Análise de Estabilidade Relativa em Sistemas de Controle

19 de janeiro de 2022 PROFESSORA LUDMILA FERREIRA DOS ANJOS Margem de Ganho e Margem de Fase I Aline da Silva Magalhães Agenda de Hoje Assuntos dessa aula Análise de estabilidade relativa Margem de Ganho Margem de Fase Análise de estabilidade relativa No projeto de um sistema de controle exigese que o sistema seja estável Além disso é necessário que o sistema tenha uma estabilidade relativa adequada Nesta aula iremos verificar não apenas quando um sistema é estável mas também qual é o grau de estabilidade de um sistema estável Análise de estabilidade relativa Na discussão a seguir vamos supor que o sistema considerado tenha realimentação unitária É sempre possível reduzir um sistema com elementos de realimentação a um sistema com realimentação unitária Portanto é possível estender a análise de estabilidade relativa do sistema com realimentação unitária a sistemas com realimentação não unitária Análise de estabilidade relativa Vamos supor também que a menos que seja dito o contrário os sistemas sejam de fase mínima Sistemas de fase mínima a função de transferência de malha aberta não possui polos nem zeros no semiplano direito do plano s Análise de estabilidade relativa maior será o máximo sobressinal na resposta transitória ao degrau e maior o tempo de acomodação Análise de estabilidade relativa pelo mapeamento conforme Ogata p 424 As retas de sigma constante no plano s são mapeadas em curvas similares ao diagrama de Nyquist e são de certo modo paralelas ao diagrama de Nyquist como mostra a Figura 763 As retas de w constante no plano s são mapeadas em curvas conforme Figura 763 Análise de estabilidade relativa pelo mapeamento conforme Ogata p 424 Margens de Estabilidade Ogata p 424 Margens de Estabilidade Ogata p 424 Em geral quanto mais próximo o lugar geométrico de G jw chegar do envolvimento do ponto 1 j0 mais oscilatória será a resposta do sistema A proximidade do lugar geométrico G jw do ponto 1 j0 pode ser utilizada como uma medida da margem de estabilidade Isso não se aplica entretanto aos sistemas condicionalmente estáveis É prática comum representar a proximidade em termos de margem de fase e margem de ganho Margens de Estabilidade Ogata p 424 Devese notar que variações de ganho preservam a forma do diagrama de Nyquist alterando apenas suas dimensões Considerando a Figura ao aumentarmos o ganho do sistema o ponto A caminha para a esquerda sobre o eixo real negativo Se o ganho chegar a MG o ponto A estará exatamente sobre o ponto crítico 1 j0 e o sistema estará na iminência de perder a estabilidade Margem de fase é o ângulo de atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho ωcg necessária para que o sistema atinja o limiar de estabilidade A frequência de cruzamento de ganho ωcg é a frequência na qual o módulo da FTMA for unitário ou 0 dB ie Gjωcg 1 ou GjωcgdB 0 dB Assim a MF é determinada como MF 180 φ onde MF é a margem de fase φ Gjωcg é o ângulo de fase da FTMA de cruzamento de ganho Margem de ganho é o recíproco do módulo Gjω na frequência em que o ângulo é 180 Definamos a frequência de cruzamento de fase ωcf como a frequência em que o ângulo de fase da FTMA é igual a 180 resulta na margem de ganho MG MG 1Gjωcf MGdB 20 log₁₀ MG 20 log₁₀Gjωcf MGdB 0 se MG 1 MGdB 0 se MG 1 MGdB 0 significa que o sistema é estável MGdB 0 significa que o sistema é instável Margens de Estabilidade Nos diagramas logarítmicos o ponto crítico 1j0 no plano complexo corresponde às retas 0 dB e 180º Margens de Estabilidade Margens de Estabilidade MG 1Kg MG 105 MG 2 Módulo Kg Alguns Comentários sobre Margens de Estabilidade Alguns Comentários sobre Margens de Estabilidade Alguns Comentários sobre Margens de Estabilidade Gs 1ss 1² Exemplo 1 MG MF 1 1 180 MG 2 MG 20 log 2 MG 602 dB Gs 1ss 1² Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4ª Edição 2003 PrenticeHall OGATA 2003 DORF RC BISHOP RH Sistemas de Controle Modernos Rio de Janeiro 11ª Ed LTC 2009