑘42 𝑘33 𝑘34 𝑘43 𝑘44 20000 5000 5000 27500 2500 1875 0 1875 2500 0 1875 1875 83333 0 0 46875 Vetor dos Deslocamentos 𝐷 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 Vetor das Forças 𝑓 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 2000 2625 0 0 Equação de compatibilidade Forma matricial 𝐾𝐷 𝑓 0 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 𝑘13 𝑘14 𝑘23 𝑘24 𝑘31 𝑘32 𝑘41 𝑘42 𝑘33 𝑘34 𝑘43 𝑘44 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑓4 0 20000 5000 5000 27500 2500 1875 0 1875 2500 0 1875 1875 83333 0 0 46875 𝐷1 𝐷2 𝐷3 𝐷4 2000 2625 0 0 0 Forma sistema de equações 20000𝐷1 5000𝐷2 2500𝐷3 1875𝐷4 2000 0 5000𝐷1 27500𝐷2 1875𝐷4 2625 0 2500𝐷1 83333𝐷3 0 1875𝐷1 1875𝐷2 46875𝐷4 0 Resolvendo o sistema 𝐷1 0000435𝑟𝑎𝑑 𝐷2 0000011𝑟𝑎𝑑 𝐷3 000445𝑚 𝐷4 00018𝑚 Momentos fletores finais 𝑀𝐴 0 5000 0000435 2500 000445 8951𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐵 0 𝑀𝐶 9375 5000 0000011 2500 000445 1875 00018 5321𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐷 2000 20000 0000435 5000 0000011 2500 000445 1875 00018 6777𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝐷 2000 5000 0000435 10000 0000011 1875 00018 0656𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝐶 9375 5000 0000435 10000 0000011 1875 00018 13482𝑡𝑓𝑚 𝑀𝐸𝐵 0656 13482 14138𝑡𝑓𝑚 Reações de apoio finais Reações em A 𝐻𝐴 8951 6777 6 2621𝑡𝑓 𝑉𝐴 6777 0656 8 0929𝑡𝑓 𝑀𝐴 8951𝑡𝑓𝑚 Reações em B 𝐻𝐵 14138 4 3535𝑡𝑓 𝑉𝐵 6777 0656 8 13482 5321 6 0431𝑡𝑓 Reações em C 𝐻𝐶 2621 3535 6156𝑡𝑓 𝑉𝐶 0929 0431 1360𝑡𝑓 𝑀𝐶 5321𝑡𝑓𝑚 Diagrama dos esforços finais Diagrama de esforços normais tf Diagrama de esforços cortantes tf Diagrama de momentos fletores tfm