Circuitos Elétricos - James W. Nilsson e Susan A. Riedel

ISBN 9788543004785 9788543004785 Engenharia l o j a p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint e manual de soluções em inglês e para estudantes manuais de introdução ao PSpice e ao Multisim em inglês Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site CIRCUITOS ELÉTRICOS CIRCUITOS ELÉTRICOS CIRCUITOS ELÉTRICOS JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL Com destaque em sua proposta didática esta obra explora tanto os temas fundamentais quanto os mais avançados sobre circuitos elétricos Esta edição traz novos exemplos e exercícios totalizando mais de 1650 problemas de fi nal de capítulo e cerca de 150 exem plos ao longo do livro Circuitos elétricos conta também com problemas de perspectiva prática que interligam o tema central de cada capítulo com a realidade Voltado para estudantes de engenharia elétrica eletrônica da computação de teleco municação e de controle de automação Circuitos elétricos une teoria e prática para ga rantir o sucesso do futuro profi ssional de engenharia JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL 10 a EDIÇÃO 10 a EDIÇÃO 10 a EDIÇÃO CVRNILS478510CVRindd All Pages 15022016 115148 CirCuitos elétriCos James W NilssoN susaN a Riedel 10a edição Book Nilsson 1indb 1 290116 1207 Book Nilsson 1indb 2 290116 1207 James W Nilsson Professor Emérito da Iowa State University Susan A Riedel Marquette University Tradução Sonia Midori Yamamoto Revisão técnica Prof Dr Antônio Emílio Angueth de Araújo PhD Prof Dr Ivan José da Silva Lopes PhD Professores do Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais UFMG CirCuitos elétriCos James W NilssoN susaN a Riedel 10a edição Book Nilsson 1indb 3 290116 1207 2016 by Pearson Education do Brasil Ltda Copyright 2015 2008 2005 by Pearson Education Inc Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Nilsson James W Circuitos elétricos James W Nilsson Susan A Riedel tradução Sonia Midori Yamamoto revisão técnica Antônio Emílio Angueth de Araújo Ivan José da Silva Lopes 10 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 Título original Eletric circuits Bibliografia ISBN 9788543018126 1 Circuitos elétricos Estudo e ensino I Riedel Susan A II Título 1510683 CDD621319207 Índice para catálogo sistemático 1 Circuitos elétricos Engenharia elétrica Estudo e ensino 621319207 2016 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Avenida Santa Marina 1193 CEP 05036001 São Paulo SP Brasil Fone 11 38213542 vendaspearsoncom Gerente editorial Thiago Anacleto Supervisora de produção editorial Silvana Afonso Coordenador de produção editorial Jean Xavier Editor de aquisições Vinícius Souza Editor de texto Luiz Salla Editores assistentes Marcos Guimarães e Karina Ono Preparação Renata Truyts Revisão de texto Pedro Santana Capa Adaptada por Solange Rennó Projeto gráfico e diagramação Casa de Ideias Book Nilsson 1indb 4 290116 1207 Para Anna Book Nilsson 1indb 5 290116 1207 Book Nilsson 1indb 6 290116 1207 Sumário Capítulo 1 Variáveis de circuitos 1 Perspectiva prática Equilíbrio de potência 2 11 Engenharia elétrica uma visão geral 2 12 O Sistema Internacional de Unidades 8 13 Análise de circuitos uma visão geral 10 14 Tensão e corrente 11 15 O elemento básico ideal de circuito 12 16 Potência e energia 15 Perspectiva prática Equilíbrio de potência 18 Resumo 19 Problemas 20 Capítulo 2 Elementos de circuitos 26 Perspectiva prática Aquecimento com radiadores elétricos 27 21 Fontes de tensão e corrente 27 22 Resistência elétrica lei de Ohm 31 23 Construção de um modelo de circuito 35 24 Leis de Kirchhoff 38 25 Análise de um circuito que contém fontes dependentes 44 Perspectiva prática Aquecimento com radiadores elétricos 48 Resumo 50 Problemas 51 Capítulo 3 Circuitos resistivos simples 59 Perspectiva prática Telas touch resistivas 60 31 Resistores em série 61 32 Resistores em paralelo 62 33 Circuitos divisores de tensão e de corrente 64 34 Divisão de tensão e de corrente 68 35 Medição de tensão e corrente 70 36 Medição de resistência a ponte de Wheatstone 74 37 Circuitos equivalentes triângulo estrela DY ou pitê pT 76 Perspectiva prática Telas touch resistivas 78 Resumo 79 Problemas 80 Capítulo 4 Técnicas de análise de circuitos 94 Perspectiva prática Circuitos com resistores reais 95 41 Terminologia 96 42 Introdução ao método das tensões de nó 99 43 O método das tensões de nó e as fontes dependentes 102 44 O método das tensões de nó alguns casos especiais 103 45 Introdução ao método das correntes de malha 107 46 O método das correntes de malha e as fontes dependentes 110 47 O método das correntes de malha alguns casos especiais 112 48 Método das tensões de nó versus método das correntes de malha 115 49 Transformações de fonte 119 410 Equivalentes de Thévenin e Norton 123 411 Outros métodos para a obtenção de um equivalente de Thévenin 128 412 Máxima transferência de potência 131 413 Superposição 133 Perspectiva prática Circuitos com resistores reais 136 Resumo 140 Problemas 141 Capítulo 5 O amplifi cador operacional 157 Perspectiva prática Extensômetros 158 51 Terminais do amplifi cador operacional 159 52 Tensões e correntes terminais 160 53 Circuito amplifi cador inversor 164 54 Circuito amplifi cador somador 166 55 Circuito amplifi cador não inversor 167 56 Circuito amplifi cador diferencial 169 57 Modelo mais realista para o amplifi cador operacional 174 Perspectiva prática Extensômetros 177 Book Nilsson 1indb 7 290116 1207 Resumo 178 Problemas 179 Capítulo 6 Indutância capacitância e indutância mútua 189 Perspectiva prática Telas touch capacitivas 190 61 Indutor 191 62 Capacitor 197 63 Combinações de indutância e capacitância em série e em paralelo 202 64 Indutância mútua 205 65 Um exame mais detalhado da indutância mútua 210 Perspectiva prática Telas touch capacitivas 217 Resumo 218 Problemas 219 Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 231 Perspectiva prática Marcapasso cardíaco artificial 232 71 Resposta natural de um circuito RL 233 72 Resposta natural de um circuito RC 240 73 Resposta a um degrau de circuitos RL e RC 244 74 Solução geral para respostas a um degrau e natural 251 75 Chaveamento sequencial 259 76 Resposta indefinidamente crescente 264 77 Amplificadorintegrador 265 Perspectiva prática Marcapasso cardíaco artificial 269 Resumo 270 Problemas 271 Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 290 Perspectiva prática Sincronização do relógio do computador 291 81 Introdução à resposta natural de um circuito RLC em paralelo 292 82 Formas de resposta natural de um circuito RLC em paralelo 297 83 Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo 308 84 Respostas natural e a um degrau de um circuito RLC em série 315 85 Circuitos com dois amplificadoresintegradores 320 Perspectiva prática Sincronização do relógio do computador 325 Resumo 326 Problemas 328 Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 337 Perspectiva prática Um circuito de distribuição residencial 338 91 Fonte senoidal 339 92 Resposta senoidal 343 93 O conceito de fasor 344 94 Elementos passivos no domínio da frequência 349 95 As leis de Kirchhoff no domínio da frequência 352 96 Associações em série em paralelo e transformações DY 354 97 Transformações de fonte e circuitos equivalentes de ThéveninNorton 362 98 O método das tensões de nó 366 99 O método das correntes de malha 368 910 O transformador 369 911 O transformador ideal 374 912 Diagramas fasoriais 380 Perspectiva prática Um circuito de distribuição residencial 383 Resumo 384 Problemas 385 Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 400 Perspectiva prática Energia vampira 401 101 Potência instantânea 402 102 Potência média e potência reativa 403 103 Valor eficaz e cálculos de potência 409 104 Potência complexa 411 105 Cálculos de potência 414 106 Máxima transferência de potência 422 Perspectiva prática Energia vampira 430 Resumo 431 Problemas 432 Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 445 Perspectiva prática Transmissão e distribuição de energia elétrica 446 Circuitos elétricos VIII Book Nilsson 1indb 8 290116 1208 111 Tensões trifásicas equilibradas 446 112 Fontes de tensão trifásicas 448 113 Análise do circuito YY 449 114 Análise do circuito YD 456 115 Cálculos de potência em circuitos trifásicos equilibrados 460 116 Medição de potência média em circuitos trifásicos 466 Perspectiva prática Transmissão e distribuição de energia elétrica 470 Resumo 471 Problemas 472 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 481 Perspectiva prática Efeitos transitórios 482 121 Definição da transformada de Laplace 483 122 A função degrau 484 123 A função impulso 486 124 Transformadas funcionais 489 125 Transformadas operacionais 491 126 Uma aplicação da transformada de Laplace 496 127 Transformadas inversas 497 128 Polos e zeros de Fs 507 129 Teoremas do valor inicial e do valor final 508 Perspectiva prática Efeitos transitórios 511 Resumo 512 Problemas 513 Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 520 Perspectiva prática Supressores de surto 521 131 Elementos de circuito no domínio da frequência 522 132 Análise de circuitos no domínio da frequência 524 133 Exemplos 526 134 Função de transferência 539 135 Função de transferência em expansões por frações parciais 542 136 Função de transferência e integral de convolução 545 137 Função de transferência e resposta de regime permanente senoidal 551 138 Função impulso em análise de circuitos 554 Perspectiva prática Supressores de surto 561 Resumo 562 Problemas 563 Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 580 Perspectiva prática Circuitos de telefone de teclas 581 141 Observações preliminares 582 142 Filtros passabaixas 584 143 Filtros passaaltas 592 144 Filtros passafaixa 597 145 Filtros rejeitafaixa 609 Perspectiva prática Circuitos de telefone de teclas 614 Resumo 615 Problemas 616 Capítulo 15 Filtros ativos 625 Perspectiva prática Controle de volume de graves 626 151 Filtros ativos passabaixas e passa altas de primeira ordem 627 152 Mudança de escala 632 153 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa 634 154 Filtros ativos de ordem superior 642 155 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa de banda estreita 657 Perspectiva prática Controle de volume de graves 662 Resumo 665 Problemas 666 Capítulo 16 Séries de Fourier 678 Perspectiva prática Filtros ativos de alto Q 680 161 Séries de Fourier uma visão geral 680 162 Coeficientes de Fourier 681 163 Efeito da simetria sobre os coeficientes de Fourier 685 164 Forma trigonométrica alternativa da série de Fourier 691 165 Exemplo de aplicação 693 166 Cálculos de potência média de funções periódicas 699 167 Valor eficaz de uma função periódica 702 168 Forma exponencial da série de Fourier 703 169 Espectros de amplitude e de fase 706 Perspectiva prática Filtros ativos de alto Q 709 Resumo 711 Problemas 712 Sumário IX Book Nilsson 1indb 9 290116 1208 Capítulo 17 A transformada de Fourier 723 Perspectiva prática Filtragem digital de sinais 724 171 Dedução da transformada de Fourier 724 172 Convergência da integral de Fourier 726 173 Uso de transformadas de Laplace para calcular transformadas de Fourier 728 174 Uso de limites para calcular transformadas de Fourier 731 175 Algumas propriedades matemáticas 733 176 Transformadas operacionais 735 177 Aplicações em análise de circuitos 739 178 Teorema de Parseval 742 Perspectiva prática Filtro de sinais digitais 750 Resumo 751 Problemas 751 Capítulo 18 Quadripolos 757 Perspectiva prática Caracterizando um circuito desconhecido 758 181 Equações terminais 758 182 Parâmetros do quadripolo 759 183 Análise de quadripolos com carga em seus terminais 769 184 Interconexão de quadripolos 775 Perspectiva prática Caracterizando um circuito desconhecido 779 Resumo 779 Problemas 780 apÊndiCe a Solução de equações lineares simultâneas 787 A1 Etapas preliminares 787 A2 Método de Cramer 788 A3 O determinante característico 788 A4 O determinante do numerador 788 A5 O valor de um determinante 789 A6 Matrizes 791 A7 Álgebra matricial 792 A8 Matriz identidade matriz adjunta e matriz inversa 795 A9 Partição matricial 798 A10 Aplicações 800 apÊndiCe B Números complexos 809 B1 Notação 809 B2 Representação gráfi ca dos números complexos 810 B3 Operações aritméticas 811 B4 Identidades úteis 812 B5 Potências inteiras de um número complexo 813 B6 Raízes de um número complexo 813 apÊndiCe C Tópicos adicionais sobre enrolamentos magneticamente acoplados 815 C1 Circuitos equivalentes para enrolamentos magneticamente acoplados 815 C2 A necessidade do uso de transformadores ideais em circuitos equivalentes 819 apÊndiCe d O decibel 823 apÊndiCe e Diagramas de Bode 825 E1 Polos e zeros reais de primeira ordem 825 E2 Gráfi cos de linha reta para amplitude 826 E3 Gráfi cos de amplitude mais precisos 830 E4 Gráfi cos de ângulo de fase de linha reta 831 E5 Diagramas de Bode polos e zeros complexos 833 E6 Gráfi cos de amplitude 835 E7 Correção de gráfi cos de linha reta para amplitude 835 E8 Gráfi cos de fase 839 apÊndiCe F Tabela resumida de identidades trigonométricas 843 apÊndiCe g Tabela resumida de integrais 844 apÊndiCe H Valores padrão mais comuns de componentes 846 Respostas dos problemas selecionados 847 Índice remissivo 857 Circuitos elétricos X Book Nilsson 1indb 10 290116 1208 Prefácio A primeira edição de Circuitos elétricos um livro de introdução aos circuitos foi publi cada em 1983 contendo 100 exemplos práticos e cerca de 600 problemas Não incluía um livro de exercícios do aluno nem suplementos para PSpice ou MultiSim nem o apoio da internet O suporte aos professores limitavase a um manual de solução dos problemas e cópias ampliadas de várias fi guras adequadas para fazer transparências Muita coisa mudou nos 31 anos que se passaram desde o lançamento de Circuitos elé tricos nesse período este livro evoluiu para atender melhor às necessidades tanto de alunos quanto de seus professores Por exemplo agora estão incluídos cerca de 150 exemplos e 1650 problemas além de uma gama de suplementos e conteúdo web A décima edição destinase a revisar e melhorar o material apresentado no livro em seus suplementos e na internet Toda via seus objetivos fundamentais permanecem inalterados Desenvolver a assimilação de conceitos e ideias explicitamente com base em aprendiza gem anterior Os alunos são desafi ados constantemente pela necessidade de acumular novos conceitos sobre os já adquiridos mas que ainda podem estar tentando dominar Este livro adota como foco essencial ajudar os alunos a compreender a interrelação e o grau de dependência entre os novos conceitos e os previamente apresentados Enfatizar a relação entre compreensão conceitual e métodos de resolução de problemas Desenvolver habilidades para solucionar problemas continua a ser o principal desafi o no pri meiro ano de um curso de circuitos Neste livro incluímos vários Exemplos que apresentam técnicas de resolução de problemas seguidos por Problemas para avaliação que permitem aos alunos testar seu domínio do material e das técnicas introduzidas O processo de resolu ção de problemas que ilustramos é baseado em conceitos em vez de procedimentos mecâ nicos Assim estimulamos os alunos a refl etir sobre um problema antes de tentar resolvêlo Proporcionar aos alunos uma base sólida de práticas de engenharia No primeiro ano de um curso de análise de circuitos são limitadas as oportunidades de apresentar aos alunos experiências realistas de engenharia Continuamos a recorrer a situações da vida real incluindo problemas e exemplos que usam valores realistas de componentes e repre sentam circuitos factíveis Incluímos muitos problemas relacionados com os da seção de Perspectiva prática que abrem cada capítulo Também incluímos problemas destinados a estimular o interesse dos alunos na engenharia problemas esses que requerem o tipo de visão característica de um engenheiro em atividade por Que esta ediÇÃo A revisão da décima edição de Circuitos elétricos começou com um exame criterioso do livro e resultou em uma imagem clara do que mais importa para professores e alunos levando às seguintes alterações A solução de problemas é fundamental para o estudo da análise de circuitos Ter fartura de novos problemas a resolver é a chave do sucesso de qualquer curso sobre circuitos Book Nilsson 1indb 11 290116 1208 Por isso os problemas de final de capítulo que já existiam foram revistos e acrescidos de novos Como resultado mais de 40 dos problemas aparecem pela primeira vez na décima edição do livro Tanto alunos quanto professores querem saber como as técnicas gerais apresentadas em um curso de análise de circuitos estão relacionadas com as questões enfrentadas por engenhei ros na prática Os problemas da seção de Perspectiva prática fornecem essa conexão entre a análise de circuitos e o mundo real e criamos um novo conjunto deles para os capítulos 2 3 6 7 8 e 10 Muitos desses representam o mundo do século XXI Cada problema de Perspectiva prática é resolvido ao menos em parte no final do capítulo e outros podem ser passados aos alunos para que explorem mais a fundo o tópico da Perspectiva prática Os manuais PSpice e Multisim foram revisados de modo a incluir imagens de telas das versões mais recentes desses aplicativos de software para simulação Cada manual apre senta o material de simulação na mesma ordem em que ele é apresentado no livro Esses manuais continuam a incluir exemplos de circuitos a serem simulados que são extraídos diretamente do livro Continuamos a assinalar os problemas de final de capítulo que são bons candidatos à simulação utilizando PSpice ou Multisim CaraCterístiCas prinCipais Problemas Os leitores de Circuitos elétricos têm avaliado a seção de problemas como uma das principais características do livro Na décima edição há mais de 1650 problemas de final de capítulo dos quais 40 são novos Os problemas foram organizados em seções ao final de cada capítulo Perspectiva prática A décima edição mantém a seção Perspectiva prática introduzida com as vinhetas de abertura dos capítulos Essas perspectivas oferecem exemplos de circuitos reais baseados em dispositivos existentes Em alguns capítulos a Perspectiva prática é nova na edição Cada capítulo começa com uma breve descrição de uma aplicação prática do material que se segue Encerrada a apresentação do material do capítulo há uma análise quantitativa da aplicação Um conjunto de problemas de final de capítulo está diretamente relacionado com a aplicação da Perspectiva prática Resolver alguns desses problemas permite aos alu nos compreender como aplicar o conteúdo dos capítulos à solução de um problema do mundo real Problemas para avaliação Cada capítulo começa com uma lista de objetivos Em pontoschave o aluno é convidado a avaliar seu domínio de determinado objetivo mediante a resolução de um ou mais proble mas para avaliação As respostas a esses problemas são apresentadas na conclusão de cada um assim podese conferir o resultado Quem conseguir resolver os problemas para um dado objetivo terá dominado o objetivo em questão Para quem precisar de mais prática vários pro blemas de final de capítulo que se relacionam com o objetivo são sugeridos na conclusão dos Problemas para avaliação Circuitos elétricos XII Book Nilsson 1indb 12 290116 1208 Exemplos Cada capítulo inclui muitos exemplos que ilustram os conceitos apresentados no texto sob a forma de um exemplo numérico Há quase 150 exemplos no livro cujo objetivo é ilus trar a aplicação de determinado conceito e também estimular as habilidades dos alunos para resolução de problemas Equações e conceitos fundamentais Por todo o livro o aluno vai encontrar equações e conceitos fundamentais destacados do texto principal Isso ocorre para ajudálo a se concentrar em alguns dos princípios fundamen tais em circuitos elétricos e facilitar sua consulta a tópicos importantes Integração de ferramentas de apoio Ferramentas computacionais podem auxiliar os alunos no processo de aprendizagem for necendo uma representação visual do comportamento de um circuito validando uma solução calculada reduzindo a carga de cálculo em circuitos mais complexos e levando à solução dese jada por meio da variação de parâmetros Esse tipo de apoio normalmente tem valor inesti mável no processo A décima edição inclui os suportes de PSpice e Multisim ambas ferra mentas muito conhecidas para simulação e análise de circuitos Os problemas dos capítulos adequados à exploração com PSpice e Multisim estão devidamente assinalados Ênfase em projeto A décima edição continua a enfatizar o projeto de circuitos de várias maneiras Em primeiro lugar muitas das discussões na seção Perspectiva prática concentramse nos aspectos de projeto de circuitos Os problemas referentes a esse tópico dão continuidade à discussão por meio de exem plos práticos Em segundo os problemas de projeto foram explicitamente identificados permitindo a alunos e professores identificar esses problemas com foco no projeto Em terceiro lugar a iden tificação de problemas adequados à exploração com PSpice ou Multisim sugere oportunidades de projeto usandose essas ferramentas de software Em quarto lugar alguns problemas em quase todos os capítulos enfocam o uso de valores de componentes realistas para obter um projeto de circuito desejado Uma vez analisado tal problema o aluno pode seguir para um laboratório para construir e testar o circuito comparando a análise com o desempenho medido do circuito real Exatidão Todo o texto e os problemas na décima edição foram submetidos a nossa marca registrada de processo de verificação de exatidão para garantir um livro com um mínimo possível de erros Apêndices Há vários apêndices no final do livro para ajudar os alunos a fazer uso efetivo de sua base matemática O Apêndice A analisa o método de Cramer de resolução de equações lineares e álgebra matricial simples os números complexos são examinados no Apêndice B o Apên dice C contém material adicional sobre enrolamentos magneticamente acoplados e transfor madores ideais o Apêndice D contém uma breve discussão sobre o decibel o Apêndice E é dedicado aos diagramas de Bode e o Apêndice F a uma tabela resumida de identidades Prefácio XIII Book Nilsson 1indb 13 290116 1208 trigonométricas que são úteis na análise de circuitos e uma tabela resumida de integrais úteis é dada no Apêndice G O Apêndice H fornece uma tabela de valores padrão mais comuns de componentes para resistores indutores e capacitores para ser utilizada na resolução de diver sos problemas de final de capítulo A seção de respostas selecionadas fornece respostas para problemas selecionados de final de capítulo Material adiCional Na sala virtual deste livro svpearsoncombr professores e estudantes podem acessar os seguintes materiais adicionais a qualquer momento Para professores Apresentações em PowerPoint Manual de soluções em inglês Para estudantes Manual de introdução ao PSpice em inglês Manual de introdução ao Multisim em inglês agradeCiMentos Há muitas pessoas esforçadas nos bastidores de nossa editora que merecem nossa gra tidão pelo empenho dedicado a esta décima edição Na Pearson gostaríamos de agradecer a Andrew Gilfillan Rose Kernan Gregory Dulles Tim Galligan e Scott Disanno por seu contí nuo apoio e incentivo sua conduta profissional sua disposição em ouvir e seus meses de longas horas sem fim de semana Os autores também agradecem à equipe da Integra Software Solu tions por sua dedicação e trabalho árduo na composição deste livro Os agradecimentos são extensivos a Kurt Norlin por sua ajuda na conferência do texto e dos problemas Somos muito gratos pelos diversos professores e alunos que fizeram revisões formais do livro ou ofereceram feedback positivo e sugestões de melhoria de modo mais informal Temos prazer em receber emails de professores e alunos que usam o livro mesmo quando apontam um erro que nos escapou no processo de revisão Fomos contatados por pessoas que usam nosso livro em todo o mundo e agradecemos a todos por se darem a esse trabalho Usamos o máximo possível de suas sugestões para continuar a melhorar o conteúdo a pedagogia e a apresentação da obra Somos privilegiados em ter a oportunidade de impactar a experiência educacional dos muitos milhares de futuros engenheiros que vão utilizar este livro James W Nilsson Susan A Riedel Esse material é de uso exclusivo para professores e está prote gido por senha Para ter acesso a ele os professores que ado tam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para ensinosuperiorpearsoncom Circuitos elétricos XIV Book Nilsson 1indb 14 290116 1208 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 11 Engenharia elétrica uma visão geral 12 O Sistema Internacional de Unidades 13 Análise de circuitos uma visão geral 14 Tensão e corrente 15 O elemento básico ideal de circuito 16 Potência e energia Variáveis de circuitos 1 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Entender e saber utilizar as unidades do SI e os prefi xos padronizados para potências de 10 2 Conhecer e saber utilizar as defi nições de tensão e corrente 3 Conhecer e saber utilizar as defi nições de potência e energia 4 Saber utilizar a convenção passiva de sinal a fi m de calcular a potência para um elemento básico ideal de circuito dadas sua tensão e corrente A profi ssão de engenheiro eletricista é empolgante e desafi adora para quem se interessa por ciências e matemática aplicadas e tem a aptidão adequada Nos últimos 150 anos engenheiros eletricistas desempenharam um papel dominante no desenvolvimento de sistemas que mudaram o modo como as pessoas vivem e trabalham Sistemas de comunicação por satélite telefones computadores digitais televisores equipamentos médicos cirúr gicos e de diagnóstico robôs de linhas de montagem e ferramentas elétricas são componentes representativos de sistemas que defi nem uma sociedade tecnológica moderna Como engenheiro eletricista você poderá participar dessa revolução tecnológica em curso melhorando e refi nando sistemas existentes e descobrindo e desenvolvendo novos sistemas para atender às necessidades de uma sociedade em constante transformação Ao iniciar o estudo de análise de circuitos você deve ter noção do lugar que esse estudo ocupa na hierarquia de tópicos que compreendem uma introdução à engenharia elétrica Por essa razão começaremos apresentando uma visão geral da engenharia elétrica e algumas ideias sobre um ponto de vista de engenharia relacionado com a análise de circuitos além de uma revisão do Sistema Internacional de Unidades Em seguida vamos descrever em que consiste de modo geral a análise de circuitos e apresentaremos os conceitos de tensão e corrente Discutiremos ainda um elemento básico ideal e a necessidade de um sistema de referência de pola ridade Por fi m concluiremos o capítulo descrevendo como corrente e tensão estão relacionadas com potência e energia Book Nilsson 1indb 1 290116 1208 perspectiva prática equilíbrio de potência Uma das habilidades mais importantes que você vai desenvolver é a capacidade de conferir suas respostas para os circuitos que projetar e fazer sua análise usando as ferramentas desenvolvidas neste texto Um método comumente utilizado para verificar a validade das respostas consiste em equilibrar a potência no circuito Os circuitos lineares que estudamos não têm nenhuma potência líquida de modo que a soma das potências associadas a cada componente do circuito deve ser igual a zero Se a potência total para o circuito for igual a zero dizemos que ela está equilibrada contudo se for diferente de zero precisamos encontrar os erros no cálculo Como exemplo vamos analisar um modelo muito simples de distribuição de ener gia elétrica a uma residência como mostramos a seguir Um modelo mais realista será examinado na Perspectiva prática do Capítulo 9 Os componentes a e b representam a fonte de energia elétrica para a casa Os componentes c d e e representam os fios que transportam a corrente elétrica da fonte para os dispositivos na casa que necessitam de potência elétrica Os componentes f g e h representam lâmpadas televisores secadores de cabelo geladeiras e outros aparelhos que funcionam à base de eletricidade Após introduzirmos os conceitos de tensão corrente potência e energia vamos examinar detalhadamente esse modelo de circuito e utilizar o equilíbrio de potência para determinar se os resultados da análise desse circuito estão corretos a b c e h d f g 11 Engenharia elétrica uma visão geral O engenheiro eletricista é o profissional que se ocupa com sistemas que produzem transmitem e medem sinais elétricos A engenharia elétrica combina os modelos de fenôme nos naturais desenvolvidos pelos físicos com as ferramentas dos matemáticos no sentido de produzir sistemas que atendam a necessidades práticas Sistemas elétricos estão presentes romakomaShutterstock Elena ElisseevaAlomy Circuitos elétricos 2 Book Nilsson 1indb 2 290116 1208 em todos os aspectos da vida são encontrados em lares escolas locais de trabalho e meios de transporte espalhados por toda a parte Começaremos por apresentar alguns exemplos de cada uma das cinco principais classificações de sistemas elétricos a saber sistemas de comunicação sistemas de computação sistemas de controle sistemas de potência sistemas de processamento de sinais Em seguida descreveremos como os engenheiros eletricistas analisam e projetam tais sistemas Sistemas de comunicação são sistemas elétricos que geram transmitem e distribuem informações Entre os exemplos mais conhecidos estão equipamentos de televisão como câmeras transmissores receptores e aparelhos de DVD radiotelescópios usados para explo rar o universo sistemas de satélites que captam e transmitem imagens de outros planetas e do nosso sistemas de radar utilizados para controle de tráfego aéreo e sistemas de telefonia A Figura 11 representa os principais componentes de um sistema telefônico moderno Começando pelo lado inferior esquerdo da figura um microfone instalado dentro de um apare lho telefônico transforma ondas sonoras em sinais elétricos Esses sinais são transportados até uma central de comutação onde são combinados com os sinais de dezenas centenas ou milha res de outros telefones Os sinais combinados saem da cen tral de comutação e a forma como isso se dá depende da distância a ser percorrida Em nosso exemplo tais sinais são enviados por fios dentro de cabos coaxiais subterrâ neos até uma estação de transmissão de microondas Ali eles são transformados em frequências de microondas e transmitidos a partir de uma antena transmissora pelo ar e pelo espaço passando por um satélite de comunicações até uma antena receptora A estação receptora de micro ondas transforma os sinais de forma a adequálos a uma transmissão posterior talvez em pulsos de luz para serem enviados por cabos de fibra óptica Ao chegarem à segunda central de comutação os sinais combinados são separa dos e cada um é dirigido para o telefone apropriado no qual um fone de ouvido atua como um altofalante a fim de reconverter os sinais elétricos em ondas sonoras Em cada estágio do processo circuitos elétricos atuam sobre os sinais Imagine o desafio envolvido em projetar cons truir e operar cada circuito de modo a garantir que todas as centenas de milhares de telefonemas simultâneos tenham conexões de alta qualidade Os sistemas de computação usam sinais elétricos para processar informações desde palavras até cálculos matemáticos O tamanho e a potência desses sistemas abrangem desde calculadoras de bolso e computadores pessoais até supercomputadores que executam tarefas complexas como o processamento de dados meteoroló gicos e a modelagem de interações químicas de moléculas Figura 11 Sistema de telefonia Microfone Central de comutação Fio Cabo Cabo de fibra óptica Estação de microondas Antena transmissora Antena receptora Satélite de comunicação Telefone Telefone Cabo coaxial Capítulo 1 Variáveis de circuitos 3 Book Nilsson 1indb 3 290116 1208 orgânicas complexas Entre esses sistemas citamos as redes de microcircuitos ou circuitos integrados conjuntos de centenas milhares ou milhões de componentes elétricos monta dos sobre uma base do tamanho de um selo postal que muitas vezes funcionam em níveis de velocidade e potência próximos dos limites da física fundamental incluindo a velocidade da luz e as leis da termodinâmica Os sistemas de controle utilizam os sinais elétricos para regular processos Como exem plos citamos o controle de temperaturas pressões e velocidades de escoamento em uma refi naria de petróleo a mistura combustívelar no sistema eletrônico de injeção de um motor de automóvel mecanismos como os motores as portas e as luzes dos elevadores e as comportas do Canal do Panamá Os sistemas de piloto automático e aterrissagem por instrumentos que ajudam aviões a voar e aterrissar também são sistemas de controle conhecidos Os sistemas de potência geram e distribuem energia elétrica Esta que é a base de nossa sociedade altamente tecnológica é produzida normalmente em grandes quantidades por geradores nucleares hidrelétricos e térmicos a carvão a óleo e a gás e distribuída por uma rede de condutores que cruzam o país O maior desafio de projetar e operar esse tipo de sis tema é prover redundância e controle suficientes de modo que se qualquer parte do equipa mento falhar isso não deixará uma cidade um estado ou uma região completamente sem eletricidade Os sistemas de processamento de sinais atuam sobre sinais elétri cos que representam informações Eles convertem os sinais e a informa ção neles contida a uma forma mais adequada Há diversas maneiras de processar sinais e suas informações Por exemplo sistemas de processa mento de imagens coletam quantidade substancial de dados de satélites meteorológicos orbitais reduzem esse volume a um nível administrável e transformam os dados restantes em uma imagem de vídeo que será apresentada no telejornal da noite Uma tomografia computadorizada TC é outro exemplo de sistema de processamento de imagens Esse equipamento usa sinais gerados por uma máquina especial de raios X e transformaos em uma imagem como a da Figura 12 Embora os sinais originais de raios X sejam de pouca utilidade para um médico uma vez processados em uma imagem reconhecível as informações ali contidas podem ser utilizadas para diagnosticar doenças e lesões Há uma grande interação entre as disciplinas da engenharia envol vidas no projeto e na operação dessas cinco classes de sistemas Assim engenheiros de comunicação usam computadores digitais para contro lar o fluxo de informações Computadores contêm sistemas de controle e sistemas de controle contêm computadores Sistemas de potência requerem extensos sistemas de comunicação para coordenar com segu rança e confiabilidade a operação de componentes que podem estar dispersos por todo um continente Um sistema de processamento de sinais pode envolver um sistema de comunicações um computador e um sistema de controle Um bom exemplo da interação entre sistemas é um avião comer cial como o mostrado na Figura 13 Um sofisticado sistema de comuni cações possibilita ao piloto e ao controlador de tráfego aéreo monito rar a localização da aeronave permitindo que o controlador determine uma rota de voo segura para todas as aeronaves próximas habilitando o Figura 12 Tomografia computadorizada do crânio de um adulto Figura 13 Um avião comercial Circuitos elétricos 4 Book Nilsson 1indb 4 290116 1208 piloto a manter o avião na rota designada Nos aviões comerciais mais modernos um sistema de computador de bordo é usado para gerenciar funções do motor implementar os sistemas de controle de navegação e de voo e gerar telas de informação em vídeo na cabine Um com plexo sistema de controle utiliza comandos de cabine para ajustar a posição e a velocidade do avião produzindo os sinais adequados para motores e superfícies de controle como os flaps das asas ailerons e leme visando a assegurar que a aeronave permaneça no ar com segurança e na rota desejada A aeronave deve ter seu próprio sistema de fornecimento de eletricidade para se sustentar no ar e gerar e distribuir a energia elétrica necessária para manter acesas as luzes da cabine fazer café e exibir filmes Sistemas de processamento de sinais reduzem o ruído nas comunicações de tráfego aéreo e convertem informações sobre a localização do avião em imagens mais significativas em uma tela de vídeo na cabine São muitos os desafios de engenharia envolvidos no projeto de cada um desses sistemas e em sua integração coerente como um todo Por exemplo eles devem operar em condições ambientais muito variáveis e imprevisíveis Talvez o desafio de engenharia mais importante seja garantir que os projetos incorporem redundância suficiente para assegurar que os passageiros cheguem com segurança e na hora certa aos destinos desejados Embora o interesse primordial dos engenheiros eletricistas possa se limitar a uma área específica eles também precisam conhecer outras áreas que interagem com a de seu interesse Essa interação é um dos fatores que torna a engenharia elétrica uma profissão desafiadora e estimulante A ênfase da engenharia está em fazer as coisas funcionarem de modo que um engenheiro tem a liberdade de aprender e utilizar qualquer técnica de qualquer campo que ajude a realizar um trabalho bem feito Teoria de circuitos Em um campo tão vasto quanto o da engenharia elétrica alguém pode cogitar se todas as ramificações dessa área têm algo em comum A resposta é sim os circuitos elétricos Um circuito elétrico é um modelo matemático que se comporta de modo similar ao de um sistema elétrico real Como tal proporciona uma importante fundamentação para o aprendizado nos cursos que você fará mais tarde e também em sua prática de engenharia dos detalhes de como projetar e operar sistemas como os que acabamos de descrever Os modelos as técnicas matemáticas e a linguagem da teoria de circuitos vão formar a estrutura intelectual de suas futuras iniciativas na engenharia Observase que o termo circuito elétrico costuma ser utilizado em referência a um sistema elétrico propriamente dito bem como ao modelo que o representa Neste livro ao falarmos de um circuito elétrico estaremos sempre nos referindo a um modelo a menos que seja especi ficado o contrário É o aspecto de modelagem da teoria de circuitos que tem ampla aplicação em todas as disciplinas da engenharia A teoria de circuitos é um caso especial da teoria eletromagnética o estudo de cargas elétricas estáticas e em movimento Embora a teoria geral do campo seja aparentemente um ponto de partida adequado para investigar sinais elétricos sua aplicação além de ser compli cada requer cálculos de matemática avançada Por conseguinte um curso de teoria eletromag nética não é prérequisito para se entender o material apresentado neste livro No entanto supomos que você já tenha realizado um curso de introdução à física no qual os fenômenos elétricos e magnéticos foram discutidos Três premissas básicas permitemnos utilizar a teoria de circuitos em vez da teoria ele tromagnética para estudarmos um sistema físico representado por um circuito elétrico Essas premissas são as seguintes Capítulo 1 Variáveis de circuitos 5 Book Nilsson 1indb 5 290116 1208 1 Efeitos elétricos acontecem instantaneamente em todo o sistema Podemos adotar essa pre missa porque sabemos que sinais elétricos se propagam à velocidade da luz ou próximo disso Assim se o sistema for suficientemente pequeno em termos físicos sinais elétricos vão percorrêlo com tamanha rapidez que podemos considerar que afetam todos os pon tos do sistema simultaneamente Um sistema tão pequeno que nos permita adotar essa premissa é denominado sistema de parâmetros concentrados 2 A carga líquida em cada componente do sistema é sempre igual a zero Desse modo nenhum componente pode acumular um excesso líquido de carga embora alguns componentes como você verá mais adiante possam conter cargas separadas iguais porém opostas 3 Não há nenhum acoplamento magnético entre os componentes de um sistema Como demonstraremos mais adiante o acoplamento magnético pode ocorrer dentro de um componente É isso não há outras premissas A utilização da teoria de circuitos proporciona soluções simples com precisão suficiente para problemas que se tornariam irremediavelmente com plicados caso utilizássemos a teoria eletromagnética Esses benefícios são tão grandes que às vezes engenheiros projetam sistemas elétricos especificamente para garantir que essas premis sas sejam cumpridas A importância das premissas 2 e 3 ficará evidente após apresentarmos os elementos básicos de circuito e as regras para se analisar elementos interconectados Contudo precisamos examinar melhor a premissa 1 A questão é Que tamanho um sis tema físico deve ter para se qualificar como um sistema de parâmetros concentrados Pode mos responder à pergunta pelo lado quantitativo observando que sinais elétricos se propagam como ondas Se o comprimento de onda do sinal for grande em comparação às dimensões físi cas do sistema teremos um sistema de parâmetros concentrados O comprimento de onda l é a velocidade dividida pela taxa de repetição ou frequência do sinal isto é l cf A frequên cia f é medida em hertz Hz Por exemplo os sistemas de distribuição de energia elétrica nos Estados Unidos funcionam a 60 Hz Se usarmos a velocidade da luz c 3 108 ms como a velocidade de propagação o comprimento de onda será 5 106 m Se a dimensão física do sis tema em questão for menor do que esse comprimento de onda podemos representálo como um sistema de parâmetros concentrados e usar a teoria de circuitos para analisar seu compor tamento Como definimos menor Uma boa norma é a regra do 110 se a dimensão do sistema for 110 ou menos da dimensão do comprimento de onda teremos um sistema de parâmetros concentrados Assim contanto que a dimensão física do sistema de potência seja menor do que 5 105 m podemos tratálo como um sistema de parâmetros concentrados Por outro lado a frequência da propagação de sinais de rádio é da ordem de 109 Hz Por tanto o comprimento de onda é 03 m Usando a regra do 110 as dimensões relevantes de um sistema de comunicação que envia ou recebe sinais de rádio devem ser menores do que 3 cm para qualificálo como um sistema de parâmetros concentrados Sempre que qualquer das dimensões físicas pertinentes a um sistema em estudo se aproximar do comprimento de onda de seus sinais devemos usar a teoria eletromagnética para analisálo Neste livro estuda mos circuitos derivados de sistemas de parâmetros concentrados Resolução de problemas Como engenheiro ninguém lhe pedirá para resolver problemas que já foram soluciona dos Seja melhorando o desempenho de um sistema existente seja criando um novo sistema você vai lidar com problemas não resolvidos Entretanto como estudante grande parte de sua Circuitos elétricos 6 Book Nilsson 1indb 6 290116 1208 atenção será dedicada à discussão de problemas solucionados Ao ler e discutir como foram solucionados no passado e resolver sozinho problemas relacionados em casa ou em exames você começará a desenvolver as habilidades para tratar com sucesso os problemas não resol vidos que encontrará como engenheiro Apresentamos a seguir alguns procedimentos gerais para a resolução de problemas Mui tos deles se referem a pensar em sua estratégia de solução e organizála antes de partir para os cálculos 1 Identifique o que é dado e o que tem de ser achado Ao resolver problemas você precisa saber qual é seu destino antes de escolher um caminho para chegar lá O que o problema está pedindo que você resolva ou determine Às vezes o objetivo do problema é óbvio outras vezes pode ser necessário parafraseálo ou organizar listas ou tabelas de informa ções conhecidas e desconhecidas para identificar seu objetivo O enunciado do problema pode conter informações irrelevantes que devem ser filtradas e descartadas antes de prosseguir Por outro lado podem ser oferecidas informações incom pletas ou de complexidades maiores do que se pode tratar com os métodos de solução dis poníveis Nesse caso você precisará adotar premissas para complementar as informações ou simplificar o contexto do problema Caso seus cálculos fiquem travados ou produ zam uma resposta aparentemente sem sentido esteja preparado para voltar e reconside rar informações eou premissas que supôs irrelevantes 2 Trace um diagrama do circuito ou outro modelo visual Traduzir a descrição verbal de um problema em um modelo visual costuma ser uma etapa útil no processo de solução Se já houver um diagrama do circuito pode ser que você tenha de lhe acrescentar informações como legendas valores ou direções de referências Talvez você queira redesenhar o cir cuito de uma forma mais simples porém equivalente Mais adiante neste livro apresenta remos métodos para desenvolver esses circuitos equivalentes simplificados 3 Pense em vários métodos de solução e decida como escolher o mais adequado Este curso vai ajudálo a montar um conjunto de ferramentas analíticas muitas das quais poderão funcionar em um dado problema No entanto um método pode produzir um número menor de equações a serem resolvidas do que outro ou exigir apenas cálculo algébrico em vez de cálculo diferencial ou integral para achar a solução Se você puder prever tais procedimentos eficientes também poderá organizar seus cálculos de um modo muito melhor Ter um método alternativo em mente pode ser útil caso sua primeira tentativa de solução não funcione 4 Encontre uma solução Seu planejamento até este ponto deve têlo ajudado a identificar um bom método analítico e as equações corretas para o problema Agora vem a solução dessas equações Há métodos que utilizam lápis e papel calculadora e computadores e todos estão disponíveis para executar os cálculos propriamente ditos da análise de circuitos A eficiência e as preferências de seu professor indicarão quais ferramentas você deve usar 5 Use sua criatividade Se você suspeitar que sua resposta não tem base ou que seus cálculos aparentemente não o estão levando a nenhum lugar pare e pense em alternativas Talvez você tenha de rever suas premissas ou selecionar um método de solução diferente Ou então pode ser que precise adotar uma abordagem menos convencional para a resolução do problema como trabalhar no sentido inverso partindo de uma solução Este livro dá respostas para todos os Problemas para avaliação e para muitos dos problemas de final de capítulo de modo que você pode trabalhar de trás para a frente quando empacar em algum ponto No mundo real você não terá respostas com antecedência mas poderá ter em mente Capítulo 1 Variáveis de circuitos 7 Book Nilsson 1indb 7 290116 1208 um resultado desejado a partir do qual poderá trabalhar em sentido inverso Entre outras abordagens criativas podemse fazer comparações com outros tipos de problema que você já resolveu com sucesso seguir sua intuição ou um palpite sobre como prosseguir ou sim plesmente deixar o problema de lado por um tempo e retomálo mais tarde 6 Teste sua solução Pergunte a si mesmo se a solução que obteve faz sentido O valor núme rico parece razoável A solução pode ser realizada em termos físicos Talvez você queira ir mais fundo e resolver novamente o problema usando um método alternativo Isso não somente testará a validade de sua resposta original mas também vai ajudálo a desen volver sua intuição sobre os métodos de solução mais eficientes para vários tipos de pro blemas No mundo real projetos em que a segurança é crucial são sempre conferidos por vários meios independentes Adquirir o hábito de checar suas respostas só lhe trará bene fícios seja como estudante seja como engenheiro Essas etapas de resolução de problemas não podem ser usadas como uma receita para resolver todo problema que aparecer neste ou em outro curso qualquer Talvez você tenha de pular ou mudar a ordem de alguma etapa ou ainda elaborar outras etapas para resolver determinado problema Useas como uma diretriz para desenvolver um estilo de resolução de problemas que funcione no seu caso 12 O Sistema Internacional de Unidades Engenheiros comparam resultados teóricos com experimentais e também projetos de engenharia concorrentes usando medidas quantitativas A engenharia moderna é uma profis são multidisciplinar na qual equipes de engenheiros trabalham juntas em projetos e só podem comunicar seus resultados de modo significativo se todos usarem as mesmas unidades de medida O Sistema Internacional de Unidades abreviado como SI é utilizado por todas as principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros em todo o mundo por isso nós o adotamos neste livro As unidades do SI são baseadas em sete quantidades definidas comprimento massa tempo corrente elétrica temperatura termodinâmica quantidade de substância intensidade luminosa Essas quantidades juntamente com a unidade básica e o símbolo de cada uma são apresentadas na Tabela 11 Embora não sejam unidades do SI em sen tido estrito as unidades de tempo conhecidas como o minuto 60 s a hora 3600 s e assim por diante são usadas frequentemente em cálculos de engenha ria Além disso quantidades definidas são combinadas para formar unidades derivadas Algumas como força energia potência e carga elétrica você já conhece de outros cursos de física A Tabela 12 apresenta uma lista das unidades derivadas usadas neste livro Em muitos casos a unidade do SI é muito pequena ou muito grande para ser usada de modo Tabela 11 O Sistema Internacional de Unidades SI Quantidade Unidade básica Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampère A Temperatura termodinâmica grau kelvin K Quantidade de substância mol mol Intensidade luminosa candela cd Fonte National Institute of Standards and Technology Special Publication 330 mar 2008 96 p Circuitos elétricos 8 Book Nilsson 1indb 8 290116 1208 conveniente Então prefixos padronizados correspondentes a potências de 10 são aplicados à unidade básica como mostra a Tabela 13 Todos esses prefixos são corretos mas os enge nheiros costumam usar apenas os que representam potências divisíveis por 3 assim centi deci deca e hecto são raramente usados Ademais eles selecionam com frequência o prefixo que traz o número base para a faixa entre 1 e 1000 Suponha que um cálculo de tempo dê como resultado 105 s isto é 000001 s A maioria dos engenheiros descreveria essa quanti dade como 10 ms isto é 105 10 106 s em vez de 001 ms ou 10000000 ps O Exemplo 11 ilustra um método para converter um conjunto de unidades a outro e tam bém utilizar prefixos para potências de dez Tabela 12 Unidades derivadas no SI Quantidade Nome da unidade Símbolo Fórmula Frequência hertz Hz s1 Força newton N kg ms2 Energia ou trabalho joule J N m Potência watt W Js Carga elétrica coulomb C A s Potencial elétrico volt V JC Resistência elétrica ohm V VA Condutância elétrica siemens S AV Capacitância elétrica farad F CV Fluxo magnético weber Wb V s Indutância henry H WbA Fonte National Institute of Standards and Technology Special Publication 330 mar 2008 96 p Tabela 13 Prefixos padronizados que representam potências de 10 Prefixo Símbolo Potência atto a 1018 femto f 1015 pico p 1012 nano n 109 micro m 106 mili m 103 centi c 102 deci d 101 deca da 10 hecto h 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 Fonte National Institute of Standards and Technology Special Publication 330 mar 2008 96 p exeMplo 11 Como usar unidades do SI e prefixos para potências de 10 Se um sinal viaja em um cabo a 80 da velocidade da luz qual é o comprimento de cabo em polega das que representa 1 ns Solução Para começar note que 1 ns 109 s Além disso lembrese de que a velocidade da luz equivale a c 3 108 ms Assim 80 da velocidade da luz é 08c 083 108 24 108 ms Usando um produto de razões podemos converter 80 da velocidade da luz de metros por segundo para polegadas por nanos segundos O resultado é a distância em polegadas percorrida em 1 ns 24 108100 109254 945 polns 24 108 m 1 s 1 s 109 ns 100 cm 1 m 1 pol 254 cm Portanto um sinal que viaja a 80 da velocidade da luz cobrirá 945 polegadas do cabo em 1 nanossegundo Capítulo 1 Variáveis de circuitos 9 Book Nilsson 1indb 9 290116 1208 13 Análise de circuitos uma visão geral Antes de nos envolvermos nos detalhes da análise de circuitos precisamos de uma visão geral do que seja um projeto de engenharia e especificamente um projeto de circuitos elétri cos O propósito disso é fornecer uma perspectiva do lugar que a análise de circuitos ocupa no contexto geral do projeto de circuitos Embora este livro se concentre na análise de circuitos tentamos oferecer oportunidades para projetos de circuito quando adequado Todos os projetos de engenharia partem de uma necessidade como mostra a Figura 14 Essa necessidade pode surgir da intenção de melhorar um projeto existente ou criar algo totalmente novo Uma avaliação cuidadosa de uma necessidade resulta em especificações de projeto que são suas características mensuráveis Uma vez proposto um projeto suas especificações permitemnos avaliar se ele atende ou não à necessidade Em seguida vem o conceito do projeto Esse con ceito deriva de um entendimento pleno das especifica ções de projeto aliado a uma percepção da necessidade que vem do conhecimento e da experiência O conceito pode ser materializado como um esboço uma descrição por escrito ou de alguma outra forma Normalmente a etapa seguinte é traduzir o conceito em um modelo matemático O modelo matemático que costuma ser usado para sistemas elétricos é um modelo de circuito Os elementos que compreendem o modelo de cir cuito são denominados componentes ideais de circuito Trata se de um modelo matemático de um componente elétrico propriamente dito como uma bateria ou uma lâmpada elétrica É importante que o componente ideal usado em um modelo represente o comportamento do componente elétrico real com um grau de precisão aceitável Então as ferramentas de análise de circuitos tema deste livro são aplicadas ao circuito Essa análise é baseada em técnicas matemáticas e usada para prever Figura 14 Modelo conceitual para projeto de engenharia elétrica Percepção física Conceito Circuito que atende às especificações de projeto Análise de circuitos Refinamento com base em análise Refinamento com base em medições Medições em laboratório Modelo de circuito Protótipo físico Especificações de projeto Necessidade Objetivo 1 Entender e saber utilizar as unidades do SI e os prefixos padronizados para potências de 10 11 Suponha que um sinal telefônico viaje em um cabo a dois terços da velocidade da luz Quanto tempo levará para esse sinal ir de Nova York a Miami se a distância for de aproximadamente 1100 milhas Resposta 885 ms 12 Quantos dólares por milissegundo o Governo Federal teria de arrecadar para cobrir um déficit de US 100 bilhões em um ano Resposta US 317ms NOTA tente resolver também os problemas 11 13 e 15 apresentados no final deste capítulo proBleMas para aValiaÇÃo Circuitos elétricos 10 Book Nilsson 1indb 10 290116 1208 o comportamento do modelo e de seus componentes ideais Uma comparação entre o com portamento desejado dado pelas especificações de projeto e o previsto a partir da análise de circuitos pode resultar no refinamento do modelo e seus elementos ideais Uma vez que os comportamentos desejados e os previstos estejam em consonância podese construir um pro tótipo físico O protótipo físico é um sistema elétrico real construído com componentes elétricos reais Técnicas de medição são utilizadas para determinar o comportamento quantitativo real do sistema físico Esse comportamento real é comparado com o comportamento desejado dado pelas especificações de projeto e com o comportamento previsto pela análise de circuitos As comparações podem resultar em refinamentos do protótipo físico do modelo de circuito ou de ambos A certa altura esse processo iterativo pelo qual modelos componentes e sistemas são continuamente refinados pode produzir um projeto que cumpre com precisão as especifica ções de projeto e portanto atende à necessidade Essa descrição deixa claro que a análise de circuitos desempenha um papel muito impor tante no processo de projeto Como a análise de circuitos é aplicada a modelos de circuito engenheiros em atividade procuram utilizar aqueles já testados de modo que os projetos resultantes atendam às especificações na primeira iteração Neste livro usamos modelos que foram testados por um período de 20 a 100 anos podese supor que sejam modelos maduros A capacidade de modelar sistemas elétricos reais com elementos ideais de circuito torna a teoria de circuitos muito útil para a engenharia Afirmar que a interconexão de elementos ideais de circuito pode ser usada para fazer uma previsão quantitativa do comportamento de um sistema implica que podemos descre ver essa interconexão por meio de equações matemáticas Para que as equações matemáticas sejam úteis devemos escrevêlas em termos de grandezas mensuráveis No caso dos circuitos essas grandezas são tensão e corrente que discutiremos na Seção 14 O estudo da análise de circuitos envolve o entendimento do comportamento de cada elemento ideal de circuito no que se refere à sua tensão e corrente e das restrições impostas a essas grandezas como resul tado da interconexão dos elementos ideais 14 Tensão e corrente O conceito de carga elétrica é a base para se descrever todos os fenômenos elétricos Vamos revisar algumas características importantes da carga elétrica A carga é bipolar o que significa que efeitos elétricos são descritos em termos de cargas positivas e negativas A carga elétrica existe em quantidades discretas que são múltiplos inteiros da carga ele trônica 16022 1019 C Efeitos elétricos são atribuídos tanto à separação entre cargas quanto a cargas em movimento Na teoria de circuitos a separação entre cargas dá origem a uma força elétrica tensão e seu movimento dá origem a um fluxo elétrico corrente Os conceitos de tensão e corrente são úteis do ponto de vista da engenharia porque podem ser expressos quantitativamente Sempre que cargas positivas e negativas estão separadas há gasto de energia Tensão é a energia por unidade de carga criada pela separação Expressamos essa razão em forma diferencial como Capítulo 1 Variáveis de circuitos 11 Book Nilsson 1indb 11 290116 1208 v dw dq 11 em que v a tensão em volts w a energia em joules q a carga em coulombs Os efeitos elétricos causados por cargas em movimento dependem da variação temporal de carga Essa variação de carga é conhecida como corrente elétrica e expressa como i dq dt 12 em que i a corrente elétrica em ampères q a carga em coulombs t o tempo em segundos As equações 11 e 12 são definições para a magnitude de tensão e corrente respectiva mente A natureza bipolar da carga elétrica requer que designemos referências de polaridade a essas variáveis o que faremos na Seção 15 Embora a corrente seja composta de elétrons discretos em movimento não precisamos considerálos individualmente por causa de sua enorme quantidade Em vez disso podemos imaginar os elétrons e suas cargas correspondentes como uma entidade única que flui suave mente Assim i é tratada como uma variável contínua Uma vantagem de usar modelos de circuito é que podemos modelar um componente estritamente em termos da tensão e da corrente em seus terminais Por isso dois componen tes com estruturas físicas diferentes podem ter a mesma relação entre a tensão e a corrente no terminal Se isso ocorrer no que concerne à análise de circuitos eles serão idênticos Uma vez que sabemos como um componente se comporta em seus terminais podemos analisar seu comportamento em um circuito Contudo quando desenvolvemos modelos de circuitos interessanos o comportamento interno de um componente Por exemplo poderíamos que rer saber se a condução de carga está ocorrendo porque há elétrons livres se movimentando pela estrutura cristalina de um metal ou se é por causa de elétrons que estão se movimen tando dentro das ligações covalentes de um material semicondutor Todavia essas questões extrapolam o domínio da teoria de circuitos Neste livro adotamos modelos de circuitos que já foram desenvolvidos não discutimos como se desenvolvem modelos de componentes 15 O elemento básico ideal de circuito Um elemento básico ideal de circuito possui três atributos 1 tem apenas dois termi nais que são pontos de conexão com outros componentes de circuito 2 é descrito mate maticamente em termos de corrente eou tensão e 3 não pode ser subdividido em outros elementos Usamos a palavra ideal para indicar que um elemento básico de circuito não existe como um componente fisicamente realizável Contudo como discutimos na Seção 13 Definição u de tensão Definição u de corrente Circuitos elétricos 12 Book Nilsson 1indb 12 290116 1208 elementos ideais podem ser conectados para modelar dispositivos e siste mas reais Usamos a palavra básico para indicar que o elemento de circuito não pode ser reduzido ainda mais ou subdividido em outros elementos Assim os elementos básicos de circuito são os blocos de construção dos modelos de circuitos mas por si mesmos eles não podem ser modelados com qualquer outro tipo de elemento A Figura 15 é uma representação de um elemento básico ideal de circuito A caixa está vazia porque neste momento não nos interessa que tipo de elemento de circuito está contido nela Nessa figura a tensão nos terminais da caixa é denotada por v e a corrente no elemento de circuito é denotada por i A referência de polaridade para a tensão é indicada pelos sinais de mais e menos e a direção de referência para a corrente é mostrada pela seta que aponta o sentido de seu fluxo A interpretação dessas referências quando são dados valores numéricos positivos ou negativos para v e para i está resumida na Tabela 14 Note que em linguagem algébrica a noção de uma carga positiva que flui em uma direção é equivalente à de uma carga negativa que flui na direção oposta Figura 15 Elemento básico ideal de circuito v i 1 2 Tabela 14 Interpretação das direções de referência na Figura 15 Valor positivo Valor negativo v queda de tensão do terminal 1 para o terminal 2 ou elevação de tensão do terminal 2 para o terminal 1 i fluxo de carga positiva do terminal 1 para o terminal 2 ou fluxo de carga negativa do terminal 2 para o terminal 1 elevação de tensão do terminal 1 para o terminal 2 ou queda de tensão do terminal 2 para o terminal 1 fluxo de carga positiva do terminal 2 para o terminal 1 ou fluxo de carga negativa do terminal 1 para o terminal 2 As designações da polaridade de referência para tensão e da direção de referência para corrente são inteiramente arbitrárias Contudo uma vez designadas você deve escrever todas as equações subsequentes em consonância com as referências escolhidas A convenção de sinal mais amplamente usada para essas referências inclusive neste livro denominase convenção passiva Ela pode ser enunciada da seguinte maneira Sempre que a direção de referência para a corrente em um elemento estiver na direção da queda da tensão de referência no elemento como na Figura 15 use um sinal posi tivo em qualquer expressão que relacione a tensão com a corrente Caso contrário use um sinal negativo Aplicamos essa convenção de sinal em todas as análises seguintes Nosso objetivo de apresentála antes mesmo de introduzir os diversos tipos de elementos básicos de circuito é que você grave o fato de que a seleção de referências de polaridade com a adoção da conven ção passiva não depende dos elementos básicos nem do tipo de interconexões feitas com eles Apresentaremos a aplicação e a interpretação da convenção passiva em cálculos de potência na Seção 16 O Exemplo 12 ilustra um uso da equação que define corrente t Convenção passiva Capítulo 1 Variáveis de circuitos 13 Book Nilsson 1indb 13 290116 1208 exeMplo 12 Relação entre corrente e carga Não existe carga no terminal superior do elemento na Figura 15 para t 0 Em t 0 uma corrente de 5 A começa a fluir no terminal superior a Derive a expressão para a carga acumulada no terminal superior do elemento para t 0 b Se a corrente for interrompida após 10 segundos qual será a quantidade de carga acumulada na parte superior do terminal Solução a A partir da definição de corrente dada pela Equação 12 a expressão para acumulação de carga devido ao fluxo de corrente é qt t 0 ixdx Portanto qt t 0 5dx 5x t 0 5t 50 5t C para t 7 0 b A carga total que se acumula na parte superior do terminal em 10 segundos devido a uma corrente de 5 A é q10 510 50 C Objetivo 2 Conhecer e saber utilizar as definições de tensão e corrente 13 A corrente nos terminais do elemento da Figura 15 é i 0 t 6 0 i 20e5000t A t 0 Calcule a carga total em microcoulombs que entra no elemento em seu terminal superior Resposta 4000 mC 14 A expressão para a carga que entra no terminal superior da Figura 15 é q 1 a2 a t a 1 a2 beat C Determine o valor máximo da corrente elétrica que entra no terminal se a 003679 s1 Resposta 10 A NOTA tente resolver também o Problema 18 apresentado no final deste capítulo proBleMas para aValiaÇÃo Circuitos elétricos 14 Book Nilsson 1indb 14 290116 1208 16 Potência e energia Cálculos de potência e energia também são importantes na análise de circuitos Uma razão disso é que embora tensão e corrente sejam variáveis úteis na análise e no projeto de sistemas que utilizam a eletricidade muitas vezes o resultado útil do sistema não é expresso em termos elétricos mas em termos de potência ou energia Outra razão é que todos os dispositivos práticos têm uma limitação para a quantidade de potência que podem manipular Por conseguinte durante o projeto os cálculos de tensão e corrente não são suficientes por si sós Agora relacionaremos potência e energia com tensão e corrente e ao mesmo tempo uti lizaremos o cálculo de potência para ilustrar a convenção passiva Lembrese do conceito da física básica segundo o qual a potência é a taxa de variação temporal do gasto ou da absor ção de energia Uma bomba dágua de 75 kW pode bombear mais litros por segundo do que outra de 75 kW Em linguagem matemática a energia por unidade de tempo é expressa na forma de uma derivada ou p dw dt 13 em que p a potência em watts w a energia em joules t o tempo em segundos Assim 1 W equivale a 1 Js A potência associada ao fluxo de carga decorre diretamente da definição de tensão e cor rente nas equações 11 e 12 ou p dw dt a dw dq b adq dt b portanto p vi 14 em que p a potência em watts v a tensão em volts i a corrente em ampères A Equação 14 mostra que a potência associada ao elemento básico de circuito é simples mente o produto da corrente no elemento pela tensão em seus terminais Por conseguinte potência é uma quantidade associada a um par de terminais e temos de saber determinar por nossos cálculos se ela está sendo fornecida ao par de terminais ou extraída deles Essa infor mação advém da correta aplicação e interpretação da convenção passiva Se usarmos a convenção passiva a Equação 14 estará correta se o sentido escolhido para a corrente for o mesmo que o da queda de tensão entre os terminais do elemento caso con trário a Equação 14 deve ser escrita com um sinal de menos Em outras palavras se o sentido t Definição de potência t Equação de potência Capítulo 1 Variáveis de circuitos 15 Book Nilsson 1indb 15 290116 1208 Circuitos elétricos Figura 16 Referéncias de polaridade e a expressao escolhido para a corrente corresponder ao do aumento de para potencia tensdo a expressdo para a poténcia devera ser i i 1 1 pvi 15 Vv Vv 2 2 O sinal algébrico da poténcia é baseado no movimento a p vi b p vi de cargas e em quedas e elevagées de tenséo Quando cargas positivas se movimentam através de uma queda de tensdo i i perdem energia quando se movimentam por meio de uma 1 1 elevacado de tensdo ganham energia A Figura 16 resume a 2 2 relagdo entre as referéncias de polaridade para tensao e cor rente e a expresso para poténcia 0 pvi d p vi pee Pars pe Agora podemos enunciar a regra para interpretar o sinal algébrico de poténcia Interpretagao ns Se oo do sinal Se a poténcia for positiva isto é se p 0 significa que o circuito dentro da caixa esta algébrico de absorvendo poténcia Se for negativa isto é se p 0 entao o circuito dentro da caixa poténcia esta fornecendo poténcia Por exemplo suponha que selecionamos as referéncias de polaridade mostradas na Figura 16b Admita ainda que nossos calculos da corrente e da tensdo dao os seguintes resultados numéricos i4A e vl0V Entao a poténcia associada ao par de terminais 12 é p 104 40 W Assim 0 circuito dentro da caixa esta absorvendo 40 W Para aprofundar essa andlise imagine que um colega esteja resolvendo 0 mesmo pro blema mas escolheu as polaridades de referéncia mostradas na Figura 16c Os valores numéricos resultantes sao i4A v10V e p40W Observe que interpretando esses resultados em termos desse sistema de referéncia che gamos as mesmas conclusdes que obtivemos antes ou seja que 0 circuito dentro da caixa esta absorvendo 40 W Na verdade qualquer um dos sistemas de referéncia da Figura 16 leva ao mesmo resultado O Exemplo 13 ilustra a relacdo entre tensdo corrente poténcia e energia para um ele mento basico ideal de circuito e 0 uso da convengao passiva EXEMPLO 13 Relacao entre tensao corrente poténcia e energia Admita que a tensdo nos terminais do elemento na Figura 15 cuja corrente foi definida no Problema para avaliagao 13 é v 0 t 0 v 10e5000t kV t 0 a Calcule a energia fornecida ao elemento em 1 ms b Calcule a energia total em joules absorvida pelo elemento de circuito Solução a Uma vez que a corrente está entrando no terminal da queda de tensão definida pelo elemento na Figura 15 utilizamos um sinal de na equação da potência 200000454 106 0908 W p0001 200000e10000t0001 200000e10 p vi 10000e5000t20e5000t 200000e10000t W b A partir da definição de potência dada na Equação 13 a expressão para energia é wt t 0 pxdx Para encontrar a energia total fornecida integre a expressão para energia de zero até o infinito Portanto 20e q 20e0 0 20 20 J wtotal q 0 200000e10000x dx 200000e10000x 10000 q 0 Assim a energia total fornecida ao elemento de circuito é 20 J Objetivo 3 Conhecer e saber utilizar as definições de potência e energia Objetivo 4 Saber utilizar a convenção passiva de sinal 15 Suponha que ocorra uma queda de tensão de 20 V em um elemento do terminal 2 para o terminal 1 e que uma corrente elétrica de 4 A entre no terminal 2 a Especifique os valores de v e i para as referências de polaridade mostradas nas figuras 16 ad b Determine se o circuito dentro do quadrado está absorvendo ou fornecendo potência c Quanta potência o circuito está absorvendo Resposta a Circuito 16a v 20 V i 4 A circuito 16b v 20 V i 4 A circuito 16c v 20 V i 4 A circuito 16d v 20 V i 4 A b Absorvendo c 80 W proBleMas para aValiaÇÃo Capítulo 1 Variáveis de circuitos 17 Book Nilsson 1indb 17 290116 1208 Circuitos elétricos 16 Suponha que a tensao e a corrente nos terminais do elemento da Figura 15 sejam iguais a zero para t 0 Para t 0 elas sao v 80000te V t0 i 15te5 A t0 a Determine 0 momento em que a energia fornecida para o elemento de circuito é maxima b Determine o valor maximo da poténcia c Determine a energia total fornecida ao elemento de circuito Resposta a 2 ms b 6496 mW c 24 mJ 17 Uma linha de transmissao de alta tensdéo em corrente continua CC de 800 kV entre Celilo Oregon e Sylmar na California conduz uma corrente de 1800 A como mostra a figura Calcule a poténcia em megawatts no terminal de Oregon e indique a diregao do fluxo de poténcia 18kA Celilo Sylmar Oregon 800 kv California Resposta 1440 MW de Celilo para Sylmar NOTA tente resolver também os problemas 112 119 e 124 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Equilibrio de poténcia Um modelo do circuito que distribui energia elétrica para uma residéncia é exibido na Figura 17 com as polaridades de tensao e os sentidos da corrente elétrica definidos para todos os componentes do circuito Os resultados da andlise de circuitos fornecem valores para todas essas tensdes e correntes os quais se encontram resumidos na Tabela 15 Para determinar se os valores dados estao corretos calcule a poténcia associada a cada componente Use a convencao passiva nos calculos de poténcia como mostrado a seguir Pa Vgig 12010 1200 Ws py vpip 1209 1080 W Pc Veie 1010 100 W Pa vgig 101 10 W De 0i 109 90 W Dp vip 1005 500 W Dg Vgig 1204 480 W Ph Vpin 2205 1100 W Os calculos de poténcia mostram que os componentes a be d estao fornecendo energia uma vez que os valores de po téncia sao negativos enquanto os componentes c e f g e h estao absorvendo energia Agora verifique o equilibrio de poténcia determinando a poténcia total fornecida e a poténcia total absorvida Piorecida Pa Ph Pa 1200 1080 10 2290 W Pabsorvida Pe Pe Pp Pg Ph 100 90 500 480 1100 2270 W Deemed P absorvida 2290 2270 20 W Capitulo 1 Variaveis de circuitos Algo esta errado se os valores de tensao e corrente nesse circuito estivessem corretos a poténcia total deveria ser igual a zero Ha um erro nos dados e podemos identificalo a partir das poténcias calculadas se ele esta no sinal de um uni co componente Observe que se dividirmos 0 total de poténcia por 2 obteremos 10 W que é a poténcia calculada para o componente a Se a poténcia para o componente d fosse 10 W a poténcia total seria igual a zero As técnicas de andlise de Circuito apresentadas nos proximos capitulos podem ser usadas para mostrar que a corrente através do componente d deve ser 1 A nao 1 A conforme a Tabela 15 Figura 17 Modelo de circuito para distribuigao de energia em Tabela 15 Valores de tensdo e corrente para 0 circuito uma residéncia com tensdes e correntes definidas Fi 17 da Figura a Componente v V i A Le a 120 10 ip b 120 9 vsa fi LE yi Ud c 10 10 Un th d e 10 9 vp b fi Ug g fis f 100 5 aP By g 120 4 Le h 220 5 i NOTA avalie sua compreensdo da Perspectiva pratica tentando solucionar os problemas 134 e 135 apresentados no final deste capitulo Resumo e O Sistema Internacional de Unidades SI habi e A convengao passiva usa um sinal positivo na lita engenheiros a comunicarem resultados quan expressio que relaciona a tensdo e a corrente titativos de modo significativo A Tabela 11 nos terminais de um elemento quando a dire resume as unidades basicas do SI a Tabela 12 cao de referéncia para a corrente que passa pelo apresenta algumas unidades derivadas do SI elemento esta na diregao da queda de tensao de Segao 12 referéncia no elemento Secao 15 e A anlise de circuitos é baseada nas variaveis e Poténcia é a energia por unidade de tempo e é tensdo e corrente Secdo 13 igual ao produto da tensdo pela corrente nos ter e Tensao é a energia por unidade de carga criada minalssua unidade do STé0 watt pdwdtvi x Secao 16 pela separacao entre cargas e sua unidade do SI é 0 volt v dwidq Secao 14 e Osinal algébrico da poténcia é interpretado da e Corrente é a taxa de fluxo de carga e sua uni seguinte forma dade do SI é 0 ampére i dqdt Secao 14 e Se p 0 ocorre absorcgao de poténcia pelo e O elemento basico ideal de circuito é um com circuito ou pelo componente de circulto e Se p 0 ocorre fornecimento de poténcia ponente com dois terminais que néo pode ser lo circuit 1 te de circuit subdividido ele pode ser descrito matematica Peto CTCUTO OF Peto COMPONENLG Ce CINCUTO mente em termos da tensdo e da corrente em Secao 16 seus terminais Secao 15 Problemas Seção 12 11 Há aproximadamente 250 milhões de carros registrados nos Estados Unidos Suponha que a bateria de um veículo médio armazene 540 wattshoras Wh de energia Estime em gigawatthora a energia total armazenada nos carros nos Estados Unidos 12 Um aparelho portátil de vídeo apresenta tela de 480 320 pixels em cada frame do vídeo Cada pixel requer 2 bytes de memó ria Vídeos são exibidos a uma taxa de 30 frames por segundo Quantos minutos de vídeo caberão em uma memória de 32 gigabytes 13 O chip de memória flash de 16 gigabytes GB 230 bytes de um aparelho de MP3 mede 11 mm por 15 mm por 1 mm Esse chip tem capacidade para armazenar 20000 fotos a Quantas fotos cabem em um cubo cujos lados medem 1 mm b Quantos bytes de memória são armaze nados em um cubo cujos lados medem 200 mm 14 O comprimento da linha descrita no Problema para avaliação 17 é 845 milhas A linha contém quatro condutores cada um pesando 2526 libras por 1000 pés Quanto pesa o conjunto de condutores da linha 15 Um litro L de tinta cobre aproximadamente 10 m2 de parede Qual é a espessura da camada antes de secar Sugestão 1 L 1 106 mm3 16 Algumas espécies de bambu podem crescer 250 mmdia Suponha que as células individu ais da planta tenham 10 mm de comprimento a Quanto tempo demora em média para que um caule de bambu cresça o equiva lente ao comprimento de uma célula b Quantas células são adicionadas em uma semana em média Seção 14 17 Não há nenhuma carga no terminal superior do elemento na Figura 15 para t 0 Em t 0 uma corrente de 125e2500t mA entra no ter minal superior a Derive a expressão para a carga que se acumula no terminal superior para t 0 b Determine a carga total que se acumula no terminal superior c Se a corrente for interrompida em t 05 ms qual a carga acumulada no terminal superior 18 A corrente que entra no terminal superior da Figura 15 é i 20 cos 5000t A Suponha que a carga no terminal superior seja igual a zero no instante em que a corrente está passando por seu valor máximo Determine a expressão para qt 19 A corrente nos terminais do elemento na Figura 15 é i 0 t 0 i 40te500t A t 0 a Encontre a expressão para a acumulação de carga no terminal superior b Encontre a carga acumulada em t 1 ms 110 Não são incomuns valores de correntes na faixa de microampère em circuitos eletrôni cos Imagine uma corrente de 35 mA devido ao fluxo de elétrons Qual o número médio de elétrons por segundo que fluem em uma seção transversal de referência fixa perpendicular à direção do fluxo 111 Qual é a energia extraída de um elétron enquanto ele flui por uma bateria de 6 V do terminal positivo para o negativo Expresse sua resposta em attojoules Circuitos elétricos 20 Book Nilsson 1indb 20 290116 1208 Capitulo 1 Varidveis de circuitos Secoes 1516 112 Asreferéncias para a tensdo e a corrente nos a Qual dos carros esté com a bateria terminais de um elemento de circuito sao mos descarregada tradas na Figura 16 d Os valores numéricos b Se essa conexio for mantida por 1 para vei sao 40 Ve 10A minuto quanta energia sera transferida a Calcule a poténcia nos terminais e indi para a bateria descarregada que se ela esta sendo absorvida ou forne Figura P115 cida pelo elemento a caixa b Dado que a corrente é devida ao fluxo de elétrons indique se os elétrons estao js a a re oD s entrando no terminal 2 ou saindo dele e o 8 c Os elétrons ganham ou perdem energia q v aA quando passam pelo elemento na caixa 12 ee YZ 113 Repita o Problema 112 com uma tensao de 60 V 114 Dois circuitos elétricos representados pelas 116 Ofabricante de uma pilha alcalina de lanterna caixas A e B estéo conectados como mostra de 15 V afirma que a pilha fornecera 9 mA a Figura P114 A direcdo de referéncia para por 40 horas continuas Durante esse tempo a corrente i bem como a interconex4o e a a tensdo caira de 15 V para 10 V Suponha polaridade de referéncia para a tensfo v na que a queda de tensao seja linear em relacao interconex4o sAo mostradas na figura Para ao tempo Quanta energia a pilha fornecera cada um dos seguintes conjuntos de valores nesse intervalo de 40 horas numéricos calcule a poténcia na interconexdo 117 Uma bateria de 12 V fornece 100 mA a uma e indique se ela esta fluindo de A para B ou caixa de som Quanta energia a bateria for viceversa nece em 4 horas a i6A v30V 118 A tensdo e acorrente nos terminais do ele b i8A v20V mento de circuito da Figura 15 sdo iguais a c i4A v60V zero para t 0 Para t 0 elas sao d i9A v40V v 15e FV Figura P114 i40e mA a a Calcule a poténcia fornecida ao elemento no instante t 10 ms A v b Calcule a energia total fornecida ao ele mento de circuito 119 A tensdo e a corrente nos terminais do ele 115 Quando a bateria de um carro esta descar spice mento de circuito da Figura 15 sao iguais a regada muitas vezes é possivel fazélo dar a Multisim oro para t 0 Para t 0 elas sao partida conectando os terminais de sua bate y 75 75 e10001 ria aos da bateria de outro carro Os termi nais positivo e negativo de uma bateria so i S50e TN mA ligados aos terminais positivo e negativo da a Determine o valor maximo da poténcia outra respectivamente A conex4o é ilustrada fornecida ao circuito na Figura P115 Suponha que a corrente i na b Determine a energia total fornecida ao Figura P115 seja 30 A elemento 120 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são iguais a zero para t 0 Para t 0 elas são v 50e1600t 50e400t V i 5e1600t 5e400t mA a Determine a potência em t 625 ms b Quanta energia é fornecida ao elemento de circuito entre 0 e 625 ms c Determine a energia total fornecida ao elemento 121 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são iguais a zero para t 0 Para t 0 elas são v 1500t 1e750t V t 0 i 40e750t mA t 0 a Em que instante a potência máxima é fornecida ao elemento de circuito b Determine o valor máximo de p em milliwatts c Determine a energia total fornecida ao elemento de circuito em microjoules 122 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são iguais a zero para t 0 Para t 0 elas são v 3200t 4e1000t V i 128t 016e1000t A a Em que instante a potência máxima é fornecida ao elemento b Determine a potência máxima em watts c Determine a energia total fornecida ao elemento em microjoules 123 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são iguais a zero para t 0 e t 40 s No intervalo entre 0 e 40 s as expressões são v t1 0025t V 0 t 40 s i 4 02t A 0 t 40 s a Em que instante a potência que está sendo fornecida ao elemento de circuito é máxima b Qual é a potência no instante encontrado na parte a c Em que instante a potência que está sendo extraída do elemento de circuito é máxima d Qual é a potência no instante encontrado na parte c e Calcule a energia líquida fornecida ao circuito em 0 10 20 30 e 40 s 124 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são iguais a zero para t 0 Para t 0 elas são v 400e100t sen 200t V i 5e100t sen 200t A a Determine a potência absorvida pelo ele mento em t 10 ms b Determine a energia total absorvida pelo elemento 125 A tensão e a corrente nos terminais do ele mento de circuito da Figura 15 são v 250 cos 800pt V i 8 sen 800pt A a Determine o valor máximo da potência fornecida ao elemento b Determine o valor máximo da potência extraída do elemento c Determine o valor médio de p no inter valo 0 t 25 ms d Determine o valor médio de p no inter valo 0 t 15625 ms 126 A tensão e a corrente nos terminais de uma bateria de automóvel durante um ciclo de carga são mostradas nas figuras P126 a e b a Calcule a carga total transferida para a bateria b Calcule a energia total transferida para a bateria c Determine a energia total fornecida ao elemento Figura P126 v V 12 4 4 t ks 8 i A 8 12 a b 16 20 8 16 24 4 8 12 16 20 t ks Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 22 Book Nilsson 1indb 22 290116 1208 Capitulo 1 Varidveis de circuitos i A c Usando 0 esboco da poténcia determine a energia total fornecida a bateria 129 Os valores numéricos para as correntes e ten 24 ses no circuito da Figura P129 sao dados 6 na Tabela P129 Determine a poténcia total desenvolvida no circuito 8 Figura P129 ip le 4 8 12 16 20 t ks Le i Uy lad Vet b 127 A tensdo e a corrente nos terminais do ele L Js S a mento de circuito da Figura 15 sao mostradas il Ye nas figuras P127 a e b a Desenhe o grafico da poténcia versus t tc para 0 1 80 ms Tabela P129 b Calcule a energia fornecida ao elemento de circuito em t 10 30 e 80 ms Elemento Tensao V Corrente mA Figura P127 a 40 4 fdr b 24 4 i c 16 4 a d 80 15 rs rrr rrr re TT e 40 25 O NS Sip a F i To 4 alee ee f 120 25 130 Os valores numéricos das tensGes e correntes i e na interconexao apresentada na Figura P130 vi sao dados na Tabela P130 A interconexao 4 satisfaz o teste de poténcia ae Figura P130 ia J ap a if 5 ry 1 OUTS f d it a ip Ug 8 wD tf oad a Ue c ip f 128 Uma bateria industrial é carregada por um peri odo de varias horas a uma tensdo constante de 120 V Inicialmente a corrente é de 10 mA e Tabela P130 aumenta linearmente a 15 mA em 10 ks De 10 Elemento Tensiio kV Corrente uA ks a 20 ks a corrente é constante de 15 mA De a 3 950 20 ks a30ks acorrente diminui linearmente para b 4 400 10 mA Aos 30 ks a bateria é desconectada 1 400 Cc a Esboce o grafico da corrente de tOa 6 d 1 150 t30ks Z As y e 4 200 b Esboce o grafico da poténcia fornecida a f 4 50 bateria de t0at30 ks ss Circuitos elétricos 131 Suponha que vocé seja 0 engenheiro encarre Figura P132 gado de um projeto e um de seus engenheiros vy i subordinados informe que a interconexao da b Figura P131 nao passa no teste de poténcia ie Pe Os dados para a interconex4o sao fornecidos na Tabela P131 co ra 4 a O subordinado esta certo Explique yy t por qué Va Uf Ug b Se osubordinado estiver certo vocé pode determinar o erro nos dados it t ig f Figura P131 va Tabela P132 b b 005 fornecida 100 a 7 a L c 04 absorvida 200 d 06 fornecida 300 4 ta id a ist e 01 absorvida 200 ly iy f 20 absorvida 500 g 125 fornecida 500 Ug UA 133 A tensdo e a corrente de cada um dos ele Tabela P131 mentos da interconexao mostrada na Figura P133 so medidas Os valores estao listados a 4616 60 a Demonstre que a interconexdo dos ele b 1416 472 mentos satisfaz o teste de poténcia c 320 64 b Identifique os elementos que absorvem d 220 128 poténcia 336 168 c Determine a tensféo para cada um dos f 660 04 elementos na interconexéo usando os g 256 128 valores de poténcia e corrente e as pola h 04 04 ridades de tensd4o mostradas na figura Figura P133 132 Os valores numéricos das tensGes e correntes para cada elemento mostrado na Figura P132 at fa sao dados na Tabela P132 Lal a Demonstre que a interconexdo dos ele mentos satisfaz 0 teste de poténcia b Determine o valor da corrente que passa i yt Jie por cada um dos elementos usando os valores de poténcia e tensdo e as diregdes b Ub Va Ld Ve e 8 de corrente mostradas na figura t ist ld Tabela P133 Elemento Potência mW Corrente mA a 175 25 b 375 75 c 150 50 d 320 40 e 160 20 f 120 30 g 660 55 134 Mostre que existe equilíbrio de potência no circuito mostrado na Figura 17 utilizando os valores de tensão e corrente dados na Tabela 14 com o valor da corrente para o compo nente d alterado para 1 A 135 Suponha que não há perda de energia nos fios usados para distribuição de eletricidade em uma residência a Crie um novo modelo para o circuito de distribuição de energia modificando o circuito mostrado na Figura 17 Use os mesmos nomes polaridades de tensão e direções de corrente para os componen tes que forem mantidos nesse modelo modificado b As seguintes tensões e correntes são cal culadas para os componentes va 120 V ia 10 A vb 120 V ib 10 A vf 120 V if 3 A vg 120 V vh 240 V ih 7 A Se houver equilíbrio de potência nesse modelo modificado qual é o valor da corrente no com ponente g Capítulo 1 Variáveis de circuitos 25 Book Nilsson 1indb 25 290116 1208 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 21 Fontes de tensão e corrente 22 Resistência elétrica lei de Ohm 23 Construção de um modelo de circuito 24 Leis de Kirchhoff 25 Análise de um circuito que contém fontes dependentes Elementos de circuitos 2 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Entender os símbolos e o comportamento dos seguintes elementos básicos ideais de circuitos fontes independentes e dependentes de tensão e corrente e resistores 2 Saber enunciar a lei de Ohm a lei das correntes de Kirchhoff e a lei das tensões de Kirchhoff bem como saber usá las para analisar circuitos simples 3 Saber como calcular a potência para cada elemento de um circuito simples e determinar o equilíbrio de potência para todo o circuito Há cinco elementos básicos ideais de circuitos fontes de tensão fontes de corrente resistores in dutores e capacitores Neste capítulo discutiremos as características de fontes de tensão fontes de corrente e resistores Embora essa quantidade de elementos possa parecer pequena para começar a analisar circuitos muitos sistemas práticos podem ser modelados apenas com fontes e resistores Também constituem um ponto de partida útil por sua relativa simplicidade as relações matemáticas entre tensão e corrente em fontes e resistores são algébricas Assim você poderá começar a aprender as técnicas básicas de análise de circuitos apenas com manipulações algébricas Adiaremos a apresentação de indutores e capacitores até o Capítulo 6 pois sua utilização requer a resolução de equações integrais e diferenciais Contudo as técnicas analíticas básicas para resolver circuitos com indutores e capacitores são as mesmas apresentadas neste capítulo Portanto quando chegar a hora de manipular equações mais difíceis você provavelmente estará bem familiarizado com os métodos para escrevêlas Book Nilsson 1indb 26 290116 1208 Capitulo 2 e Elementos de circuitos Perspectiva pratica Aquecimento com radiadores elétricos Vocé quer aquecer sua pequena garagem usando um par de radiadores elétricos Os requisitos de poténcia e tensao para cada radiador sao 1200 W e 240 V mas vocé nao sabe como conectdlos a energia fornecida para a garagem Devese usar 0 diagrama de instalacao elétrica do lado esquerdo ou 0 da direita Sera que isso faz alguma diferenca Ao estudar 0 conteudo deste capitulo vocé sera capaz de responder a essas perguntas e determinar como aquecer a garagem A Perspectiva prdtica ao final deste capitulo apresentara a andlise de dois circuitos baseados nos dois diagramas de instalacao elétrica mostrados a seguir eee eee o Ei i stylephotographydefotolia 5 a F Qo a 2 240 V 5S 5S 240 V a ia ia g 21 Fontes de tensao e corrente Antes de discutirmos fontes ideais de tenséo e de corrente precisamos considerar a natureza geral das fontes elétricas Uma fonte elétrica é um dispositivo capaz de conver ter energia nao elétrica em elétrica e viceversa Quando uma pilha descarrega ela con verte energia quimica em elétrica ao passo que quando ela carrega converte energia elé trica em quimica Um dinamo é uma maquina que converte energia mecanica em elétrica Circuitos elétricos e viceversa Quando o dispositivo funciona no modo mecanico para elétrico 6 denomi nado gerador Se estiver transformando energia elétrica em mecanica denominase motor E importante lembrar que essas fontes podem liberar ou absorver energia elétrica de modo geral mantendo a tensao ou corrente Esse comportamento é de particular interesse para a analise de circuitos e resultou na criacgao da fonte ideal de tens4o e da fonte ideal de corrente como elementos basicos de circuito O desafio é modelar fontes praticas em termos dos ele mentos basicos ideais de circuito Uma fonte ideal de tensao é um elemento de circuito que mantém uma tens4o prescrita em seus terminais independentemente da corrente que flui por eles De modo analogo uma fonte ideal de corrente é um elemento de circuito que mantém uma corrente prescrita em seus terminais independentemente da tensdo entre eles Esses elementos de circuito nao existem como dispositivos praticos sao modelos idealizados de fontes de tensdo e cor rente reais O uso de um modelo ideal para fontes de corrente e tensdo impde uma restrigéo impor tante ao modo de descrevélo em linguagem matematica Como uma fonte ideal de tensao proporciona uma tens4o estavel mesmo que a corrente no elemento varie é impossivel espe cificar a corrente que flui pela fonte ideal de tensféo como uma fungao de sua tensao Da mesma forma se a tinica informagéo que se tem sobre uma fonte ideal de corrente for o valor da corrente fornecida sera impossivel determinar a tensdo entre os terminais daquela fonte de corrente Sacrificamos nossa capacidade de relacionar tensao e corrente em uma fonte pra tica pela simplicidade de usar fontes ideais em andlise de circuitos Fontes ideais de tenséo e corrente podem ainda ser descritas como independentes ou dependentes Uma fonte independente estabelece uma tensdo ou corrente em um circuito sem depender de tenses ou correntes existentes em outros pontos do circuito O valor da tensdo ou corrente fornecida é especificado apenas pelo valor da fonte independente Ao contrario uma fonte dependente estabelece uma tensdo ou corrente cujo valor depende do valor de uma tens4o ou corrente em outro ponto do circuito Nao se pode especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conhega o valor da tensdo ou corrente da qual depende Os simbolos de circuito para as fontes ideais independentes sao mostrados na Figura 21 Observe que é usado um circulo para representar uma fonte independente Para especificar por completo uma fonte de tensdo ideal independente em um circuito vocé tem de incluir o valor da tenséo fornecida e a polaridade de referéncia como mostra a Figura 21a De modo semelhante para especificar por completo uma fonte de corrente ideal independente vocé deve incluir o valor da corrente fornecida e sua Figura 21 Simbolos de circuito para a diregao de referéncia como mostra a Figura 21b uma fonte de tensao ideal Os simbolos de circuito para as fontes ideais dependentes sao independente e b uma fonte de Z corrente ideal independente mostrados na Figura 22 Um losango é usado para representar uma fonte dependente Tanto a fonte de corrente dependente quanto a fonte de tenséo dependente podem ser controladas por uma tensdo ou por uma corrente existente em outro ponto do circuito resultando portanto em um total de quatro variag6es como indicam os simbolos Us is na Figura 22 Em alguns casos fontes dependentes sao denominadas fontes controladas Para especificar por completo uma fonte de tensao ideal depen dente com controle de tensdo vocé deve identificar a tensaéo de con a b trole a equagéo que permite calcular a tensdo fornecida a partir da Capitulo 2 e Elementos de circuitos tensdo de controle e a polaridade de referéncia para a tensdo for Figura 22 Simbolos de circuito para a uma fonte necida Na Figura 22a a tensao de controle é denominada v a ideal de tensao com controle de tensao 2 b uma fonte ideal de tensao com equagao que determina a tensao fornecida v é s controle de corrente c uma fonte ideal de corrente com controle de tensao e V LY d uma fonte ideal de corrente com e a polaridade de referéncia para v a indicada Observe que pw é controle de corrente uma constante multiplicativa adimensional HA requisitos semelhantes para especificar por completo as outras fontes ideais dependentes Na Figura 22b a corrente de controle ia equacdo para a tensdo fornecida v é U dy i av Us Ply a polaridade de referéncia é a indicada e a constante multiplicativa p tem a dimensfo volts por ampére Na Figura 22c a tensao de a c controle v a equacao para a corrente fornecida i é 1 Qv a direcdo de referéncia é a indicada e a constante multiplicativa a tem a dimensdo ampéres por volt Na Figura 22d a corrente de Us ply i Bi controle i a equacdo para a corrente fornecida i é i Bl a direcdo de referéncia é a indicada e a constante multiplicativa B b d adimensional Por fim em nossa discuss4o sobre fontes ideais observamos que elas sao exemplos de ele mentos ativos de circuito Um elemento ativo é aquele que modela um dispositivo capaz de gerar energia elétrica Elementos passivos modelam dispositivos fisicos que nado podem gerar energia elétrica Resistores indutores e capacitores sio exemplos de elementos passivos de cir cuito Os exemplos 21 e 22 ilustram como as caracteristicas de fontes ideais independentes e dependentes limitam os tipos de interconexao permissivel das fontes EXEMPLO 21 Teste de interconexdes de fontes ideais Usando as definigdes de fontes de tensdo e corrente ideais independentes diga quais das intercone x6es da Figura 23 séo permissiveis e quais infringem as restrigdes impostas pelas fontes ideais Solugao A conex4o a é valida Cada fonte fornece tenséo pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso exige que cada uma delas fornega a mesma tensAo com a mesma polaridade que é 0 que ocorre A conexAo b é valida Cada fonte fornece corrente que flui pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso requer que cada uma delas fornega a mesma corrente na mesma diregao que é 0 que ocorre A conexAo c nao é permissivel Cada fonte fornece tenséo pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso exige que cada uma delas fornega a mesma tenséo com a mesma polaridade o que nao ocorre A conexao d nao é permissivel Cada fonte fornece corrente que flui pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso exige que cada uma delas forneca a mesma corrente na mesma direao o que nao ocorre Circuitos elétricos A conexAo e é valida A fonte de tenso fornece tensdo pelo par de terminais denominados ab A fonte de corrente fornece corrente que flui pelo mesmo par de terminais Visto que uma fonte ideal de tenséo gera a mesma tensdo independentemente da corrente e uma fonte ideal de corrente for nece a mesma corrente independentemente da tens4o tratase portanto de uma conex4o permissivel Figura 23 Circuitos para o Exemplo 21 SA 2A SA rO4 rO4 FO b b b a b c d e EXEMIPLO 22 Teste de interconexdes de fontes ideais independentes e dependentes Usando as definigdes de fontes ideais independentes e dependentes diga quais das interconexées da Figura 24 sao validas e quais infringem as restrigdes impostas pelas fontes ideais Solugao A conex4o a é invalida Tanto a fonte independente quanto a dependente fornecem tensdo pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso requer que cada uma delas forneca a mesma tensdo com a mesma polaridade A fonte independente fornece 5 V mas a fonte dependente fornece 15 V A conexAo b é valida A fonte de tensao independente fornece tensAo pelo par de terminais deno minados ab A fonte de corrente dependente fornece corrente que flui pelo mesmo par de terminais Se uma fonte ideal de tensao fornece a mesma tensdo independentemente da corrente e uma fonte ideal de corrente fornece a mesma corrente independentemente de tensdo tratase de uma conex4o permissivel A conexao c é valida A fonte de corrente independente fornece corrente que flui pelo par de ter minais denominados ab A fonte de tensaéo dependente fornece tenséo pelo mesmo par de terminais Tendo em vista que uma fonte ideal de corrente fornece a mesma corrente independentemente da tenso e uma fonte ideal de tensao fornece a mesma tensdo independentemente da corrente essa é uma conex4o permissivel A conexdéo d é invdlida Tanto a fonte independente quanto a dependente fornecem correntes que fluem pelo mesmo par de terminais denominados ab Isso requer que cada uma delas forneca a mesma corrente na mesma direcdo de referéncia A fonte independente fornece 2 A mas a fonte dependente fornece 6 A na direcao oposta Figura 24 Circuitos para o Exemplo 22 a a a a mms make 1 ae C1 364 v5V vy5V i2A i2A b b b b a b c d Capitulo 2 e Elementos de circuitos PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Entender elementos basicos ideais de circuito 21 Para o circuito mostrado ae a Qual é 0 valor requerido de v para que a intercone xo seja valida b Para esse valor de v determine a poténcia associada Ip o o BA a fonte de 8 A 4 Resposta a 2 V b 16 W 16 W fornecidos 22 Para o circuito mostrado ae a Qual é o valor requerido de a para que a interconexaio seja valida 4 b Para o valor de a calculado na parte a determine a po téncia associada a fonte de 25 V IA Ux 25V Resposta a 06 AV b 375 W 375 W absorvidos NOTA tente resolver também os problemas 26 e 27 apresentados no final deste capitulo 22 Resisténcia elétrica lei de Ohm Resisténcia é a capacidade dos materiais de impedir o fluxo de corrente ou mais especifi camente o fluxo de carga elétricaO elemento de circuito usado para modelar esse comporta mento o resistor A Figura 25 mostra o simbolo de circuito para o resistor onde R denota 0 valor da resisténcia do resistor Podemos entender o conceito de resisténcia ao imaginarmos os elétrons que comp6em a corrente elétrica interagindo com a estrutura atémica do material em que estao se movimentando a qual por sua vez resiste a eles No Figura 25 Simbolo de circuito para decurso dessas interagées uma parte da energia elétrica é convertida em ener um resistor com uma gia térmica e dissipada sob a forma de calor Esse efeito pode ser indesejavel resistencia F Contudo muitos dispositivos elétricos tteis aproveitam o aquecimento de resis R téncias como fog6es torradeiras ferros de passar e aquecedores de ambientes Ww A maioria dos materiais exibe resisténcia mensuravel a corrente A quan tidade de resisténcia depende do material Metais como cobre e aluminio tém Figura 26 Duas possiveis opgoes de valores pequenos de resisténcia o que os torna boas opées de fiagéo para eee are ore conducao de corrente elétrica Na verdade quando condutores de cobre ou um resistor as equacées aluminio so representados em um diagrama do circuito eles nao so de resultantes modo geral modelados como resistores a resisténcia do fio tao pequena em 4 4 comparagao com a resisténcia de outros elementos no circuito que podemos desprezala para simplificar o diagrama i Ri t R Para fins de andlise de circuitos devemos relacionar a corrente no resistor a tensAo terminal Podemos fazer isso de dois modos na diregéo da queda de tensao no resistor ou na diregao da elevacao de tensao no resistor como mostra viR viR a Figura 26 Se escolhermos a primeira a relacdo entre a tensdo e a corrente é Circuitos elétricos Lei de Ohm vik 21 onde v a tensao em volts iacorrente em ampéres Raresisténcia em ohms Se escolhermos 0 segundo método devemos escrever vik 22 em que vie R sao como antes medidas em volts ampéres e ohms respectivamente Os sinais algébricos utilizados nas equacgodes 21 e 22 so uma consequéncia direta da convencao pas siva que apresentamos no Capitulo 1 As equagoes 21 e 22 sao conhecidas como lei de Ohm em homenagem a Figura 27 Diagrama de circuito Georg Simon Ohm um fisico alem4o que demonstrou a validade delas no ini para um resistor de 8 cio do século XIX A lei de Ohm a relacdo algébrica entre tensdo e corrente 80 para um resistor Em unidades do SI a resisténcia medida em ohms A letra ewe grega Omega é o simbolo padrao para o ohm O diagrama de circuito para um resistor de 8 0 é mostrado na Figura 27 A lei de Ohm expressa a tens4o como uma fungao da corrente Contudo expressar a cor rente como uma fungao da tensio também é conveniente Assim pela Equagao 21 i Rp 23 ou pela Equagao 22 PR 24 O inverso da resisténcia é denominado condutancia simbolizada pela letra G e medida em siemens S Assim G S R 25 Um resistor de 8 0 tem um valor de condutancia de 0125 S Em grande parte da literatura profissional a unidade usada para condutancia é o mho ohm ao contrario que é simbolizada por um 6mega invertido U Portanto também podemos afirmar que um resistor de 8 tem uma condutancia de 0125 mho 0 Usamos resistores ideais em andlise de circuitos para modelar o comportamento de dis positivos fisicos Usar 0 adjetivo ideal nos faz lembrar que o modelo do resistor adota varias premissas simplificadoras sobre 0 comportamento dos dispositivos resistivos reais A mais importante dessas premissas simplificadoras é que a resisténcia do resistor ideal é constante e seu valor nao varia ao longo do tempo A maioria dos dispositivos resistivos reais nao tem resisténcia constante e na verdade suas resisténcias variam com o tempo O modelo do resis tor ideal pode ser usado para representar um dispositivo fisico cuja resisténcia nao varia muito em relagao a algum valor constante no periodo de interesse da andlise de circuitos Neste livro admitimos que as premissas simplificadoras adotadas para dispositivos resistivos sAo validas e assim usamos resistores ideais em analise de circuitos Podemos calcular a potência nos terminais de um resistor de várias maneiras A primeira abordagem é usar a equação definidora e simplesmente calcular o produto entre tensão e cor rente no terminal Para os sistemas de referência mostrados na Figura 26 escrevemos p vi 26 quando v i R e p vi 27 quando v i R Um segundo método para expressar a potência nos terminais de um resistor expressa potência em termos da corrente e da resistência Substituindo a Equação 21 na Equação 26 obtemos p vi i Ri portanto p i2 R 28 Da mesma forma substituindo a Equação 22 na Equação 27 temos p vi i Ri i2R 29 As equações 28 e 29 são idênticas e demonstram claramente que independentemente da polaridade da tensão e da direção da corrente a potência nos terminais de um resistor é posi tiva Por conseguinte um resistor absorve potência do circuito Um terceiro método para expressar a potência nos terminais de um resistor é em termos da tensão e da resistência A expressão independe das referências de polaridade portanto p v2 R 210 Em alguns casos o valor de um resistor será expresso como uma condutância em vez de uma resistência Usando a relação entre resistência e condutância dada na Equação 25 tam bém podemos escrever as equações 29 e 210 em termos da condutância ou p i2 G 211 p v2G 212 As equações 26 a 212 apresentam uma variedade de métodos para calcular a potên cia absorvida por um resistor Todos dão a mesma resposta Quando analisar um circuito examine as informações dadas e escolha a equação de potência que usa essas informa ções diretamente O Exemplo 23 ilustra a aplicação da lei de Ohm em conjunto com uma fonte ideal e um resistor Também são ilustrados cálculos de potência nos terminais de um resistor t Potência em um resistor em termos de corrente t Potência em um resistor em termos de tensão Capítulo 2 Elementos de circuitos 33 Book Nilsson 1indb 33 290116 1208 Circuitos elétricos EXEMPLO 23 Calculo de tensao corrente e poténcia para um circuito resistivo simples Em cada circuito da Figura 28 0 valor de v ou dei é Figura 28 Circuitos para o Exemplo 23 desconhecido in a Calcule os valores de U e i Or v 80 s0v 02 S b Determine a poténcia consumida em cada resistor Solugao a b a A tensao v na Figura 28a uma queda na diregao da corrente no resistor Portanto v 18 8V 1A Ye 200 7 s0v t lq A corrente i no resistor que tem uma condutancia de 02 S na Figura 28b esta na direcéo da queda de tensao c d no resistor Assim i 5002 10 A A tensao v na Figura 28c é uma elevagao na direao da corrente no resistor Dai v 120 20 V A corrente i no resistor de 25 Q da Figura 28d esta na direcao da elevagao de tensao no resistor Portanto 50 ig sr 2A 6 25 b A poténcia consumida em cada um dos quatro resistores é 8 Psa 3 18 8 W Pogs 50702 500 W 20 P20 120 20 W 20 50 P20 55 225 100 W PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber enunciar e utilizar a lei de Ohm L 23 Para o circuito mostrado a Se v1 kVe i 5 mA determine o valor de R e a poténcia ab sorvida pelo resistor b Se i 75 mA e a poténcia liberada pela fonte de tensao é 3 W Ys e us determine v Rea poténcia absorvida pelo resistor c Se R300 1 e a poténcia absorvida por R é 480 mW determine i g Uy Resposta a 200 kQ 5 W b 40 V 53333 0 3 W c 40 mA 12 V Capitulo 2 e Elementos de circuitos 24 Para o circuito mostrado a se i 05 Ae G50 mS determine vea poténcia liberada pela fonte de corrente bse v em 15 V e a poténcia entregue ao condutor é 9 W determine a condutancia G e a corrente da fonte 7 c se G 200 pS e a poténcia liberada para a condutancia é 8 W de ae termine i U ig Ue G Resposta a 10 V 5 W b 40 mS 06 A c 40 mA 200 V NOTA tente resolver também os problemas 211 e 212 apresentados no final deste capitulo Agora que ja apresentamos as caracteristicas gerais de fontes e resistores ideais mostrare mos como utilizar esses elementos para construir o modelo de circuito de um sistema pratico 23 Construcgao de um modelo de circuito Ja afirmamos que uma das raz6es do interesse nos elementos basicos de circuito que eles podem ser utilizados para construir modelos de sistemas praticos O trabalho de desenvolver um modelo de dispositivo ou sistema é tao complexo quanto o exigido para resolver o circuito derivado Embora este livro enfatize as habilidades requeridas para resolver circuitos a pra tica da engenharia elétrica demanda também outras habilidades e uma das mais importantes é a de modelagem Desenvolvemos modelos de circuitos nos dois exemplos apresentados a seguir No Exem plo 24 construimos um modelo de circuito baseado no conhecimento do comportamento dos componentes do sistema e no modo como eles estao interconectados No Exemplo 25 criamos um modelo de circuito medindo 0 comportamento de um dispositivo a partir de seus terminais EXEMPLO 24 Construgao de um modelo de circuito para uma lanterna Construa um modelo de circuito para uma lanterna Figura 29 Uma lanterna pode ser considerada um sistema Solugao elétrico Escolhemos a lanterna para ilustrar um sistema pratico porque seus componentes sao bem conhecidos A Figura 29 mostra a ima gem de uma lanterna comum Quando se analisa uma lanterna como um sistema elétrico os componentes de interesse primordial so as pilhas a lampada o ay P conector 0 invdlucro e o interruptor Vamos examinar 0 modelo de circuito para cada componente Uma pilha alcalina mantém uma tensAo razoavelmente constante iff no terminal se a demanda de corrente nao é excessiva Assim se 5 a pilha estiver funcionando dentro dos limites pretendidos pode 2 remos modelala como uma fonte ideal de tensdo Entao a tensio E prescrita é constante e igual 4 soma dos valores de duas pilhas alcalinas O objetivo principal de uma lâmpada é emitir energia luminosa obtida pelo aquecimento de seu fila mento a uma temperatura alta o suficiente para provocar radiação na faixa da luz visível Podemos modelar a lâmpada com um resistor ideal Observe que nesse caso embora o resistor seja o respon sável pela quantidade de energia elétrica convertida em energia térmica ele não prevê quanto da energia térmica é convertido em energia luminosa No entanto o resistor usado para representar a lâmpada prevê a drenagem contínua de corrente das pilhas uma característica do sistema que tam bém é de interesse Neste modelo Rl simboliza a resistência da lâmpada O conector usado na lanterna desempenha dois papéis Em primeiro lugar fornece um caminho elétrico condutivo entre as pilhas e o invólucro Em segundo lugar ele é moldado por sobre uma mola de modo que também pode aplicar pressão mecânica ao contato entre as pilhas e a lâmpada O propósito dessa pressão mecânica é manter o contato entre as duas pilhas e entre elas e a lâmpada Consequentemente ao escolher o material condutivo do conector podemos vir a perceber que suas propriedades mecâni cas são mais importantes para o projeto da lanterna do que suas propriedades elétricas Sob o ponto de vista elétrico podemos modelar o conector como um resistor ideal denominado R1 O invólucro também cumpre uma finalidade mecânica e uma finalidade elétrica Do ponto de vista mecânico ele contém todos os outros componentes e propor ciona ao usuário um modo de segurar a lanterna Do ponto de vista elétrico proporciona uma conexão entre os outros elementos da lanterna Se o invólucro for de metal conduzirá a corrente entre as pilhas e a lâmpada Se for de plástico uma chapa estreita de metal den tro dele conectará o conector de mola ao interruptor Seja como for um resistor ideal que denominamos Rc modela a conexão elétrica fornecida pelo invólucro O componente final é o interruptor Em termos de ele tricidade é um dispositivo de dois estados LIGADO ON ou DESLIGADO OFF Um interruptor ideal não oferece resistência à corrente quando está LIGADO ON mas oferece resistência infinita à cor rente quando está DESLIGADO OFF Esses dois estados representam os valoreslimite de um resistor isto é o estado LIGADO ON corresponde a um resistor com valor numérico igual a zero e o estado DESLIGADO OFF a um resistor com valor numé rico infinito Os dois valores extremos recebem os nomes descritivos curtocircuito R 0 e circuito aberto R q As figuras 210 a e b mostram a representação gráfica de um curtocircuito e de um circuito aberto respectivamente O símbolo mos trado na Figura 210c representa o fato de que um interruptor pode ser um curtocircuito ou um circuito aberto dependendo da posição de seus contatos Construiremos agora o modelo de circuito da lan terna Começando com as pilhas o terminal positivo Figura 210 Símbolos de circuito a Curtocircuito b Circuito aberto c Interruptor DESLIGADO LIGADO a b c Lâmpada Terminal do flamento Pilha 1 Invólucro Interruptor deslizante Pilha 2 Figura 211 O arranjo dos componentes da lanterna Circuitos elétricos 36 Book Nilsson 1indb 36 290116 1208 Capitulo 2 e Elementos de circuitos da primeira conectado ao terminal negativo da segunda como mostra a Figura 211 O terminal positivo da segunda é conectado a um dos terminais da lampada O outro terminal da lampada faz contato com um lado do interruptor e o outro lado do interruptor esta conectado ao invélucro metalico da lanterna Entao 0 invélucro metadlico é conectado ao terminal negativo da primeira pilha por meio de uma mola de metal Observe que os elementos formam um caminho ou cir cuito fechado Vocé pode ver o caminho fechado formado pelos elementos conectados na Figura 211 A Figura 212 mostra um modelo de circuito para a lanterna Figura 212 Modelo de circuito para uma lanterna Us R Ry R Com o nosso exemplo da lanterna podemos fazer algumas observagOes gerais sobre modelagem em primeiro lugar ao desenvolver um modelo de circuito o comportamento eé trico de cada componente fisico é de primordial interesse No modelo da lanterna trés com ponentes fisicos muito diferentes uma lampada uma mola e um involucro de metal sao todos representados pelo mesmo elemento de circuito um resistor porque o fendmeno elé trico que ocorre em cada um deles é o mesmo Cada um apresenta uma resisténcia 4 passagem da corrente pelo circuito Em segundo lugar modelos de circuitos talvez precisem levar em conta efeitos elétri cos indesejaveis tanto quanto os desejaveis Por exemplo o calor resultante da resisténcia da lampada produz luz um efeito desejado Todavia 0 calor resultante da resisténcia do inv6lu cro e da mola representa um efeito indesejado ou parasita O calor drena as pilhas e nao pro duz nenhum resultado util Tais efeitos parasitas devem ser levados em conta sob pena de o modelo resultante nao representar adequadamente o sistema Por fim modelagem requer aproximagaéo Mesmo no sistema basico representado pela lanterna adotamos premissas simplificadoras no desenvolvimento do modelo de cir cuito Por exemplo admitimos um interruptor ideal mas na pratica a resisténcia de con tato pode ser alta o suficiente para interferir com o funcionamento adequado do sistema Nosso modelo nao prevé esse comportamento Além disso admitimos que a mola conec tora exerce press4o suficiente para eliminar qualquer resisténcia de contato entre as pilhas Nosso modelo nao prevé pressao inadequada Utilizamos uma fonte ideal de tensdo por tanto ignoramos qualquer dissipaao interna de energia nas pilhas que poderia resultar no aquecimento parasita que acabamos de mencionar Poderiamos levar isso em conta adicio nando um resistor ideal entre a fonte e o resistor da lampada Em nosso modelo admitimos que a perda interna é desprezivel Ao modelar a lanterna como um circuito tinhamos um entendimento bdsico e acesso aos componentes internos do sistema No entanto as vezes s6 conhecemos 0 comportamento de um dispositivo a partir de seus terminais e temos de usar essa informac4o para construir 0 modelo O Exemplo 25 examina tal problema de modelagem Circuitos elétricos EXEMPLO 25 Construgao de um modelo de circuito baseado em medigdes em terminais A tensao e a corrente sdo medidas nos terminais do dispo Figura 213 a Dispositivo b dados para 0 sitivo ilustrado na Figura 213a e os valores de v e i estao Exemplo 25 tabulados na Figura 213b Construa um modelo de circuito do dispositivo que esta dentro do quadrado ht Solugdo A representagao grafica da tenséo como uma fungao da cor Disposi of o 1vO rente resulta no grafico mostrado na Figura 214a A equa cdo da reta nessa figura ilustra que a tens4o no terminal é diretamente proporcional a corrente U 4i Em termos da a b lei de Ohm o dispositivo dentro do quadrado comportase como um resistor de 4 2 Portanto o modelo para esse dispo sitivo é um resistor de 4 0 como vemos na Figura 214b Voltaremos a essa técnica de utilizacao das caracteristicas terminais para construir um modelo de cir cuito depois da apresentacaéo das leis de Kirchhoff e da andlise de circuitos Figura 214 a Valores de vu versus para 0 dispositivo da Figura 213 b Modelo de circuito para 0 dispositivo da Figura 213 iy uV 40 20 vy 40 0 5 10 a 40 iA a b NOTA avalie seu entendimento desse exemplo tentando resolver os problemas 214 215 apresentados no final deste capitulo 24 Leis de Kirchhoff Dizse que um circuito esta resolvido quando a tensd4o nos terminais de cada elemento e a corrente que flui por ele foram determinadas A lei de Ohm é uma equagao importante para derivar essas solugdes Contudo essa lei pode nao ser suficiente para fornecer uma solugdo completa Como veremos ao tentarmos resolver o circuito da lanterna do Exemplo 24 preci samos usar duas relacg6es algébricas mais importantes conhecidas como leis de Kirchhoff para resolver a maioria dos circuitos Comegamos desenhando novamente o circuito como mostra a Figura 215 com o interrup tor no estado LIGADO ON Observe que também rotulamos as varidveis de corrente e ten sao associadas a cada resistor e a corrente associada a fonte de tensdo O rotulo inclui também as polaridades de referéncia como sempre Por conveniéncia acrescentamos aos rotulos de ten sao e corrente o mesmo indice dos rétulos dos resistores Na Figura 215 também eliminamos alguns dos pontos que representavam terminais na Figura 212 e inserimos nos Pontos terminais s40 Os pontos iniciais e finais de um elemento individual de circuito Um no é um ponto no qual dois ou mais elementos de circuito se unem Para usar a lei das correntes de Kirchhoff é neces sario identificar os nds como veremos em breve Na Figura 215 os nés sao rotulados a bc e d Capitulo 2 e Elementos de circuitos O no d conecta a pilha e a lampada estendendose até a parte Figura 215 Modelo de circuito da lanterna com variaveis superior do diagrama embora tenhamos rotulado um Unico designadas de tensao e corrente ponto por conveniéncia Os pontos dos dois lados do interrup d tor indicam seus terminais mas precisamos apenas de um para representar um n6 portanto somente um é denominado né c No circuito mostrado na Figura 215 podemos identifi Us tis is u SR z o 8 we 8 2 l Lo car sete incdgnitasiii 1 Vj U U Lembrese de que v v Uv uma tensao conhecida porque representa a soma das tensdes nos terminais das duas pilhas uma tensao constante de 3 VO a Ry b R c problema é determinar as sete varidveis desconhecidas Pela algebra sabemos que para determinar 1 quantidades desconhecidas ou incégnitas temos de resolver n equagoOes simultaneas independentes Pela nossa discussao da lei de Ohm na Segao 22 sabemos que trés das equacgGes necessarias sao v iR 213 VLR 214 viR 215 E as outras quatro equacdes A interconexao de elementos de circuito impée limitag6es a relagdo entre as tensdes e correntes nos terminais Essas limitagdes sfo denominadas leis de Kirchhoff nome que se deve a Gustav Kirchhoff o primeiro a enuncidlas em um artigo publicado em 1848 As duas leis que determinam as limitacdes em linguagem matematica sao conhecidas como a lei das correntes de Kirchhoff e a lei das tensdes de Kirchhoff Agora podemos enunciar a lei das correntes de Kirchhoff A soma algébrica de todas as correntes em qualquer n6 de um circuito é igual a zero Lei das correntes at de Kirchhoff Para usar a lei das correntes de Kirchhoff devese designar um sinal algébrico correspon LCK dente a direcdo de referéncia para cada corrente no no Atribuir um sinal positivo a uma cor rente que sai de um né significa atribuir um sinal negativo a uma corrente que entra em um no De outra forma atribuir um sinal negativo a uma corrente que sai de um no significa atribuir um sinal positivo a uma corrente que entra em um no A aplicagao da lei das correntes de Kirchhoff aos quatro nés do circuito mostrado na Figura 215 usando a convengao de que correntes que saem de um n6 sAo consideradas posi tivas resulta em quatro equacoes noa ii0 216 nob i i0 217 noc ii0 218 nod ii0 219 Observe que as equacées 216 a 219 nado sAo um conjunto independente porque qualquer uma das quatro pode ser derivada das outras trés Em qualquer circuito com n nos n 1 equa cdes independentes podem ser derivadas da lei das correntes de Kirchhoff Desprezemos a Falaremos mais sobre essa observacao no Capitulo 4 Equação 219 para termos seis equações independentes ou seja equações 213 a 218 Precisa mos de mais uma que podemos derivar da lei das tensões de Kirchhoff Antes de enunciar a lei das tensões de Kirchhoff devemos definir um caminho fechado ou laço Começando em um nó escolhido arbitrariamente traçamos um caminho fechado per correndo um trajeto que passa pelos elementos básicos de circuito selecionados e retorna ao nó original sem passar por qualquer nó intermediário mais de uma vez O circuito mostrado na Figura 215 tem somente um caminho fechado ou laço Por exemplo escolhendo o nó a como ponto de partida e fazendo o trajeto no sentido horário formamos o caminho fechado passando pelos nós d c b e voltando ao nó a Agora podemos enunciar a lei das tensões de Kirchhoff A soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer caminho fechado em um cir cuito é igual a zero Para usar a lei das tensões de Kirchhoff devemos designar um sinal algébrico direção de referência a cada tensão no laço À medida que traçamos um caminho fechado aparecerá uma queda ou uma elevação de tensão na direção que escolhemos Atribuir um sinal positivo a uma elevação de tensão significa atribuir um sinal negativo a uma queda de tensão De outra forma atribuir um sinal negativo a uma elevação de tensão significa atribuir um sinal positivo a uma queda de tensão Aplicamos agora a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito mostrado na Figura 215 Escolhemos traçar o caminho fechado em sentido horário designando um sinal algébrico posi tivo às quedas de tensão Começando no nó d temos a expressão vl vc v1 vs 0 220 que representa a sétima equação independente necessária para encontrar as sete variáveis desconhecidas mencionadas anteriormente Pensar em resolver sete equações simultâneas para determinar a corrente fornecida à lâmpada de uma lanterna por um par de pilhas não é nada animador Portanto nos próximos capítulos apresentaremos técnicas analíticas que mostram como resolver um circuito simples de um só laço escrevendo uma única equação Contudo antes de passarmos para a discussão dessas técnicas de circuito precisamos fazer várias observações sobre a análise detalhada do circuito da lanterna De modo geral essas observações são válidas e por conseguinte impor tantes para as discussões nos capítulos subsequentes Elas também dão sustentação à afirma tiva de que o circuito da lanterna pode ser resolvido definindose uma única incógnita Em primeiro lugar observe que se conhecemos a corrente em um resistor também conhe cemos sua tensão pois corrente e tensão estão diretamente relacionadas pela lei de Ohm Assim podemos associar uma única variável desconhecida a cada resistor seja a corrente ou a tensão Digamos que escolhemos a corrente como variável desconhecida Então assim que resolver mos a corrente desconhecida no resistor podemos determinar a tensão no resistor De modo geral se conhecemos a corrente em um elemento passivo podemos achar a tensão em seus ter minais o que reduz bastante o número de equações simultâneas a resolver Por exemplo no cir cuito da lanterna eliminamos as tensões vc vl e v1 como incógnitas Portanto já de saída redu zimos a tarefa analítica à resolução de quatro equações simultâneas em vez de sete A segunda observação geral está relacionada às consequências de conectar somente dois elementos para formar um nó De acordo com a lei das correntes de Kirchhoff quando ape nas dois elementos estão conectados a um nó se conhecemos a corrente em um deles também Lei das u tensões de Kirchhoff LTK Circuitos elétricos 40 Book Nilsson 1indb 40 290116 1208 Capitulo 2 e Elementos de circuitos podemos conhecer a do outro Em outras palavras s6 precisamos definir uma Unica corrente desconhecida para os dois elementos Quando apenas dois elementos se conectam em um unico n6 dizse que estéo em série A importancia dessa segunda observacao é ébvia quando verificamos que cada no no circuito mostrado na Figura 215 envolve somente dois elementos Assim preciso definir apenas uma corrente desconhecida A razao disso que as equagdes 216 a 218 levam diretamente 4 equagao iii1 221 segundo a qual se vocé conhecer a corrente de qualquer um dos elementos conhecera todas Por exemplo optar por i como incognita elimina ii e iO problema restringese a determi nar uma incognita ou seja i Os exemplos 26 e 27 ilustram como escrever equagoes de circuito baseadas nas leis de Kir chhoffO Exemplo 28 ilustra como usar as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar uma corrente desconhecida O Exemplo 29 amplia a técnica apresentada no Exemplo 25 para cons truir um modelo de circuito para um dispositivo cujas caracteristicas terminais so conhecidas EXEMPLO 26 Aplicagao da lei das correntes de Kirchhoff Some as correntes em cada no do circuito mostrado na Figura 216 Observe que nao ha nenhum ponto de conexao no centro do diagrama onde o ramo de 4 cruza 0 ramal que contém a fonte ideal de corrente i oe Figura 216 Circuito para o Exemplo 26 Solugao b Ao escrever as equagOes usamos um sinal positivo para i 4 L uma corrente que sai do no As quatro equagdes sao Ag 1 A nda i tii i0 a c no b i ii i i 0 2 3 1 b a i noc i t iyi 0 IN nod is i i 0 d EXEMPLO 27 Aplicagao da lei das tensdes de Kirchhoff Figura 217 Circuito para 0 Exemplo 27 Some as tensGes ao longo de cada caminho designado 10 d 20 no circuito mostrado na Figura 217 v Solugao Ct sys v3 40 Ao escrever as equagoes Usamos um sinal positivo para Ss uma queda de tensdo As quatro equacgGes sao 3Q caminhoa UUUU U0 a caminhob vvv0 60 caminhoc UUVU Ue U5 0 Va oy caminhod vv0vU0vv0 d 70 Circuitos elétricos EXEMPLO 28 Aplicagao da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff para determinar uma corrente desconhecida a Use as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para deter Figura 218 Circuito para 0 Exemplo 28 minar i no circuito mostrado na Figura 218 0 b Teste a solucao para i verificando se a poténcia total i gerada é igual a poténcia total dissipada 120V 500 1 6A Solugao a Comegamos desenhando novamente 0 circuito e Figura 219 0 circuito mostrado na Figura 218 com as designando uma corrente desconhecida ao resistor incognitas vu v definidas de 50 0 e tensGes desconhecidas nos terminais dos a 100 b resistores de 10 0 e 50 0 A Figura 219 mostra o 7 r circuito Os nés sao rotulados a b e c para auxiliar fo pov is SOQ ys Or a discussao Como i também a corrente na fonte de 120 V temos duas correntes desconhecidas e portanto devemos derivar duas equag6es simultaneas envolvendo i e i Obtemos uma das equagoes aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao no b ou c Somando as correntes no n6 b e designando um sinal posi tivo as correntes que saem do n6 temos i i60 Obtemos a segunda equacao pela lei das tensdes de Kirchhoff combinada com a lei de Ohm Sabendo que pela lei de Ohm v 107 e v 50isomamos as tenses ao longo do caminho fechado cabc obtendo 120 107 50i 0 Quando escrevemos essa equacaéo designamos um sinal positivo as quedas no sentido hordrio Resol vendo essas duas equag6es para i e i temos i3Aei3A b A poténcia dissipada no resistor de 50 0 é Psa 350 450 W A poténcia dissipada no resistor de 10 0 é Prog 310 90 W A poténcia fornecida a fonte de 120 V é Prov 71201 1203 360 W A poténcia fornecida a fonte de 6 A é Poa U 6 mas V S0i 150 V Portanto Poa 1506 900 W A fonte de 6 A esta fornecendo 900 W e a fonte de 120 V esta absorvendo 360 W A poténcia total absorvida 360 450 90 900 W Portanto a solugdo confirma que a poténcia fornecida é igual a poténcia absorvida Capitulo 2 e Elementos de circuitos EXEMPLO 29 Construgao de um modelo de circuito baseado em medigées terminais A tensdo e acorrente terminais foram medidas no dispositivo Figura 220 a Dispositivo e b dados para o mostrado na Figura 220a e os valores encontrados de v i Exemplo 29 esto tabulados na Figura 220b i a Construa um modelo de circuito para o dispositivo dentro Cons para o disp 7 a caixa Dispos 30 0 b Usando esse modelo determine a poténcia que esse dispo tivo sitivo fornecera a um resistor de 10 o 6 Solugao a b a A representacao grafica da tensfo como uma fungao da corrente é mostrada na Figura 221a A equagao da reta é v 30 Si Precisamos identificar agora os componentes de um modelo Figura 221 a Grafico de v versus i para 0 que produzirao a mesma relagdo entre tensdo e corrente A dispositivo da Figura 220a b lei das tensdes de Kirchhoff nos diz que as quedas de tensao Modelo de circuito resultante para doi t om das Pel 0 dispositivo da Figura 220a em dois componentes em série séo somadas Pela equagao um conectado a um resistor de 10 Q desses componentes produz uma queda de 30 V independen temente da corrente Esse componente pode ser modelado V como uma fonte de tensdo ideal independente O outro com 30 ponente produz uma queda de tens4o positiva na diregaéo da corrente i Como a queda de tensao proporcional a corrente 15 a lei de Ohm nos diz que esse componente pode ser modelado como um resistor ideal com um valor de 5 O modelo de cir 3 6 A cuito resultante é representado dentro do retangulo tracejado da Figura 221b a b Conectamos agora um resistor de 10 0 ao dispositivo da BQ og Figura 221b para completar o circuito A lei das cor s jt rentes dle Kirchhoff nos diz que a corrente no resistor s0v 100 de 10 é igual a corrente no resistor de5 0 Usandoa lei das tensdes de Kirchhoff e a lei de Ohm podemos escrever a equacao para as quedas de tensdo aolongodo b circuito comegando na fonte de tens4o e prosseguindo b em sentido hordario 30 5i 10i0 Resolvendo para i obtemos i2A Uma vez que esse 0 valor da corrente que flui no resistor de 10 podemos usar a equagao de potén cia p R para calcular a poténcia fornecida a esse resistor Prog 210 40 W Circuitos elétricos a TR SUP fy AVALIAGAO Objetivo 2 Saber enunciar e usar a lei de Ohm e as leis de correntes e tensdes de Kirchhoff 30 25 Para o circuito mostrado calcule a 3 b V c Uy d v e e a poténcia fornecida pela fonte de 24 V yt Resposta a 2 A aad is ma b 4V a c 6V R 20 d 14 V 200v 120V 2 240 8a 26 Use a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff para deter minar o valor de R no circuito mostrado Resposta R 4 L 27 a A tensdo e a corrente terminais foram medidas no dispositivo mostrado Os valores de v e i sao dados na tabela Usando fos fo esses valores crie o grafico da reta v versus i Calcule a equa Disposi n cao da reta e usea para construir um modelo para o disposi tivo usando uma fonte ideal de tensao e um resistor b Use o modelo construido em a para prever a poténcia 0 025 que o dispositivo fornecera a um resistor de 25 a b Resposta a Uma fonte de 25 V em série com um resistor de 100 0 b 1 W 28 Repita o Problema para avaliagao 27 utilizando a equacao da reta representada no grafico para cons truir um modelo contendo uma fonte ideal de corrente e um resistor Resposta a Uma fonte de corrente de 025 A conectada aos terminais de um resistor de 100 2 b 1 W NOTA tente resolver também os problemas 218 219 229 e 231 apresentados no final deste capitulo 25 Analise de um circuito que contém fontes dependentes Vamos concluir esta introdugdo a andlise elementar de circuitos com a discusséo de um circuito que contém uma fonte dependente como mostra a Figura 222 Queremos usar as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para Figura 222 Circuito com uma fonte dependente determinar UV nesse circuito Antes de escrever as equacgoes a 50 b uma boa pratica é examinar atentamente o diagrama de cir Wy ji cuito Isso nos ajudara a identificar as informagdes conhecidas 500 V OQ ope Sig e as informagdes que devemos obter por meio de calculos Tam bém nos ajudara a elaborar uma estratégia para resolver o cir cuito usando apenas alguns calculos Um exame do circuito da Figura 222 revela que Assim que conhecermos io poderemos calcular vo usando a lei de Ohm Assim que conhecermos iD conheceremos também a corrente fornecida pela fonte depen dente 5iD A corrente na fonte de 500 V é iD Assim há duas correntes desconhecidas iD e io Precisamos construir e resolver duas equa ções independentes que envolvam essas duas correntes para determinar o valor de vo Observe no circuito o caminho fechado que contém a fonte de tensão o resistor de 5 V e o resistor de 20 V Podemos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff ao longo desse caminho fechado A equação resultante contém as duas correntes desconhecidas 500 5iD 20io 222 Precisamos agora gerar uma segunda equação contendo essas duas correntes Considere o caminho fechado formado pelo resistor de 20 V e a fonte de corrente dependente Se ten tarmos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff a esse laço não conseguiremos desenvolver uma equação útil porque não conhecemos o valor da tensão nos terminais da fonte de cor rente dependente Na verdade essa tensão é vo que é a aquela que estamos tentando calcu lar Escrever uma equação para esse laço não nos aproxima de uma solução Por essa mesma razão não usamos o caminho fechado que contém a fonte de tensão o resistor de 5 V e a fonte dependente Há três nós no circuito portanto recorremos à lei das correntes de Kirchhoff para gerar a segunda equação O nó a conecta a fonte de tensão e o resistor de 5 V como já havíamos observado a corrente nesses dois elementos é a mesma O nó b ou o nó c podem ser usados para construir a segunda equação por meio da lei das correntes de Kirchhoff Selecionando o nó b temos a seguinte equação io iD 5iD 6iD 223 Resolvendo as equações 222 e 223 para as correntes obtemos iD 4 A io 24 A 224 Usando a Equação 224 e a lei de Ohm para o resistor de 20 V podemos resolver para a tensão vo vo 20io 480 V Pense em uma estratégia de análise de circuito antes de começar a escrever equações Como demonstramos nem todo caminho fechado oferece uma oportunidade de escrever uma equação útil baseada na lei das tensões de Kirchhoff Nem todo nó proporciona uma aplicação útil da lei das correntes de Kirchhoff Uma consideração preliminar do problema pode aju dar a selecionar a abordagem mais proveitosa e as ferramentas de análise mais úteis para um determinado problema Escolher uma boa abordagem e as ferramentas adequadas normal mente reduz a quantidade e a complexidade das equações a resolver O Exemplo 210 ilustra outra aplicação da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff a um circuito com uma fonte depen dente O Exemplo 211 envolve um circuito bem mais complexo porém com uma cuidadosa escolha das ferramentas a análise fica relativamente descomplicada Capítulo 2 Elementos de circuitos 45 Book Nilsson 1indb 45 290116 1208 Circuitos elétricos EXENMIPLO 210 Aplicagao da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff para determinar uma tensao desconhecida a Use as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar a tensdo v como mostrado na Figura 223 b Mostre que sua solugdo é consistente com a restricao de que a poténcia total fornecida ao circuito é igual a Figura 223 Circuito para o Exemplo 210 poténcia total consumida 20 Solugao is ig a Umexame minucioso do circuito da Figura 223 revela que 10V 60 3 is 3 O30 e Ha dois caminhos fechados o da esquerda com a corrente ie o da direita com a corrente i e Uma vez conhecida i podemos calcular v Precisamos de duas equacgdes para as duas correntes Como ha dois caminhos fechados e ambos tém fontes de tens4o podemos aplicar a lei das tenses de Kirchhoff a cada um deles para obter as seguintes equag6es 10 6i 3i 2i 3i Resolvendo para as correntes temos i 167 A i1A Aplicando a lei Ohm ao resistor de 3 0 obtemos a tensdo desejada VU 31 3V b Para calcular a poténcia fornecida as fontes de tens4o usamos a equacao de poténcia na forma pviA poténcia fornecida a fonte de tensao independente é p 10167 167 W A poténcia fornecida 4 fonte de tenséo dependente é P 3i1 5C1 S5 W Ambas as fontes estao fornecendo poténcia e a poténcia total é 217 W Para calcular a poténcia fornecida aos resistores usamos a equacio de poténcia na forma p R A poténcia entregue ao resistor de 6 0 é p 1676 167 W A poténcia fornecida ao resistor de 2 0 é p122W A poténcia fornecida ao resistor de 3 0 é p13 3W Todos os resistores dissipam poténcia e a poténcia total dissipada é 217 W igual a poténcia total for necida pelas fontes Capitulo 2 e Elementos de circuitos EXEMPLO 211 Aplicagao da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff em um circuito amplificador O circuito da Figura 224 representa uma configuragao Figura 224 Circuito para o Exemplo 211 comum encontrada na andlise e no projeto de amplifica a dores transistorizados Admita que os valores de todos os elementos do circuito R R Ro Rp Veo Vo ic R tcc sejam conhecidos Cc a Escreva as equac6es necessdrias para determinar a i R 1 corrente em cada elemento desse circuito b A partir das equagées obtenha uma férmula para cal Vo Big Vee cular i com base nos valores dos elementos de circuito iB Ct Solugao Um exame cuidadoso do circuito revela um total de seis ia Ry 3 correntes desconhecidas designadas por i i ip ic ip f Re icc Para definir essas seis correntes desconhecidas usa d mos a observagao de que o resistor R esté em série com a fonte de corrente dependente Bi Devemos agora deduzir seis equagdes independentes envolvendo essas seis inc6gnitas a Podemos deduzir trés equag6es aplicando a lei das correntes de Kirchhoff a quaisquer trés dos nés abc ed Vamos usar os nos a b ec e considerar as correntes que saem desses nds como positivas 1 i tig ice 9 2 i i i 0 3 ip ip ic 0 Uma quarta equagao surge da imposicao da restrigdo apresentada pela conexao em série de R com a fonte dependente 4 i Bip Recorremos a lei das tensdes de Kirchhoff para deduzir as duas equac6es restantes Precisamos sele cionar dois caminhos fechados para usar a lei das tensdes de Kirchhoff Observe que a tensao na fonte de corrente dependente é desconhecida e nao pode ser determinada pela corrente da fonte Bi Portanto temos de selecionar dois caminhos fechados que nao contenham essa fonte de corrente dependente Escolhemos os circuitos bcdb e badb e especificamos as quedas de tensAo como positivas para obter 5 V iR iR 0 6 iR Vee iR 0 b Para obter uma Unica equacao para i em termos das varidveis de circuito conhecidas vocé pode seguir estas etapas e Resolver a Equacao 6 para i e substituir i na Equacao 2 e Resolver a Equacao transformada 2 para i e substituir 7 na Equacao 5 e Resolver a Equagao transformada 5 para i e substituir 7 na Equagao 3 Usar a Equacaéo 4 para eliminar i na Equacao 3 e Resolver a Equagao transformada 3 para i e rearranjar os termos para obter Circuitos elétricos i VecR2Ri Rx Vo BT Fe RiRoRi Ro 1 BRE 225 O Problema 231 pede que vocé verifique essas etapas Note que uma vez conhecida ip é facil obter as correntes restantes a TR SUP fy AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como calcular a poténcia para cada elemento em um circuito simples 29 Para o circuito mostrado determine a a corrente i em microampéres b a tensdo U em volts c a poténcia total gerada e d a poténcia total absorvida 1V tye 54kO 18 kO Resposta a 25 A b 2V c 6150 wW 5V 8V d 6150 uW 210 A corrente i no circuito mostrado é 2 A Determine a U 2i b a poténcia absorvida pela fonte de tensao independente c a poténcia fornecida pela fonte de corrente independente d a poténcia fornecida pela fonte de corrente controlada 100 e a poténcia total dissipada nos dois resistores Resposta a 70 V SA 1 300 U b 210 W ip c 300 W d 40 W e 130 W NOTA tente resolver também os problemas 232 e 233 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Aquecimento com radiadores elétricos Vamos determinar qual dos dois diagramas de instalagao elétrica apresentados no inicio deste capitulo deve ser usado para ligar os radiadores elétricos a energia fornecida para a garagem Comecgamos com o diagrama mostrado na Figura 225 Podemos transformdlo em um circuito modelando os radiadores como resistores O circuito resultante 6 mostrado na Figura 226 Note que cada radiador tem a mesma resisténcia R e 6 rotulada com um valor de tensao e corrente Para determinar as tensOes e correntes desconhecidas do circuito da Figura 226 comece escrevendo uma equagao LIK para o lado esquerdo do circuito Capitulo 2 e Elementos de circuitos 240 U as U 240 V Figura 225 Um diagrama de instalacao elétrica para dois radiadores Agora escreva uma equagao LTK para 0 lado direito do circuito Q Q Lembrese de que as especificagdes de poténcia e tensao para cada radiador sao 1200 W 240 V Portanto a configuragao mostrada Figura 226 Circuito baseado na Figura 225 na Figura 225 satisfaz a especificacao de tensao uma vez que cada i radiador teria uma tensao de alimentagao de 240 V a Em seguida calcule o valor da resisténcia R que vai modelar 1 1 corretamente cada radiador Queremos que a poténcia associada a 40 y C v1 2R vR cada radiador seja de 1200 W Use a equacao para poténcia de um oa oa resistor que envolva a resisténcia e a tensao 2 2 2 2 UT U2 Uy 240 PP R48 0 RR P 1200 Cada radiador pode ser modelado como uma resisténcia de 48 com uma queda de tensao de 240 V e poténcia de 1200 WA poténcia total para dois radiadores 6 portanto 2400 W Por fim calcule a poténcia fornecida pela fonte de 240 V Para isso calcule a corrente na fonte de tensao escrevendo uma equagao LCK no no superior da Figura 226 e use essa corrente para calcular a poténcia da fonte de tensao Uy U2 240 240 i ti tb 0 is hh PtP ae t Gg 104 P 240i 24010 2400W Assim a poténcia total do circuito 6 2400 2400 0 indicando equilibrio de poténcia Agora examine 0 outro diagrama mostrado na Figura 227 Sabemos que os radiadores podem ser modelados por meio de resistores de 48 que sao usados para converter o diagrama no circuito da Figura 228 Inicie a andlise do circuito da Figura 228 escrevendo uma equacao LTK 240 tu tv O vy vy 240 Em seguida escreva uma equagao LCK no né a Figura 227 Outra forma de conectar dois radiadores iy tip 0 SS i i i A corrente nas duas resisténcias 6 a mesma e podemos usala 249 v e Q nas equagoes da lei de Ohm para substituir as duas tensdes desconhe 2 cidas na equagao LTK 240 Figura 228 Um circuito baseado na Figura 227 481 481 240 966 i 25A 6 4gQ lx a a Use a corrente nos dois resistores para calcular a poténcia dos z Uy i dois radiadores 4 y P P Riv 4825 300 W 240 V vy 480 Assim se os radiadores são conectados como mostra a Figura 227 sua potência total será apenas 600 W Isso é insu ficiente para aquecer a garagem Portanto a forma como os radiadores são ligados exerce grande impacto sobre a quantidade de calor a ser fornecida Quando conectados usandose o diagrama da Figura 225 2400 W de potência estarão disponíveis mas quando conectados usandose o diagrama da Figura 227 somente 600 W de potência estarão disponíveis NOTA avalie sua compreensão da Perspectiva prática resolvendo os problemas 241 a 243 no final deste capítulo Resumo Os elementos de circuito apresentados neste capítulo são fontes de tensão fontes de corrente e resistores Uma fonte ideal de tensão mantém uma tensão entre seus terminais independen temente da corrente que flui por ela Uma fonte ideal de corrente mantém uma cor rente fluindo por ela independentemente da tensão em seus terminais Fontes de tensão e corrente são ditas independen tes quando não são influenciadas por qual quer outra corrente ou tensão no circuito ou dependentes quando seus valores são determinados por alguma outra corrente ou tensão no circuito Seção 21 Um resistor impõe uma proporcionalidade entre a tensão em seus terminais e a corrente que flui por ele O valor da constante de pro porcionalidade é denominado resistência e é medido em ohms Seção 22 A lei de Ohm estabelece a proporcionali dade entre tensão e corrente em um resistor Especificamente v iR se o fluxo de corrente no resistor estiver na dire ção da queda da tensão que lhe é aplicada ou v iR se o fluxo de corrente no resistor estiver na dire ção da elevação da tensão que lhe é aplicada Seção 22 Combinando a equação de potência p vi com a lei de Ohm podemos determinar a potência absorvida por um resistor p i2R v2R Seção 22 Circuitos são descritos por nós e caminhos fechados Um nó é um ponto no qual dois ou mais elementos de circuito se unem Quando apenas dois elementos se conectam para for mar um nó dizse que estão em série Um cami nho fechado é um laço que passa por elemen tos conectados começa e termina no mesmo nó e passa por cada nó intermediário apenas uma vez Seção 24 As tensões e correntes de elementos de circuito interconectados obedecem às leis de Kirchhoff Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica de todas as correntes em qualquer nó de um circuito seja igual a zero Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer caminho fechado em um circuito seja igual a zero Seção 24 Um circuito é resolvido quando são determi nadas a tensão entre os terminais e a corrente que flui em cada elemento que o compõe Com binando o entendimento do funcionamento de fontes independentes e dependentes da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff podemos resolver muitos circuitos simples Circuitos elétricos 50 Book Nilsson 1indb 50 290116 1208 Capitulo 2 e Elementos de circuitos Problemas Secao 21 21 a A interconexao de fontes ideais no cir 24 Sea interconexao na Figura P24 é valida cuito da Figura P21 é valida Explique determine a poténcia total fornecida pelas b Identifique as fontes que estao forne fontes de tensdo Se a interconex4o nao é cendo poténcia e as que estao absor valida explique a razao vendo poténcia Figura P24 c Verifique se a poténcia total fornecida no 3A circuito é igual 4 poténcia total absorvida S d Repita ac invertendo a polaridade Raia 0 invents ap OM wQ Os da fonte de 20 V Figura P21 15 V 4A C 25 A interconexao de fontes ideais pode resultar em uma solucao indeterminada Com isso em 20V C1 5A mente explique por que as solug6es para v V no circuito da Figura P25 nao sao tnicas Figura P25 22 Se a interconex4o na Figura P22 é valida 12V determine a poténcia total fornecida no cir cuito Se a interconexao nao valida explique 4 a razao 2a tsa e 3A Figura P22 io C GS w 40V 26 Considere a interligagdo mostrada na Figura P26 a Qual o valor de v necessdrio para tor nar valida essa interligacao Coo b Para esse valor de v determine a potén 23 Se a interconex4o na Figura P23 é valida as cia associada a fonte de tensao determine a poténcia fornecida pelas fontes de corrente Se a interconex4o nao é valida Figura P26 explique a razao Figura P23 U1 40 V 400 mA Ct v450 10A 1 Ct 5A 27 Considere a interligagéo mostrada na Figura P27 a Qual é o valor de a necessario para tor nar valida essa interligacao Circuitos elétricos b Para esse valor de a determine a potén 29 Sea interconexao na Figura P29 é valida cia associada a fonte de corrente determine a poténcia total fornecida ao cir c A fonte de corrente esta fornecendo ou cuito Se a interconexao nao é valida explique absorvendo poténcia a TaZao Figura P27 Figura P29 in 40V 1800 i 0 50mA C1 60 V 5 wélida9 28 a vheue na Figura P28 valida 210 Determine a poténcia total fornecida ao cir Xpique cuito da Figura P210 se v 5 V b Voct pode determinar a energia total Figura P210 relacionada ao circuito Explique Figura P28 Ae GQ a 10 v 100 mA C1 30V va 20 V G C1 50 mA Secoes 2223 211 Para o circuito mostrado na Figura P211 Figura P212 a Determine v b Determine a poténcia absorvida pelo resistor 40V 25 kO c Inverta a direcdo da fonte de corrente e repita as partes a e b Figura P211 213 Um par de lampadas de farol de automével igu g esta conectado a uma bateria de 12 V por meio do arranjo mostrado na Figura P213 Is mA C 3kO Na figura o simbolo triangular VW é usado para m 2 indicar que o terminal esta conectado direta mente a estrutura metdlica do carro 212 Para o circuito mostrado na Figura P212 a Construa um modelo de circurto usando Det oo resistores e uma fonte de tensado inde a Determine i pendente b Determine a poténcia fornecida pela fonte de tensao b Identifique a correspondéncia entre o c Inverta a polaridade da fonte de tens4o e elemento ideal de circuito e 0 simbolo do repita as partes a b componente que ele representa Capitulo 2 e Elementos de circuitos Figura P213 dispositivo para cada valor de corrente esta registrada na Figura P215b Use os valores da tabela para construir um modelo para o dispositivo consistindose de um Unico resis tor do Apéndice H J oe Figura P215 V p mW Interruptor ea 8 640 meee a Disposi La da B P 214 A tensdo e a corrente foram medidas nos a b terminais do dispositivo mostrado na Figura P214a Os valores de v e i sio dados na 216 Fontes de corrente de varios valores foram tabela da Figura P214b Use os valores da aplicadas ao dispositivo mostrado na Figura tabela para construir um modelo de circuito P216a A poténcia absorvida pelo disposi para esse dispositivo consistindose de um tivo para cada valor de corrente esta regis Unico resistor do Apéndice H trada na Figura P216b Use os valores da tabela para construir um modelo para o dis Figura P214 ws oe os positivo consistindose de um unico resistor v kV do Apéndice H i Lo 22 Figura P216 tivo 3 36 imA p mW ef a b Disposi i 7425 215 Fontes de tensdo de varios valores foram 20625 aplicadas ao dispositivo mostrado na 29700 Figura P215a A poténcia absorvida pelo a b Secao 24 217 Considere o circuito mostrado na Figura P217 Figura P217 a Determine v usando as leis de Kirchhoff 2kO ea lei de Ohm 4 b Teste a solugdo para v verificando que a 20 mA Ct Yo 5 kQ C 5V poténcia total fornecida é igual 4 potén cia total absorvida Circuitos elétricos 218 Dado o circuito mostrado na Figura P218 poténcia fornecida pela fonte de corrente Pspice determine independente Multisim a o valor de i Figura P221 b o valor de i 1kO c o valor de v a d a poténcia dissipada em cada resistor ig 1 io 2kO 4kO e a poténcia fornecida pela fonte de 50 V 3kO Figura P218 i 222 Acorrentei no circuito da Figura P222 1A 4Q Pspice Multisim Determine i A ges b Determine a poténcia dissipada em cada 50 V is 200 Yo 3800 i resistor c Verifique que a poténcia total dissipada no circuito é igual 4 poténcia fornecida 219 a Determine as correntes i e i no circuito pela fonte de 150 V Pspice i 19 Noam da Figura P219 Figura P222 b Determine a tensao v aA y 8 500 lo c Verifique que a poténcia total fornecida é igual 4 poténcia total consumida 4Q 100 Figura P219 In De 1000 250 0 223 O resistor varidvel R no circuito da Figura Pspice P223 ajustado até que i sejaigual a 10 mA 220 Acorrente i no circuito mostrado na Figura Multisi 1 stermine o valor de R P22050 mA ea tensao v 35 V Determine Fj po93 a ib U4 c Use d a poténcia fornecida igura We pela fonte de corrente R Figura P220 50 0 200 15 kO 3kO i iy t i Ug vy 22500 vs 21750 80 V 5kO 5000 221 Acorrente i no circuito mostrado na Figura 224 Para o circuito mostrado na Figura P224 Pspice P221 2 mA Determine a i bi e c a Pspice determine a R e b a poténcia fornecida Multisim g Multisim pela fonte de 240 V Capitulo 2 e Elementos de circuitos Figura P224 227 Ascorrentesi ei no circuito da Figura P227 50 sao 21 A e 14 A respectivamente a Determine a poténcia fornecida por cada R 109 fonte de tensao 240V b Mostre que a poténcia total fornecida 100 140 é igual 4 poténcia total dissipada nos resistores Figura P227 225 A tensao no resistor de 16 no circuito da 10 Pspice Figura P225 é 80 V positiva no terminal Multisim superior a Determine a poténcia dissipada em cada a7V OM 50 istor resistor 350 b Determine a poténcia fornecida pela fonte ideal de tensao de 125 V 147V 100 c Verifique que a poténcia fornecida é igual 4 poténcia total dissipada Figura P225 228 A tensdo e a corrente foram medidas nos terminais do dispositivo mostrado na Figura ge ee P228a Os resultados estao tabulados na 5V Figura P228b 160 a Construa um modelo de circuito para esse dispositivo usando uma fonte ideal de tensAo em série com um resistor 226 Ascorrentes i i no circuito da Figura P226 b Use 0 modelo para prever o valor de i we sao 4 A e2 A respectivamente quando v igual a zero ultisim a Determine i Figura P228 b Determine a poténcia dissipada em cada resistor so oo c Determine Uy 66 2 posi d Mostre que a poténcia fornecida pela Disposi Tome del contents igual potbre to os fonte de corrente é igual 4 poténcia faim s absorvida por todos os outros elementos e Figura P226 a b uQ 229 A tensao e a corrente foram medidas nos 90 50 300 100 terminais do dispositivo mostrado na Figura P229a Os resultados estao tabulados na Figura P229b 100V C C1 40 a Construa um modelo de circuito para esse dispositivo usando uma fonte ideal ae de corrente em paralelo com um resistor a Circuitos elétricos b Use 0 modelo para prever a poténcia que 0 a Faca um grafico de v versus i dispositivo fornecera a um resistor de 20 b Construa um modelo de circuito da fonte Figura P229 real que seja valido para 0 i 24 mA i com base na equagao da reta representada 100 0 no grafico em a Use uma fonte ideal de tenséo em série com um resistor ideal Di 1 oo YX 140 8 c Use seu modelo de circuito para prever a corrente fornecida a um resistor de 1 kQ conectado aos terminais de sua fonte real a b d Use seu modelo de circuito para prever a corrente fornecida a um curtocircuito 230 A tabela da Figura P230a mostra a relagao nos terminais da fonte real entre a tensdo e a corrente nos terminais da e Qual é a corrente de curtocircuito real fonte real de corrente constante representada f Explique por que as respostas para d e na Figura P230b e nao sao iguais a Faca um grafico de i versus v Figura P231 b Construa um modelo de circuito dessa fonte de corrente que seja valido para 24 0 0 v 75 V com base na equacao da fo os Ss reta representada no grafico em a c Use seu modelo de circuito para prever a FIC corrente fornecida a um resistor de 25 kQ d Use seu modelo de circuito para prever a tensdo de circuito aberto da fonte de o 48 corrente a b e Qual é a tensdo de circuito aberto real 232 Para ocircuito mostrado na Figura P232 deter f Explique por que as respostas para d e ue er mine U ea poténcia total fornecida no circuito e nao sAo iguais 0 Figura P230 Figura P232 MN sat goa C4 233 Para o circuito mostrado na Figura P233 determine UV e a poténcia total absorvida no creito a b Figura P233 450 0 231 A tabela da Figura P231a mostra a relagao 1 entre a tensdo e a corrente nos terminais da 20V C vx 2 1500 ty fs vo 3000 fonte real de tensdo constante representada 00 na Figura P231b Capitulo 2 e Elementos de circuitos 234 Considere o circuito mostrado na Figura P234 237 Determine v e v no circuito mostrado na a Determine i Figura P237 quando v é igual a 5 V Suges of tio comece na extremidade direita do circuito b Verifique o valor de i mostrando que ox 0 e retorne em direcao a U a poténcia gerada no circuito é igual a poténcia absorvida no circuito Figura P237 Figura P234 600 2kO uC 1200 800 400 100 vy oO iomat 1 3 4kO or 6kO 25 i 40 i 238 Deduzaa Equagao 225 Sugestdo use as equa ae Determine a i b i e c i no circuito da cdes 3 e 4 do Exemplo 211 para expressar Viuttisan Figura P235 i como uma fungéo de i Resolva a Equagao Figura P235 2 para i e substitua o resultado nas equagGes 120 5 e 6 Resolva a nova Equacao 6 para i e substitua esse resultado na nova Equagao 5 lf Substitua i na nova Equagao 5 e resolva 18 V VA 3 100 250 para ip Observe que como icc aparece ape nas na Equacao 1 a solugao para i envolve a manipulacdo de apenas cinco equacoes i 239 Para o circuito mostrado na Figura 224 R Pspice 40 kQ R 60 kO Ro 750 O R 120 O Multisim 236 Para ocircuito mostrado na Figura P236 cal Vee 10 Yo 600 mV e B 49 vee B Pspice cule a i e UV e b mostre que a poténcia 1c le V3a Ubar tat Var tcc Vi3 0 Servagao Multisim fy ae na notacdo das tensdes varidveis com dois fornecida é igual 4 poténcia absorvida indices o primeiro é positivo em relagado ao Figura P236 segundo Veja Figura P239 201 Si 8i x S Figura P239 3 50 V 18 0 Vo 20 V Re 034 d Secoes 2125 240 Muitas vezes é desejavel projetar uma ins de cima e na parte de baixo de uma escada Problema talacao elétrica que permita controlar um Nas instalag6es residenciais esse tipo de se Proielo nico equipamento de dois ou mais lugares controle é implementado com interruptores por exemplo um interruptor de luz na parte 3way ou 4way Um interruptor 3way tem NdoRT Embora essa seja a denominacao mais comumente adotada de acordo com anorma ABNT 5459 a denominac4o para os interruptores 3way e 4way deve ser interruptor paralelo e interruptor intermediario respectivamente Circuitos elétricos trés terminais e duas posic6es um 4way 241 Suponha que vocé queira acrescentar na sua tem quatro terminais e duas posicgoes Os garagem um terceiro radiador que é idéntico esquemas dos interruptores sio mostrados aos dois ja instalados Todos os trés radiadores nas figuras P240a que ilustra um inter podem ser modelados por resistores de 48 ruptor 3way e P240b que ilustra um Usando o diagrama de instalacdo mostrado interruptor 4way na Figura P241 calcule a poténcia total dos a Mostre como dois interruptores 3way trés radiadores podem ser conectados entre a e b no cir Figura P241 cuito da Figura P240c de modo que a lampada possa ser LIGADA ON ou 540 V Of DESLIGADA OFF em dois lugares 5 5 5 diferentes b Se a lampada equipamento tiver de ser controlada de mais de dois lugares dife 242 Repita o Problema 241 usando o diagrama rentes s4o usados interruptores 4way em de instalagao mostrado na Figura P242Com conjunto com dois interruptores 3way pare a poténcia total do radiador nessa confi E necessdrio um interruptor 4way para guragdo com a poténcia total do radiador na cada dupla de interruptores 3way Mostre configuragao mostrada na Figura P241 como um interruptor 4way e dois 3way Figura P242 podem ser conectados entre ae b na Figura P240c para controlar a lampada de trés lugares diferentes Sugestdo o interruptor 240 V Of 4way é colocado entre os dois 3way s S Figura P240 1 1 243 Repita o Problema 241 usando o diagrama de instalacao mostrado na Figura P243Com pare a poténcia total do radiador nessa confi guragao com a poténcia total do radiador na 5 3 5 3 configuragao mostrada na Figura P241 Posicaéo 1 Posicéo 2 Figura P243 a x 5 4 5 4 244 Repita o Problema 241 usando o diagrama Posicio 1 Posicio 2 de instalacdo mostrado na Figura P244 Com b pare a poténcia total do radiador nessa confi guragao com a poténcia total do radiador na a configuragéo mostrada na Figura P241 v b Figura P244 C S c T SUMÁRIO DO CAPÍTULO 31 Resistores em série 32 Resistores em paralelo 33 Circuitos divisores de tensão e de corrente 34 Divisão de tensão e de corrente 35 Medição de tensão e corrente 36 Medição de resistência a ponte de Wheatstone 37 Circuitos equivalentes triânguloestrela DY ou pitê pT Circuitos resistivos simples 3 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber reconhecer resistores ligados em série e em paralelo e utilizar as regras para combinálos em série e em paralelo para obter a resistência equivalente 2 Saber projetar circuitos divisores de tensão e de corrente simples 3 Saber utilizar adequadamente a divisão de tensão ezde corrente para resolver circuitos simples 4 Saber determinar a leitura de um amperímetro quando inserido em um circuito para medir corrente saber determi nar a leitura de um voltímetro quando inserido em um circuito para medir tensão 5 Entender como uma ponte de Wheatstone é usada para medir resistência 6 Saber quando e como usar circuitos equivalentes DY para resolver circuitos simples Nossa caixa de ferramentas analíticas agora contém a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff No Capítulo 2 usamos essas ferramentas para resolver circuitos simples Neste capítulo continuamos a aplicar essas ferramen tas porém em circuitos mais complexos A maior complexidade reside em um número maior de elementos com interligações mais complicadas Este capítulo enfoca a redução de tais circuitos em circuitos equivalentes mais sim ples Continuaremos a considerar circuitos relativamente simples por duas razões 1 isso nos dá a oportunidade de conhecer plenamente as leis subjacentes aos métodos mais sofi sticados e 2 permitenos tomar conhecimento de alguns circuitos que têm importantes aplicações na engenharia As fontes dos circuitos discutidos neste capítulo estão limitadas às fontes de tensão e corrente que geram tensões ou correntes constantes isto é tensões e correntes que não variam ao longo do tempo Fontes constantes Book Nilsson 1indb 59 290116 1208 perspectiva prática telas touch resistivas Alguns telefones celulares e tablets usam telas sensíveis ao toque resistivas que resultam da aplicação de um material resistivo transparente em telas de vidro ou acrílico Normalmente se usam duas telas separadas por uma camada de isolamento transparente A tela sensível ao toque resultante pode ser modelada por uma malha de resistores na direção x e outra na direção y como mostra a figura da direita Um circuito eletrônico separado aplica uma queda de tensão à malha na direção x entre os pontos a e b do circuito em seguida remove essa tensão e aplica uma queda de tensão ao longo da malha na direção y entre os pontos c e d e continua a repetir esse processo Quando a tela é tocada as duas camadas resistivas são pressionadas juntas criando uma tensão que é sentida na malha x e outra que é sentida na malha y Essas duas tensões localizam com precisão o ponto onde a tela foi tocada Como a tensão criada quando se toca na tela relacionase com a posição onde a tela foi tocada Como as propriedades das malhas são utilizadas para calcular a posição do toque Responderemos a essas perguntas na Perspectiva prática no final deste capítulo A análise de circuitos necessária para esclarecer essas questões usa algumas ferramentas de análise de circuitos descritas a seguir Denis SemenchenkoShutterstock a c b d costumam ser denominadas fontes cc sendo que cc quer dizer corrente contínua uma denominação que tem uma origem histórica mas que atualmente pode parecer equivocada Historicamente uma corrente con tínua era definida como uma corrente produzida por uma tensão constante Portanto uma tensão constante ficou conhecida como uma tensão de corrente contínua ou cc A utilização de cc para constante consagrou se e os termos corrente cc e tensão cc são agora universalmente aceitos na ciência e na engenharia com o significado de corrente constante e tensão constante Circuitos elétricos 60 Book Nilsson 1indb 60 290116 1208 Capitulo 3 Circuitos resistivos simples 31 Resistores em serie Figura 31 Resistores ligados em série No Capitulo 2 dissemos que quando apenas dois elementos estao ligados a um Unico n6 eles estaéo em série Elementos de a Ri bb Ry c Rs d circuito ligados em série conduzem a mesma corrente Os resis i aos 1 2 3 tores do circuito mostrado na Figura 31 estao ligados em série vs i i a R Podemos demonstrar que esses resistores conduzem a mesma R Re Rs corrente aplicando a lei das correntes de Kirchhoff a cada n6 do A oo as h g f e circuito A interligacgéo em série da Figura 31 requer que Ly 16 bs i i i i i ig 1 31 7 Figura 32 Resistores em série com uma unica corrente 0 que significa que se conhecermos qualquer uma das sete desconhecida correntes conheceremos todas Assim podemos redesenhar a a Rb R c R d Figura 31 como mostra a Figura 32 conservando a identidade de corrente unica i v R Para determinar ins aplicamos a lei das tens6es de Kirchhoff fi 4 ao unico caminho fechado Definindo a tensio em cada resis Ry Re Rs tor como uma queda na direcao de i temos h g f e U iR iR iR iRy iRs iR iR 0 32 ae a Figura 33 Versao simplificada do circuito ou mostrado na Figura 32 vi1R R R R R5Ro BR 33 a A importancia da Equagao 33 para o calculo de i que os sete resis ti R tores podem ser substituidos por um Unico resistor cuja resisténcia é a soma das resisténcias dos resistores individuais isto é h RHR R R Rt Rot Rot R 34 e U 1R 4 35 Assim podemos redesenhar a Figura 32 conforme mostrado na Figura 33 De modo geral se k resistores esto ligados em série 0 resistor Unico equivalente tem uma resisténcia igual 4 soma das k resisténcias ou k Reg Ri Ry Ro Ry 36 Combinacao i1 de resistores em série Observe que a resisténcia do resistor equivalente é sempre maior do que a do maior resis tor na ligacdo em série Outro modo de pensar no conceito de resisténcia equivalente é visualizar uma fileira de resistores dentro de uma caixa preta Para um engenheiro eletricista o termo caixa preta significa um recipiente opaco isto é o contetido nao pode ser visto Assim o engenheiro é desafiado a modelar o contetido da caixa estudando a relacao entre a tensdo e a corrente em seus terminais Determinar se a caixa contém k resistores ou um Unico resistor equivalente é impossivel A Figura 34 ilustra esse método ao se estudar o circuito mostrado na Figura 32 Circuitos elétricos Figura 34 nati 32 do circuito mostrado 32 Resistores em paralelo i RR Rs i Quando dois elementos esto ligados a um Unico par er de nos dizse que estao em paralelo Elementos de circuito ligados em paralelo tém a mesma tensdo em seus terminais O circuito mostrado na Figura 35 ilustra resistores ligados h R Re Rs h em paralelo Nao cometa o erro de supor que dois elementos estao ligados em paralelo s6 porque estao alinhados em para lelo em um diagrama do circuito A caracteristica definidora Figura 35 Resistores em paralelo de elementos ligados em paralelo é que eles tem a mesma tensdo entre seus terminais Na Figura 36 podese ver que R e R nao estao ligados em paralelo porque entre seus respec Us OC ge ge ge R4 tivos terminais outro resistor dissipa parte da tensdo Resistores em paralelo podem ser reduzidos a um tinico D resistor equivalente usandose a lei das correntes de Kir chhoff e a lei de Ohm como demonstraremos agora No cir cuito mostrado na Figura 35 iii i representam as correntes nos resisto Figura 36 Resistores nao paralelos res R a R respectivamente A diregao de referéncia positiva para a corrente Ry em cada resistor é de cima para baixo isto é do né a ao né Db Pela lei das cor rentes de Kirchhoff ca Ks iitititi 37 A ligacao paralela dos resistores implica que a tenséo em cada um deles deva ser a mesma Por conseguinte pela lei de Ohm iR iR 1R1R v 38 Portanto Us y Ry Us 1 Ry Us 3 R e Rs 39 A substituicgaéo da Equagao 39 na Equacao 37 resulta em 1 1 1 1 ls Us 4 Ry R A 310 da qual ltt yt yay Gn vs Reg Ri Ro R3 Ry A Equacao 311 sintetiza o que queriamos demonstrar que os quatro resistores no cir cuito representado na Figura 35 podem ser substituidos por um tnico resistor equivalente Capitulo 3 Circuitos resistivos simples O circuito mostrado na Figura 37 ilustra a substituicdo Para k resistores ligados em paralelo a Equacao 311 tornase 1 si Pty 2 312 Combinaga a i ee ee ombinagado R R 2R R R eq eh ete k de resistores em paralelo Observe que na ligagao em paralelo a resisténcia do resistor equiva lente é sempre menor do que a resisténcia do menor resistor Em alguns Figura 37 ne dos aero es as resistores em paralelo casos mais conveniente usar a condutancia ao lidar com resistores liga mostrados na Figura 35 por dos em paralelo Neste caso a Equacao 312 tornase um Unico resistor equivalente k Geog GG G G 313 Ee a L i Muitas vezes apenas dois resistores estao ligados em paralelo A Us Req Figura 38 ilustra esse caso especial Calculamos a resisténcia equivalente pela Equagao 312 b A Ltt RtR su Rg Ry Ry RR CH cc Figura 38 Dois resistores ligados em ou paralelo R RiR2 1 Ry Ro 315 é Assim para apenas dois resistores em paralelo a resisténcia equiva R R lente é igual ao produto das resisténcias dividido por sua soma Lembrese de que vocé s6 pode usar esse resultado no caso especial de apenas dois resistores em paraleloO Exemplo 31 ilustra a utilidade desses resultados b EXEMPLO 31 Aplicacao da simplificagao sérieparalelo Figura 39 Circuito para o Exemplo 31 Determine i i i no circuito mostrado na Figura 4Q x 30 39 is Solugao 120V i3180 2360 Comegamos observando que o resistor de 3 esta em série com o resistor de 6 Portanto substitui y mos essa combinacao em série por um resistor de 9 reduzindo o circuito ao mostrado na Figura 310a Figura 310 Simplificagao do circuito mostrado na Figura 39 4Q x 4Q x is ls 20v in 180 in 90 20v 60 y y a b Circuitos elétricos Agora podemos substituir a combinagéo em paralelo dos Figura 311 Circuito da Figura 310b 2s sas ee resistores de 9 O e de 18 por uma Unica resisténcia de mostrando o valor numérico de 18 X 918 9 ou 6 A Figura 310b mostra essa reducao 4Q x oo 2 adicional do circuito Os nés x e y marcados em todos os dia pA gramas facilitam a percepcao da redugao do circuito 120V vy 60 Pela Figura 310b podese verificar que i é igual a 12010 ou 12 AA Figura 311 mostra o resultado neste ponto da andlise y Acrescentamos a tensao v para ajudar a esclarecer a discussado subsequente Usando a lei de Ohm calculamos 0 valor de v v 126 72 V 316 Mas v a queda de tensao do no x ao né y portanto podemos voltar ao circuito mostrado na Figura 310a e usar novamente a lei de Ohm para calcular i e i Assim V1 72 Uy 72 ip 8A 318 7 9 9 Determinamos as trés correntes especificadas usando redug6es sérieparalelo em combinagao com a lei de Ohm Antes de prosseguirmos sugerimos que vocé dedique um pouco de tempo para demons trar que a solucdo satisfaz a lei das correntes de Kirchhoff em todos os nés e a lei das tensdes de Kirchhoff ao longo de todos os caminhos fechados Observe que ha trés caminhos fecha dos que podem ser testados E também importante mostrar que a poténcia fornecida pela fonte de tensfo é igual 4 poténcia total dissipada nos resistores Veja os problemas 31 e 32 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber reconhecer resistores ligados em série e em paralelo 31 Para o circuito mostrado determine a a tensao oe oe V b a poténcia fornecida ao circuito pela fonte v de corrente e c a poténcia dissipada no resistor 5A v 300 640 100 de 10 0 Resposta a 60 V b 300 W c 576 W NOTA tente resolver também os problemas 3336 apresentados no final deste capitulo 33 Circuitos divisores de tensao e de corrente As vezes especialmente nos circuitos eletrénicos é necessdrio existir mais de um nivel de tensdo a partir de uma tunica fonte de alimentagaéo Um modo de fazer isso utilizar um circuito divisor de tensao como o da Figura 312 Capitulo 3 Circuitos resistivos simples Analisemos esse circuito aplicando diretamente a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff Para auxiliar a andlise introduzimos Figura 312 ero divisor de tensao e b eu a corrente i como mostrado na Figura 312b Pela lei das cor Visor de fensao com corrente indicada rentes de Kirchhoff ReR conduzem a mesma corrente Apli a cando a lei das tensdes de Kirchhoff ao caminho fechado temos Ris PRS viR ikR 319 R U2 Ry U2 ou Us a b i Ri R 320 Agora podemos usar a lei de Ohm para calcular v v iR fy 321 vy iRy v7 1 1 R 4 R Ry v2 IR v 322 a SR Ro As equagoes 321 e 322 mostram que UV e U sao fragdes de v Cada fragao a razao entre a resisténcia nos terminais da qual a tensdao é definida e a soma das duas resisténcias Como essa razdo é sempre menor do que 10 as tens6es divididas vu e v so sempre menores do que a tensao da fonte v Se vocé quiser um valor especifico de v e v for especificada ha um numero infinito de combinagoées de R e R que fornecem a raz4o adequada Por exemplo suponha que v seja igual a 15 V e que v deva ser 5 V Entao vv i e pela Equa ao 322 constatamos que essa razdo é satisfeita sempre que s 1 q P 4 Figura 313 Divisor de tensao ligado a uma carga f R R Entre outros fatores que podem entrar na selecao de R e por conseguinte de R estao as perdas de poténcia que ocor rem devido a diviséo da tensao da fonte e aos efeitos da ligacao R do circuito divisor de tensAo a outros componentes de circuito Considere ligar um resistor R em paralelo com R como Us mostrado na Figura 313 O resistor R age como uma carga para o circuito divisor de tensado A carga para qualquer cir Ry Uo Ri cuito consiste em um ou mais elementos que drenam poténcia do circuito Com a carga R ligada a expressdo para a tensdo de safda tornase R 4 vy 323 Rak 323 onde RoR Reo 324 Tt Ry Ry Substituindo a Equacao 324 na Equacao 323 obtemos R Wo Sy 325 R1 RoRz Ro Observe que a Equacao 325 se reduz a Equacao 322 desde que R oo como esperado A Equagao 325 mostra que contanto que R R a razdo de tensOes vU permanece em esséncia inalterada pelo acréscimo da carga no divisor Circuitos elétricos Outra caracteristica importante do circuito divisor de tensdo é sua sensibilidade 4s tole rancias dos resistores Aqui tolerancia significa uma faixa de valores possiveis As resisténcias de resistores disponiveis no mercado sempre apresentam certa percentagem de variagao em relagéo a seu valor declarado O Exemplo 32 ilustra 0 efeito das tolerancias de resistores em um circuito de divisao de tensdo EXEMPLO 32 Analise do circuito divisor de tensao oy a Figura 314 Circuito para o Exemplo 32 Os resistores usados no circuito divisor de tensAo mos trado na Figura 314 tém uma tolerancia de 10 Deter mine os valores maximo e minimo de v 25kOS Ri Solucgao 100Vv Pela Equagao 322 0 valor maximo de v ocorre quando 100 kN Ry Uo R 10 mais alto e R 10 mais baixo e 0 valor minimo de v ocorre quando R é 10 mais baixo e R 10 mais alto Portanto 100110 v max 8302 V omax 110 225 10090 vmin 7660 V omin 90 275 Assim ao tomar a decisaéo de usar nesse divisor de tensdo resistores cujas resisténcias possuem tolerancias de 10 aceitamos que a tensdo de saida sem nenhuma carga varie entre 7660 e 8302 V Figura 315 Circuito divisor de corrente Circuito divisor de corrente O circuito divisor de corrente mostrado na Figura 315 consiste em dois resistores ligados em paralelo a uma fonte 4 Ry fii Vv R lis woe se ge de corrente O divisor de corrente é projetado para dividir a corrente i entre R e R Determinamos a relacao entre a cor rente i e a corrente em cada resistor isto é i e i aplicando diretamente a lei de Ohm e a lei das correntes de Kirchhoff A tensdo nos resistores em paralelo é Ri Ro v Ry Ry i 326 V1 2X2 Ri 4 Ry Ss Pela Equagao 326 Ry i ix 327 1 R 4 R Ss a Ry i 328 R R As equagoes 327 e 328 mostram que a corrente se divide entre dois resistores em para lelo de modo que a corrente em um resistor é igual 4 corrente que entra no par paralelo mul tiplicada pela resisténcia do outro resistor e dividida pela soma das resisténcias dos resistores O Exemplo 33 ilustra a utilizagao do divisor de corrente Capitulo 3 Circuitos resistivos simples EXEMPLO 33 Andlise do circuito divisor de corrente Determine a poténcia dissipada no resistor de 6 0 mostrado na Figura 316 Solugao Em primeiro lugar precisamos determinar acorrente Figura 316 Circuito para o Exemplo 33 no resistor simplificando o circuito com reducgdes 169 sérieparalelo Assim 0 circuito mostrado na Figura 316 reduzse ao mostrado na Figura 317 Determina mos a corrente i usando a férmula para divisao de 10A t 160 40 6 corrente 16 ip 10 8A 16 a Observe que i a corrente no resistor de 16 da Figura 316 Figura 317 Uma simplificacao do circuito Agora podemos continuar a dividir i entre os resistores de 6 0 mostrado na Figura 316 e4QA corrente no resistor de 6 0 é 4 ig 8 32 A At 160 40 fi 6 Ey 4 e a poténcia dissipada no resistor de 6 0 p 326 6144 W a TRU Lf WARE Objetivo 2 Saber projetar divisores simples de tensao e de corrente 32 a Determine o valor de v sem nenhuma carga no circuito mostrado 25 kO b Determine v quando R for 150 kQ c Qual sera a poténcia dissipada no resistor de 25 200 V kQ se os terminais de carga entrarem acidental mente em curtocircuito 5kQ v R d Qual é a maxima poténcia dissipada no resistor de 75 kQ Resposta a 150 V b 13333 V c 16 W d 03 W 33 a Determine o valor de R que far4 uma corrente de 4 A percor 60 0 rer o resistor de 80 no circuito mostrado b Qual é a poténcia que o resistor R da parte a precisara dis 400 sipar 20 A c Qual é a poténcia que a fonte de corrente fornece para 0 va lor de R encontrado na parte a 800 Resposta a 30 Q b 7680 W c 33600 W NOTA tente resolver também os problemas 312 314 e 316 apresentados no final deste capitulo Circuitos elétricos Figura 318 Circuito usado para ilustrar a divisdo de tensao 34 Divisao de tensao e de corrente Ry Ro z vo 1 Podemos generalizar agora os resultados da andlise do circuito divisor de tens4o da Figura 312 e do circuito divi SY 4 vy sor de corrente da Figura 315 As generalizagées resultarao i em mais duas técnicas de andlise de circuitos muito Uteis ce conhecidas como divisao de tensao e divisao de corrente Rn Rn1 Considere o circuito mostrado na Figura 318 A caixa da esquerda pode conter uma tnica fonte de tensAo ou qualquer outra combinacao dos elementos basicos de circuito que resulte na tensdo v mostrada na figura A direita da caixa h4 n resistores ligados em série Estamos interessados em determinar a queda de tensao v em um resistor arbitrario R a em termos da tensao v Comecamos usando a lei de Ohm para calcular i a corrente que passa por todos os resistores em série em termos da tensAo U e dos n resistores j 329 Ry Rg te R Reg A resisténcia equivalente R qa soma dos valores de resisténcia dos n resistores porque os resistores estao em série como mostrado na Equacao 36 Aplicamos a lei de Ohm uma segunda vez para calcular a queda de tensao u no resistor R a usando a corrente i calculada na Equagao 329 Equacgao de R divisao de vj iR RO 330 tensao Observe que usamos a Equacio 329 para obter o lado direito da Equagao 330 A Equa cao 330 a equacao de divisdo de tensao Ela diz que a queda de tensao U Nos terminais de determinado resistor R de um conjunto de resistores ligados em série é proporcional a queda total de tensdo v nos terminais do conjunto de resistores ligados em série A constante de pro porcionalidade é a razdo entre a resisténcia do resistor em questao e a resisténcia equivalente do conjunto de resistores ligados em série ou R IR og Considere agora o circuito mostrado na Figura 319 A caixa da esquerda pode con ter uma Unica fonte de corrente ou qualquer outra combinagao de elementos bdsicos de circuito que resulte na corrente i mostrada na figura A direita do retangulo ha n resistores ligados em paralelo Estamos interessados em determinar a corrente i que passa por um resistor arbitrario Rem termos da corrente i Comegamos usando a lei de Ohm para cal cular uv a queda de tens4o em cada um dos resistores em paralelo em termos da corrente i e dos n resistores v iRyRol Rn iReg 331 A resisténcia equivalente de 1 resistores em paralelo Rey pode ser calculada pela Equa ao 312 Aplicamos a lei de Ohm uma segunda vez para calcular a corrente i j que passa pelo resistor R a usando a tensdo v calculada na Equagao 331 Eaagio de 0 Be cx ivisao de Uj R R L corrente Capitulo 3 Circuitos resistivos simples nat Observe que usamos a Equacfo 331 para obter o lado direito da Equagao 332 A Equa cao 332 a equacao de divisao de corrente Ela diz que a corrente i em determinado resistor R de um conjunto de resistores ligados em paralelo é proporcional a corrente total i fornecida ao conjunto de resistores ligados em paralelo A constante de proporcionalidade é a razao entre a resisténcia equivalente do conjunto de resistores ligados em paralelo e a resisténcia do resistor em questao ou RK Observe que a constante de proporcionalidade na equac4o de diviséo de corrente é 0 inverso da constante de proporcionalidade na equacaéo de divisdo de tensao O Exemplo 34 usa a divisao de tensao e a divisao de corrente para determinar as tens6es e correntes em um circuito Figura 319 Circuito usado para ilustrar a divisao de corrente Circuito Ry Rp k fi Ry1 R2v EXEMPLO 34 Utilizagao da divisao de tensao e da divisao de corrente para resolver um circuito Use a diviséo de corrente para determinar a cor Figura 320 Circuito para o Exemplo 34 rente i e a divisdo de tensdo para determinar a ten lo sdo UV para o circuito da Figura 320 360 400 Solugao sat OF 10OF 208 v Podemos usar a Equagao 332 se pudermos deter 440 minar a resisténcia equivalente dos quatro ramos 300 Yo em paralelo que contém resistores Em linguagem simbolica Reg 36 441040 10 3024 googoj24 6a titytyt 80 10 80 24 Usando a Equagao 332 6 i 8A 2A 9 548A Podemos usar a lei de Ohm para determinar a queda de tensdo no resistor de 24 0 v 242 48 V Essa é também a queda de tens4o no ramo que contém os resistores de 40 0 10 0 e 30 0 em série Entao podemos usar a divisdo de tensao para determinar a queda de tensAo Uv no resistor de 30 Q dado que conhecemos a queda de tenso nos resistores ligados em série usando a Equacao 330 Para isso reco nhecemos que a resisténcia equivalente dos resistores ligados em série é 40 10 30 80 30 Vo 48 V 18 V 49 48V Circuitos elétricos PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber usar a divisao de tensao e a divisdo de corrente para resolver circuitos simples 34 a Use a divisdo de tensdo para determinar 400 500 a tensdo U no resistor de 40 0 no circuito Le mostrado b Use vu da parte a para determinar a cor 60V e 200 300 100 rente no resistor de 40 2 Depois use essa corrente e a divisao de corrente para calcular 70 O a corrente no resistor de 30 2 c Qual é a poténcia absorvida pelo resistor de 50 0 Resposta a 20 V b 16667 mA c 34722 mW NOTA tente resolver também os problemas 325 e 326 apresentados no final deste capitulo 35 Medicao de tensao e corrente Ao lidar com circuitos reais com frequéncia vocé precisara medir tensOes e correntes Dedicaremos algum tempo a discussdo de varios instrumentos de medicAo nesta e na proxima seco porque sao relativamente simples de analisar e oferecem exemplos praticos das configu ragoes de divisor de corrente e divisor de tens4o que acabamos de estudar O amperimetro é um instrumento projetado para medir corrente ele é colocado em série com o elemento de circuito cuja corrente esta sendo medida O voltimetro é um instrumento projetado para medir tensAo ele é colocado em paralelo com Figura 321 Um amperimetro ligado para medir a o elemento cuja tensdo esta sendo medida Um amperimetro Correme em cumvorimeno ligado para ou voltimetro ideal nao provoca nenhum efeito sobre a varia vel de circuito sob medicAo Isto é um amperimetro ideal tem Ri resisténcia equivalente de 0 0 e funciona como um curtocir 4 cuito em série com o elemento cuja corrente esta sendo medida Um voltimetro ideal tem resisténcia equivalente infi vs Ro nita e por isso funciona como um circuito aberto em paralelo com 0 elemento cuja tensdo esta sendo medida As configura cOes para um amperimetro usado para medir a corrente em R para um voltimetro usado para medir a tensdo em R sao Figura 322 Modelo de curtocircuitoparao representadas na Figura 321 Os modelos ideais para esses amperimetro ideal e um modelo de circuito aberto para o voltimetro ideal medidores no mesmo circuito so mostrados na Figura 322 Ha duas categorias gerais de medidores usados para ten Ry aN sdes e correntes continuas digitais e analdgicos Medidores VA O digitais medem o sinal de tensdo ou corrente continua em pon v Ry O AN tos discretos do tempo denominados tempos de amostragem VY Portanto o sinal analdgico continuo em relagéo ao tempo y é convertido para um sinal digital que existe somente em instantes discretos no tempo Uma explicação mais detalhada sobre o funcionamento de medi dores está fora do escopo deste livro e deste curso Contudo é provável que você encontre e use medidores digitais em ambientes de laboratório pois oferecem várias vantagens em relação aos analógicos Eles introduzem menos resistência no circuito ao qual estão ligados são mais fáceis de ligar e a precisão da medição é maior por causa da natureza do mecanismo de leitura Medidores analógicos são baseados no medidor de movimento de dArsonval que implementa o meca nismo de leitura Um medidor de movimento de dAr sonval consiste em uma bobina móvel colocada no campo de um ímã permanente Quando uma corrente flui pela bobina cria nela um torque e faz com que ela gire e mova um ponteiro sobre uma escala calibrada Por projeto a deflexão do ponteiro é diretamente pro porcional à corrente na bobina móvel A bobina é caracterizada por uma calibração de tensão e uma cali bração de corrente Por exemplo as calibrações de um medidor de movimento disponível no marcador são 50 mV e 1 mA Isso significa que quando a bobina está conduzindo 1 mA a queda de tensão nela é de 50 mV e o ponteiro é defletido até a posição final da escala Uma ilustração esquemática do medidor de dArsonval é mostrada na Figura 323 Um amperímetro analógico consiste em um medi dor de dArsonval em paralelo com um resistor como mostra a Figura 324 A finalidade do resistor em para lelo é limitar a quantidade de corrente na bobina do medidor derivando um pouco dela por RA Um voltí metro analógico consiste em um medidor de dArsonval em série com um resistor como mostra a Figura 325 Neste caso o resistor é usado para limitar a queda de tensão na bobina do medidor Em ambos os medido res o resistor adicionado determina a escala total de leitura do medidor Por essas descrições vemos que um medidor real não é um medidor ideal tanto o resistor adicionado quanto o medidor introduzem resis tências no circuito ao qual o medidor está ligado Na verdade qualquer instrumento usado para fazer medições físicas extrai energia do sistema enquanto as executa Quanto maior a energia extraída pelos instrumen tos mais séria a interferência na medição Um amperímetro real tem uma resistência equivalente diferente de zero e por isso adiciona resis tência ao circuito em série com o elemento cuja corrente o amperímetro está medindo Um voltímetro real tem uma resistência equivalente que não é infinita portanto adiciona resistên cia ao circuito em paralelo com o elemento cuja tensão está sendo lida O grau de interferência desses medidores no circuito que está sendo medido depende da resistência efetiva dos medidores em comparação com a resistência no circuito Por exemplo usando a regra do 110 a resistência efetiva de um amperímetro não deve ser maior do que 110 do valor da menor resistência do circuito para ter certeza de que a corrente que está sendo medida é aproximadamente a mesma com ou sem o amperímetro No entanto em um medidor Figura 323 Diagrama esquemático de um medidor de dArsonval Escala Bobina móvel Ímã permanente Mola restabelecedora Núcleo magnético de ferro Ponteiro Figura 324 Circuito de um amperímetro cc RA Terminais do amperímetro Medidor de dArsonval Figura 325 Circuito de um voltímetro cc Rv Terminais do voltímetro Medidor de dArsonval Capítulo 3 Circuitos resistivos simples 71 Book Nilsson 1indb 71 290116 1208 analógico o valor da resistência é determinado pela leitura máxima que desejamos fazer e não pode ser escolhido arbitrariamente Os exemplos a seguir ilustram os cálculos envolvidos na determinação da resistência necessária em um amperímetro ou voltímetro analógico Também levam em conta a resistência efetiva resultante do medidor quando inserido em um circuito exeMplo 35 Utilização de um amperímetro de dArsonval a Um medidor de dArsonval de 50 mV 1 mA deve ser usado em um amperímetro cuja leitura máxima é 10 mA Determine RA b Repita a para uma leitura máxima de 1 A c Qual a resistência adicionada ao circuito quando o amperímetro de 10 mA é inserido para medir a corrente d Repita c para o amperímetro de 1 A Solução a Pelo enunciado do problema sabemos que quando a corrente nos terminais do amperímetro é 10 mA 1 mA está fluindo pela bobina do medidor o que significa que 9 mA devem ser desviados por RA Sabemos também que quando o medidor conduz 1 mA a queda em seus terminais é de 50 mV A lei de Ohm requer que 9 103RA 50 103 ou RA 509 5555 V b Quando a deflexão máxima do amperímetro for 1 A RA deverá conduzir 999 mA enquanto o medidor conduzirá 1 mA Então neste caso 999 103RA 50 103 ou RA 50999 L 5005 mV c Usando Rm para representar a resistência equivalente do amperímetro para o amperímetro de 10 mA Rm 50 mV 10 mA 5 V ou alternativamente Rm 50509 50 509 5 V d Para o amperímetro de 1 A Rm 50 mV 1 A 0050 V ou alternativamente Rm 5050999 50 50999 0050 V Circuitos elétricos 72 Book Nilsson 1indb 72 290116 1208 Capitulo 3 Circuitos resistivos simples EXEMPLO 36 Utilizagao de um voltimetro de dArsonval a Um medidor de dArsonval de 50 mV 1 mA deve ser usado em um voltimetro cuja leitura maxima 150 V Determine R b Repita a para uma leitura maxima de 5 V c Qual é a resisténcia que o medidor de 150 V insere no circuito d Repita c para o medidor de 5 V Solugao a A deflexéo maxima requer 50 mV e 0 medidor tem uma resisténcia de 50 Q Portanto aplicamos a Equagao 322 com R R R50 v 150 e v 50 mV 50 3 50 X 10 R 50 500159 Resolvendo R obtemos R 149950 b Para uma leitura maxima de 5 V 50 3 50 X 10 R 50 506 ou R 4950 c Usando R para representar a resisténcia equivalente do medidor temos 150 V Rin Tn3 A 150000 QO 10 A ou alternativamente R 149950 50 150000 d Entao 5V Rn a 50000 103A ou alternativamente R 4950 50 5000 2 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber determinar a leitura de amperimetros e voltimetros 35 a Determine a corrente no circuito mostrado a b Se o amperimetro do Exemplo 35a for usado para medir a corrente 1V 100 0 qual sera sua leitura Resposta a 10 mA b 9524 mA Circuitos elétricos 36 a Determine a tens4o U nos terminais do resistor de 75 k do circuito 15 kO mostrado b Se 0 voltimetro de 150 V do Exemplo 36a for usado para medir a ten 60V O4 75 kO sao qual sera sua leitura Resposta a 50 V b 4615 V NOTA tente resolver também os problemas 334 e 337 apresentados no final deste capitulo 36 Medicao de resisténcia a ponte de Wheatstone Diversas configuracgdes de circuito s4o usadas para medir a resisténcia Aqui focalizare mos somente uma a ponte de Wheatstone Esse circuito usado para medir com precisao resisténcias de valores médios isto 6 na faixa de 1 Qal MQ Em modelos comerciais da ponte de Wheatstone sao Figura 326 Circuito da ponte de Wheatstone possiveis precisGes da ordem de 01 O circuito da ponte consiste em quatro resistores uma fonte de tensdo cc e um R detector A resisténcia de um dos quatro resistores pode ser Ry variada 0 que é indicado na Figura 326 pela seta que atra vessa R De modo geral a fonte de tensdo cc uma bate vs ria oO que é indicado pelo simbolo de bateria para a fonte de tensdo v da Figura 326 Normalmente o detector é um R R medidor de dArsonval que absorve uma corrente na faixa dos microampéres denominado galvanémetro A Figura 326 mostra o arranjo do circuito das resisténcias bateria e detector no qual R R e R sao resistores conhecidos e R o resistor desconhecido Para determinar o valor de R ajustamos 0 resistor varidvel R até nao haver mais cor rente no galvandémetro Entao calculamos o resistor desconhecido pela simples expressao Ry R RLS 333 Figura 327 Ponte de Wheatstone equilibrada 0 A derivacgaéo da Equagao 333 decorre diretamente da aplicagao das leis de Kirchhoff ao circuito da ponte Rede i Ve 2 senhamos 0 circuito da ponte na Figura 327 para mostrar as correntes adequadas a derivagdo da Equacao 333 Quando 1 b i igual a zero isto 6 quando a ponte esta equilibrada a lei a das correntes de Kirchhoff requer que R3 Re aos i i 335 Agora como i igual a zero nao ha nenhuma queda de tensao no detector e portanto os pontos a e b estao no mesmo potencial Assim quando a ponte esta equilibrada a lei das tensdes de Kirchhoff requer que iRiR 336 iR iR 337 Capitulo 3 Circuitos resistivos simples Combinando as equacgées 334 e 335 com a Equagao 336 temos iRiR 338 Obtemos a Equagao 333 dividindo primeiro a Equacao 338 pela Equacio 337 e entao resolvendo a expressao resultante para R R3 Ry Ri R 3 39 pela qual k Agora que ja verificamos a validade da Equagao 333 podemos fazer varios comentarios sobre o resultado Em primeiro lugar observe que se a raz4o RR for igual a unidade o resis tor desconhecido R sera igual a R Neste caso o resistor da ponte R deve variar dentro de uma faixa que inclua o valor R Por exemplo se a resisténcia desconhecida fosse de 1000 Q e R pudesse variar de 0 a 100 a ponte nunca poderia se equilibrar Assim para cobrir uma ampla faixa de resistores desconhecidos devemos poder variar a razdo RR Em uma ponte de Wheatstone comercial R e R consistem em valores decimais que podem ser conectados ao circuito da ponte Normalmente os valores decimais sAo 1 10 100 e 1000 de modo que arazao RR pode variar de 0001 a 1000 em incrementos decimais De modo geral 0 resistor varidvel R pode ser ajustado em valores inteiros de resisténcia de 1 a 11000 2 Embora a Equacao 333 implique que R possa variar de zero a infinito a faixa pratica de R de 1 XQ a1 MQ aproximadamente Resisténcias mais baixas sao dificeis de medir em uma ponte de Wheatstone padrao por causa das tensdes termoelétricas geradas nas juncgdes de metais diferentes e por causa dos efeitos do aquecimento térmico isto é efeitos 7R Resisténcias mais altas sao dificeis de medir com precisao por causa das correntes de fuga Em outras palavras se R for grande a corrente de fuga no isolamento elétrico pode ser compara vel a corrente nos ramos do circuito da ponte PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 5 Entender como uma ponte de Wheatstone é usada para medir resisténcia 37 O circuito da ponte mostrado esta equilibrado quando R 100 0 R 1000 0 e R 150 A ponte é alimentada por uma fonte de 5 V cc a Qual é 0 valor de R R b Suponha que cada resistor da ponte seja capaz de Ry dissipar 250 mW A ponte pode ser mantida em equilibrio sem que seja ultrapassada a capacidade Uv de dissipacgao de poténcia dos resistoresousejasem que ela seja danificada R R 3 Resposta a 1500 Q b sim NOTA tente resolver também o Problema 351 apresentado no final deste capitulo Circuitos elétricos Figura S28 tcl resi geraca por uma Ponte de 37 Circuitos equivalentes triangulo estrela AY ou pité 7T Ri Ry A configuragéo de ponte da Figura 326 introduz uma 1 interligacéo de resistores que justifica uma discussdo adi v cional Se substituirmos o galvanémetro por sua resisténcia equivalente R poderemos desenhar o circuito mostrado na R Figura 328 Nao poderemos reduzir os resistores interliga Rs dos desse circuito a um Unico resistor equivalente nos ter minais da bateria se nos restringirmos aos simples circuitos equivalentes em série ou em paralelo apresentados no inicio Figura 329 Configuracéo em A vista como uma deste capitulo Os resistores interligados podem ser reduzi configuracao em ar dos a um unico resistor equivalente por meio de um circuito a b a b equivalente trianguloestrela AY ou pité zT A conexao dos resistores R R e R ou R R e R R Oy R no circuito mostrado na Figura 328 é denominada interliga 4o em triangulo A porque se parece com a letra grega A z Também é denominada interligagao em pi porque o A pode ser transformado em um 7 sem interferir na equivaléncia elétrica das duas configuragoes A equivaléncia elétrica entre Figura 330 Uma estrutura em Y vista como uma estrutura as interligagées A e 7 fica clara com o auxilio da Figura 329 emt A conexao dos resistores R R e R ou R R e R a b R Ry no circuito mostrado na Figura 328 é denominada interli R R a b gacao em estrela Y porque a ela pode ser dada a forma e R da letra Y E mais facil ver a forma em Y quando a interli gacao é desenhada como na Figura 330 A configuragaéo em c c Y também é denominada interligacaéo em té T porque a estrutura em Y pode ser transformada em uma estrutura em Figura 331 Transformacao AY T sem interferir na equivaléncia elétrica das duas estruturas A equivaléncia elétrica das configuragdes em Y e em T fica a Re b a b clara com o auxilio da Figura 330 R RB A Figura 331 ilustra a transformagao de circuito AY R R R Observe que nao podemos transformar a interligagéo em A 3 em uma interligagao em Y simplesmente mudando seu for mato Dizer que 0 circuito ligado em A é equivalente ao cir cuito ligado em Y significa que a configuragao em A pode ser substituida por uma configuracéo em Y e mesmo assim manter idéntico o comportamento no terminal das duas configuragées Portanto se cada circuito for colocado dentro de uma caixa preta nao poderemos determinar por medig6es externas se a caixa contém um conjunto de resistores ligados em A ou um conjunto de resistores ligados em Y Essa condigao so é valida se a resisténcia entre os pares de terminais correspondentes for a mesma para cada caixa preta Por exemplo a resisténcia entre os terminais a e b deve ser a mesma seja utilizandose o con junto ligado em A seja utilizandose o conjunto ligado em Y Para cada par de terminais no circuito ligado em A a resisténcia equivalente pode ser calculada usandose simplificagd6es em série e em paralelo para obter 1 Estruturas em A e Y estao presentes em uma variedade de circuitos titeis ndo apenas em redes resis tivas Consequentemente a transformacao AY é uma ferramenta Util em andlise de circuitos Capitulo 3 Circuitos resistivos simples Ry RR R ps 4 p 341 rR R R 1 341 RR R Rye Ry rR 342 be R 4 R 4 R 2 3 RR Ra Rea 2 Ro 343 ca R 4 R 4 R 1 3 A manipulagao algébrica direta das equagées 341343 possibilita 0 calculo dos valores dos resistores ligados em Y em termos dos resistores ligados em A equivalente R o 344 Ra Ry Re 344 RR R R 345 RR R 346 R R R Inverter a transformacaéo AY também é possivel Isto é podemos comegar com a estru tura em Y e substituila por uma estrutura equivalente em A As express6es para as resistén cias dos trés resistores ligados em A como fung6es das resisténcias dos trés resistores ligados em Y sao RR RoRz R3R R ay 23 aN 347 Ry RR RoRz R3R R 23 aN 348 Ry RR RoR R3R R 349 R3 O Exemplo 37 ilustra a utilizagao de uma transformagao AY para simplificar a andlise de um circuito EXEMPLO 37 Aplicacao de uma transformacao AY Figura 332 Circuito para o Exemplo 37 Determine a corrente e a poténcia fornecidas pela fonte de 40 V no circuito mostrado na Figura 332 5a 1000 150 Solugao 4 Estamos interessados apenas na correnteenapoténcia 40V da fonte de 40 V Portanto o problema estara resolvido quando obtivermos a resisténcia equivalente nos ter 400 3750 minais da fonte Podemos determinar essa resisténcia equivalente com facilidade depois de substituirmos o A superior 100 125 25 Q ou o A inferior 40 25 Figura 333 Resistores equivalentes em Y 375 Q por seu Y equivalente Optamos por substituir o A superior Entao calculamos as trés resisténcias em Y definidas na Figura 333 pelas equacoes 344 a 346 100 0 1250 Assim 25 0 Circuitos elétricos Figura 334 Versao transformada do circuito mostrado na 100 X 125 Figura 332 R 509 1 250 50 125 X 25 R 250 125 QO 500 0 100 X 25 40 V 250 A substituigdo dos resistores em Y da Figura 332 pro 400 3759 duz o circuito mostrado na Figura 334 Pela Figura 334 fica facil calcular a resisténcia nos terminais da fonte de 40 V por simplificagdes sérieparalelo Figura 335 Etapa final na simplificagao do circuito 5050 mostrado na Figura 332 Reg 55 80020 4 100 A etapa final consiste em observar que 0 circuito se 40V fi 800 reduz a um resistor de 80 0 e uma fonte de 40 V como mostra a Figura 335 pelo que fica evidente que a fonte de 40 V fornece 05 A e 20 W ao circuito PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 6 Saber quando e como usar circuitos equivalentes AY 28 0 38 Use uma transformagao AY para determinar a tensao U no cir Poa cuito mostrado Resposta 35 V 2A 50 105 0 NOTA tente resolver também os problemas 360 362 363 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Telas touch resistivas Comece analisando a malha resistiva na diregao x Modelamos a resisténcia Figura 336 A malha de tela sensivel ao toque da malha na dirego x com a resisténcia R como mostrado na Figura 336 A po niavalieGsey sicao x em que a tela é tocada é indicada pela seta A queda de tensao resultante na resistncia af é V Tocar a tela divide efetivamente a resisténcia total R em nm duas resisténcias separadas af e 1 aR 1aR ee Aoi a ae V A figura demonstra que quando o toque ocorre na extremidade direita da oe tela a 0 e V 0 Do mesmo modo quando o toque ocorre na extremidade Ve esquerda da tela a 1 e V V Se o toque ocorre no meio entre as duas en seed bordas da tela 0 valor de a fica entre 0 e 1 e as duas partes da resisténcia R Ry formam um divisor de tensao Podemos calcular a tensao V usando a equagao para divisao de tensao Capitulo 3 Circuitos resistivos simples Vy oR y Sey ay OaR1aR R Podemos determinar o valor de a que representa a localizagao do toque em relacao ao lado direito da tela dividindo a tensao na malha de resisténcia no ponto de toque V pela tensao aplicada em toda a rede resistiva na diregao x V V Of V Agora queremos usar 0 valor de para determinar a coordenada x do ponto Figura 337 As coordenadas de pixel de uma de toque na tela Normalmente as coordenadas da tela sao especificadas em pixels tela com p pixels na diregao xe p abreviacao de picture elements ou elementos de imagem Por exemplo a tela de Cy um telefone movel seria dividida em uma malha de pixels com p pixels na diregao x 00 px 10 ep pixels na direcao y Cada pixel é identificado por sua localizagao x um numero entre 0 e p 1 e sua localizagao y um numero entre 0 e p1 O pixel com a po sicao 0 0 fica no canto superior esquerdo da tela como mostrado na Figura 337 Visto que a representa o ponto de toque em relacao ao lado direito da tela 1 a representa o ponto de toque em relacao ao lado esquerdo da tela Portanto a coordenada x do pixel que corresponde ao ponto de toque é x1ap 0py1 px1py1 Note que 0 valor de x esta limitado a 2 UT Figura 338 A malha de tela sensivel ao toque Usandose 0 modelo da malha de tela resistiva na diregao y mostrado na Fi na direcdo y gura 338 6 facil demonstrar que a tensao criada por um toque na seta é dada por 1BR V BV 1BRy Portanto a coordenada y do pixel que corresponde ao ponto de toque é y y1Bp Var v onde o valor de yé limitado a p 1 Veja o Problema 372 NOTA avalie sua compreensdao da Perspectiva pratica resolvendo os problemas 372375 apresentados no final deste capitulo Resumo e Resistores em série podem ser combinados para Quando apenas dois resistores estaéo em paralelo a obtencAo de um tnico resistor equivalente de a equacéo para a resisténcia equivalente pode ser acordo com a equacao simplificada para dar k RR 142 Reg R R Ro Ry Ro eq a i 1 2 k eq R R Segao 31 Segao 32 Resistores em paralelo podem ser combinados e Quando a tensdo é dividida entre resistores em para a obtengaéo de um unico resistor equiva es série como mostra a figura a tensao em cada lente de acordo com a equacéo d da d d 1 k I 1 1 1 resistor pode ser encontrada de acordo com as ee ee equacoes Reg 2 R Rk Ry Rx Circuitos elétricos R em que i a corrente que passa pela resistn v v2eR cia R e i 6a corrente que flui pelos resistores VR R i 4 P l 2 vs C ligados em paralelo cuja resisténcia equivalente R éR Secio 34 Re RY nee e Um voltimetro mede a tensdo e deve ser colocado x em paralelo com a tensao a ser medida Um volti Segao 33 ee a metro ideal tem resisténcia interna infinita e por e Quando a corrente é dividida entre resistores isso nao altera a tensdio que esta sendo medida em paralelo como mostra a figura a corrente Secao 35 que passa em cada resistor pode ser encontrada e Um amperimetro mede a corrente e deve ser de acordo com as equacgées colocado em série com a corrente a ser medida Ry Um amperimetro ideal tem resisténcia interna 1 R Ry igual a zero e por isso nao altera a corrente que i Ct in R in R esta sendo medida Secao 35 Ri 2 RB Rls e Medidores digitais e analégicos tém resistén 1 2 os cia interna o que influencia o valor da variavel x de circuito que esta sendo medida Medidores Segao 33 baseados no medidor de dArsonval incluem Divisao de tensao é uma ferramenta de andlise deliberadamente uma resisténcia interna como de circuitos usada para especificar a queda de um meio de limitar a corrente na bobina do tenséo em determinado resistor de um conjunto medidor Segao 35 de resistores ligados em série quando a queda de oe x e O circuito da ponte de Wheatstone é utilizado tensAo nos terminais do conjunto é conhecida para fazer medic6es precisas do valor da resis Rj v téncia de um resistor usandose quatro resistores Req uma fonte de tensao cc e um galvanémetro Uma tua ponte de Wheatstone esta equilibrada quando os em que v é a queda de tensfo na resisténcia R e J eee J valores dos resistores obedecem 4 Equagao 333 v a queda de tensao nas resisténcias ligadas em a or resultando em uma leitura de 0 A no galvanéme série cuja resisténcia equivalente é R Secao 34 4 tro Secdo 36 e Divisao de corrente é uma ferramenta de ana i Lo e Um circuito com trés resistores ligados em uma lise de circuitos usada para determinar a cor configuracgéo em A ou em uma configuragaéo em rente em um dado resistor de um conjunto de a pode ser transformado em um circuito equi resistores ligados em paralelo quando a cor Loa valente no qual os trés resistores estao ligados rente de entrada no conjunto é conhecida em Y ou ligados em T A transformagao AY é I Reg dada pelas equacées 344346 a transformacdo i R YA é dada pelas equagées 347349 Secdo 37 Problemas Secoes 3132 31 a Mostre que a solugao do circuito na Figura b Mostre que a solugao do circuito na Figura Pspice 39 veja Exemplo 31 satisfaz a lei de cor 39 satisfaz a lei das tensdes de Kirchhoff ae rentes de Kirchhoff nas jungées x e y ao longo de cada caminho fechado Capitulo 3 Circuitos resistivos simples 32 a Determine a poténcia dissipada em cada Figura P34 Pspice resistor do circuito da Figura 39 Multisim 240 b Determine a poténcia fornecida pela 1g V 360 180 fonte de 120 V c Mostre que a poténcia fornecida é igual a poténcia dissipada a 33 Para cada um dos circuitos mostrados na Figura P33 a identifique os resistores ligados em série 2100 b simplifique o circuito substituindo os 280 O resistores ligados em série por resistores equivalentes 30 mA C1 2000S 12003 1900 Figura P33 8kQ SkO b a 75 kO 50 kO 8002 1200 0 60V 100kN 150kNS 60kO 27V 300 2 2000 90 kO b c 600 0 C4 c 90NF 750N5000 15kQ 3kO 500 900 800 d 300 700 a 35 Para cada um dos circuitos mostrados na Figura P33 d ge gs a determine a resisténcia equivalente vista 34 Para cada um dos circuitos mostrados na pela fonte Figura P34 b determine a poténcia fornecida pela fonte a identifique os resistores ligados em 36 Para cada um dos circuitos mostrados na paralelo Figura P34 b simplifique o circuito substituindo os a determine a resisténcia equivalente vista resistores ligados em paralelo por resis pela fonte tores equivalentes b determine a poténcia fornecida pela fonte Circuitos elétricos 37 a Nos circuitos da Figura P37 a d deter b Para cada circuito determine a poténcia Pspice mine a resisténcia equivalente vista pela fonte fornecida pela fonte Multisim Figura P37 45 0 20 0 Oe i fe O maf fone a b 300 750 100 0 150 0 18kO NEA 5000 7500 OC 600 c d 38 Determine a resisténcia equivalente R para cada um dos circuitos da Figura P38 Pspice Muttisim Figura P38 240 600 4kQ 52k0 1200 320 0 a a 900 6kO 8kO 720 0 480 0 120 b b a b c 39 Determine a resisténcia equivalente R para cada um dos circuitos da Figura P39 Pspice Muttisim Figura P39 260 4Q 160 120 a a Ba or ee b b 60 140 a b 1kQO 250 0 500 250 28 O 300 a a b b 100 20 O 180 c c d Capitulo 3 Circuitos resistivos simples 310 a Determine uma express4o para a resistén 311 a Determine uma expresso para a resistén cia equivalente de dois resistores de valor cia equivalente de dois resistores de valor R em série Rem paralelo b Determine uma expressfo para a resis b Determine uma expressao para a resis téncia equivalente de n resistores de valor téncia equivalente de n resistores de valor Rem série Rem paralelo c Usando os resultados de a projete uma c Usando os resultados de b projete uma rede resistiva com uma resisténcia equi rede resistiva com uma resisténcia equi valente de 3 kQ usando dois resistores valente de 5 kQ usando dois resistores com o mesmo valor do Apéndice H com o mesmo valor do Apéndice H d Usando os resultados de b projete uma d Usando os resultados de b projete uma rede resistiva com uma resisténcia equiva rede resistiva com uma resisténcia equiva lente de 4 kO usando um ntimero minimo lente de 4 kO usando um ntimero minimo de resistores idénticos do Apéndice H de resistores idénticos do Apéndice H Secao 33 312 a Calcule a tensao a vazio v do circuito 314 A tensdo a vazio no circuito divisor de tensao Pspice divisor de tensao mostrado na Figura Pspice mostrado na Figura P314 é 8 VO menor resis Multisim Multisim Li P312 tor de carga que esta sempre ligado ao divisor Problema Problema deProjetob Calcule a poténcia dissipada em R e R de Projeto 36 kQ Quando o divisor estiver carregado v nao devera cair abaixo de 75 V c Suponha que haja apenas resistores de 05 W disponiveis A tensaéo a vazio deve a Projete o circuito do divisor que cum ser a mesma que em a Especifique os prira as especificagdes que acabamos de A mencionar Especifique os valores numé menores valores dhmicos de R e R pect ricos de R e R Figura P312 b Suponha que as poténcias nominais de resistores disponiveis no mercado sejam Ri 347 kO 116 18 14 1 e 2 W Qual poténcia nomi nal vocé especificaria 160 V Figura P314 Ro333kQA vo Ri 40 V R Uo Rr 313 Nocircuito do divisor de tenséo mostrado na Pspice Figura P313 0 valor a vazio de v 4 V Multisim Quando a resisténcia de carga R é ligada aos 315 Suponha que o divisor de tensao da Figura terminais ae b v cai para 3 V Determine R P314 tenha sido construido com resistores U de 1 W Qual é 0 menor valor do Apéndice H Figura P313 Q P que pode ser usado como R antes que um 40 0 dos resistores do divisor esteja funcionando em seu limite de dissipacao 20 V Ry Vo Ri 316 Determine a poténcia dissipada no resistor Pspice de 5 Q no circuito divisor de corrente na ae Figura P316 Circuitos elétricos Figura P316 Figura P319 60 80 v1 Ri 10A 1 100 50 120 V2 ws Comum 317 Para o circuito divisor de corrente da Figura R3 Pspice 317 calcule Multisim U3 a i U b a poténcia dissipada no resistor de 6 320 a Odivisor de tensdo da Figura P320a tem Pspi ivi a c apoténcia fornecida pela fonte de corrente lotta como carga 0 divisor de tenséo mostrado Fi 2317 na Figura P320b isto é a esta ligado a igura Fy ae b esta ligado a b Determine v 60 b Suponha agora que o divisor de tensdo da Figura P320b esteja ligado ao divisor 200 Ct 90 0 100 de tensfo da Figura P320a por meio de uma fonte de tenséo controlada por corrente como mostra a Figura P320c 318 Especifique os resistores no circuito da Figura Determine v Problema P318 para atender aos seguintes critérios c Qual é 0 efeito causado pela adigao da de Projeto de projeto fonte dependente de tensdo sobre o fun i 50 mA v 25 V i 06i cionamento do divisor de tensAo que esta i 2i i 4i ligado a fonte de 180 V Figura P318 Figura P320 10 kO 20 kO a a i lg Ct Ug in R in Ry is R is R4 180 V 30 kO 40 kO Vo b b 319 Com frequéncia é preciso fornecer mais do a b Problema que um valor de tensao usandose um divisor de Projelo de tensio Por exemplo os componentes de 10 kO 20 kO memoria de muitos computadores pessoais l requerem tens6es de 12 V5 V e 12 V todas 180 V 30 ka 30000 40kQ vp em relacdo a um terminal de referéncia em comum Selecione os valores de R R e R e no circuito da Figura P319 para atender aos c seguintes requisitos de projeto a A poténcia total fornecida ao divisor pela 321 Um divisor de tensao como o da Figura 313 fonte de 24 V é 80 W quando o divisor copes deve ser projetado de modo que v ku nao est4 carregado quando a vazio R 00 VU av sob carga nominal R R Observe que por defini b As trés tensdes todas medidas em relagao Ry 0 due P ae caoak1 ao terminal de referéncia sao v 12 V v5Vev12V a Mostre que Capitulo 3 Circuitos resistivos simples ka j R R re a G Gy Gy te04 Ge Gy e ka b Use 0 resultado derivado em a para cal Ry R a1 k cular a corrente no resistor de 5 no cir cuito da Figura P322b b Especifique os valores numéricos de R e Figura P322 R se k 085 a 080 e R 34 kQ c Se v60V especifique a poténcia maxima que sera dissipada em R R lg Ct Ri SR SR ix Rx Ry d Suponha que o resistor de carga entre ae vo em curtocircuito por acidente Qual é a a poténcia dissipada em R e R 322 a Mostre que a corrente no késimo ramo Pspice do circuito da Figura P322a é igual a Multisim e a igual Ox 050 250 102 22002400 corrente da fonte i vezes a condutancia i oO do késimo ramo dividida pela soma das condutancias isto é b Secao 34 323 Examine o circuito da Figura P33a d Usando o resultado de c determine a a Use a diviséo de tensdo para determinar queda de tensao nos terminals do resistor a tenso que percorre o resistor de 6 kQ de 50 positiva na parte superior positiva na parte superior e Usando o resultado de d utilize a divi a sao de tensdo para determinar a queda b Usando o resultado de a e a divisao de P dl x or de tensao nos terminais do resistor de 60 tensdo determine a tensAo nos terminais 0 ti we positiva na parte superior do resistor de 5 kQ positiva 4 esquerda 306 C P P d P de 450 mA wo onecte uma fonte de corrente de m 324 Examine o circuito da Figura P33d entre os terminais ab na Figura P39 acom a Use a diviséo de corrente para determi a seta da corrente apontando para cima S00 Se ccane ae Pee ain resistor de a Use a diviséo de corrente para determi da esquerda para a Cireita nar a corrente no resistor de 36 Q de b Usando o resultado de a e a divisao de cima para baixo corrente determine a corrente no resis b Use o resultado de a para determinar tor de 70 Q de cima para baixo a tensdo no resistor de 36 Q positiva na 325 Examine o circuito da Figura P37a parte superior a Use a divisao de tensado para determinar c Use o resultado de b e a divisdo de tensao a queda de tensao nos terminais do resis para determinar a tensdo nos terminais do tor de 25 positiva 4 esquerda resistor de 18 positiva na parte superior b Usando o resultado de a determine a d Use o resultado de c e a divisdo de tensao corrente que percorre o resistor de 25 QO para determinar a tensao nos terminais do da esquerda para a direita resistor de 10 Q positiva na parte superior c Usando o resultado de b utilize a divisao 327 Conecte uma fonte de tensAo de 6 V entre os de corrente para determinar a corrente no terminais ab na Figura P39 b com o ter resistor de 50 Q de cima para baixo minal positivo na parte superior Circuitos elétricos a Use a divisdo de tensdo para determinar 330 Determine v e v no circuito da Figura P330 a tensdo nos terminais do resistor de 4 Q Pspice ysando a divisdo de tensdo eou corrente positiva na parte superior Figura P330 b Use o resultado de a para determinar a 900 600 corrente no resistor de 4 0 da esquerda para a direita c Use o resultado de b e a divisao de cor 3 nae 300 rente para determinar a corrente no resis tor de 16 da esquerda para a direita d Use o resultado de c e a divisaio de 331 Para o circuito da Figura P331 determine i corrente para determinar a corrente no e em seguida use a divisao de corrente para resistor de 10 Q de cima para baixo determinar Lo e Use o resultado de d para determinar a Figura P331 tensdo nos terminais do resistor de 10 Q a 150 positiva na parte superior f Use o resultado de e e a divisao de tensao re para determinar a tensdo nos terminais do Ro resistor de 18 Q positiva na parte superior 125 V 328 a Determinea tensao v no circuito da Figura BO Pspice P328 usando a divisdo de tensd4o eou a Mulisimn corrente b Substitua a fonte de 18 V por uma fonte ee de tensdo genérica igual a V Suponha 332 Para o circuito da Figura P332 determine i e que V seja positiva no terminal superior Mone em seguida 7 usando a divisdo de corrente Determine v como uma fungao de V Figura P332 Figura P328 80 4Q I 2kQO 9kO 250 mA 00 18 V py 6kO 3kO 333 Um voltimetro de dArsonval mostrado na Figura P333 329 Determine v no circuito da Figura P329 Pspice usando a divisdo de tensdo eou corrente a Calcule o valor do resistor de derivagao Multisim R para dar uma leitura maxima de cor Figura P329 rente de 5A b Qual é a resisténcia adicionada a um cir 10 kO 3kO cuito quando o amperimetro de 5 A de 2kQ 4kO a é inserido para medir corrente ismA 1 c Calcule o valor do resistor de derivacdo 15kO 12kO R para dar uma leitura maxima de cor rente de 100 mA Capitulo 3 Circuitos resistivos simples d Qual é a resisténcia adicionada a um cir cada uma das seguintes leituras maximas a cuito quando o amperimetro de 100 mA 50 V b 5 V c 250 mV e d 25 mV de c é inserido para medir corrente Figura P337 Figura P333 R 20 mV 1mA 150 mV 7 3mA Voltimetro Amperimetro 338 Suponha que o voltimetro de dArsonval des crito no Problema 337 seja usado para medir 334 Um resistor de derivagdo e um medidor de a tensao no resistor de 45 O da Figura P338 dArsonval de 50 mV 1 mA sao usados para a Qual seré a leitura do voltimetro construir um amperimetro de 5 A Uma resis téncia de 20 m é colocada nos terminais do b Determine o erro percentual na leitura amperimetro Qual é a nova faixa da escala do voltimetro se do amperimetro valor medido ar erro 1 X 100 335 Um medidor de dArsonval é calibrado para valor real Problema 2 mA e200 mV Suponha que haja resistores de Projeto sn nos de precisdo de 1 W disponiveis para serem Figura P338 utilizados como derivagées Qual 0 maior fundo de escala possivel para o amperimetro on a ser projetado Explique 336 a Mostre que para o amperimetro do circuito 50 mA Ct 150 450 da Figura P336 a corrente no medidor de dArsonval é sempre 125 da corrente que esta sendo medida b Qual seria a fraco se o medidor de 100 339 O amperimetro no circuito da Figura P339 mV2 mA fosse usado em um amperime tem uma resisténcia de 01 Usando a defi tro d 65 A nigdo de percentagem de erro de leitura de um medidor encontrada no Problema 338 c Podese esperar uma escala uniforme em qual é o erro percentual na leitura desse um amperimetro de dArsonval de cor amperimetro rente continua Figura P339 Figura P336 60 0 100 mV 2 mA 0 Amperimetro Osv imeas 2512 337 Um voltimetro de dArsonval é mostrado na 340 O amperimetro descrito no Problema 339 Figura P337 Determine o valor de R para usado para medir a corrente 7 no circuito da Circuitos elétricos Figura P338 Qual 0 erro percentual no valor 344 O fundo de escala do voltimetro mostrado medido na Figura P344a é 500 V O medidor esta 341 Os elementos no circuito da Figura 224 tém calibrado para 100 mV e 05 mA Qual 0 Pspice gs seguintes valores R 20 kQ R 80 kQ erro percentual na leitura do medidor se ele Multisim Ro 082 kO R 02 kO Vee 75 V for usado para medir a tensdo v no circuito V 06 V e B39 da Figura P344b a Calcule o valor de i em microampéres Figura P344 b Suponha que um multimetro digital 500V quando usado como um amperimetro cc R eA m tenha uma resistencia de 1k Se 0 medi 10 mA 750 kD dor for inserido entre os terminais b e 2 400 mV para medir a corrente i qual sera a lei 05 mA Comum e tura do medidor c Usando o valor de i calculado em a a 0 como o valor correto qual o erro per 345 O circuito divisor de tensAo mostrado na centual na mediao Figura P345 é projetado de modo que a ten 342 Vocé foi informado de que a tensao cc de sio a vazio de saida seja 79 da tensdo de uma fonte de alimentagao é aproximada entrada Um voltimetro de dArsonval de sen mente 350 V Quando vocé procura um sibilidade 100 QV e fundo de escala de 200 voltimetro cc na sala de instrumentos para V é usado para verificar o funcionamento do medir a tensdo da fonte alimentadora cons circuito tata que ha somente dois voltimetros cc dis 4 a Qual seré a leitura do voltimetro se ele for poniveis Um deles tem fundo de escala de Kivado aos terminais da fonte de 180 V 300 V e sensibilidade de 900 QV O outro 6 tem fundo de escala de 150 V e sensibilidade b Qual sera a leitura se o voltimetro for de 1200 QV Sugestao vocé pode deter ligado aos terminais do resistor de 70 kQ minar a resisténcia efetiva de um voltime c Qual sera a leitura se o voltimetro for tro multiplicando seu fundo de escala e sua ligado aos terminais do resistor de 20 kN sensibilidade d As leituras obtidas pelo voltimetro em a Comose pode usar os dois voltimetros para b e c serao adicionadas A leitura regis verificar a tensao da fonte alimentadora trada em a Explique sua resposta b Qual é a tenséo maxima que pode ser Figura P345 medida c Sea tensdo da fonte alimentadora for 320 0 KO V qual sera a leitura de cada voltimetro 4 343 Suponha que além dos dois voltimetros des 180 V critos no Problema 342 esteja disponivel um resistor de precisao de 50 kQ Esse resistor 70kQ U esta ligado em série com a conexdo em série dos dois voltimetros Esse circuito é entao ligado aos terminais da fonte de alimentacao 346 Suponha que ao projetar o voltimetro de A leitura no voltimetro de 300 V é 2052Ve Problema varias faixas mostrado na Figura P346 vocé de Projeto Ae no de 150 V é 1368 V Qual é a tensAo da fonte ignore a resistncia do medidor alimentadora a Especifique os valores de R R e R3 Capitulo 3 Circuitos resistivos simples et b Para cada uma das trés faixas calcule o Figura P348 erro percentual que essa estratégia de 300 V projeto produz Figura P346 Rs Ry 100V 150Vv Ry Ry 10V 30 V Lv Rs 50 mV R 2mA 50 mV 1mA Comum Comum 347 O modelo de circuito de uma fonte de tensao 349 Um resistor de 600 kO esta ligado do ter cc mostrado na Figura P347 As seguintes minal de 200 V ao terminal comum de um medig6es de tenso so feitas nos terminais voltimetro de dupla escala como mostra a da fonte 1 com os terminais da fonte aber Figura P349a Esse voltimetro modificado tos a tensdo medida é de 50 mV e 2 com é entao usado para medir a tens4o no resis um resistor de 15 MQ ligado aos terminais a tor de 360 kO do circuito da Figura P349b tensao medida 4875 mV Todas as medigbes a Qual é a leitura na escala de 500 V sao realizadas com um voltimetro digital cuja do medidor resisténcia é 10 MQ b Qual é o erro percentual na tensdo a Qual ga tensdo interna da fonte v medida em milivolts oo Figura P349 b Qual a resisténcia interna da fonte R 5 em quiloohms 500 V Figura P347 300kQ a 200V R 19995 kO ly Terminais 600 kQ 1 de fonte SO mV 1mA Comum bL ee 348 Projete um voltimetro de dArsonval que tera as a Problema trs faixas de tenso mostradas na Figura P348 en de Projeto a Especifique os valores de R R e R3 500 V b Suponha que um resistor de 750 kQ sa 40 kO esteja ligado entre o terminal de 150 V e o terminal comum O voltimetro é entao 360 kO Voltimetro modificado ligado a uma tensao desconhecida usando 600 V o terminal comum de 300 V O voltimetro 1é 288 V Qual é a tens4o desconhecida Comum c Qual éa tensdéo maxima que o voltimetro em b pode medir b Circuitos elétricos Secao 36 350 Suponha que a fonte ideal de tensao da Figura 353 Determine a corrente i do detector da ponte Pspice 326 seja substituida por uma fonte ideal de desequilibrada da Figura P353se a queda de Multisim Corrente Mostre que a Equacgao 333 ainda é tensdo no detector for desprezivel valida Figura P353 351 Ocircuito de ponte mostrado na Figura 326 Pspice alimentado por uma fonte de 24 V cc A 30 kO a ponte fica equilibrada quando R 500 0 R 15V 1 1000 Ne R 750 Q 20 kO a Qual 0 valor de R b Qual é a corrente em miliampéres for necida pela fonte cc 354 Nocircuito da ponte de Wheatstone mostrado c Qual resistor absorve a maior poténcia Mena na Figura 326a razao RR pode ser ajustada Qual é essa poténcia para os seguintes valores 0001 001 01 1 d Oual resistor ab tencia 10 100 e 1000 O resistor R pode variar de Qua resis ore Sore a menor porencra 1a11110 em incrementos de 1 Sabese Qual é essa poténcia reer oo que a resisténcia de um resistor desconhecido 352 Determine a poténcia dissipada no resistor se encontra entre 4 e 5 Q Qual seria o ajuste Pspice de 3kQ do circuito da Figura P352 d x d h Multisim arazao RR para que o resistor desconhe Figura P352 cido possa ser medido com até quatro alga 7500 rismos significativos Se 25 kO 192 V 5kO Secao 37 355 Determine acorrente ea poténcia fornecidas b Repita a usando uma transformacéo pela fonte de 40 V no circuito do Exemplo 37 AY envolvendo os resistores R R e Rs Figura 332 substituindo o A inferior 25375 c Indique duas transformacoes adicionais e 400 por seu Y equivalente AY ou YA que poderiam ser usadas 356 Determine acorrente e a poténcia fornecidas para determinar R a pela fonte de 40 V no circuito do Exemplo 37 Figura P358 Figura 332 substituindo o Y a esquerda 25 g 40 e 100 Q por seu A equivalente 4 30 357 Determine acorrente e a poténcia fornecidas 50 pela fonte de 40 V no circuito do Exemplo 37 Ry Figura 332 substituindo o Y 4 direita 25 375 e 125 Q por seu A equivalente 358 a Determine a resisténcia equivalente R R Pspice no circuito da Figura P358 usando uma 30 Muitisim transformacao YA envolvendo os resisto b 79 res R Re Rs Capitulo 3 Circuitos resistivos simples 359 Use uma transformacao AY para determinar 363 Para o circuito mostrado na Figura P363 Pspice as tenses U e V no circuito da Figura P359 Pspice determine a i b v c i e d a poténcia Malis Figura P359 Multisim fornecida pela fonte de tensdo 150 Figura P363 io wo 240 1200 50 i 4092 w2500 vs 600 In C w 430 360 a Determine a resisténcia vista pela fonte Pspice ideal de tens4o no circuito da Figura P360 Multisim b Se v for igual a 400 V qual sera a potén 364 Mostre que as expressOes para condutancias em cia dissipada no resistor de 31 Q A em fungao das trés condutancias em Y sio Figura P360 G 2 a 150 200 Gi G2 G3 G1G3 G1G vw nae oy 88 Ce GG G em que ane yg 08 Gua Re GR etc b 365 Deduza as equacodes 344349 a partir das 361 Use uma transformagao YA para determinar equacoes 341343 As duas sugest0es a seguir Pspice a i b i c i e d a poténcia fornecida vao ajudalo a tomar a direcao correta Multisim pela fonte ideal de corrente do circuito da 1 Para determinar R em fungao de R R Figura P361 e Rem primeiro lugar subtraia a Equa Figura P361 ao 342 da Equagdo 343 e adicione o 390 0 resultado 4 Equacao 341 Use manipu Wv lagdes semelhantes para determinar R e iy R como fungoes de R R e R 2 Para determinar R em fungao de R R e R aproveite as derivagoes obtidas pela 1A 1 240 O in 100 0 io 600 Q sugestao 1 ou seja equacgdes 344346 Observe que essas equagdes podem ser divididas para obter 362 Determine i e a poténcia dissipada no resis Ry Re ou R Ro R fe tor de 140 O do circuito da Figura P362 R R R i e Figura P362 Ri R Ry 220 200 RR oo Ry RA Agora use essas relagdes na Equacaio 240 V 80 343 para eliminar R e R Utilize mani pulagdes semelhantes para determinar 100 20 Re Rcomo fungoes de R R e R Circuitos elétricos Secoes 3137 366 Redes de resistores sAo as vezes utilizadas Figura P367 4H Problema como circuitos de controle de volume R de Projeto Nessa aplicagao elas sio denominadas ate nuadores resistivos ou atenuadores fixos R R a c Um atenuador fixo tipico mostrado na Figura P366 Para projetar um atenuador fixo o projetista do circuito selecionara os Mo R Yo SR valores de R e R de modo que a razao vv a resisténcia vista pela fonte de ali b d bos mentagao R tenham ambas um valor Atenuador fixo especificado 368 As equacoes de projeto para o atenuador de a Mostre que se R R entao quag P i P a Pspice ponte em T no circuito da Figura P368 sao Multisim 2 Ri 4RiRi Ro R Rt 3R Ri Vo R v 2k R R Yo Re U 2 ns vn 3RR b Selecione os valores de R e R de modo quando R tem 0 valor dado que R R 300 Qe vv 05 a Projete um atenuador fixo de modo que c Selecione os valores do Apéndice H que v 35 quando R 300 0 estejam mais proximos de R e R em b Suponha que a tensao aplicada 4 entrada b Calcule o erro percentual nos valo do atenuador projetado em a seja 42 V res resultantes para R UU Se esses Qual resistor do atenuador dissipa maior novos valores de resistor forem usados poténcia Figura P366 c Qual é a poténcia dissipada no resistor PT em b a c R R r d Qual resistor do atenuador dissipa a menor poténcia Uj Ry Uo Ry 2 As oo e Qual é a poténcia dissipada no resistor boo em d b R R d Figura P368 Atenuador Ce 367 a Oatenuador fixo mostrado na Figura P367 Problema é denominado ponte em T Use uma trans qs R R S de Projetoformacao YA para mostrar que RR seR R Uj R U5 Ri b Mostre que quando R Rarazao vU é igual a 050 b a Loe Capitulo 3 Circuitos resistivos simples 369 a Para circuito mostrado na Figura P369 371 Suponha que o erro de v no circuito da ponte Pspice a ponte esta equilibrada quando AR0 Problema da Figura P369 nao exceda 05 Qual é a Mulisim Mostre quese ARKRatensdodesaida aio alteracdo percentual em R que pode da ponte é aproximadamente ser tolerada ARR 372 a Usandoa Figura 338 deduza a expressaéo Uy R Ry Vin para a tensdo V b Supondo que haja Py pixels na direcao y b Dados R 1kQ R 500 0 Ry 5 kO deduza a expressdo para a coordenada y do e U 6 V qual é a tensao aproximada de ponto de toque usando o resultado de a saida da ponte se AR é 3 de R 373 Uma tela touch resistiva tem 5 V aplicada a c Determine o valor real de v em b epee malha na direcdo x e na direcAo y A tela tem Figura P369 Pspice 480 pixels na diregao xe 800 pixels na direcao Multisim Y Quando a tela é tocada a tensfo na malha xé1Veatensdo na malha y 375 V RAR R a Calcule os valores de ae B b b Calcule as coordenadas x e y do pixel no ponto em que a tela foi tocada R R 374 Uma tela touch resistiva tem 640 pixels na Perspectiva diregdo x e 1024 pixels na direcdo y A malha Pratica ys resistiva tem 8 V aplicados em ambos os sen rsple tidos x e yAs coordenadas de pixel no ponto 370 a Se oerro percentual for definido como Muttisim re P P Problema de toque sao 480 192 Calcular as tensdes valor aproximado de Projeto erro lor sproximede 1 x 100 VieV valor real 375 Suponha que a tela sensivel ao toque descrita no Problema 374 é tocada simultaneamente mostre que erro percentual na APFOXT em dois pontos um com coordenadas 480 magao de v no Problema 369 192 e outro com coordenadas 240 384 erro TARRs xX 100 a Calcule a tensao medida nas malhas x e y R R3R Ro Ry b Qual ponto de toque tem seu calculo em b Calcule o erro percentual de v usando a identificado os valores do Problema 369b SUMÁRIO DO CAPÍTULO 41 Terminologia 42 Introdução ao método das tensões de nó 43 O método das tensões de nó e as fontes dependentes 44 O método das tensões de nó alguns casos especiais 45 Introdução ao método das correntes de malha 46 O método das correntes de malha e as fontes dependentes 47 O método das correntes de malha alguns casos especiais 48 Método das tensões de nó versus método das correntes de malha 49 Transformações de fonte 410 Equivalentes de Thévenin e Norton 411 Outros métodos para a obtenção de um equivalente de Thévenin 412 Máxima transferência de potência 413 Superposição Técnicas de análise de circuitos 4 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Entender e saber utilizar o método das tensões de nó para resolver um circuito 2 Compreender e saber utilizar o método das correntes de malha para resolver um circuito 3 Saber decidir qual método o das tensões de nó ou o das correntes de malha é a abordagem preferencial para resolver determinado circuito 4 Entender a transformação de fonte e saber usála para resolver um circuito 5 Compreender os conceitos de circuito equivalente de Thévenin e de Norton e saber construir um ou outro para um circuito 6 Conhecer a condição de máxima transferência de potência a uma carga resistiva e saber calcular o valor do resistor de carga que satisfaça essa condição Até aqui analisamos circuitos resistivos relativamente simples aplicando as leis de Kirchhoff combi nadas com a lei de Ohm Podemos usar essa abordagem para todos os circuitos mas à medida que suas estruturas Book Nilsson 1indb 94 290116 1209 perspectiva prática Circuitos com resistores reais No capítulo anterior começamos a investigar o efeito da imprecisão dos valores de resistores sobre o desempenho de um circuito especifi camente sobre o desempenho de um divisor de tensão Resistores são fabricados somente para uma pequena quantidade de valores discretos e qualquer resistor de um lote apresentará variação em relação a seu valor nominal dentro de certo nível de tolerância Aqueles com tolerâncias menores digamos 1 são mais caros do que os de tolerâncias maiores digamos 10 Portanto em um circuito que usa muitos resistores é importante entender qual valor de resistor causa o maior impacto sobre o desempenho esperado do circuito Em outras palavras interessanos prever o efeito da variação do valor de cada resistor sobre a saída do circuito Se soubermos que um determinado resistor deve ter um valor muito próximo de seu valor nominal para o circuito funcionar corretamente poderemos tomar a decisão de gastar uma quantia a mais para obter maior precisão para o valor desse resistor O estudo do efeito do valor de um componente de circuito sobre a saída do circuito é conhecido como análise de sen sibilidade Assim que forem apresentadas outras técnicas de análise de circuitos esse tópico da análise de sensibilidade será examinado Primeiro dígito Segundo dígito Multiplicador Tolerância OceanCorbis ganham complexidade e envolvem mais e mais elementos esse método fi ca trabalhoso Neste capítulo apresentaremos duas técnicas de análise de circuitos que são efi cazes no exame de estruturas de circuito complexas o método das tensões de nó e o método das correntes de malha Essas técnicas fornecem dois métodos sistemáticos para descrever circuitos com o mínimo de equações simultâneas Além desses dois métodos analíticos gerais neste capítulo também discutimos outras técnicas de sim plifi cação de circuitos Já demonstramos como usar reduções sérieparalelo e transformações DY para simplifi car a estrutura de um circuito Agora adicionamos transformações de fontes e circuitos equivalentes de Thévenin e Norton a esse fi m Também analisamos dois outros tópicos importantes na análise de circuitos Um deles é a máxima transferência de potência que leva em consideração as condições necessárias para assegurar que seja maximizada a potência fornecida por uma fonte a uma carga resistiva Circuitos equivalentes de Thévenin são usados para estabelecer as condições de máxima transferência de potência O tópico fi nal deste capítulo a superposição examina a análise de circuitos com mais de uma fonte independente Capítulo 4 Técnicas de análise de circuitos 95 Book Nilsson 1indb 95 290116 1209 Circuitos elétricos Figura 41 a Circuito planar b O mesmo circuito 41 Terminologia redesenhado para mostrar que ele é planar R Ry Para discutir métodos mais complexos de andlise de cir cuitos precisamos definir alguns termos basicos Até aqui ae apresentamos somente circuitos planares isto aqueles vs Rs que podem ser desenhados sobre um plano sem cruzamento Zi de ramos Um circuito desenhado com ramos que se cruzam a podera ser considerado planar se for possivel redesenhalo sem ramos entrecruzados Por exemplo 0 circuito mostrado na Figura 41a pode ser redesenhado como o da Figura Ry 41b os circuitos sio equivalentes porque todas as ligagdes a de nos foram mantidas Portanto 0 circuito da Figura 41a v Os a é planar porque pode ser desenhado como tal A Figura 42 mostra um circuito nao planar ele nao pode ser redese nhado de modo que todas as ligagdes de nds sejam mantidas b e nenhum ramo se sobreponha a outro O método das ten sdes de no é aplicavel tanto a circuitos planares quanto aos nao planares ao passo que 0 método das correntes de malha Figura 42 Circuito néo planar esta limitado a circuitos planares Ry Ry Rs Descricdo de um circuito 0 vocabulario SRL Na Secao 15 definimos um elemento basico ideal de cir s eu cuito Quando elementos bAsicos de circuito sdo interligados ee para formar um circuito a interligacao resultante é descrita Rs R em termos de nos caminhos ramos lagos e malhas Na Secaéo 24 definimos n6 e caminho fechado ou lago Aqui reformu lamos essas definig6es para entao definirmos os termos caminho ramo e malha Para sua con veniéncia todas essas definigdes sAo apresentadas na Tabela 41 que também inclui exemplos de cada definigao retirados do circuito da Figura 43 e desenvolvidos no Exemplo 41 Tabela 41 Termos para descrever circuitos No Um ponto onde dois ou mais elementos de a circuito se juntam N6 essencial Um n6 onde trés ou mais elementos de circuito b se juntam Caminho Uma trilha por sobre elementos basicos sem v R RR passar mais de uma vez pelos elementos incluidos Ramo Um caminho que liga dois nés R Ramo essencial Um caminho que liga dois nds essenciais sem vR passar por um no essencial Lago Um caminho cujos nés inicial e final coincidem VU R Rs Rg Ry V Malha Um laco que nao engloba nenhum outro lacgo v RRRR Circuito planar Umcircuito que pode ser desenhado sobreum A Figura 43 mostra um circuito planar plano sem nenhuma intersegao de ramos A Figura 42 mostra um circuito nao planar Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos EXEMPLO 41 Identificagao de no ramo malha e lago em um circuito No circuito da Figura 43 identifique Figura 43 Circuito que ilustra nds ramos malhas caminhos e lagos a todos os nos erage Z ss Ry b b todos os nés essenciais a c todos os ramos d todos os ramos essenciais R d R e todas as malhas c e Ry 1 I f dois caminhos que nao sao lagosnem ramos essenciais R 2 6 g dois lagos que nao séo malhas R Solugao f g a Os nos sao a bc de fe g b Os nés essenciais sao bc e e g c Os ramos sao U V5 R R Ry Ry Rs Ro R eI d Os ramos essenciais sao v R R R v Ry Rs Ry Rye L e As malhas sao v R R R R v R R Ro Ry R R Re R I f RRR um caminho mas nao um lago porque o n6 inicial e 0 né final nado séo os mesmos nem um ramo essencial porque nao liga dois nés essenciais v R também é um caminho mas nao um lacgo nem um ramo essencial pelas mesmas razGes g v R R R R v é um lago mas nao uma malha porque ha dois lagos em seu interior I R R também um lago mas nao uma malha NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver os problemas 41 e 45 apresentados no final deste capitulo Equacoes simultaneas quantas O ntmero de correntes desconhecidas em um circuito é igual ao nimero de ramos b em que a corrente nao é conhecida Por exemplo 0 circuito mostrado na Figura 43 tem nove ramos em que a corrente é desconhecida Lembrese de que devemos ter b equacées indepen dentes para resolver um circuito com b correntes desconhecidas Se usarmos n para represen tar o numero de nos no circuito podemos deduzir n 1 equag6es independentes aplicando a lei das correntes de Kirchhoff a qualquer conjunto de n 1 nds A aplicagao da lei das cor rentes ao nésimo no nao gera uma equacao independente porque essa equacao pode ser deri vada das n 1 equag6es anteriores Veja o Problema 45 Como precisamos de b equacdes para descrever determinado circuito e como podemos obter n 1 dessas equacées pela lei das correntes de Kirchhoff devemos aplicar a lei das tensdes de Kirchhoff aos lagos ou malhas para obter as b n 1 equac6es restantes Assim contando nos malhas e ramos em que a corrente é desconhecida estabelecemos um método sistematico de escrever o nlimero necessario de equag6es para resolver um cir cuito Especificamente aplicamos a lei das correntes de Kirchhoff an 1 nés e a lei das ten sdes de Kirchhoff a b n 1 lacos ou malhas Essas observag6es também se aplicam a nds e ramos essenciais Assim se usarmos 1 para representar 0 nimero de nos essenciais e b para o numero de ramos essenciais em que a corrente é desconhecida podemos aplicar a lei das Circuitos elétricos correntes de Kirchhoff an 1 nos e a lei das tenses de Kirchhoff ao longo de b n 1 lagos ou malhas Em circuitos o numero de nos essenciais é menor ou igual ao numero de nés e o numero de ramos essenciais menor ou igual ao nimero de ramos Por isso muitas vezes é conveniente usar nos essenciais e ramos essenciais ao analisar um circuito porque eles pro duzem um ntimero menor de equag6es independentes Um circuito pode consistir em partes desconectadas Um exemplo de tal circuito exa minado no Problema 43 Os enunciados referentes ao nimero de equagdes que podem ser derivadas da lei das correntes de Kirchhoff n 1 e da lei das tensdes de Kirchhoff b n 1 aplicamse a circuitos conectados Se um circuito tiver n nds e b ramos e for composto de s partes a lei das correntes podera ser aplicada n s vezes e a lei das tensdes b n 5 vezes Quaisquer duas partes separadas podem ser conectadas por um tnico condutor Essa conexao sempre resulta na formagcdo de um no a partir de dois nés Além do mais nao existe nenhuma corrente nesse condutor tinico Assim qualquer circuito com Figura 44 Circuito mostrado na Figura 43 com seis posto de s partes desconectadas sempre pode ser reduzido a correntes de ramos desconhecidas um circuito conectado Ri b vue a A abordagem sistematica um exemplo ly sae Agora exemplificamos essa abordagem sistemAatica vy In 2Rs ae R R usando o circuito mostrado na Figura 44 Escreveremos as 2 d 3 Z a so c e i of R Ct T equagoes com base em nos e ramos essenciais O circuito tem oe oe i quatro nos essenciais e seis ramos essenciais denotados i ig V2 C ial R6 em que a corrente é desconhecida R Deduzimos trés das seis equagdes simultaneas necessa f pase 8 rias aplicando a lei das correntes de Kirchhoff a quaisquer trés 5 dos quatro nos essenciais Usamos os nos bc e e para obter 1 i tig I0 i 1i10 i ii 0 41 Deduzimos as trés equac6es restantes aplicando a lei das tensdes de Kirchhoff ao longo de trés malhas Como o circuito possui quatro malhas precisamos desprezar uma delas Esco hemos R J porque nao conhecemos a tensao em I Usando as outras trés malhas obtemos Ri Ri iR KR v 0 1R R3 iR iR v 0 i1R iRiR 0 42 Rearranjando as equag6es 41 e 42 para facilitar sua resolucdo obtemos 0 conjunto 1 1 01 Oi Oi ig T i O01 i Oi i Oi 0 Falaremos mais sobre essa decisdo na Secao 47 Capitulo 4 Técnicas de andlise de circuitos elt Oi i i i Oi Oi 0 Ri Roi R Ri Oi Oi Oi V Oi Oi R Ri Reig Ryiz Oi vz Oi Ri Oi Ri Oi Roi 0 43 Observe que somando a corrente no nésimo no g neste exemplo temos is iig 10 44 A Equagao 44 nao é independente porque podemos deduzila somando as equag6es 41 e entao multiplicando a soma por 1 Assim a Equagao 44 6 uma combinagao linear das equacoes 41 e portanto nado é independente delas Agora podemos avancgar mais um passo no procedimento Introduzindo novas varidveis podemos descrever um circuito com apenas n 1 equagoes ou apenas b n 1 equagoes Portanto essas novas variaveis permitem che gar a uma solucéo com a manipulagdo de um nimero menor de equag6es uma meta desejavel mesmo que um computador seja usado para obter uma soluc4o numérica As novas variaveis sao conhecidas como tens6es de n6 e correntes de malha O método das tensdes de no habilitanos a descrever um circuito em termos de n 1 equagdes o método das correntes de malha habilitanos a descrever um circuito em termos de b n 1 equagdes Comecaremos na Segao 42 com o método das tensdes de no NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver os problemas 42 e 43 apresentados no final deste capitulo z 42 Introducao ao metodo das tensoes de no Apresentaremos o método das tensdes de né usando Figura 45 Circuito usado para ilustrar 0 método das os nos essenciais do circuito A primeira etapa é desenhar tensdes de no para analise de circuitos um diagrama do circuito de modo a nao haver intersecao de 10 20 ramos e a marcar claramente nesse diagrama os nds essen ciais do circuito como na Figura 45 Esse circuito tem trés 2 o 10 V 100 2A nos essenciais 1 3 portanto precisamos de duas n 1 equacoes de tensdes de n6 para descrever o circuito A etapa seguinte é selecionar um dos trés nds essenciais como o de referéncia Embora possa parecer arbitraria a escolha do né Co P P Coe Figura 46 Circuito mostrado na Figura 45 com um no de de referéncia é na pratica com frequéncia dbvia Por exem referancia e as tensdes de nd plo oné6 com o maior nimero de ramos costuma ser uma boa io 1 20 2 escolha A escolha ideal do né de referéncia se existir algum ficara evidente depois que vocé adquirir alguma experiéncia na utilizagéo desse método No circuito mostrado na Figura 10 V Vy U2 100 1 2A 45 0 no inferior conecta a maioria dos ramos por isso foi a selecionado como o de referéncia Sinalizamos o n6 de refe réncia escolhido com o simbolo V como na Figura 46 Apos selecionarmos o no de referéncia definimos as tensdes de né no diagrama do cir cuito A tensao de no é definida como a elevagao de tensao entre o né de referéncia e outro nd que nao o de referéncia Para esse circuito devemos definir duas tensdes de nd que sao deno tadas v e UV na Figura 46 Circuitos elétricos Agora estamos prontos para gerar as equacgdes de tensdo de no Figura 47 Calculo da corrente de ramo Fazemos isso expressando em primeiro lugar a corrente que sai de cada i ramo conectado a um n6 que nao o de referéncia como uma funcao 10 das tensGes de n6 e entao igualando a soma dessas correntes a zero de iR acordo com a lei das correntes de Kirchhoff Para o circuito da Figura 46 10V a corrente que sai do nd 1 e passa pelo resistor de 1 0 a queda de tensao 1 Los 4 as x no resistor dividida pela resisténcia lei de Ohm A queda de tens4o no e resistor na direcao da corrente que sai do no v 10 Portanto a cor rente no resistor de 1 0 é v 101 A Figura 47 retrata essas observa ces Ela mostra 0 ramo 10 V1 Q com as tenses e corrente adequadas Esse mesmo raciocinio possibilita o calculo da corrente em todo ramo em que ela é desco nhecida Assim a corrente que sai do no 1 e passa pelo resistor de 5 0 v5 e a corrente que sai do no 1 e passa pelo resistor de 2 0 é v v2 A soma das trés correntes que saem do nd 1 deve ser igual a zero portanto a equacdo de tensdo de né deduzida para o né 1 é vy 10 vy wy 0 45 1 5 2 49 A equacaéo de tensdo de n6é deduzida para 0 né 2 é 27 1 U2 20 46 2 10 46 Observe que o primeiro termo da Equacao 46 é a corrente que sai do no 2 passando pelo resistor de 2 0 o segundo termo é a corrente que sai do no 2 passando pelo resistor de 10 Ne o terceiro termo a corrente que sai do n6 2 passando pela fonte de corrente As equagoes 45 e 46 sio as duas equacg6ées simultaneas que descrevem 0 circuito mos trado na Figura 46 em termos das tensGes de n6 Uv e v Resolvendo para v e U temos 100 v1 909 V eel 120 1091 V v2 10 o 1 Uma vez conhecidas as tensdes de né todas as correntes de ramo podem ser calcula das Com essas correntes conhecidas as tensdes e poténcias de ramo podem ser calculadas O Exemplo 42 ilustra a utilizacgaéo do método das tensGes de no EXEMPLO 42 Utilizagao do método das tensdes de no Figura 48 Circuito para o Exemplo 42 50 a Use 0 método das tensdes de né para determinar as correntes de ramo i i i no circuito mostrado na Figura 48 sov 100 ic 400 1 3A b Determine a poténcia associada a cada fonte e verifique se a fonte esta fornecendo ou absorvendo poténcia Solugao a Comecamos observando que 0 circuito tem dois nds essenciais e por isso precisamos escrever uma unica expressdo de tensdo de no Selecionamos o n6 inferior como o no de referéncia e definimos Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos a tensdo de n6é desconhecida como v A Figura 49 Figura 49 Circuito mostrado na Figura 48 com um no de ilustra essas decisdes Somando as correntes que referencia a tensdo de no desconhecida v saem do né 1 geramos a equacao de tensdo de nd 5 1 vy 50 vy vy 30 5 10 40 50V 100 400 3A Resolvendo para v obtemos v 40V Logo 50 40 2A 40 ip 4A 10 40 ip 1A 40 b A poténcia associada a fonte de 50 V é Psy 50i 100 W fornecendo A poténcia associada a fonte de 3 A é P3 3V 340 120 W fornecendo Verificamos esses calculos observando que a poténcia total fornecida é 220 W A poténcia total absorvida pelos trés resistores é 45 1610 140 ou 220 W como calculamos e como deve ser PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Entender e saber utilizar 0 método das tensdes de no 41 a Para o circuito mostrado use o método das 50 tens6es de no para determinar U V i rm a 4 iy b Qual é a poténcia fornecida ao circuito pela Go ISA v2600 150 20 C1 5A fonte de 15 A c Repita b para a fonte de 5 A Resposta a 60 V 10 V 10 A b 900 W c 50 W 60 20 40 42 Use o método das tenses de n6 para determi Dux pn dan 10 v 30 V nar U no circuito mostrado Resposta 15 V NOTA tente resolver também os problemas 46 411 e 413 apresentados no final deste capitulo Circuitos elétricos 43 O metodo das tensoes de no e as fontes dependentes Se 0 circuito contiver fontes dependentes as equacG6es das tensdes de né devem ser suple mentadas com as equagoes de restrigéo impostas pela presenga das fontes dependentes O Exemplo 43 ilustra a aplicagao do método das tensdes de n6é a um circuito que contém uma fonte dependente EXEMPLO 43 Utilizagao do método das tensdes de nd com fontes dependentes Use o método das tensdes de n6 para determinar a Figura 410 Circuito para o Exemplo 43 poténcia dissipada no resistor de 5 Q do circuito mos 20 50 20 trado na Figura 410 i Solugao 20 V 200 100 8 iy Comegamos observando que o circuito tem trés nds essenciais Por conseguinte precisamos de duas equa Oes das tensdes de n6 para descrever o circuito Qua Figura 411 Circuito mostrado na Figura 410 com um nd tro ramos terminam no n6 inferior por isso ele foi sele de referéncia e as tensoes de no cionado como no de referéncia As duas tenses de no 20 1 50 2 20 desconhecidas sao definidas no circuito mostrado na 4 z lo Figura 411 A soma das correntes que saem do no 1 20v 00 8 ig gera a equacao vz 20 V1 V1 V2 0 2 20 5 A soma das correntes que saem do no 2 fornece v2 V1 V2 v2 Big 0 5 10 2 Como esta expresso essas duas equagoes das tensdes de no contém trés incdgnitas V V i Para eliminar i devemos expressar essa corrente de controle em termos das tens6es de n6 ou Ur V2 ig A substituigao dessa relagao na equacao do n6 2 simplifica as duas equagoées das tensdes de n6 para 075v 02v 10 v 16v 0 Resolvendo para Uv e V obtemos v 16V e v 10V Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Entao 16 10 ig 35 12 A Pso 1445 72 W Um bom exercicio para desenvolver sua intuigéo para a resolucéo de problemas é reanalisar esse exemplo usando 0 n6é 2 como o de referéncia Isso facilita ou dificulta a andlise PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Entender e saber utilizar 0 método das tensdes de no 3 i 43 a Use 0 método das tens6es de n6 para determinar a S a 60 poténcia associada a cada fonte no circuito mostrado b Verifique se a fonte esta fornecendo poténcia ao circuito ou absorvendo poténcia dele 50V 80 40 1 5A Resposta a Psyy 150 W p3 144 W Ps 80 W b todas as fontes estao fornecendo poténcia ao circuito NOTA tente resolver também os problemas 418 e 419 apresentados no final deste capitulo 44 0 metodo das tensoes de no alguns casos especiais Quando uma fonte de tens4o é o tinico elemento entre a oo bas Figura 412 Circuito com uma tensdao de no conhecida dois nés essenciais o método das tensdes de né é simplificado Como exemplo examine 0 circuito da Figura 412 Ha trés nés 1 100 2 essenciais nesse circuito o que significa que sAo necessdarias duas equac6es simultaneas Dentre esses trés nds essenciais 100 V 250 v 1 5A foi escolhido um né6 de referéncia e foram rotulados outros dois Mas a fonte de 100 V restringe a tensAo entre on6 1 eo no de referéncia a 100 V Isso significa que ha somente uma tensao de no desconhecida v Portanto a solucao desse cir cuito envolve uma tinica equacéo de tensdo para o né 2 V2 Vy v2 50 47 10 50 47 Como v 100 V a Equacao 47 pode ser resolvida para v v 125V 48 Conhecendo v podemos calcular a corrente em cada ramo Vocé deve verificar que a cor rente que entra no no 1 por meio do ramo que contém a fonte de tensAo independente é 15 A De modo geral quando vocé usa 0 método das tenses de né para resolver circuitos com fon tes de tensdo ligadas diretamente entre nos essenciais o nimero de tensdes de no desconhecidas Circuitos elétricos Figura 413 Circuito com uma fonte de tensao dependente é reduzido A razao que sempre que a fonte de tensao liga ligada entre nos dois nos essenciais ela impele a diferenca entre as tensdes de 59 10 ig no nesses nos a ser igual 4 da fonte Dedique algum tempo para testar se vocé é capaz de reduzir o numero de incégnitas ip e desse modo simplificar a andlise dos circuitos Corgan doo oD 4A Suponha que o circuito mostrado na Figura 413 deva ser analisado utilizandose o método das tensdes de nd O circuito contém quatro nos essenciais de forma que preve a mos trés equagOes de tensdo de nod Contudo dois nés essen Figura 414 Circuito mostrado na Figura 413 com as oa a tensdes de nds selecionadas ciais estao ligados por uma fonte de tensdo independente e dois outros nos essenciais estao ligados por uma fonte de 150 2 10 tg 3 tensao dependente controlada por corrente Por conseguinte na verdade ha apenas uma tensao de n6 desconhecida Conga fan dia 4A Escolher qual n6 usar como referéncia envolve varias pos sibilidades Qualquer dos nds de cada lado da fonte de tensao dependente parece atraente porque se escolhido saberiamos que uma das tenses de né seria 10i se 0 nd da esquerda for ono de referéncia ou 10i b se o né da direita for o nd de refe réncia O no inferior parece até melhor porque uma tensao de no é conhecida de imediato 50 V e cinco ramos terminam ali Portanto optamos pelo no inferior como o de referéncia A Figura 414 mostra 0 circuito redesenhado com o no de referéncia assinalado e as ten sdes de no definidas Além disso introduzimos a corrente i porque nao podemos expressar a corrente no ramo da fonte de tensao dependente como uma fungao das tensGes de n6 v V3 Assim no no 2 v ot i 0 49 eno nd 3 ip TE 4 0 410 Eliminamos i simplesmente somando as equacées 49 e 410 para obter V2 Vz V2 V3 a 3 tb I99 7 411 Figura 415 Nos 2 e 3 englobados por um supernod 0 conceito de superno 1 590 2 3 A Equagaéo 411 pode ser escrita diretamente sem aN recorrer 4 etapa intermedidria representada pelas equag6es Omsfer 500 to 4A 49 e 410 Para isso considere os nds 2 e 3 como um Unico 2 no e simplesmente some as correntes que saem do né em termos das tensdes de no v e U3 A Figura 415 ilustra essa abordagem Quando uma fonte de tensdo esta entre dois nds essen ciais podemos combinélos para formar um superné E dbvio que a lei das correntes de Kir chhoff deve ser valida para 0 superno Na Figura 415 comecando com 0 ramo de 5 0 e percor rendo o supern6 no sentido antihorario geramos a equacdo V2 Vz V2 V3 5 50 100 4 0 412 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos que é idéntica 4 Equacao 411 A criacéo de um supern6 nos nos 2 e 3 facilitou a andlise desse circuito Portanto sempre vale a pena dedicar algum tempo a procura desse tipo de atalho antes de escrever quaisquer equagoes Depois de a Equagao 412 ter sido deduzida a etapa seguinte é reduzir a express4o a uma unica tensdo de no desconhecida Em primeiro lugar eliminamos v da equagado porque sabe mos que Uv 50 V Em seguida expressamos UV em fungao de v UV V 10i 413 Agora expressamos a corrente de controle da fonte de tenséo dependente em funcao das tensdes de né v2 50 ig 414 Usar as equagées 413 e 414 e v 50 V reduz a Equagao 412 a 1 1 1 10 vol 7 25 104441 55 5 100 son v2025 15 v2 60 V Pelas equagoes 413 e 414 60 50 ig 2 2A 5 v3 60 20 80V Analise do circuito amplificador pelo método das tensdes de no Usaremos agora 0 método das tensdes de no para ana lisar 0 circuito que apresentamos pela primeira vez na Segdo Figura 416 Circuito amplificador de transistor mostrado 25 mostrado novamente na Figura 416 na Figura 224 Quando usamos o método da analise de correntes de a ramo na Secao 25 enfrentamos a tarefa de escrever e resolver seis equacoées simultaneas Aqui mostraremos como a analise oa Rc nodal pode simplificar nosso trabalho O circuito tem quatro nos essenciais os nds a e d sao liga R dos por uma fonte de tensdo independente assim como os nés Bi b ec Portanto o problema reduzse a determinar uma tnica 8 Vec tensdo de no desconhecida porque n 1 2 1 Usando Yo d como no de referéncia combinamos os nds b e c em um b c supern6 e identificamos a queda de tensaéo em R como Uv e a queda de tensao em R como v conforme mostra a Figura Ry 8 Re 417 Entao UW WwW Vec Ve d Big 0 Ry R R Biz 415 Agora eliminamos v e i da Equagao 415 observando que Circuitos elétricos Figura 417 Circuito mostrado na Figura 416 com as UV ig BigR ps 416 tensdes e 0 superno identificados a VU UV Vo 417 Substituindo as equacgées 416 e 417 na Equacao 415 temos 1 1 1 Vv Ve Re ete tas ee C 9418 R Ry 1 BRE Ri 1 BRe Resolvendo a Equagao 418 para v obtemos R Biz lz VecRil BRe VoRiRo a9 b L RiR 1 BRECK Ro b c TTT TTT TTT Usando o método das tensdes de né para analisar esse vp R ve Re circuito reduzimos o problema de manipular seis equagdes simultaneas veja o Problema 227 para o de manipular trés rr equacoes simultaneas Vocé deve verificar que quando a Equa cao 419 é combinada com as equacées 416 e 417 a solucdo para i é idéntica 4 da Equacao 225 Veja o Problema 430 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Entender e saber utilizar 0 método das tensdes de no 44 Use 0 método das tenses de né para determinar UV no circuito mostrado 300 100 20 0 ov fis Uo 400 201 Resposta 24 V 45 Use 0 método das tensdes de no para determinar UV no circuito mostrado 50 n 10 2 asat 750 v2 2100250 e Resposta 8 V 46 Use 0 método das tenses de né para determinar U no circuito mostrado Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 6 ig lb 60 V 240 30 Resposta 48 V NOTA tente resolver também os problemas 422 423 e 426 apresentados no final deste capitulo 45 Introducao ao método das correntes de malha Como dissemos na Segaéo 41 o método das correntes de Figura 418 Circuito mostrado na Figura 41b com as malha para andlise de circuitos habilitanos a descrever um correntes de malha definidas circuito em termos de b n 1 equacgdes Lembrese de que uma malha é um laco em cujo interior néo ha nenhum Ri outro laco O circuito da Figura 41b é mostrado novamente R na Figura 418 com setas que representam e distinguem as cor Oe 84 7 rentes no interior de cada lacgo Lembrese também de que o método das correntes de malha s6 é aplicavel a circuitos pla nares O circuito da Figura 418 contém sete ramos essenciais em que a corrente é desconhecida e quatro nos essenciais Portanto para resolvélo por meio do método das correntes de malha devemos escrever quatro 7 4 1 equacGes de corren tes de malha Uma corrente de malha é a corrente que existe somente no perimetro de uma malha Em um diagrama do circuito ela é representada por uma linha continua ou quase continua que percorre o perimetro da malha Uma ponta de seta na linha continua indica a direcao de refe réncia para a corrente de malha A Figura 418 mostra as quatro correntes de malha que des crevem 0 circuito da Figura 41b Observe que por definigdo correntes de malha satisfazem automaticamente a lei das correntes de Kirchhoff Isto éem qualquer no do circuito uma dada corrente de malha tanto entra quanto sai do no A Figura 418 também mostra que nem sempre é possivel identificar uma corrente de malha em termos de uma corrente de ramo Por exemplo a corrente de malha i nao é igual a nenhuma corrente de ramo ao passo que as correntes de malha i 7 e i podem ser identi ficadas com correntes de ramo Assim medir uma corrente de malha nem sempre é possivel observe que nao ha onde inse Figura 419 Circuito usado para ilustrar 0 rir um amperimetro para medir a corrente de malha i O fato desenvolvimento do método das correntes de uma corrente de malha poder ser uma quantidade ficticia de malha para andlise de circuitos nao significa que ela seja um conceito inttil Ao contrario o Ri R método das correntes de malha para andlise de circuitos evolui We WV muito naturalmente a partir das equagoées de corrente de ramo Uy is R3 v2 Podemos usar 0 circuito da Figura 419 para mostrar a evo lugdo da técnica das correntes de malha Comecamos usando as OO Circuitos elétricos correntes de ramo i i e i para formular o conjunto de equagoes independentes Para esse circuito b 3 en 2 Podemos escrever somente uma equacao de corrente independente portanto precisamos de duas equacdes independentes de tenses Aplicar a lei das correntes de Kirchhoff ao n6 superior e a lei das tensdes de Kirchhoff ao longo das duas malhas gera o seguinte conjunto de equacées i i i 420 V iR iR 421 U 1R iR3 422 Reduzimos esse conjunto de trés equagdes a um conjunto de duas equagoées resolvendo a Equagao 420 para i e entao substituindo essa expressdo nas equagoes 421 e 422 v iR R iR 423 v iRiR R 424 Podemos resolver as equagdes 423 e 424 para i e i a fim de substituir a solucao de trés equacgoes simultaneas pela solucao de duas equag6es simultaneas Deduzimos as equacgdes 423 e 424 substituindo as n 1 equagdes de corrente nas b n 1 equagGes de tensao O valor do método das correntes de malha é que definindo correntes de malha eliminamos automaticamente n 1 equag6es de corrente Assim 0 método das correntes de malha é equivalente a uma substituigdo sistematica das n 1 equag6es de corrente nas b n 1 equagoes de tensao As correntes de malha da Figura 419 que sao equivalentes a eliminar a corrente de ramo i das equacGes 421 e 422 so mostradas na Figura 420 Aplicamos agora a lei das tensdes de Kirchhoff ao longo das duas malhas expressando todas as tensGes nos resis tores em termos das correntes de malha a fim de obter as equag6es v iR 4R 425 v i 1R 4R 426 Pondo em evidéncia os coeficientes de i e i nas equagoes 425 e 426 temos v iR R3 iR3 427 v iRiR R 428 Observe que as equacoes 427 e 428 e as equagoes 423 e 424 sao idénticas na forma com as correntes de malha i e i no lugar das correntes de ramo i e i Observe também que as correntes de ramo mostradas na Figura 419 podem ser expressas em termos das correntes de malha mostradas na Figura 420 ou Figura 420 Correntes de malha i i i i 429 Ry Ry i i 430 i i L iy 431 V1 la R lb U2 A capacidade de escrever as equagoes 429 a 431 por inspe cao crucial para o método das correntes de malha Uma vez que Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos conhecemos as correntes de malha também conhecemos as correntes de ramo E uma vez conhecidas as correntes de ramo podemos calcular quaisquer tens6es ou poténcias de interesse O Exemplo 44 ilustra como 0 método das correntes de malha é usado para determinar as poténcias das fontes e a tensdo de ramo EXEMPLO 44 Utilizacao do método das correntes de malha Figura 421 Circuito para o Exemplo 44 20 60 40 a Use o método das correntes de malha para determinar a poténcia associada a cada fonte de tensao no circuito mostrado na Figura 421 40 V Vo 20V b Calcule a tensao v no resistor de 8 Solugao a Para calcular a poténcia associada a cada fonte preci samos saber qual é a corrente em cada fonte O circuito Figura 422 As trés correntes de malha usadas para indica que essas correntes de fonte serao idnticas as analisar 0 circuito mostrado na Figura 421 correntes de malha Além disso observe que 0 circuito 20 60 40 tem sete ramos em que a corrente é desconhecida e cinco nos Portanto precisamos de trés b n 1 7 5 1 equagodes de correntes de malha para wv s 20V descrever o circuito A Figura 422 mostra as trés cor rentes de malha usadas para descrever o circuito da Figura 421 Se admitirmos que as quedas de tensao serao positivas as trés equagdes de malha sao 40 21 8i i 9 8i i 61 Oi 7 90 6i i 4i 20 0 432 E provavel que sua calculadora possa resolver essas equacées ou podese usar algum recurso de computador O método de Cramer é uma ferramenta Util para resolver trés ou mais equacdes simultaneas 4 mo Vocé pode revisar essa importante ferramenta no Apéndice A Reorganizando as equacoes 432 antes de utilizar uma calculadora um programa de computador ou 0 método de Cramer temos 10i 84 07 40 8i 201 61 0 Oi 61 107 20 433 As trés correntes de malha sao i56A i 20 A i 080 A Circuitos elétricos A corrente de malha i é idéntica a corrente de ramo na fonte de 40 V de forma que a poténcia associada a essa fonte é Pay 401 224 W O sinal negativo indica que essa fonte esta fornecendo poténcia a rede A corrente na fonte de 20 V idéntica a corrente de malha i portanto Poy 201 16 W A fonte de 20 V também esta fornecendo poténcia a rede b Acorrente de ramo no resistor de 8 na diregao da queda de tensAo U é i i Portanto VU 8i i 836 288 V PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Compreender e saber utilizar 0 método das correntes de malha 47 Use 0 método das correntes de malha para determinar 300 a a poténcia fornecida pela fonte de 80 V ao circuito mostrado e b a poténcia dissipada no resistor de 8 1 50 90 0 Resposta a 400 W b 50 W 80 V 26 0 8a NOTA tente resolver também os problemas 432 e 436 apresentados no final deste capitulo 46 0 metodo das correntes de malha e as fontes dependentes Se 0 circuito contiver fontes dependentes as equacgdes de correntes de malha deverdo ser suplementadas pelas equac6es de restrigao adequadas O Exemplo 45 ilustra a aplicagaéo do método das correntes de malha quando 0 circuito inclui uma fonte dependente EXEMPLO 45 Utilizagao do método das correntes de malha com fontes dependentes Figura 423 Circuito para o Exemplo 45 10 Use 0 método das correntes de malha para determinar a poténcia dissipada no resistor de 4 0 no circuito mos 50 40 trado na Figura 423 Solugéo 50V iy 200 15 ig Esse circuito tem seis ramos em que a corrente é des conhecida e quatro noés Portanto precisamos de trés Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos correntes de malha para descrever 0 circuito Elas sao Figura 424 Circuito mostrado na Figura 423 com as trés definidas no circuito mostrado na Figura 424 As trés correntes de malha equacgoes de corrente de malha sio 10 50 5i i 20i i so 2 40 0Si i li 4 i 0 203 i 4i i 1Siy 434 Agora expressamos a corrente de ramo que controla a fonte de tenséo dependente em termos das correntes de malha como iy h bs 435 que é a equaca4o suplementar imposta pela presencga da fonte dependente Substituindo a Equagao 435 nas equacgoes 434 e colocando em evidéncia os coeficientes de ii e i em cada equacao geramos 50 25i Si 20i 0Si 10i 4i 0Si 4i 9i Como estamos calculando a poténcia dissipada no resistor de 4 0 calculamos as correntes de malha i i i 26A i 28 A A corrente no resistor de 4 0 orientada da esquerda para a direita 1 i ou 2 A Portanto a potén cia dissipada é Pag is i4 274 16 W E se vocé nao tivesse sido aconselhado a usar 0 método das correntes de malha Teria escolhido o método das tensdes de nd Com ele o problema restringese a determinar uma tensdo de n6 desco nhecida por causa da presenga de duas fontes de tensdo entre nds essenciais Mais adiante comenta remos esse tipo de escolha PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Compreender e saber utilizar 0 método das correntes de malha 3 vg 140 48 a Determine 0 ntimero de equacgdes de correntes de malha rau necessarias para resolver o circuito mostrado a seguir b Use o método das correntes de malha para determinar a po téncia que esta sendo fornecida a fonte de tensao dependente 25 V 10 Resposta a 3 b 36 W Circuitos elétricos 49 Use 0 método das correntes de malha para deter 20 minar UV no circuito mostrado a seguir Resposta 16 V 60 80 NOTA tente resolver também os problemas 439 e 440 apresentados no final deste capitulo 25 V tis Uv 280 5 ig Figura 425 Circuito que ilustra 0 método das 4 7 0 método das correntes de malha correntes de malha quando um ramo contém uma fonte de corrente alguns casos especials independente 100 Quando um ramo inclui uma fonte de corrente o método das correntes de malha requer algumas manipulacées adicio 30 iy 00 nais O circuito mostrado na Figura 425 demonstra a natureza do problema Definimos as correntes de malha i i e i bem como a 100 V C Ct S0V tensdo na fonte de corrente de 5 A para auxiliar a discussdo Observe que o circuito contém cinco ramos essenciais em que a corrente desconhecida e quatro nos essenciais Por conse guinte precisamos escrever duas 5 4 1 equag6es de cor rentes de malha para resolver o circuito A presenga da fonte de corrente reduz as trés corren tes de malha desconhecidas a duas dessas correntes porque ela faz com que a diferenga entre i ei seja igual a 5 A Portanto se conhecemos i conhecemos i viceversa Contudo quando tentamos somar as tensdes ao longo da malha a ou da malha c temos de introduzir nas equag6es a tensdo desconhecida nos terminais da fonte de corrente de 5 A Assim para a malha a 100 3i i v 61 436 e para a malha c 50 4i v 2i i 437 Agora somamos as equagoes 436 e 437 para eliminar v e obter 50 91 Si 6i 438 Somando tens6es ao longo da malha b obtemos 03i i 10 2i i 439 Reduzimos as equagoes 438 e 439 a duas equacées e duas incdgnitas usando a restrigao ii5 440 Deixamos para vocé verificar que quando a Equacao 440 combinada com as equagdes 438 e 439 as solug6es para as trés correntes de malha sao i 175 Ai 125 Ae i 675 A Capitulo 4 e Técnicas de andlise de circuitos 0 conceito de supermalha Figura 426 Circuito mostrado na Figura 425 que ilustra o conceito de uma supermalha Podemos deduzir a Equacao 438 sem introduzir a tensao 100 desconhecida v usando o conceito de supermalha Para criar uma supermalha removemos mentalmente a fonte de cor 30 20 oo Supermalha rente do circuito ao simplesmente evitar esse ramo quando escrevemos as equacoes de corrente de malha Expressamos as tensdes ao longo da supermalha em termos das correntes 100 V C 50V de malha originais A Figura 426 ilustra o conceito da super malha Quando somamos as tenses ao longo da supermalha 60 40 denotada pela linha tracejada obtemos a equagao 100 3i i 2 i 50 4i 67 0 441 que se reduza 50 91 Si 6i 442 Observe que as equagoes 442 e 438 sao idénticas Assim a supermalha eliminou a neces sidade de introduzir a tensio desconhecida nos terminais da fonte de corrente Mais uma vez dedicar algum tempo para examinar cuidadosamente um circuito e identificar um atalho como esse sera muito compensador em termos de simplificagaéo da andlise Analise do circuito amplificador pelo método das correntes de malha Podemos usar 0 circuito apresentado pela primeira vez na Figura 427 Circuito mostrado na Figura 224 com as Seco 25 Figura 224 para ilustrar como o método das corren correntes de malha 4 tes de malha funciona quando um ramo contém uma fonte de corrente dependente A Figura 427 mostra esse circuito com as trés correntes de malha identificadas por i i iO circuito Re tem quatro nos essenciais e cinco ramos essenciais nos quais 4 R la a corrente é desconhecida Portanto sabemos que o circuito pode ser analisado em termos de duas 5 4 1 equag6es Bis Ce V A c cc de correntes de malha Embora tenhamos definido trés corren Vo tes de malha na Figura 427 a fonte de corrente dependente imp6e uma restrigéo entre as correntes de malha i e i por tanto temos somente duas correntes de malha desconhecidas R B Re Usando o conceito da supermalha desenhamos novamente o i circuito como mostrado na Figura 428 Agora somamos as tensdes ao longo da supermalha em termos das correntes de malha ii e i para obter Ryi Vee Ri i Vo 9 443 A equacaéo da malha b é Ri Vo R i i 0 444 A restrigaéo imposta pela fonte de corrente dependente é Bip i i 445 Circuitos elétricos Figura 428 Circuito mostrado na Figura 427 A corrente de ramo que controla a fonte de corrente representando a supermalha criada pela dependente expressa como uma funcao das correntes de presenga da fonte de corrente dependente Z malha é PT ip i i 446 R i Pelas equacgoes 445 e 446 Ri ee i 1 Bi Bi 447 0 Agora usamos a Equagao 447 para eliminar i das equa cOes 443 e 444 R iz Rel R 1 BRi BRzi V Veo 448 is Li sd 1 BRi R 1 BR li V 449 Vocé deve verificar que a solugdo das equagées 448 e 449 para i e i resulta em VoR2 VecR2 Vcc BRe 450 RiRy 1 BReRi Ro VoR 1 BREV i oR A BREVcc 451 RiR 1 BRECK Ry Deixamos para vocé verificar que quando as equacées 450 e 451 sao usadas para deter minar i 0 resultado o mesmo dado pela Equagao 225 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Compreender e saber utilizar 0 método das cor 30 80 rentes de malha 410 Use o método das correntes de malha para determinar a poténcia dissipada no resistor de 2 30V 20 50 1 16A Q no circuito mostrado Resposta 72 W 60 ae 411 Use o método das correntes de malha para determinar a corrente de malha i no circuito mostrado 10A sv A esa yt Resposta 15 A Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 412 Use 0 método das correntes de malha para determinar a 20 poténcia dissipada no resistor de 1 0 no circuito mostrado Resposta 36 W e ov Om on NOTA tente resolver também os problemas 443 447 449 e 452 apresentados no final deste capitulo 48 Metodo das tensoes de no versus metodo das correntes de malha A maior vantagem de ambos os métodos das tensdes de n6 e das correntes de malha é que eles reduzem 0 nimero de equacées simultaneas a serem manipuladas Também requerem que o analista seja bastante sistematico no que diz respeito a organizar e escrever essas equa codes Entao é natural perguntar Quando o método das tens6es de no preferivel ao método das correntes de malha e viceversa Como se pode imaginar nao ha uma resposta precisa No entanto antes de mergulhar no processo de solugao faga algumas perguntas que podem ajudar a identificar o método mais eficiente e Um dos métodos resulta em um nimero menor de equag6es simultaneas a resolver e Ocircuito contém supernés Em caso afirmativo usar 0 método das tensdes de né permi tira a reducao do numero de equacées a resolver e Ocircuito contém supermalhas Em caso afirmativo usar o método das correntes de malha permitira a reducdo do nimero de equagoes a resolver e Resolver uma parte do circuito fornece a solucdo desejada Em caso afirmativo qual é 0 método mais eficiente para resolver apenas a porgao pertinente do circuito Talvez a informagao mais importante seja a de que em qualquer situacao o tempo dedi cado para pensar no problema em relagao as varias abordagens analiticas disponiveis um tempo bem gasto Os exemplos 46 e 47 ilustram 0 processo de decisao entre 0 método das tensdes de né e 0 método das correntes de malha EXEMPLO 46 Entender 0 método das tensdes de no versus o método das correntes de malha Determine a poténcia dissipada no resistor de 300 Qno Figura 429 Circuito para o Exemplo 46 circuito mostrado na Figura 429 i 3000 A Solugao Para determinar a potencia dissipada no resistor de 300 QO 1500 1000 250 0 500 0 precisamos determinar ou a corrente que passa pelo resistor ou a tensao em seus terminais O método das correntes de 50 ig malha fornece a corrente que passa pelo resistor essa abor 2000 4000 C dagem requer resolver cinco equag6es de malha simultaneas Circuitos elétricos Figura 430 Circuito mostrado na Figura 429 com as como descrito na Figura 430 Ao escrevermos as cinco cinco correntes de malha equacoées devemos incluir a restrigdo 7 Aa Thy in Antes de prosseguirmos vamos examinar 0 circuito no 3002 Z 2 que se refere ao método das tensdes de nd Observe que uma vez conhecidas as tenses de n6 podemos cal 1500 1000 2500 5000 cular a corrente que passa pelo resistor de 300 0 ou a tensdo em seus terminais O circuito tem quatro nds 6 C Dgv essenciais e por conseguinte somente trés equagdes de tensdo de no sao necessarias para descrevélo Por causa da fonte de tensaéo dependente entre dois nds essen ciais temos de somar as correntes somente em dois nos a Logo o problema é reduzido a escrever duas equag6es Figura 431 Circuito mostrado na Figura 429 com um nd de referencia de tensdo de né e uma equagao de restricgdo Visto que 0 método das tensdes de n6é requer apenas trés equacgdes 3000 simultaneas é a abordagem mais atraente Uma vez tomada a decisao de usar 0 método das tenses 1500 1000250 v25000 de no a proxima etapa é selecionar um no de referéncia 1 2 Dois nos essenciais no circuito da Figura 429 merecem atengao O primeiro é 0 né de referéncia na Figura 431 Or faa ov Se esse no for selecionado uma das tens6es de n6 des i conhecidas a tensao no resistor de 300 Q ou seja v 3 na Figura 431 Uma vez conhecida essa tensdo calcula mos a poténcia no resistor de 300 usando a expressdo P3000 03300 Observe que além de selecionar 0 n6o de referéncia definimos as trés tensdes de no U V U indi camos que os nos 1 e 3 formam um supern6 porque estao conectados por uma fonte de tensAo depen dente Fica entendido que uma tensdo de n6 é uma elevacao em relacao ao n6 de referéncia portanto na Figura 431 nao inserimos as referéncias de polaridade das tens6es de no Figura 432 Circuito mostrado na Figura 429 com um nd O segundo no que merece atengao como um possivel no de referéncia alternativo de referéncia é 0 no inferior do circuito como mostrado na Figura 432 E um né atraente porque a maioria dos 3000 ramos esta conectada a ele e assim as equagées de ten sdéo de no ficam mais faceis de escrever Entretanto 150Q0y 1000 2509 v5000 determinar a corrente no resistor de 300 0 ou a tensao que passa por ele requer um calculo adicional assim que CG rsy conhecermos as tensdes de no v e U Por exemplo a corrente no resistor de 300 2 é v v300 ao passo que a tensdo em seus terminais é v U Comparamos esses dois possiveis nds de referéncia por meio dos seguintes conjuntos de equag6es 0 primeiro pertence ao circuito mostrado na Figura 431 e o segundo é baseado no circuito mostrado na Figura 432 e Conjunto 1 Figura 431 No supern6 Vp VET U2 U3 V3 UD V3 V2 128 100 250 200 400 500 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos U3 256 0 150 Em v v V2 Uv V2 Uv vz 128 v 27 4 22 Fl 4 22 63 4 22 8 498 3 0 300 250 400 500 A equacao de restrigaéo do supern6 é v U3 UY 50i VU 6 e Conjunto 2 Figura 432 Em v Va Ya 256 Ya Mb Ya Ve 200 150 100 300 Em v Be Ye F128 Ve 7 UW Ye Ya 400 500 250 300 A equacao de restrigaéo do supern6 é 50vug Ug Ug Ug Vp 550i 300 6 Vocé deve verificar que a solucao de qualquer um dos conjuntos leva ao calculo de uma poténcia de 1657 W dissipada no resistor de 300 EXEMPLO 47 Comparagao entre 0 método das tensdes de nd e o método das correntes de malha Determine a tensao UV no circuito mostrado na Figura 433 Solugao A primeira vista o método das tensdes de n6 parece Figura 433 Circuito para o Exemplo 47 atraente porque podemos definir a tenséo desconhe 40 150 20 cida como uma tensdo de no escolhendo o terminal inferior da fonte de corrente dependente como o n6 de referéncia O circuito tem quatro nos essenciais e 1 1 Cos 9 duas fontes dependentes controladas por tensao por tanto o método das tensdes de n6 requer a manipula 60 750 80 cao de trés equagdes de tensAo de né e duas equacgdes de restricdo Agora analisaremos 0 método das correntes de malha para determinar v O circuito contém trés malhas e podemos usar a da extremidade esquerda para calcular v Se usarmos i para denotar a Circuitos elétricos corrente mais a esquerda entao v 193 10i A presenga das duas fontes de corrente reduz 0 pro blema 4 manipulacdo de uma tinica equagdo de supermalha e duas equag6es de restricdo Por conse guinte nesse caso o método das correntes de malha é a técnica mais atraente Para ajudar a comparar as duas abordagens resumimos ambos os métodos As equag6es de corrente de malha sao baseadas no circuito mostrado na Figura 434 e as equac6es de tensdo de n6 sao basea das no circuito mostrado na Figura 435 A equagao de supermalha é 193 101 10 10i 08U e as equacoées de restrigao sao i 1 940 087 Vy F5i3 i i 95 Usamos as equagoes de restrigdo para escrever a equacado de supermalha em termos de i 160 80i oui 2 A v 193 20 173 V As equacoes de tensao de né sao Vo 193 Uo Va 04v 0 10 A 25 UV Uv v vp 08v a 2g5 44 Up 9 25 10 Up Up 08v9 Va 05 0 75 10 As equacoées de restrigéo sao 2 vp ost ly Vp Vp Vg 2 6 b VA 10 Usamos as equacgoes de restrigdo para reduzir as equagoes de tensdo de n6 a trés equacées simulta neas envolvendo U v U Vocé deve verificar que a abordagem das tensGes de no também resulta em U 173 V Figura 434 Circuito mostrado na Figura 433 com as trés correntes de malha Figura 435 Circuito mostrado na Figura 433 com 40 250 20 tensdes de nod 40 250 Ya 20 193 V 1 04 u Ct 08 v6 vn dG COpnvedorn Dunn Cun Ug 60 75 0 80 60 750 UU 80 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Decidir entre o método das tensdes de nd e o método das correntes de malha 413 Determine a poténcia fornecida pela fonte de corrente de 2 A no circuito mostrado 150 100 nv oO 2 av Resposta 70 W 414 Determine a poténcia fornecida pela fonte de corrente de 4 A no circuito mostrado 4A O a G Resposta 40 W NOTA tente resolver também os problemas 454 e 456 apresentados no final deste capitulo 49 Transformacoes de fonte Embora os métodos das tensdes de n6 e das correntes de malha sejam Figura 436 Transformagées de fonte técnicas poderosas para resolver circuitos continuamos interessados em R métodos que possam ser usados para simplificar circuitos Redug6es série a paralelo e transformagées AY ja estao em nossa lista de técnicas de sim plificagao Comegamos a expandir essa lista com transformacgées de fonte Ys Uma transformacao de fonte como mostra a Figura 436 permite que uma b fonte de tenséo em série com um resistor seja substituida por uma fonte de a a corrente em paralelo com o mesmo resistor ou viceversa A seta de duas pontas enfatiza que uma transformacao de fonte é bilateral isto é podemos comegar com qualquer das configurag6es e deduzir a outra Precisamos determinar a relagao entre VU e i que garanta que as duas a configurag6es da Figura 436 sejam equivalentes no que diz respeito aos nds ab A equivaléncia obtida se qualquer resistor R experimentar 0 mesmo bs R fluxo de corrente e com isso a mesma queda de tensdo esteja conectado b entre os nds ab da Figura 436a ou da Figura 436b b Suponha que R esteja conectado entre os nos ab na Figura 436a Usando a lei de Ohm a corrente em R Us i 452 RR 452 Circuitos elétricos Agora suponha que 0 mesmo resistor R esteja conectado entre os nos ab na Figura 436b Usando a divisao de corrente a corrente em R é R i i 453 RR Se os dois circuitos da Figura 436 forem equivalentes a corrente nesses resistores deve ser a mesma Igualando o lado direito das equagées 452 e 453 e simplificando 454 i R Quando a Equagao 454 é satisfeita para os circuitos na Figura 436 a corrente em R a mesma para ambos os circuitos da figura e para todos os valores de R Se a corrente que passa por R for amesma em ambos 0s circuitos entaéo a queda de tensao em R também sera a mesma em ambos os circuitos e eles serao equivalentes em relacdo aos nos ab Se a polaridade de v for invertida a orientacgdo de i devera ser invertida para manter a equivaléncia O Exemplo 48 ilustra a utilidade de fazer transformacgées de fonte para simplificar um problema de andlise de circuitos EXEMPLO 48 Utilizagao de transformagoes de fonte para resolver um circuito a Para o circuito mostrado na Figura 437 determine a poténcia associada a fonte de 6 V b Verifique se a fonte de 6 V esta absorvendo ou fornecendo a poténcia calculada em a Figura 437 Circuito para o Exemplo 48 4Q 60 50 Oia te C Solugao a Se estudarmos 0 circuito mostrado na Figura 437 sabendo que a poténcia associada 4 fonte de 6 V é de interesse varias abordagens nos vém a mente O circuito tem quatro nos essenciais e seis ramos essenciais nos quais a corrente é desconhecida Assim podemos determinar a corrente no ramo que contém a fonte de 6 V resolvendo tanto as trés 6 4 1 equac6es de corrente de malha quanto as trés 4 1 equag6es de tensao de no Escolher a abordagem das correntes de malha sig nifica calcular a corrente de malha que corresponde a corrente de ramo na fonte de 6 V Escolher a abordagem das tensées de né significa calcular a tensAo nos terminais do resistor de 30 Q a par tir da qual a corrente de ramo na fonte de 6 V pode ser calculada Entretanto focalizando s6 uma corrente de ramo podemos primeiro simplificar o circuito usando transformagoes de fonte Devemos reduzir 0 circuito de modo que seja preservada a identidade do ramo que contém a fonte de 6 V Nao ha nenhuma raz4o para preservar a identidade do ramo que contém a fonte de 40 V Comegando com esse ramo podemos transformar a fonte de 40 V em série com o resistor de 5 0 em uma fonte de corrente de 8 A em paralelo com um resistor de 5 0como mostra a Figura 438a Em seguida podemos substituir a combinagao em paralelo dos resistores de 20 Qe 5 1 por um resistor de 4 Q Esse resistor de 4 0 esta em paralelo com a fonte de 8 A e portanto pode ser substituido por uma fonte de 32 V em série com um resistor de 4 0 como mostra a Figura 438b Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos A fonte de 32 V esta em série com 0 resistor de 20 Qe por conseguinte pode ser substituida por uma fonte de corrente de 16 A em paralelo com 20 1 como mostra a Figura 438c Os resistores de 20 2 e 30 O em paralelo podem ser reduzidos a um Unico resistor de 12 0 A combinagaéo em paralelo da fonte de corrente de 16 A com 0 resistor de 12 0 transformase em uma fonte de ten sao de 192 V em série com 12 0 A Figura 438d mostra o resultado dessa ultima transformagao A corrente na direcao da queda de tensdo nos terminais da fonte de 6 V é 192 616 ou 0825 A Portanto a poténcia associada a fonte de 6 V é Poy 08256 495 W Figura 438 Simplificagao etapa por etapa do circuito mostrado na Figura 437 4Q 60 4Q 60 40 100 a Primeira etapa b Segunda etapa 40 49 120 c Terceira etapa d Quarta etapa b A fonte de tenso esta absorvendo poténcia Uma pergunta que surge da utilizacao da transfor Figura 439 Circuitos equivalentes que contém uma resisténcia macfo de fonte demonstrada na Figura 438 é O que em paralelo com uma fonte de tensao ou em serie sa com uma fonte de corrente acontece se houver uma resisténcia R em paralelo com a fonte de tensAo ou uma resisténcia R em série com a R R fonte de corrente Em ambos os casos a resisténcia nao exerce nenhum efeito sobre o circuito equivalente que R ss v prevé o comportamento em relac4o aos terminais ab A Figura 439 resume essa observacao b b Os dois circuitos retratados na Figura 439a sao a equivalentes no que diz respeito aos terminais ab por que produzem a mesma tens4o e corrente em qualquer R resistor R inserido entre os nés abO mesmo pode ser a a dito para os circuitos na Figura 439b O Exemplo 49 ilustra a aplicacdo dos circuitos equivalentes descritos Ct R Ct R na Figura 439 b b b Circuitos elétricos EXENIPLO 49 Utilizagao de técnicas especiais de transformagao de fonte a Use a transformacao de fonte para determinar a Figura 440 Circuito para o Exemplo 49 tensao UV no circuito mostrado na Figura 440 50 50 b Determine a poténcia desenvolvida pela fonte de tensdo de 250 V C1 8A c Determine a poténcia desenvolvida pela fonte de 250V S 1000 S150 100 corrente de 8 A Solugao Figura 441 Versao simplificada do circuito mostrado na a Comecamos retirando os resistores de 125 0 e 100 Figura 440 porque o resistor de 125 0 esta conectado a fonte de 25 O tensdo de 250 V 0 resistor de 10 esta conectado em série com a fonte de corrente de 8A Também 950 V C1 8A v 21000 00 combinamos 0s resistores ligados em série em uma unica resisténcia de 20 0 A Figura 441 mostra o circuito simplificado Usamos em seguida uma transformagao de fonte para substituir a fonte de 250 V e o resistor de 25 0 por uma fonte de 10 A em paralelo com 0 resistor de 25 0 como mostra a Figura 442 Podemos agora simplificar o circuito mostrado na Figura 442 usando a lei das correntes de Kirchhoff para combinar as fontes de corrente em paralelo em uma tnica fonte Os resistores em paralelo sio combinados em um unico resistor A Figura 443 mostra o resultado Por conseguinte uv 20 V Figura 442 Circuito mostrado na Figura 441 apds uma Figura 443 Circuito mostrado na transformagao de fonte Figura 442 apds a combinagao de fontes e resistores Chsavgioe 200 2A Ct vo 3100 b A corrente fornecida pela fonte de 250 V é igual 4 soma da corrente no resistor de 125 0 e da cor rente no resistor de 25 Assim 250 250 20 2A Il TT 125 25 Portanto a poténcia fornecida pela fonte de tensao é Psyyfornecida 250112 2800 W c Para encontrar a poténcia fornecida pela fonte de corrente de 8 A determinamos em primeiro lugar a tensdo na fonte Se representarmos a tensao na fonte por U positiva no terminal superior obteremos v 810 v 20 ou v 60 V e a poténcia fornecida pela fonte de 8 A sera 480 W Observe que os resistores de 125 Qe 10 0 nao afetam o valor de U mas sim os calculos da poténcia Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Entender a transformacao de fonte 160 415 a Use uma série de transformacées de fonte para determinar a tensao VU no circuito mostrado SOrd4 ow SeO b Qual é a poténcia fornecida pela fonte de 120 V ao circuito Resposta a 48 V b 3744 W NOTA tente resolver também os problemas 461 e 462 apresentados no final deste capitulo 410 Equivalentes de Thévenin e Norton Na andlise de circuitos 4s vezes nos interessa 0 que acontece em um par especifico de terminais Por exemplo quando ligamos uma torradeira a uma tomada estamos interessados principalmente na tensdo e na corrente nos terminais do aparelho Temos pouco ou nenhum interesse no efeito que ligar a torradeira causa as tensOes ou correntes em outros lugares do circuito que alimenta a tomada Podemos expandir esse interesse acerca do comportamento do terminal a um conjunto de eletrodomésticos cada qual com uma demanda de poténcia dife rente Entao estamos interessados em como a tensAo e a corrente da tomada variam quando trocamos 0 eletrodoméstico Em outras palavras queremos conhecer 0 comportamento do cir cuito alimentador da tomada mas em relacao aos terminais dela Equivalentes de Thévenin e Norton sao técnicas de simplificagao de circuitos que se con centram no comportamento de terminais e por isso s4o uma ajuda extremamente valiosa na andlise Embora aqui os abordemos em relacAo a circuitos resistivos os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton podem ser usados para representar qualquer circuito composto de ele mentos lineares Podemos descrever melhor um circuito equivalente de Figura 444 a Circuito geral b Circuito equivalente de Thévenin utilizando a Figura 444 que representa um circuito Thevenin qualquer composto por fontes tanto independentes como A dependentes e resistores As letras a e b denotam o par de ea WN a terminais de interesse A Figura 444b mostra o equivalente Uma rede resistiva de Thévenin Assim um circuito equivalente de Thévenin Se oe Vin independentes e uma fonte de tensao independente V em série com um dependentes resistor R que substitui uma interligacdo de fontes e resis eb b tores Essa combinagao em série de V e Ry equivalente a b ao circuito original no sentido de que se ligarmos a mesma carga aos terminais ab de cada circuito obteremos as mesmas tensdo e corrente nos terminais da carga Essa equivaléncia vale para todos os valores possiveis de resisténcia de carga Para representar 0 circuito original por seu equivalente de Thévenin temos de saber deter minar a tensdo de Thévenin V e a resisténcia de Thévenin R Em primeiro lugar observa mos que se a resisténcia de carga for infinitamente grande temos uma condicao de circuito aberto A tensdo de circuito aberto nos terminais ab do circuito mostrado na Figura 444b é V Por hipotese ela deve ser a mesma que a tensdo de circuito aberto nos terminais a b Circuitos elétricos do circuito original Portanto para calcular a tenséo de Thévenin V simplesmente calcula mos a tensdo de circuito aberto no circuito original Reduzir a resisténcia de carga a zero nos da uma condiAo de curtocircuito Se estabele cermos um curtocircuito nos terminais ab do circuito equivalente de Thévenin a corrente de curtocircuito dirigida de a para b sera Vin lsc Ruy 455 Por hipotese essa corrente de curtocircuito deve ser idéntica 4 corrente que existe em um curtocircuito estabelecido nos terminais ab da rede original Pela Equacao 455 Rtn mm 456 Isc Assim a resisténcia de Thévenin é a razao entre a tensdo de circuito aberto e a corrente de curtocircuito Como determinar 0 equivalente de Thévenin Figura 445 Circuito usado para ilustrar um equivalente de Thévenin Para obter 0 equivalente de Thévenin do circuito mostrado na Figura 445 em primeiro lugar calculamos a tensdo de circuito 50 40 a aberto entre os terminais U Observe que quando os terminais ab estao abertos nio ha nenhuma corrente no resistor de 4 Q 25V anh UL Uap Portanto a tensdo de circuito aberto U idéntica a tensao na fonte de corrente de 3 A ou seja v Determinamos a tensao b resolvendo uma tnica equacao de tensdo de no Escolhendo 0 né inferior como no de referéncia obtemos vy25 Yy 5 1597972 457 Resolvendo para v temos v 32V 458 Assim a tensio de Thévenin para o circuito é 32 V A proxima etapa é estabelecer um curtocircuito entre os terminais e calcular a corrente resultante A Figura 446 Figura 446 Circuito mostrado a Figura 445 com mostra a situagdo Observe que a corrente de curtocircuito terminais ae b em curtocircuito en wo esta na diregéo da queda de tensdo de circuito aberto nos 50 40 a terminais ab Se a corrente de curtocircuito estiver na dire y cao da elevacao de tensAo de circuito aberto nos terminais um sinal de menos deve ser inserido na Equagao 456 ond Oamep 9De i A corrente de curtocircuito i determinada com facilidade uma vez conhecida v Portanto o problema se b reduz a determinar v na situagdo de curtocircuito Mais uma vez se usarmos o no inferior como no de referéncia a equacao para U se tornara v2 25 v2 V2 5 to 3t Gg 2 459 Resolvendo a Equagao 459 para v temos v 16 V 460 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Entao a corrente de curtocircuito é Figura 447 Equivalente de Thévenin do circuito mostrado na Figura 445 igo an 4A 461 SO ea Agora determinamos a resisténcia de Thévenin 30 v substituindo os resultados numéricos das equag6es 458 e 461 na Equacao 456 b Vr 32 Ron igo 4 80 462 Figura 448 Deducao etapa por etapa dos equivalentes de Thévenin A Figura 447 mostra 0 equivalente de Thévenin Norton clo circulto mostrado na Figura 449 para o circuito mostrado na Figura 445 50 40 Vocé deve verificar que se um resistor de 24 0 estiver ligado aos terminais ab na Figura 445 a ten sao no resistor sera de 24 V e a corrente sera de 1 A Oa pan a como seria 0 caso com o circuito de Thévenin da b Figura 447 Essa mesma equivaléncia entre o circuito nas figuras 445 e 447 vale para qualquer valor de Transformacao at ar resistor conectado entre os nos ab 4Q 0 equivalente de Norton Um circuito equivalente de Norton consiste em G a po 20S 3A uma fonte de corrente independente em paralelo b com a resisténcia equivalente de Norton Podemos obtélo de um circuito equivalente de Thévenin por F Etapa 2 ontes e resistores uma simples transformacéo de fonte Assim a cor paralelos combinados rente de Norton é igual 4 corrente de curtocircuito Ao nos terminais de interesse e a resisténcia de Norton a é idéntica a resisténcia de Thévenin Hea gaa Como usar transformacoes de fonte Em alguns casos podemos fazer uso eficaz Etapa 3 de transformacgées de fonte para obter o circuito Transformacdo de fonte resistores equivalente de Thévenin ou de Norton Por exem em série combinados produzindo o plo podemos obter os equivalentes de Thévenin circuito equivalente de Thevenin e de Norton do circuito apresentado na Figura 80 445 fazendo a série de transformagées de fonte a mostrada na Figura 448 Essa técnica é mais Util quando a rede contém somente fontes independen oad tes A presenga de fontes dependentes requer a pre b servacao da identidade das tensdes eou correntes de controle e essa restrigao normalmente impede Transformacao d Etapa cao de fonte produzindo a reducao continua do circuito por transformagées 0 circuito equivalente de Norton de fonte Discutimos 0 problema de obter 0 equiva a lente de Thévenin quando um circuito contém fon tes dependentes no Exemplo 410 4A 80 b Circuitos elétricos EXEMPLO 410 Obtengao do equivalente de Thévenin de um circuito com uma fonte dependente Figura 449 Circuito usado para ilustrar um equivalente Obtenha 0 equivalente de Thévenin para o circuito que de Thévenin quando o circuito contém fontes contém fontes dependentes mostrado na Figura 449 dependentes Solugao ee a A primeira etapa na andlise do circuito da Figura 449 reconhecer que a corrente i deve ser igual a zero 5V oe o 20i v 250 v Observe a auséncia de um caminho de retorno parai a caso ela entre na porgao esquerda do circuito A ten b sao de circuito aberto ou de Thévenin sera a tensdo nos terminais do resistor de 25 Com i 0 Vin Vap 20i25 500i A corrente i 530 5 3Vay i 2000 2000 Ao escrever a equacao para i reconhecemos que a tensdo de Thévenin é idéntica a tensdo de controle Quando combinamos essas duas equag6es obtemos Vin V Figura 450 Circuito mostrado na Figura 449 com Para calcular a corrente de curtocircuito estabelece terminais ae bem curtocircuito wo or x mos um curtocircuito em ab Se os terminais ab esto 2kO a em curtocircuito a tensdo de controle v é nula Por tanto 0 circuito apresentado na Figura 449 tornase o mostrado na Figura 450 Com o curtocircuito em eo oa ae 45 9 isc paralelo com o resistor de 25 Q toda a corrente da fonte de corrente dependente passa pelo curtocir b cuito portanto i 20i Como a tensao de controle da fonte de tensao dependente foi reduzida a zero a corrente de controle da fonte de corrente dependente é 5 i 25 mA 2000 Ao combinar essas duas equag6es obtémse uma corrente de curtocircuito de i 2025 50 mA De i e V4 obtemos Vv 5 Ry X 10 100 9 Ise 50 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos A Figura 451 ilustra 0 equivalente de Thévenin para o circuito mostrado na Figura 449 Observe que as marcas de polaridade de referéncia na fonte de tensao de Thévenin da Figura 451 estao de acordo com a equacao precedente para V Figura 451 Equivalente de Thévenin para o circuito mostrado na Figura 449 100 0 a 5V b PROBLEMAS PARA WARE Objetivo 5 Compreender os equivalentes de Thévenin e de Norton 416 Obtenha o circuito equivalente de Thévenin com relagao aos terminais ab para o circuito mostrado 120 see 72V O 200 b Resposta V Vy 648 V Rp 6 0 417 Obtenha 0 circuito equivalente de Norton com relagao aos terminais ab para o circuito mostrado 20 a 1I5A 1 80 120 100 b Resposta J 6 A dirigido para a Ry 75 Q 418 Um voltimetro com uma resisténcia interna de 100 kO é usado para medir a tensdo UV no circuito mos trado Qual é a leitura do voltimetro 12 kO 15 kO A 36 V QO On 60 kO VAB eB Resposta 120 V NOTA tente resolver também os problemas 464 468 e 472 apresentados no final deste capitulo Circuitos elétricos Figura 452 Crouto usado para ilustrar um equivalente de 411 Outros métodos para a obtengao de um equivalente de Thévenin 50 4Q A técnica para determinar R que discutimos e ilus sv C vay tramos na Segado 410 nem sempre 0 método mais facil disponivel Ha dois outros métodos que de modo geral sao eb mais simples de usar O primeiro sera Util se a rede contiver somente fontes independentes Para calcular Rj para esse tipo de rede em primeiro lugar eliminamos todas as fontes Figura 453 Circuito mostrado na Figura 452 apds a independentes e entao calculamos a resisténcia vista no par eliminagao das fontes independentes de terminais de interesse Uma fonte de tensAo é eliminada substituindoa por um curtocircuito Uma fonte de corrente a ae a é eliminada substituindoa por um circuito aberto Por exem plo examine o circuito mostrado na Figura 452 Eliminar as 20 0 Ru fontes independentes simplifica 0 circuito para o mostrado na Figura 453 A resisténcia vista nos terminais ab R b que consiste no resistor de 4 1 em série com as combinagées em paralelo dos resistores de 5 e 20 Q Assim Ry Rr 4 5X20 8 Q 463 25 Observe que o calculo de R com a Equagao 463 muito mais simples do que com as equacoes 457462 Se 0 circuito ou rede contiver fontes dependentes um procedimento alternativo para determinar a resisténcia de Thévenin R 0 seguinte Em primeiro lugar elimine todas as fontes independentes e entao aplique uma fonte auxiliar de tensdo ou de corrente aos termi nais ab A resisténcia de Thévenin é igual a raz4o entre a tensdo nos terminais da fonte auxi liar e a corrente fornecida por elaO Exemplo 411 ilustra esse procedimento alternativo para determinar R usando 0 mesmo circuito do Exemplo 410 EXEMPLO 411 Obtencao do equivalente de Thévenin usando uma fonte auxiliar Determine a resisténcia de Thévenin R para o circuito da Figura 449 usando 0 método alterna tivo descrito Figura 454 Método alternativo para calcular a resisténcia 4 SOlugao de Thevenin Em primeiro lugar eliminamos a fonte de tensao indepen 2kO ir dente e entao alimentamos 0 circuito a partir dos termi AW nais ab com uma fonte auxiliar de tensdo ou de corrente i Se aplicarmos uma fonte auxiliar de tensao saberemos 3 ur 201 20 Ur qual é a tensdo da fonte de tensdo dependente e por con seguinte qual é a corrente de controle i Portanto opta mos pela fonte auxiliar de tensao A Figura 454 mostra o circuito para o calculo da resisténcia de Thévenin A fonte auxiliar de tensao aplicada externamente é ve a corrente que ela fornece ao circuito i Para determinar a resisténcia de Thévenin simplesmente resolvemos o circuito mostrado na Figura 454 e calculamos a razdo entre a tensAo e a corrente na fonte auxiliar isto R Ui Pela Figura 454 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos ip 2 20 464 ip i aT 3ur i mA 465 2 Entao substituimos a Equacao 465 na Equacgao 464 e obtemos a razao vi a partir da equagado resultante jp UE vr 466 25 2000 roi 6 0 1 467 vr 25 200 5000 100 Pelas equacgoes 466 e 467 v Rr 1009 468 IT Normalmente esses calculos sio mais faceis do que os envolvidos na determinacgaéo da corrente de curtocircuito Além do mais em uma rede que contém somente resistores e fontes dependentes devese usar 0 método alternativo porque a raz4o entre a tensao de Thévenin e a corrente de curtocircuito é indeterminada Isto é uma razao do tipo 00 Utilizagao do equivalente de Thévenin no circuito Figura 455 Utlizagao de um circuito equivalente de eps Thévenin em analise de circuitos amplificador a As vezes podemos usar um equivalente de Thévenin para reduzir uma porcao de um circuito de modo a conseguir uma grande simplificagéo da andlise da rede maior Vamos retor Re nar ao circuito apresentado pela primeira vez na Segao 25 e R subsequentemente analisado nas segées 44 e 47 Para auxi 1 liar nossa discussdo redesenhamos 0 circuito e identificamos 0 Biz Vee as correntes de ramo de interesse como mostra a Figura 455 Vo Como nossa andlise anterior mostrou i a chave para b P determinar as outras correntes de ramo Desenhamos nova mente o circuito como mostra a Figura 456 para preparar in Ry B a substituicdo do subcircuito a esquerda de V por seu equi Re ic valente de Thévenin Vocé ja deve saber que essa modifica d ao nao causa nenhum efeito sobre as correntes de ramo i in ip ip Agora substituimos 0 circuito composto por V R e R por um equivalente de Théve nin com relacao aos terminais bd A tensao e resisténcia de Thévenin sao Veck2 Vn pep 46 Tm Ri Ry 469 RiR Ry 470 R Ry Com o equivalente de Thévenin o circuito da Figura 456 transformase no mostrado na Figura 457 Circuitos elétricos Figura 456 Versao modificada do circuito mostrado na Figura 457 Circuito mostrado na Figura 456 modificado Figura 455 por um equivalente de Thévenin a a a Re Rc is R Bip 1 Bip Voc i Voc Vee Vo Vo Rtn b OH Ht in R B Vin ip d d Agora deduzimos uma equacao para ip simplesmente somando as tensdes ao longo da malha da esquerda Ao escrever essa equacao de malha reconhecemos que i 1 Bi Assim Vin Roig Vo RC Bip 471 do que se deduz Vin Vo iz 472 Rm BRe 472 Quando substituimos as equagées 469 e 470 na Equacao 472 obtemos a mesma expres sao da Equagao 225 Observe que quando incorporamos o equivalente de Thévenin ao cir cuito original podemos obter a solugao escrevendo uma Unica equagao PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo5 Compreender os equivalentes de Thévenin e de Norton 3 i 419 Obtenha o circuito equivalente de Thévenin com rela ao aos terminais ab para o circuito mostrado a Resposta Vy U 8 V Ry 1 0 wv ea ffee 420 Obtenha o circuito equivalente de Thévenin com relagdéo aos terminais ab para o circuito mostrado b Sugestao defina a tenséo no no da extremidade esquerda como U e escreva duas equag6es nodais com en 160 ig V como a tensdo do né da direita 20 a Resposta V v 30 V Ry 10 0 600 C1 4008 i NOTA tente resolver também os problemas 474 e 479 apresentados no final deste capitulo b Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 412 Maxima transferéncia de poténcia A analise de circuitos desempenha um importante papel no estudo de sistemas projeta dos para transferir poténcia de uma fonte para uma carga Discutimos transferéncia de potén cia no tocante a dois tipos basicos de sistema O primeiro enfatiza a eficiéncia da transferéncia de poténcia As concessionarias de energia elétrica sio um bom exemplo porque lidam com a geracao a transmissao e a distribuigdéo de grandes quantidades de energia elétrica Se uma dessas concessiondarias for ineficiente uma grande percentagem da energia gerada é perdida nos processos de transmiss4o e distribuicdo e portanto desperdigada O segundo tipo basico de sistema enfatiza a quantidade de poténcia transferida Sistemas de comunicacao e instrumentacdo so bons exemplos porque na transmissao de informagao ou dados por meio de sinais elétricos a poténcia disponivel no transmissor ou detector é limi tada Portanto é desejavel transmitir a maior quantidade possivel dessa poténcia ao receptor ou carga Em tais aplicagées a quantidade de poténcia que esta sendo transferida é pequena portanto a eficiéncia da transferéncia nao é uma preocupacao das mais importantes Analisa remos a seguir a maxima transferéncia de poténcia em sistemas que podem ser modelados por um circuito puramente resistivo A maxima transferéncia de poténcia pode ser mais bem des Figura 458 Circuito que descreve a maxima crita com 0 auxilio do circuito mostrado na Figura 458 Admitimos transferéncia de potencia uma rede resistiva que contém fontes independentes e dependentes e um par determinado de terminais ab ao qual uma carga R deve Rede resistiva ser ligada O problema é determinar o valor de R que permita a contendo fontes R maxima transferéncia de poténcia a R A primeira etapa nesse pro ae cesso reconhecer que uma rede resistiva sempre pode ser substi b tuida por seu equivalente de Thévenin Por isso redesenhamos na Figura 459 o circuito mostrado na Figura 458 Substituir a rede original por seu equivalente de Thévenin simplifica muito a tarefa Figura 459 Circuito usado para determinar de determinar R Para calcular R necessario expressar a potén vee i eo i maxima cia nele dissipada em fungao dos trés parametros do circuito V poms Ry R Assim Rn a 2 Th L Vin i Ry Em seguida reconhecemos que para um dado circuito V e Ry serao fixos Portanto a poténcia dissipada uma fungao da unica varidvel R Para determinar o valor de R que maximiza a poténcia usamos o calculo diferencial elementar Comecamos escrevendo uma equacao para a derivada de p com relagao a R dp fa Ry Rp 2Rom fu Vanh 474 dR Rr Rr A derivada é igual a zero e p maximizada quando Ry R 2R Ry R 475 Resolvendo a Equagao 475 temos RRy 476 Condigao para a maxima transferéncia de poténcia Circuitos elétricos Assim a maxima transferéncia de poténcia ocorre quando a resisténcia de carga R igual a resisténcia de Thévenin R Para determinar a poténcia maxima fornecida a R sim plesmente substituimos a Equacao 476 na Equagao 473 VinRi Vin Pmax 7 477 2R 41 A andlise de um circuito quando o resistor de carga esta ajustado para maxima transfe réncia de poténcia é ilustrada no Exemplo 412 EXEMPLO 412 Calculo da condigao para a maxima transferéncia de poténcia a Para o circuito mostrado na Figura 460 determine o valor de R que resulta em poténcia maxima a ele transferida b Calcule a poténcia maxima que pode ser fornecida a R c Quando R é ajustado para maxima transferéncia de poténcia qual é a percentagem de poténcia fornecida pela fonte de 360 V que chega a R Solugao a A tensaio de Thévenin para o circuito 4 esquerda dos termi Figura 460 Circuito para o Exemplo 412 nais ab é 300 a 150 Vin a0 300 V 360 V R A resisténcia de Thévenin é b 15030 Rr 25 0 180 A substituigado do circuito a esquerda dos terminais ab por Figura 461 Reducao do circuito mostrado seu equivalente de Thévenin nos leva ao circuito mostrado na Figura 460 por meio de um na Figura 461 que indica que R deve ser igual a 25 para equivalente de Thevenin maxima transferéncia de poténcia 50 a b A poténcia maxima que pode ser fornecida a R Pmax 25 900 W 50 b c Quando R igual a 25 Qa tensao v é 300 Vap 25 150 V ab 50 Pela Figura 460 quando v igual a 150 V a corrente na fonte de tensao na diregdo da elevagao da tensdo na fonte é 360 150 210 is 7A 30 30 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Portanto a fonte esta fornecendo 2520 W ao circuito ou P i360 2520 W A percentagem da poténcia da fonte fornecida a carga é 900 X 100 3571 2520 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 6 Conhecer a condicao de maxima transferéncia de poténcia a uma carga resistiva e saber calculala 421 a Determine o valor de R que permite ao circuito mos Ug trado fornecer poténcia maxima aos terminais ab 40 b Determine a poténcia maxima fornecida a R ls ol a Resposta a 3 0 b 12 kW ve 100 V 7 R 422 Suponha que 0 circuito no Problema para Avaliacao 421 esteja fornecendo poténcia maxima ao resistor de carga R b a Qual é a poténcia que a fonte de 100 V esta fornecendo a rede b Repita a para a fonte de tensao dependente c Qual percentagem da poténcia total gerada por essas duas fontes é fornecida ao resistor de carga R Resposta a 3000 W b 800 W c 3158 NOTA tente resolver também os problemas 488 e 490 apresentados no final deste capitulo 413 Superposicao Um sistema linear obedece ao principio de superposiao segundo o qual sempre que ele é excitado ou alimentado por mais de uma fonte independente de energia a resposta total é a soma das respostas individuais Uma resposta individual é 0 resultado de uma fonte indepen dente agindo separadamente Como estamos lidando com circuitos compostos de elementos lineares interligados podemos aplicar o principio da superposicéo diretamente a andlise des ses circuitos quando eles sao alimentados por mais de uma fonte independente de energia No momento restringimos a discussao a redes resistivas simples contudo o principio aplicavel a qualquer sistema linear A superposicao é aplicada tanto na andlise quanto no projeto de circuitos Ao analisar um circuito complexo com varias fontes independentes de tensdo e corrente muitas vezes as equa Oes a serem resolvidas s4o mais simples e em menor nimero quando os efeitos das fontes independentes sao considerados separadamente Por isso aplicar a superposigao pode simpli ficar a andlise de circuitos Entretanto fique ciente de que a superposiao as vezes pode com plicar a andlise originando um maior nimero de equagdes do que no caso de algum método alternativo A superposicéo é imprescindivel apenas se as fontes independentes em um Circuitos elétricos circuito forem fundamentalmente diferentes Nestes capitulos iniciais todas as fontes indepen dentes s4o fontes cc portanto a superposicAo nao é imprescindivel Apresentamos o principio da superposicdo aqui mas s6 precisaremos dele em capitulos posteriores A superposicao é utilizada para sintetizar certa resposta desejada que nao poderia ser obtida em um circuito com uma Unica fonte Se a resposta do circuito puder ser escrita como uma soma de dois ou mais termos ela podera ser obtida com Figura 462 Circuito usado para ilustrar a superposigao a inclusdo de uma fonte independente para cada termo Essa 60 20 abordagem do projeto de circuitos com respostas complexas permite que um projetista analise varios projetos simples em 13 120 V 30 ia C1 DA vez de um projeto complexo Demonstramos o principio da superposicéo usandoo para determinar as correntes de ramo no circuito mostrado na Figura 462 Comecamos determinando as correntes de Figura 463 Circuito mostrado na Figura 462 com a fonte g s de corrente eliminada ramo resultantes da fonte de tensao de 120 V Essas corren tes sao i is etc A substituicao da fonte de corrente ideal por 6Q Mm 20 um circuito aberto elimina a fonte a Figura 463 ilustra essa i situacgdo As correntes de ramo nesse circuito séo 0 resultado 120 V 30 7 a 40 somente da fonte de tensAo Sera facil determinar as correntes de ramo no circuito da Figura 463 se soubermos qual é a tensdo de n6 no resistor de 3 2 Chamando essa tensao de v escrevemos a equagao v 120 vy vy 0 478 6 3 24 478 da qual se deduz v 30V 479 Agora podemos escrever as express6es para as correntes de ramo i i diretamente 120 30 i S 15 A 480 30 n 3 104 481 1 30 B 67 5A 482 Figura 464 Circuito mostrado na Figura 462 com a fonte de tensao eliminada Para determinar 0 componente das correntes de ramo 60 20 resultantes da fonte de corrente eliminamos a fonte ideal de tensAo e resolvemos 0 circuito mostrado na Figura 464 A nota 1 3 cao i iz etc indica que essas correntes sdo aos componentes da ix 30 ia 4Q 12A corrente total resultante da fonte de corrente ideal Determinamos as correntes de ramo no circuito mostrado na Figura 464 calculando primeiro as tensGes de n6 nos resis Figura 465 Circuito mostrado na Figura 464 com as tores de 3 e 4 0 respectivamente A Figura 465 mostra as duas tensdes de no VU Vy tensdes de no As duas equagGes de tensfo de nés que descre 60 20 vem 0 circuito sao v v v3 Uv 3 tet 0 483 3230 14240 fa V4 vV v 5 7 12 0 484 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Resolvendo as equag6es 483 e 484 para v e V obtemos v12V 485 v24V 486 Agora podemos escrever as correntes de ramo i a ij diretamente em termos das tensdes eno Ve VU V3 12 yo 2 A 487 at 6 6 U3 12 H4A 488 1Q 3 3 U3 U4 12 24 3 a FE 6A 489 13 2 2 U4 24 mo OF A 490 4 4 490 Para determinar as correntes de ramo no circuito original isto as correntes i 1 i da Figura 462 simplesmente somamos as correntes dadas pelas equagdes 487 a 490 aquelas dadas pelas equagées 480 a 482 i ti 1542174A 491 ib i 1046A 492 RBiH54611A 493 i i 561A 494 Vocé deve verificar se as correntes dadas pelas equacdes 491 a 494 sao os valores corre tos para as correntes de ramo no circuito mostrado na Figura 462 Ao aplicar a superposicao a circuitos lineares que contém fontes independentes bem como dependentes vocé deve perceber que as fontes dependentes nunca sao eliminadas O Exemplo 413 ilustra a aplicagéo de superposicéo quando um circuito contém tanto fontes dependentes como independentes EXEMPLO 413 Utilizagao de superposigao para resolver um circuito Use 0 principio da superposiado para determinar v no circuito mostrado na Figura 466 Solugao Comegaremos determinando o componente de v Figura 466 Circuito para o Exemplo 413 resultante da fonte de 10 V A Figura 467 mostra o 04 va circuito Com a fonte de 5 A eliminada v4 deve ser 50 igual a 04v410 Por conseguinte v4 deve ser igual a zero Isso significa que 0 ramo que contém as duas ov 1 SA fontes é aberto e 20 6 510 8 V Circuitos elétricos Figura 467 Circuito mostrado na Figura 466 com a fonte Figura 468 Circuito mostrado na Figura 466 com a fonte de 5 A eliminada de 10 V eliminada 5 0 04 va 5 0 04 va b a aioe lA La ov v 2200 vy 2100 U 100 tsa 2 ig Quando a fonte de 10 V é eliminada o circuito reduzse ao da Figura 468 Acrescentamos um n6 de referéncia e as identificagdes de né a b e c para auxiliar a discuss4o Somando as correntes que saem do n6 a temos ve ue 04v4 0 ou Sv 8k 0 20 5 A oO A Somando as correntes que saem do no b obtemos Up 2iK 040 5 0 ou 10 4vk vu 214 50 Agora usamos Up 21K VA para determinar o valor de v4 Assim Svk 50 ou va 10 V Pela equagado do n6 a 5vp 80 ou vg 16V O valor de v 6 asoma de v e vg ou 24 V NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver os problemas 493 e 498 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Circuitos com resistores reais Nao é possivel fabricar componentes elétricos idénticos Por exemplo os valores dos resistores produzidos pelo mesmo processo de fabricagao podem variar em até 20 Portanto ao criar um sistema elétrico 0 projetista deve levar em conta o impacto que a variagao do componente causara no desempenho do sistema Um modo de avaliar esse impacto é realizar uma analise de sensibilidade que permite que 0 projetista calcule o impacto de variagdes nos valores dos componentes sobre a saida Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos do sistema Veremos como essa informagao o habilita a especificar Figura 469 Circuito usaco para apresentar a andlise de uma tolerancia aceitavel para o valor de cada um dos componentes sensibilidade do sistema R Considere 0 circuito mostrado na Figura 469 Para ilustrar a ana lise de sensibilidade investigaremos a sensibilidade das tensdes de nd V U as variagoes do resistor R Usando a andlise nodal podemos Fei C1 Ri w3Rs Ie2 deduzir as expressOes para v v em fungao dos resistores e das correntes de fonte do circuito Os resultados sao dados nas equagoes 495 e 496 RR3Ral 22 RoR3 Ry R3RylT git 495 aan R RoR3 Ry R3Ry R3R4Ry RoI go Ril gi v Ts 496 R RyR3 Ry R3Ry A sensibilidade de v em relagao a R 6 determinada diferenciandose a Equacao 495 em relagao a A e de forma semelhante a sensibilidade de v em relagao a A determinada diferenciando a Equagao 496 em relagao a R Obtemos dvy R3Rq RoR3 Ry R3Ral gn R3Rq RoR3 Ry Tei 497 dR Ri RoR3 Ra R3R4 dup R3R4R3Ral go RoR3 Ra R3Ral Lei 498 dR Ri RoR3 Ra R3Ry Agora analisaremos um exemplo com valores reais para ilustrar a utilizagao das equagdes 497 e 498 EXEMPLO Suponha que os valores nominais dos componentes do circuito da Figura 469 sejam R 25 OQ A 5 QO R 50 Q Ry 75 O I 12 A 16 A Use a analise de sensibilidade para prever os valores de v v se 0 valor de R for 10 diferente de seu valor nominal Solugao Por meio das equagdes 495 e 496 determinamos os valores nominais de v v Assim 25375016 5125 375012 3925 3750SSS O99 37503016 2512 v2 397425 43750 4100 Agora pelas equagdes 497 e 498 podemos determinar a sensibilidade de v e v a variagoes em R Por conseguinte dv 3750 5125 375016 3750 512512 dR 30125 3750 7 VQ 12 4101 05 VV dv2 dR1 3750 5 375016 3 5125 37504 1264 75002 4102 Como devemos utilizar os resultados fornecidos pelas equações 4101 e 4102 Admita que R1 seja 10 menor do que seu valor nominal isto é R1 225 V Então DR1 25 V e a Equação 4101 prevê que Dv1 será Dv1 a 7 12b25 14583 V Portanto se R1 for 10 menor do que seu valor nominal nossa análise prevê que v1 será v1 25 14583 235417 V 4103 De modo semelhante para a Equação 4102 temos Δv2 0525 125 V v2 90 125 8875 V 4104 Tentamos confirmar os resultados das equações 4103 e 4104 substituindo o valor de R1 225 V nas equações 495 e 496 Os resultados são v1 234780 V 4105 v2 886960 V 4106 Por que há uma diferença entre os valores previstos pela análise de sensibilidade e aqueles exatos calculados pela substituição de R1 nas equações para v1 e v2 Podemos ver pelas equações 497 e 498 que a sensibilidade de v1 e v2 em relação a R1 é função de R1 porque R1 aparece no denominador de ambas as equações Isso significa que à medida que R1 varia as sensibilidades também variam e por conseguinte não podemos esperar que as equações 497 e 498 forneçam resultados exatos para grandes variações em R1 Observe que para uma variação de 10 em R1 o erro percentual entre os valores previstos e exatos de v1 e v2 é pequeno Especificamente o erro percentual em v1 02713 e em v2 00676 Por esse exemplo podemos ver que há uma tremenda quantidade de trabalho em determinar a sensibilidade de v1 e v2 às variações nos valores dos componentes restantes ou seja R2 R3 R4 Ig1 e Ig2 Felizmente o PSpice tem uma função de sensibilidade que realizará a análise para nós A função de sensibilidade no PSpice calcula dois tipos de sensibilidade A primeira é conhecida como sensibilidade unitária e a segunda como sensibilidade 1 No exemplo a variação de uma unidade em um resistor alteraria seu valor em 1 V e uma variação de uma unidade em uma fonte de corrente alteraria seu valor em 1 A Por outro lado a análise de sensibilidade 1 determina o efeito de 1 de variação nos valores nominais de resistores ou fontes O resultado da análise de sensibilidade do PSpice do circuito da Figura 469 é mostrado na Tabela 42 Como estamos analisando um circuito linear podemos usar superposição para prever valores de v1 e v2 se houver variação nos valores de mais de um componente Por exemplo vamos admitir que R1 diminua para 24 V e R2 para 4 V Pela Tabela 42 podemos combinar a sensibilidade unitária de v1 com variações de R1 e R2 para obter Dv1 DR1 Dv1 DR2 05833 5417 48337 VV Circuitos elétricos 138 Book Nilsson 1indb 138 290116 1209 De modo análogo Dv2 DR1 Dv2 DR2 05 65 70 VV Assim se tanto R1 quanto R2 diminuíssem em 1 V preveríamos v1 25 48227 298337 V v2 90 7 83 V Se substituirmos R1 24 V e R2 4 V nas equações 495 e 496 obteremos v1 29793 V v2 82759 V Em ambos os casos nossas previsões estão dentro de uma fração de volt dos valores reais das tensões de nó Projetistas de circuitos usam os resultados da análise de sensibilidade para determinar qual variação do valor do componente causa o maior impacto sobre a saída do circuito Como podemos ver pela análise de sensibilidade do PSpice na Tabela 42 as tensões de nó v1 e v2 são muito mais sensíveis às variações de R2 do que às variações de R1 Especi ficamente v1 é 541705833 ou aproximadamente 9 vezes mais sensível às variações de R2 do que às variações de R1 e v2 é 6505 ou 13 vezes mais sensível às variações de R2 do que às variações de R1 Assim no circuito do exemplo a tolerância para R2 deverá ser mais rigorosa do que a tolerância para R1 se for importante manter os valores de v1 e v2 próximos de seus valores nominais Tabela 42 Resultados da análise de sensibilidade PSpice Nome do elemento Valor do elemento Sensibilidade do elemento Voltsunidade Sensibilidade normalizada Voltspor cento a Sensibilidades CC das tensões de nó V1 R1 R2 R3 R4 IG1 IG2 25 5 50 75 12 16 05833 5417 045 02 1458 125 01458 02708 0225 015 175 2 b Sensibilidades de saída V2 R1 R2 R3 R4 IG1 IG2 25 5 50 75 12 16 05 65 054 024 125 15 0125 0325 027 018 15 24 NOTA avalie o que entendeu desta perspectiva prática tentando resolver os problemas 4105 a 4107 apresentados no final deste capítulo Capítulo 4 Técnicas de análise de circuitos 139 Book Nilsson 1indb 139 290116 1209 Resumo Para os tópicos deste capítulo foi necessário o domínio de alguns termos básicos e dos concei tos que eles representam Esses termos são nó nó essencial caminho ramo ramo essencial malha e circuito planar A Tabela 41 apresentou definições e exemplos desses termos Seção 41 Duas novas técnicas de análise de circuitos foram apresentadas neste capítulo O método das tensões de nó funciona para circuitos planares e não planares Um nó de referência é escolhido entre os nós essenciais Variáveis representando tensões são atribu ídas aos nós essenciais restantes e a lei das correntes de Kirchhoff é usada para escre ver uma equação por variável O número de equações é ne 1 onde ne é o número de nós essenciais Seção 42 O método das correntes de malha funciona somente para circuitos planares Correntes de malha são atribuídas a cada malha e a lei das tensões de Kirchhoff é usada para escre ver uma equação por malha O número de equações é b n 1 em que b é o número de ramos em que a corrente é desconhecida e n é o número de nós As correntes de malha são usadas para determinar as correntes de ramo Seção 45 Várias técnicas novas de simplificação de cir cuito foram apresentadas neste capítulo Transformações de fonte permitem substituir uma fonte de tensão vs e um resistor em série R por uma fonte de corrente is e um resistor em paralelo R e viceversa As com binações devem ser equivalentes em termos da tensão e da corrente em seus terminais A equivalência terminal é válida contanto que is vs R Seção 49 Equivalentes de Thévenin e equivalentes de Norton permitem simplificar um circuito constituído de fontes e resistores e substituí lo por um circuito equivalente que consiste em uma fonte de tensão e um resistor em série Thévenin ou em uma fonte de cor rente e um resistor em paralelo Norton O circuito simplificado e o circuito original devem ser equivalentes em termos da tensão e corrente em seus terminais Por isso deve se ter em mente que 1 a tensão de Théve nin VTh é a tensão de circuito aberto nos terminais do circuito original 2 a resis tência de Thévenin RTh é a razão entre a tensão de Thévenin e a corrente de curto circuito que passa pelos terminais do cir cuito original e 3 o equivalente de Norton é obtido por meio de uma transformação de fonte em um equivalente de Thévenin Seção 410 Máxima transferência de potência é a técnica para calcular o máximo valor de p que pode ser fornecido a uma carga RL A máxima transfe rência de potência ocorre quando RL RTh a resistência de Thévenin vista dos terminais do resistor RL A equação para a máxima transfe rência de potência é p VTh 2 4RL Seção 412 Em um circuito com várias fontes independen tes a superposição permite ativar uma fonte por vez e somar as tensões e correntes resul tantes para determinar as tensões e correntes que existem quando todas as fontes indepen dentes estão ativas Fontes dependentes nunca são eliminadas quando se aplica a superposição Seção 113 Circuitos elétricos 140 Book Nilsson 1indb 140 290116 1209 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Problemas Secao 41 41 Para o circuito mostrado na Figura P41 deter d Quantas equacées independentes podem mine o numero de a ramos b ramos em que ser deduzidas da lei das tens6es de Kirch acorrente é desconhecida c ramos essenciais hoff LTK d ramos essenciais em que a corrente é desco e Escreva um conjunto de equacdes LTK nhecida e nds f nds essenciais e g malhas independentes Figura P41 Figura P43 UA R3 R4 Rs R3 Ry 18vy Rg 44 Uma corrente que sai de um no é definida como positiva 42 a Se somente os nos e os ramos essenciais Z Lo i a Some as correntes em cada né no circuito fossem identificados no circuito da Figura a mostrado na Figura P43 P41 quantas equacg6es simultaneas seriam necessdrias para descrevélo b Mostre que qualquer uma das equag6es em a pode ser deduzida das trés equa b Quantas dessas equacgdes podem ser m pods d deduzidas usando a lei das correntes de 45 5 te das t reuit Kirchhoff a wan as partes separadas tem 0 circuito da Figura P45 c Quantas devem ser deduzidas usando a b t coo lei das tensdes de Kirchhoff Quantos nds i d Quais sfo as duas malhas que devem ser Quantos ramos existem evitadas ao aplicar a lei das tensdes d Suponha que o no inferior em cada parte 43 Suponha que a tensao v no circuito da Figura do circuito seja unido por um unico P43 seja conhecida Os resistores R R tam condutor Repita os calculos feitos em bém sao conhecidos ac a Quantas correntes desconhecidas ha Figura P45 b Quantas equagdes independentes podem ser escritas usandose a lei das correntes ig t in R R de Kirchhoff LCK c Escreva um conjunto de equacées inde R pendentes LCK Circuitos elétricos Secao 42 46 Use o método das tensdes de né para deter 410 a Useométodo das tensdes de né para mos Pspice minar UV no circuito da Figura P46 Pspice trar que a tensdo de saida Uv no circuito Multisim Multisim a 24 Figura P46 da Figura P410 é igual ao valor médio das 800 tensdes das fontes b Determine v se v 100 V v 80 Ve 200 v 60 V Yo 250 C1 40 mA Figura P410 R R Vo 47 a Determine a poténcia fornecida pela er Up Pspice fonte de corrente de 40 mA no circuito Mulisin da Figura P46 b Determine a poténcia fornecida pela 411 a Useométodo das tensGes de n6 para deter fonte de tensdo de 24 V no circuito da Pspice minar as correntes de ramo i i no cit Figura P46 Mulisimn cuito mostrado na Figura P411 c Verifique que a poténcia total fornecida b Determine a poténcia total dissipada no igual 4 poténcia total dissipada circuito 48 Um resistor de 50 0 é ligado em série com a Figura P411 Pspice fonte de corrente de 40 mA no circuito da Multisim 50 4Q 100 Figura P46 a Determine v te a sv 600 ial x20v b Determine a poténcia fornecida pela fonte de corrente de 40 mA c Determine a poténcia fornecida pela fonte de tensdo de 24 V 412 Use o método das tensdes de n6 para deter Pspice minar Uv e U no circuito da Figura P412 d Verifique que a poténcia total fornecida é Multisim tw 6 igual 4 poténcia total dissipada Figura P412 e Qual sera 0 efeito de qualquer resisténcia 4 800 finita ligada em série com a fonte de cor rente de 40 mA sobre o valor de v 144 V 1 3A 50 49 Use o método das tensdes de né para deter Pspice minar a poténcia que a fonte de 2 A absorve Mulisim Go circuito da Figura P49 413 Use o método das tensdes de n6 para deter Figura P49 Pspi spice minar U e UV no circuito da Figura P413 10 Multisim Figura P413 80 oat 40 0 800 121200 Or Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 414 a Useométodo das tenses de no para deter Figura P415 Pspice minar U V e UV no circuito da Figura 10 Multisim P414 b Qual é a poténcia que a fonte de tensao 125 V 60 de 40 V fornece ao circuito Figura P414 is 240 30 x0 125V 120 b3 10 20 416 Use 0 método das tenses de né para deter Pspice minar a poténcia total dissipada no circuito 415 Ocircuito mostrado na Figura P415 é um Mullis da Figura P416 Pspice modelo cc de um circuito de distribuicao Multisim Figura P416 residencial 5A a Use o método das tensdes de n6é para S determinar as correntes de ramo i ig b Teste sua solugéo para as correntes de 120 ramo mostrando que a poténcia total dis sipada igual a poténcia total gerada 40 V C 50 400 1 715A 40 0 Secao 43 417 a Use ométodo das tensGes de n6 para deter Figura P418 Pspice minar U no circuito da Figura P417 100 300 Multisim b Determine a poténcia absorvida pela fonte dependente 160 V in 100 0 150 i c Determine a poténcia total gerada pelas 200 fontes independentes Figura P417 419 a Useométodo das tensdes de né para deter 200 Pspice minar a poténcia total gerada no circuito Mulisimn da Figura P419 b Verifique sua resposta determinando a 3A Ct Vp 2000 80V poténcia total absorvida no circuito Figura P419 12500 200 0 iy 418 Useométodo das tensdesdenéparacalcular 494 C 1kO 4kKO 2kO 2500 ig Pspice a poténcia gerada pela fonte de tensdo depen Multisim Gente no circuito da Figura P418 Circuitos elétricos 420 a Useométodo das tensGes de no para deter 421 a Determine as tensoes de né v v UV no minar U no circuito da Figura P420 Pspice circuito da Figura P421 Multisim b Determine a poténcia total dissipada no b Determine a poténcia total dissipada no circuito circuito Figura P420 Figura P421 500 2kO 50 100 4Q 50V C 1kO JA y a 8 32000 ti F200 v 796 v Secdo 44 422 a Useométodo das tensGes de no para deter Figura P424 Pspice minar UV e a poténcia fornecida pela fonte Multisim so 5kO de corrente de 2 A no circuito da Figura P422 Use 0 né a como 0 de referéncia 20 V b Repita a usando o n6 b como o de ah Cen referéncia c Compare ee or de relerencra 425 a Useométodo das tensGes de né para deter em a b Qual melhor e por qué minar a poténcia dissipada no resistor de2 0 Figura P422 no circuito da Figura P425 b 25V 00 b Determine a poténcia fornecida pela fonte de 230 V Figura P425 2A Vo 1500 55 0 10 423 Use 0 método das tensdes de né para deter Pspice minar o valor de v no circuito da Figura P423 230V 10 20 Multisim Figura P423 800 0 10 50 Vp 800 400 426 Use o método das tensdes de né para deter Pspice minar VU no circuito da Figura P426 Multisim Figura P426 50 V 1 750 mA 200 0 0 5 VA 10 mors 424 Use o método das tensdes de né para deter 15V 33Q w320 200 4 3400 Pspice minar 7 no circuito da Figura P424 Multisim Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 427 a Useométodo das tens6es de no para deter c Vocé concorda com a solucdo apresen Pspice minar as correntes de ramo i i e i no tada pela analista Multisim oo circuito da Figura P427 Figura P429 b Verifique sua solugdo para i 1 i Mos 1250ig trando que a poténcia dissipada no cir oS cuito é igual 4 poténcia gerada Figura P427 1kQ 1 5002 2 5000 1kO el 121030 i va 10mA 75 V 5kO m 25 kO 1 425 kO Qe 4kO iif 80 V 430 Use o método das tensdes de n6 para deter Pspice minar a poténcia fornecida pela fonte de ten 428 Use 0 método das tensdes de né para deter Mulisim 30 de 20 V no circuito da Figura P430 Pspice minaro valor de v no circuito da Figura P428 Multisim Figura P430 Figura P428 35 ig 20 Vy 20 10 4Q 5 4V C v 230 1 2v 431 Mostre que quando as equacoes 416 417 e 419 sao resolvidas para io resultado idén 429 Suponha que vocé seja um engenheiro proje tico a Equacao 225 tista e alguém de sua equipe seja designado 432 a Use ométodo das correntes de malha para para analisar o circuito mostrado na Figura Mena determinar as correntes de ramo i i i P429 O n6 de referéncia e a numeracao dos no circuito da Figura P432 nos mostrados na figura foram escolhidos pela b Repita a com a polaridade da fonte de analista Sua solugao associa a UV U os valo 140 V invertida res de 105 V e 85 V respectivamente Figura P432 a Que valores a analista usou para as ten 50 1500 sdes de n6 mais a esquerda e mais a direita ao escrever equagdes LCK nos te 2 80 V 200 140 V nos le 2 250 0 b Teste os valores fornecidos pela analista para calcular a poténcia total gerada no circuito em relacgdo a poténcia total dissipada Circuitos elétricos Secao 45 433 Resolva o Problema 411 usando o método Figura P436 das correntes de malha 200 434 Resolva 0 Problema 415 usando 0 método das correntes de malha 100 40 435 Resolva o Problema 424 usando 0 método das correntes de malha 436 a Useométodo das correntes de malha para 40 V C C 196 V Pspice determinar a poténcia total gerada no cir Multisim cuito da Figura P436 b Verifique sua resposta mostrando que a 300 20 poténcia total gerada é igual a poténcia total dissipada 437 Resolva o Problema 425 usando 0 método das correntes de malha Secao 46 438 Resolva o Problema 418 usando 0 método 441 a Useométodo das correntes de malha para das correntes de malha Pspice determinar UV no circuito da Figura P441 Multisim 439 Use 0 método das correntes de malha para b Determine a poténcia gerada pela fonte Pspice determinar a poténcia dissipada no resistor dependente Multisim oo de 15 no circuito da Figura P439 Figura P441 Figura P439 150 750 500 40 80 7 ow 4oV 3000 ian 2250 C 500i 2000 65 V 50 3 vy 60 150 442 Use 0 método das correntes de malha para Pspice determinar a poténcia fornecida pela fonte Multisim de tenséo dependente no circuito da Figura 440 Use 0 método das correntes de malha para P44 Pspice determinar a poténcia fornecida pela fonte Mulisim de tensdo dependente no circuito visto na Figura P442 Figura P440 53 ig Figura P440 ve 30 50 i 660 V 150 fi 30 V 20 0 C 30 V 20 70 20 20 ig i 500 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Segao4 443 a Use ométodo das correntes de malha para 448 a Useométodo das correntes de malha para Pspice calcular i no circuito da Figura P443 Pspice determinar quais fontes no circuito da Multisim As Multisim oor b Determine a poténcia fornecida pela Figura P448 estao fornecendo poténcia fonte de corrente independente b Determine a poténcia total dissipada no c Determine a poténcia fornecida pela circuito fonte de tensao d dente onte de tenséo dependente Figura P448 Figura P443 10 kO 1kQ 20 50 nore sma is354kO 150 ig 40 27 kO 50V 20 0 1 17 vg 444 Resolva o Problema 413 usando 0 método Dig das correntes de malha 445 Resolva o Problema 421 usando 0 método das correntes de malha 449 Use o método das correntes de malha para 446 Use o metodo das correntes de malha para Pspice determinar a poténcia total dissipada no cir Pspice determinar a poténcia total gerada no circuito Multisim Multisim P g cuito da Figura P449 da Figura P446 Fi P449 r Figura P446 igura 10 is 60 200 es Or 20 A Ct 200 65 iy 450 a Suponha que a tensdo da fonte de 100 V no circuito da Figura P449 seja alterada 447 a Use 0 método das correntes de malha para para 675 V Determine a poteéncia total dis determinar a poténcia que a fonte de corrente sipada no circuito de 5 A fornece ao circuito da Figura P447 b Repita a coma fonte de corrente de 4A b Determine a poténcia total fornecida ao substituida por um curtocircuito circulto c Explique por que as respostas para a e c Verifique seus calculos mostrando que a b sao iguais poténcia total gerada no circuito é igual a Ant ws d Agora suponhamos que vocé queira poténcia total dissipada mudar o valor da fonte de 25 V em vez da Figura P447 SA fonte de 100 V no circuito na Figura P449 de modo a obter a mesma poténcia dissi pada pela fonte de corrente determinada 380 60 em a e b Use os resultados de c para calcular o novo valor dessa fonte de tensdo 451 Resolva o Problema 427 usando 0 método 5V C 300 67 V das correntes de malha 452 a Useométodo das correntes de malha para Pspice determinar as correntes de ramoii no 120 400 Multisim circuito da Figura P452 Circuitos elétricos b Verifique sua solucéo mostrando que a 453 a Determine as correntes de ramoii para poténcia total gerada no circuito é igual ween 0 circuito mostrado na Figura P453 oor se ultisim a poténcia total dissipada b Verifique suas respostas mostrando que a Figura P452 poténcia total gerada é igual a poténcia total dissipada 4i i 250 100 0 200 V On 500 50 100 i 19A 1 li 1 C 240 V Secao 48 454 Suponha que lhe pediram para determinar a b Determine a poténcia gerada pela fonte Pspice poténcia dissipada no resistor horizontal de de corrente Multisim so 1 kQ do circuito na Figura P454 456 a Vocé usaria 0 método das tensdes de n6é a Qual método de anialise de circuitos vocé Pspice ou das correntes de malha para determinar recomendaria Explique por qué Mulisimn a poténcia absorvida pela fonte de 20 V no circuito da Figura P456 Explique sua b Use 0 método de andlise de sua recomen e pd x are escolha dacgao para determinar a poténcia dissi pada no resistor horizontal de 1 kQ b Use o método que vocé selecionou em a para determinar a poténcia c Vocé mudaria sua recomendagao se o pro aP P blema fosse determinar a poténcia gerada Figura P456 pela fonte de corrente de 10 mA Explique 0003 v9 d Determine a poténcia fornecida pela fonte de corrente de 10 mA 20 V 200 mA 04 v Figura P454 C ee eae 10mA t Tko 457 A fonte variavel de corrente cc no circuito da Pspice Figura P457 é ajustada de modo que a potén Mulls Gia gerada pela fonte d te de 40 mA 455 Umresistor de4k0écolocado em paralelo com cra gera a peta fonte ce corren de m Pspice a fonte de corrente de 10 mA no circuito da seja igual a zero Determine o valor de i Mulisimn Figura P454 Suponha que lhe pediram para cal a Vocé usaria o método das tensdes de nd cular a poténcia gerada pela fonte de corrente ou das correntes de malha para determi Lo 5 i i a Qual método de andlise de circuitos vocé nar i Explique sua escolha recomendaria Explique por qué b Use o método selecionado em a para determinar i Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Figura P457 b Use o método selecionado em a para 40 mA determinar V c Verifique sua solugéo mostrando que a poténcia gerada é igual 4 poténcia 5009 dissipada Figura P458 70v 2502 1k Ct 7 300 1250 0 50 150 458 A fonte variavel de corrente cc no circuito da Pspice Figura P458 é ajustada de modo que i seja Multisim 6 J que to e 23v er igual a zero a Vocé usaria 0 método das tensdes de nd ou das correntes de malha para determi 200 25 0 nar V Explique sua escolha Secao 49 459 a Use uma série de transformagoes de fonte 461 a Use transformacées de fonte para deter para determinar a tensao Vv no circuito da Pspice minar a corrente i no circuito da Figura Figura P459 Mulisim P461 b Verifique sua solucéo usando 0 método b Verifique sua solugéo usando o método das correntes de malha das tens6es de no para determinar i Figura P459 Figura P461 35 V 150 0 10 kO 15 kO o 25 ma 330 0 Ct 25 mA 462 a Useumasérie de transformagoes de fonte 460 a Determine a corrente L no circuito da Pspice para determinar i no circuito da Figura Pspice Figura P460 fazendo uma série de trans aS P462 Mulisim formacées de fonte adequadas s q b Verifique sua solugéo usando o método b Usando o resultado obtido em a faca das correntes de malha para determinar i os calculos no sentido inverso para deter Figura P462 minar a poténcia desenvolvida pela fonte LA Figura P460 10kQ 3k0 5kO 60 to C1 20 kO io 15 kO 170 Ct 2A 60 150 on Circuitos elétricos 463 a Use transformacoées de fonte para deter Figura P463 Pspice minar VU no circuito da Figura P463 520 V Multisi as oe b Determine a poténcia gerada pela fonte C de 520 V 16 0 ya 2 a 4 c Determine a poténcia gerada pela fonte de corrente de 1A d Verifique que a poténcia total gerada é 400 Yo 2500 igual 4 poténcia total dissipada 60 e Secao 410 464 Obtenha o equivalente de Thévenin em relacao Figura P467 Pspice aos terminais ab para o circuito da Figura P464 10A Multisim Figura P464 100 25 0 a 80 V 300 go 520 a b 500 V Oo 120 b 465 Obtenha o equivalente de Norton em relagao aos terminais ab para o circuito da Figura P465 468 Obtenha o equivalente de Norton em relacdo Figura P465 Mena aos terminais ab para o circuito da Figura P468 2kO Figura P468 15kO a 75mA 1 4k 3k 1 10ma 10kO Cama 5kO b b 466 Obtenhao equivalente de Norton em relacao 469 Um equivalente de Thévenin também pode Pspice aos terminais ab para o circuito da Figura ser obtido a partir de medicées realizadas no Multisim P466 par de terminais de interesse Suponha que as Figura P466 seguintes medigoes foram feitas nos terminais 4A ab do circuito na Figura P469 Quando um resistor de 20 O é ligado aos terminais ab a tensdo UV medida é 100 V 0 0 Quando um resistor de 50 O é ligado aos 10 8 a terminais ab a tenséo medida é 200 V Obtenha o equivalente de Thévenin da 60 V 400 rede em relacdo aos terminais ab Figura P469 b Rede resistiva 6 ea 467 Obtenha o equivalente de Thévenin em rela near com Pspice ao aos terminais ab para 0 circuito da Figura independentes Multisim by 67 edependentes Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 470 Uma bateria de automével quando ligada desequilibrio no ramo do galvandémetro para ao radio de um carro fornece 125 V Quando diferentes indicagdes do galvanémetro ligada a um conjunto de faréis fornece 117 V Figura P473 Suponha que 0 radio possa ser modelado como um resistor de 625 0 e os faréis possam ser modelados como um resistor de 065 0 Quais Ri 3000 sAo os equivalentes de Thévenine de Norton jgy para a bateria 471 Determine i e U no circuito mostrado na Ry 1200 0 Pspice Figura P471 quando R for um resistor do MultSIM A péndice H tal que 100 R 2000 474 Obtenhao equivalente de Thévenin em relagado Figura P474 ween aos terminais ab do circuito da Figura P474 ova ww an Figura P474 1000 25 kO 4kO 400 1 18 MAS 2400 v Ro Du 5000i Csv asad 2 6kKO 1073v b p 472 Um voltimetro com ume resistencia de 855 475 Obtenha o equivalente de Norton em relacdo carn KO Cusco para medir a tensao V no circuito Pspice aos terminais ab do circuito da Figura P475 da Figura P472 Multisim a Qual é a leitura do voltimetro Figura P475 b Qual sera a percentagem de erro na lei 02 ia tura do voltimetro se a percentagem de erro for definida como medida real 2kO Pa real X 100 a Figura P472 280 V Oo pn 56 kO 1kQO a b 5kO 476 A leitura de um amperimetro usado para 20 kO 1 25 mA 345 kO Pspice medir a corrente i no circuito mostrado na C 50V Mus Figura P476 6 A b a Qual é a resisténcia do amperimetro b Qual é a percentagem de erro na medi 473 A ponte de Wheatstone no circuito da Figura cfio de corrente Pspice P473 esta equilibrada quando R é igual a Multis 30000Seo0 galvanémetro tiver uma resistén Figura P476 cia de 50 2 qual sera a corrente no galvané 25 la metro quando a ponte estiver desequilibrada e R for 3003 2 Sugestdo obtenha o equi ea valente de Thévenin em relagdo aos terminais ve 4 do galvandémetro quando R3003 0 Observe que uma vez obtido esse equivalente de Thé 24V 160 venin é facil determinar a corrente de Circuitos elétricos Secao 411 477 a Obtenha o equivalente de Thévenin em Figura P479 relacdo aos terminais ab do circuito da in 1500 Figura P464 sem determinar nem a ten sao de circuito aberto nem a corrente de curtocircuito 200 0 500 a b Obtenha o equivalente de Norton em relagdo aos terminais ab do circuito da 1009 250ig Figura P466 sem determinar nem a ten sao de circuito aberto nem a corrente de curtocircuito b 478 a Obtenha o equivalente de Thévenin em wena relagdo aos terminais ab do circuito da 480 Obtenhao equivalente de Thévenin em relacdo Figura P478 determinando a tensao de cir aos terminais ab do circuito da Figura P480 cuito aberto e a corrente de curtocircuito Figura P480 b Determine a resisténcia de Thévenin 200 240 removendo as fontes independentes a Compare seu resultado com a resisténcia 100 de Thévenin determinada em a 1000 500 Figura P478 Bi L 200 b 1L8A 50 a 481 Obtenha o equivalente de Norton em relacdo aos terminais ab do circuito da Figura P481 9V 600 Figura P481 500 0 b a 479 Obtenha o equivalente de Thévenin em rela 250i 1 1 Six 7500 cao aos terminais ab do circuito da Figura ix P479 b Secao 412 482 Oresistor varidvel no circuito da Figura P482 Qual a poténcia transferida para esse Pspice ajustado para a maxima transferéncia de resistor Multisim As poténcia a R Figura P482 a Determine o valor de R 24kO 16kQ b Determine a poténcia maxima que pode ser transferida para R 0 48 kO 5kQ XR c Encontre um resistor no Apéndice H com valor mais pr6ximo do obtido em a Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos 483 Qual percentagem da poténcia total gerada b Determine a poténcia maxima wena no circulto da Figura P482 fornecida aR c Determine a percentagem da poténcia total quando R é ajustado para a maxima transfe gerada no circuito que é fornecida a R réncia de poténcia As Figura P487 484 a Calcule a poténcia fornecida a R para cada valor usado no Problema 471 15 0 50 A UA hr b Trace um grafico da poténcia fornecida a A A STAN R em fungao da resisténcia R c Para qual valor de R a poténcia forne 110 v 1 Oluq Ro cida maxima 80 485 a Determine o valor do resistor varidvel R no circuito da Figura P485 que resultara na dissipagao de potencia maxima no resistor 488 O resistor varidvel R no circuito da Figura de 60 Sugestao conclusdes apressadas Pspice P488 ajustado até que a poténcia nele dis podem ser prejudiciais para sua carreira Mulisimn sipada seja 250 W Determine os valores de b Qual é a poténcia maxima que pode ser R que satisfagam essa condigao fornecida ao resistor de 6 Figura P488 Figura P485 250 100 s 3200 200 V 100 0 Ry 30 i 30 V 60 489 Oresistor variavel no circuito da Figura P489 486 Umresistor varidvel R é ligado aos terminais Pspice é ajustado para a maxima transferéncia de Pspice ab do circuito da Figura P475 O resistor Multisim poténcia para R a Mulisim varidvel é ajustado até que a poténcia maxima a Determine o valor de R seja transferida a R b Determine a poténcia maxima fornecida a Determine o valor de R aR P o b Determine a poténcia maxima fornecida aR P c Qual é a poténcia que a fonte de 180 V eo fornece ao circuito quando R é ajustado c Determine a percentagem da poténcia total para o valor calculado em a erada no circuito que é fornecidaa R 8 q ig Figura P489 d Encontre um resistor no Apéndice H com 184 iy valor mais proximo do obtido em a e Determine a percentagem da poténcia 000 20 8a total gerada no circuito que é entregue we ao resistor em d 190 V2 00 1 Ov 487 O resistor varidvel R no circuito da Figura Pspice P487 é ajustado até absorver poténcia maxima Multisim oo do circuito a Determine o valor de R Circuitos elétricos 490 Oresistor varidvel R no circuito da Figura a Determine o valor de R wena P490 ajustado para a maxima transferéncia b Determine a poténcia maxima que pode de poténcia a R ser fornecida a R a Determine o valor de R c Qual percentagem da poténcia total b Determine a poténcia maxima transfe gerada no circuito fornecida ao R ridaa R obtido em a Figura P490 d Se R for selecionado do Apéndice H 300 qual valor de resistor resultara na maior quantidade de poténcia fornecida a R 450 60 0 Figura P491 316 iy 36kV 300 0 150ig 160 320 491 O resistor variavel R no Circuito da Figura 400 V CG 1800 2 200 V Pspice 491 é ajustado para a maxima transferéncia Multisim As 48 O de poténcia a R Secao 413 492 a No circuito da Figura P492 antes de a Figura P493 Pspice fonte de corrente de 5 mA ser inserida nos 4A Multisim soos terminais ab a corrente i calculada em 35 mA Use o principio da superposicgao so 20 para determinar o valor de i aps a inser cao da fonte de corrente 110 V C 100 1220 b Verifique sua solucéo determinando i quando todas as trés fontes estéo agindo simultaneamente Figura P492 494 Use o principio da superposiao para calcular SsmA i U no circuito da Figura P494 Figura P494 tg a 2kO b es 493 a Use oprincipio da superposicao para deter wena minar a tensao U no circuito da Figura 495 a Use oprincipio da superposicao para deter P493 Pspice minar a corrente i no circuito da Figura Multisim b Determine a poténcia dissipada no resis P495 tor de 10 Capitulo 4 e Técnicas de analise de circuitos Figura P495 Figura P497 10 22 ig 1 6A C1 10A 300 O 8 2v sma 20 kO U 496 a Use oprincipio da superposicao para deter Pspice minar a tensao Uno circuito da Figura P496 Multisim Figura P496 498 Use o principio da superposiao para deter 5O 40 Pspice minar acorrente ino circuito da Figura P498 Multisim Figura P498 240 V C 84V 1kO Up 2kO 4kO 16A wy Ol Oey 497 a Useoprincipio da superposicao para deter Pspice minar U no circuito da Figura P497 Multisim Secoes 41413 499 Suponha que seu supervisor tenha lhe pedido 4100 Determine i ei no circuito da Figura P4100 para determinar a poténcia gerada pela fonte de Pspice Figura P4100 50 V no circuito da Figura P499 Antes de reali Mulisim 100 zar os calculos ele lhe pede para apresentar uma proposta descrevendo como vocé planeja resol ay n 100 100 ver 0 problema Além disso vocé deve explicar por que escolheu 0 método de solugao proposto a Descreva o plano de ataque explicando 120 V 100 20 0 seu raciocinio b Use 0 método descrito em a para deter minar a poténcia gerada pela fonte de 50 V 100 100 Figura P499 50V 200 0 oo 4101 Determine v v UV no circuito da Figura Pspice P4101 Multisi 500 ultisim 100 0 125 nt Ct Jo9a 20 50 i 500 hix Circuitos elétricos Figura P4101 4103 Medicg6es de laboratério em uma fonte de ten 010 010 wee sao cc indicam uma tens4o terminal de 75 V si a vazio e de 60 V quando a fonte alimenta um 120 V 360 resistor de 20 0 a Qual é 0 equivalente de Thévenin da fonte 7 33270 b Mostre que a resisténcia de Thévenin da L0V 45 0 2 450 fonte é dada pela expressdo 010 v Roy 1R Vo 4102 Duas fontes ideais de tensdo cc sao ligadas em que por condutores elétricos cuja resisténcia é 4 x keraani Vy a tensdo de Thévenin r Qm como mostra a Figura P4102 Uma carga cuja resisténcia é R Q movese entre u a tensao terminal correspondente a as duas fontes de tensdao Sendo x a distan resistencia de carga R cia entre a carga e a fonte v e La distancia 4104 Para o circuito da Figura 469 deduza as entre as fontes Problema expressOes para a sensibilidade de v e U as de Projeto oe variagoes nas correntes de fonte I I a Mostre que 8 4105 Suponha que os valores nominais para os v wRE RO vie fn componentes do circuito da Figura 469 ati RL 2rLx 2rx ovine sejam R 25 0 R 5 O R 50 QO spice Mutisim Ry75O112 Ase I16 A Faga uma b Mostre que a tenséo v sera minima previsdo para os valores de v e Uv se I gl dimi quando nuir para 11 A e todos os outros componentes L R continuarem com seus valores nominais Veri 2 x vy V1 vy 4 vyv2 rh v2 fique suas previsdes usando uma ferramenta como PSpice ou MATLAB D L16k L000 V 4106 Repita o Problema 4105 considerando que o c Determine x para L 16 km v 1 Perspectiva valor de J aumente para 17 A e todos os outros v L200 V R39 Qer5xX 10 Om Pratica componentes continuem com seus valores d Qual o valor minimo de v para 0 cir nominais Verifique suas previsdes usando uma cuito de c ferramenta como PSpice ou MATLAB 4107 Repita o Problema 4105 considerando que o Figura P4102 of eR ue d epee valor de La diminua para 11 A eo valor de 2 q X ati sox a a aumente para 17 A Verifique suas previsOes rQm rQm Pspice Multisim USando uma ferramenta como PSpice ou MATLAB R carga 4108 Use os resultados da Tabela 42 para prever v1 v movel v2 Perspectiva os valores de v e v se R e R aumentarem Pratica 0 soo para 10 acima de seus valores nominais e R e R diminuirem para 10 abaixo de seus rQm rQm valores nominais gi Cle continuam com seus ep valores nominais Compare os valores de v UV que vocé previu com seus valores reais SUMÁRIO DO CAPÍTULO 51 Terminais do amplifi cador operacional 52 Tensões e correntes terminais 53 Circuito amplifi cador inversor 54 Circuito amplifi cador somador 55 Circuito amplifi cador não inversor 56 Circuito amplifi cador diferencial 57 Modelo mais realista para o amplifi cador operacional O amplifi cador operacional 5 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber identifi car os cinco terminais de amp ops e descrever e utilizar as restrições de tensão e corrente e as simpli fi cações resultantes em um amp op ideal 2 Saber analisar circuitos simples que contêm amp ops ideais e reconhecer os seguintes circuitos amplifi cadores operacionais amplifi cador inversor amplifi cador somador amplifi cador não inversor e amplifi cador diferencial 3 Entender o modelo mais realista para um amp op e saber utilizálo para analisar circuitos simples que contêm amp ops O circuito eletrônico conhecido como amplifi cador operacional vem se tornando cada vez mais im portante Contudo uma análise detalhada desse circuito exige o conhecimento de dispositivos eletrônicos tais como diodos e transistores Então você talvez esteja se perguntando por que estamos apresentando esse circuito antes de discutir seus componentes eletrônicos Há várias razões A primeira é que é possível avaliar a utilização do amplifi cador operacional como um bloco construtivo de circuitos focalizando o comportamento em seus ter minais Em um nível introdutório não é preciso entender completamente o funcionamento dos componentes ele trônicos que comandam o comportamento terminal A segunda razão é que o modelo de circuito do amplifi cador operacional requer a utilização de uma fonte dependente Assim temse a oportunidade de utilizar esse tipo de fonte em um circuito prático em vez de usála como um componente abstrato de um circuito Em terceiro lugar podese combinar o amplifi cador operacional com resistores para executar algumas funções muito úteis como multiplicar por um fator constante somar mudar de sinal e subtrair Por fi m após a apresentação de indutores e capacitores no Capítulo 6 poderemos mostrar como usar o amplifi cador operacional para projetar circuitos integradores e diferenciadores Book Nilsson 1indb 157 290116 1210 Nossa abordagem do comportamento terminal do amplificador operacional implica considerálo uma caixapreta isto é não estamos interessados na estrutura interna do amplificador nem nas correntes e tensões que existem nessa estrutura O importante é lembrar que o comportamento interno do amplificador responde pelas restrições de tensão e corrente impostas aos terminais Por enquanto pedimos que você aceite essas restrições de boafé perspectiva prática extensômetros Como medir o grau de curvatura de uma barra de metal como a mostrada na figura sem contato físico com a barra Um método seria usar um extensômetro Tratase de um tipo de transdutor ou seja um dispositivo que mede uma quantidade con vertendoa para uma forma mais conveniente A quantidade que queremos medir na barra de metal é o ângulo de curvatura mas medir esse ângulo diretamente é bastante difícil e pode até ser perigoso Em vez disso conectamos um extensômetro mostrado no desenho à barra Um extensômetro é uma grade de fios finos cuja resistência muda quando os fios são alongados ou encurtados DR 2RDL L em que R é a resistência do medidor em repouso DL L é o alongamento fracionário do medidor a constante 2 é um fator típico do medidor e DR é a variação da resistência causada pelo encurvamento da barra Normalmente pares de extensômetros são conectados a lados opostos de uma barra Quando a barra é curvada os fios de um par de medidores ficam mais longos e finos o que aumenta a resistência enquanto os fios do outro par de medidores ficam mais curtos e grossos o que reduz a resistência Mas como a variação da resistência pode ser medida Um modo seria usar um ohmímetro Entretanto a variação na resistência do extensômetro costuma ser muito menor do que a que poderia ser medida com precisão por um ohmímetro Nor malmente os pares de extensômetros são conectados de modo a formar uma ponte de Wheatstone e a diferença de tensão entre as duas pernas da ponte é medida Para fazer uma medição precisa da diferença de tensão usamos um circuito com um amplificador operacional que amplifica ou aumenta a diferença de tensão Após apresentarmos o amplificador operacional e alguns dos circuitos importantes que utilizam esses dispositivos vamos apresentar o circuito usado nos extensômetros para medir o grau de curvatura de uma barra de metal O circuito amplificador operacional surgiu pela primeira vez como um bloco construtivo básico em computadores analógi cos Denominavase operacional porque era usado para estabelecer as operações matemáticas de integração diferenciação adição mudança de sinal e multiplicação Nos últimos anos a gama de aplicação foi ampliada para além do estabelecimento de operações matemáticas contudo o nome original do circuito se manteve Engenheiros e técnicos têm uma tendência a criar jargões técnicos por conseguinte o amplificador operacional é amplamente conhecido como amp op Ron ChappleCorbis Circuitos elétricos 158 Book Nilsson 1indb 158 290116 1210 Capitulo 5 e O amplificador operacional 51 Terminais do amplificador operacional Considerandose que estamos enfatizando o Figura 51 Versao de oito terminais do DIP visto de cima comportamento terminal do amplificador operacio nal amp op comecamos discutindo os terminais de NC um dispositivo disponivel no mercado Em 1968 a q 8 I Fairchild Semiconductor langou um amp op que con sient de quistou ampla aceitacdo o wA741 O prefixo wA foi esi mee 1 usado pela Fairchild para indicar que se tratava de V um microcircuito Esse amplificador esta disponivel sort ti I em diversos encapsulamentos Para nossa discussao gntrad in y escolhemos o encapsulamento DIP de oito terminais A Figura 51 mostra uma vista de cima desse disposi saith tivo com os terminais identificados Os terminais mais yersor oI 6 importantes sao pnd nao si e entrada inversora ino ule e entrada nao inversora 5 I e saida vo i e fonte de alimentacao positiva V e fonte de alimentacao negativa V Os trés terminais restantes s4o de pouca ou nenhuma importancia Os de compensagao podem ser usados em um circuito auxiliar para compensar uma degradacdo de desempenho por tempo de uso e defeitos Todavia na maioria dos casos a degradacao é desprezivel assim muitas vezes os terminais indicadores de desvio nao sao utilizados e desempenham um papel secundario na andlise do circuito O terminal 8 nao é de interesse simplesmente por nao ser utilizado NC quer dizer nao conectado 0 que significa que o terminal nao esta ligado ao cir cuito amplificador A Figura 52 mostra um simbolo de circuito amplamente utilizado para um amp op que contém os cinco terminais de maior interesse Como no é conveniente usar palavras para iden tificar terminais em diagramas de circuito simplificamos sua designacao da seguinte forma o terminal de entrada nao inversora é identificado por um sinal positivo e o de entrada inversora por um sinal negativo Os terminais da fonte de alimentacao que sio sempre desenhados do lado de fora do triangulo sio marcados como V e V Entendese que o termi nal situado no vértice do triangulo é sempre o de saida A Figura 53 resume essas convengoes Figura 52 Simbolo de circuito para um amp op Figura 53 Simbolo do circuito simplificado para um amp op Fonte de alimentagao Entrada positiva y nao inversora Entrada nS Sada TS inversora Fonte de alimentagao negativa Vv DIP é uma abreviatura para encapsulamento dual em linha dual inline package Isso significa que os terminais de cada lado do dispositivo estao alinhados o mesmo ocorrendo com os terminais de lados opostos do dispositivo Circuitos elétricos Figura 94 Tensoes terminals 52 Tensoes e correntes terminais v Agora estamos prontos para apresentar as tensOes e correntes terminais usadas para descrever 0 comportamento do amp op As z tensdes sao medidas em relacéo a um né de referéncia A Figura v ve Vcc 54 mostra as tenses com suas polaridades de referéncia Tn Todas as tensdes sAo consideradas elevag6es de tenséo em 4 relacéo ao no de referéncia Essa convencgéo é a mesma usada no método das tensdes de no Uma fonte de tensdo positiva V No de referencia conectada entre V e o né de referéncia Uma fonte de tensdo nega tiva V conectada entre Ve o no de referéncia A tensao Figura 55 Correntes terminais entre o terminal de entrada inversora e 0 no de referéncia v A i tensdo entre o terminal de entrada nAo inversora e 0 nd de referén ip veo cia év pA tensdo entre o terminal de safda e o no de referéncia é VU iy A Figura 55 mostra as correntes com seus sentidos de refe réncia Observe que todas as correntes apontam para dentro dos v L terminais do amplificador operacional i a corrente que entra no n Vec terminal da entrada inversora i a corrente que entra no termi Voom fic nal da entrada nao inversora i a corrente que entra no terminal de saida i a corrente que entra no terminal da fonte de alimen tacdo positiva e i a corrente que entra no terminal da fonte de alimentacao negativa O comportamento terminal do amp op como um elemento linear de circuito caracteri zado por restrig6es a tensGes e a correntes de entrada A restrigdo 4 tensdo surge da caracteris tica de transferéncia de tensdo do circuito integrado do amp op e é representada na Figura 56 A caracteristica de transferéncia de tenséo mostra como a tensdo de saida varia em fun cao das tenses de entrada isto 6 como a tensdo é transferida da entrada para a saida Observe que para o amp op a tensao de saida é uma fungao da diferenga das tensdes de entrada v vA equacao da curva de transferéncia de tensdo é Vee Avy Un Vee Yo Alvp vn Veco S AlUp Un tVec Vee AUp Un Vec 51 Figura 56 Caracteristica de transferéncia de tensao de Vemos pela Figura 56 e pela Equacao 51 que o amp op um almp OP tem trés regides distintas de operagéo Quando o mddulo da Up diferenga entre as tenses de entrada lu v pequeno Voc Saturagao positiva 0 amp op comportase como um dispositivo linear porque a Regido linear tensdo de saida é uma fungao linear das tensGes de entrada L Fora dessa regiao linear a saida do amp op fica saturada e ele se comporta como um dispositivo n4o linear pois a tensao de VecAY VecA Up Un saida nao é mais uma funcdo linear das tensOes de entrada Quando o amp op esta funcionando linearmente sua tensao Saturagio negativa Voc de saida é igual a diferenga entre suas tensdes de entrada vezes a constante de multiplicagao ou ganho A Para confinar 0 amp op 4 sua regido de funcionamento linear uma restrigéo é imposta as tensdes de entrada v e U A restrigdo é baseada em valores numéricos tipicos para V e A 2 Esse no de referéncia é externo ao amp op Tratase do terminal de referéncia do circuito no qual o amp op esta inserido na Equação 51 Para a maioria dos amp ops as tensões recomendadas para a fonte de alimen tação cc raramente passam de 20 V e o ganho A raramente é menor do que 10000 ou 104 Vemos pela Figura 56 e pela Equação 51 que na região linear o módulo da diferença entre as tensões de entrada vp vn deve ser menor do que 20104 ou 2 mV Normalmente as tensões de nó nos circuitos que estudamos são muito maiores do que 2 mV de modo que uma diferença de tensão menor do que 2 mV significa que em essência as duas ten sões são iguais Assim quando um amp op opera em sua região linear de funcionamento e as ten sões de nó são bem maiores do que 2 mV a condição imposta às tensões de entrada do amp op é vp vn 52 Observe que a Equação 52 caracteriza a relação entre as tensões de entrada para um amp op ideal isto é um amp op cujo valor de A é infinito A restrição à tensão de entrada na Equação 52 é denominada condição de curtocircuito virtual na entrada do amp op É natural perguntar como um curtocircuito virtual é mantido na entrada do amp op quando ele está inserido em um circuito A resposta é que um sinal é realimentado do terminal de saída para o terminal da entrada inversora Essa configuração é conhecida como realimentação negativa porque o sinal realimentado da saída é subtraído do sinal de entrada A realimentação negativa faz com que a diferença das tensões da entrada diminua Como a tensão de saída é proporcional à diferença das tensões de entrada a tensão de saída também diminui e o amp op opera em sua região linear Se um circuito que contenha um amp op não fornecer um caminho de realimentação negativa da saída do amp op até a entrada inversora então de modo geral o amp op estará saturado A diferença entre os sinais de entrada deve ser extremamente pequena para impedir a saturação sem nenhuma realimentação negativa Entretanto ainda que o circuito forneça um caminho de realimentação negativa para o amp op a operação linear não está garantida Portanto como podemos saber se o amp op está operando em sua região linear A resposta é não podemos Tratamos desse dilema admitindo a operação na região linear realizando a análise do circuito e então conferindo nossos resultados atentos às contradições Por exemplo suponha que admitimos que um amp op inserido em um circuito esteja funcio nando em sua região linear e calculamos que a tensão de saída do amp op é de 10 V Ao exa minarmos o circuito constatamos que VCC é 6 V o que configura uma contradição porque a tensão de saída de um amp op não pode ser maior do que VCC Assim nossa suposição de ope ração linear era inválida e a saída do amp op deve estar saturada em 6 V Identificamos uma restrição às tensões de entrada que é baseada na característica da transferência de tensão do circuito integrado do amp op a suposição de que o amp op está restrito à sua região linear de operação e a valores típicos para VCC e A A Equação 52 repre senta a restrição imposta às tensões para um amp op ideal isto é com um valor de A infinito Agora voltamos nossa atenção à restrição imposta às correntes de entrada A análise do circuito integrado do amp op revela que a resistência equivalente vista dos terminais de entrada do amp op é muito grande normalmente 1 MV ou mais O ideal é a resistência equi valente de entrada ser infinita o que resulta na restrição de corrente ip in 0 53 Observe que a restrição de corrente não se baseia na suposição de que o amp op esteja operando em sua região linear como acontecia com a restrição de tensão Juntas as equações 52 e 53 constituem as condições terminais que definem nosso modelo de amp op ideal t Restrição de tensão de entrada para um amp op ideal t Restrição de corrente de entrada para um amp op ideal Capítulo 5 O amplificador operacional 161 Book Nilsson 1indb 161 290116 1210 Pela lei das correntes de Kirchhoff sabemos que a soma das correntes que entram no amplificador operacional é igual a zero ou3 ip in io ic ic 0 54 Substituindo a restrição dada pela Equação 53 na Equação 54 temos io ic ic 55 O significado importante da Equação 55 é que mesmo que a corrente nos terminais de entrada seja desprezível ainda pode haver corrente apreciável no terminal de saída Antes de começarmos a analisar circuitos que contenham amp ops vamos simplificar ainda mais o símbolo de circuito Quando sabemos que o amplificador está funcionando dentro de sua região linear as tensões cc VCC não entram nas equações de circuito Nesse caso podemos remover os terminais da fonte de alimenta ção do símbolo e as fontes de alimentação cc do circuito como mostra a Figura 57 Uma advertência como os terminais da fonte de alimentação foram omitidos há o perigo de inferir pelo sím bolo que ip in io 0 Já observamos que esse não é o caso isto é ip in io ic ic 0 Em outras palavras a restrição ao modelo do amp op ideal isto é ip in 0 não implica que io 0 Observe que os valores das tensões positiva e negativa da fonte de alimentação não têm de ser iguais Na região linear vo deve estar entre as duas tensões de alimentação Por exem plo se V 15 V e V 10 V então 10 V vo 15 V Lembrese também de que o valor de A não é constante sob todas as condições de operação Todavia por enquanto vamos supor que seja Devemos adiar a discussão de como e por que o valor de A pode mudar até termos estudado os dispositivos e componentes eletrônicos utilizados para fabricar um amplificador O Exemplo 51 ilustra a aplicação sensata das equações 52 e 53 Quando usamos essas equações para prever o comportamento de um circuito que contém um amp op na verdade estamos usando um modelo ideal do dispositivo 3 N do RT aqui se está lançando mão de uma generalização da lei das correntes de Kirchhoff uma vez que o amp op está sendo considerado como um nó o que ele não é A lei que garante tal procedimento é denominada Lei da Conservação da Carga que é uma generalização da lei das correntes de Kirchhoff Figura 57 Símbolo do amp op após a remoção dos terminais da fonte de alimentação 2 vn 1 vp 2 1 1 2 2 vo 1 ip io in exeMplo 51 Análise do circuito de um amp op O amp op no circuito mostrado na Figura 58 é ideal a Calcule vo se va 1 V e vb 0 V b Repita a para va 1 V e vb 2 V c Se va 15 V especifique a faixa de vb que impede a satu ração do amplificador Solução a Como existe uma realimentação negativa da saída do amp op à sua entrada inversora passando pelo resistor de 100 kV Figura 58 Circuito para o Exemplo 51 25 kV 10 V 210 V vo 1 2 va 1 2 vb 1 2 2 1 100 kV i25 i100 Circuitos elétricos 162 Book Nilsson 1indb 162 290116 1210 vamos admitir que o amp op esteja operando na região linear Podemos escrever uma equação de tensão de nó para a entrada inversora A tensão da entrada inversora é 0 já que vp vb 0 pelo valor especificado da fonte de tensão conectada e vn vp de acordo com a Equação 52 Portanto a equação de tensão de nó para vn é i25 i100 in Pela lei de Ohm i100 vo vn100 vo 100 mA i25 va vn25 1 25 mA A restrição em relação à corrente exige que in 0 Substituindo os valores para as três correntes na equação de tensão de nó obtemos 1 25 vo 100 0 Assim vo é 4 V Observe que como vo se encontra entre 10 V o amp op está dentro de sua região linear de operação b Usando o mesmo processo utilizado em a obtemos i25 i100 i100 vo vn 100 vo 2 100 mA i25 va vn 25 1 2 25 1 25 mA vp vb vn 2 V Logo vo 6 V Novamente vo se encontra entre 10 V c Como antes vn vp vb e i25 i100 Como va 15 V 15 vb 25 vo vb 100 Resolvendo para vb como uma função de vo temos vb 1 56 vo Agora se o amplificador estiver operando na região linear 10 V vo 10 V Substituindo esses limites para vo na expressão para vb vemos que vb está limitada a 08 V vb 32 V Capítulo 5 O amplificador operacional 163 Book Nilsson 1indb 163 290116 1210 53 Circuito amplificador inversor Agora estamos prontos para discutir o funcionamento de alguns circuitos importantes que utilizam o amplificador opera cional usando as equações 52 e 53 para modelar o comporta mento do dispositivo A Figura 59 mostra um circuito amplifica dor inversor Admitimos que o amp op esteja funcionando em sua região linear Observe que além do amp op o circuito consiste de dois resistores Rf e Rs uma fonte de tensão vs e um cur tocircuito entre o terminal da entrada não inversora e o nó de referência Analisamos esse circuito admitindo um amp op ideal A meta é obter uma expressão para a tensão de saída vo em função da tensão da fonte vs Empregamos uma única equação de tensão de nó no terminal inversor do amp op dada como is if in 56 A Equação 52 estabelece que vn 0 porque a tensão em vp é nula Logo if vo Rf is vs Rs 57 58 Agora utilizamos a Equação 53 ou seja in 0 59 Substituindo as equações 57 a 59 na Equação 56 obtemos o resultado procurado vo Rf Rs vs 510 Equação do u amplificador inversor Objetivo 1 Usar as restrições de tensão e corrente em um amp op ideal 51 Admita que no circuito mostrado o amp op seja ideal a Calcule vo para os seguintes valores de vs 04 20 35 06 16 e 24 V b Especifique a faixa de vs que evite a saturação do amplifi cador Resposta a 2 10 15 3 8 e 10 V b 2 V vs 3 V NOTA tente resolver também os problemas 51 54 e 55 apresentados no final deste capítulo 16 kV 10 V 215 V vo 1 2 vs 1 2 2 1 80 kV proBleMa para aValiaÇÃo Figura 59 Circuito amplificador inversor 1VCC 2VCC vo 1 2 2 1 is in if vp 2 1 vn 2 1 Rs Rf vs 1 2 Circuitos elétricos 164 Book Nilsson 1indb 164 290116 1210 Observe que a tensão de saída é uma réplica invertida multiplicada por um fator da tensão de entrada É claro que a inversão do sinal da entrada é a razão de nos referirmos ao circuito como um amplificador inversor O fator de multiplicação ou ganho é a razão Rf Rs O resultado dado pela Equação 510 será válido somente se o amp op mostrado no cir cuito da Figura 59 for ideal isto é se A for infinito e a resistência de entrada for infinita Para um amp op real a Equação 510 é uma aproximação de modo geral boa Falaremos mais sobre isso adiante A Equação 510 é importante porque nos diz que se o ganho A do amp op for grande poderemos especificar o ganho do amplificador inversor com os resistores externos Rf e Rs O limite superior para o ganho Rf Rs é determinado pelas tensões da fonte de alimen tação e pelo valor da tensão vs Se admitirmos tensões iguais das fontes de alimentação isto é V V VCC obtemos vo VCC Rf Rs vs VCC Rf Rs VCC vs 511 Por exemplo se VCC 15 V e vs 10 mV a razão Rf Rs deve ser menor do que 1500 No circuito amplificador inversor mostrado na Figura 59 o resistor Rf fornece a conexão de realimentação negativa Isto é ele liga o terminal de saída ao terminal da entrada inversora Se Rf for retirado o caminho de realimentação é aberto e dizse que o ampli ficador está funcionando em malha aberta A Figura 510 mostra a operação em malha aberta Eliminar a realimentação muda drasticamente o comporta mento do circuito Em primeiro lugar agora a tensão de saída é vo Avn 512 admitindose como antes que V V VCC então vn VCC A para a operação na região linear Como a corrente da entrada inversora é quase zero a queda de tensão em Rs é quase nula e a tensão da entrada inversora é aproximadamente igual à tensão vs isto é vn L vs Então o amp op só pode funcionar na região linear de operação em malha aberta se vs VCC A Se vs VCC A o amp op simplesmente satura Em particular se vs VCC A o amp op fica saturado em VCC e se vs VCC A o amp op satura em VCC Como a relação mostrada na Equação 512 é válida quando não há realimentação o valor de A costuma ser denominado ganho de malha aberta do amp op O Exemplo 52 usa a equação do amplificador inversor para projetar um amplificador inversor usando valores de resistores comerciais Figura 510 Amplificador inversor funcionando em malha aberta 1VCC 2VCC vo 1 2 vs 1 2 2 1 vn 2 1 Rs exeMplo 52 Projetando um amplificador inversor a Projete um amplificador inversor veja Figura 59 com um ganho de 12 Use fontes de alimentação de 15 V e um amp op ideal b Qual faixa de tensões de entrada vs permite que o amp op permaneça em sua região de operação linear Solução a Temos de encontrar dentre os valores de resistores comerciais listados no Apêndice H dois deles cuja razão seja igual a 12 São diversas as possibilidades mas vamos escolher Rs 1 kV e Rf 12 kV Use a equação do amplificador inversor Equação 510 para ratificar o projeto Capítulo 5 O amplificador operacional 165 Book Nilsson 1indb 165 290116 1210 54 Circuito amplificador somador A tensão de saída de um amplificador somador é uma soma multiplicada por um fator de escala negativo e inver tida das tensões aplicadas à entrada do amplificador A Figura 512 mostra um amplificador somador com três ten sões de entrada Obtemos a relação entre a tensão de saída vo e as três tensões de entrada va vb e vc somando as correntes que saem do terminal da entrada inversora vn va Ra vn vb Rb vn vc Rc vn vo Rf in 0 513 Admitindo um amp op ideal podemos usar as restrições de tensão e corrente com o valor mínimo de vp e verificar que vn vp 0 e in 0 Isso reduz a Equação 513 a vo a Rf Ra va Rf Rb vb Rf Rc vcb 514 Equação do u amplificador somador inversor vo Rf Rs vs 12000 1000 vs 12vs Desse modo temos um amplificador inversor com um ganho de 12 como mostrado na Figura 511 b Resolva duas versões diferentes da equação do ampli ficador inversor para vs usando primeiro vo 15 V e em seguida vo 15 V 15 12vs de modo que vs 125 V 15 12vs de modo que vs 125 V Assim se a tensão de entrada for maior ou igual a 125 V e menor ou igual a 125 V o amp op per manecerá em sua região de operação linear Figura 511 Amplificador inversor para o Exemplo 52 115V 215V vo 1 2 vs 1 2 2 1 1 kV 12 kV Objetivo 2 Saber analisar circuitos simples que contêm amp ops ideais 52 A tensão da fonte vs no circuito do Problema para avaliação 51 é 640 mV O resistor de realimentação de 80 kV é substituído por um resistor variável Rx Qual é a faixa de Rx que permite que o amplificador inversor opere em sua região linear Resposta 0 Rx 250 kV NOTA tente resolver também os problemas 59 e 511 apresentados no final deste capítulo proBleMa para aValiaÇÃo Figura 512 Amplificador somador 1VCC 2VCC vo 1 2 vc 1 2 1 vb 2 1 va 2 2 1 in vn 2 1 Rb Ra Rc Rf Circuitos elétricos 166 Book Nilsson 1indb 166 290116 1210 Capitulo 5 e O amplificador operacional A Equagao 514 estabelece que a tensd4o de saida seja uma soma das trés tensdes de entrada multiplicada por um fator de escala negativo Se R R R R entao a Equacao 514 é reduzida a Ry Vo vq Vp v 515 R Por fim se fizermos R c R a tensdo de saida sera exatamente a soma invertida das ten ses de entrada Isto é Vv v U V 516 Embora tenhamos ilustrado 0 amplificador somador com apenas trés sinais de entrada 0 numero de tensdes de entrada pode ser aumentado conforme necessario Por exemplo pode ser que vocé queira somar 16 sinais de audio gravados individualmente para formar um tnico sinal de audio A configuragao do amplificador somador da Figura 512 poderia incluir 16 valo res diferentes de resistores de entrada de modo que cada uma das trilhas de entrada de audio aparega no sinal de saida com um fator de amplificagao diferente Assim o amplificador soma dor desempenha o papel de um misturador de audio Como acontece com circuitos amplifica dores inversores os fatores de escala em circuitos amplificadores somadores s4o determinados pelos resistores externos Ry RyRy Row RK PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber analisar circuitos simples que contém amp ops ideais 53 a Determine v no circuito mostrado se v 01 V e v 025 V b Se vu 025 V qual o maior valor de v antes que 0 amp op se sature c Se v 010 V qual o maior valor de v antes que oO amp op se sature are 250 kN d Repita a b e c invertendo a polaridade de v Resposta a 75 V b 015 V Va e 25 kQ c 05 V 10V d 25 025 e2V Uy e Vo NOTA tente resolver também os problemas 512 a 514 apresentados no final deste capitulo v 55 Circuito amplificador nao inversor Figura 513 Um amplificador nao inversor R s f A Figura 513 mostra um circuito amplificador nao inversor O sinal de entrada representado por v em série com 0 resistor R R Ao deduzir a expresso para a tensdo de saida em funcio da rn tensdo de entrada admitimos um amp op ideal funcionando em sua regiao linear Assim como antes usamos as equag6es 52 e 53 Up Rs Vec como base para a dedugao Visto que a corrente de entrada do Ug Up Yo amp op é nula podemos escrever v U 2 pela Equagao 52 também podemos escrever U U Agora como a corrente de v entrada é nula in ip 0 os resistores Rf e Rs formam um divisor de tensão a vazio alimen tado por vo Portanto vn vg voRs Rs Rf 517 Resolvendo a Equação 517 para vo obtemos a expressão procurada vo Rs Rf Rs vg 518 A operação na região linear requer que Rs Rf Rs 6 VCC vg Observe mais uma vez que devido à suposição de um amp op ideal podemos expressar a tensão de saída como uma função da tensão de entrada e dos resistores externos nesse caso Rs e Rf O Exemplo 53 ilustra o projeto de um amplificador não inversor usando valores comer ciais de resistência Equação do u amplificador não inversor exeMplo 53 Projetando um amplificador não inversor a Projete um amplificador não inversor veja a Figura 513 com um ganho de 6 Suponha que o amp op seja ideal b Suponha que queiramos amplificar uma tensão vg de tal modo que 15 V vg 15 V Quais são as menores tensões de alimentação que podem ser utilizadas com os resistores selecionados em a e ainda ter o amp op neste projeto operando em sua região linear Solução a Usando a equação do amplificador não inversor Equação 518 vo Rs Rf Rs vg 6vg de modo que Rs Rf Rs 6 Logo Rs Rf 6Rs de modo que Rf 5Rs Queremos duas resistências cuja razão seja 5 Dê uma olhada nos valores de resistores comerciais listados no Apêndice H Vamos escolher Rf 10 kV de modo que Rs 2 kV Entretanto não há um resistor de 2 kV no Apêndice H Podemos criar um resistor equivalente combinando dois resistores de 1 kV em série Podemos usar um terceiro resistor de 1 kV como o valor do resistor Rg b Resolva duas versões diferentes da equação do amplificador não inversor usando primeiro vg 15 V e em seguida vg 15 V vo 615 9 V vo 615 9 V Circuitos elétricos 168 Book Nilsson 1indb 168 290116 1210 56 Circuito amplificador diferencial A tensão de saída de um amplificador diferencial é pro porcional à diferença entre as duas tensões de entrada Para demonstrar isso analisamos o circuito amplificador diferen cial mostrado na Figura 515 admitindo um amp op ideal operando em sua região linear Deduzimos a relação entre vo e as duas tensões de entrada va e vb somando as correntes que saem do nó da entrada inversora vn va Ra vn vo Rb in 0 519 Como o amp op é ideal usamos as restrições de tensão e corrente para verificar que in ip 0 520 Figura 515 Amplificador diferencial 2 1 1VCC 1 2 vo 1 2 vp 1 2 vn 2VCC Rd Rb Rc Ra vb va 1 2 1 2 in Assim se usarmos as fontes de alimentação de 9 V para o amplificador não inversor projetado em a e 15 V vg 15 V o amp op permanecerá em sua região de operação linear O circuito resultante da análise em a e b é mostrado na Figura 514 Figura 514 O projeto do amplificador não inversor do Exemplo 53 2 1 1 kV 1 kV 15 V 1 2 vo vg 215 V 1 kV 10 kV 1 2 Objetivo 2 Saber analisar circuitos simples que contêm amp ops ideais 54 Suponha que o amp op do circuito mostrado seja ideal a Determine a tensão de saída quando o resistor vari ável é ajustado para 60 kV b Qual o valor máximo de Rx antes que o amplifica dor se sature Resposta a 48 V b 75 kV NOTA tente resolver também os problemas 519 e 520 apresentados no final deste capítulo 2 1 45 kV 5 V 1 2 vo 25 V 15 kV 63 kV 400 mV 1 2 Rx proBleMa para aValiaÇÃo Capítulo 5 O amplificador operacional 169 Book Nilsson 1indb 169 290116 1210 vn vp Rd Rc Rd vb 521 Combinando as equações 519 520 e 521 temos a relação desejada vo RdRa Rb RaRc Rd vb Rb Ra va 522 A Equação 522 mostra que a tensão de saída é proporcional à diferença entre vb e va multiplicadas por fatores de escala De modo geral o fator de escala aplicado a vb não é igual ao aplicado a va Contudo os fatores de escala aplicados a cada tensão de entrada podem ser igualados fazendo Ra Rb Rc Rd 523 Quando a Equação 523 é satisfeita a expressão para a tensão de saída é reduzida a vo Rb Ra vb va 524 A Equação 524 indica que a tensão de saída pode ser obtida como a diferença entre as tensões de entrada vb e va multiplicada por um fator de escala Como nos circuitos amplifi cadores ideais anteriores o fator de escala é uma função dos resistores externos Além disso a relação entre a tensão de saída e as tensões de entrada não é afetada pela conexão de uma resistência não nula na saída do amplificador O Exemplo 54 descreve o projeto de um amplificador diferencial usando valores de resis tores comerciais Equação u simplificada do amplificador diferencial exeMplo 54 Projetando um amplificador diferencial a Projete um amplificador diferencial veja a Figura 515 que amplifique a diferença entre duas ten sões de entrada por um ganho de 8 usando um amp op ideal e fontes de alimentação de 8 V b Suponhamos que va 1 V no amplificador diferencial projetado em a Qual faixa de tensões de entrada para vb permitirá que o amplificador operacional continue funcionando em sua região linear Solução a Usando a equação simplificada do amplificador diferencial Equação 524 vo Rb Ra vb va 8vb va de modo que Rb Ra 8 Queremos duas resistências cuja razão seja 8 Dê uma olhada nos valores de resistências comerciais listadas no Apêndice H Vamos escolher Rb 12 kV de modo que Ra 15 kV embora existam mui tas outras possibilidades Observe que a equação simplificada do amplificador diferencial requer que Ra Rb Rc Rd A escolha simples para Rc e Rd é Rc Ra 15 kV e Rd Rb 12 kV O circuito resultante é mos trado na Figura 516 Circuitos elétricos 170 Book Nilsson 1indb 170 290116 1210 Amplificador diferencial outra perspectiva Podemos examinar o comportamento de um amplificador diferencial mais minuciosa mente redefinindo suas entradas em função de duas outras tensões A primeira é a tensão de modo diferencial que é a diferença entre as duas tensões de entrada na Figura 515 vmd vb va 525 A segunda é a tensão de modo comum que é a média das duas tensões de entrada na Figura 515 vmc va vb2 526 Usando as equações 525 e 526 podemos representar as tensões de entrada originais va e vb em termos de tensões de modo diferencial e de modo comum vmd e vmc vb vmc 1 2vmd va vmc 1 2vmd 527 528 b Resolva as duas versões diferentes da equação sim plificada do amplificador diferencial para vo em termos de vb usando primeiro vo 8 V e em seguida vo 8V vo 8vb 1 8 V de modo que vb 2 V vo 8vb 1 8 V de modo que vb 0 V Assim se va 1 V no amplificador diferencial em a o amp op permanecerá em sua região opera cional linear se 0 V vb 2 V Figura 516 O amplificador diferencial projetado no Exemplo 54 2 1 8 V 1 2 vo 2 8 V vb va 1 2 1 2 15 kV 12 kV 15 kV 12 kV Objetivo 2 Saber analisar circuitos simples que contêm amp ops ideais 55 a No amplificador diferencial mostrado vb 40 V Qual é a faixa de valores de va que resultará em uma operação linear do amp op b Repita a com a redução do resistor de 20 kV para 8 kV Resposta a 2 V va 6 V b 12 V va 52 V NOTA tente resolver também os problemas 526 527 e 530 apre sentados no final deste capítulo 2 1 10 V 1 2 vo 210 V vb va 1 2 1 2 10 kV 50 kV 4 kV 20 kV proBleMa para aValiaÇÃo Capítulo 5 O amplificador operacional 171 Book Nilsson 1indb 171 290116 1210 Substituindo as equações 527 e 528 na Equação 522 temos a saída do amplificador dife rencial em termos de tensões de modo diferencial e de modo comum Amcvmc Amdvmd c RdRa Rb RbRc Rd 2RaRc Rd d vmd vo c RaRd RbRc RaRc Rd d vmc 529 530 em que Amc é o ganho de modo comum e Amd é o ganho de modo diferencial Agora substitua Rc Ra e Rd Rb que são valores possíveis para Rc e Rd e que satisfazem a Equação 523 na Equação 529 vo 0vmc a Rb Ra bvmd 531 Assim um amplificador diferencial ideal tem Amc 0 amplifica somente a porção de modo diferencial da tensão de entrada e elimina a porção de modo comum A Figura 517 mostra um circuito amplificador diferencial com tensões de entrada de modo diferencial e de modo comum no lugar de va e vb A Equação 530 fornece uma importante perspectiva sobre a função do amplificador diferencial visto que em muitas aplicações é o sinal de modo diferencial que con tém a informação de interesse ao passo que o sinal de modo comum é o ruído encontrado em todos os sinais elétricos Por exemplo o eletrodo de um equipamento de eletrocardiograma mede as tensões produzidas pelo corpo para regular as batidas do cora ção Essas tensões são muito pequenas em comparação com o ruído elétrico que o eletrodo capta de fontes como lâmpadas e equipamentos elétricos O ruído aparece como a porção de modo comum da tensão medida ao passo que as tensões da pulsação cardíaca constituem a porção do modo diferencial Assim um amplificador diferencial ideal amplificaria somente a tensão de interesse e suprimiria o ruído Medição de desempenho do amplificador diferencial fator de rejeição do modo comum Um amplificador diferencial ideal tem ganho nulo de modo comum e ganho não nulo aliás normalmente grande de modo diferencial Dois fatores influenciam o ganho ideal de modo comum uma incompatibilidade de resistências isto é a Equação 523 não é satisfeita ou um amp op não ideal isto é a Equação 520 não é satisfeita Aqui focalizamos o efeito da incompatibilidade de resistências sobre o desempenho de um amplificador diferencial Suponha que sejam escolhidos valores de resistores que não satisfaçam com precisão a Equação 523 Em vez disso a relação entre os resistores Ra Rb Rc e Rd é Ra Rb 1 PRc Rd Figura 517 Amplificador diferencial com tensões de entrada de modo comum e de modo diferencial 2 1 1VCC 1 2 vo 2VCC vmc 1 2 1 2 1 2 vmd 2 vmd 2 Rd Rb Rc Ra Circuitos elétricos 172 Book Nilsson 1indb 172 290116 1210 de modo que Ra 1 PRc e Rb Rd 532 ou Rd 1 PRb e Ra Rc 533 onde P é um número muito pequeno Podemos ver o efeito dessa incompatibilidade de resis tências sobre o ganho de modo comum do amplificador diferencial substituindo a Equação 533 na Equação 529 e simplificando a expressão para Amc L PRb Ra Rb PRb Ra 1 PRb Amc Ra1 PRb RaRb RaRa 1 PRb 534 535 536 Podemos fazer uma aproximação que resulta na Equação 536 porque P é muito pequeno e portanto 1 P é aproximadamente 1 no denominador da Equação 535 Observe que quando os resistores do amplificador diferencial satisfazem a Equação 523 P 0 e a Equação 536 resulta em Amc 0 Calcule agora o efeito da incompatibilidade de resistências sobre o ganho de modo dife rencial substituindo a Equação 533 na Equação 529 e simplificando a expressão para Amd L Rb Ra c 1 P2Ra Ra Rb d Rb Ra c 1 P2Ra Ra 1 PRb d Amd 1 PRbRa Rb RbRa 1 PRb 2RaRa 1 PRb 537 538 539 Usamos o mesmo raciocínio para a aproximação que resultou na Equação 539 utilizada no cálculo de Amc Quando os resistores do amplificador diferencial satisfazem a Equação 523 P 0 e a Equação 539 resulta em Amd RbRa O fator de rejeição de modo comum FRMC pode ser usado para medir quão próximo do ideal está um amplificador diferencial Ele é definido como a razão entre o ganho de modo diferencial e o ganho de modo comum FRMC Amd Amc 540 Quanto maior o FRMC mais próximo do ideal será o amplificador diferencial Podemos ver o efeito da incompatibilidade de resistências no FRMC substituindo as equações 536 e 539 na Equação 540 L 1 RbRa P L Ra1 P2 Rb PRa FRMC L Rb Ra 1 RaP2Ra Rb PRbRa Rb 541 542 Capítulo 5 O amplificador operacional 173 Book Nilsson 1indb 173 290116 1210 L 1 RbRa P L Ra1 P2 Rb PRa FRMC L Rb Ra 1 RaP2Ra Rb PRbRa Rb 543 Pela Equação 543 se os resistores no amplificador diferencial forem compatíveis P 0 e FRMC q Ainda que os resistores sejam incompatíveis podemos minimizar o impacto da incompatibilidade tornando o ganho de modo diferencial RbRa muito grande o que significa tornar o FRMC grande No início dissemos que outra razão para o ganho não nulo de modo comum é um amp op não ideal Observe que o amp op é em si um amplificador diferencial porque na região linear de operação sua saída é proporcional à diferença entre suas entradas isto é vo Avp vn A saída de um amp op não ideal não é estritamente proporcional à diferença entre as entradas a entrada de modo diferencial mas também é composta de um sinal de modo comum Incom patibilidades internas nos componentes do circuito integrado tornam o comportamento do amp op não ideal do mesmo modo que as incompatibilidades de resistores no circuito ampli ficador diferencial tornam seu comportamento não ideal Embora uma discussão sobre amp ops não ideais não esteja no escopo deste livro você pode observar que o FRMC é usado com frequência para avaliar quão próximo do ideal é o comportamento de um amp op Na verdade este é um dos principais modos de classificar amp ops na prática NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 533 e 534 apresentados no final deste capítulo 57 Modelo mais realista para o amplificador operacional Consideramos agora um modelo mais realista para o desempenho de um amp op em sua região linear de operação Tal modelo inclui três modificações no amp op ideal 1 uma resistência de entrada finita Ri 2 um ganho de malha aberta finito A e 3 uma resistência de saída não nula Ro O cir cuito mostrado na Figura 518 ilustra o modelo mais realista Sempre que usamos o circuito equivalente mostrado na Figura 518 desconsideramos as suposições de que vn vp Equação 52 e in ip 0 Equação 53 Além disso a Equa ção 51 deixa de ser válida por causa da presença da resistên cia não nula de saída Ro Outro modo de entender o circuito mostrado na Figura 518 é inverter nosso raciocínio Isto é podemos ver que o circuito é reduzido ao modelo ideal quando Ri S q A S q e Ro S 0 Para o amp op mA741 os valores típicos de Ri A e Ro são 2 MV 105 e 75 V respectivamente Embora a presença de Ri e Ro torne a análise de circuitos que contêm amp ops mais tra balhosa tal análise continua sendo simples Para ilustrar a situação analisaremos ambos os amplificadores inversor e não inversor usando o circuito equivalente mostrado na Figura 518 Começaremos com o amplificador inversor Análise de um circuito amplificador inversor usando o modelo mais realista de amp op Se usarmos o modelo mostrado na Figura 518 o amplificador inversor será o que está representado na Figura 519 Como antes nossa meta é expressar a tensão de saída vo em Figura 518 Circuito equivalente para um amplificador operacional 1 2 1 2 vo 1 2 vp 1 2 vn A vp 2 vn 2 1 Ro Ri in io ip Circuitos elétricos 174 Book Nilsson 1indb 174 290116 1210 função da tensão da fonte vs Obtemos a expressão desejada escrevendo as duas equações de tensão de nó que descrevem o circuito e então resolvendo o conjunto de equações resul tante para vo Na Figura 519 os dois nós são a e b Observe também que vp 0 em virtude da conexão externa em curto circuito da entrada não inversora As duas equações de ten são de nó são as seguintes nó b vo vn Rf vo Avn Ro 0 nó a vn vs Rs vn Ri vn vo Rf 0 544 545 Reorganizamos as equações 544 e 545 de modo que a solução pelo método de Cramer fique aparente a A Ro 1 Rf bvn a 1 Rf 1 Ro bvo 0 a 1 Rs 1 Ri 1 Rf bvn 1 Rf vo 1 Rs vs 546 547 Resolvendo para vo temos vo A Ro Rf Rs Rf a1 A Ro Ri b a Rs Ri 1b Ro Rf vs 548 Observe que a Equação 548 se reduz à Equação 510 quando Ro S 0 Ri S q e A S q Se a saída do amplificador inversor mostrado na Figura 519 fosse conectada a uma resis tência de carga de RL ohms a relação entre vo e vs se tornaria vo A Ro Rf Rs Rf a1 A Ro Ri Ro RL b a1 Ro RL b a1 Rs Ri b Ro Rf vs 549 Análise de um circuito amplificador não inversor usando o modelo mais realista de amp op Quando usamos o circuito equivalente mostrado na Figura 518 para analisar um amplificador não inversor obte mos o circuito representado na Figura 520 Aqui a fonte de tensão vg em série com a resistência Rg representa a fonte de sinal O resistor RL modela a carga do amplificador Nossa análise consiste em deduzir uma expressão para vo em fun ção de vg Fazemos isso escrevendo as equações de tensão de nó para os nós a e b No nó a vn Rs vn vg Rg Ri vn vo Rf 0 550 e no nó b Figura 520 Circuito amplificador não inversor 1 2 1 2 1 2 1 2 vo 1 2 1 2 vn vp vg Avp 2 vn b a Rf Ro RL Ri Rs Rg Figura 519 Circuito amplificador inversor 1 2 1 2 1 2 vo 1 2 1 2 vn 1 2 vp vs Avp 2 vn b a Rf Ro Ri Rs Capítulo 5 O amplificador operacional 175 Book Nilsson 1indb 175 290116 1210 vo vn Rf vo RL vo Avp vn Ro 0 551 Como a corrente em Rg é a mesma que em Ri temos vp vg Rg vn vg Ri Rg 552 Usamos a Equação 552 para eliminar vp da Equação 551 o que resulta em um par de equa ções que envolvem as tensões desconhecidas vn e vo Essa manipulação algébrica resulta em vg c ARi RoRi Rgd vnc ARi RoRi Rg 1 Rf d voa 1 Rf 1 Ro 1 RL b vna 1 Rs 1 Rg Ri 1 Rf b voa 1 Rf b vga 1 Rg Ri b 553 554 Resolvendo para vo temos onde Kr Rs Rg Ri Rf Rs RL Rf Rs Rf Rg RgRs RiRL vo Rf Rs RsRoARivg Rs Ro A 1 Kr Rf Rs Rf RsRi Rg ARi 555 em que onde Kr Rs Rg Ri Rf Rs RL Rf Rs Rf Rg RgRs RiRL vo Rf Rs RsRoARivg Rs Ro A 1 Kr Rf Rs Rf RsRi Rg ARi Observe que a Equação 555 se reduz à Equação 518 quando Ro S 0 A S q e Ri S q Para o amplificador não inversor e não carregado RL q a Equação 555 é simplificada para vo Rf Rs RsRo ARivg Rs Ro A a1 Rs Rg Ri b 1 ARi Rf Rs Rf RsRi Rg 556 Observe que na dedução da Equação 556 a partir da Equação 555 Kr reduzse a Rs RgRi Objetivo 3 Entender o modelo mais realista para um amp op 56 O amplificador inversor no circuito mostrado tem uma resistência de entrada de 500 kV uma resistência de saída de 5 kV e um ganho de malha aberta de 300000 Admita que o amplificador esteja operando em sua região linear a Calcule o ganho de tensão vovg do amplificador b Calcule o valor de vn em microvolts quando vg 1 V c Calcule a resistência vista pela fonte de sinal vg d Repita ac usando o modelo ideal para o amp op Resposta a 199985 b 69995 mV c 500035 V d 200 mV 5 kV NOTA tente resolver também os problemas 544 e 548 apresentados no final deste capítulo 20 V 220 V vo 1 2 vg 1 2 2 1 5 kV 100 kV proBleMa para aValiaÇÃo Circuitos elétricos 176 Book Nilsson 1indb 176 290116 1210 perspectiva prática extensômetros Variações no formato de sólidos elásticos são de grande importância para engenheiros que projetam estruturas submeti das a torção estiramento ou curvatura quando sujeitas a forças externas Uma aeronave é o exemplo perfeito de uma estrutura em que os engenheiros devem levar em consideração a deformação elástica A aplicação inteligente de extensômetros requer informações sobre a estrutura física do medidor métodos de acoplamento do medidor à superfície da estrutura e a orientação do medidor em relação às forças exercidas sobre a estrutura Aqui nosso propósito é demonstrar que as medições de um extensômetro são importantes em aplicações de engenharia e que conhecer bem os circuitos elétricos está intimamente rela cionado à sua utilização adequada O circuito mostrado na Figura 521 apresenta um modo de medir a variação de resistência experimentada por extensôme tros em aplicações como a descrita no início deste capítulo Como veremos esse circuito é o conhecido amplificador diferencial sendo que a ponte do extensômetro provê as duas tensões cuja diferença é amplificada O par de extensômetros alongado quando a barra é curvada tem valores de resistência de R DR na ponte que alimenta o amplificador diferencial ao passo que o par de extensômetros encurtado tem valores de resistência de R DR Analisaremos esse circuito para determinar a relação entre a tensão de saída vo e a variação na resistência DR experimentada pelos extensômetros Para começar admita que o amp op seja ideal Escrevendo as equações da lei das correntes de Kirchhoff para as entradas inversora e não inversora do amp op vemos que vref vp R DR vp R DR vp Rf vref vn R DR vn R DR vn vo Rf 557 558 Agora reorganize a Equação 558 para obter uma expressão para a tensão no terminal não inversor do amp op vp vref R DRa 1 R DR 1 R DR 1 Rf b 559 Como sempre admitiremos que o amp op esteja operando em sua região linear portanto vp vn e a expressão para vp na Equação 559 também deve ser a expressão para vn Assim podemos substituir vn na equação pelo lado direito da Equação 559 e resolver para vo Após algumas manipulações algébricas vo Rf 2DR R2 DR2vref 560 Figura 521 Circuito amp op usado para medir a variação na resistência de um extensômetro 2 1 1 2 vo vref 2VCC 1VCC Rf Rf 1 2 R 2 DR R 1 DR R 1 DR R 2 DR Capítulo 5 O amplificador operacional 177 Book Nilsson 1indb 177 290116 1210 Pelo fato de que a variação da resistência dos extensômetros é muito pequena DR 2 V R 2 então R 22DR 2 L R 2 e a Equação 560 se torna vo L Rf R 2dvref 561 em que d DRR NOTA avalie sua compreensão desta perspectiva prática tentando resolver o Problema 549 apresentado no final deste capítulo Resumo A equação que define a característica de trans ferência de tensão de um amp op ideal é vo µ VCC Avp vn 6 VCC Avp vn VCC Avp vn VCC VCC Avp vn 7 VCC em que A é uma constante de proporcionalidade conhecida como o ganho de malha aberta e VCC representa as tensões de alimentação Seção 52 Uma realimentação da saída de um amp op para sua entrada inversora mantém o amp op em sua região linear de operação onde vo Avp vn Seção 52 Existem certas restrições de tensão quando o amp op está operando em sua região linear em função dos valores típicos de VCC e A No caso ideal em que admitimos que A seja infinito a condição para a tensão é vp vn Seção 52 A restrição de corrente caracteriza ainda mais o modelo de amp op ideal porque a resistência de entrada ideal do circuito integrado do amp op é infinita Essa restrição é dada por ip in 0 Seção 52 Neste capítulo estudamos um modelo simples de amp op e também um mais realista As dife renças entre ambos são as seguintes Modelo simplificado Modelo mais realista Resistência de entrada infinita Resistência de entrada finita Ganho de malha aberta infinito Ganho de malha aberta finito Resistência de saída nula Resistência de saída não nula Seção 57 Um amplificador inversor é um circuito contendo um amp op que produz uma tensão de saída que é uma réplica invertida da tensão de entrada multiplicada por um fator de escala Seção 53 Um amplificador somador é um circuito con tendo um amp op que produz uma tensão de saída que é a soma das tensões de entrada mul tiplicada por fatores de escala Seção 54 Um amplificador não inversor é um circuito contendo um amp op que produz uma tensão de saída que é uma réplica da tensão de entrada multiplicada por um fator de escala Seção 55 Um amplificador diferencial é um circuito con tendo um amp op que produz uma tensão de saída que é uma réplica da diferença da tensão de entrada multiplicada por um fator de escala As duas tensões de entrada de um amplificador diferencial podem ser usadas para calcular as ten sões de entrada de modo comum e de modo dife rencial vmc e vmd A tensão de saída do amplifica dor diferencial pode ser escrita na forma vo Amcvmc Amdvmd em que Amc é o ganho de modo comum e Amd é o ganho de modo diferencial Seção 56 Em um amplificador diferencial ideal Amc 0 Para medir quão próximo do ideal está um amplificador diferencial usamos o fator de rejeição de modo comum FRMC Amd Amc Um amplificador diferencial ideal tem um FRMC infinito Seção 57 Circuitos elétricos 178 Book Nilsson 1indb 178 290116 1210 Capitulo 5 e O amplificador operacional Problemas Secoes 5152 51 Oamp op no circuito da Figura P51 é ideal c Calcule v se v 1Vev25 V wee a Identifique os cinco terminais do amp op d Calcule v se v 25 Ve v1V com seus respectivos nomes e Calcule v se v 25 Ve v 0V b Qual restrigao do amp oP ideal deter f Se v 2 V especifique a faixa de varia mina 0 valor de i Qual é esse valor cao de v tal que o amplificador nao se c Qual restrigéo do amp op ideal determina sature o valor de v U Qual é esse valor Figura P54 d Calcule v 40 kO Figura P51 12k 5 KO 2kO T vs w 10 kO 15V 2Vv 36 kO Up 55 Determine i no circuito da Figura P55 se o Pspice amp op for ideal Multisim 52 a Substitua a fonte de 2 V no circuito da Figura P55 Figura P51 e calcule v para cada um dos 10kO seguintes valores de fonte 6 V 35 V lg b Especifique a faixa de valores de fonte de tensdo que nao causara a saturacao do 6V amp op osmat 25kO25kO 53 Determine i em miliampéres no circuito Pspice da Figura P53 Multisim Figura P53 i 56 Oamp op no circuito da Figura P56 é ideal 6kO Pspice Calcule Multisim 3 kO rm ai bv c VU d i 10kQ Figura P56 5 v 20V 60 kO 30 kO oko ipZsko 8kQ Nels V S40kO a i 54 Oamp op no circuito da Figura P54 é ideal Cy mV TbYv 220 kO Pspice Pantene a Calcule v se v15 Ve v0V b Calcule v se v 05 Ve v 0V 57 Um voltímetro com um fundo de escala de 10 V é usado para medir a tensão de saída no circuito da Figura P57 Qual é a leitura do voltímetro Admita que o amp op seja ideal Figura P57 2 1 2 vo vm 1 2 1 35 mA 22 MV 10 V 210 V Seção 53 58 a Projete um amplificador inversor usando um amp op ideal cujo ganho é 4 Use um amp op ideal um resistor de 30 kV no caminho de realimentação e fontes de ali mentação de 12 V b Utilizando o projeto de a determine a faixa de tensões de entrada que vai man ter o amp op em sua região de operação linear c Suponhamos que você queira amplificar um sinal de entrada de 2 V usando o cir cuito que projetou em a com um resis tor de realimentação variável Qual é o maior valor de resistência de realimenta ção que mantém o amp op em sua região de operação linear Usando esse valor de resistor qual é o novo ganho do amplifi cador inversor 59 a Projete um amplificador inversor usando um amp op ideal cujo ganho é 25 Use um conjunto de resistores idênticos do Apên dice H b Se quiser amplificar sinais entre 2 V e 3 V usando o circuito que projetou em a quais são os menores valores de fonte de alimentação que você pode usar 510 a O amp op no circuito mostrado na Figura P510 é ideal O resistor ajustável RD tem um valor máximo de 100 kV e o valor de a está restrito à faixa de 02 a 1 Cal cule a faixa de vo se vg 40 mV b Se a não sofrer restrições para qual valor de a o amp op estará saturado Figura P510 10 kV 7 V 27 V vo 1 2 vg 1 2 2 1 2 kV 50 kV aRD RD 511 O amp op no circuito da Figura P511 é ideal a Determine a faixa de valores de s para que o amp op não se sature b Determine io em microampères quando s 0272 Figura P511 50 kV s50 kV 10 kV 5 V 25 V vo 1 2 250 mV 1 2 2 1 16 kV 12 kV 64 kV io Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 180 Book Nilsson 1indb 180 290116 1210 Seção 54 512 O amp op da Figura P512 é ideal a Qual é a configuração de circuito mos trada nessa figura b Determine vo se va 1 V vb 15 V e vc 4 V c As tensões va e vc permanecem em 1 V e 4 V respectivamente Quais são os limi tes para vb se o amp op operar dentro de sua região linear Figura P512 10 V 210 V vo 1 2 vc 1 2 1 vb 2 1 va 2 2 1 33 kV 44 kV 275 kV 80 kV 220 kV 513 No circuito da Figura 512 o amp op é ideal Dado que Ra 4 kV Rb 5 kV Rc 20 kV va 200 mV vb 150 mV vc 400 mV e VCC 6 V especifique a faixa de variação de Rf para a qual o amp op opere dentro de sua região linear 514 a O amp op da Figura P514 é ideal Deter mine vo se va 3 V vb 9 V vc 5 V e vd 6 V b Admita que va vb e vd continuem com os valores dados em a Especifique a faixa de variação de vc tal que o amp op funcione dentro de sua região linear Figura P514 10 V 210 V vo 1 2 vc 1 2 1 vb 2 1 va 2 2 1 16 kV 60 kV 20 kV 36 kV 180 kV 270 kV 1 2 vd 515 O resistor de realimentação de 180 kV no cir cuito da Figura P514 é substituído por um resistor variável Rf As tensões va vd têm os mesmos valores dados no Problema 514a a Qual valor de Rf causará a saturação do amp op Observe que 0 Rf q b Quando Rf tem o valor determinado em a qual é a corrente em microampères que entra no terminal de saída do amp op 516 a Projete um amplificador somador inversor usando um resistor de realimentação de 120 kV de modo que vo 8va 5vb 12vc Use fontes de alimentação de 15 V b Suponha que va 2 V e vc 1 V Qual faixa de valores para vb vai manter o amp op em sua região de operação linear 517 Projete um amplificador somador inversor de modo que vo 8va 4vb 10vc 6vd Comece escolhendo um resistor de realimen tação Rf do Apêndice H A seguir esco lha resistores individuais do Apêndice H ou construa redes de resistores dentre os valores listados no Apêndice H para satisfazer aos especificados para Ra Rb Rc e Rd Desenhe o diagrama de seu circuito final Seção 55 518 O amp op no circuito da Figura P518 é ideal a Qual é a configuração do circuito amp op b Calcule vo Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Capítulo 5 O amplificador operacional 181 Book Nilsson 1indb 181 290116 1210 Figura P518 2 1 16 V 1 2 vo 216 V 1 2 25 kV 150 kV 2 V 519 O amp op no circuito da Figura P519 é ideal a Qual é a configuração desse circuito amp op b Determine vo em termos de vs c Determine a faixa de valores para vs tal que vo não sature e o amp op permaneça em sua região linear de operação Figura P519 2 1 12 V 215 V 7 kV 32 kV 56 kV 1 2 vs 8 kV 1 2 vo 12 kV 520 O amp op no circuito mostrado na Figura P520 é ideal a Calcule vo quando vg 4 V b Especifique a faixa de valores de vg de modo que o amp op opere de modo linear c Admita que vg seja igual a 2 V e que o resistor de 63 kV seja substituído por um resistor variável Qual é o valor do resis tor variável que provocará a saturação do amp op Figura P520 2 1 12 V 212 V vg 1 2 30 kV 63 kV 12 kV 68 kV 1 2 vo 27 kV 521 a Projete um amplificador não inversor veja Figura 513 com um ganho de 6 utilizando um resistor de realimentação de 75 kV Desenhe diagrama de seu circuito final b Suponha que você queira amplificar sinais de entrada na faixa 25 V vg 15 V Quais são os valores mínimos das fontes de alimentação que vão manter o amp op em sua região linear de operação 522 a Projete um amplificador não inversor veja a Figura 513 com um ganho de 25 Uti lize resistências do Apêndice H Pode ser necessário combinar resistores em série e em paralelo para obter a resistência dese jada Desenhe seu circuito final b Se você usar fontes de alimentação de 16 V para o amp op qual faixa de valores de entrada permitirá que o amp op se man tenha em sua região linear de operação 523 O amp op no circuito da Figura P523 é ideal a Qual é a configuração desse circuito amp op b Determine vo em termos de vs c Determine a faixa de valores para vs tal que vo não sature e o amp op permaneça em sua região linear de operação Figura P523 2 1 10 V 210 V 24 kV 96 kV 16 kV 24 kV 1 2 1 2 5 V vo vs 10 kV 1 2 Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 182 Book Nilsson 1indb 182 290116 1210 524 O circuito da Figura P524 é um amplificador somador não inversor Admita que o amp op seja ideal Projete o circuito de modo que vo va 2vb 3vc a Especifique os valores de Ra e Rc b Calcule ia ib e ic em microampères quando va 07 V vb 04 V e vc 11 V Figura P524 5 V 25 V 1 vb 2 1 va 2 vc 1 2 2 1 1 2 vo 47 kV Ra 20 kV Rb 5 15 kV Rc 100 kV ia ib ic Seção 56 525 a Use o princípio da superposição para dedu zir a Equação 522 b Deduza as equações 523 e 524 526 O amp op no circuito da Figura P526 é ideal a Qual é a configuração desse circuito amp op b Determine uma expressão para a ten são de saída vo em termos da tensão de entrada va c Suponha que va 2 V Determine o valor de Rf que levará o amp op a saturar Figura P526 2 1 10 V 210 V 5 kV 8 kV Rf 20 kV 1 2 5 V 1 2 va 2 kV 2 vo 27 kV 1 527 Os resistores no amplificador diferencial mos trado na Figura 515 são Ra 24 kV Rb 75 kV Rc 130 kV e Rd 120 kV Os sinais de entrada de va e vb são 8 e 5 V respectivamente e VCC 20 V a Determine vo b Qual é a resistência vista pela fonte de sinal va c Qual é a resistência vista pela fonte de sinal vb 528 O resistor Rf no circuito da Figura P528 é ajustado até que o amp op ideal se sature Especifique Rf em quiloohms Figura P528 9 V 29 V 2 1 16 kV 75 kV 15 kV 56 kV Rf 18 V 2 1 529 Projete um amplificador diferencial Figura 515 que obedeça ao seguinte critério vo 3vb 4va A resistência vista pela fonte de sinal vb é 470 kV e a resistência vista pela fonte de sinal va é 22 kV quando a tensão de saída vo é igual a zero Especifique os valo res de Ra Rb Rc e Rd usando resistores indi viduais ou combinações deles a partir do Apêndice H Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Pspice Multisim Problema de Projeto Capítulo 5 O amplificador operacional 183 Book Nilsson 1indb 183 290116 1210 530 O circuito amp op aditivosubtrativo mostrado na Figura P530 é ideal a Determine vo quando va 1 V vb 2 V vc 3 V e vd 4 V b Se va vb e vd forem mantidas constan tes quais valores de vc não saturarão o amp op Figura P530 20 V 220 V vb 2 1 vo 1 2 47 kV 20 kV va 18 kV 20 kV vd 20 kV vc 30 kV 180 kV 531 Selecione os valores de Ra e Rf no circuito da Figura P531 de modo que vo 8000ib ia Use resistores individuais ou combinações de resistores do Apêndice H O amp op é ideal Figura P531 vo 1 2 15 V 215 V 2 1 Rf Rb ia ib 2 kV 532 O amp op no circuito da Figura P532 é ideal a Desenhe um gráfico de vo versus a quando Rf 4R1 e vg 2 V Use incrementos de 01 e observe por hipótese que 0 a 10 b Escreva uma equação para a reta que você obteve no gráfico de a Qual é a relação entre a inclinação da reta e sua interseção com o eixo vo e os valores de vg e a razão Rf R1 c Usando os resultados de b escolha valores de vg e da razão Rf R1 tais que vo 6a 4 Figura P532 10 V 210 V 2 1 R1 Rf vg 1 2 RL vo 1 2 Rg aRg 533 No amplificador diferencial mostrado na Figura P533 calcule a o ganho de modo diferencial b o ganho de modo comum e c o FRMC Figura P533 2 1 1 kV 10 V 1 2 vo 210 V 1 kV 24 kV 25 kV vb va 1 2 1 2 534 No amplificador diferencial mostrado na Figura P534 qual é a faixa de valores de Rx que resulta em um FRMC 1500 Figura P534 2 1 3 kV 10 V 1 2 vo 210 V Rx 6 kV 6 kV vb 1 2 va 1 2 Pspice Multisim Pspice Multisim Problema de Projeto Circuitos elétricos 184 Book Nilsson 1indb 184 290116 1210 Capitulo 5 e O amplificador operacional Secoes 5156 535 A tensao v mostrada na Figura P535a é 537 a Mostre que quando o amp op ideal da Pspice aplicada ao amplificador inversor da Figura Figura P537 esta operando em sua regiao Mulisim P535b Desenhe um grafico de v versus 1 linear supondo que o amp op seja ideal 3U Figura P535 fa RS Ys b Mostre que o amp op ideal satura quando 2V etc R4Vcc 2g R 3U 4 R 10 1D 6 1s Figura P537 R a R R 75 kO pe ie 8V Xs 0 15kO 538 Suponha que 0 amp op ideal no circuito apre sentado na Figura P538 esteja operando em sua regiao linear b giao h a Mostre que v R RRv 536 O sinal v no circuito mostrado na Figura b O que acontece se R 0oe R 0 Pspice 536 é descrito pelas seguintes equag6es oe Multisim v 010 c Explique por que esse circuito é denomi 0 nado um seguidor de tensdo quando R uv 4 cos74t V0 t 00 g coe R 0 Desenhe um grafico de uv versus t supondo Figura P538 que o amp op Seja ideal R Figura P536 20k 6k Li Rs R 18 kQO UV 10V Us 54kQ Ne Soko Vv Circuitos elétricos 539 Os dois amp ops no circuito da Figura P539 541 Os amp ops no circuito da Figura P541 sao Pspice Ao ideais Calcule v U Pspice ideas Multisim Multisim Figura P539 a Determine i SV I5v b Determine o valor da tensao da fonte a UI esquerda para a qual i 0 ew 5000 Figura P541 47 kO 220 kQ 1I5V 2kO 10V 10 kO i 33 kO vo S5KO aia i 1kO 400 O 6V 6V Ras Vv C50 mv 1kQO 540 Suponha que oamp op ideal no circuito da Figura 542 O circuito no interior da 4rea sombreada da Pspice P540 esteja operando em sua regiao linear Pspice Figura PS42 uma fonte de corrente constante Multisim ne Mulisimn para uma faixa limitada de valores de R a Calcule a poténcia fornecida ao resistor L de 16 kQ a Determine o valor de i para R 4kQ b Repita a retirando o amp op do circuito b Determine o valor maximo de R para o isto écom o resistor de 16 kQ ligado em qual i tenha o valor definido em a série com a fonte de tens4o e o resistor de c Suponha que R 16k Explique o fun 48 kQ cionamento do circuito Vocé pode admi c Determine a razao entre a poténcia deter tir que i i 0 sob todas as condides minada em a e a encontrada em b de operacao d A insercgéo do amp op entre a fonte e a d Desenhe um grafico de i versus R para carga cumpre alguma finalidade util O0R 16k Explique Figura P542 Figura P540 50 kO 20V PS bere QDiilge 48 kO 8V 4kO 320 mV e Le Es Fonte Carga Secao 57 543 Deduza a Equagcao 560 545 a Determine o circuito equivalente de Théve 544 Repita o Problema para avaliacdo 56 consi wean nin em relagao aos terminais de saida ab ween derando que o amplificador inversor esteja para o amplificador inversor da Figura P545 sn carregado com um resistor de 500 2 O valor da fonte de sinal cc 6 880 mV O amp op tem uma resistência de entrada de 500 kV uma resistência de saída de 2 kV e um ganho de malha aberta de 100000 b Qual é a resistência de saída do amplifi cador inversor c Qual é a resistência em ohms vista pela fonte vs quando a carga nos terminais ab é 330 V Figura P545 15 V 215 V vo 1 2 vs 1 2 2 1 a 16 kV 24 kV b 546 Repita o Problema 545 admitindo um amp op ideal 547 Suponha que a resistência de entrada do amp op da Figura P547 seja infinita e que sua resis tência de saída seja igual a zero a Determine vo como uma função de vg e o ganho de malha aberta A b Qual é o valor de vo se vg 1 V e A 150 c Qual é o valor de vo se vg 1 V e A q d Qual deve ser o valor de A para que vo tenha 99 de seu valor em c Figura P547 2 kV 6 V 26 V vo 1 2 vg 1 2 2 1 10 kV 548 O amp op no circuito amplificador não inver sor da Figura P548 tem uma resistência de entrada de 560 kV uma resistência de saída de 8 kV e um ganho de malha aberta de 50000 Suponha que o amp op esteja ope rando em sua região linear a Calcule o ganho de tensão vovg b Determine as tensões de entrada inver sora e não inversora vn e vp em mili volts se vg 1 V c Calcule a diferença vp vn em micro volts quando vg 1 V d Determine a corrente em picoampères da fonte de tensão vg quando vg 1 V e Repita ad admitindo um amp op ideal Figura P548 2 1 16 kV 15 V 1 2 vo 215 V 20 kV 240 kV 200 kV vg 1 2 Seções 5157 549 Suponha que o valor da resistência dos exten sômetros na ponte da Figura 521 seja 120 V 1 A fonte de alimentação do amp op for nece 15 V e a tensão de referência vref é o valor positivo da fonte de alimentação a Calcule o valor de Rf de modo que quando o extensômetro alcançar seu comprimento máximo a tensão de saída será 5 V b Suponha que possamos medir com pre cisão variações de 50 mV na tensão de saída Qual é a variação na resistência em miliohms do extensômetro que pode ser detectada 550 a Para o circuito apresentado na Figura P550 mostre que se DR V R a tensão de saída do amp op será aproximadamente Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Perspectiva Prática Perspectiva Prática Pspice Multisim Capítulo 5 O amplificador operacional 187 Book Nilsson 1indb 187 290116 1210 vo L Rf R2 R Rf R 2RfDRvin b Determine vo se Rf 470 kV R 10 kV DR 95 V e vin 15 V c Determine o valor real de vo em b Figura P550 2 1 1 2 vo vin Rf Rf 1 2 R 1 DR R R R 551 a Se o erro percentual for definido como erro c valor aproximado valor real 1d 100 mostre que o erro percentual na aproxi mação de vo no Problema 550 é erro DR R R Rf R 2Rf 100 b Calcule o erro percentual de vo para o Problema 550 552 a Suponha que o erro percentual na aproxi mação de vo no circuito da Figura P550 não deva exceder 1 Qual é a maior varia ção percentual em R que pode ser tolerada 553 Suponha que o resistor no ramo variável do circuito da ponte da Figura P550 seja R DR em vez de R DR a Qual é a expressão para vo se DR V R b Qual é a expressão para o erro percen tual de vo em função de R Rf e DR c Suponha que a resistência no braço vari ável do circuito da ponte da Figura P550 seja 9810 V e que os valores de R Rf e vin sejam iguais aos do Problema 550b Qual é o valor aproximado de vo d Qual é o erro percentual na aproximação de vo quando a resistência no braço vari ável é 9810 V Perspectiva Prática Pspice Multisim Perspectiva Prática Pspice Multisim Perspectiva Prática Pspice Multisim Circuitos elétricos 188 Book Nilsson 1indb 188 290116 1210 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 61 Indutor 62 Capacitor 63 Combinações de indutância e capacitância em série e em paralelo 64 Indutância mútua 65 Um exame mais detalhado da indutância mútua Indutância capacitância e indutância mútua 6 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Conhecer e saber usar as equações para tensão corrente potência e energia em um indutor entender como um indutor se comporta na presença de corrente constante e o requisito de que a corrente deve ser contínua em um indutor 2 Conhecer e saber usar as equações para tensão corrente potência e energia em um capacitor entender como um capacitor se comporta na presença de tensão constante e o requisito de que a tensão deve ser contínua em um capacitor 3 Saber combinar indutores com condições iniciais diferentes em série e em paralelo para formar um único indutor equivalente com uma única condição inicial saber combinar capacitores com condições iniciais diferentes em série e em paralelo para formar um único capacitor equivalente com uma única condição inicial 4 Entender o conceito básico de indutância mútua e saber escrever equações de corrente de malha para um circuito que contenha enrolamentos acoplados magneticamente usando de maneira correta a convenção do ponto Iniciaremos este capítulo apresentando os dois últimos elementos ideais de circuito mencionados no Ca pítulo 2 a saber indutores e capacitores Saiba que as técnicas de análise de circuitos apresentadas nos capítulos 3 e 4 aplicamse a circuitos que contêm indutores e capacitores Assim tão logo você entenda o comportamento terminal desses elementos em termos de corrente e tensão poderá usar as leis de Kirchhoff para descrever quais quer interligações com os demais elementos básicos Como outros componentes indutores e capacitores são mais fáceis de descrever em termos de variáveis de circuito do que de variáveis eletromagnéticas Contudo antes de focalizarmos a descrição desses elementos do ponto de vista de circuitos é recomendável realizarmos uma breve revisão dos conceitos de campo a eles subjacentes Book Nilsson 1indb 189 290116 1210 Um indutor é um componente elétrico que se opõe a qualquer alteração na corrente elétrica É com posto de um condutor em espiral enrolado em um núcleo de suporte cujo material pode ser magnético ou não O comportamento dos indutores é baseado nos fenômenos associados a campos magnéticos A fonte do campo magnético são cargas em movimento ou corrente elétrica Se a corrente variar com o tempo o campo magnético variará com o tempo Um campo magnético que varia com o tempo induz uma tensão em qualquer condutor imerso no campo O parâmetro indutância relaciona a tensão induzida com a corrente Discutiremos essa relação quantitativa na Seção 61 Um capacitor é um componente elétrico que consiste em dois condutores separados por um material isolante ou dielétrico O capacitor é o único dispositivo além da bateria que pode armazenar carga elétrica O comportamento dos capacitores é baseado em fenômenos associados a campos elétricos A fonte do campo elétrico é a separação de cargas ou tensão Se a tensão variar com o tempo o campo elétrico variará com o tempo Um campo elétrico que varia com o tempo produz uma corrente de deslocamento no espaço onde existe o campo O parâmetro capacitância relaciona a corrente de deslocamento à tensão em que a cor rente de deslocamento é igual à corrente de condução nos terminais do capacitor Discutiremos essa relação quantitativa na Seção 62 Perspectiva prática telas touch capacitivas A perspectiva prática no Capítulo 3 mostrou como uma malha de resistores é usada para criar uma tela touch de toque para um telefone ou monitor de computador Mas as telas de toque resistivo têm algumas limitações a mais importante é que só podem processar um único toque em qualquer instante no tempo veja o Problema 375 Por exemplo uma tela sensível ao toque não pode processar o gesto de pinch pinça utilizado por muitos dispositivos para ampliar ou diminuir a imagem na tela Telas multitouch múltiplos toques usam um componente diferente no interior de uma malha abaixo da tela os capacito res Como você está prestes a descobrir neste capítulo um capacitor é um elemento de circuito cujas características terminais são determinadas por campos elétricos Ao tocar uma tela touch capacitiva você produz uma alteração no valor de um capacitor provocando uma mudança de tensão Após apresentarmos o comportamento básico de capacitores e o modo como eles combi nam em série e em paralelo vamos mostrar dois modelos possíveis para uma tela de múltiplos toques utilizando uma malha de capacitores Esses projetos são apresentados no exemplo da Perspectiva prática no final deste capítulo A Seção 63 descreve técnicas utilizadas para simplificar circuitos com combinações de capacitores ou indutores em série ou em paralelo A energia pode ser armazenada tanto no campo magnético quanto no elétrico Consequentemente não é nenhuma surpresa saber que indutores e capacitores são capazes de armazenar energia Por exemplo a energia pode ser armazenada em um indutor e então fornecida para uma vela de ignição Ela pode ser armazenada em um capacitor e então fornecida para acender um flash de máquina fotográfica Em indutores e capacitores ideais a quantidade de energia por eles fornecida tem de ser igual à energia neles armazenada Como indutores e capacitores não podem gerar energia são classificados como elementos passivos Nas seções 64 e 65 examinaremos a situação em que dois circuitos estão ligados por um campo magnético e por isso são denominados magneticamente acoplados Nesse caso a tensão induzida no segundo circuito pode ser relacionada à cor rente que varia com o tempo no primeiro circuito por um parâmetro conhecido como indutância mútua O significado prático do acoplamento magnético revelase ao estudarmos as relações entre corrente tensão potência e vários novos parâmetros específicos da indutância mútua Aqui apresentaremos essas relações nos capítulos 9 e 10 descreveremos sua utilidade em um dispositivo denominado transformador Circuitos elétricos 190 Book Nilsson 1indb 190 290116 1210 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua ae A Co 7 Es A 3 Yow bE gs an dl cobalt88Shutterstock 61 Indutor A indutancia é 0 parametro de circuito utilizado para descrever um indutor Simbolizada pela letra L é medida em henrys H e representada graficamente como uma espiral para lembrar que a indutancia é resultante de um condutor imerso em um campo magnético A Figura 61a mostra um indutor Apontar a direcao de referéncia da corrente na direcéo da queda de tensao nos terminais do indutor como mostra a Figura 61b resulta em di v Lie 61 Aequagao vi em que uv é medida em volts L em henrys i em ampéres e f do indutor em segundos A Equacao 61 reflete a convengao passiva mos trada na Figura 61b isto é a referéncia de corrente esta na Figura 61 een einen tb Atbuigdo J diregado da queda de tensao no indutor Se a referéncia de cor tensdo e corrente de referéncia ao indutor rente estiver na direcdo da elevagao de tensdo a Equacao 61 conforme a convencdo passiva é escrita com um sinal de menos L Observe pela Equacao 61 que a tensao nos terminais de or um indutor é proporcional a variacaéo temporal da corrente a no indutor Aqui cabem duas observag6es importantes A pri L meira é que se a corrente for constante a tensdo no indutor raeeetemn ideal sera igual a zero Assim o indutor comportase como um l curtocircuito na presenga de uma corrente constante ou cc A b segunda é que a corrente nao pode variar instantaneamente em um indutor isto é a corrente nfo pode variar por uma Circuitos elétricos quantidade finita em tempo zero Segundo a Equacao 61 essa variacgdo exigiria uma tensao infinita e tensGes infinitas nao sdo possiveis Por exemplo quando alguém desliga o interrup tor em um circuito indutivo de um sistema real inicialmente a corrente continua a fluir no ar pelo interruptor um fendmeno denominado centelhamento A centelha que passa pelo inter ruptor evita que a corrente caia a zero instantaneamente Circuitos interruptores indutivos sao um problema sério de engenharia porque o centelhamento e os surtos de tensdo associados tém de ser controlados para evitar danos ao equipamento O primeiro passo para entender a natureza desse problema é dominar o material introdut6ério apresentado neste capitulo e nos dois a seguir O Exemplo 61 ilustra a aplicagaéo da Equagao 61 a um circuito simples EXEMPLO 61 Determinacao da tensao dada a corrente nos terminais de um indutor A fonte independente de corrente no circuito mostrado na Figura 62 gera corrente nula parat 0e um pulso 10te A para t 0 Figura 62 Circuito para o Exemplo 61 a Faca um grafico da forma de onda da corrente i0 t0 b Em qual instante de tempo a corrente é maxima i 1 v 3100 mH c Determine a expressdo da tensao nos terminais do indutor de 100 mH em fungao do tempo i10teA t0 d Faca um grafico da forma de onda da tensao e A tensfo e a corrente sio maximas ao mesmo tempo f Em qual instante de tempo a tens4o muda de polaridade g Ha alguma vez uma variacdo instantanea de tensdo no indutor Se houver em que instante ela ocorre Figura 63 Forma de onda da corrente para o Exemplo 61 Solugao iA a A Figura 63 mostra a forma de onda da corrente 0736 b b didt 10Ste e 10e1 51 As didt 0 quando t és Veja a Figura 63 1s 0 c vLdildt 0110e1 5t e 1 St Vt 02 00000 Figura 64 Forma de onda da tensao para o Exemplo 61 d A Figura 64 mostra a forma de onda da tensao v V e Nao a tensao é proporcional a didt nao a i Lo f Em 02 so que corresponde ao momento em que didt esta passando por zero e mudando de sinal g Sim em t 0 Observe que a tensdo pode variar ts instantaneamente nos terminais de um indutor 0 02 06 s Corrente em um indutor em termos da tensao no indutor A Equagao 61 expressa a tensAo nos terminais de um indutor em funcAo da corrente no indutor E também desejavel ser capaz de expressar a corrente em funcio da tensdo Para determinar i em funcao de v comecamos multiplicando ambos os lados da Equagao 61 por um tempo diferencial dt Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua di vdt L dt 62 4 62 Multiplicar a taxa de variagdo de i em relacgdo a por uma variacao diferencial no tempo gera uma variagao diferencial em i portanto escrevemos a Equacao 62 como vdtL di 63 Em seguida integramos ambos os lados da EquacAo 63 Por conveniéncia trocamos os dois lados da equagéo e escrevemos it t Lf dx v dt 64 ito fo Observe que usamos x e 7 como as variaveis de integracdo ao passo que i e t tornamse limites nas integrais Entao pela Equagao 64 1 t i var ito 65 Aequagio t ivdo YZ yk indutor em que it a corrente correspondente a fe if o valor da corrente do indutor quando ini ciamos a integragdo a saber em f Em muitas aplicagoes praticas f igual a zero e a Equacao 65 tornase 1 t it if vdr i0 66 L Jo As equacgoes 61 e 65 fornecem a relacdo entre a tensdo e a corrente nos terminais de um indutor A Equacao 61 expressa a tensdo em funcao da corrente ao passo que a Equagao 65 expressa a corrente em funcdo da tensao Em ambas as equagoes a diregao de referéncia para a corrente esta na diregdo da queda de tensao nos terminais Observe que if tem o proprio sinal algébrico Se a diregao da corrente inicial for a mesma da direcao de referéncia para i ela sera uma quantidade positiva Se a corrente inicial estiver na diregdo oposta ela sera uma quantidade negativa O Exemplo 62 ilustra a aplicagao da Equagao 65 EXEMPLO 62 Determinagao da corrente dada a tensao nos terminais de um indutor O pulso de tensdo aplicado ao indutor de 100 mH mos Figura 65 Circuito para o Exemplo 62 trado na Figura 65 é 0 para t 0 e é dado pela expressAo v0 t0 ut 201e1V v i 100 mH para 0 Admita também que i 0 para t 0 v20te Vv t0 a Faca um grafico da tenséo em funcao do tempo Figura 66 Forma de onda da tensao para o Exemplo 62 b Determine a expresso da corrente no indutor em fun Vv ao do tempo V c Faca um grafico da corrente em fungao do tempo 0736 Solugao ts a A tenséo em funcao do tempo é mostrada na Figura 66 0 01 02 03 s Observe no Exemplo 62 que i se aproxima de um valor constante de 2 A à medida que t aumenta Falaremos mais sobre esse resultado após discutirmos a energia armazenada em um indutor Potência e energia no indutor As relações entre potência e energia para um indutor podem ser deduzidas diretamente das relações entre corrente e tensão Se a referência de corrente estiver na direção da queda de tensão nos terminais do indutor a potência é p vi 67 Lembrese de que a potência está em watts a tensão em volts e a corrente em ampères Se expressarmos a tensão do indutor em função da corrente do indutor a Equação 67 será p Li di dt 68 Também podemos expressar a corrente em termos da tensão p v S 1 L t t0 v dt it0T 69 A Equação 68 é útil para expressar a energia armazenada no indutor Potência é a taxa de variação da energia em relação ao tempo portanto p dw dt Li di dt 610 Multiplicandose ambos os lados da Equação 610 por um tempo diferencial obtemos a relação diferencial dw Li di 611 Ambos os lados da Equação 611 são integrados subentendendose que a referência para energia nula corresponde a uma corrente nula no indutor Assim w 0 dx L i 0 y dy Potência u em um indutor b A corrente no indutor é 0 em t 0 Portanto a corrente para t 0 é 21 10te10t e10t A t 7 0 200S e10t 100 10t 1T P t 0 i 1 01 t 0 20te10tdt 0 c A Figura 67 mostra a corrente em função do tempo i A 1 2 01 0 02 03 t s Figura 67 Forma de onda da corrente para o Exemplo 62 Circuitos elétricos 194 Book Nilsson 1indb 194 290116 1210 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua 1 w ahi 612 q Energia em um indutor Como antes usamos simbolos diferentes para as varidveis de integracao a fim de evitar confusdo com os limites das integrais Na Equacao 612 a energia esta em joules a indutancia em henrys e a corrente em ampéres Para ilustrar a aplicagdo das equag6es 67 e 612 voltamos aos exemplos 61 e 62 por meio do Exemplo 63 EXEMPLO 63 Determinagao da corrente tensao poténcia e energia para um indutor a Faga graficos de i v p e w em funcdo do tempo para o Exemplo 61 Alinhe os graficos na vertical para permitir uma facil avaliacio do comporta Figura 68 Varidveis v pe w versus t para o Exemplo 61 mento de cada variavel imA b Em qual intervalo de tempo a energia esta sendo 800 armazenada no indutor c Em qual intervalo de tempo a energia esta sendo 400 extraida do indutor 8 ts d Qual é a maxima energia armazenada no indutor 0 02 04 06 08 10 e Calcule as integrais vV 02 10 p dt e p dt 0 02 05 e comente seus significados 1 8 0 02 5 08 10 f Repita ac para o Exemplo 62 g No Exemplo 62 por que ha uma corrente finita no 05 indutor 4 medida que a tensdo se aproxima de zero p mW Solugao 200 a Os graficos de i v p e w decorrem diretamente das expressOes para ie v obtidas no Exemplo 61 e 100 sao mostrados na Figura 68 Em particular p vi 1 s S ew L 0 OR 04 0608 10 b Uma inclinacdo positiva na curva de energia indica que energia esta sendo armazenada Portanto ela w mJ esta sendo armazenada no intervalo de tempo 0a 30 02 s Observe que isso corresponde ao intervalo em que p 0 15 c Uma inclinacao negativa na curva de energia indica ts que energia esta sendo extraida Assim ela esta sendo 0 02 04 06 08 10 extraida no intervalo de tempo 02 s a oo Observe que isso corresponde ao intervalo em que p 0 d Pela Equação 612 vemos que a energia está em um máximo quando a corrente está em um máximo um breve exame dos gráficos confirma isso Pelo Exemplo 61 a corrente máxima é 0736 A Portanto wmáx 2707 mJ e Pelo Exemplo 61 i 10te5t A e v e5t1 5t V Logo p vi 10te10t 50t2e10t W Assim 02e2 2707 mJ 50e t2e10t 10 2 10 c e10t 100 10t 1d f q 02 q 02 p dt 10c e10t 100 10t 1d q 02 02e2 2707 mJ 50e t2e10t 10 2 10c e10t 100 10t 1d f 02 0 02 0 p dt 10c e10t 100 10t 1d 02 0 Com base na definição de p a área sob a curva de p versus t representa a energia consumida no inter valo de integração Assim a integração da potência entre 0 e 02 s representa a energia armazenada no indutor durante esse intervalo de tempo A integral de p no intervalo 02 s q é a energia extra ída Observe que nesse intervalo de tempo toda a energia armazenada antes é removida isto é após a passagem do pico de corrente nenhuma energia está armazenada no indutor f Os gráficos de v i p e w decorrem diretamente das expressões para v e i dadas no Exemplo 62 e são mostrados na Figura 69 Observe que nesse caso a potência é sempre positiva e por conseguinte a energia é sempre armazenada durante o pulso de tensão g A aplicação do pulso de tensão faz com que a energia seja armazenada no indutor Como o indu tor é ideal essa energia não pode ser dissipada após a tensão cair a zero Portanto uma corrente persiste circulando no circuito É óbvio que um indutor sem perdas é um elemento ideal de circuito O modelo de circuito de indutores reais requer além do indutor um resistor Voltaremos a falar sobre isso 05 10 0 06 02 01 05 04 03 t s v V 10 20 i A 0 06 02 01 05 04 03 t s 300 600 p mW 0 06 02 01 05 04 03 t s 100 200 w mJ 0 06 02 01 05 04 03 t s Figura 69 Variáveis v i p e w versus t para o Exemplo 62 Circuitos elétricos 196 Book Nilsson 1indb 196 290116 1210 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Conhecer e saber usar as equacdes para tensao corrente poténcia e energia em um indutor 61 A fonte de corrente no circuito mostrado gera o pulso de corrente it 0 t0 it Se 300t 8e7 12001 A t0 Determine a v0 b o instante de tempo maior do que zero em que a tensdo UV passa por zero c a express4o para a poténcia fornecida ao indutor d o instante em que a poténcia fornecida ao indutor é maxima e a poténcia maxima f o instante em que a energia armazenada é maxima e g a maxima energia armazenada no indutor Resposta a 288 V b 154 ms c 768e7 0008 384e1500 3072e 740 W t 0 d 41105 ps i 1 v4 mH e 3272 W f 154 ms g 2857 mJ NOTA tente resolver também os problemas 62 e 68 apresentados no final deste capitulo 62 Capacitor A capacitancia é um parametro de circuito represen Figura 610 a Simbolo de circuito para um capacitor tado pela letra C medido em farads F e seu simbolo grafico b Atribuigao de tensao e corrente de sao duas placas condutoras curtas e paralelas como mostra a comer pas a conforme Figura 610a Como o farad é uma quantidade de capacitan cia extremamente grande na pratica os valores de capacitores Cc costumam encontrarse na faixa de picofarad pF a microfa I rad uF a O simbolo grafico para um capacitor nos faz lembrar que C a capacitancia ocorre sempre que condutores elétricos esti e verem separados por um material dielétrico ou isolante Essa v condicdo significa que a carga elétrica nao é conduzida atra i vés do capacitor Embora a aplicagéo de uma tensao aos ter b minais do capacitor nao o faga conduzir cargas através de seu dielétrico ela pode produzir pequenos deslocamentos de uma carga dentro dele A medida que a tensAo varia com o tempo esse deslocamento também varia com o tempo provocando a denominada corrente de deslocamento 1 Ndo RTa corrente de deslocamento se estabelece mesmo no vacuo onde nao ha cargas e portanto nao ha deslocamento de cargas Embora ela possa estar ligada a pequenos deslocamentos de cargas sua existéncia nao depende deles E um fendmeno essencialmente de campo e nao de circuitos Nos terminais a corrente de deslocamento é indistinguível de uma corrente de condução A corrente é proporcional à taxa de variação temporal da tensão no capacitor ou em termos matemáticos i C dv dt 613 em que i é medida em ampères C em farads v em volts e t em segundos A Equação 613 reflete a convenção passiva mostrada na Figura 610b isto é a referên cia de corrente está na direção da queda de tensão no capacitor Se a referência de corrente estiver na direção da elevação de tensão a Equação 613 será escrita com um sinal negativo Duas importantes observações decorrem da Equação 613 A primeira é que a tensão não pode variar instantaneamente nos terminais de um capacitor A Equação 613 indica que tal variação produziria uma corrente infinita o que é uma impossibilidade física A segunda é que se a tensão nos terminais for constante a corrente no capacitor é igual a zero A razão é que uma corrente de condução não pode ser estabelecida no material dielétrico do capacitor Somente uma tensão que varie com o tempo pode produzir uma corrente de deslocamento Assim o capacitor comportase como uma malha aberta na presença de uma tensão constante A Equação 613 expressa a corrente do capacitor em função da tensão em seus termi nais Expressar a tensão em função da corrente também é útil Para fazer isso multiplicamos ambos os lados da Equação 613 por um tempo diferencial dt e então integramos as diferen ciais resultantes i dt C dv ou vt vt0 dx 1 C t t0 i dt Executando a integração do lado esquerdo da segunda equação temos vt 1 C L t t0 i dt vt0 614 Em muitas aplicações práticas da Equação 614 o tempo inicial é igual a zero isto é t0 0 Assim a Equação 614 tornase vt 1 C L t 0 i dt v0 615 Podemos deduzir com facilidade as relações entre potência e energia para o capacitor Pela definição de potência p vi Cvdv dt 616 ou p i B 1 C L t t0 i dt vt0R 617 Combinando a definição de energia com a Equação 616 obtemos dw Cv dv Equação u i v do capacitor Equação u v i do capacitor Equação u de potência do capacitor Circuitos elétricos 198 Book Nilsson 1indb 198 290116 1210 pela qual w 0 dx C v 0 y dy ou w 1 2 Cv2 618 Na dedução da Equação 618 a referência para energia nula corresponde à tensão nula Os exemplos 64 e 65 ilustram a aplicação das relações entre corrente tensão potência e energia para um capacitor t Equação de energia do capacitor exeMplo 64 Determinação da corrente tensão potência e energia para um capacitor O pulso de tensão descrito pelas equações a seguir está aplicado nos terminais de um capacitor de 05 mF vt 0 t 0 s 4t V 0 s t 1 s 4et 1 V t 1 s a Deduza as expressões para a corrente potência e energia do capacitor b Faça os gráficos da tensão corrente potência e energia em função do tempo Alinhe os gráficos na vertical c Especifique o intervalo de tempo em que energia está sendo armazenada no capacitor d Especifique o intervalo de tempo em que energia está sendo fornecida pelo capacitor e Avalie as integrais 1 0 p dt e q 1 p dt e comente seus significados Solução a Pela Equação 613 i 05 1060 0 t 6 0s 05 1064 2 mA 0 s 6 t 6 1 s 05 1064et1 2et1 mA t 7 1 s A expressão para a potência é deduzida da Equação 616 p c 0 t 0 s 4t2 8t mW 0 s t 6 1 s 4et12et1 8e2t1 mW t 7 1 s Capítulo 6 Indutância capacitância e indutância mútua 199 Book Nilsson 1indb 199 290116 1210 Circuitos elétricos A expressao para a energia decorre diretamente da Equacao 618 0 t0s be 1 5 5 Figura 611 Variaveis v i 0 w versus tpara o Exemplo 64 w 4 505160 4tpJ Os tl1s 40516e 20 ge uJ ot 1s vV 4 b A Figura 611 mostra a tensao corrente poténcia e ener gia em fungao do tempo 2 c A energia é armazenada no capacitor sempre que a 1s ae S poténcia for positiva Por conseguinte a energia esta 0 1 2 3 4 5 6 sendo armazenada no intervalo 01 s i uA d A energia é fornecida pelo capacitor sempre que a poténcia for negativa Por conseguinte a energia esta sendo fornecida para todo maior do que 1 s 0 ts e A integral de p dt é a energia associada aointervalode 1 4 5 6 tempo correspondente aos limites da integral Assim 2 a primeira integral representa a energia armazenada p uW no capacitor entre 0 e 1 sao passo que a segunda inte gral representa a energia devolvida ou fornecida pelo i capacitor no intervalo 1 s a oo ts 4 1 3 4 5 6 1 1 1 I vas sas 4yI 8 0 0 0 w uJ ee 2t1 ce e pdt 8e 2 dt co 4yJ 4 1 1 2 h 2 A tensao aplicada ao capacitor volta a zero a medida 1s S que o tempo tende ao infinito de tal forma que a energia 0 1 2 3 4 5 6 devolvida por esse capacitor ideal deve ser igual a ener gia nele armazenada EXEMPLO 65 Determinacao de v pe w induzidas em um capacitor por um pulso triangular de corrente A um capacitor descarregado de 02 wF é aplicado um pulso de corrente de formato triangular O pulso de corrente é descrito por 0 t 0 1 5000 tA 0 st 20ps l 025000tA 20 t 40us 0 t 40us a Deduza as express6es para a tensdo poténcia e energia no capacitor para cada um dos quatro inter valos de tempo necessarios para descrever a corrente b Faga os graficos de i v p e w versus t Alinhe os graficos como especificado nos exemplos anteriores c Por que continua a existir tensdo no capacitor apds a corrente voltar a zero Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua Solugao a Parat 0vp e w sAo iguais a zero Para0 20 us t v 5 X 10 5000rdr 0 125 X 10 V 0 p vi 625 X 10F Ww Lay 124 w 5 15625 x 10 J Para 20 ups St 40 ps t v 5 X 10 02 50007 dr 5 20s Observe que 5 V é a tensdo no capacitor ao final do intervalo anterior Entao v 10 125 X 10 10 V Figura 612 Varidveis v p w versus tpara o Exemplo 65 imA p UI 100 625 x 10 75 X 10 25 X 10 2 W 50 la 2 w 7Cv t 2 0 10 2 30 40 50 0 15625 10r4 25 10 0125 x 10 v V 2t 10 J 10 5 Para t 40 us t us v 10V 0 10 20 30 40 50 60 us pvw0 p mW 1 500 w ha 10pJ 400 300 200 b A variacao temporal da corrente e da tensdéo poténciae 499 energia resultantes estao plotadas na Figura 612 t us 0 10 20 30 40 50 60 c Observe que a poténcia é sempre positiva para a duracaéo do pulso de corrente o que significa que a energia esta uJ sendo armazenada continuamente no capacitorQuando 10 acorrente volta a zero a energia armazenada fica retida 8 porque o capacitor ideal nao oferece nenhum meio para dissipéla Assim uma tensAo permanece nos terminais 2 do capacitor ap6s i voltar a zero t us 0 10 20 30 40 50 60 Circuitos elétricos PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Conhecer e saber usar as equacdes para tensao corrente poténcia e energia em um capacitor 62 A tensao nos terminais do capacitor de 06 wF mostrado na figura 0 para t 0 e 40e 9 sen 30000 V para t 0 Determine a i0 b a poténcia fornecida ao capacitor em t 7780 ms e c a energia armazenada no capacitor em 7780 ms Resposta a 072 A 06 uF b 6492 mW I c 12613 wJ a 63 A corrente no capacitor do Problema para avaliacao 62 é 0 para t 0 e 3 cos 50000tA para t 0 Determine a ut b a maxima poténcia fornecida ao capacitor em qualquer instante do tempo e c a maxima energia armazenada no capacitor em qualquer instante do tempo Resposta a 100 sen 50000t V t 0 b 150 W c 3 mJ NOTA tente resolver também os problemas 616 e 621 apresentados no final deste capitulo 63 Combinacoes de indutancia e capacitancia em serie e em paralelo Assim como combinagoes de resistores em série e em paralelo podem ser reduzidas a um unico resistor equivalente as combinacgées de indutores ou capacitores em série e em para lelo podem ser reduzidas a um Unico indutor ou capacitor A Figura 613 Indutores em série Figura 613 mostra indutores em série Nesse caso os induto L L L res sao forcgados a conduzir a mesma corrente assim defini vi Wy v3 mos somente uma corrente para a combinacao em série As YYYYYYYYY yes oo v quedas de tensdo nos indutores individuais sao I di di di vy l v2 L e v3 L3 at a dt 5S at A tensao nos terminais da ligagao em série é di v tv v3 1 Ly Ls7 do que deve ficar evidente que a indutancia equivalente de indutores ligados em série é a soma das indutancias individuais Para n indutores em série Combinagao Legal th L L 619 de indutores em serie Se os indutores originais conduzirem uma corrente inicial i 0 indutor equivalente con duzira a mesma corrente inicial A Figura 614 mostra o circuito equivalente para indutores em série que conduzem uma corrente inicial Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua Indutores em paralelo tém a mesma tensdo terminal No Figura 614 Circuito equivalente para indutores em série circuito equivalente a corrente em cada indutor é fungao da que transportam uma corrente inicial if tensdo terminal e da corrente inicial no indutor Para os trés i indutores em paralelo mostrados na Figura 615 as correntes L L L para os indutores individuais sao F ey Oe ito 1 t i vdt isto 0 Ly Sty oe Leg 11 Ly L3 1 d Ue In 7 Vv Into 2 Ly Jn T 2to ito 1 t iz x vdt i3to 620 Figura 615 Trés indutores em paralelo 31 0 i A corrente nos terminais dos trés indutores em paralelo é a soma das correntes dos indutores 1 2 3 v Li Jint Lol in0 Ls Jiso iititi 621 Substituindo a Equacao 620 na Equagao 621 obtemos t j Feb B ode toy tte io 622 7 7 a Vv aT 4U9 Ing 139 Ly Ly L3 Sry Agora podemos interpretar a Equacao 622 em termos de um tnico indutor isto 1 t i vdt itg 623 Leg to Comparando a Equagao 623 com a 622 obtemos Titan a L Ly Ly L 624 Figura 616 Circuito equivalente para os trés indutores q em paralelo Toit ty iy ty inty igty 625 Leg Li ty Ls ito i1to into i5to A Figura 616 mostra o circuito equivalente para os trés ito Leg indutores em paralelo na Figura 615 Os resultados das equagoes 624 e 625 podem ser amplia e dos para n indutores em paralelo oe a 626 Combinaca HH Ht ombinacao iP L L ip ooo de indutores em paralelo ity i i itp 627 Corrente inicial da indutancia equivalente Circuitos elétricos Capacitores ligados em série podem ser reduzidos a um unico capacitor equivalente A reciproca da capacitancia equivalente é igual 4 soma das reciprocas das capacitancias indivi duais Se cada capacitor apresentar a propria tensAo inicial a tensao inicial no capacitor equi valente sera a soma algébrica das tens6es iniciais nos capacitores individuais A Figura 617 e as seguintes equagdes resumem essas observacoes Combinacao de tj i 4 i toes i 628 capacitores Cg Gi G Ch em série Tensao vt Vt Vt ns vt 629 inicial da capacitancia equivalente Deixamos a dedugao do circuito equivalente para capacitores ligados em série como exer cicio Veja o Problema 632 A capacitancia equivalente de capacitores ligados em paralelo é simplesmente a soma das capacitancias dos capacitores individuais como mostram a Figura 618 e a seguinte equacao Combinagao de Oma Cine tt Coe 630 capacitores em paralelo Capacitores ligados em paralelo devem apresentar a mesma tensdo terminal Portanto se houver uma tens4o inicial nos capacitores em paralelo originais essa mesma tens4o inicial aparecera nos terminais do capacitor equivalente C g dedugao do circuito equivalente para capacitores em paralelo fica como exercicio Veja o Problema 633 Falaremos mais sobre circuitos equivalentes de indutores e capacitores em série e em paralelo no Capitulo 7 onde interpretaremos resultados baseados em sua utilizacao Figura 617 Circuito equivalente para capacitores ligados em série a Figura 618 Circuito equivalente para Capacitores em série b Circuito equivalente capacitores ligados em paralelo a Capacitores em paralelo b Circuito equivalente i in op oT i Vv Ci Cy Ch Ty v Cy V2 to vu Ceq v t yo o i 1 1 1 1 YH rd HO Un to Ca GG on Ufo vito Volto oto T ea a b e Cog Cr Gt Cy b Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber combinar indutores ou capacitores em série e em paralelo para formar um unico indutor equivalente 64 Os valores iniciais de i e i no circuito mostrado sao 3 A e 5 A respectivamente A tensdo nos termi nais dos indutores em paralelo para t 0 é 30e mV a Se os indutores em paralelo forem substituidos por um tnico indutor qual sera sua indutancia b Qual a corrente inicial e sua direcdo de referéncia no indutor equivalente c Use o indutor equivalente para determinar if d Determine 7 e i Verifique se as solug6es para if it e it satisfazem a lei das correntes de Kirchhoff it Resposta a 48 mH b 2 A para cima c 0125e 2125 A t 0 D in0 60 mH in0 240 mH d it 0le 29 A t 0 it 0025e 5025 At 0 65 A corrente nos terminais dos dois capacitores mostrados é 240e WA para t it yp 0 Os valores iniciais de v e V sio 10 V e S V respectivamente Calcule a energia total armazenada nos capacitores 4 medida que t ov Sugestao nao 2 pF combine os capacitores em série determine a energia armazenada em cada um 8 uF v2 para entao somalas Resposta 20 pJ NOTA tente resolver também os problemas 622 624 627 631 apresentados no final deste capitulo 64 Indutancia mutua O campo magnético que examinamos em nosso estudo de indutores na Secdo 61 estava restrito a um Unico circuito Afirmamos que a indutancia é o parametro que relaciona uma ten s4o a uma corrente que varia com 0 tempo no mesmo circuito assim uma denominagao mais exata para indutancia é autoindutancia Vamos examinar agora a situagao em que dois circuitos estao vinculados por um campo magnético Nesse caso a tensAo induzida no segundo circuito pode ser relacionada 4 cor rente varidvel no tempo do primeiro circuito por um parametro conhecido como indutancia mutua O circuito mostrado na Figura 619 representa dois enrolamentos acoplados magneti camente As autoindutancias dos dois enrolamentos sao denominadas L e L e a indutancia mutua é denominada MA seta de duas pontas adjacente a M indica o par de enrolamentos que tem esse valor de indutan E oe os al Lo Figura 619 Dois enrolamentos acoplados cia mutua Essa notagao é necessaria especialmente em circui magneticamente tos que contém mais de um par de enrolamentos acoplados magneticamente Ry spe As a M O modo mais facil de analisar circuitos que contém indu tancia mutua é usar correntes de malha O problema é escre Vg Ly Ry ver as equacdes que descrevem 0 circuito em termos das cor rentes dos enrolamentos Em primeiro lugar escolha uma Circuitos elétricos direcdo de referéncia para a corrente de cada enrolamento A Figura 620 mostra correntes de referncia escolhidas arbitrariamente Apos escolher as direg6es de referéncia para i e i some as tens6es ao longo de cada circuito fechado Por causa da indutancia mutua M havera duas tensdes em cada enrolamento a saber uma tensdo autoinduzida e uma mutuamente induzida A tensdo autoinduzida é o produto entre a autoindutancia do enrolamento e a deri vada de primeira ordem da corrente naquele enrolamento A tens4o mutuamente induzida é 0 produto entre a indutancia mititua dos enrolamentos e a deri vada de primeira ordem da corrente no outro enrolamento Figura 620 Correntes dos enrolamentos e usadas Considere o enrolamento da esquerda na Figura 620 cuja para descrever 0 circuito mostrado na Figura 619 autoindutancia tem o valor L A tensdo autoinduzida nesse R enrolamento é Ldidte a mutuamente induzida Mdidt a Me Mas e as polaridades dessas duas tens6es vg R Usando a convengao passiva a tensdo autoinduzida é uma queda de tensAo na diregéo da corrente que produz a tensdo Mas a polaridade da tensfo mutuamente induzida depende do modo como os enrolamentos estao dispostos em relagdo a a direcao de referéncia das correntes De modo geral mostrar Figura 621 Circuito da Figura 620 com pontos adicionados aos enrolamentos para indicar a os detalhes de enrolamentos mutuamente acoplados é muito polaridade das tensdes mutuamente induzidas trabalhoso Em vez disso monitoramos as polaridades por um R método conhecido como convengao do ponto pelo qual um a Me ponto é colocado em um terminal de cada enrolamento como Li R mostra a Figura 621 Esses pontos retratam a informacao de 8 in sinal e permitemnos desenhar os enrolamentos esquematica mente em vez de mostrar como seus condutores estao enrola dos em uma estrutura de nticleo A regra para usar a convengao do ponto para determinar a polaridade de tensAo mutuamente induzida pode ser resumida da seguinte forma Convengao do Quando a direcao de referéncia para uma corrente entra no terminal de um enrola ponto para mento identificado por um ponto a polaridade de referéncia da tensdo que ela induz enrolamentos no outro enrolamento positiva no terminal identificado pelo ponto mutuamente acoplados Ou por um enunciado alternativo Convengao do Quando a direcdo de referéncia para uma corrente sair do terminal de um enrola ponto para mento identificado por um ponto a polaridade de referéncia da tensdo que ela induz enrolamentos no outro enrolamento é negativa no terminal identificado pelo ponto mutuamente acoplados Na maioria das vezes fornecemos as marcagées dos pontos nos diagramas de circuito alternativa deste livro Uma habilidade importante é saber escrever as equagoes de circuito adequadas a partir do entendimento da indutancia mtttua e da convengao do ponto Se os pontos de polari dade nao forem dados possivel descobrir onde colocalos examinando a configuragao fisica de um circuito real ou testandoo no laboratorio Abordaremos esses procedimentos apos dis cutirmos a utilizagao dos pontos de marcagao Na Figura 621 a regra da convengao do ponto indica que a polaridade de referéncia para a tensado induzida no enrolamento 1 pela corrente i negativa no terminal do enrolamento 1 marcado com um ponto Essa tensdo Mdidt uma elevagao de tensdo em relagao a i A tensao induzida no enrolamento 2 pela corrente i é M didt e sua polaridade de referéncia é positiva no terminal do enrolamento 2 marcado por um ponto Essa tensdo é uma elevagao de Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua tensao na direcao de i A Figura 622 mostra as tensdes autoinduzidas e mutuamente induzi das nos enrolamentos 1 e 2 além de suas marcas de polaridade Figura 622 Tensdes autoinduzidas e mutuamente induzidas que aparecem nos enrolamentos mostrados na Figura 621 Rf a M 0 ae diy di Ly diy di v ML L wo sR 8 di dt lot dt dt e Agora vamos examinar a soma das tensdes ao longo de cada circuito fechado Nas equa cdes 631 e 632 as elevacdes de tensao na diregao de referéncia de uma corrente sao negativas R ot Me o 631 v i M 0 gen dt dt diz di inR L M 0 632 22 2 at dt 632 Procedimento para determinar a marcagao de pontos Agora passamos para dois métodos para determinar a marcagao de pontos O primeiro sup6e que conhecemos o arranjo fisico dos dois enrolamentos e o modo como cada um esta enrolado em um circuito acoplado magneticamente As seis etapas seguintes aqui aplicadas a Figura 623 determinam um conjunto de marcagao de pontos a Selecione arbitrariamente um terminal por exemplo o terminal D de um enrolamento e marqueo com um ponto b Designe uma corrente entrando nesse terminal mar Figura 623 Conjunto de enrolamentos para demonstrar 0 cado e denominea ip método que determina um conjunto de marcagoes de pontos c Use a regra da mao direita para determinar o sen eta 5 aC tido do campo magnético criado por i no interior dos awn enrolamentos acoplados e denomine esse campo is 4 a d Escolha arbitrariamente um terminal do segundo enro Etap GQ A lamento por exemplo terminal A designe uma cor ms 0 y rente entrando nesse terminal e identifiquea como i eee 4 e Use a regra da mao direita para determinar o sen Pa 2 tido do fluxo estabelecido por i no interior dos P D etap Terminal enrolamentos acoplados e denomine esse fluxo AS tit arbitrariamente f Compare as diregdes dos dois fluxos e oSe eles f 3 oe D identificado por tiverem a mesma direcdo de referéncia coloque um BE EtaP Btap 1 apa ponto no terminal do segundo enrolamento onde a P corrente de teste i entra Na Figura 623 os fluxos e tém a mesma direcdo de referéncia e portanto um ponto vai para o terminal A Se as diregdes de referéncia dos fluxos forem diferentes coloque um ponto no terminal do segundo enrolamento onde a corrente auxiliar sai 2 Veja a discussao sobre a lei de Faraday na pagina 210 Circuitos elétricos As polaridades relativas de enrolamentos acoplados magneticamente também podem ser determinadas por meios experimentais Isso é importante porque em algumas situag6es é impossivel determinar como os enrolamentos estao dispostos no nticleo Um método experi mental é ligar uma fonte de tens4o cc um resistor um interruptor e um voltimetro cc ao par de enrolamentos como mostra a Figura 624 O retangulo sombreado que envolve os enrola mentos indica nao ser possivel fazer uma inspegao fisica desses enrolamentos O resistor R limita o valor da corrente fornecida pela fonte de tensAo cc O terminal do enrolamento ligado ao terminal positivo da fonte cc por meio do interruptor e do resistor limitador Figura 624 Dispositivo experimental para determinar recebe uma marcagao de polaridade como mostra a Figura marcagoes de polaridade 624 Quando o interruptor é fechado a deflexdo do voltime R tro é observada Se a deflexdo momentanea for positiva o terminal do enrolamento ligado ao terminal positivo do vol Interruptor e ealtinctro timetro recebe a marcagao de polaridade Se a deflexao for Vee ee 7 negativa o terminal do enrolamento ligado ao terminal nega tivo do voltimetro recebera a marca de polaridade O Exemplo 66 mostra como usar a marcagao de pontos para formular um conjunto de equagdes em um circuito que contém enrolamentos acoplados magneticamente EXEMPLO 66 Determinagao das equacoées de corrente de malha para um circuito com enrolamentos acoplados mag neticamente a Escreva um conjunto de equagoes de corrente de malha que descreva 0 circuito da Figura 625 em termos das correntes i i b Verifique que se nao houver nenhuma energia armazenada no circuito em t0e se i 16 16e7 A as solugGes para i L serao i4 64e 68e A ip 152e 51e A Solugao a Somando as tens6es ao longo da malha de i obtemos Figura 625 Circuito para o Exemplo 66 gf 4 gd ir 20i in Siy i O aw i i i i i i 0 dt dt ro 1 8 i 50 8H 200 A equacao de malha i é e 20iy i 60 164i i 81 0 Ct is 16H i 600 27 4 2 ae s dt Observe que a tenséo no enrolamento de 4 H devida 4a corrente i a i isto 6 8di a idt uma queda de tensao na diregao de i A tensado induzida no enrolamento de 16 H pela corrente i isto 8didt uma elevagao de tensao na diregao de i Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua b Para verificar a validade das express6es para i e i comecamos testando os valores inicial e final de i e i Sabemos por hipdtese que i0 70 0 Pelas solugdes dadas temos i0 4 64 68 0 i0 152510 Agora observamos que 4 medida que f tende ao infinito a fonte de corrente i a aproximase de um valor constante de 16 A e por conseguinte os enrolamentos acoplados magneticamente comportam se como curtoscircuitos Entéo em t oo 0 circuito reduzse ao mostrado na Figura 626 Pela Figura 626 a Figura 626 Circuito do Exemplo 66 quando t co vemos que em f o 0s trés resistores estaéo em paralelo com a fonte de 16 A Assim a resisténcia equivalente é 375 e portanto a tens4o na fonte de corrente de 16 A 60 V Portanto 50 00 60 60 me Dm e 60 Lo 1A Esses valores estéo de acordo com os valores finais previstos pelas solug6es para i i Por fim conferimos as soluc6es verificando se elas satisfazem as equacoes diferenciais deduzidas em a Deixamos essa verificacao final para o leitor por meio do Problema 637 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Usar a convencao do ponto para escrever equacdes de corrente de malha para enrolamentos mutuamente acoplados 66 a Escreva um conjunto de equacoées de corrente de malha para 0 circuito do Exemplo 66 se 0 ponto no indutor de 4 H estiver no terminal do lado direito a direcdo de referéncia de i for invertida e o resis tor de 60 for aumentado para 780 1 b Verifique que se nao houver nenhuma energia armazenada no circuito emtOe sei 196 196e A as solugGes para as equac6es diferenciais deduzidas em a serao i 04 116 12e A i 001 099e eA Resposta a 4didt 25i 8didt 20i Si 8didt 8didt 20i 16didt 800i 16diJdt b verificagao NOTA tente resolver também o Problema 639 apresentaao no final deste capitulo Circuitos elétricos 65 Um exame mais detalhado da indutancia mutua Para explicar completamente o parametro de indutancia miitua e examinar as limitagdes e premissas adotadas na discussao qualitativa apresentada na Segao 64 comegamos com uma descrigéo mais quantitativa da autoindutancia Uma revisao da autoindutancia O conceito de indutancia pode ser creditado a Michael Faraday que foi pioneiro nessa area de trabalho no inicio do século XIX Faraday postulou que um campo magnético consiste de linhas de forga que circundam um condutor que conduz corrente Visualize essas linhas de forca como tiras de eldstico que armazenam energia e se fecham em si mesmas A medida que a corrente aumenta e diminui as tiras eldsticas isto é as linhas de forga se expandem e se contraem ao longo do condutor A tensao induzida no condutor é proporcional ao nimero de linhas que se contraem para dentro do condutor ou que o atravessam Essa imagem da tensdo induzida é expressa pelo que se denomina lei de Faraday isto 6 dx v 633 em que A é denominado fluxo total e é medido em weberespiras Como passamos da lei de Faraday para a definicao de indutancia apresentada na Secao 61 Podemos comegar a inferir essa conex4o usando a Figura 627 como referéncia As linhas que perpassam as N espiras representam as Figura 627 Representacéio de um campo magnético linhas de forca magnética que compdem o campo magnético ligando um enrolamento de A espiras A intensidade do campo magnético depende da intensidade j da corrente e a orientagdo espacial do campo depende do sen ane tido da corrente A regra da mAo direita relaciona a orientacgao ty do campo com o sentido da corrente quando os dedos da mao v a direita envolvem o enrolamento no sentido da corrente o pole N espirais gar indica a direcao daquela porcao do campo magnético no TU interior do enrolamento O fluxo total o produto entre o fluxo magnético medido em webers Wb e o numero de espiras atravessadas pelo campo N AN 634 A magnitude do fluxo esta relacionada 4 magnitude da corrente do enrolamento pela relacéo bFNi 635 em que N é o numero de espiras do enrolamento e F é a permedncia do espacgo ocupado pelo fluxo Permeancia é a quantidade que descreve as propriedades magnéticas desse espaco e por isso uma descrigéo detalhada de permedncia esta fora do escopo deste livro Aqui basta observar que quando o espaco atravessado pelo fluxo é composto de materiais magnéticos como ferro nfquel e cobalto a permeancia varia com o fluxo dando origem a uma relacgao nao linear entre e i No entanto quando o espaco é composto por materiais nio magnéticos Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua a permeancia é constante dando origem a uma relacdo linear entre e i7 Observe que pela Equagao 635 o fluxo também é proporcional ao ntmero de espiras no enrolamento Aqui admitimos que o material do nticleo espaco atravessado pelo fluxo é nao mag nético Entao substituindo as equagées 634 e 635 na Equacao 633 temos di dN edt dt nie neni dt dt di di NF Lae 636 que mostra que a autoindutancia é proporcional ao quadrado do ntimero de espiras do enro lamento Utilizaremos essa observagao mais adiante A polaridade da tensdo induzida no circuito da Figura 627 reflete a reagéo do campo a corrente que o cria Por exemplo quando i esta crescendo didt é positiva e U positiva Assim é preciso fornecer energia para estabelecer 0 campo magnético O produto vi a taxa de arma zenamento de energia no campo Quando o campo diminui didt negativa e mais uma vez a polaridade da tensdo induzida é oposta A alteracdo na corrente A medida que o campo dimi nui em torno do enrolamento mais energia é devolvida ao circuito Mantendo em mente mais essas particularidades do conceito de autoindutancia voltemos agora a indutancia mutua 0 conceito de indutancia mutua A Figura 628 mostra dois enrolamentos acoplados magneticamente Vocé deve verificar se a marcacao de pontos esta de acordo com a diregaéo dos enrolamentos e correntes mostra dos O numero de espiras em cada enrolamento é N e N respectivamente O enrolamento 1 energizado por uma fonte de corrente variavel com 0 tempo que estabelece a corrente i nas espiras NO enrolamento 2 nao é energizado e esta aberto Os enrolamentos sao dispostos em um nticleo naéo magné tico O fluxo produzido pela corrente i pode ser dividido em Figura 628 Dois enrolamentos acoplados dois componentes denominados e O componente de magneticamente fluxo o fluxo produzido por i que atravessa somente in a 21 as espiras NO componente 0 fluxo produzido por i cp in que atravessa as espiras N e NO primeiro digito do indice bul lon Nod b do fluxo referese ao nimero do enrolamento atravessado qr tb pelo fluxo e 0 segundo digito referese ao enrolamento per corrido pela corrente Assim um fluxo que atravessa o 3 Ndo RT para sermos rigorosos quando se fala de materiais magnéticos devemos entender mate riais ferromagnéticos como ferro nfquel e cobalto Quando se fala de materiais nao magnéticos devemos entender materiais nao ferromagnéticos ou seja paramagnéticos e diamagnéticos A rigor nao existe material nao magnético enrolamento 1 que é produzido por uma corrente no enrolamento 1 ao passo que f21 é um fluxo que atravessa o enrolamento 2 que é produzido por uma corrente no enrolamento 1 O fluxo total que atravessa o enrolamento 1 é f1 a soma de f11 e f21 f1 f11 f21 637 O fluxo f1 e seus componentes f11 e f21 estão relacionados com a corrente i1 da seguinte forma f1 F1 N1 i1 638 f11 F11 N1 i1 639 f21 F21 N1 i1 640 em que F1 é a permeância do espaço atravessado pelo fluxo f1 F11 é a permeância do espaço atravessado pelo fluxo f11 e F21 é a permeância do espaço atravessado pelo fluxo f21 Subs tituindo as equações 638 639 e 640 na Equação 637 obtemos a relação entre a permeância do espaço atravessado pelo fluxo total f1 e as permeâncias dos espaços atravessados por seus componentes f11 e f21 F1 F11 F21 641 Usamos a lei de Faraday para deduzir as expressões para v1 e v2 v1 dl1 dt dN 1f1 dt N 1 d dtf11 f21 N 1 2F11 F21di1 dt N 1 2F1 di1 dt L1 di1 dt 642 e v2 dl2 dt dN 2f21 dt N 2 d dtF21N 1i1 N 2N 1F21 di1 dt 643 O coeficiente de di1dt na Equação 642 é a autoindutância do enrolamento 1 O coefi ciente de di1dt na Equação 643 é a indutância mútua entre os enrolamentos 1 e 2 Assim M21 N2N1F21 644 O índice de M especifica uma indutância que relaciona a tensão induzida no enrolamento 2 com a corrente no enrolamento 1 O coeficiente de indutância mútua fornece v2 M21 di1 dt 645 Observe que a convenção do ponto é usada para estabelecer a referência de polaridade de v2 na Figura 628 Circuitos elétricos 212 Book Nilsson 1indb 212 290116 1211 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua No caso dos enrolamentos acoplados da Figura 628 Figura 629 Enrolamentos acoplados magneticamente excitar o enrolamento 2 com uma fonte de corrente varidvel da Figura 628 com 0 enrolamento 2 excitado 0 enrolamento 1 aberto com o tempo i e deixar o enrolamento 1 aberto produz o arranjo mostrado na Figura 629 Novamente a referéncia de pa bers Le iy polaridade atribuida a v estabelecida pela convengao do p ponto N py jb loo O fluxo total que atravessa o enrolamento 2 é Ny 5 Py Pyy 646 O fluxo e seus componentes e estaéo relacionados com a corrente i da seguinte forma b Fy Ny by 647 by Fy Noi 648 P49 Fy No iy 649 As tenses U U S40 dd diz diz Vv N3F Lo 650 25 2 2 at 650 dh ad diy vp N NNoF2 651 1 in at 112 UN 12 651 O coeficiente de indutancia mutua que relaciona a tensdo induzida no enrolamento 1 com a corrente varidvel a longo do tempo no enrolamento 2 0 coeficiente de didt na Equagao 651 MNN Fy 652 Para materiais nado magnéticos as permeancias F e F sdo iguais portanto MMM 653 Por conseguinte para circuitos lineares com apenas dois enrolamentos acoplados magne ticamente nao é necessdrio acrescentar subindices ao coeficiente da indutancia mutua Indutancia mutua em termos de autoindutancia O valor da indutancia mtitua é uma fungao das autoindutancias Derivamos essa relacao como se segue Pelas equacg6es 642 e 650 LNiF 654 LN5 F 655 respectivamente Pelas equag6es 654 e 655 LL Ni N3F F 656 Agora usamos a Equação 641 e a expressão correspondente a F2 para escrever L1L2 N2 1 N2 2 F11 F21F22 F12 657 No entanto para um sistema linear F21 F12 portanto a Equação 657 tornase M2 a1 F11 F12 b a1 F22 F12 b L1L2 N 1N 2F122 a1 F11 F12 b a1 F22 F12 b 658 Substituindose os dois termos que envolvem permeâncias por uma única constante temos uma expressão mais significativa da Equação 658 1 k2 1 F11 F12 1 F22 F12 659 Substituindose a Equação 659 na Equação 658 obtemos M2 k2L1L2 ou M kL1L2 660 em que a constante k é denominada coeficiente de acoplamento De acordo com a Equação 659 1k2 deve ser maior do que 1 o que significa que k deve ser menor do que 1 Na realidade o coeficiente de acoplamento deve estar entre 0 e 1 ou 0 k 1 661 O coeficiente de acoplamento é 0 quando os dois enrolamentos não têm nenhum fluxo em comum isto é quando f12 f21 0 Essa condição implica F12 0 e a Equação 659 indica que 1k2 q ou k 0 Se não houver nenhum fluxo que acople ambos os enrolamentos é óbvio que M será 0 O coeficiente de acoplamento é igual a 1 quando f11 e f22 são iguais a 0 Essa condição implica que todo o fluxo que atravessa o enrolamento 1 também atravessa o enrolamento 2 Em termos da Equação 659 F11 F22 0 o que obviamente representa um estado ideal na realidade dispor os enrolamentos de modo que compartilhem exatamente o mesmo fluxo é fisicamente impossível Materiais magnéticos como ligas de ferro cobalto e níquel possibili tam um espaço de alta permeância e são usados para estabelecer coeficientes de acoplamento próximos à unidade Falaremos mais sobre essa importante qualidade de materiais magnéti cos no Capítulo 9 NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 646 e 650 apresentados no final deste capítulo Cálculos de energia Vamos concluir nosso exame inicial de indutância mútua com uma discussão da ener gia total armazenada em enrolamentos acoplados magneticamente Com isso confirmaremos Relação entre u autoindutâncias e indutância mútua usando coeficiente de acoplamento Circuitos elétricos 214 Book Nilsson 1indb 214 290116 1211 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua duas observagoes feitas antes para acoplamento magnético linear 1 M M Me 2 M kVLlemque0ktl Usamos 0 circuito mostrado na Figura 630 para deduzir a expresso Figura 630 Circuito usado para para a energia total armazenada nos campos magnéticos associados a um deduzir as relacdes basicas de energia par de enrolamentos acoplados linearmente Comegamos supondo que M as correntes i e i sao nulas e que esse estado corresponde a energia nula TU elf sje i Ft armazenada nos enrolamentos Entao fazemos i crescer de zero a algum vy Ly L U2 valor arbitrario J e calculamos a energia armazenada quando i J Como i 0 a poténcia total fornecida ao par de enrolamentos vi e a energia armazenada é Ww yy dw 1 idi 0 0 loo WwW zhi 662 Agora vamos manter i constante em J e aumentar i de zero a algum valor arbitrario de I Nesse intervalo de tempo a tenséo induzida no enrolamento 2 por i igual a zero porque I constante A tensao induzida no enrolamento 1 por i é Mdidt Portanto a poténcia total fornecida ao par de enrolamentos é LM diz ipV2 P we 2 ot 2U2 A energia total armazenada no par de enrolamentos quando i I é Ww I 1 dw IM odin Lyindin wW 0 0 ou Lg Ww WwW I1IM 1 zbalt 1 4 1p sbi zbal2 IyIM pp 663 Se invertermos 0 procedimento isto é se primeiro aumentarmos i de zero a I e depois aumentarmos i de zero a J a energia total armazenada sera 1 1 1p W zhi zbal2 IIM 664 As equacoes 663 e 664 expressam a energia total armazenada em um par de enrolamen tos acoplados linearmente em fungao das correntes de enrolamento das autoindutancias e da indutancia mtitua Observe que a tinica diferenca entre essas equacoées é 0 coeficiente do pro duto de correntes I Usaremos a Equagao 663 se i for estabelecida em primeiro lugar e a Equagao 664 se i for estabelecida em primeiro lugar Quando o meio acoplador é linear a energia total armazenada é a mesma independente mente da ordem utilizada para estabelecer J e I A razdo que em um acoplamento linear o fluxo magnético resultante depende somente dos valores finais de i e ie nado de como as correntes chegaram a seus valores finais Se o fluxo resultante for o mesmo a energia armaze nada será a mesma Por consequência para acoplamento linear M12 M21 Além disso como I1 e I2 são valores arbitrários de i1 e i2 respectivamente representamos as correntes de enro lamento por seus valores instantâneos i1 e i2 Assim a qualquer instante do tempo a energia total armazenada nos enrolamentos acoplados é wt 1 2L1i1 2 1 2L2i2 2 Mi1i2 665 Deduzimos a Equação 665 admitindo que ambas as correntes entraram em terminais com polaridades marcadas Deixamos para você verificar que se uma corrente entrar em um terminal com polaridade marcada enquanto a outra sair desse mesmo terminal o sinal algé brico do termo Mi1i2 é invertido Assim em geral wt 1 2L1i1 2 1 2L2i2 2 Mi1i2 666 Usamos a Equação 666 para mostrar que M não pode exceder L 1L 2 Os enrolamentos acoplados magneticamente são elementos passivos de tal forma que a energia total armaze nada neles nunca pode ser negativa Se wt nunca pode ser negativa a Equação 666 indica que a quantidade 1 2L1i1 2 1 2L2i2 2 Mi1i2 deve ser maior ou igual a zero quando i1 e i2 forem ambas positivas ou quando ambas forem negativas O valorlimite de M é encontrado igualandose a quantidade a zero 1 2L1i1 2 1 2L2i2 2 Mi1i2 0 667 Para determinar o valorlimite de M somamos e subtraímos o termo i1i2L 1L 2 do lado esquerdo da Equação 667 o que gera um termo que é um quadrado perfeito Ä L1 2 i1 Ä L2 2 i2 2 i1i2a L1L2 M b 0 668 O termo elevado ao quadrado na Equação 668 nunca pode ser negativo mas pode ser igual a zero Portanto wt 0 só se L1L2 Ú M 669 que é outra maneira de dizer que M kL1L2 0 k 1 Deduzimos a Equação 669 admitindo que i1 e i2 fossem ambas positivas ou ambas nega tivas Contudo obteremos o mesmo resultado se i1 e i2 tiverem sinais contrários porque nesse caso obteremos o valorlimite de M selecionando o sinal positivo na Equação 666 NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 647 e 648 apresentados no final deste capítulo Energia u armazenada em enrolamentos acoplados magneticamente Circuitos elétricos 216 Book Nilsson 1indb 216 290116 1211 Perspectiva prática Telas touch capacitivas Telas touch capacitivas são utilizadas com frequência em aplicações nas quais dois ou mais pontos simultâneos de contato devem ser detectados Vamos analisar dois pro jetos para uma tela multitouch múltiplos toques O primei ro deles emprega uma grade de eletrodos como a mostra da na Figura 631 Quando energizada há uma pequena capacitância parasita Cp entre cada faixa de eletrodo e a terra como mostrado na Figura 632 a Quando a tela é tocada por exemplo na posição x y há uma segunda ca pacitância devido à transferência de uma pequena quanti dade de carga da tela para o corpo humano que age como um condutor O efeito consiste em introduzir uma segunda capacitância no ponto de contato em relação à terra como mostra a Figura 632 b O controlador da tela touch monitora continuamente a capaci tância entre os eletrodos na grade e a terra Se a tela não está sen do tocada a capacitância entre cada eletrodo na grade x e a terra é Cp o mesmo é válido para a capacitância entre cada eletrodo na grade y e a terra Quando a tela é tocada em um único ponto Ct e Cp com binamse em paralelo A capacitância equivalente entre o ele trodo da grade x mais próximo ao ponto de contato e a terra passa a ser Ctx Ct Cp De modo análogo a capacitância equivalente entre o eletrodo da grade y mais próximo ao ponto de toque e a terra passa a ser Cty Ct Cp Assim um toque na tela aumenta a capacitância entre os ele trodos e a terra para os eletrodos da grade x e y mais próximos ao ponto de toque Agora pense no que acontece quando a tela é tocada em dois pontos simultâneos Suponha que o primeiro ponto de contato tenha coordenadas x1 y1 e o segundo coordenadas x2 y2 Assim existem quatro locais na tela que correspondem a um aumento na capacitância x1 y1 x1 y2 x2 y1 e x2 y2 Dois deles equiparamse aos dois pontos de contato ao passo que os outros dois são chamados de fantasmas porque a tela não foi tocada neles Portanto esse método para implementar uma tela de toque capacitiva não pode identificar com precisão mais do que um único ponto de contato A maioria das telas de toque capacitivas modernas não usa o projeto de autocapacitância discutido anteriormente Em vez de medir a capacitância entre cada eletrodo da grade x e a terra e cada eletrodo da grade y e a terra o que é medida é a capacitância entre cada eletrodo da grade x e cada eletrodo da grade y Essa capacitância é conhecida como capacitância mútua e mostrada na Figura 633 a Y3 Y2 Y1 Y0 X0 X1 X2 X3 Figura 631 Tela multitouch com grade de eletrodos a b Cp Cp Eletrodo Eletrodo Ct Figura 632 a Capacitância parasita entre eletrodo e terra sem nenhum contato b capacidade adicional introduzida por um toque Capítulo 6 Indutância capacitância e indutância mútua 217 Book Nilsson 1indb 217 290116 1211 Quando a tela é tocada por exemplo na posição x y uma segunda capacitância passa a existir novamente devido à transferência de uma pequena quantidade de carga da tela para o corpo humano Há uma segunda capacitância no ponto de toque em relação à terra como mostrado na Figura 633 b Portanto sempre que ocorre uma mudança na capacitância mútua Cmxy o ponto de toque na tela pode ser identificado exclusivamente como x y Se a tela for tocada nos pontos x1 y1 e x2 y2 haverá precisamente duas capacitâncias mútuas que se alteram Cmx1y1 e Cmx2y2 Não há fantasmas identifica dos como no projeto de autocapacitância portanto o projeto de capacitância mútua produz realmente uma tela de múltiplos toques capaz de identificar de modo único e preciso dois ou mais pontos de contato NOTA avalie sua compreensão da Perspectiva prática tentando resolver os problemas 651653 apresentados no final deste capítulo eletrodox da grade eletrodoy da grade eletrodox da grade eletrodoy da grade b a Cmxy Ct Cmxy Figura 633 a Capacitância mútua entre um eletrodo da grade x e um da grade y b capacitância adicional introduzida por um toque Resumo Indutância é um parâmetro de circuitos lineares que relaciona a tensão induzida por um campo magnético variável no tempo com a corrente que produz o campo Seção 61 Capacitância é um parâmetro de circuitos line ares que relaciona a corrente induzida por um campo elétrico variável no tempo com a tensão que produz o campo Seção 62 Indutores e capacitores são elementos passivos eles podem armazenar e fornecer energia mas não geram nem dissipam energia Seção 61 A potência instantânea nos terminais de um indutor ou capacitor pode ser positiva ou nega tiva dependendo de a energia estar sendo for necida ou extraída do elemento Um indutor não permite uma variação instantânea da corrente em seus terminais permite uma variação instantânea da tensão em seus terminais comportase como um curtocircuito na pre sença de uma corrente constante em seus ter minais Seção 63 Um capacitor não permite uma variação instantânea da tensão em seus terminais permite uma variação instantânea da cor rente em seus terminais comportase como uma malha aberta na pre sença de uma tensão constante em seus ter minais Seção 62 As equações para tensão corrente potência e energia em indutores e capacitores ideais são dadas na Tabela 61 Indutores em série ou em paralelo podem ser subs tituídos por um indutor equivalente Capacitores em série ou em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente As equações estão resumidas na Tabela 62 A Seção 63 apresenta uma discussão sobre como lidar com as condições iniciais para circuitos equivalentes em série e em paralelo que envolvam indutores e capacitores Circuitos elétricos 218 Book Nilsson 1indb 218 290116 1211 Tabela 61 Equações terminais para indutores e capacitores ideais Indutores J w 1 2 Li2 W p vi Li di dt A i 1 L L t t0 v dt it0 V v L di dt Capacitores J w 1 2Cv2 W p vi Cv dv dt A i C dv dt V v 1 C L t t0 i dt vt0 Tabela 62 Equações para indutores e capacitores ligados em série e em paralelo Ligados em série 1 Ceq 1 C1 1 C2 Á 1 Cn Leq L1 L2 Á Ln Ligados em paralelo Ceq C1 C2 Á Cn 1 Leq 1 L1 1 L2 Á 1 Ln Indutância mútua M é o parâmetro de circuito que relaciona a tensão induzida em um circuito a uma corrente variável no tempo em outro cir cuito Especificamente v2 M21 di1 dt L2 di2 dt v1 L1 di1 dt M12 di2 dt em que v1 e i1 são a tensão e a corrente no circuito 1 e v2 e i2 são a tensão e a corrente no circuito 2 Para enrolamentos dispostos em núcleos não magnéticos M12 M21 M Seção 64 A convenção do ponto estabelece a polaridade de tensões mutuamente induzidas Quando a direção de referência para uma cor rente é tal que ela entra no terminal do enrola mento identificado por um ponto a polaridade de referência da tensão que ela induz no outro enrolamento é positiva em seu terminal identifi cado pelo ponto Ou alternativamente Quando a direção de referência para uma cor rente é tal que ela saia do terminal do enrola mento identificado por um ponto a polaridade de referência da tensão que ela induz no outro enrolamento é negativa em seu terminal identi ficado pelo ponto Seção 64 A relação entre a autoindutância de cada enro lamento e a indutância mútua entre enrolamen tos é M kL1L2 O coeficiente de acoplamento k é uma medida do grau de acoplamento magnético Por defini ção 0 k 1 Seção 65 A energia armazenada em enrolamentos aco plados magneticamente em um meio linear está relacionada com as correntes e indutâncias dos enrolamentos pela relação w 1 2L1i 1 2 1 2L2i 2 2 Mi1i2 Seção 65 Problemas Seção 61 61 Sabese que a corrente em um indutor de 150 mH é iL 25te500t A para t 0 a Determine a tensão no indutor para t 0 Suponha a convenção passiva Pspice Multisim Capítulo 6 Indutância capacitância e indutância mútua 219 Book Nilsson 1indb 219 290116 1211 Circuitos elétricos b Determine a poténcia em microwatts e os intervalos de tempo em que o indu nos terminais do indutor quando t5 ms tor esta fornecendo energia c O indutor esté absorvendo ou forne c Mostre que a energia total fornecida cendo poténcia em 5 ms pelo indutor é igual a energia total d Determine a energia em microjoules armazenada armazenada no indutor em 5 ms 65 Acorrente em um indutor de 200 mH é a i75At0 e Determine a maxima energia em micro iB cos 200t B sen 200te A t 0 joules armazenada no indutor e o instante em microssegundos em que ela ocorre A tensdo no indutor convengao passiva é 425 62 Opulso triangular de corrente mostrado na V em t 0 Calcule a poténcia nos terminais do Pspice Figura P62 é aplicado a um indutor de indutor em t 25 ms O indutor esta absorvendo Multisim 500 mH ou fornecendo poténcia a Escreva as express6es que descrevem it 66 Avalie a integral nos quatro intervalos t 00 25 ms 25 ms t50mset50 ms fi pdt b Deduza as express6es para a tensao ns PY P para o Exemplo 62 Comente o significado do poténcia e energia do indutor Use a con resultado vencao passiva 67 A tensdo nos terminais do indutor de 750 wH Figura P62 Pspice da Figura P67a mostrada na Figura imA Multisim 67b Sabese que a corrente i do indutor 100 é igual a zero para t 0 a Escreva as express6es paraiem t 0 b Faca um grafico de i versus t para0 St Soo 0 25 50 t ms Figura P67 i Us mV 63 Sabese que a corrente em um indutor de 50 mH é 150 i120mAt 0 w 750 mH i Ae 00 Ae 700 A t0 0 50 ms A tensao no indutor convengao passiva é 3 V a b em t0 Determi tensa 68 Sabese que a corrente no indutor de 50 mH a Determine a expressfo para a tensfo no x P P da Figura P68 é 100 mA para t 0A tensao indutor para 0 P x do indutor para t 0 é dada pela expressdo b Determine o tempo maior do que zero v 1 2e 1 V 0 t 100 ms em que a poténcia nos terminais do indu U t Ze V 100 ms t 00 tor é nula 64 No Problema 63suponha que o valor da tensao Faga um grafico de v i2 para 0 t oo no indutor em t 0 seja18 V em vez de 3 V Figura P68 a Determine as expressOes numéricas para i 2 ievemt0 b Especifique os intervalos de tempo em vt C 50 mH que o indutor esta armazenando energia Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua 69 Sabese que a corrente e a tensdo nos termi Figura P610 nais de um indutor de 10 H sao nulas para t 0A tensdo no indutor é dada pelo grafico i da Figura P69 para t 0 L a Escreva a expressdo para a corrente em fungéo do tempo nos intervalos0 f 25 ms 25 ms St 75 ms75 ms t 125 611 Sabese que a corrente em um indutor de ms 125 ms f 150mse 150 ms Stow ween 25 mH é10A parat 0e 10 cos 40015 b Para t 0 qual é a corrente no indutor sen 4001 eu aA para f 0 Admita a con quando a tensdo é igual a zero vengao passiva c Faca um grafico de i versus t para 0 St 0 a Em que instante de tempo a tensio no indutor é maxima Figura P69 b Qual é a tenséo maxima vV 612 Inicialmente néo havia nenhuma energia 20 armazenada no indutor de 5 H do circuito da Figura P612 quando ele foi ligado aos ter minais do voltimetro Em t 0 a chave do ol 25 50 75 10 50 175 t ms indutor passou instantaneamente para a posi cao b onde permaneceu durante 16 s antes 59 de voltar instantaneamente para a posicao a O voltimetro de dArsonval tem um fundo de escala de 20 V e uma sensibilidade de 1000 QV Qual sera a leitura do voltimetro no ins 610 a Determine acorrente do indutor da Figura tante em que o interruptor volta a posigao a Pspice P610 se v 20 cos 80 V L100 mH e se a inércia do medidor de dArsonval for Muttisim i0 0A desprezivel b Faca os graficos de v i p e W versus t Figura P612 usando o formato da Figura 68 Os gra ficos devem abranger um ciclo completo b a da onda de tensao c Descreva os subintervalos entre 0 e 87 ms 3mV CA Voltimetro em que a poténcia esta sendo armaze nada pelo indutor Repita para os subin tervalos em que a poténcia esta sendo fornecida pelo indutor Secao 62 613 Sabese que tensdo nos terminais de um capa b Determine a poténcia nos terminais do citor de 5 wF é capacitor quando 100 ps U S00teV para t 0 c O capacitor esté absorvendo ou forne a Determine a corrente que passa pelo cendo poténcia em t 100 ps capacitor para 0 Assuma a conven d Determine a energia armazenada no cao passiva capacitor em t 100 ps e Determine a energia máxima armaze nada no capacitor e o instante em que ela ocorre 614 O pulso triangular de corrente mostrado na Figura P614 é aplicado a um capacitor de 200 mF a Escreva as expressões que descrevem vt nos cinco intervalos t 0 0 t 2 s 2 s t 6 s 6 s t 8 s e t 8 s b Deduza as expressões para a tensão potência e energia do capacitor para os intervalos de tempo em a Use a con venção passiva c Identifique os intervalos de tempo entre 0 e 8 s em que a energia está sendo for necida pelo capacitor Repita o procedi mento para os intervalos de tempo em que a energia está sendo absorvida pelo capacitor Figura P614 0 20 2 4 6 8 t s v V 615 A tensão que passa entre os terminais de um capacitor de 5 mF é v e60 V t 0 A1e1500t A2te1500t V t 0 A corrente inicial no capacitor é 100 mA Assuma a convenção passiva a Qual é a energia inicial armazenada no capacitor b Calcule os coeficientes A1 e A2 c Qual é a expressão para a corrente do capacitor 616 Um pulso de tensão com duração de 4 s é aplicado a um capacitor de 100 mF O pulso é descrito pelas seguintes equações vct 5t3 V 0 t 2 s 5t 4 3 V 2 s t 4 s 0 no restante Faça um gráfico do pulso de corrente conduzido pelo capacitor durante o intervalo de 4 s 617 Sabese que a tensão nos terminais do capa citor da Figura 610 é v e60 V t 0 30 5e500t 6 cos 2000t sen 2000 t V t 0 Suponha C 120 mF a Determine a corrente no capacitor para t 0 b Determine a corrente no capacitor para t 0 c Há uma variação instantânea da tensão no capacitor em t 0 d Há uma variação instantânea da corrente no capacitor em t 0 e Qual é a energia em microjoules arma zenada no capacitor em t q 618 As expressões para tensão potência e energia deduzidas no Exemplo 65 envolveram tanto a integração quanto a manipulação de expres sões algébricas Como engenheiro você não pode aceitar tais resultados somente de boa fé Isto é você deve desenvolver o hábito de perguntarse Esses resultados fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito que se propõem a descrever Pen sando nisso teste as expressões do Exemplo 65 realizando as seguintes verificações a Verifique as expressões para ver se a ten são não varia bruscamente quando passa de um intervalo de tempo para o seguinte b Examine a expressão da potência em cada intervalo selecione um tempo den tro do intervalo e verifique se a potência calculada tem valor idêntico ao do pro duto de v por i nesse mesmo instante Por exemplo teste em 10 ms e 30 ms Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 222 Book Nilsson 1indb 222 290116 1211 Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua c Examine a expressao da energia dentro 619 A tensfo inicial no capacitor de 05 wF mos de cada intervalo selecione um instante Pspice trado na Figura P619a é 20 V A forma de dentro do intervalo e verifique se a ener Multis onda da corrente no capacitor é mostrada na gia calculada tem valor idéntico ao da Figura P619b 50 2 expressao 7 Cu Use 10 ps 30 us como a Qual é a energia em microjoules arma instantes de teste zenada no capacitor em t 500 ps b Repita a para t o Figura P619 i mA 50 50e 7 mA t 0 05 wF 25 20V t us He 0 100 200 300 400 500 us L Se a b 620 A corrente mostrada na Figura P620 é apli capacitor é uma queda de 15 V na direcao de Pspice cada a um capacitor de 2 wF A tensao inicial referéncia da corrente Deduza a express4o Multisim no capacitor é igual a zero da tens4o no capacitor para os intervalos des a Determine a carga no capacitor em t6 ms critos nos itens ad b Determine a tensdo no capacitor em t a O1 10 ys 10 ms b 10 us St S 20 ps c Qual é a energia armazenada no capaci c 20us St 40 us tor por essa corrente d 40 us t co Figura P620 e Faga um grafico de ut no intervalo 10 iA ps t50 ys 5 Figura P621 imA 160 t 2 NO i792 100 5 t us 0 10 20 30 40 us 50 621 O pulso de corrente de formato retangular Pspice mostrado na Figura P621 é aplicado a um Multis capacitor de 01 wF A tens4o inicial no Circuitos elétricos Secao 63 622 Suponha que a energia inicial armazenada nos e Qual era a energia armazenada inicial Raed indutores da Figura P622 a e b seja igual mente nos indutores paralelos ultisim As a zero Determine a indutancia equivalente f Qual é a energia retida nos indutores em relacAo aos terminais ab ideais Figura P622 g Mostre que suas solug6es para i e i estao a 12 mH de acordo com a resposta obtida em f emt Figura P624 24 mH 10 mH a m m it 9 mH 15 mH t0 Caixa a LOLS if v eta b a b 25 wH 18 pH i a 625 Os trés indutores no circuito da Figura P625 Pspice esto ligados aos terminais de uma caixa preta 60 wH Muttisim x 12 wH em t0 Sabese que a tensao resultante para t0é b U 2000e 1 Vv oo Se i0 6 A ei0 1 A determine 623 Use valores realistas de indutor do Apéndice H para construir combinagG6es em série e em a 10 paralelo de indutores para obter as indutan b i2t 0 clas equivalentes especificadas a seguir Tente c itt 0 minimizar o numero de indutores usados ue 5 eae d itt 0 uponha que nenhuma energia inicial é arma 2 zenada em qualquer um dos indutores e a energia inicial armazenada nos trés a 8mH indutores b 45 wH f a energia total fornecida a caixa preta c 180 uH g aenergia final retida nos indutores ideais 624 Os dois indutores paralelos da Figura P624 Figura P625 estado ligados aos terminais de uma caixa preta em t 0 Sabese que a tensdo resultante v para t 0 é 64e V Sabese também que i0 10 A ei0 5A if LH il 19 Caixa Lo preta a Substitua os indutores originais por um indutor equivalente e determine it para t0 32H b Determine i para t 0 c Determine it para t 0 626 Para o circuito mostrado na Figura P625 d Qual é a energia fornecida A caixa preta quantos milissegundos ap6s 0 interruptor ser no intervalo de tempo 0 t c Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua aberto a energia fornecida a caixa preta chega 630 Determine o circuito equivalente para uma a 80 da energia total fornecida ligagaéo em paralelo de capacitores ideais 627 Determine acapacitancia equivalente em rela Suponha que a tensdo inicial nos capacito cdo aos terminais ab para os circuitos mos res em paralelo seja Ut Sugestdo some as trados na Figura P627 correntes dos capacitores reconhecendo que Figura P627 a ligagao em paralelo obriga a tensao em cada 50 ar 48 nF capacitor a ser a mesma ae 631 Os dois capacitores ligados em série na Figura 40v 4 30V P631 estado ligados aos terminais de uma caixa preta em t 0 Sabese que a corrente resul 8 nF 4nF 24nF 10V tante if para t 0 6 800e 2 wA 10 nF 30 nF a Substitua os capacitores originais por um b e we NI equivalente e determine Uf para t 0 vv 70v b Determine vt para t 0 25 pH c Determine v para t 0 d Qual é a energia fornecida 4 caixa preta 10V no intervalo de tempo 0 S t 0 SHE 3V e Qual era a energia inicialmente armaze uk 36 C v nada nos capacitores em serie ME AN2V f Qual éa energia final retida nos capacito 30 uF 12 uF or res ideais 200V 8V g Mostre que as solugGes para U UV esto de acordo com a resposta obtida em f 628 Use valores realistas de indutor do Apéndice Figura P631 H para construir combinagées em série e em i paralelo de capacitores para obter as indu tancias equivalentes especificadas a seguir 420 Tente minimizar o ntimero de capacito 5V 2yF ou res usados Suponha que nenhuma energia inicial é armazenada em qualquer um dos Uo rela capacitores 25 V SpF WY a 480 pF 4 b 600 nF c 120 uF 629 Determine o circuito equivalente para uma 632 Os quatro capacitores no circuito da Figura ligagao em série de capacitores ideais Supo P632 esto ligados aos terminais de uma caixa nha que cada capacitor tenha sua propria preta em t 0 Sabese que a corrente resul tensdo inicial Denote essas tens6es iniciais tante i parat 0é por V fp Vt assim por diante Suges i Se mA tao some as tensOes dos capacitores reconhe Se v0 20V v0 30 Ve v0 250 cendo que a ligacao em série obriga a corrente V determine o seguinte para 0 a vt em cada capacitor a ser a mesma b v c v0 d v0 e i0 60 Circuitos elétricos Figura P632 i 200e 80 40e20 mA an tb Se v0 5 V determine v para t 0 SuF 9 Figura P634 a Caixa 150 mH lo 200 uF fi vg inf 800 pF vy Cane t0 Caixa ve Ye 10 WF Yo preta 125 wF 633 Para o circuito da Figura P632 calcule 635 Sabese que a corrente no circuito da Figura Loe P635 é a aenergia inicial armazenada nos capacitores b aenergia final armazenada nos capacitores i 2e cos 1000 5 sen 10002 A c aenergia total fornecida a caixa preta para t 0 Determine v0 e v0 d a percentagem da energia inicial armaze yap 8 7e Figura P635 nada que é fornecida a caixa preta e 250 e o tempo em milissegundos necessario para fornecer 75 mJ a caixa preta 634 Em t0 um capacitor eum indutor ligados X10 uF 350 mH em série sdo ligados aos terminais de uma i caixa pretacomo mostra a Figura P634 Para t 0 sabese que Secao 64 636 a Mostre que as equagoes diferenciais dedu a E possivel determinar v sem ter de dife zidas em a do Exemplo 66 podem ser rear renciar as expressOes para as correntes ranjadas da seguinte forma Explique di di 8 diy b Deduza a expressao para U va 251 So 20i2 Sig 87 c Verifique sua resposta em b usando as li indutancias e as derivadas adequadas de di di 8 201 16 80i 16 correntes dt dt dt 638 Considere v 2 tensao nos terminais da fonte b Mostre que as solug6es para i e i dadas de oon ocitiy oan da ee neh tee em b do Exemplo 66 satisfazem as sao V positiva no terminal superior da fonte we de corrente equacoées diferenciais dadas na parte a deste problema a Determine v em fungao do tempo 161665 637 Considere v a tensdo no indutor de 16 H no quando i 16 l6e A circuito da Figura 625 Suponha que Uv seja b Qual é 0 valor inicial de v positiva no ponto Como no Exemplo 66 i c Determine a expresséo para a poténcia 1616e A desenvolvida pela fonte de corrente Capitulo 6 e Indutancia capacitancia e indutancia mutua d Qual é a poténcia fornecida pela fonte de Sugestdao considere i ei correntes de malha corrente quando é infinito no sentido hordario nas janelas da esquerda e Calcule a poténcia dissipada em cada e da direita da Figura P641 respectivamente resistor quando fé infinito Some as tensdes ao longo das duas malhas 639 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Na malha 1 considere U a tensao aplicada nao especificada Resolva para didt em fun cuito da Figura P639 no momento em que a sod 1 chave é aberta cao de U a Deduza a equacao diferencial que des b Mostre que se a polaridade magnetica dlo enrolamento 2 for invertida entao creve 0 comportamento dei se L 5 H L02 HM05 He R 100 L LL M b Mostre que quando i e 10 A t ab LL Ly 2M 0 a equacio diferencial encontrada em a é satisfeita quando i 625e 1 Figura P641 250e mA t 0 4 e e c Determine a expressao para a tensdo v Ly a M Ly nos terminais da fonte de corrente d Qual o valor inicial de v Isso faz b sentido em termos do comportamento conhecido do circuito 642 As marcagoes de polaridade em dois enrola Figura P639 mentos devem ser determinadas experimen M talmente O dispositivo para tal determina e 10 i cao é mostrado na Figura P642 Suponha ig t Ly L i Ro que o terminal ligado ao terminal positivo e da bateria receba a marcacao de polaridade como mostra a figura Quando o interruptor esta aberto o voltimetro cc sofre uma defle 640 a Mostre que os dois enrolamentos acoplados Lo xdo negativa Em que lugar do enrolamento da Figura P640 podem ser substituidos por ok a ligado ao voltimetro deve ser colocada a mar um tinico enrolamento com uma indutancia cacio de polaridade de L L L 2M Sugestao expresse P V em fungao de 7 Figura P642 b Mostre que se os terminais do enrolamento rR L forem invertidos L L L2M Figura P640 VgR voltimetro cc M a b VYYeVYY a e Ly e Ll 643 A montagem fisica de quatro pares de enro 641 a Mostre que os dois enrolamentos acoplados lamentos acoplados magneticamente é mos magneticamente na Figura P641 podem ser trada na Figura P643 Suponha que o fluxo substituidos por um tinico enrolamento com magnético esteja confinado ao material do uma indutancia de nticleo em cada estrutura Mostre duas pos LL M siveis localizag6es para a marcacaéo de pontos Lay L L 2M em cada par de enrolamentos Figura P643 a b c d 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 Seção 65 644 a Partindo da Equação 659 mostre que o coeficiente de acoplamento também pode ser expresso como k Å f21 f1 f12 f2 b Com base nas frações f21f1 e f12 f2 explique por que k é menor do que 10 645 Dois enrolamentos magneticamente acopla dos têm autoindutâncias de 60 mH e 96 mH respectivamente A indutância mútua entre eles é 228 mH a Qual é o coeficiente de acoplamento b Qual é o maior valor que M pode ter c Suponha que a estrutura física desses enrolamentos acoplados seja tal que F1 F2 Qual é a razão N1N2 entre o número de espiras se N1 for o número de espiras do enrolamento de 60 mH 646 Dois enrolamentos acoplados magnetica mente são enrolados em um núcleo não mag nético A autoindutância do enrolamento 1 é 288 mH a indutância mútua é 90 mH o Circuitos elétricos 228 Book Nilsson 1indb 228 290116 1211 coeficiente de acoplamento é 075 e a estrutura física dos enrolamentos é tal que F11 F22 a Determine L2 e a razão N1N2 do número de espiras b Se N1 1200 qual é o valor de F1 e F2 647 As autoindutâncias dos enrolamentos da Figura 630 são L1 18 mH e L2 32 mH Se o coeficiente de acoplamento for 085 calcule a energia armazenada no sistema em milijou les quando a i1 6 A i2 9 A b i1 6 A i2 9 A c i1 6 A i2 9 A e d i1 6 A i2 9 A 648 O coeficiente de acoplamento do Problema 647 é aumentado para 10 a Se i1 for igual a 6 A qual será o valor de i2 que resultará em energia armazenada nula b Há qualquer valor fisicamente viável de i2 que possa fazer a energia armazenada ser negativa 649 As autoindutâncias de dois enrolamentos aco plados magneticamente são 72 mH e 405 mH respectivamente O enrolamento de 72 mH tem 250 espiras e o coeficiente de acoplamento é 23 O meio de acoplamento é não magnético Quando o enrolamento 1 é excitado com o enrolamento 2 em aberto o fluxo que atravessa somente o enrolamento 1 é 02 maior do que o fluxo que atravessa o enrolamento 2 a Quantas espiras tem o enrolamento 2 b Qual é o valor de F2 em nanowebers por ampère c Qual é o valor de F11 em nanowebers por ampère d Qual é a razão f22 f12 650 As autoindutâncias de dois enrolamentos acoplados magneticamente são L1 180 mH e L2 500 mH O meio de acoplamento é não magnético Se o enrolamento 1 tiver 300 espiras e o enrolamento 2 500 espiras determine F11 e F21 em nanowebers por ampère quando o coeficiente de acopla mento for 06 Seções 6165 651 Suponha que uma tela de toque capaci tiva que utiliza um projeto de capacitân cia mútua como mostrado na Figura 633 é tocada no ponto x y Determine a capaci tância mútua nesse ponto C9mxy em termos da capacitância mútua nele sem toque Cmxy e a capacitância introduzida pelo toque Ct 652 a Suponha que a capacitância parasita no projeto de autocapacitância Cp 30 pF e a capacitância introduzida por um toque é de 15 pF veja a Figura 632b Qual é a capacitância no ponto de contato em relação à terra para os eletrodos da grade x e da grade y mais próximos ao ponto de contato b Admita que a capacitância mútua no pro jeto de autocapacitância Cmxy 30 pF e a capacitância introduzida por um toque é de 15 pF veja a Figura 633b Qual é a capacitância mútua entre os eletrodos da grade x e da grade y mais próximos do ponto de contato c Compare seus resultados em a e b O toque na tela aumenta ou diminui a capa citância nesses dois projetos de tela de toque capacitiva 653 a Como mostra a Perspectiva prática o projeto de autocapacitância não per mite uma verdadeira tela de múltiplos toques se a tela é tocada em dois pon tos quatro locais de contato são identifi cados dois reais e outros dois fantasmas Se uma tela de toque de autocapacitância é tocada nas coordenadas x y 21 43 e 32 25 quais são os quatro locais de toque a serem identificados Suponha que as coordenadas de toque são medidas em polegadas a partir do canto superior esquerdo da tela Capítulo 6 Indutância capacitância e indutância mútua 229 Book Nilsson 1indb 229 290116 1211 b A tela de toque de autocapacitância ainda pode funcionar como uma tela multitouch para vários gestos comuns Por exemplo suponha que no instante t1 os dois pontos de contato são aque les identificados em a e no instante t2 quatro pontos de contato associados às coordenadas x y 18 49 e 39 18 são identificados Comparandose os quatro pontos em t1 com os quatro pontos em t2 o software é capaz de reconhecer um gesto de pinça então a tela deve ser reduzida ou ampliada c Repita a parte b supondo que no ins tante t2 são identificados quatro pontos de toque associados às coordenadas x y 28 39 e 30 28 Circuitos elétricos 230 Book Nilsson 1indb 230 290116 1211 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 71 Resposta natural de um circuito RL 72 Resposta natural de um circuito RC 73 Resposta a um degrau de circuitos RL e RC 74 Solução geral para respostas a um degrau e natural 75 Chaveamento sequencial 76 Resposta indefi nidamente crescente 77 Amplifi cadorintegrador Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 7 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber determinar a resposta natural de circuitos RL e RC 2 Saber determinar a resposta a um degrau de circuitos RL e RC 3 Saber analisar circuitos com chaveamento sequencial 4 Saber analisar circuitos de amp op que contenham resistores e um único capacitor No Capítulo 6 observamos que um importante atributo de indutores e capacitores é sua capacidade de armazenar energia Agora estamos aptos a determinar as correntes e tensões que surgem quando a energia é fornecida ou recebida por um indutor ou capacitor em resposta a uma variação abrupta de uma fonte de corrente ou tensão cc Neste capítulo analisaremos circuitos compostos somente por resistores e indutores ou capacitores mas não ambos Para simplifi car essas confi gurações são denominadas circuitos RL resistorindutor e RC resistorcapacitor Nossa análise de circuitos RL e RC será dividida em três fases Na primeira examinaremos as correntes e tensões que surgem quando a energia armazenada em um indutor ou capacitor é fornecida repentina mente a uma rede resistiva Isso acontece quando o indutor ou capacitor é desligado de modo abrupto de sua fonte cc Assim podemos reduzir o circuito a uma das duas formas equivalentes mostradas na Figura 71 As correntes e tensões que surgem nessa confi guração são denominadas Figura 71 Duas formas de circuitos para a resposta natural a Circuito RL b Circuito RC a Leq Req I0 b Req Ceq V0 1 2 Book Nilsson 2indb 231 290116 1419 Circuitos elétricos resposta natural do circuito para deixar claro que é a natureza do circuito em si e nao fontes externas de excitagao que determina seu comportamento Na segunda fase de nossa andlise examinaremos as correntes e tensdes que surgem quando a energia é recebida por um indutor ou capacitor por causa da aplicacao repentina de uma fonte de tensao ou corrente cc Essa resposta 6 denominada resposta a um degrau 0 processo para determinar tanto a resposta natural quanto a um degrau é 0 mesmo por isso na terceira fase de nossa andlise desenvolveremos um método geral que pode ser usado para determinar a resposta de circuitos RL e RC a qualquer variagao abrupta em uma fonte de tensdo ou corrente cc A Figura 72 mostra as quatro possibilidades para a configuragao geral de circuitos RL e RC Observe que quando nao ha nenhuma fonte independente no circuito a tensao de Thévenin ou a corrente de Norton é nula e 0 circuito reduzse aos mostrados na Figura 71 isto 6 temos um problema de resposta natural Figura 72 Quatro possiveis circuitos de primeira ordem a Um indutor ligado a um equivalente de Thévenin b Um indutor ligado a um equivalente de Norton c Um capacitor ligado a um equivalente de Thévenin d Um capacitor ligado a um equivalente de Norton Rt Rth TO TT a v om 1 Rtn Lyv Vin C v om 1 Rtn C v Th Th a b c d Perspectiva pratica Marcapasso cardiaco artificial A musculatura que compée 0 coracao contraise em resposta a im Fios Marcapasso pulsos elétricos ritmicos A frequéncia dos impulsos é controlada por cé lulas marcapasso Em adultos essas células estabelecem uma frequén cia cardiaca de repouso de aproximadamente 72 batimentos por minuto Mas as vezes as células marcapasso sofrem dano e podem produzir Eletrodo uma frequéncia cardiaca de repouso muito baixa uma condigao conhecida como bradicardia ou muito alta uma condigao conhecida como taquicar dia Podese restaurar o ritmo cardiaco normal com a implantagao de um marcapasso artificial que fornece impulsos elétricos ao coracao imitando as Células marcapasso Um exemplo de marcapasso artificial tanto fora quanto dentro do corpo é mostrado ao lado Marcapassos artificiais sao muito pequenos e leves Possuem um ol microprocessador programavel que monitora alguns parametros e ajusta 0 batimento cardiaco uma bateria eficiente com uma vida util de até 15 anos um Circuito que gera a pulsagao O circuito mais simples consiste em um resistor e um capacitor Apos introduzirmos 0 circuito RC de primeira ordem vamos analisar um projeto de circuito RC para marcapassos artificiais Circuitos RL e RC também sao conhecidos como circuitos de primeira ordem porque suas tensOes e correntes sao descritas por equagoes di Eletrodo 71 Resposta natural de um circuito RL A resposta natural de um circuito RL pode ser mais bem descrita em termos do circuito mostrado na Figura 73 Admiti mos que a fonte independente de corrente gere uma corrente constante de Is A e que a chave esteja fechada há longo tempo Definiremos a expressão longo tempo com mais exatidão adiante nesta seção Por enquanto ela significa que todas as correntes e tensões atingiram um valor constante Portanto somente corren tes constantes ou cc podem existir no circuito imediatamente antes da abertura da chave e por conseguinte o indutor com portase como um curtocircuito Ldidt 0 antes do forneci mento ao circuito resistivo da energia nele armazenada Uma vez que o indutor se comporta como um curtocircuito a tensão no ramo indutivo é igual a zero e não pode haver nenhuma corrente nem em R0 nem em R Assim toda a corrente da fonte Is percorre o ramo indutivo Para determinar a resposta natural é necessário determinar a tensão e a corrente nos terminais do resistor após a chave ter sido aberta isto é após a fonte ter sido desligada e o indutor começar a fornecer energia Se considerarmos t 0 o instante em que a chave é aberta o problema passa a ser determinar vt e it para t 0 Para t 0 o circuito da Figura 73 reduzse ao mostrado na Figura 74 Cálculo da expressão da corrente Para determinar it usamos a lei das tensões de Kirchhoff para obter uma expressão que envolva i R e L Somando as tensões ao longo do caminho fechado temos L di dt 1 Ri 5 0 71 em que usamos a convenção passiva A Equação 71 é conhecida como equação diferencial de primeira ordem porque contém termos que envolvem a derivada ordinária da incógnita isto é didt A ordem de derivação mais alta que aparece na equação é 1 daí o termo primeira ordem Podemos avançar mais um pouco na descrição dessa equação Os coeficientes da equação R e L são constantes isto é não são funções nem da variável dependente i nem da variável independente t Assim a equação também pode ser descrita como uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes Figura 73 Circuito RL R0 Is R i L v 1 2 t 5 0 Figura 74 Circuito mostrado na Figura 73 para t 0 i L 1 2 v R i0 5 Is ferenciais de primeira ordem Independentemente da complexidade aparente de um circuito se ele puder ser reduzido a um equivalente de Thévenin ou de Norton ligado aos terminais de um indutor ou capacitor equivalente tratase de um circuito de primeira ordem Observe que se existirem vários indutores ou capacitores no circuito original eles devem ser interligados de modo que possam ser substituídos por um único elemento equivalente Após apresentarmos as técnicas para analisar respostas naturais e a um degrau de circuitos de primeira ordem discu tiremos alguns casos especiais de interesse O primeiro é o de chaveamento sequencial que envolve circuitos em que o cha veamento pode ocorrer em dois ou mais instantes no tempo Em seguida vem a resposta indefinidamente crescente Por fim analisaremos um circuito útil denominado amplificadorintegrador Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 233 Book Nilsson 2indb 233 290116 1419 Para resolver a Equação 71 dividimos ambos os lados por L transferimos o termo que envolve i para o lado direito e então multiplicamos por um tempo diferencial dt O resultado é di dt dt R Li dt 72 Em seguida reconhecemos o lado esquerdo da Equação 72 como uma variação diferen cial na corrente i isto é di Agora dividimos todos os termos por i e obtemos di i 52R Ldt 73 Obtemos uma expressão explícita para i como uma função de t integrando ambos os lados da Equação 73 Usando x e y como variáveis de integração temos it it0 dx x 52R L t t0 dy 74 em que it0 é a corrente correspondente ao tempo t0 e it é a corrente correspondente ao tempo t Aqui t0 0 Portanto executando a integração indicada obtemos ln it i0 52R Lt 75 Com base na definição de logaritmo natural it i0eRLt 76 Lembrese de que no Capítulo 6 afirmamos que não pode ocorrer uma variação instantâ nea de corrente em um indutor Portanto no primeiro instante após a chave ter sido aberta a corrente no indutor permanece inalterada Se usarmos 0 para indicar o tempo imediatamente anterior ao chaveamento e 0 para o tempo imediatamente após o chaveamento então i0 i0 I0 em que como na Figura 71 I0 é a corrente inicial no indutor A corrente inicial no indutor está orientada na direção de referência de i Daí a Equação 76 tornase it I0eRLt t 0 77 o que mostra que a corrente começa no valor inicial I0 e diminui exponencialmente tendendo a zero à medida que t aumenta A Figura 75 mostra essa resposta Deduzimos a tensão no resistor da Figura 74 por uma aplicação direta da lei de Ohm v iR I 0ReRLt t 0 78 Observe que em contraste com a expressão para a cor rente mostrada na Equação 77 a tensão é definida somente para t 0 e não em t 0 A razão é que ocorre uma variação em degrau na tensão em t 0 Observe que para t 0 a deri vada da corrente é igual a zero portanto a tensão também é nula Esse resultado decorre de v Ldidt 0 Assim v0 0 79 v0 I0R 710 Corrente u inicial do indutor Resposta u natural de um circuito RL Figura 75 Corrente para o circuito mostrado na Figura 74 0 it t I0 Circuitos elétricos 234 Book Nilsson 2indb 234 290116 1419 em que v0 é obtida da Equação 78 com t 01 Com essa variação instantânea o valor da tensão em t 0 é desconhecido Por isso usamos t 0 para definir a região de validade para essas soluções Calculamos a potência dissipada no resistor a partir de qualquer uma das seguintes expressões p 5 vi p 5 i2R ou p 5 v2 R 711 Seja qual for a forma usada a expressão resultante pode ser reduzida a p I 2 0Re2RLt t 0 712 A energia fornecida ao resistor durante qualquer intervalo de tempo após a chave ter sido aberta é 5 1 2LI0 21 2 e22 t 5 1 2 I 2 0R1 2 e22 t w 5 t 0 pdx 5 t 0 I 2 0Re22RLx dx RL RL RL t 0 713 Observe que pela Equação 713 à medida que t tende ao infinito a energia dissipada no resistor aproximase da energia inicial armazenada no indutor O significado da constante de tempo As expressões para it Equação 77 e vt Equação 78 incluem um termo da forma eRLt O coeficiente de t a saber RL determina a taxa segundo a qual a corrente ou tensão se apro xima de zero A recíproca dessa razão é a constante de tempo do circuito t 5 constante de tempo 5 L R 714 Usando o conceito de constante de tempo escrevemos as expressões para corrente ten são potência e energia como w 5 1 2LI0 21 2 e22tt t 0 p 5 I 0 2Re22tt t 01 vt 5 I 0Re2tt t 01 it 5 I 0e2tt t 0 715 716 717 718 A constante de tempo é um parâmetro importante para circuitos de primeira ordem por tanto vale a pena mencionar várias de suas características Em primeiro lugar é conveniente imaginar o tempo transcorrido após o chaveamento em termos de múltiplos inteiros de t 1 Podemos definir mais formalmente as expressões 0 e 0 A expressão x0 referese ao limite da variável x quando t S 0 pela esquerda ou a partir de tempos negativos A expressão x0 referese ao limite da variável x quando t S 0 pela direita ou a partir de tempos positivos t Constante de tempo para o circuito RL Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 235 Book Nilsson 2indb 235 290116 1419 Assim uma constante de tempo após o indutor ter começado a fornecer sua energia armazenada ao resistor a corrente foi reduzida a e1 ou aproximadamente 037 de seu valor inicial A Tabela 71 dá o valor de ett para múltiplos inteiros de t de 1 a 10 Observe que quando o tempo transcorrido excede cinco constantes de tempo a corrente é menor que 1 de seu valor inicial Assim em alguns casos dizemos que em cinco constantes de tempo após o chaveamento ter ocorrido para a maioria das finalidades práticas as correntes e tensões alcançaram seus valo res finais Para circuitos com uma única constante de tempo cir cuitos de primeira ordem com 1 de precisão a expressão um longo tempo indica que transcorreram cinco ou mais constantes de tempo Desse modo a exis tência de corrente no circuito RL mostrado na Figura 71a é um evento momentâneo denomi nado resposta transitória do circuito A resposta que passa a existir depois de um longo tempo após o chaveamento é denominada resposta de regime permanente Então a expressão um longo tempo também significa o tempo que o circuito leva para alcançar seu regime permanente Qualquer circuito de primeira ordem é caracterizado em parte pelo valor de sua constante de tempo Se não tivermos nenhum método para calcular a constante de tempo de tal circuito talvez por não conhecermos os valores de seus componentes podemos determinar seu valor a partir do gráfico da resposta natural do circuito Isso porque outra importante característica da constante de tempo é que ela corresponde ao tempo que seria necessário para a corrente alcan çar seu valor final se continuasse a variar de acordo com sua taxa de variação inicial Para ilus trar calculamos didt em 0 e admitimos que a corrente continue a variar a essa taxa di dt01 5 2 R LI 0 5 2 I 0 t 719 Agora se i começar como I0 e diminuir a uma taxa constante de I0t ampères por segundo a expressão para i tornase i 5 I 0 2 I 0 t t 720 A Equação 720 indica que i alcançaria seu valor final zero em t segundos A Figura 76 mostra como essa inter pretação gráfica é útil para estimar a constante de tempo de um circuito a partir de um gráfico de sua resposta natu ral Esse gráfico poderia ser gerado em um osciloscópio que medisse a corrente de saída Traçando a tangente à curva da resposta natural em t 0 e lendo o valor no ponto onde a tangente intercepta o eixo do tempo temos o valor de t O cálculo da resposta natural de um circuito RL pode ser resumido da seguinte forma 1 Determine a corrente inicial I0 que passa pelo indutor 2 Calcule a constante de tempo do circuito t LR 3 3 Use a Equação 715 I0ett para gerar it a partir de I0 e t Todos os outros cálculos de interesse decorrem da expressão de it Os exemplos 71 e 72 ilustram os cálculos numéricos associados à resposta natural de um circuito RL Figura 76 Interpretação gráfica da constante de tempo do circuito RL mostrado na Figura 74 0 i I0 t t i 5 I02I0tt i 5 I0e2tt Cálculo da u resposta natural de circuito RL Tabela 71 Valor de e t t para t igual a múltiplos inteiros de t t e2tt t e2tt 45400 105 10t 67379 103 5t 12341 104 9t 18316 102 4t 33546 104 8t 49787 102 3t 91188 104 7t 13534 101 2t 24788 103 6t 36788 101 t ett t ett t Circuitos elétricos 236 Book Nilsson 2indb 236 290116 1419 ExEMPlo 71 Determinação da resposta natural de um circuito RL A chave no circuito mostrado na Figura 77 esteve fechada por um longo tempo antes de ser aberta em t 0 Determine a iLt para t 0 b iot para t 0 c vot para t 0 d a percentagem da energia total armazenada no indu tor de 2 H que é dissipada no resistor de 10 V Solução a A chave esteve fechada por um longo tempo antes de t 0 e portanto sabemos que a tensão no indutor deve ser igual a zero em t 0 Logo a corrente inicial no indutor é 20 A em t 0 Assim iL0 também é 20 A pois a corrente não pode sofrer uma variação instantânea em um indutor Substituímos o circuito resistivo ligado aos terminais do indutor por um único resistor de 10 V Req 2 40 10 10 V A constante de tempo do circuito é LReq ou 02 s o que resulta na expressão para a corrente no indutor iLt 20e5t A t 0 b Determinamos a corrente no resistor de 40 V mais facilmente usando divisão de corrente isto é io 5 2iL 10 10 1 40 Observe que essa expressão é válida para t 0 porque io 0 em t 0 O indutor comportase como um curtocircuito antes de a chave ser aberta produzindo uma variação instantânea na cor rente io Então iot 4e5t A t 0 c Determinamos a tensão vo pela aplicação direta da lei de Ohm vot 40io 160e5t V t 0 d A potência dissipada no resistor de 10 V é p10Vt 5 vo 2 10 5 2560e210t W t 01 A energia total dissipada no resistor de 10 V é w10Vt 5 0 2560e210t dt 5 256 J A energia inicial armazenada no indutor de 2 H é w0 5 1 2 Li20 5 1 2 2400 5 400 J Portanto a percentagem de energia dissipada no resistor de 10 V é 256 400100 5 64 Figura 77 Circuito para o Exemplo 71 2 V 01 V 10 V 40 V 20 A 2 H iL io t 5 0 1 2 vo Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 237 Book Nilsson 2indb 237 290116 1420 ExEMPlo 72 Determinação da resposta natural de um circuito RL com indutores em paralelo No circuito mostrado na Figura 78 as correntes iniciais nos indutores L1 e L2 foram estabelecidas por fontes não mostradas A chave é aberta em t 0 a Determine i1 i2 e i3 para t 0 b Calcule a energia inicial armazenada nos indutores em paralelo c Determine qual é a energia armazenada nos indutores quando t S q d Mostre que a energia total fornecida à rede resistiva é igual à diferença entre os resultados obtidos em b e c Figura 78 Circuito para o Exemplo 72 i1 L1 5 H 40 V 15 V 10 V 4 V 8 A i2 i3 L2 20 H 4 A t 5 0 vt 1 2 Solução a Para determinar as correntes i1 i2 e i3 é preciso conhecer a tensão vt Podemos determinála com facilidade se redu zirmos o circuito da Figura 78 à forma equivalente mostrada na Figura 79 Os indutores em paralelo são substituídos por uma indutância equivalente de 4 H conduzindo uma corrente inicial de 12 A A rede resistiva reduzse a uma única resistência de 8 V Por conseguinte o valor inicial de it é 12 A e a constante de tempo é 48 ou 05 s Portanto it 12e2t A t 0 A tensão vt é então simplesmente o produto 8i e portanto vt 96e2t V t 0 O circuito mostra que vt 0 em t 0 de modo que a expressão para vt é válida para t 0 Após obter vt podemos calcular i1 i2 e i3 i2 5 1 20 t 0 96e22x dx 2 4 5 16 2 96e22t A t 0 i1 5 1 5 t 0 96e22x dx 2 8 i3 vt 10 15 25 576e2t A t 0 16 24e2t A t 0 Observe que as expressões para as correntes nos indutores i1 e i2 são válidas para t 0 ao passo que a expressão para a corrente no resistor i3 é válida para t 0 Figura 79 Simplificação do circuito mostrado na Figura 78 i vt 1 2 4 H 12 A 8 V Circuitos elétricos 238 Book Nilsson 2indb 238 290116 1420 b A energia inicial armazenada nos indutores é w 5 1 2564 1 1 22016 5 320 J c Quando t S q i1 S 16 A e i2 S 16 A Portanto um longo tempo após a chave ter sido aberta a energia armazenada nos dois indutores é w 5 1 25162 1 1 2202162 5 32 J d Obtemos a energia total fornecida à rede resistiva integrando a expressão para a potência instan tânea de zero a infinito 5 1152e24t 24 2 0 5 288 J w 5 0 pdt 5 0 1152e24tdt Esse resultado é a diferença entre a energia inicialmente armazenada 320 J e a energia final arma zenada nos indutores em paralelo 32 J O indutor equivalente para os indutores em paralelo que prevê o comportamento terminal da combinação em paralelo tem uma energia inicial de 288 J isto é a energia armazenada no indutor equivalente representa a quantidade de energia que será fornecida à rede resistiva ligada aos terminais dos indutores originais Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural de circuitos RL e RC 71 A chave no circuito mostrado esteve fechada por um longo tempo e é aberta em t 0 a Calcule o valor inicial de i b Calcule a energia inicial armazenada no indutor c Qual é a constante de tempo do circuito para t 0 d Qual é a expressão numérica de it para t 0 e Qual percentagem da energia inicial armazenada é dissipada no resistor de 2 V 5 ms após a chave ter sido aberta Resposta a 125 A b 625 mJ c 4 ms d 125e250t A t 0 e 918 72 Em t 0 a chave no circuito mostrado passa instantaneamente da posição a para a posição b a Calcule vo para t 0 b Qual percentagem da energia inicial armazena da no indutor é dissipada no resistor de 4 V Resposta a 8e10t V t 0 b 80 NOTA tente resolver também os problemas 73 78 e 79 apresentados no final deste capítulo 1 2 120 V 30 V 2 V 8 mH 6 V t 5 0 i 3 V 64 A t 5 0 a b vo 10 V 032 H 4 V 6 V 1 2 PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 239 Book Nilsson 2indb 239 290116 1420 72 Resposta natural de um circuito RC Como mencionado na Seção 71 a resposta natural de um circuito RC é análoga à de um circuito RL Assim não trataremos o circuito RC com o mesmo nível de detalhamento do circuito RL A resposta natural de um circuito RC é analisada a partir do circuito mostrado na Figura 710 Começamos supondo que a chave esteve na posi ção a por um longo tempo o que permite que o laço formado pela fonte de tensão cc Vg o resistor R1 e o capacitor C atinjam uma condição de regime permanente Lembrese de que dissemos no Capítulo 6 que um capacitor comportase como um circuito aberto na presença de uma tensão cons tante Assim a fonte de tensão não faz circular no capacitor uma corrente e portanto a tensão da fonte aparece nos terminais do capacitor Na Seção 73 discutiremos como a tensão no capacitor cresce até o valor de regime permanente igual ao da fonte de tensão cc mas por enquanto o ponto importante é que quando a chave passa da posição a para a posição b em t 0 a tensão no capacitor é Vg Como não pode haver variação instantâ nea de tensão nos terminais de um capacitor o problema reduzse a resol ver o circuito mostrado na Figura 711 Cálculo da expressão da tensão Podemos determinar a tensão vt com facilidade pensando em termos de tensões de nó Usando a junção inferior entre R e C como o nó de referência e somando as correntes que saem da junção superior entre R e C temos C dv dt 1 v R 5 0 721 Comparando a Equação 721 com a Equação 71 vemos que as mesmas técnicas matemá ticas podem ser usadas para obter a solução para vt Deixamos para você demonstrar que vt v0etRC t 0 722 Como já havíamos observado a tensão inicial no capacitor é igual à tensão da fonte de tensão Vg ou v0 v0 v0 Vg V0 723 em que V0 é a tensão inicial no capacitor A constante de tempo para o circuito RC é igual ao produto entre a resistência e a capacitância a saber t RC 724 Substituindo as equações 723 e 724 na Equação 722 obtemos vt V0ett t 0 725 o que indica que a resposta natural de um circuito RC é uma queda exponencial a partir da tensão inicial A constante de tempo RC comanda a velocidade da queda A Figura 712 mostra o gráfico da Equação 725 e a interpretação gráfica da constante de tempo Figura 710 Circuito RC 1 2 C a b t 5 0 Vg R R1 Figura 711 Circuito mostrado na Figura 710 após chaveamento C v i R Vg 1 2 1 2 Tensão u inicial no capacitor Constante de u tempo para circuito RC Resposta u natural de um circuito RC Circuitos elétricos 240 Book Nilsson 2indb 240 290116 1420 Após a determinação de vt podemos calcular com facilidade as expressões para i p e w 5 1 2CV0 21 2 e22tt t 0 w 5 t 0 p dx 5 t 0 V0 2 R e22xt dx p 5 vi 5 V0 2 R e22tt t 01 it 5 vt R 5 V0 R e2tt t 01 726 727 728 O cálculo da resposta natural de um circuito RC pode ser resumido da seguinte forma 1 Determine a tensão inicial V0 no capacitor 2 Determine a constante de tempo do circuito t RC 3 Use a Equação 725 vt V0ett para gerar vt a partir de V0 e t Todos os outros cálculos de interesse decorrem da expressão de vt Os exemplos 73 e 74 ilustram os cálculos associados à resposta natural de um circuito RC t Cálculo da resposta natural de um circuito RC Figura 712 Resposta natural de um circuito RC 0 t V0 vt t vt 5V0 2 V0 t t vt V0e2tt ExEMPlo 73 Determinação da resposta natural de um circuito RC A chave do circuito mostrado na Figura 713 esteve na posição x por um longo tempo Em t 0 ela passa instantaneamente para a posição y Determine a vCt para t 0 b vot para t 0 c iot para t 0 e d a energia total dissipada no resistor de 60 kV Solução a Como a chave esteve na posição x por um longo tempo o capacitor de 05 µF se carrega até a ten são de 100 V positiva no terminal superior Podemos substituir a rede resistiva ligada ao capacitor em t 0 por uma resistência equivalente de 80 kV Assim a constante de tempo do circuito é 05 10680 103 ou 40 ms Então vCt 100e25t V t 0 b O modo mais fácil de determinar vot é observar que o circuito resistivo forma um divisor de ten são nos terminais do capacitor Assim vot 5 48 80vCt 5 60e225t V t 01 Essa expressão para vot é válida para t 0 porque vo0 é igual a zero Assim temos uma varia ção instantânea na tensão no resistor de 240 kV Figura 713 Circuito para o Exemplo 73 1 2 1 2 1 2 100 V vo vC 05 mF io x y t 5 0 240 kV 60 kV 10 kV 32 kV Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 241 Book Nilsson 2indb 241 290116 1420 c Determinamos a corrente iot pela lei de Ohm iot 5 vot 60 3 103 5 e225t mA t 01 d A potência dissipada no resistor de 60 kV é p60kVt io 2t60 103 60e50t mW t 0 A energia total dissipada é w60kV 5 0 io 2t60 3 103 dt 5 12 mJ ExEMPlo 74 Determinação da resposta natural de um circuito RC com capacitores em série As tensões iniciais nos capacitores C1 e C2 no circuito da Figura 714 foram estabelecidas por fontes não mostradas A chave é fechada em t 0 a Determine v1t v2t e vt para t 0 e it para t 0 b Calcule a energia inicial armazenada nos capacitores C1 e C2 c Determine a energia que fica armazenada nos capacitores quando t S q d Mostre que a energia total fornecida ao resistor de 250 kV é a diferença entre os resultados obtidos em b e c Solução a Assim que conhecermos vt poderemos obter a corrente it pela lei de Ohm Após determinar it podemos calcular v1t e v2t porque a tensão em um capacitor é função de sua corrente Para determinar vt substituímos os capacitores ligados em série por um capacitor equivalente Ele tem uma capacitância de 4 mF e está carregado com uma tensão de 20 V Portanto o circuito mostrado na Figura 714 reduzse ao mostrado na Figura 715 o que revela que o valor inicial de vt é 20 V e que a constante de tempo do circuito é 4250 103 ou 1 s Assim a expressão para vt é vt 20et V t 0 A corrente it é it 5 vt 250000 5 80e2t mA t 01 Conhecendo it calculamos as expressões para v1t e v2t Figura 714 Circuito para o Exemplo 74 t 5 0 C1 5 mF v1t vt v2t it 4 V 1 2 C2 20 mF 24 V 250 kV 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 4 mF it t 5 0 vt 250 kV 20 V 1 2 Figura 715 Simplificação do circuito mostrado na Figura 714 Circuitos elétricos 242 Book Nilsson 2indb 242 290116 1420 5 4e2t 1 20 V t 0 v2t 52 106 20 t 0 80 3 1026e2x dx 1 24 5 16e2t 2 20 V t 0 v1t 52 106 5 t 0 80 3 1026e2x dx 2 4 b A energia inicial armazenada em C1 é w1 5 1 25 3 102616 5 40 mJ A energia inicial armazenada em C2 é w2 5 1 220 3 1026576 55760 mJ A energia total armazenada nos dois capacitores é wo 40 5760 5800 mJ c Quando t S q v1 S 20 V e v2 S 20 V Portanto a energia armazenada nos dois capacitores é w 5 1 25 1 20 3 1026400 55000 mJ d A energia total fornecida ao resistor de 250 kV é w 5 0 pdt 5 0 400e22t 250000 dt 5 800 mJ Comparando os resultados obtidos em b e c vemos que 800 mJ 5800 5000 mJ A energia armazenada no capacitor equivalente na Figura 715 é 1 24 106400 ou 800 mJ Como esse capacitor exibe o comportamento terminal dos capacitores originais ligados em série a ener gia armazenada no capacitor equivalente é a energia fornecida ao resistor de 250 kV Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 243 Book Nilsson 2indb 243 290116 1420 Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural de circuitos RL e RC 73 A chave no circuito mostrado esteve fechada por um longo tempo e é aberta em t 0 Determine a o valor inicial de vt b a constante de tempo para t 0 c a expressão numérica para vt após a chave ter sido aberta d a energia inicial armazenada no capacitor e e o tempo necessário para que 75 da energia ini cialmente armazenada seja dissipada Resposta a 200 V b 20 ms c 200e50t V t 0 d 8 mJ e 1386 ms 74 A chave no circuito mostrado esteve fechada durante um longo tempo antes de ser aberta em t 0 a Determine vot para t 0 b Qual percentagem da energia inicial armazenada no circuito é dissipada após a chave estar aberta por 60 ms Resposta a 8e25t 4e10t V t 0 b 8105 NOTA tente resolver também os problemas 723 e 725 apresentados no final deste capítulo 1 2 75 mA vt 04 mF 80 kV 50 kV 20 kV t 5 0 40 kV vot t 5 0 1 2 15 V 15 kV 20 kV 1 2 1 mF 5 mF PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo 73 Resposta a um degrau de circuitos RL e RC Estamos prontos para discutir o problema de determinar as correntes e tensões geradas em circuitos RL ou RC de primeira ordem quando lhes são aplicadas repentinamente fontes de tensão ou corrente cc A resposta de um circuito à aplicação repentina de uma fonte de ten são ou corrente constante é denominada resposta a um degrau Ao analisarmos essa resposta mostramos como o circuito responde quando a energia está sendo armazenada no indutor ou capacitor Começamos com a resposta a um degrau de um circuito RL Resposta a um degrau de um circuito RL Para começar modificamos o circuito de primeira ordem mostrado na Figura 72a acrescentandolhe uma chave Usamos o circuito resultante mostrado na Figura 716 para desenvolver a resposta a um degrau de um circuito RL A energia armazenada no indutor no instante em que a chave fecha é dada em termos de uma corrente inicial diferente de zero i0 A tarefa é determinar as expressões para a corrente Figura 716 Circuito usado para ilustrar a resposta a um degrau de um circuito RL de primeira ordem 1 2 Vs 1 2 R t 5 0 i L vt Circuitos elétricos 244 Book Nilsson 2indb 244 290116 1420 no circuito e para a tensão nos terminais do indutor após o fechamento da chave O procedi mento é o mesmo usado na Seção 71 utilizamos a análise de circuitos para escrever a equação diferencial que descreve o circuito em termos da variável de interesse e então usamos o cál culo diferencial e integral elementar para resolver a equação Após a chave da Figura 716 ter sido fechada a lei das tensões de Kirchhoff determina que Vs 5 Ri 1 L di dt 729 equação que pode ser resolvida para a corrente separandose as variáveis i e t e então inte grando A primeira etapa dessa abordagem é resolver a Equação 729 para a derivada didt di dt 5 2Ri 1 Vs L 5 2R L ai 2 Vs R b 730 Em seguida multiplicamos ambos os lados da Equação 730 por um tempo diferencial dt Essa etapa reduz o lado esquerdo da equação a uma variação diferencial na corrente Assim di dtdt 5 2R L ai 2 Vs R b dt 731 ou di 5 2R L ai 2 Vs R b dt Agora separamos as variáveis na Equação 731 para obter di i 2 Vs R 5 2R L dt 732 e então integramos ambos o lados da Equação 732 Usando x e y como variáveis para a inte gração obtemos it I 0 dx x 2 Vs R 5 2R L t 0 dy 733 em que I0 é a corrente em t 0 e it é a corrente em qualquer t 0 A integração da Equação 733 resulta na expressão ln it 2 Vs R I 0 2 Vs R 5 2R L t 734 da qual it 2 Vs R I 0 2 Vs R 5 e2RLt ou it 5 Vs R 1 aI 0 2 Vs R be2RLt 735 Quando a energia inicial no indutor é igual a zero I0 é nula Assim a Equação 735 reduzse a it 5 Vs R 2 Vs Re2RLt 736 A Equação 736 indica que após a chave ser fechada a corrente aumenta exponencial mente de zero a um valor final de VsR A constante de tempo do circuito LR determina a taxa de crescimento Uma constante de tempo depois de a chave ter sido fechada a corrente terá alcançado aproximadamente 63 de seu valor final ou t Resposta a um degrau de circuito RL Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 245 Book Nilsson 2indb 245 290116 1420 it 5 Vs R 2 Vs R e21 06321Vs R 737 Se a corrente continuasse a aumentar à sua taxa inicial ela alcançaria seu valor final em t t isto é visto que di dt 5 2Vs R a21 t be2tt 5 Vs L e2tt 738 a taxa de variação inicial de it é di dt0 5 Vs L 739 Se a corrente continuasse a aumentar a essa taxa a expressão para i seria i 5 Vs L t 740 da qual em t t i 5 Vs L L R 5 Vs R 741 As equações 736 e 740 estão plotadas na Figura 717 Os valores dados pelas equações 737 e 741 também são mostrados na figura A tensão no indutor é Ldidt portanto pela Equação 735 para t 0 v La R L b aI 0 Vs R be RLt Vs I 0Re RLt 742 A tensão no indutor é igual a zero antes de a chave ser fechada A Equação 742 indica que a tensão no indutor salta para Vs I0R no instante em que a chave é fechada e então cai exponencialmente a zero O valor de v em t 0 faz sentido Como a corrente inicial é I0 e o indutor impede uma variação instantânea na corrente a corrente é I0 em um instante após o fechamento da chave A queda de tensão no resistor é I0R e a tensão nos terminais do indutor é a tensão da fonte menos a queda de tensão isto é Vs I0R Quando a corrente inicial no indutor é igual a zero a Equação 742 é simplificada para v Vs eRLt 743 Se a corrente inicial for nula a tensão no indutor sal tará para Vs Também esperamos que a tensão do indutor se aproxime de zero à medida que t aumenta porque a corrente no circuito está se aproximando do valor constante de VsR A Figura 718 mostra o gráfico da Equação 743 e a relação entre a constante de tempo e a taxa inicial em que a tensão do indutor está diminuindo Se houver uma corrente inicial no indutor a Equação 735 fornece a solução adequada O sinal algébrico de I0 será positivo se a corrente inicial estiver na mesma direção de i caso contrário I0 leva um sinal negativo O Exemplo 75 ilus tra a aplicação da Equação 735 a um circuito específico Figura 717 Resposta a um degrau do circuito RL mostrado na Figura 716 quando I0 0 t 0 it 0632 5 4 3 2 it 5 Vs t L it 5 Vs R Vs R Vs R Vs R 2 e2t Figura 718 Tensão no indutor versus tempo R L t 0 v 5 Vs 2 v 5 Vse2RLt Vs v 0368 Vs 5 4 3 2 Vs t Circuitos elétricos 246 Book Nilsson 2indb 246 290116 1420 ExEMPlo 75 Determinação da resposta a um degrau de um circuito RL A chave do circuito mostrado na Figura 719 esteve na posição a por um longo tempo Em t 0 ela passa da posição a para a posição b A chave é do tipo liga antesinterrompedepois isto é a ligação na posição b é estabelecida antes de a ligação na posição a ser interrompida o que evita a interrupção da corrente no indutor a Determine a expressão de it para t 0 b Qual é a tensão inicial no indutor imediatamente após a chave ter passado para a posição b c Quantos milissegundos após a chave ter mudado de posição a tensão nos terminais do indutor atinge 24 V d Essa tensão inicial faz sentido em termos do comportamento do circuito e Faça um gráfico de it e vt em função de t Solução a A chave esteve na posição a por um longo tempo de forma que o indutor de 200 mH é um curto circuito para a fonte de corrente de 8 A Logo o indutor conduz uma corrente inicial de 8 A Essa corrente tem sentido oposto ao da referência escolhida para i assim I0 8 A Quando a chave estiver na posição b o valor final de i será 242 ou 12 A A constante de tempo do circuito é 2002 ou 100 ms Substituindo esses valores na Equação 735 temos i 12 8 12et01 12 20e10t A t 0 b A tensão nos terminais do indutor é 5 40e210t V t 01 5 02200e210t v 5 L di dt A tensão inicial no indutor é v0 40 V c Sim no instante após ter passado para a posição b o indutor conduz uma corrente de 8 A em sentido antihorário ao longo do caminho fechado recémformado Essa corrente provoca uma queda de 16 V no resistor de 2 V Essa queda de tensão somase à queda na fonte o que produz uma queda de 40 V no indutor d Determinamos o tempo para o qual a tensão nos terminais do indutor é igual a 24 V resolvendo a expressão 24 40e10t Figura 719 Circuito para o Exemplo 75 2 V 10 V 200 mH a b 8 A i 1 2 v t 5 0 24 V 1 2 Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 247 Book Nilsson 2indb 247 290116 1420 para t 5 5108 ms 5 5108 3 1023 t 5 1 10 ln 40 24 e A Figura 720 mostra os gráficos de it e vt em função de t Observe que o instante de tempo para o qual a corrente é igual a zero corresponde ao ins tante de tempo para o qual a tensão nos terminais do indutor é igual à tensão da fonte de 24 V como previsto pela lei das tensões de Kirchhoff Figura 720 Formas de onda de corrente e tensão para o Exemplo 75 28 iA vV v i 100 200 300 400 500 t ms 8 16 24 32 40 24 4 8 12 Podemos ainda descrever a tensão vt nos terminais do indutor da Figura 716 direta mente e não em termos da corrente do circuito Começamos observando que a tensão no resistor é a diferença entre a tensão da fonte e a do indutor Escrevemos it 5 Vs R 2 vt R 744 em que Vs é uma constante Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo temos di dt 52 1 R dv dt 745 Então se multiplicarmos cada lado da Equação 745 pela indutância L obteremos no lado esquerdo uma expressão para a tensão no indutor ou v 5 2 L R dv dt 746 Colocando a Equação 746 na forma padrão temos dv dt 1 R L v 5 0 747 Objetivo 2 Saber determinar a resposta a um degrau de circuitos RL e RC 75 Suponha que a chave no circuito mostrado na Figura 719 esteja na posição b por um longo tempo e em t 0 ela passe para a posição a Determine a i0 b v0 c t t 0 d it t 0 e e vt t 0 Resposta a 12 A b 200 V c 20 ms d 8 20e50t A t 0 e 200e50t V t 0 NOTA tente resolver também os problemas 735737 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 248 Book Nilsson 2indb 248 290116 1420 Você deve averiguar no Problema 738 se a solução da Equação 747 é idêntica à dada na Equação 742 Neste ponto é pertinente uma observação geral sobre a resposta a um degrau em um cir cuito RL Essa observação se revelará útil mais adiante Quando deduzimos a equação dife rencial para a corrente do indutor obtivemos a Equação 729 Agora escrevemos novamente a Equação 729 como di dt 1 R L i 5 Vs L 748 Observe que as equações 747 e 748 têm a mesma forma Especificamente ambas igualam a um valor constante a soma da derivada de primeira ordem da variável e uma constante vezes a variável Na Equação 747 a constante do lado direito é por acaso igual a zero assim essa equação toma a mesma forma das equações que descrevem a resposta natural da Seção 71 Em ambas as equações 747 e 748 a constante que multiplica a variável dependente é a recíproca da constante de tempo isto é RL 1t Encontramos uma situação semelhante nos cálculos da resposta a um degrau de um circuito RC Na Seção 74 usaremos essas observações para desenvolver uma abordagem geral para a determinação das respostas natural e a um degrau de circuitos RL e RC Resposta a um degrau de um circuito RC Podemos determinar a resposta a um degrau de um cir cuito RC de primeira ordem analisando o circuito mostrado na Figura 721 Por conveniência matemática escolhemos o equivalente de Norton da rede ligada ao capacitor equiva lente Somando as correntes que saem do nó superior da Figura 721 obtemos a equação diferencial CdvC dt 1 vC R 5 I s 749 Dividindo a Equação 749 por C temos dvC dt 1 vC RC 5 I s C 750 A comparação da Equação 750 com a Equação 748 revela que a forma da solução para vC é a mesma que para a corrente no circuito indutivo ou seja a Equação 735 Portanto pela simples substituição de variáveis e coeficientes adequados podemos escrever a solu ção para vC diretamente A translação requer a substituição de Vs por Is L por C R por 1R e I0 por V0 Obtemos vC I sR V0 I sRetRC t 0 751 Um cálculo semelhante para a corrente no capacitor resulta na equação diferencial di dt 1 1 RCi 5 0 752 A Equação 752 tem a mesma forma da Equação 747 assim a solução para i é obtida usando as mesmas translações utilizadas para a solução da Equação 750 Então i 5 aI s 2 V0 R be2t RC t 01 753 em que V0 é o valor inicial de vC a tensão no capacitor t Resposta a um degrau de um circuito RC Figura 721 Circuito usado para ilustrar a resposta a um degrau de um circuito RC de primeira ordem R Is i C vC 1 2 t 5 0 Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 249 Book Nilsson 2indb 249 290116 1420 Obtivemos as equações 751 e 753 a partir de uma analogia matemática com a solução para a resposta a um degrau do circuito indutivo Vamos ver se essas soluções para o circuito RC fazem sentido em termos do comportamento conhecido desse circuito Observe na Equa ção 751 que a tensão inicial no capacitor é V0 a final IsR e a constante de tempo do circuito RC Observe também que a solução para vC é válida para t 0 Essas observações são compa tíveis com o comportamento de um capacitor em paralelo com um resistor quando alimenta dos por uma fonte de corrente constante A Equação 753 prevê que a corrente no capacitor em t 0 é Is V0R Essa previsão faz sentido porque a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente e portanto a corrente inicial no resistor é V0R A corrente do ramo do capacitor varia instantaneamente de zero em t 0 a Is V0R em t 0 A corrente no capacitor é nula em t q Observe também que o valor final de v é IsR O Exemplo 76 ilustra como usar as equações 751 e 753 para determinar a resposta a um degrau de um circuito RC de primeira ordem ExEMPlo 76 Determinação da resposta a um degrau de um circuito RC A chave do circuito mostrado na Figura 722 esteve na posição 1 por um longo tempo Em t 0 ela passa para a posição 2 Determine a vot para t 0 e b iot para t 0 Solução a A chave esteve na posição 1 por um longo tempo de forma que o valor inicial de vo é 406080 ou 30 V Para usarmos as equações 751 e 753 devemos determinar o equivalente de Norton visto dos terminais que alimentam o capacitor para t 0 Para isso começamos calculando a tensão de circuito aberto que é dada pela parcela da tensão da fonte de 75 V que aparece nos terminais do resistor de 160 kV que forma um divisor de tensão com o resistor de 40 kV Voc 5 160 3 103 40 1 160 3 103 275 5 260 V Em seguida calculamos a resistência equivalente de Thévenin vista dos terminais do capacitor curtocircuitando os terminais da fonte de 75 V e fazendo combinações em série e paralelo dos resistores RTh 8000 40000 160000 40 kV O valor da fonte de corrente de Norton é a razão entre a tensão de circuito aberto e a resistência de Thévenin ou 6040 103 15 mA O circuito equivalente de Norton resultante é mostrado na Figura 723 Pela Figura 723 IsR 60 V e RC 10 ms Já observamos que vo0 30 V e portanto a solução para vo é Figura 722 Circuito para o Exemplo 76 40 V 60 kV 160 kV 75 V io 1 2 025 mF vo t 5 0 20 kV 8 kV 40 kV 2 1 1 2 1 2 Figura 723 Circuito equivalente para t 0 para o circuito mostrado na Figura 722 15 mA 025 mF 40 kV 30 V 1 2 Circuitos elétricos 250 Book Nilsson 2indb 250 290116 1420 74 Solução geral para respostas a um degrau e natural A abordagem geral para a determinação das respostas natural ou a um degrau de circuitos RL e RC de primeira ordem mostrada na Figura 724 é baseada no fato de suas equações dife renciais terem a mesma forma compare a Equação 748 e a Equação 750 Para generalizar a solução desses quatro circuitos possíveis vamos chamar a quantidade desconhecida de xt e designarlhe quatro representações possíveis Ela pode representar a corrente ou tensão nos terminais de um indutor ou a corrente ou tensão nos terminais de um capacitor Pelas equa ções 747 748 750 e 752 sabemos que a equação diferencial que descreve qualquer um desses quatro circuitos na Figura 724 assume a forma dx dt 1 x t 5 K 754 em que o valor da constante K pode ser igual a zero Como as fontes no circuito são de tensão eou corrente constantes o valor final de x será constante isto é ele deve satisfazer a Equação 754 e quando x atingir seu valor final a derivada dxdt deve ser igual a zero Consequentemente vo 60 30 60e100t 60 90e100t V t 0 b Escrevemos a solução para io diretamente da Equação 753 observando que Is 15 mA e VoR 3040 103 ou 075 mA io 225e100t mA t 0 Verificamos a consistência das soluções para vo e io observando que 5 2225e2100t mA io 5 C dvo dt 5 025 3 102629000e2100t Como dvo0dt 0 fica claro que a expressão para io só é válida para t 0 Objetivo 2 Saber determinar a resposta a um degrau de circuitos RL e RC 76 a Determine a expressão para a tensão no resistor de 160 kV do circuito mostrado na Figura 722 Denote essa tensão por vA e admita que a polaridade de referência seja positiva no terminal superior do resistor de 160 kV b Especifique o intervalo de tempo para o qual a expressão obtida em a é válida Resposta a 60 72e100t V b t 0 NOTA tente resolver também os problemas 753 e 754 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 251 Book Nilsson 2indb 251 290116 1420 Figura 724 Quatro possíveis circuitos de primeira ordem a Um indutor ligado a um equivalente de Thévenin b Um indutor ligado a um equivalente de Norton c Um capacitor ligado a um equivalente de Thévenin d Um capacitor ligado a um equivalente de Norton d RTh i VTh RTh C v 1 2 b L RTh v 1 2 i VTh RTh c RTh i C v 1 2 1 2 VTh a L i 1 2 VTh RTh v 1 2 xf Kt 755 onde xf representa o valor final da variável Resolvemos a Equação 754 por separação de variáveis começando por resolver a deri vada de primeira ordem dx dt 5 2x t 1 K 5 2x 2 Kt t 5 2x 2 xf t 756 Para escrever a Equação 756 usamos a Equação 755 para substituir Kt por xf Agora multiplicamos ambos os lados da Equação 756 por dt e dividimos por x xf para obter dx x 2 xf 5 21 t dt 757 Em seguida integramos a Equação 757 Para obter a solução mais geral possível usamos o tempo t0 como limite inferior e t como limite superior O tempo t0 corresponde ao instante do chaveamento ou de outra variação Antes admitimos que t0 0 mas essa alteração permite que o chaveamento ocorra a qualquer tempo Usando u e v como variáveis de integração obtemos xt xt0 du u 2 xf 52 1 t t t0 dv 758 Executando a integração da Equação 758 obtemos xt xf xt0 xf et t0t 759 A importância da Equação 759 tornase evidente se a escrevermos por extenso 2t2tempo de chaveamento constante de tempo 1 o valor inicial da variável 2 o valor fnal da variável 3 e a variável desconhecida em função do tempo 5 o valor fnal da variável 760 Em muitos casos o instante de tempo do chaveamento isto é t0 é igual a zero Quando calculamos as respostas a um degrau e natural de circuitos as seguintes etapas poderão ajudar Solução geral u para resposta natural e a um degrau de circuitos RL e RC Circuitos elétricos 252 Book Nilsson 2indb 252 290116 1420 1 Identifique a variável de interesse para o circuito Para circuitos RC é mais conve niente escolher a tensão nos terminais do capacitor para circuitos RL é melhor esco lher a corrente que percorre o indutor 2 Determine o valor inicial da variável que é seu valor em t0 Observe que se você esco lher a tensão no capacitor ou a corrente no indutor como sua variável de interesse não será necessário distinguir entre t t0 t t0 e t t0 t t0 2 Isso porque ambas são variáveis contínuas Se você escolher outra variável precisará lembrarse de que seu valor ini cial é definido em t t0 t t0 3 Calcule o valor final da variável que é seu valor quando t S q 4 Calcule a constante de tempo para o circuito 2 As expressões t t0 t t0 e t t0 t t0 são análogas a 0 e 0 Assim x t t0 t t0 é o limite de xt quando t S t0 pela esquerda e x t t0 t t0 é o limite de xt quando t S t0 pela direita t Cálculo da resposta natural ou a um degrau de circuitos RL ou RC Com esses valores podese usar a Equação 760 para gerar uma equação que descreva o comportamento da variável de interesse em função do tempo Então é possível determinar equações para as outras variáveis do circuito usandose as técnicas de análise de circuitos apresentadas nos capítulos 3 e 4 ou repetindose as etapas precedentes para as outras variáveis Os exemplos 7779 ilustram como usar a Equação 760 para determinar a resposta a um degrau de um circuito RC ou RL ExEMPlo 77 Utilização do método de solução geral para determinar a resposta a um degrau de um circuito RC A chave do circuito mostrado na Figura 725 esteve na posição a por um longo tempo Em t 0 ela passa para a posição b a Qual é o valor inicial de vC b Qual é o valor final de vC c Qual é a constante de tempo do circuito quando a chave está na posição b d Qual é a expressão para vCt para t 0 e Qual é a expressão para it para t 0 f Em quanto tempo após a chave passar para a posição b a tensão no capacitor atinge o valor de zero g Faça um gráfico de vCt e it em função de t Solução a A chave esteve na posição a por um longo tempo de modo que o capacitor se comporta como um circuito aberto Assim a tensão no capacitor é a tensão no resistor de 60 V Pela regra da divisão de tensão a tensão no resistor de 60 V é 40 6060 20 ou 30 V Como a referência para vC é positiva no terminal superior do capacitor temos vC0 30 V Figura 725 Circuito para o Exemplo 77 60 V 05 mF t 5 0 400 kV 20 V i 1 2 vC b a 90 V 1 2 40 V 2 1 Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 253 Book Nilsson 2indb 253 290116 1420 b Após a chave ter estado na posição b por um longo tempo o capacitor se comportará como um circuito aberto em relação à fonte de 90 V Assim o valor final da tensão no capacitor é 90 V c A constante de tempo é t RC 400 10305 106 02 s d Substituindo os valores adequados para vf v0 e t na Equação 760 temos vCt 90 30 90e5t 90 120e5t V t 0 e Aqui o valor para t não muda Por isso precisamos determinar apenas os valores inicial e final para a corrente no capacitor Para obtermos o valor inicial devemos usar o valor de i0 porque a cor rente no capacitor pode variar instantaneamente Essa corrente é igual à corrente no resistor que pela lei de Ohm é 90 30400 103 300 mA Observe que ao aplicarmos a lei de Ohm reconhecemos que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente O valor final de it é igual a zero portanto it 0 300 0e5t 300e5t mA t 0 Poderíamos ter obtido essa solução diferenciando a solução em d e multiplicando pela capacitân cia Que tal você tentar fazer isso Observe que essa abordagem alternativa para a determinação de it também prevê a descontinuidade em t 0 f Para determinar quanto tempo a chave deve ficar na posição b antes que a tensão no capacitor tor nese nula usamos a equação calculada em d e calculamos o instante em que vCt 0 120e25t 5 90 ou e5t 5 120 90 portanto 5 5754 ms t 5 1 5 ln a 4 3 b Observe que quando vC 0 i 225 mA e a queda de tensão no resistor de 400 kV é 90 V g A Figura 726 mostra os gráficos de vCt e it em função de t Figura 726 Formas de onda de corrente e tensão para o Exemplo 77 20 220 0 40 60 80 100 120 50 100 150 200 250 300 230 vC vC V i mA i 200 400 600 800 t ms Circuitos elétricos 254 Book Nilsson 2indb 254 290116 1420 ExEMPlo 78 Utilização do método de solução geral com condições iniciais nulas A chave no circuito mostrado na Figura 727 esteve aberta por um longo tempo A carga inicial no capa citor é nula Em t 0 a chave é fechada Determine a expressão para a it para t 0 e b vt quando t 0 Solução a Visto que a tensão inicial no capacitor é igual a zero no instante em que a chave é fechada a cor rente no ramo de 30 kV será 5 3 mA i01 5 7520 50 O valor final da corrente no capacitor será igual a zero porque o capacitor acabará se comportando como um circuito aberto em termos da corrente cc Assim if 0 A constante de tempo do circuito será igual ao produto entre a resistência de Thévenin conforme vista dos terminais do capacitor e a capacitância Portanto t 20 3010301 106 5 ms Substituindo esses valores na Equa ção 760 teremos a expressão 3e200t mA t 0 it 0 3 0et5103 b Para determinar a tensão vt observamos no circuito que ela é igual à soma da tensão no capaci tor e da tensão no resistor de 30 kV Para determinar a tensão no capacitor que é uma queda no sentido da corrente observamos que seu valor inicial é nulo e seu valor final é 7520 ou 150 V A constante de tempo é a mesma de antes ou seja 5 ms Portanto usamos a Equação 760 para escrever vCt 150 0 150e200t 150 150e200t V t 0 Então a expressão para a tensão vt é vt 150 150e200t 303e200t 150 60e200t V t 0 Como verificação para essa expressão observe que ela prevê que o valor inicial da tensão no resis tor de 20 kV será 150 60 ou 90 V No instante em que a chave é fechada a corrente no resistor de 20 kV é 753050 ou 45 mA Essa corrente produz uma queda de 90 V no resistor de 20 kV confirmando o valor previsto pela solução Figura 727 Circuito para o Exemplo 78 20 kV 75 mA 30 kV it vt 1 2 t 5 0 01 mF Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 255 Book Nilsson 2indb 255 290116 1420 ExEMPlo 710 Determinação da resposta a um degrau de um circuito com enrolamentos magneticamente acoplados Não há nenhuma energia armazenada no circuito da Figura 729 no instante em que a chave é fechada a Determine as soluções para io vo i1 e i2 b Mostre que as soluções obtidas em a fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Figura 729 Circuito para o Exemplo 710 1 2 75 V 3 H 6 H 120 V t 5 0 i1 15 H i2 1 2 vo io ExEMPlo 79 Utilização do método de solução geral para determinar a resposta a um degrau em um circuito RL A chave do circuito mostrado na Figura 728 esteve aberta por um longo tempo Em t 0 ela é fechada Determine a expressão para a vt quando t 0 e b it quando t 0 Solução a A chave esteve aberta por um longo tempo de forma que a corrente inicial no indutor é 5 A orien tada de cima para baixo Imediatamente após a chave fechar a corrente ainda é 5 A resultando em uma tensão inicial no indutor de 20 51 ou 15 V O valor final da tensão no indutor é 0 V Com a chave fechada a constante de tempo é 801 ou 80 ms Usamos a Equação 760 para escrever a expressão para vt 15e125t V t 0 vt 0 15 0et80103 b Já observamos que o valor inicial da corrente no indutor é 5 A Depois de a chave estar fechada por um longo tempo a corrente no indutor alcança 201 ou 20 A A constante de tempo do circuito é 80 ms de modo que a expressão para it é it 20 5 20e125t 20 15e125t A t 0 Determinamos que as soluções para vt e it estão de acordo observando que 5 15e2125t V t 01 5 80 3 102315125e2125t vt 5 L di dt NOTA avalie sua compreensão do método de solução geral tentando resolver os problemas 751 e 753 apresentados no final deste capítulo Figura 728 Circuito para o Exemplo 79 it 1 2 20 V 80 mH 1 V 3 V vt 1 2 t 5 0 O Exemplo 710 mostra que a Equação 760 pode ser usada até para determinar a resposta a um degrau de alguns circuitos que contêm enrolamentos magneticamente acoplados Circuitos elétricos 256 Book Nilsson 2indb 256 290116 1420 Solução a No circuito da Figura 729 os enrolamentos magneticamente acoplados podem ser substituídos por um único enrolamento com uma indutância de Leq 5 L1L2 2 M2 L1 1 L2 2 2M 5 45 2 36 18 2 12 5 15 H Veja o Problema 641 Dessa forma o circuito na Figura 729 pode ser simplificado como mostrado na Figura 730 Por hipótese o valor inicial de io é igual a zero Pela Figura 730 vemos que o valor final de io será 12075 ou 16 A A constante de tempo do circuito é 1575 ou 02 s Decorre diretamente da Equação 760 que io 16 16e5t A t 0 Calculase a tensão vo a partir da lei das tensões de Kirchhoff Assim vo 120 75io 120e5t V t 0 Para determinar i1 e i2 primeiro observamos pela Figura 729 que 3 di1 dt 1 6 di2 dt 5 6 di1 dt 1 15 di2 dt ou di1 dt 5 23 di2 dt Também decorre da Figura 729 que considerandose io i1 i2 dio dt 5 di1 dt 1 di2 dt Portanto 80e25t 5 22 di2 dt Visto que i20 é igual a zero temos 5 28 1 8e25t A t 0 i2 5 t 0 240e25x dx Figura 730 Circuito da Figura 729 com os enrolamentos magneticamente acoplados substituídos por um enrolamento equivalente 1 2 t 5 0 15 H io 120 V 75 V vo 2 1 Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 257 Book Nilsson 2indb 257 290116 1420 Usando a lei das correntes de Kirchhoff obtemos i1 24 24e5t A t 0 b Em primeiro lugar observamos que io0 i10 e i20 são todas nulas o que é compatível com a afir mação de que nenhuma energia está armazenada no circuito no instante em que a chave é fechada Em seguida observamos que vo0 120 V o que é compatível com o fato de que io0 0 Agora observamos que as soluções para i1 e i2 são compatíveis com a solução para vo observando que 5 120e25t V t 01 5 360e25t 2 240e25t vo 5 3 di1 dt 1 6 di2 dt ou 5 120e25t V t 01 5 720e25t 2 600e25t vo 5 6 di1 dt 1 15 di2 dt Os valores finais de i1 e i2 podem ser verificados observandose os fluxos que atravessam os enrola mentos O fluxo no enrolamento de 3 H l1 deve ser igual ao fluxo do enrolamento de 15 H l2 porque 5 dl2 dt vo 5 dl1 dt Além disso l1 3i1 6i2 Wbespiras e l2 6i1 15i2 Wbespiras Independentemente de qual expressão usamos obtemos l1 l2 24 24e5t Wbespiras Observe que a solução para l1 ou l2 é compatível com a solução para vo O valor final do fluxo tanto do enrolamento 1 quanto do enrolamento 2 é 24 Wbespiras isto é l1q l2q 24 Wbespiras O valor final de i1 é Circuitos elétricos 258 Book Nilsson 2indb 258 290116 1420 i1q 24 A e o valor final de i2 é i2q 8 A A consistência entre esses valores finais para i1 e i2 e o valor final do fluxo podem ser verificados pelas expressões l1q 3i1q 6i2q 324 68 24 Wbespiras l2q 6i1q 15i2q 624 158 24 Wbespiras Vale a pena observar que os valores finais de i1 e i2 só podem ser verificados por meio dos fluxos porque em t q os dois enrolamentos são curtoscircuitos ideais A divisão de corrente entre cur toscircuitos ideais não pode ser determinada pela lei de Ohm NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 768 e 771 apresentados no final deste capítulo 75 Chaveamento sequencial Sempre que ocorre mais de um chaveamento em um circuito temos o chaveamento sequen cial Por exemplo uma chave única de duas posições pode ser ligada e desligada em sequên cia ou várias chaves podem ser abertas ou fechadas em sequência A referência de tempo para todos os chaveamentos não pode ser t 0 Determinamos as tensões e correntes geradas por uma sequência de chaveamentos usando as técnicas já descritas neste capítulo Calculamos as expressões para vt e it para uma dada posição de chave ou chaves e então usamos essas soluções para determinar as condições iniciais para a próxima posição de uma ou mais chaves No caso de problemas de chaveamento sequencial é fundamental o cálculo do valor ini cial xt0 Lembrese de que qualquer grandeza elétrica exceto correntes indutivas e tensões capacitivas pode variar instantaneamente no momento do chaveamento Assim calcular pri meiro as correntes indutivas e tensões capacitivas é ainda mais importante em problemas de chaveamento sequencial Desenhar o circuito válido para cada intervalo de tempo costuma ser útil no processo de solução Os exemplos 711 e 712 ilustram as técnicas de análise para circuitos com chaveamento sequencial O primeiro é um problema de resposta natural com dois chaveamentos e o segundo um problema de resposta a um degrau ExEMPlo 711 Análise de um circuito RL em que ocorre um chaveamento sequencial As duas chaves do circuito mostrado na Figura 731 estiveram fechadas por um longo tempo Em t 0 a chave 1 é aberta Então 35 ms mais tarde a chave 2 é aberta a Determine iLt para 0 t 35 ms b Determine iL para t 35 ms Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 259 Book Nilsson 2indb 259 290116 1420 c Qual percentagem da energia inicial armazenada no indutor de 150 mH é dissipada no resistor de 18 V d Repita c para o resistor de 3 V e Repita c para o resistor de 6 V Solução a Em t 0 ambas as chaves estão fechadas o que significa que o indutor de 150 mH curtocircuita o resistor de 18 V O circuito equivalente é mostrado na Figura 732 Determinamos a corrente inicial no indutor calculando iL0 no circuito mostrado na Figura 732 Após várias transformações de fonte determinamos que iL0 é 6 A Para 0 t 35 ms a chave 1 está aberta a chave 2 está fechada o que desliga do circuito a fonte de tensão de 60 V e os resistores de 4 V e 12 V O indutor não está mais se comportando como um curtocircuito porque a fonte cc não está mais no circuito de modo que o resistor de 18 V não está mais em curtocircuito O circuito equivalente é mostrado na Figura 733 Observe que a resistência equivalente ligada aos terminais do indutor é a combinação em paralelo de 9 V e 18 V ou seja 6 V A constante de tempo do circuito é 1506 103 ou 25 ms Portanto a expressão para iL é iL 6e40t A 0 t 35 ms b Quando t 35 ms o valor da corrente no indutor é iL 6e14 148 A Assim quando a chave 2 é aberta o circuito reduzse ao mostrado na Figura 734 e a constante de tempo muda para 1509 103 ou seja 1667 ms A expressão para iL tornase iL 148e60t0035 A t 35 ms Observe que a função exponencial é deslocada de 35 ms no tempo c O resistor de 18 V está no circuito somente durante os primeiros 35 ms da sequência de chavea mentos Durante esse intervalo a tensão no resistor é 36e40t V 0 6 t 6 35 ms vL 015 d dt6e40t A potência dissipada no resistor de 18 V é Figura 734 Circuito mostrado na Figura 731 para t 35 ms 3 V 6 V 150 mH iL vL 1 2 iL0035 148A Figura 731 Circuito para o Exemplo 711 18 V 60 V t 5 0 6 V 12 V 1 2 4 V t 5 35 ms 3 V 150 mH 1 2 iL vL 1 2 Figura 732 Circuito mostrado na Figura 731 para t 0 60 V 6 V 12 V 4 V 3 V 1 2 iL02 18 V 6 V 1 3 V 150 mH 2 iL iL01 5 6A vL 1 2 Figura 733 Circuito mostrado na Figura 731 para 0 t 35 ms Circuitos elétricos 260 Book Nilsson 2indb 260 290116 1420 p 5 vL 2 18 5 72e280t W 0 6 t 6 35 ms Por conseguinte a energia dissipada é 5 84527 mJ 5 091 2 e228 5 72 280e280t 2 0035 0 w 5 0035 0 72e280t dt A energia inicial armazenada no indutor de 150 mH é wi 5 1 201536 5 27 J 5 2700 mJ Portanto 845272700 100 ou 3131 da energia inicial armazenada no indutor de 150 mH é dissipada no resistor de 18 V d Para 0 t 35 ms a tensão no resistor de 3 V é 5 212e240t V 5 1 3vL v3V 5 vL 9 3 Portanto a energia dissipada no resistor de 3 V nos primeiros 35 ms é 5 56351 mJ 5 061 2 e228 w3V 5 0035 0 144e280t 3 dt Para t 35 ms a corrente no resistor de 3 V é i3V iL 6e14e60t0035 A A energia dissipada no resistor de 3 V para t 35 ms é 5 108 120e228 5 5473 mJ 5 108e228 3 e2120t20035 2120 2 0035 5 0035 336e228e2120t20035 dt w3V 5 0035 i3V 2 3 3 dt Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 261 Book Nilsson 2indb 261 290116 1420 5 108 120e228 5 5473 mJ 5 108e228 3 e2120t20035 2120 2 0035 5 0035 336e228e2120t20035 dt w3V 5 0035 i3V 2 3 3 dt A energia total dissipada no resistor de 3 V é w3Vtotal 56351 5473 61824 mJ A percentagem da energia inicial armazenada é 61824 2700 3 100 5 2290 e Como o resistor de 6 V está em série com o resistor de 3 V a energia dissipada e a percentagem da energia inicial armazenada serão duas vezes a do resistor de 3 V w6Vtotal 123648 mJ e a percentagem da energia inicial armazenada é 4580 Verificamos esses cálculos observando que 123648 61824 84527 269999 mJ e 3131 2290 4580 10001 As pequenas discrepâncias nas somas são resultado de erros de arredondamento ExEMPlo 712 Análise de um circuito RC em que ocorre um chaveamento sequencial O capacitor descarregado do circuito mostrado na Figura 735 está inicialmente ligado ao terminal a da chave de três posições Em t 0 a chave é colocada na posição b onde permanece por 15 ms Após esse período de tempo a chave é colocada na posição c onde permanece indefinidamente a Calcule a expressão numérica para a tensão no capacitor b Faça um gráfico da tensão no capacitor em relação ao tempo c Quando a tensão no capacitor será igual a 200 V Figura 735 Circuito para o Exemplo 712 400 V 50 kV 100 kV a b c 1 2 vt 01mF 1 2 Circuitos elétricos 262 Book Nilsson 2indb 262 290116 1420 Solução a No instante em que a chave é colocada na posição b a tensão inicial no capacitor é igual a zero Se a chave permanecesse nessa posição o capacitor seria carregado até 400 V A constante de tempo do circuito quando a chave está na posição b é 10 ms Portanto podemos usar a Equação 759 com t0 0 para escrever a expressão para a tensão no capacitor v 400 0 400e100t 400 400e100t V 0 t 15 ms Observe que uma vez que a chave permanece na posição b por apenas 15 ms essa expressão só é válida para o intervalo de tempo de 0 a 15 ms Depois de a chave ter permanecido nessa posição durante 15 ms a tensão no capacitor será v15 ms 400 400e15 31075 V Portanto quando a chave é colocada na posição c a tensão inicial no capacitor é 31075 V Com a chave na posição c o valor final da tensão no capacitor é igual a zero e a constante de tempo é 5 ms Mais uma vez usamos a Equação 759 para escrever a expressão para a tensão no capacitor v 0 31075 0e200t0015 31075e200t 0015 V 15 ms t Quando escrevemos a expressão para v reconhecemos que t0 15 ms e que essa expressão é válida somente para t 15 ms b A Figura 736 mostra o gráfico de v em função de t c O gráfico da Figura 736 revela que a tensão no capacitor é igual a 200 V em dois tempos diferentes uma vez no intervalo entre 0 e 15 ms e uma vez após 15 ms Determinamos o primeiro instante resolvendo a equação 200 400 400e100t1 que resulta em t1 693 ms Determinamos o segundo instante resolvendo a equação 200 31075e200t20015 Nesse caso t2 1720 ms Figura 736 Tensão no capacitor para o Exemplo 712 5 0 100 200 300 v 5 400 2 400e2100t v 5 31075e2200t 2 0015 v V 10 15 20 25 t ms Objetivo 3 Saber analisar circuitos com chaveamento sequencial 77 No circuito mostrado a chave 1 esteve fechada e a chave 2 esteve aberta por um longo tempo Em t 0 a chave 1 é aberta Então 10 ms mais tarde a chave 2 é fechada Determine a vct para 0 t 001 s b vct para t 001 s PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 263 Book Nilsson 2indb 263 290116 1420 c a energia total dissipada no resistor de 25 kV e d a energia total dissipada no resistor de 100 kV Resposta a 80e40t V b 5363e50t001 V c 291 mJ d 029 mJ 78 A chave a do circuito mostrado esteve aberta por um longo tempo e a chave b esteve fechada por um longo tempo A chave a é fechada em t 0 e após permanecer fechada durante 1 s é aberta novamente A chave b é aberta simul taneamente à chave a e ambas permanecem então abertas indefinidamente Determine a expressão para a corrente i no indutor que seja válida para a 0 t 1 s e b t 1 s Resposta a 3 3e05t A 0 t 1 s b 48 598e125t1 A t 1 s NOTA tente resolver também os problemas 772 e 780 apresentados no final deste capítulo 40 kV 25 kV 100 kV 60 kV t 5 0 t 5 10 ms 1 2 vct 10 mA 1mF 1 2 1 2 2 V 9 V 08 V a b 8 A 10 V t 5 1 t 5 0 t 5 1 3 V 3 V 6 V 2 H i 76 Resposta indefinidamente crescente A resposta de um circuito pode crescer indefinida e exponencialmente com o tempo em vez de decrescer Esse tipo de resposta denominada resposta indefinidamente crescente é possível se o circuito contiver fontes dependentes Nesse caso a resistência equivalente de Thévenin vista dos terminais do indutor ou do capacitor pode ser negativa Essa resistência negativa gera uma constante de tempo negativa e as correntes e tensões resultantes aumentam indefinidamente No caso de um circuito real a certa altura a resposta alcança um valor limite quando um componente é destruído ou entra em um estado de saturação o que impede qual quer aumento adicional de tensão ou corrente Quando analisamos respostas indefinidamente crescentes o conceito de valor final perde o sentido Consequentemente em vez de usar a solução para a resposta a um degrau dada na Equa ção 759 derivamos a equação diferencial que descreve o circuito que contém a resistência negativa e então a resolvemos usando a técnica da separação de variáveis O Exemplo 713 ilustra o caso de uma resposta que cresce exponencialmente em termos da tensão nos terminais de um capacitor ExEMPlo 713 Determinação da resposta indefinidamente crescente em um circuito RC a Quando a chave é fechada no circuito mostrado na Figura 737 a tensão no capacitor é 10 V Determine a expressão de vo para t 0 b Admita que o capacitor entre em curtocircuito quando sua tensão terminal alcança 150 V Quan tos milissegundos transcorrem antes de o capacitor entrar em curtocircuito Figura 737 Circuito para o Exemplo 713 t 5 0 10 kV 20 kV 7iD vo iD 10 V 5 mF 1 2 1 2 Circuitos elétricos 264 Book Nilsson 2indb 264 290116 1420 Solução a Para determinar a resistência equivalente de Thévenin vista dos terminais do capacitor usamos o método da fonte auxiliar descrito no Capítulo 4 A Figura 738 mostra o circuito resultante onde vT é a tensão auxiliar e iT é a corrente auxiliar Para vT expressa em volts obtemos iT 5 vT 10 2 7vT 20 1 vT 20 mA Resolvendo para a razão vTiT obtemos a resistência de Thévenin RTh 5 vT iT 5 25 kV Com essa resistência de Thévenin podemos sim plificar o circuito da Figura 737 para o mostrado na Figura 739 Para t 0 a equação diferencial que descreve o circuito mostrado na Figura 739 é 5 3 1026dvo dt 2 vo 5 3 1023 5 0 Dividindo ambos os membros pelo coeficiente da derivada obtemos dvo dt 2 40vo 5 0 Agora usamos a técnica da separação de variáveis para determinar vot vot 10e40t V t 0 b vo 150 V quando e40t 15 Portanto 40t ln 15 e t 6770 ms NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 786 e 788 apresentados no final deste capítulo Figura 738 Método da fonte auxiliar usada para determinar RTh 10 kV 20 kV 7iD iD iT vT 1 2 Figura 739 Simplificação do circuito mostrado na Figura 737 25 kV 10 V t 5 0 vo 5 mF 1 2 1 2 O fato de que em circuitos com elementos interligados possam ocorrer correntes e tensões sempre crescentes é importante para os engenheiros Se tais interligações não forem intencio nais o circuito resultante pode apresentar falhas de componentes inesperadas e potencial mente perigosas 77 Amplificadorintegrador Você deve lembrarse de que na introdução do Capítulo 5 dissemos que uma razão para nosso interesse no amplificador operacional é sua utilização como um amplificadorintegra dor Agora estamos prontos para analisar o circuito amplificadorintegrador mostrado na Figura 740 A finalidade de tal circuito é gerar uma tensão de saída proporcional à integral da Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 265 Book Nilsson 2indb 265 290116 1420 tensão de entrada Na Figura 740 acrescentamos as corren tes de ramo if e is com as tensões de nó vn e vp para auxiliar nossa análise Admitamos que o amplificador operacional seja ideal Assim aproveitamos a vantagem das restrições if is 0 761 vn vp 762 Como vp 0 if 5 Cf dvo dt is 5 vs Rs 763 764 Assim pelas equações 761 763 e 764 dvo dt 52 1 RsCf vs 765 Multiplicando ambos os lados da Equação 765 por um tempo diferencial dt e então inte grando de t0 a t obtemos a equação vot 52 1 RsCf t t0 vs dy 1 vot0 766 Na Equação 766 t0 representa o instante de tempo em que começamos a integração Assim vot0 é o valor da tensão de saída naquele instante Além disso como vn vp 0 vot0 é idêntica à tensão inicial nos terminais do capacitor de realimentação Cf De acordo com a Equação 766 a tensão de saída de um amplificadorintegrador é igual ao valor inicial da tensão nos terminais do capacitor mais uma réplica invertida sinal negativo mul tiplicada por um fator de escala 1RsCf da integral da tensão de entrada Se nenhuma energia estiver armazenada no capacitor quando a integração começar a Equação 766 será reduzida a vot 1 RsCf t t0 vs dy 767 Se vs for uma variação em degrau em um nível de tensão cc a tensão de saída variará linearmente com o tempo Por exemplo suponha que a tensão de entrada seja o pulso retan gular mostrado na Figura 741 Suponha também que o valor inicial de vot seja igual a zero no instante em que vs passa de 0 a Vm Uma aplicação direta da Equação 766 resulta em vo 52 1 RsCf Vmt 1 0 0 t t1 768 Quando t encontrase entre t1 e 2t1 5 Vm RsCf t 2 2Vm RsCf t1 t1 t 2t1 vo 5 2 1 RsCf t t1 2Vm dy 2 1 RsCf Vmt1 769 Figura 741 Sinal de tensão de entrada t1 2t1 t Vm vs 2Vm 0 Figura 740 Amplificadorintegrador 1 2 2 1 if Cf Rs VCC 2VCC vs vo vn vp is 1 2 1 2 1 2 Circuitos elétricos 266 Book Nilsson 2indb 266 290116 1420 A Figura 742 mostra um gráfico de vot em função de t Fica claro que a tensão de saída é uma réplica invertida multiplicada por um fator de escala da integral da tensão de entrada A tensão de saída é proporcional à integral da ten são de entrada apenas se o amp op funcionar dentro de sua faixa linear isto é se não se saturar Os exem plos 714 e 715 ilustram aspectos adicionais da análise do amplificadorintegrador Figura 742 Tensão de saída de um amplificador integrador t1 t 2t1 0 vot Vmt1 RsCf ExEMPlo 714 Análise de um amplificadorintegrador Admita que os valores numéricos para o sinal de tensão mostrado na Figura 741 sejam Vm 50 mV e t1 1 s Esse sinal de tensão é aplicado ao circuito amplificadorintegrador mostrado na Figura 740 Os parâmetros de circuito do amplificador são Rs 100 kV Cf 01 mF e VCC 6 V A tensão inicial no capacitor é igual a zero a Calcule vot b Faça um gráfico de vot em função de t Solução a Para 0 t 1 s 5 25t V 0 t 1 s vo 5 21 100 3 10301 3 1026 50 3 1023t 1 0 Para 1 t 2 s vo 5t 10 V b A Figura 743 mostra o gráfico de vot em função de t Figura 743 Tensão de saída para o Exemplo 714 1 0 25 2 t s vot V ExEMPlo 715 Análise de um amplificadorintegrador submetido a um chaveamento sequencial No instante em que a chave faz contato com o terminal a no circuito mostrado na Figura 744 a tensão nos terminais do capacitor de 01 mF é 5 V A chave permanece no terminal a durante 9 ms e então passa instantaneamente para o terminal b Quantos milissegundos depois do contato com o terminal b o amplificador operacional fica saturado Figura 744 Circuito para o Exemplo 715 1 2 1 2 2 1 100 kV 6 V 26 V 8 V 10 V a 5 V b 01 mF 2 1 1 2 vo t 5 9 ms Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 267 Book Nilsson 2indb 267 290116 1420 Solução A expressão para a tensão de saída durante o tempo em que a chave está na posição a é 5 25 1 1000t V vo 5 25 2 1 1022 t 0 210 dy Assim 9 ms depois de a chave ter feito contato com o terminal a a tensão de saída é 5 9 ou 4 V A expressão para a tensão de saída depois que a chave foi colocada na posição b é 5 112 2 800t V 5 4 2 800t 2 9 3 1023 vo 5 4 2 1 1022 t 931038 dy Durante esse intervalo de tempo a tensão é decrescente e a certa altura o amplificador operacional fica saturado em 6 V Portanto igualamos a expressão de vo a 6 V para obter o tempo de saturação ts 112 800ts 6 ou ts 215 ms Assim o amplificadorintegrador fica saturado 215 ms depois de a chave ter sido colocada na posição b Pelos exemplos vemos que o amplificadorintegrador pode executar muito bem a função de integração mas apenas dentro de limites especificados que impeçam sua saturação O amp op fica saturado por causa do acúmulo de carga no capacitor de realimentação Podemos evitar que ele fique saturado colocando um resistor em paralelo com o capacitor de realimentação Examinaremos tal circuito no Capítulo 8 Observe que podemos converter o amplificadorintegrador em um amplificadordiferen ciador fazendo uma permuta entre a resistência de entrada Rs e o capacitor de realimentação Cf Então vo 5 2RsCf dvs dt 770 Deixamos a dedução da Equação 770 como um exercício para você O amplificador diferenciador raramente é usado porque na prática ele é uma fonte de sinais indesejáveis ou ruídos Por fim podemos projetar circuitos amplificadoresintegradores bem como diferencia dores usando um indutor em vez de um capacitor Contudo fabricar capacitores para dispo sitivos de circuito integrado é muito mais fácil e assim indutores são raramente usados em amplificadoresintegradores Circuitos elétricos 268 Book Nilsson 2indb 268 290116 1420 Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber analisar circuitos com amplificadores operacionais que contenham resistores e um unico capacitor 79 Nao ha nenhuma energia armazenada no 02 uF capacitor no instante em que a chave do 40 kO a circuito faz contato com o terminal a A 160 kQ 10 V chave permanece na posicao a durante 32 CG 10V 90kO ms e entao passa instantaneamente para b t 32ms 45sv a posicéo b Quantos milissegundos depois que a chave faz contato com o terminal a o SV amp op se satura Resposta 262 ms 710 a Quando a chave fecha no circuito mos 10kQO 40 kO trado nao ha nenhuma energia armaze nada no capacitor Quanto tempo leva eo para o amp op se saturar b Repita o item a com uma tensAo inicial Leu no capacitor de 1 V positiva no terminal 10 5V superior 2V 001 pF Uo 68 kO Resposta a 111 ms b 176 ms NOTA tente resolver também os problemas 794 e 795 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Marcapasso cardiaco artificial Figura 745 Um circuito de marcapasso Agora estamos prontos para analisar um circuito RC simples mostra artificial do na Figura 745 que pode gerar impulsos elétricos periddicos Esse cir R cuito RC pode ser utilizado em um marcapasso artificial para estabelecer um ritmo cardiaco normal A caixa indicada como controlador comporta se como um circuito aberto até que a queda de tensao no capacitor atinja y 2 We um limite predefinido Quando esse limite é atingido 0 capacitor descarre ga a energia armazenada sob a forma de impulso elétrico para 0 coragao e comega a recarregar Entao 0 processo é repetido Antes de desenvolvermos as express6es analiticas que descrevem 0 Hea ha euitenaiqua 7 As So comportamento do circuito vamos ter uma ideia de como ele funciona Pri meiro quando o controlador se comporta como um circuito aberto a fonte Ct de tensao cc carregara 0 capacitor por meio do resistor R em diregado a um Vinax valor de volts V Mas quando a tensao do capacitor atinge V 0 contro ete lador comportase como um curtocircuito permitindo que o capacitor se descarregue Assim que a descarga do capacitor esta completa 0 contro to A lador volta a atuar como um circuito aberto e o capacitor começa a recarregar Esse ciclo de carga e descarga do capacitor estabelece o ritmo cardíaco desejado como mostrado na Figura 746 Ao desenhar a Figura 746 escolhemos t 0 no instante em que o capacitor começa a carregar Essa figura também supõe que o circuito tenha atingido o estágio repetitivo de seu funcionamento e que o tempo para descarregar o capacitor é insignificante se comparado com o tempo de recarga O projeto desse circuito de marcapasso artificial requer uma equação para vCt como uma função de Vmáx R e C Para iniciar a análise assumimos que o circuito está funcionando por um longo tempo Assumimos t 0 no instante em que o capacitor se descarregou por completo e o controlador está operando como um circuito aberto Do circuito determinamos vCq Vs vC0 0 t RC Assim enquanto o capacitor está carregando vCt Vs 1 etRC Suponha que o controlador tenha sido programado para disparar um pulso elétrico e estimular o coração quando vC 075Vs Dados os valores de R e C podemos determinar a frequência cardíaca resultante em batimentos por minuto como segue batimentos por minuto H 5 60 2RC ln 025 Em um projeto mais realista você deve calcular o valor da resistên cia R em função de Vmáx como uma percentagem de Vs C e a frequên cia cardíaca desejada em batimentos por minuto Deixamos essa tarefa para você no Problema 7106 NOTA avalie sua compreensão desta Perspectiva prática tentando resolver os problemas 71047107 apresentados no final deste capítulo Figura 747 Circuito de marcapasso artificial em t 0 quando o capacitor está carregando Vs 1 2 R C vL 1 2 Resumo Um circuito de primeira ordem pode ser reduzido a um equivalente de Thévenin ou de Norton ligado a um único indutor ou capacitor equiva lente Seção 71 A resposta natural de um circuito são as corren tes e tensões que se estabelecem quando a ener gia armazenada é liberada a um circuito que não contenha fontes independentes A constante de tempo de um circuito RL é igual à indutância equivalente dividida pela resistência de Thévenin vista dos terminais do indutor equivalente Seção 71 A constante de tempo de um circuito RC é igual à capacitância equivalente vezes a resistência de Thévenin vista dos terminais do capacitor equi valente Seção 72 A resposta a um degrau são as correntes e ten sões que se estabelecem a partir de variações abruptas em fontes cc ligadas a um circuito Pode existir ou não energia armazenada no Circuitos elétricos 270 Book Nilsson 2indb 270 290116 1420 Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem circuito no instante em que a variacado abrupta pela solucgao correspondente ao intervalo ime ocorre Secao 73 diatamente anterior Secdo 75 e A solugao para a resposta natural ou para a res e Uma resposta indefinidamente crescente ocorre posta a um degrau de circuitos RL e RC é deter quando a resisténcia de Thévenin é negativa 0 minada a partir do valor inicial e do valor final que é possivel quando o circuito de primeira da corrente ou tensdo de interesse e da cons ordem contém fontes dependentes Secao 76 tante de tempo do circuito As equacoes 759 e Um amplificadorintegrador consiste em um 760 resumem essa abordagem Seco 74 amp op ideal um capacitor no ramo de reali O chaveamento sequencial em circuitos de pri mentacdo negativa e um resistor em série com a meira ordem é analisado dividindose a ana fonte de sinal A saida do amplificadorintegra lise em intervalos de tempos correspondentes dor é a integral da fonte de sinal dentro de limi a posigOes especificas da chave Valores iniciais tes especificados que evitam a saturacao do amp para um intervalo particular séo determinados op Segao 77 Problemas Secao 71 71 Acchave no circuito da Figura P71 esteve 73 No circuito mostrado na Figura P73 a chave Pspice aberta por um longo tempo Em t 0 ela é conectase com a posicao b imediatamente Multisim x fechada antes de desconectarse da posigéo a Como a Determine i0 e ic0 ja mencionamos esse tipo de chave é conhe cido como ligaantesinterrompedepois e é b Determine it para 0 projetada de modo a nao interromper a cor c Em quantos milissegundos apés a chave rente em um circuito indutivo Admitese que ter sido fechada i atingira 100 mA o intervalo de tempo entre ligar e desligar é Figura P71 desprezivel A chave esteve na posicao a por 160 Po um longo tempo Em t 0 ela muda da posi cao a para a posicao D iof a 20 vC t0 80 mH a Determine a corrente inicial no indutor 8a b Determine a constante de tempo do cir cuito para t 0 c Determine i v e v parat 0 72 Achavenocircuito da Figura P72 esteve fechada 1 PP Pspice por um longo tempo Em f 0 ela aberta d Qual percentagem da energia inicial Bates a Escreva a expressao para i t para t 0 armazenada no indutor é dissipada no P Pana tor P resistor de 90 0 1 ms depois de a chave b Escreva a expressao para vf para t 0 ser mudada da posi4o a para a posigao b Figura P72 Figura P73 t0 302 4 900 20 0 500 30 FA b t0 1 a 60 V 032 H3 v1 002H v2609 2150 70 O Circuitos elétricos 74 Acchave no circuito da Figura P74 esteve na 78 Achave no circuito da Figura P78 esteve Pspice posigao 1 por um longo tempo Em t 0 ela Pspice fechada por um longo tempo antes de ser Multisim n Multisim passa instantaneamente para a posicao 2 aberta em 0 Determine v para t 0 a Determine i0 e i0 Figura P74 b Determine i0 e i0 BQ 1 AU 36 mH c Determine it para t 0 t0 5 d Determine it para t 0 90 V 300 602 e Explique por que i0 i0 8a Figura P78 2kO 12k0 75 Para o circuito da Figura P74 qual percenta i gem da energia inicial armazenada no indutor 80 V 4kO 640 mH sera dissipada no resistor de 6 0 76 As duas chaves no circuito visto na Figura P76 sao sincronizadas Elas estiveram fechadas por 79 Achave mostrada na Figura P79 esteve aberta um longo tempo antes de se abrirem em t 0 durante um longo tempo antes de seu fecha a Em quantos microssegundos depois da an mento em t 0 abertura das chaves a energia dissipada Co no resistor de 4 kO 10 da energia ini a Determine i0i0 v cial armazenada no indutor de 6 H b Determine i0i0 e v0 b No tempo calculado em a qual percen c Determine i0o i 00 U 00 tagem da energia total armazenada no d Escreva a expressao de i t para t 0 Loe 9 indutor foi dissipada e Escreva a expressao de i f para t 0 Figura P76 f Escreva a expressao de vu f para t 0 ro 6H Figura P79 500 200 0 C 10s mA 4kO 80 kQ 25 V 50mH uz 77 Nocircuito da Figura P77 a chave esteve fechada por um longo tempo antes de ser oo 710 A chave no circuito da Figura P710 esteve aberta em t 0 na posicgdo 1 por um longo tempo Em t 0 a Determine o valor de L de modo que v0 ela passa instantaneamente para a posicao 2 ja igual a 05 v 0 quando t 1 ms Soja rgual ao Determine o valor de R de modo que 10 da b Determine a porcentagem de energia energia inicial armazenada no indutor de 10 armazenada que foi dissipada no resistor mH seja dissipada em R em 10 ps de 10 O quando t1 ms Figura P710 igu Figura P77 9kO t0 s0ma 100 3L sa 10 mH R Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 711 Nocircuito da Figura P710 representa a fonte Figura P714 de corrente cc representa a fracdo da energia 59 170 inicial armazenada no indutor que é dissipada A em segundos e L representa a indutancia a Mostre que 60V ty Yo 320 mH R Lintd o 2t b Teste a expresso deduzida em a Lo P a 715 A chave no circuito da Figura P715 esteve usandoa para determinar o valor de R fechada por um longo tempo antes de abrir no Problema 710 oo em 0 Determine 712 Nocircuito da Figura P712 as express6es para tensdo e corrente sao a itt 0 v 160e V t 0 b vu 0 t 0 i64eAt0 c it t 0 Determine Figura P715 a R g 7 t0 b 7 em milissegundos 400 60 20 ia c L tis d A energia inicial armazenada no indutor CG ve 1000 600 e O tempo em milissegundos necessa rio para dissipar 60 da energia inicial armazenada 716 Qual percentagem da energia inicial armaze Figura P712 nada no indutor do circuito da Figura P715 é j dissipada pelo resistor de 60 1 717 As duas chaves mostradas no circuito da Pspice Figura P717 funcionam simultaneamente L v R Multisim ica Antes de t 0 cada chave estava na posicao indicada por um longo tempo Em t 0 elas passam instantaneamente para suas novas 713 a Use os valores dos componentes do Apen posicdes Determine dice H para criar um circuito RL de pri meira ordem veja a Figura 74 com uma a Ut 0 constante de tempo de 1 ms Use um tinico b it 0 indutor e uma rede de resistores se neces eo Figura P717 sdrio Desenhe seu circuito R b Suponha que o indutor que vocé esco Iheu em a tenha uma corrente inicial 9 de 10 mA Escreva uma expressdo para a corrente no indutor para 0 125H c Usando o resultado obtido em b cal cule o tempo em que metade da energia a 75 kO inicial armazenada no indutor tenha sido C1 2A 10H v iof 6H dissipada pelo resistor 714 A chave no circuito da Figura P714 esteve Pspice fechada por um longo tempo antes de abrir Multisim om t 0 Determine vt para t 0 718 Paraocircuito visto na Figura P717 determine Circuitos elétricos a a energia total dissipada no resistor de inadvertidamente um curtocircuito em seus 75 kO terminais ab No instante em que a falha b aenergia final retida nos indutores ideais ocorre 0 circuito estava em funcionamento 719 Nocircuito mostrado na Figura P719 a chave havia um longo tempo Pspice esteve na posicao a por um longo tempo Em a Qual o valor inicial da corrente i de Multis ps 0 ela passa instantaneamente de a para bD curtocircuito entre os terminais ab a Determine i t para t 0 b Qual 0 valor final da corrente i b Qual é a energia total fornecida ao resis c Em quantos microssegundos depois de o tor de 8 0 curtocircuito ter ocorrido a corrente de c Quantas constantes de tempo so neces curto atinge 114 A sdrias para se atingir 95 da energia Figura P720 determinada em b 20 a Figura P719 300 a b 100 150 to oh 240 V 12A 8Q 42mH Ct 8 mH m 2 mH 6mH eA b 720 A fonte de 240 V e resisténcia interna de Pspice 2 0 no circuito da Figura P720 sofre Multisim Secao 72 721 Achave no circuito da Figura P721 esteve na 722 Achave do circuito mostrado na Figura P722 posigaéo esquerda por um longo tempo Em esteve aberta por um longo tempo antes de t 0 ela passa para a posicao direita onde seu fechamento em t 0 Escreva a expressdo permanece para a tensdo do capacitor ut para t 0 a Determine a queda de tensfo inicial no Figura P722 capacitor 10kO b Determine a energia inicial armazenada pelo capacitor 20 mA t 20 kO 60kQ 40 nF S c Determine a constante de tempo do cir cuito para 0 d Escreva a expressiéo para a tensio do capacitor vt para t 0 723 Achave no circuito da Figura P723 esteve na posigaéo esquerda por um longo tempo Em Figura P721 rae t 0 ela passa para a posicao direita onde 10kO va 10k permanece f a Escreva a expressdo para a tenséo do a capacitor uf para t 0 toma aoKo v 400nF 50k0 75 kO P P b Escreva a expressio para a corrente que passa pelo resistor de 40 kQ i1 para t 0 Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem Figura P723 727 Achave no circuito da Figura P727 é fechada 5kO 40 kQ Pspice em tO apos permanecer aberta por um Multisim 1 7 i ongo tempo f 0 a Determine i 0 e i0 120VT 10kKOF yas 160nF 325kKQ F10 KO 2 b Determine i0 e i0 c Explique por que i0 i0 d Explique por que i0 i0 724 Qual porcentagem da energia inicial armaze Expliq P que 10 10 nada no capacitor da Figura 723 é dissipada e Determine i para t 0 pelo resistor de 40 kQ f Determine i parat 0 725 Achave no circuito da Figura P725 esteve na Figura P727 posigdo a por um longo tempo e v 0 VEm 100 mA 2 uF t0a chave é colocada na posigao b Calcule a ive U parat 0 b a energia armazenada no capacitor de 30 50 20 wF emt0e L L c aenergia final retida no circuito e a ener 30 gia total dissipada no resistor de 25 kQ se a chave permanecer na posicao b indefinidamente oy 728 Achave no circuito da Figura P728 esteve na Figura P725 Pspice ice posigao 1 por um longo tempo antes de passar ab 25kO Multisim para a posicao 2em t0 Determine i para tO 4 i 6mA 5kO 0 v 60 mF v2 Figura P728 30 pF 47kQ 1 A oo t0 726 Nocircuito mostrado na Figura P726ambas as 2 chaves funcionam em conjunto isto é abrem 15V i 2 uF se ou fechamse ao mesmo tempo Elas esti 150 veram fechadas por um longo tempo antes de se abrirem em t 0 a Quantos microjoules de energia foram 729 Nocircuito da Figura P729 as expresses para dissipados no resistor de 12 kQ 12 ms a tensao e a corrente sao depois da abertura das chaves v 72eV t 0 b Quanto tempo leva para dissipar 75 da i 9e mA t 0 energia inicialmente armazenada Determine Figura P726 a R t0 t0 b Cc 18 kO c 7 em milissegundos d Aenergia inicial armazenada no capacitor C e Em quantos microssegundos 68 da energia inicial armazenada no capacitor sao dissipados Figura P729 1 2 v R C i 730 a Use os valores dos componentes do Apên dice H para criar um circuito RC de pri meira ordem veja a Figura 711 com uma constante de tempo de 50 ms Use um único capacitor e uma rede de resistores se necessário Desenhe seu circuito b Suponha que o capacitor que você esco lheu em a tenha uma tensão inicial de 50 V Escreva uma expressão para a queda de tensão no capacitor para t 0 c Usando o resultado obtido em b cal cule o tempo em que a queda de tensão no capacitor atinge 10 V 731 A chave no circuito visto na Figura P731 esteve na posição x por um longo tempo Em t 0 ela passa instantaneamente para a posição y a Determine a de modo que a constante de tempo para t 0 seja 40 ms b Para a encontrada em a determine vΔ Figura P731 5 mA 5 kV 20 kV avD 08 mF 36 kV x y t 5 0 1 2 vD 732 a No Problema 731 quantos microjoules de energia são gerados pela fonte de cor rente dependente durante o tempo em que o capacitor se descarrega a 0 V b Mostre que para t 0 a energia total armazenada e gerada no circuito capaci tivo é igual à energia total dissipada 733 Depois de o circuito da Figura P733 estar em funcionamento por um longo tempo uma chave de fenda é inadvertidamente colocada entre os terminais ab Suponha que a resis tência da chave de fenda seja desprezível a Determine a corrente na chave de fenda em t 0 e t q b Determine a expressão da corrente na chave de fenda para t 0 Figura P733 75 mA 80 V a b 200 V 400 V 50 mF 25 mF 734 No momento em que a chave no circuito da Figura P734 é fechada a tensão nos capacito res em paralelo é 50 V e a tensão no capacitor de 250 nF é 40 V a Qual percentagem da energia inicial armazenada nos três capacitores é dissi pada no resistor de 24 kV b Repita a para os resistores de 400 V e 16 kV c Qual percentagem da energia inicial é retida nos capacitores Figura P734 800 nF 250 nF 16 kV 400 V t 5 0 1 2 50 V 1 2 40 V 200 nF 24 kV Seção 73 735 Depois de a chave no circuito da Figura P735 estar aberta por um longo tempo ela é fechada em t 0 Calcule a o valor inicial de i b o valor final de i c a constante de tempo para t 0 e d a expressão numérica para it quando t 0 Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 276 Book Nilsson 2indb 276 290116 1420 Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem Figura P735 739 Acorrente e a tensdo nos terminais do indu 270kQ 200mH 75kQ tor no circuito da Figura 716 sao it 4 4e A t 0 50 mA Ct 50 kO 15V Yt 80e WV 0 a Especifique os valores numéricos de V RIeL 736 Achave do circuito mostrado na Figura P736 b Em quantos milissegundos depois do ween esteve na posicdo a por um longo tempo antes fechamento da chave a energia armaze us de passar para a posicao b em t 0 nada no indutor atinge 9 J a 740 a Useos valores dos componentes do Apén a Determine as expressOes numéricas para wo dice H para criar um circuito RL de pri it vt quando t 0 meira ordem veja a Figura 716 com uma b Determine os valores numéricos para constante de tempo de 8 xs Use um tinico v0 e v0 indutor e uma rede de resistores se neces Figura P736 sario Desenhe seu circuito 120 SmH L BN a b Suponha que o indutor que vocé esco ve 7 Iheu em a nao tenha nenhuma energia Lo Loe inicial armazenada Em t 0 uma chave 32 V Vo Ct conecta uma fonte de tensio com um valor de 25 V em série com o indutor e o resistor equivalente Escreva uma expres sao para a corrente no indutor para t 0 737 Achave do circuito mostrado na Figura P737 5 n c Usando o resultado obtido em b cal Pspice esteve na posicao a por um longo tempo Em Multisim cule o tempo em que a corrente no indu t 0 ela passa instantaneamente para a posi cao b tor atinge 75 de seu valor final 741 Achave do circuito mostrado na Figura P741 a Determine a expressfo numérica para esteve fechada por um longo tempo Ela se 0 quando t 0 abre em t 0 Para t 0 b Determine a expresséo numérica para a Determine vt em fungao de IRR L vt para t 0 8 b Explique o que acontece com uv ft Figura P737 quando R aumenta indefinidamente t0 50 c Determine v em funcao de I RReL ad a d Explique 0 que acontece com v quando 600 lo R aumenta indefinidamente 1 45A 350 200 10mH Figura P741 240 V 10 738 Repitao Problema 737 assumindo que a chave 4 no circuito da Figura P737 esteve na posicao b por um longo tempo e passa para a posicao Is Ct Ly vo aem t 0 onde permanece Circuitos elétricos 742 A chave no circuito da Figura P742 esteve 746 Achave no circuito da Figura P746 esteve fechada por um longo tempo Uma aluna abre Pspice aberta por um longo tempo antes de fechar abruptamente a chave e relata a seu professor Multisim em 0 Determine vt para t O que quando a chave foi aberta estabeleceu Figura P746 se um arco elétrico de notavel persisténcia na chave eao mesmo tempo o voltimetro ligado nos terminais do enrolamento foi danificado t0 Tendo como base sua andlise do circuito do Uo 45 mH 2kO Problema 741 vocé pode explicar a aluna por 3ka Ct 10 mA que isso aconteceu 15 mH C 80 V Figura P742 R t0 747 Achave no circuito da Figura P747 esteve na V Voltimetro de Pspice posiao 1 por um longo tempo Em t 0 ela bb L Multisim ox dArsonval passa instantaneamente para a posicao 2Em quantos milissegundos depois do aciona mento da chave v atinge 100 V 743 a Deduza a Equacao 747 convertendo em os vant Figura P747 primeiro lugar o equivalente de Thévenin da Figura 716 em um equivalente de Nor 1 2 ton e depois somando as correntes que 100 saem do no superior usando a tensdo v t0 7 no indutor como a variavel de interesse Vo b Use a técnica da separacao de variaveis 50V GC 3H 15H 400 para determinar a solugaéo para a Equa cao 747 Verifique se sua solucdo esta de acordo com a dada na Equagao 742 748 Paraocircuito da Figura P747 determine em 744 A chave no circuito da Figura P744 esteve joules i spice aberta por um longo tempo antes de ser a aenergia total dissipada no resistor de 40 Q ultisim fechada em t 0 Determine i f para t 0 b a energia retida nos indutores Figura P744 an c aenergia inicial armazenada nos indutores 40mH 200 400 z 749 Achave ligaantesinterrompedepois do cir a iot é Pspice cuito da Figura P749 esteve na posicao a por ie Multisim um longo tempo Em 0 ela passa instan 500 Ny 10Q 3150 p10 a Bo tempo em 1 te ela passa taneamente para a posicdo b Determine uov a vtt 0 oo b i t 0 745 A chave no circuito da Figura P745 esteve Pspice aberta por um longo tempo antes de ser c i1 0 Multis fechada em t0 Determine vt para t 0 Figura P749 Figura P745 a zb 7 100 50 10 10 Denfun fot Louden aa v Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 750 Nao ha nenhuma energia armazenada nos 753 A chave no circuito da Figura P753 esteve indutores L e L no instante em que a chave na posiao a por um longo tempo Em t 0 é aberta no circuito mostrado na Figura P750 ela é colocada na posicao b Calcule a a a Deduza as express6es para as correntes tens4o inicial no capacitor b a tensao final it e it para t 0 no capacitor c a constante de tempo em b Use as express6es deduzidas em a para microssegundos para 0 e d o tempo determinar i00 e ico em microssegundos necessario para a ten 5 Py 50 sao no capacitor anularse depois de a chave igura rt ser colocada na posicao b 10 Figura P753 I 1 iO Ly in0 Ly 10kQ b 10 3kO 751 Suponha que a chave no circuito da Figura P751 esteve na posicéo a por um longo tempo 120 V a 40 kO C1 15 mA e que em t 0 ela colocada na posigao b Determine a U0 b Uco c 7 para t 9kO 20 nF X vc 0 d 0 c V1 0 ir 0 Figura P751 40 kO g b 25kQ 50kO 754 A chave no circuito visto na Figura P754 oC 0 Pspice esteve na posicdo a por um longo tempo Em y Multisim 120 V G 150 kQ 7200 V t0 ela passa instantaneamente para a posi il UC SR 25 nF cao b Para t 0 determine a vt 752 a Achave no circuito da Figura P752 esteve b i 0 na posicao a por um longo tempo Em t posig P 6 P Figura P754 0 ela passa instantaneamente para a posi cao b e permanece 1a Determine os valo 5 kO On b 10kO res inicial e final da tensao do capacitor a 4 YSt0 constante de tempo paratOeaexpres 75 y 10k0 v0 40nF 100 V sao para a tensdo do capacitor para t 0 b Agora suponha que a chave no circuito da Figura P752 esteve na posigao 6 Por 755 A chave do circuito visto na Figura P755 um longo tempo Em 1 0 ela Passa ms Pspice esteve na posicdo a por um longo tempo Em tantaneamente para a posigdo ae per Multisim a t 0 a chave passa instantaneamente para a manece 1a Determine os valores inicial e x posicdo b Determine v t ei para t 0 final da tensAo do capacitor a constante de tempo para t 0 e a expressdo para a Figura P755 tensdo do capacitor para t 0 Figura P752 30kOS fi0 2500 1000 ba 10 mA 1 20 ka C1 15 mA t0F vot 10V Uc 25 uF 34000 Ct 15mA 50 kO 16 nF b a Circuitos elétricos 756 Ocircuito da Figura P756 esta em operacao por equivalente Escreva uma expressAo para Pspice um longo tempo Em t 0 a fonte de tensao a queda de tensdo no capacitor para t 0 Mulisim inverte a polaridade e a fonte de corrente cai de c Usando o resultado obtido em b cal 3 mA para 2 mA Determine v f para t 0 cule o tempo em que a queda de tensao Figura P756 no capacitor atinge 50 V 10kO 4kO 760 A chave do circuito mostrado na Figura P760 Pspice abre em t 0 depois de estar fechada por um longo tempo Em quantos milissegundos depois 80V 3mA C1 24 kO 005 WF Rv de a chave estar aberta a energia armazenada no capacitor atinge 36 de seu valor final Figura P760 757 Achave do circuito na Figura P757 esteve na ip Pspice posigao a por um longo tempo Em t 0 ela passa instantaneamente para a posicao b No 120 uA instante em que a chave faz contato com o n OF Ka 9 tb i kQ 025 pF terminal b a chave 2 abrese Determine vU para t 0 Fi P757 761 Achave do circuito mostrado na Figura P761 gura Pspice esteve na posigao OFF DESLIGADO por 40k ay i p02 Multis um longo tempo Em ft 0 ela passa instan taneamente para a posigao ON LIGADO 60 kO U C 5m A Cy 2 Determine v para t 0 20 nF Figura P761 10 103i 25kQ y 9 Ys 90 kO 758 Acorrente e a tensdo nos terminais do capa OFF ON citor no circuito da Figura 721 sao om 1SkO y 30k Em it 3e7 mA t0 25 nF SR ve vt 40 24e250 V t0 a Especifique os valores numéricos de 762 Suponha que a chave no circuito da Figura VRCer x Pspice P761 esteve na posicéo ON por um longo b Em quantos microssegundos apds a os tempo antes de ser colocada instantanea chave ter sido fechada a energia arma mente na posicdo OFF em t 0 Determine zenada no capacitor atinge 81 do seu vt para t 0 valor final 763 a Deduza a Equacao 752 convertendo em 759 a Useos valores dos componentes do Apén primeiro lugar o circuito equivalente de dice H para criar um circuito RC de pri Norton mostrado na Figura 721 para um meira ordem veja a Figura 721 com uma equivalente de Thévenin e entaéosomando constante de tempo de 250 ms Use um as tensGes ao longo do laco fechado usando nico capacitor e uma rede de resistores a corrente i do capacitor como a varidvel se necessario Desenhe seu circuito relevante b Suponha que o capacitor que vocé esco b Use a técnica de separacio de variaveis Iheu em a tem uma queda de tensao ini para determinar a solucdo para a Equa cial de 100 V Em 0 uma chave conecta ao 752 Verifique se sua solucdo esta de uma fonte de corrente com valor de 1 mA acordo com a da Equaao 753 em paralelo com o capacitor e o resistor Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 764 Achave no circuito da Figura P764 esteve na Figura P765 posido x por um longo tempo A carga ini 22kQ 4 ty 625kO cial no capacitor de 60 nF é igual a zero Em t0a chave passa instantaneamente para a t0 o posicao y 4 40 V 02 uF vu 80 V a Determine v para t 0 ee T C Vo b Determine vt para t 0 08 WF FR v2 Figura P764 15 kO 60 nF 120 kO 766 Nao ha nenhuma energia armazenada nos o 6 tu capacitores C e C no instante em que a chave t0 Vv é fechada no circuito visto na Figura P766 4mA 330k0 30 nF 0 90 V g n a Deduza as expressdes para v e Ut para t 0 765 A chave no circuito da Figura P765 esteve na b Use as expressdes deduzidas em a para Pspice posigaéo a por um longo tempo Em t 0 ela d Muttisim eterminar U0o U0o passa instantaneamente para a posicao b Para t 0 determine Figura P766 a vt R 10 b i 0 4 CAR Hl c v2 d v9 we CQ vt e a energia final armazenada nos capacito res quando t oo Secao 74 767 Repita a e b do Exemplo 710 com a indu 769 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir tancia mutua reduzida a zero Pspice cuito da Figura P769 no instante em que a Multisi Z 768 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir esi chave fechada vane cuito da Figura P768 no instante em que a a Determine it para t 0 ultisim chave fechada b Determine v para t 0 a Determine if para t 0 c Determine vt para t 0 b Determine v para 1 0 d Suas respostas fazem sentido em termos c Determine if para t 0 do comportamento conhecido do circuito d Determine it para t 0 Figura P769 e Suas respostas fazem sentido em termos vt do comportamento conhecido do circuito 49 kO i0 20 mH e Figura P768 90 v 40 mH v2 250 0 t0 a 025 HN 05 H 10Vv 7 025 H 770 Repitao Problema 769 colocando o ponto na i Pspice parte superior do enrolamento de 40 mH Multisim 771 Não há nenhuma energia armazenada no cir cuito da Figura P771 no instante em que a chave é fechada a Determine iot para t 0 b Determine vot para t 0 c Determine i1t para t 0 d Determine i2t para t 0 e Suas respostas fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Figura P771 1 2 20 V 5 H 5 H 80 V t 5 0 i1 10 H 1 2 vo io i2 Seção 75 772 A ação das duas chaves no circuito da Figura P772 é a seguinte para t 0 a chave 1 está na posição a e a chave 2 está aberta Esse estado perdurou por um longo tempo Em t 0 a chave 1 passa instantaneamente da posi ção a para a posição b enquanto a chave 2 permanece aberta Dez milissegundos depois da operação da chave 1 a chave 2 fechase por 10 ms e então abrese Determine vot 25 ms depois de a chave 1 passar para a posi ção b Figura P772 10 V 20 V 5 V 50 mH 15 A 1 2 vo t 5 0 0 1 10 ms a b 1 2 773 Para o circuito da Figura P772 em quantos milissegundos após a chave 1 passar para a posição b a energia armazenada no indutor é 4 de seu valor inicial 774 No circuito da Figura P774 a chave A esteve aberta e a chave B fechada por um longo tempo Em t 0 a chave A fechase Vinte e cinco milis segundos após o fechamento da chave A a chave B abrese Determine iLt para t 0 Figura P774 75 mA 200 V 500 V 10 mH A B t 25 ms iLt t 0 775 A chave do circuito mostrado na Figura P775 esteve na posição a por um longo tempo Em t 0 ela passa para a posição b onde perma nece por 1 ms Então ela passa para a posição c onde permanece indefinidamente Determine a i0 b i200 ms c i6 ms d v1 ms e v1 ms Figura P775 i 60 V 120 V 40 V 80 mH 20 A v 1 2 c b a 40 V 776 O capacitor do circuito visto na Figura P776 foi carregado até 300 V Em t 0 a chave 1 fechase fazendo com que o capacitor se des carregue na rede resistiva A chave 2 fechase 200 ms depois do fechamento da chave 1 Determine a magnitude e o sentido da cor rente na segunda chave 300 ms depois do fechamento da chave 1 Figura P776 30 kV 120 kV 60 kV 40 kV 300 V 1 2 10 3 nF t 5 0 1 t 5 0 1 200 ms 2 Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 282 Book Nilsson 2indb 282 290116 1420 Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 777 Nao ha nenhuma energia armazenada no 781 A fonte de corrente no circuito da Figura Pspice capacitor do circuito da Figura P7277 quando Pspice P781a gera o pulso de corrente mostrado Mullisim 4 chave 1 se fecha em 0A chave 2 fecha Multisim na Figura P781b Nao ha nenhuma energia se 25 milissegundos mais tarde Determine armazenada em t 0 v1 para t 0 a Deduza as expressdes numéricas de vt Figura P777 para os intervalos de tempot001t 5000 1 2 25 ps e 25 ws t 0 b Calcule v 25 ws e v 25 ps t0 t25 ms 4 20 vO vo SX 8 pF t 95 mA c Calcule i 25 ws ei 25 ps Figura P781 lg 778 No circuito da Figura P778 a chave 1 esteve na posiao a e a chave 2 esteve fechada por um longo tempo Em t 0 a chave 1 passa s 0 75 mH instantaneamente para a posiaéo b Duzentos microssegundos mais tarde a chave 2 é aberta permanece assim por 600 tao fecha a Ms e entao fecha se novamente Determine v 1 ms depois de ismA a chave 1 fazer contato com o terminal b Figura P778 50 0 02ms 5kQ a 1 5ko 2 t0 0 25 t us 1 b 0 08 ms 10V vs 25 nF 30 kO b 10k0 782 A forma de onda de tensao mostrada na Figura Pspice P782a éaplicada ao circuito da Figura P782b Multisim soa as 779 Para ocircuito da Figura P778 qual porcenta A corrente inicial no indutor igual a zero Pspice gem da energia inicial armazenada no capaci a Calcule vt ae tor de 25 nF é dissipada no resistor de 30 kQ b Faca um grafico de v t em funciio de t 780 Achave no circuito da Figura P780 esteve na c Determine i emf5 ms Pspice posigaéo a por um longo tempo Em t 0 ela Multisim a Figura P782 passa instantaneamente para a posicao b onde permanece por 5 segundos antes de pas vs V sar instantaneamente paraa posicdo c Deter 200 80 mine U para t 0 Figura P780 v i 40mH 0 b 10 5s 33 kO RN 0 25 tms acy a b SmA 1kO 100 F 100 kQ 783 A fonte de tensao no circuito da Figura e Pspice P783a esta gerando o sinal mostrado na a Figura P783b Nao ha nenhuma energia armazenada em t 0 Circuitos elétricos a Determine as express6es para vt que 784 A forma de onda de tensado mostrada na Figura sejam vdlidas para os intervalos t 0 Pspice P784a éaplicada ao circuito da Figura P784b Multisim mts as 0 St S 25 ps 25 ps S t S 50 uss e A tensAo inicial no capacitor é igual a zero 50 us Sto a Calcule vt b Faca um grafico de v e v nos mesmos b Faca um grafico de vt em fungao de eixos coordenados Figura P784 c Repita a e b com R reduzido a 800 Q v V Figura P783 50 R4kO Us 50 nF Vo 0 1 tms a a v V 10 nF 10 1 A 10 b b Secao 76 785 Acorrente no indutor do circuito da Figura a Qual é 0 valor de B Ween P785 6 25 mA no instante em que a chave é b Em quantos microssegundos depois do aberta O indutor sera danificado sempre que fechamento da chave ocorrerd 0 arco no a magnitude de sua corrente for igual ou supe centelhador riora5A Quanto tempo depois da abertura Figura P786 da chave o indutor sera danificado 4kO Figura P785 a t0 ig re 40 V 12k 1 80mH Cente Ug lhador t0 4 10H 2X 10F ug 4kO 787 O capacitor no circuito mostrado na Figura Pspice P787 esta carregado com 20 V no instante em oe Multisi Z Spey 786 Ocentelhador do circuito visto na Figura P786 ms que a chave é fechada Se o dielétrico do capa Pspice ira centelhar ocorreré nele um arco elétrico citor se rompe perde suas caracteristicas iso sempre que a tensdo em seus terminais alcan lantes quando a tensao em seus terminais é car 30 kVA corrente inicial no indutor é igual igual ou superior a 20 kV quanto tempo leva a zero O valor de B é ajustado de modo que para isso acontecer a resisténcia de Thévenin vista dos terminais do indutor seja 4 kQ Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem Figura P787 porque o botao de acionamento foi momenta Lx 10ig neamente pressionado Suponha que 0 capa 80 kO citor esteja totalmente carregado quando o 4 botao é acionado pela primeira vez A resis c 0 téncia do enrolamento do relé 25 kOe sua 20 VR25 pF 20k indutancia desprezivel a Por quanto tempo a chave entre a e b 788 A chave no circuito da Figura P788 esteve permanece fechada Pspice fechada por um longo tempoA tensdo maxima b Escreva a expresso numérica para i desde Multisim nominal do capacitor de 16 uF é 144 kV Em 0 instante em que os contatos do relé sAo quanto tempo depois da abertura da chave a abertos pela primeira vez até o instante em tensfo no capacitor alcanga a tensAo maxima que 0 capacitor esta totalmente carregado Figura P788 c Quantos milissegundos depois que o ko circuito entre a e b é interrompido sao necessdrios para a tensao do capacitor pes prpndpan LC alcangar 85 de seu valor final ty 4 iy 2kO 16 pF is 1 5mA Figura P789 Botao de acionamento 789 O circuito mostrado na Figura P789 é usado eb para fechar a chave entre a e b por um inter valo de tempo predeterminadoO relé mantém seus contatos na posiao inferior enquanto a i 4ko tens4o no enrolamento estiver acima de 5 V Quando a tensao no enrolamento for igual 2 pF 25 kO Relé a5 V os contatos do relé voltam a posi4o gov inicial pela agdo de uma mola mecanica A chave entre ae Db esta inicialmente fechada Secao 77 790 A energia armazenada no capacitor do cir 791 No instante em que a chave é fechada no cir Pspice cuito mostrado na Figura P790 é igual a zero Pspice cuito da Figura P790 0 capacitor é carregado Multsim ho instante em que a chave é fechada O Multisim até 6 V positivo no terminal da direita Se o amplificador operacional ideal chega a satu amplificador operacional ideal atingir a satu racéo em 15 ms Qual é 0 valor numérico de ragao em 40 ms qual sera o valor de R R em quiloohms 792 Opulso de tensao mostrado na Figura P792a Figura P790 ee é aplicado ao amplificadorintegrador ideal 500 nF da Figura P792b Deduza as expressdes numéricas para Usupondo v 0 0 para os intervalos de tempo R 10 V a t0 t0 10V b OsS1rs2s Cav Yo 51kO c 2sr4s d 4s St Circuitos elétricos Figura P792 milissegundos depois do fechamento da chave Ug mV a tensao de saida v sera igual a zero 75 Figura P795 4 56V 0 2 t s 25 uF 75 33 kO 47 kO 25 V a t0 20 kO 25V 250 nF 14V GC 45 V 80 kO 80 kO 10V v t0 Vv 796 A fonte de tensdo no circuito da Figura Ug Pspice P7Z96a gera a forma de onda triangular mos v a Multisim tradana Figura P796b Suponha que a ener gia armazenada no capacitor seja nula em t b 0 e o amp op seja ideal a Deduzaas expresses numéricas para vt 793 Repita o Problema 792 com um resistor de 4 para os seguintes intervalos de tempo 0 ween MQ colocado em paralelo com 0 capacitor de tsluslussStS3yse3ypsst4uys ultisim realimentagao de 250 nF b Esboce a forma de onda de saida entre 0 794 Naohanenhumaenergia armazenada nos capa e 4 us Pspi a aa citores do circuito mostrado na Figura P794no c Se a tensao de entrada triangular conti instante em que as duas chaves sao fechadas nuar a se repetir para 4 ws qual valor Suponha que 0 amp op ideal de tenséo de saida poderemos esperar a Determine v em fungao de v v Re C Explique b Com base no resultado obtido em a Figura P796 descreva o funcionamento do circuito 800 pF c Quanto tempo levara para a saturacdo do amplificador se v 40 mV v 15 mV R 1kO SV 50kOC10nFe V6V t0 Figura P794 aisv R c 8 C Yo t0 y va Vee a Ug V R 0 Vec 2 Cc O 7 y 0 1 2 4 t us 795 No instante em que a chave da Figura P795 é 2 Pspice fechada a tensao no capacitor é 56 V Admita Multis om amplificador operacional ideal Em quantos b Capitulo 7 e Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem Secoes 7177 797 Ocircuito mostrado na Figura P797 é conhe 799 Ocircuito mostrado na Figura P799 é conhe Pspice cido como um multivibrador monoestavel Pspice cido como um multivibrador astavel e encontra Multsin 9 adjetivo monoestdvel é usado para des Multisim ampla aplicacdo em circuitos de pulso A fina crever o fato de 0 circuito ter somente um lidade deste problema é relacionar a carga e regime permanente Isto é se nada interferir descarga dos capacitores com o funciona a chave eletrénica T estara no estado ON mento do circuito O segredo para analisar 0 e Tno estado OFF O funcionamento da circuito é entender o comportamento das cha chave transistorizada ideal é descrito no ves transistorizadas ideais T e T O circuito Problema 799 T pode ser desligada projetado de modo que as chaves se alter fechandose momentaneamente a chave S nem automaticamente entre o estado Apos S retornar a posigao aberta T retor LIGADO ON e 0 estado DESLIGADO nara ao estado ON OFF QuandoT esta no estado OFET esta a Mostre que seT estiver no estado ONT no estado ON e viceversa Assim na andlise estara no estado OFF e assim continuara desse circuito supomos que uma chave esteja ou no estado ON ou no estado OFF Também b Explique por que T é desligada quando admitimos que uma chave transistorizada 5 momentaneamente fechada ideal possa mudar de estado instantanea c Mostre que T permanecerd desligada mente Em outras palavras ela pode passar durante o intervalo RC2s repentinamente do estado OFF para 0 estado ON e viceversa Quando uma chave transis Figura P797 torizada esta no estado ON 1 a corrente de base i maior do que zero 2 a tensao ter minal v igual a zero e 3 a tensao terminal R v igual a zero Portanto quando uma chave transistorizada esta no estado ON existe um curtocircuito entre os terminais be e ce Quando uma chave transistorizada esta no estado OFF 1 a tensdo terminal v nega Ss tiva 2 a corrente de base é igual a zero e 3 Ty T ha um circuito aberto entre os terminais ce ey e2 Sendo assim quando uma chave transistori zada esta no estado OFF existe um circuito aberto entre os terminais be e ce Suponha 798 Os valores dos pardmetros no circuito da que T estivesse ligada e tenha acabado de Figura P797 sao V6 V R 50kO Rk passar abruptamente para o estado OFF 20 kQ C 250 pF e R 23083 22 enquanto T estava no estado OFF e acabou a Faca um gréfico de v em fungao de de passar repentinamente para oO estado ON t admitindo que depois de momenta Vocé pode supor que nessa circunstancia C neamente fechada S permanece aberta esteja carregado com tensdo de alimentacéo até que o circuito atinja seu estado per Vea carga em C seja nula Admita também manente Admita que S seja fechada que CCe R RK 10R em t 0 Faca o grafico para o inter a Determine a expressao para U durante o valoS5 t 10 us intervalo em que T esteja no estado OFF b Repita a para i em fungao de t b Determine a expressao para U durante o intervalo em que T esteja no estado OFF Circuitos elétricos c Determine 0 tempo em que T perma g Qual 0 valor de v no instante imediata nece no estado OFF mente antes de T passar para 0 estado ON d Determine o valor de v ao final do 7101 Repita o Problema 7100 com C 3 nF e C intervalo em que T est4 no estado OFF 28 nF Os valores de todos os outros com e Determine a expressao para i durante o ponentes pemmanecem inalterados intervalo em que T esta no estado OFF 7102 O multivibrador astavel da Figura P799 deve satisfazer os seguintes critérios 1 uma chave f Determine o valor de i ao final do inter transistorizada deve estar no estado ON valo em que T esta no estado OFF durante 48 ys e no estado OFF durante 36 us g Faca um grafico de v em fungao de para cada ciclo 2 R 2 kO 3 Vc5V t durante o intervalo em que T esta no 4 R Re 5 6R RK 50R Quais sao estado OFF os valores limite para os capacitores C e C h Faca um grafico de i em fungao de t 7103 O relé representado na Figura P7103 conec durante o intervalo em que T esté no ata tara o gerador cc de 30 V ao barramento cc estado OFF enquanto a corrente do relé for maior do que Figura P799 04 A Se a corrente do relé cai para 04 A ou menos 0 relé acionado por mola conecta ime diatamente o barramento cc a bateria em standby de 30 VA resisténcia do enrolamento Ri do relé é de 60 A indutancia do enrola mento do relé deve ser determinada Vee a Suponha que o acionamento do gera dor cc de 30 V desacelera abruptamente 1 by by fazendo a tensdo gerada cair repentina Veei Ty T mente para 21 V Qual valor de L asse 1 2 gura que a bateria em standby sera conec tada ao barramento cc em 05 segundo b Usando o valor de L determinado em a 7100 Os valores dos componentes do circuito da verifique quanto tempo vai levar para o Figura P799 sao Vo9 VR 3 kO5 C relé funcionar se a tensdo gerada cair C2nFe R R 18 k0 abruptamente a zero a Por quanto tempo T permanece no estado OFF durante um ciclo de Figura P7103 funcionamento b Porquanto tempoT permanece no estado z 30 Vv ON durante um ciclo de funcionamento en c Repita a paraT o d Repita b para T Lol a e No primeiro instante apos T passar para N o estado ON qual 0 valor de i Gerador Enrola 3 Molas bl cc de mento a3 comprimidas Cargas cc f No instante imediatamente anterior aT 30V do relé oS passar para o estado OFF qual é 0 valor R L de i 7104 Deduza a expressão para a frequência car díaca em batimentos por minuto dados os valores de R e C e assumindose que o capa citor se descarrega quando sua tensão atinge 75 da fonte de tensão Vs Para sua conve niência repetimos a seguir a expressão dada na Perspectiva prática batimentos por minuto H 5 60 2RC ln 025 7105 Use uma expressão semelhante àquela que foi deduzida no Problema 7104 para calcu lar a frequência cardíaca em batimentos por minuto para R 150 kV C 6 mF se o capa citor sofrer descarga quando a tensão atingir 60 da tensão da fonte Vs 7106 Mostre que a resistência necessária para obter uma frequência cardíaca H em batimentos por minuto é dada pela equação R 5 260 HC lna1 2 Vmáx Vs b onde C é a capacitância Vs é a tensão da fonte e Vmáx representa a tensão do capacitor em que a descarga ocorre 7107 Use a expressão deduzida no Problema 7106 para calcular a resistência necessária à obten ção de uma frequência cardíaca de 70 bati mentos por minuto utilizando uma capacitân cia de 25 mF e assumindo que o capacitor se descarrega quando a tensão atinge 68 da tensão da fonte Capítulo 7 Resposta de circuitos RL e RC de primeira ordem 289 Book Nilsson 2indb 289 290116 1420 SUMARIO DO CAPITULO 81 Introdugao a resposta natural de um circuito 84 Respostas natural e a um degrau de um cir RLC em paralelo cuito RLC em série 82 Formas de resposta natural de um circuito 85 Circuitos com dois amplificadoresintegradores RLC em paralelo 83 Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo OBJETIVOS DO CAPITULO 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 2 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em série Neste capitulo a discussao da resposta natural e da resposta a um degrau de circuitos que contém indutores bem como capacitores esta limitada a duas estruturas simples 0 circuito RLC em paralelo e o circuito RLC em série Determinar a resposta natural de um circuito RLC em paralelo consiste em determinar a tensao criada nos ramos em paralelo pelo fornecimento de energia armazenada no indutor ou no capacitor ou em ambos A tarefa é definida em termos do circuito mostrado na Figura 81 A tensao inicial no capacitor Vy representa a energia inicial armazenada no capacitor A corrente inicial que passa pelo indutor representa a energia inicial armazenada no indutor Se as correntes de ramo individuais forem de interesse vocé podera determindlas apds definir a tensao terminal Deduzimos a resposta a um degrau de um circuito RLC Figura 81 Circuito usado para ilustrar a resposta natural de um circuito ALC em paralelo em paralelo usando a Figura 82 Estamos interessados na tensao que aparece nos ramos paralelos como resultado da ic 4 i in aplicagao repentina de uma fonte de corrente cc Pode ha CoV L I R ver ou nao energia armazenada no circuito quando a fonte de corrente é aplicada Determinar a resposta natural de um circuito RLC em série consiste em determinar a corrente gerada nos elementos Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC ligados em série pelo fornecimento da energia inicialmente armazenada Figura 82 Circuito usado para ilustrar a resposta a um no indutor no capacitor ou em ambos A tarefa é definida pelo circuito degrau de um circuito ALC em paralelo mostrado na Figura 83 Como antes a corrente inicial no indutor a tensao inicial no capacitor V representam a energia armazenada inicialmente Se qualquer das tensdes nos elementos individuais for de OY a He v interesse vocé podera determinala apds definir a corrente Descrevemos a resposta a um degrau de um circuito RLC em série em termos do circuito mostrado na Figura 84 Estamos inte ressados na corrente resultante da aplicagao repentina da fonte de tensao cc Pode haver ou nao energia armazenada no circuito quando a chave é fechada Se vocé nao estudou equacoes diferenciais ordinarias a determinagao das respostas natural e a um degrau de circuitos RLC em paralelo e em série pode ser um pouco dificil de entender Contudo os resultados sao importantes o bastante para justificar sua apresentagao neste momento Comecamos com a resposta na tural de um circuito RLC em paralelo e abordamos esse material em duas segoes uma para discutir a solugao da equacao diferencial que descreve 0 circuito e outra para apresentar as trés formas distintas que a solucao pode tomar Apds apresentarmos essas trés formas mostramos que elas se aplicam a resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo bem como as respostas natural e a um degrau de circuitos RLC em série Figura 83 Circuito usado para ilustrar a resposta natural de um Figura 84 Circuito usado para ilustrar a resposta a um circuito RLC em série degrau de um circuito RLC em série R L R L sy 4 t0 CRVo Vv C Perspectiva pratica Sincronizacao do relogio do computador Os circuitos digitais encontrados na maioria dos computadores requerem uma base de tempo que sincro am nize o funcionamento dos circuitos Pense em um laptop fee er que tenha um processador com velocidade de 2 GHz Isso significa que a unidade de processamento central desse pl a a computador pode executar cerca de 2 X 10 operagées pa a simples por segundo oe ee Normalmente a base de tempo produzida por um Sa pl ee chip 6 uma onda quadrada com a frequéncia necessaria eed oS A onda quadrada é obtida de uma onda senoidal com a frequéncia necessdaria De modo geral a onda senoidal é Scanrailfotolia 81 Introdução à resposta natural de um circuito RLC em paralelo A primeira etapa para obter a resposta natural do circuito mostrado na Figura 81 é obter a equação diferencial que a tensão v deve satisfazer Preferimos determinar a tensão em pri meiro lugar porque ela é a mesma para cada componente Depois disso podese determinar uma corrente de ramo usando a relação correntetensão para o componente do ramo Pode mos obter facilmente a equação diferencial para a tensão somando as correntes que saem do nó superior no qual cada corrente é expressa como uma função da tensão desconhecida v v R 1 L t 0 v dt I 0 C dv dt 0 81 Eliminamos a integral da Equação 81 diferenciando uma vez em relação a t e como I0 é uma constante obtemos 1 R dv dt v L Cd2v dt2 0 82 Agora dividimos todos os termos da Equação 82 pela capacitância C e arranjamos as derivadas em ordem decrescente d2v dt2 1 RC dv dt v LC 0 83 A comparação da Equação 83 com as equações diferenciais determinadas no Capítulo 7 revela que a diferença entre elas é a presença do termo que envolve a derivada de segunda ordem A Equação 83 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficien tes constantes Como os circuitos neste capítulo contêm indutores bem como capacitores a equação diferencial que descreve seus comportamentos é de segunda ordem Assim costuma mos denominálos circuitos de segunda ordem gerada por meio de uma tensão aplicada por um cristal de quartzo cortado com precisão O cristal produz uma frequência muito estável adequada à sincronização de circuitos digitais No entanto também podemos gerar uma onda senoidal usando um circuito com um indutor e um capacitor Ao escolhermos os valores de indutância e capacitância podemos criar uma senoide com determinada frequência Vamos analisar tal projeto após apresentarmos os conceitos fundamentais dos circuitos de segunda ordem David J GreenAlamy Conversão AD analógicodigital Cristal de quartzo Circuitos elétricos 292 Book Nilsson 2indb 292 290116 1420 Solução geral da equação diferencial de segunda ordem Não podemos resolver a Equação 83 fazendo a separação de variáveis e a integração como fizemos com as equações de primeira ordem no Capítulo 7 A abordagem clássica para resolver a Equação 83 é admitir que a solução seja da forma exponencial isto é admitir que a tensão seja da forma v Aest 84 em que A e s são constantes desconhecidas Antes de mostrar como essa premissa leva à solução da Equação 83 precisamos mostrar que ela é razoável O argumento mais forte que podemos propor em favor da Equação 84 é observar pela Equação 83 que a derivada de segunda ordem da solução mais uma constante vezes a derivada de primeira ordem mais uma constante vezes a própria solução deve ser igual a zero para todos os valores de t Isso só pode ocorrer se derivadas de ordem mais alta da solução tiverem a mesma forma da solução A função exponencial satisfaz esse critério Um segundo argumento em favor da Equação 84 é que as soluções de todas as equações de pri meira ordem que derivamos no Capítulo 7 eram exponenciais Parece razoável admitir que a solução da equação de segunda ordem também envolva a função exponencial Se a Equação 84 for uma solução da Equação 83 ela deve satisfazer a Equação 83 para todos os valores de t Substituir a Equação 84 na Equação 83 gera a expressão As2est As RCest Aest LC 0 ou Aest as2 s RC 1 LCb 0 85 que só pode ser satisfeita para todos os valores de t se A for igual a zero ou o termo entre parênteses for igual a zero porque est Z 0 para valores finitos de st Não podemos usar A 0 como uma solução geral porque isso implica que a tensão seja nula o tempo todo uma impossibilidade física se alguma energia estiver armazenada no indutor ou no capacitor Assim para que a Equação 84 seja uma solução da Equação 83 o termo entre parênteses da Equação 85 deve ser igual a zero ou s2 s RC 1 LC 0 86 A Equação 86 é denominada equação característica da equação diferencial porque as raízes dessa equação quadrática determinam o caráter matemático de vt As duas raízes da Equação 86 são s1 1 2RC Éa 1 2RC b 2 1 LC 87 s2 1 2RC Éa 1 2RC b 2 1 LC 88 t Equação característica circuito RLC em paralelo Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 293 Book Nilsson 2indb 293 290116 1420 Se qualquer das raízes for substituída na Equação 84 a solução admitida satisfaz a equa ção diferencial dada isto é a Equação 83 Observe pela Equação 85 que esse resultado se mantém independentemente do valor de A Assim ambas v A2es2t v A1es1t e satisfazem a Equação 83 Chamando essas duas soluções v1 e v2 respectivamente podemos mostrar que a soma delas também é uma solução Especificamente se fizermos v v1 v2 A1es1t A2es2t 89 então dv dt A1s1es1t A2s2es2t 810 d2v dt2 A1s1 2es1t A2s2 2es2t 811 Substituindo as equações 89811 na Equação 83 temos A1es1t as1 2 1 RCs1 1 LCb A2es2t as2 2 1 RCs2 1 LCb 0 812 No entanto cada termo entre parênteses é nulo porque por definição s1 e s2 são raízes da equação característica Daí a resposta natural do circuito RLC em paralelo mostrado na Figura 81 é da forma v A1es1t A2es2t 813 A Equação 813 é uma repetição da premissa adotada para a Equação 89 Mostramos que v1 é uma solução v2 é uma solução e v1 v2 é uma solução Assim a solução geral da Equação 83 tem a forma dada na Equação 813 As raízes da equação característica s1 e s2 são deter minadas pelos parâmetros de circuito R L e C As condições iniciais determinam os valores das constantes A1 e A2 Observe que a forma da Equação 813 deverá ser modificada se as duas raízes s1 e s2 forem iguais Discutiremos essa modificação quando abordarmos a resposta criti camente amortecida na Seção 82 O comportamento de vt depende dos valores de s1 e s2 Assim a primeira etapa para defi nir a resposta natural é determinar as raízes da equação característica Voltemos às equações 87 e 88 e as escrevamos novamente usando uma notação de ampla utilização na literatura s1 a a2 v2 0 814 s2 a a2 v2 0 815 em que a 1 2RC 816 Frequência u de Neper circuito RLC paralelo Circuitos elétricos 294 Book Nilsson 2indb 294 290116 1420 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 1 817 q Frequénci requencia VLC 4 angular de Esses resultados estéo resumidos na Tabela 81 ressonancia circuito RLC em paralelo Tabela 81 Parametros da resposta natural do circuito RLC em paralelo evetiai Terminologia Valor em resposta natural 4555 Raizes caracteristicas 5 a Ve of Sy a Va wp a Frequéncia de Neper 1 2RC Wp Frequéncia angular de ressonancia 1 oy VLC O expoente de e deve ser adimensional e portanto ambas s e s e por consequéncia a e devem ter a dimensao do reciproco do tempo ou frequéncia Para distinguir entre as frequéncias s5Q usamos a seguinte terminologia s e s sio denominadas frequéncias complexas a denominada frequéncia de Neper e W a frequéncia angular de ressonancia O significado dessa terminologia se tornara mais claro 4 medida que formos progredindo pelos capitulos restantes deste livro Todas essas frequéncias tém a dimensao de frequéncia angu lar A frequéncia complexa a frequéncia de Neper e a frequéncia angular de ressonancia tém como unidade o radiano por segundo rads A natureza das raizes s e s depende dos valores de e W Ha trés resultados possiveis Primeiro se ws aambas as raizes serao reais e dis tintas Por razGes que discutiremos mais adiante dizse que nesse caso a resposta de tensdo é superamortecida Em segundo lugar se ws a ambas 5 SSerao complexas e além disso serao conjugadas uma da outra Nessa situacao dizse que a resposta de tensdo é subamorte cida O terceiro resultado possivel é se wj a Nesse caso 5 5 serdo reais e iguais e dizse que a resposta de tensdo é criticamente amortecida Como veremos 0 amortecimento afeta o modo como a resposta de tensao atinge seu valor final ou de regime permanente Discutire mos cada caso separadamente na Seco 82 O Exemplo 81 ilustra como os valores numéricos de s e s so determinados a partir dos valores de R Le C EXEMPLO 81 Determinacao das raizes da equagao caracteristica de um circuito RLC em paralelo a Determine as raizes da equacfo caracteristica que des a creve 0 comportamento transitério da tenséo mostrado Figura 85 Circuito usado para ilustrar a resposta P natural de um circuito ALC em paralelo na Figura 85 se R 200 0 L 50 mH e C 02 pF b A resposta sera superamortecida subamortecida ou cri ic i ip ticamente amortecida C Vo L i R v c Repita a e b para R 3125 Q 7 d Que valor de R faz com que a resposta seja criticamente amortecida Solução a Para os valores dados de R L e C v0 2 1 LC 103106 5002 108 rad2s2 a 1 2RC 106 40002 125 104 rads Pelas equações 814 e 815 s2 125 104 15625 108 108 12500 7500 5000 rads s1 125 104 15625 108 108 b A resposta é superamortecida porque v0 2 6 a2 c Para R 3125 V a2 64 106 064 108 rad2s2 a 106 62502 8000 rads R 3125 V Como v0 2 6 a2 permanece em 108 rad2s2 s2 8000 j6000 rads s1 8000 j6000 rads Em engenharia elétrica o número imaginário 1 é representado pela letra j porque a letra i representa corrente Nesse caso a resposta é subamortecida visto que v0 2 7 a2 d Para amortecimento crítico a2 v0 2 e então a 1 2RC b 2 1 LC 108 ou 1 2RC 104 e R 106 2 10402 250 V Circuitos elétricos 296 Book Nilsson 2indb 296 290116 1420 82 Formas de resposta natural de um circuito RLC em paralelo Até aqui vimos que o comportamento de um circuito RLC de segunda ordem depende dos valores de s1 e s2 que por sua vez dependem dos parâmetros de circuito R L e C Por con seguinte a primeira etapa para determinar a resposta natural é calcular esses valores e deter minar se a resposta é superamortecida subamortecida ou criticamente amortecida Para completar a descrição da resposta natural é necessário determinar dois coeficientes desconhecidos como A1 e A2 na Equação 813 Para isso o método usado é compatibilizar a solução para a resposta natural e as condições iniciais impostas pelo circuito que são o valor inicial da corrente ou tensão e o valor inicial da derivada de primeira ordem da corrente ou tensão Observe que essas mesmas condições iniciais mais o valor final da variável também serão necessários para determinar a resposta a um degrau de um circuito de segunda ordem Nesta seção analisaremos a forma da resposta natural para cada um dos três tipos de amorte cimento começando com a resposta superamortecida Como veremos as equações das respostas bem como as equações para o cálculo dos coeficientes desconhecidos são ligeiramente diferentes para cada uma das três configurações de amortecimento É por isso que devemos determinar logo no início do problema se a resposta é superamortecida subamortecida ou criticamente amortecida A resposta superamortecida Quando as raízes da equação característica são reais e distintas dizse que a resposta de tensão de um circuito RLC em paralelo é superamortecida A solução para a tensão tem a forma v A1es1t A2es2t 818 em que s1 e s2 são as raízes da equação característica As constantes A1 e A2 são determinadas pelas condições iniciais especificamente pelos valores de v0 e dv0dt que por sua vez são determinados pela tensão inicial no capacitor V0 e pela corrente inicial no indutor I0 t Resposta natural de tensão circuito RLC em paralelo superamortecido Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 81 A resistência e a indutância do circuito na Figura 85 são 100 V e 20 mH respectivamente a Determine o valor de C que torna a resposta de tensão criticamente amortecida b Se C for ajustada para produzir uma frequência de Neper de 5 krads determine o valor de C e as raízes da equação característica c Se C for ajustada para produzir uma frequência de ressonância de 20 krads determine o valor de C e as raízes da equação característica Resposta a 500 nF b C 1 mF s1 5000 j5000 rads s2 5000 j5000 rads c C 125 nF s1 5359 rads s2 74641 rads NOTA tente resolver também o Problema 84 apresentado no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 297 Book Nilsson 2indb 297 290116 1420 Circuitos elétricos A seguir mostramos como usar a tens4o inicial no capacitor e a corrente inicial no indu tor para determinar A e A Em primeiro lugar observamos pela Equacao 818 que v0 A A 819 dv0 SAy S7A 820 dt Se conhecermos s s a tarefa de determinar A e A reduzse a determinar vu0 e dv0dt O valor de v0 é a tensdo inicial no capacitor V Obtemos o valor inicial de dvdt determinando em primeiro lugar a corrente no ramo do capacitor em t 0 Entao dv0 icO a0 iO 821 dt Cc Usamos a lei das correntes de Kirchhoff para determinar a corrente inicial no ramo do capacitor Sabemos que a soma das trés correntes de ramo em t 0 deve ser igual a zero A corrente no ramo resistivo em t 0 é a tensao inicial V dividida pela resisténcia e a corrente no ramo indutivo é J Usando o sistema de referéncia apresentado na Figura 85 obtemos VY ic0 Ip 822 R Depois de determinar o valor numérico de i0 usamos a Equacao 821 para determi nar o valor inicial de dvdt Podemos resumir 0 processo para determinar a resposta superamortecida uf da seguinte forma 1 Determine as raizes da equagao caracteristica s e s usando os valores de R Le C 2 Determine v 0 e du0dt usando a anilise de circuitos 3 Determine os valores de A e A resolvendo as equacoées 823 e 824 simultaneamente v0T A A 823 dv0 ic0 1A 52A2 dt C 144 2A2 824 4 Substitua os valores de s5 A e A na Equacao 818 para determinar a expressao para ut para t 0 Os exemplos 82 e 83 ilustram como determinar a resposta superamortecida de um cir cuito RLC em paralelo EXEMPLO 82 Determinacao da resposta natural superamortecida de um circuito RLC em paralelo Para 0 circuito na Figura 86 v0 12 V e i 0 30 mA a Determine a corrente inicial em cada ramo do Figura 86 Circuito para o Exemplo 82 circuito b Determine o valor inicial de dudt ic in in c Determine a expressao para vt 02 uF S Vo 50mH 2000 d Faga um grafico de v no intervalo 0 250 ms e Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC Solugao a Como o indutor impede uma variagdo instantanea em sua corrente o valor inicial da corrente no indutor é 30 mA iO i0 i 0 30 mA O capacitor mantém a tens4o inicial nos elementos em paralelo em 12 V Assim a corrente inicial no ramo resistivo i 0 é 12200 ou 60 mA Pela lei das correntes de Kirchhoff a soma das cor rentes que saem do no superior é igual a zero em todo instante Dai i0 i 0 i0 90 mA Observe que se admitimos que a corrente no indutor e a tensAo no capacitor atingem seus valo res cc no instante em que a energia comega a ser fornecida i0 0 Em outras palavras ha uma variacao instantanea na corrente do capacitor em t 0 b Como i Cdudt dv0 90 x 10 450kVs dt 02 x 10 c As raizes da equagao caracteristica sio determinadas pelos valores de R L e C Para os valores especificados e pelas equagoes 814 e 815 juntamente com 816 e 817 8 125 X 10 V15625 x 108 108 12500 7500 5000 rads Sy 125 X 10 V15625 X 10 108 12500 7500 20000 rads Como as raizes sao reais distintas sabemos que a Figura 87 Resposta de tensio para o Exemplo 82 resposta é superamortecida e portanto tem a forma da Equagao 818 Determinamos os coeficientes A ut V e A pelas equagoes 823 e 824 Jé determinamos 12 5155 00 e dv0dt assim 10 12AA 450 X 10 5000A 20000A 8 Resolvemos as duas equagoes para A e A de modo 6 a obter A 14 V e A 26 V Substituindo esses 4 valores na Equacaéo 818 temos a resposta de tensAo superamortecida 2 Vt 1490 26e20000 Vt 0 0 t us 0 100 150 200 250 Para verificar esses calculos observamos quede 5 acordo com a solucdo u0 12 V e du0dt 450000 Vs 4 d A Figura 87 mostra o grafico de ut no intervalo 6 0 t 250 ms ExEMPlo 83 Cálculo das correntes de ramo na resposta natural de um circuito RLC em paralelo Determine as expressões que descrevem as três correntes de ramo iR iL e iC no Exemplo 82 Figura 86 durante o tempo em que a energia armazenada está sendo liberada Solução Sabemos qual é a tensão nos três ramos pela solução do Exemplo 82 ou seja vt 14e5000t 26e 20000t V t 0 Então a corrente no ramo resistivo é iRt vt 200 70e5000t 130e20000t mA t 0 Há dois modos para determinar a corrente no ramo indutivo Um deles é usando a relação integral que existe entre a corrente e a tensão nos terminais de um indutor iLt 1 L t 0 vLx dx I 0 Uma segunda abordagem consiste em determinar a corrente no ramo capacitivo em primeiro lugar e então usar o fato de que iR iL iC 0 Vamos usar essa abordagem A corrente no ramo capacitivo é 14e5000t 104e20000t mA t 0 02 10670000e5000t 520000e20000t iCt C dv dt Observe que iC0 90 mA o que está de acordo com o resultado no Exemplo 82 Agora obtemos a corrente no ramo indutivo pela relação iLt iRt iCt 56e5000t 26e20000t mA t 0 Deixamos para você mostrar no Problema para avaliação 82 que a relação integral a que aludimos leva ao mesmo resultado Observe que a expressão para iL está como deveria de acordo com a cor rente inicial no indutor Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 82 Use a relação integral entre iL e v para determinar a expressão para iL na Figura 86 Resposta iLt 56e5000t 26e20000t mA t 0 PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 300 Book Nilsson 2indb 300 290116 1420 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 83 Os valores dos elementos no circuito mostrado sao R2kQ L 250 mH e C10nE A corrente inicial J no indutor é 4 A e a tensdo inicial no capacitor 0 V O sinal de saida a tensao v Determine a ipO b i0 c duOdt d A e A e Vt quando t 0 Resposta a 0 Lo aoe 10Vis fet in Cc Vo L i R v d 13333 V e 13333 V f 13333 e 10000 esau Vv NOTA tente resolver também os problemas 85 e 813 apresentados no final deste capitulo A resposta subamortecida Quando w5 a as raizes da equacao caracteristica sio complexas e a resposta é suba mortecida Por conveniéncia expressamos as raizes 5 5 como s a Va5 a a Veg o a jog 825 So aA Ja 826 em que wg Vay a 827 q Frequéncia angular O termo w denominado frequéncia angular amortecida Explicaremos mais adiante a amortecida razao dessa terminologia A resposta de tensao subamortecida de um circuito RLC em paralelo é ut Becos w jt Bye sen w jt 828 q Resposta natural de tensao que decorre da Equacao 818 Na transicao da Equagao 818 para a Equacao 828 usamos a circuitos RLC identidade de Euler em paralelo subamortecidos e cos 9 sen 0 829 Assim vt Aye erent Age teat Aye elodt Are eTeut e Acosagt jA senwyt Az cos wgt jA sen agt e A Az cos gt jA A2 sen aygt Circuitos elétricos Nesse ponto da transigao da Equacdo 818 para a Equacao 828 substitua as constantes arbitrarias A A e jA A por novas constantes arbitrarias denotadas B e B para obter v e B cos wyt By sen agt Bye cos wyt Bye sen wyt As constantes B e B sao reais nao complexas porque a tensdo é uma funcao real Nao se deixe enganar pelo fato de que B jA A Neste caso subamortecido A e A sdo con jugadas complexas e por isso B e B sao reais Veja os problemas 812 e 813 A razao para definir a resposta subamortecida em termos dos coeficientes B e B que isso resulta em uma expresso mais simples para a tensdo v Determinamos B e B pela energia inicial armaze nada no circuito do mesmo modo que determinamos A e A para a resposta superamortecida avaliando v e sua derivada em t 0 Assim como 5s 5 a e w sao fixadas pelos paraémetros de circuito R LeC Para a resposta subamortecida as duas equag6es simultaneas que determinam B e B sao v0T V B 830 dv0 i0 0B ay Bp 831 dt C 1 d2 Vamos examinar a natureza geral da resposta subamortecida Em primeiro lugar as fungdes trigonométricas indicam que essa resposta é oscilatéria isto é a tensAo alternase entre valores positivos e negativos A frequéncia de oscilagéo da tensao é fixada por w Em segundo lugar a amplitude da oscilagéo diminui exponencialmente A rapidez com que as oscilagdes diminuem determinada por a Por isso a também denominado fator de amortecimento ou coeficiente de amortecimento Isso explica por que w denominada frequéncia angular amortecida Se nao houver nenhum amortecimento a 0 e a frequéncia de oscilagao sera w Sempre que houver um elemento dissipativo R no circuito a diferente de zero e a frequéncia de oscilagao w menor do que w Assim quando a é diferente de zero dizse que a frequéncia de oscilagao amortecida O comportamento oscilatério possivel por causa dos dois tipos de elemento armaze nador de energia no circuito o indutor e o capacitor Uma analogia mecanica desse circuito elétrico 6 uma massa suspensa por uma mola em que a oscilacdo é possivel porque a ener gia pode ser armazenada tanto na mola quanto na massa em movimento Falaremos mais sobre as caracteristicas da resposta subamortecida depois da andlise do Exemplo 84 que exa mina um circuito cuja resposta é subamortecida Em suma observe que o processo global para determinar a resposta subamortecida é 0 mesmo que para a resposta superamortecida embora as equac6es da resposta e as equag6es simultaneas usadas para determinar as constan tes sejam ligeiramente diferentes EXEMPLO 84 Determinacao da resposta natural subamortecida de um circuito RLC em paralelo No circuito mostrado na Figura 88 VOe1225mA Figura 88 Circuito para o Exemplo 84 a Calcule as raizes da equacAo caracteristica b Calcule v e dvdt em t 0 ic in in 0125 uFRV0 8H3 I 20k0 c Calcule a resposta de tensao para t 0 mee d Faga um grafico de vt para o intervalo de tempo e O0Osrs1lms Solução a Visto que v0 1 LC Å 106 80125 103 rads a 1 2RC 106 2201030125 200 rads temos v0 2 7 a2 Por conseguinte a resposta é subamortecida Agora s2 a jvd 200 j97980 rad s s1 a jvd 200 j97980 rads 97980 rads vd v0 2 a2 106 4 104 10096 Para o caso subamortecido de modo geral não calculamos s1 e s2 porque não as usamos expli citamente Contudo esse exemplo enfatiza por que s1 e s2 são conhecidas como frequências complexas b Como v é a tensão nos terminais de um capacitor temos v0 v0 V0 0 Como v0 0 a corrente no ramo resistivo é nula em t 0 Daí a corrente no capacitor em t 0 é o negativo da corrente no indutor iC0 1225 1225 mA Assim o valor inicial da derivada é dv0 dt 1225103 0125106 98000 Vs c Pelas equações 830 e 831 B1 0 e B2 98000 vd L 100 V Substituindo os valores numéricos de a vd B1 e B2 na expressão para vt temos vt 100e200t sen 97980t V t 0 Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 303 Book Nilsson 2indb 303 290116 1421 Circuitos elétricos d A Figura 89 mostra 0 grafico de ut para os primeiros 11 ms depois que a energia armazenada é liberada O grafico indica claramente a natureza oscilatéria amortecida da resposta subamortecida A tensao u aproximase de seu valor final alternandose entre valores que so maiores e menores do que o valor final Além disso essas flutuagdes em torno do valor final diminuem exponencial mente com o tempo Figura 89 Resposta de tensao para o Exemplo 84 vV 80 60 aH a ort Nye 39 a MS 20 40 Caracteristicas da resposta subamortecida A resposta subamortecida tem varias caracteristicas importantes A primeira é que a medida que as perdas dissipativas no circuito diminuem a persisténcia das oscilagées aumenta e a frequéncia delas aproximase de w Em outras palavras 4 medida que R ov a dissipacao no circuito da Figura 88 aproximase de zero porque p vR Quando R oo a 0 0 que nos informa que w Quando a 0 a amplitude maxima da tensao per manece constante assim a oscilagéo com frequéncia w é sustentada No Exemplo 84 se R aumentasse até o infinito a solugdo para Uf seria ut 98 sen 1000t V t 0 Assim nesse caso a oscilagaéo é sustentada a amplitude maxima da tensao é 98 V e a fre quéncia de oscilagao é 1000 rads Podemos agora descrever qualitativamente a diferenca entre uma resposta subamor tecida e uma superamortecida Em um sistema subamortecido a resposta oscila ou rico cheteia em torno de seu valor final essa oscilagéo também é denominada ringing Em um sistema superamortecido a resposta aproximase de seu valor final sem ringing ou de um modo que as vezes é descrito como lerdo Ao especificar a resposta desejada de um sistema de segunda ordem pode ser que vocé queira que o sistema alcance seu valor final no tempo mais curto possivel e talvez nem esteja preocupado com pequenas oscilagdes em torno daquele valor final Se for esse 0 caso entéo vocé deve projetar os componentes do sistema para obter uma resposta subamortecida Por outro lado pode ser que vocé esteja preocupado em assegurar que a resposta nao passe de seu valor final talvez para garantir que os componentes nao sejam danificados Nesse caso vocé projetaria os componentes do sistema para obter uma resposta superamortecida e teria de aceitar um crescimento relati vamente lento até o valor final IN do RT Ringing aqui se refere ao toque de campainha que é produzido pela oscilagdo de uma haste metalica entre duas pecas também metialicas Ao tocar ora em uma ora em outra pega a haste produz o som da campainha Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 84 Um indutor de 10 mH um capacitor de 1 wF e um resistor variavel estao ligados em paralelo no circuito mostrado O resistor é ajustado de modo que as raizes da equagao caracteristica seyjam 8000 j6000 rads A tensao inicial no capacitor é 10 V e a corrente inicial no indutor é 80 mA Determine a R b du0dt c By e B na solucao para UV e al ae i d i 2 C Vo L i R v Resposta a 625 0 a b 240000 Vs c B 10 V B 803 V d i t 10e8 cos 6000r 823 sen 6000f mA quando 0 NOTA tente resolver também os problemas 86 e 811 apresentados no final deste capitulo A resposta criticamente amortecida O circuito de segunda ordem da Figura 88 é criticamente amortecido quando w a ou a Quando um circuito criticamente amortecido a resposta esta prestes a oscilar Ade mais as duas raizes da equacao caracteristica sao reais e iguais isto é 832 S S a ree 2RC Quando isso ocorre a solugdo para a tensAo nao assume mais a forma da Equacao 818 Essa equacao nao mais se aplica se s s a pois ela prevé que vAAeAe 833 em que A uma constante arbitraria A Equacao 833 nao pode satisfazer duas condigdes iniciais independentes V com apenas uma constante arbitraria Ay Lembrese de que os paradmetros de circuito R e C determinam a A origem desse dilema é a premissa de que a solucgdo toma a forma da Equagao 818 Quando as raizes da equagao caracteristica so iguais a solugdo para a equacao diferencial toma uma forma diferente a saber ut D te Doe 834 Resposta natural de tensao Assim no caso de uma raiz repetida a solugao envolve um termo exponencial simples circuito RLC mais o produto entre um termo linear e um termo exponencial Deixamos a justificativa da em paralelo Equacao 834 para um curso introdutdério de equacgées diferenciais Determinar a solugio sig criticamente nifica obter D e Dseguindo o mesmo processo dos casos superamortecido e subamortecido amortecido usamos os valores iniciais da tensdo e da derivada da tensdo em relagdo ao tempo para escre ver duas equacgoes envolvendo D eou D Pela Equação 834 as duas equações simultâneas necessárias para determinar D1 e D2 são v0 V0 D2 835 dv0 dt iC0 C D1 aD2 836 Como podemos ver no caso de uma resposta criticamente amortecida a equação para vt bem como as equações simultâneas para as constantes D1 e D2 são diferentes das equações para respostas superamortecidas e subamortecidas mas a abordagem geral é a mesma Raramente você encontrará sistemas criticamente amortecidos na prática em grande parte porque v0 deve ser exa tamente igual a a Essas duas quantidades dependem de parâmetros de circuito e em um circuito real é muito difícil escolher valores de componentes que satisfaçam uma relação de igualdade exata O Exemplo 85 ilustra a abordagem para determinar a resposta criticamente amortecida de um circuito RLC em paralelo ExEMPlo 85 Determinação da resposta natural criticamente amortecida de um circuito RLC em paralelo a Para o circuito do Exemplo 84 Figura 88 determine o valor de R que resulta em uma resposta de tensão criticamente amortecida b Calcule vt para t 0 c Faça um gráfico de vt para 0 t 7 ms Solução a Pelo Exemplo 84 sabemos que v0 2 106 Assim para o amortecimento crítico a 103 1 2RC ou R 106 20000125 4000 V b Pela solução do Exemplo 84 sabemos que v0 0 e dv0dt 98000 Vs Pelas equações 835 e 836 D2 0 e D1 98000 Vs Substituindo esses valores para a D1 e D2 na Equação 834 temos vt 98000te1000t V t 0 c A Figura 810 mostra um gráfico de vt no intervalo 0 t 7 ms Figura 810 Resposta de tensão para o Exemplo 85 0 8 16 24 32 40 vV 1 2 3 4 5 6 7 t ms Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 85 O resistor no circuito do Problema para Avaliação 84 é ajustado para amortecimento crítico Os valo res da indutância e da capacitância são 04 H e 10 mF respectivamente A energia inicial armazenada PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 306 Book Nilsson 2indb 306 290116 1421 Um resumo dos resultados Concluímos nossa discussão da resposta natural do circuito RLC em paralelo com um resumo dos resultados A primeira etapa para determinar a resposta natural é calcular as raízes da equação característica Assim você saberá imediatamente se a resposta é superamortecida subamortecida ou criticamente amortecida Se as raízes forem reais e distintas v0 2 6 a2 a resposta será superamortecida e a tensão será vt A1es1t A2es2t em que v0 2 1 LC a 1 2RC s2 a a2 v0 2 s1 a a2 v0 2 Os valores de A1 e A2 são determinados resolvendose as seguintes equações simultâneas dv0 dt iC0 C s1A1 s2A2 v0 A1 A2 Se as raízes forem complexas e v0 2 7 a2 a resposta será subamortecida e a tensão será vt B1eat cos vdt B2eat sen vdt em que vd v0 2 a2 no circuito é 25 mJ e se distribui igualmente entre o indutor e o capacitor Determine a R b V0 c I0 d D1 e D2 na solução para v e e iR t 0 Resposta a 100 V b 50 V c 250 mA d 50000 Vs 50 V e iRt 500te500t 050e500t A t 0 NOTA tente resolver também os problemas 87 e 812 apresentados no final deste capítulo Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 307 Book Nilsson 2indb 307 290116 1421 Circuitos elétricos Os valores de B e B sao determinados resolvendose as seguintes equagoes simultaneas v0 Y Bi dv0 iO op vp eh w dt C 1 d2 Se as raizes da equacao caracteristica forem reais e iguais w a a resposta de tensao sera vt Dyte Dye em que a como nas outras formas de solucao Para determinar valores para as constantes D e D resolva as seguintes equag6es simultaneas 7 Y Dy dv0 ic0 D aDy dt Cc 83 Resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo Determinar a resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo significa determinar a tenséo nos ramos paralelos ou a corrente nos ramos individuais como resultado da aplica cao repentina de uma fonte de corrente cc Pode ou nao haver energia armazenada no circuito quando a fonte de corrente é aplicada A situacdo é representada pelo circuito mostrado na Figura 811 Para desenvolver uma abordagem geral para a determinagdo da resposta a um degrau de um circuito de segunda ordem calculamos a corrente no ramo indutivo i Essa corrente é de particular interesse porque ela nao se aproxima de zero 4 medida que t aumenta Mais exatamente depois de a chave ficar aberta por um longo tempo a corrente no indutor igualase a corrente da fonte cc 7 Como queremos desenvolver a técnica para determinar a resposta a um degrau admitimos que a energia inicial arma Figura 811 Circuito usado para descrever a resposta a um zenada no circuito seja igual a zero Essa premissa simpli degrau de um circuito RLC em paralelo fica os calculos e nao altera o processo basico envolvido No Exemplo 810 veremos como a presenga de energia inicial i a i i mente armazenada inserese no procedimento geral Cc L R 1 t C L R v Para determinar a corrente no indutor i devemos resolver uma equacao diferencial de segunda ordem com uma fungdo forgante J que é deduzida como explicamos a seguir Pela lei das correntes de Kirchhoff temos ip tip ticl ou v dv ip C 1 837 LR at 837 Visto que diz vL 838 ait 838 obtemos dv ai L 839 dt dt Substituindo as equações 838 e 839 na Equação 837 temos iL L R diL dt LC d2iL dt2 I 840 Por conveniência dividimos tudo por LC e rearranjamos os termos d2iL dt2 1 RC diL dt iL LC I LC 841 Comparando a Equação 841 com a Equação 83 notamos que a presença de um termo diferente de zero do lado direito da equação altera o processo Antes de mostrar como resol ver a Equação 841 diretamente obteremos indiretamente a solução Quando conhecermos a solução da Equação 841 será mais fácil explicar a abordagem direta A abordagem indireta Podemos calcular iL indiretamente determinando em primeiro lugar a tensão v Fazemos isso com as técnicas apresentadas na Seção 82 pois a equação diferencial que v deve satis fazer é idêntica à Equação 83 Para mostrar isso simplesmente voltamos à Equação 837 e expressamos iLem função de v assim 1 L t 0 v dt v R C dv dt I 842 Ao diferenciar a Equação 842 uma vez em relação a t seu lado direito anulase pois I é uma constante Assim v L 1 R dv dt Cd2v dt2 0 ou d2v dt2 1 RC dv dt v LC 0 843 Como discutimos na Seção 82 a solução para v depende das raízes da equação caracte rística Assim as três soluções possíveis são v D1teat D2eat v B1eat cos vdt B2eat sen vdt v A1es1t A2es2t 844 845 846 Uma advertência como há uma fonte no circuito para t 0 você deve levar em conta o valor da corrente da fonte em t 0 quando avaliar os coeficientes das equações 844 846 Para determinar as três soluções possíveis para iL substituímos as equações 844 846 na Equação 837 Depois disso será possível verificar que as três soluções para iL serão iL I Dn 1teat Dn 2eat iL I Bn 1eat cos vdt Bn 2eat sen vdt iL I An 1es1t An 2es2t 847 848 849 em que An 1 An 2 An 1 An 2 Bn 2 Bn 1 Bn 2 Bn 1 Dn 2 Dn 1 e Dn 2 Dn 1 são constantes arbitrárias Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 309 Book Nilsson 2indb 309 290116 1421 Circuitos elétricos Em cada caso as constantes com linha podem ser determinadas indiretamente em ter mos das constantes arbitrarias associadas 4 solugdo da tensao Contudo essa abordagem é complicada A abordagem direta E muito mais facil determinar as constantes com linha diretamente em termos dos valo res iniciais da fungdo resposta Para o circuito que estamos discutindo determinariamos as constantes com linha a partir de i 0 e di 0dt A solugéo para uma equacaéo diferencial de segunda ordem com uma fungado forcante constante é igual 4 resposta forgcada mais uma fungdo resposta cuja forma é idéntica a da resposta natural Assim sempre podemos escrever a solucdo para a resposta a um degrau na forma a funcgao da mesma forma 850 pS que aresposta natural 850 ou funcéo da mesma forma vay t ae aresposta natural 851 em que Je Vrepresentam o valor final da fungao resposta O valor final pode ser igual a zero como foi por exemplo o caso da tensdo UV no circuito na Figura 88 Os exemplos 86810 ilustram a técnica de determinacaéo da resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo usandose a abordagem direta EXEMPLO 86 Determinacao da resposta a um degrau superamortecida de um circuito RLC em paralelo A energia inicial armazenada no circuito da Figura 812 é nula Em t 0 uma fonte de corrente cc de 24 mA aplicada ao circuito O valor do resistor 400 a Qual 0 valor inicial de i b Qual 0 valor inicial de di dt c Quais sao as raizes da equagao caracteristica d Qual é a expressao numérica para i t quando t 0 Solugao a Como nao ha nenhuma energia armazenada no cir cuito antes da aplicacdo da fonte de corrente cca Figura 812 Circuito para o Exemplo 86 corrente inicial no indutor é igual a zero O indutor impede uma variagao instantanea na corrente que ic ip ig O percorre assim 7 0 O imediatamente apdsa 1 25nF 425mH R ov abertura da chave b A tensfo inicial no capacitor é nula antes da aber tura da chave assim sera zero imediatamente depois Agora como v Ldidt di 0 0 dt o c Pelos elementos do circuito obtemos a 1 2RC 109 240025 5 104 rads v0 2 1 LC 1012 2525 16 108 ou a2 25 108 Como v0 2 6 a2 as raízes da equação característica são reais e distintas Assim s1 5 104 3 104 20000 rads s2 5 104 3 104 80000 rads d Como as raízes da equação característica são reais e distintas a resposta será superamortecida Assim iLt toma a forma da Equação 847 ou seja iL I f An 1es1t An 2es2t Portanto a partir dessa solução as duas equações simultâneas que determinam An 1 An 2 e An 1 An 2 são diL dt 0 s1A 1 s2A 2 0 iL0 If A 1 A 2 0 Calculando An 1 An 2 e An 1 An 2 temos An 1 An 2 32 mA e An 1 An 2 8 mA A solução numérica para iLt é iLt 24 32e20000t 8e80000t mA t 0 t Corrente no indutor de um circuito RLC em paralelo resposta a um degrau superamortecida ExEMPlo 87 Determinação da resposta a um degrau criticamente amortecida de um circuito RLC em paralelo O resistor no circuito do Exemplo 86 Figura 812 é aumentado para 625 V Determine iLt para t 0 Solução Como L e C permanecem fixos v0 2 6 a2 tem o mesmo valor que tinha no Exemplo 86 isto é v0 2 6 a2 16 108 O aumento de R para 625 V diminui a para 32 104 rads Com v0 2 7 a2 as raízes da equação carac terística são complexas Daí s1 32 104 j24 104 rads s2 32 104 j24 104 rads Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 311 Book Nilsson 2indb 311 290116 1421 ExEMPlo 88 Determinação da resposta a um degrau criticamente amortecida de um circuito RLC em paralelo O resistor no circuito do Exemplo 86 Figura 812 está ajustado para 500 V Determine iL para t 0 Solução Sabemos que v0 2 6 a2 permanece em 16 108 Com R ajustado para 500 V a tornase 4 104 s1 que cor responde a um amortecimento crítico Portanto a solução para iLt toma a forma da Equação 849 iLt I f Dn 1teat Dn 2eat Novamente Dn 2 Dn 1 e Dn 2 Dn 1 são calculadas a partir das condições iniciais ou diL dt 0 D 1 aD 2 0 iL0 I f D 2 0 Assim Dn 2 Dn 1 960000 mAs e Dn 2 Dn 1 24 mA A expressão numérica para iLt é iLt 24 960000te40000t 24e40000t mA t 0 t Corrente no indutor de um circuito RLC em paralelo resposta a um degrau criticamente amortecida Agora a resposta de corrente é subamortecida e dada pela Equação 848 iLt If Bn 1eat cos vdt Bn 2eat sen vdt Aqui a é 32000 rads vd é 24000 rads e If é 24 mA Como no Exemplo 86 Bn 2 Bn 1 e Bn 2 Bn 1 são determinadas pelas condições iniciais Assim as duas equações simultâneas são diL dt 0 vdB 2 aB 1 0 iL0 I f B 1 0 Então Bn 2 Bn 1 24 mA e Bn 2 Bn 1 32 mA A solução numérica para iLt é iLt 24 24e32000t cos 24000t 32e32000t sen 24000t mA t 0 t Corrente no indutor de um circuito RLC em paralelo resposta a um degrau subamortecida Circuitos elétricos 312 Book Nilsson 2indb 312 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC EXEMPLO 89 Comparagao entre as trés formas de resposta a um degrau a Plote em um tnico grafico usando uma faixa de 0 a 220 ps as respostas superamortecida subamort tecida e criticamente amortecida calculadas nos exemplos 8688 b Use os graficos de a para determinar o tempo que leva para alcangar 90 de seu valor final c Com base nos resultados obtidos em b qual resposta vocé especificaria em um projeto que ofe recesse alguma vantagem em alcangar 90 do valor final no menor tempo possivel d Qual resposta vocé especificaria em um projeto que tenha de garantir que o valor final da corrente nunca seja ultrapassado Solugao a Veja a Figura 813 b Como o valor final de i 24 mA podemos ler diretamente no grafico os tempos correspondentes ai 216 mA Assim toup 130 pS t 97 MS t 74 BS c Como a resposta subamortecida alcanga 90 do valor final no tempo mais rapido ela é 0 tipo da resposta desejada quando a velocidade é a especificagao de projeto mais importante d Pelo grafico vocé pode ver que a resposta subamortecida ultrapassa o valor final da corrente ao passo que nem a resposta criticamente amortecida nem a resposta superamortecida apresentam correntes acima de 24 mA Embora qualquer das duas ultimas respostas atenda as especificagdes de projeto é melhor usar a resposta superamortecida Nao seria pratico especificar em um projeto valores exatos de componentes que garantam uma resposta criticamente amortecida Figura 813 Graficos das correntes para o Exemplo 89 i mA 6 Subamortecida R 625 0 22 18 superamortecida R 4000 14 Criticamente amortecida R 500 0 10 bot 6 2 t us 09 20 60 100 140 180 EXEMPLO 810 Determinacao da resposta a um degrau de um circuito RLC em paralelo com energia inicial armazenada Ha energia armazenada no circuito do Exemplo 88 Figura 812 com R 500 no instante em que a fonte de corrente cc aplicada A corrente inicial no indutor é 29 mA e a tensao inicial no capacitor é 50 V Determine a i 0 b di 0dt c i t para t 0 d u para t 0 Solugao a Como nao pode haver uma variagdo instantanea de corrente em um indutor o valor inicial de i no primeiro instante apos a aplicagado da fonte de corrente cc deve ser 29 mA b O capacitor mantém a tensão inicial no indutor em 50 V Assim diL dt 0 50 25 103 2000 As L diL dt 0 50 c Pela solução do Exemplo 88 sabemos que a resposta de corrente é criticamente amortecida Por isso iLt If D 1teat D 2eat em que a 1 2RC 40000 rads e If 24 mA Observe que o efeito da energia armazenada diferente de zero está no cálculo das constantes Dn 2 Dn 1 e Dn 2 Dn 1 que obtemos das condições iniciais Em primeiro lugar usamos o valor inicial da corrente no indutor iL0 If Dn 2 Dn 1 29 mA do qual obtemos Dn 2 Dn 1 29 24 5 mA A solução para Dn 2 Dn 1 é diL dt 0 D 1 aD 2 2000 ou 2200 As 22 106 mAs 2000 400005 103 D 1 2000 aD 2 Assim a expressão numérica para iLt é iLt 24 22 106te40000t 5e40000t mA t 0 d Podemos obter a expressão para vt t 0 usando a relação entre a tensão e a corrente em um indutor 22 106te40000t 50e40000t V t 0 22 106e40000t 540000e40000t 103 25 10322 10640000te40000t vt L diL dt Para confirmar esse resultado verifiquemos se a tensão inicial no indutor é 50 V v0 22 10601 501 50 V Circuitos elétricos 314 Book Nilsson 2indb 314 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber determinar a resposta natural e a resposta a um degrau de circuitos RLC em paralelo 86 No circuito mostrado R 500 L 064 H C1 pF e J1 AA queda da tensao ini 7 in in cial no capacitor é 40 V e a corrente inicial no J 1 Cc L R v indutor é 05 A Determine a ip0 b i0 c di 0dt d s s e i parat Oe f Ut para t 0 Resposta a 80 mA b 158 A c 625 As d 1000 j750 rads 1000 j750 rads e 1 e7T15 cos 750t 20833 sen 750 A para t 0 f e199940 cos 750t 205333 sen 750t V para t OF NOTA tente resolver também os problemas 827829 apresentados no final deste capitulo 84 Respostas natural e a um degrau de um Figura 814 Circuito usado para ilustrar a resposta circuito RLC em serie natural de um circuito RLC em série Os procedimentos para determinar a resposta natural ou a R L um degrau de um circuito RLC em série s4o os mesmos usados Io para determinar a resposta natural ou a um degrau de um circuito CoRV RLC em paralelo pois ambos os circuitos sao descritos por equa ces diferenciais que tem a mesma forma Comegamos somando as tensdes ao longo do caminho fechado no circuito mostrado na Figura 814 Assim r cist id VY0 852 i idt 0 dt C Jo Agora diferenciamos a Equacéo 852 uma vez em relacao a f para obter reg piping 853 dt d C que podemos rearranjar como ai Rd i y 854 dt Ldt LC Uma comparacao entre a Equacgao 854 e a Equacao 83 revela que elas ttm a mesma forma Portanto para determinar a solucéo da EquacAo 854 seguimos 0 mesmo processo que nos levou a solugdo da Equagao 83 Circuitos elétricos Pela Equagao 854 a equacao caracteristica para 0 circuito RLC em série é R 1 Equacao se Dt Teo 855 caracteristica circuito RLC em série As raizes da equacao caracteristica sao 2 so 4 2 4 856 2L 2L LC ou Sig atV a wp 857 A frequéncia de Neper a para 0 circuito RLC em série é ne R Frequéncia a 57 rads 858 de Neper circuito RLC emsérie a expressdo para a frequéncia angular de ressonancia é Frequéncia 1 wy rads 859 angular de VLC ressonancia circuito RLC Observe que a frequéncia de Neper do circuito RLC em série é diferente da do circuito emsérie RLCem paralelo mas as frequéncias angulares de ressonancia sao as mesmas A resposta de corrente sera superamortecida subamortecida ou criticamente amorte cida conforme wi a7w5 a OU ws a respectivamente Assim as trés soluc6es possiveis para a corrente sao as seguintes Formas de it Ae Are superamortecida 860 resposta it Bye cos wgt Bye sen wyt subamortecida 861 natural de ae it Dite Dye criticamente amortecida corrente em t 1 2 862 circuitos RLC em série Uma vez obtida a resposta natural de corrente podese determinar a resposta natural de tensao em qualquer elemento do circuito Para verificar que 0 procedimento para determinar a res Figura 815 Circuito usado para ilustrar a resposta a um posta a um degrau de um circuito RLC em serie o mesmo degrau de um circuito RLC em série que para um circuito RLC em paralelo mostramos que a equacéo diferencial que descreve a tens4o no capacitor da i 0 urp tu Figura 815 tem a mesma forma da equacao diferencial que R L descreve a corrente no indutor da Figura 811 Por convenién cia admitimos que a energia armazenada no circuito no ins V 1 C Tel 2 tante em que a chave é fechada seja nula Aplicando a lei das tensdes de Kirchhoff ao circuito mostrado na Figura 815 obtemos di VRit La Uc 863 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC A corrente 7 esta relacionada com a tensao no capacitor U pela expressdo u dt 864 da qual di due C di i 865 Substitua as equacodes 864 e 865 na Equagao 863 e escreva a expressao resultante como d Rd V eve RMc Vo 866 dt L dt LC LC A Equacao 866 tem a mesma forma da Equacao 841 assim o procedimento para deter minar UV 0 mesmo que para determinar iAs trés solucGes possiveis para U Sao as seguintes vc Aje Ase superamortecida 867 vc Bie cos wat Bre senwgt subamortecida 868 Formas de vc VY Dite Die criticamente amortecida 869 resposta a um degrau Lo da tensao no em que V 0 valor final de v Portanto pelo circuito mostrado na Figura 815 0 valor final capacitor em de U a tensao V da fonte cc circuitos RLC Os exemplos 811 e 812 ilustram o mecanismo de se determinar a resposta natural e a res em série posta a um degrau de um circuito RLC em série EXEMPLO 811 Determinagao da resposta natural subamortecida de um circuito RLC em série O capacitor de 01 wF no circuito mostrado na Figura 816 Figura 816 Circuito para o Exemplo 811 é carregado até 100 VEm t0 0 capacitor é descarregado 0 por meio de uma combinacao em série de um indutor de 100 mH 100 mH e um resistor de 560 0 4 a Determine it para t 0 100 VERO pF ove i 5600 b Determine u para t 0 Solugao a A primeira etapa para determinar if é calcular as raizes da equac4o caracteristica Pelos valores dos elementos dados 1 2 oo LC 1010 ps 10001 R OL 560 X 10 2100 2800 rads Em seguida comparamos v0 2 7 a2 e a2 e observamos que v0 2 7 a2 pois a2 784 106 00784 108 Neste ponto sabemos que a resposta é subamortecida e que a solução para it é da forma it B1eat cos vdt B2eat sen vdt em que a 2800 rads e vd 9600 rads Os valores numéricos de B1 e B2 vêm das condições ini ciais A corrente no indutor é igual a zero antes que a chave feche e portanto assim permanece imediatamente após Logo i0 0 B1 Para determinar B2 avaliamos di0dt Pelo circuito observamos que como i0 0 imediatamente após o fechamento da chave não haverá nenhuma queda de tensão no resistor Por isso a tensão inicial no capacitor aparece nos terminais do indutor o que resulta na expressão Ldi0 dt V0 ou 1000 As di0 dt V0 L 100 100 103 Como B1 0 di dt 400B2e2800t24 cos 9600t 7 sen 9600t Assim B2 1000 9600 L 01042 A di0 dt 9600B2 A solução para it é it 01042e2800t sen 9600t A t 0 b Para determinar vCt podemos usar qualquer das seguintes relações vC iR L di dt vC 1 C t 0 i dt 100 ou Qualquer que seja a expressão usada recomendamos a segunda o resultado é vCt 100 cos 9600t 2917 sen 9600te2800t V t 0 Circuitos elétricos 318 Book Nilsson 2indb 318 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC EXEMPLO 812 Determinacdo da resposta a um degrau subamortecida de um circuito RLC em série Nao ha energia armazenada no indutor de 100 mH nem no capacitor de 04 F quando a chave no circuito mostrado na Figura 817 esta fechada Determine Ut para t 0 Solugao As raizes da equacaéo caracteristica sao Figura 817 Circuito para o Exemplo 812 5 280 280 10 02 02 0104 01H 2900 t0 1400 4800 rads BV O4 HEAR ve 82 1400 74800 rads Como as raizes sio complexas a resposta de tensao é subamortecida Assim Ut 48 Bye 140 cos 48001 Bhe 140 sen 48008 t 0 Como inicialmente nao ha nenhuma energia armazenada no circuito v0 e du0dt sao iguais a zero Entao vc0 0 48 Bi dv 0 WO 9 4800B 1400B dt Calculando B e B5 temos By 48 V BL14V Portanto a solugao para Ut Ut 48 48e714 cos 48008 14e1400 sen 48002 Vt 0 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber determinar a resposta natural e a um degrau de circuitos RLC em série 87 A chave no circuito mostrado esteve na 9kQ y 800 SmH posigao a por um longo tempo Em t 0 ela assa para a posicao b Determine a i0 t0 Pose Pan Poe a 0 1skQ 100v b U0 c diOdt d 555 e it para Ue FR 2 pF t0 Circuitos elétricos Resposta a 0 b 50 V c 10000 As d 8000 j6000 rads 8000 j6000 rads e 167e 80 sen 60002 A para t 0 88 Determine Ut para t 0 para o circuito do Problema para avaliagao 87 Resposta 100 e 50 cos 6000r 6667 sen 60002 V para t 0 NOTA tente resolver também os problemas 849851 apresentados no final deste capitulo 85 Circuitos com dois amplificadoresintegradores Um circuito que contém dois amplificadoresintegradores ligados em cascata também é um circuito de segunda ordem isto é a tensdo de saida do segundo integrador esta relacionada com a tensdo de entrada do primeiro por uma equagao diferencial de segunda ordem Come cgamos nossa andlise de um circuito que contém dois amplificadores em cascata com 0 circuito mostrado na Figura 818 Figura 818 Dois amplificadoresintegradores ligados em cascata Cc 1 C Ry Vee petal g Vee Vo cc Vol Vee v v v Admitimos que os amp ops sao ideais A tarefa é obter a equacao diferencial que descreva arelagdo entre U e V e Comecamos por somar as correntes no terminal inversor de entrada do primeiro integrador Como o amp op é ideal Oo od 870 C0 v1 0 R 1 d 7 ol Pela Equagao 870 dvo 1 vz 871 dt RC 8 Agora somamos as correntes que saem do terminal inversor do segundo amplificadorintegrador 0 Vol d C0 v 0 872 R 2 d 7 o ou 2 Em uma ligacao em cascata o sinal de saida do primeiro amplificador v na Figura 818 é 0 sinal de entrada do segundo amplificador Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC dv 1 it RG 873 Diferenciando a Equagao 873 obtemos 2 d Vo 1 dv 874 dt RC dt Determinamos a equagao diferencial que governa a relagdo entre UV e V substituindo a Equacao 871 na Equacao 874 d 1 1 awe Te 875 dt RiC RyCy O Exemplo 813 ilustra a resposta a um degrau de um circuito que contém dois amplifica doresintegradores em cascata EXEMPLO 813 Andlise de dois amplificadoresintegradores em cascata Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Figura 819 Circuito para o Exemplo 813 cuito mostrado na Figura 819 quando a ten sao de entrada v salta instantaneamente de 01 uF 1 pF 0 para 25 mV a Determine a expressao de ut para0 t 250 kO ov 500 kO oV t sat oo Us 5Vu b Quanto tempo leva ocircuito parasaturar val ov v v Solugao Vv a A Figura 819 indica que os fatores de escala do amplificador sao 1 1000 40 RC 25001 1 1000 RC 5001 Agora como UV 25 mV para t 0a Equagao 875 tornase a 2 40225 X 10 2 Para calcular v fazemos dv t gs entao dgt ae 2 e dgt 2dt Daí gt g0 dy 2 t 0 dx da qual gt g0 2t Contudo g0 dvo0 dt 0 pois a energia armazenada no circuito é inicialmente igual a zero e os amp ops são ideais Veja o Problema 857 Então dvo dt 2t e vo t2 vo0 Porém vo0 0 e portanto a expressão para vo tornase vo t2 0 t tsat b O segundo amplificadorintegrador fica saturado quando vo alcança 9 V ou em t 3 s No entanto é possível que o primeiro amplificadorintegrador fique saturado antes de t 3 s Para explorar essa possibilidade use a Equação 871 para determinar dvo1dt dvo1 dt 4025 103 1 Calculando vo1 temos vo1 t Assim em t 3 s vo1 3 V e como a fonte de alimentação de tensão no primeiro amplificador integrador é 5 V o circuito atinge a saturação quando o segundo amplificador fica saturado Quando um dos amp ops fica saturado não podemos mais usar o modelo linear para prever o com portamento do circuito NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver o Problema 863 apresentado no final deste capítulo Dois amplificadoresintegradores com resistores de realimentação A Figura 820 mostra uma variante do circuito da Figura 818 Lembrese de que na Seção 77 dissemos que a razão pela qual o amp op em um amplificadorintegrador se satura é o acú mulo de carga no capacitor de realimentação Aqui um resistor é colocado em paralelo com cada capacitor de realimentação C1 e C2 para resolver esse problema Deduzimos nova mente a equação para a tensão de saída vo e determinamos o impacto causado por esses resis tores de realimentação nos amplificadoresintegradores do Exemplo 813 Circuitos elétricos 322 Book Nilsson 2indb 322 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC Figura 820 Amplificadoresintegradores em cascata com resistores de realimentagao R 1 Ry R 7 Ry Veer Yoi Vec2 Yo v v Vv Comegamos a deducao da equacao diferencial de segunda ordem que relaciona U a U somando as correntes no no da entrada inversora do primeiro integrador 0v 0v d ol C0 0 Rt Rt Cig 0 Ye 876 Simplificando a Equacao 876 temos dv 5 1 Ug 5 dt RC RAC 877 Por conveniéncia fazemos T RC e escrevemos a Equacao 877 como Aor Yor Ys 878 dt T1 RC A proxima etapa é somar as correntes no terminal inversor do segundo integrador 0 Vol 0 Vo d C0 0 Rot Rt Cag lO 8 879 Escrevemos novamente a Equacao 879 como dv Vo Vol 880 dt T2 RyQ onde 7 RC Diferenciando a Equagao 880 obtemos d 1d 1d a Vo 4 He vol 881 dt 72 dt RC dt Pela Equagao 878 voi Vol Ug 882 dt T1 RC e pela Equacao 880 dvyg RQ Vol ROT Ty Uo 883 Usamos as equagoes 882 e 883 para eliminar dudt da Equacao 881 e obter a relagdo desejada d 1 1d 1 v yt 1 2 a2 dt T 72 at 7172 RC Rp Pela Equação 884 a equação característica é s2 a 1 t1 1 t2 bs 1 t1t2 0 885 As raízes da equação característica são reais a saber s1 1 t1 886 s2 1 t2 887 O Exemplo 814 ilustra a análise da resposta a um degrau de dois amplificadoresinte gradores em cascata quando os capacitores de realimentação são colocados em paralelo com resistores de realimentação ExEMPlo 814 Análise de dois amplificadoresintegradores em cascata com resistores de realimentação Os parâmetros para o circuito mostrado na Figura 820 são Ra 100 kV R1 500 kV C1 01 mF Rb 25 kV R2 100 kV e C2 1 mF As tensões de alimentação para cada amp op são 6 V A tensão de entrada vg para os amplificadoresintegradores em cascata salta de 0 para 250 mV em t 0 Não há nenhuma energia armazenada nos capacitores de realimentação no instante em que o sinal é aplicado a Determine a expressão numérica da equação diferencial para vo b Determine vot para t 0 c Determine a expressão numérica da equação diferencial para vo1 d Determine vo1t para t 0 Solução a Pelos valores numéricos dos parâmetros de circuito temos t1 R1C1 005 s t2 R2C2 010 s e vgRaC1RbC2 1000 Vs2 Substituindo esses valores na Equação 884 temos d2vo dt2 30dvo dt 200vo 1000 b As raízes da equação característica são s1 20 rads e s2 10 rads O valor final de vo é a tensão de entrada vezes o ganho de cada estágio pois os capacitores comportamse como circuitos abertos quando t q Portanto voq 250 103500 100 100 25 5 V Assim a solução para vo assume a forma vo 5 A1 ne10t A2 ne20t Com vo0 0 e dvo0dt 0 os valores de An 1 An 2 e An 1 An 2 são An 1 An 2 10 V e An 1 An 2 5 V Portanto a solução para vo é vot 5 10e10t 5e20t V t 0 Circuitos elétricos 324 Book Nilsson 2indb 324 290116 1421 A solução pressupõe que nenhum amp op fique saturado Já observamos que o valor final de vo é 5 V valor menor que 6 V dessa forma o segundo amp op não fica saturado O valor final de vo1 é 250 103500100 ou 125 V Assim o primeiro amp op não fica saturado e nossas premissa e solução estão corretas c Substituindo os valores numéricos dos parâmetros na Equação 878 obtemos a equação diferencial desejada dvo1 dt 20vo1 25 d Já conhecemos os valores inicial e final de vo1 juntamente com a constante de tempo t1 Assim escrevemos a solução de acordo com a técnica desenvolvida na Seção 74 vo1 125 0 125e20t 125 125e20t V t 0 NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver o Problema 864 apresentado no final deste capítulo Perspectiva prática Sincronização do relógio do computador Vamos analisar o circuito da Figura 821 onde a saída é a queda de tensão no capacitor Para t 0 o comportamento desse circuito se parece com uma resposta natural de um circuito RLC em série como a mostrada na Figura 83 sem o resistor Ao analisarmos esse circuito LC descobriremos que sua saída é uma senoide não amortecida que poderia ser utilizada pelo gerador de base de tempo de um computador em vez do oscilador de cristal de quartzo con vencional Poderemos especificar a frequência do sinal selecionando os valores apropriados para o indutor e o capacitor Comece escrevendo a equação LTK para o circuito da Figura 821 utilizando a corrente t para t 0 L dit dt 1 C t 0 ixdx 0 Para eliminar o termo integral derive ambos os lados com relação a i para obter L d2it dt2 1 C it 0 A equação diferencial descrita é portanto d2it dt2 1 LC it 0 Qual função matemática podemos adicionar à sua segunda derivada para chegarmos a zero Uma senoide na forma it A cos v0t vai funcionar Figura 821 Resposta natural de um circuito LC a R C L V b vot t 0 i 1 2 1 2 Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 325 Book Nilsson 2indb 325 290116 1421 d2 dt2Acosv0t 1 LCAcosv0t v0 2Acosv0t 1 LCAcosv0t 0 Essa equação é satisfeita quando ou quando v0 Å 1 LC v0 2 1 LC A frequência v0 é a frequência angular de ressonância conhecida dos circuitos RLC tanto em série quanto em paralelo cujas unidades são radianossegundo Notese que o circuito LC não tem uma frequência de Neper a Escolhemos o valor de A para satisfazer a condição inicial para a corrente no indutor logo A V R i0 A cosv00 V R Portanto a corrente para o circuito da Figura 821 é where v0 Å 1 LC it V R cosv0t em que where v0 Å 1 LC it V R cosv0t Podemos agora usar a expressão para a corrente no circuito de modo a encontrar a tensão do capacitor vCt 1 C t 0 ixdx 1 C t 0 V R cosv0xdx V v0RC senv0t Ao escolher valores para L e C podemos usar o circuito na Figura 821 para gerar uma senoide não amortecida quando t 0 para o gerador do relógio de um computador Se é assim por que um cristal de quartzo é utilizado para gerar a senoide do gerador de clock em vez do circuito LC da Figura 821 Lembrese de que nossa análise do circuito LC assumiu que o indutor e o capacitor são ideais Mas isso não existe indutores e capacitores reais possuem pequena resistência Deixamos para você examinar o efeito dessa pequena resistência sobre o desempenho de um oscilador LC nos problemas do capítulo NOTA avalie sua compreensão da Perspectiva prática resolvendo os problemas 866868 apresentados no final deste capítulo Resumo A equação característica para circuitos RLC em paralelo e em série tem a forma s2 2as v2 0 0 em que a 12RC para o circuito em paralelo a R2L para o circuito em série e v0 2 6 a2 1LC para ambos os circuitos em paralelo e em série As raízes da equação característica são s12 a a2 v2 0 Seção 81 A forma das respostas natural e a um degrau de circuitos RLC em série e em paralelo depende dos valores de a2 e v0 2 6 a2 tais respostas podem ser superamortecidas subamortecidas ou critica mente amortecidas Esses termos descrevem o impacto do elemento dissipador R sobre a res posta A frequência de Neper a reflete o efeito de R Seção 81 A resposta de um circuito de segunda ordem é superamortecida subamortecida ou critica mente amortecida como mostra a Tabela 82 Para determinar a resposta natural de um cir cuito de segunda ordem começamos determi nando se ele é superamortecido subamorte cido ou criticamente amortecido e em seguida Circuitos elétricos 326 Book Nilsson 2indb 326 290116 1421 resolvemos as equações adequadas como mos tra a Tabela 83 Para determinar a resposta a um degrau de um circuito de segunda ordem aplicamos as equa ções adequadas dependendo do amortecimento como mostra a Tabela 84 Para cada uma das três formas de resposta os coeficientes desconhecidos isto é As Bs e Ds são obtidos avaliandose o circuito para deter minar o valor inicial da resposta x0 e o valor inicial da derivada de primeira ordem da res posta dx0dt Quando dois amplificadoresintegradores com amp ops ideais são ligados em cascata a tensão de saída do segundo integrador está relacionada com a tensão de entrada do primeiro por uma equação diferencial ordinária de segunda ordem Assim as técnicas desenvolvidas neste capítulo podem ser usadas para analisar o comporta mento de um integrador em cascata Seção 85 Podemos superar a limitação de um amplifica dorintegrador simples a saturação do amp op devida ao acúmulo de carga no capacitor de rea limentação colocando um resistor em paralelo com o capacitor de realimentação Seção 85 Tabela 82 A resposta de um circuito de segunda ordem é superamortecida subamortecida ou criticamente amortecida O circuito é Quando Natureza qualitativa da resposta Superamortecido a2 v0 2 a2 6 v0 2 a2 7 v0 2 A tensão ou corrente aproximase de seu valor final sem oscilação Subamortecido a2 v0 2 a2 6 v0 2 a2 7 v0 2 A tensão ou corrente oscila em torno de seu valor final Criticamente amortecido a2 v0 2 a2 6 v0 2 a2 7 v0 2 A tensão ou corrente está prestes a oscilar em torno de seu valor final Tabela 83 Para determinar a resposta natural de um circuito de segunda ordem começamos determinando se ele é superamortecido subamortecido ou criticamente amortecido e então resolvemos as equações adequadas Amortecimento Equações de resposta natural Coeficiente das equações Superamortecido xt D1t D2e at xt B1 cos vdt B2 sen vdte at xt A1es1t A2es2t em que dxdt0 D1 a D2 x0 D2 vd v0 2 a2 dxdt0 aB1 vdB2 x0 B1 dxdt0 A1s1 A2s2 x0 A1 A2 Subamortecido xt D1t D2e at xt B1 cos vdt B2 sen vdte at xt A1es1t A2es2t em que dxdt0 D1 a D2 x0 D2 vd v0 2 a2 dxdt0 aB1 vdB2 x0 B1 dxdt0 A1s1 A2s2 x0 A1 A2 Criticamente amortecido xt D1t D2e at xt B1 cos vdt B2 sen vdte at xt A1es1t A2es2t em que dxdt0 D1 a D2 x0 D2 vd v0 2 a2 dxdt0 aB1 vdB2 x0 B1 dxdt0 A1s1 A2s2 x0 A1 A2 Tabela 84 Para determinar a resposta a um degrau de um circuito de segunda ordem aplicamos as equações adequadas dependendo do amortecimento Amortecimento Equações de resposta a um degraua Coeficiente das equações Superamortecido xt Xf D1 n te a t D2 n e a t xt Xf B1 n cos vdt B2 n sen vdte a t xt X f A1 n es1t A2 n es2t dxdt0 D1 n aD2 n x0 X f D2 n dxdt0 aB1 n vdB2 n x0 X f B1 n dxdt0 A1 n s1 A2 n s2 x0 X f A1 n A2 n Subamortecido xt Xf D1 n te a t D2 n e a t xt Xf B1 n cos vdt B2 n sen vdte a t xt X f A1 n es1t A2 n es2t dxdt0 D1 n aD2 n x0 X f D2 n dxdt0 aB1 n vdB2 n x0 X f B1 n dxdt0 A1 n s1 A2 n s2 x0 X f A1 n A2 n Criticamente amortecido xt Xf D1 n te a t D2 n e a t xt Xf B1 n cos vdt B2 n sen vdte a t xt X f A1 n es1t A2 n es2t dxdt0 D1 n aD2 n x0 X f D2 n dxdt0 aB1 n vdB2 n x0 X f B1 n dxdt0 A1 n s1 A2 n s2 x0 X f A1 n A2 n a onde Xf é o valor final de xt Capítulo 8 Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 327 Book Nilsson 2indb 327 290116 1421 Problemas Seções 8182 81 Os elementos de circuito no circuito da Figura 81 são R 125 V L 200 mH e C 5 mF A corrente inicial no indutor é 03 A e a tensão inicial no capacitor é 25 V a Calcule a corrente inicial em cada ramo do circuito b Determine vt para t 0 c Determine iLt para t 0 82 A resistência no Problema 81 é reduzida para 100 V Determine a expressão para vt quando t 0 83 A resistência no Problema 81 é reduzida para 80 V Determine a expressão para vt quando t 0 84 A resistência indutância e capacitância de um circuito RLC em paralelo são 2000 V 250 mH e 10 nF respectivamente a Calcule as raízes da equação caracterís tica que descreve a resposta de tensão do circuito b A resposta será superamortecida suba mortecida ou criticamente amortecida c Qual é o valor de R que resultará em uma frequência amortecida de 12 kradss d Quais são as raízes da equação caracterís tica para o valor de R determinado em c e Qual é o valor de R que resultará em uma resposta criticamente amortecida 85 Suponha que o indutor no circuito mostrado na Figura 81 tenha um valor de 10 mH A resposta de tensão para t 0 é vt 40e1000t 90e4000t V a Determine os valores numéricos de v0 a C e R b Calcule iRt iLt e iCt para t 0 86 A resposta natural do circuito na Figura 81 é vt 120e400t cos 300t 80e400t sen 300t V quando o capacitor é de 250 mF Determine a L b R c V0 d I0 e e iLt 87 Sabese que a resposta de tensão para o cir cuito da Figura 81 é vt D1te80t D2e80t t 0 A corrente inicial no indutor I0 é 25 mA e a tensão inicial no capacitor V0 é 5 V O resistor tem valor de 50 V a Determine o valor de C L D1 e D2 b Determine iCt para t 0 88 No circuito mostrado na Figura 81 um indu tor de 20 mH está em paralelo com um capa citor de 500 nF o resistor R está ajustado para amortecimento crítico e I0 120 mA a Calcule o valor numérico de R b Calcule vt para t 0 c Determine vt quando iCt 0 d Qual é a percentagem da energia ini cialmente armazenada que permanece armazenada no circuito no instante em que iCt é igual a zero 89 Sabese que a resposta natural para o circuito mostrado na Figura 81 é vt 11e100t 20e400t V t 0 Se C 2 mF e L 125 H determine iL0 em miliampères 810 A resistência do resistor no circuito do Exem plo 84 é alterada para 3200 V a Determine a expressão numérica para vt quando t 0 b Desenhe um gráfico de vt para o inter valo de tempo 0 t 7 ms Compare essa resposta com a do Exemplo 84 R 20 kV e a do Exemplo 85 R 4 kV Em particu lar compare os valores de pico de vt e os tempos em que esses valores ocorrem 811 As duas chaves no circuito visto na Figura P811 funcionam de modo sincronizado Quando a chave 1 está na posição a a chave 2 está na posição d Quando a chave 1 passa para a posição b a chave 2 passa para a Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 328 Book Nilsson 2indb 328 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC posicdo c A chave 1 esteve na posiao a por utilizar os componentes do Apéndice H um longo tempo Em t 0 as chaves passam Calcule as raizes da equacAo caracteristica para suas posic6es alternadas Determine vt para essa nova resisténcia para t 0 b Altere a resisténcia para o circuito que Figura P811 vocé projetou no Problema 85 a de a modo que a resposta seja superamortecida é ex d 7X Continue a utilizar os componentes do 500 NX o 20 Apéndice HA Calcule as raizes da equacao A 5008 00 100V caracteristica para essa nova resisténcia 25 uF 819 Nocircuito da Figura 81 R5k0OL8 H Pspice 9C125nFV30Vel6mA Multisim 812 Oresistor no circuito da Figura P811 é redu a Determine v1 para t 0 Pspice zido de 50 0 para 40 Determine vt para b Determine os primeiros trés valores de Multisim 9 t para os quais dudt é igual a zero Esses 813 Oresistor no circuito da Figura P811 é redu valores devem ser denotados como tt Pspice zido de 50 para 32 2 Determine vt para c Mostre que t T mulisin 0 d Mostre que t t T2 814 Achave no circuito da Figura P814 esteve na e Calcule v v e vt Rien posigao a por um longo tempo Em i 0 ela f Faca um grafico de vt para 0 t t passa instantaneamente para a posicao b 820 a Determine vt para t 0 no circuito do Determine v1 para 0 Pspice Problema 819 se 0 resistor de 5 kQ for Figura P814 Mulisin retirado do circuito 5ko t0 lig is b Calcule a frequéncia de vt em hertz va 7 c Calcule a amplitude maxima de vt Y em volts Oey k 8 FE co 821 Suponha que a resposta de tensAo subamorte cida no circuito da Figura 81 seja expressa por vt A Aze cos wat 815 Oindutor no circuito da Figura P814 é aumen at tado para 80 mH Determine vt para t 0 Ai Azje sen wat 816 Ojndutor no circuito da Figura P814 é aumen O valor inicial da corrente no indutor J e tado para 125 mH Determine vt para t 0 o valor inicial da tensdo no capacitor V 817 a Projete um circuito RLC em paralelo veja Mostre que A o complexo conjugado de a Figura 81 usando valores de compo A Sugestdo use 0 mesmo processo descrito nentes do Apéndice H com uma frequén no texto para determinar A e A cia angular de ressonancia de 5000 rads 822 Mostre que os resultados obtidos no Problema Escolha um resistor ou crie uma rede de 821 isto as expressOes para A e A sao resistores de modo que a resposta seja criti compativeis com as equacoes 830 e 831 do texto camente amortecida Desenhe seu circuito 823 Ovalor inicial da tens4o v no circuito da Figura b Calcule as raizes da equac4o caracteris 81 igual a zero e o valor inicial da corrente tica para a resisténcia em a no capacitor i0 é 45 mA Sabese que a 818 a Altere aresisténcia para 0 circuito que vocé expressao para a corrente no capacitor é projetou no Problema 85 a de modo que it Aye 2 Ase 08 a resposta seja subamortecida Continue a quando R é 250 Q Determine Circuitos elétricos a os valores de a w LC A e A b a expressdo para ut t 0 di0 di0 di0 c a expressao para it t 0 Sugestao ne f f f d a expressao para i tt 0 v 1 ic0 L RC Secao 83 824 a Para o circuito do Exemplo 86 deter 831 A chave no circuito da Figura P831 esteve Pspice mine para t 0 a vt b ipt e c Pspice aberta por um longo tempo antes de fechar Multisim Multisim oo it em f 0 Determine it para t 0 825 Para o circuito do Exemplo 87 determine Figura P831 para t 0 a UZ e b i2 i oo 200 2 826 Para ocircuito do Exemplo 88 determine v Pspice parat 0 Multisim 60 V 50 mH 827 Admita que no instante em que a fonte de Pspice corrente cc de 2 A é aplicada ao circuito da Multisim Fi P827 te inicial indutor d igura fo2 a corrente mica No mcutor ce 832 a Para ocircuito da Figura P831 determine 25 mH seja 1 A ea tensdo inicial no capacitor Pspice v parat0 seja 50 V positiva no terminal superior Multisim b Mostre que sua solucao para uv é com Determine a expressdo para i para t 0 pativel com a solucdo para i no Pro se R for igual a 125 2 blema 831 Figura P827 833 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Pspice cuito da Figura P833 quando a chave é Multis fechada em t 0 Determine i t para t 0 2 x iO 25 mH 625uF R os para t Figura P833 1250 to 828 A resisténcia no circuito da Figura P827 é Pspice alterada para 8 1 Determine i t para t 0 Multisim 25 V 250 mH 829 A resisténcia no circuito da Figura P827 é alte Pspice rada para 10 Determine i t para t 0 Mulnsin 834 a Para ocircuito da Figura P833 determine 830 A chave no circuito da Figura P830 esteve Pspice V parat 0 Multisim Pspice aberta por um longo tempo antes de fechar b Mostre que sua solucao para v com Multisim z o em t0No instante em que a chave é fechada pativel com a solugio para i no Pro o capacitor nao tem nenhuma energia arma blema 833 zenada Determine v para t 0 835 Achave no circuito da Figura P835 esteve na Figura P830 Pspice posigAo esquerda por um longo tempo antes 160 Mulisim de passar para a posicao direita em f 0 Determine t0 4Vv 05H vy 3125 pF a it parat 0 b ut para t 0 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC Figura P835 837 A chave no circuito da Figura P837 esteve 1kO Pspice aberta por um longo tempo antes de fechar Multis om t0 Determine i t para t 0 X10 iL 3kO 100 mA Ct Figura P837 250 mH vet R25 wF 400 MAS Sy 36 v 20 mH 500 nF 3 1500 C 20 mA 836 Considere o circuito da Figura P835 e Pspice 4 Determine a energia total fornecida ao eae indutor 838 As chaves 1 e 2 no circuito da Figura P838 b Determine a energia total fornecida ao eee sao sincronizadas Quando a chave 1 abrea resistor de 40 Q chave 2 fecha e viceversa A chave 1 esteve c Determine a energia total fornecida ao aberta por um longo tempo antes de fechar em f 0 Determine i para t 0 capacitor d Determine a energia total fornecida pela Figura P838 fonte de corrente 100 Chave t0 e Verifique os resultados das partes a a t0 d em relacao ao principio da conserva Dov fn Laie na 10A cao de energia Secao 84 839 Sabese que a corrente no circuito da Figura 83 é e Qualéovalor maximo deiemmiliampéres i Bye cos 1500 Bye 2 sen 15002 f Determine v para t 0 t 0 Figura P841 O capacitor tem um valor de 80 nF 0 valor R inicial da corrente é 75 mA e a tensao inicial 4 no capacitor é 30 V Determine os valores r 0 i de RL B By 3125 nF Lv 0 840 Determine a tensao no capacitor de 80 nF para 0 circuito descrito no Problema 839 Admita que a polaridade de referéncia para a tensao 842 No circuito da Figura P842 0 resistor ajus no capacitor seja positiva no terminal superior eee tado pata amortecimento critico A tensao 841 Aenergia inicial armazenada no capacitor de inicial no capacitor 15 V a corrente inicial 3125 nF no circuito da Figura P841 69 wJA no indutor 6 mA energia inicial armazenada no indutor igual a Determine o valor de R a zero As raizes da equacao caracteristica que b Determine os valores de i e de didt ime descreve a resposta natural da corrente i s4o diatamente apés o fechamento da chave 4000 st e 16000 st c Determine vt para t 0 a Determine os valores de Re L Figura P842 b Determine os valores de i0 e di0dt ime R diatamente apdés o fechamento da chave 70 Ww c Determine it para t 0 d Quantos microssegundos depois que a vo 820 nF bo mi chave é fechada a corrente alcanca seu valor maximo 843 a Projete um circuito RLC em série veja a Figura 83 usando valores de componen tes do Apêndice H com uma frequência angular de ressonância de 20 krads Esco lha um resistor ou crie uma rede de resis tores de modo que a resposta seja critica mente amortecida Desenhe seu circuito b Calcule as raízes da equação caracterís tica para a resistência em a 844 a Altere a resistência do circuito que você projetou no Problema 843 a de modo que a resposta seja subamortecida Conti nue a utilizar os componentes do Apêndice H Calcule as raízes da equação caracterís tica para essa nova resistência b Altere a resistência para o circuito que você projetou no Problema 843 a de modo que a resposta seja superamorte cida Continue a utilizar os componen tes do Apêndice H Calcule as raízes da equação característica para essa nova resistência 845 O circuito mostrado na Figura P845 esteve em funcionamento por um longo tempo Em t 0 as duas chaves passam para as novas posições mostradas na figura Determine a iot para t 0 b vot para t 0 Figura P845 t 0 500 V 100 V 400 mH iot 4 A 10 mF vot 1 2 50 V 100 V t 0 1 2 846 A chave no circuito da Figura P846 esteve na posição a por um longo tempo Em t 0 ela passa instantaneamente para a posição b Determine it para t 0 Figura P846 t 0 i a b 40 V 200 mF 80 mH 50 V 75 mA 847 A chave do circuito mostrado na Figura P847 esteve fechada por um longo tempo Ela se abre em t 0 Determine vot para t 0 Figura P847 300 V 100 V 100 V 200 mH 80 V 100 V 20 V t 0 3125 mF vo 1 2 1 2 848 A chave no circuito da Figura P848 esteve na posição a por um longo tempo Em t 0 ela passa instantaneamente para a posição b a Qual é o valor inicial de va b Qual é o valor inicial de dvadt c Qual é a expressão de vat para t 0 Figura P848 100 V t 0 va 300 V a b 5 mF 20 V 12 V 2 mH 1 1 2 2 849 A energia inicial armazenada no circuito da Figura P849 é igual a zero Determine vot para t 0 Figura P849 250 mH 16 mF t 0 80 mA 200 V vot 850 O resistor do circuito mostrado na Figura P849 é trocado por um de 250 V A energia inicial armazenada ainda é igual a zero Deter mine vot para t 0 Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 332 Book Nilsson 2indb 332 290116 1421 Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC 851 O resistor do circuito mostrado na Figura 855 Achave do circuito mostrado na Figura P855 P849 é trocado por um de 3125 A ener esteve fechada por um longo tempo antes de gia inicial armazenada ainda é igual a zero ser aberta em t 0 Admita que os parame Determine v para t 0 tros de circuito sejam tais que a resposta seja 852 Achave no circuito da Figura P852 esteve na subamortecida vn epee posigao a por um longo tempo Em t 0 ela a Deduza a expressao para vt em funcgdo sill passa instantaneamente para a posicio b de va0Ce R parat0 2 Determine vt para t 0 oft P b Deduza a expressao para o valor de Figura P852 quando a amplitude de v for maxima b 9000 Figura P855 t0 t0 1609 a 4800 05 mH R C 28V vo SR 125 nF 20 v V v0 853 O circuito mostrado na Figura P853 esteve Pspice em funcionamento por um longo tempo Em Multisim 0 a tensdo da fonte cai repentinamente 856 Os pardmetros de circuito no circuito da para 150 V Determine vt para t 0 eee Figura P855 sao R 480 0 L 8 mH C Figura P853 50 nF eu 24V 50 250 mH a Expresse vt numericamente para t 0 b Quantos microssegundos depois da abertura da chave a tensao no indutor é 200 V a volt a maxima c Qual é o valor maximo da tenséo no indutor 854 As duas chaves no circuito visto na Figura d Repita ac com R reduzido para 96 22 Pspice P854 funcionam de modo sincronizado Repita ac P Multisim 2 x 857 Suponha que a tensdo no capacitor no cir Quando a chave 1 esta na posicéo a a chave ito da Fi 815 seia do t b 2 esta fechada Quando a chave 1 esta na posi ce a seat b seja Co a su en cao ba chave 2 esta aberta A chave 1 esteve co Supon atambem que nao haja nen uma ox energia armazenada nos elementos de circuito na posicdo a por um longo tempo Em t 0 ox quando a chave é fechada ela passa instantaneamente para a posicao b Determine vU para t 0 a Mostre que 2 Figura P854 dvucdt wowaVe sen wt 40 b Mostre que dudt0 quando tn7 fl 1 t0 em que n 0 1 2 80 100mH 2 c Set n7wmostre que A Ib 4nanto vctn V V1e a iso 20 10 cin CY 2 mF vt 2180 d Mostre que 60 V 1 vcty V a lh Ta vcts V em que Ttt Circuitos elétricos 858 Atensaoemum capacitor de 100 nF no circuito vez que a tensao passa de 100 V ela alcanga um da Figura 815 é descrita da seguinte forma pico de 12602 V Esse segundo pico ocorre 377 depois que a chave esteve fechada durante depois do fechamento da chave No instante varios segundos a tensAo é constante em 100 em que a chave é fechada nao ha nenhuma VNa primeira vez que a tensao passa de 100 V energia armazenada no capacitornem no indu ela alcanga um pico de 16384 V Isso ocorre 777 tor Determine os valores de R e L Sugestéo ms depois do fechamento da chave Na segunda resolva primeiro 0 Problema 857 Secao 85 859 Mostre quese nao ha nenhuma energia arma a Determine as express6es numéricas para zenada no circuito mostrado na Figura 819 vt U2 para os intervalos de tempo no instante em que U salta de valor dudt é 0sr05se05ssrSt igual a zero em t 0 b Calcule o valor de f 860 a Determine a equagao de v para0 St Figura P863 Pspice 1f no circuito mostrado na Figura 819 Multisim se v05Vev0 8V Ug mV b Quanto tempo leva para o circuito atingir a saturacao 80 861 a Resolva novamente o Exemplo 814 sem ts os resistores de realimentagao R e R 40 05 b Resolva novamente o Exemplo 814 com v0 2 Ve v0 4V a 862 a Deduzaaequacao diferencial que relaciona 500 nF 500 nF a tensdo de saida com a tensao de entrada para o circuito mostrado na Figura P862 100 kN SV 400 kO D5V b Compare o resultado com a Equagao 875 quando RC RC RC na Figura 818 8 5V voi Vv c Qual é a vantagem do circuito mostrado v na Figura P862 b Figura P862 C C 864 Ocircuito na Figura P863b é modificado com Pspice a adicao de um resistor de 1 MO em paralelo RR Multsim com o capacitor de 500 nF e um resistor de 5 R R Vec MO em paralelo com o capacitor de 200 nF Como no Problema 863 nao ha nenhuma Cc energia armazenada nos capacitores no ins Vee Uo tante em que o sinal é aplicado Calcule as v expressoes de Ut e de vt para os inter valos de tempo0 t05set05s 863 a O sinal de tensdo da Figura P863a é 865 Agora queremos ilustrar como varios circui Pspice aplicado aos amplificadoresintegradores tos amp op podem Ser interligados para resol a em cascata mostrados na Figura P863b ver uma equacao diferencial Nao ha nenhuma energia armazenada nos a Deduza a equacao diferencial para o sis capacitores no instante em que o sinal é tema molamassa mostrado na Figura aplicado P865a Admita que a forca exercida pela Capitulo 8 e Respostas natural e a um degrau de circuitos RLC mola seja diretamente proporcional ao dos fatores de escala dos amplificadores e deslocamento da mola que a massa é cons combinar os termos necessarios para gerar tante e que a forga de atrito é diretamente dxdt usando um amplificador soma proporcional a velocidade da massa dor Com essas ideias em mente analise a b Reescreva a equacao diferencial dedu interligagéo mostrada na Figura P865b zida em a de modo que a derivada de Em particular descreva a funcdo de cada ordem mais alta seja expressa como uma area sombreada no circuito e o sinal nos fungao de todos os outros termos da equa pontos rotulados BCDEeF admitindo cao Agora admita que uma tensao igual que o sinal em A represente dxdt Dis a dxdt esteja disponivel e por integra cuta também os parametros R R C R des sucessivas gere dxdt e x Podemos C Rs Ry Rs Ree R Rs em termos dos obter os coeficientes nas equacées a partir coeficientes da equagao diferencial Figura P865 K M fO D a a 1 Rs joe ele t 4 R or F R C AR BR C D 5 R3 4 k Re b Seções 8185 866 a Suponhamos que o circuito da Figura 821 tenha um indutor de 5 nH e um capacitor de 2 pF Calcule a frequência em GHz da saída senoidal para t 0 b A fonte de tensão cc e um resistor conec tado em série na Figura 821 são usa dos para estabelecer a energia inicial no indutor Se V 10 V e R 25 V calcule a energia inicial armazenada no indutor c Qual é a energia total armazenada no cir cuito LC para qualquer instante t 0 867 Analise o circuito oscilador LC na Figura 821 Admita que V 4 V R 10 V e L 1 nH a Calcule o valor de capacitância C que produz uma saída senoidal com uma fre quência de 2 GHz para t 0 b Escreva a expressão para a tensão de saída vot para t 0 868 Suponha que o indutor e o capacitor no osci lador LC da Figura 821 não são ideais e apre sentem uma pequena resistência que pode ser concentrada Admita que V 10 V R 25 V L 5 nH e C 2 pF assim como no Problema 866 Admita também que a resistência asso ciada ao indutor e ao capacitor seja 10 mV a Calcule os valores da frequência de Neper a e da frequência angular de res sonância v0 b A resposta desse circuito é superamor tecida subamortecida ou criticamente amortecida c Qual é a frequência real de oscilação em GHz d Por quanto tempo aproximadamente o circuito vai oscilar Circuitos elétricos 336 Book Nilsson 2indb 336 290116 1421 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 91 Fonte senoidal 92 Resposta senoidal 93 O conceito de fasor 94 Elementos passivos no domínio da frequência 95 As leis de Kirchhoff no domínio da frequência 96 Associações em série em paralelo e trans formações DY 97 Transformações de fonte e circuitos equivalentes de ThéveninNorton 98 O método das tensões de nó 99 O método das correntes de malha 910 O transformador 911 O transformador ideal 912 Diagramas fasoriais Análise do regime permanente senoidal 9 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Entender o conceito de fasor e saber executar uma transformada fasorial e a transformada inversa 2 Saber transformar um circuito alimentado por uma fonte senoidal para o domínio da frequência usando o conceito de fasor 3 Saber como usar as seguintes técnicas de análise de circuitos no domínio da frequência Leis de Kirchhoff Associação de elementos em série em paralelo e transformação DY Divisão de tensão e corrente Equivalentes de Thévenin e Norton Método das tensões de nó e Método das correntes de malha 4 Saber analisar circuitos que contenham transformadores lineares usando métodos fasoriais 5 Entender as relações terminais do transformador ideal e saber analisar circuitos que contenham transformadores ideais usando métodos fasoriais Até aqui analisamos circuitos com fontes constantes neste capítulo temos condições de analisar circuitos energizados por fontes de tensão ou de corrente que variem com o tempo Temos interesse específi co em fontes nas quais o valor de tensão ou corrente varie senoidalmente Fontes senoidais e seus efeitos sobre o comportamento Book Nilsson 2indb 337 290116 1421 do circuito são uma importante área de estudo por várias razões Em primeiro lugar geração transmissão distribuição e consumo de energia elétrica ocorrem sob condições de regime permanente essencialmente senoidais A segunda razão é que o entendimento do regime senoidal torna possível a previsão do compor tamento de circuitos com fontes não senoidais A terceira é que o comportamento de regime permanente senoidal costuma simplificar o projeto de sistemas elétricos Assim um projetista pode formular claramente suas especificações em termos de uma resposta de regime permanente senoidal desejável e projetar o cir cuito ou o sistema para satisfazer essas características Se o dispositivo atende às especificações o projetista sabe que o circuito responderá satisfatoriamente a entradas não senoidais Os próximos capítulos deste livro baseiamse em grande parte no entendimento detalhado das técnicas necessárias para analisar circuitos excitados por fontes senoidais Visto que felizmente as técnicas de aná lise de circuitos e associação de elementos que foram apresentadas pela primeira vez nos capítulos 1 a 4 funcionam tanto para circuitos com fontes senoidais quanto para circuitos com fontes cc parte do material deste capítulo você já conhece bem Dentre os desafios iniciais da análise senoidal estão a formulação ade quada das equações de modelagem e os cálculos no âmbito dos números complexos Perspectiva prática Um circuito de distribuição residencial Sistemas que geram transmitem e distribuem energia elétrica são projetados para funcionar no regime permanente senoidal O cir cuito de distribuição padrão para residências nos Estados Unidos é o trifásico de 240120 V mostrado na figura apresentada a seguir1 O transformador é usado para reduzir a tensão de distribuição de 132 kV para 240 V O tap central do enrolamento secundário pro picia a tensão de 120 V Nos Estados Unidos a frequência de opera ção de sistemas de potência é 60 Hz porém em outros países são encontrados sistemas de 50 e 60 Hz Os valores de tensão citados são eficazes rms e a razão para definir o valor eficaz de um sinal que varia com o tempo será explicada no Capítulo 10 1 N do RT No Brasil existem dois sistemas de tensão para as residências 220127 V e 380220 V Este último sistema existe nos seguintes estados Alagoas Brasília Ceará Mato Grosso Goiás Paraíba Rio Grande do Norte Santa Catarina Piauí e Tocantins Steve ColePhotodiscGetty Images Inc Cargas de 120 V Cargas de 120 V Cargas de 240 V 1 2 1 2 132 kV 120 08V 120 08V 1 08 Circuitos elétricos 338 Book Nilsson 2indb 338 290116 1421 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal 91 Fonte senoidal Uma fonte de tensao senoidal independente ou dependente produz uma tensfo que varia senoidalmente ao longo do tempo Uma fonte de corrente senoidal independente ou dependente produz uma corrente que varia senoidalmente ao longo do tempo Ao analisar mos a funcao senoidal usaremos uma fonte de tens4o mas nossas observacé6es também se aplicam a fontes de corrente Podemos expressar uma fungdo que varia senoidalmente por meio da fungao seno ou da fungao cosseno Embora ambas funcionem igualmente bem nao podemos usdlas ao mesmo tempo Usaremos a fungo cosseno em nossa discussao e por conseguinte escrevemos uma tensdo que varia senoidalmente como vVcos wt d 91 Para auxiliar a discussdo sobre os pardmetros na Equagao 91 mostramos 0 grafico da tensao em fungao Figura 91 Tensao senoidal de tempo na Figura 91 Observe que a funcdo senoidal repetese a interva on los regulares Tal fungaéo é denominada periddica Um parametro de interesse é 0 intervalo de tempo necessa rio para que a funcao senoidal passe por todos os seus 0 7 valores possiveis Esse tempo é chamado de periodo da funcao representado por T e medido em segundos O reciproco de T é o numero de ciclos por segundo ou a Vin T frequéncia da funcdo seno ou cosseno sendo repre sentado por f ou 1 f T 92 Um ciclo por segundo é denominado hertz simbolo Hz O termo ciclos por segundo raramente é usado na literatura técnica contemporanea O coeficiente de t na Equacao 91 contém o valor numérico de T ou f Omega w representa a frequéncia angular da funcdo senoidal ou w 2af 27T radianossegundo 93 A Equacao 93 se baseia no fato de que a fungdo cosseno ou seno passa por um conjunto completo de valores cada vez que seu argumento wt percorre 27 rad 360 Observe que pela Equagao 93 sempre que for um inteiro multiplo de 7 o argumento wf sera um miultiplo inteiro de 27 rad O coeficiente V a amplitude maxima da tensao senoidal Como limita a fungao cos seno V limita a amplitude A Figura 91 mostra essas caracteristicas O Angulo na Equagao 91 é conhecido como o Angulo de fase da tensdo senoidal Ele determina o valor da fungao senoidal em 0 portanto fixa o ponto da onda periéddica em que comecgamos a medir 0 tempo A alteragéo do angulo de fase desloca a fungdo senoidal ao longo do eixo dos tempos mas nao exerce nenhum efeito sobre a amplitude V ou sobre a frequéncia angular w Observe por exemplo que reduzir a zero na fungao senoidal apresentada na Figura 91 desloca a onda w unidades de tempo para a direita como mos tra a Figura 92 Observe também que se for positivo a funcao senoidal deslocase para a Circuitos elétricos Figura 92 Tensao senoidal da Figura 91 deslocada para a esquerda ao passo que se for negativo a funcao des direita quando 4 0 locase para a direita Veja o Problema 95 v Um comentario sobre 0 Angulo de fase se faz opor 4 7 7 tuno wt e devem ter as mesmas unidades porque sao somados no argumento da fungao senoidal Se wt for expressa em radianos devese esperar que também o 0 t seja Contudo normalmente é dado em graus e wt con vertida de radianos a graus antes que as duas quantida dla g q q y NU NA des sejam somadas Continuamos a adotar o angulo de fase em graus Lembrese de seu curso de trigonometria de que a conversao de radianos para graus é dada por 180 nimero de graus numero de radianos 94 Outra caracteristica importante da tenséo ou corrente senoidal é seu valor eficaz ou rms O valor eficaz de uma funcao periddica é definido como a raiz quadrada do valor médio da fungao ao quadrado Dai se v V cos wt 0 valor eficaz de vu é 1 port Vor 7 V2 cos wt dt 95 fo Observe pela Equacao 95 que obtemos o valor médio da tensdo ao quadrado integrando v em um tnico periodo isto é de f at T e entao dividindo pelo intervalo de integragao T Observe ainda que o ponto de partida para a integracao f arbitrario A expressao sob o sinal de raiz na Equacao 95 reduzse para V2 Veja o Problema 96 Assim o valor eficaz de v é Vin Valor eficaz Vet 96 rms de uma fonte sos de tensiio O valor eficaz da tensdo senoidal depende somente da amplitude maxima de Uv ou seja V senoidal O valor eficaz nao é uma funcgao da frequéncia nem do Angulo de fase Ressaltamos a impor tancia do valor eficaz em relacao aos calculos de poténcia no Capitulo 10 veja a Secao 103 Assim podemos descrever completamente um sinal senoidal especifico se conhecermos sua frequéncia angulo de fase e amplitude ou 0 valor maximo ou 0 valor eficaz Os exemplos 91 92 e 93 ilustram essas propriedades basicas da fungao senoidal No Exemplo 94 calcula mos 0 valor eficaz de uma funcdo periddica e com isso esclarecemos 0 significado de raiz da média quadratica da sigla rmsroot mean square EXENIPLO 91 Determinacao das caracteristicas de uma corrente senoidal Uma corrente senoidal tem amplitude maxima de 20 A A corrente passa por um ciclo completo em 1 ms O valor da corrente em t0610A a Qual é a frequéncia da corrente em hertz b Qual é a frequéncia em radianos por segundo c Escreva a expressao para it usando a fungao cosseno Expresse em graus d Qual é 0 valor eficaz rms da corrente Solução a Pelo enunciado do problema T 1 ms daí f 1T 1000 Hz b v 2pf 2000p rads c Temos it Imcos vt f 20 cos2000pt f mas i0 10 A Assim 10 20 cos f e f 60º Portanto a expressão para it tornase it 20 cos 2000pt 60 d Da dedução da Equação 96 o valor eficaz de uma corrente senoidal é Im 2 ou seja 20 2 ou 1414 A ExEMPlo 92 Determinação das características de uma tensão senoidal Uma tensão senoidal é dada pela expressão v 300 cos 120pt 30 a Qual é o período da tensão em milissegundos b Qual é a frequência em hertz c Qual é a magnitude de v em t 2778 ms d Qual é o valor eficaz de v Solução a Da expressão para v v 120p rads Como v 2pT T 2pv 1 60 s ou 16667 ms b A frequência é 1T ou 60 Hz c De a v 2p16667 assim em t 2778 ms vt é aproximadamente 1047 rad ou 60 Portanto v2778 ms 300 cos 60 30 0 V d Vef 300 2 21213 V ExEMPlo 93 Transformação de uma função seno em uma função cosseno Podemos transformar uma função seno em uma função cosseno subtraindo 90 p2 rad do argu mento da função seno a Confirme essa transformação mostrando que sen vt u cos vt u 90 b Use o resultado de a para expressar sen vt 30 como uma função cosseno Solução a A verificação envolve aplicação direta da identidade trigonométrica cosa b cos a cos b sen a sen b Seja a vt u e b 90 Como cos 90 0 e sen 90 1 temos cosa b sen a senvt u cosvt u 90 b De a temos senvt 30 cosvt 30 90 cosvt 60 Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 341 Book Nilsson 2indb 341 290116 1421 Circuitos elétricos EXEMIPLO 94 Calculo do valor eficaz de uma onda triangular Calcule o valor eficaz da corrente triangular periddica mostrada na Figura 93 Expresse sua resposta em ter Fi9ua 93 Corrente triangular periodica mos da corrente de pico I i f te Solugdo wa Pela Equagao 95 0 valor eficaz de i é t 1 port T T4 T2 le idt ef I Para determinar o valor eficaz é util interpretar a inte gral do radicando como a Area sob a curva do qua Figura 94 i2 em funcao de t drado da fungao dada em um intervalo de um periodo 5 A fungao ao quadrado com a area demarcada entre 0 5 e T é mostrada na Figura 94 A figura também indica tp ete que para essa funcao particular a drea sob 0 quadrado gs t da corrente para um intervalo de um periodo é igual a T2TA 0 TA T2 374 T quatro vezes a area sob o quadrado da corrente para o intervalo 0 a 74 segundos isto toT T4 Pdt 4 idt ty 0 A expressao analitica para i no intervalo 0a 74 é 4I i 1 0tT4 T A area sob 0 quadrado da fungao para um Unico periodo é toT T4 161 UT Pdt s vdt ty 0 T 3 O valor médio da fungao é simplesmente a drea sob um tnico periodo dividida pelo periodo Assim 2 1st 1 imed 3 3lp O valor eficaz da corrente é a raiz quadrada desse valor médio Dai 12 to V3 NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver os problemas 91 93 e 97 apresentados no final deste capitulo Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal 92 Resposta senoidal Figura 95 Circuito RL excitado por uma fonte de tensao senoidal Antes de analisarmos a resposta de regime permanente R a fontes senoidais vamos analisar o problema em termos mais amplos isto 6 em termos da resposta total Essa visao geral ajuda a manter a solucgdo de regime permanente em Ys L perspectiva O circuito mostrado na Figura 95 descreve a natureza geral do problema Nesse circuito v uma tensdo senoidal ou v Vcos wt 97 Por conveniéncia admitimos que a corrente inicial no circuito seja igual a zero e medi mos 0 tempo desde o momento em que a chave é fechada Pretendese determinar a expressdo para it quando t 0 0 que é semelhante a determinar a resposta a um degrau de um cir cuito RLcomo no Capitulo 7 A tinica diferenga é que agora a fonte de tens4o apresenta uma forma senoidal que varia com o tempo em vez de ser constante ou uma fonte cc A aplicagao direta da lei das tensdes de Kirchhoff ao circuito mostrado na Figura 95 resulta na equagdo diferencial ordinaria di La Ri V cos wt 98 cuja solucao formal é discutida em qualquer curso introdutério de equacgoes diferenciais Pedi mos aos que ainda nao estudaram equacoes diferenciais que aceitem que a solucao para i seja i ain ggg b de BE Vn ggg wt bd 8 99 VR wl VR wL em que é definido como o Angulo cuja tangente wLR Assim determinase facilmente 6 para um circuito excitado por uma fonte senoidal de frequéncia conhecida Podemos verificar a validade da Equagao 99 certificandonos de que ela satisfaz a Equa ao 98 para todos os valores de t 0 deixamos que vocé faga essa verificagéo no Problema 910 A primeira expressao do lado direito da Equagao 99 é denominada componente transité ria da corrente porque se torna infinitesimal 4 medida que o tempo passa A segunda expres sao do lado direito é conhecida como componente de regime permanente da solucao e existira enquanto a chave permanecer fechada e a fonte continuar a fornecer a tensdo senoidal Neste capitulo desenvolvemos uma técnica para calcular diretamente a resposta de regime perma nente evitando assim o problema de resolver a equacéo diferencial Contudo ao usarmos essa técnica deixamos de obter tanto a componente transitoria quanto a resposta total que é a soma das componentes de regime transitério e de regime permanente Agora vamos analisar a componente permanente da Equacao 99 E importante lembrar as seguintes caracteristicas da solugdo desse tipo de regime permanente 1 A solugao de regime permanente é uma fungao senoidal 2 A frequéncia do sinal de resposta é idéntica 4 frequéncia do sinal da fonte Essa condigao é sempre verdadeira em um circuito linear no qual os parametros de circuito R L e C sao constantes Se as frequéncias nos sinais de resposta n4o estiverem presentes nos sinais das fontes ha um elemento no linear no circuito 3 De modo geral a amplitude máxima da resposta de regime permanente é diferente da amplitude máxima da fonte Para o circuito em discussão a amplitude máxima do sinal de resposta é Vm R2 v2L2 e a amplitude máxima do sinal da fonte é Vm 4 Em geral o ângulo de fase do sinal de resposta é diferente do ângulo de fase da fonte Para o circuito em análise o ângulo de fase da corrente é f u e o da fonte de tensão é f Vale a pena lembrar essas características porque elas ajudam a entender a motivação do método dos fasores que apresentaremos na Seção 93 Em particular observe que uma vez tomada a decisão de determinar somente a resposta de regime permanente a tarefa reduzse a determinar a amplitude máxima e o ângulo de fase do sinal de resposta A forma de onda e a frequência da resposta já são conhecidas NOTA avalie o que entendeu desse material tentando resolver o Problema 99 apresentado no final deste capítulo 93 O conceito de fasor Fasor é um número complexo que contém as informações de amplitude e ângulo de fase de uma função senoidal2 O conceito de fasor está fundamentado na identidade de Euler que relaciona a função exponencial com a função trigonométrica eju cos u j sen u 910 A Equação 910 é importante aqui porque nos dá outro modo de expressar as funções cosseno e seno Podemos considerar a função cosseno como a parte real da função exponencial e a função seno como a parte imaginária da função exponencial isto é cos u ℜeju 911 e sen u ℑeju 912 em que ℜ significa a parte real de e ℑ significa a parte imaginária de Como já optamos por usar a função cosseno na análise do regime permanente senoidal veja a Seção 91 podemos aplicar a Equação 911 diretamente Em particular escrevemos a função tensão senoidal dada pela Equação 91 na forma sugerida pela Equação 911 Vmt5 ejvtejf6 Vmt5 ejvt f6 v Vm cos vt f 913 Podemos movimentar o coeficiente Vm dentro do argumento da parte real da função sem alterar o resultado Também podemos inverter a ordem das duas funções exponenciais dentro do argumento e escrever a Equação 913 como v ℜVmejfejvt 914 2 Se você estiver um pouco inseguro em relação aos números complexos consulte o Apêndice B Circuitos elétricos 344 Book Nilsson 2indb 344 290116 1421 Observe que na Equação 914 a quantidade Vmejf é um número complexo que contém informações sobre a amplitude e o ângulo de fase da função senoidal dada Esse número com plexo é por definição a representação do fasor ou a transformada fasorial da função senoidal dada Assim V Vmejf F5 Vm cos vt f6 915 em que a notação V Vmejf F5 Vm cos vt f6 é lida como a transformada fasorial de Vmcos v t f Assim a transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do tempo para o domí nio dos números complexos que também é denominado domínio da frequência visto que de modo geral a resposta depende de v Como no caso da Equação 915 em todo este livro repre sentaremos o fasor usando uma letra em negrito A Equação 915 é a forma polar de um fasor mas também podemos expressálo em forma retangular Assim reescrevemos a Equação 915 como V Vm cos f jVm sen f 916 Ambas as formas polar e retangular são úteis em aplicações do conceito de fasor na aná lise de circuitos Ainda temos um comentário adicional sobre a Equação 915 A ocorrência frequente da função exponencial ejf resultou com o tempo em uma abreviação que simplifica sua expres são textual Essa abreviação é a notação angular 1lf K 1ejf Usamos essa notação extensivamente a seguir Transformada fasorial inversa Até aqui enfatizamos a passagem da função senoidal para sua transformada fasorial Contudo também podemos inverter o processo Isto é podemos escrever para um fasor a expressão para a função senoidal Assim para V 100l 26 a expressão para v é 100 cos vt 26 porque decidimos usar a função cosseno para todas as senoides Observe que não podemos deduzir o valor de v a partir de um fasor porque ele contém apenas as informações de amplitude e fase O ato de passar da transformada fasorial para a expressão no domínio do tempo é denominado obter a transformada inversa fasorial e é formalizado pela equação F 15 Vmejf6 t5 Vmejfejvt6 917 em que a notação F 15 Vmejf6 t5 Vmejfejvt6 é lida como a transformada fasorial inversa de Vmejf A Equa ção 917 indica que para determinarmos a transformada fasorial inversa multiplicamos o fasor por ejvt e então extraímos a parte real do produto A transformada fasorial é útil em análise de circuitos porque reduz a tarefa de determinar a amplitude máxima e o ângulo de fase da resposta de regime permanente senoidal à álgebra de números complexos As seguintes observações confirmam essa conclusão 1 A componente transitória desaparece à medida que o tempo passa e portanto a compo nente de regime permanente da solução também deve satisfazer à equação diferencial Veja o Problema 910b t Transformada fasorial Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 345 Book Nilsson 2indb 345 290116 1421 2 Em um circuito linear excitado por fontes senoidais a resposta de regime permanente é também senoidal e sua frequência é a mesma da fonte senoidal 3 Usando a notação apresentada na Equação 911 podemos postular que a solução de regime permanente é da forma ℜAejbejvt em que A é a amplitude máxima da resposta e b é o ângulo de fase da resposta 4 Quando substituímos a solução de regime permanente postulada na equação diferen cial o termo exponencial ejvt é cancelado deixando a solução para A e b no domínio dos números complexos Ilustramos essas observações com o circuito mostrado na Figura 95 Sabemos que a solu ção de regime permanente para a corrente i é da forma irpt ℜImejbejvt 918 em que o índice rp enfatiza o fato de que estamos lidando com a solução de regime perma nente Quando substituímos a Equação 918 na Equação 98 geramos a expressão ℜjvLImejbejvt ℜRImejbejvt ℜVmejfejvt 919 Para deduzirmos a Equação 919 assumimos que tanto a diferenciação quanto a multipli cação por uma constante pode ser executada na parte real de uma expressão Também rees crevemos o lado direito da Equação 98 usando a notação da Equação 911 Pela álgebra de números complexos sabemos que a soma das partes reais é igual à parte real da soma Assim podemos reduzir o lado esquerdo da Equação 919 a um único termo ℜjvL RImejbejvt ℜVmejfejvt 920 Lembrese de que a decisão que tomamos de utilizar a função cosseno na análise da res posta de um circuito no regime permanente nos leva à utilização do operador ℜ para a dedu ção da Equação 920 Se ao contrário tivéssemos preferido utilizar a função seno em nossa análise do regime permanente senoidal teríamos aplicado a Equação 912 diretamente no lugar da Equação 911 e o resultado seria a Equação 921 ℑjvL RImejbejvt ℑVmejfejvt 921 Observe que as quantidades complexas de qualquer lado da Equação 921 são idênticas às de quaisquer lados da Equação 920 Quando a parte real e a parte imaginária de duas quanti dades complexas são iguais então as próprias quantidades complexas são iguais Assim pelas equações 920 e 921 jvL RImejb Vmejf ou Imejb Vmejf R jvL 922 Observe que ejvt foi eliminado da determinação da amplitude Im e do ângulo de fase b da resposta Assim para esse circuito a tarefa de determinar Im e b envolve a manipulação algébrica das quantidades complexas Vmejf e R jvL Observe que encontramos a forma polar e também a forma retangular Cabe aqui uma advertência a transformada fasorial juntamente com a transformada fasorial inversa permitenos ir e vir entre o domínio do tempo e o domínio da frequência Circuitos elétricos 346 Book Nilsson 2indb 346 290116 1421 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Por conseguinte quando obtemos uma solugao estamos ou no dominio do tempo ou no dominio da frequéncia Nao podemos estar em ambos os dominios simultaneamente Qualquer solucdo que contenha uma combinacao de nomenclatura dos dominios do tempo e fasorial é absurda A transformada fasorial também é util em andlise de circuitos porque ela se aplica direta mente 4 soma de funcées senoidais Como a andlise de circuitos quase sempre envolve a soma de correntes e tenses a importancia dessa observacao é ébvia Podemos formalizar essa pro priedade da seguinte maneira se VU FU U 923 em que todas as tensdes do lado direito sao tensdes senoidais de mesma frequéncia entao VVVV 924 Assim a representacdo do fasor é a soma dos fasores dos termos individuais Discutire mos 0 desenvolvimento da Equagao 924 na Secao 95 Antes de aplicarmos a transformada fasorial a andlise de circuitos ilustraremos sua utili dade na resolucgdéo de um problema que vocé j4 conhece somar fung6es senoidais via identi dades trigonométricas O Exemplo 95 mostra como a transformada fasorial simplifica muito esse tipo de problema EXEMPLO 95 Soma de cossenos usandose fasores Se y 20 cos wt 30 e y 40 cos wt 60 expresse y y y como uma tinica fungao senoidal a Resolva o problema usando identidades trigonométricas b Resolva o problema usando 0 conceito de fasor Solugao a Em primeiro lugar expandimos y e y usando o cosseno da soma de dois angulos para obter y 20 cos at cos 30 20 sen wt sen 30 y 40 cos wt cos 60 40 sen wt sen 60 Somando y e y obtemos y 20 cos 30 40 cos 60 cos wt 20 sen 30 40 sen 60 sen wt 3732 cos wt 2464 sen wt Para combinar esses dois termos tratamos os coeficientes do cos seno e do seno como lados de um triangulo retangulo Figura 96 Figura 96 Triangulo retangulo usado e entao multiplicamos e dividimos 0 lado direito pela hipotenusa na solucao para y Nossa expressao para y tornase up 22 2464 4472 2464 4472 cos wt senw y 4472 4472 3732 4472 cos 3343 cos wt sen 3343 sen af Mais uma vez usamos a identidade que envolve o cosseno da soma de dois ângulos e escrevemos y 4472 cos vt 3343 b Podemos resolver o problema usando fasores da seguinte forma como y y1 y2 então pela Equação 924 4472l3343 3732 j2464 1732 j10 20 j3464 20l 30 40l60 Y Y1 Y2 Uma vez conhecido o fasor Y podemos escrever a função trigonométrica correspondente para y tomando a transformada fasorial inversa 4472 cos vt 3343 y F 15 4472ej33436 t5 4472ej3343ejvt6 A essa altura a superioridade do método de fasor para somar funções senoidais deve ser óbvia Observe que o método pressupõe a capacidade de ir e vir entre as formas polar e retangular de números complexos Objetivo 1 Entender o conceito de fasor e saber executar uma transformada fasorial e uma transformada fasorial inversa 91 Determine a transformada fasorial de cada função trigonométrica a v 170 cos 377t 40 V b i 10 sen 1000t 20 A c i 5 cos vt 3687 10 cosvt 5313 A d v 300 cos 20000pt 45 100 sen20000pt 30 mV Resposta a b 10l 70 A 170l 40 V c d 33990l6151 mV 1118l 2657 A PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 348 Book Nilsson 2indb 348 290116 1421 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal 92 Determine a expressao no dominio do tempo correspondente a cada fasor a V 18654 V b I 20 45 50 30 mA c V 20 j80 3015 V Resposta a 186 cos wt 54 V b 4881 cos wt 12668 mA c 7279 cos wt 9708 V NOTA tente resolver também o Problema 911 apresentado no final deste capitulo 94 Elementos passivos no dominio da frequéncia A aplicagao sistematica da transformada fasorial 4 andlise de circuitos pressupde duas etapas Primeiro devemos estabelecer a relagdo entre a corrente fasorial e a tensao fasorial nos terminais dos elementos passivos do circuito A seguir devemos desenvolver a versao das leis de Kirchhoff no dominio fasorial que discutimos na SecAo 95 Nesta secdo estabelecemos a relacdo entre a corrente e a tensdo fasoriais nos terminais do resistor do indutor e do capa citor Comegamos com o resistor e usamos a convencaéo passiva em todas as deducées A relacao VI para um resistor Pela lei de Ohm se a corrente em um resistor variar senoidalmente a oo Figura 97 Elemento resistivo percorrido com o tempo isto éseiTJ cos wt 6 a tensdo nos terminais do por uma corrente senoidal resistor como mostra a Figura 97 sera R ewse vRL cos wt 0 y i RI cos wt 6 925 em que J a amplitude maxima da corrente em ampéres e 0 o Angulo de fase da corrente A transformada fasorial dessa tensdo é V RI e RIL 9 926 Mas 0 a representacdo fasorial da corrente senoidal e assim podemos escrever a Equagao 926 como a expressao VRI 927 Relacgao entre tensao que mostra que a tensdo fasorial nos terminais de um resistor é simplesmente a resisténcia e corrente vezes a corrente fasorial A Figura 98 mostra o diagrama do circuito para um resistor no domi fasoriais para nio da frequéncia um resistor As equacgoes 925 e 927 contém outra informagao importante ou seja que nos terminais de um resistor nao ha nenhum deslocamento Figura 98 Circuito equivalente de um resistor de fase entre a corrente e a tensdo A Figura 99 demonstra essa relacdo no dominio da frequéncia de fase na qual o angulo de fase das formas de onda da tensdo é 60 Dizse que os sinais estao em fase porque ambos alcangam valores ei correspondentes em suas respectivas curvas ao mesmo tempo por rn exemplo ambos estao em seus maximos positivos no mesmo instante I Circuitos elétricos Figura 99 Grafico mostrando que a tensao e a corrente A relagao VI para um indutor nos terminais de um resistor estao em fase Deduzimos a relacgdo entre o fasor corrente e o fasor a D v tens4o nos terminais de um indutor admitindo uma cor rente senoidal e usando Ldidt para calcular a tensdo cor respondente Assim para i I cos wt 6 a expressdo para a tensao é t di T40 T 2T v La LI senwt 6 928 Agora reescrevemos a Equagao 928 usando a fungao cosseno Vv Vv voLI cos wt 6 90 929 A representagao fasorial da tensao dada pela Equagao 929 é V oLIe oLIee7 Relagao entre o fasor tensdo joLIe e o fasor corrente para joLl 930 um indutor Observe que para deduzir a Equagao 930 usamos a identidade e cos 90 j sen 90 j Segundo a Equagao 930 o fasor tensdo nos terminais de um indutor é igual a jwL vezes o fasor corrente A Figura 910 Figura 910 Circuito equivalente no dominio da mostra 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia para frequéncia para um indutor o indutor E importante observar que a relacao entre o fasor joL tensdo e o fasor corrente para um indutor aplicase também a indutancia mttua em um enrolamento devido a corrente a que flui em outro enrolamento mutuamente acoplado Isto é o fasor tensdo nos terminais de um enrolamento de um par de enrolamentos mutuamente acoplados é igual a jwM vezes o Figura 911 Gréfico mostrando a relagao entre as fases fasor corrente no outro enrolamento da corrente e da tensao nos terminais de Podemos reescrever a Equagao 930 como um indutor 6 60 V oL 90 nL 6 v1 v L woL I 6 90 931 A A O que indica que a tensdo e a corrente estéo defasadas em T Ny O7 er7 exatamente 90 Em particular a tens4o esta adiantada 90 em relacdo a corrente ou 0 que é equivalente a corrente esta atrasada 90 em relagdo a tensao A Figura 911 ilustra esse 90 conceito de tensao adiantada em relacao a corrente ou corrente Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal atrasada em relacdao a tensdo Por exemplo a tensdo atinge seu pico negativo exatamente 90 antes que a corrente alcance seu pico negativo A mesma observacao pode ser feita em relacao aos pontos de passagem de valores negativos para positivos ou ao pico positivo Também podemos expressar o deslocamento de fase em segundos Uma defasagem de 90 corresponde a um quarto de periodo dai a tensdo esta adiantada 74 em relacAo 4 cor rente ou if segundo A relacao VI para um capacitor Obtemos a relacdo entre o fasor corrente e o fasor tensdo nos terminais de um capacitor de forma semelhante a usada para a obtencdo da Equagao 930 Em outras palavras se obser varmos que para um capacitor dv iC dt e admitirmos que vV cos wt 6 entao IjwCVv 932 Agora se resolvermos a Equacao 932 para a tenséo como uma funcao da corrente obtemos 1 V7I1 933 q Relagao entre joc o fasor tensao A Equagao 933 demonstra que o circuito equivalente para o capacitor no dominio faso 0 fasor Lae corrente para rial é como mostra a Figura 912 um capacitor A tensao nos terminais de um capacitor esta atrasada exata mente 90 em relacdo a corrente Podemos mostrar essa relagéo com a we Figura 912 Circuito equivalente de um capacitor facilidade reescrevendo a Equacao 933 como a no dominio da frequéncia 1 Vi V 90I mn 0 oC Vo Im I 6 90 934 wC O modo alternativo de expressar a relacdo de fase da Figura 913 Grafico mostrando a relacao entre as fases E eas 4 da corrente e da tensao nos terminais de um quagao 934 é dizer que a corrente esta adiantada 90 em capacitor 0 60 relagéo 4 tensdo A Figura 913 mostra a relagdo entre as fases da corrente e da tensdo nos terminais de um capacitor vt yy i I ly Impedancia e reatancia K i Concluimos esta discussio com uma observacado Srj40 T 7 aT importante Quando comparamos as equacées 927 930 e 933 observamos que elas sao todas da forma l Vv L Vv Circuitos elétricos Definigdo de VZI 935 impedancia em que Z representa a impedancia do elemento de circuito Resolvendo a Equagao 935 para Z podese ver que a impedancia é a razdo entre o fasor tenséo de um elemento de circuito e seu fasor corrente Assim a impedancia de um resistor é R a de um indutor é jwL a da indu tancia muitua jwMe ade um capacitor é 1jaC Em todos os casos a impedancia é medida em ohms Observe que embora a impedancia seja um nimero complexo ela nao é um fasor Lem brese de que um fasor um ntimero complexo que aparece como 0 coeficiente de e Por isso embora todos os fasores sejam nuimeros complexos nem todos os nimeros complexos sao fasores Impedancia no dominio da frequéncia é a quantidade ana Tabela 91 Valores de impedancia e reatancia loga 4 resisténcia indutancia e capacitancia no dominio do tempo a A parte imaginaria da impedancia é denominada reatancia Os emento A A my Mate er Me CELE COE valores de impedancia e reatancia para cada um dos componentes de circuito passivos esto reunidos na Tabela 91 Resistor R As Por fim um lembrete Se o sentido de referéncia para a cor Indutor joL oL rente em um elemento passivo estiver no sentido da elevacao da Capacitor j1wC Hoc tensdo no elemento devemos inserir um sinal negativo na equa cdo que relaciona a tenséo com a corrente PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo2 Saber transformar um circuito alimentado por uma fonte senoidal para o dominio da frequéncia usando o conceito de fasor 93 A corrente no indutor de 20 mH 10 cos 10000t 30 mA Calcule a a reatancia indutiva b a impedancia do indutor c o fasor tensdo V e d a expressdo de regime permanente para vt Resposta a 200 0 20 mH c 2 120 V a d 2 cos 10000 120 V 94 A tensdo nos terminais do capacitor de 5 pF é 30 cos 4000r 25 V Calcule a a reatancia capacitiva b a impedancia do capacitor c o fasor corrente I e d a expressao de regime permanente para if Resposta on 5 pF TJ 5 e e c 06115 A ye d 06 cos 4000 115 A NOTA tente resolver também os problemas 912 e 913 apresentados no final deste capitulo 95 As leis de Kirchhoff no dominio da frequéncia Na Segao 93 dissemos com referéncia as equagdes 923 e 924 que a transformada faso rial é util na andlise de circuitos porque se aplica 4 soma de funcgdes senoidais Ilustramos essa utilidade no Exemplo 95 Agora formalizamos essa observação desenvolvendo as leis de Kirchhoff no domínio da frequência Lei das tensões de Kirchhoff no domínio da frequência Começamos admitindo que v1 vn representam tensões ao longo de um caminho fechado em um circuito Admitimos também que o circuito está funcionando em um regime perma nente senoidal Assim a lei das tensões de Kirchhoff requer que v1 v2 c vn 0 936 expressão que no regime permanente senoidal tornase complexa Vm1 cos vt u1 Vm2 cos vt u2 c Vmn cos vt un 0 937 Agora usamos a identidade de Euler para escrever a Equação 937 como t5 Vm1eju1ejvt6 t5 Vm2eju2ejvt6 c t5 Vmnejunejvt6 938 que reescrevemos como t5 Vm1eju1ejvt Vm2eju2ejvt c Vmnejunejvt6 0 939 Fatorando o termo ejvt de cada termo obtemos t5 Vm1eju1 Vm2eju2 c Vmnejunejvt6 0 ou t5 V1 V2 c Vnejvt6 0 940 Mas ejvt Z 0 portanto V1 V2 c Vn 0 941 que é o enunciado da lei das tensões de Kirchhoff como aplicada às tensões fasoriais Em outras palavras a Equação 936 aplicase a um conjunto de tensões senoidais no domínio do tempo e a Equação 941 é o enunciado equivalente no domínio da frequência Lei das correntes de Kirchhoff no domínio da frequência Uma dedução semelhante aplicase a um conjunto de correntes senoidais Assim se i1 i2 c in 0 942 então I1 I2 c In 0 943 em que I1 I2 c In são as representações fasoriais das correntes individuais i1 i2 c in As equações 935 941 e 943 formam a base para a análise de circuitos no domínio da frequência Observe que a Equação 935 tem a mesma forma algébrica da lei de Ohm e que as equações 941 e 943 enunciam as leis de Kirchhoff para quantidades fasoriais Por conse guinte podemos usar todas as técnicas desenvolvidas para análise de circuitos resistivos para t LTK no domínio da frequência t LCK no domínio da frequência Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 353 Book Nilsson 2indb 353 290116 1421 Circuitos elétricos determinar correntes e tensées fasoriais Nao é necessario aprender nenhuma técnica analitica nova todas as ferramentas basicas de andlise de circuitos e as combinagdes em série e para lelo de elementos discutidas nos capitulos 2 a 4 podem ser aplicadas para analisar circuitos no dominio da frequéncia A andlise de circuitos fasoriais dividese em duas etapas fundamentais 1 saber construir o modelo de um circuito no dominio da frequéncia e 2 saber manipular algebricamente quantidades eou nimeros complexos Ilustramos esses aspectos da andlise fasorial na discuss4o apresentada a seguir comecgando com associag6es em série em paralelo e transformacées AY PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como usar técnicas de andlise de circuitos para resolver um circuito no dominio da frequéncia 95 Quatro ramos terminam em um né de referéncia O sentido de referéncia de cada corrente de ramo i i 1 iy em diregao ao no Se i 100 cos wt 25 A i 100 cos wt 145 A ea i 100 cos wt 95 A determine i Resposta i 0 NOTA tente resolver também o Problema 915 apresentado no final deste capitulo 96 AssociaGoes em série em paralelo e transformagoes AY As regras para associar impedancias em série ou em paralelo e para fazer transformagoes AY s0 as mesmas que para resistores A unica diferenga é que associag6es de impedancias envolvem a manipulacaéo algébrica de nimeros complexos Combinagao de impedancias em série e em paralelo Impedancias em série podem ser transformadas em uma tnica Figura 914 Impedancias em serie impedancia pela simples soma das impedancias individuais O cir cuito mostrado na Figura 914 define o problema em termos gerais As impedancias Z ZZ estao ligadas em série entre os termi Vv I nais a e b Impedancias em série conduzem 0 mesmo fasor corrente I b A z Pela Equagao 935 a queda de tensaéo em cada impedancia é ZI be ZIZ1e pela lei das tensdes de Kirchhoff Vp Zit Z1Z 1 Z2ZZ 944 A impedancia equivalente entre os terminais a e b é Vv Zay Zit Za to Zw 945 O Exemplo 96 ilustra uma aplicagéo numérica da Equagao 945 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal EXEMPLO 96 Combinagao de impedancias em série Um resistor de 90 um indutor de 32 mH e um capacitor de 5 wF estao ligados em série aos termi nais de uma fonte de tensd4o senoidal como mostra a Figura 915 A expressao de regime permanente para a tensdo da fonte v 750 cos 5000t 30 V a Construa 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia b Calcule a corrente de regime permanente i pelo método fasorial Solugao a Pela expressdo de v temos w 5000 rads Por conseguinte a impedancia do indutor de 32 mH é 3 Z joL j500032 10 j160 Figura 915 Circuito para o Exemplo 96 e a impedancia do capacitor é 900 32 mH 1 10 i Zo J DW 71 40 0 CTF ac G0005 us ME A transformada fasorial de v V 750 730 V A Figura 916 mostra 0 circuito equivalente no domi Figura 916 Circuito equivalente no dominio da frequéncia nio da frequéncia do circuito da Figura 915 para 0 circuito da Figura 915 b Calculamos o fasor corrente pela simples diviséo da a 900 jl6e00 tensdo da fonte pela impedancia equivalente vista I dos terminais a e b Pela Equagao 945 75030 Vv j40 0 Zap 90 7160 740 90 j120 1505313 Q b Assim 750 30 I 5 72313 A 150 5313 2315 Agora podemos escrever diretamente a expressdo de regime permanente para i i5 cos 5000 2313 A PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como usar técnicas de andlise de circuitos para resolver um circuito no dominio da frequéncia 96 Usando os valores de resisténcia e indutancia do circuito na Figura 915 sejam V 125 60 V e w 5000 rads Determine Circuitos elétricos a O valor da capacitancia que resulta em uma corrente de saida de regime permanente i com um Angulo de fase de 105 b A amplitude da corrente de saida de regime permanente i Resposta a 286 WF b 0982 A NOTA tente resolver também o Problema 917 apresentado no final deste capitulo Impedancias ligadas em paralelo podem ser reduzidas a uma nica impedancia equiva lente pela relagdo reciproca 1 1 1 1 SHS tS te tS 946 Zab Z 1 Ly Zn Figura 917 Impedancias em paralelo A Figura 917 ilustra a ligacado em paralelo de impedancias a i Observe que quando impedancias estéo em paralelo elas tém a mesma tens4o em seus terminais Deduzimos a Equagao 946 en diretamente da Figura 917 pela simples utilizagao da lei das cor Zav V 1 1 rentes de Kirchhoff em combinacao com a versao fasorial da lei de Ohm isto 6 a Equacao 935 Pela Figura 917 b ILL L ou Vv vVeYv Vv ey tS 947 Zab Z 1 Ly Zn Eliminando o termo comum da tensdo da Equagao 947 obtemos a Equacao 946 Da Equagao 946 para 0 caso especial de apenas duas impedancias em paralelo ZZ5 Z 948 ab Zi 4 Z Também podemos expressar a Equacao 946 em termos de admitancia definida como a reciproca da impedancia e denotada por Y Assim 1 Y Zz G jB siemens 949 E claro que a admitancia é um ntimero complexo cuja parte real G é denominada con dutancia e a parte imaginaria B é denominada susceptancia Assim como a admitancia medemse a condutancia e a susceptancia em siemens S Usando a Equagao 949 na Equagao 946 obtemos Tabela 92 Valores de admitancia e susceptancia YpaVytY Y 950 Elemento de Admitancia Y Susceptancia Vale observar também a admitancia de cada um Tear ict dos elementos passivos ideais que esta resumida na Resistor G condutancia Tabela 92 Indutor j1wL lel O Exemplo 97 ilustra a aplicagéo das equacées Capacitor joC oC 949 e 950 a um circuito especifico Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal EXEMPLO 97 Associacao de impedancias em série e em paralelo A fonte de corrente senoidal no circuito mostrado na Fi 9018 Circuit c 097 igura 918 Circuito para o Exemplo 97 Figura 918 fornece a corrente 7 8 cos 200000r A 9 P P a Determine o circuito equivalente no dominio da e As frequéncia 60 b Calcule as express6es de regime permanente para v i 1 v 100 iy in 1 uF i i iy 40 nH Solugao Atransf da fasorial da fonte d teé 5 a rans oma a asonra ca tone corren ee8 0 Figura 919 Circuito equivalente no dominio da frequéncia Os resistores sAo transformados diretamente para o dominio da frequéncia como 10 e 6 Q 0 indutor de I 40 wH tem uma impedancia de j8 0 na frequéncia dada de 200000 rads e nessa frequéncia 0 capacitor 60 meaeee SiC v008 I 1 50 de 1 wF tem uma impedancia de j5 0 A Figura 919 A 80 2 J mostra 0 circuito equivalente no dominio da frequén cia e os simbolos que representam as transformadas fasoriais das incégnitas b O circuito mostrado na Figura 919 indica que podemos obter com facilidade a tensfo na fonte de corrente uma vez conhecida a impedancia equivalente dos trés ramos em paralelo Além disso uma vez conhecida V podemos calcular as trés correntes fasoriais I L e I usando a Equagao 935 Para determinar a impedancia equivalente dos trés ramos em primeiro lugar determinamos a admitancia equivalente simplesmente somando as admitancias de cada ramo A admitancia do primeiro ramo é 1 Y 01S 10 a admitancia do segundo ramo é y 1 28 006 joss 2 6j8 100 J e a admitancia do terceiro ramo é 1 z j02S A admitancia equivalente dos trés ramos é YyYyy 016 j012 0273687 S A impedancia vista pela fonte de corrente é 1 Z 5 3687 0 A Tensão V é V ZI 40 l 3687 V Daí I2 40l 3687 6 j8 4 l 90 j4 A I1 40 l 3687 10 4 l 3687 32 j24 A e I3 40 l 3687 5 l 90 8 l5313 48 j64 A Verificamos os cálculos neste ponto confirmando que I1 I2 I3 I Especificamente 32 j24 j4 48 j64 8 j0 As expressões de regime permanente correspondentes no domínio do tempo são v 40 cos 200000t 3687 V i1 4 cos 200000t 3687 A i2 4 cos 200000t 90 A i3 8 cos 200000t 5313 A Objetivo 3 Saber como usar técnicas de análise de circuitos para resolver um circuito no domínio da frequência 97 Um resistor de 20 V está ligado em paralelo com um indutor de 5 mH Essa combinação em paralelo está ligada em série com um resistor de 5 V e um capacitor de 25 mF a Calcule a impedância dessa interligação se a frequência for 2 krads b Repita a para uma frequência de 8 krads c Em qual frequência finita a impedância da interligação tornase puramente resistiva d Qual é a impedância na frequência determinada em c Resposta a 9 j12 V b 21 j3 V c 4 krads d 15 V PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 358 Book Nilsson 2indb 358 290116 1422 Transformações DY A transformação DY que discutimos na Seção 37 em relação a circuitos resistivos também se aplica a impedâncias A Figura 920 mostra três impedâncias ligadas em D com o circuito equivalente em Y As impedâncias em Y como funções das impedâncias em D são Z1 ZbZc Za Zb Zc 951 Z2 ZcZa Za Zb Zc 952 Z3 ZaZb Za Zb Zc 953 A transformação DY também pode ser aplicada em sentido inverso isto é podemos ini ciar com a estrutura Y e substituíla por uma estrutura equivalente D As impedâncias em D como funções das impedâncias em Y são Za Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z1 954 Zb Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z2 955 Zc Z1Z2 Z2Z3 Z3Z1 Z3 956 O processo usado para obter as equações 951 a 953 ou as equações 954956 é o mesmo usado para obter as equações correspondentes para circuitos resistivos puros Na verdade uma comparação entre as equações 344 a 346 e as equações 951 a 953 e entre as equações 347 a 349 e as equações 954 a 956 revela que o símbolo Z substituiu o símbolo R Talvez você ache interessante revisar o Problema 362 que trata da transformação DY O Exemplo 98 ilustra a utilidade da transformação DY na análise de circuitos fasoriais Figura 920 Transformações DY a b n c Zc Z3 Zb Za Z1 Z2 98 A mesma combinação de elementos descrita no Problema para avaliação 97 está ligada aos terminais de uma fonte de tensão de v 150 cos 4000t V Qual é a amplitude máxima da corrente no indutor de 5 mH Resposta 707 A NOTA tente resolver também os problemas 929 934 e 935 apresentados no final deste capítulo ExEMPlo 98 Uso da transformação DY no domínio da frequência Use a transformação DY de impedâncias para determinar I0 I1 I2 I3 I4 I5 e V1 e V2 no circuito da Figura 921 Solução Em primeiro lugar observe que do modo como está agora o circuito não se presta à simplificação por associações em série ou em paralelo Uma transformação DY de impedância permite determinar Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 359 Book Nilsson 2indb 359 290116 1422 Circuitos elétricos Figura 921 Circuito para o Exemplo 98 todas as correntes de ramo sem recorrer ao método I das tensdes de no nem ao método das correntes de Je q malha Se substituirmos o delta superior abc ou o 40 632 0 inferior bcd por seu Y equivalente podemos simpli 4 7240 ficar ainda mais 0 circuito resultante por associagdes hy b em série e em paralelo Para decidir qual delta substi 120 V b WO c tuir vale a pena verificar a soma das impedAncias ao v 200 Nis IK V longo de cada delta porque essa quantidade forma o 600 j200 denominador para as impedancias do Y equivalente Como a soma ao longo do delta inferior é 30 40 d optamos por eliminalo do circuito A impedancia Y ligada ao terminal b é 20 j6010 LZ 12 40 30 j40 pe a impedancia Y ligada ao terminal c é 10j20 Zp 32 240 2 30 j40 J4 e a impedancia Y ligada ao terminal d é 20 j60j20 23 8 5240 3 30 40 J Inserindo as impedancias do Y equivalente no circuito obtemos 0 circuito mostrado na Figura 922 que agora simplificamos por associagdes em série e em paralelo A impedancia do ramo abn é Zan 12 j4j412 0 e a impedancia do ramo acn é Z ven 932 j24 j24 32 60 0 Figura 922 Circuito mostrado na Figura 921 com o delta inferior substituido por seu Y equivalente Observe que 0 ramo abn esta em paralelo com 0 ramo i acn Por conseguinte podemos substituir esses dois SF a ramos por um Unico ramo com uma impedancia de 632 0 j40 6012 f240 Zan a 10 Q 12002 V b c Associar esse resistor de 10 O com a impedancia entre po 249 1 ed reduz o circuito da Figura 922 ao mostrado na 4a 320 Figura 923 Por esse tiltimo circuito n 120 70 80 Iy 45313 24 732 A 0 18 j24 2 J j240 d Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Conhecida I podemos seguir 0 caminho inverso e trabalhar nos circuitos equivalentes para determi nar as correntes de ramo no circuito original Comegamos observando que I a corrente no ramo nd da Figura 922 Assim V a 8 j24I 96 j32 V Agora podemos calcular a tensdo V pois VVt Vand e ambas V e V sao conhecidas Assim Figura 923 Versao simplificada do circuito Vin 120 96 j32 24 j32 V mostrado na Figura 922 Agora calculamos as correntes de ramo I e L To a 24 732 8 180 Van Ga 2 FIA 1200 v j240 244 732 4 8 len ED TIA aen 60 1015 Em termos das correntes de ramo definidas na Figura 921 8 I Laon 2 TI3 A 4 8 IL haatj 7A 2 acn 10 J 15 Verificamos os calculos de I e I observando que 1 1 2432 I Para determinar as correntes de ramo I I e I devemos calcular em primeiro lugar as tens6es V e V Com referéncia a Figura 921 observamos que 328 V 120 0 j4l J8V 104 V 120 70 632 j241 96 j 3 Y Agora calculamos as correntes de ramo I I e I ViW 4 128 I jA a0 3 3 V 2 L 1 j16A 20 j60 3 12 8 4 jag 5 2015 Circuitos elétricos Verificamos os calculos observando que 2 26 I 1 j16 j48 24 732 Ib 3 15 4 2 128 8 Ihjj162jh 3 4 373 J 3 J J 3 1 4 4 128 8 26 Ihj jy 48 Is sr 3 0 2 3 a5 5 IS PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como usar técnicas de andlise de circuitos para resolver um circuito no dominio da frequéncia 99 Use uma transformagao AY para determinar a corrente I no circuito mostrado Resposta I 4 2807 A 140 I J40Q j150 1360 Dy Vv 40 0 100 NOTA tente resolver também o Problema 942 apresentado no final deste capitulo 97 Transformacoes de fonte e circuitos equivalentes de TheveninNorton As transformagoes de fonte apresentadas na Secao 49 e os circuitos equivalentes de Thé veninNorton discutidos na Secao 410 sao técnicas analiticas que também podem ser aplicadas a circuitos no dominio da frequéncia Provamos a validade dessas técnicas seguindo o mesmo processo utilizado nas secées 49 e 410 exceto pela substituicéo da impedancia Z pela resis téncia R A Figura 924 mostra uma transformagao de Figura 924 Transformagao de fonte no dominio da fonte com a nomenclatura do dominio da frequéncia frequéncia A Figura 925 ilustra a versio de um circuito equiva a lente de Thévenin no dominio da frequéncia A Figura 926 a mostra um circuito equivalente de Norton no dominio da v L Ct frequéncia As técnicas para determinar a tenso e a impe dancia equivalentes de Thévenin sao idénticas as usadas Vs Zsls b b para circuitos resistivos com exceao de que 0 circuito equi valente no dominio da frequéncia envolve a manipulagao de Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Figura 925 Circuito equivalente de Thévenin no dominio da Figura 926 Circuito equivalente de Norton no dominio da frequéncia frequéncia ea a ea a Circuito linear no Circuito linear no dominio da dominio da frequéncia pode C Vin frequéncia pode conter fontes conter fontes independentes independentes b e dependentes b b e dependentes b quantidades complexas O mesmo se aplica 4 determinacao da corrente e impedancia equivalen tes de Norton O Exemplo 99 demonstra a aplicagéo da transformagao de fontes a andlise no dominio da frequéncia O Exemplo 910 ilustra detalhes da determinagao de um circuito equivalente de Thévenin no dominio da frequéncia EXEMPLO 99 Transformagoes de fonte no dominio da frequéncia Use 0 conceito de transformagao de fonte para deter Figura 927 Circuito para o Exemplo 99 minar o fasor tenséo V no circuito mostrado na 10 732 02Q j06Q Figura 927 Solugao g 90 100 Podemos substituir a combinacAo em série da fonte de tensao 40 0 com a impedancia de 1 j3 0 pela oe Vo combinacéo em paralelo de uma fonte de corrente com a impedancia de 1 j3 0 A fonte de corrente é 730 190 40 40 e I 1 j3 4 jl2A 1j3 10 Assim podemos substituir 0 circuito da Figura 927 pelo mostrado na Figura 928 Observe que a refe réncia de polaridade da fonte de 40 V determina a direcdo de referéncia para I Em seguida combinamos os dois ramos em paralelo aoe As Figura 928 Primeira etapa na redugao do circuito em uma Unica impedancia mostrado na Figura 927 1 j39 j3 06 0 z LF Py I ig 4 i240 020 J 10 que esta em paralelocom afonte decorrente de4j12A 10 90 100 Outra transformagao de fonte converte essa combina 1 4 j12 y ao em paralelo em uma combinacAo em série consis A tindo em uma fonte de tensdo em série com a impedan 730 739 j190 cia de 18 j24 A tensdo da fonte de tensao é V4J1218 j24 36 j12 V Usando essa transformagao redesenhamos 0 circuito como na Figura 929 Observe a polaridade da fonte de tensao Incluimos a corrente I no circuito para facilitar a solugao para V Circuitos elétricos Note também que reduzimos o circuito a um simples Figura 929 Segunda etapa na reducao do circuito circuito em série Calculamos a corrente I dividindo a mostrado na Figura 927 tensdo da fonte pela impedancia total em série 180 PAO 020 J060 36 j12 123 jl Ty t fo 716 4G 74 100 39 j27 36 j12 156 j108 A Vv Vo 25 j190 Agora obtemos o valor de V multiplicando I pela impedancia 10 j19 V 156 j10810 j19 3612 71884 V EXEMPLO 910 Determinagao de um equivalente de Thévenin no dominio da frequéncia Determine 0 circuito equivalente de Thévenin em relagaéo Figura 930 Circuito para o Exemplo 910 aos terminais ab para o circuito mostrado na Figura 930 j40 0 Solugao Em primeiro lugar determinamos a tensAo equivalente de Thévenin que é a tensAo de circuito aberto que apa rece nos terminais ab Escolhemos a referéncia para a 120 1200 tenséo de Thévenin como positiva no terminal a Para simplificar 0 circuito podemos fazer duas transforma 42902 Oy o 600 10 V goes de fonte na malha constituida pela fonte de 120 Vv V e os resistores de 12 0 e 60 1 Ao mesmo tempo essas transformagdes devem preservar a identidade da tensao de controle V por causa da fonte de tensao dependente Determinamos as duas transformacées de fonte subs Figura 931 Versao simplificada do circuito mostrado na tituindo em primeiro lugar a combinacAo em série da Figura 990 fonte de 120 V e do resistor de 12 0 por uma fonte de 740 0 corrente de 10 A em paralelo com 12 Em seguida substitufmos a combinacgaéo em paralelo dos resistores 1 de 12 e 60 por um Unico resistor de 10 Por fim substituimos a fonte de 10 A em paralelo com 10 0 por 100 120 0 a uma fonte de 100 V em série com 10 A Figura 931 mostra o circuito resultante Oe Vv o 10V Vm Incluimos a corrente I a Figura 931 para auxiliar a discussao Observe que conhecida a corrente I pode b mos calcular a tenséo de Thévenin Determinamos I somando as tens6es ao longo do caminho fechado no circuito mostrado na Figura 931 Dai 100 101 j401 1201 10V 130 j40I 10V Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Relacionamos a tensdo de controle V com a corrente I observando pela Figura 931 que V 100101 Entao p Lg 12687 A 30 j40 Agora calculamos V V 100 180 12687 208 j144 V Por fim observamos pela Figura 931 que Vin 10V 1201 2080 j1440 12018 7 12687 784 j288 83522 2017 V Para obter a impedancia de Thévenin podemos usar qualquer das técnicas anteriormente usadas para determinar a resisténcia de Thévenin Neste exemplo ilustramos 0 método da fonte auxiliar Lembre se de que quando usamos esse método desativamos todas as fontes independentes do circuito e entao aplicamos uma fonte de tensdo auxiliar ou uma fonte de corrente auxiliar aos terminais de inte resse A raz4o entre a tensdo e a corrente na fonte a impedancia de Thévenin A Figura 932 mostra o resultado da aplicagao dessa técnica ao circuito da Figura 930 Observe que escolhemos uma fonte de tensao auxiliar V Observe também que desativamos a fonte de tensdo independente com um cur tocircuito adequado e preservamos a identidade de V As correntes de ramo I e I foram adicionadas ao cit Figura 932 Circuito para calcular a impedancia cuito para simplificar o calculo de I Aplicando as leis equivalente de Thévenin de Kirchhoff vocé podera verificar as seguintes relag6es AG J I Vr V 101 10 j40 I I 1 210s 120 wa 2 120 Ae I Vr9 34 60 XZ o 10V Vr 1201 j4 b Ir11 Vr 9 j4 10 j40 1 490 Figura 933 Equivalente de Thévenin para o circuito J mostrado na Figura 930 Vr3 j4 o 3840 1210 j40 an a Vv Zon 912 384 0 784 288 I Vv oo b A Figura 933 representa o circuito equivalente de Thévenin Circuitos elétricos PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como usar técnicas de andlise de circuitos para resolver um circuito no dominio da frequéncia 910 Determine a expressio de regime perma nente para U no circuito mostrado usando 15 mH 20 0 a técnica de transformagoes de fonte As fon tes de tensdo senoidais sao vy 300 vot 256 wE 2 V 240 cos 4000 5313 V UV 96 sen 40002 V Resposta 48 cos 4000t 3687 V j100 100 a 911 Determine 0 circuito equivalente de Thévenin em relacgao aos terminais ab para o circuito P 205C 1 200 101 j100 mostrado A Resposta Vr Vay 10 745 V b Zr 5 j5Q NOTA tente resolver também os problemas 944 945 e 948 apresentados no final deste capitulo 98 0 metodo das tensoes de no Nas secées 42 a 44 apresentamos os conceitos basicos do método das tensdes de n6 para a analise de circuitos Os mesmos conceitos aplicamse quando usamos esse método para analisar circuitos no dominio da frequéncia O Exemplo 911 ilustra a aplicacgao de tal método O Problema para avaliagao 912 e muitos dos problemas apresentados no final do capitulo Ihe darao a oportuni dade de usar 0 método das tensGes de no para determinar respostas de regime permanente senoidal EXEMPLO 911 Uso do metodo das tensdes de no no dominio da frequéncia Use o método das tensdes de n6 para determinar Figura 934 Circuito para o Exemplo 911 as correntes de ramo I I e I no circuito mos Fi 34 trado na Figura 93 10 j20 50 Solugao 1060 a i ae A Podemos descrever 0 circuito em termos de duas 1 1 100 1 j50 tens6es de n6é porque ele contém trés nds essen 501 ciais Como quatro ramos terminam no n6o essen cial que se estende pela parte inferior da Figura 934 ele sera usado como né de referéncia Os Figura 935 Circuito mostrado na Figura 934 com as tensdes de dois nés remanescentes so rotulados como 1 e 2 nd definidas e as tensdes de no correspondentes sao V e V 1 10 j29 9 50 A Figura 935 ilustra a situacao 4 Somando as correntes que saem do né 1 temos 106 I C1 w02sV Vo Rj5 0 Vv vVVv 106 0 201 10 1j2 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Multiplicando por 1 j2 e colocando em evidéncia os coeficientes de V e V chegase 4 expressao V11 j02 V 106 j212 Somando as correntes que saem do n6 2 temos VV Vv V 201 21 2 S20 A 0 1 j2 j5 5 A corrente de controle I é 1 i 1 4j20 Substituindo essa expressdo por I na equagao do né 2 multiplicando por 1 j2 e colocando os coe ficientes de V e V em evidéncia obtemos a equagao SV 48 j06V 0 As solugoes para V e V sao V 6840 1680 V V 68 j26 V Dai as correntes dos ramos sio I 694 7168 A a 10 Vy Ji Vi V2 I 376 j168 A ee iQ V 201 I 5 144 1192 A V I 52 136 A Para verificar nosso trabalho observamos que I 1 684 j168 376 7168 106 A L11144 j1192 52 j136 376 j168 A PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como aplicar as técnicas de andlise de circuitos em circuitos no dominio da frequéncia 912 Use 0 método das tensdes de no para deter 200 minar a expressao de regime permanente 7 para vt no circuito mostrado As fontes senoidais sao i 10 cos wt A e v 100 sen ts Gi ok o eye 100 pH oe Ys wt Vem que w 50 krads Resposta ut 3162 cos50000t 7157 V NOTA tente resolver também os problemas 954 e 958 apresentados no final deste capitulo Circuitos elétricos 99 0 metodo das correntes de malha Também podemos usar 0 método das correntes de malha para analisar os circuitos no dominio da frequéncia Os procedimentos utilizados para aplicagdes no dominio da frequ éncia sio os mesmos usados na andlise de circuitos resistivos Nas segdes 45 a 47 apresenta mos as técnicas bdsicas do método das correntes de malha demonstraremos a extensdo desse método para circuitos no dominio da frequéncia no Exemplo 912 EXEMPLO 912 Uso do método das correntes de malha no dominio da frequéncia Use 0 método das correntes de malha para determi nar as tensdes V V e V3 no circuito mostrado na Figura 936 Circuito para o Exemplo 912 Figura 936 Vv 4 V j j Como 0 circuito tem duas malhas e uma fonte de tensdo Ro dependente devemos escrever duas equacdes de cor 150 0 301 rente de malha e uma equacao de restrigao O sentido Vv V2 lt de referéncia para as correntes de malha I e I 0 hora j160 rio como mostra a Figura 937 Conhecidas I e I pode mos determinar com facilidade as tens6es desconhe cidas Somando as tens6es ao longo da malha 1 temos Figura 937 Correntes de malha usadas para resolver 0 150 1 j2I 12 16 1 circuito mostrado na Figura 936 j20 30 ou 10 J 10 J 150 13 j14I 12 j16L po Somando as tensdes ao longo da malha 2 obtemos a 391 equacao 4 1500 60 012j16 1 1 3 391 Vv A Figura 937 revela que a corrente de controle I é a diferenga entre I e L isto a restrigdo é II1IL Substituindo essa restrigdo na equagao da malha 2 e simplificando a expressAo resultante obtemos 0 27 j16I 26 j13L Resolvendo para I e I temos I 26j52 A I 24j58 A 12j6A Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal As trés tensdes sao V121 78 j104 V V 12 j16I 72 j104 V V13L 150 j130 V Além disso 391 78 j234 V Verificamos esses calculos somando as tens6es ao longo dos caminhos fechados 150 V V150 78 j104 72 j104 0 VV 391 72 j104 150 j130 78 j234 0 150VV 391 150 78 j104 150 j130 78 j234 0 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber como usar técnicas de andlise de circuitos para resolver um circuito no dominio da frequéncia 913 Use 0 método das correntes de malha para determi 10 j20 nar o fasor corrente I no circuito mostrado a Resposta I 29 72 2907 395 A Pr 338 0 202 075V 0 Vv V aR j50 NOTA tente resolver também os problemas 960 e 964 apresentados no final deste capitulo 910 0 transformador Um transformador é um dispositivo baseado em acoplamentos magnéticos usado tanto em circuitos de comunicacéo quanto de energia Em circuitos de comunicacao o transforma dor é usado para ajustar impedancias e eliminar sinais cc de partes do sistema Em circuitos de energia destinase a estabelecer niveis de tensao ca que facilitem a transmissAo a distribuigaéo e o consumo de energia elétrica E preciso conhecer o comportamento de regime permanente senoidal do transformador para analisar ambos os sistemas Nesta secdo discutiremos 0 com portamento de regime permanente senoidal do transformador linear encontrado primordial mente em circuitos de comunicagao Na Secao 911 trataremos do transformador ideal usado para modelar o transformador de nticleo ferromagnético encontrado em sistemas de energia Antes de iniciar segue uma observagao util Quando analisar circuitos que contenham indutancia mititua use 0 método da corrente de malha ou de lacgo para escrever equacdes de circuito Usar o método das tensdes de n6 é complicado quando ha indutancia mutua Circuitos elétricos envolvida porque nao é possivel escrever as correntes nos varios enrolamentos por inspecdo como funcées das tensdes de no Analise do circuito de um transformador linear Figura 938 Modelo de circuito no dominio da frequéncia Um transformador simples formado quando dois para um transformador usado para ligar uma enrolamentos envolvem um tnico nticleo assim garantindo carga a uma fonte um acoplamento magnético A Figura 938 mostra o modelo de circuito no dominio da frequéncia de um sistema que a Ry joM usa um transformador para ligar uma carga a uma fonte Ao s j2zAa L analisarmos esse circuito designaremos 0 enrolamento do JoLy transformador ligado a fonte como enrolamento primario e aquele ligado 4 carga como enrolamento secundario Com Fonte 6 Transformador 4 Carga base nessa terminologia os parametros de circuito do trans formador sao R a resisténcia do enrolamento primario R a resisténcia do enrolamento secundario L a autoindutancia do enrolamento primario L a autoindutancia do enrolamento secundario M a indutancia mttua A tensao interna da fonte senoidal V e a impedancia interna da fonte Z A impe dancia Z representa a carga ligada ao enrolamento secundario do transformador Os faso res corrente I e I representam as correntes primdrias e secundarias do transformador respectivamente A analise do circuito da Figura 938 consiste em determinar I e I como fungées dos parametros de circuito V Z R L L RM Z e w Além disso estamos interessados em determinar a impedancia do transformador vista a partir dos terminais ab Para determinar I e L em primeiro lugar escrevemos as duas equagoes de corrente de malha que descrevem O circuito VZ R joLI joML 957 0 jwMI R joL ZL 958 Para facilitar a manipulagao algébrica das equacgées 957 e 958 fazemos ZZRjoL 959 ZR joL Z 960 em que Z a autoimpedancia total da malha que contém o enrolamento primério do trans formador e Za que contém o enrolamento secundario Com base na notaao apresentada nas equagoes 959 e 960 as solugées para I e L pelas equagGes 957 e 958 sao Zn I 961 ZZ wM 061 I2 jvM Z11Z22 v2M 2Vs jvM Z22 I1 962 Para a fonte de tensão interna Vs a impedância aparece como VsI1 ou Vs I1 Zint Z11Z22 v2M 2 Z22 Z11 v2M 2 Z22 963 A impedância nos terminais da fonte é Zint Zs portanto Zab Z11 v2M 2 Z22 Zs R1 jvL1 v2M 2 R2 jvL2 ZL 964 Observe que a impedância Zab é independente da polaridade magnética do transforma dor A razão disso é que a indutância mútua aparece na Equação 964 como uma quantidade ao quadrado Essa impedância é de particular interesse porque mostra como o transformador afeta a impedância da carga vista pela fonte Sem o transformador a carga estaria ligada dire tamente à fonte e esta veria uma impedância de carga de ZL com o transformador a carga é ligada à fonte por meio dele e a fonte vê uma versão modificada de ZL como mostra o terceiro termo da Equação 964 Impedância refletida O terceiro termo da Equação 964 é denominado impedância refletida Zr porque cor responde à impedância equivalente do enrolamento secundário e da impedância de carga transferidos ou refletidos para o primário do transformador Observe que a impedância refle tida devese exclusivamente à existência da indutância mútua isto é se as duas bobinas forem desacopladas M passará a ser igual a zero assim como Zr e Zab será reduzida à autoimpedân cia do enrolamento primário Para analisar a impedância refletida com mais detalhes em primeiro lugar expressamos a impedância da carga em forma retangular ZL RL jXL 965 em que a reatância da carga XL leva consigo o próprio sinal algébrico Em outras palavras XL será um número positivo se a carga for indutiva e negativo se ela for capacitiva Agora usamos a Equação 965 para escrever a impedância refletida em forma retangular v2M 2 0 Z2202 R2 RL jvL2 XL v2M 2R2 RL jvL2 XL R2 RL2 vL2 XL2 Zr v2M 2 R2 RL jvL2 XL 966 A dedução da Equação 966 leva em conta o fato de que quando ZL é escrita em forma retangular a autoimpedância da malha que contém o enrolamento secundário é Z22 R2 RL jvL2 XL 967 Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 371 Book Nilsson 2indb 371 290116 1422 Circuitos elétricos Observe agora que pela Equagao 966 a autoimpedancia do circuito secundario é refle tida no circuito primdrio por meio de um fator de escala de wMZ e que o sinal do com ponente reativo wL X é invertido Assim o transformador linear reflete para o primario o conjugado da autoimpedancia do circuito secunddrio Z3 multiplicado por um fator de escalaO Exemplo 913 ilustra a andlise de correntes de malha para um circuito que contém um transformador linear EXEMPLO 913 Andlise de um transformador linear no dominio da frequéncia Os pardmetros de certo transformador linear séo R 200 0 R 1000 L9HL4Hek05 O transformador acopla uma impedancia que consiste em um resistor de 800 0 em série com um capacitor de 1 wF a uma fonte de tensdo senoidal A fonte de 300 V rms tem uma impedancia interna de 500 j100 Q e uma frequéncia de 400 rads a Construa um circuito equivalente do sistema no dominio da frequéncia b Calcule a autoimpedancia do circuito primario c Calcule a autoimpedancia do circuito secundario d Calcule a impedancia refletida no enrolamento primario e Calcule o fator de escala para a impedancia refletida f Calcule a impedancia vista a partir dos terminais primarios do transformador g Calcule o equivalente de Thévenin em relagdo aos terminais cd Solugao a A Figura 939 mostra 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia Observe que a tensao interna da fonte serve como fasor de referéncia e que V e V representam as tensOes terminais do trans formador Para construir o circuito da Figura 939 fizemos os seguintes calculos joL j4009 736000 joL j4004 716000 M 05V 94 3H joM j4003 712000 1 10 j25000 joc j400 Figura 939 Circuito equivalente no dominio da frequéncia para o Exemplo 913 100 0 500 0 J a 2000 1200 100 0 800 0 TT ote e le ote 1 300 0 V C V 736000 716009 V 1 j2500 0 b b A autoimpedancia do circuito primario é Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Z 500 j100 200 73600 700 73700 Q c A autoimpedancia do circuito secundario é Z 100 71600 800 j2500 900 7900 Q d A impedancia refletida para o enrolamento primario é Z an 900 7900 r 900 9001 J 8 9g 900 7900 800 7800 2 e O fator de escala pelo qual Z3 é refletida é 89 f A impedancia vista a partir dos terminais primdrios do transformador é a impedancia do enrola mento prim4rio mais a impedancia refletida assim Z y 200 j3600 800 j800 1000 j4400 g A tensado de Thévenin sera igual ao valor de circuito aberto de V que sera igual a j1200 vezes o valor de circuito aberto de I O valor de circuito aberto de I é I 300 0 700 3700 7967 7929 mA Logo Vin j12007967 7929 x 103 9560 1071 V A impedancia de Thévenin sera igual 4 impedancia do enrolamento secundario mais a impedancia refletida do primario quando a fonte de tensdo for substituida por um curtocircuito Assim Zr 100 j1600 ae 700 73700 Th aa 700 37001 Jo 17109 j1224260 O equivalente de Thévenin é mostrado na Figura 940 Figura 940 Circuito equivalente de Thévenin para o Exemplo 913 17109 2 J122426 O Cc 9560 1071 Vv d Circuitos elétricos PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber analisar circuitos que contém transformadores lineares usando métodos fasoriais 914 Um transformador linear acopla uma carga que consiste em um resistor de 360 0 em série com um indu tor de 025 H a uma fonte de tensao senoidal como mostra 0 circuito A fonte de tensao tem uma impe dancia interna de 184 j0 e uma tensAo maxima de 24520 V e opera com uma frequéncia de 800 rads Os parametros do transformador sao R 100 L 05 H R 40 Q L 0125 H e k 04 Cal a joM Ry cule a a impedancia refletida b a corrente no 5 z primdrio e c a corrente no secundario eo jo Ly Resposta a 1024 j768 O b 05 cos8001 5313 A Fonte b Transformador d Carga c 008 cos 800r A NOTA tente resolver também os problemas 976 977 apresentados no final deste capitulo 911 0 transformador ideal Um transformador ideal consiste em dois enrolamentos magneticamente acoplados com N N espiras respectivamente que exibem estas propriedades 1 Ovcoeficiente de acoplamento é igual 4 unidade k 1 2 A autoindutancia de cada enrolamento é infinita L L 00 3 As perdas nos enrolamentos devidas as resisténcias parasitas sao despreziveis Para entender 0 comportamento de transformadores ideais devemos comecgar com a Equagao 964 que descreve a impedancia nos terminais de uma fonte ligada a um transforma dor linear Em seguida repetimos essa equagéo e a examinamos um pouco mais Trabalhando com valoreslimite Uma relacao util entre a impedancia de entrada e a da carga como dada por Z na Equa ao 968 ocorre quando L e L tornamse infinitamente grandes e ao mesmo tempo 0 coefi ciente de acoplamento aproximase da unidade 2n42 wo M Zw Zi H Z Ln 2n42 wo M R jol 968 TIO RF jols Zi 008 Transformadores enrolados em nticleos ferromagnéticos podem satisfazer essa condicao Ainda que tais transformadores nao sejam lineares podemos obter algumas informagoes tteis construindo um modelo ideal que ignore as nao linearidades Para mostrar como Z muda quando k 1 e L e L aproximamse do infinito apresen tamos em primeiro lugar a notagaéo Zu R R ol X1 Ry jXy e então rearranjamos a Equação 968 Rab jX ab Zab R1 v2M 2R22 R22 2 X 22 2 j avL1 v2M 2X22 R22 2 X 22 2 b 969 Neste ponto devemos ter cuidado com o coeficiente de j na Equação 969 pois quando L1 e L2 se aproximam do infinito esse coeficiente tornase a diferença entre duas quantidades grandes Assim antes de permitir que L1 e L2 cresçam escrevemos o coeficiente como Xab vL1 vL1vL2X22 R22 2 X 22 2 vL1 a1 vL2X22 R22 2 X 22 2 b 970 em que reconhecemos que quando k 1 M2 L1L2 Colocando o termo que multiplica vL1 sobre um denominador comum obtemos Xab vL1 aR22 2 vL2XL X L 2 R22 2 X 22 2 b 971 Dividindo o numerador e o denominador por vL2 obtemos Xab L1 L2 XL R22 2 X L 2vL2 R22vL22 1 XLvL22 972 À medida que k se aproxima de 10 a razão L1L2 aproximase do valor constante N1N22 o que decorre das equações 654 e 655 A razão para isso é que à medida que o acoplamento tornase extremamente forte as permeâncias 31 e 32 tornamse iguais Então a Equação 972 é reduzida a Xab aN1 N2 b 2 XL 973 quando L1 q L2 q e k 10 O mesmo raciocínio leva à simplificação da resistência refletida na Equação 969 v2M 2R22 R22 2 X 22 2 L1 L2 R22 aN1 N2 b 2 R22 974 Aplicando os resultados das equações 973 e 974 à Equação 969 obtemos Zab R1 aN1 N2 b 2 R2 aN1 N2 b 2 RL jX L 975 Compare esse resultado com o da Equação 968 Aqui vemos que quando o coeficiente de acoplamento aproximase da unidade e as autoindutâncias dos enrolamentos acoplados aproximamse do infinito o transformador reflete a resistência do enrolamento secundário e a impedância da carga para o primário por um fator de escala igual à razão entre o número de espiras N1N2 ao quadrado Daí podemos descrever o comportamento terminal do trans formador ideal em termos de duas características A primeira é que a quantidade de volts por espira é a mesma para cada enrolamento ou V1 N1 V2 N2 976 A segunda é que a quantidade de ampèreespira é a mesma para cada enrolamento ou I1N1 I2N2 977 Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 375 Book Nilsson 2indb 375 290116 1422 Circuitos elétricos Somos obrigados a usar 0 valor absoluto dos termos nas equacgées 976 e 977 porque ainda nao estabelecemos polaridades de referéncia para as correntes e tensdes em breve dis cutiremos a eliminacao dessa restriao Figura 941 Circuitos usados para verificar as relacdes A Figura 941 mostra dois enrolamentos acoplados volts por espira e ampéreespira para um magneticamente sem perdas R R 0 a usamos para transformador ideal demonstrar a validade das equagGes 976 e 977 Na Figura jwM 941a o enrolamento 2 esta aberto na Figura 941b o a e enrolamento 2 esta em curto Embora realizemos a andlise a i i seguir em termos do funcionamento em regime permanente Vv joL joL Vv 8 g Pp N N senoidal os resultados também se aplicam aos valores ins z tantaneos de v e i a joM Determinacao das relagoes entre tensOes e das Ty e se Lb relagoes entre correntes Vv joL joL jou yon Observe que na Figura 941a a tensdo nos terminais Ni No do enrolamento 2 devese inteiramente 4 corrente no enro lamento 1 assim b VjoMI 978 A corrente no enrolamento 1 é V IL 979 Joly Pelas equagoes 978 e 979 M Ly Para um acoplamento unitario a indutancia mitua é igual a VLL5 e a Equacao 980 tornase Vv fry 981 v 981 Para um acoplamento unitario o fluxo que atravessa 0 enrolamento 1 é igual ao que atra vessa 0 enrolamento 2 e portanto s6 precisamos de uma permedancia para descrever a autoin dutancia de cada enrolamento Assim a Equacao 981 tornase IN3F N V V V 982 2 N2F 1 N 1 ou Relagao Mi V2 983 entre tensdes N Np para um transformador Somando as tenses ao longo do enrolamento em curto da Figura 941b obtemos ideal 0joMI joL 984 da qual para k 1 ol Ly L2 No a 985 I M V LL ly MN Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal A Equagao 985 é equivalente a TN LN 986 Relagao entre as correntes A Figura 942 mostra 0 simbolo de um transformador ideal As linhas verticais represen em um tam as camadas de material magnético de que os nucleos ferromagnéticos costumam ser feitos transformador Assim 0 simbolo nos lembra que os enrolamentos construfdos em nucleos ferromagnéticos ideal comportamse de um modo muito parecido com um transformador ideal Ha varias razOes para isso O material ferromagnético cria um espaco de alta permeancia Assim grande parte do fluxo magnético fica confinada no inte Figura 942 Simbolo para um We transformador ideal rior do material do nticleo estabelecendo forte acoplamento magnético entre os enrolamentos que compartilham o mesmo nticleo Alta permeancia também e e significa alta autoindutancia porque L N F Por fim enrolamentos acoplados N N ferromagneticamente transferem poténcia com eficiéncia de um enrolamento para o outro Eficiéncias acima de 95 sao comuns de tal forma que desprezar Ideal as perdas nao é uma ma aproximagao para muitas aplicagoes Determinagao da polaridade das relagoes entre tenses e das relacdes entre correntes Agora voltemos a eliminagaéo dos médulos das equacgées 976 e 977 Observe que nao apareceram mddulos de grandezas na dedugao das equagoées 983 e 986 Naquele caso nao precisavamos deles pois tinhamos estabelecido polaridades de referéncia para tensGes e dire ces de referéncia para correntes Ademais conheciamos os pontos de polaridade magnética dos dois enrolamentos acoplados As regras para estabelecer o sinal algébrico adequado as equacées 976 e 977 sao as seguintes Se ambas as tensGes V e V forem positivas ou negativas no terminal marcado por pontos use um sinal positivo na Equacgao 976 Caso contrario use um sinal negativo Se ambas as correntes I e I estiverem dirigidas para dentro ou para fora do terminal Convencao de marcado com pontos use um sinal negativo na Equacao 977 Caso contrario use um pontos para sinal positivo transformadores ideais Os quatro circuitos mostrados na Figura 943 ilustram essas regras Figura 943 Circuitos que mostram os sinais algébricos adequados para a relagdo das tensdes e a relagao das correntes terminais de um transformador ideal FeN Noe FeN No FF eN Nole FeN No v1 Ik v1 I v1 fev v1 fev Ideal Ideal Ideal Ideal Vi V2 ViN2 Vi V2 ViV2 N Ny NN N Ny N Ny Nil Noly Mh Nok Mh Nol Nil Noly a b c a Circuitos elétricos Figura 944 Trés formas de indicar que a relagao entre A relacao de espiras dos dois enrolamentos é um parame espiras de um transformador ideal 5 tro importante do transformador ideal Ela é definida como N500 N 2500 NN ou NN ambas aparecem escritas de varias maneiras e et el 15Te Neste livro usamos a para designar a relagdo NN ou N vi Vo vi Vo a 987 Ni Ideal Ideal A Figura 944 mostra trés maneiras de representar a a b relacdo entre espiras para um transformador ideal A Figura 151 944a mostra explicitamente 0 numero de espiras em cada e je enrolamento A Figura 944b mostra que a relagdo NN é vi V2 5 para 1 e a Figura 944c mostra que a relagado NN 1 1 ara x Ideal P ae Lo c O Exemplo 914 ilustra a analise de um circuito que con tém um transformador ideal EXEMPLO 914 Analise do circuito de um transformador ideal no dominio da frequéncia Ai dancia d ligad 1 t mpes ane acarga Neaca ae nro amen Figura 945 Circuito para o Exemplo 914 secundario do transformador ideal na Figura 945 consiste em um resistor de 2375 mQX em 0250 5mH 2375 mQ série com um indutor de 125 wH ty FeO et Fi Se a fonte de tensfo senoidal v estiver x s Ug C v1 v2 125 wH gerando a tensao de 2500 cos 400t V deter mine as expresses de regime permanente Ideal para a ib v c i e d v Solugao a Comecamos construindo 0 circuito equiva Figura 946 Circuito no dominio fasorial para o Exemplo 914 lente no dominio fasorial A fonte de tensao 025Q j20 02375 0 tornase 2500 0 V0 indutor de 5 mH con I T6110 1fe L vertese em uma impedancia de j2 0 e o indu tor de 125 wHem uma impedancia de j005 250000 vi Vv j005 0 O circuito equivalente no dominio fasorial mostrado na Figura 946 Ideal Decorre diretamente da Figura 946 que 25000 025 j2I Vj e V 10V 1002375 j005L Visto que 1 10I temos V 1002375 j005101 2375 j5L Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Portanto 25000 24 j7h ou I 100 1626 A Assim a expressdo de regime permanente para i i 100 cos 400t 1626 A b V 2500 70 100 1626 025 j2 2500 80 j185 2420 j185 242706 437 V Dai V 242706 cos 4001 437 V c I 101 1000 1626 A Assim i 1000 cos 400t 1626 A d V2 01V 24271 437 V resultando em V 24271 cos 400t 437 V A utilizagao de um transformador ideal para casamento de impedancias Transformadores ideais também podem ser usados para Figura 947 Utilizagao de um transformador ideal para aumentar ou diminuir o nivel de impedancia de uma carga acoplar uma carga a uma fonte O circuito mostrado na Figura 947 ilustra isso A impedancia I I percebida pela fonte real de tensdo V em série com Z VI A tensado e a corrente nos terminais da impedancia de J el tiafe Ff carga V e L estado relacionadas com V e I pela relagao Vs vi Vv entre espiras do transformador assim V e Ideal e V 988 a e I al 989 Por conseguinte a impedancia percebida pela fonte real é Vi IW Qn 35 NTL h 990 mas a razao VI a impedancia de carga Z portanto a Equacao 990 tornase 1 ZN ek 991 Circuitos elétricos Assim 0 enrolamento secundario do transformador ideal reflete para o enrolamento pri mério a impedAncia de carga com o fator de escala 1a Observe que o transformador ideal altera o médulo de Z mas nao seu Angulo de fase O fato de Z ser maior ou menor do que Z depende da relagao de espiras a O transformador ideal ou sua contraparte real o transformador de nticleo ferromagné tico pode ser usado para ajustar o médulo de Z ao médulo de Z Discutiremos por que isso pode ser desejavel no Capitulo 10 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 5 Saber analisar circuitos com transformadores ideais 915 A tensao da fonte do circuito no domi 15kQ j6okO 40 nio fasorial na figura que acompanha T e251f este problema 25 0 kV Deter mine a amplitude e o angulo de fase de V V Vv j1440 Viel L Resposta V 186815 14239 V P ce Ideal I 125 21687 A NOTA tente resolver também o Problema 982 apresentado no final deste capitulo Como veremos transformadores ideais séo usados para elevar ou abaixar tensdes de uma fonte para a alimentagao de uma carga Por isso eles sdo utilizados amplamente pelas conces sionarias de energia elétrica para reduzir a tensdo das linhas de transmissdo a niveis seguros para uso residencial 912 Diagramas fasoriais Quando usamos o método dos fasores para analisar o funcionamento do regime perma nente senoidal de um circuito um diagrama dos fasores corrente e tens4o pode nos permitir maior compreensao do comportamento do circuito Um diagrama fasorial mostra a magnitude e o Angulo de fase de cada grandeza fasorial no plano dos nimeros complexos Os angulos de fase so medidos em sentido antihorario em relacgdo ao eixo real positivo e os médulos sao medidos a partir da origem do sistema de coordenadas Por exemplo a Figura 948 mostra os fasores 10 30 12 1505 745 e 8170 Diagramas fasoriais envolvem de modo geral correntes Figura 948 Representacdo grafica de fasores e tensoes Assim sao necessarias duas escalas uma para cor rentes e outra para tensdes Localizar fasores no plano dos 12150 1030 numeros complexos pode ser util para verificar calculos fei 150 tos em calculadoras de bolso A calculadora de bolso tipica 30 nao oferece uma cépia impressa dos dados de entrada mas i quando o Angulo calculado é apresentado no visor podemos 8 170 170 comparalo com a imagem mental que fazemos dele para 5 45 verificar se estamos entrando com os valores adequados Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Por exemplo suponha que tenhamos de calcular a forma polar de 7 j3 Sem fazer qualquer calculo podemos pre Z A Figura 949 O numero complexo ver um médulo maior do que 7 e um Angulo no terceiro qua 6 Z 7 j3 762 15680 drante que é mais negativo do que 135 ou menos positivo do que 225 como ilustrado na Figura 949 Os exemplos 915 e 916 ilustram a construc4o e utili 7 225 zacao de diagramas fasoriais Usaremos tais diagramas em 7 capitulos subsequentes sempre que proporcionarem uma percepcéo adicional do funcionamento do regime perma 7 135 nente senoidal do circuito que estiver sendo investigado O atte aaa 73 Problema 984 mostra como um diagrama fasorial pode aju dar a explicar o funcionamento de um circuito de desloca mento de fase EXEMPLO 915 Utilizagao de diagramas fasoriais para analisar um circuito No circuito da Figura 950 use um diagrama fasorial para determinar o valor de R que fara com que a corrente que passa por aquele resistor ip fique defasada 45 em relagao a corrente da fonte i quando w 5 krads Solugao Figura 950 Circuito para o Exemplo 915 Pela lei das correntes de Kirchhoff a soma das corren tes I I e I deve ser igual a corrente da fonte I Se in ic ip admitirmos que o Angulo de fase da tensio V seja m ls Um 3 02 mH 800 wF R igual a zero podemos desenhar os fasores associados as correntes de cada um dos componentes O fasor cor rente associado ao indutor é dado por Vin 0 Ll Vin 90 7500002X 103 ao passo que o fasor corrente associado ao capacitor dado por Vin 0 Io 4 290 75000800X 10 e o fasor corrente associado ao resistor é dado por Ip Yn LO Vin 0 Figura 951 Diagrama fasorial para as R R correntes da Figura 950 Esses fasores s4o mostrados na Figura 951 O diagrama fasorial To j4Vin 1 também mostra o fasor corrente da fonte representado por uma yo linha tracejada que deve ser a soma dos fasores associados as cor As rentes dos trés componentes do circuito e fazer um A4ngulo com o Ip VR fasor corrente do resistor de 45 mais positivo Como se pode ver T Vin asoma dos fasores da origem a um triangulo isdsceles de tal forma que o mddulo do fasor corrente do resistor deve ser igual a 3V Por conseguinte 0 valor do resistor é 13 Q Circuitos elétricos EXEMPLO 916 Uso de diagramas fasoriais para analisar efeitos de cargas capacitivas O circuito da Figura 952 tem uma carga que con Figura 952 Circuito para 0 Exemplo 916 siste na combinacaéo em paralelo de um resistor e de um indutor Use diagramas fasoriais para estudar o Ry Ly efeito da adigdéo de um capacitor aos terminais da carga na amplitude de V se ajustarmos V de modo v vy R Ly que a amplitude de V permanega constante As con cessionarias de energia elétrica usam essa técnica e para controlar a queda de tensao em suas linhas Solugao Comecamos supondo capacitancia zero nos terminais Figura 953 Circuito equivalente no dominio da da carga Depois de construirmos o diagrama fasorial frequencia do circuito da Figura 952 para esse caso podemos adicionar um capacitor e R joL estudar seu efeito sobre a amplitude de V mantendo a amplitude de V constante A Figura 953 mostra 0 I circuito equivalente no dominio da frequéncia do cir Vs Vi Re I joly 1 cuito apresentado na Figura 952 Acrescentamos tam bém os fasores correntes de ramo I I e I a Figura 953 para auxiliar a discussao A Figura 954 mostra a evolucao etapa por etapa da Figura 954 Evolucao etapa por etapa da construgao do construcaéo do diagrama fasorial Nao se esqueca de diagrama fasorial para 0 circuito da Figura 953 que neste exemplo nao estamos interessados em posi L cdes e valores especificos dos fasores mas no efeito Vn VL geral da adigéo de um capacitor aos terminais da 2 carga Por isso queremos verificar as posicGes relati I I vas dos fasores antes e depois da adigao do capacitor Vi Vi Ao se comparar o diagrama fasorial ao circuito mostrado I Int N I na Figura 953 podese observar os seguintes pontos 3 4 a Como estamos mantendo a amplitude da tensao de carga constante escolhemos V como nossa referén joLyl joll Vs cia Por conveniéncia colocamos esse fasor no eixo de L joL yl real positivo Vi b Sabemos que I esta em fase com V e que seu I NT I i Ril modulo é V R No diagrama fasorial a escala 5 6 dos fasores corrente é independente da escala dos fasores tensao c Sabemos que I esté 90 atrasado em relagdo a V e que seu mddulo é V wL d A corrente de linha I é igual 4 soma de I I e A queda de tensdo em R esta em fase com a corrente de linha e a queda de tensdo em jwL esta 90 adiantada em relagao a corrente de linha f A tensado na fonte é a soma da tensao na carga e da queda ao longo da linha isto V V R joLI Observe que o diagrama fasorial completo mostrado na etapa 6 da Figura 954 deixa claras as rela Oes entre a amplitude e o angulo de fase de todas as correntes e tensdes da Figura 953 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Agora adicionamos 0 ramo do capacitor como mos Figura 955 Adigao de um capacitor ao circuito mostrado na tra a Figura 955 Como estamos mantendo V cons Figura 953 tante construimos o diagrama fasorial para o cir Ry joL cuito da Figura 955 seguindo as mesmas etapas da Figura 954 exceto que na etapa 4 incluimos ao dia I grama a corrente I do capacitor Ao fazermos isso I V V Ro 1 joL 1 an II esta 90 adiantada em relagao a V sendo sua mag me nitude V C A Figura 956 mostra o efeito de I sobre a corrente de linha a magnitude bem como o angulo de fase da corrente de linha I varia de acordo Figura 956 Efeito da corrente do capacitor I sobre a corrente com as variagOes na magnitude de I A medida que de linha I I varia também variam a magnitude e o angulo de I fase da queda de tensdo ao longo da linha A medida I que essa queda varia a magnitude e o Angulo de V V variam O diagrama fasorial mostrado na Figura 957 7 ilustra essas observacoes Os fasores em linhas trace jadas representam as correntes e tens6es pertinentes fh antes da adicdo do capacitor Assim comparar os fasores de I RI joLTe Vem Figura 957 Efeito da adigao de um capacitor ao circuito mostrado linhas tracejadas com suas contrapartes em linhas na Figura 953 se V for mantida constante cheias mostra claramente o efeito da adigéo de C Vv ao circuito Em particular observe que isso reduz a oy amplitude da tensao da fonte e ainda mantém a ampli I To ean Fe tude da tensdo da carga Na pratica esse resultado aaa quer dizer que 4a medida que a carga aumenta isto é SN 1 Vi S w a medida que I e I aumentam devemos adicionar I capacitores ao sistema isto é aumentar I de modo I que sob condic6es de carga pesada possamos manter I V sem aumentar a amplitude da tensAo da fonte NOTA avalie 0 que vocé entendeu desse material tentando resolver os problemas 983 e 984 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Um circuito de distribuigao residencial Vamos retomar 0 circuito de distribuigao residencial apresentado Figura 958 Circuito de distribuicao no inicio do capitulo Modificaremos um pouco 0 circuito adicionando set Brava an I 10 uma resisténcia a cada condutor conectado ao secundario do transfor z a mador para simular com exatidao as fiagdes residenciais O circuito mo we a 1200 200 dificado é mostrado na Figura 958 No Problema 988 vocé vai calcular 5 Voq LL Pa eee 132 0 I as seis correntes de ramo no secundario do transformador de distribui kV a 4 Cao e entao mostrar como calcular a corrente no enrolamento primario 1200 400 NOTA avalie o que vocé entendeu desta Perspectiva pratica tentando resolveros 19 i problemas 987 e 988 apresentados no final deste capitulo hbL Resumo A equação geral para uma fonte senoidal é v Vm cosvt f fonte de tensão ou i Im cosvt f fonte de corrente em que Vm ou Im é a amplitude máxima v é a frequência e f é o ângulo de fase Seção 91 A frequência v de uma resposta senoidal é a mesma que a frequência da fonte senoidal que excita o circuito Em geral a amplitude e o ângulo de fase da resposta são diferentes dos da fonte Seção 92 A melhor maneira de determinar as tensões e correntes de regime permanente em um circuito excitado por fontes senoidais é executar a análise no domínio da frequência As seguintes transfor madas matemáticas permitem nossa movimenta ção entre o domínio do tempo e o da frequência A transformada fasorial do domínio do tempo para o domínio da frequência V Vmejf F5 Vm cosvt f6 A transformada fasorial inversa do domínio da frequência para o domínio do tempo F 15 Vmejf t5 Vmejfejvt6 Seção 93 Quando trabalhar com sinais que variam senoi dalmente lembrese de que a tensão está 90 adiantada em relação à corrente nos termi nais de um indutor e de que a corrente está 90 adiantada em relação à tensão nos terminais de um capacitor Seção 94 A impedância Z desempenha no domínio da frequência o mesmo papel que a resistên cia indutância e capacitância desempenham no domínio do tempo Especificamente a relação entre corrente fasorial e tensão fasorial para resistores indutores e capacitores é V ZI em que o sentido de referência para I obedece à convenção passiva A recíproca da impedância é a admitância Y Portanto outra maneira de expressar a relação entre corrente e tensão para resistores indutores e capacitores no domínio da frequência é V IY Seções 94 e 95 Todas as técnicas de análise de circuitos desen volvidas nos capítulos 2 a 4 para circuitos resisti vos também se aplicam aos circuitos em regime permanente senoidal no domínio da frequência Entre essas técnicas estão a LTK a LCK asso ciações em série e em paralelo de impedâncias divisão de tensão e corrente método das ten sões de nó e correntes de malha transformações de fonte e equivalentes de Thévenin e Norton O transformador linear de dois enrolamen tos é um dispositivo de acoplamento composto de dois enrolamentos construídos no mesmo núcleo não magnético Impedância refletida é a impedância do circuito secundário como per cebida dos terminais do circuito primário ou viceversa A impedância refletida de um trans formador linear percebida no primário é o con jugado da autoimpedância do circuito secundá rio aumentada pelo fator de escala vMZ222 Seção 910 O transformador ideal de dois enrolamentos é um transformador linear que apresenta as seguintes propriedades acoplamento perfeito k 1 autoindutância infinita em cada bobina L1 L2 q e enrolamentos sem perdas R1 R2 0 O comportamento do circuito é coman dado pela relação entre espiras a N2N1 Em particular o número de volts por espira é o mesmo para cada enrolamento ou V1 N1 V2 N2 e a quantidade de ampèreespira é a mesma para cada enrolamento ou N1I1 N2I2 Seção 911 Circuitos elétricos 384 Book Nilsson 2indb 384 290116 1422 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Tabela 93 Impedancia e valores relacionados IOC etKN Impedancia Z Creer Admitancia Y Susceptancia Resistor R resisténcia G condutancia Capacitor J1C LaC JoC wC Indutor joL oL J1L loL Problemas Secao 91 91 Umacorrente senoidal é dada pela expressdo a esquerda se a expressdo para vt for i 125 cos 800t 3687 mA 25 sen 400at V Determine a fem hertz b Tem milissegun 94 Uma tens4o senoidal é igual zero em f dos c 3 d i0 e dem graus e radianos 403 ms e aumenta a uma taxa de 7507 Vs f o menor valor positivo de t em que i0e A amplitude maxima da tensao 50 V g o menor valor positivo de tem que didt0 a Qual é a frequéncia de v em radianos por 92 Desenhe em um tinico grafico v 100 cos segundo wt em funcao de wt para 90 45 b Qual é a expressao para v 0 45 e 90 95 Sabese queem 5 ms uma corrente senoi a Determine se a fungao tensao desloca dal é igual zero e esta diminuindo O proximo se para a direita ou para a esquerda a zero da corrente acontece em t 25 ms Sabe medida que se torna mais negativo se também que a corrente 50 mA em t0 b Qual é a direcéo do deslocamento se a Qual é a frequéncia de i em hertz assa de 0 para 45 93 C P d fo dal b Qual é a expressao para i onsidere a tensdo senoida 95 400at 60 V 96 O valor eficaz da tensdo senoidal na tomada UD 25 cos 400c1 v de uma residéncia na Escécia é 240 V Qual é a Qual é a amplitude maxima da tensaio o valor maximo da tensao na tomada b Qual é a frequéncia em hertz 97 Determine o valor eficaz da tenséo senoidal nA de um retificador de meiaonda mostrado na c Qual é a frequéncia em radianos por 9 Figura P97 segundo Figura P97 d Qual é 0 angulo de fase em radianos g e Qual é 0 angulo de fase em graus v v Vmn sen t01T2 f Qual é 0 periodo em milissegundos Yn g Qual é a primeira vez apds t 0 que v0V t oe 0 T2 T 372 2T h A fungao senoidal é deslocada 56 ms para a direita ao longo do eixo do tempo 98 Demonstre que 5 i Qual é a expresso para ut fot T Var i Qual é 0 valor minimo de milissegundos V2 coswt odt 5 de que a fungdo deve ser deslocada para 0 Circuitos elétricos Secao 92 99 A tensao aplicada ao circuito mostrado na 910 a Verifique se a Equacdo 99 é a solugao da igura 95 em t 0 é 75 cos 4000 uacdo 98 Isso pode ser feito substi Figura 95 075 4000t 60 V Equagao 98 Isso pod fei bsti A resisténcia do circuito é 400 0 e a corrente tuindose a Equagao 99 no lado esquerdo da inicial no indutor de 75 mH é igual a zero Equagao 98 e entao observando se o resul a Determine it para t 0 tado é igual ao do lado direito para todos b Escreva as express6es para as componen os valores de t 0 Em 0 a Equagao 99 tes transitérias e de regime permanente deve reduzirse ao valor inicial da corrente de it b Visto que a componente transitéria desa c Determine o valor numérico de i depois parece com o passar do tempo e que nossa de a chave estar fechada por 750 ps solugao deve satisfazer a equacao diferen d Quais séo a amplitude maxima a fre cial para todos os valores de t a compo quéncia em radianos por segundo e nente de regime permanente por si tam o Angulo de fase da corrente de regime bém deve satisfazer a equacao diferencial permanente Verifique essa observacgdo mostrando que e De quantos graus é a defasagem entre a a componente de regime permanente da tensdo eacorrente de regime permanente Equagao 99 satisfaz a Equagao 98 Secoes 9394 911 Use 0 conceito de fasor para combinar as de um capacitor a corrente resultante de seguintes fungdes senoidais em uma tnica regime permanente tem amplitude maxima expressao trigonométrica de 62832 wA a y30cos200t 160 15 cos200t 70 a Qual é a frequéncia da corrente em radia b y90 sen50r 20 60 cos200r 70 nos por segundo c y 50 cos5000r 60 25 sen50001 b Qual é 0 angulo de fase da corrente 110 75 cos5000t 30 e c Qualéareatancia capacitiva do capacitor d y10 cos wt 30 10 sen wt d Qual é a capacitaéncia do capacitor em i 10 coswt 150 microfarads as ae wo 912 Uma tensao senoidal de 400 Hz com ampli e Qual a impedancia do capacitor tude maxima de 100 V em r0 é aplicada aos 914 As express6es para a tensao e a corrente de terminais de um indutorA amplitude maxima regime permanente nos terminais do circuito da corrente de regime permanente no indutor da Figura P914 sao 620A v 300 cos 5000zt 78 V a Qual é a frequéncia da corrente no i 6 sen 5000at 123 A indutor a Qual é a impedancia vista pela fonte b Se o angulo de fase da tens4o for igual a b De quantos microssegundos a defasa zero qual sera o Angulo de fase da corrente gem entre a corrente e a tensao c Qual é a reatancia indutiva do indutor Figura P914 d Qual é a indutancia do indutor em ly milihenrys e Qual é a impedancia do indutor Us Circuito 913 Uma tensdo senoidal de 80 kHz tem Angulo de fase nulo e amplitude maxima de 25 mV Quando essa tensdo é aplicada aos terminais Seções 9596 915 Um resistor de 25 V um indutor de 50 mH e um capacitor de 32 mF estão ligados em série Os elementos ligados em série são energiza dos por uma fonte de tensão senoidal cuja tensão é 25 cos 500t 60 V a Desenhe o circuito equivalente no domí nio da frequência b Referencie a corrente na direção da ele vação da tensão na fonte e determine o fasor corrente c Determine a expressão de regime perma nente para it 916 Um resistor de 25 V e um indutor de 10 mH estão ligados em paralelo Essa combinação tam bém está em paralelo com a combinação em série de um resistor de 30 V e um capacitor de 10 mF Os três ramos em paralelo são excitados por uma fonte de corrente senoidal cuja expres são é 125 sen2500t 60 A a Desenhe o circuito equivalente no domí nio da frequência b Referencie a tensão na fonte de corrente como uma elevação no sentido da cor rente da fonte e determine o fasor tensão c Determine a expressão de regime perma nente para vt 917 Três ramos com impedâncias de 3 j4 V 16 j12 V e j4 V respectivamente estão ligados em paralelo Quais são a a admitância b a condutância e c a susceptância em milissie mens equivalentes da ligação d Se os ramos em paralelo forem excitados por uma fonte de corrente senoidal em que i 8 cos vt A qual será a amplitude máxima da corrente no ramo puramente capacitivo 918 a Mostre que a uma dada frequência v os circuitos na Figura P918a e b terão a mesma impedância entre os terminais ab se R1 v2L2 2R2 R2 2 v2L2 2 L1 R2 2L2 R2 2 v2L2 2 b Determine os valores de resistência e indutância que quando ligados em série terão a mesma impedância a uma frequên cia de 4 krads que a de uma conexão em paralelo de um resistor de 5 kV e de um indutor de 125 H Figura P918 R1 a b L1 a b a b R2 L2 919 a Mostre que a uma dada frequência v os circuitos na Figura P918a e b terão a mesma impedância entre os terminais ab considerandose que R2 R2 1 v2L2 1 R1 L2 R2 1 v2L2 1 v2L1 Sugestão os dois circuitos terão a mesma impedância se tiverem a mesma admitância b Determine os valores de resistência e indutância que quando ligados em para lelo terão a mesma impedância a uma frequência de 1 krads que a de uma cone xão em série de um resistor de 8 kV e de um indutor de 4 H 920 a Mostre que a uma dada frequência v os circuitos na Figura P920a e b terão a mesma impedância entre os terminais ab se C1 1 v2R2 2C2 2 v2R2 2C2 R1 R2 1 v2R2 2C2 2 b Determine os valores de resistência e capacitância que quando ligados em série terão a mesma impedância a uma frequência de 40 krads que aquela da conexão em paralelo de um resistor de 1000 V e de um capacitor de 50 nF Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 9 Análise do regime permanente senoidal 387 Book Nilsson 2indb 387 290116 1422 Circuitos elétricos Figura P920 Figura P923 a a f128 0 a e Ry R G 60 j120 C Yap 50 j100 RQ 340 b b b a b 1360 921 a Mostre que a uma dada frequéncia OS 924 a Para o circuito mostrado na Figura P924 circuitos na Figura P920a e b terao a Pspice determine a frequéncia em radianos por As oo Multisi As 4 mesma impedancia entre os terminais ab si segundo em que a impedancia Z é pura considerandose que mente resistiva R 1 wRiCi b Determine o valor de Z na frequéncia 2 ee RC determinada no item a Figura P924 Go 20 uF A o R2C p ae Sugestéo os dois circuitos teréo a mesma impedancia se tiverem a mesma 200 0 400 mH admitancia b Determine os valores de resisténcia e b capacitancia que quando ligados em P A d 6 as 925 a Usando os valores dos componentes do paralelo daréo a mesma impedancia a ys As apéndice H combine pelo menos um uma frequéncia de 50 krads que a de as resistor um indutor e um capacitor em uma conexdo em série de em resistor de a a 1kQ ede um capacitor de 40 nF série para criar uma impedancia de 300 Ps oo j400 0 a uma frequéncia de 10000 rads 922 Determine a impedancia Z no circuito da Figura P922 Expresse Z em forma polar e b Em que frequéncia 0 circuito da parte a também em forma retangular tem uma impedancia que é puramente resistiva Figura P922 926 a Usando os valores dos componentes do sq JO apéndice H combine pel a p pelo menos um resistor e um indutor em paralelo para 100 7200 criar uma impedancia de 40 j20 0 a uma frequéncia de 5000 rads Sugestdo use os Lap resultados do Problema 919 a j160 400 b Usando os valores dos componentes do 80 80 0 apéndice H combine pelo menos um b resistor e um capacitor em paralelo para criar uma impedancia de 40 j20 Qa 923 Determine a admitancia Y no circuito visto uma frequéncia de 5000 rads Sugestdo na Figura P923 Expresse Y em forma polar use 0 resultado do Problema 921 e também em forma retangular Determine o 927 a Usando os valores dos componentes do valor de Y em milissiemens apéndice H determine um tnico capacitor Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal ou uma rede de capacitores que quando 931 a Para o circuito mostrado na Figura P931 combinados em paralelo com 0 circuito Pspice determine a expressdo de regime perma RL do Problema 926a resulta em uma Multisim pente para U se i 25 cos 500001 mA impedancia equivalente que é puramente b De quantos microssegundos é a defasa resistiva a uma frequéncia de 5000 rads gem entre UV i o 8 b Usando os valores dos componentes do Figura P931 apéndice H determine um Unico indutor 1000 ou uma rede de indutores que quando combinados em paralelo com o circuito RC do Problema de 926b resulta em uma it 4mH 80nF 5000 Yo impedancia equivalente que é puramente resistiva a uma frequéncia de 5000 rads 928 Determine a expressdo de regime permanente 932 Determine I e Z no circuito da Figura P932 Pspice para it no circuito da Figura P928 se v seV 250 Vel 590 A Multisim 80 cos 2000r V Figura P932 Figura P928 3kO 100 nF j30 j20 ino v 1Q 750 Us 500 mH TE I j30 4Q 929 Ocircuito da Figura P929 esta em regime 933 Determine o valor de Z no circuito visto na Pspice permanente senoidal Determine a expressAo Figura P933 se V 100 j50 V I 30 Multis de regime permanente para Ut se V 60 720 Ae V 140 j30V sen 80001 V Figura P933 Figura P929 3125 mH 200 120 jl6QO Ug 500 5 uF vs 2 VRj100 Or 930 O circuito da Figura P930 esta em regime 934 Determine a expressdo de regime permanente Pspice permanente senoidal Determine itse v para UV no circuito da Figura P934 se i 60 Multisim eo es 25 sen 4000 V cos 10000 mA Figura P930 Figura P934 50 100 a 500 2 uF Us 25mH 2200 125 uF lg 10 mH 1000 Vo Circuitos elétricos 935 O circuito mostrado na Figura P935 esta em Figura P938 regime permanente senoidal Determine o 100 mH valor de w se i 40 sen wt 2187 mA v 40 cos wt 15 V g Ct 4800 3125 WF 2000 Figura P935 6002 32H 939 A frequéncia da fonte de tensao senoidal no to Pspice circuito na Figura P939 é ajustada até que i Ys 25 WF Multisim figue em fase com v a Qual é o valor de w em radianos por segundo 936 Ofasor corrente Ino circuito da Figura P936 Pspice 6 250 mA b Sev 15 cos wt V onde w é a frequéncia Multisim determinada em a qual é a expressio a Determine I1 e I de regime permanente para i b se o 1500 rads determine as expres Figura P939 sdes para i tit it LkO Figura P936 maha ig 10000 8 240 0 j250093 j10000 I Ug 625 nF Wd i Cs0v mH 500 2000 940 a A tensdo da fonte no circuito da Figura 937 A frequéncia da fonte de tensao senoidal no Pspice P940 é v 40 cos 10004 V Determine os uN ican circuito da Figura P937 é ajustada até que a Multisim valores de L em que i fica em fase com vy corrente i fique em fase com U quando 0 circuito estiver em regime a Determine a frequéncia em hertz permanente b Determine a expressao de regime perma b Para os valores de L encontrados em a nente para i na frequéncia encontrada determine as expressdes de regime per em a se V 90 cos wt V manente para i Figura P937 Figura P940 500 0 200 0 5000 1 ae i we Vg 200 mH 1 pF g Ug 25000 L 938 a A frequéncia da fonte de tensdo no circuito Pspice na Figura P938 é ajustada até que v fique 941 Ocircuito da Figura P941 esta em regime mre em fase com i Qual é 0 valor de em Pspice permanente senoidal O capacitor é ajustado radianos por segundo Multisim até que a corrente i fique em fase com a ten b Sei 60 cos ot mA onde w é a frequén sao senoidal v cia determinada em a qual é a expres a Especifique a capacitancia em microfa sao de regime permanente para v rads se V 80 cos 50001 V Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal b Calcule a expresséo de regime perma 942 Determine Z para o circuito mostrado na nente para i quando C tiver o valor Figura P942 determinado em a Figura P942 Figura P941 C 10 jla oe oun 10kO 10 10 10 a j10 J b Secao 97 943 A fonte de tensao senoidal no circuito da Figura Figura P945 P943 fornece uma tensdo de 50 sen 400t V j400 0 a Determine a tensao de Thévenin em rela a cao aos terminais ab b Determine a impedancia de Thévenin em 1200 ma 2500 500 0 relacdo aos terminais ab 71500 b c Desenhe o equivalente de Thévenin Figura P943 946 Determine o circuito equivalente de Norton 3200 a em relacdo aos terminais ab no circuito da Figura P946 Ve 3125 uF 400 mH Figura P946 a b j20 0 400 200 944 Use transformacoes de fonte para deter minar 0 circuito equivalente de Norton em relagdo aos terminais ab para 0 circuito da 04 702 60 Figura P944 b Figura P944 300 300 ae J 947 Odispositivo na Figura P947 é representado a no dominio da frequéncia por um equiva lente de Thévenin Quando um resistor com 18090 V 150 uma impedancia de 200 Q é ligado ao dis positivo o valor de I tornase 150 j150 b mA Quando um indutor com uma impedan cia de j200 é ligado ao dispositivo o valor 945 Use transformacoes de fonte para determinar de V tornase 40 740 V Determine a 0 circuito equivalente de Thévenin em relacao tensao de Thévenin Vy e a impedancia de aos terminais ab para o circuito da Figura P945 Thévenin Z Circuitos elétricos Figura P947 a Determine o valor de a de modo que a i impedancia de Thévenin vista a partir dos of terminais ab seja puramente resistiva Vo b Qual é o valor da impedancia de Théve nin para o a determinado em a c Podese ajustar a de modo que a impedan cia de Thévenin seja igual a 500 j500 948 Determine 0 equivalente de Norton em relagao Se for possivel qual sera o valor de a aos terminais ab no circuito da Figura P948 d Para quais valores de a a impedancia de Figura P948 Thévenin sera indutiva 5V 109 Figura P951 Vy 100 pF a 40 j40 V 10 j100 vs 1kO ava b b 949 Determine o circuito equivalente de Thévenin em relacdo aos terminais ab para 0 circuito 952 Determine Z no circuito da Figura P952 da Figura P949 quando o circuito esta funcionando a uma fre Figura P949 quéncia de 100 krads Figura P952 200 0a 500 9 a 400 nF Si ae 25002 V 003V 1 j1009 V CS 600 wH ist 300 b 950 Determine o circuito equivalente de Norton em relagao aos terminais ab para o circuito 953 Determine a impedancia de Thévenin vista da Figura P950 quando V 50 V a partir dos terminais ab do circuito da Figura P950 Figura P953 se a frequéncia de operacao for 257 kHz 200 0 7500 2577 4 Figura P953 39 i Vs 881 1002 Vo 25 0Fs 4k a 5 nF ae 5 7 33 kO 951 Ocircuito da Figura P951 esta funcionando 900 a uma frequéncia de 10 rads Suponha que b a seja real e esteja entre 10 e 10 isto é 10a10 Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal Secao 98 954 Use o método das tensdes de né para deter 957 Use 0 método das tensGes de né para deter minar V no circuito da Figura P954 Pspice minar a expressao de regime permanente para Multisim soe Figura P954 vt no circuito da Figura P957 se j100 j100 U 25 sen 400 14313 V Uy 1803 cos 400 3369 V Figura P957 2400 V 500 Vo 300 50 uF 50 mH 955 Use ométodo das tensdes de né paradetermi vg Uo 1500 V9 nar a tensao fasorial V no circuito da Figura P955 Figura P955 958 Use 0 método das tensGes de né para deter j40 minar o fasor tensdo V no circuito da Figura vie P958 Expresse a tensao nas formas polar e js retangular 120 Figura P958 fAQD In j8 0 Vo 350 1 1010 241 956 Use o método das tensdes de né para deter Pspice minar a expressdo de regime permanente para Multisim oe i no circuito visto na Figura P956 se i 5 cos 2500r A e U 20 cos 2500t 90 V 959 Use o método das tensées de no para deter Figura P956 minar Ve I no circuito da Figura P959 100 wF Figura P959 j250 1 i Ye t 50 wF 10 120 Ct oj13ma 500 1 201 50 OVoR j25 0 i i g 16 mH Ug Secao 99 960 Use 0 método das correntes de malha para 961 Use 0 método das correntes de malha para determinar o fasor corrente I 2 no circuito da determinar a expressdo de regime perma Figura P955 nente para Uf no circuito da Figura P957 Circuitos elétricos 962 Use 0 método das correntes de malha para Figura P963 determinar as correntes de ramo II 1 e 1 625 nF 4000 no circuito da Figura P962 Figura P962 10 A Va Vo 25 mH Ub 964 Use 0 método das correntes de malha para Pspice determinar a expressao de regime perma Multisim nente para v no circuito da Figura P964 se I v for igual a 75 cos 5000 V 100 V 10 50 v Figura P964 in 4 oF 4mH 963 Use 0 método das correntes de malha para determinar a expressdo de regime permanente 110 mH para U no circuito da Figura P963 se Vg 109 Sv v 18 sen 4000r V 100 in VU 12 cos 40002 V Secoes 95 a 99 965 Use o conceito da divisdo de tens4o para 967 No circuito da Figura P967 suponha que ween determinar a expressdo de regime perma V 20 cos2000t 3687 V i vente para Ut no circuito da Figura P965 v 10 cos5000t 1626 V se U 120 cos 100000rV a Qual éa técnica de anilise de circuitos que Figura P965 deve ser utilizada para determinar a expres x 9 12kO 3125 nF 80 mH sao de regime permanente para vt b Determine a expressao de regime perma nente para Uf Uv 8 24 kO Figura P967 tu 100 pF 966 Use 0 conceito da divisdo de corrente para Pspice determinar a expresso de regime perma v 100 v Multisim wo Yo nente para i no circuito da Figura P966 se i 60 cos 250 mA Figura P966 968 No circuito da Figura P963 suponha que v 10 cos 16000t V ig Vv 20 cos 4000 V a Qual éa técnica de anidlise de circuitos que 8 deve ser utilizada para determinar a expres 200 800 mH sdo de regime permanente para it b Determine a expressao de regime perma nente para i Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal 969 A fonte de tensao senoidal no circuito mos 972 Oamp op no circuito visto na Figura P972 é Pspice trado na Figura P969 esta gerando a tensao Pspice ideal Determine a expressao de regime per Multisim U 20 cos 5000t V Se o amp op for ideal Multisim manente para vt quando UV 2 cos 10t V qual sera a expressAo de regime permanente Figura P972 t para v1 100 kO Figura P969 2000 4000 4000 Say 5kO r 5V 6V v 100 pF 40 kO Ug 05 pF v 27kO 970 O capacitor de 05 wF no circuito visto na 0 eee eer oneaa hy Pspice Figura P969 é substituido por um capacitor Wiutisim trace na jeura ideal tensao ca Multisim es fonte senoidal ideal v 30 cos 10 V variavel O capacitor é ajustado até que a ten 8 sdo de saida esteja 135 adiantada em relagao a Qual é o menor valor que C pode alcan a tensdo de entrada car antes de a tensdo de saida de regime a Determine o valor de C em microfarads permanente nao ter mais uma forma de idal b Escreva a expresséo de regime perma onda puramente senoidal nente para Ut quando C tiver o valor b Escreva a expresséo de regime perma determinado em a nente para v usando o valor de C deter 971 Oamp op no circuito da Figura P971 é ideal minado em a Ween a Determine a expressio de regime perma Figura P973 nente para U 10 nF b De quanto pode ser a amplitude de v antes que o amplificador sature 100 0 Figura P971 6V 250 40 kO 6V 80 kO Ug C Uo 1000 80 kO 10V ve 20k Uo Vg 25 cos 500001 Vi v Secao 910 974 O valor de k no circuito da Figura P974 é Figura P974 ajustado de modo que Z seja puramente 20 0 k 50 a resistiva quando w4 krads Determine Z el 125 mH 8 mH 125 wF b Circuitos elétricos 975 Para o circuito da Figura P975 determine o frequéncia de 200 krads O coeficiente de aco circuito equivalente de Thévenin em relacdo plamento é ajustado até que o valor de pico aos terminais cd de i seja maximo Figura P975 a Qual é 0 valor de k 50 j200 450 b Se v 560 cos2 X 10r V qual é a ampli e le tude maxima de i 425 0 j125 0 Figura P977 V rms d 150Q 500 k 100Q 2000 i ee 976 a Determine as expressées de regime perma Ys ImH 4mH 125 nF Pspice nente para as correntes e no circuito da multisim Figura P976 quando v 168 cos 800f V b Determine o coeficiente de acoplamento 978 Acombinacio em série de um resistor de 60 0 c Determine a energia armazenada nos eum indutor de 50 mH esta ligada a uma fonte enrolamentos magneticamente acopla de tens4o senoidal por meio de um transfor dos em t 6257 ps t 12507 ps mador linear A fonte esta funcionando a uma Figura P976 frequéncia de 400 rads Nessa frequéncia a impedancia interna da fonte é 10 j1275 Q so 100 mH O valor eficaz da tensdo nos terminais da fonte é 75 V Os parametros do transformador vg 100 mH 400 mH 2400 linear sio R 8340 L 90mH R 1000 e L250 mH e M 135 mH a Qual é 0 valor da impedancia refletida no oo primario 977 A fonte de tensao senoidal no circuito visto Pspice na Figura P977 esta funcionando a uma b Qual 0 valor da impedancia vista a par Multisim tir dos terminais da fonte pratica Secao 911 979 A primeira vista pode parecer pela Equacao b Mostre que se a polaridade do terminal 969 que uma carga indutiva poderia fazer de qualquer um dos enrolamentos for com que a reatancia vista a partir dos ter invertida minais do primario isto é X parecesse N2 capacitiva No entanto por intuicgdo sabemos Zap 7 Z que isso impossivel Mostre que X nunca podera ser negativase X for uma reatancia Figura P980 indutiva a 980 a Mostre que aimpedancia vista a partir dos terminais ab do circuito na Figura P980 é I N dada pela expressio d Lab e N alt Zab 1 x Zi N b Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal 981 a Mostre que a impedancia vista a partir dos Figura P981 terminais ab do circuito na Figura P981 e é dada pela expressAo NB r ZL d Zab 7 N a e 1 x i N Lab N2 b Mostre que se a polaridade dos termi b nais de qualquer um dos enrolamentos ao oo 982 Determine a impedancia Z no circuito da for invertida abe z Figura P982 se Z 200 45 Za Figura P982 Ni iy Ny e 501 120 m GI Ideal Ideal b Secao 912 983 Usando um diagrama fasorial mostre 0 que minima Qual sera a reatancia capacitiva Pspice acontece ao médulo e ao Angulo de fase da Qual sera 0 valor de V MuSIM tensdo VU no circuito da Figura P983 a ensao o 8 oo c Determine o valor da reatancia capacitiva medida que R varia de zero até o infinito que mantém a magnitude de I a menor A amplitude e o angulo de fase da tens4o 2 possivel e que ao mesmo tempo faca na fonte sAo mantidos constantes enquanto R varia V V 240 V Figura P983 985 a Para o circuito mostrado na Figura P985 R calcule Ve V Ri b Construa um diagrama fasorial para mos vVcos wt C trar a relagdo entre V V e a tensdo de carga de 2400 V c Repita as partes a e b considerando Ry que a tenséo da carga permanega cons tante em 2400 V quando uma reatan 984 Os pardmetros do circuito mostrado na Figura cia capacitiva de 5 2 é ligada aos termi 953 sto R 01 O oL 08 O R 24 O nais da carga oL 320e Vi 240 70 V Figura P985 a Calcule o fasor tensao V Vv b Ligue um capacitor em paralelo com o 010 jO8Q indutor mantenha V constante e ajuste Vs 240 0 V38 QO JOQ j5 Ore o capacitor até que a magnitude de I seja 4 Circuitos elétricos Secoes 91 a 912 986 Como engenheiro formado pode ser que c Explique por que o relégio e o televisor g P q pique por q g vocé tenha a oportunidade de trabalhar como nao foram afetados pelo curtocircuito perito em ac6es judiciais que envolvam danos momentaneo que queimou 0 fusivel A a propriedade ou a pessoas Como um exem d Suponha que o motor do ventilador esteja plo desse Uupo de problema para qual sua equipado com um disjuntor termoelé opinido profissional pode ser solicitada leve trico projetado para interromper o cit em conta o seguinte evento Ao final de um cuito do motor se a corrente no motor dia de trabalho no campo um fazendeiro tornarse excessiva Vocé esperaria que 0 volta a sede da fazenda verifica 0 galpaio de disjuntor funcionasse Explique confinamento de suinos e percebe para sua consternagao que os animais estaéo mortos e expan Por an ee nao queima Verificouse que a origem do problema foi a quanco motor clo ventilador para queima de um fusivel que provocou a parada Figura P986 do motor de um ventilador de 240 VA falta de Fusivel A 100 A 30 A ventilacdo resultou na morte dos animais por Curtocircuito I ua ik asfixia O fusivel queimado esta localizadono 159 10 momentiineo ly 6 bh 75 quadro geral a partir do qualtodaafazenda V C aueima ol 5A 840 ar i 2 é alimentada Antes de pagar a indenizacao a fusivel A companhia seguradora quer saber se os circui ra 7630 Ol tos elétricos da fazenda estavam funcionando eo Is adequadamente Os advogados da seguradora Bb ISA Motor do estao intrigados porque a esposa do fazen 7 ventilador Fusivel B 100 A deiro que estava em casa no dia do acidente convalescendose de uma pequena cirurgia 987 Calcul d I assistiu a televisdo durante a tarde Além disso a a cule as correntes de ramo 1l No cir do ela foi até inh Perspectiva cuito da Figura P958 quando ela foi até a cozinha para preparar o Pratica jantar o reldgio elétrico indicava a hora certa b Determine a corrente no primario I Os advogados contrataram vocé para explicar 988 Suponha que a resisténcia de 40 no circuito 1 por que o reldgio elétrico da cozinhae o Perspectiva de distribuigaéo da Figura P958 seja substitu aparelho de televisdo da sala de estar continu Pratica fda por uma resisténcia de 20 22 aram funcionando ap6s a queima do fusivel a Calcule novamente a corrente de ramo nachave gerale 2 por que o segundo fusivel da no resistor de 2 0 L chave geral néo queimou ap6os a parada do b leul motor do ventilador Apos averiguar as cargas Ca cule novamente a corrente no prima existentes no circuito trifasico de distribuicgéo m0 I antes da interrupgéo do fusivel A vocé tem c Tomando suas respostas como base é condicgdes de desenhar 0 modelo de circuito desejavel que a resisténcia das duas car mostrado na Figura P986 As impedancias gas de 120 V seja igual dos condutores sao consideradas despreziveis 989 Umcircuito residencial é mostrado na Figura Perspectiva P989 Nesse modelo o resistor R é usado a Calcule as correntes de ramo LL L L Pratica jel lerrodomésti 3 I e I antes da queima do fusivel A Para mocelar unr erelrodomesnco que une ciona em 250 V por exemplo um forno elé b Calcule as correntes de ramo apos a x trico e os resistores R e R sdo usados para queima do fusivel A Suponha que o ots modelar eletrodomésticos que funcionam em motor que parou comportese como um a 125 V por exemplo uma lampada uma curtocircuito Capitulo 9 e Andalise do regime permanente senoidal torradeira e um ferro elétrico Os ramos que possa ser interrompido enquanto os con conduzem I e I estéo modelando o que os dutores vivos continuam energizados eletricistas chamam de condutores vivos do Figura P989 circuito e 0 ramo que transporta I esta mode I I lando o condutor neutro Nossa finalidade ao r Sg an re 0020 70020 analisar o circuito é mostrar a importancia 1250 V Vis Ri do condutor neutro para o funcionamento fat aes a 7003 O satisfatorio do circuitoEscolhao método para 10 kV R33V3 analisalo dean 0030 Idea o 1250 V a Mostre que I é igual a zero se R R Vog Ro 0020 j002 0 b Mostre que V Vse R R OR c Interrompa o ramo neutro e calcule V e Vse R 40 Q R 400 De R8 QO 990 a Determine a corrente no primarioI para d Torne a ligar o condutor neutro e repita c ata c e d no Problema 989 ratica e Tomando seus calculos como base expli b Suas respostas fazem sentido em termos que por que nunca se colocam fusiveis no do comportamento conhecido de circui condutor neutro de tal maneira que ele tos elétricos SUMÁRIO DO CAPÍTULO 101 Potência instantânea 102 Potência média e potência reativa 103 Valor efi caz e cálculos de potência 104 Potência complexa 105 Cálculos de potência 106 Máxima transferência de potência Cálculos de potência em regime permanente senoidal 10 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Entender os seguintes conceitos de potência em circuitos ca as relações entre eles e como calculálos em um circuito potência instantânea potência média ativa potência reativa potência complexa e fator de potência 2 Entender a condição para máxima potência ativa fornecida a uma carga em um circuito ca e saber calcular a impe dância de carga necessária para fornecer a máxima potência ativa à carga 3 Saber calcular todas as formas de potência em circuitos ca com transformadores lineares e transformadores ideais A eletrotécnica evoluiu para uma das mais importantes subdisciplinas da engenharia elétrica A gama de pro blemas que trata do fornecimento de energia elétrica para produzir trabalho é considerável desde determinar a potência nominal para o funcionamento seguro e efi ciente de um eletrodoméstico até o projeto de vastos conjuntos de geradores transformadores e linhas de transmissão que fornecem energia elétrica a consumidores residenciais e industriais Praticamente toda energia elétrica é fornecida sob a forma de tensões e correntes senoidais Por isso após a discussão de circuitos em regime senoidal apresentada no Capítulo 9 agora parece apropriado analisar os cálculos de potência em regime permanente senoidal Nosso principal interesse é a potência média fornecida ou recebida por um par de terminais como resultado de tensões e correntes senoidais Outras grandezas como potência reativa Book Nilsson 2indb 400 290116 1422 potência complexa e potência aparente também serão abordadas O conceito do valor efi caz de uma senoide introduzido brevemente no Capítulo 9 é bastante pertinente para os cálculos de potência Começamos e terminamos este capítulo com dois conceitos que você deve conhecer muito bem de capítulos anteriores a equação básica para potência Seção 101 e a máxima transferência de potência Seção 106 Entre um e outro discutimos os processos gerais para analisar a potência que você também deve conhecer muito bem pelo estudo dos capítulos 1 e 4 embora neste capítulo sejam necessárias algumas técnicas matemáticas para lidar com sinais senoidais em vez de sinais cc Perspectiva prática Energia vampira No Capítulo 9 calculamos tensões e correntes de regime permanente em circuitos elétricos excitados por fontes senoidais Neste capítulo analisamos a potência em tais circuitos As técnicas que desenvolvemos são úteis para analisar muitos dos equi pamentos elétricos que encontramos diariamente porque fontes senoidais são os meios predominantes para o fornecimento de energia elétrica Mesmo quando não estamos usando muitos dos aparelhos elétricos comumente encontrados em nossas casas escolas e empresas eles ainda podem estar consumindo energia Essa energia em standby pode ser usada para alimentar um relógio interno carregar baterias exibir as horas e outras quantidades monitorar a temperatura e outras medidas ambientais ou captar sinais Aparelhos como forno de microondas DVR gravadores digitais de vídeo televisor controle remoto e computador con somem energia quando não estão em uso Os adaptadores ca usados para carregar muitos dispositivos portáteis são uma fonte comum de energia em standby Mesmo quando o aparelho está desconectado do adaptador este poderá continuar a consumir energia se estiver conectado à tomada na parede Os dois pinos no plugue do adaptador lembram dentes de vampiro por isso essa energia em standby fi cou conhecida como energia vampira É a energia consumida mesmo enquanto dormimos Quanta energia vampira é utilizada pelos aparelhos elétricos em nossa casa ao longo de um ano Existe um meio de reduzir ou eliminar a energia vampira Essas questões serão exploradas no exemplo da Perspectiva prática e nos problemas no fi nal do capítulo borissos fotolia katalinks fotolia magraphicseu fotolia Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 401 Book Nilsson 2indb 401 290116 1423 Circuitos elétricos 101 Poténcia instantanea Comegamos nossa andlise sobre a poténcia de circuitos em regime permanente senoidal com o conhecido circuito da Figura 101 Nesse circuito v e i sAo sinais senoidais de regime permanente Usando a convencAo passiva a poténcia em qualquer instante de tempo é pvi 101 Figura 101 Representacao em forma de Essa a poténcia instantanea Lembrese de que se o sentido de caixa preta de um circuito usado referéncia da corrente estiver no sentido da elevacdo de tensao a Equa para calcular poténcia As A cdo 101 deve ser escrita com um sinal negativo A poténcia instantanea i sera medida em watts quando a tensAo estiver em volts e a correnteem z ampéres Em primeiro lugar escrevemos express6es para U e i Vv VV cos wt 6 102 i1 cos wt 6 103 em que 6 o Angulo de fase da tensao e 6 o Angulo de fase da corrente Como estamos no regime permanente senoidal podemos escolher qualquer referéncia conveniente de Angulo para t 0 Engenheiros que projetam sistemas capazes de transferir grandes blocos de energia preferem usar como origem da contagem do tempo o instante em que a corrente esta passando por um maximo positivo Esse sistema de referéncia exige um deslocamento de 6 para ambas tensdo e corrente Assim as equag6es 102 e 103 tornamse vV cos wt 6 9 104 i COS wt 105 Quando substituimos as equacées 104 e 105 na Equagao 101 a expressdo para a potén cia instantanea tornase PV 1 COS wt 8 8 COS at 106 Poderiamos usar a Equagao 106 diretamente para determinar a poténcia média contudo com a simples aplicagao de algumas identidades trigonométricas podemos colocar a Equacao 106 em uma forma muito mais informativa Comecamos com a identidade trigonométrica 1 1 cosacos B 5 008 a B 5 008 a B para expandir a Equagao 106 considerando a wt 6 6 B wt temos Vial Vial p z 008 6 0 y 008 2ot 0 6 107 Agora usamos a identidade trigonométrica cos a B cos a cos Bsena sen B 1 Veja o item 8 do Apéndice F Capitulo 10 e Calculos de poténcia em regime permanente senoidal para expandir o segundo termo do lado direito da Equacao 107 0 que resulta em VL VL p 5 08 6 0 5 08 6 0 cos 2wt VL it sen 6 sen2wt 2 108 A Figura 102 retrata uma relagao representativa entre v i e p assumindose 6 60 e 6 0 Podese ver que a frequéncia da poténcia instanténea o dobro da frequéncia da tensdo ou corrente Essa observagéo também decorre diretamente do segundo e do terceiro termo do lado direito da Equagao 108 Por conseguinte a poténcia instantanea passa por dois ciclos completos para cada ciclo da tenséo ou corrente Observe também que a poténcia ins tantanea pode ser negativa em parte do ciclo ainda que a rede ligada aos terminais seja pas siva Em uma rede completamente passiva a poténcia negativa implica que a energia armaze nada nos indutores ou capacitores esta sendo extraida O fato de a poténcia instantanea variar ao longo do tempo para um circuito em regime permanente senoidal explica por que alguns equipamentos acionados por motor como os refrigeradores vibram e exigem suportes amor tecedores para evitar a vibragdo excessiva Agora estamos prontos para usar a Equacao 108 para determinar a poténcia média nos terminais do circuito da Figura 101 e ao mesmo tempo apresentar o conceito de poténcia reativa Figura 102 Poténcia instantanea tensdo e corrente em funcao de wt para um circuito em regime permanente senoidal v 1 p 3Vinlin 4 P P Vind Vin vf Us In 5 i I i I I I 0 ot On Anr radianos P P Vindin 4 1 i V uy o y 102 Poténcia media e poteéncia reativa Comegamos observando que a Equacao 108 tem trés termos que podemos reescrever da seguinte forma pPP cos 2ot Q sen 2eat 109 em que Q Vm I m 2 sen uv ui P Vm I m 2 cos uv ui 1010 Q Vm I m 2 sen uv ui P Vm I m 2 cos uv ui 1011 P é denominada potência média e Q potência reativa A potência média também é deno minada potência ativa porque descreve a potência que é convertida de uma forma elétrica para uma não elétrica Embora os dois termos sejam intercambiáveis neste livro usaremos de preferência o termo potência média É fácil ver por que P é denominada potência média A potência média associada a sinais senoidais é a média das potências instantâneas durante um período ou em forma de equação P 1 T t0T t0 p dt 1012 em que T é o período da função senoidal Os limites da Equação 1012 indicam que podemos iniciar o processo de integração em qualquer tempo t0 mas temos de concluílo exatamente um período depois Poderíamos integrar em nT períodos onde n é um inteiro contanto que multiplicássemos a integral por 1nT Poderíamos determinar a potência média substituindo a Equação 109 diretamente na Equação 1012 e então executar a integração Contudo observe que o valor médio de p é dado pelo primeiro termo do lado direito da Equação 109 pois a integral tanto de cos 2vt quanto de sen 2vt em um período é igual a zero Assim a potência média é dada pela Equação 1010 Podemos desenvolver melhor nosso entendimento de todos os termos da Equação 109 e as relações entre eles examinando a potência em circuitos puramente resistivos puramente indutivos ou puramente capacitivos Potência em circuitos puramente resistivos Se o circuito for puramente resistivo a tensão e a cor rente estarão em fase o que significa que uv ui Então a Equação 109 reduzse a p P P cos 2vt 1013 A potência instantânea expressa na Equação 1013 é denominada potência ativa instantânea A Figura 103 mos tra o gráfico da Equação 1013 para um circuito puramente resistivo típico admitindose que v 377 rads Por defini ção a potência média P é a média de p em um período Assim é fácil perceber que P 1 para esse circuito Note pela Equação 1013 que a potência ativa instantânea nunca pode ser negativa o que também é mostrado na Figura 103 Em outras palavras não é possível extrair potência de uma rede puramente resistiva Mais exatamente toda a energia elétrica é dissipada sob a forma de energia térmica Potência u média ativa Potência u reativa Figura 103 Potência ativa instantânea e potência média para um circuito puramente resistivo Tempo s 0 0005 001 0015 002 0025 15 10 20 Potência instantânea e potência média W 0 05 P p Circuitos elétricos 404 Book Nilsson 2indb 404 290116 1423 Capitulo 10 e Calculos de poténcia em regime permanente senoidal Poténcia em circuitos puramente indutivos Figura 104 Poténcia instantanea poténcia média e poténcia reativa para um circuito puramente indutivo Se 0 circuito for puramente indutivo a tensdo e a cor S rente em seus terminais estarao defasadas em exatamente 5 Q VAR 90 Em particular a corrente fica 90 atrasada em relacao a 10 tensao isto 6 0 6 90 assim 6 9 90 Entao a 5 05 VN fh expresso para a poténcia instantanea reduzse a 2 s pQ sen 2at 1014 g 9 s aall Em um circuito puramente indutivo a poténcia média 2 05 é igual a zero Portanto nao ocorre nenhuma transformacaéo 2 EM de energia elétrica para nao elétrica A poténcia instantanea 2 10 h nos terminais de um circuito puramente indutivo é continua 2 0 0005 001 0015 002 0025 mente permutada entre o circuito e a fonte que excita o cir Tempo s cuito a uma frequéncia de 2w Em outras palavras quando P positiva a energia esta sendo armazenada nos campos magnéticos associados aos elementos indutivos quando p é negativa a energia esta sendo extraida dos campos magnéticos Uma medida da poténcia associada a circuitos puramente indutivos a poténcia reativa Q A denominagao poténcia reativa devese a caracterizagéo de um indutor como elemento rea tivo sua impedancia é puramente reativa Observe que a poténcia média P e a poténcia reativa Q tém a mesma dimensao Para distinguir a poténcia média da poténcia reativa usamos a uni dade watt W para poténcia média e a unidade var voltamp reativo ou VAR para poténcia reativa A Figura 104 apresenta o grafico da poténcia instantanea para um circuito puramente indutivo tipico admitindose que w 377 rads e Q1 VAR Poténcia em circuitos puramente capacitivos Se 0 circuito entre os terminais for puramente capacitivo a tensdo e a corrente estarao defasadas em exatamente 90 Nesse caso a corrente fica 90 adiantada em relacdo a tensAo isto 0 8 90 assim 6 6 90 Entao a expresso para a poténcia instantanea tornase p Qsen 2at 1015 Figura 105 Poténcia ativa instantanea e poténcia média para um circuito puramente capacitivo Novamente a poténcia média é igual a zero portanto S 10 nao ha nenhuma transformagao de energia elétrica para nao 3 pW elétrica Em um circuito puramente capacitivo a poténcia é 5 05 continuamente permutada entre a fonte que excita 0 circuito Ss e o campo elétrico associado aos elementos capacitivos A 2 0 PW Figura 105 apresenta o grafico da poténcia instantanea para um circuito puramente capacitivo tipico admitindose que S 05 w 377 radss e Q 1 VAR gs Como Q positiva para indutores isto 6 6 90 2 10 e negativa para capacitores isto 6 6 90 os enge 8 nheiros eletricistas afirmam usualmente que indutores 2 15 absorvem energia reativa e capacitores fornecem energia 0 0005 001 0015 002 0025 reativa Mais adiante falaremos mais sobre essa convencéo Tempo s O fator de potência O ângulo uv ui desempenha um papel tanto no cálculo da potência média como no da potência reativa e é denominado ângulo do fator de potência O cosseno desse ângulo é deno minado fator de potência abreviado fp e o seno desse ângulo é denominado fator reativo abreviado fr Assim fp cos uv ui 1016 fr sen uv ui 1017 Conhecer o valor do fator de potência não nos revela o valor do ângulo do fator de potên cia pois cos uv ui cos ui uv Para descrever integralmente esse ângulo usamos as sen tenças descritivas fator de potência atrasado e fator de potência adiantado Fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à tensão daí uma carga indutiva Fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à tensão daí uma carga capacitiva Tanto o fator de potência quanto o fator reativo são quantidades conve nientes para uso na descrição de cargas elétricas O Exemplo 101 ilustra a interpretação de P e Q com base em um cálculo numérico Fator de u potência ExEMPlo 101 Cálculo da potência média e da potência reativa a Calcule a potência média e a potência reativa nos terminais da rede da Figura 106 se v 100 cos vt 15 V i 4 sen vt 15 A b A rede no interior da caixa está absorvendo ou fornecendo potência média c A rede no interior da caixa está absorvendo ou fornecendo energia reativa Solução a Como i é expressa em termos da função seno a primeira etapa no cálculo de P e Q é reescrever i como uma função cosseno i 4 cos vt 105 A Agora calculamos P e Q diretamente das equações 1010 e 1011 Assim Q 1 21004sen15 105 17321 VAR P 1 21004 cos 15 105 100 W b Observe na Figura 106 a utilização da convenção passiva Por isso o valor negativo de 100 W significa que a rede no interior da caixa está fornecendo potência média aos terminais c A convenção passiva significa que como Q é positiva a rede no interior da caixa está absorvendo energia reativa de seus terminais Figura 106 Par de terminais usado para calcular potência 1 2 v i Circuitos elétricos 406 Book Nilsson 2indb 406 290116 1423 Consumo de energia de eletrodomésticos2 A energia consumida pelos eletrodomésticos é especificada em termos da potência média A potência média nominal e o consumo médio anual estimado em quilowattshora de alguns eletrodomésticos comuns são apresentados na Tabela 101 Os valores de consumo de energia são obtidos estimandose o número de horas anuais de utilização dos eletrodomésticos Por exemplo uma cafeteira elétrica tem um consumo anual estimado de 140 kWh e uma potência média durante o funcionamento de 12 kW Consequentemente admitese que uma cafeteira seja utilizada durante 14012 ou 11667 horas por ano ou aproximadamente 19 minutos por dia O Exemplo 102 usa a Tabela 101 para determinar se quatro eletrodomésticos comuns podem estar em funcionamento ao mesmo tempo sem ultrapassar a capacidade de um circuito doméstico 1 N do RT Circuitos passivos sempre exibem ângulos de fator de potência menores que 90o no pri meiro e terceiro quadrantes O circuito dentro da caixa é ativo fornece potência ativa por isso o ângulo do fator de potência é superior a 90o Daí a sugestão para inverter o sentido da corrente e visualizar o problema da perspectiva da carga que estaria ligada à caixa recebendo potência ativa Objetivo 1 Entender conceitos de potência ca as relações entre eles e como calcular essas potências em um circuito 101 Para cada um dos seguintes conjuntos de tensão e corrente calcule a potência ativa e a potência rea tiva na linha que conecta as redes A e B no circuito mostrado Em cada caso verifique se o fluxo de potência é de A para B ou viceversa Além disso confirme se a energia reativa está sendo transferida de A para B ou viceversa a v 100 cos vt 45 V i 20 cos vt 15 A b v 100 cos vt 45 V i 20 cos vt 165 A c v 100 cos vt 45 V i 20 cos vt 105 A d v 100 cos vt V i 20 cos vt 120 A B A 1 2v i Resposta a P 500 W A para B Q 86603 VAR B para A b P 86603 W B para A Q 500 VAR A para B c P 500 W A para B Q 86603 VAR A para B d P 500 W B para A Q 86603 VAR B para A 102 Calcule o fator de potência e o fator reativo para a rede no interior da caixa na Figura 106 cujas tensão e corrente são descritas no Exemplo 101 Sugestão use i para calcular os fatores de potência e reativos1 Resposta fp 05 adiantado fr 0866 NOTA tente resolver também o Problema 101 apresentado no final deste capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 407 Book Nilsson 2indb 407 290116 1423 ExEMPlo 102 Cálculo da potência de eletrodomésticos Um circuito que alimenta as tomadas de uma cozinha residencial comum tem um condutor de 12 e é protegido por um fusível ou um disjuntor de 20 A Suponha que os seguintes eletrodomésticos de 120 V estejam em funcionamento ao mesmo tempo uma cafeteira um cozedor de ovos uma frigideira elé trica e uma torradeira O circuito será interrompido pelo dispositivo de proteção Solução Pela Tabela 101 a potência média total demandada pelos quatro eletrodomésticos é P 1200 516 1196 1146 4058 W A corrente total no dispositivo de proteção é Ief 4058 120 L 3382 A Sim o dispositivo de proteção interromperá o circuito TABELA 101 Consumo anual de energia de alguns eletrodomésticos Eletrodoméstico Potência média Consumo estimado em kWh por anoa Preparação de alimentos Cafeteira elétrica 1200 140 Lavadora de louça 1201 165 Cozedor de ovos 516 14 Frigideira elétrica 1196 100 Batedeira 127 2 Forno de microondas 1450 190 Fogão elétrico com forno 12200 596 Torradeira 1146 39 Lavanderia Secadora de roupas 4856 993 Máquina de lavar roupas automática 512 103 Aquecedor de água 2475 4219 de aquecimento rápido 4474 4811 Climatizadores de ambiente Arcondicionado quarto 860 860b Desumidificador 257 377 Ventilador circulador 88 43 Aquecedor portátil 1322 176 Saúde e beleza Secador de cabelo 600 25 Barbeador elétrico 15 05 Lâmpada de bronzeamento 279 15 continua Circuitos elétricos 408 Book Nilsson 2indb 408 290116 1423 Entretenimento Rádio 71 86 Televisão em cores de tubo 240 528 Do tipo estado sólido 145 320 Outros eletrodomésticos Relógio 2 17 Aspirador de pó 630 46 a Com base na utilização normal Quando usar esses números para fazer projeções fatores como o tamanho do eletrodoméstico específico a área geográfica de utilização e as diferenças individuais nos padrões de consumo devem ser levados em consideração Observe que as potências não devem ser somadas para determinada residência visto que normalmente os aparelhos não estão todos em funcio namento ao mesmo tempo b Com base em 1000 horas de funcionamento por ano Esse número pode variar muito dependendo da área e do tamanho específico da residência Consulte EEIPub 762 Air Conditioning Usage Study para ter uma estimativa para sua localização Fonte Edison Electric Institute NOTA avalie sua compreensão do material tentando resolver o Problema 102 apresentado no final deste capítulo Reproduzido com autorização de Edison Electric Institute 103 Valor eficaz e cálculos de potência Quando apresentamos o valor eficaz rms de uma tensão ou corrente senoidal na Seção 91 mencionamos que ele desempenharia um papel importante no cálculo de potências Agora podemos discutir esse papel Suponha que uma tensão senoidal seja aplicada aos terminais de um resistor como mostra a Figura 107 e que precisamos determinar a potência média fornecida ao resistor Pela Equação 1012 1 R c 1 T t0T t0 Vm 2 cos 2vt fvdt d P 1 T t0T t0 Vm 2 cos 2vt fv R dt 1018 Comparando a Equação 1018 com a Equação 95 percebemos que a potência média for necida a R é simplesmente o valor eficaz da tensão ao quadrado dividido por R ou P Vef 2 R 1019 Se o resistor estiver conduzindo uma corrente senoidal digamos Im cos vt fi a potên cia média fornecida ao resistor será P I ef 2 R 1020 Figura 107 T ensão senoidal aplicada nos terminais de um resistor 1 2 Vmcos vt 1 uv R continuação Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 409 Book Nilsson 2indb 409 290116 1423 O valor eficaz da tensão ou corrente senoidal também chamado de valor rms tem uma propriedade interessante dados uma carga resistiva equivalente R e um período de tempo equi valente T o valor eficaz de uma fonte senoidal fornece a R a mesma energia que uma fonte cc de mesmo valor Por exemplo uma fonte cc de 100 V fornece a mesma energia em T segundos que uma fonte senoidal de 100 Vef admitindose resistências de carga equivalentes veja o Problema 1012 A Figura 108 ilustra essa equivalência No que concerne à energia o efeito das duas fontes é idên tico Esse fato levou ao uso dos termos valor eficaz e valor rms como equivalentes A potência média dada pela Equação 1010 e a potência reativa dada pela Equação 1011 podem ser escritas em termos de valores eficazes Vef Ief cos uv ui Vm 2 Im 2 cos uv ui P VmIm 2 cos uv ui 1021 e por manipulação semelhante Q VefIefsenuv ui 1022 A utilização do valor eficaz de tensões e correntes senoidais em cálculos de potência é tão ampla que os valores nominais de tensões e correntes de circuitos e equipamentos elétricos são dados em termos de valores eficazes Por exemplo a tensão nominal para uso residencial costuma ser 240 V ou 120 V Esses níveis de tensão são os valores eficazes das tensões senoidais fornecidas pela concessionária de energia elétrica que fornece energia em dois níveis de ten são para servir a eletrodomésticos de baixa tensão como televisores e a eletrodomésticos de tensão mais elevada como fogões elétricos Lâmpadas elétricas ferros de passar e torradeiras são eletrodomésticos que apresentam valores nominais de tensão e corrente eficazes em suas plaquetas de identificação e informação Por exemplo uma lâmpada de 120 V 100 W tem uma resistência de 1202100 ou 144 V e conduz uma corrente eficaz de 120144 ou 0833 A O valor de pico da corrente da lâmpada é 08332 ou 118 A A transformada fasorial de uma função senoidal também pode ser expressa em termos do valor eficaz A magnitude do fasor eficaz é igual ao valor eficaz da função senoidal Quando um fasor é expresso em termos do valor eficaz indicamos isso por uma declaração explícita um ef entre parênteses adjacente à quantidade do fasor ou um ef subscrito como na Equação 1021 No Exemplo 103 ilustramos a utilização de valores eficazes para calcular a potência Figura 108 Valor eficaz de vs 100 Vef fornece a R a mesma potência que uma fonte de tensão cc Vs 100 Vcc 1 2 Vs 5 100 V cc R R 1 2 vs 5 100 V ef ExEMPlo 103 Determinação da potência média fornecida a um resistor por uma fonte de tensão senoidal a Uma tensão senoidal com uma amplitude máxima de 625 V é aplicada aos terminais de um resistor de 50 V Determine a potência média fornecida ao resistor b Repita a determinando em primeiro lugar a corrente no resistor Circuitos elétricos 410 Book Nilsson 2indb 410 290116 1423 104 Potência complexa Antes de passarmos para os vários métodos de cálculo das potências ativa e reativa em cir cuitos que operam em regime permanente senoidal precisamos apresentar e definir a potência complexa A potência complexa é a soma complexa das potências ativa e reativa ou S P jQ 1023 Como veremos é possível calcular a potência complexa diretamente dos fasores de ten são e corrente de um circuito Em seguida a Equação 1023 pode ser usada para calcular a potência média e a reativa porque P ℜ S e Q ℑ S A potência complexa tem a mesma dimensão da potência média ou da potência reativa Contudo para distinguir a potência complexa das outras duas usamos para ela a unidade t Potência complexa Solução a O valor eficaz da tensão senoidal é 625 2 ou aproximadamente 44194 V Pela Equação 1019 a potência média fornecida ao resistor de 50 V é P 441942 50 390625 W b A amplitude máxima da corrente no resistor é 62550 ou 125 A O valor eficaz da corrente é 125 2 ou aproximadamente 884 A Daí a potência média fornecida ao resistor é P 884250 390625 W Objetivo 1 Entender conceitos de potência ca as relações entre eles e como calcular essas potências em um circuito 103 A corrente triangular periódica do Exemplo 94 repetida aqui tem um valor de pico de 180 mA Deter mine a potência média que essa corrente fornece a um resistor de 5 kV Resposta 54 W 2T2 2T4 2Ip Ip T4 T2 3T4 T t etc i NOTA tente resolver também o Problema 1015 apresentado no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 411 Book Nilsson 2indb 411 290116 1423 voltampère VA Portanto usamos voltsampères para a potên cia complexa watts para a potência média e vars para a potência reativa como resumido na Tabela 102 Outra vantagem de usar a potência complexa é a interpreta ção geométrica que ela permite Quando estiver trabalhando com a Equação 1023 imagine P Q e S como os lados de um triângulo retângulo como mostra a Figura 109 É fácil mostrar que o ângulo u no triângulo de potências é o ângulo do fator de potência uv ui Para o triângulo retângulo mostrado na Figura 109 tg u Q P 1024 Mas pelas definições de P e Q equações 1010 e 1011 respectivamente tg uv ui Q P VmIm2senuv ui VmIm2 cos uv ui 1025 Portanto u uv ui As relações geométricas para um triângulo retângulo significam tam bém que as quatro grandezas associadas ao triângulo de potências os três lados e o ângulo do fator de potência podem ser determinadas se forem conhecidas quaisquer duas delas A magnitude da potência complexa é denominada potência aparente Especificamente S P2 Q2 1026 A potência aparente como a complexa é medida em voltsampères A potência aparente de aparelhos projetados para converter energia elétrica em não elétrica é mais importante do que a potência média Embora a potência média represente a parcela da potência que realiza trabalho a potência aparente representa a potência total disponível necessária para fornecer a potência média desejada Como se pode ver pelo triângulo de potências na Figura 109 a menos que o ângulo do fator de potência seja 0 isto é o dispositivo seja puramente resistivo fp 1 e Q 0 a potência aparente é maior do que a potência média absorvida pelo dispo sitivo Como veremos no Exemplo 106 vale a pena operar um dispositivo com um fator de potência próximo de 1 Muitos eletrodomésticos úteis como refrigeradores ventiladores aparelhos de ar condi cionado lâmpadas fluorescentes e máquinas de lavar roupa e a maioria das cargas industriais operam com um fator de potência atrasado O fator de potência dessas cargas é às vezes cor rigido pela adição de um capacitor ao próprio dispositivo ou pela conexão de capacitores à linha que alimenta a carga o último método é comumente usado para grandes cargas indus triais Muitos dos problemas apresentados no final do capítulo vão proporcionar a oportuni dade de fazer alguns cálculos que corrigem um fator de potência atrasado e melhoram a ope ração de um circuito O Exemplo 104 usa o triângulo de potências para calcular diversas grandezas associadas a uma carga elétrica Potência u aparente Tabela 102 Três tipos de potência e suas unidades Quantidade Unidades Potência complexa voltsampères Potência média watt Potência reativa var Figura 109 Triângulo de potências Q 5 potência reativa P 5 potência média uSu 5 potência aparente u Circuitos elétricos 412 Book Nilsson 2indb 412 290116 1423 ExEMPlo 104 Cálculo da potência complexa Uma carga elétrica funciona com uma tensão eficaz de 240 V A carga absorve uma potência média de 8 kW com um fator de potência atrasado de 08 a Calcule a potência complexa da carga b Calcule a impedância da carga Solução a O fator de potência é descrito como atrasado portanto sabemos que a carga é indutiva e que o sinal algébrico da potência reativa é positivo Pelo triângulo de potências da Figura 1010 P S cos u Q S sen u Agora como cos u 08 sen u 06 Portanto Q 10senu 6 kVAR S P cos u 8 kW 08 10 kVA e S 8 j6 kVA b Pelo cálculo da potência complexa da carga vemos que P 8 kW Usando a Equação 1021 8000 W 240Ief 08 P Vef Ief cos uv ui Resolvendo para Ief Ief 4167 A Já conhecemos o ângulo da impedância da carga pois ele é o ângulo do fator de potência u cos108 3687 Também sabemos que u é positivo porque o fator de potência é atrasado o que indica uma carga indutiva Calculamos o módulo da impedância de carga por sua definição como a razão entre o módulo da tensão e o módulo da corrente Z Vef Ief 240 4167 576 Daí Z 576 l3687 V 4608 j3456 V Figura 1010 Triângulo de potências Q P uSu u Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 413 Book Nilsson 2indb 413 290116 1423 105 Cálculos de potência Agora estamos em condições de deduzir equações adicionais que podem ser usadas para calcular as potências ativa reativa e complexa Começamos combinando as equações 1010 1011 e 1023 para obter VmIm 2 e juv ui 1 2 VmImluv ui VmIm 2 3 cos uv ui j senuv ui4 S VmIm 2 cos uv ui j VmIm 2 senuv ui 1027 Se usarmos os valores eficazes da tensão e corrente senoidais a Equação 1027 tornase S Vef Ief luv ui 1028 As equações 1027 e 1028 são relações importantes em cálcu los de potência porque mostram que se os fasores corrente e tensão terminais forem conhecidos em um par de terminais a potência com plexa associada a esse par de terminais ou é a metade do produto entre a tensão e o conjugado da corrente ou é o produto entre o fasor tensão eficaz e o conjugado do fasor corrente eficaz Podemos mostrar isso para a tensão e a corrente da Figura 1011 da seguinte maneira Vef Ief Vef e juvIef ejui Vef Ief e juv ui S Vef Ief luv ui 1029 Observe que Ief Ief ejui decorre da identidade de Euler e das identidades trigonométri cas cos u cosu e sen u sen u Ief Ief cos ui jIef senui Ief ejui Ief cos ui jIef senui A mesma técnica de dedução poderia ser aplicada à Equação 1027 resultando em S 1 2VI 1030 Ambas as equações 1029 e 1030 são baseadas na convenção passiva Se a referência de corrente estiver no sentido da elevação de tensão nos terminais inserimos um sinal negativo no lado direito de cada equação Figura 1011 Fasores tensão e corrente associados a um par de terminais 1 2 Vef Ief Circuito Potência u complexa Circuitos elétricos 414 Book Nilsson 2indb 414 290116 1423 Para ilustrar a utilização da Equação 1030 em um cálculo de potência vamos usar o mesmo circuito do Exemplo 101 Tomando a representação fasorial para a tensão e a corrente terminais temos I 4l 105 A V 100 l15 V Então 100 j17321 VA S 1 2 100 l15 4 l 105 200 l120 Calculada a potência complexa podemos obter diretamente a potência ativa e a reativa pois S P jQ Assim P 100 W Q 17321 VAR As interpretações dos sinais algébricos de P e Q são idênticas às dadas na solução do Exemplo 101 Formas alternativas da potência complexa As equações 1029 e 1030 têm diversas formas alternativas úteis Aqui usaremos a forma com valores eficazes porque esses são mais comuns na representação de tensões e correntes em cálculos de potência A primeira variação da Equação 1029 é obtida substituindose a ten são pelo produto da corrente vezes a impedância Em outras palavras sem pre podemos representar o circuito no interior da caixa da Figura 1011 por uma impedância equivalente como mostra a Figura 1012 Então Vef ZIef 1031 Substituindo a Equação 1031 na Equação 1029 obtemos Ief2R jIef2X P jQ Ief2R jX Ief2Z S ZIef Ief 1032 da qual Q Ief2X 1 2I m 2 X P Ief2R 1 2I m 2 R 1033 Q Ief2X 1 2I m 2 X P Ief2R 1 2I m 2 R 1034 Figura 1012 Circuito genérico da Figura 1011 substituído por uma impedância equivalente Z 1 2 Vef Ief Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 415 Book Nilsson 2indb 415 290116 1423 Na Equação 1034 X é a reatância da indutância equivalente ou da capacitância equiva lente do circuito Lembrese de nossas discussões anteriores de que a reatância é positiva para circuitos indutivos e negativa para circuitos capacitivos Uma segunda variação útil da Equação 1029 resulta da substituição da corrente pela ten são dividida pela impedância S Vef aVef Z b Vef2 Z P jQ 1035 Observe que se Z for um elemento resistivo puro P Vef2 R 1036 e se Z for um elemento reativo puro Q Vef2 X 1037 Na Equação 1037 X é positiva para um indutor e negativa para um capacitor Os exemplos a seguir ilustram vários cálculos de potência em circuitos que operam em regime permanente senoidal ExEMPlo 105 Cálculo da potência média e da potência reativa No circuito mostrado na Figura 1013 uma carga cuja impedância é 39 j26 V é alimentada por uma fonte de tensão por meio de uma linha de impedância 1 j4 V O valor eficaz ou rms da fonte de tensão é 250 V a Calcule a corrente IL e a tensão VL de carga b Calcule a potência média e a potência reativa fornecidas à carga c Calcule a potência média e a potência reativa fornecidas à linha d Calcule a potência média e a potência reativa fornecidas pela fonte Solução a Como as impedâncias de linha e de carga estão em série a corrente de carga é igual à tensão de fonte dividida pela impedância total ou IL 250 l0 40 j30 4 j3 5 l 3687 A ef Como a tensão é dada em termos de seu valor eficaz o mesmo acontece com a corrente A tensão na carga é o produto entre a corrente e a impedância da carga 23436 l 318 V ef VL 39 j26IL 234 j13 b A potência média e a potência reativa fornecidas à carga podem ser calculadas usandose a Equa ção 1029 Assim Figura 1013 Circuito para o Exemplo 105 Fonte Linha Carga j26 V j4 V 1 V 1 2 VL IL 39 V 250 1 2 08 V ef Circuitos elétricos 416 Book Nilsson 2indb 416 290116 1423 975 j650 VA S VLIL 234 j134 j3 Portanto a carga está absorvendo uma potência média de 975 W e uma potência reativa de 650 VAR c A potência média e a potência reativa fornecidas à linha são calculadas mais facilmente pelas equa ções 1033 e 1034 pois a corrente de linha é conhecida Assim Q 524 100 VAR P 521 25 W Observe que a potência reativa associada à linha é positiva porque a reatância de linha é indutiva d Um modo de calcular a potência média e a potência reativa fornecidas pela fonte é adicionar a potência complexa fornecida à linha à potência complexa fornecida à carga ou 1000 j 750 VA S 25 j100 975 j650 A potência complexa na fonte também pode ser calculada pela Equação 1029 Ss 250IL O sinal negativo é inserido na Equação 1029 sempre que a referência de corrente estiver no sentido de uma elevação de tensão Assim SS 2504 j3 1000 j750 VA O sinal negativo implica que ambas as potências média e reativa estejam sendo fornecidas pela fonte Observe que esse resultado está de acordo com o cálculo anterior de S como era de se esperar por que a fonte deve fornecer toda a potência média e reativa absorvidas pela linha e pela carga ExEMPlo 106 Cálculo da potência em cargas paralelas As duas cargas do circuito mostrado na Figura 1014 podem ser descritas da seguinte forma a carga 1 absorve uma potên cia média de 8 kW com um fator de potência adiantado de 08 A carga 2 absorve 20 kVA com um fator de potência atra sado de 06 a Determine o fator de potência das duas cargas em paralelo b Determine a potência aparente necessária para alimentar as cargas a amplitude da corrente If e a potência média dissipada na linha de transmissão c Dado que a frequência da fonte é 60 Hz calcule o valor do capacitor que corrigiria o fator de potên cia para 1 se colocado em paralelo com as duas cargas Calcule novamente os valores em b para a carga com o fator de potência corrigido Figura 1014 Circuito para o Exemplo 106 1 2 005 V j050 V 1 2 Vs Is L1 I1 L2 I2 250 08 V ef Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 417 Book Nilsson 2indb 417 290116 1423 Solução a Admitese que todos os fasores de tensão e corrente neste problema representem valores eficazes Observe pelo diagrama do circuito na Figura 1014 que If I1 I2 A potência complexa total absorvida pelas duas cargas é S1 S2 250I1 250I2 250I1 I2 S 250If Podemos somar as potências complexas geometrica mente usando os triângulos de potências para cada carga como mostra a Figura 1015 Por hipótese 8000 j6000 VA S1 8000 j 800006 08 12000 j16000 VA S2 2000006 j2000008 Assim S 20000 j10000 VA e If 20000 j10000 250 80 j40 A Portanto If 80 j40 8944 l 2657 A Assim o fator de potência da carga combinada é fp cos0 2657 08944 atrasado O fator de potência das duas cargas em paralelo é atrasado porque a potência reativa líquida é positiva b A potência aparente que deve ser fornecida para essas cargas é S 20 j10 2236 kVA A amplitude da corrente que fornece essa potência aparente é If 80 j40 8944 A Figura 1015 a Triângulo de potências para a carga 1 b Triângulo de potências para a carga 2 c Soma dos triângulos de potências b 1 5 c a 2236 kVA 20 kW 10 kVAR 265658 20 kVA 12 kW 53138 16 kVAR 8 kW 26 kVAR 10 kVA 236878 Circuitos elétricos 418 Book Nilsson 2indb 418 290116 1423 A potência média dissipada na linha que resulta da passagem da corrente pela resistência da linha é Plinha If2R 89442005 400 W Observe que a fonte fornece 20000 400 20400 W ainda que as cargas necessitem de apenas 20000 W c Como vemos pelo triângulo de potências na Figura 1015c podemos corrigir o fator de potência para 1 se colocarmos um capacitor em paralelo com as cargas existentes de modo que o capacitor forneça 10 kVAR de potência reativa O valor do capacitor é calculado da seguinte forma em pri meiro lugar determine a reatância capacitiva pela Equação 1037 625 V 2502 10000 X Vef2 Q Lembrese de que a impedância reativa de um capacitor é 1vC e v 2p60 37699 rads se a fre quência da fonte for 60 Hz Assim C 1 vX 1 37699625 4244 mF A adição do capacitor como terceira carga é repre sentada em forma geométrica como a soma dos dois triângulos de potências mostrados na Figura 1016 Quando o fator de potência for 1 a potência apa rente e a potência média serão as mesmas como se pode verificar pelo triângulo de potências na Figura 1016c Portanto uma vez corrigido o fator de potência a potência aparente é S P 20 kVA A amplitude da corrente que fornece essa potência aparente é If 20000 250 80 A Portanto a potência média dissipada na linha é reduzida para Plinha If2R 802005 320 W Agora a potência fornecida é 20000 320 20320 W Observe que a adição do capacitor reduziu as perdas na linha de 400 W para 320 W Figura 1016 a Soma dos triângulos de potências para as cargas 1 e 2 b Triângulo de potências para um capacitor de 4244 mF a 60 Hz c Soma dos triângulos de potências em a e b 1 210 kVAR 5 a b c 2236 kVA 20 kW 20 kW 10 kVAR 265658 Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 419 Book Nilsson 2indb 419 290116 1423 ExEMPlo 107 Equilíbrio entre potência fornecida e potência absorvida em um circuito ca a Calcule a potência média e reativa total fornecida a cada impedância no circuito da Figura 1017 b Calcule a potência média e a potência reativa associadas a cada fonte no circuito c Verifique se a potência média fornecida é igual à absorvida e se a potência reativa fornecida é igual à absorvida Solução a A potência complexa fornecida à impedância de 1 j2 V é 1690 j3380 VA 1 23380 j6760 1 278 j10426 j52 S1 1 2V1I1 P1 jQ1 Assim essa impedância está absorvendo uma potên cia média de 1690 W e uma potência reativa de 3380 VAR A potência complexa fornecida à impedância de 12 j16 V é 240 j320 VA 1 272 j1042 j6 S2 1 2V2Ix P2 jQ2 Portanto a impedância no ramo vertical está absorvendo 240 W e fornecendo 320 VAR A potência complexa fornecida à impedância de 1 j3 V é 1970 j5910 VA 1 2150 j13024 j58 S3 1 2V3I2 P3 jQ3 Figura 1017 Circuito para o Exemplo 107 com a solução j2 V 12 V 2j16 V 1 2 1 V 39 Ix 1 2 Ix Vs I1 j3 V 1 V I2 V1 1 2 V2 1 2 V3 1 2 Vf 5 150 08 V V1 5 78 2 j104 V I1 5 226 2 j52 A Ix 5 22 1 j6 A I2 5 224 2 j58 A V2 5 72 1 j104 V V3 5 150 2 j130 V Circuitos elétricos 420 Book Nilsson 2indb 420 290116 1423 Essa impedância está absorvendo 1970 W e 5910 VAR b A potência complexa associada à fonte de tensão independente é 1950 j3900 VA 1 215026 j52 Ss 1 2VfI1 Pf jQf Observe que a fonte de tensão independente está absorvendo uma potência média de 1950 W e for necendo 3900 VAR A potência complexa associada à fonte de tensão controlada por corrente é 5850 j5070 VA 1 278 j23424 j58 Sx 1 239IxI2 Px jQx Tanto a potência média como a reativa estão sendo fornecidas pela fonte dependente c A potência total absorvida pelas impedâncias passivas e pela fonte de tensão independente é Pabsorvida P1 P2 P3 Ps 5850 W A fonte de tensão dependente é o único elemento de circuito que está fornecendo potência média Assim Pfornecida 5850 W A potência reativa está sendo absorvida pelos dois ramos horizontais Assim Qabsorvida Q1 Q3 9290 VAR A potência reativa está sendo fornecida pela fonte de tensão independente pelo capacitor no ramo vertical e pela fonte de tensão dependente Assim Qfornecida 9290 VAR Objetivo 1 Entender conceitos de potência ca as relações entre essas potências e como calculálas em um circuito 104 Um capacitor de reatância capacitiva 52 V é ligado em paralelo com a carga do circuito da figura Calcule a os valores eficazes dos fasores VL e IL b a potência média e a potência reativa absorvidas pela impedância de carga de 39 j26 V PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 421 Book Nilsson 2indb 421 290116 1423 c a potência média e a potência reativa absorvidas pela impedância de linha de 1 j4 V d a potência média e a potência reativa fornecidas pela fonte e e a potência reativa fornecida pelo capacitor em paralelo com a carga 1 2 Fonte Carga 1 V 39 V j26 V j4 V VL IL 1 2 Linha 250 08 V ef Resposta a 538 l 3823 A ef 25220 l 454 V ef b 112909 W 75273 VAR c 2352 W 9409 VAR d 115262 W 37636 VAR e 122318 VAR 105 A tensão eficaz nos terminais de uma carga é 250 V A carga está absorvendo uma potência média de 40 kW e fornecendo uma potência reativa de 30 kVAR Determine dois modelos de impedância equi valente da carga Resposta 1 V em série com 075 V de reatância capacitiva 15625 V em paralelo com 2083 V de reatância capacitiva 106 Determine o fasor tensão Vf ef no circuito mostrado se as cargas L1 e L2 estiverem absorvendo 15 kVA com um fp atrasado de 06 e 6 kVA com um fp adiantado de 08 respectivamente Expresse Vf em forma polar 08 V ef j1 V Vf 1 2 L1 L2 1 2 200 Resposta 25164 l1591 V NOTA tente resolver também os problemas 1020 1028 e 1030 apresentados no final deste capítulo 106 Máxima transferência de potência Lembrese de que no Capítulo 4 afirmamos que certos sistemas por exemplo os que transmitem informações por meio de sinais elétricos operam na perspectiva de que se possa transferir uma quantidade máxima de potência da fonte para a carga Agora estudaremos a Circuitos elétricos 422 Book Nilsson 2indb 422 290116 1423 máxima transferência de potência no contexto de uma rede em regime permanente senoidal começando com a Figura 1018 Devemos determi nar a impedância de carga ZL que possibilita o fornecimento de máxima potência média aos terminais a e b Qualquer rede linear pode ser vista a partir dos terminais da carga como um circuito equivalente de Thé venin Assim tornase necessário apenas determinar o valor de ZL que resulta em máxima potência média a ser fornecida a ZL no circuito da Figura 1019 Para a máxima transferência de potência média ZL deve ser igual ao conjugado da impedância de Thévenin isto é ZL ZTh 1038 Deduzimos a Equação 1038 pela simples aplicação do cálculo elementar Começamos expressando ZTh e ZL em forma retangular ZTh RTh jXTh 1039 ZL RL jXL 1040 Em ambas as equações 1039 e 1040 o termo da reatância tem o sinal positivo para indu tância e negativo para capacitância Como estamos fazendo um cálculo de potência média admitimos que a amplitude da tensão de Thévenin seja expressa em termos de seu valor eficaz Além disso usamos a tensão de Thévenin como fasor de referência Então pela Figura 1019 o valor eficaz da corrente de carga I é I VTh RTh RL jX Th X L 1041 A potência média fornecida à carga é P I2RL 1042 Substituindo a Equação 1041 na Equação 1042 temos P VTh2RL RTh RL2 X Th X L2 1043 Quando trabalhar com a Equação 1043 lembrese sempre de que VTh RTh e XTh são quan tidades fixas ao passo que RL e XL são variáveis independentes Portanto para maximizar P devemos determinar os valores de RL e XL para os quais 0P0RL e 0P0XL são iguais a zero Pela Equação 1043 0P 0X L VTh22RLX L X Th RL RTh2 X L X Th22 1044 0P 0RL VTh2RL RTh2 X L X Th2 2RLRL RTh RL RTh2 X L X Th22 1045 t Condição para máxima transferência de potência média Figura 1018 Circuito usado para a análise da máxima transferência de potência ZL a Rede linear generalizada em regime permanente senoidal b Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 423 Book Nilsson 2indb 423 290116 1423 Pela Equação 1044 0P0XL é igual a zero quando XL XTh 1046 Pela Equação 1045 0P0RL é igual a zero quando RL RTh 2 XL XTh2 1047 Observe que quando combinamos a Equação 1046 com a Equação 1047 ambas as deri vadas são iguais a zero quando ZL ZTh Máxima potência média absorvida A máxima potência média que pode ser fornecida a ZL quando ela é igualada ao conjugado de ZTh é calculada facilmente pelo circuito da Figura 1019 Quando ZL Z Th o valor eficaz da corrente de carga é VTh2RL e a máxima potência média fornecida à carga é Pmáx VTh2RL 4RL 2 1 4 VTh2 RL 1048 Se a tensão de Thévenin for expressa em termos de sua amplitude máxima em vez de sua amplitude eficaz a Equação 1048 tornase Pmáx 1 8 Vm 2 RL 1049 Máxima transferência de potência quando existem limitações para o valor de Z A máxima potência média só pode ser fornecida a ZL se esta puder ser igualada ao con jugado de ZTh Há situações em que isso não é possível Em primeiro lugar RL e XL podem estar restritas a uma faixa limitada de valores Nessa situação a condição ótima para RL e XL é ajustar o valor de XL o mais próximo possível de XTh e então ajustar o valor de RL o mais próximo possível de RTh 2 XL XTh2 veja o Exemplo 109 Um segundo tipo de restrição ocorre quando o módulo de ZL pode variar mas seu ângulo de fase não pode Sob essa restrição a maior quantidade de potência é transferida à carga quando o módulo de ZL é igualado ao módulo de ZTh isto é quando ZL ZTh 1050 Deixamos a você a demonstração da Equação 1050 no Problema 1045 apresentado no final deste capítulo Para redes puramente resistivas a máxima transferência de potência ocorre quando a resistência de carga é igual à resistência de Thévenin Observe que deduzimos esse resultado quando apresentamos a máxima transferência de potência pela primeira vez no Capítulo 4 Os exemplos 1081011 ilustram o problema de obter máxima transferência de potência nas situações que acabamos de discutir Figura 1019 Circuito da Figura 1018 com a rede substituída por seu equivalente de Thévenin 1 2 a b I ZTh VTh ZL Circuitos elétricos 424 Book Nilsson 2indb 424 290116 1423 ExEMPlo 108 Determinação da máxima transferência de potência quando não existem limitações à carga a Para o circuito mostrado na Figura 1020 deter mine a impedância ZL que possibilite a máxima transferência de potência média a essa impedância b Qual é a máxima transferência de potência média para a impedância de carga determinada em a Solução a Começamos determinando o equivalente de Théve nin em relação aos terminais a b Após duas trans formações de fonte envolvendo a fonte de 20 V o resistor de 5 V e o resistor de 20 V simplifica mos o circuito da Figura 1020 para o da Figura 1021 Então 192 l 5313 1152 j1536 V VTh 16 l0 4 j3 j6 j6 Determinamos a impedância de Thévenin elimi nando a fonte independente e calculando a impe dância vista a partir dos terminais a e b Assim ZTh j64 j3 4 j3 j6 576 j168 V Para a máxima transferência de potência média a impedância da carga deve ser o conjugado de ZTh de modo que ZL 576 j168 V b Calculamos a máxima potência média fornecida a ZL por meio do circuito da Figura 1022 no qual substituímos a rede original por seu equivalente de Thévenin Pela Figura 1022 o valor eficaz da corrente de carga I é Ief 192 2 2576 11785 A A potência média fornecida à carga é P I ef 2 576 8 W Figura 1022 Circuito da Figura 1020 com a rede original substituída por seu equivalente de Thévenin I 1 2 V 576 V 576 V 2j168 V 1j168 V a b 192 253138 Figura 1020 Circuito para o Exemplo 108 1 2 5 V 20 V j3 V 2j6 V a b ZL V 20 08 Figura 1021 Simplificação da Figura 1020 por meio de transformações de fonte 1 2 4 V j3 V 2j6 V a b 1 2 VTh V 16 08 Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 425 Book Nilsson 2indb 425 290116 1423 Circuitos elétricos EXEWNIPLO 109 Determinagao da maxima transferéncia de poténcia quando ha limitagdes a variagao da impedancia da carga a Para o circuito mostrado na Figura 1023 qual é 0 valor de Z que possibilita a maxima transferéncia Figura 1023 Circuito para os exemplos 109 1010 de poténcia média a Z Qual éa maxima poténcia 4000 0 em miliwatts 3000 QJ é b Admita que a resisténcia da carga possa variar entre Ry 0 e 4000 0 e que a reatancia capacitiva da carga vied possa variar entre 0 e 2000 Q Quais sao os ajus iXc tes de R e X que transferem a maior poténcia média 4 carga Qual é a maxima poténcia média b que pode ser transferida dadas essas restrigdes Solugao a Se nao houver restrigdes a R e Xa impedancia de carga sera igualada ao conjugado da impedan cia de Thévenin Portanto fazemos R 3000 Xe X 4000 0 ou Z 3000 74000 Como a tensao da fonte é dada pelo valor eficaz a poténcia média fornecida a Z P 1 10 25 aw 833 mW 43000 3 b Como a variagao dos valores de R e X é limitada primeiro ajustamos X 0 mais préximo pos sivel de 4000 assim X 2000 Em seguida ajustamos R 0 mais proximo possivel de VR X Xp Assim Ry V30007 2000 4000 3605552 Agora como R pode variar de 0 a 4000 podemos ajustala para 360555 Portanto a impedan cia de carga é ajustada para o valor de Z 360555 j2000 Com Z ajustada para esse valor o valor da corrente de carga é Le 14489 1685 mA 6 60555 72000 28 mA A poténcia média fornecida a carga é P 14489 X 1073360555 757 mW Essa quantidade é a maior poténcia que podemos fornecer a carga dadas as restrigGes aos valores de R e X Observe que essa poténcia menor do que a poténcia que pode ser fornecida se nao houver restrigdes em a constatamos que podemos fornecer 833 mW ExEMPlo 1010 Determinação da máxima transferência de potência quando há limitação à variação do ângulo da impedância Uma impedância de carga com um ângulo de fase constante de 3687 está ligada aos terminais de carga a e b no circuito da Figura 1023 O módulo de ZL é variado até que a potência média fornecida seja a maior possível sob a restrição dada a Determine ZL em forma retangular b Calcule a potência média fornecida a ZL Solução a Pela Equação 1050 sabemos que o módulo de ZL deve ser igual ao módulo de ZTh Portanto ZL ZTh 3000 j4000 5000 V Agora como sabemos que o ângulo de fase de ZL é 3687 temos ZL 5000l 3687 4000 j3000 V b Igualando ZL a 4000 j3000 V a corrente de carga é Ief 10 7000 j1000 14142 l 813 mA e a potência média fornecida à carga é P 14142 10324000 8 mW Essa quantidade é a maior potência que pode ser fornecida por esse circuito à impedância de carga cujo ângulo permanece constante em 3687 Mais uma vez essa quantidade é menor do que a máxima potência que pode ser fornecida se não há nenhuma restrição à variação de ZL Objetivo 2 Entender a condição para máxima potência ativa fornecida a uma carga em um circuito ca 107 A corrente da fonte no circuito mostrado é 3 cos 5000t A a Qual é a impedância que deve ser ligada aos terminais ab para máxima transferência de potência média b Qual é a potência média transferida à impedância em a c Suponha que a carga seja exclusivamente resistiva Qual é o valor do resistor que ligado aos terminais ab promo verá a máxima transferência de potência média d Qual é a potência média transferida ao resistor em c Resposta a 20 j10 V b 18 W c 2236 V d 1700 W NOTA tente resolver também os problemas 1041 1048 e 1062 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo 36 mH 20 V 4 V ig 5 mF a b Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 427 Book Nilsson 2indb 427 290116 1423 ExEMPlo 1011 Determinação da máxima transferência de potência em um circuito com um transformador ideal O resistor variável no circuito da Figura 1024 é ajustado até que a máxima potência média seja for necida a RL a Qual é o valor de RL em ohms b Qual é a máxima potência média em watts for necida a RL Solução a Em primeiro lugar determinamos o equivalente de Thévenin visto a partir dos terminais de RL O circuito para determinar a tensão de circuito aberto é mostrado na Figura 1025 As variáveis V1 V2 I1 e I2 foram adicionadas para facilitar a análise Primeiro observamos que o transformador ideal impõe as seguintes restrições às variáveis V1 V2 I1 e I2 V2 1 4 V1 I1 1 4 I2 Como o valor de circuito aberto de I2 é igual a zero então I1 é igual a zero Seguese que V1 840 l0 V V2 210 l0 V Pela Figura 1025 observamos que VTh é o negativo de V2 portanto VTh 210 l0 V O circuito mostrado na Figura 1026 é usado para determinar a corrente de curtocircuito Conside randose I1 e I2 as correntes de malha as duas equa ções de malha são 0 20I2 20I1 V2 8 40 l0 80I1 20I2 V1 Quando essas duas equações são combinadas com as equações de restrição obtemos 0 25I2 V1 4 840 l0 40I2 V1 Figura 1024 Circuito para o Exemplo 1011 1 2 a b RL 20 V 60 V Ideal 4 1 V ef 840 08 Figura 1025 Circuito usado para determinar a tensão de Thévenin 1 2 a b 20 V 60 V 4 1 08 V ef I1 I2 V1 1 2 V2 2 1 VTh 1 2 Ideal 840 Figura 1026 Circuito usado para calcular a corrente de curtocircuito 1 2 a b 20 V 60 V 4 1 08 V ef I1 I2 V1 1 2 V2 2 1 Ideal 840 Circuitos elétricos 428 Book Nilsson 2indb 428 290116 1423 Resolvendo esse sistema de equações temos I2 6 A Portanto a resistência de Thévenin é RTh 210 6 35 V A máxima potência será fornecida a RL quando RL for igual a 35 V b A máxima potência fornecida a RL é determinada mais facilmente usandose o equivalente de Thévenin Pelo circuito da Figura 1027 temos Pmáx a 210 70 b 2 35 315 W Objetivo 3 Saber calcular todas as formas de potência em circuitos ca com transformadores lineares e ideais 108 Determine a potência média fornecida ao resistor de 100 V no circuito mostrado se vg 660 cos 5000t V Resposta 6125 W 109 a Determine a potência média fornecida ao resis tor de 400 V no circuito mostrado se vg 248 cos 10000t V b Determine a potência média fornecida ao resistor de 375 V c Determine a potência fornecida pela fonte de ten são ideal Verifique seu resultado mostrando que a potência absorvida é igual à potência fornecida Resposta a 50 W b 492 W c 992 W 50 492 992 W 1010 Resolva o Exemplo 1011 se o ponto de polaridade no enrolamento ligado ao terminal a estiver na parte superior Resposta a 15 V b 735 W 1011 Resolva o Exemplo 1011 se a fonte de tensão for reduzida a 146 l0 V e a relação de espiras for inver tida para 14 Resposta a 1460 V b 584 W NOTA tente resolver também os problemas 1061 e 1062 apresentados no final deste capítulo vg 100 V 10 mH 20 mH 8 mH 34 V 1 2 50 mH 400 V 375 V 40 mH 100 mH vg 1 2 PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Figura 1027 Equivalente de Thévenin com a carga ajustada para máxima transferência de potência 2 1 35 V b a 35 V 08 V ef 210 Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 429 Book Nilsson 2indb 429 290116 1423 Perspectiva prática Energia vampira Energia vampira ou energia em standby pode custar mais do que se pensa Um domicílio tem em média cerca de 40 apa relhos elétricos que consomem energia mesmo quando desligados Aproximadamente 5 do consumo normal de energia resi dencial podem ser atribuídos ao modo standby A Tabela 103 fornece o consumo de energia de vários tipos de aparelho Notese que quando um aparelho é considerado desligado normalmente ainda está consumindo energia Tabela 103 Consumo médio de energia de aparelhos elétricos comuns Aparelho elétrico Potência W Carregador de celular Conectado ao telefone em carga 368 Conectado à tomada mas não ao telefone 026 Adaptador CA para notebook Conectado ao computador em carga 4428 Conectado ao computador em modo de espera 1577 Conectado ao computador desligado 89 Conectado à tomada mas não ao computador 442 Tocador de DVD Ligado e em uso 991 Ligado mas não em uso 754 Desligado 155 Forno de microondas Ligado com a porta fechada 308 Ligado com a porta aberta 2579 Cozinhando 14330 Impressora multifuncional a jato de tinta Ligada 916 Desligada 526 Os dados apresentados nesta tabela foram extraídos do relatório da Lawrence Berkeley National Laboratory httpstandbylblgovstandbyhtml Este valor é a média da potência medida para diversos tipos de cada aparelho Vamos examinar um carregador de celular De acordo com os valores indicados na Tabela 103 quando desconectado do telefo ne o carregador consome apenas uma fração da energia que é utilizada quando está conectado a um telefone em carga Suponhamos que você carregue seu celular durante três horas por dia mas deixe o carregador ligado à tomada 24 horas por dia Lembrese de que a concessionária cobra com base no número de quilowattshora kWh usados em um mês Um aparelho que usa 1000 W de potência continuamente por uma hora consome 1 kWh Vamos calcular o número de quilowattshora utilizados pelo carregador em um mês PkWh 303368 21026 1000 18 kWh Agora faça o cálculo novamente desta vez assumindo que o carregador é desconectado da tomada quando não está em uso kWh 303368 210 1000 033 kWh P Circuitos elétricos 430 Book Nilsson 2indb 430 290116 1423 Manter o carregador ligado quando não em uso faz seu consumo ser 5 vezes maior do que a energia necessária para carregar um telefone o dia todo Podese portanto minimizar o custo da energia vampira desligandose aparelhos elétricos quando não estão sendo usados Como o carregador pode consumir energia quando não está ligado ao telefone O circuito eletrônico no celular usa fontes de 5 V cc para fornecer energia O carregador deve transformar o sinal de 120 V ef fornecido pela tomada em um sinal que possa ser utilizado para carregar o telefone Esses carregadores podem utilizar transformadores lineares associados a outros circuitos para produzir uma tensão adequada ao telefone Consideremos o circuito da Figura 1028 O transformador linear faz parte do circuito usado para reduzir a tensão forne cida pela fonte a um nível adequado para o telefone Os demais componentes necessários para completar essa tarefa não são mostrados no circuito Quando o telefone é desconectado do circuito na Figura 1028 mas o circuito continua ligado à fonte de 120 V ef ainda há uma passagem para a corrente conforme mostrado na Figura 1029 A corrente é I 120 Rs R1 jvL1 A energia real entregue pela fonte de tensão e fornecida aos resistores é P Rs R1I2 Essa é a energia vampira que está sendo consumida pelo carregador de celular mesmo quando ele não está ligado ao telefone Figura 1028 Transformador linear utilizado em um carregador de celular 120 V ef Rs M R1 L1 R2 L2 1 2 Celular Figura 1029 Circuito do carregador de celular quando o telefone não está ligado 1 2 120 V ef jvM jvL2 jvL1 Rs I R1 R2 NOTA avalie sua compreensão desse material tentando resolver os problemas 1066 a 1068 apresentados no final deste capítulo Resumo Potência instantânea é o produto entre a ten são e a corrente instantâneas ou p vi O sinal positivo é usado quando o sentido de referência para a corrente for da tensão posi tiva para a negativa A frequência da potência instantânea é o dobro da frequência da tensão ou corrente Seção 101 Potência média é o valor médio da potência instantânea durante um período É a potência convertida da forma elétrica para outra não elé trica e viceversa Essa conversão é a razão por que a potência média também é denominada potência ativa Pela convenção passiva a potên cia média é expressa como Vef Ief cosuv ui P 2VmIm cosuv ui 1 Seção 102 Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 431 Book Nilsson 2indb 431 290116 1423 Potência reativa é a potência elétrica trocada entre o campo magnético de um indutor e a fonte que o alimenta ou entre o campo elétrico de um capacitor e a fonte que o alimenta A potência reativa nunca é convertida em potência não elétrica Pela convenção passiva a potência reativa é expressa como Vef Ief senuv ui Q 1 2VmIm senuv ui Tanto a potência média quanto a reativa podem ser expressas em termos de corrente e tensão de pico Vm Im ou eficaz Vef Ief Valores eficazes são usados amplamente em aplicações residen ciais e industriais Valor eficaz e valor rms são termos intercambiáveis para a mesma grandeza Seção 102 O fator de potência é o cosseno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente fp cosuv ui Os termos atrasado e adiantado adicionados à descrição do fator de potência indicam se a cor rente está atrasada ou adiantada em relação à tensão e portanto se a carga é indutiva ou capa citiva Seção 102 O fator reativo é o seno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente fr senuv ui Seção 102 Potência complexa é a soma complexa das potências média e reativa ou I 2 effZ V2 eff Z 1 2 VI VeffIeff S P j Q Potência aparente é o módulo da potência complexa S P2 Q2 Seção 104 O watt é usado como a unidade para a potên cia instantânea e para a potência ativa O var voltampère reativo ou VAR é usado como unidade para a potência reativa O voltampère VA é usado como unidade para as potências complexa e aparente Seção 104 A máxima transferência de potência ocorre em circuitos que funcionam em regime perma nente senoidal quando a impedância de carga é o conjugado da impedância de Thévenin vista a partir dos terminais da impedância de carga Seção 106 Problemas Seções 101102 101 Os seguintes conjuntos de valores para v e i referemse ao circuito da Figura 101 Cal cule P e Q para cada conjunto de valores e determine se o circuito no interior da caixa está absorvendo ou fornecendo 1 potência média e 2 potência reativa a v 250 cosvt 45 V i 4 senvt 60 A b v 18 cosvt 30 V i 5 cosvt 75 A c v 150 senvt 25 V i 2 cosvt 50 A d v 80 cosvt 120 V i 10 cosvt 170 A 102 a Um estudante universitário acorda com fome Liga a cafeteira coloca uma tigela de mingau de aveia no microondas põe duas fatias de pão na torradeira e começa a fazer ovos mexidos na frigideira elétrica Se todos esses aparelhos forem alimenta dos por um circuito de 120 V protegido Circuitos elétricos 432 Book Nilsson 2indb 432 290116 1423 Capitulo 10 e Calculos de poténcia em regime permanente senoidal por um disjuntor de 50 A o disjuntor vai 107 Oamp op no circuito da Figura P107 é ideal interromper esse café da manha Pspice Calcule a poténcia média fornecida ao resistor Mulisi de 1 kQ quando v cos 10008 V b O colega de quarto do estudante acorda quando UV cos LOUUF V e liga o aparelho de ar condicionado Ele Figura P107 percebe que o quarto esta uma bagunga 100 nF entao comega a aspirar o carpete E agora o disjuntor do circuito vai interromper o café da manha 20 kO 103 Mostre que o maximo valor da potén 500 nF cia instantanea dada pela Equagao 109 é 2kO P VP Q e que o valor minimo é PVPQ sy 104 Umacargaconsistindo em um resistor de 4800 Ug 1k em paralelo com um capacitor de 59 wF esta ligada aos terminais de uma fonte de tensAo senoidal v 240 cos 5000t V 8 a Qual éo valor de pico da poténcia instan 108 a Calculeapoténcia ativae a poténcia reativa tanea fornecida pela fonte oo associadas a cada elemento do circuito da b Qual é 0 valor de pico da poténcia instan Figura P963 tanea absorvida pela fonte P oe b Verifique se a poténcia média gerada é c Qual éa poténcia média fornecida a carga igual A poténcia média absorvida ns as 9 d Qual éa poténcia reativa fornecida a carga Verifique se a poténcia reativa gerada é e Acarga absorve ou fornece energia reativa igual a poténcia reativa absorvida f Qual é o fator de poténcia da carga 109 Repita o Problema 108 para o circuito da g Qual é 0 fator reativo da carga Figura P964 105 Determine a poténcia média fornecida pela 1010 A impedancia da carga na Figura P1010 Pspice fonte de corrente ideal no circuito da Figura absorve 6 kW e gera 80 kKVAR A fonte de Multisim P105 se i 4 cos 5000 mA tensdo senoidal fornece 8 kW Figura P105 a Determine os valores da reatancia capa 5000 1000 citiva da linha que vao satisfazer essas restrig6es ig 1 160 nF 100 mH b Para cada valor da reatancia da linha determinada em a mostre que a ener gia reativa fornecida é igual a absorvida 106 Determine a poténcia média dissipada no Figura P1010 Ween resistor de 30 no circuito da Figura P106 50 ix se 1 6 cos 200002 A Figura P106 10000 30i 125 uF V ef D l a Oi 05 mH 300 Fonte Linha Carga Seção 103 1011 a Um computador pessoal com monitor e teclado absorve 40 W em 115 V ef Cal cule o valor eficaz da corrente conduzida por seu cabo de alimentação b A potência nominal de uma impres sora a laser é 90 W a 115 V ef Se essa impressora for ligada à mesma tomada do computador do item a qual será o valor eficaz da corrente fornecida pela tomada 1012 Determine o valor eficaz da corrente periódica da Figura P1012 Figura P1012 20 i A 0 20 40 60 80 t ms 100 1013 A corrente periódica da Figura P1012 dissipa uma potência média de 1280 W em um resis tor Qual é o valor do resistor 1014 a Determine o valor eficaz da tensão perió dica da Figura P1014 b Se essa tensão for aplicada aos terminais de um resistor de 40 V qual será a potên cia média dissipada pelo resistor c Quando a tensão na parte a é aplicada a um resistor diferente esse resistor dissipa 10 mW de potência média Qual é o valor de sua resistência Figura P1014 40 240 0 5 10 15 20 25 30 35 40 etc ts vgV 1015 a Determine o valor eficaz da tensão perió dica da Figura P1015 b Se essa tensão for aplicada aos terminais de um resistor de 4 V qual será a potên cia média dissipada pelo resistor Figura P1015 20 etc 10 210 220 vgV 25 t ms 50 75 100 125 150 175 200 0 1016 Uma tensão cc igual a Vcc V é aplicada a um resistor de R V Uma tensão senoidal igual a vf V também é aplicada a um resistor de R V Mostre que a tensão cc fornecerá a mesma energia em T segundos onde T é o período da tensão senoidal que a tensão senoidal desde que Vcc seja igual ao valor eficaz de vf Suges tão iguale as duas expressões para a energia fornecida ao resistor Seções 104105 1017 A corrente Ig do circuito no domínio da fre quência da Figura P1017 é 50l0 mA ef a Determine a potência média e a potência reativa para a fonte de corrente b A fonte de corrente está absorvendo ou fornecendo potência média c A fonte de corrente está absorvendo ou fornecendo potência reativa Circuitos elétricos 434 Book Nilsson 2indb 434 290116 1423 d Determine a potência média e a potência reativa associadas à impedância de cada ramo no circuito e Verifique o equilíbrio entre a potência média fornecida e a absorvida f Verifique o equilíbrio entre as potências reativas fornecidas e absorvidas Figura P1017 50 V ig 25 V 2j75 V j50 V 1018 Determine a potência média a potência rea tiva e a potência aparente absorvidas pela carga no circuito da Figura P1018 se vg 150 cos 250t V Figura P1018 80 mF 1 2 vg Carga 50 V 100 mH 1019 a Determine VL ef e u para o circuito da Figura P1019 se a carga absorver 2500 VA com um fator de potência atrasado de 08 b Construa um diagrama fasorial de cada solução obtida em a Figura P1019 1 V j2 V 250 u8 V ef VL Carga 1 2 1 2 08 1020 a Determine a potência média a potência reativa e a potência aparente fornecidas pela fonte de tensão no circuito da Figura P1020 se vg 40 cos 106t V b Verifique sua resposta em a mostrando que Qdev a Qabs Pdev aPabs c Verifique sua resposta em a mostrando que Qdev a Qabs Pdev aPabs Figura P1020 vg 1 2 40 V 25 nF 80 mH 60 V 1021 Duas cargas de 480 V ef estão ligadas em paralelo Ambas absorvem uma potência média total de 40800 W com um fator de potência atrasado de 08 Uma das cargas absorve 20 kVA com um fator de potência adiantado de 096 Qual é o fator de potência da outra carga 1022 As duas cargas mostradas na Figura P1022 podem ser descritas da seguinte forma a carga 1 absorve uma potência média de 10 kW e uma potência reativa de 4 kVAR a carga 2 tem uma impedância de 60 j80 V A tensão nos ter minais das cargas é 10002 cos 100pt V a Determine o valor eficaz da tensão da fonte b De quantos microssegundos é a diferença de fase entre a tensão da carga e a tensão da fonte c A tensão da carga está adiantada ou atra sada em relação à tensão da fonte Figura P1022 1 2 1 2 VL Vg 05 V j005 V L1 L2 1023 As três cargas no circuito da Figura P1023 são S1 6 j3 kVA S2 75 j45 kVA e S3 12 j9 kVA a Calcule a potência complexa associada a cada fonte de tensão Vg1 e Vg2 Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 435 Book Nilsson 2indb 435 290116 1423 b Verifique se o total das potências ativa e reativa fornecido pela fonte é igual ao total das potências ativa e reativa absor vido pela rede Figura P1023 1 2 1 2 S1 S3 S2 1 2 1 2 08 V ef 01 V 02 V 01 V Vg1 Vg2 150 08 V ef 150 1024 As três cargas no circuito da Figura P1024 são descritas da seguinte forma a carga 1 está absorvendo 48 kW e fornecendo 24 kVAR a carga 2 está absorvendo 6 kVA com um fp atrasado de 08 a carga 3 é um resistor de 24 V em paralelo com um indutor que tem uma reatância de 6 V a Calcule a potência média e a potên cia reativa fornecida por cada fonte se Vg1 Vg2 120l0 V ef b Verifique seus cálculos demonstrando que os resultados são consistentes com os requisitos aQdev aQabs aPdev aPabs Figura P1024 L1 L3 L2 Vg1 Vg2 1 2 1 2 1025 Suponha que o circuito da Figura P1024 repre sente um circuito de distribuição residencial no qual as impedâncias dos condutores são despre zíveis e Vg1 Vg2 110l0 V ef As três cargas no circuito são L1 uma torradeira uma cafeteira e um microondas L2 um televisor um aspirador de pó e um aquecedor portátil e L3 um lavalouça automático e uma secadora de roupas Admita que todos esses eletrodo mésticos estejam em funcionamento ao mesmo tempo Os condutores do circuito são protegidos por disjuntores de 50 A A energia elétrica para essa residência será interrompida Explique 1026 As três cargas em paralelo no circuito da Figura P1026 podem ser descritas da seguinte forma a carga 1 está absorvendo uma potên cia média de 6 kW e fornecendo uma potência reativa de 8 kVARs a carga 2 está absorvendo uma potência média de 9 kW e uma potência reativa de 3 kVARs a carga 3 consiste em um resistor de 25 V em paralelo com uma rea tância indutiva de 5 V Determine o valor eficaz do módulo de Vg e seu ângulo de fase se Vo 250l0 V Figura P1026 1 2 L1 L3 L2 j01 V Vo Vg 1 2 1027 Considere o circuito descrito no Problema 978 a Qual é o valor eficaz da tensão na carga b Qual percentagem da potência média pro duzida pela fonte real é fornecida à carga 1028 Três cargas estão ligadas em paralelo a uma linha de 300 V ef como mostra a Figura P1028 A carga 1 absorve 3 kW com um fp unitário a carga 2 absorve 5 kVA com um fp adiantado de 08 a carga 3 absorve 5 kW e fornece 6 kVARs a Determine a impedância equivalente das três cargas em paralelo b Determine o fator de potência da carga equivalente vista dos terminais de entrada da linha Figura P1028 1 2 300 V rms 1 2 3 Circuitos elétricos 436 Book Nilsson 2indb 436 290116 1423 1029 As três cargas no Problema 1028 são alimen tadas por uma linha que tem uma impedân cia em série de 002 j005 V como mostra a Figura P1029 a Calcule o valor eficaz da tensão Vf na extremidade da linha ligada à fonte b Calcule a potência média e a potência reativa associadas à impedância de linha c Calcule a potência média e a potência rea tiva na extremidade da linha ligada à carga d Calcule a eficiência h da linha se a efi ciência for definida como h PcargaPfonte 100 Figura P1029 1 2 1 2 j005 V Vs 02 V L1 L2 L3 300 08 V ef 1030 As três cargas do circuito da Figura P1030 podem ser descritas da seguinte forma a carga 1 é um resistor de 240 V em série com uma reatân cia indutiva de 70 V a carga 2 é uma reatância capacitiva de 120 V em série com um resistor de 160 V e a carga 3 é um resistor de 30 V em série com uma reatância capacitiva de 40 V A frequência da fonte de tensão é 60 Hz a Determine o fator de potência e o fator reativo de cada carga b Determine o fator de potência e o fator reativo da carga composta vista pela fonte de tensão Figura P1030 vg Carga 1 Carga 2 Carga 3 1 2 1031 a Determine a potência média dissipada na linha na Figura P1031 b Determine a reatância capacitiva que quando ligada em paralelo com a carga fará com que esta se comporte como uma carga puramente resistiva c Qual é a impedância equivalente da carga em b d Determine a potência média dissipada na linha quando a reatância capacitiva está ligada à carga e Expresse a perda de potência em d como uma percentagem da perda de potência determinada em a Figura P1031 1 2 Linha Carga 6 V j8 V 30 V j40 V Fonte 08 V ef 270 1032 A queda de tensão de regime permanente ao longo da linha de transmissão da Figura P1032 é excessiva Um capacitor é colocado em paralelo com a carga de 150 kVA e ajus tado até que a tensão de regime permanente no início da linha tenha a mesma magnitude que a tensão na carga isto é 4800 V ef A carga de 150 kVA está operando com um fator de potência atrasado de 08 Calcule o valor do capacitor em microfarads se o cir cuito estiver operando em 60 Hz Quando selecionar o capacitor não se esqueça da necessidade de manter a perda de energia da linha em um nível razoável Figura P1032 150 kVA 08 atrasado Vs 10 V j5 V 08 V ef 1 2 1 2 4800 1033 Um grupo de pequenos eletrodomésticos em um sistema de 60 Hz absorve 20 kVA com um fp atrasado de 085 quando fun cionam em 125 V ef A impedância do ali mentador que energiza os eletrodomésticos é 001 j008 V A tensão nos terminais da carga é 125 V ef Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 437 Book Nilsson 2indb 437 290116 1423 a Qual é a tensão eficaz na outra extremi dade do cabo b Qual é a perda de potência média no alimentador c Qual é o valor do capacitor em micro farads a ser instalado nos terminais da carga para corrigir o fator de potência da carga para o valor unitário d Após a instalação do capacitor qual será a tensão eficaz na outra extremidade do alimentador se a tensão na carga for mantida em 125 V ef e Qual é a perda de potência média no ali mentador para o item d 1034 Uma fábrica absorve 1600 kW com um fator de potência atrasado de 08 Uma carga adi cional de fator de potência variável deve ser instalada na fábrica A nova carga absorverá 320 kW de potência ativa O fator de potên cia da carga adicionada deve ser ajustado de modo que o fator de potência global da fábrica seja de 096 atrasado a Especifique a potência reativa associada à carga adicionada b A carga adicionada absorve ou fornece potência reativa c Qual é o fator de potência da carga adicional d Admita que a tensão de entrada na fábrica seja 2400 V ef Qual é o valor eficaz da corrente que alimenta a fábrica antes da adição da carga e Qual é o valor eficaz da corrente que ali menta a fábrica após a adição da carga 1035 Suponha que a fábrica descrita no Problema 1034 seja alimentada por uma linha cuja impedância é 025 j01 V A tensão na fábrica é mantida a 2400 V ef a Determine a perda de potência média na linha antes e depois da adição da carga b Determine o valor da tensão no início da linha antes e depois da adição da carga 1036 a Determine as seis correntes de ramo Ia If no circuito da Figura P1036 b Determine a potência complexa em cada ramo do circuito c Confirme seus cálculos verificando se a potência média fornecida é igual à potên cia média dissipada d Confirme seus cálculos verificando se a potência reativa gerada é igual à potên cia reativa absorvida Figura P1036 1 2 10 V Ia Ib Id Ic If Ie 50 08 V ef j10 V j10 V 2j10 V 10 V j20 V 1037 a Determine a potência média fornecida ao resistor de 8 V no circuito da Figura P1037 b Determine a potência média produzida pela fonte de tensão senoidal ideal c Determine Zab d Mostre que a potência média fornecida é igual à potência média dissipada Figura P1037 1 2 Zab a b 08 V ef 8 V j10 V j20 V j14 V j8 V j6 V 2 V j4 V 272 1038 a Determine a potência média fornecida pela fonte de corrente senoidal no circuito da Figura P1038 b Determine a potência média fornecida ao resistor de 20 V Figura P1038 Ideal 4 1 60 V 40 V 20 V ef 5 08A Circuitos elétricos 438 Book Nilsson 2indb 438 290116 1423 1039 a Determine a potência média dissipada em cada resistor no circuito da Figura P1039 b Confirme sua resposta demonstrando que a potência total fornecida é igual à potência total absorvida Figura P1039 1 2 30 V 5 V 900 Espiras I d e a l 300 Espiras 2j40 V j10 V 250 08 V ef 1040 A fonte de tensão senoidal no circuito da Figura P1040 está fornecendo uma tensão efi caz de 2000 V A carga de 4 V está absorvendo quatro vezes mais potência média do que a carga de 25 V As duas cargas estão casadas com a fonte senoidal cuja impedância interna é de 500l0 kV a Especifique os valores numéricos de a1 e a2 b Calcule a potência fornecida à carga de 25 V c Calcule o valor eficaz da tensão no resis tor de 4 V Figura P1040 1 2 V ef 08 2000 25 V 4 V 500 V a11 Ideal a21 Ideal Seção 106 1041 a Determine a impedância de carga para o circuito da Figura P1041 para a máxima transferência de potência média à carga se v 8 krads b Determine a máxima potência média for necida à carga na parte a se vg 10 cos 8000t V c Repita a parte a considerando que ZL consista em dois componentes do Apên dice H cujos valores permitam uma potência média máxima mais próxima do valor calculado na parte b Figura P1041 1 2 ZL 4 kV 500 mH 3125 nF vg 1042 Suponhamos que uma impedância igual ao conjugado da impedância de Thévenin seja ligada aos terminais cd do circuito mostrado na Figura P975 a Determine a potência média fornecida pela fonte de tensão senoidal b Que percentagem da potência fornecida pela fonte é dissipada no transformador linear 1043 O fasor tensão Vab no circuito da Figura P1043 é 300 l0 V ef quando nenhuma carga externa está ligada aos terminais ab Quando uma carga de impedância 200 j500 V é ligada aos terminais ab o valor de Vab é 156 j42 V ef a Determine a impedância que deve ser ligada aos terminais ab para a máxima transferência de potência média b Determine a máxima potência média transferida à carga de a c Construa a impedância da parte a utili zando componentes do Apêndice H se a frequência da fonte é de 50 Hz Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 439 Book Nilsson 2indb 439 290116 1423 Figura P1043 Circuito em regime permanente senoidal b a 1 2 Vab 1044 A impedância de carga ZL no circuito da Figura P1044 é ajustada até que lhe seja for necida a máxima potência média a Determine a máxima potência média for necida a ZL b Qual percentagem da potência total pro duzida no circuito é fornecida a ZL Figura P1044 1 2 1 2 ZL 25 V 1 V j3 V 5If 100 08 V ef j10 V If 1045 Prove que se apenas o módulo da impedância de uma carga puder variar a maior potência média lhe será transferida quando ZL ZTh Sugestão ao deduzir a expressão para a potên cia média da carga escreva a impedância de carga ZL na forma ZL ZL cos u jZL sen u e observe que somente ZL é variável 1046 O resistor variável no circuito da Figura P1046 é ajustado até que a potência média que ele absorve seja máxima a Determine R b Determine a máxima potência média c Encontre um resistor no Apêndice H que teria a maior potência média fornecida a ele Figura P1046 1 2 500 V j300 V 2j480 V j200 V 200 V R 300 08 V ef 1047 O resistor variável Ro no circuito da Figura P1047 é ajustado até que absorva máxima potência média a Qual é o valor de Ro em ohms b Calcule a potência média fornecida a Ro c Se Ro for substituído por uma impedância variável Zo qual será a máxima potência média a ser fornecida a Zo d Em c qual percentagem da potência produzida pelo circuito é fornecida à carga Zo Figura P1047 100 08 V ef 1 2 5 V 5 V 2j 5 V j 5 V Ro Vf Vf 1 2 10 1048 O valor de pico da tensão da fonte senoidal do circuito da Figura P1048 é 180 V e sua frequência é 5000 rads O resistor de carga pode variar de 0 a 4000 V e o capacitor de carga pode variar de 01 mF a 05 mF a Calcule a potência média fornecida à carga quando Ro 2000 V e Co 02 mF b Determine os valores de Ro e Co que resultarão na maior potência média transferida a Ro c Qual é a maior potência média em b Ela é maior do que a potência em a d Se não houver restrições a Ro e Co qual será a máxima potência média que pode ser fornecida a uma carga e Quais são os valores de Ro e Co para a condição em d f A potência média calculada em d é maior do que a calculada em c Figura P1048 1 2 Co 6 kV 06 H vg Ro 12 kV Pspice Multisim Circuitos elétricos 440 Book Nilsson 2indb 440 290116 1423 1049 a Admita que na Figura P1048 Ro possa variar entre 0 e 10 kV Repita b e c do Problema 1048 b A nova potência média calculada em a é maior do que a determinada no Pro blema 1048a c A nova potência média calculada em a é menor do que a determinada no Pro blema 1048d 1050 A tensão no início da linha de transmissão da Figura P1050 é ajustada de modo que o valor eficaz da tensão na carga seja sempre 4000 V O capacitor variável é ajustado até que a potência média dissipada na resistência da linha seja mínima a Se a frequência da fonte senoidal for 60 Hz qual será o valor da capacitância em microfarads b Se o capacitor for eliminado do circuito qual será o aumento percentual de Vf necessário para manter 4000 V na carga c Se o capacitor for eliminado do circuito qual será o aumento percentual das per das na linha Figura P1050 125 V 100 V j10 V 2jXC j100 V 1 2 Vs 1 2 08 V ef 4000 1051 Para o circuito no domínio da frequência na Figura P1051 calcule a o valor eficaz do módulo de Vo b a potência média dissipada no resistor de 160 V c a percentagem da potência média gerada pela fonte de tensão ideal que é forne cida ao resistor de 9 V Figura P1051 1 2 5120 08 V ef 30 V j100 V j64 V 160 V j40 V 1 2 Vo 1052 O resistor de 160 V no circuito da Figura P1051 é substituído por uma impedância variável Zo Admita que Zo seja ajustada para transferência de máxima potência média a Qual é a máxima potência média forne cida a Zo b Qual é a potência média fornecida pela fonte de tensão ideal quando Zo absorve a máxima potência média c Escolha componentes individuais do Apêndice H para formar uma impedân cia que dissipe a potência média mais próxima do valor do item a Assuma que a frequência da fonte é 60 Hz 1053 Encontre a impedância vista pela fonte ideal de tensão no circuito da Figura P1053 quando Zo é ajustado para transferência de potência média máxima Figura P1053 Zo 1 2 40 08 V ef 15 V j30 V j18 V j15 V 1054 A impedância ZL no circuito da Figura P1054 é ajustada para máxima transferência de potência média a ZL A impedância interna da fonte de tensão senoidal é 4 j7 V a Qual é a máxima potência média forne cida a ZL b Qual percentagem da potência média fornecida ao transformador linear é for necida a ZL Figura P1054 1 2 4 V 12 V 11 V j7 V j5 V j23 V j10 V Fonte Transformador Carga 08 V ef ZL 120 1055 a Determine a expressão de regime perma nente para as correntes ig e iL no circuito da Figura P1055 quando vg 400 cos 400t V Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 441 Book Nilsson 2indb 441 290116 1423 b Determine o coeficiente de acoplamento c Determine a energia armazenada nos enrolamentos magneticamente acopla dos em t 125p ms e t 25p ms d Determine a potência fornecida ao resis tor de 375 V e Se o resistor de 375 V for substituído por um resistor variável RL qual será o valor de RL para que ele absorva a máxima potência média f Qual é a máxima potência média em e g Admita que o resistor de 375 V seja subs tituído por uma impedância variável ZL Qual é o valor de ZL para que ela absorva a máxima potência média h Qual é a máxima potência média em g Figura P1055 1 2 125 V 625 mH vg ig iL 625 mH 375 V 3125 mH 1056 Os valores dos parâmetros do circuito da Figura P1056 são L1 8 mH L2 2 mH k 075 Rg 1 V e RL 7 V Se vg 542 cos 1000t V determine a o valor eficaz de vo b a potência média fornecida a RL c a percentagem da potência média gerada pela fonte de tensão ideal que é forne cida a RL Figura P1056 k 1 2 vg RL Rg L1 L2 vo 1 2 1057 Suponha que o coeficiente de acoplamento no circuito da Figura P1056 seja ajustável a Determine o valor de k que torne vo igual a zero b Determine a potência desenvolvida pela fonte quando k tem o valor encontrado em a 1058 Admita que o resistor de carga RL no cir cuito da Figura P1056 seja ajustável a Qual é o valor de RL para máxima trans ferência de potência média a RL b Qual é o valor da máxima potência transferida 1059 A impedância de carga ZL no circuito da Figura P1059 é ajustada até que a máxima potência média seja transferida para ZL a Especifique o valor de ZL se N1 3600 espiras e N2 600 espiras b Especifique os valores de IL e VL quando ZL estiver absorvendo máxima potência média Figura P1059 50 V j400 V N1 1 2 V ef 08 24 I d e a l N2 ZL 1 2 VL IL 1060 A fonte de tensão senoidal no circuito da Figura P1060 está operando em uma frequên cia de 20 krads A reatância capacitiva variá vel do circuito é ajustada até que a potência média fornecida ao resistor de 100 V seja a maior possível a Determine o valor de C em microfarads b Quando C tiver o valor determinado em a qual será a potência média fornecida ao resistor de 100 V c Substitua o resistor de 100 V por um resistor variável Ro Especifique o valor de Ro de modo que lhe seja fornecida máxima potência média d Qual é a máxima potência média que pode ser fornecida a Ro Circuitos elétricos 442 Book Nilsson 2indb 442 290116 1423 Figura P1060 15 Ideal 2 V 100 V j10 V 20 V C 15 08 A ef 1061 Determine a potência média fornecida ao resistor de 5 kV no circuito da Figura P1061 Figura P1061 1 2 145 08 V ef 200 V 5 kV Ideal Ideal 25 1 1 50 1062 O transformador ideal ligado à carga de 5 kV no Problema 1061 é substituído por um trans formador ideal cuja razão entre espiras é 1a a Qual é o valor de a para o máximo forne cimento de potência média ao resistor de 5 kV b Qual é a máxima potência média 1063 a Determine a relação de espiras N1N2 do transformador ideal no circuito da Figura P1063 de modo que uma potência média máxima seja fornecida à carga de 400 V b Determine a potência média fornecida à carga de 400 V c Determine a tensão V1 d Qual percentagem da potência desenvol vida pela fonte de corrente ideal é forne cida ao resistor Figura P1063 10 kV N2 Ideal N1 400 V 80 kV V1 225 08 mA ef 1 2 1064 a Se N1 for igual a 1000 espiras quantas espi ras deve ter o enrolamento N2 do trans formador ideal no circuito apresentado na Figura P1064 para que seja fornecida máxima potência média à carga de 6800 V b Determine a potência média fornecida ao resistor de 6800 V c Qual percentagem da potência média fornecida pela fonte de tensão ideal é dis sipada no transformador linear Figura P1064 Ideal 40 V 720 V 1 2 V ef 255 08 6800 V j30 V j1500 V N2 N1 j200 V 1065 O resistor variável RL no circuito da Figura P1065 é ajustado de forma a absorver máxima potência média a Determine a máxima potência média b Qual percentagem da potência média produzida pela fonte de tensão ideal é fornecida a RL quando este está absor vendo máxima potência média c Teste sua solução mostrando que a potên cia fornecida pela fonte de tensão ideal é igual à potência dissipada no circuito Figura P1065 4 V 1 V 12 V 16 V 1 2 V ef 08 40 Ideal 14 RL 1066 Repita o Problema 1065 para o circuito da Figura P1066 Figura P1066 80 V 20 V 40 V 1 2 V ef 500 08 360 V Ideal 12 RL Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 10 Cálculos de potência em regime permanente senoidal 443 Book Nilsson 2indb 443 290116 1423 Seções 101106 1067 a Use os valores da Tabela 103 para calcu lar o número de quilowattshora consumi dos em um mês por um adaptador CC de computador portátil se todo dia o equipa mento é carregado por 5 horas e fica em modo de espera por 19 horas b Repita o cálculo da parte a assumindo que o computador é carregado por 5 horas e fica desligado por 19 horas c Repita o cálculo da parte a assumindo que o computador é carregado por 5 horas e desconectado do adaptador CC por 19 horas mas o adaptador permanece conectado à tomada d Repita o cálculo da parte a assumindo que o computador é carregado por 5 horas e o adaptador CC fica desconec tado da tomada por 19 horas 1068 a Suponha que você utilize seu forno micro ondas por 12 minutos todos os dias No tempo restante ele fica ligado com a porta fechada Use os valores da Tabela 103 para calcular o número total de quilowattshora utilizados pelo microondas em um mês b Qual percentagem da energia utilizada pelo forno microondas em um mês é consumida quando ele fica ligado com a porta fechada 1069 Determine a potência em watts consumida pelo transformador da Figura 1029 Assuma que a fonte de tensão é ideal Rs 0 V R1 5 V L1 250 mH A frequência da fonte de 120 V ef é 60 Hz 1070 Repita o Problema 1069 assumindo que o transformador linear foi melhorado de modo que Rs 50 mV Todos os outros valores per manecem inalterados 1071 Repita o Problema 1069 assumindo que o transformador linear da Figura 1029 foi subs tituído por um transformador ideal com uma relação de espiras de 301 Sugestão você não precisa fazer quaisquer cálculos para deter minar a potência consumida Circuitos elétricos 444 Book Nilsson 2indb 444 290116 1423 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 111 Tensões trifásicas equilibradas 112 Fontes de tensão trifásicas 113 Análise do circuito YY 114 Análise do circuito YD 115 Cálculos de potência em circuitos trifásicos equilibrados 116 Medição de potência média em circuitos trifásicos Circuitos trifásicos equilibrados Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber analisar um circuito trifásico equilibrado YY 2 Saber analisar um circuito trifásico equilibrado YD 3 Saber calcular a potência média reativa e complexa em qualquer circuito trifásico A geração transmissão distribuição e utilização de grandes blocos de energia elétrica são feitas por meio de circuitos trifásicos A análise abrangente desses sistemas constitui por si só uma área de estudo tal análise não pode ser feita em um único capítulo Felizmente entender apenas o comportamento de regime per manente senoidal de circuitos trifásicos é sufi ciente para engenheiros que não são especialistas em sistemas de potência Defi niremos o que signifi ca um circuito equilibrado mais adiante em nossa discussão As mesmas técnicas de análise de circuitos discutidas em capítulos anteriores podem ser aplicadas a circuitos trifásicos equilibrados ou desequilibrados Neste capítulo usamos essas técnicas para formular vários princípios simplifi cadores para a análise de circuitos trifásicos equilibrados Por questão de economia os sistemas trifásicos são projetados normalmente para operar no estado equili brado Assim nesta abordagem introdutória é justifi cável considerar apenas os circuitos equilibrados A análise de circuitos trifásicos desequilibrados que você encontrará se estudar sistemas de potência em cursos mais avança dos depende muito do entendimento de circuitos equilibrados A estrutura básica de um sistema trifásico consiste em fontes de tensão ligadas a cargas por meio de trans formadores e linhas de transmissão Para analisar tal circuito podemos reduzilo a uma fonte de tensão ligada a uma carga por uma linha A exclusão do transformador simplifi ca a discussão sem prejudicar o entendimento básico 11 Book Nilsson 2indb 445 290116 1423 dos cálculos envolvidos A Figura 111 mostra um circuito básico A ca racterística fundamental de um circuito trifásico equilibrado é que sua fonte é um conjunto de tensões trifásicas equilibradas Começamos considerando essas tensões e então passamos para as relações entre tensão e corrente para circuitos YY e YD Após considerarmos tensão e corrente nesses circuitos concluímos com seções sobre cálculos e medição de potência Perspectiva prática Transmissão e distribuição de energia elétrica Neste capítulo apresentamos circuitos projetados para operar com grandes blocos de energia elétrica São os circuitos usados para transportar energia elétrica das usinas geradoras até clientes industriais e residenciais Apresentamos o circuito comumente utilizado por clientes residenciais nos Estados Unidos como perspectiva de projeto no Capítulo 9 Agora voltamos ao tipo de circuito utilizado para fornecer energia elétrica a toda uma unidade residencial Uma das restrições impostas ao projeto e à operação de uma concessionária de energia elétrica é o requisito de que ela mantenha certo valor de tensão eficaz na residência do cliente Seja com carga leve às três horas da madrugada seja com carga pesada no meio da tarde de um dia quente e úmido a concessionária é obrigada a fornecer o mesmo nível de tensão eficaz Lembrese de que no Capítulo 10 dissemos que um capacitor pode ser considerado uma fonte de energia reativa Portanto uma técnica para manter os níveis de tensão de uma concessionária é inserir capacitores em locais estratégicos na rede de distribuição A ideia que fundamenta essa técnica é usar os capacitores para fornecer energia reativa próximos das cargas que dela necessitam em vez de enviálos por meio de linhas diretamente a partir de um gerador Ilustraremos esse conceito depois de apresentar a análise de circuitos trifásicos equilibrados Rolf VennenbernddpaCorbis Figura 111 Circuito trifásico básico Linha trifásica Carga trifásica Fonte de tensão trifásica 111 Tensões trifásicas equilibradas Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas consiste em três tensões senoidais que têm amplitudes e frequências idênticas mas estão defasadas umas das outras por exatamente 120 Circuitos elétricos 446 Book Nilsson 2indb 446 290116 1424 As três fases são chamadas tradicionalmente de a b e c e a fase a é tomada como a de referên cia As três tensões são designadas tensão de fase a tensão de fase b e tensão de fase c Há apenas duas relações de fase possíveis entre a tensão de fase a e as tensões de fase b e c Uma das possibilidades é a tensão de fase b estar 120 atrasada em relação à tensão de fase a caso em que a tensão de fase c deve estar 120 adiantada em relação à tensão de fase a Essa relação entre fases é conhecida como sequência de fase abc ou positiva Outra possibilidade é a tensão de fase b estar 120 adiantada em relação à tensão de fase a caso em que a tensão de fase c deve estar 120 atrasada em relação à tensão de fase a Essa relação é conhecida como sequência de fase acb ou negativa Em notação fasorial os dois conjuntos possíveis de ten sões de fase equilibradas são Vc Vm l 120 Vb Vm l 120 Va Vm l0 111 e Vc Vm l 120 Vb Vm l 120 Va Vm l0 112 As equações 111 referemse à sequência abc ou positiva As equações 112 referemse à sequência acb ou negativa A Figura 112 mostra os diagramas fasoriais dos conjuntos de tensões das equações 111 e 112 A sequência de fases é a ordem em sentido horário dos índices a partir de Va O fato de um circuito trifásico poder ter uma de duas sequências de fases deve ser levado em conta sempre que dois desses circuitos operarem em paralelo Os circuitos só podem operar em paralelo se tiverem a mesma sequência de fases Outra característica importante de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é que a soma das três tensões é igual a zero Assim pelas equações 111 ou pelas equações 112 Va Vb Vc 0 113 Como a soma dos fasores tensão é zero a soma das tensões ins tantâneas também é nula isto é va vb vc 0 114 Agora que conhecemos a natureza de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas podemos mostrar o primeiro princípio simpli ficador a que aludimos na introdução deste capítulo se conhecermos a sequência de fases e uma das tensões do conjunto conheceremos o conjunto inteiro Assim no caso de um sistema trifásico equilibrado podemos nos concen trar na determinação da tensão ou corrente referente a uma fase pois conhecida a grandeza referente a uma fase conhecemos as referentes às outras NOTA avalie sua compreensão a respeito de tensões trifásicas resolvendo os problemas 111 e 112 apresentados no final deste capítulo Figura 112 Diagramas fasoriais de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas a Sequência abc positiva b Sequência acb negativa Va Vb Vc Vb Va Vc Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 447 Book Nilsson 2indb 447 290116 1424 112 Fontes de tensão trifásicas Uma fonte de tensão trifásica é um gerador com três enrolamentos separados e distribuídos ao longo da periferia do estator Cada enrolamento constitui uma fase do gerador O rotor do gerador é um eletroímã acionado a uma velocidade síncrona por uma máquina motriz como uma turbina a vapor ou a gás A rotação do eletroímã induz uma tensão senoidal em cada enro lamento Os enrolamentos de fase são projetados de modo que as tensões senoidais neles induzidas tenham amplitudes iguais e estejam 120 defasadas umas das outras Como os enrolamentos de fase são estacioná rios em relação ao eletroímã rotativo a frequência da tensão induzida em cada enrolamento é a mesma A Figura 113 mostra a estrutura interna de uma fonte tri fásica de dois polos Há duas maneiras de interligar os enrolamentos de fase para formar uma fonte trifásica em uma con figuração Y ou em uma delta D A Figura 114 mos tra ambas as configurações utilizando fontes de tensão ideais para modelar os enrolamentos de fase do gerador trifásico O terminal comum na fonte ligada em Y rotulado como n na Figura 114a é denominado terminal neutro da fonte O terminal neutro pode ou não estar disponível para ligações externas Às vezes a impedância de cada enrolamento de fase é tão pequena em comparação com outras impedâncias do circuito que não precisamos levála em conta para modelar o gerador neste caso o modelo consiste exclusivamente em fontes de ten são ideais como na Figura 114 Contudo se a impedância de cada enrolamento de fase não for desprezível colocamos a impedân cia do enrolamento em série com uma fonte de tensão senoidal ideal Como todos os enrolamentos do gerador são constituídos da mesma forma admitimos que suas impedâncias sejam idênticas A impedância do enrolamento de um gerador trifásico é indutiva A Figura 115 mostra um modelo de tal gerador no qual Rw é a resis tência do enrolamento e Xw é sua reatância indutiva Como as fontes e cargas trifásicas podem estar ligadas em Y ou em D o circuito básico na Figura 111 apresenta as quatro con figurações possíveis Fonte Carga Y Y Y D D Y D D Figura 113 Estrutura de uma fonte de tensão trifásica Eixo do enrolamento da fase a en r o l a m en to de fa se c en r ola men to defa se b en r o la m e n t o d e fase a enro la me n to de f a s e c enro la men to de fase b en ro la me n t o de f a se a N S Rotação Rotor Enrolamento do campo Estator A i r g a p Eixo do enrolamento da fase b Eixo do enrolamento da fase c Figura 114 Duas ligações básicas de uma fonte trifásica ideal a Fonte ligada em Y b Fonte ligada em D 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 1 2 a b c a a b c b Va Vb Va Vb Vc Vc Circuitos elétricos 448 Book Nilsson 2indb 448 290116 1424 Começamos analisando o circuito YY Como os três arranjos restantes podem ser reduzi dos a um circuito equivalente YY a análise do circuito YY é a chave para resolver todos os arranjos trifásicos equilibrados Depois de analisar o arranjo YY ilustraremos a redução do arranjo YD a um arranjo YY equivalente deixando para você a análise dos arranjos DY e DD nos problemas ao final do capítulo 113 Análise do circuito YY A Figura 116 mostra um circuito YY geral no qual incluímos um quarto condutor que liga o neutro da fonte ao neutro da carga Um quarto condutor só é possível no arranjo YY Adiante falaremos mais sobre isso Por conveniência transformamos as ligações em Y em ligações em T tombado Na Figura 116 Zga Zgb e Zgc representam a impedância interna associada a cada enrolamento de fase do gerador Z1a Z1b e Z1c representam a impedância das linhas que ligam uma fase da fonte a uma fase da carga Z0 é a impedância do condutor neutro que liga o neu tro da fonte ao neutro da carga e ZA ZB e ZC representam a impedância de cada fase da carga Figura 115 Modelo de uma fonte trifásica com impedância de enrolamento a fonte ligada em Y e b fonte ligada em D 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a b jXw jXw Rw Rw jXw Rw Rw Rw Rw jXw jXw jXw b c b c a a Va Va Vc Vb Vc Vb Figura 116 Sistema trifásico YY a A n N b B c C IaA Va9n Zga Z1a Z1b Z1c Z0 Zgc Zgb ZB ZA ZC 1 2 Vc9n Vb9n 2 1 2 1 I0 IbB IcC Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 449 Book Nilsson 2indb 449 290116 1424 Podemos descrever esse circuito com uma única equação de tensões de nó Usando o neu tro da fonte como nó de referência e denominando VN a tensão entre os nós N e n obtemos a seguinte equação das tensões de nó VN Z0 VN Va 9n ZA Z1a Zga VN Vb 9n ZB Z1b Zgb VN Vc9n ZC Z1c Zgc 0 115 Essa é a equação geral para qualquer circuito com a configuração YY representada na Figura 116 Mas podemos simplificar a Equação 115 significativamente se considerarmos a definição formal de um circuito trifásico equilibrado Tal circuito satisfaz os seguintes critérios 1 As fontes de tensão formam um conjunto de tensões trifásicas equilibradas Na Figura 116 isso significa que Vc9n Va9n Vb9n e Vc9n Va9n Vb9n são um conjunto de tensões trifásicas equilibradas 2 A impedância de cada fase da fonte de tensão é a mesma Na Figura 116 isso significa que Zga Zgb Zgc 3 A impedância do condutor em cada linha ou fase é a mesma Na Figura 116 isso signi fica que Z1a Z1b Z1c 4 A impedância de cada fase da carga é a mesma Na Figura 116 isso significa que ZA ZB ZC Não há nenhuma restrição quanto à impedância do condutor neutro seu valor não tem nenhum efeito no equilíbrio do sistema Se o circuito na Figura 116 for equilibrado podemos reescrever a Equação 115 como VNa 1 Z0 3 Zf b Va9n Vb9n Vc9n Zf 116 em que Zf ZA Z1a Zga ZB Z1b Zgb ZC Z1c Zgc O lado direito da Equação 116 é igual a zero porque por hipótese o numerador é um conjunto de tensões trifásicas equilibradas e Zf não é nulo O único valor de VN que satisfaz a Equação 116 é zero Portanto para um circuito trifásico equilibrado VN 0 117 A Equação 117 é de extrema importância Se VN for igual a zero não há nenhuma diferença de potencial entre o neutro da fonte n e o neutro da carga N portanto a corrente no condutor neutro é nula Daí podemos eliminar o condutor neutro de um circuito equilibrado na confi guração YY I0 0 ou substituílo por um curtocircuito perfeito entre os nós n e N VN 0 Ambos os equivalentes são convenientes na modelagem de circuitos trifásicos equilibrados Examinamos agora o efeito do equilíbrio das fases sobre as três correntes de linha Com relação à Figura 116 quando o sistema está equilibrado as três correntes de linha são IcC Vc9n VN ZC Z1c Zgc Vc9n Zf IbB Vb9n VN ZB Z1b Zgb Vb9n Zf IaA Va9n VN ZA Z1a Zga Va9n Zf 118 119 1110 Condições u para um circuito trifásico equilibrado Circuitos elétricos 450 Book Nilsson 2indb 450 290116 1424 Vemos que as três correntes de linha formam um conjunto equilibrado de correntes trifá sicas isto é a amplitude e a frequência da corrente em cada linha são iguais à amplitude e à frequência das correntes nas outras duas linhas e estão 120 defasadas em relação a elas Assim se calcularmos a corrente IaA e soubermos qual é a sequência de fase poderemos determinar facilmente IbB e IcC Esse procedimento é semelhante ao utilizado para determinar as tensões de fase b e c a partir da tensão de fase a da fonte Podemos usar a Equação 118 para construir um circuito equivalente para a fase a do cir cuito YY equilibrado De acordo com essa equação a corrente da fase a é simplesmente a ten são da fase a do gerador dividida pela impedância total na fase a do circuito Assim a Equação 118 descreve o circuito simples mostrado na Figura 117 no qual o condutor neutro foi subs tituído por um curtocircuito perfeito O circuito na Figura 117 é chamado de circuito mono fásico equivalente de um circuito trifásico equilibrado Por causa das relações estabelecidas entre fases uma vez resol vido esse circuito é fácil expressar as tensões e correntes nas outras duas fases Por isso desenhar um circuito monofásico equivalente é uma importante primeira etapa na análise de um circuito trifásico Uma advertência a corrente no condutor neutro da Figura 117 é IaA que não é a corrente no condutor neutro do circuito trifásico equilibrado cujo valor real é Io IaA IbB IcC 1111 Assim o circuito mostrado na Figura 117 fornece o valor correto da corrente de linha mas apenas a componente da fase a da corrente de neutro Sempre que esse circuito monofá sico equivalente for aplicável as correntes de linha formarão um conjunto trifásico equili brado e a soma do lado direito da Equação 1111 será igual a zero Conhecida a corrente de linha da Figura 117 calcular quaisquer tensões de interesse é relativamente simples De particular interesse é a relação entre as tensões fasefase e as tensões faseneutro Estabe lecemos essa relação nos terminais da carga mas nossas observações também se aplicam aos terminais da fonte As tensões fasefase nos terminais da carga podem ser vistas na Figura 118 Elas são VAB VBC e VCA onde a notação de índice duplo indica uma queda de tensão entre o primeiro e o segundo nós Como estamos supondo o circuito equili brado omitimos o condutor neutro da Figura 118 As tensões faseneutro são VAN VBN e VCN Agora podemos des crever as tensões fasefase em termos das tensões faseneutro usando a lei das tensões de Kirchhoff VCA VCN VAN VBC VBN VCN VAB VAN VBN 1112 1113 1114 Figura 117 Circuito monofásico equivalente Va9n a9 a A n N 1 2 Zga Zla ZA IaA Figura 118 Tensões fasefase e faseneutro VAN VBC VCN A B N C VBN VCA VAB 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 ZA ZC ZB Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 451 Book Nilsson 2indb 451 290116 1424 Para mostrar a relação entre as tensões fasefase e as tensões faseneutro admitimos uma sequência positiva ou abc Usando a tensão faseneutro da fase a como referência VCN Vf l 120 VBN Vf l 120 VAN Vf l0 1115 1116 1117 em que Vf representa o módulo da tensão faseneutro Substituindo as equações 11151117 nas equações 11121114 respectivamente temos VCA Vf l120 Vf l0 3Vf l150 VBC Vf l 120 Vf l120 3Vf l 90 VAB Vf l0 Vf l 120 3Vf l30 1118 1119 1120 As equações 11181120 revelam que 1 O módulo da tensão fasefase é 3 vezes o módulo da tensão faseneutro 2 As tensões fasefase formam um conjunto equilibrado de tensões trifásicas 3 O conjunto de tensões fasefase está 30 adiantado em relação ao conjunto de tensões faseneutro Deixamos a seu cargo demonstrar que para uma sequência negativa a única diferença é que o conjunto de tensões fasefase está 30 atrasado em relação ao conjunto de tensões faseneutro Os diagramas fasoriais mostrados na Figura 119 resumem essas obser vações Nesse caso mais uma vez aparece um princípio simplificador na análise de um sistema equilibrado se você souber qual é a ten são faseneutro em algum ponto do circuito poderá determinar com facilidade a tensão fasefase no mesmo ponto e viceversa Façamos agora uma pausa para comentar a terminologia Ten são de linha referese à tensão entre qualquer par de fases tensão de fase referese à tensão em uma única fase1 Corrente de linha referese à corrente em uma única linha corrente de fase referese à corrente em uma única fase Observe que em uma ligação em D a tensão de linha e a tensão de fase são idênticas e em uma ligação em Y a corrente de linha e a corrente de fase são idênticas Visto que os sistemas trifásicos são projetados para lidar com grandes blocos de energia elétrica todas as especificações de ten são e corrente são dadas em valores eficazes Quando são dadas tensões nominais elas se referem especificamente à tensão de linha Por isso quando dizemos que a tensão nominal de uma linha de transmissão trifásica é 345 kV o valor nominal da tensão eficaz 1 N do RT Entendese por tensão de uma única fase o seguinte a quando se referir à carga significa tensão nos terminais de cada uma das cargas constituintes da carga trifásica independentemente da forma de ligação b quando se referir à fonte significa tensão nos terminais de cada uma das três fontes que constituem a fonte trifásica independentemente da forma de ligação Figura 119 Diagramas fasoriais mostrando a relação entre tensões fasefase e tensões faseneutro em um sistema equilibrado a Sequência abc b Sequência acb VBC VAN VCN VBN VAB VCA 308 308 308 VBC VAN VCN VBN VAB VCA 308 308 308 Circuitos elétricos 452 Book Nilsson 2indb 452 290116 1424 fasefase é 345000 V Neste capítulo expressamos todas as tensões e correntes em valores eficazes Por fim a letra grega phi f é utilizada amplamente na literatura para designar uma quantidade por fase Assim Vf If Zf Pf e Qf são interpretadas como tensão de fase cor rente de fase impedância de fase potência de fase e potência reativa de fase respectivamente O Exemplo 111 mostra como usar as observações que fizemos até aqui para resolver um circuito YY trifásico equilibrado ExEMPlo 111 Análise de um circuito YY Um gerador trifásico equilibrado ligado em Y e com sequência de fases positiva tem uma impedância de 02 j05 Vf e uma tensão a vazio de 120 Vf O gerador alimenta uma carga trifásica equilibrada ligada em Y com uma impedância de 39 j28 Vf A impedância da linha que liga o gerador à carga é 08 j15 Vf A tensão a vazio da fase a do gerador é tomada como fasor de referência a Construa o circuito equivalente da fase a do sistema b Calcule as três correntes de linha IaA IbB e IcC c Calcule as três tensões de fase na carga VAN VBN e VCN d Calcule as tensões de linha VAB VBC e VCA nos terminais da carga e Calcule as tensões de fase nos terminais do gerador Van Vbn e Vcn f Calcule as tensões de linha Vab Vbc e Vca nos terminais do gerador g Repita a f para uma sequência de fases negativa Solução a A Figura 1110 mostra o circuito monofásico equivalente b A corrente de linha da fase a é 24 l 3687 A 120 l0 40 j30 IaA 120 l0 02 08 39 j05 15 28 Para uma sequência de fases positiva IcC 24 l8313 A IbB 24 l 15687 A c A tensão de fase no terminal A da carga é 11522 l 119 V VAN 39 j2824 l 3687 Para uma sequência de fases positiva Figura 1110 Circuito monofásico equivalente para o Exemplo 111 2 1 2 02 V 08 V n N j05 V j15 V 39 V j28 V IaA Van 1 2 VAN 120 08 V a9 a A 1 Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 453 Book Nilsson 2indb 453 290116 1424 VCN 11522 l11881 V VBN 11522 l 12119 V d Para uma sequência de fases positiva as tensões de linha estão 30 adiantadas em relação às ten sões de fase portanto VCA 19958 l14881 V VBC 19958 l 9119 V 19958 l2881 V VAB 3 l30 VAN e A tensão de fase no terminal a da fonte é 11890 l 032 V 11890 j067 120 129 l3133 Van 120 02 j0524 l 3687 Para uma sequência de fases positiva Vcn 11890 l11968 V Vbn 11890 l 12032 V f As tensões de linha nos terminais da fonte são Vca 20594 l14968 V Vbc 20594 l 9032 V 20594 l2968 V Vab 3 l30 Van g Mudar a sequência de fases não tem nenhum efeito sobre o circuito monofásico equivalente As três correntes de linha são IcC 24 l 15687 A IbB 24 l8313 A IaA 24 l 3687 A As tensões de fase na carga são VCN 11522 l 12119 V VBN 11522 l11881 V VAN 11522 l 119 V Circuitos elétricos 454 Book Nilsson 2indb 454 290116 1424 Para uma sequência de fases negativa as tensões de linha estão 30 atrasadas em relação às tensões de fase VCA 19958 l 15119 V VBC 19958 l8881 V 19958 l 3119 V VAB 3 l 30 VAN As tensões de fase nos terminais do gerador são Vcn 11890 l 12032 V Vbn 11890 l11968 V Van 11890 l 032 V As tensões de linha nos terminais do gerador são Vca 20594 l 15032 V Vbc 20594 l8968 V 20594 l 3032 V Vab 3 l 30 Van Objetivo 1 Saber analisar um circuito trifásico equilibrado YY 111 A tensão entre A e N em um circuito trifásico equilibrado é 240 l 30 V Se a sequência de fases for positiva qual será o valor de VBC Resposta 41569 l 120 V 112 A tensão da fase c de um sistema trifásico equilibrado ligado em Y é 450 l 25 V Se a sequência de fases for negativa qual será o valor de VAB Resposta 77942 l65 V 113 A tensão de fase nos terminais de uma carga trifásica equilibrada ligada em Y é 2400 V A carga tem uma impedância de 16 j12 Vf e é alimentada por uma linha que tem uma impedância de 010 j080 Vf A fonte ligada em Y na outra extremidade da linha tem uma sequência de fases acb e uma impe dância interna de 002 j016 Vf Use a tensão da fase a na carga como referência e calcule a as cor rentes de linha IaA IbB e IcC b as tensões de linha na fonte Vab Vbc e Vca e c as tensões faseneutro a vazio da fonte Varn Vbrn e Vcrn Resposta a e IcC 120 l 15687 A IbB 120 l8313 A IaA 120 l 3687 A b e Vca 427502 l 14838 V Vbc 427502 l9162 V Vab 427502 l 2838 V c e Vc9n 248205 l 11807 V Vb9n 248205 l12193 V Va9n 248205 l193 V NOTA tente resolver também os problemas 119 1111 e 1112 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 455 Book Nilsson 2indb 455 290116 1424 114 Análise do circuito YD Se a carga em um circuito trifásico estiver ligada em D ela pode ser transformada em Y por meio de uma transformação DY discutida na Seção 96 Quando a carga é equilibrada a impedância de cada braço do Y é um terço da impedância de cada lado do D ou ZY ZD 3 1121 que decorre diretamente das equações 951953 Após a carga em D ser substituída pelo Y equivalente a fase a pode ser modelada pelo circuito monofásico equivalente mostrado na Figura 1111 Usamos esse circuito para calcular as correntes de linha e então utilizamos as correntes de linha para determinar as cor rentes em cada perna da carga original em D A relação entre as correntes de linha e as correntes em cada perna do delta podem ser calculadas usandose o circuito mostrado na Figura 1112 Quando uma carga ou fonte está ligada em D a corrente em cada perna do D é a corrente de fase e a tensão em cada perna é a tensão de fase A Figura 1112 mostra que na con figuração em D a tensão de fase é idêntica à tensão de linha Para demonstrar a relação entre as correntes de fase e as correntes de linha admitimos uma sequência de fases positiva e representamos o módulo da corrente de fase por If Então ICA I f l120 IBC I f l 120 IAB I f l0 1122 1123 1124 Ao escrevermos essas equações selecionamos IAB arbi trariamente como fasor de referência Podemos escrever as correntes de linha em termos das correntes de fase pela aplicação direta da lei das correntes de Kirchhoff 3I f l 30 I f l0 I f l120 IaA IAB ICA 1125 3I f l 150 I f l 120 I f l0 IbB IBC IAB 1126 Relação entre u impedância trifásica ligada em D e ligada em Y Figura 1111 Circuito monofásico equivalente a9 n a A N IaA Va9n Zga Zia ZA 1 2 Figura 1112 Circuito utilizado para estabelecer a relação entre correntes de linha e correntes de fase em uma carga equilibrada ligada em D A C B IaA IbB IcC ZD ZD ZD IAB ICA IBC Circuitos elétricos 456 Book Nilsson 2indb 456 290116 1424 3I f l90 I f l120 I f l 120 IcC ICA IBC 1127 Comparando as equações 11251127 com as equações 11221124 percebemos que o módulo das correntes de linha é 3 vezes o módulo das correntes de fase e que o conjunto de correntes de linha está 30 atrasado em relação ao conjunto de correntes de fase Deixamos a seu cargo verificar que para uma sequência de fases negativa as correntes de linha são 3 vezes maiores do que as correntes de fase e estão 30 adiantadas em relação às correntes de fase Assim temos mais um princípio simplificador para calcular correntes de linha por meio das correntes de fase ou viceversa quando se trata de uma carga trifásica equilibrada ligada em D A Figura 1113 resume esse princípio O Exemplo 112 ilustra os cál culos envolvidos na análise de um circuito trifásico equilibrado que tem uma fonte ligada em Y e uma carga ligada em D Figura 1113 Diagramas fasoriais mostrando a relação entre correntes de linha e correntes de fase em uma carga ligada em D a Sequência positiva b Sequência negativa IaA IbB IcC IAB 308 ICA 308 IBC 308 a IAB 308 IBC 308 ICA 308 IcC IaA IbB b ExEMPlo 112 Análise de um circuito YD A fonte ligada em Y no Exemplo 111 alimenta uma carga ligada em D por meio de uma linha de dis tribuição cuja impedância é 03 j09 Vf A impedância de carga é 1185 j858 Vf Use a tensão a vazio da fase a do gerador como referência a Construa um circuito monofásico equivalente do sistema trifásico b Calcule as correntes de linha IaA IbB e IcC c Calcule as tensões de fase nos terminais da carga d Calcule as correntes de fase da carga e Calcule as tensões de linha nos terminais da fonte Solução a A Figura 1114 mostra o circuito monofásico equivalente A impedância da carga do Y equivalente é 1185 j858 3 395 j 286 Vf Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 457 Book Nilsson 2indb 457 290116 1424 b A corrente de linha da fase a é 120 l0 40 j 30 24 l 3687 A IaA 120 l0 02 03 395 j05 09 286 Daí IcC 24 l8313 A IbB 24 l 15687 A c Como a carga está ligada em D as tensões de fase são as mesmas que as tensões de linha Para cal cular as tensões de linha primeiro calculamos VAN 11704 l 096 V VAN 395 j28624 l 3687 Como a sequência de fases é positiva a tensão de linha VAB é 20272 l2904 V VAB 3 l30 VAN Portanto VCA 20272 l14904 V VBC 20272 l 9096 V d As correntes de fase da carga podem ser calculadas diretamente pelas correntes de linha 139 l 687 A IAB a 1 3 l30 b IaA Conhecida IAB também conhecemos as outras correntes de fase da carga ICA 139 l11313 A IBC 139 l 12687 A Observe que podemos confirmar o cálculo de IAB usando a VAB que calculamos antes e a impe dância da carga ligada em D isto é 139 l 687 A IAB VAB Zf 20272l2904 1185 j858 02 V n j05 V 120 08 V a9 a A N 03 V j09 V IaA 1 2 395 V j286 V Figura 1114 Circuito monofásico equivalente para o Exemplo 112 Circuitos elétricos 458 Book Nilsson 2indb 458 290116 1424 e Para calcular a tensão de linha nos terminais da fonte em primeiro lugar calculamos Van A Figura 1114 mostra que Van é a queda de tensão na impedância de linha somada à impedância da carga portanto 11890 l 032 V Van 398 j29524 l 3687 A tensão de linha Vab é Vab 3 l30 Van ou Vab 20594 l2968 V Portanto Vca 20594 l14968 V Vbc 20594 l 9032 V Objetivo 2 Saber analisar um circuito trifásico equilibrado YD 114 A corrente ICA em uma carga trifásica equilibrada ligada em D é 8 l 15 A Se a sequência de fases for positiva qual será o valor de IcC Resposta 1386 l 45 A 115 Uma carga trifásica equilibrada ligada em D é alimentada por um circuito trifásico equilibrado A refe rência para a corrente de linha da fase b é no sentido da carga O valor da corrente na fase b é 12 l65 A Se a sequência de fases for negativa qual será o valor de IAB Resposta 693 l 85 A 116 A tensão de linha VAB nos terminais de uma carga trifásica equilibrada ligada em D é 6928 l 10 A 4160 l0 V A corrente de linha IaA é 6928 l 10 A 4160 l0 V a Calcule a impedância por fase da carga se a sequência de fases for positiva b Repita a para uma sequência de fases negativa Resposta a b 104 l 40 V 104 l 20 V 117 A tensão de linha nos terminais de uma carga equilibrada ligada em D é 110 V Cada fase da carga con siste em um resistor de 3667 V em paralelo com uma impedância indutiva de 275 V Qual é o módulo da corrente na linha que alimenta a carga Resposta 8660 A NOTA tente resolver também os problemas 11141116 apresentados no final do capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 459 Book Nilsson 2indb 459 290116 1424 115 Cálculos de potência em circuitos trifásicos equilibrados Até aqui limitamos nossa análise de circuitos trifásicos equilibrados à determinação de correntes e tensões Agora discutiremos cálculos de potência trifásica Começamos conside rando a potência média fornecida a uma carga equilibrada ligada em Y Potência média em uma carga equilibrada ligada em Y A Figura 1115 mostra uma carga ligada em Y e as correntes e tensões pertinentes Calcu lamos a potência média associada a qualquer uma das fases usando as técnicas apresentadas no Capítulo 10 Tomando a Equação 1021 como ponto de partida expressamos a potência média associada à fase a como PA VANIaA cos uvA uiA 1128 em que uvA e uiA são os ângulos de fase de VAN e IaA respectiva mente Usando a notação apresentada na Equação 1128 podemos determinar a potência associada às fases b e c PB VBNIbB cos uvB uiB 1129 PC VCNIcC cos uvC uiC 1130 Nas equações 11281130 todos os fasores corrente e ten são são escritos em termos do valor eficaz da função senoidal que representam Em um sistema trifásico equilibrado o módulo de cada tensão faseneutro é o mesmo assim como o módulo de cada corrente de fase O argumento das funções cosseno também é o mesmo para todas as três fases Enfatizamos essas observações apresentando a seguinte notação Vf VAN VBN VCN 1131 If IaA IbB IcC 1132 e uf uvA uiA uvB uiB uvC uiC 1133 Além do mais para um sistema equilibrado a potência fornecida a cada fase da carga é a mesma PA PB PC Pf VfIf cos uf 1134 em que Pf representa a potência média por fase A potência média total fornecida à carga equilibrada ligada em Y é simplesmente três vezes a potência por fase ou PT 3Pf 3VfIf cos uf 1135 Figura 1115 Carga equilibrada ligada em Y utilizada nos cálculos de potência média em circuitos trifásicos 2 1 1 2 2 1 B N A C VAN VCN VBN IaA IbB IcC ZB ZA ZC Circuitos elétricos 460 Book Nilsson 2indb 460 290116 1424 Também é desejável expressar a potência total em termos dos valores eficazes da tensão e corrente de linha Se representarmos os módulos da tensão de linha e da corrente de linha por VL e IL respectivamente podemos modificar a Equação 1135 da seguinte forma 3VLI L cos uf PT 3a VL 3bI L cos uf 3VLI L cos uf PT 3a VL 3 bI L cos uf 1136 Para deduzirmos a Equação 1136 levamos em conta que em uma carga equilibrada ligada em Y o módulo da tensão de fase é o módulo da tensão de linha dividido por 3 e que o módulo da corrente de linha é igual ao módulo da corrente de fase Quando usar a Equação 1136 para calcular a potência total fornecida à carga lembrese de que uf é o ângulo de fase entre a tensão de fase e a corrente de fase Potência complexa em uma carga equilibrada ligada em Y Também podemos calcular a potência reativa e a potência complexa associadas a qual quer uma das fases de uma carga ligada em Y usando as técnicas apresentadas no Capítulo 10 Para uma carga equilibrada as expressões para a potência reativa são QT 3Qf 3VLI L sen uf Qf VfI f sen uf 1137 QT 3Qf 3VLI L sen uf Qf VfI f sen uf 1138 A Equação 1029 é a base para expressar a potência complexa associada a qualquer fase Para uma carga equilibrada Sf VANIaA VBNIbB VCNIcC VfIf 1139 em que Vf e If representam a tensão e a corrente de uma mesma fase Assim de modo geral ST 3Sf 3VLI L luf Sf Pf jQf VfIf 1140 ST 3Sf 3VLI L luf Sf Pf jQf VfIf 1141 Cálculos de potência em uma carga equilibrada ligada em D Se a carga estiver ligada em D o cálculo de potência reativa ou complexa é basica mente o mesmo que para uma carga ligada em Y A Figura 1116 mostra uma carga ligada em D com as correntes e tensões pertinentes A potência associada a cada fase é PC VCAICA cos uvCA uiCA PB VBCIBC cos uvBC uiBC PA VABIAB cos uvAB uiAB 1142 1143 1144 t Potência ativa total em uma carga trifásica equilibrada t Potência reativa total em uma carga trifásica equilibrada t Potência complexa total em uma carga trifásica equilibrada Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 461 Book Nilsson 2indb 461 290116 1424 Para uma carga equilibrada I uvAB uiAB uvBC uiBC uvCA uiCA uf AB IBC ICA I f VAB VBC VCA Vf 1145 1146 1147 e PA PB PC Pf VfIf cos uf 1148 Observe que a Equação 1148 é idêntica à Equação 1134 Assim em uma carga equilibrada independentemente de ser ligada em Y ou em D a potência média por fase é igual ao produto do valor eficaz da tensão de fase pelo valor eficaz da corrente de fase e pelo cosseno do ângulo entre a tensão e a corrente de fase A potência total fornecida a uma carga equilibrada ligada em D é 3VLI L cos uf 3VLa I L 3b cos uf PT 3Pf 3VfI f cos uf 1149 Observe que a Equação 1149 é idêntica à Equação 1136 As expressões para potência rea tiva e potência complexa também têm a mesma forma que as desenvolvidas para a carga em Y ST 3Sf 3VLI L luf Sf Pf jQf VfIf QT 3Qf 3VfI f sen uf Qf VfI f sen uf 1150 1151 1152 1153 Potência instantânea em circuitos trifásicos Embora nossa preocupação prioritária seja o cálculo de potências média reativa e com plexa o cálculo da potência instantânea total também é importante Em um circuito trifásico equilibrado essa potência tem uma propriedade interessante ela não varia com o tempo Assim o torque desenvolvido no eixo de um motor trifásico é constante o que por sua vez significa menos vibração nas máquinas acionadas por motores trifásicos Tomemos a tensão instantânea faseneutro vAN como referência e como antes uf como ângulo de fase uvA uiA Então para uma sequência de fases positiva a potência instantânea em cada fase é pC vCNicC VmI m cos vt 120 cos vt uf 120 pB vBNibB VmI m cos vt 120 cos vt uf 120 pA vANiaA VmI m cos vt cos vt uf Figura 1116 Carga ligada em D utilizada para os cálculos de potência em circuitos trifásicos C A 2 1 VCA B 1 2 VAB 1 2 VBC ZD ZD ZD IAB IBC ICA Circuitos elétricos 462 Book Nilsson 2indb 462 290116 1424 em que Vm e Im representam o valor de pico da tensão de fase e da corrente de linha respec tivamente A potência instantânea total é a soma das potências instantâneas de fase o que se reduz a 15VmIm cos uf isto é pT pA pB pC 15VmIm cos uf Observe que esse resultado é consistente com a Equação 1135 visto que Vm 2Vf e I m 2I f veja o Problema 1126 apresentado no final do capítulo Os exemplos 113115 ilustram cálculos de potência em circuitos trifásicos equilibrados ExEMPlo 113 Cálculo da potência em um circuito trifásico YY a Calcule a potência média por fase fornecida à carga ligada em Y do Exemplo 111 b Calcule a potência média total fornecida à carga c Calcule a potência média total dissipada na linha d Calcule a potência média total dissipada no gerador e Calcule a potência reativa total absorvida pela carga f Calcule a potência complexa total fornecida pela fonte Solução a Pelo Exemplo 111 Vf 11522 V If 24 A e uf 119 3687 3568 Portanto Pf 1152224 cos 3568 22464 W A potência média por fase também pode ser calculada por I f 2Rf ou Pf 24239 22464 W b A potência média total fornecida à carga é PT 3Pf 67392 W Como calculamos a tensão de linha no Exemplo 111 podemos usar também a Equação 1136 67392 W PT 31995824 cos 3568 c A potência média total dissipada na linha é Plinha 324208 13824 W d A potência média dissipada internamente no gerador é Pger 324202 3456 W e A potência reativa total absorvida pela carga é 48384 VAR QT 31995824 sen 3568 f A potência complexa total associada à fonte é Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 463 Book Nilsson 2indb 463 290116 1424 69120 j51840 VA ST 3Sf 312024 l3687 O sinal negativo indica que a potência média e a potência reativa estão sendo fornecidas ao cir cuito Verificamos esse resultado calculando a potência média e a potência reativa absorvidas pelo circuito P 67392 13824 3456 69120 W confere Q 48384 324215 324205 48384 2592 864 51840 VARconfere ExEMPlo 114 Cálculo da potência em um circuito trifásico YD a Calcule a potência complexa total fornecida à carga ligada em D do Exemplo 112 b Qual percentagem da potência média disponível no início da linha é fornecida à carga Solução a Usando os valores da fase a da solução do Exemplo 112 obtemos If IAB 139 l 687 A Vf VAB 20272 l2904 V Usando as equações 1152 e 1153 temos 68256 j49421 VA ST 320272 l2904 139 l687 b A potência média total disponível no início da linha de distribuição é igual à potência média for necida à carga mais a potência média dissipada na linha assim Pinício 68256 324203 68774 W A percentagem da potência média que chega à carga é 6825668774 ou 9925 Aproximadamente 100 da potência média disponível no início da linha é fornecida à carga pois a impedância da linha é muito pequena em comparação com a impedância da carga ExEMPlo 115 Cálculo da potência trifásica com uma carga de tipo não especificado Uma carga trifásica equilibrada requer 480 kW a um fator de potência atrasado de 08 A carga é ali mentada por uma linha de impedância 0005 j0025 Vf A tensão de linha nos terminais da carga é 600 V a Construa um circuito monofásico equivalente do sistema b Calcule o módulo da corrente de linha c Calcule o módulo da tensão de linha no início dela d Calcule o fator de potência no início da linha Circuitos elétricos 464 Book Nilsson 2indb 464 290116 1424 Capitulo 11 Circuitos trifasicos equilibrados Solugao a A Figura 1117 mostra o circuito monofasico equivalente Selecionamos arbitrariamente a tensao faseneutro na carga como referéncia Figura 1117 Circuito monofasico equivalente para o b A corrente de linha Ij é dada por Exemplo 115 600 0005 700250 Gorn 160 j12010 a eWw TTA Tha 600 Van 3 Lo Vv 160 kW em ou 08 atrasado Ti 57735 3687 A N Portanto I4 57735 3687 A O médulo da corrente de linha é o médulo de I 57735 A Obtemos uma solugao alternativa para J pela expressao Pr V3ViLb COs 6 V360008 480000 W L 480000 360008 1000 V3 57735 A c Para calcular o médulo da tensao ela no inicio dela em primeiro lugar calculamos V Pela Figura 1117 Van Van Zelaa 600 A V3 0005 j002557735 3687 35751 157 V Assim Vy V3lVanl 61923 V d O fator de poténcia no inicio da linha 0 cosseno do Angulo entre V e I 4 fp cos 157 3687 cos 3844 0783 atrasado Um método alternativo para o cálculo do fator de potência é calcular em primeiro lugar a potên cia complexa no início da linha 20641 l3844 kVA 16167 j12833 kVA Sf 160 j120103 5773520005 j0025 O fator de potência é fp cos 3844 0783 atrasado Por fim se calcularmos a potência complexa total no início da linha depois do cálculo do módulo da corrente de linha podemos usar esse valor para calcular VL Isto é 61923 V VL 320641 103 357735 3VLI L 320641 103 Objetivo 3 Saber calcular a potência média reativa e complexa em qualquer circuito trifásico 118 A potência trifásica média nominal da unidade central de processamento CPU de um computador de grande porte é 22659 W A tensão nominal de linha do circuito que alimenta o computador é 208 V ef A corrente de linha é 738 A ef O computador absorve potência reativa a Calcule a potência reativa total absorvida pela CPU b Calcule o fator de potência Resposta a1390950 VAR b 0852 atrasado 119 A potência complexa associada a cada fase de uma carga equilibrada é 144 j192 kVA A tensão de linha nos terminais da carga é 2450 V a Qual é o módulo da corrente de linha que alimenta a carga b A carga está ligada em D e a impedância de cada fase consiste em uma resistência em paralelo com uma reatância Calcule R e X c A carga está ligada em Y e a impedância de cada fase consiste em uma resistência em série com uma reatância Calcule R e X Resposta a 16967 A b R 4168 V X 3126 V c R 5 V X 667 V NOTA tente resolver também os problemas 1125 e 1127 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo 116 Medição de potência média em circuitos trifásicos O instrumento básico utilizado para medir potência em circuitos trifásicos é o wattímetro Ele contém duas bobinas a primeira denominada bobina de corrente é estacionária e proje tada para conduzir uma corrente proporcional à corrente de carga A segunda denominada Circuitos elétricos 466 Book Nilsson 2indb 466 290116 1424 bobina de potencial é móvel e conduz uma corrente proporcional à tensão de carga As características impor tantes do wattímetro são mostradas na Figura 1118 A deflexão do ponteiro ligado à bobina móvel é proporcional ao produto entre o valor eficaz da cor rente na bobina de corrente o valor eficaz da tensão nos terminais da bobina de potencial e o cosseno do ângulo de fase entre a tensão e a corrente A direção de deflexão do ponteiro depende do sentido instantâ neo da corrente na bobina de corrente e da polaridade da tensão aplicada à bobina de potencial Assim cada bobina tem um terminal com uma marca de polari dade normalmente um sinal positivo porém às vezes é utilizado o sinal de dupla polaridade O wattímetro deflete no sentido do crescimento da escala quando 1 o terminal marcado da bobina de corrente estiver do lado da fonte e 2 o terminal mar cado da bobina de potencial estiver ligado à mesma linha em que a bobina de corrente foi inserida O método de dois wattímetros Pense em um circuito geral no interior de uma caixa alimentado por n condutores Essa situação é mostrada na Figura 1119 Se desejarmos medir a potência total nos terminais do circuito precisamos conhecer n 1 correntes e tensões Isso porque se escolhermos um dos terminais como referência haverá somente n 1 tensões independentes Da mesma maneira somente n 1 correntes independentes podem existir nos n condutores que entram na caixa Assim a potência total é a soma de n 1 produtos isto é p v1i1 v2i2 c vn1in1 Por essa observação geral podemos ver que para um cir cuito de três condutores equilibrado ou não precisamos de apenas dois wattímetros para medir a potência total Para um circuito de quatro condutores precisaremos de três wattíme tros se o circuito trifásico não for equilibrado mas de apenas dois wattímetros se ele for equilibrado pois nesse caso não há nenhuma corrente no neutro Assim somente dois wattí metros são necessários para medir a potência média total em qualquer sistema trifásico equilibrado O método de dois wattímetros reduzse a determinar o módulo e o sinal algébrico da potência média indicada por cada wattímetro Podemos descrever o problema básico em rela ção ao circuito mostrado na Figura 1120 em que os dois wat tímetros são indicados pelos retângulos sombreados W1 e W2 Figura 1119 Circuito geral alimentado por n condutores n 3 2 1 2 v1 1 2 v2 1 2 v3 1 Rede geral i1 i2 i3 Figura 1120 Circuito utilizado para analisar o método de dois wattímetros para medir a potência média fornecida a uma carga equilibrada W2 a bc bp bp W1 bc b c A N B C Zf 5 uZu u Zf Zf Zf 1 1 2 2 IaA IcC VAN VCN 1 2 1 2 1 2 1 2 Figura 1118 Principais características de um wattímetro típico Ponteiro Escala de watts Terminais da bobina de potencial Terminais da bobina de corrente Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 467 Book Nilsson 2indb 467 290116 1424 As notações bc e bp das bobinas representam bobina de corrente e bobina de potencial res pectivamente Optamos por inserir as bobinas de corrente dos wattímetros nas linhas aA e cC Assim a linha bB é a linha de referência para as duas bobinas de potencial A carga está ligada em Y e a impedância de carga por fase é designada Zf Z lu Essa é uma representação geral porque qualquer carga ligada em D pode ser representada por seu circuito equivalente em Y ademais no caso equilibrado o ângulo da impedância u não é afetado pela transforma ção DY Escreveremos agora equações gerais para as leituras dos dois wattímetros Admitamos que a corrente conduzida pela bobina de potencial seja desprezível em comparação com a corrente de linha medida pela bobina de corrente Admitamos ainda que as cargas possam ser modeladas por elementos passivos de modo que o ângulo de fase da impedância da carga u na Figura 1120 fique entre 90 capacitância pura e 90 indutância pura Por fim admi tamos uma sequência de fases positiva Por nossa discussão introdutória acerca da deflexão do ponteiro do wattímetro podemos ver que o wattímetro 1 responderá ao produto de VAB por IaA e pelo cosseno do ângulo entre VAB e IaA Chamando essa leitura de W1 podemos escrever VLIL cos u1 W1 VABIaA cos u1 1154 Do mesmo modo decorre que VLIL cos u2 W2 VCBIcC cos u2 1155 Na Equação 1154 u1 é o ângulo de fase entre VAB e IaA na Equação 1155 u2 é o ângulo de fase entre VCB e IcC Para calcular W1 e W2 expressamos u1 e u2 em termos do ângulo da impedância u que também é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente de fase Para uma sequência de fases positiva u1 u 30 uf 30 1156 u2 u 30 uf 30 1157 A dedução das equações 1156 e 1157 fica como exercício veja o Problema 1135 apre sentado no final do capítulo Quando substituímos as equações 1156 e 1157 nas equações 1154 e 1155 respectivamente obtemos W1 VLIL cos uf 30 1158 W2 VLIL cos uf 30 1159 Para determinar a potência total somamos W1 e W2 assim 3VLIL cos uf PT W1 W2 2VLIL cos uf cos 30 1160 Circuitos elétricos 468 Book Nilsson 2indb 468 290116 1424 que é a expressão para a potência média em um circuito trifásico Portanto confirmamos que a soma das leituras dos dois wattímetros resulta na potência média total Um exame mais detalhado das equações 1158 e 1159 revela o seguinte sobre os dois wattímetros 1 Se o fator de potência for maior que 05 as leituras dos dois wattímetros serão positivas 2 Se o fator de potência for igual a 05 a leitura de um dos wattímetros será igual a zero 3 Se o fator de potência for menor que 05 a leitura de um dos wattímetros será negativa 4 Inverter a sequência de fases causará a inversão das leituras dos dois wattímetros Essas observações são ilustradas no exemplo a seguir e nos problemas 11411152 apre sentados no final do capítulo ExEMPlo 116 Cálculo de leituras de wattímetros em circuitos trifásicos Calcule a leitura de cada wattímetro no circuito da Figura 1120 se a tensão de fase na carga for 120 V e a Zf 8 j6 V b Zf 8 j6 V c Zf 5 j53 V e d Zf 10 l 75 V e Verifique para os itens ad se a soma das leituras dos wattímetros é igual à potência média fornecida à carga Solução a 247625 W W2 120312 cos 3687 30 97975 W W1 120312 cos 3687 30 I L 12010 12 A Zf 10 l3687 V VL 1203 V e b 97975 W W2 120312 cos 3687 30 247625 W W1 120312 cos 3687 30 I L 12010 12 A Zf 10 l 3687 V VL 1203 V e c 2160 W W2 120312 cos 60 30 W1 120312 cos 60 30 0 e I L 12 A Zf 51 j 3 10 l60 V VL 1203 V d W2 120312 cos 75 30 64553 W W1 120312 cos 75 30 176363 W I L 12 A Zf 10 l 75 V VL 1203 V e e 111810 W W1 W2 176363 64553 PTd 312225882 111810 W 2160 W W1 W2 0 2160 PTc 31225 2160 W 3456 W W1 W2 247625 97975 PTb PTa 3456 W 3456 W W1 W2 97975 247625 PTa 31228 3456 W Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 469 Book Nilsson 2indb 469 290116 1424 Circuitos elétricos Pyc 3125 2160 W W W 0 2160 2160 W Pd 31225882 111810 W W W 176363 64553 111810 W NOTA avalie sua compreensao do método de dois wattimetros tentando resolver os problemas 1141 e 1145 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Transmissao e distribuicgao de energia elétrica No inicio deste capitulo destacamos a obrigagao que as concessionarias de energia elétrica tem de manter o valor eficaz da tensao fornecida a seus clientes Embora o desvio aceitavel em relacao ao valor nominal possa variar de um pais para outro admitiremos na presente discussao uma tolerancia aceitavel de 58 Portanto uma tensao nominal de 120 V ef poderia variar entre 113 e 127 V Destacamos também que capacitores colocados em posigées estratégicas no sistema poderiam ser utilizados para manter os niveis de tensao O circuito mostrado na Figura 1121 representa uma subestagao Figura 1121 Subestagao urbana ligada a uma usina urbana de um sistema de distribuigao Admitiremos que o sistema seja See eee eres ee equilibrado que a tensdo fasefase na subestacao seja 138 KV que a Linha 3 impedancia de fase da linha de distribuigao seja 06 480 e que a x carga na subestacao as trés horas da tarde de um dia quente e umido de usinan 5 A cubectacs verdo seja 36 MW e 36 MVAR ubestacao geradora J Usando a tensao faseneutro na subestagao como referéncia 0 cir cuito monofasico equivalente para o sistema na Figura 1121 6 mostrado na Figura 1122 A corrente de linha pode ser calculada pela expressao Figura 1122 Circuito monofasico equivalente para o para a poténcia complexa na subestacao Assim sistema na Figura 1121 13800 12 A 210 T 12 jl a 0692 j48Q A v3 Disso decorre que y 13800 igo y 12 12 an 3 Mw IMVAR Tia 15061 j15061 A ou n N I 15061 j15061 A A tensao faseneutro na usina geradora é 13800 Van 0 06 j4815061 j15061 V3 878074 j63258 880350412 V Assim 0 modulo da tensao de linha na usina geradora é IVapl V3880350 1524811 V Estamos admitindo que a concessionária deva manter o nível de tensão entre 58 do valor nominal Isso significa que o módulo da tensão fasefase na usina geradora não deve exceder 146 kV nem ser menor do que 13 kV Portanto o módulo da tensão de linha calculado poderia causar problemas para os clientes Quando um banco de capacitores é ligado ao barramento da subestação para compensar a energia reativa fornecida à carga a corrente de linha IaA tornase IaA 15061 j0 A Assim a tensão na usina geradora necessária para manter uma tensão fasefase de 13800 V na subestação é 809017 l513 V 805780 j72294 Van 13800 3 l0 06 j4815061 j0 Daí Vab 3809017 1401258 V Esse nível de tensão está dentro da faixa admissível de 13 kV a 146 kV NOTA avalie sua compreensão dessa Perspectiva prática tentando resolver os problemas 1153ab e 1154 1157 e 1158 apresentados no final deste capítulo Resumo A primeira etapa ao analisar circuitos trifásicos equilibrados é transformar quaisquer ligações em D em ligações em Y de modo que o circuito global tenha a configuração YY Seção 113 Um circuito monofásico equivalente é utilizado para calcular a corrente de linha e a tensão de fase em uma das fases do circuito YY Normal mente a fase a é escolhida para essa finalidade Seção 113 Uma vez conhecidas a corrente de linha e a ten são de fase no circuito equivalente da fase a podemos determinar qualquer corrente ou ten são em um circuito trifásico equilibrado com base nos seguintes fatos As correntes e tensões das fases b e c são idênticas à corrente e tensão da fase a exceto por um deslocamento de fase de 120 Em um circuito de sequência positiva a gran deza da fase b está 120 atrasada em relação à grandeza da fase a e a grandeza da fase c está 120 adiantada em relação à grandeza da fase a No caso de um circuito de sequên cia negativa as fases b e c são intercambia das em relação à fase a O conjunto das tensões de linha está 30 defasado em relação ao conjunto de tensões de fase O sinal positivo ou negativo corres ponde à sequência positiva e à sequência negativa respectivamente Em um circuito YY o módulo de uma tensão de linha é 3 vezes o módulo de uma tensão de fase O conjunto de correntes de linha está 30 defasado em relação ao conjunto de corren tes de fase em fontes e cargas ligadas em D O sinal positivo ou negativo corresponde à sequência positiva e à sequência negativa respectivamente Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 471 Book Nilsson 2indb 471 290116 1424 O módulo de uma corrente de linha é 3 vezes o módulo de uma corrente de fase em uma fonte ou carga ligada em D Seções 113 e 114 As técnicas para calcular a potência média a potência reativa e a potência complexa por fase são idênticas às apresentadas no Capítulo 10 Seção 115 As potências ativa reativa e complexa totais podem ser determinadas multiplicandose por 3 a quantidade correspondente por fase ou usando as expressões baseadas em correntes de linha e tensões de linha como dadas pelas equa ções 1136 1138 e 1141 Seção 115 A potência instantânea total em um circuito tri fásico equilibrado é constante e igual a 15 vez a potência média por fase Seção 115 Um wattímetro mede a potência média forne cida a uma carga usando uma bobina de cor rente ligada em série com a carga e uma bobina de potencial ligada em paralelo com a carga Seção 116 A potência média total em um circuito trifásico equilibrado pode ser medida somandose as lei turas de dois wattímetros ligados em duas fases diferentes do circuito Seção 116 Problemas Todos os fasores tensão nos problemas a seguir são expressos em termos do valor eficaz Seção 111 111 Qual é a sequência de fase de cada um dos seguintes conjuntos de tensões a va 137 cos vt 63 V vb 137 cos vt 57 V vc 137 cos vt 183 V b va 820 cos vt 36 V vb 820 cos vt 84 V vc 820 sen vt 66 V 112 Para cada conjunto de tensões verifique se elas formam ou não um conjunto trifásico equili brado Se o conjunto for equilibrado informe se a sequência de fases é positiva ou negativa Se ele não for equilibrado explique por quê a va 48 cos314t 45 V vb 48 cos314t 165 V vc 48 cos314t 75 V b va 188 cos 250t 60 V vb 188 cos 250t V vc 188 cos 250t 60 V c va 426 cos 100t V vb 426 cos 100t 120 V vc 426 cos 100t 120 V d va 1121 cos 2000t 20 V vb 1121 sen 2000t 50 V vc 1121 cos 2000t 100 V e va 540 sen 630t V vb 540 cos 630t 120 V vc 540 cos 630t 120 V f va 144 cos 800t 80 V vb 144 sen 800t 70 V vc 144 sen 800t 50 V 113 Verifique se a Equação 113 é válida para a Equação 111 ou para a Equação 112 Seção 112 114 Considere o circuito da Figura 115b Admita que não haja ligações externas aos terminais abc Admita ainda que os três enrolamentos sejam de um gerador trifásico cujas tensões são aquelas descritas no Problema 112b Determine a corrente que circula no gerador ligado em D 115 Repita o Problema 114 mas assuma que as tensões trifásicas são as descritas no Problema 112c Pspice Multisim Circuitos elétricos 472 Book Nilsson 2indb 472 290116 1424 Capitulo 11 Circuitos trifasicos equilibrados Secao 113 116 a Ocircuito na Figura P116 é ou nao um 119 As express6es no dominio do tempo para as Pspice sistema trifasico equilibrado Explique trés tensdes faseneutro nos terminais de uma Multisim carga ligada em Y sao b Determine I 8a ig ogg 45 y Figura P116 Van 288 cos w Y Upn 288 cos wt 165 V 50 8 O A 270 A Voy 288 cos wt 75 V 1100V Quais sao as expressoes no dominio do tempo 2 32 0 para as trés tenses fasefase Up Upc Ua 1110 Um circuito trifasico equilibrado tem as 50 b j80 B 10 seguintes caracteristicas N C e Esta ligado em YY 110120 V G e A tensaéo de linha na fonte V j22 0 ov 110120 V 110V3 60 V 50 c 80 Cc 35 0 e Asequéncia de fases é positiva e A impedancia de linha é 3 j2 O 117 a Determine I no circuito da Figura P117 e A impedancia de carga é 37 j28 Od Ween b Determine Vy a Desenhe o circuito monofasico equiva c Determine Vp lente para a fase a d O circuito é ou nao um sistema trifasico b Calcule a corrente de linha na fase a equilibrado c Calcule a tensdo de linha na carga na fase a Figura P117 1111 Oméddulo da tensdo de linha nos terminais de 040 720 a 160 j40 A 78O 540 uma carga equilibrada ligada em Y é 6600 V A impedancia de carga 240 j70 Od A 770 V carga é alimentada por uma linha cuja impe dancia 05 j4 Old h Q 040 f16 6b 260 j240 B 772 j560 N a Qual é o mddulo da corrente de linha G fonte 277 120 V Z 029 f120 080 j380 C790 7550 1112 0 modulo da tensao de fase de uma fonte tri fasica ideal equilibrada ligada em Y é 125 V A fonte esta ligada a uma carga equilibrada 118 Determine o valor eficaz de I no circuito tri ligada em Y por uma linha de distribuicéo fasico nao equilibrado da Figura P118 que tem uma impedancia de 01 j08 Od Figura P118 A impedancia de carga é 199 j142 OA 270 j24Qa 130 j060 A560 770 sequéncia de fases da fonte acb Use a ten sao da fase a da fonte como referéncia Cal 3200 V cule o médulo e o Angulo de fase das seguin tes grandezas a as trés correntes de linha A Q 27 07240 b 130 060 B 860 jll7 0 N b as trés tensdes de linha na fonte c as trés 320 120 V 00 Lb tenses de fase na carga e d as trés tensdes G de linha na carga 320120 V 270 j24QN 13 j060 C 26 7709 Seção 114 1113 Uma carga equilibrada ligada em D tem uma impedância de 216 j288 Vf A carga é ali mentada por uma linha cuja impedância é 3 j5 Vf A tensão de fase nos terminais da carga é 72 kV A sequência de fases é negativa Use VAB como referência a Calcule as três correntes de fase da carga b Calcule as três correntes de linha c Calcule as três tensões de linha no início da linha 1114 Um circuito trifásico equilibrado é caracteri zado da seguinte forma Está ligado em YD A tensão da fase b da fonte b é 150l135 V A sequência de fases da fonte é acb A impedância de linha é 2 j3 Vf A impedância de carga é 129 j171 Vf a Desenhe o equivalente monofásico para a fase a b Calcule a corrente de linha na fase a c Calcule a tensão de linha da fase a da carga trifásica 1115 Uma fonte trifásica equilibrada ligada em Y com sequência acb fornece energia a uma carga trifásica equilibrada ligada em D cuja impedância é 12 j9 Vf A tensão da fonte na fase b é 240l 50 V A impedância de linha é 1 j1 Vf Desenhe o circuito mono fásico equivalente para a fase a e useo para determinar a corrente na fase a da carga 1116 Em um sistema trifásico equilibrado a fonte é equilibrada ligada em Y com uma sequência de fases abc e uma tensão de linha Vab 208l50 V A carga é ligada em Y equi librada em paralelo com uma carga em D equilibrada A impedância de fase da carga em Y é 4 j3 Vf e a impedância de fase da carga em D é 3 j9 Vf A impedância de linha é 14 j08 Vf Desenhe o circuito monofásico equivalente e useo para calcular a tensão de linha na carga 1117 Uma carga equilibrada ligada em Y tem uma impedância de 60 j45 Vf e está ligada em paralelo com uma carga equilibrada ligada em D cuja impedância é 902l45 Vf As cargas em paralelo são alimentadas por uma linha com uma impedância de 2 j2 Vf O módulo da tensão fasefase da carga em D é V 300 3 a Calcule o módulo da corrente de fase na carga ligada em Y b Calcule o módulo da corrente de fase na carga ligada em D c Calcule o módulo da corrente na linha que alimenta as cargas d Calcule o módulo da tensão de linha no início dela 1118 Um gerador trifásico ligado em D tem uma impedância interna de 9 j90 mVf Quando o gerador opera a vazio o módulo de sua ten são terminal é 13800 V O gerador alimenta uma carga ligada em D por meio de uma linha de transmissão com uma impedância de 20 j180 mVf A impedância de carga por fase é 7056 j3417 V a Construa um circuito monofásico equi valente b Calcule o módulo da corrente de linha c Calcule o módulo da tensão de linha nos terminais da carga d Calcule o módulo da tensão de linha nos terminais da fonte e Calcule o módulo da corrente de fase na carga f Calcule o módulo da corrente de fase na fonte 1119 A impedância Z no circuito trifásico equili brado da Figura P1119 é 100 j75 V Circuitos elétricos 474 Book Nilsson 2indb 474 290116 1424 Determine a IAB IBC e ICA b IaA IbB e IcC c Iba Icb e Iac Figura P1119 Z Z Z a A c C b B 1 2 1 2 1 2 08 kV 132 IaA IbB IcC 21208 kV 132 1208 kV 132 1120 Para o circuito mostrado na Figura P1120 determine a as correntes de fase IAB IBC e ICA b as correntes de linha IaA IbB e IcC quando Z1 24 j07 V Z2 8 j6 V e Z3 20 j0 V Figura P1120 Z2 Z1 Z3 a A c C b B 1 2 1 2 21208 V 480 1 2 1208 V 480 08 V 480 1121 A Figura P1121 mostra uma fonte trifásica equilibrada ligada em D a Determine o circuito equivalente ligado em Y b Mostre que o circuito equivalente ligado em Y fornece a mesma tensão de circuito aberto da fonte original ligada em D c Aplique um curtocircuito externo aos terminais A B e C Use a fonte ligada em D para determinar as três correntes de linha IaA IbB e IcC d Repita c mas use a fonte equivalente em Y para determinar as três correntes de linha Figura P1121 1208 V 2 1 A a c b B C 45 V 45 V j3 V j3 V 08 V 1 2 45 V j3 V 21208 V 1 2 864 864 846 1122 A fonte ligada em D do Problema 1121 é ligada a uma carga em Y por meio de uma linha de distribuição trifásica equilibrada A impedância de carga é 1192 j1584 Vf e a impedância de linha é 65 j15 Vf a Construa um circuito monofásico equiva lente do sistema b Determine o módulo da tensão de linha nos terminais da carga c Determine o módulo da corrente de fase na fonte em D d Determine o módulo da tensão de linha nos terminais da fonte Seção 115 1123 a Determine o valor eficaz e o ângulo de fase de ICA no circuito da Figura P1123 b Qual percentagem da potência média fornecida pela fonte trifásica é dissipada na carga trifásica Pspice Multisim Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 475 Book Nilsson 2indb 475 290116 1424 Figura P1123 15 V j2 V b B A 1 2 855 V 855 V j114 V 855 V j114 V j114 V 15 V j2 V a C 15 V j2 V c 1365 08 V 1 2 1365 1208 V 2 1 21208 V 1365 1124 Uma fonte trifásica equilibrada está for necendo 60 kVA com um fator de potên cia atrasado de 06 a duas cargas paralelas equilibradas ligadas em Y A impedância da linha de distribuição que liga a fonte à carga é desprezível A carga 1 é puramente resistiva e absorve 30 kW Determine a impedância por fase da carga 2 se a tensão de linha for 1203 V e os componentes da impedância estiverem em série 1125 Em um sistema trifásico equilibrado a fonte tem uma sequência abc é ligada em Y e Van 120l20 V A fonte alimenta duas cargas ambas ligadas em Y A impedância da carga 1 é 8 j6 Vf A potência complexa para a fase a da carga 2 é 600l36 VA Determine a potência complexa total fornecida pela fonte 1126 A tensão faseneutro nos terminais da carga trifásica equilibrada da Figura P1126 é 1600 V A carga está absorvendo 480 kVA com um fp atrasado de 08 a Use VAN como referência e expresse Ina na forma polar b Calcule a potência complexa associada à fonte trifásica ideal c Verifique se a potência média total for necida é igual à potência média total absorvida d Verifique se a potência reativa total for necida é igual à potência reativa total absorvida Figura P1126 1 2 a b n c 02 V j08 V 02 V j08 V 02 V j08 V A B 480 kVA C 1 2 Van Vcn 2 1 2j75 V 2j75 V 2j75 V Vbn 08 fp atrasado Ina 1127 Uma fonte trifásica de sequência positiva ligada em Y fornece 14 kVA com um fator de potência atrasado de 075 a uma combi nação em paralelo de uma carga ligada em Y e uma carga ligada em D A carga ligada em Y absorve 9 kVA com um fator de potência atrasado de 06 e conduz uma corrente na fase a de 10l 30 A a Determine a potência complexa por fase da carga ligada em D b Determine o módulo da tensão de linha 1128 Uma linha de distribuição trifásica equilibrada tem uma impedância de 5 j10 Vf Essa linha é utilizada para alimentar três cargas trifásicas equilibradas que estão ligadas em paralelo As três cargas são L1 180 kVA com um fp atrasado de 0866 L2 150 kVA com um fp adiantado de 028 e L3 7212 kW com fp unitário O módulo da tensão de linha nos terminais das cargas é 18003 V a Qual é o módulo da tensão de linha no início dela b Qual é a eficiência percentual da linha de distribuição em relação à potência média 1129 As três ferramentas descritas a seguir fazem parte da oficina de uma universidade Cada ferramenta é uma carga trifásica equilibrada com tensão nominal de 220 V ef Calcule a o módulo da corrente de linha que alimenta essas três ferramentas e b o fator de potên cia da carga combinada Furadeira de mesa 102 kVA com um fp atrasado de 087 Circuitos elétricos 476 Book Nilsson 2indb 476 290116 1424 Capitulo 11 Circuitos trifasicos equilibrados e Torno mecanico 42 kW com um fp atra 2400 j1800 0d e a carga 3 absorve 1728 sado de 091 j22032 kKVAAs cargas sao alimentadas por e Serra de fita corrente de linha de 368 A uma linha de distribuigao com uma impedan ef 725 kVAR cia de 2 j16 0d O médulo da tensao fase 1130 Calcule a poténcia complexa em cada fase da neutro na carga 24V3 kV carga nao equilibrada do Problema 1120 a Calcule a poténcia complexa total no ini 1131 Mostre que a poténcia instantanea total em cio da linha um circuito trifasico equilibrado é constante e b Qual percentagem da poténcia média et a 1Vindin cos 6 ck a a en de disponivel no inicio da linha é fornecida sentam as maximas amplitudes da tensdo de as cargas fase e corrente de fase respectivamente 1137 A fonte trifasica equilibrada de sequéncia 1132 A poténcia aparente total de um sistema tri positiva na Figura P1137 fornece 416 kVA fasico equilibrado ligado em AY 4800VA com um fator de poténcia atrasado de 0707 A tensao de linha é 240 V Se a impedancia A tensao de linha na fonte é 240 V de linha for desprezivel e o angulo do fator As 6 a Determine o mddulo da tensdo de linha de poténcia da carga for 50 determine a a na carga impedancia da carga 1133 Uma carga trifasica equilibrada absorve 150 b Determine a poténcia complexa total nos kVA com um fator de poténcia adiantado de terminais da carga 096 quando a tensao de linha nos terminais Figura P1137 da carga é 600 V Determine quatro circuitos we 0049 003 0 equivalentes que podem ser utilizados para modelar essa carga 1134 Um motor de indugAo trifasico de 100 hp dis one Of OTN ao a ponivel no comércio funciona com uma efi equilibrada equilibrada wa ae 004Q j003 O ciéncia de 97 e um fator de poténcia atra sado de 088 funcionando a plena carga O motor é alimentado por uma rede trifasica cuja tensao de linha nominal é 208 V 1138 Uma fonte trifasica equilibrada esta forne a Qual co modulo da corrente de linha for cendo 540 kVAcom um fp atrasado de 096 a necida pela rede 1 hp 746 W duas cargas paralelas equilibradas ligadas em b Calcule a poténcia reativa fornecida ao A A impedancia da linha de distribuigao que motor liga a fonte a carga é desprezivel A poténcia 1135 Uma linha trifasica tem uma impedancia de associada a carga 1 é 384 j2088 kVA 01 j08 Od A linha alimenta duas cargas a Determine os tipos de componente e suas trifasicas equilibradas ligadas em paralelo A impedancias por fase da carga 2 se a ten primeira carga esta absorvendo um total de sio de linha for 1600V3 V e os compo 630 kW e de 840 KVARA segunda carga esta a as oad Yet dancia de 1536 nentes da impedancia estiverem em série igada em Y e tem uma impedancia de 15 j448 O A tensdo faseneutro na carga é b Repita a com os componentes da impe 4000 V Qual é o médulo da tensAo de linha dancia em paralelo no inicio dela 1139 A poténcia total fornecida a uma carga trifasica 1136 Trés cargas trifasicas equilibradas estao ligadas equilibrada quando submetida a uma tensao em paralelo A carga 1 esta ligada em Y e tem de linha de 2500V3 Vé900 kW com um fator uma impedancia de 400 j300 Qd a carga dle potencia atrasado de 06 A impedancia da 2 esta ligada em A e tem uma impedancia de linha de distribuigéo que alimenta a carga é de 1 j3 Vf Sob tais condições de funciona mento a queda do módulo da tensão de linha entre o início e o final da linha é excessiva Para compensar um banco de capacitores ligados em Y é inserido em paralelo com a carga O banco de capacitores é projetado para fornecer 1125 kVAR de potência reativa quando alimentado por uma tensão de linha de 25003 V a Qual será a magnitude da tensão no iní cio da linha quando a tensão de linha nos terminais da carga for 25003 V e o banco de capacitores estiver desligado b Repita a com o banco de capacitores ligado c Qual é a eficiência percentual da linha em relação à potência média em a d Qual é a eficiência em b e Se o sistema estiver operando com uma frequência de 60 Hz qual será o valor de cada capacitor em microfarads 1140 Um banco de capacitores equilibrados em D está ligado em paralelo com a carga descrita no Problema para avaliação 119 Isso é equi valente a colocar um capacitor em paralelo com a carga em cada fase Assim a tensão de linha nos terminais da carga permanece em 2450 V O circuito opera com a frequência de 60 Hz Os capacitores são ajustados de modo que o módulo da corrente de linha que ali menta a combinação em paralelo da carga com o banco de capacitores esteja em seu mínimo a Qual é o valor de cada capacitor em microfarads b Repita a para capacitores ligados em Y c Qual é o módulo da corrente de linha Seção 116 1141 O método de dois wattímetros é utilizado para medir a potência absorvida pela carga no Exem plo 111 Calcule a leitura de cada wattímetro 1142 As leituras dos wattímetros no circuito da Figura 1120 são as seguintes W1 4082309 W e W2 10317691 W O módulo da tensão de linha é 24003 V A sequência de fases é positiva Determine Zf 1143 No circuito trifásico equilibrado da Figura P1143 a bobina de corrente do wattímetro está ligada à linha aA e a bobina de potencial do wattímetro está ligada às linhas b e c Mos tre que a leitura do wattímetro multiplicada por 3 é igual à potência reativa total asso ciada à carga A sequência de fases é positiva Figura P1143 b c a bp bc A B N C W Zf Zf Zf 1 2 1 2 1144 A tensão faseneutro no circuito da Figura P1143 é 680 V a sequência de fases é positiva e a impedância de carga é 16 j12 Vf a Determine a leitura do wattímetro b Determine a potência reativa total asso ciada à carga 1145 Os dois wattímetros na Figura 1120 podem ser utilizados para calcular a potência reativa total da carga a Prove essa afirmação mostrando que W1 3VLI L sen uf 3W2 b Calcule a potência reativa total usando as leituras dos wattímetros para cada uma das cargas no Exemplo 116 Verifique seus cálculos definindo a potência reativa total diretamente da tensão e impedância dadas 1146 Deduza as equações 1156 e 1157 1147 a Calcule a potência complexa associada a cada fase da carga equilibrada no Pro blema 1119 b Se o método de dois wattímetros for utili zado para medir a potência média forne cida à carga especifique a leitura de cada medidor Circuitos elétricos 478 Book Nilsson 2indb 478 290116 1424 1148 O método de dois wattímetros é utilizado para medir a potência fornecida à carga não equi librada no Problema 1120 A bobina de cor rente do wattímetro 1 é colocada na linha aA e a do wattímetro 2 é colocada na linha bB a Determine a leitura do wattímetro 1 b Determine a leitura do wattímetro 2 c Mostre que a soma das leituras dos dois wattímetros é igual à potência total for necida à carga não equilibrada 1149 A carga trifásica equilibrada mostrada na Figura P1149 é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de sequência positiva e ligada em Y A impedância da linha que liga a fonte à carga é desprezível A tensão fase neutro da fonte é 7200 V a Determine a leitura do wattímetro em watts b Explique como conectar um segundo wattímetro ao circuito de modo que os dois wattímetros meçam a potência total c Determine a leitura do segundo wattímetro d Verifique se a soma das leituras dos dois wattímetros é igual à potência média total fornecida à carga Figura P1149 A B 432 kVA 096 fp adiantado C Wm a b Fonte c 1 2 1 2 1150 a Determine a leitura de cada wattímetro no circuito da Figura P1150 O valor de Zf é 40 l 30 V b Verifique se a soma das leituras dos wat tímetros é igual à potência média total fornecida à carga ligada em D Figura P1150 1 2 1 2 1 2 1 2 c 2 1 240 1208 V 240 21208 V a b A B C W2 W1 Zf Zf Zf 1 2 2 1 240 08 V 1151 a Determine a leitura de cada wattímetro no circuito da Figura P1151 quando Z 1344 j4608 V b Verifique se a soma das leituras dos dois wattímetros é igual à potência total for necida à carga c Verifique se 3W1 W2 é igual à potência reativa total fornecida à carga Figura P1151 600 08 V 600 11208 V 600 21208 V W1 W2 Z Z Z 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1152 a Determine a leitura de cada wattímetro no circuito mostrado na Figura P1152 se ZA 20 l30 V e ZC 40 l 30 V ZB 60 l0 V e e ZC 40 l 30 V ZB 60 l0 V b Mostre que a soma das leituras dos wattí metros é igual à potência média total for necida à carga trifásica não equilibrada Figura P1152 Wm1 Wm2 ZC ZA ZB 1 2 2 1 1 2 A B C a n b c 240 08 V 240 1208 V 1 2 1 2 1 2 1 2 240 21208 V Capítulo 11 Circuitos trifásicos equilibrados 479 Book Nilsson 2indb 479 290116 1424 Seções 111116 1153 Consulte o exemplo da Perspectiva prática e a Construa o triângulo de potências para a carga da subestação antes da ligação dos capacitores ao barramento b Repita a após a ligação dos capacitores ao barramento c Usando a tensão faseneutro na subes tação como referência construa um diagrama fasorial que retrate a relação entre VAN e Van antes da adição dos capacitores d Admita uma sequência de fases posi tiva e construa um diagrama fasorial que retratre a relação entre VAB e Vab 1154 Consulte o exemplo da Perspectiva prática Admita que a frequência seja 60 Hz a Qual o valor de cada capacitor em µF se eles estiverem ligados em D b Qual o valor de cada capacitor em µF se eles estiverem ligados em Y 1155 Escolha um capacitor do Apêndice H que esteja mais próximo do valor em mF do capa citor ligado em Y do Problema 1154b a Qual será potência reativa que um banco de capacitores fornecerá usando esse novo valor b Qual tensão fasefase na usina geradora será exigida quando esse novo banco de capacitores for conectado ao barramento da subestação 1156 Escolha um capacitor do Apêndice H que esteja mais próximo do valor em mF do capa citor ligado em D do Problema 1154a a Qual será potência reativa que um banco de capacitores fornecerá usando esse novo valor b Qual tensão fasefase na usina geradora será exigida quando esse novo banco de capacitores for conectado ao barramento da subestação 1157 No exemplo da Perspectiva prática o que acontecerá na tensão do gerador se a tensão na subestação for mantida em 138 kV a carga da subestação for reduzida a zero e o banco de capacitores permanecer ligado 1158 No exemplo da Perspectiva prática calcule a perda total na linha em kW antes e depois da ligação dos capacitores ao barramento da subestação 1159 Admita que a carga no barramento da subes tação no exemplo da Perspectiva prática caia para 180 kW e 480 kVAR Admita também que os capacitores permaneçam ligados à subestação a Qual é o módulo da tensão fasefase na usina geradora necessário para man ter a tensão fasefase de 138 kV na subestação b Esse nível de tensão causará problemas para outros clientes 1160 No Problema 1159 admita que quando a carga é reduzida para 180 kW e 480 kVAR o banco de capacitores seja desativado Admita também que a tensão fasefase na subestação seja mantida em 138 kV a Qual é o módulo da tensão fasefase na usina geradora b O nível de tensão determinado em a está dentro da faixa de variação aceitável c Qual é a perda total na linha em kW quando os capacitores permanecem ligados após a carga ser reduzida a 180 j480 kVA d Qual é a perda total na linha em kW quando os capacitores são retirados após a carga ser reduzida a 180 j480 kVA e Com base em seus cálculos você reco mendaria desligar os capacitores depois de a carga ser reduzida a 180 j480 kVA Explique Perspectiva Prática Perspectiva Prática Perspectiva Prática Perspectiva Prática Perspectiva Prática Perspectiva Prática Circuitos elétricos 480 Book Nilsson 2indb 480 290116 1424 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 121 Defi nição da transformada de Laplace 122 A função degrau 123 A função impulso 124 Transformadas funcionais 125 Transformadas operacionais 126 Uma aplicação da transformada de Laplace 127 Transformadas inversas 128 Polos e zeros de F s 129 Teoremas do valor inicial e do valor fi nal Introdução à transformada de Laplace Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber calcular a transformada de Laplace de uma função usando sua defi nição a tabela de transformadas de La place eou uma tabela de transformadas operacionais 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 3 Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o teorema do valor fi nal Apresentaremos agora uma técnica analítica poderosa amplamente usada para estudar o comporta mento de circuitos lineares de parâmetros concentrados O método é baseado na transformada de Laplace cuja defi nição matemática é dada na Seção 121 Antes disso precisamos explicar por que é necessária outra técnica analítica Em primeiro lugar queremos analisar o comportamento transitório de circuitos descritos por mais do que uma única equação diferencial de tensões de nó ou correntes de malha Em outras palavras queremos examinar circuitos com múltiplos nós e circuitos com múltiplas malhas que sejam descritos por sistemas de equações dife renciais lineares Em segundo lugar queremos determinar a resposta transitória de circuitos com fontes de sinal cuja variação seja mais complexa do que os simples saltos vistos nos capítulos 7 e 8 Em terceiro lugar podemos usar a trans formada de Laplace para apresentar o conceito da função de transferência como uma ferramenta para analisar a resposta senoidal de regime permanente de um circuito quando a frequência da fonte senoidal varia Discutiremos a função de transferência no Capítulo 13 Por fi m queremos relacionar de modo sistemático o comportamento de 12 Book Nilsson 2indb 481 290116 1424 um circuito no domínio do tempo com seu comportamento no domínio da frequência Usar a transformada de Laplace permitirá um entendimento mais amplo das funções desempenhadas pelos circuitos Neste capítulo introduzimos a transformada de Laplace discutimos suas características pertinentes e apresentamos um método sistemático para passar do domínio da frequência para o domínio do tempo Perspectiva prática Efeitos transitórios Como vimos no Capítulo 9 a potência fornecida por tomadas elétricas nos Estados Unidos pode ser modelada como uma fonte de tensão senoidal ou uma de corrente senoidal cuja frequência é de 60 Hz Os conceitos de fasor introduzidos no Capítulo 9 possibilitaram nossa análise da resposta de regime permanente de um circuito a uma fonte senoidal Normalmente é importante prestar atenção à resposta completa de um circuito a uma fonte senoidal Lembrese de que a resposta completa tem duas partes a resposta de regime permanente que tem a mesma forma da entrada para o circuito e a resposta transitória que cai a zero ao longo do tempo Quando a fonte de um circuito é modelada como uma fonte senoidal de 60 Hz a resposta de regime permanente também é uma senoide de 60 Hz e sua amplitude e ângulo de fase podem ser calcu lados usandose análise fasorial de circuito A resposta transitória depende dos componentes que formam o circuito dos valores desses componentes e da forma como eles estão interligados A tensão e a corrente de cada componente no circuito é a soma de uma parte transitória e uma parte de regime permanente quando a fonte é chaveada no circuito Embora a parte transitória da tensão e da corrente acabe caindo a zero no início essa parte quando agregada à parte de regime permanente pode ultrapassar o valor de tensão ou corrente do componente do circuito Por isso é importante saber determinar a resposta completa de um circuito As técnicas de transformada de Laplace apresentadas neste capítulo podem ser utilizadas para determinar a resposta completa de um circuito a uma fonte senoidal Considere o circuito RLC mostrado a seguir composto de componentes do Apêndice H e alimentado por uma fonte senoidal de 60 Hz Conforme detalhado no Apêndice H o indutor de 10 mH tem um valor de corrente de 40 mA A amplitude da fonte senoidal foi escolhida de modo que esse valor não seja ultrapassado no regime permanente veja o Problema 1254 Após apresentarmos o método da transformada de Laplace poderemos determinar se esse valor de corrente é ultrapassado ou não quando a fonte é ligada pela primeira vez e tanto os componentes transitórios quanto os de regime permanente da corrente do indutor estão ativos 1 2 10 mH 100 mF vg t 5 0 iL 15 V nrtShutterstock Circuitos elétricos 482 Book Nilsson 2indb 482 290116 1424 121 Definição da transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função é dada pela expressão l5 f t6 q 0 f test dt 121 em que o símbolo l5 f t6 é lido como a transformada de Laplace de ft A transformada de Laplace de ft também é representada por Fs isto é Fs l5 f t6 122 Essa notação enfatiza que quando a integral na Equação 121 é avaliada a expressão resul tante é uma função de s Em nossas aplicações t representa o domínio do tempo e como o expoente de e na integral da Equação 121 deve ser adimensional s deve ter a dimensão do recí proco do tempo ou frequência A transformada de Laplace transforma o problema do domí nio do tempo para o domínio da frequência Depois de obtida a expressão para a incógnita no domínio da frequência executamos a transformação inversa voltando ao domínio do tempo Se a ideia que fundamenta a transformada de Laplace parecerlhe estranha pense em outra transformada matemática muito conhecida Logaritmos são usados para transformar um pro blema de multiplicação ou divisão tal como A BC em um problema mais simples de adição ou subtração log A log BC log B log C Antilogaritmos são usados para executar o pro cesso inverso O fasor é outra transformada como vimos no Capítulo 9 ele converte um sinal senoidal em um número complexo para facilitar o cálculo algébrico de valores de circuitos Após determinarmos o valor fasorial de um sinal nós o transformamos de volta à sua expressão no domínio do tempo Esses dois exemplos destacam o aspecto essencial de transformadas mate máticas elas são projetadas para criar um novo domínio que facilite as manipulações matemá ticas Depois de determinarmos a incógnita no novo domínio fazemos a transformação inversa de volta ao domínio original Em análise de circuitos usamos a transformada de Laplace para transformar um conjunto de equações íntegrodiferenciais no domínio do tempo para um con junto de equações algébricas no domínio da frequência Por conseguinte reduzimos a solução de uma quantidade desconhecida à manipulação de um conjunto de equações algébricas Antes de ilustrarmos algumas das propriedades importantes da transformada de Laplace cabem alguns comentários gerais Em primeiro lugar observe que a integral na Equação 121 é imprópria porque o limite superior é infinito Assim enfrentamos de imediato a questão de saber se a integral converge ou não Em outras palavras uma dada função ft tem uma trans formada de Laplace Evidentemente as funções de maior interesse usadas em engenharia possuem transformadas de Laplace caso contrário não estaríamos interessados na transfor mada Em análise de circuitos lineares excitamos circuitos com fontes que têm transformadas de Laplace Funções excitação do tipo tt ou et2 que não possuem transformadas de Laplace não têm aplicação aqui Em segundo lugar como o limite inferior da integral é igual a zero a transformada de Laplace ignora ft para valores negativos de t Em outras palavras Fs é determinada pelo comportamento de ft somente para valores positivos de t Para enfatizar que o limite inferior é igual a zero a Equação 121 costuma ser denominada transformada de Laplace unilateral Na transformada de Laplace bilateral o limite inferior é q Aqui não usamos a forma bila teral portanto fica entendido que Fs é uma transformada unilateral t Transformada de Laplace Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 483 Book Nilsson 2indb 483 290116 1424 Outra observação a respeito do limite inferior referese à situação em que ft tem uma descontinuidade na origem Se ft for contínua na origem como na Figura 121a f0 não é ambígua Todavia se ft tiver uma descontinui dade finita na origem como na Figura 121b surge a questão se a integral da transformada de Laplace deve incluir ou excluir a descontinuidade Em outras palavras devemos tomar 0 como o limite inferior e incluir a descontinuidade ou devemos excluir a descontinuidade tomando 0 como o limite inferior Usamos a notação 0 e 0 para designar os valores de t imediatamente à esquerda ou à direita da origem respec tivamente Na verdade podemos escolher qualquer um deles contanto que sejamos consistentes Por razões que explicare mos mais adiante escolhemos 0 como o limite inferior Visto que estamos usando 0 como o limite inferior observamos de imediato que a inte gração de 0 a 0 é igual a zero A única exceção a essa regra ocorre quando a descontinuidade na origem é uma função impulso situação que discutiremos na Seção 123 Agora o impor tante é que as duas funções mostradas na Figura 121 têm a mesma transformada de Laplace unilateral porque não há nenhuma função impulso na origem A transformada de Laplace unilateral ignora ft para t 6 0 O que acontece antes de 0 é definido pelas condições iniciais Assim usamos a transformada de Laplace para prever a res posta a uma perturbação que ocorre após o estabelecimento das condições iniciais Na discussão a seguir dividimos as transformadas de Laplace em dois tipos transforma das funcionais e transformadas operacionais A transformada funcional é a transformada de Laplace de uma função específica como sen vt t eat e assim por diante A transformada opera cional define uma propriedade matemática geral da transformada de Laplace como determinar a transformada da derivada de ft Contudo antes de examinarmos transformadas funcionais e operacionais precisamos apresentar a função degrau e a função impulso 122 A função degrau Podemos nos defrontar com funções que têm uma descontinuidade ou salto na origem Por exemplo sabemos por discussões anteriores acerca do comportamento transitório que operações de chaveamento provocam mudanças abruptas em correntes e tensões Tratamos matematicamente dessas descontinuidades por meio das funções degrau e impulso A Figura 122 ilustra a função degrau que é igual a zero para t 6 0 O símbolo para a função degrau é Kut Assim a definição matemática da função degrau é Kut 0 t 6 0 Kut K t 7 0 123 Se K for igual a 1 a função definida pela Equação 123 é chamada função degrau unitário A função degrau não é definida em t 0 Em situações em que precisamos definir a transição entre 0 e 0 admitimos que ela seja linear e que Ku0 05K 124 Figura 122 Função degrau f t K 0 t Figura 121 Uma função contínua e uma função descontínua na origem a ft é contínua na origem b ft é descontínua na origem 10 f t e2at e2at t 0 0 a 10 f t t b t 0 0 t 0 Circuitos elétricos 484 Book Nilsson 2indb 484 290116 1425 Capitulo 12 Introdugao a transformada de Laplace Como antes 0 e 0 representam pontos simétricos Figura 123 Aproximagao linear para fungao degrau arbitrariamente proximos da esquerda e da direita da ori ro gem A Figura 123 ilustra a transicfo linear de 0 a 0 Uma descontinuidade pode ocorrer a qualquer tempo nao s6 em t0 por exemplo no chaveamento sequencial Um K f degrau que ocorra em ta é expresso como Kut a Assim 05 K Kut a 0ta 0 ot t KutaKta 125 i Figura 124 Fungao degrau ocorrendo em t a quando Se a 0 0 degrau ocorre a direita da origem se a 0 a0 o degrau ocorre a esquerda da origem A Figura 124 ilustra a Equacao 125 Observe que a fungado degrau é igual a 0 fo quando seu argumento ft a é negativo e K quando seu oe argumento é positivo Uma fungado degrau que seja igual a K parataé escrita como Kua t Assim t a KuatKta Kuat0ta 126 Figura 125 Fungao degrau Kua t para a 0 A descontinuidade esta 4 esquerda da origem quando fo a0A Equagao 126 é mostrada na Figura 125 K Uma aplicagaéo da fungéo degrau dase na expres sao matematica de uma fungdo que sé nao é igual a zero durante um intervalo finito de tempo Um exemplo util 0 a em andlise de circuitos é um pulso de largura finita que podemos criar somando duas fungdes degrau A funcgdo Kut 1 ut 3 tem o valor K para 1 t3 0 valor 0 em todos os outros instantes Assim ela 6 um pulso de largura finita de altura K que comega em t 1 e termina em f 3 Ao definirmos esse pulso usando fungées degrau é titil pensar na funcao degrau ut 1 como aquela que liga o valor constante K em t 1 e na funcdo degrau ut 3 como aquela que desliga o valor constante K em t 3 No Exemplo 121 usamos fung6es degrau para ligar e desligar fungdes lineares em tempos determinados EXEMPLO 121 Uso das fungdes degrau para representar uma fungao de duragao finita Use fungoes degrau para escrever a expressao para a Figura 126 Funcao para o Exemplo 121 fungao ilustrada na Figura 126 ro Solugao A fungéo mostrada na Figura 126 é composta por 2 segmentos lineares com pontos de inflex4o em 0 13 e 4s Para construir essa funao precisamos adicionar 1s e subtrair fungées lineares de inclinagéo adequada 0 1 2 4 Usamos a fungao degrau para iniciar e terminar esses segmentos lineares nos tempos adequadosEmoutras 2 Circuitos elétricos Figura 127 Definigdo dos trés segmentos de reta ligados Palavras usamos a funcao degrau para ligar e desligar e desligados por funcdes degrau para formar uma linha reta com as seguintes equagoes 2r ligada a fungao mostrada na Figura 126 em t 0 e desligada em ft 1 2t 4 ligada em t 1 fo desligada em t 3 e 2t 8 ligada em t 3 e desligada em 4 Esses segmentos de reta e suas equacG6es so 4 mostrados na Figura 127 A expressdo para ft é 2t f 2ut ut 1 2t 4ut 1 ut 3 2 2t 8ut 3 ut 4 2t4 NOTA avalie sua compreensao a respeito da funcao degrau tentanao resolver os 0 1 2 4 ts problemas 123 e 124 apresentados no final deste capitulo 2t 8 2 4 123 A fungao impulso Quando temos uma descontinuidade finita em uma fungaéo como a ilustrada na Figura 121b a derivada da funcao nao é definida no ponto de descontinuidade O conceito de uma funcdo impulso permite definir a derivada em uma descontinuidade e assim definir a trans formada de Laplace dessa derivada Um impulso é um sinal de amplitude infinita e duragao nula Tais sinais néo existem na natureza mas alguns sinais de tens4o e corrente aproximam se muito dessa definigdo e portanto um modelo matematico de um impulso é util Tensdes e correntes impulsivas ocorrem em andlise de circuitos seja por causa de operagées de chavea mento seja porque o circuito é excitado por uma fonte impulsiva Analisaremos essas situa ges no Capitulo 13 aqui discutiremos a definigao da fungao impulso de modo geral Para definir a derivada de uma funcéo em uma descontinuidade admitimos em primeiro lugar que a funcao varie linearmente na descontinuidade como mostra a Figura 128 onde observamos que quando e 0 ocorre uma descontinuidade abrupta na origem Quando dife renciamos a funcaéo a derivada entre e e e é constante e tem um valor de 12e Paratea derivada é ae A Figura 129 mostra essas observacées em forma de grafico A medida que e se aproxima de zero o valor de ft entre e aproximase de infinito Ao mesmo tempo a duracao desse valor aproximase de zero Além disso a 4rea sob ff entre e permanece constante quando e 0 Nesse exemplo a rea é igual 4 unidade A medida que e se aproxima de zero dizemos que a funcéo entre te aproximase de uma fungao impulso unitaria deno tada por 6f Assim a derivada de ft na origem aproximase de uma funcgéo impulso unitaria quando e aproximase de zero ou f0 6t quando e 0 Se a Area sob a curva da fungao impulso for diferente da unidade a fungdo impulso sera denotada por Két onde K é a area K costuma ser denominada a intensidade da fungao impulso A fungo impulso também é conhecida como fungao delta de Dirac Capitulo 12 Introdugao a transformada de Laplace Em resumo uma fungao impulso criada por uma fun Figura 128 Viséo ampliada da descontinuidade na Figura cao de parametro varidvel cujo parametro aproximase de 121b admitindo uma transicao linear entre zero A fungao de parametro varidvel deve exibir as seguin ee re tes trés caracteristicas 4 medida que 0 pardametro aproxima fo se de zero 10 1 A amplitude aproximase de infinito oe ate 2 A duracao da funéo aproximase de zero 05 o 1 3 A area sob a funcao de parametro varidvel permanece 56 05 constante 4 medida que o parametro varia 7 t A TE Ha muitas funcgdes de parametro varidvel que possuem as caracteristicas mencionadas Na Figura 128 usamos uma funcao linear ft 05te 05 Outro exemplo de uma fun cao de parametro variavel a funcao exponencial Figura 129 Derivada da fungao mostrada na Figura 128 K fi e 127 ft 2e 1 A medida que e se aproxima de zero a fungdo torna De se infinita na origem e ao mesmo tempo cai a zero em uma fracdo infinitesimal de tempo A Figura 1210 ilustra o cara t ter de ft 4 medida que e 0 Para mostrar que uma fungao e 0 impulso é criada a medida que e 0 também precisamos ae 9 mostrar que a area sob a fungao é independente de e Assim a K K Area elldt e dt co 2 0 2 K elle 0 K e tle co of 4 Figura 1210 Fungao de parametro variavel usada para 2e Iel 2 Ielo gerar uma funcao impulso KK K 128 t que nos diz que a area sob a curva é constante e igual a K K2e K Wwe unidades Portanto 4 medida que 0 ft K6t E 2e Em termos matematicos a fungao impulso é definida e v4 1 como t K8tdt K 129 0 6t 0 t 40 1210 A Equacio 129 estabelece que a drea sob a funcdo Figura 1211 Representagao grafica do impulso Ké t e K8t a impulso é constante Essa area representa a intensidade do impulso A Equagao 1210 afirma que o impulso é nulo em fo todos os pontos exceto em t 0 Um impulso que ocorre em ta é denotado por Két a kK K O simbolo grafico para a funcéo impulso é uma seta Két Kt a A intensidade do impulso é dada entre parénteses ao lado da ponta da seta A Figura 1211 mostra os impulsos K6t 0 a t e Kdta Circuitos elétricos Uma propriedade importante da funcgao impulso é a propriedade de filtragem que é expressa como fst ajdt fa 1211 em que a fungao ft é suposta continua em t a isto é no local do impulso A Equacao 1211 mostra que a funcéo impulso filtra tudo exceto o valor de ft em taA validade da Equacgao 1211 decorre do fato de que 5t a é igual a zero em todos os pontos exceto em t a e por conseguinte a integral pode ser escrita oo ate I fHét adt fst a dt 1212 0o0 ae Contudo como ft é continua em a ela assume o valor fa 4 medida que t a portanto ate ate I faét a dt fa dt adt aeée aeé fa 1213 Usamos a propriedade de filtragem da fungao impulso para determinar sua transformada de Laplace SSt dte dt 6tdt 1 1214 o 0 que é um importante par de transformadas de Laplace muito usado em anilise de circuitos Podemos definir também as derivadas da fungéo impulso e a transformada de Laplace dessas derivadas Vamos discutir a derivada de primeira ordem junto com sua transformada e entao enunciar os resultados para as derivadas de ordens mais altas a A fungao da Figura 1212a gera uma fungaéo impulso Figura 1212 Derivada de primeira ordem da fungao x quando e 0A Figura 1212b mostra a derivada dessa impulso a Fungao geradora do impulso usada para definir a derivada de primeira fungao geradora que é definida como a derivada do impulso ordem b Derivada de primeira ordem da 5 quando e 0As vezes a derivada da fungado impulso Tuncao geradora do impulso que tende para é denominada funcéo momento ou dubleto unitario 80 quando 0 Para determinar a transformada de Laplace de 5f sim f plesmente aplicamos a integral definidora 4 fungaéo mostrada V na Figura 1212b e apés integrar fazemos e 0 Entao O7 1 1 L8t im se dt aa i e0 Le ot e 0 ev se 2 a lim e0 SE fo SE se i Ve limos e0 2S e 0 i sere sze 5 lim Ve e0 2s s5 1215 b 1215 Capitulo 12 Introdugao a transformada de Laplace Na deducao da Equagao 1215 tivemos de usar a regra de IlH6pital duas vezes para ava liar a forma indeterminada 00 Derivadas de ordens mais altas podem ser geradas de maneira semelhante a usada para gerar a derivada de primeira ordem veja o Problema 126 e entao a integral definidora pode ser usada para determinar sua transformada de Laplace Para a derivada de nésima ordem da fungao impulso constatamos que sua transformada de Laplace é simplesmente s isto é ff 8t gil 1216 Figura 1213 Fungao impulso como a derivada da fungao degrau a ft ut a medida que e 0 Por fim uma funcgéo impulso pode ser considerada a 0 Ft 8 t a medida que e 0 derivada de uma funcao degrau isto é fo dut dt duty 1217 10 dt A Figura 1213 apresenta a interpretagdo grafica da Equacao 1217 A funcgdo mostrada na Figura 1213a apro t ximase de uma funcdo degrau unitdrio 4 medida que e 0 A funcéo mostrada na Figura 1213b a derivada da funcdo da Figura 1213a aproximase de um impulso f unitario 4 medida que e 0 1 A fungéo impulso é um conceito de extrema utilidade 2 em analise de circuitos e falaremos mais sobre ela nos pr6 ximos capitulos Apresentamos 0 conceito aqui para poder mos incluir descontinuidades na origem em nossa definigao da transformada de Laplace t NOTA avalie sua compreensdo a respeito da funao impulso tentando resolver b os problemas 126 128 e 1210 apresentados no final deste capitulo 124 Transformadas funcionais Uma transformada funcional é simplesmente a transformada de Laplace de uma dada fungao de Visto que estamos limitando nossa introdugao a transformada de Laplace unilate ral todas as fung6es consideradas s4o nulas parat0 Determinamos um par de transformadas funcionais na Segao 123 na qual mostramos que a transformada de Laplace da fungao impulso unitario é igual a 1 veja a Equagao 1214 Um segundo exemplo é a fungdo degrau unitario da Figura 1213a em que Lut fe dt le dt 0 o st co 1 1218 TS Jor S A Equagao 1218 mostra que a transformada de Laplace da fungao degrau unitario é 1s A transformada de Laplace da fungéo exponencial decrescente da Figura 1214 é CO CO 1 Lem eedt etsy dt 1219 or ot sta Quando deduzimos as equacées 1218 e 1219 usamos 0 fato de que a integragdo de 0 a O é igual a zero Circuitos elétricos Figura 1214 Fungo exponencial decrescente Um terceiro exemplo de determinacéo de uma trans fle formada funcional é a funcgdo senoidal mostrada na Figura 1215 A expressdo de ft para t 0 é sen wt portanto a expresso para a transformada de Laplace é 10K f at e10 L sen wt senate dt 0t0 0 Cf jot pet e e Je dt o 2 Figura 1215 Fungao senoidal para t 0 OO 7sjot sjot t e e fo dt 0 2 10 etc 1 1 1 7 9 Sjwo sjw 0 10 1220 a A Tabela 121 apresenta uma lista abreviada de pares de transformadas de Laplace Ela inclui as fungdes de maior interesse para um curso introdutério de circuitos elétricos Tabela 121 Lista abreviada de pares de transformadas de Laplace gH fO t0 Fs impulso 6 0 1 degrau u t 1 Ss rampa t 1 2 exponencial ew 1 sta seno sen wt w a cosseno cos wt s a rampa amortecida te 1 s a seno amortecido e sen wt wo s tay 0 cosseno amortecido e cos wt sta s tay 0 125 Transformadas operacionais Transformadas operacionais indicam como operações matemáticas realizadas em ft ou Fs são convertidas para o domínio oposto As operações de maior interesse são 1 multi plicação por uma constante 2 adição subtração 3 diferenciação 4 integração 5 des locamento no domínio do tempo 6 deslocamento no domínio da frequência e 7 mudança de escala Multiplicação por uma constante Pela definição da integral se l5 f t6 Fs então l5 Kf t6 KF s 1221 Assim multiplicar ft por uma constante corresponde a multiplicar Fs pela mesma constante Adição subtração A adição subtração no domínio do tempo corresponde à adição subtração no domínio da frequência Assim se l5 f3t6 F3s l5 f2t6 F2s l5 f1t6 F1s então l5 f1t f2t f3t6 F1s F2s F3s 1222 que é deduzida pela simples substituição da soma algébrica de funções no domínio do tempo na equação integral de definição Objetivo 1 Saber calcular a transformada de Laplace de uma função usando a definição dessa transformada 121 Use a equação definidora da transformada de Laplace para a determinar a transformada de Laplace de cosh bt b determinar a transformada de Laplace de senh bt Resposta a ss2 b2 b bs2 b2 NOTA tente resolver também o Problema 1220 apresentado no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 491 Book Nilsson 2indb 491 290116 1425 Diferenciação Diferenciar no domínio do tempo corresponde a multiplicar Fs por s e então subtrair desse produto o valor inicial de ft isto é f0 de lb df t dt r sF s f 0 1223 resultado esse obtido diretamente da definição da transformada de Laplace ou lb df t dt r q 0 B df t dt Rest dt 1224 Avaliamos a integral na Equação 1224 integrando por partes Fazendo u est e dv dftdtdt obtemos l b df t dt r estf t 2 q 0 q 0 f tsestdt 1225 Como estamos admitindo que ft possui transformada de Laplace a avaliação de estft em t q é igual a zero Portanto o lado direito da Equação 1225 reduzse a f 0 s q 0 f testdt sF s f 0 Essa observação conclui a dedução da Equação 1223 Tratase de um resultado impor tante porque estabelece que a diferenciação no domínio do tempo reduzase a uma operação algébrica no domínio de s Determinamos a transformada de Laplace de derivadas de ordens mais altas usando a Equação 1223 como ponto de partida Por exemplo para determinar a transformada de Laplace da derivada de segunda ordem de ft em primeiro lugar fazemos gt df t dt 1226 Agora usamos a Equação 1223 para escrever Gs sFs f0 1227 Porém como dgt dt d2f t dt2 escrevemos l b dgt dt r lb d2f t dt2 r s Gs g0 1228 Combinando as equações 1226 1227 e 1228 obtemos lb d2f t dt2 r s2Fs sf 0 df 0 dt 1229 Determinamos a transformada de Laplace da derivada de ordem n aplicando sucessiva mente o processo precedente o que leva ao resultado geral Circuitos elétricos 492 Book Nilsson 2indb 492 290116 1425 l b dnf t dtn r snFs sn1f 0 sn2 df 0 dt sn3 d2f 0 dt2 p dn1f 0 dtn1 1230 Integração A integração no domínio do tempo corresponde a dividir por s no domínio de s Como antes estabelecemos a relação pela integral definidora l b t 0f x dx r q 0 B t 0f x dx Rest dt 1231 Avaliamos a integral do lado direito da Equação 1231 integrando por partes fazendo em primeiro lugar dv est dt u t 0 f xdx Então v e st s du f tdt A integração por partes resulta em l u t 0f x dx v est s t 0 f x dx 2 q 0 q 0 est s f t dt 1232 O primeiro termo do lado direito da Equação 1232 é igual a zero nos limites superior e inferior O valor no limite inferior é obviamente nulo ao passo que o valor no limite superior é nulo porque estamos admitindo que ft tenha uma transformada de Laplace O segundo termo do lado direito da Equação 1232 é Fss assim l u t 0f x dx v Fs s 1233 o que revela que a operação de integração no domínio do tempo é transformada na operação algébrica de multiplicar por 1s no domínio de s As equações 1233 e 1230 formam a base da afirmação que fizemos antes isto é a transformada de Laplace transforma um conjunto de equações íntegrodiferenciais em um conjunto de equações algébricas Deslocamento no domínio do tempo Dada uma função qualquer ftut podemos representar essa mesma função deslocada no tempo de uma constante a como ft aut a2 O deslocamento no domínio do tempo corresponde à multiplicação por uma exponencial no domínio da frequência Assim l5 f t aut a6 easFs a 7 0 1234 2 Observe que sempre multiplicamos qualquer função arbitrária ft pela função degrau unitário ut para garantir que a função resultante seja definida apenas para tempos positivos Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 493 Book Nilsson 2indb 493 290116 1425 Por exemplo sabendo que l5 tut6 1 s2 a Equação 1234 permite escrever diretamente a transformada de Laplace de t aut a l5 t aut a6 eas s2 A prova da Equação 1234 decorre da definição da integral definidora q a f t aest dt l5 t aut a6 q 0 ut af t aest dt 1235 Quando escrevemos a Equação 1235 lançamos mão do fato de que ut a 1 para t 7 a Agora mudamos a variável de integração Especificamente fazemos x t a Então x 0 quando t a x q quando t q e dx dt Assim escrevemos a integral da Equação 1235 como easFs esa q 0 f xesx dx l5 f t aut a6 q 0 f xesx a dx que é o que nos propusemos a provar Deslocamento no domínio da frequência O deslocamento no domínio da frequência corresponde a multiplicar por uma exponen cial no domínio do tempo l5 eat f t6 Fs a 1236 o que decorre da definição da transformada de Laplace A dedução da Equação 1236 fica para o Problema 1215 Podemos usar a Equação 1236 para deduzir novos pares de transformadas Assim sabendo que l5 cos vt6 s s2 v2 usamos a Equação 1236 para deduzir que l5 eat cosvt6 s a s a2 v2 Circuitos elétricos 494 Book Nilsson 2indb 494 290116 1425 Mudança de escala A propriedade de mudança de escala referese à relação entre ft e Fs quando a variá vel tempo é multiplicada por uma constante positiva l5 f at6 1 a F a s ab a 7 0 1237 cuja dedução deixamos para o Problema 1216 A propriedade de mudança de escala é útil particularmente em trabalhos experimentais em especial quando tais mudanças no tempo são feitas para facilitar a construção do modelo de um sistema Usamos a Equação 1237 para formular novos pares de transformadas Assim sabendo que l5 cos t6 s s2 1 deduzimos pela Equação 1237 que l5 cosvt6 1 v sv sv2 1 s s2 v2 A Tabela 122 fornece uma lista abreviada de transformadas operacionais Tabela 122 Lista abreviada de transformadas operacionais Operação ft Fs Multiplicação por uma constante Kft Kfs Adiçãosubtração f1t f2t f3t c F1s F2s F3s c Derivada de primeira ordem tempo df t dt sFs f0 Derivada de segunda ordem tempo d2f t dt2 s2Fs sf 0 df 0 dt Derivada de ordem n tempo dnf t dtn sn3 df 20 dt2 c dn1f 0 dtn1 snFs sn1f 0 sn2 df 0 dt Integral em relação ao tempo t 0 f x dx Fs s Deslocamento no tempo ft aut a a 7 0 eat Fs Deslocamento na frequência eat ft Fs a Mudança de escala fat a 7 0 1 aF a s a b Derivada de primeira ordem em s tf t dFs ds Derivada de ordem n em s tnf t 1n dnFs dsn Integral em s f t t q s Fu du Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 495 Book Nilsson 2indb 495 290116 1425 126 Uma aplicação da transformada de Laplace Vamos agora ilustrar como usar a transformada de Laplace para resolver as equações íntegrodiferenciais ordi nárias que descrevem o comportamento de circuitos de parâmetros concentrados Examine o circuito mostrado na Figura 1216 Admitimos que não haja nenhuma energia ini cial armazenada no circuito no instante em que a chave que curtocircuita a fonte de corrente cc é aberta O problema consiste em determinar a expressão de vt quando t 0 Começamos escrevendo a equação íntegrodiferencial que vt deve satisfazer Precisa mos somente de uma única equação nodal para descrever o circuito Somando as correntes que saem do nó superior do circuito obtemos a equação vt R 1 L t 0 vx dx Cdvt dt Iccut 1238 Observe que ao escrevermos a Equação 1238 representamos a abertura da chave por uma fonte de corrente em forma de degrau que varia de zero a Icc Depois da obtenção das equações íntegrodiferenciais neste exemplo apenas uma transformamos as equações para o domínio de s Não abordaremos todas as etapas da trans formação detalhadamente porque no Capítulo 13 veremos como evitálas e como gerar as equações diretamente no domínio de s Ainda que brevemente usamos três transformadas operacionais e uma transformada funcional na Equação 1238 para obter Vs R 1 L Vs s CsVs v0 Icc a 1 s b 1239 que é uma equação algébrica em que Vs é a variável desconhecida Estamos admitindo que os parâmetros de circuito R L e C bem como a corrente da fonte Icc sejam conhecidos a ten são inicial no capacitor v0 é nula porque não há a energia inicial armazenada no circuito Assim reduzimos o problema à resolução de uma equação algébrica Figura 1216 Circuito RLC em paralelo Icc t 5 0 C L R 1 2 vt Objetivo 1 Saber calcular a transformada de Laplace de uma função usando a tabela de transformada de Laplace ou uma tabela de transformadas operacionais 122 Use a transformada operacional adequada da Tabela 122 para determinar a transformada de Laplace de cada função a t2eat b d dt eat senh bt c t cos vt Resposta a c s2 v2 s2 v22 b bs s a2 b2 2 s a3 NOTA tente resolver também os problemas 1218 e 1222 apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 496 Book Nilsson 2indb 496 290116 1425 Em seguida resolvemos as equações algébricas novamente apenas uma neste caso determinando o valor das incógnitas Resolvendo a Equação 1239 obtemos Vs Icc C s2 1RCs 1LC Vsa 1 R 1 sL sCb Icc s 1240 Para determinarmos vt temos de efetuar a transformada inversa de Vs Denotamos essa operação inversa como vt l15 Vs6 1241 A etapa seguinte da análise é determinar a transformada inversa da expressão no domí nio de s este será o assunto da Seção 127 Nessa seção apresentaremos também uma etapa final crucial verificar a validade da expressão resultante no domínio do tempo A necessidade de tal verificação não é exclusiva da transformada de Laplace engenheiros conscienciosos e prudentes sempre testam qualquer solução calculada para assegurarse de que ela faz sentido em termos do comportamento conhecido do sistema Simplificar a notação agora é vantajoso Portanto fazemos isso eliminando o t entre parên teses nas expressões no domínio do tempo e o s entre parênteses nas expressões no domínio da frequência Usamos letras minúsculas para todas as variáveis no domínio do tempo e letras maiúsculas para as variáveis correspondentes no domínio da frequência Assim l5 f 6 F ou f l15 F6 l5 i6 I ou i l15 I6 l5 v6 V ou v l15 V6 e assim por diante NOTA avalie sua compreensão a respeito deste assunto tentando resolver o Problema 1226 apresentado no final deste capítulo 127 Transformadas inversas A expressão para Vs na Equação 1240 é uma função racional de s isto é uma expressão que pode ser mostrada na forma de uma razão entre dois polinômios em s de tal modo que nenhuma potência não inteira de s apareça nos polinômios Na realidade para circuitos linea res de parâmetros concentrados cujos componentes têm valores constantes as expressões no domínio de s para as tensões e correntes desconhecidas são sempre funções racionais de s Você pode verificar essa observação resolvendo os problemas 12271230 Se pudermos exe cutar transformadas inversas de funções racionais de s poderemos calcular as expressões para o domínio do tempo das tensões e das correntes A finalidade desta seção é apresentar uma técnica sistemática e direta para determinar a transformada inversa de uma função racional De modo geral precisamos determinar a transformada inversa de uma função cuja forma seja Fs Ns Ds ansn an1sn1 c a1s a0 bmsm bm1sm1 c b1s b0 1242 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 497 Book Nilsson 2indb 497 290116 1425 Os coeficientes a e b são constantes reais e os exponentes m e n são inteiros positivos A razão NsDs é denominada uma função racional própria se m 7 n e uma função racional imprópria se m n Somente uma função racional própria pode ser expandida como uma soma de frações parciais Essa restrição não causa nenhum problema como mostraremos no final desta seção Expansão por frações parciais funções racionais próprias Uma função racional própria é expandida em uma soma de frações parciais escrevendo se um termo ou uma série de termos para cada raiz de Ds Assim Ds deverá ser fatorada antes de podermos realizar uma expansão por frações parciais Cada raiz distinta de Ds gera um único termo na soma de frações parciais Cada raiz múltipla de Ds de multiplicidade r gera r termos na expansão Por exemplo na função racional s 6 ss 3s 12 o denominador tem quatro raízes Duas delas são distintas ou seja em s 0 e s 3 Uma raiz múltipla de multiplicidade 2 ocorre em s 1 Assim a expansão por frações parciais dessa função toma a forma s 6 ss 3s 12 K K1 s K2 s 3 K3 s 12 K4 s 1 1243 A técnica das frações parciais para determinar transformadas inversas baseiase na asso ciação de uma função ft a cada termo da soma de frações parciais Pela Tabela 121 podese verificar que K1 K2e3t K3tet K4et ut l1e s 6 ss 3s 12 f 1244 Agora só falta estabelecer uma técnica para determinar os coeficientes K1 K2 K3 c gerados por uma expansão por frações parciais Esse problema pode assumir quatro formas gerais Especificamente as raízes de Ds são 1 reais e distintas 2 complexas e distintas 3 reais e repetidas ou 4 complexas e repetidas Antes de examinarmos cada situação há alguns comentários gerais a fazer Usamos o sinal de identidade K na Equação 1243 para enfatizar que expandir uma fun ção racional em uma soma de frações parciais estabelece uma identidade Por isso ambos os lados da equação devem ser o mesmo para todos os valores da variável s Além disso a relação de identidade deverá ser válida quando ambos os lados estiverem sujeitos à mesma operação matemática Essas características são úteis para determinar os coeficientes como veremos Lembrese de verificar se a função racional é própria Isso é importante porque nada no pro cedimento para determinar os vários Ks indicará resultados absurdos se a função racional for imprópria Apresentamos um procedimento para verificar a validade dos Ks mas você poderá evitar um trabalho inútil habituandose a questionar Fs é uma função racional própria Expansão por frações parciais raízes reais distintas de Ds Em primeiro lugar vamos analisar a determinação dos coeficientes em uma expansão por frações parciais quando todas as raízes de Ds são reais e distintas Para determinar o K Circuitos elétricos 498 Book Nilsson 2indb 498 290116 1425 associado a um termo que surge por causa de uma raiz simples de Ds multiplicamos ambos os lados da identidade por um fator igual ao denominador do termo desejado Então avaliare mos ambos os lados da identidade quando s for igual à raiz correspondente ao fator multipli cador sendo o lado direito o K desejado e o lado esquerdo seu valor numérico Por exemplo Fs 96s 5s 12 ss 8s 6 K K1 s K2 s 8 K3 s 6 1245 Para determinar o valor de K1 multiplicamos ambos os lados por s e então avaliamos ambos os lados em s 0 96s 5s 12 s 8s 6 2 s 0 K K1 K2s s 8 2 s 0 K3s s 6 2 s 0 ou 96512 86 K K1 120 1246 Para determinar o valor de K2 multiplicamos ambos os lados por s 8 e então avaliamos ambos os lados em s 8 K K1s 8 s 2 s 8 K2 K3s 8 s 6 2 s 8 96s 5s 12 ss 6 2 s 8 ou 9634 82 K2 72 1247 Então K3 é 96s 5s 12 ss 8 2 s 6 K3 48 1248 Pela Equação 1245 e pelos valores obtidos para K 96s 5s 12 ss 8s 6 K 120 s 48 s 6 72 s 8 1249 Neste ponto é uma boa ideia testar o resultado para se proteger contra erros de cálculo Como já mencionamos uma expansão por frações parciais cria uma identidade assim ambos os lados da Equação 1249 devem ter o mesmo valor para todos os valores de s A escolha de valores de teste é completamente livre daí escolhemos valores fáceis de verificar Por exem plo na Equação 1249 os valores 5 e 12 são interessantes porque anulam o lado esquerdo da equação Para 5 temos 120 5 48 1 72 3 24 48 24 0 e para 12 temos 120 12 48 6 72 4 10 8 18 0 Agora confiantes de que os valores numéricos das constantes estejam corretos prossegui mos na determinação da transformada inversa l1 b 96s 5s 12 ss 8s 6 r 120 48e6t 72e8tut 1250 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 499 Book Nilsson 2indb 499 290116 1425 Expansão por frações parciais raízes complexas distintas de Ds A única diferença entre determinar os coeficientes associados a raízes complexas distintas e determinar os associados a raízes reais distintas é que para os primeiros a álgebra envolve números complexos Ilustramos o método expandindo a função racional Fs 100s 3 s 6s2 6s 25 1251 Começamos observando que Fs é uma função racional própria Em seguida devemos determinar as raízes do termo quadrático s2 6s 25 s2 6s 25 s 3 j4s 3 j4 1252 Com o denominador na forma fatorada prosseguimos como antes K1 s 6 K2 s 3 j4 K3 s 3 j4 100s 3 s 6s2 6s 25 K 1253 Para determinar K1 K2 e K3 usamos o mesmo processo de antes K1 100s 3 s2 6s 25 2 s 6 1003 25 12 1254 6 j8 10ej5313 K2 100s 3 s 6s 3 j4 2 s 3j4 100 j4 3 j4 j8 1255 6 j8 10e j5313 K3 100s 3 s 6s 3 j4 2 s 3j4 100j4 3 j4j8 1256 Objetivo 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 123 Determine ft se Fs 6s2 26s 26 s 1s 2s 3 Resposta ft 3et 2e2t e3tut 124 Determine ft se Fs 7s2 63s 134 s 3s 4s 5 Resposta ft 4e3t 6e4t 3e5tut NOTA tente resolver também os problemas 1240a e b apresentados no final deste capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo Circuitos elétricos 500 Book Nilsson 2indb 500 290116 1425 Então 10l5313 s 3 j4 100s 3 s 6s2 6s 25 12 s 6 10l 5313 s 3 j4 1257 Mais uma vez precisamos fazer algumas observações Em primeiro lugar em circuitos fisicamente realizáveis raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados Em segundo lugar os coeficientes associados a esses pares também são conjugados Observe por exemplo que K3 Equação 1256 é o conjugado de K2 Equação 1255 Assim para raízes complexas conjugadas na verdade só é preciso calcular metade dos coeficientes Antes de executarmos a transformação inversa da Equação 1257 verificamos numerica mente a expansão por frações parciais Testar para 3 é interessante porque este valor reduz a zero o lado esquerdo 4 20 j15 20 j15 0 4 25 l3687 25 l 3687 Fs 12 3 10 l 5313 j4 10 l5313 j4 Agora prosseguimos com a transformação inversa da Equação 1257 10e j5313 e3j4t ut l1 b 100s 3 s 6s2 6s 25 r 12e6t 10ej5313 e3j4t 1258 De modo geral não é desejável que a função no domínio do tempo contenha componen tes imaginários Felizmente como os termos que envolvem componentes imaginários sempre aparecem em pares conjugados podemos eliminálos simplesmente somando os pares 20e3t cos4t 5313 10e3tAe j4t 5313 ej4t 5313 B 0 1 ej5313 e3j4t 10e j5313 e3j4t 1259 o que nos habilita a simplificar a Equação 1258 12e6t 20e3t cos4t 5313 ut l1 b 100s 3 s 6s2 6s 25 r 1260 Como raízes complexas distintas aparecem frequentemente na análise de circuitos linea res de parâmetros concentrados precisamos resumir esses resultados com um novo par de transformadas Sempre que Ds contiver raízes complexas distintas isto é fatores da forma s a jbs a jb um par de termos da forma K s a jb K s a jb 1261 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 501 Book Nilsson 2indb 501 290116 1425 aparece na expansão por frações parciais onde o coeficiente da fração parcial é de modo geral um número complexo Na forma polar K 0 K 0 e ju 0 K 0 lu 1262 onde K denota o módulo do coeficiente complexo Então K 0 K 0 eju 0 K 0 l u 1263 A transformada inversa dos pares de conjugados complexos da Equação 1261 é sempre 2 0 K 0 eat cosbt u l1 b K s a jb K s a jb r 1264 Ao aplicar a Equação 1264 é importante observar que K é definido como o coeficiente associado ao denominador s a jb e que K é definido como o coeficiente associado ao denominador s a jb Objetivo 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 125 Determine ft se Fs 10s2 119 s 5s2 10s 169 Resposta ft 10e5t 833e5t sen12tut NOTA tente resolver também os problemas 1241c e d apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Expansão por frações parciais raízes reais repetidas de Ds Para determinar os coeficientes associados aos termos gerados por uma raiz múltipla de multiplicidade r multiplicamos ambos os lados da identidade pela raiz múltipla elevada à sua potência de ordem r Determinamos K que aparece acima do fator elevado à potência r ava liando ambos os lados da identidade na raiz múltipla Para determinar os r 1 coeficientes restantes diferenciamos ambos os lados da identidade r 1 vezes Ao final de cada diferen ciação avaliamos ambos os lados da identidade na raiz múltipla O lado direito é sempre o K desejado e o lado esquerdo é sempre seu valor numérico Por exemplo 100s 25 ss 53 K1 s K2 s 53 K3 s 52 K4 s 5 1265 Determinamos K1 como já descrevemos antes isto é K1 100s 25 s 53 2 s 0 10025 125 20 1266 Para determinar K2 multiplicamos ambos os lados por s 53 e então avaliamos ambos os lados em 5 Circuitos elétricos 502 Book Nilsson 2indb 502 290116 1425 K4s 52 2 s 5 100s 25 s 2 s 5 K1s 53 s 2 s 5 K2 K3s 5 s 5 1267 K2 400 10020 5 K1 0 K2 K3 0 K4 0 1268 Para determinar K3 temos de multiplicar em primeiro lugar ambos os lados da Equação 1265 por s 53 Em seguida diferenciamos ambos os lados uma vez em relação a s e então avaliamos em s 5 1 00 B s s 25 s2 R s 5 K3 100 d dsK4s 52s 5 d dsK3s 5s 5 d dsK2s 5 d ds B 100s 25 s R s 5 d ds B K1s 53 s R s 5 1269 1270 Para determinar K4 multiplicamos em primeiro lugar ambos os lados da Equação 1265 por s 53 Em seguida diferenciamos ambos os lados duas vezes em relação a s e então avaliamos ambos os lados em s 5 Após simplificarmos a derivada de primeira ordem a de segunda ordem tornase 0 d dsK3s 5 d ds2K4s 5s 5 1 00 d ds B 25 s2 R s 5 K1 d ds B s 52 2s 5 s2 R s 5 ou 40 2K4 1271 Resolvendo a Equação 1271 obtemos K4 20 1272 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 503 Book Nilsson 2indb 503 290116 1426 Então 100s 25 ss 53 20 s 400 s 53 100 s 52 20 s 5 1273 Neste ponto podemos verificar nossa expansão testando ambos os lados da Equação 1273 em s 25 Observe que ambos os lados da Equação 1273 são iguais a zero quando s 25 e isso nos dá confiança na correção da expansão por frações parciais A transformada inversa da Equação 1273 resulta em 20 200t2e5t 100te5t 20e5tut l1 b 100s 25 ss 53 r 1274 Objetivo 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 126 Determine ft se Fs 4s2 7s 1 ss 12 Resposta ft 1 2tet 3etut NOTA tente resolver também os problemas 1241a e b apresentados no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Expansão por frações parciais raízes complexas repetidas de Ds Tratamos raízes complexas repetidas do mesmo modo que as raízes reais repetidas a única diferença é que a álgebra envolve números complexos Lembrese de que raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados e de que os coeficientes associados ao par conjugado também são conjugados Portanto somente metade deles precisa ser avaliada Por exemplo Fs 768 s2 6s 252 1275 Após fatorar o polinômio do denominador escrevemos K 1 s 3 j42 K 2 s 3 j4 K1 s 3 j42 K2 s 3 j4 Fs 768 s 3 j42s 3 j42 1276 Precisamos agora avaliar somente K1 e K2 porque K 2 K 1 e K 2 K 1 são valores conjugados O valor de K1 é 768 j82 12 K1 768 s 3 j42 2 s 3j4 1277 Circuitos elétricos 504 Book Nilsson 2indb 504 290116 1426 O valor de K2 é j3 3 l 90 2768 j83 2768 s 3 j43 2 s 3j4 K2 d ds B 768 s 3 j42R s 3j4 1278 Pelas equações 1277 e 1278 K 2 j3 3 l90 K 1 12 1279 1280 Agrupamos agora a expansão por frações parciais por termos conjugados para obter 3 l 90 s 3 j4 3 l90 s 3 j4 Fs B 12 s 3 j42 12 s 3 j42R 1281 Escrevemos então a transformada inversa de Fs ft 24te3t cos 4t 6e3t cos4t 90ºut 1282 Observe que se Fs tiver uma raiz real a de multiplicidade r em seu denominador o termo correspondente na expansão por frações parciais é da forma K s ar A transformada inversa desse termo é l1 b K s ar r Kt r 1eat r 1 ut 1283 Se Fs tiver uma raiz complexa de a jb de multiplicidade r em seu denominador o termo correspondente na expansão por frações parciais é o par conjugado K s a jbr K s a jbr A transformada inversa desse par é B 2Ktr1 r 1 eat cosbt uR ut l1 b K s a jbr K s a jbr r 1284 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 505 Book Nilsson 2indb 505 290116 1426 As equações 1283 e 1284 são as que nos possibilitam obter por inspeção a transformada inversa de qualquer expansão por frações parciais Uma observação adicional sobre essas duas equações na maioria dos problemas de análise de circuitos raramente r é maior do que 2 Assim a transformada inversa de uma função racional pode ser tratada com quatro pares de transformadas A Tabela 123 apresenta uma lista desses pares Tabela 123 Quatro pares de transformadas úteis Número do par Natureza das raízes Fs ft 1 Reais e distintas K s a Keatut 2 Reais e repetidas K s a2 Kteatut 3 Complexas e distintas K s a jb K s a jb 2 K eat cos bt uut 4 Complexas e repetidas K s a jb2 K s a jb2 2t K eat cos bt uut NOTA nos pares 1 e 2 K é uma quantidade real ao passo que nos pares 3 e 4 K é a quantidade com plexa K lu Objetivo 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 127 Determine ft se Fs 40 s2 4s 52 Resposta ft 20te2t cos t 20e2t sen tut NOTA tente resolver também o Problema 1243b apresentado no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Expansão por frações parciais funções racionais impróprias Concluiremos a discussão da expansão por frações parciais voltando a uma observação feita no início desta seção ou seja que as funções racionais impróprias não constituem um problema sério para determinar transformadas inversas Uma função racional imprópria pode sempre ser expressa como um polinômio somado a uma função racional própria Calculamos então a transformada inversa do polinômio por meio da função impulso e suas derivadas A transformada inversa da função racional própria é calculada pelas técnicas esboçadas nesta seção Para ilustrar o procedimento usamos a função Fs s4 13s3 66s2 200s 300 s2 9s 20 1285 Circuitos elétricos 506 Book Nilsson 2indb 506 290116 1426 Dividindo o numerador pelo denominador até que o resto seja uma função racional pró pria obtemos Fs s2 4s 10 30s 100 s2 9s 20 1286 em que o termo 30s 100s2 9s 20 é o resto Em seguida expandimos a função racional própria em uma soma de frações parciais 30s 100 s2 9s 20 30s 100 s 4s 5 20 s 4 50 s 5 1287 Substituindo a Equação 1287 na Equação 1286 obtemos Fs s2 4s 10 20 s 4 50 s 5 1288 Agora podemos obter a transformada inversa da Equação 1288 por inspeção Daí 20e4t 50e5tut f t d2dt dt2 4ddt dt 10dt 1289 Objetivo 2 Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a expansão por frações parciais e a tabela de transfor madas de Laplace 128 Determine ft se Fs 5s2 29s 32 s 2s 4 Resposta ft 5dt 3e2t 2e4tut 129 Determine ft se Fs 2s3 8s2 2s 4 s2 5s 4 Resposta f t 2ddt dt 2dt 4e4tut NOTA tente resolver também o Problema 1243c apresentado no final deste capítulo PRoBlEMAS PARA AVAlIAÇÃo 128 Polos e zeros de Fs A função racional da Equação 1242 também pode ser expressa como a razão entre dois polinômios fatorados Em outras palavras podemos escrever Fs como Fs Ks z1s z2 c s zn s p1s p2 c s pm 1290 em que K é a constante anbm Por exemplo também podemos escrever a função Fs 8s2 120s 400 2s4 20s3 70s2 100s 48 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 507 Book Nilsson 2indb 507 290116 1426 Circuitos elétricos como 8s 15s 50 4s 5s 10 Fs Sie Bs 40 AGS FSS FIO 1291 2s 10s 35s 50s 24 s 1s 2s 3s 4 As raizes do polindmio do denominador isto p Pj P3 P 840 denominadas os polos de Fs elas sao os valores de s nos quais Fs tornase infinitamente grande Na fun cao descrita pela Equacao 1291 os polos de Fs sao 1 23 e 4 As raizes do polinémio do numerador isto z Z Z3 Z Sdo denominadas os zeros de Fs elas so os valores de s nos quais Fs tornase zero Na fungao descrita pela Equagao 1291 os zeros de Fs sio 5 e 10 No que vem a seguir vocé com certeza concordara que é util visualizar os polos e zeros de Fs como pontos sobre um plano complexo s Um plano complexo é necessario porque as rai zes dos polindmios podem ser complexas No plano complexo s usamos 0 eixo horizontal para representar os valores reais de s e 0 eixo vertical para representar os valores imaginarios de s Como exemplo de representagao grafica de polos e zeros considere a funcao 10s 5s 3 j4s 3 74 Fs OE Jays 3 44 1292 ss 10s 6 j8s 6 j8 oe Os polos de Fs estéo em 010 6 j8 e 6 j8 Os zeros Figura 1217 Fepreseriage grafica de polos e zeros estao em 5 3 j4 e 3 j4 A Figura 1217 mostra os polos P e zeros representados no plano s onde X representa polos e O lano s 6 j8 ee 10 representa zeros Observe que os polos e zeros para a Equacao 1290 sao loca 3 465 lizados no plano s finito Fs também pode ter um polo de ordem rou um zero de ordem r no infinito Por exemplo a fungao des aL crita pela Equagao 1291 tem um polo de segunda ordem no infi 10 PS nito porque para grandes valores de s a funcdo reduzse a 4s ve e Fs 0 quando s oo Neste livro estamos interessados nos 374 75 polos e zeros finitos Por conseguinte quando nos referirmos aos 6 j8 i polos e zeros de uma fungao racional de s estamos nos referindo aos polos e zeros finitos 129 Teoremas do valor inicial e do valor final Os teoremas do valor inicial e do valor final sao tteis porque nos possibilitam determinar a partir de Fs o comportamento de ft em 0 e oo Dai podemos calcular os valores inicial e final de ft para verificar se estaéo de acordo com o comportamento conhecido do circuito antes mesmo de determinar a transformada inversa de Fs O teorema do valor inicial afirma que Teorema do lim f lim sFs 1293 eee to0 s3 co valor inicial e o teorema do valor final afirma que Teorema do jim f lim sFs 1294 valor final O teorema do valor inicial baseiase na premissa de que ft não contém nenhuma função impulso Na Equação 1294 temos de acrescentar a restrição de que o teorema só será válido se os polos de Fs exceto um polo de primeira ordem na origem estiverem localizados na metade esquerda do plano s Para provar a Equação 1293 começamos com a transformada operacional da derivada de primeira ordem l b df dt r sF s f 0 q 0 df dt est dt 1295 Agora tomamos o limite quando s S q lim sS q sF s f 0 lim sS q q 0 df dt est dt 1296 Observe que o lado direito da Equação 1296 pode ser escrito como lim sS q a 0 0 df dt e0dt q 0 df dt est dt b Quando s S q dfdtest S 0 daí a segunda integral anulase no limite A primeira integral reduzse a f0 f0 que é independente de s Assim o lado direito da Equação 1296 tornase lim sS q q 0 df dt est dt f 0 f 0 1297 Como f0 é independente de s o lado esquerdo da Equação 1296 pode ser escrito lim sS qsF s f 0 lim sS qsF s f 0 1298 Pelas equações 1297 e 1298 lim sS q sF s f 0 lim t S 0 f t o que conclui a prova do teorema do valor inicial A prova do teorema do valor final também começa com a Equação 1295 Agora toma mos o limite quando s S 0 lim sS 0sF s f 0 lim sS 0a q 0 df dt est dt b 1299 Como a integração é em relação a t e a operação de limite é em relação a s o lado direito da Equação 1299 reduzse a lim sS 0a q 0 df dt est dt b q 0 df dt dt 12100 Como o limite superior da integral é infinito ela também pode ser escrita na forma de um limite q 0 df dt dt lim t S q t 0 df dy dy 12101 em que usamos y como o símbolo de integração para evitar confusão com o limite superior da integral Calculando a integral teremos lim t S qf t f 0 lim t S qf t f 0 12102 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 509 Book Nilsson 2indb 509 290116 1426 Substituindo a Equação 12102 na Equação 1299 obtemos lim sS 0sF s f 0 lim t S qf t f 0 12103 Como f0 se cancela a Equação 12103 reduzse ao teorema do valor final ou seja lim sS 0 sF s lim t S q f t O teorema do valor final é útil somente se fq existir Essa condição só será válida se todos os polos de Fs exceto um polo simples na origem estiverem dentro da metade esquerda do plano s A aplicação dos teoremas do valor inicial e do valor final Para ilustrar a aplicação dos teoremas do valor inicial e do valor final nós os aplicamos a uma função que utilizamos anteriormente para mostrar a expansão por frações parciais Exa mine o par de transformadas dado pela Equação 1260 Pelo teorema do valor inicial temos lim t S 0 f t 12 20 cos5313 1 12 12 0 lim sS q sF s lim sS q 100s21 3s s31 6s1 6s 25s2 0 Pelo teorema do valor final temos lim t S q f t lim t S q12e6t 20e3t cos4t 5313 ut 0 lim sS 0 sF s lim sS 0 100ss 3 s 6s2 6s 25 0 Quando aplicamos os teoremas à Equação 1260 já tínhamos a expressão no domínio do tempo e estávamos apenas testando nosso entendimento Mas o real valor dos teoremas do valor inicial e do valor final está na capacidade de testar as expressões no domínio da frequência antes de resolver a transformada inversa Por exemplo considere a expressão para Vs dada pela Equação 1240 Embora não possamos calcular vt até que os parâmetros do circuito sejam especificados podemos verificar se Vs fornece os valores corretos de v0 e vq Sabemos pelo enunciado do problema que v0 é igual a zero Também sabemos que vq deve ser nulo pois o indutor ideal é um curtocircuito perfeito nos terminais da fonte de corrente cc Por fim sabemos que os polos de Vs devem estar localizados na metade esquerda do plano s porque R L e C são cons tantes positivas Daí os polos de sVs também encontraremse na metade esquerda do plano s Aplicando o teorema do valor inicial obtemos lim sS q sVs lim sS q sIcc C s21 1RCs 1LCs2 0 Aplicando o teorema do valor final obtemos lim sS 0 sVs lim sS 0 sIcc C s2 sRC 1LC 0 A expressão calculada para Vs fornece corretamente os valores inicial e final de vt Circuitos elétricos 510 Book Nilsson 2indb 510 290116 1426 Perspectiva prática Efeitos transitórios O circuito apresentado na Perspectiva prática no início do capítulo é re produzido na Figura 1218 com a chave fechada e a fonte senoidal escolhida Usamos os métodos de Laplace para determinar a resposta completa da corrente do indutor iLt Para começar use LTK para somar as quedas de tensão no circuito no sentido horário 15iLt 001diLt dt 1 100 106 t 0 iLxdx cos120pt 12104 Agora tomamos a transformada de Laplace da Equação 12104 usando as tabelas 121 e 122 15ILs 001sILs 104ILs s s s2 120p2 12105 Em seguida reorganizamos os termos da Equação 12105 para obter uma expressão para ILs ILs 100s2 Cs2 1500s 106D Cs2 120p2D 12106 Notese que a expressão para ILs tem dois pares de polos conjugados complexos por isso a expansão por frações parciais de ILs terá quatro termos ILs K1 s 750 j66144 K 1 s 750 j66144 K2 s j120p K 2 s j120p 12107 Determinemos os valores de K1 e K2 K2 100s2 Cs2 1500s 106D Cs j120pD 2 s j120p 00183455661 K1 100s2 Cs 750s j66144D Cs2 120p2D 2 s 750j66144 007357 9789 12108 Por fim podemos usar a Tabela 123 para calcular a transformada inversa de Laplace da Equação 12107 e determinar iLt iLt 14714e 750t cos66144t 9789 3669 cos120pt 5661 mA 12109 Objetivo 3 Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o teorema do valor final 1210 Use os teoremas do valor inicial e do valor final para determinar os valores inicial e final de ft nos Problemas para avaliação 124 126 e 127 Resposta 7 0 4 1 e 0 0 NOTA tente resolver também o Problema 1250 apresentado no final deste capítulo PRoBlEMA PARA AVAlIAÇÃo Figura 1218 Um circuito RLC em série com fonte senoidal de 60 Hz 1 2 10 mH 100 mF cos 120pt V iL 15 V Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 511 Book Nilsson 2indb 511 290116 1426 Circuitos elétricos O primeiro termo da Equacao 12109 é a resposta transitdria que cai a praticamente zero em cerca de 7 ms 0 segundo termo da Equagao 12109 a resposta de regime permanente que tem a mesma frequéncia que a fonte senoidal de 60 Hz e persistira enquanto essa fonte estiver ligada ao circuito Notese que a amplitude da resposta de regime permanente é de 3669 mA que 6 menor do que o valor de corrente de 40 mA do indutor Mas a resposta transitdria tem amplitude inicial de 14714 mA bem maior do que o valor de corrente de 40 mA Calcule o valor da corrente do indutor em t 0 i 0 147141cos9789 3669 cos5661 621 wA Claramente a parte transitoria da resposta nao faz a corrente no indutor exceder inicialmente seu valor nominal Mas precisamos de um grafico da resposta completa para determinar se o valor da corrente 6 ou nao ultrapassado como mostrado na Figura 1219 O grafico sugere que verifiquemos o valor da corrente do indutor em 1 ms i 0001 14714e75 cos 5982 3669 cos 7821 426 mA Assim 0 valor da corrente é excedido no indutor ao menos momentaneamente Se determinarmos que nao desejamos exceder o valor da corrente deveremos reduzir a magnitude da fonte senoidal Este exemplo ilustra a importancia de se examinar a resposta completa de um circuito para uma entrada senoidal ainda que estejamos satisfeitos com a resposta em regime permanente Figura 1219 Grafico da corrente do indutor no circuito na Figura 1218 iQmA 40 H 30 20 10 0 tms 109 0 30 50 20 30 40 50 NOTA avalie sua compreensdao da Perspectiva Pratica tentando resolver os problemas 1255 e 1256 apresentados no final do capitulo Resumo e A transformada de Laplace é uma ferramenta e A fungao degrau Kut descreve uma funcgao para converter equacg6es no dominio do tempo que passa por uma descontinuidade de um nivel em equacgdes no dominio da frequéncia de constante para outro em t 0 K é a amplitude do acordo com a seguinte definicdo geral degrau se K 1 Kut é a funcaéo degrau unita oo rio Segao 122 Lft te dt F FO We 8 e A fungao impulso K6t é definida por em que ft é a expressAo no dominio do tempo Katdt K e Fs é a expresséo no dominio da frequéncia 00 x 6t 0 0 Seco 211 K é a intensidade do impulso se K 1 Kdt é a função impulso unitário Seção 123 Uma transformada funcional é a transformada de Laplace de uma função específica Pares de transformadas funcionais importantes estão resumidos na Tabela 121 Seção 124 Transformadas operacionais definem as pro priedades matemáticas gerais da transformada de Laplace Pares de transformadas operacio nais importantes estão resumidos na Tabela 122 Seção 125 Em circuitos lineares de parâmetros concen trados Fs é uma função racional de s Seção 127 Se Fs for uma função racional própria a trans formada inversa será determinada por uma expansão por frações parciais Seção 127 Se Fs for uma função racional imprópria sua transformada inversa poderá ser determi nada expressandoa antes como uma soma de um polinômio e uma função racional própria Seção 127 Fs pode ser expressa como a razão entre dois polinômios fatorados As raízes do denomina dor são denominadas polos e representadas por X no gráfico do plano complexo s As raízes do numerador são denominadas zeros e repre sentadas por 0 no gráfico do plano complexo s Seção 128 O teorema do valor inicial estabelece que lim t S 0 f t lim sS q sF s O teorema só será válido se ft não contiver nenhuma função impulso Seção 129 O teorema do valor final estabelece que lim t S q f t lim sS 0 sF s O teorema só será válido se os polos de Fs exceto um polo de primeira ordem na origem estiverem na metade esquerda do plano s Seção 129 Os teoremas do valor inicial e do valor final per mitem prever os valores inicial e final de ft a partir da expressão no domínio da frequência Seção 129 Problemas Seção 122 121 Funções degrau podem ser usadas para definir uma função janela Assim ut 2 ut 3 define uma janela de 1 unidade de altura e 5 unidades de largura localizada no eixo do tempo entre 2 e 3 Uma função ft é definida da seguinte forma 60 s t 6 q 0 40 s t 60 s 25t 150 30 s t 40 s 50 10 s t 30 s 5t 100 0 t 10 s 5t t 0 f t 0 a Desenhe o gráfico de ft no intervalo 0 t 60 s b Use o conceito da função janela para escrever uma expressão para ft 122 Desenhe um gráfico de ft para 3 s t 18 s quando ft for dada pela seguinte expressão ft 10t 30ut 3 10tut 10t 30ut 3 90 10tut 9 150 10tut 15 10t 180ut 18 123 Use funções degrau para escrever a expres são para cada uma das funções mostradas na Figura P123 Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 513 Book Nilsson 2indb 513 290116 1426 Circuitos elétricos Figura P123 Figura P124 f fO 15 500 ZO ts t s 0 4 8 12 16 20 10 5 10 a fo 15 a 25 fo 25e 10 0 1 2 rs b s ft 6 4 2 4 6 30 20 10 ts b 0 5 10 15 20 25 c 124 Use fungoes degrau para escrever a expres sao para cada uma das fungdes mostradas na Figura P124 Secao 123 125 Explique por que aseguinte funcao gera uma proporcionalmente a 1e 4 medida que e fungao impulso quando e 0 0 Usando essa representagado de pulso trian ea gular para 6t determine a transformada de fO z rm TO St sm Laplace de 8t e t Figura P127 126 a Calcule a 4rea sob a funcao da Figura 50 1212a b Qual é a duracao da fungao quando 0 ve c Qual é 0 valor de f0 quando e 0 127 Os pulsos triangulares mostrados na Figura 2 P127 sao equivalentes aos pulsos retangu e 20 lares da Figura 1212b pois ambos abran gem a mesma Area 1e e tendem ao infinito Ye2 128 Calcule as seguintes integrais a b I 2 2 t2dt dt 15 dt 3 dt I 3 1 t3 2dt 8dt 1 dt 129 Na Seção 123 usamos a propriedade de fil tragem da função impulso para mostrar que ldt 1 Mostre que podemos obter o mesmo resultado determinando a transfor mada de Laplace do pulso retangular que existe entre P na Figura 129 e então deter minando o limite dessa transformada quando P S 0 1210 Determine ft se f t 1 2p q q Fvejtv dv e Fv 4 jv 9 jv pdv 1211 Mostre que l5 dnt6 sn 1212 a Mostre que q q f td9t a dt f 9a Sugestão integre por partes b Use a fórmula em a para mostrar que l5 d9t6 s Seções 124125 1213 Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções a ft 20e500t10ut 10 b ft 5t 20ut 4 ut 2 5tut 2 ut 2 5t 20ut 2 ut 4 1214 a Determine a transformada de Laplace da função ilustrada na Figura P1214 b Determine a transformada de Laplace da derivada de primeira ordem da função ilustrada na Figura P1214 c Determine a transformada de Laplace da derivada de segunda ordem da função ilustrada na Figura P1214 Figura P1214 f t 40 5 10 5 10 40 t s 1215 Mostre que l5 eat f t6 Fs a 1216 Mostre que l5 f at6 1 a F s a 1217 a Determine a transformada de Laplace de teat b Use a transformada operacional dada pela Equação 1223 para determinar a transformada de Laplace de d dt teat c Verifique o resultado obtido na parte b primeiro diferenciando e então transfor mando a expressão resultante 1218 a Determine l b t 0 eax dx r b Verifique o resultado de a primeiro integrando e então transformando 1219 a Determine a transformada de Laplace de t 0 x dx primeiro integrando e então transformando b Verifique o resultado obtido em a usando a transformada operacional dada pela Equação 1233 1220 Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 515 Book Nilsson 2indb 515 290116 1426 a ft teat b ft sen vt c ft sen vt u d ft t e ft cosht u Sugestão veja o Problema para Avaliação 121 1221 a Dado que Fs l5 f t6 mostre que d Fs ds l5 t f t6 b Mostre que 1n dnFs dsn l5 tnf t6 c Use o resultado de b para determinar l5 t56 l5 t sen bt6 e l5 tet cosh t6 1222 a Determine l b d3 dt3 t2utr l b d dt cos vt r l b d dt sen vt r b Determine c Determine d Verifique os resultados das partes a b e c primeiro diferenciando e então transformando 1223 Determine a transformada de Laplace quando P S 0 da derivada da função expo nencial ilustrada na Figura 128 usando cada um dos dois métodos a seguir a Primeiro diferencie a função e então deter mine a transformada da função resultante b Use a transformada operacional dada pela Equação 1223 1224 Determine a transformada de Laplace para a e b a b f t t 0eax senvx dx f t d dteat cos vt c Verifique os resultados obtidos em a e b primeiro executando a operação matemática indicada e então determi nando a transformada de Laplace 1225 a Mostre que se Fs l5 f t6 e ftt possuir transformada de Laplace então q s Fudu l b f t t r Sugestão use a equação que define a transformada de Laplace para escrever q s Fudu q s a q 0 f teutdt b du e então inverta a ordem de integração b Comece com o resultado obtido no Pro blema 1221c para l 5 sen bt6 l 5 t sen bt6 e use a transformada operacional dada em a deste problema para determinar l 5 sen bt6 l 5 t sen bt6 Seção 126 1226 No circuito mostrado na Figura 1216 a fonte de corrente cc é substituída por uma fonte senoidal que fornece uma corrente de 5 cos 20t A Os componentes do circuito são R 125 V C 50 mF e L 200 mH Determine a expressão numérica para Vs 1227 Não há nenhuma energia armazenada no cir cuito mostrado na Figura P1227 no momento em que a chave é aberta a Deduza a equação íntegrodiferencial que governa o comportamento da tensão vo b Mostre que Vos Icc C s2 1RCs 1LC c Mostre que Ios sIcc s2 1RCs 1LC Figura P1227 Icc t 5 0 vo R C L io 1 2 Circuitos elétricos 516 Book Nilsson 2indb 516 290116 1426 Capitulo 12 Introdugao a transformada de Laplace 1228 A chave no circuito da Figura P1228 esteve c Mostre que na posigao a por um longo tempo Em t0 VegRLC ela passa instantaneamente para a posicao b Is e ss 1RCs 1LC a Deduza a equacao integrodiferencial que governa o comportamento da cor Figura P1230 rente i para t 0 R b Mostre que 4 Ls Ies 1RC Vec L li Wo RC s s 1RCs 1LO Figura P1228 oa 1231 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir a cuito mostrado na Figura P1231no momento fi em que a chave é aberta Tec 1 t0 b R COL a Deduza a equacao integrodiferencial que governa o comportamento das ten sdes de nd U V5 1229 A chave no circuito da Figura P1229 esteve b Mostre que na posicdo a por um longo tempo Em t 0 sI8 ela passa instantaneamente para a posicao b Vas a we Cls RLs 1LO a Deduza a equacao integrodiferencial que governa 0 comportamento da tensao Figura P1231 UV para t OF R b Mostre que 4 4 t0 00 Vecls RL it ey Ke y s RLs 1LC Figura P1229 1232 a Escrevaas duas equac6es diferenciais simul é R L Pspice taneas que descrevem 0 comportamento t0 4 neo do circuito mostrado na Figura P1232 em Voc b Cc Up termos das correntes de malha i i b Determine as transformadas de Laplace das equacgdes deduzidas em a Admita 1230 A chave no circuito da Figura P1230 esteve que a energia inicial armazenada no cir aberta por um longo tempo Em f 0 ela se cuito seja nula fecha wena c Resolva as equagdes em b para Is e a Deduza a equacao integrodiferencial Ls que governa o comportamento da tensao Figura P1232 V para t 0 150Q 625H b Mostre que ook V RC 25H v6 e Asn 8 fasion s 1RCs 1LC iy 2 Seção 127 1233 Determine vt no Problema 1226 1234 Os parâmetros do circuito da Figura P1227 têm os seguintes valores R 20 V L 50 mH C 20 mF e Icc 75 mA a Determine vot para t 0 b Determine iot para t 0 c A solução para iot faz sentido quando t 0 Explique 1235 Os parâmetros do circuito da Figura P1228 são R 25 kV L 50 mH e C 2 nF Se Icc 40 mA determine iot para t 0 1236 Os parâmetros do circuito da Figura P1229 são R 4 kV L 400 mH e C 15625nF Se Vcc 120 V determine vot para t 0 1237 Os parâmetros do circuito da Figura P1230 são R 2 kV L 16 H e C 5 mF Se Vcc for 56 V determine a vot para t 0 b iot para t 0 1238 Os parâmetros do circuito da Figura P1231 são R 4000 V L 40 mH e C 15625 nF Se Igt for 150 mA determine v2t 1239 Use os resultados do Problema 1232 e o cir cuito mostrado na Figura P1232 para a Determinar i1t e i2t b Determinar i1q e i2q c As soluções para i1 e i2 têm sentido Explique 1240 Determine ft para cada uma das seguintes funções a b c d Fs 2s3 33s2 93s 54 ss 1s2 5s 6 Fs 15s2 112s 228 s 2s 4s 6 Fs 20s2 141s 315 ss2 10s 21 Fs 6s 10 s 5s 8 1241 Determine ft para cada uma das seguintes funções a b c d Fs 8s 12 s2 10s 34s2 8s 20 Fs 14s2 56s 152 s 6s2 4s 20 Fs s2 52s 445 ss2 10s 89 Fs 280 s2 14s 245 1242 Determine ft para cada uma das seguintes funções a b c d Fs 25s 42 s2s 52 Fs 60s 5 s 12s2 6s 25 Fs 80s 3 ss 22 Fs 320 s2s 8 1243 Determine ft para cada uma das seguintes funções a b c d Fs 5s3 20s2 49s 108 s2 7s 10 Fs 25s2 395s 1494 s2 15s 54 Fs 10s 22 s2 2s 22 Fs 135 ss 33 1244 Deduza o par de transformadas dado pela Equação 1264 1245 a Deduza o par de transformadas dado pela Equação 1283 b Deduza o par de transformadas dado pela Equação 1284 Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 518 Book Nilsson 2indb 518 290116 1426 Seções 128129 1246 a Use o teorema do valor inicial para determi nar o valor inicial de v no Problema 1226 b O teorema do valor final pode ser usado para determinar o valor de regime per manente de v Por quê 1247 Use os teoremas do valor inicial e do valor final para verificar os valores inicial e final da corrente e da tensão no Problema 1227 1248 Use os teoremas do valor inicial e do valor final para verificar os valores inicial e final da corrente no Problema 1228 1249 Use os teoremas do valor inicial e do valor final para verificar os valores inicial e final da corrente e da tensão no Problema 1230 1250 Aplique os teoremas do valor inicial e do valor final a cada par de transformadas do Problema 1240 1251 Aplique os teoremas do valor inicial e do valor final a cada par de transformadas do Problema 1241 1252 Aplique os teoremas do valor inicial e do valor final a cada par de transformadas do Problema 1242 1253 Aplique os teoremas do valor inicial e do valor final a cada par de transformadas do Problema 1243 Seções 121129 1254 a Use as técnicas fasoriais de análise de cir cuito do Capítulo 9 para determinar a expressão de regime permanente da cor rente do indutor na Figura 1218 b Como o resultado da parte a se com para com a resposta completa dada na Equação 12109 1255 Encontre a amplitude máxima da fonte senoi dal na Figura 1218 de tal modo que a res posta completa da corrente do indutor não ultrapasse o valor de 40 mA em t 1 ms 1256 Suponha que a entrada para o circuito da Figura 1218 é uma rampa amortecida da forma Kte100t V Determine o maior valor de K para que a corrente no indutor não exceda o valor nominal de 40 mA Capítulo 12 Introdução à transformada de Laplace 519 Book Nilsson 2indb 519 290116 1426 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 131 Elementos de circuito no domínio da frequência 132 Análise de circuitos no domínio da frequência 133 Exemplos 134 Função de transferência 135 Função de transferência em expansões por frações parciais 136 Função de transferência e integral de con volução 137 Função de transferência e resposta de regi me permanente senoidal 138 Função impulso em análise de circuitos A transformada de Laplace na análise de circuitos 13 Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber transformar um circuito para o domínio da frequência usando transformadas de Laplace entender como representar no domínio da frequência as condições iniciais em elementos que armazenam energia 2 Saber como analisar um circuito no domínio da frequência e como transformar uma solução no domínio da frequên cia de volta para o domínio do tempo 3 Entender a defi nição e o signifi cado da função de transferência e saber calculála para determinado circuito usando técnicas do domínio da frequência 4 Saber como usar a função de transferência de um circuito para calcular sua resposta ao impulso unitário ao degrau unitário e seu regime permanente senoidal A transformada de Laplace tem duas características que a tornam uma ferramenta interessante na aná lise de circuitos Em primeiro lugar ela transforma um conjunto de equações diferenciais lineares de coefi cientes constantes em um conjunto de equações algébricas lineares que são mais fáceis de manipular Em segundo lugar ela incorpora os valores iniciais das correntes e tensões automaticamente nas equações algébricas Desse modo as condições iniciais são parte inerente do processo de cálculo da transformada Isso contrasta com a abordagem clássica da solução de equações diferenciais em que as condições iniciais são consideradas no cálculo das cons tantes de integração Iniciaremos este capítulo mostrando como podemos prescindir da etapa de obtenção das equações íntegro diferenciais no domínio do tempo e sua transformação para o domínio da frequência Na Seção 131 vamos Book Nilsson 3indb 520 290116 1354 desenvolver modelos de circuito no domínio da frequência para resistores indutores e capacitores de modo a podermos escrever as equações de qualquer circuito diretamente no domínio da frequência A Seção 132 faz uma revisão das leis de Ohm e Kirchhoff no contexto do domínio da frequência Depois disso aplicaremos o método da transformada de Laplace a uma variedade de problemas de circuitos na Seção 133 Técnicas analíticas e de simplifi cação apresentadas anteriormente para circuitos resistivos como os métodos das correntes de malha e das tensões de nó e transformações de fonte também podem ser usadas no domínio da frequência Após obtermos a resposta do circuito no domínio da frequência fazemos a transformada inversa de volta ao domínio do tempo usando a expansão por frações parciais como demons tramos no capítulo anterior Como antes uma etapa importante da solução é a verifi cação das equações fi nais no domínio do tempo em termos das condições iniciais e dos valores fi nais Na Seção 134 a consideração dos sinais de entrada e saída dos circuitos no domínio da frequência leva ao conceito de função de transferência A função de transferência para determinado circuito é a razão entre a transfor mada de Laplace de seu sinal de saída e a transformada de Laplace de seu sinal de entrada Nos capítulos 14 e 15 examinaremos a utilização da função de transferência como ferramenta de projeto de circuitos mas neste capítulo trataremos de sua utilização como ferramenta analítica Continuaremos o capítulo examinando o papel da expansão por frações parciais Seção 135 e da integral de convolução Seção 136 no emprego da função de transferência em análise de circuitos Concluiremos com um breve exame da função impulso em análise de circuitos Perspectiva prática Supressores de surto Com o advento dos computadores pessoais modems aparelhos de fax e outros equipamentos eletrônicos sensíveis para uso doméstico tornouse necessário protegêlos contra surtos de tensão que podem ocorrer em um circuito residencial em razão do chaveamento Um supressor de surto disponível no mercado é mostrado na foto a seguir Como o acionamento de uma chave para ligar uma lâmpada ou desligar um secador de cabelo pode causar um surto de tensão No fi nal deste capítulo responderemos a essa pergunta usando técnicas de transformada de Laplace para analisar a situação Mostraremos como um surto de tensão pode ser criado com o desligamento de uma carga resistiva em um circuito em regime permanente senoidal StockbyteGetty Images Inc Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 521 Book Nilsson 3indb 521 290116 1354 Circuitos elétricos 131 Elementos de circuito no dominio da frequéncia O procedimento para obter um circuito equivalente no dominio da frequéncia para cada elemento de circuito é simples Em primeiro lugar escrevemos a equacao que relaciona a ten sao terminal a corrente terminal no dominio do tempo Em seguida tomamos a transformada de Laplace dessa equacao Essa etapa gera uma relacao algébrica no dominio da frequéncia entre a corrente e a tensdo Observe que a dimensAo da tensao transformada é voltssegundos e a dimensao da corrente transformada é ampéressegundos A razdo entre tensAo e corrente no dominio da frequéncia tem a dimensao de volt por ampére Uma impedancia no domi nio da frequéncia é medida em ohms e uma admitancia em siemens Por fim construimos um modelo de circuito que satisfaz a relacdo entre a corrente e a tensAo no dominio da frequéncia Usamos a convengao passiva em todas as dedugoes 0 resistor no dominio da frequéncia Comecemos com 0 resistor Pela lei de Ohm v Ri 131 Como R é uma constante a transformada de Laplace da Equagao 131 é VRI 132 Figura 131 Elemento resistor a Dominio do em que tempo b Dominio da frequéncia VLfvi e I fi a a A Equagao 132 afirma que o circuito equivalente de um resistor no dominio da frequéncia é simplesmente uma resisténcia de R ohms v Ri V RI que conduz uma corrente de J ampéressegundos e tem uma tensdo terminal de V voltssegundos b b A Figura 131 mostra os circuitos do resistor nos dominios do a b tempo e da frequéncia Observe que passar do dominio do tempo para o da frequéncia n4o altera o valor da resisténcia Figura 132 Indutor de L henrys conduzindo 0 indutor no dominio da frequencia Ame oorente iniclal de fy A Figura 132 mostra um indutor conduzindo uma corrente ini pares cial de J amperes A equagdo no dominio do tempo que relaciona a a tensdo terminal com a corrente terminal é di A transformada de Laplace da Equagao 133 é b VLsIi0 sLI LI 134 Duas configuragoées de circuito diferentes satisfazem a Equacao 134 A primeira consiste em uma impedancia de sL ohms em série com uma fonte de tensado independente de LJ volts segundos como mostra a Figura 133 Observe que as marcas de polaridade na fonte de tensao LI estao de acordo com 0 sinal negativo da Equacao 134 Note também que LJ tem o proprio Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos sinal algébrico isto se o valor inicial de i for oposto ao sentido de refe Figura 133 Circuito equivalente em série réncia para i entao J ter4 um valor negativo para Hm nor de L en al Lo a ns ue conduz uma corrente inicia O segundo circuito equivalente no dominio da frequéncia que ie amperes satisfaz a Equacaéo 134 consiste em uma impedancia de sL ohms em paralelo com uma fonte de corrente independente de Js ampéres segundos como mostra a Figura 134 Podemos obter o circuito equi valente alternativo mostrado na Figura 134 de varios modos Um deles sL é simplesmente explicitar na Equacao 134 a corrente J e entao cons truir o circuito que satisfaca a equacao resultante Assim V 135 0 sb sL Ss Os outros dois modos sao 1 determinar 0 equivalente de Norton b do circuito mostrado na Figura 133 e 2 comecar com a corrente no indutor em fungao da tens4o no indutor e entao determinar a transfor Figura 134 Circuito equivalente em paralelo mada de Laplace da equacao integral resultante Deixamos essas duas para Hm nor de L en al abordagens para os problemas 131 e 132 aie conde ua correnre inicia de amperes Se a energia inicial armazenada no indutor for nula isto se J 0 0 circuito equivalente do indutor no dominio da frequéncia reduzse a a um indutor com uma impedancia de sL ohms A Figura 135 mostra 1 esse circuito vos nos I 0 capacitor no dominio da frequéncia sL3 VV C1 Um capacitor inicialmente carregado também tem dois circuitos e equivalentes no dominio da frequéncia A Figura 136 mostra um capa citor inicialmente carregado até V volts A corrente terminal é b dv iC 136 os dt Figura 135 Circuito para um indutor no Transformando a Equagao 136 obtemos dominio da frequencia quando a corrente inicial é nula ICsVv0 a ou IsCVCV 137 V3sL 11 que indica que a corrente J no dominio da frequéncia é a soma de duas correntes de ramo Um ramo consiste em uma admitancia de sC sie b mens e 0 segundo ramo consiste em uma fonte de corrente indepen d de CV dos A Fi 137 oo Figura 136 Capacitor de C farads carregado ente e CV ampéressegundos igura 137 mostra esse circuito inicialmente com V volts equivalente em paralelo Obtemos 0 circuito equivalente em série para o capacitor carre a gado explicitando V na Equagao 137 Ay 1 i ve Vo V 4 138 sc Ss ae b A Figura 138 mostra 0 circuito que satisfaz a Equacao 138 Circuitos elétricos Figura 137 Circuito equivalente em paralelo Nos circuitos equivalentes mostrados nas figuras 137 e 138 V tem para um capacitor inicialmente o proprio sinal algébrico Em outras palavras se a polaridade de V for carregado com V volts As oposta a polaridade de referéncia para v V sera uma quantidade nega a tiva Se a tensdo inicial no capacitor for igual a zero ambos os circui tos equivalentes serao reduzidos a uma impedancia de 1sC ohms como 1 mostra a Figura 139 Neste capitulo uma etapa importante na resolucdo de problemas VsC V CVo sera a escolha entre os equivalentes em paralelo ou em série quando houver indutores e capacitores presentes Com um pouco de atencao e alguma experiéncia muitas vezes a opgao correta sera bastante evi dente Os circuitos equivalentes estéo resumidos na Tabela 131 b Tabela 131 Resumo dos circuitos equivalentes no dominio da frequéncia Figura 138 Circuito equivalente em série a para um capacitor inicialmente Dominio de tempo Dominio de frequéncia carregado com V volts ea ea a i vR I VSR I Isc eb b V v Ri VRI a a Vols sb b a a I V sb V C1 os Figura 139 Circuito para um capacitor no i v L Ip dominio da frequéncia quando ees LIp a tensao inicial é nula ep a vL di dt eb b i Fjvdx h VsLI Lh p 44 7 sib Ss V LsC 1sC I b aot Tow vey 1sC V CVo b i Cdvdt eb Lp I Yo v Gli ide Vo Varats T sCV CVo 132 Analise de circuitos no dominio da frequéncia Antes de ilustrarmos como usar os circuitos equivalentes no dominio da frequéncia em andlise de circuitos precisamos fundamentar a discussdo Em primeiro lugar sabemos que se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor a relação entre a tensão terminal e a corrente terminal para cada elemento pas sivo tomará a forma V ZI 139 em que Z referese à impedância do elemento no domínio da frequência Desse modo um resistor tem uma impedância de R ohms um indutor uma impedância de sL ohms e um capacitor de 1sC ohms A relação contida na Equação 139 também está contida nas figuras 131b 135 e 139 A Equação 139 também é denominada lei de Ohm para o domínio da frequência A recíproca da impedância é a admitância Assim a admitância de um resistor no domínio da frequência é 1R siemens um indutor tem uma admitância de 1sL siemens e um capacitor de sC siemens As regras para associar impedâncias e admitâncias no domínio da frequência são as mes mas do domínio do tempo Assim simplificações em série em paralelo e conversões DY tam bém são aplicáveis à análise no domínio da frequência Além disso as leis de Kirchhoff aplicamse a correntes e tensões no domínio da frequên cia Sua aplicabilidade originase do enunciado da transformada operacional ou seja a trans formada de Laplace de uma soma de funções no domínio do tempo é a soma das transforma das das funções individuais veja a Tabela 122 Como a soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero no domínio do tempo a soma algébrica das correntes transformadas também é nula Uma afirmação semelhante também é válida para a soma algébrica das tensões trans formadas ao longo de um caminho fechado A versão das leis de Kirchhoff no domínio da fre quência é gla aV 0 gla aI 0 1310 1311 Visto que a tensão e a corrente nos terminais de um elemento passivo estão relacionadas por uma equação algébrica e que as leis de Kirchhoff ainda são válidas todas as técnicas de análise de circuitos desenvolvidas para redes puramente resistivas podem ser usadas em aná lise no domínio da frequência Por isso tensões de nó correntes de malha transformações de fonte equivalentes de Thévenin e Norton são todas técnicas válidas mesmo quando houver energia inicialmente armazenada nos indutores e capacitores Nesse caso a Equação 139 é modificada pela simples adição de fontes independentes em série ou em paralelo com as impe dâncias dos elementos A adição dessas fontes é regida pelas leis de Kirchhoff t Lei de Ohm no domínio da frequência Objetivo 1 Saber transformar um circuito para o domínio da frequência usando transformadas de Laplace 131 Um resistor de 500 V um indutor de 16 mH e um capacitor de 25 nF estão ligados em paralelo a Expresse a admitância dessa combinação de elementos como uma função racional de s b Calcule os valores numéricos dos zeros e dos polos Resposta a 25 109s2 80000s 25 108s PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 525 Book Nilsson 3indb 525 290116 1354 Circuitos elétricos b z 40000 j30000 z 40000 730000 p 0 132 O circuito em paralelo no Problema para avaliagao 131 colocado em série com um resistor de 2000 a Expresse a impedancia dessa combinacéo como uma fungao racional de s b Calcule os valores numéricos dos zeros e dos polos Resposta a 2000s 50000s 80000s 25 X 108 b z z 50000 p 40000 730000 p 40000 730000 NOTA tente resolver também os problemas 134 e 135 apresentados no final deste capitulo 133 Exemplos Ilustramos agora como usar a transformada de Laplace para determinar 0 comporta mento transitério de varios circuitos de parametros concentrados Comegamos analisando cir cuitos conhecidos dos capitulos 7 e 8 pois representam um ponto de partida simples além de mostrarem que a abordagem da transformada de Laplace fornece os mesmos resultados Em todos os exemplos a facilidade de manipular equac6es algébricas em vez de equacées diferen clais certamente ficara evidente Resposta natural de um circuito RC Inicialmente vamos analisar novamente a resposta natural de um circuito RC Figura 1310 agora por meio de técnicas de transformada de Laplace Convém rever a andlise clas sica desse mesmo circuito na Secdo 72 O capacitor esta inicialmente carregado com V volts e estamos Figura 1310 0 circuito de descarga do interessados nas express6es no dominio do tempo para i e v Comega capacitor mos determinando i Quando convertemos 0 circuito na Figura 1310 para o dominio da frequéncia temos a opcao de dois circuitos equiva 1 1 lentes para 0 capacitor carregado Como estamos interessados na cor t0 rente 0 circuito equivalente em série é mais atraente pois é constituido Vo C i Rv de uma Unica malha no dominio da frequéncia Assim construimos o circuito da Figura 1311 7 7 A soma das tensdes ao longo da malha gera a expressao Figura 1311 Circuito equivalente no V 1 dominio da frequéncia para o I RI 1312 oe Ss sc circuito da Figura 1310 Explicitando J obtemos I CY VoR sC yo 1313 V Rev RCs 1 5s 1RC 0 Observe que a expressao para J uma func4o racional propria de s e que podemos determinar sua transformada inversa por inspecao YN i Re IRCut 1314 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos que é equivalente a expressdo para a corrente obtida pelos métodos classicos discutidos no Capi tulo 7 Naquele capitulo a corrente foi dada pela Equacao 726 em que 7 é usado no lugar de RC Apos determinarmos i o modo mais facil de determinar v é simplesmente aplicar a lei de Ohm isto é pelo circuito v RiV eVRUt 1315 Ilustramos agora um modo de determinar v antes de i Nessa Figura 1312 Circuito equivalente no abordagem alternativa voltamos ao circuito original da Figura 1310 dominio da frequéncia para o noe as ae circuito da Figura 1310 para convertélo ao dominio da frequéncia utilizando o circuito equi valente em paralelo para o capacitor carregado Usar o circuito equiva 4 lente em paralelo é interessante porque podemos descrever o circuito 1 resultante em termos de uma tnica tensao de no A Figura 1312 mostra CVo 1 so ORS 0 novo circuito equivalente A equagcao das tensdes de no que descreve 0 novo circuito 4 R TSCV CM 1316 Explicitando V obtemos Yo y 1 1317 s 1RC A transformada inversa da Equacao 1317 leva 4 mesma expressdo de v dada pela Equa ao 1315 ou seja vV VR Vie VUut 1318 Nosso proposito aqui é mostrar que a escolha do circuito equivalente a ser utilizado no dominio da frequéncia é influenciada pela grandeza que desejamos obter como resposta PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da frequén cia de volta para 0 dominio do tempo 133 A chave no circuito mostrado esteve na posicaéo a por um longo tempo Em t 0 ela passa para a posicao b a Determine J V e V como fungées racionais de s b Determine as express6es no dominio do tempo ara 1 UV U5 P ae 10kQ b Resposta a J 002s 1250 V 80s 1250 io V 20s 1250 100 V 02 uF T M1 i 5kQ 99 0712508 4 b i 20e ut mA 08 uF bs v 80e 125 1 V V 20e ut V NOTA tente resolver também os problemas 1311 e 1314 apresentados no final deste capitulo Circuitos elétricos Resposta ao degrau de um circuito RLC em paralelo A seguir analisaremos 0 circuito RLC em paralelo mostrado na Figura 1313 que ja analisa mos no Exemplo 87 O problema determinar a expressao para i ap6s a fonte de corrente cons tante ser aplicada aos elementos em paralelo A energia inicial armazenada no circuito é nula Como antes comegamos construindo o circuito equi Figura 1313 Resposta ao degrau de um circuito RLC em valente no dominio da frequéncia mostrado na Figura 1314 paralelo Observe com que facilidade uma fonte independente pode ser transformada do dominio do tempo para 0 dominio da 0 frequéncia Transformamos a fonte para o dominio da fre Ct Tec C Ri L quéncia pela simples determinacéo da transformada de 25 nF 625 0 Laplace de sua fungaéo no dominio do tempo Aqui abrir 24mA 25 mH Lo Lo a chave significa a aplicagéo de uma corrente na forma de um degrau ao circuito Dessa forma a fonte de corrente no dominio da frequéncia é Iut ou Is Para determi Figura 1314 Circuito equivalente no dominio da frequéncia narmos I primeiro obtemos V e entao usamos para 0 circuito da Figura 1313 V 1 1319 sh Lec t 1 R V2sL I para estabelecer a expressao para J no dominio da frequén sc cia A soma das correntes que saem do no superior leva a expressao VV Le CV 4 1320 Rsk Ss Explicitando V obtemos DeeC V fele 1321 s 1RCs 1LC Substituindo a Equagao 1321 na Equagaéo 1319 temos TLC I fale 1322 ss 1RCs 1LO Substituindo os valores numéricos de R L C e J na Equagao 1322 0 resultado 5 1 4 10 1323 ss 64000s 16 X 10 Antes de expandirmos a Equacao 1323 em uma soma de fragées parciais fatoramos o termo quadratico no denominador 5 I 384 X 10 1324 ss 32000 j724000s 32000 724000 Agora podemos testar a expressdo de J no dominio da frequéncia verificando se 0 teo rema do valor final prevé o valor correto de i em t oo Como todos os polos de I exceto 0 de primeira ordem na origem encontramse na metade esquerda do plano s o teorema é apli cavel Pelo comportamento conhecido do circuito sabemos que apos a chave ter permanecido aberta por um longo tempo o indutor estara curtocircuitando a fonte de corrente Assim 0 valor final de i deve ser 24 mA O limite de sJ quando s 0 384 X 10 lim sl 24mA 1325 s0 16 X 10 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Como as correntes no dominio da frequéncia tém a dimensao de ampéressegundos a dimensao de sJ sera ampéres Desse modo verificamos que nossa expresso no dominio da frequéncia esta correta Agora procedemos a expansao por fracgées parciais da Equacao 1324 K K I Sty s s 32000 724000 Ky 1326 s 32000 j24000 Os coeficientes das fragGes parciais sao 384 X 10 K 24 X 10 1327 16 108 1327 Ko 384 X 10 2 32000 j24000j 48000 20 X 10312687 1328 Substituindo os valores numéricos de K e K na Equagao 1326 e tomando a transfor mada inversa da express4o resultante temos i 24 40e3790 cos 240001 12687JutmA 1329 A resposta dada pela Equagao 1329 é equivalente aquela dada pelo Exemplo 87 pois 40 cos 24000t 12687 24 cos 24000t 32 sen 24000t Se nao estivéssemos usando uma solucao anterior como verificagao testariamos a Equa cao 1329 para ter certeza de que i 0 satisfez as condig6es iniciais dadas e de que co satis fez o comportamento conhecido do circuito PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da frequén cia de volta para 0 dominio do tempo 134 A energia armazenada no circuito mostrado nula no instante em que a chave fechada a Determine a expressao para J no dominio da frequéncia b Determine a expressao para i no dominio do tempo quando t 0 c Determine a expressdo para V no dominio da frequéncia d Determine a expressAo para U no dominio do tempo quando t 0 Resposta a I 40s 12s 1 480 4H b i 50e sen 082ut A OO c V160ss 125 1 t0 d V200e cos 083687JutV 160 V 1 025 F NOTA tente resolver também os problemas 1313 e 1325 apresen tados no final deste capitulo Resposta transitória de um circuito RLC em paralelo Outro exemplo de utilização da transformada de Laplace para determinar o comporta mento transitório de um circuito surge da substituição de uma fonte de corrente cc no circuito da Figura 1313 por uma fonte de corrente senoidal A nova fonte de corrente é ig Im cosvt A 1330 em que Im 24 mA e v 40000 rads Como antes admitimos que a energia inicial armaze nada no circuito seja nula A expressão para a fonte de corrente no domínio da frequência é I g sI m s2 v2 1331 A tensão nos elementos em paralelo é V I gCs s2 1RCs 1LC 1332 Substituindo a Equação 1331 na Equação 1332 obtemos V I mCs2 s2 v2s2 1RCs 1LC 1333 da qual I L V sL I mLCs s2 v2s2 1RCs 1LC 1334 Substituindo os valores numéricos de Im v R L e C na Equação 1334 temos I L 384 105s s2 16 108s2 64000s 16 108 1335 Agora escrevemos o denominador na forma fatorada I L 384 105s s jvs jvs a jbs a jb 1336 em que v 40000 a 32000 e b 24000 Não podemos testar o valor final de iL pelo teorema do valor final porque IL tem um par de polos no eixo imaginário isto é polos em j4 104 Por isso em primeiro lugar precisamos determinar iL e depois verificar a validade da expressão pelo comportamento conhecido do circuito Quando expandimos a Equação 1336 em uma soma de frações parciais obtemos a equação K2 s 32000 j24000 I L K1 s j40000 K1 s j40000 K2 s 32000 j24000 1337 Circuitos elétricos 530 Book Nilsson 3indb 530 290116 1354 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Os valores numéricos dos coeficientes K e K sao k 384 X 10j40000 i j8000032000 71600032000 764000 75 X 10 390 1338 kK 384 X 1032000 j 24000 32000 j1600032000 j64000j48000 125 X 10790 1339 Substituindo os valores numéricos das equagoes 1338 e 1339 na Equagao 1337 e tomando a transformada inversa da expresso resultante temos i 15 cos 400001 90 25e 32000 cos 240001 90 mA 15sen 400001 25e 379 sen 24000rut mA 1340 Agora testamos a Equacao 1340 para verificar se ela faz sentido em termos das condi Oes iniciais dadas e do comportamento conhecido do circuito depois de a chave ter perma necido aberta por um longo tempo Para t 0 a Equacao 1340 prevé corrente inicial nula o que esta de acordo com a energia inicial nula no circuito A Equacao 1340 também prevé uma corrente de regime permanente de ip 15 sen 40000t mA 1341 que pode ser verificada pelo método fasorial Capitulo 9 Resposta ao degrau de um circuito de multiplas malhas Até agora evitamos circuitos que exigissem duas ou mais Figura 1315 Circuito RL com multiplas malhas equagoes de tensdes de n6 ou de correntes de malha porque as os Lo A 84H 10H técnicas para resolver equac6es diferenciais simultaneas esto wy fora do escopo deste livro Todavia usando a transformada de in Laplace podemos resolver um problema como o apresentado 42 0 48 0 pelo circuito de multiplas malhas da Figura 1315 Aqui queremos determinar as correntes de ramo i e i que surgem quando a fonte de tensdo cc de 336 V é aplicada subitamente ao circuito A energia inicial armazenada no cir Figura 1316 Circuito equivalente no dominio da cuito é nula A Figura 1316 mostra no dominio da frequén reauenia pare 0 circuito mostrado na cia 0 circuito equivalente ao circuito da Figura 1315 As duas ura Tot equacoes de correntes de malha sao 845 10s 336 42 84sI 4215 1342 336 336 C 420 1 480 O 4217 90 10s 1343 Usando o método de Cramer para calcular I1 e I2 obtemos 84s 2s 12 84s2 14s 24 D 2 42 84s 42 42 90 10s 2 1344 3360s 9 s N 1 2 336s 42 0 90 10s 2 1345 14112 s N 2 2 42 84s 336s 42 0 2 1346 Com base nas equações 13441346 I 2 N 2 D 168 ss 2s 12 I 1 N 1 D 40s 9 ss 2s 12 1347 1348 Expandindo I1 e I2 em somas de frações parciais obtemos I 2 7 s 84 s 2 14 s 12 I 1 15 s 14 s 2 1 s 12 1349 1350 Obtemos as expressões para i1 e i2 tomando a transformada inversa das equações 1349 e 1350 respectivamente i1 15 14e2t e12tut A 1351 i2 7 84e2t 14e12tut A 1352 Em seguida testamos as soluções para verificar se fazem sentido em termos do circuito Como não há nenhuma energia armazenada no circuito no instante em que a chave é fechada ambas as correntes i10 e i20 devem ser nulas As soluções estão de acordo com esses valores iniciais Depois de a chave estar fechada por um longo tempo os dois indutores com portamse como curtocircuitos Portanto os valores finais de i1 e i2 são i2q 1542 90 7 A i1q 33690 4248 15 A 1353 1354 Circuitos elétricos 532 Book Nilsson 3indb 532 290116 1354 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Um teste final envolve os valores numéricos dos expoentes e o calculo da queda de ten sdo no resistor de 42 por trés métodos Pelo circuito a tensdo no resistor de 42 2 positiva no topo é di di v 42i in 336 84 481 10 1355 dt dt Devese verificar que independentemente da forma como a Equacao 1355 é usada a tensao é v 336 2352e 7 10080e7ut V Portanto podemos confiar que as solugées para i e i estao corretas PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da fre quéncia de volta para o dominio do tempo 1H 150 135 As fontes de corrente e tensao continuas 10 sao aplicadas simultaneamente ao circuito Gi 5A mostrado Nao ha nenhuma energia arma zenada no circuito no instante da aplicagao a Calcule as expressGes para V e V no dominio da frequéncia b Calcule as express6es para U V no dominio do tempo para t 0 c Calcule v0 e v0 d Calcule os valores de regime permanente de v e v Resposta a V Ss 3ss 05s 2 V 25s 6ss 05s 2 b vy 15 Be Fe ut V vy 15 Be Be Mult V c v0 0 v0 25 V d v v 15V NOTA tente resolver também os problemas 1319 e 1321 apresentados no final deste capitulo Utilizagao do equivalente de Thévenin Nesta seg4o mostramos como usar o equivalente de Thévenin no dominio da frequéncia A Figura 1317 mos Figura 1317 Circuito a ser analisado utilizando equivalente de Thévenin no dominio da frequéncia tra o circuito a ser analisado O problema é determinar a corrente no capacitor quando a chave é fechada A energia 200 602 a armazenada no circuito antes do fechamento é nula Para determinar ic em primeiro lugar construimos 480V io SE ic 5 pF vc 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia e entao determinamos o equivalente de Thévenin desse circuito visto a partir dos terminais do capacitor A Figura 1318 b mostra o circuito no dominio da frequéncia Circuitos elétricos Figura 1318 Modelo no dominio da frequéncia do circuito A tensaéo de Thévenin é a tensao de circuito aberto nos da Figura 1317 terminais a b Sob as condig6es de circuito aberto nao ha 00 602 a nenhuma tens4o no resistor de 60 2 Dai Vv 480s 0002s 480 Th Sn panne aad 1356 20 0002s 104 7 00028 Ve Ie 210 A impedancia de Thévenin vista a partir dos terminais b ae b é igual ao resistor de 60 em série com a combinagao em paralelo do resistor de 20 0 e do indutor de 2 mH Assim 0002s 20 80s 7500 Figura 1319 Versao simplificada do circuito da Figura Zn 60 0002520 BOs 7500 1357 1318 usando um equivalente de Thévenin 20 0002s s 10 Usando 0 equivalente de Thévenin reduzimos 0 circuito a da Figura 1318 ao mostrado na Figura 1319 Ele indica que s 10 a corrente no capacitor I igual a tensdo de Thévenin divi 480 Ve Ie 2x 10 dida pela impedancia total em série Assim s 10 Ss 480s 10 Lee 61358 b 80s 7500s 10 2 X 10s Simplificamos a Equacao 1358 para 6 6 Ic tm 1359 s 10000s 25 X 10 s 5000 Da expansao por fragées parciais da Equagao 1359 decorre 30000 6 Te OTF ey 1360 s 5000 s 5000 cuja transformada inversa é ic 300001900 6e9 ut A 1361 Agora testamos a Equacao 1361 para verificar se ela corresponde ao comportamento conhecido do circuito Pela Equacao 1361 i06A 1362 Esse resultado esta de acordo com a corrente inicial no capacitor como calculada pelo circuito na Figura 1317 A corrente inicial no indutor é igual a zero assim como a tensao inicial no capacitor portanto a corrente inicial no capacitor 48080 ou 6 A O valor final da cor rente é igual a zero o que também esta de acordo com a Equagao 1361 Observe também que por essa equagao a corrente inverte o sinal quando f excede 630000 ou 200 us O fato de i inverter o sinal faz sentido porque logo que a chave é fechada o capacitor comega a carregar A certa altura essa carga reduzse a zero porque o indutor é um curtocircuito em t co A reversao de sinal de i reflete o carregamento e a descarga do capacitor Vamos admitir que a queda de tensdo no capacitor Uv também seja de interesse Tao logo determinemos i determinamos U por integragao no dominio do tempo isto t vc 2 X 10 6 30000xe dx 1363 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Embora a integracéo da Equacao 1363 nao seja dificil podemos evitala determinando em primeiro lugar a expressdo para Vno dominio da frequéncia e a seguir determinando U por uma transformada inversa Assim 1 2 X 10 6s Vo SI OOS sC Ss s 5000 12 X 10 1364 s 5000 e entao Ve 12 X 1012 ut 1365 Devese verificar se a Equagao 1365 é consistente com a Equacio 1363 e se ela também fundamenta as observagoes relativas ao comportamento de i veja o Problema 1333 apre sentado no final deste capitulo PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da fre quéncia de volta para o dominio do tempo 136 A carga inicial no capacitor do circuito mostrado é nula a Determine 0 circuito equivalente de Thévenin no dominio da frequéncia visto a partir dos termi 05F naisaeb b Determine a expresso no dominio da frequéncia da corrente que o circuito fornece a carga que 5O 10 a 20 consiste em um indutor de 1 H em série com um 02 resistor de 2 20 ul 02 Vy iH Resposta a V4 V 20s 24ss 2 Zyy Ss 28s 2 b b Ly 20s 24ss 3s 6 NOTA tente resolver também o Problema 1335 apresentado no final deste capitulo Circuito com indutancia mutua O proximo exemplo ilustra como usar a Figura 1320 Circuito com enrolamentos magneticamente acoplados transformada de Laplace para analisar a res posta transit6ria de um circuito que contém 90 a 30 20 indutancia mttua A Figura 1320 mostra 6 2H e o circuito A chave ligaantesinterrompe t0 4 depois permaneceu na posiéo a por um 60 V 5 ir 100 longo tempo Em 0 ela passa instanta neamente para a posicéo b O problema é 2H SH deduzir a expressdo para i no dominio do tempo Circuitos elétricos Comegamos desenhando novamente o circuito da Figura 1320 substituindo a chave na posicdo b e os enrolamentos magneticamente acoplados por um equivalente T do circuito A Figura 1321 mostra 0 novo circuito Agora transformamos esse circuito para o dominio da frequéncia e observamos que Figura 1321 Circuito da Figura 1320 com os i0 60 5A 1366 enrolamentos magneticamente acoplados 12 substituidos por um equivalente T i0 0 1367 liM L2M 30 0H 6H 20 Visto que planejamos usar a andlise de malhas no dominio da frequéncia utilizamos o circuito equivalente b 2H 100 em série para um indutor que conduz uma corrente inicial A Figura 1322 mostra o circuito no dominio da frequén cia Observe que ha somente uma fonte de tensAo indepen dente Essa fonte aparece na perna vertical do T para repre Figura 1322 Circuito equivalente no dominio da frequéncia sentar o valor inicial da corrente no indutor de 2 H isto é para o circuito da Figura 1321 i0 i0 ou 5 A O ramo que conduz i ndo possui 30 6s 20 nenhuma fonte de tensao pois L M 0 ow As duas equagées de malha no dominio da frequéncia D 25s 2 que descrevem 0 circuito na Figura 1322 sao 100 C 10 3 2s 2s 10 1368 2sI 12 8sI 10 1369 Explicitando I obtemos I 2 1370 s 1s 3 Expandindo a Equacao 1370 em uma soma de frag6es parciais temos b 125 125 1371 stl s3 Entao i 125e 125eut A 1372 A Equagao 1372 revela que i aumenta de zero até um Figura 1323 Grafico de i em fungao de tpara o circuito da valor de pico de 48113 mA em 54931 ms depois de a chave Figura 1320 passar para a posiao b Dai em diante decresce exponen cialmente aproximandose de zero A Figura 1323 mostra i mA 2 um grafico de i em fungao de Essa resposta faz sentido 48113 em termos do comportamento fisico conhecido dos enro lamentos magneticamente acoplados S6 pode existir uma t ms corrente no indutor L se houver uma corrente que varie 0 54931 fog com o tempo no indutor LA medida que i diminui a par tir de seu valor inicial de 5 A i aumenta a partir de zero e depois diminui a medida que i tende a zero 1 Veja o Apéndice C Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da frequén cia de volta para 0 dominio do tempo 137 a Verifique pela Equacao 1372 se i alcanga um valor de pico de 48113 mA em t 54931 ms b Determine i para 0 circuito mostrado na Figura 1320 para t 0 c Calcule didt quando i esta em seu valor de pico d Expresse i como uma fungao de didt quando i esta em seu valor de pico e Use os resultados obtidos em c e d para calcular 0 valor de pico de i Resposta a didt 0 quando t 5In 3 s b i 25e e ut A c 289 As d i Madidt12 e 48113 mA NOTA tente resolver também os problemas 1336 e 1337 apresentados no final deste capitulo 0 uso da superposicgao Uma vez que estamos analisando circuitos lineares de parametros concentrados podemos usar 0 teorema da superposigao para dividir a resposta em componentes que podem ser iden tificados com determinadas fontes e condig6es iniciais Distinguir esses componentes é funda mental para usar a fungao de transferéncia que apresentaremos na proxima secao A Figura 1324 mostra nosso circutto ilustrativo Admi Figura 1324 Circuito mostrando o uso da superposigao no timos que no instante em que as duas fontes sao aplicadas dominio da frequéncia ao circuito o indutor esteja conduzindo uma corrente inicial de p ampéres e 0 capacitor esteja submetido a uma tensdo R Cc inicial de y volts A resposta desejada do circuito é a tensdo it y vu no resistor R vg L SR Ct ig A Figura 1325 mostra o circuito equivalente no domi nio da frequéncia Optamos pelos equivalentes em paralelo para L e C porque escolhemos calcular V usando 0 método das tensdes de no Figura 1325 Circuito equivalente no dominio da frequéncia Para determinar V por superposicao calculamos 0 com do circuito da Figura 1324 ponente de V decorrente da acao individual de cada fonte e C entaéo somamos os componentes Comegamos com a fonte y V agindo sozinha Abrir 0 ramo de cada uma das trés fontes de corrente eliminaas do circuito A Figura 1326 mostra o Ri circuito resultante Adicionamos a tenso de no V para auxi liar a andlise As aspas em V e V indicam que eles sao os Vv I componentes de V e V atribuiveis a V agindo sozinha As 8 1 Ct 8 duas equacgG6es que descrevem 0 circuito na Figura 1326 saéo sC Vj CV vs 1373 s s Ry sL Ry 1373 Circuitos elétricos Figura 1326 Circuito da Figura 1325 1 quando a fonte V age sozinha sCV 4 ae 0 1374 2 R IsC Por conveniéncia introduzimos a notacgaéo 1 1 YY 5C 1375 V Vi VEER Ri sL YsC 1376 1 Yo 5C 1377 Ry Substituindo as equagées 13751377 nas equagdes 1373 e 1374 obtemos iuVi YioV5 VeRi 1378 YoVi YoV5 0 1379 Explicitando V4 nas equagées 1378 e 1379 temos YiR V5 Ne V 1380 YY Yop Quando a fonte de corrente zg age sozinha o circuito da Figura 1325 reduzse ao mos trado na Figura 1327 Aqui Vj e V3 s4o os componentes de V e V resultantes da agao da fonte I fe Se usarmos a notacao apresentada nas equacoes 13751377 as duas equacoes de ten sdes de né que descrevem 0 circuito da Figura 1327 sao YuVi YoVs 0 1381 e YioVi YooV3 Ig 1382 Explicitando V3 nas equagées 1381 e 1382 obtemos Y Vy 4 1 1383 Figura 1327 Circuito da Figura 1325 quando a YiiY2 Yo fonte age sozinha Para determinar o componente de V resultante da energia 1s inicial armazenada no indutor V3 temos de resolver o circuito Ri da Figura 1328 no qual sL vi V3 Ry Ct I YuiVi YioV3 p8 1384 YoVY YoV3 0 1385 Assim Figura 1328 Circuito da Figura 1325 alimentado Yjs pela corrente inicial do indutor v 1386 Yun Yio R IsC wo A Pelo circuito da Figura 1329 determinamos 0 componente de VV5 resultante da energia inicial armazenada no capaci sL3Vi C VER tor As equacoes de tensdes de né que descrevem esse circuito sao YyVy YoV3 yC 1387 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos YoVi YoV5 YC 1388 Explicitando V3 temos Vy Yj2C vy 12 y 1389 YuYn Yr A expressao para V é Figura 1329 Circuito da Figura 1325 alimentado Vo V54V5 4 V5 V5 apenas pela tensao inicial do capacitor C 12R1 Yu y Sy tyne ty yes Yul Yr Yuta Yio R Isc Y2s Ci1 Yj 4 es gy SM FM 4300 oI YuYo Yio YY Yin sL3ViVIRR Podemos determinar V sem usar a propriedade de super posicdo resolvendo as duas equacgGes de tensdes de n6 que des crevem 0 circuito da Figura 1325 Assim V p YY Yova z yO 1391 R Ss YioV YW 1 yC 1392 Devese verificar no Problema 1342 que a solucdo das equagées 1391 e 1392 para V é a mesma que a da Equagao 1390 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como analisar um circuito no dominio da frequéncia e saber transformar uma solucao no dominio da frequén cia de volta para o dominio do tempo 138 A energia armazenada no circuito mostrado é nula no instante em que as duas fontes sao ligadas a Determine o componente de v para t 0 decorrente da fonte de tensAo b Determine o componente de v para t 0 decorrente da fonte de corrente c Determine a expressdo para U quando t 0 Resposta a 1003e 1003eJut V 20 b 503e 503eJu2 V c 50e2 50eJut V 20 eo v 550mF su NOTA tente resolver também o Problema 1343 apresentado no final deste capitulo 134 Fungao de transferéncia A funcao de transferéncia é definida como a raz4o no dominio da frequéncia entre a transformada de Laplace da saida resposta e a transformada de Laplace da entrada fonte No calculo da fungao de transferéncia restringimos nossa atenc4o a circuitos nos quais todas Circuitos elétricos as condicoes iniciais sao nulas Se um circuito tiver multiplas fontes independentes poderemos determinar a fungdo de transferéncia para cada fonte e usar a propriedade de superposicgao para determinar a resposta para todas as fontes A fungao de transferéncia é ok Ys Definigao de Hs oo 1393 uma fungao de s transferéncia em que Ys é a transformada de Laplace do sinal de saida e Xs é a transformada de Laplace do sinal de entrada Observe que a fungao de transferéncia depende do que é definido como sinal de saida Examine por exemplo 0 circuito em série da Figura 1330 Se a corrente for defi nida como a resposta do circuito Figura 1330 Circuito ALC em série I 1 sc 9 As o ee ee 1394 R SL VY RtsL1sC sLCRCs 1 a Ao deduzirmos a Equacao 1394 consideramos que J corresponde V UsCDEy a saida Yse V corresponde a entrada X s Ss Se a tensd4o no capacitor for definida como o sinal de saida do cir cuito da Figura 1330 a funao de transferéncia sera V 1sC 1 Hs OO EE OO 1395 s V RsL 1sC sLCRCs 1 Desse modo como os circuitos podem ter multiplas fontes e como a definigao do sinal de saida pode variar um Unico circuito pode gerar muitas fungdes de transferéncia Lembrese de que quando multiplas fontes estao envolvidas nenhuma funcao de transferéncia por si sé pode representar a saida total para obter a resposta total fung6es de transferéncia associa das a cada fonte devem ser combinadas usandose a superposigaéo O Exemplo 131 ilustra o calculo de uma fungao de transferéncia para valores numéricos conhecidos de R Le C EXENMPLO 131 Dedugao da fungao de transferéncia de um circuito A fonte de tensfo v alimenta o circuito da Figura 1331 Figura 1331 Circuito para o Exemplo 131 O sinal de resposta é a tensdo no capacitor v P Pan Co 1000 a Calcule a expressAo numérica para a funcdo de transferéncia aos Ug 1 uF Uo b Calcule os valores numéricos para os polos e zeros da funcao de transferéncia Solugao a A primeira etapa na determinacao da funcdo de transferéncia é construir 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia como mostra a Figura 1332 Por definigdo a funcdo de transferéncia é arazao VV que pode ser calculada por uma tinica equacao de tensdes de nd Somando as cor rentes que saem do no superior obtemos 1000 250 005s 10 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Explicitando V temos 1000s 5000V Vo a ew s 60005 25 X 10 Portanto a fungao de transferéncia é V 1000s 5000 H8 yO oon Vv s 6000s 25 X 10 b Os polos de Hs sao as raizes do polinémio do deno minador Portanto Figura 1332 Circuito equivalente no dominio da frequéncia para 0 circuito da Figura 1331 p 3000 j4000 10000 p 3000 74000 V 10 oy Os zeros de Hs séo as raizes do polindmio do nume 8 s rador assim Hs tem um zero em z 5000 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Entender a definigao e o significado da funcao de transferéncia saber determinar uma funcao de transferéncia 139 a Determine a expressAo numérica para a fungaéo de transferéncia VI g Para o circuito mostrado 20 b Calcule o valor numérico de cada polo e de cada zero ig 01 F Up de Hs 1H Resposta a Hs 10s 2s 2s 10 b p 14 3 p 1 3 z 2 NOTA tente resolver também o Problema 1352 apresentado no final deste capitulo A localizagao de polos e zeros de Hs Para circuitos lineares de parametros concentrados Hs é sempre uma fungao racional de s Polos e zeros complexos sempre aparecem em pares conjugados Os polos de Hs devem estar na metade esquerda do plano s para que a resposta a uma fonte limitada cujos valores encontramse dentro de limites finitos seja finita Os zeros de Hs podem estar na metade direita ou na metade esquerda do plano s Tendo em mente essas caracteristicas gerais a seguir discutimos o papel que Hs desem penha na determinacao da funa4o resposta Comegamos com a técnica da expansdo por fra 6es parciais para determinar yf 135 Função de transferência em expansões por frações parciais Pela Equação 1393 podemos escrever a saída do circuito como o produto da função de transferência pelo sinal de entrada Ys HsXs 1396 Já observamos que Hs é uma função racional de s Uma consulta à Tabela 131 mostra que Xs também é uma função racional de s para os sinais de entrada de maior interesse em análise de circuitos Expandindo o lado direito da Equação 1396 em uma soma de frações parciais obtemos um termo para cada polo de Hs e Xs Lembrese de que no Capítulo 12 vimos que polos são as raízes do polinômio do denominador zeros são as raízes do polinômio do numerador Os termos gerados pelos polos de Hs dão origem ao componente transitório da resposta total ao passo que os termos gerados pelos polos de Xs dão origem ao componente de regime permanente da resposta Aqui resposta de regime permanente significa aquela que existe depois de os componentes transitórios terem se tornado desprezíveis O Exemplo 132 ilustra essas observações gerais ExEMPLO 132 Análise da função de transferência de um circuito O circuito no Exemplo 131 Figura 1331 é alimentado por uma fonte de tensão cujo valor aumenta linearmente com o tempo ou seja vg 50tut a Use a função de transferência para determinar vo b Identifique a componente transitória da resposta c Identifique a componente de regime permanente da resposta d Faça um gráfico de vo para 0 t 15 ms Solução a Pelo Exemplo 131 Hs 1000s 5000 s2 6000s 25 106 A transformada da tensão de alimentação é 50s2 portanto a expressão no domínio da frequência para a tensão de saída é Vo 1000s 5000 s2 6000s 25 106 50 s2 A expansão por frações parciais de Vo é K1 s 3000 j4000 K2 s2 K3 s Vo K1 s 3000 j4000 Avaliamos os coeficientes K1 K2 e K3 usando as técnicas descritas na Seção 127 Circuitos elétricos 542 Book Nilsson 3indb 542 290116 1354 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos K 5V5 X 107970 Ky 5V5 X 10 47970 K 10 K 4x 107 A expressao no dominio do tempo para v vo 10V5 X 10463 cos 4000t 7970 4 10t 4 x 10Jut V Figura 1333 Gréfico de v para o Exemplo 132 b A componente transitéria de v vo mV 10V5 X 10 4e cos 40001 7970 16 14 Observe que esse termo é gerado pelos polos 3000 j4000 e 3000 j4000 da fungao de 12 transferéncia 10 c Ocomponente de regime permanente da resposta é 8 10t 4 X 10u1 10000 04 mV 6 y Esses dois termos sao gerados pelo polo de segunda 2 5 i aj 4 ordem Ks7 da tensao de alimentacao d A Figura 1333 mostra o grafico de v em fungao de f 2 Observe que o desvio da solucdo de regime perma nente 10000 04 mV é imperceptivel depois de 0 02 04 06 08 10 12 14 ms aproximadamente 1 ms PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber como usar a funcao de transferéncia de um circuito para calcular sua resposta ao impulso ao degrau unitario e seu regime permanente senoidal 1310 Determine a a resposta ao degrau unitdrio e b a resposta ao impulso unitario do circuito do Pro blema para avaliagao 139 Resposta a 2 103e cos 3t 12687ut V b 1054e cos 3t 1843ut V 1311 A resposta ao impulso unitdrio de um circuito é vt 10000e cos 2407 6 V em que tg 9 aa a Determine a fungao de transferéncia do circuito b Determine a resposta ao degrau unitario do circuito Resposta a 9600ss 140s 62500 b 40e sen 240t V NOTA tente resolver também os problemas 1377a é b apresentados no final deste capitulo Observações sobre o uso de H s em análise de circuitos O Exemplo 132 mostra claramente por meio de uma expansão por frações parciais como a função de transferência Hs está relacionada com a resposta de um circuito Todavia o exemplo levanta questões sobre a praticidade de alimentar um circuito com uma tensão tipo rampa ascendente que gera uma resposta do tipo rampa ascendente A certa altura os com ponentes do circuito vão se danificar por causa de uma tensão excessiva em seus terminais e quando isso acontecer nosso modelo linear deixará de ser válido A resposta à rampa é de interesse em aplicações práticas nas quais o sinal aplicado aumenta até um valor máximo den tro de um intervalo de tempo finito Se o tempo para atingir esse valor máximo for longo em comparação com as constantes de tempo do circuito a solução para a rampa de duração infi nita é válida para esse intervalo de tempo finito Façamos duas observações adicionais referentes à Equação 1396 Em primeiro lugar vamos examinar a resposta do circuito a um sinal retardado Se a entrada for retardada em a segundos l5 xt aut a6 easXs e pela Equação 1396 a resposta tornase Ys HsXseas 1397 Se yt l15 HsXs6 então pela Equação 1397 yt aut a l15 HsXseas6 1398 Portanto atrasar a entrada em a segundos simplesmente atrasa a função resposta em a segundos Um circuito que exiba essa característica é denominado invariante no tempo Em segundo lugar se uma fonte de impulso unitário alimentar o circuito a resposta do circuito será igual à transformada inversa da função de transferência Assim se xt dt então Xs 1 e Ys Hs 1399 Daí pela Equação 1399 yt ht 13100 em que a transformada inversa da função de transferência é igual à resposta do circuito ao impulso unitário Observe que essa é também a resposta natural do circuito pois a aplicação de uma fonte impulsiva é equivalente a armazenar instantaneamente energia no circuito veja a Seção 138 O fornecimento subsequente dessa energia armazenada dá origem à resposta natural veja o Problema 1382 Na verdade a resposta ao impulso unitário ht contém informação suficiente para cal cularmos a resposta para qualquer fonte que alimente o circuito A integral de convolução é usada para calcular a resposta de um circuito a uma fonte arbitrária como demonstraremos na próxima seção Circuitos elétricos 544 Book Nilsson 3indb 544 290116 1355 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 136 Funcao de transferéncia e integral de convolugao A integral de convolucao relaciona a saida yt de um circuito linear invariante no tempo com sua entrada xt e a resposta At do circuito ao impulso A relacéo integral pode ser expressa de dois modos oo oo yt hAxt AdA ht AxAda 13101 00 00 Estamos interessados na integral de convolugao por diversas raz6es Primeiro ela nos per mite trabalhar inteiramente no dominio do tempo e isso pode ser Util em situagdes nas quais xt e ht sio conhecidas apenas por meio de dados experimentais Nesses casos o método da transformada pode ser inconveniente ou até impossivel porque exigiria que calculassemos a transformada de Laplace de dados experimentais Segundo a integral de convolugao introduz na andlise de circuitos os as Figura 1334 Diagrama de bloco de um circuito genérico conceitos de memoria e a func4o peso Mostraremos que 0 con ceito de memOria nos permite examinar a resposta ao impulso ou fungao peso ht e prever até certo ponto o quanto a xt yt forma de onda da saida reproduzira a forma de onda da entrada Por fim a integral de convolugao proporciona um pro cedimento formal para determinar a transformada inversa de produtos de transformadas de Laplace Figura 1335 Sinal de alimentagao x1 Sinal de alimentagao genérico b Aproximagao Baseamos nossa dedugéo da Equagao 13101 na pre de xt por uma série de pulsos missa de que 0 circuito seja linear e invariante no tempo c Aproximagao de xt por uma série de Como 0 circuito é linear o principio da superposigao é valido impulsos e como ele é invariante no tempo o atraso da saida é igual x2 ao atraso da entrada Agora analise a Figura 1334 em que o bloco que contém At representa qualquer circuito linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso é conhecida xt representa o sinal de entrada e yt representa o sinal de saida desejado 0 t Admitimos que xt seja um sinal de alimentacao gené a rico mostrado na Figura 1335a Por conveniéncia admiti x mos também que xt 0 para t0 Assim que examinar 1 xA3 mos a deducfo da integral de convolucaéo assumindo xt x xAj 0 parat0O ficara clara a possibilidade da extens4o da inte xAp gral para incluir sinais de entrada que nio obedegam a essa restrigao Observe também que permitimos uma desconti nuidade em xt na origem isto é um degrau entre 0 e 0 Aol ApAd Ag 7 Ap ee Agora aproximamos xt por uma série de pulsos b retangulares de largura uniforme AA como mostra a Figura xt Sas N 1335b Assim VvYT SOO xt x x 2 Fx 13102 FFF FF XAg AA em que xt um pulso retangular igual a xA entre A A e nulo em todos os outros pontos Observe que o pulso de ordem i pode ser expresso em termos de fungées degrau isto é t Nol AL AD AR ey Xt xAut A ult A Aa c Circuitos elétricos A proxima etapa na aproximacao de xt é fazer AA pequeno o suficiente para que a com ponente de ordem i possa ser aproximada por uma fungao impulso de intensidade xAAA A Figura 1335c mostra a representacéo do impulso sendo que a intensidade de cada impulso é mostrada entre colchetes ao lado de cada seta A representacéo de xt por uma série de impulsos Xt xAp AASt Ap xA AASt A Figura 1336 Aproximagao de yt a Resposta ao impulso do circuito da Figura 1334 b xA DASt Aj 13103 Soma das respostas ao impulso Agora quando xt é representada por uma série de fun no des impulso que ocorrem a intervalos de tempo igualmente espacados isto éa Ay A A a fundo resposta yt con siste na soma de uma série de respostas ao impulso uniforme mente retardadas A intensidade de cada resposta depende 0 a da intensidade do impulso que alimenta 0 circuito Por exem plo vamos admitir que a resposta ao impulso unitario do cir yt cuito contido na caixa da Figura 1334 seja a func4o exponen KIN Aproximagao de yt cial decrescente da Figura 1336a Entao a aproximacao de Co yt a soma das respostas ao impulso mostrada na Figura 1336b Analiticamente a expresso para yt é in C yt xApAAAt Ag xAAARt Ay t Aol Ar Az As xAyAAMt Ap b xAjAAht Aj 13104 A medida que AA 0 0 somatério na Equacado 13104 aproximase de uma integracio continua ou SxQjAt AAA xAht A da 13105 i0 0 Portanto yt XAAt A dd 13106 0 Se x existir durante todo 0 tempo entao o limite inferior na Equacdo 13106 se tornara oo assim de modo geral yt XAAt Add 13107 que é a segunda forma da integral de convolucaéo dada na Equagao 13101 Deduzimos a pri meira forma da integral pela Equagao 13107 fazendo uma mudanga de variavel de integragao Fazemos u t A e entéo observamos que du dAu oo quando A coe u 00 quando A co Agora podemos escrever a Equacao 13107 como ye x wyhund ou yt q q xt uhu du 13108 Contudo como u é apenas um símbolo de integração a Equação 13108 é equivalente à primeira forma da integral de convolução Equação 13101 A relação integral entre yt ht e xt expressa na Equação 13101 frequentemente é escrita em notação abreviada yt ht xt xt ht 13109 em que o asterisco significa a convolução entre ht e xt Assim ht xt é lida como con volução de ht com xt e implica que ht xt q q hlxt l dl ao passo que xt ht é lida como convolução de xt com ht e implica que xt ht q q xlht l dl As integrais da Equação 13101 expressam a relação mais geral de convolução de duas funções Todavia em nossas aplicações da integral de convolução podemos mudar o limite inferior para zero e o limite superior para t Então podemos escrever a Equação 13101 como yt t 0 hlxt l dl t 0 xlht l dl 13110 Alteramos os limites por duas razões A primeira é que para circuitos realizáveis fisica mente ht é igual a zero para t 6 0 Em outras palavras não pode haver nenhuma resposta ao impulso antes da aplicação de um impulso A segunda é que começamos a medir o tempo no instante em que o sinal xt é aplicado assim xt 0 para t 6 0 Uma interpretação gráfica das integrais de convolução contidas na Equação 13110 é importante na utilização da integral como uma ferramenta de cálculo Começamos com a primeira integral Admitamos por exemplo que a resposta ao impulso de nosso circuito seja a função exponencial decrescente mostrada na Figura 1337a e que o sinal aplicado tenha a forma de onda mostrada na Figura 1337b Em cada uma dessas representações gráficas substituímos t por l uma variável de integração Substituir l por l simplesmente reflete o sinal aplicado no eixo vertical e substituir l por t l faz a função refletida deslocarse para a direita Veja as figuras 1337c e d Essa operação de refletir deu origem ao termo convolu ção Em qualquer valor especificado de t a função resposta yt é a área sob a função produto hlxt l como mostra a Figura 1337e Essa representação gráfica deve tornar evidente a razão por que o limite inferior da integral de convolução é igual a zero e o limite superior é t Para l 6 0 o produto hlxt l é nulo porque hl é nulo Para l 7 t o produto hlxt l é nulo porque xt l é nulo A Figura 1338 mostra a segunda forma da integral de convolução Observe que a função pro duto na Figura 1338e confirma a utilização de zero para o limite inferior e t para o limite superior O Exemplo 133 ilustra como usar a integral de convolução em conjunto com uma res posta ao impulso unitário para determinar a resposta de um circuito Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 547 Book Nilsson 3indb 547 290116 1355 Circuitos elétricos Figura 1337 Interpretagao grafica da integral de convolugao Figura 1338 Interpretagao grafica da integral de convolugao hax Ada a Resposta ao impulso b Sinal Jortt AxA dX a Resposta ao impulso de entrada c Sinal de entrada refletido d Sinal 0 Sinal de entrada c Resposta ao impulso refletida de entrada refletido e deslocado de t unidades e 0 d Resposta ao impulso refletida e deslocada de t produto AAxt A unidades e O produto ht AxA ha ha oN Xr 0 0 A a a xA xA ey Xr 0 7 72 0 T1 772 b b AX M A Xr TN1 0 0 A c c xt A ht A itn Xr tTt7T 0 Xr d d th Area MA ye MA yt Area Xr 0 t TL t A 0 71 Ot e e EXEMPLO 133 Utilizacao da integral de convolugao para determinar um sinal de saida A tensao de excitagao v do circuito da Figura 1339a Figura 1339 Circuito e tensdo de excitagao para 0 é mostrada na Figura 1339b Exemplo 133 a Circuito b Tensao de alimentagao a Use a integral de convolucao para determinar U LH Uj b Faca um grafico de v na faixaO r 15s Solugao Uj v 20V a A primeira etapa na utilizaco da integral de convo t s lugao é determinar a resposta ao impulso unitario do 0 5 10 a b Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos circuito Obtemos a expressao para V pelo equi a pos Figura 1340 Resposta ao impulso e a excitagao refletida valente do circuito da Figura 1339a no dominio para o Exemplo 133 da frequéncia ha V V J 10 st1 e Resposta ao impulso Quando v é um impulso unitdrio 6 7 r v ht e ut vA em que 20 V hA e uA Excitacao refletida Av 10 5 0 Usando a primeira forma da integral de convo lugéo da Equacao 13110 construimos os grdafi cos da resposta ao impulso e da fungao excita oe Figura 1341 Deslocamento de vf A para trés cao refletida da Figura 1340 que sAo titeis para ro intervalos de tempo diferentes selecionar os limites da integral de convolucao Para deslocar o sinal de entrada refletido para a hr direita dividimos o intervalo de integragaéo em trés partes0 S55S510010Stoam 10 As mudangas de inclinacgao na fungao de excita gao em 05 e 10s imp6em a divisdo do intervalo r de integracgao A Figura 1341 mostra a forma da 0 fungao de excitacao refletida para cada um des v t A ses intervalos A expressao analitica para v no 50 intervalo0 t5é Ot5 40r5s A va 10 50 5 10 Assim a expressao analitica para a entrada refle vj t A tidanointervalot5Asté 20 5t10 vAtA4t A tS SAS t 10 O55 10 Agora podemos estabelecer as trés expressdes da Ga integral para v Para0 St 5s i 20 t 10t Uo At Aeda Olt 105 510 4Aet1V Circuitos elétricos Para5 t10s t5 t Up 20e da At Ajeda 0 15 45 ete Vv Eparal0tos t5 t Up 20e da At Ajeda t10 15 Aet e 5e 9 Vv b Calculamos v para intervalos de tempo de 1 s usando a equacao adequada Os resultados sao apresentados na Tabela 132 e representados em grafico na Figura 1342 Figura 1342 Resposta de tensao para o Exemplo 133 Tabela 132 Valores numéricos de vt nl 0 1 147 9 1993 18 2 454 10 1997 16 3 820 11 735 b 4 1207 12 270 10 5 1603 13 099 8 6 1854 14 037 7 1956 15 013 2 8 1980 ts 0 2 4 6 8 10 12 14 NOTA avalie sua compreensao a respeito da convolucao tentando resolver os problemas 1352 e 1360 apresentados no final deste capitulo Os conceitos de memoria e a funcao peso No inicio desta segaéo mencionamos que a integral de convolugao envolve os conceitos de memoria e de funcAo peso na anlise de circuitos A interpretagao grafica da integral de convo lucdo é o modo mais facil de comegar a entender esses conceitos Podemos observar a reflexao e o deslocamento do sinal de entrada em uma escala temporal caracterizada como passado presente e futuro O eixo vertical no qual o sinal de entrada Figura 1343 Valores passado presente e futuro do sinal xt é refletido representa o valor presente valores passados de entrada de xt encontramse 4 direita do eixo vertical e valores futu ut A ros a esquerda A Figura 1343 ilustra essa abordagem Como oO e exemplo usamos 0 sinal de entrada do Exemplo 133 Futuro acontecera 9 0 Quando combinamos as visdes do passado presente e a oo Passado aconteceu futuro de xt 7 com a resposta a um impulso do circuito Xr vemos que esta atribui peso a xt de acordo com valores pre t 10 5 0 t sentes e passados Por exemplo a Figura 1341 mostra que a resposta a um impulso no Exemplo 133 atribui peso menor a valores passados de xt do que ao valor presente Em outras palavras o circuito retém cada vez menos informa ção sobre os valores passados da entrada Assim na Figura 1342 vo aproximase rapidamente de zero quando o valor presente da entrada é igual a zero isto é quando t 7 10 s Ou seja como o valor presente da entrada recebe mais peso do que os valores passados a saída aproximase rapidamente do valor presente da entrada A multiplicação de xt l por hl é a razão pela qual chamamos a resposta a um impulso de função peso do circuito Por sua vez a função peso determina a memória do circuito Memória é a proporção em que a resposta do circuito retém os valores passados de sua entrada Por exemplo se a resposta a um impulso ou função peso for uniforme como mostrado na Figura 1344a ela atribui peso igual a todos os valores de xt passados e presentes Tal circuito tem uma memória perfeita Todavia se a resposta a um impulso for uma função impulso como mostra a Figura 1344b ela não atribui nenhum peso aos valores passados de xt Tal circuito não tem memória Assim quanto mais memória um circuito tiver mais distorção haverá entre a forma de onda do sinal de entrada e a forma de onda do sinal de saída Podemos mostrar essa relação admi tindo que o circuito não tenha memória isto é ht Adt e então observando pela integral de convolução que Axt t 0 Adlxt ldl yt t 0 hlxt ldl 13111 A Equação 13111 mostra que se o circuito não tiver nenhuma memória a saída será a entrada multiplicada por um fator de escala O circuito mostrado no Exemplo 133 ilustra a distorção entre entrada e saída para um circuito que tem alguma memória Essa distorção é clara quando traçamos as formas de onda de entrada e saída no mesmo gráfico como na Figura 1345 137 Função de transferência e resposta de regime permanente senoidal Uma vez calculada a função de transferência de um circuito não precisamos mais realizar uma análise fasorial em separado do circuito para determinar sua resposta de regime perma nente Em vez disso usamos a função de transferência para relacionar a resposta de regime permanente com a entrada senoidal Em primeiro lugar admitimos que xt A cosvt f 13112 Figura 1345 Formas de onda de entrada e saída para o Exemplo 133 2 2 4 0 6 8 10 12 14 t s 4 6 8 10 12 14 16 18 20 vo vi V Resposta Excitação Figura 1344 Funções peso a Memória perfeita b Nenhuma memória 0 a 0 t 10 ht b t 10 ht Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 551 Book Nilsson 3indb 551 290116 1355 e então usamos a Equação 1396 para determinar a solução de regime permanente de yt Para determinar a transformada de Laplace de xt primeiro escrevemos xt como xt A cos vt cos f A sen vt sen f 13113 da qual temos As cos f vsen f s2 v2 Xs A cos fs s2 v2 Asen fv s2 v2 13114 Substituindo a Equação 13114 na Equação 1396 obtemos a expressão para a resposta no domínio da frequência Ys Hs As cos f v sen f s2 v2 13115 Agora analisamos a expansão da Equação 13115 por frações parciais O número de ter mos da expansão depende do número de polos de Hs Como Hs não é especificada além do fato de ser a função de transferência de um circuito fisicamente realizável a expansão da Equação 13115 é a dos termos gerados pelos polos de Hs Ys K1 s jv K1 s jv 13116 Na Equação 13116 os dois primeiros termos resultam dos polos conjugados complexos do sinal de entrada isto é s2 v2 s jvs jv Contudo os termos gerados pelos polos de Hs não contribuem para a resposta de regime permanente de yt porque todos esses polos encontramse na metade esquerda do plano s dessa forma os termos correspondentes no domí nio do tempo aproximamse de zero à medida que t aumenta Assim os dois primeiros termos do lado direito da Equação 13116 determinam a resposta de regime permanente O problema é reduzido à determinação do coeficiente K1 da fração parcial HjvA cos f j sen f 2 1 2 HjvAejf HjvAjv cos f v sen f 2jv K1 HsAs cos f v sen f s jv 2 s jv 13117 De modo geral Hjv é uma quantidade complexa o que reconhecemos escrevendoa em forma polar assim Hjv Hjvejuv 13118 Observe pela Equação 13118 que ambos o módulo Hjv e o ângulo de fase uv da função de transferência variam com a frequência v Quando substituímos a Equação 13118 na Equação 13117 a expressão para K1 tornase K1 A 2 Hjvejuvf 13119 Circuitos elétricos 552 Book Nilsson 3indb 552 290116 1355 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Obtemos o regime permanente de yt executando a transformada inversa da Equagao 13116 e no processo ignorando os termos gerados pelos polos de Hs Assim Yt AHja cos wt 0 13120 Resposta de regime expresso que indica como usar a funcao de transferéncia para determinar arespostade regime permanente permanente senoidal de um circuito A amplitude da resposta é igual 4 amplitude da fonte A Senoidal vezes o médulo da fungéo de transferéncia Hjw O Angulo de fase da resposta 6a calculada é igual ao Angulo de fase da fonte mais o angulo de fase da funcio de transferéncia 0w 4 partir da Avaliamos ambos Hjw e 0w na frequéncia da fonte w munca de O Exemplo 134 ilustra como usar a funcao de transferéncia para determinar a resposta ransterencia de regime permanente senoidal de um circuito EXEMPLO 134 Utilizacgao da fungao de transferéncia para determinar a resposta de regime permanente senoidal O circuito do Exemplo 131 é mostrado na Figura 1346 A fonte de tensao senoidal é 120 cos 5000 30 V Determine a expressado do regime permanente para U Solugao Pelo Exemplo 131 1000s 5000 Hs z s 6000s 25 10 A frequéncia da fonte de tensao é 5000 rads entao avaliamos Hs em Hj5 000 10005000 75000 H j5000 J5000 25 10 750006000 25 10 1jl1 11 2 Figura 1346 Circuito para o Exemplo 134 j6 6 6 1000 0 Entao pela Equagao 13120 Ug 1 pF Uo 120 V2 Vo ON cos 5000 30 45 20V2 cos 5000r 15 V Saber usar a funcao de transferéncia para calcular a resposta de regime permanente senoi dal de um circuito é importante Observe que se conhecermos Hjw conheceremos também Hs pelo menos teoricamente Em outras palavras podemos inverter 0 processo em vez de usarmos Hs para determinar Hjw usamos Hjw para determinar Hs Conhecida Hs podemos determinar a resposta para outras formas de onda das fontes de alimentagao Nessa perspectiva determinamos experimentalmente Hjw e entéo pelo resultado construfmos Hs Na pratica essa abordagem experimental nem sempre é possivel contudo em alguns Circuitos elétricos casos proporciona realmente um método ttil para determinar Hs Em teoria a relagaéo entre Hs e Hjw estabelece uma ligacéo entre o dominio do tempo e o dominio da frequéncia A fungaéo de transferéncia também é uma ferramenta muito ttil em problemas referentes a resposta em frequéncia dos circuitos um conceito que apresentaremos no proximo capitulo PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber como usar a fungao de transferéncia de um circuito para calcular sua resposta ao impulso sua resposta ao degrau unitario e sua resposta de regime permanente senoidal 1312 A fonte de corrente no circuito mostrado esta for 00 necendo 10 cos 4tA Use a fungao de transferéncia para calcular a expresséo do regime permanente g ae O1F o para U Resposta 447 cos4t 6343 V 1313 a Para o circuito mostrado determine a expressao 10k 10kO do regime permanente para v quando v 10 cos 50000 V 400 pF b Substitua o resistor de 50 kO por um resistor va P riavel e calcule o valor da resisténcia necessaria 15V f v esteja 120 adiantad 7 para eee com que U esteja adilantado em 50 kO Uo relagdo a Ue Resposta a 10 cos 50000t 90 V b 2886751 0 NOTA tente resolver também os problemas 1376 e 1378 apresentados no final deste capitulo 138 Fungao impulso em analise de circuitos Funcoes impulso ocorrem em andlise de circuitos ou por causa de uma operacaéo de cha veamento ou porque um circuito é alimentado por uma fonte impulsiva A transformada de Laplace pode ser usada para calcular as correntes e tenses impulsivas criadas durante o cha veamento e a resposta de um circuito a uma fonte impulsiva Comecamos nossa discussao mostrando como criar uma fung4o impulso com uma operacao de chaveamento Operacoes de chaveamento Usamos dois circuitos diferentes para ilustrar como uma fungao impulso pode ser criada com uma operacgaéo de chaveamento um circuito capacitivo e um circuito indutivo Circuito capacitivo No circuito mostrado na Figura 1347 0 capacitor C esta carregado com uma tensAo ini cial de V no instante em que a chave é fechada A carga inicial em C é igual a zero O pro blema é determinar a expressao para it quando R 0A Figura 1348 mostra 0 circuito equi valente no dominio da frequéncia Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Pela Figura 1348 Figura 1347 Circuito que mostra a criagao de uma Vs corrente impulsiva R sG UsG R YR r0 i s RC 13121 Vo T C C em que a capacitancia equivalente CCC C é substitu ida por C Tomando por inspecao a transformada inversa da Figura 1348 Circuito equivalente no dominio da Equacio 13121 obtemos frequéncia para o circuito da Figura 1347 R j Seen ut 13122 1 x or sCy 1 que indica que 4 medida que R decresce a corrente inicial Vo sO VR cresce e a constante de tempo RC decresce Assim a 5 C medida que R fica menor a corrente comega de um valor ini cial maior e entao cai mais rapidamente A Figura 1349 mos tra essas caracteristicas de i Figura 1349 Grafico de t para dois valores diferentes Aparentemente i esta aproximandose de uma funcéo de F impulso 4 medida que R tende a zero porque o valor inicial i de i esta aproximandose de infinito e sua duragao esta apro ximandose de zero Ainda temos de determinar se a area sob Vo a funcgdo corrente é independente de R Em termos fisicos a R 4rea total sob a curva de i representa a carga total transfe RER rida para C depois que a chave fechou Assim Vo ae oo Ry Area q M0 RCgy YC 13123 0 R Ove Ry que mostra que a carga total transferida para C indepen 0 dente de R e igual a VC coulombs Desse modo a medida que R se aproxima de zero a corrente aproximase de um impulso de intensidade VC isto i YCdt 13124 A interpretagao fisica da Equagao 13124 é quando R 0 uma quantidade finita de carga é transferida a C instantaneamente Igualar R a zero no circuito apresentado na Figura 1347 mostra como obtemos uma transferéncia instantanea de carga Com R 0 criamos uma con tradigao quando fechamos a chave isto é aplicamos uma tensdo a um capacitor cuja tensdo inicial é igual a zero O unico modo de ocorrer uma mudanga instantanea na tensao de um capacitor é ter uma transferéncia instantanea de carga Quando a chave é fechada a tensao em C nao salta para V mas para seu valor final de CiYo v2 CG 13125 Deixamos para vocé a deducéo da Equacao 13125 veja o Problema 1381 apresentado no final deste capitulo Circuitos elétricos Se fizermos R 0 logo de saida a andlise por meio da transformada de Laplace fornecera uma resposta impulsiva de corrente Assim Vos CiCVi 1sCy sCx Cr CG Ao escrevermos a Equacao 13126 usamos as tensdes dos capacitores em t 0 A trans formada inversa de uma constante é a constante vezes a funcéo impulso dessa forma pela Equagao 13126 iCVdt 13127 A capacidade de a transformada de Laplace prever corretamente a ocorréncia de uma res posta impulsiva é uma das raz6es pelas quais ela é amplamente usada para analisar 0 compot tamento transitério de circuitos lineares com parametros concentrados invariantes no tempo Circuito indutivo em série Figura 1350 Circuito que mostra a criagao de uma tensao O circuito mostrado na Figura 1350 ilustra uma impulsiva segunda operagéo de chaveamento que produz uma 100 3H resposta impulsiva O problema é determinar a expres Ly 15a sao no dominio do tempo para U apds a abertura da t0 iy chave Observe que abrir a chave significa impor uma Vo A 100V oH L mudanga instantanea na corrente de L 0 que faz com que v contenha um componente impulsivo A Figura 1351 mostra o equivalente no dominio da frequéncia com a chave aberta Ao chegarmos a esse Figura 1351 Circuito equivalente no dominio da frequéncia para circuito consideramos que a corrente no indutor de 0 circuito da Figura 1350 a 3 Hemt0seja 10 A e que a corrente no indutor de 00 3 30 2 Hem t0 seja igual a zero Usar as condigGes ini Ss C ciais em t 0 uma consequéncia direta de termos I 150 usado 0 como o limite inferior na integral definidora Yo da transformada de Laplace 2s Deduzimos a expressao para V a partir de uma unica equacao de tensdes de nd Somando as correntes que saem do no entre o resistor de 15 0 e a fonte de 30 V obtemos V 100s 30 Vo Yo G00s 30 13128 2s 15 3s 10 Explicitando V temos 40s 75 12s 75 Y 405 75 126 75 13129 ss 5 s5 Vemos que U conterd um termo impulsivo pois 0 segundo termo do lado direito da Equacao 13129 uma fungao racional impropria Podemos expressar essa importante fracao como uma constante mais uma fung4o racional pela simples divisito do denominador pelo numerador isto é 12s 75 30 12 13130 s5 s5 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Combinando a Equacao 13130 com a expansao por frag6es parciais do primeiro termo do lado direito da Equagao 13129 temos V 60 20 p4 30 og os 5 s5 60 10 12 13131 s s5 da qual U 126t 60 10eut V 13132 Essa solugéo faz sentido Antes de respondermos a essa pergunta em primeiro lugar vamos deduzir a expressdo para a corrente quando t0 Ap6os a abertura da chave a corrente em L a mesma que em L Se tomarmos como referéncia a corrente em sentido horario ao longo da malha a expresso no dominio da frequéncia sera 100s 30 20 6 SOS 5s 25 ss 5 s 5 404 6 Ss gst5 st5 4 2 13133 Ss gst5 A transformada inversa da Equagao 13133 é i 44 2eut A 13134 Antes da abertura da chave a corrente em L 10 Ae a corrente em L 0 A pela Equa cdo 13134 sabemos que em 0 a corrente em Leem L 6A Entao a corrente em L passa instantaneamente de 10 para 6 A enquanto a corrente em L passa instantaneamente de 0 para 6 A Partindo desse valor de 6 A a corrente decresce exponencialmente até um valor final de 4 A Esse valor final é verificado facilmente pelo circuito isto é ele deve ser igual a 10025 ou 4 A A Figura 1352 mostra essas caracteristicas de i e i Como podemos verificar se essas variagOes instantaneas na corrente do indutor fazem sentido em termos do compot Figura 1352 Correntes do indutor em funcdo de t para o tamento fisico do circuito Em primeiro lugar observamos Circuito da Figura 1350 que a operacdo de chaveamento coloca os dois indutores em iy iy A série Qualquer tensdo impulsiva que aparega no indutor de 3 H deve ser compensada exatamente por uma tensdo impul siva no indutor de 2 H porque a soma de tens6es impulsivas 10 ao longo de um caminho fechado deve ser igual a zero A lei 8 de Faraday estabelece que a tens4o induzida seja proporcional 6 a variacao do fluxo concatenado vu dAdt Portanto a varia 4 YrAhatl cao no fluxo concatenado deve ser nula Em outras palavras o 2 fluxo concatenado total imediatamente apdés o chaveamento t é o mesmo que antes dele Para o circuito que analisamos aqui o fluxo concatenado antes do chaveamento é ALi Li 310 20 30 Wbespiras 13135 Circuitos elétricos Imediatamente apos 0 chaveamento é AL Li0 5i0 13136 Combinando as equagoes 13135 e 13136 obtemos i0 305 6A 13137 Assim a solucao para i Equacao 13134 esta de acordo com o principio da conservagaéo do fluxo concatenado Agora testamos a validade da Equagao 13132 Em primeiro lugar verificamos o termo impulsivo 126t A variagdo instantanea de i de 0 para 6 A em f 0 da origem a um impulso de intensidade 66f na derivada de i Esse impulso da origem ao impulso 126 na tens4o do indutor de 2 H Para t 0 didt 10e As assim a tensdo v 5 10e5 v 154 2e 210e 60 10eut V 13138 A Equacao 13138 esta de acordo com os dois tltimos termos do lado direito da Equacgéo 13132 desse modo confirmamos que a Equagao 13132 faz sentido em termos do comporta mento conhecido do circuito Também podemos verificar a queda instantanea de 10 para 6 A na corrente i Essa queda da origem a um impulso de 46f na derivada de i Dessa forma a tensdo em L contém um impulso de 126t na origem Esse impulso compensa exatamente o impulso em L isto é a soma das tens6es impulsivas ao longo do caminho fechado é igual a zero Fontes impulsivas Fungodes impulso podem ocorrer em fontes bem como em respostas tais fontes sao deno minadas fontes impulsivas Uma fonte impulsiva que alimenta um circuito fornece uma quan tidade finita de energia ao sistema instantaneamente Uma analogia mecAnica seria fazer soar um sino com uma batida impulsiva do badalo Apos a energia ter sido transferida ao sino a resposta natural do sino determina 0 tom emitido isto é a frequéncia das ondas sonoras resul tantes e a duracao dele No circuito mostrado na Figura 1353 uma fonte de tensd4o impul Figura 1353 Circuito RL excitado por uma siva de intensidade V voltssegundos aplicada a um resistor e a um fonte de tensao impulsiva indutor ligados em série Quando a fonte de tensao é aplicada a energia R inicial no indutor é nula portanto a corrente inicial igual a zero Como nao ha nenhuma queda de tensao em R a fonte de tensdo impulsiva apa V8t L rece diretamente nos terminais de L Uma tensao impulsiva nos termi 0 A 4 nais de um indutor estabelece uma corrente instantanea A corrente é 1 t i V0 dx dx 13139 L Jo Dado que a integral de 6 em qualquer intervalo que inclua zero é 1 constatamos que a Equagao 13139 implica V i0t A 13140 L Assim em um intervalo infinitesimal a fonte impulsiva de tens4o ficou armazenada no indutor Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 1 Vo 1V5 w L J 13141 2 L 2L A corrente VL cai a zero de acordo com a resposta natural do circuito isto é Vi i eu1 13142 L em que tT LR Lembrese de que no Capitulo 7 vimos que a resposta natural s6 pode ser atribuida a elementos passivos que fornecem ou armazenam energia e nado aos efeitos de fon tes Quando um circuito é alimentado por apenas uma fonte impulsiva a resposta total é com pletamente definida pela resposta natural a duracgdo da fonte impulsiva é tao infinitesimal que nao contribui para nenhuma resposta forgada Também podemos obter a Equacao 13142 pela aplicacgao direta do método da transfor mada de Laplace A Figura 1354 mostra 0 equivalente no dominio da frequéncia do circuito da Figura 1353 Assim Vi VL 13143 Rsbh s RL Figura 1354 Circuito equivalente no dominio da frequéncia V V para 0 Circuito da Figura 1353 FO RLt 947 ie e ut 13144 Dessa forma 0 método da transformada de Laplace da a solucado correta para i 0 Yo sh Por fim consideramos 0 caso em que impulsos gera dos internamente e impulsos aplicados externamente ocor rem de modo simultaneo A abordagem da transformada de Laplace garante automaticamente a solugdo correta para t 0 se as correntes no indutor e as tensdes no capacitor Figura 1355 Circuito da Figura 1350 com uma fonte de em 0 forem usadas para construir 0 circuito equiva tensdo impulsiva adicionada em série com a lente no dominio da frequéncia e se os impulsos aplicados fonte de 100 V externamente forem representados por suas transformadas 100 3H Para ilustrar adicionamos uma fonte de tenso impulsiva de wo i 506t em série com a fonte de 100 V ao circuito da Figura 508t 0 150 1350 A Figura 1355 mostra 0 novo arranjo Uo Em t0i010A ei0 0AA transformada 100 V 2H de Laplace de 506t é 50 Se usarmos esses valores 0 cit cuito equivalente no dominio da frequéncia sera 0 mostrado na Figura 1356 A lé Figura 1356 Circuito equivalente no dominio da frequéncia expressao para para 0 Circuito da Figura 1355 50 100s 30 30 L 100 3s 25 5s C I 16 20 50 150 s5 ss 5 V 16 4 4 100 2s 4 s st5S os gst5 4 13145 s5 ss Circuitos elétricos da qual temos it 12e 4ut A 13146 A expressao para V 32s 75 40s 75 V 15 2sI 32s 75 40s 75 s5 ss 5 25 60 20 32 1 s5 s s5 60 60 32 s45 5 13147 assim U 328t 60e 60uZ V 13148 Agora testamos os resultados para ver se fazem sentido Pela Equacgao 13146 vemos que acorrente em L e L 616 Aemt0 Como no caso anterior a operagao de chaveamento faz com que i decresga instantaneamente de 10 para 6 A e ao mesmo tempo faz com que i aumente de 0 para 6 A Sobreposto a isso a fonte de tensdo impulsiva faz passar 10 A por L L isto 1 t 506xdx 10A 13149 i 55 soo ax 13149 Figura 1357 Correntes no indutor em fungao do tempo Portanto i aumenta repentinamente de 10 para 16 para 0 circutto da Figura 1355 A enquanto i aumenta repentinamente de 0 para 16 A iy iy A O valor final de i é 4 A A Figura 1357 mostra ii e iem 16 um grafico 5 Também podemos determinar as variagdes abruptas 4 10 em i e i sem usar oO principio da superposigao A soma 8 das tens6es impulsivas em L 3 H e em L 2 H é igual a 6 yh1 506 Assim a mudanga no fluxo concatenado deve somar 4b 50 isto é i 2 2 5 t AX AA 50 13150 Como A Li expressamos a Equagao 13150 como 3Ai 2Ai 50 13151 No entanto como i e i devem ser iguais ap6s a ocorréncia do chaveamento i0 Ai 10 Ai 13152 Entao 10 Ai 0 Ai 13153 Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Calculando Ai e Ai pelas equagées 13151 e 13153 obtemos Ai 6A 13154 Ai 16A 13155 Essas express6es esto de acordo com a verificacgAo anterior A Figura 1357 também indica que as derivadas de i e i conteraéo um impulso em t 0 Especificamente a derivada de i teré um impulso de 66t e a derivada de i tera um impulso de 166t As figuras 1358a e b ilustram as derivadas de i e i respectivamente Agora voltemos 4 Equagao 13148 O componente impulsivo 326t esta de acordo com o impulso de 168t de Figura 1358 Derivadas de i didt na origem O termo 60e 60 esta de acordo com o fato de que para t 0 diy di dt 6 dt 16 vo 151 2 0 a 0 Testamos 0 componente impulsivo de didt obser vando que ele produz uma tensfo impulsiva de 366t ou 60 60 186 em L Essa tensao aliada a tensado de 326t em L soma 506t Assim a soma algébrica das tensdes impulsivas ao longo da malha é igual a zero Resumindo a transformada de Laplace permite prever corretamente a criacdo de correntes e tensdes impulsivas que surgem do chaveamento Todavia os circuitos equivalentes no domi nio da frequéncia devem levar em conta as condig6es iniciais em t 0 isto 6 as condig6es ini ciais que existem antes da perturbagao causada pelo chaveamento A transformada de Laplace prevera corretamente a resposta a fontes de alimentagao impulsivas pela simples representacao dessas fontes no dominio da frequéncia por suas transformadas corretas NOTA avalie sua compreensao a respeito da funcao impulso em andlise de circuitos tentando resolver os problemas 1388 e 1390 apresentados no final deste capitulo Perspectiva pratica Supressores de surto Como mencionamos no inicio deste capitulo surtos de tensao podem ocorrer em um circuito que esta funcionando em regime permanente senoidal Nossa finalidade aqui 6 mostrar como a transformada de Laplace é usada para determinar o sur gimento de um surto na tensao entre fase e neutro de um circuito residencial em regime permanente senoidal quando uma carga é desligada Tomemos 0 circuito mostrado na Figura 1359 que modela um cir Figura 1359 Circuito usado para ilustrar 0 aparecimento cuito residencial com trés cargas uma das quais é desligada no tempo f de uma tensao de surto de chaveamento 0 Para simplificar a analise admitimos que a tensao faseneutro V t0 seja 120 0 V ef uma tensao padrao para residéncias nos Esta 7 ome dos Unicios e que quando a carga é desligada ui o 0 valor de w OC feva iX L R V nao se altere Apds a chave abrir podemos construir 0 circuito no do 8 minio da frequéncia como mostra a Figura 1360 Observe que como 0 angulo de fase da tensao da carga indutiva é 0 a corrente inicial que Circuitos elétricos passa pela carga indutiva 6 0 Assim somente a indutancia da linha tem uma condigao inicial nao nula o que 6 modelado no circuito como uma fonte de tensao com o valor L como vemos na Figura 1360 Imediatamente antes de a chave abrir em t 0 cada uma das cargas tem uma tensao de regime permanente senoidal com um valor de pico de 120 2 1697 V Toda a corrente que flui pela linha fornecida pela fonte de tensao Vou é dividida entre as trés cargas Quando a chave for aberta em t 0 toda a corrente da linha fluira pela carga resistiva remanescente Isso porque a corrente na carga indutiva 6 0 em t0 e acorrente em um indutor nao pode variar instantaneamente Dessa forma as Cargas remanescentes podem experimentar um surto na medida em que a corrente de linha é forcada a passar pela carga resistiva Por exemplo se a corrente inicial na linha for 25 A ef e a Figura 1360 Circuito no dominio da frequéncia impedancia da carga resistiva for 12 a queda de tensao no resistor Lilo sofrera uma variacao surto de 1697 V para 25212 4243 V sLe quando a chave for aberta Se a carga resistiva nao puder suportar esse valor de tensao precisara ser protegida por um supressor de sur V R sL 0 como aquele mostrado no inicio do capitulo NOTA avalie sua compreensao dessa Perspectiva pratica tentando resolver os pro blemas 1392 e 1393 apresentados no final deste capitulo Resumo e Podemos representar cada um dos elementos em problemas que envolvem equacées diferen de um circuito no dominio da frequéncia apli ciais simultaneas de correntes de malha ou ten cando para cada um a transformada de Laplace sdes de no porque as reduz a equacoes algébri a sua equacao terminal tens4ocorrente cas em vez de diferenciais Secdo 133 e Resistor V RI e A fungao de transferéncia é a raz4o entre o sinal e Indutor VsLI LI de saida e o sinal de entrada de um circuito no e Capacitor V 1sCI Vs dominio da frequéncia E representada como Nessas equacées V L v J Li I Ea Hs Ys corrente inicial no indutor e V é a tensdo inicial Xs no capacitor Segao 131 em que Ys é a transformada de Laplace e Podemos realizar a andlise de circuitos no do sinal de saida e Xs a transformada de dominio da frequéncia substituindo cada ele Laplace do sinal de entrada Seco 134 mento de circuito por seu modelo equivalente no dominio da frequéncia O circuito equiva A expansao por fragdes parciais do produto lente resultante é resolvido escrevendose as HsXs resulta em um termo para cada polo equacgoes algébricas usando técnicas de andlise de Hs de Xs Os termos de Hs corres de circuitos resistivos A Tabela 131 resume os pondem ao componente transitorio da resposta modelos no dominio da frequéncia para resis total os termos de Xs correspondem ao com tores indutores e capacitores Segao 131 ponente de regime permanente Segao 135 e A anialise de circuitos no dominio da frequén Se um circuito for alimentado por um impulso cia particularmente vantajosa para resolver unitario x1 6 entao a resposta do circuito problemas de resposta transit6ria em circuitos sera igual a transformada inversa de Laplace da lineares de parametros concentrados quando as fungaodetransferénciay HsA0 condic6es iniciais s4o conhecidas Também util Segao 135 Um circuito invariante no tempo é um circuito no qual se a entrada for retardada em a segun dos a resposta também será retardada em a segundos Seção 135 A saída yt de um circuito pode ser calculada pela convolução da entrada xt com a resposta do circuito ao impulso unitário ht xt ht t 0 xlht l dl yt ht xt t 0 hlxt l dl Muitas vezes uma interpretação gráfica da inte gral de convolução proporciona um método mais fácil de calcular yt Seção 136 Podese usar a função de transferência de um circuito para calcular sua resposta de regime permanente senoidal Para isso substitua s por jv em Hs e represente o número complexo resultante como um módulo e um ângulo de fase Se xt A cosvt f Hjv Hjvejuv então yrpt AHjv cosvt f uv Seção 137 A análise por meio da transformada de Laplace prevê precisamente correntes e tensões impul sivas de chaveamento e de fontes impulsivas É preciso assegurarse de que os circuitos equiva lentes no domínio da frequência sejam basea dos em condições iniciais em t 0 isto é antes do chaveamento Seção 138 Problemas Seção 131 131 Determine o circuito equivalente no domínio da frequência mostrado na Figura 134 expres sando a corrente i no indutor em função da ten são terminal v e então determinando a trans formada de Laplace dessa equação integral 132 Determine o equivalente de Thévenin do cir cuito da Figura 137 133 Determine o equivalente de Norton do cir cuito da Figura 133 Seção 132 134 Um resistor de 400 V um indutor de 125 mH e um capacitor de 05 mF estão em série a Expresse a impedância dessa combina ção em série no domínio da frequência como uma função racional b Determine os valores numéricos dos polos e zeros da impedância 135 Um resistor de 8 kV um indutor de 25 mH e um capacitor a 625 pF estão em paralelo a Expresse a impedância dessa combina ção em paralelo no domínio da frequên cia como uma função racional b Determine os valores numéricos dos polos e zeros da impedância 136 Um resistor de 200 V está em série com um capacitor de 625 mF Essa combinação em série está em paralelo com um indutor de 400 mH a Expresse a impedância equivalente desses ramos paralelos no domínio da frequên cia como uma função racional b Determine os valores numéricos dos polos e zeros 137 Determine os polos e zeros da impedância vista a partir dos terminais ab do circuito da Figura P137 Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 563 Book Nilsson 3indb 563 290116 1355 Circuitos elétricos Figura P137 138 Determine os polos e zeros da impedancia 1F vista a partir dos terminais ab do circuito da a Figura P138 z 10 1H 10 Figura P138 ab b a 1H 1F 10 1H 10 b Secao 133 139 Determine V e v no circuito da Figura P139 Figura P1312 Pspice se a energia inicial for nula e a chave for t0 Multis fechada em tO Figura P139 800 1440Q 5SmH 90 V 125 pF 1310 Repita o Problema 139 se a tensAo inicial no 1313 A chave no circuito da Figura P1313 esteve Pspice capacitor for 150 V positiva no terminal na posiao a por um longo tempo Em 0 Multisim superior ela passa instantaneamente de a para b 1311 A chave no circuito da Figura P1311 esteve a Construa 0 circuito no dominio da Pspice na posigao x por um longo tempo Em 0 frequncia para t 0 Multisim x ela passa instantaneamente para a posicao y b Determine Vs a Construa um circuito no dominio da fre c Determine v para t 0 quéncia para t 0 Figura P1313 b Determine b 250 c Determine i t0 Figura P1311 800 a 100 0 2500 x y 1000 4 10 iy 100v 2400 v S80 pF orsv 5V 500 mH 3125 uF 16 mH 1314 A chave no circuito da Figura P1314 esteve 1312 A chave no circuito da Figura P1312 esteve Pspice na posicéo a por um longo tempo Em r 0 Pspice fechada por um longo tempoEmr0elaé tsM Ja nassa instantaneamente de a para b Multisim aberta a Construa 0 circuito no dominio da a Determine i para t 0 frequéncia para t 0 b Determine v para t 0 b Determine V Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos c Determine J 1317 a Determine a expressdo de V no dominio d Determine v para t 0 jPspice da frequéncia para o circuito da Figura ultisim P1317 e Determine i parat 0 5 P1344 b Use a expresso no dominio da frequén igura P13 cia determinada em a para prever os 625 nF valores inicial e final de v c Determine a expressio no dominio do 4009 a4 LkO tempo para U 2 1b t0 Figura P1317 360 v 4kO it 16 mH 350 e 1315 A chave no circuito da Figura P1315 esteve Ct 60u1 mA ImF 250mH Pspice fechada por um longo tempo antes de abrir Multisim emf0 a Construa 0 circuito no dominio da 1318 Determine a express4o no dominio do tempo frequencia para 0 Pspice paraacorrente no capacitor da Figura P1317 b Determine J Multisim A dmita que o sentido de referéncia para i c Determine i para t 0 seja de cima para baixo Figura P1315 1319 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Pspice cuito da Figura P1319emr0 240 0 Multisim a Use 0 método das tensdes de n6é para determinar i sO 800 640 b Determine a expresséo no dominio do tempo para U 320 ig PoP c Suas respostas em a e b fazem sentido 25 WF 40V em termos do comportamento conhecido 0 200mH do circuito Explique Figura P1319 200 0 200 0 1316 Achave do tipo ligaantesinterrompedepois Pspice da Figura P1316 esteve na posigao a por um 200u0 V Io 10 pE Multis 1ongo tempo Em t 0 ela passa instantane 2400 mH amente de a para b Determine U para t 0 Figura P1316 ty 1320 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir 4kO 7 Pspice cuito da Figura P1320 no instante em que a a 0 Multisim fonte de tensao é ligada e v 325ut V a Determine Ve J 5 mA Ct 1002 1H 2kO Yo aN LaE b Determine v i 5000 c Assolugoes para v ei fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique Circuitos elétricos Figura P1320 1323 Determine v no circuito da Figura P1323 se 800 nF Pspice i 20ut mA Nao ha nenhuma energia Multisim armazenada no circuito em t 0 Uy Figura P1323 250 0 250 0 500 Ug 500 0 io 625 mH Ct ig Up 151030 31H ve 100 pF 1321 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Pspice cuito da Figura P1321 no instante em que as 1324 A chave no circuito da Figura P1324 esteve MultisimS ntes sic conectadas spice fechada por um longo tempo antes de abrir ultisim t0 Det t 0 a Determine s e Ls om Chermane Uo para oa Figura P1324 b Use os teoremas do valor inicial e final g para verificar os valores inicial e final de hig it e it t 0 50 mA 100 2 3 200 nF AN Yo 03ig c Determine it e i para t 0 Figura P1321 100Q x 1 1325 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Pspice cuito da Figura P1325 no instante em que a 500 mH 400 pF Multisim chave é fechada a Determine v para t 0 30u at 00 fC 375u V b Sua solugéo faz sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique 1322 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Figura P1325 Pspice i i 0 Ween cuito da Figura P1322emt0 00 0 vy 4mF a Determine V mane 4 1H b b Determine v 35V 040 1 Vp Bix c A solugao para v faz sentido em termos do comportamento conhecido do cir cuito Explique Figura P1322 1326 A energia inicial no circuito da Figura P1326 Pspice nula A fonte de tensdo ideal é 600uf V 1500 Multisim a Determine Vs 160 uF 400 mH b Use os teoremas dos valores inicial e final para determinar v0 e vc0 c Os valores obtidos em b estao de 250ut V 500 vw 25ut A acordo com 0 comportamento conhecido do circuito Explique d Determine v Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Figura P1326 1329 Achave no circuito da Figura P1329 esteve na vy Pspice posigao a por um longo tempo antes de passar 4 Multisim jnstantaneamente para a posicao bem t0 a Construa 0 circuito equivalente no domi eae nio da frequéncia para t 0 100 20 H b Determine V e v c Determine V e v Ug vg 100 mF 1400 Figura P1329 50 kO a b 1327 Nao ha nenhuma energia armazenada no 9 Pspice circuito da Figura P1327 no instante em yt 125 mH Multisim que a fonte de corrente é ligada Dado que i 100ut A 450 V 10 MF a Determine s v 2250 ao 16 uF 24 wF b Use os teoremas dos valores inicial e final e 2 uw para determinar i0 e ico c Os valores obtidos em b estéo de 1330 Nao ha nenhuma energia armazenada nos acordo com 0 comportamento conhecido Pspice capacitores no circuito da Figura P1330 no do circuito Explique Multisim instante em que a chave é fechada d Determine i 1 a Construa o circuito no dominio da o Figura P1327 frequéncia para t0 20 ig b Determine J V e V3 c Determine i v U d Suas respostas para i V e Uv fazem 25H 50 sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique iat 20mF ig 50 Figura P1330 50 kO oo ty t0 1328 A chave no circuito da Figura P1328 esteve Y1 300 nF Pspice na posigao a por um longo tempoEmt0 20V Multisim x ela passa instantaneamente para a posicao b 500 nF vy 100 nF a Determine V b Determi Determine v 1331 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir Figura P1328 Pspice cuito na Figura P1331 no instante em que a 25iy i Multisim fonte de corrente é aplicada b 4 30 7 a Determine J e I b Determine i e i t0 3 c Determine V Ve V 503 01 F 20 O d Determine v U U e Admita que um capacitor se danificara sempre que sua tensao terminal for 1000 V Circuitos elétricos Quanto tempo apos a fonte de corrente para t 200 ps Mostre também que em 200 ter sido aplicada um dos capacitores se ps acorrente é nula e que isso corresponde a danificara quando dvdt igual a zero Figura P1331 1334 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir 100 mF i iPsbies cuito da Figura P1334 no instante em que a msi fonte de tensao é energizada Uy a a Determine VJ ef 100 100 mF vot b Determine vi e i para t 0 Ter tH Figura P1334 ut A Ue X 100 mF 100 1332 A chave no circuito da Figura P1332 esteve as 1 5000 AH 715t aberta por um longo tempoA tensiodafonte 2 A ip Yo senoidal v V sen wt A chave fechada em t0 Observe que 0 Angulo deter mina o valor da tenséo no momento em que a oo P we 1335 As duas chaves no circuito da Figura P1335 chave é fechada isto é v0 V sen a 8 Pspice funcionam simultaneamente Nao ha nenhuma a Use o método da transformada de Muttisim energia armazenada no circuito no instante Laplace para determinar i para t 0 em que elas se fecham Determine it para b Usando a expressao determinada em t 0 a partir do equivalente de Thévenin a escreva a expressdo para a corrente no dominio da frequéncia do circuito a depois de a chave estar fechada por um esquerda dos terminais ab longo tempo Figura P1335 c Usandoa expressao determinada em a LkO 1k ag escreva a expressAo para 0 componente transit6rio de i t0 d Determine a expressao de regime perma 40V 10H i 2 uF nente para i usando o método fasorial Verifique se sua expressdo é equivalente b a obtida em b e Especifique o valor de de modo que 1336 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir wo Pspice cuito da Figura P1336 no instante em que a 0 circuito passe imediatamente a operar Multisim chave é fechada em regime permanente quando a chave for fechada a Determine J Figura P1332 b Use os teoremas dos valores inicial e final L para determinar i0 e i00 c Determine i V R Figura P1336 1000 125 mH 40 0 so i t 1333 Comecando coma Equagéo 1365mostre que 150 V C 1875 mH 50 mH 21600 a corrente no capacitor do circuito da Figura 1319 positiva para 0t 200 ps e negativa Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 1337 a Determine acorrente no resistor de 160 Figura P1340 Pspice no circuito da Figura P1336 O sentido de t0 Multisim Anat 4 referéncia para a corrente é de cima para baixo passando pelo resistor b Repita a parte a se o ponto no enrola 10 mF 4Q 08H mento de 250 mH for invertido ej je 1338 Os enrolamentos magneticamente acoplados 48 V 08 H 16H v 200 Pspice no circuito da Figura P1338 conduzem corren Multisim tes iniciais de 300 e 200 A como mostrado a Determine a energia inicial armazenada 1341 No circuito da Figura P1341 a chave 1 é no circuito Pspice fechadaem tO eachave do tipo ligaantes b Determine J J Multisim interrompedepois passa instantaneamente oe da posigao a para a posicao b c Determine i e i posi P posig wo a Construa 0 circuito equivalente no domi d Determine a energia total dissipada nos oda f a 4 10 nio da frequéncia para resistores de 240 e 540 2 q P b Determine J e Repita ad com o ponto no indutor de 720 mH no terminal inferior c Use os teoremas dos valores inicial e final Figura P1338 para verificar os valores inicial e final de i 240 mH d Determine i para t 0 e Ne Figura P1341 320 mH 720 mH 100 240 0 540 0 a i j 2 i seoa 200 2 1200 3H a B t0 15H 360 0 C 20 V 1339 A chave do tipo ligaantesinterrompedepois Pspice no circuito da Figura P1339 esteve na posiao Multisim a por um longo tempo Em 0 ela passa instantaneamente para a posicao b Deter 1342 Verifique se a solucdo das equag6es 1391 e mine i para t 0 ene 1392 para V resulta na mesma expressdo que msi a da Equacao 1390 Figura P1339 1343 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir lo 72 a Pspice cuito apresentado na Figura P1343 no ins Lo 0 Multisim tante em que as duas fontes s4o conectadas 3H b Lo ox 90 V 1 H a ws Oo principio da superposicéo para eterminar V b Determine v para t0 Figura P1343 1340 A chave no circuito da Figura P1340 esteve 400 400 mH Pspice fechada por um longo tempo antes de abrir Multisim 4 em t0 Use 0 método da transformada de 400ut V 0 53125 pF 1 6ut A 800 Laplace para determinar U Circuitos elétricos 1344 Oamp op nocircuito da Figura P1344 é ideal zenada nos capacitores no instante em que 0 Pspice Nao ha nenhuma energia armazenada no cir circuito é energizado Multis Cuito no instante em que ele é energizado Se a Determine v se Va 40ut Ve Vv 5000tut V determine a Vb v Cc V l6ut V quanto tempo leva para saturar o amplificador b Quantos milissegundos o amplificador operacional e d qual deve ser a taxa de x operacional leva para ficar saturado aumento em U para evitar a saturacdo 8 depois que as duas fontes sao ligadas Figura P1344 Figura P1346 625 nF 10 mF C 2kO 50 3125 wF 20 0 800 0 R Ci 1 Vet 50 10V 8 Uo 5V v U2 20 mF S100 1345 Determine vf no circuito da Figura P1345 Pspice se 0 amp op ideal operar na sua regiao linear i Multisim 1347 Oamp op nocircuito mostrado na Figura P1347 ev 16ut mV 8 Pspice ideal Nao ha nenhuma energia armazenada Figura P1345 Multisim os capacitores no instante em que 0 circuito é 20 nF energizado Determine a Vb v e c quanto tempo o amp op leva para ficar saturado 10 ka Figura P1347 250 nF 250 nF 2k 20 nF 100 kO Ug volt v 200kQ 200kQ 4V 1346 O amp op no circuito mostrado na Figura AV Pspice 1346 é ideal Nao ha nenhuma energia arma 05u Vv 500 nF Vo Multisim qT v v Secoes 134135 1348 a Determine a fungao de transferéncia Hs c Criar dois circuitos diferentes que tenham Pspice VV para o circuito mostrado na Figura a fungao de transferéncia Hs VV Multisim P1348a 1000s 1000 Use componentes sele b Determine a fungao de transferéncia cionados no Apéndice H e as figuras Hs VV para 0 circuito mostrado na P1348a b Figura P1348b Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos Figura P1348 Figura P1350 R OL L Cc Yj Yo vj R Y Vv R Vo a b 1349 a Determine a fungfo de transferéncia Hs 1351 a Determine a expressao numérica para a VV para o circuito mostrado na Figura fungao de transferéncia Hs VV para P1349a 0 circuito na Figura P1351 b Determine a fungao de transferéncia b Determine o valor numérico de cada Hs VV para 0 circuito mostrado na polo e zero de Hs Figura P1349b Figura P1351 c Criar dois circuitos diferentes que 400 0 tenham a func4o de transferéncia Hs VV sls 10000 Use componentes 200 nF selecionados no Apéndice H e as figuras 100 0 P1349a e b Figura P1349 23 kO to R 1352 Determine a expressao numérica para a fungao c Pspice de transferéncia VV de cada circuito da Rete 63 Muttsim Figura P1352e os val éricos dos pol gura P1352 e os valores numéricos dos polos 3 e zeros de cada funcdo de transferéncia a b Figura P1352 1350 a Determine a fungao de transferéncia Hs 2kO 20 HE VV para o circuito mostrado na Figura 4 too 4 P1350 Identifique os polos e zeros dessa x ns uy 20 pF Vo Uj 2kO Uo funcgao de transferéncia fs b Determine trés componentes do Apén dice H que quando utilizados no circuito a b da Figura P1350 resultarao em uma fun As 250 kO 125 mH cao de transferéncia com dois polos reais distintos Calcule os valores dos polos FF c Determine trés componentes do Apén 125 mH Yo Mi 250 0 Yo dice H que quando utilizados no circuito da Figura P1350 resultarado em uma c d fungao de transferéncia com dois polos iguais Calcule o valor dos polos 800 0 d Determine trés componentes do Apén dice H que quando utilizados no circuito Uj 200 0 50mH Yo da Figura P1350 resultaraéo em uma fun cao de transferéncia com dois polos com 1 e plexos conjugados Calcule os valores dos polos Circuitos elétricos 1353 O amplificador operacional no circuito da Figura P1355 Figura P1353 é ideal 200 nF a Determine a expressio numérica para a fungao de transferéncia Hs V V 5kO b Determine o valor numérico de cada 500 nF zero e polo de Hs 1kO Figura P1353 400 pF Ys cc 7 125k 6 nF 1356 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir 250 KO Vec Pspice cuito da Figura P1356 no instante em que a Multisim Chave é aberta A fonte de corrente senoidal fornece o sinal 25 cos 200t mA O sinal de Vg Vee resposta a corrente i a Determine a fungao de transferéncia II v v b Determine J s c Descreva a natureza do componente 1354 O amplificador operacional no circuito da tas transit6rio de it sem calcular i Figura P1354 é ideal d Descreva a natureza do componente de a Determine a expressdo numérica para a regime permanente de it sem calcular fungao de transferéncia Hs VV it b Determine o valor numérico de cada e Verifique as observacG6es feitas em c e zero e polo de Hs d determinando 7f Figura P1354 Figura P1356 C 4 pF j ig Ct 1H 500 uF R 10kO t0 2500 32uE ew 1357 a Determine a fungao de transferéncia I Ri Cy Pspice como uma fungao de p para 0 circuito da Ug 8V Multisim Figura P1357 b Determine o maior valor de x que produ v v zira um sinal de saida limitado para um sinal de entrada limitado 1355 O amplificador operacional no circuito da c Determine i para js 30 45 6 se i Figura P1355 é ideal 5ut A a Determine a expressfo numérica para Figura P1357 a fungao de transferéncia Hs VV Uv para circuito na Figura P1355 8kO SS b Determine o valor numérico de cada polo e zero de Hs ig 1 2kO iol 2H Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 1358 No circuito da Figura P1358i o sinal de Figura P1358 saida e v 0 sinal de entrada Determine os e polos e zeros da fungao de transferéncia assu o foes 5H 10kQO mindo que nao ha nenhuma energia inicial armazenada no transformador linear ou no 10H capacitor e Ug 25H 625 nF Secao 136 1359 Um pulso de tensao retangular v ut ut c Qual circuito reproduz mais fielmente o 1 Vé aplicado ao circuito da Figura P1359 sinal de entrada Use a integral de convolugao para determinar v 1363 a Considerandose yt ht xt deter Figura P1359 mine yt quando ht e xt forem os 1H pulsos retangulares mostrados na Figura P1363a 19 b Repita a quando At mudar para o pulso retangular mostrado na Figura e e P1363b 1360 Permute o indutor e o resistor no Problema c wenn a and ho mu para 1359 e use novamente a integral de convolu pulso retangular mostrado na Figura x P1363c cao para determinar Uv 1361 a Use a integral de convolucao para deter d Plote no mesmo grafico a fungao yt dos minar a tensdo de saida do circuito da itens anteriores Figura P1352a se a tensao de entrada e Os graficos do item d fazem sentido for o pulso retangular mostrado na Figura Explique P1361 Figura P1363 b Faga o grafico de ut para o intervalo ht x1 de tempo 0 100 ms Figura P1361 10 uV 10 0 40 0 40 a t ms At At 0 40 4 40 1362 a Repitao Problema 1361 dado que 0 resis tor no circuito da Figura P1352a é redu zido para 200 0 10 01 b Reduzir o resistor aumenta ou diminui a b c mem6oria do circuito Circuitos elétricos 1364 a Determine ht xt quando ht e xt 1366 Suponha que a resposta de tensaéo a um sAo os pulsos retangulares mostrados na impulso de um circuito possa ser modelada Figura P1364a pela forma de onda triangular da Figura b Repita a quando xt mudar para o P1366 O sinal de tensdo de entrada é a fun pulso retangular mostrado na Figura cao degrau 10ut V P1364b a Use a integral de convolucao para deter c Repita a quando ht mudar para o minar aS expressdes para a tensdo de pulso retangular mostrado na Figura saida P1364c b Faca o grafico para a tensdo de saida no Figura P1364 intervalo0a15s At xt c Repita as partes a e b se a drea sob a 25 25 resposta a um impulso de tens4o perma necer a mesma mas a largura da resposta 0 10 t 0 10 t ao impulso for reduzida para 4 s a d Qual forma de onda de saida esta mais x0 ht proxima da forma de onda de entrada b ou c Explique 25 125 Figura P1366 0 a mT t ht V b c 1365 A resposta a um impulso de tens4o de um 7 circuito é mostrada na Figura P1365a O sinal de entrada é o pulso de tensdo retangu lar mostrado na Figura P1365b 0 5 10 t s a Determine as equagoes para a tensaéo de saida Observe a faixa de tempo para a qual cada equacio aplicavel 1367 a Admita que a resposta a um impulso de tensdo de um circuito seja b Faga 0 grafico v para1 t 34s Figura P1365 ht 0 t 0 10e 0 At V 10 Use a integral de convolucgao para deter minar a tensdo de saida se o sinal de entrada for 10u V 10 20 30 ts b Repita a se a resposta a um impulso de a tensdo for viA V 0 1 0 10 ht 4 1001 2t 0 t 05s 0 t05s c Faga o grafico para a tensdo de saida em 1 4 ds fungdo do tempo para os itens a e b b para0 11s Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 1368 Use a integral de convolugao para determinar 1371 a Determine a resposta a um impulso do cir v no circuito da Figura P1368 se v75ut V cuito da Figura P1371a se v for o sinal Figura P1368 de entrada e i for o sinal de saida 400 4H b Dado que v tem a forma de onda mos 1 trada na Figura P1371b use a integral 16H de convolugao para determinar U c v tem a mesma forma de onda de v e Por qué 1369 a Use aintegral de convolugao para determi Figura P1374 nar Uno circuito da Figura P1369ase i vg V for o pulso mostrado na Figura P1369b b Use a integral de convolucdo para deter 40 75 minar i 4 c Mostre que suas solug6es para U e i sA0 D 00 consistentes calculando v eiem 100 ms 0 05 10 ts 100 ms 200 ms e 200 ms Figura P1369 7h a b oO 1372 a Determine a resposta a um impulso do L Ch 100kQ 02 ME v circuito apresentado na Figura P72 se v for o sinal de entrada e Uv for o sinal de saida a i uA b Admita que a fonte de tensfo tenha 5 50 a forma de onda mostrada na Figura P1371b Use a integral de convolugao para determinar U 0 100 200 t ms c Faca o grafico de v para0 1 2s d v tem a mesma forma de onda de v 50 g Por qué b Figura P1372 1370 A tensao de entrada no circuito da Figura 50 P1370 é vu 5u ut 05 V Ue 250mF v 200 a Use a integral de convolucao para deter minar U b Faga 0 grafico de vpara0 t1s Fi P1370 1373 A fonte de corrente no circuito da Figura igtra P1373a tem a forma de onda da Figura 20 100 mH P1373b Use a integral de convolucdo para determinar v em f 5 ms 0 1 100mFv Circuitos elétricos Figura P1373 P1374b Use a integral de convolucdo para 04 uF determinar o valor de vem t 75 ms Figura P1374 y 0 ig Ct 5kO 20 kO Uo SH 2s a vu 1602 U ig mA 10 0 720 710 ts 0 1 2 34 5 6 ms 1375 a Mostre que se yt ht xt entao Ys HsXs 20 b Use o resultado dado em a para deter b minar ft se Fs a 1374 O pulso de tensao senoidal mostrado na Figura s ss a P1374a é aplicado ao circuito da Figura Secao 137 1376 O amplificador operacional no circuito da c Determine a expressao de regime perma Pspice Figura P1376 é ideal e esta operando na nente de v se v 2 cos 10000t V Multisim tx ys regio linear Figura P1377 a Calcule a fungao de transferéncia V V 8nF b Sev C08 30008 V qual é a expressdo de regime permanente de v 5kO 25 kO Figura P1376 100 nF 800 6V 2kO Ue 10 mH v 15k 2009 2 HF ue as 10V 1378 A fungao de transferéncia para um circuito Xs v 15 kO linear invariante no tempo é V 25s 8 Hs Doe en Vv s 60s 150 1377 Oamp op no circuito da Figura P1377 é ideal i pe a Determine a fungao de transferéncia VV Se Us 10 cos 201 V qual a expresso de MSM 08 regime permanente para U b Determine v se v 06ut V Capitulo 13 e A transformada de Laplace na analise de circuitos 1379 A fungao de transferéncia para um circuito 1380 Quando uma tensdo de entrada de 30ut V é linear invariante no tempo é aplicada a um circuito sabese que a resposta HI L 125s 400 v 50e 800 20e70 ut V sy aan aA I ss 200s 10 Qual sera a resposta de regime permanente se U 120 cos 6000 V Se i 80 cos 500t A qual é a expressao de 8 regime permanente para i Secao 138 1381 Mostre queapés VC coulombs serem transfe Figura P1383 ridos de C para C no circuito da Figura 1347 1kQ 80mH a tensdo em cada capacitor CVC C Sugestao use o principio de conservacaéo da 208t V 320mHv carga 1382 A fonte de tensdo no circuito do Exemplo e 131 trocada por um impulso unitario isto é v d 1384 O indutor L no circuito da Figura P1384 é a Qual é a energia total transferida da percorrido por uma corrente inicial de p Ano fonte de tensao para 0 capacitor instante em que a chave é aberta Determine b Qual é a energia total transferida ao a v b 749 AU d A em que At 0 fluxo total no circuito indutor c Use a fungao de transferéncia para deter Figura P1384 minar v d Mostre que a resposta determinada em ify L R rN inf L c 6a mesma que se obteria se primeiro 0 capacitor fosse carregado com 1000 V e entao descarregado através do circuito como mostra a Figura P1382 1385 a Suponha que R co no circuito da Figura Figura P1382 P1384 e use as solucdes encontradas no Problema 1384 para determinar vt i 1000 eit 25023 10 b Admita que R oo no circuito da Figura vo 1wFS 1000 V P1384 e use 0 método da transformada 50 mH de Laplace para determinar vt i e it 1386 A combinagao em paralelo de R e C no cir 1383 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir cuito da Figura P1386 representa o circuito cuito da Figura P1383 no instante em que a de entrada de um osciloscépio analdgico A tensao impulsiva aplicada combinagao em paralelo de R e C repre a Determine v t para t 0 senta 0 cabo de compensagao que é usado b Sua solugio faz sentido em termos do para ligar a fonte de sinal ao osciloscépio Nao so ha nenhuma energia armazenada em C ou comportamento conhecido do circuito 1 Exoli em C no momento em que a fonte de 10 V xplique Circuitos elétricos ligada ao oscilosc6pio por meio do cabo de c Determine v para t 0 compensagao Os valores dlo circuito sdo C d Suas solugGes para ii e v fazem sentido 4 pF C 16 pF R 125 MQe R 5 MO em termos do comportamento conhecido a Determine v do circuito Explique b Determine i Figura P1389 c Repita a e b quando C for alterado 4h 05H para 64 pF e Figura P1386 2081 V 1H 1H tr Vo Ri ig 1390 A chave no circuito da Figura P1390 esteve na posiao a por um longo tempo Em t 0 ela passa para a posigao b Calcule a v0 Vv OA vs b v07 c v07 A it Y40 f v0 e g v30 Figura P1390 a b 20k é To 1387 Mostre que se RC RC no circuito da t0 Figura P1386 v sera uma réplica da fonte de tensdo multiplicada por um fator de escala 100 V 05 WFAN Ui 16 pF AN U3 1388 A chave no circuito na Figura P1388 esteve 1 fechada por um longo tempo Ela se abre em 20 WEY t 0 Calcule a i0 b i0 c i0 a i0 4 H0 8 VO Figura P1387 1391 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir 10 cuito da Figura P1391 no instante em que a corrente impulsiva é aplicada 8 mH mH a Determine v para t 0 SA Ct vt in b Sua solucdéo faz sentido em termos do 4kQ 16 kO comportamento conhecido do circuito Explique Figura P1391 1389 Nao ha nenhuma energia armazenada no cir 350 nF cuito da Figura P1389 no instante em que a tensdo impulsiva é aplicada a Determine i para t Or C1 1086t wA 350k0 1 uF Vo b Determine i para t 0 Seções 131138 1392 Considere que a tensão faseneutro Vo no circuito de 60 Hz da Figura 1359 seja 120 l0 V ef A carga Ra está absorvendo 1200 W a carga Rb está absorvendo 1800 W e a carga Xa está absorvendo 350 VAR A rea tância indutiva da linha X1 é 1 V Suponha que Vg não mude depois que a chave é aberta a Calcule o valor inicial de i2t e de iot b Determine Vo vot e vo0 usando o circuito no domínio da frequência da Figura 1360 c Verifique o componente de regime per manente de vo usando a análise de domí nio fasorial d Usando um programa de computador de sua preferência faça o gráfico de vot para 0 t 20 ms 1393 Suponha que a chave no circuito da Figura 1359 abra no instante em que a tensão de regime permanente senoidal vo seja nula passando de valores negativos a positivos isto é vo 120 2 sen 120ptV a Determine vot para t 0 b Usando um programa de computador de sua preferência faça o gráfico de vot para 0 t 20 ms c Compare a perturbação da tensão na parte a com a obtida na parte c do Problema 1392 1394 A finalidade deste problema é mostrar que a tensão faseneutro no circuito da Figura 1359 pode passar diretamente para regime perma nente se a carga Rb for desligada no instante certo Seja vo Vm cos120pt u V em que Vm 120 2 Admita que vg não mude após Rb ser desligado a Determine o valor de u em graus de modo que vo passe diretamente para o regime permanente quando a carga Rb for desligada b Para o valor de u determinado na parte a determine vot para t 0 c Usando um programa de computador de sua preferência plote em um único grá fico para 10 ms t 10 ms vot antes e depois de a carga Rb ter sido desligada Perspetiva Prática Perspetiva Prática Perspetiva Prática Capítulo 13 A transformada de Laplace na análise de circuitos 579 Book Nilsson 3indb 579 290116 1355 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 141 Observações preliminares 142 Filtros passabaixas 143 Filtros passaaltas 144 Filtros passafaixa 145 Filtros rejeitafaixa Introdução aos circuitos de seleção de frequências Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Conhecer as confi gurações dos circuitos RL e RC que funcionam como fi ltros passabaixas e saber calcular o valor dos componentes para atender a uma frequência de corte especifi cada 2 Conhecer as confi gurações dos circuitos RL e RC que funcionam como fi ltros passaaltas e saber calcular o valor dos componentes para atender a uma frequência de corte especifi cada 3 Conhecer as confi gurações dos circuitos RLC que funcionam como fi ltros passafaixa entender a defi nição e a relação entre frequência central frequências de corte largura de faixa e fator de qualidade de um fi ltro passafaixa e saber calcular o valor dos componentes para cumprir as especifi cações de projeto 4 Conhecer as confi gurações dos circuitos RLC que funcionam como fi ltros rejeitafaixa entender a defi nição e a relação entre frequência central frequências de corte largura de faixa e fator de qualidade de um fi ltro rejeitafaixa e saber calcular o valor dos componentes para cumprir as especifi cações de projeto Até este ponto de nossa análise de circuitos com fontes senoidais a frequência da fonte foi mantida cons tante Neste capítulo analisaremos o efeito da variação da frequência da fonte sobre as tensões e correntes O resultado dessa análise é a resposta de frequência de um circuito Em capítulos anteriores vimos que a resposta de um circuito depende dos tipos de elemento presentes do modo como estão ligados e de suas impedâncias Embora a variação da frequência de uma fonte senoidal não altere os tipos de elemento nem suas ligações ela altera a impedância de capacitores e indutores pois essa impedância é uma função da frequência Como veremos a cuidadosa escolha dos elementos de circuito seus valores e suas ligações a outros elementos permitenos construir circuitos cuja saída contenha somente os sinais de entrada que se encontram dentro de determinada faixa de frequências Tais circuitos são denominados 14 Book Nilsson 3indb 580 290116 1355 circuitos de seleção de frequências Muitos dispositivos que se comunicam por meio de sinais elétri cos como telefones rádios televisores e satélites empregam esse tipo de circuito Circuitos de seleção de frequências também são denominados fi ltros em razão de sua capacidade de fi ltrar certos sinais de entrada com base na frequência A Figura 141 representa esquematicamente essa propriedade Para sermos mais precisos devemos observar que na prática nenhum circuito de seleção de frequências consegue fi ltrar as frequências selecionadas com perfeição ou por completo Mais especifi ca mente fi ltros atenuam isto é enfraquecem ou reduzem o efeito de quaisquer sinais de entrada cujas frequências estejam fora de determinada faixa O sistema de som estereofônico que você tem em casa pode estar equipado com um equalizador gráfi co que é um excelente exemplo de um conjunto de fi ltros Cada faixa no equalizador gráfi co é um fi ltro que amplifi ca sons frequências audíveis na faixa de frequência determina da e atenua frequências que estão fora dessa faixa Assim o equalizador gráfi co permite alterar o volume de som em cada faixa de frequência Perspectiva prática Circuitos de telefone de teclas Neste capítulo examinaremos circuitos em que a frequência da fonte varia O comportamento desses circuitos difere à medida que a frequência da fonte varia pois a impedância dos componentes reativos é uma função da frequên cia da fonte Esses circuitos dependentes da frequência são denominados filtros e usados em muitos equipamentos elétricos comuns Em rádios os filtros servem para selecionar o sinal de uma estação e ao mesmo tempo rejeitar os sinais de outras que transmitem em frequências diferentes Em sistemas estereofônicos são utilizados para ajustar as intensidades relativas dos componentes de baixa e alta frequência do sinal de áudio Filtros são usados por todos os sistemas telefônicos Um telefone de teclas produz tons que ouvimos quando acionamos uma tecla É bem possível que você já tenha tido curio sidade sobre esses tons Como são usados para informar ao sistema telefônico qual tecla foi acionada Afi nal por que usar tons Por que os tons têm sons musicais Como o sistema telefônico distingue entre os tons das teclas e os sons normais de pessoas falando ou cantando O sistema telefônico foi projetado para tratar sinais de áudio cujas frequências estão entre 300 Hz e 3 kHz Por isso todos os sinais do sistema dirigidos ao usuário têm de ser audíveis incluindo o tom de discar e o sinal de ocupado De maneira semelhante todos os si nais dirigidos do usuário ao sistema têm de ser audíveis incluindo o sinal emitido quando ele aciona uma tecla É importante distinguir entre os sinais das teclas e os sinais normais de áudio por isso se utiliza um sistema multifrequência de tom dual DTMF dualtonemultiple frequency Quando uma tecla correspondente a um número é aciona da um par exclusivo de tons senoidais com frequências precisamente Figura 141 Ação de um fi ltro sobre um sinal de entrada produz um sinal de saída Sinal de entrada Sinal de saída Filtro Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 581 Book Nilsson 3indb 581 290116 1355 141 Observações preliminares Lembrese de que na Seção 137 afirmamos que a função de transferência de um circuito proporciona um meio fácil de calcular a resposta de regime permanente a uma entrada senoi dal Naquela seção consideramos somente fontes de frequência fixa Para estudar a resposta de frequência de um circuito substituímos uma fonte senoidal de frequência fixa por uma de frequência variável A função de transferência ainda é uma ferramenta de imensa utilidade pois o módulo e a fase do sinal de saída dependem somente do módulo e da fase da função de transferência Hjv Observe que a abordagem que acabamos de esboçar pressupõe que podemos variar a fre quência de uma fonte senoidal sem alterar seu módulo ou ângulo de fase Dessa forma a amplitude e a fase da saída vão variar somente se a amplitude e a fase da função de transferên cia variarem à medida que a frequência da fonte senoidal for alterada Para simplificar ainda mais este primeiro exame de circuitos de seleção de frequências também restringiremos nossa atenção a casos em que ambos os sinais de entrada e de saída são ten sões senoidais como ilustrado na Figura 142 Assim a função de transferência de interesse será a razão entre a transformada de Laplace da tensão de saída e a transformada de Laplace da ten são de entrada ou Hs VosVis Entretanto devemos ter em mente que para determinada aplicação o sinal de entrada ou o de saída pode ser uma corrente Os sinais que passam da entrada para a saída encontramse dentro de uma faixa de fre quências denominada faixa de passagem As tensões de entrada que estão fora dessa faixa têm Figura 142 Circuito com entrada e saída de tensão Vos 1 2 Vi s 1 2 Circuito determinadas é enviado pelo aparelho ao sistema telefônico As especificações de frequência e temporização do DTMF pratica mente impossibilitam que uma voz humana produza os pares de tons exatos ainda que alguém tente A central telefônica onde circuitos elétricos monitoram o sinal de áudio detecta os pares de tons que sinalizam um número No exemplo da Perspectiva prática no final do capítulo examinaremos o projeto dos filtros DTMF usados para determinar qual tecla foi acionada Começamos este capítulo analisando circuitos de cada uma das quatro principais categorias de filtros passabaixas passa altas passafaixa e rejeitafaixa A função de transferência de um circuito é o ponto de partida para a análise da resposta de frequência Preste muita atenção às similaridades entre as fun ções de transferência de circuitos que executam a mesma função de filtragem Empregaremos essas similaridades quando proje tarmos filtros no Capítulo 15 Tom Grill Corbis Circuitos elétricos 582 Book Nilsson 3indb 582 290116 1355 seus módulos atenuados pelo circuito e são por isso efetivamente impedidas de chegar aos terminais de saída do circuito Frequências que não estão dentro da faixa de passagem de um circuito estão dentro de sua faixa de rejeição Circuitos de seleção de frequências caracteri zamse pela localização da faixa de passagem Um modo de identificar o tipo do circuito de seleção de frequências é examinar seu grá fico de resposta de frequência Um gráfico de resposta de frequência mostra como a função de transferência de um circuito de amplitude e de fase muda à medida que a frequência da fonte varia Um gráfico de resposta de frequência tem duas partes Uma é um gráfico de Hjv em função da frequência v Essa parte do gráfico é denominada gráfico de amplitude A outra parte é um gráfico de ujv em função da frequência v Essa parte é denominada gráfico de fase Os gráficos de resposta de frequência ideais para as quatro categorias principais de filtros são mostrados na Figura 143 As partes a e b ilustram os gráficos ideais para um filtro pas sabaixas e um filtro passaaltas respectivamente Ambos os filtros têm uma única faixa de pas sagem e uma única faixa de rejeição que são definidas pela frequência de corte que as separa Os termos passabaixas e passaaltas derivam dos gráficos de amplitude um filtro passabaixas deixa passar sinais de frequências mais baixas do que a frequência de corte e um filtro passa altas deixa passar sinais de frequências mais altas do que a frequência de corte Assim os ter mos alta e baixa empregados aqui não se referem a quaisquer valores absolutos de frequência mais precisamente referemse a valores relativos à frequência de corte Figura 143 Gráficos de resposta de frequência ideais dos quatro tipos de filtro a Filtro passabaixas ideal b Filtro passaaltas ideal c Filtro passa faixa ideal d Filtro rejeitafaixa ideal Faixa de passagem Faixa de rejeição a uHjvu v vc 1 ujv ujvc 08 08 Faixa de rejeição Faixa de passagem Faixa de rejeição c uHjvu v vc1 vc2 1 ujv ujvc2 ujvc1 08 Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de passagem d uHjvu v vc1 vc2 1 ujv ujvc1 ujvc2 08 Faixa de rejeição Faixa de passagem b uHjvu v vc 1 ujv ujvc Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 583 Book Nilsson 3indb 583 290116 1355 Observe pelos gráficos de ambos os filtros bem como dos filtros passafaixa e rejeita faixa que o ângulo de fase para um filtro ideal varia linearmente na faixa de passagem Essa grandeza não é importante fora da faixa de passagem porque nessa região a amplitude é nula A variação linear de fase é necessária para evitar distorção de fase Cada uma das duas categorias de filtros restantes tem duas frequências de corte A Figura 143c mostra o gráfico de resposta de frequência ideal de um filtro passafaixa que deixará passar um sinal somente quando sua frequência estiver dentro da faixa definida pelas duas frequências de corte A Figura 143d mostra o gráfico ideal de um filtro rejeitafaixa que dei xará passar um sinal somente quando sua frequência estiver fora da faixa definida pelas duas frequências de corte Desse modo o filtro rejeitafaixa vai rejeitar ou impedir que o sinal de entrada alcance a saída quando sua frequência estiver dentro da faixa definida pelas frequên cias de corte Ao especificar um filtro realizável usando qualquer um dos circuitos deste capítulo é importante observar que as características de amplitude e ângulo de fase não são independen tes Em outras palavras as características de um circuito que resultam em determinado gráfico de amplitude também determinarão a forma do gráfico de fase e viceversa Por exemplo uma vez selecionada uma forma desejada para a resposta de amplitude de um circuito a resposta de fase também estará determinada Por outro lado se selecionarmos uma forma desejada para a resposta de fase a resposta da amplitude estará também determinada Embora exis tam alguns circuitos de seleção de frequências cujo comportamento da amplitude e do ângulo de fase possa ser especificado independentemente esses circuitos não são apresentados aqui As próximas seções apresentam exemplos de circuitos de cada uma das quatro categorias de filtro Tratase de apenas alguns dos muitos circuitos que agem como filtros Você deve ten tar identificar quais são as propriedades de um circuito que determinam seu comportamento como um filtro Examine com atenção a forma da função de transferência para circuitos que executam as mesmas funções de filtragem Identificar a forma da função de transferência de um filtro vai ajudálo a projetar filtros para aplicações específicas Todos os filtros que examinaremos neste capítulo são filtros passivos assim denominados porque suas características de filtragem dependem apenas de elementos passivos resistores capacitores e indutores A maior amplitude de saída que tais filtros podem alcançar normal mente é 1 e inserir uma impedância em série com a fonte ou em paralelo com a carga redu zirá essa amplitude Como em muitas aplicações práticas de filtros se exige que se aumente a amplitude da saída os filtros passivos têm algumas desvantagens significativas O único filtro passivo descrito neste capítulo que pode amplificar sua saída é o filtro de ressonância RLC em série Uma seleção muito maior de filtros amplificadores é encontrada nos filtros ativos assunto do Capítulo 15 142 Filtros passabaixas Agora examinaremos dois circuitos que se comportam como filtros passabaixas o RL em série e o RC em série e descobriremos quais as características desses circuitos que deter minam a frequência de corte O circuito RL em série análise qualitativa Um circuito RL em série é mostrado na Figura 144a O sinal de entrada do circuito é gerado por uma fonte de tensão senoidal de frequência variável O sinal de saída do circuito Circuitos elétricos 584 Book Nilsson 3indb 584 290116 1355 é definido como a tensão no resistor Suponha que a frequência da fonte comece com valores muito baixos e aumente gradativamente Sabemos que o comportamento do resistor ideal não mudará pois sua impedância independe da frequência No entanto analise como muda o comportamento do indutor Lembrese de que a impedância de um indutor é jvL Em fre quências baixas a impedância do indutor é muito pequena em compa ração com a impedância do resistor e na verdade o indutor funciona como um curtocircuito Por isso o termo baixas frequências referese a quaisquer frequências para as quais vL V R O circuito equivalente para v 0 é mostrado na Figura 144b Nesse circuito equivalente a tensão de saída e a de entrada são iguais em módulo bem como em ângulo de fase À medida que a frequência aumenta a impedância do indutor aumenta em relação à do resistor Esse aumento provoca uma eleva ção correspondente na queda de tensão no indutor e uma redução correspondente da tensão de saída Quanto maior a impedância do indutor maior será a diferença de fase entre a tensão de entrada e de saída Isso resulta em uma diferença de ângulo de fase entre a tensão de entrada e de saída A tensão de saída fica atrasada em relação à tensão de entrada e à medida que a frequência aumenta essa dife rença de fase aproximase de 90 Em altas frequências a impedância do indutor é muito grande em comparação com a impedância do resistor e por isso o indutor funciona como um circuito aberto bloqueando efetivamente o fluxo de corrente no circuito Assim o termo altas frequências referese a quais quer frequências para as quais vL W R O circuito equivalente para v q é o mostrado na Figura 144c onde a amplitude da tensão de saída é igual a zero O ângulo de fase da tensão de saída é 90 em relação à tensão de entrada Com base no comportamento da amplitude da tensão de saída esse circuito RL em série deixa passar seletiva mente entradas de baixa frequência e rejeita entradas de alta frequência Por conseguinte a resposta desse circuito a um sinal de frequência variável de entrada tem a forma mostrada na Figura 145 Essas duas representações gráficas constituem aquelas da resposta de frequência do circuito RL em série da Figura 144a A curva superior mostra como Hjv varia com a frequência A curva inferior mostra como ujv varia com a frequência No Apêndice E apre sentamos um método formal para construir esses gráficos Também sobrepusemos na Figura 145 o gráfico do módulo da função de transferência para um filtro passabai xas ideal apresentado na Figura 143a É óbvio que há uma diferença entre as representações gráficas de um filtro ideal e da resposta de frequência de um filtro RL real O filtro ideal exibe uma descontinuidade no módulo da função de transferência na frequência de corte vc o que cria uma transição abrupta entre a faixa de rejeição e a faixa de passagem Embora essa seja a forma ideal segundo a qual gostaríamos que nossos filtros funcionassem não é possível Figura 145 Gráfico de resposta de frequência para o circuito RL em série da Figura 144a vc v 10 uHjvu ujv 08 0 2908 Figura 144 a Filtro passabaixas RL em série b Circuito equivalente em v 0 c Circuito equivalente em v q 1 2 vi R vo 1 2 L a L 1 2 vi R vo 1 2 b L 1 2 vi R vo 1 2 c Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 585 Book Nilsson 3indb 585 290116 1355 usando componentes reais construir um circuito que apresente essa transição abrupta Circui tos que atuam como filtros passabaixas têm uma resposta de amplitude que passa gradativa mente da faixa de passagem para a faixa de rejeição Dessa forma temos de definir para um circuito real o que significa a frequência de corte vc Definição da frequência de corte Precisamos definir a frequência de corte vc para circuitos de filtros reais quando não for possível identificar uma única frequência que separe a faixa de passagem da faixa de rejeição A definição amplamente usada por engenheiros eletricistas considera que a frequência de corte é a frequência para a qual o módulo da função de transferência diminui por um fator de 12 em relação a seu valor máximo H jvc 1 2 H máx 141 em que Hmáx é a amplitude máxima da função de transferência Decorre da Equação 141 que a faixa de passagem de um filtro realizável é definida como a faixa de frequências em que a amplitude da tensão de saída é no mínimo 707 da máxima amplitude possível A constante 1 2 usada na definição da frequência de corte talvez pareça uma escolha arbitrária O exame de outra consequência da frequência de corte fará com que essa escolha pareça mais razoável Lembrese de que na Seção 105 afirmamos que a potência média forne cida por qualquer circuito a uma carga é proporcional a V L 2 onde VL é a amplitude da queda de tensão na carga P 1 2 V L 2 R 142 Se o circuito for alimentado por uma fonte de tensão senoidal Vijv a tensão da carga também será uma senoide cuja amplitude é uma função da frequência v Defina Pmáx como o valor da potência média fornecida a uma carga quando a amplitude da tensão de carga for máxima Pmáx 1 2 V L máx 2 R 143 Se variarmos a frequência da fonte de tensão senoidal Vijv a tensão da carga será máxima quando a amplitude da função de transferência do circuito também for máxima VLmáx HmáxVi 144 Examine agora o que acontece com a potência média quando a frequência da fonte de tensão é vc Usando a Equação 141 determinamos que a amplitude da tensão de carga em vc é 1 2 VLmáx 1 2 HmáxVi VL jvc H jvcVi 145 Definição de u frequência de corte Circuitos elétricos 586 Book Nilsson 3indb 586 290116 1355 Substituindo a Equação 145 na Equação 142 Pmáx 2 1 2 V Lmáx 2 2 R 1 2 a 1 2 VLmáxb 2 R P jvc 1 2 VL 2jvc R 146 A Equação 146 mostra que na frequência de corte vc a potência média fornecida pelo circuito é metade da máxima potência média Assim vc também é denominada frequência de meia potência Portanto na faixa de passagem a potência média fornecida a uma carga é no mínimo 50 da máxima potência média O circuito RL em série análise quantitativa Agora que já definimos a frequência de corte para circui tos de filtros reais podemos analisar o circuito RL em série para determinar para esse filtro passabaixas a relação entre os valo res dos componentes e a frequência de corte Começamos cons truindo o equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 144a admitindo condições iniciais nulas O circuito equi valente resultante é mostrado na Figura 146 A função de transferência da tensão para esse circuito é Hs RL s RL 147 Para estudar a resposta de frequência fazemos s jv na Equação 147 H jv RL jv RL 148 Agora podemos dividir a Equação 148 em duas equações A primeira define o módulo da função de transferência em função da frequência a segunda define o ângulo de fase da função de transferência em função da frequência u jv tg 1 a vL R b H jv RL v2 RL2 149 1410 Um exame detalhado mostra que Equação 149 justifica quantitativamente o gráfico de amplitude da Figura 145 Quando v 0 o denominador e o numerador são iguais e Hj0 1 Isso significa que em v 0 a tensão de entrada é transferida sem mudança de amplitude aos terminais de saída Figura 146 Equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 144a 1 2 Vis R Vos 1 2 sL Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 587 Book Nilsson 3indb 587 290116 1355 À medida que a frequência aumenta o numerador da Equação 149 permanece inalte rado mas o denominador cresce Assim Hjv diminui à medida que a frequência aumenta como mostra o gráfico da Figura 145 De maneira semelhante à medida que a frequência aumenta o ângulo de fase passa de seu valor cc de 0 tornandose mais negativo como visto na Equação 1410 Quando v q o denominador da Equação 149 é infinito e Hjq 0 como visto na Figura 145 Em v q o ângulo de fase alcança um limite de 90 como visto na Equação 1410 e no gráfico da Figura 145 Usando a Equação 149 podemos calcular a frequência de corte vc Lembrese de que vc é definida como a frequência na qual Hjvc 1 2 H máx Para o filtro passabaixas Hmáx Hj0 como visto na Figura 145 Desse modo para o circuito na Figura 144a H jvc 1 2 1 RL vc 2 RL2 1411 Explicitando vc na Equação 1411 obtemos vc R L 1412 A Equação 1412 fornece um importante resultado A frequência de corte vc pode assu mir qualquer valor desejado mediante a seleção adequada de valores para R e L Dessa forma podemos projetar um filtro passabaixas com qualquer frequência de corte que preci sarmos O Exemplo 141 demonstra a importância da Equação 1412 para o projeto de filtros passabaixas Frequência de u de corte para filtros RL ExEMPLO 141 Projeto de um filtro passabaixas Eletrocardiologia é o estudo dos sinais elétricos produzidos pelo coração Esses sinais mantêm o bati mento rítmico do coração e são medidos por um instrumento denominado eletrocardiógrafo Esse instrumento deve ser capaz de detectar sinais periódicos cuja frequência é de aproximadamente 1 Hz a taxa normal de batimentos do coração é 72 por minuto O instrumento tem de funcionar na pre sença de ruído senoidal que consiste em sinais do ambiente elétrico que o rodeiam cuja frequência fundamental é 60 Hz a frequência em que a energia elétrica é fornecida Escolha valores para R e L no circuito da Figura 144a de modo que o circuito resultante possa ser usado em um eletrocardiógrafo para filtrar qualquer ruído acima de 10 Hz e deixar passar os sinais elétricos do coração de frequência de 1 Hz aproximadamente Em seguida calcule a amplitude de Vo a 1 Hz 10 Hz e 60 Hz para verificar a qualidade de funcionamento do filtro Solução O problema consiste em selecionar valores para R e L que resultem em um filtro passabaixas com uma frequência de corte de 10 Hz Pela Equação 1412 dado vc vemos que R e L não podem ser especificados independentemente Portanto vamos escolher um valor normalmente disponível de L 100 mH Antes de usarmos a Equação 1412 para calcular o valor de R necessário ao estabeleci mento da frequência de corte desejada precisamos converter essa frequência de hertz para radianos por segundo vc 2p10 20p rads Circuitos elétricos 588 Book Nilsson 3indb 588 290116 1355 Determinamos agora o valor de R que juntamente com L 100 mH resultará em um filtro passa baixas com uma frequência de corte de 10 Hz R vcL 20p100 103 628 V Podemos calcular o módulo de Vo usando a equação Vo Hjv Vi 20p v2 400p2 Vi Vov RL v2 RL2 Vi A Tabela 141 resume os valores de amplitude calculados para as frequências 1 Hz 10 Hz e 60 Hz Como esperado as tensões de entrada e saída têm a mesma amplitude nas baixas frequências pois o circuito é um filtro passabaixas Na frequência de corte a amplitude da tensão de saída foi reduzida de 1 2 em relação à amplitude unitária da faixa de passagem Em 60 Hz a amplitude da tensão de saída foi reduzida por um fator de aproximadamente 6 obtendose a desejada atenuação do ruído que poderia adulterar o sinal para cuja medição o eletrocardiógrafo foi projetado Tabela 141 Amplitudes das tensões de entrada e saída para várias frequências fHz ViV VoV 1 10 0995 10 10 0707 60 10 0164 Circuito RC em série O circuito RC em série mostrado na Figura 147 também se comporta como um filtro pas sabaixas Podemos verificar isso por meio da mesma análise qualitativa que usamos antes Na verdade tal exame qualitativo é uma etapa importante na resolução de problemas que deve mos adotar como prática habitual quando analisarmos filtros Isso nos auxilia a prever as características de filtragem passabaixas passaaltas etc e assim prever a forma geral da função de transferência Se a função de transferência calculada concordar com a previsão qua litativa inicial teremos uma importante verificação da correção de nossos cálculos Observe que a saída do circuito é definida como a tensão nos terminais do capacitor Como fizemos anteriormente usaremos três regiões de frequência para a análise qualitativa do comportamento do circuito RC em série da Figura 147 1 Frequência zero v 0 a impedância do capacitor é infinita e ele age como um circuito aberto Assim as tensões de entrada e saída são as mesmas 2 Frequências crescentes a partir de zero a impedância do capacitor decresce em relação à impedância do resistor e a tensão da fonte dividese entre a impedância resistiva e a capa citiva Desse modo a tensão de saída é menor do que a tensão da fonte 3 Frequência infinita v q a impedância do capacitor é igual a zero e ele age como um curtocircuito Assim a tensão de saída é nula Figura 147 Filtro passabaixas RC em série 1 2 vi C vo 1 2 R Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 589 Book Nilsson 3indb 589 290116 1355 Segundo essa análise o circuito RC em série funciona como um filtro passabaixas O Exemplo 142 explora os aspectos quantitativos desse circuito ExEMPLO 142 Projeto de um filtro passabaixas RC em série Para o circuito RC em série da Figura 147 a Determine a função de transferência entre a tensão da fonte e a tensão de saída b Determine uma equação para a frequência de corte c Escolha valores para R e C que resultem em um filtro passabaixas com uma frequência de corte de 3 kHz Solução a Para deduzir uma expressão para a função de transferência em primeiro lugar construímos o equi valente no domínio da frequência do circuito da Figura 147 como mostra a Figura 148 Usando a divisão de tensão no domínio da frequência no circuito equivalente determinamos Hs 1 RC s 1 RC Agora faça s jv e calcule o módulo da expressão complexa resultante H jv 1 RC Åv2 a 1 RC b 2 b Na frequência de corte vc Hjv é igual a 1 2Hmáx Para um filtro passabaixas Hmáx Hj0 e para o circuito na Figura 148 Hj0 1 Então podemos descrever a rela ção entre as quantidades R C e vc H jvc 1 2 1 1 RC Åvc 2 a 1 RC b 2 Explicitando vc nessa equação obtemos vc 1 RC c Pelos resultados de b vemos que a frequência de corte é determinada pelos valores de R e C Como R e C não podem ser calculados independentemente vamos escolher C 1 mF Quando possível Figura 148 Equivalente no domínio da frequência para o circuito da Figura 147 Vos 1 2 R 1 2 Vis sC 1 t Frequência de corte de filtros RC Circuitos elétricos 590 Book Nilsson 3indb 590 290116 1355 normalmente especificaremos primeiro um valor para C em vez de para R ou L porque os valores das capacitâncias de capacitores fabricados comercialmente são em número menor que o de valores para resistores ou indutores Lembrese de que temos de converter a frequência de corte especificada de 3 kHz para 2p3 krads 5305 V 1 2p3 1031 106 R 1 vcC A Figura 149 mostra os dois circuitos de filtros passabaixas que examinamos juntamente com suas respectivas funções de transferência Observe cuidadosamente as funções de transfe rência Note como suas formas são semelhantes a única diferença entre elas são os termos que especificam a frequência de corte Na verdade podemos estabelecer uma forma geral para as funções de transferência desses dois filtros passabaixas Hs vc s vc 1413 Qualquer circuito cuja razão entre as tensões de entrada e saída fosse dada pela Equação 1413 se comportaria como um filtro passabaixas com uma frequência de corte vc Os proble mas no final do capítulo darão outros exemplos de circuitos com essa propriedade Relação entre o domínio da frequência e o domínio do tempo Por fim talvez você tenha percebido outra relação importante Lembrese de nossa discussão sobre as respos tas naturais dos circuitos RL e RC de primeira ordem no Capítulo 6 Um parâmetro importante para esses circuitos é a constante de tempo t que caracteriza a forma da res posta do circuito Para o circuito RL a constante de tempo tem o valor LR Equação 714 para o circuito RC a cons tante de tempo é RC Equação 724 Compare as constan tes de tempo com as frequências de corte para esses circui tos e observe que t 1vc 1414 Esse resultado é uma consequência direta da relação entre a resposta no domínio do tempo de um circuito e sua resposta no domínio da frequência como obtida pela transformada de Laplace A discussão sobre memória função peso e integral de convolução da Seção 136 mostra que se vc S q o filtro tende a não ter nenhuma memória e a saída tende a ter a mesma forma da entrada isto é não ocorreu nenhuma filtragem À medida que vc S 0 a memória do filtro tende a aumentar e a tensão de saída tende a ser o sinal de entrada distor cido pois ocorreu uma filtragem t Função de transferência para um filtro passabaixas Figura 149 Dois filtros passabaixas o RL em série e o RC em série juntamente com as respectivas funções de transferência e frequências de corte 1 2 Vi R Vo 1 2 sL s 1 RL RL Hs 5 vc 5 RL 1 2 Vi Vo 1 2 R s 1 1RC 1RC Hs 5 sC 1 vc 5 1RC Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 591 Book Nilsson 3indb 591 290116 1355 143 Filtros passaaltas Em seguida examinaremos dois circuitos que funcionam como filtros passaaltas Mais uma vez são o circuito RL em série e o circuito RC em série Veremos que o mesmo circuito em série pode atuar como um filtro passabaixas ou um filtro passaaltas dependendo de onde a tensão de saída é definida Determinaremos também a relação entre os valores dos compo nentes e a frequência de corte desses filtros O circuito RC em série análise qualitativa Um circuito RC em série é mostrado na Figura 1410a Em contraste com sua contraparte passabaixas da Figura 147 aqui a tensão de saída é definida nos terminais do resistor e não nos ter minais do capacitor Por causa disso o efeito da alteração da impe dância capacitiva é diferente do caso da configuração passabaixas Em v 0 o capacitor comportase como um circuito aberto não havendo portanto nenhuma corrente fluindo no resistor o que é ilustrado no circuito equivalente da Figura 1410b Nesse cir cuito não há nenhuma tensão nos terminais do resistor e o circuito filtra baixas frequências da fonte À medida que a frequência da fonte aumenta a impedância do capacitor decresce em relação à impedância do resistor e a ten são da fonte agora é dividida entre o capacitor e o resistor Assim a amplitude da tensão de saída começa a crescer Quando a frequência da fonte é infinita v q o capacitor comportase como um curtocircuito e por isso não há nenhuma tensão no capacitor o que é ilustrado no circuito equivalente na Figura 1410c Nesse circuito a tensão de entrada e a de saída são as mesmas A defasagem entre as tensões da fonte e de saída também varia à medida que muda a frequência da fonte Para v q a tensão de saída é a mesma que a de entrada portanto a defasagem é nula Quando a frequência da fonte decresce e a impedância do capacitor Figura 1410 a Filtro passaaltas RC em série b circuito equivalente em v 0 e c circuito equivalente em v q C 1 2 vi R vo 1 2 c C 1 2 vi R vo 1 2 b 1 2 vi R vo 1 2 a C Objetivo 1 Conhecer as configurações dos circuitos RL e RC que funcionam como filtros passabaixas 141 Um filtro passabaixas RC em série deve ter uma frequência de corte de 8 kHz Se R 10 kV determine o valor de C Resposta 199 nF 142 Precisase de um filtro passabaixas RL em série com uma frequência de corte de 2 kHz Usando R 5 kV calcule a L b Hjv em 50 kHz e c ujv em 50 kHz Resposta a 040 H b 004 c 8771 NOTA tente resolver também os problemas 141 e 147 apresentados no final deste capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Circuitos elétricos 592 Book Nilsson 3indb 592 290116 1355 aumenta surge uma defasagem entre as tensões da fonte e de saída A tensão de saída fica adiantada em relação à tensão da fonte Quando v 0 essa defasagem alcança seu máximo de 90 Com base em nossa análise qualitativa vemos que quando a saída é definida como a tensão nos terminais do resistor o cir cuito RC em série comportase como um filtro passaaltas Os componentes e ligações são idênticos aos do circuito RC passa baixas mas a escolha da saída é diferente Assim confirmamos o que já dissemos isto é que as características de filtragem de um circuito dependem da definição da saída bem como dos valores e ligações dos componentes de circuito A Figura 1411 mostra o gráfico da resposta de frequência para o filtro passaaltas RC em série Como referência as linhas tracejadas indicam o gráfico de um filtro passaaltas ideal Agora passaremos à análise quantitativa desse mesmo circuito O circuito RC em série análise quantitativa Para começar construímos o circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1410a Esse circuito é mostrado na Figura 1412 A partir da divisão de tensão no domínio da frequência escrevemos a função de transferência H s s s 1RC Fazendo s jv obtemos H jv jv jv 1RC 1415 Em seguida dividimos a Equação 1415 em duas equações A primeira é a que des creve o módulo da função de transferência a segunda é a que descreve a fase da função de transferência u jv 90 tg 1vRC H jv v v2 1RC 2 1416 1417 Um exame mais detalhado mostra que as equações 1416 e 1417 justificam o gráfico de resposta de frequência da Figura 1411 Usando a Equação 1416 podemos calcular a frequência de corte para o filtro passaaltas RC em série Lembrese de que na frequên cia de corte o módulo da função de transferência é 1 2Hmáx Para um filtro passaaltas Hmáx Hjvv q Hjq como mostra a Figura 1411 Podemos construir uma equação para vc igualando o lado esquerdo da Equação 1416 a 1 2Hjq observando que para esse circuito RC em série Hjq 1 1 2 vc vc 2 1RC 2 1418 Figura 1412 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1410a sC 1 1 2 Vis R Vos 1 2 Figura 1411 Gráfico de resposta de frequência para o circuito RC em série da Figura 1410a vc v uHjvu ujv 08 1908 10 0 Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 593 Book Nilsson 3indb 593 290116 1355 ExEMPLO 143 Projeto de um filtro passaaltas RL em série Mostre que o circuito RL em série da Figura 1413 também atua como um filtro passaaltas a Deduza uma expressão para a função de transferência do circuito b Use o resultado de a para determinar uma equação para a frequência de corte do circuito RL em série c Escolha valores para R e L que resultem em um filtro passaal tas com uma frequência de corte de 15 kHz Solução a Comece construindo o equivalente no domínio da frequência do circuito RL em série como mos tra a Figura 1414 Então use no circuito equivalente a divisão de tensão no domínio da frequência para construir a função de transferência Hs s s RL Fazendo s jv obtemos H jv jv jv RL Observe que essa equação tem a mesma forma que a Equação 1415 para o filtro passaaltas RC em série b Para determinar uma equação para a frequência de corte primeiro calcule o módulo de Hjv H jv v v2 RL2 Então como antes igualamos o lado esquerdo dessa equação a 1 2Hmáx com base na definição da frequência de corte vc Lembrese de que Hmáx Hjq para um filtro passaaltas e que para o circuito RL em série Hjq 1 Da equação resultante obtémse o valor da frequência de corte 1 2 vc vc 2 RL2 vc R L Essa é a mesma frequência de corte que calculamos para o filtro passabaixas RL em série Figura 1413 Circuito para o Exemplo 143 1 2 vi L vo 1 2 R Figura 1414 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1413 sL R 1 2 Vis Vos 1 2 Explicitando vc na Equação 1418 obtemos vc 1 RC 1419 A Equação 1419 apresenta um resultado conhecido A frequência de corte para o cir cuito RC em série tem o valor 1RC quer o circuito opere como um filtro passabaixas Figura 147 quer opere como um filtro passaaltas Figura 1410a Esse resultado talvez não seja surpreendente porque já sabemos que há uma relação entre a frequência de corte vc e a cons tante de tempo t de um circuito O Exemplo 143 analisa um circuito RL em série desta vez operando como um filtro passaal tas O Exemplo 144 examina o efeito da adição de um resistor de carga em paralelo com o indutor Circuitos elétricos 594 Book Nilsson 3indb 594 290116 1355 c Usando a equação para vc calculada em b é evidente que não é possível especificar valores para R e L independentemente Assim vamos selecionar arbitrariamente um valor de 500 V para R Lembrese de converter a frequência de corte para radianos por segundo L R vc 500 2p15000 531 mH sL R RL 1 2 Vis Vos 1 2 Figura 1416 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1415 Frequência kHz não carregado carregado fc9 10 fc 20 30 40 50 1 2 1 2 2 02 04 06 10 V 08 0 0 Figura 1417 Representações gráficas da amplitude para o filtro passaaltas RL não carregado da Figura 1413 e para o filtro passaaltas RL carregado da Figura 1415 Figura 1415 Circuito para o Exemplo 144 L R 1 2 vi vo 1 2 RL ExEMPLO 144 Adição de uma carga ao filtro passaaltas RL em série Examine o efeito de acrescentar um resistor de carga em paralelo com o indutor do filtro passaaltas RL da Figura 1415 a Determine a função de transferência para o circuito na Figura 1415 b Faça um gráfico do módulo da tensão de saída para o filtro passaaltas RL carregado usando os valores para R e L do circuito no Exemplo 143c e fazendo RL R No mesmo gráfico plote também a amplitude da tensão de saída do filtro passaaltas RL não carregado do Exemplo 143c Solução a Comece construindo o circuito equivalente no domí nio da frequência do circuito da Figura 1415 como mostra a Figura 1416 Use a divisão de tensão da combinação paralela do resistor de carga e indutor para calcular a função de transferência Hs RLsL RL sL R RLsL RL sL a RL R RL bs s a RL R RL b R L Ks s vc em que K RL R RL vc KRL Observe que vc é a frequência de corte do filtro carregado b Para o filtro passaaltas RL não carregado do Exem plo 143c o módulo da função de transferência den tro da faixa de passagem é 1 e a frequência de corte é 15 kHz Para o filtro passaaltas RL carregado R RL 500 V portanto K 12 Assim para o filtro carregado a amplitude da função de transferência dentro da faixa de passagem é 112 12 e a frequência de corte é 1500012 75 kHz Um gráfico dos circuitos carregado e não carregado é mostrado na Figura 1417 Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 595 Book Nilsson 3indb 595 290116 1355 Neste ponto é válido comparar as funções de transferência do filtro não carregado do Exemplo 143 e do filtro carregado do Exemplo 144 Ambas as funções de transferência têm a mesma forma Hs Ks s KRL com K 1 para o filtro não carregado e K RLR RL para o filtro carregado Observe que o valor de K para o circuito carregado reduzse ao valor de K para o circuito não carregado quando RL q isto é quando não há nenhum resistor de carga As frequências de corte para ambos os filtros podem ser vistas diretamente por suas funções de transferência Em ambos os casos vc KRL onde K 1 para o circuito não carregado e K RLR RL para o circuito carregado Novamente a frequência de corte para o circuito carregado reduzse à do circuito não carregado quando RL q Visto que RLR RL 6 1 o efeito do resistor de carga é reduzir a amplitude da função de transferência dentro da faixa de passagem pelo fator K e baixar a frequência de corte pelo mesmo fator Previmos esses resultados no início deste capítulo A maior amplitude de saída que um filtro passaaltas passivo pode alcançar é 1 e inserir uma carga no filtro como fizemos no Exemplo 144 serviu para diminuir a amplitude Quando necessitamos amplificar sinais na faixa de passagem temos de recorrer a filtros ativos como os que discutiremos no Capítulo 15 O efeito de uma carga sobre a função de transferência de um filtro impõe outro dilema em projetos de circuitos Normalmente começamos com uma especificação da função de transfe rência e então projetamos um filtro que produza essa fun ção Podemos saber ou não qual será a carga do filtro mas em qualquer dos casos normalmente queremos que a fun ção de transferência do filtro permaneça a mesma seja qual for a carga Esse comportamento desejado não pode ser obtido com os filtros passivos apresentados neste capítulo A Figura 1418 mostra os circuitos de filtros passaal tas que examinamos com suas respectivas funções de trans ferência e frequências de corte Examine com atenção as expressões para Hs Observe como suas formas são seme lhantes a única diferença é o denominador que inclui a frequência de corte Assim como fizemos com os filtros pas sabaixas por meio da Equação 1413 estabelecemos uma forma geral para a função de transferência desses dois filtros passaaltas Hs s s vc 1420 Qualquer circuito que tenha a função de transferência como a da Equação 1420 com portase como um filtro passaaltas com uma frequência de corte de vc Os problemas no final do capítulo apresentam outros exemplos de circuitos com essa propriedade Enfatizamos outra relação importante Verificamos que um circuito RC em série tem a mesma frequência de corte quer esteja operando como um filtro passabaixas quer como um filtro passaaltas O mesmo acontece com um circuito RL em série Como também já perce bemos a relação entre a frequência de corte de um circuito e sua constante de tempo é de se esperar que a frequência de corte seja um parâmetro característico do circuito cujo valor dependa somente de seus componentes seus valores e do modo como estão ligados Figura 1418 Dois filtros passaaltas o RC em série e o RL em série juntamente com as respectivas funções de transferência e frequências de corte s 1 1RC s Hs 5 vc 5 1RC 1 2 Vi R Vo 1 2 s 1 RL s Hs 5 vc 5 RL 1 2 Vi sL Vo 1 2 R sC 1 Função de u transferência para um filtro passaaltas Circuitos elétricos 596 Book Nilsson 3indb 596 290116 1355 Objetivo 2 Conhecer as configurações de circuitos RL e RC que funcionam como filtros passaaltas 143 Um filtro passaaltas RL em série tem R 5 kV e L 35 mH Calcule vc para esse filtro Resposta 143 Mrads 144 Um filtro passaaltas RC em série tem C 1 mF Calcule a frequência de corte para os seguintes valores de R a 100 V b 5 kV e c 30 kV Resposta a 10 krads b 200 rads c 3333 rads 145 Calcule a função de transferência de um filtro passabaixas RC em série que tem um resistor de carga RL em paralelo com seu capacitor Resposta onde K RL R RL Hs 1 RC s 1 KRC NOTA tente resolver também os problemas 1413 e 1417 apresentados no final deste capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO 144 Filtros passafaixa Os filtros que examinaremos a seguir são os que deixam passar sinais dentro de uma faixa de frequências e ao mesmo tempo filtram sinais em frequências que estão fora dessa faixa Esses filtros são um pouco mais complicados do que os filtros passabaixas ou passaaltas das seções anteriores Como já vimos na Figura 143c filtros passafaixa ideais têm duas frequên cias de corte vc1 e vc2 que identificam a faixa de passagem Em filtros passafaixa reais essas frequências de corte são definidas novamente como as frequências para as quais o módulo da função de transferência é igual a 1 2 H máx Frequência central largura de faixa e fator de qualidade Há três outros parâmetros importantes que caracterizam um filtro passafaixa O pri meiro é a frequência central vo definida como a frequência para a qual a função de transfe rência de um circuito é um número real puro Outro nome para a frequência central é frequên cia de ressonância É o mesmo nome dado à frequência que caracteriza a resposta natural dos circuitos de segunda ordem do Capítulo 8 porque são as mesmas frequências Quando um circuito é excitado na frequência de ressonância dizemos que o circuito está em ressonância pois a frequência da função de excitação é a mesma que a frequência natural do circuito A frequência central é o centro geométrico da faixa de passagem isto é vo vc1vc2 Para fil tros passafaixa o módulo da função de transferência tem um máximo na frequência central Hmáx Hjvo O segundo parâmetro é a largura de faixa b que é a largura da faixa de passagem O último parâmetro é o fator de qualidade que é a razão entre a frequência central e a largura de faixa O fator de qualidade é uma medida da largura da faixa de passagem independente mente de sua localização no eixo das frequências Além disso descreve a forma do gráfico do módulo da função de transferência em função da frequência independentemente do valor da frequência central Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 597 Book Nilsson 3indb 597 290116 1355 Embora existam cinco parâmetros que caracterizam o filtro passafaixa vc1 vc2 vo b e Q apenas dois podem ser especificados de forma independente Em outras palavras se sou bermos determinar quaisquer dois desses parâmetros os outros três poderão ser calculados pelas relações de dependência entre eles Definiremos essas quantidades mais especificamente assim que tivermos analisado um filtro passafaixa Na próxima seção estudaremos dois circui tos RLC que atuam como filtros passafaixa e então determinaremos as expressões para todos os seus parâmetros característicos O circuito RLC em série análise qualitativa A Figura 1419a mostra um circuito RLC em série Dese jamos considerar o efeito da variação da frequência da fonte sobre a amplitude da tensão de saída Como antes variações na frequência da fonte causam alterações na impedância do capa citor e do indutor Desta vez a análise qualitativa é um pouco mais complicada pois o circuito tem um indutor e também um capacitor Em v 0 o capacitor comportase como um circuito aberto e o indutor como um curtocircuito O circuito equivalente é mostrado na Figura 1419b O circuito aberto que representa a impedância do capacitor impede que a corrente alcance o resis tor e a tensão de saída resultante é igual a zero Em v q o capacitor comportase como um curtocir cuito e o indutor como um circuito aberto O circuito equiva lente é mostrado na Figura 1419c Agora o indutor impede que a corrente chegue ao resistor e novamente a tensão de saída é nula Mas o que acontece na região de frequência entre v 0 e v q Entre esses dois extremos ambos capacitor e indutor têm impedâncias finitas Nessa região a tensão fornecida pela fonte sofrerá uma queda ao passar pelo indutor e pelo capa citor mas parte dela chegará ao resistor Lembrese de que a impedância do capacitor é negativa ao passo que a impedância do indutor é positiva Por isso em certa frequência a impedân cia do capacitor e a do indutor têm amplitudes iguais e sinais opostos as duas impedâncias cancelamse fazendo com que a tensão de saída seja igual à tensão de fonte Essa frequên cia especial é a frequência central vo Em qualquer frequência diferente de vo a tensão de saída é menor do que a tensão de fonte Observe que em vo a combinação em série de indutor e capacitor aparece como um curtocircuito O gráfico do módulo da função de transferência em fun ção da frequência para esse filtro é mostrado na Figura 1420 Observe que o gráfico de um filtro passafaixa ideal é também mostrado em linha tracejada Considere agora o que acontece com o ângulo de fase da tensão de saída Na frequência em que a tensão da fonte Figura 1419 a Filtro passafaixa RLC em série b circuito equivalente para v 0 e c circuito equivalente para v q 1 2 vi R vo 1 2 C L a 1 2 vi R vo 1 2 L c C 1 2 vi R vo 1 2 L b C Figura 1420 Gráfico da resposta de frequência para o circuito do filtro passafaixa RLC em série da Figura 1419 1 2 v v 10 uHjvu ujv 2908 908 0 vc1 vc2 vo b Circuitos elétricos 598 Book Nilsson 3indb 598 290116 1355 e a tensão de saída são as mesmas os ângulos de fase são os mesmos À medida que a fre quência decresce a contribuição do ângulo de fase do capacitor é maior do que a do indutor Como o capacitor contribui com deslocamento de fase positivo o ângulo de fase resultante na saída é positivo Em frequências muito baixas o ângulo de fase resultante na saída alcança seu máximo em 90 Ao contrário se a frequência crescer em relação à frequência na qual a tensão da fonte e a tensão de saída estão em fase a contribuição do ângulo de fase do indutor é maior do que a do capacitor Como o indutor contribui com deslocamento de fase negativo o ângulo de fase resultante na saída é negativo Em frequências muito altas o ângulo de fase na saída alcança seu máximo negativo de 90 Assim o gráfico de fase tem a forma mostrada na Figura 1420 O circuito RLC em série análise quantitativa Começamos desenhando o circuito equivalente no domí nio da frequência para o circuito RLC em série como mostra a Figura 1421 A divisão de tensão no domínio da frequência permite escrever uma equação para a função de transferência Hs RLs s2 RLs 1LC 1421 Como antes substituímos s por jv na Equação 1421 e obte mos as equações para o módulo e o ângulo de fase da função de transferência H jv vRL 1LC v22 vRL2 1422 u jv 90 tg 1c vRL 1LC v2d 1423 Calculamos agora os cinco parâmetros que caracterizam esse filtro RLC passafaixa Lembrese de que a frequência central vo é definida como aquela na qual a função de trans ferência do circuito é puramente real A função de transferência para o circuito RLC na Figura 1419a será real quando a frequência da fonte de tensão for tal que a soma das impedâncias do capacitor e do indutor seja igual a zero jvoL 1 jvoC 0 1424 Explicitando vo na Equação 1424 obtemos vo Ä 1 LC 1425 Figura 1421 Circuito equivalente no domínio da frequência para o circuito na Figura 1419a sL 1 2 Vis 1sC R Vos 1 2 t Frequência central Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 599 Book Nilsson 3indb 599 290116 1355 Em seguida calculamos as frequências de corte vc1 e vc2 Lembrese de que nas frequên cias de corte a magnitude da função de transferência é 1 2 Hmáx Como Hmáx Hjvo podemos calcular Hmáx substituindo a Equação 1425 na Equação 1422 1LCRL 1LC 1LC2 c 1LCRL d 2 1 voRL 1LC vo 22 voRL2 Hmáx H jvo Agora igualamos o lado esquerdo da Equação 1422 a 1 2 Hmáx que é igual a 1 2 e preparamos a dedução de vc 1 vcLR 1vcRC2 1 1 2 vcRL 1LC vc 22 vcRL2 1426 Podemos igualar os denominadores de ambos os lados da Equação 1426 para obter 1 vc L R 1 vcRC 1427 Rearranjando a Equação 1427 obtemos a seguinte equação quadrática vc 2L vcR 1C 0 1428 A solução da Equação 1428 gera quatro valores possíveis para a frequência de corte Somente dois desses valores são positivos e têm significado físico eles identificam a faixa de passagem desse filtro vc1 R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LCb vc2 R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LCb 1429 1430 Podemos usar as equações 1429 e 1430 para confirmar que a frequência central vo é a média geométrica entre as duas frequências de corte vo vc1 vc2 É c R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LCb d c R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LCb d Ä 1 LC 1431 Frequências u de corte filtros RLC em série Relação entre u frequência central e frequências de corte Circuitos elétricos 600 Book Nilsson 3indb 600 290116 1355 Lembrese de que a largura de faixa de um filtro passafaixa é definida como a diferença entre as duas frequências de corte Como vc2 7 vc1 podemos calcular a largura de faixa sub traindo a Equação 1429 da Equação 1430 b vc2 vc1 R L s R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LC b t s R 2L Å a R 2Lb 2 a 1 LCb t 1432 O fator de qualidade o último dos cinco parâmetros característicos é definido como a razão entre a frequência central e a largura de faixa Usando as equações 1425 e 1432 Q vob Ä L CR2 1LC RL 1433 Temos agora cinco parâmetros que caracterizam o filtro passafaixa RLC em série as duas frequências de corte vc1 e vc2 que delimitam a faixa de passagem a frequência central vo na qual o módulo da função de transferência é máximo a largura de faixa b uma medida da lar gura da faixa de passagem e o fator de qualidade Q uma segunda medida da largura da faixa de passagem Como já observamos somente dois desses parâmetros podem ser especificados de forma independente em um projeto Também observamos que o fator de qualidade é espe cificado em termos da frequência central e da largura de faixa Além disso podemos reescrever as equações para as frequências de corte em termos da frequência central e da largura de faixa vc1 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 1434 vc2 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 1435 Formas alternativas para essas equações expressam as frequências de corte em termos do fator de qualidade e da frequência central vc1 vo s 1 2Q Å1 a 1 2Qb 2 t 1436 vc2 vo s 1 2Q Å1 a 1 2Qb 2 t 1437 Veja também o Problema 1424 no final do capítulo Os exemplos a seguir ilustram o projeto de filtros passafaixa apresentam outro circuito RLC que se comporta como um filtro passafaixa e examinam os efeitos da resistência da fonte sobre os parâmetros característicos de um filtro passafaixa RLC em série t Relação entre largura de faixa e frequências de corte t Fator de qualidade Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 601 Book Nilsson 3indb 601 290116 1355 ExEMPLO 145 Projeto de um filtro passafaixa Um equalizador gráfico é um amplificador de áudio que permite a seleção de diferentes níveis de amplificação dentro de diversas regiões de frequência Usando o circuito RLC em série da Figura 1419a escolha valores para R L e C que resultem em um circuito passafaixa capaz de selecionar entradas na faixa de frequência de 110 kHz Tal circuito poderia ser utilizado em um equalizador gráfico para selecionar antes da amplificação essa faixa de frequência dentro de uma faixa de áudio mais larga em geral de 020 kHz Solução Precisamos calcular valores para R L e C que produzam um filtro passafaixa com frequências de corte de 1 kHz e 10 kHz Há muitas abordagens possíveis para uma solução Por exemplo pode ríamos usar as equações 1429 e 1430 que especificam vc1 e vc2 em termos de R L e C Em razão da forma dessas equações as manipulações algébricas poderiam ficar complicadas Em vez disso usaremos o fato de que a frequência central é a média geométrica das frequências de corte para calcular vo e então usaremos a Equação 1431 para calcular L e C a partir de vo Em seguida usa remos a definição de fator de qualidade para calcular Q e por fim usaremos a Equação 1433 para calcular R Ainda que essa abordagem envolva mais etapas individuais de cálculo cada uma delas é razoavelmente simples Qualquer abordagem que adotarmos fornecerá apenas duas equações insuficientes para calcular as três incógnitas por causa das dependências mútuas dos parâmetros do filtro passafaixa Por isso precisamos selecionar um valor para R L ou C e usar as duas equações que escolhemos para calcular os valores dos componentes restantes Neste problema escolhemos 1 mF como o valor do capacitor porque as limitações para os valores dos capacitores disponíveis no mercado são mais rigorosas do que as impostas a indutores ou resistores Calculamos a frequência central como a média geométrica das frequências de corte fo fc1fc2 100010000 316228 Hz Em seguida calculamos o valor de L usando a frequência central calculada e o valor selecionado para C Não se esqueça de que temos de converter a frequência central para radianos por segundo antes de podermos usar a Equação 1431 L 1 vo 2C 1 2p316228 2106 2533 mH O fator de qualidade Q é definido como a razão entre a frequência central e a largura de faixa A lar gura de faixa é a diferença entre os dois valores da frequência de corte Assim Q fo fc2 fc1 316228 10000 1000 03514 Agora usamos a Equação 1433 para calcular R R Ä L CQ2 Ä 00025 106035142 14324 V Circuitos elétricos 602 Book Nilsson 3indb 602 290116 1355 ExEMPLO 146 Projeto de um filtro passafaixa RLC em paralelo a Mostre que o circuito RLC da Figura 1422 também é um filtro passafaixa deduzindo uma expres são para a sua função de transferência Hs b Calcule a frequência central vo c Calcule as frequências de corte vc1 e vc2 a largura de faixa b e o fator de qualidade Q d Calcule os valores de R e L para um filtro passafaixa com uma frequência central de 5 kHz e uma largura de faixa de 200 Hz usando um capacitor de 5 mF Solução a Comece desenhando o circuito equivalente no domínio da frequência do circuito na Figura 1422 como mostra a Figura 1423 Usando a divisão de tensão podemos calcular a função de transferên cia para o circuito equivalente se antes calcularmos a impedância equivalente da combinação em paralelo de L e C identificada como Zeqs na Figura 1423 Zeqs L C sL 1 sC Agora Hs s RC s2 s RC 1 LC b Para determinar a frequência central precisamos calcular onde o módulo da função de transferên cia é máximo Substituindo s jv em Hs 1 1 vRC 1 v L R 2 H jv v RC Å è a 1 LC v2b 2 a v RC b 2 Figura 1422 Circuito para o Exemplo 146 R 1 2 vi vo C L 1 2 Figura 1423 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1422 1 2 Zeqs R Vis Vos 1sC sL 1 2 Para comprovar se os valores desses componentes produzem o filtro passafaixa que queremos subs tituaos nas equações 1429 e 1430 Verificamos que vc1 628319 rads 1000 Hz vc2 6283185 rads 10000 Hz que são as frequências de corte especificadas para o filtro Esse exemplo nos faz lembrar que somente dois dos cinco parâmetros do filtro passafaixa podem ser especificados independentemente Os outros três parâmetros sempre podem ser calculados pelos dois que foram especificados Por sua vez o valor desses cinco parâmetros depende do valor dos três com ponentes R L e C dos quais somente dois podem ser especificados de forma independente Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 603 Book Nilsson 3indb 603 290116 1355 1 1 vRC 1 v L R 2 H jv v RC Å è a 1 LC v2b 2 a v RC b 2 O módulo dessa função de transferência será máximo quando o termo a 1 LC v2b 2 for igual a zero Assim vo Ä 1 LC e Hmáx Hjvo 1 c Nas frequências de corte o módulo da função de transferência é 1 2 Hmáx 1 2 Substituindo essa constante no lado esquerdo da equação do módulo e então simplificando obtemos 1 vcRC 1 vc L R Elevando mais uma vez o lado esquerdo dessa equação ao quadrado obtemos duas equações quadráticas para as frequências de corte com quatro soluções Somente duas delas são positivas e portanto têm significado físico vc2 1 2RC Å a 1 2RC b 2 1 LC vc1 1 2RC Å a 1 2RC b 2 1 LC Calculamos a largura de faixa pelas frequências de corte 1 RC b vc2 vc1 t Frequências de corte para filtros RLC em paralelo Circuitos elétricos 604 Book Nilsson 3indb 604 290116 1355 Por fim usamos a definição de fator de qualidade para calcular Q Å R2C L Q vob Observe que uma vez mais especificamos as frequências de corte para esse filtro passafaixa em termos de sua frequência central e largura de faixa vc2 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 vc1 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 d Use a equação para largura de faixa em c para calcular um valor para R dada uma capacitância de 5 mF Lembrese de converter a largura de faixa para as unidades adequadas 15915 V 1 2p2005 106 R 1 bC Usando o valor da capacitância e a equação para a frequência central de c calcule o valor do indutor 20264 mH 1 2p500025 106 L 1 vo 2C ExEMPLO 147 Cálculo do efeito de uma fonte não ideal de tensão sobre um filtro passafaixa RLC Para cada filtro passafaixa que construímos sempre admitimos uma fonte ideal de tensão isto é uma fonte de tensão sem nenhuma resistência em série Ainda que essa premissa seja válida na maioria das vezes há casos em que não o é como naquele que o projeto do filtro só pode ser executado com valores de R L e C cuja impedância equi valente tenha um módulo próximo ao da impedância real da fonte de tensão Investigue qual seria o efeito sobre as características de um filtro passafaixa RLC em série se admitíssemos uma resistência da fonte não nula Ri Figura 1424 Circuito para o Exemplo 147 1 2 Ri L vi vo C 1 2 R Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 605 Book Nilsson 3indb 605 290116 1355 a Determine a função de transferência para o circuito na Figura 1424 b Faça o gráfico do módulo da função de transferência do circuito em função da frequência usando os valores para R L e C obtidos no Exemplo 145 e fazendo Ri R No mesmo gráfico plote a curva do módulo da função de transferência para o circuito do Exemplo 145 onde Ri 0 Solução a Comece substituindo o circuito da Figura 1424 por seu equivalente no domínio da frequência como mostra a Figura 1425 Agora use a divisão de ten são para obter a função de transferência Hs R Ls s2 a R Ri L bs 1 LC Faça s jv e calcule o módulo da função de transferência H jv R Lv Éa 1 LC v2b 2 av R Ri L b 2 A frequência central vo é aquela na qual o módulo dessa função de transferência é máximo ou seja vo Ä 1 LC Na frequência central o módulo máximo é Hmáx H jvo R Ri R As frequências de corte podem ser calculadas igualandose o módulo da função de transferência a 1 2 Hmáx vc2 R Ri 2L Éa R Ri 2L b 2 1 LC vc1 R Ri 2L ÉaR Ri 2L b 2 1 LC A largura de faixa é calculada a partir das frequências de corte b R Ri L Figura 1425 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito da Figura 1424 1 2 Ri sL Vis Vos 1C 1 2 R Circuitos elétricos 606 Book Nilsson 3indb 606 290116 1355 Capitulo 14 e Introdugao aos circuitos de selegao de frequéncias Por fim o fator de qualidade é calculado a partir da frequéncia central e da largura de faixa VLC OF RER Observe por essa andlise que podemos escrever a fungao de transferéncia do filtro passafaixa RLC em série com resisténcia da fonte nao nula como KBs Hs3 P 2 s Bs we em que R K RR Observe que quando R 0 K 1 e a funcao de transferéncia s As Se s Bs 0 b O circuito do Exemplo 145 tem uma frequéncia central de 316228 Hz e uma largura de faixa de 9 kHz e H 1 Se usarmos os mesmos valores de R L e C no circuito da Figura 1424 e fizermos R R a frequéncia central permanecera em 316228 kHz mas B R RL 18 kHze H RIR R 12 A variagao dos médulos das fungées de transferéncia para esses dois filtros pas safaixa em fungdo da frequéncia esta representada no mesmo grafico na Figura 1426 Figura 1426 Grafico dos mddulos da fungao de transferéncia de um filtro passafaixa RLC em série em fungdo da frequéncia com resisténcias internas da fonte nula e nao nula Hjo 10 R 0 08 O4F7A 2 02 TF 00 Hz 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 Se compararmos os valores dos parametros do filtro quando R0 com os valores quando R 0 observamos 0 seguinte e As frequéncias centrais sao as mesmas e Oméddulo maximo da fungao de transferéncia para R 0 menor do que para R 0 e A largura de faixa para R 0 maior do que para R 0 Assim as frequéncias de corte e os fatores de qualidade para os dois circuitos também so diferentes A adicao de uma resisténcia nao nula 4 fonte que alimenta um filtro passafaixa RLC em série nao altera a frequéncia central mas aumenta a largura de faixa e reduz o médulo da fun cao de transferéncia na faixa de passagem Nesse caso percebemos o mesmo desafio de projeto que enfrentamos na adição de um resistor de carga ao filtro passaaltas isto é gostaríamos de projetar um filtro passafaixa que tivesse as mesmas propriedades de filtragem independentemente de qualquer resistência interna associada à fonte de tensão Infelizmente a ação de filtragem de filtros construídos com elementos passivos é alterada pela resistência interna da fonte No Capítulo 15 veremos que filtros ativos são insensíveis a variações na resistência da fonte e por isso são mais ade quados para projetos nos quais essa é uma questão importante A Figura 1427 mostra os dois filtros passafaixa RLC juntamente com suas funções de transferência e os respectivos parâmetros Observe que as expressões para as funções de trans ferência do circuito têm a mesma forma Como fizemos antes criamos uma expressão geral para as funções de transferência desses dois filtros passafaixa Hs bs s2 bs vo 2 1438 Qualquer circuito que tenha a função de transferência expressa pela Equação 1438 atua como um filtro passafaixa com uma frequência central vo e uma largura de faixa b No Exemplo 147 vimos que a função de transferência também pode ser escrita na forma Hs Kbs s2 bs vo 2 1439 em que os valores para K e b dependem de a resistência em série da fonte de tensão ser ou não nula Relação entre o domínio da frequência e o domínio do tempo Podemos identificar uma relação entre os parâmetros que caracterizam a resposta no domínio da frequência de filtros pas safaixa RLC e os parâmetros que caracterizam a resposta no domínio do tempo de circuitos RLC Examine o circuito RLC em série da Figura 1419a No Capítulo 8 verificamos que a resposta natural desse circuito é caracterizada pela frequência de Neper a e pela frequência angular de ressonância vo Esses parâmetros foram expressos em termos dos componentes de circuito nas equações 858 e 859 que repetimos aqui por conveniência a R 2L rads 1440 vo Ä 1 LC rads 1441 Vemos que o mesmo parâmetro vo é usado para caracteri zar a resposta tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência É por isso que a frequência central também é denominada frequência de ressonância A largura de faixa e a frequência de Neper estão relacionadas pela equação b 2a 1442 Função de u transferência para filtro passafaixa RLC Figura 1427 Dois filtros passafaixa RLC juntamente com as respectivas equações para a função de transferência frequência central e largura de faixa R sL Vo R Vi Vi sL Vo R Ls 1 LC 1 LC s RC sC 1 sC 1 Circuitos elétricos 608 Book Nilsson 3indb 608 290116 1355 Lembrese de que a resposta natural de um circuito RLC em série pode ser subamorte cida superamortecida ou criticamente amortecida A transição de superamortecida para suba mortecida ocorre quando vo 2 a2 Examine a relação a e b na Equação 1442 e a definição do fator de qualidade Q A transição de uma resposta superamortecida para outra subamor tecida ocorre quando Q 12 Desse modo um circuito cuja resposta no domínio da frequên cia contiver um pico acentuado em vo o que indica um alto Q e uma largura de faixa estreita terá uma resposta natural subamortecida Ao contrário um circuito cuja resposta no domí nio da frequência tiver uma largura de faixa larga e um baixo Q terá uma resposta natural superamortecida Objetivo 3 Conhecer quais são as configurações de circuitos RLC que funcionam como filtros passafaixa 146 Usando o circuito da Figura 1419a calcule os valores de R e L para um filtro passafaixa com uma frequência central de 12 kHz e um fator de qualidade de 6 Use um capacitor de 01 mF Resposta L 176 mH R 2210 V 147 Usando o circuito da Figura 1422 calcule os valores de L e C para um filtro passafaixa com uma fre quência central de 2 kHz e uma largura de faixa de 500 Hz Use um resistor de 250 V Resposta L 497 mH C 127 mF 148 Recalcule os valores dos componentes para o circuito do Exemplo 146d de modo que a resposta do circuito resultante não seja alterada usandose um capacitor de 02 mF Resposta L 507 mH R 398 kV 149 Recalcule os valores dos componentes para o circuito do Exemplo 146d de modo que o fator de qua lidade do circuito resultante permaneça inalterado mas a frequência central passe para 2 kHz Use um capacitor de 02 mF Resposta R 995 kV L 3166 mH NOTA tente resolver também os problemas 1418 e 1425 apresentados no final deste capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO 145 Filtros rejeitafaixa Passamos agora para a última das quatro categorias de filtro o rejeitafaixa Esse filtro deixa passar sinais que estão fora da faixa entre as duas frequências de corte a faixa de passa gem e atenua os sinais cujas frequências estão entre as duas frequências de corte a faixa de rejeição Desse modo filtros passafaixa e rejeitafaixa executam funções complementares no domínio da frequência Filtros rejeitafaixa são caracterizados pelos mesmos parâmetros que os filtros passa faixa as duas frequências de corte a frequência central a largura de faixa e o fator de qua lidade Novamente apenas dois desses cinco parâmetros podem ser especificados de forma independente Nas seções seguintes examinaremos dois circuitos que funcionam como filtros rejeita faixa e então calcularemos equações que relacionam os valores dos componentes do circuito com aqueles característicos para cada circuito Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 609 Book Nilsson 3indb 609 290116 1355 O circuito RLC em série análise qualitativa A Figura 1428a mostra um circuito RLC em série Embora os componentes e ligações do circuito sejam idênti cos aos do filtro passafaixa RLC em série da Figura 1419a o circuito da Figura 1428a traz uma importante diferença a tensão de saída é definida no par indutorcapacitor Como vimos no caso dos filtros passabaixas e passaaltas o mesmo circuito pode executar duas funções diferentes de filtragem dependendo da definição da tensão de saída Já observamos que em v 0 o indutor comportase como um curtocircuito e o capacitor como um circuito aberto porém em v q esses papéis são intercambiados A Figura 1428b apresenta o circuito equivalente para v 0 a Figura 1428c apresenta o circuito equivalente para v q Nos dois circuitos equivalentes a tensão de saída é a tensão nos terminais de um circuito aberto e por isso as tensões de saída e de entrada são as mesmas Então esse circuito de filtro rejeitafaixa RLC em série tem duas faixas de passagem uma abaixo de uma frequência de corte inferior e outra acima de uma frequência de corte superior Entre essas duas faixas de passagem tanto o indutor quanto o capacitor têm impedâncias finitas de sinais opostos À medida que a frequência se eleva a partir de zero a impe dância do indutor aumenta e a do capacitor diminui Por tanto o deslocamento entre a entrada e a saída aproximase de 90 à medida que vL aproximase de 1vC Tão logo vL passa de 1vC o deslocamento salta para 90 e então aproximase de zero à medida que v continua a crescer Em certa frequência entre as duas faixas de passagem as impedâncias do indutor e do capacitor são iguais porém com sinais opostos Nessa frequência a combinação em série de indutor e capacitor é a de um curtocircuito e portanto a amplitude da tensão de saída deve ser igual a zero Essa é a frequência central desse filtro rejeitafaixa RLC em série A Figura 1429 apresenta um gráfico de resposta de frequência do filtro rejeitafaixa RLC em série da Figura 1428a Observe que o gráfico do módulo da função de transferência do filtro real está sobreposto ao do filtro rejeitafaixa ideal da Figura 143d Nossa análise qualitativa confirmou a forma das represen tações gráficas do módulo e do ângulo de fase da função de transferência desse filtro Agora realizamos a análise quantitativa do circuito para confirmar essa resposta de frequência e cal cular valores para os parâmetros que a caracterizam O circuito RLC em série análise quantitativa Após a obtenção do circuito equivalente no domínio da frequência como mostra a Figura 1430 usamos a divisão de tensão para deduzir uma equação para a função de transferência Figura 1428 a Filtro rejeitafaixa RLC em série b Circuito equivalente para v 0 c Circuito equivalente para v q 1 2 1 2 1 2 R R R vi vi vi a C 1 2 vo 1 2 vo 1 2 vo b L C c L L C Figura 1429 Gráfico de resposta de frequência para o circuito do filtro rejeitafaixa RLC em série da Figura 1428a 0 uHjvu ujv 10 908 2908 08 vc1 vc2 v vo 1 2 Circuitos elétricos 610 Book Nilsson 3indb 610 290116 1356 Hs sL 1 sC R sL 1 sC s2 1 LC s2 R Ls 1 LC 1443 Substituímos s por jv na Equação 1443 e obtemos as equações do módulo e da fase da função de transferência H jv 1 LC v2 Éa 1 LC v2b 2 a vR L b 2 1444 u jv tg 1 vR L 1 LC v2 1445 Observe que as equações 1444 e 1445 confirmam a forma da resposta de frequência representada na Figura 1429 que desenvolvemos com base na análise qualitativa Usamos o circuito na Figura 1430 para calcular a frequên cia central Para o filtro rejeitafaixa essa frequência também é definida como aquela em que a soma das impedâncias do capacitor e do indutor é igual a zero No filtro passafaixa o módulo da função de transferência era máximo na frequência central mas no filtro rejeitafaixa ele é mínimo Isso porque no filtro rejeitafaixa a frequência central não está na faixa de passagem na verdade está na faixa de rejeição É fácil mostrar que a frequência central é dada por vo Ä 1 LC 1446 Substituindo a Equação 1446 na Equação 1444 vemos que Hjvo 0 As frequências de corte a largura de faixa e o fator de qualidade são definidos para o fil tro rejeitafaixa exatamente do mesmo modo que para o filtro passafaixa Calculamos as fre quências de corte substituindo o lado esquerdo da Equação 1444 pela constante 1 2 Hmáx e então explicitamos vc1 e vc2 Observe que para o filtro rejeitafaixa Hmáx Hj0 Hjq e para o filtro rejeitafaixa RLC em série da Figura 1428a Hmáx 1 Assim vc1 R 2L Å a R 2Lb 2 1 LC 1447 vc2 R 2L Å a R 2Lb 2 1 LC 1448 Usando as frequências de corte para obter uma expressão para a largura de faixa b temos b RL 1449 Figura 1430 Circuito equivalente no domínio da frequência do circuito na Figura 1428a 1 2 R Vis 1sC 1 2 Vos sL Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 611 Book Nilsson 3indb 611 290116 1356 Por fim o fator de qualidade Q é calculado a partir da frequência central e da largura de faixa Q Å L R2C 1450 Mais uma vez podemos calcular as expressões para as duas frequências de corte em ter mos da largura de faixa e frequência central como fizemos para o filtro passafaixa vc1 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 1451 vc2 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 1452 Formas alternativas para essas equações expressam as frequências de corte em termos do fator de qualidade e da frequência central vc1 vo s 1 2Q Å1 a 1 2Qb 2 t 1453 vc2 vo s 1 2Q Å1 a 1 2Qb 2 t 1454 O Exemplo 148 apresenta o projeto de um filtro rejeitafaixa RLC em série ExEMPLO 148 Projeto de um filtro rejeitafaixa RLC em série Usando o circuito RLC em série da Figura 1428a calcule os valores dos componentes de um filtro rejeitafaixa com uma largura de faixa de 250 Hz e uma frequência central de 750 Hz Use um capa citor de 100 nF Calcule valores de R L vc1 vc2 e Q Solução Começamos calculando o valor do fator de qualidade para esse filtro Q vob 3 Usamos a Equação 1446 para calcular L lembrando de converter vo para radianos por segundo 450 mH 1 2p7502100 109 L 1 vo 2C Usamos a Equação 1449 para calcular R 707 V 2p250450 103 R bL Circuitos elétricos 612 Book Nilsson 3indb 612 290116 1356 Os valores para a frequência central e largura de faixa podem ser usados nas equações 1451 e 1452 para calcular as duas frequências de corte 55628 rads vc2 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 39920 rads vc1 b 2 Å a b 2 b 2 vo 2 As frequências de corte são 6353 Hz e 8853 Hz A diferença entre elas é 8853 6353 250 Hz o que confirma a largura de faixa especificada A média geométrica é 63538853 750 Hz o que confirma a frequência central especificada Como você já deve suspeitar a esta altura outra configuração que produz um filtro rejeita faixa é um circuito RLC em paralelo Embora deixemos os detalhes da análise do circuito RLC em paralelo para o Problema 1437 os resultados estão resumidos na Figura 1431 jun tamente com os do filtro rejeitafaixa RLC em série Tal qual fizemos para as outras catego rias de filtro podemos estabelecer uma forma geral para as funções de transferência de filtros rejeitafaixa substituindo os termos constantes por b e vo Hs s2 vo 2 s2 bs vo 2 1455 A Equação 1455 é útil para projetar filtros pois qualquer circuito que tenha uma função de transferência como essa forma pode ser usado como um filtro rejeitafaixa Figura 1431 Dois filtros RLC rejeitafaixa com as respectivas equações para a função de transferência a frequência central e a largura de faixa 1 2 Hs 5 s2 1 RLs 1 1LC s2 1 1LC R Vi 1 2 Vo sL b 5 RL vo 5 1LC sC 1 1 2 R 1 2 Vo sL Vi Hs 5 b 5 1RC vo 5 1LC s2 1 sRC 1 1LC s2 1 1LC sC 1 t Função de transferência para filtro RLC rejeitafaixa Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 613 Book Nilsson 3indb 613 290116 1356 Perspectiva prática Circuitos de telefone de teclas Na Perspectiva prática do início deste capítulo descrevemos o sistema multifrequência de tom dual DTMF usado para sinalizar o acionamento de uma tecla em um telefone Um elemento fundamen tal desse sistema é o receptor DTMF um circuito que decodifica os tons produzidos por uma tecla e determina qual delas foi acionada Para projetar um receptor DTMF precisamos entender melhor esse sistema Como se pode ver na Figura 1432 as teclas do tele fone são organizadas em linhas e colunas O par de tons gerado pelo acionamento de uma tecla depende da linha e da coluna da tecla A linha determina seu tom de baixa frequência e a coluna seu tom de alta frequência1 Por exemplo acionar a tecla 6 produz tons senoi dais com as frequências 770 Hz e 1477 Hz Na central de comutação da empresa de telefonia os filtros passafaixa no receptor DTMF primeiro detectam se ambos os tons o de baixa e o de alta frequência estão presentes simultaneamente Esse teste rejeita muitos sinais de áudio que não sejam DTMF Se os tons estiverem presentes em ambas as faixas outros filtros serão utilizados para selecionar entre os possíveis tons em cada faixa de modo que as frequências possam identificar com precisão a tecla pressionada Testes adicionais são realizados para evitar falsa detec ção de teclas Por exemplo somente um tom é permitido por faixa de frequência as faixas de alta e baixa frequência devem começar e 1 Um quarto tom de alta frequência é gerado em 1633 Hz Raramente usado esse tom não é produzido por telefones comuns de 12 teclas Objetivo 4 Conhecer as configurações do circuito RLC que funcionam como filtros rejeitafaixa 1410 Calcule os valores dos componentes para o filtro rejeitafaixa RLC em série mostrado na Figura 1428a de modo que a frequência central seja 4 kHz e o fator de qualidade seja 5 Use um capacitor de 500 nF Resposta L 317 mH R 1592 V 1411 Recalcule os valores dos componentes do Problema para avaliação 1410 de modo a obter um filtro rejeitafaixa com uma frequência central de 20 kHz O filtro tem um resistor de 100 V e o fator de qualidade continua a ser 5 Resposta L 398 mH C 1592 nF NOTA tente resolver também os problemas 1438 e 1442 apresentados no final deste capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Figura 1432 Tons gerados pelas linhas e colunas de um telefone de teclas ABC DEF 697 Hz 1209 Hz 1336 Hz Grupo de alta frequência Grupo de baixa frequência 1477 Hz 770 Hz 852 Hz 941 Hz MNO JKL GHI WXY TUV OPER PRS Circuitos elétricos 614 Book Nilsson 3indb 614 290116 1356 terminar com alguns milissegundos de intervalo entre si para serem consideradas válidas e as amplitudes dos sinais de alta e baixa frequência devem ser semelhantes Talvez você esteja curioso para saber por que usar filtros passafaixa em vez de um filtro passaaltas para o grupo de tons DTMF de alta frequência e um filtro passabaixa para o grupo de tons DTMF de baixa frequência A razão disso é que o sistema telefônico usa frequências fora da faixa de 3003 kHz para outras finalidades de sinalização como acionar a campainha do telefone Filtros passafaixa impedem que o receptor DTMF detecte erroneamente esses outros sinais NOTA avalie sua compreensão a respeito desta Perspectiva prática tentando resolver os problemas 14511453 apresentados no final deste capítulo Resumo Um circuito de seleção de frequências ou fil tro permite que sinais de certas frequências cheguem à sua saída e atenua sinais de outras frequên cias impedindoos de chegar à saída A faixa de passagem contém as frequências dos sinais que o filtro deixa passar a faixa de rejei ção contém as frequências dos sinais que são atenuados Seção 141 A frequência de corte vc identifica o local no eixo das frequências que separa a faixa de rejei ção da faixa de passagem Na frequência de corte o módulo da função de transferência é igual a 1 2 Hmáx Seção 142 Um filtro passabaixas deixa passar sinais de frequências abaixo de vc e atenua sinais de fre quências acima de vc Qualquer circuito que tenha a função de transferência Hs vc s vc funciona como um filtro passabaixas Seção 142 Um filtro passaaltas deixa passar sinais de fre quências acima de vc e atenua sinais de frequên cias abaixo de vc Qualquer circuito que tenha a função de transferência Hs s s vc funciona como um filtro passaaltas Seção 143 Filtros passafaixa e rejeitafaixa têm duas fre quências de corte vc1 e vc2 Esses filtros são caracterizados também por sua frequência cen tral vo largura de faixa b e fator de quali dade Q Essas quantidades são definidas como Q vob b vc2 vc1 vo vc1 vc2 Seção 144 Um filtro passafaixa deixa passar sinais de fre quências dentro da faixa de passagem que está entre vc1 e vc2 e atenua sinais de frequências que estão fora da faixa de passagem Qualquer circuito que tenha a função de transferência Hs bS s2 bS v2 o funciona como um filtro passafaixa Seção 144 Um filtro rejeitafaixa atenua sinais de frequên cias dentro da faixa de rejeição que está entre vc1 e vc2 e deixa passar sinais de frequências que estão fora da faixa de rejeição Qualquer circuito que tenha a função de transferência Hs s2 v2 o s2 bS v2 o funciona como um filtro rejeitafaixa Seção 145 Adicionar uma carga à saída de um filtro pas sivo altera suas propriedades de filtragem por alterar a localização da faixa de passagem e o módulo da função de transferência nessa faixa Substituir uma fonte ideal de tensão que ali menta o filtro por uma fonte de resistência não nula também altera as propriedades de filtragem do circuito novamente pela altera ção da localização da faixa de passagem e do módulo da função de transferência nessa faixa Seção 144 Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 615 Book Nilsson 3indb 615 290116 1356 Problemas Seção 142 141 a Determine a frequência de corte em hertz para o filtro RL mostrado na Figura P141 b Calcule Hjv em vc 0125vc e 8vc c Se vi 20 cos vt V escreva a expressão de regime permanente de vo quando v vc v 0125vc e v 8vc Figura P141 50 mH 1 2 vi 1 2 vo 12 kV 142 a Determine a frequência de corte em hertz do filtro passabaixas mostrado na Figura P142 b Calcule Hjv em vc 01vc e 10vc c Se vi 25 cos vt mV escreva a expressão de regime permanente de vo quando v vc 01vc e 10vc Figura P142 160 V 1 2 vi 1 2 vo 5 mF 143 Um resistor Rl é inserido em série com o indu tor no circuito da Figura 144a O circuito do novo filtro passabaixas é mostrado na Figura P143 a Deduza a expressão para Hs em que Hs VoVi b Em qual frequência o módulo de Hjv será máximo c Qual é o valor máximo do módulo de Hjv d Em qual frequência o módulo de Hjv é igual a seu valor máximo dividido por 2 e Suponha que uma resistência de 300 V seja inserida em série com o indutor de 50 mH no circuito da Figura P141 Determine vc Hj0 Hjvc Hj02vc e Hj5vc Figura P143 Rl R L 1 2 vi 1 2 vo 144 Um resistor de carga RL é ligado em para lelo com o capacitor no circuito da Figura 147 O circuito do filtro passabaixas carregado é mostrado na Figura P147 a Deduza a expressão para a função de transferência de tensão VoVi b Em qual frequência o módulo de Hjv será máximo c Qual é o valor máximo do módulo de Hjv d Em qual frequência o módulo de Hjv é igual a seu valor máximo dividido por 2 e Suponha que uma resistência de 320 V seja inserida em paralelo com o capaci tor de 5 mF no circuito da Figura P144 Determine vc Hj0 Hjvc Hj02vc e Hj5vc Figura P144 R RL 1 2 vo 1 2 vi C Circuitos elétricos 616 Book Nilsson 3indb 616 290116 1356 145 Estude o circuito mostrado na Figura P145 sem o resistor de carga a À medida que v S 0 o comportamento do indutor aproximase do comporta mento de qual componente de circuito Que valor terá a tensão de saída v0 b À medida que v S q o comportamento do indutor aproximase do comporta mento de qual componente de circuito Que valor terá a tensão de saída v0 c Tendo como base os itens a e b que tipo de filtragem esse circuito exibe d Qual é a função de transferência do filtro não carregado e Se R 330 V e L 10 mH qual é a frequên cia de corte do filtro em rads Figura P145 1 2 vi R RL vo 1 2 L Vos Vis Hs 5 146 Suponha que desejamos acrescentar um resis tor de carga em paralelo com o resistor no circuito mostrado na Figura P145 a Qual é a função de transferência do filtro carregado b Compare a função de transferência do fil tro não carregado item d do Problema 145 com a função de transferência do filtro carregado item a do Problema 146 As frequências de corte são dife rentes Os ganhos nas faixas de passa gem são diferentes c Qual é o menor valor de resistência de carga que pode ser usado com o filtro do Problema 145e de tal modo que a fre quência de corte do filtro resultante não varie mais do que 5 em relação à do fil tro não carregado 147 Use um indutor de 1 mH para projetar um filtro passabaixas RL passivo com uma fre quência de corte de 5 kHz a Especifique o valor do resistor b Uma resistência de carga de 68 V é ligada aos terminais de saída do filtro Qual é a frequência de corte em hertz do filtro carregado c Se for necessário usar um único resistor do Apêndice H para a parte a qual se deve usar Qual é a frequência de corte resultante do filtro Seção 143 148 Use um indutor de 10 mH para projetar um filtro passabaixas com uma frequência de corte de 1600 rads a Especifique a frequência de corte em hertz b Especifique o valor do resistor do filtro c Suponha que a frequência de corte não possa aumentar mais do que 10 Qual é o menor valor da resistência de carga que pode ser ligada aos terminais de saída do filtro d Se o resistor determinado em c for ligado aos terminais de saída qual será o módulo de Hjv quando v 0 149 Projete um filtro passabaixas RC passivo veja a Figura 147 com uma frequência de corte de 100 Hz usando um capacitor de 47 mF a Qual é a frequência de corte em rads b Qual é o valor do resistor c Desenhe o circuito do filtro e identifique os valores dos componentes e a tensão de saída d Qual é a função de transferência do filtro do item c e Se o filtro do item c for carregado com um resistor cujo valor é o mesmo do resistor do Problema de Projeto Pspice Multisim Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 617 Book Nilsson 3indb 617 290116 1356 item b qual será a função de transferên cia desse filtro carregado f Qual é a frequência de corte do filtro car regado do item e g Qual é o ganho na faixa de passagem do fil tro carregado do item e 1410 Use um capacitor de 500 nF para projetar um filtro passabaixas passivo com uma frequên cia de corte de 50 krads a Especifique a frequência de corte em hertz b Especifique o valor do resistor do filtro c Suponha que a frequência de corte não possa aumentar mais do que 5 Qual é o menor valor da resistência de carga que pode ser ligada aos terminais de saída do filtro d Se o resistor determinado em c for ligado aos terminais de saída qual será o módulo de Hjv quando v 0 Seção 143 1411 a Determine a frequência de corte em hertz para o filtro passaaltas mostrado na Figura P1411 b Determine Hjv em vc 0125vc e 8vc c Se vi 75 cos vt V escreva a expressão de regime permanente para vo quando v vc v 0125vc e v 8vc Figura P1411 20 V 80 mF 1 2 vi 1 2 vo 1412 Um resistor Rc é ligado em série com o capa citor no circuito da Figura 1411a O novo circuito do filtro passaaltas é mostrado na Figura P1412 a Deduza a expressão para Hs em que Hs VoVi b Em qual frequência o módulo de Hjv será máximo c Qual é o valor máximo do módulo de Hjv d Em qual frequência o módulo de Hjv será igual a seu valor máximo dividido por 2 e Suponha que uma resistência de 5 V seja ligada em série com o capacitor de 80 mF no circuito da Figura P1411 Calcule vc Hjvc Hj0125vc e Hj8vc Figura P1412 Rc R C 1 2 vi 1 2 vo 1413 Usando um capacitor de 100 nF projete um filtro passaaltas passivo com uma frequência de corte de 300 Hz a Especifique o valor de R em quiloohms b Um resistor de 47 kV é ligado aos termi nais de saída do filtro Qual é a frequência de corte em hertz do filtro carregado 1414 Examine o circuito mostrado na Figura P1414 a Considerandose as tensões de entrada e saída mostradas na figura esse circuito comportase como qual tipo de filtro b Qual é a função de transferência Hs VosVis desse filtro c Qual é a frequência de corte desse filtro d Qual é a magnitude da função de transfe rência do filtro em s jvc Figura P1414 1 2 vi 150 V vo 1 2 10 mH Problema de Projeto Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Circuitos elétricos 618 Book Nilsson 3indb 618 290116 1356 1415 Suponha que um resistor de carga 150 V seja ligado ao filtro na Figura P1414 a Qual é a função de transferência Hs VosVis desse filtro b Qual é a frequência de corte desse filtro c Compare a frequência de corte do filtro carregado com a frequência de corte do filtro não carregado da Figura P1414 d O que mais difere esses dois filtros 1416 Projete um filtro passaaltas RC veja a Figura 1410a com uma frequência de corte de 500 Hz usando um capacitor de 220 pF a Qual é a frequência de corte em rads b Qual é o valor do resistor c Desenhe o circuito do filtro identificando os valores dos componentes e a tensão de saída d Qual é a função de transferência do filtro do item c e Se o filtro do item c for carregado com um resistor cujo valor é o mesmo do resistor do item b qual será a função de transferência desse filtro carregado f Qual é a frequência de corte do filtro car regado do item e g Qual é o ganho na faixa de passagem do filtro carregado do item e 1417 Usando um indutor de 100 mH projete um filtro passaaltas RL passivo com uma fre quência de corte de 1500 krads a Especifique o valor da resistência selecio nando os componentes no Apêndice H b Suponha que uma carga resistiva pura seja ligada ao filtro A frequência de corte não deve cair abaixo de 1200 krads Qual é o menor resistor de carga do Apêndice H que pode ser ligado aos terminais de saída do filtro Seção 144 1418 Para o filtro passafaixa mostrado na Figura P1418 calcule o seguinte a vo b fo c Q d vc1 e fc1 f vc2 g fc2 e h b Figura P1418 8 kV 10 nF 1 2 vo 1 2 vi 10 mH 1419 Calcule a frequência central a largura de faixa e o fator de qualidade de um filtro pas safaixa cujas frequências de corte superior e inferior são respectivamente 121 krads e 100 krads 1420 Um filtro passafaixa tem uma frequência central ou de ressonância de 50 krads e um fator de qualidade de 4 Determine a largura de faixa a frequência de corte superior e a frequência de corte inferior Expresse todas as respostas em quilohertz 1421 Projete um filtro passafaixa RLC em série veja a Figura 1419a com um fator de qualidade de 8 e uma frequência central de 50 krads usando um capacitor de 001 mF a Desenhe o circuito do filtro identificando os valores dos componentes e a tensão de saída b Para o filtro do item a calcule a largura de faixa e os valores das duas frequências de corte 1422 A entrada para o filtro passafaixa RLC em série projetado no Problema 1421 é 5 cos vt V Determine a queda de tensão no resistor quando a v vo b v vc1 c v vc2 d v 01vo e v 10vo 1423 A entrada para o filtro passafaixa RLC em série projetado no Problema 1421 é 5 cos vt V Determine a queda de tensão na combina ção em série de indutor e capacitor quando a v vo b v vc1 c v vc2d v 01vo e v 10vo 1424 Mostre que as formas alternativas para as frequências de corte de um filtro passafaixa dadas pelas equações 1436 e 1437 podem ser deduzidas das equações 1434 e 1435 Problema de Projeto Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 619 Book Nilsson 3indb 619 290116 1356 1425 Usando um capacitor de 50 nF no circuito passafaixa mostrado na Figura 1422 projete um filtro com um fator de qualidade de 5 e uma frequência central de 20 krads a Especifique os valores numéricos de R e L b Calcule as frequências de corte superior e inferior em quilohertz c Calcule a largura de faixa em hertz 1426 Projete um filtro passafaixa RLC em série usando somente três componentes do Apên dice H cujas especificações mais se aproxi mem daquelas indicadas no Problema 1425 a Desenhe o filtro e identifique os valores dos componentes e as tensões de entrada e saída b Calcule o erro percentual na frequên cia central e no fator de qualidade desse novo filtro quando comparados com os valores especificados no Problema 1425 1427 Use um capacitor de 5 nF para projetar um filtro passafaixa RLC em série como mos trado na parte superior da Figura 1427 A fre quência central do filtro é 8 kHz e o fator de qualidade é 2 a Especifique os valores de R e L b Qual é a frequência de corte inferior em quilohertz c Qual é a frequência de corte superior em quilohertz d Qual é a largura de faixa do filtro em quilohertz 1428 Projete um filtro passafaixa RLC em série usando somente três componentes do Apên dice H cujas especificações mais se aproximem daquelas indicadas no Problema 1427 a Desenhe o filtro e identifique os valores dos componentes e as tensões de entrada e saída b Calcule o erro percentual na frequên cia central e no fator de qualidade desse novo filtro quando comparados com os valores especificados no Problema 1427 1429 Para o filtro passafaixa mostrado na Figura P1429 calcule o seguinte a fo b Q c fc1 d fc2 e e b Figura P1429 20 V 40 mH 180 V 40 nF 1 2 vi 1 2 vo 1430 A tensão de entrada no circuito da Figura P1429 é 10 cos vt V Calcule a tensão de saída quando a v vo b v vc1 e c v vc2 1431 Examine o circuito mostrado na Figura P1431 a Determine vo b Determine b c Determine Q d Determine a expressão de regime perma nente para vo quando vi 250 cos vot mV e Mostre que se RL for expresso em quiloohms o Q do circuito na Figura P1431 será Q 20 1 100RL f Faça um gráfico de Q em relação a RL para 20 kV RL 2 MV Figura P1431 100 kV 200 pF 5 mH 1 2 vo 1 2 vi 400 kV 1432 Um diagrama de blocos de um sistema que consiste em uma fonte de tensão senoidal um filtro passafaixa RLC em série e uma carga são mostrados na Figura P1432 A impedân cia interna da fonte senoidal é 80 j0 V e a impedância da carga é 480 j0 V O filtro passafaixa RLC em série tem um capacitor de 20 nF uma frequência central de 50 krads e um fator de qualidade de 625 Problema de Projeto Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 620 Book Nilsson 3indb 620 290116 1356 a Desenhe um diagrama do circuito do sistema b Especifique os valores numéricos de L e R para o filtro do sistema c Qual é o fator de qualidade do sistema interligado d Qual é a largura de faixa em hertz do sistema interligado Figura P1432 Fonte Filtro Carga 1433 A finalidade deste problema é investigar como uma carga resistiva ligada aos terminais de saída do filtro passafaixa mostrado na Figura 1419 afeta o fator de qualidade e por conse guinte a largura de faixa do sistema de filtra gem O circuito do filtro carregado é mostrado na Figura P1433 a Calcule a função de transferência VoVi para o circuito mostrado na Figura P1433 b Qual é a expressão para a largura de faixa do sistema c Qual é a expressão para a largura de faixa do sistema carregado bC em fun ção da largura de faixa do sistema não carregado bD d Qual é a expressão para o fator de quali dade do sistema e Qual é a expressão para o fator de quali dade do sistema carregado QC em fun ção do fator de qualidade do sistema des carregado QD f Quais são as expressões para as frequên cias de corte vc1 e vc2 Figura P1433 R C L 1 2 vo 1 2 vi RL 1434 Os parâmetros do circuito na Figura P1433 são R 24 kV C 50 pF e L 2 mH O fator de qualidade do circuito não deve cair abaixo de 75 Qual é o menor valor permissível do resistor RL Seção 145 1435 Para o filtro rejeitafaixa na Figura P1435 cal cule a vo b fo c Q d b em hertz e vc1 f fc1 g vc2 e h fc2 Figura P1435 1875 V vi vo 15625 mH 100 nF 2 1 2 1 1436 Para o filtro rejeitafaixa na Figura P1435 a Determine Hjv nas frequências vo vc1 vc2 01vo e 10vo b Se vi 80 cos v t V escreva a expressão de regime permanente para vo quando v vo v vc1 v vc2 v 01vo e v 10vo 1437 a Mostre por análise qualitativa que o circuito da Figura P1437 é um filtro rejeitafaixa b Comprove a análise qualitativa do item a determinando a função de transferên cia de tensão do filtro c Deduza a expressão para a frequência central do filtro d Deduza as expressões para as frequên cias de corte vc1 e vc2 Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 621 Book Nilsson 3indb 621 290116 1356 e Qual é a expressão para a largura de faixa do filtro f Qual é a expressão para o fator de quali dade do circuito Figura P1437 1 2 vi 1 2 vo R C L 1438 Para o filtro rejeitafaixa na Figura P1438 calcule a vo b fo c Q d vc1 e fc1 f vc2 g fc2 e h b em quilohertz Figura P1438 1 2 vi 1 2 vo 3 kV 625 nF 25 mH 1439 Projete um filtro rejeitafaixa RLC veja a Figura 1428a com um fator de qualidade de 25 e uma frequência central de 25 krads usando um capacitor de 200 nF a Desenhe o circuito do filtro identificando os valores dos componentes e a tensão de saída b Para o filtro do item a calcule a largura de faixa e os valores das duas frequências de corte 1440 A entrada para o filtro rejeitafaixa RLC pro jetado no Problema 1439 é 10 cosvt V Deter mine a queda de tensão na combinação em série de indutor e capacitor quando a v vo b v vc1 c v vc2 d v 0125vo e v 8vo 1441 A entrada para o filtro rejeitafaixa RLC projetado no Problema 1439 é 10 cosvt V Determine a queda de tensão no resistor quando a v vo b v vc1 c v vc2 d v 0125vo e v 8vo 1442 Use um capacitor de 500 nF para projetar um filtro rejeitafaixa como mostrado na Figura P1442 O filtro tem uma frequência central de 4 kHz e um fator de qualidade de 5 a Especifique os valores numéricos de R e L b Calcule as frequências de corte em quilohertz c Calcule a largura de faixa do filtro em quilohertz Figura P1442 1 2 vi 1 2 vo R 500 nF L 1443 Suponha que o filtro rejeitafaixa no Problema 1442 seja carregado com um resistor de 1 kV a Qual é o fator de qualidade do circuito carregado b Qual é a largura de faixa em quilohertz do circuito carregado c Qual é a frequência de corte superior em quilohertz d Qual é a frequência de corte inferior em quilohertz 1444 Projete um filtro passafaixa RLC em série usando somente três componentes do Apên dice H cujas especificações mais se aproxi mem daquelas indicadas no Problema 1442 a Desenhe o filtro e identifique os valores dos componentes e as tensões de entrada e saída b Calcule o erro percentual na frequên cia central e no fator de qualidade desse novo filtro quando comparados com os valores especificados no Problema 1442 1445 A finalidade deste problema é investigar como uma carga resistiva ligada aos termi nais de saída do filtro rejeitafaixa mostrado na Figura 1428a afeta o comportamento do Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 622 Book Nilsson 3indb 622 290116 1356 filtro O circuito do filtro carregado é mostrado na Figura P1445 a Determine a função de transferência de tensão Vo Vi b Qual é a expressão para a frequência central c Qual é a expressão para a largura de faixa d Qual é a expressão para o fator de qualidade e Calcule H jvo f Calcule Hj0 g Calcule Hjq h Quais são as expressões para as frequên cias vc1 e vc2 Figura P1445 1 2 vi 1 2 vo R RL L C 1446 Os parâmetros do circuito na Figura P1445 são R 30 V L 1 mH C 4 pF e RL 150 V a Determine vo b em quilohertz e Q b Determine Hj0 e Hjq c Determine fc2 e fc1 d Mostre que se RL for expresso em ohms o Q do circuito será Q 50 3 1 30RL e Faça um gráfico de Q em função de RL para 10 V RL 300 V 1447 A carga no circuito do filtro rejeitafaixa mos trado na Figura P1442 é 500 V A frequência central do filtro é 25 krads e o capacitor é de 25 nF Em frequências muito baixas e muito altas a amplitude da tensão senoidal de saída deve ser no mínimo 90 da amplitude da ten são senoidal de entrada a Especifique os valores numéricos de R e L b Qual é o fator de qualidade do circuito Seções 141145 1448 Dada a seguinte função de transferência de tensão 25 106 s2 1000s 25 106 Hs Vo Vi a Em quais frequências em radianos por segundo o módulo da função de transfe rência é igual à unidade b Em quais frequências o módulo da fun ção de transferência é máximo c Qual é o valor máximo do módulo da função de transferência 1449 Examine o circuito RLC em série mostrado na Figura P1449 Quando a saída é a tensão nos terminais do resistor sabemos que esse circuito é um filtro passafaixa Quando a saída é a tensão na combinação em série do indutor e capacitor sabemos que esse circuito é um filtro rejeitafaixa Este problema analisa o comportamento do circuito quando a saída é a tensão nos terminais do indutor a Determine a função de transferência Hs VosVis quando Vos é a ten são no indutor b Determine o módulo da função de trans ferência na parte a para frequências muito baixas c Determine o módulo da função de trans ferência na parte a para frequências muito elevadas d Com base em suas respostas nas partes b e c que tipo de filtro é esse e Suponha R 600 V L 400 mH C 25 mF Calcule a frequência de corte desse Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 14 Introdução aos circuitos de seleção de frequências 623 Book Nilsson 3indb 623 290116 1356 filtro isto é a frequência em que o módulo da função de transferência é 12 Figura P1449 vi vo 2 1 2 1 L C R 1450 Repita as partes a a d do Problema 1449 para o circuito mostrado na Figura P1450 Note que a tensão de saída é agora a tensão no capacitor Figura P1450 vi vo 2 1 2 1 L C R 1451 Projete um filtro passafaixa RLC em série veja a Figura 1427 para detectar o tom de baixa frequência gerado pelo aciona mento de uma tecla do telefone mostrado na Figura 1432 a Calcule os valores de L e C que situam as frequências de corte nos limites da faixa de baixa frequência do DTMF Observe que a resistência em circuitos telefônicos padronizados é sempre R 600 V b Qual é a amplitude da saída desse cir cuito em cada uma das faixas de baixa frequência em relação à amplitude de pico do filtro passafaixa c Qual é a amplitude da saída desse cir cuito na frequência mais baixa da faixa de alta frequência 1452 Projete um filtro DTMF passafaixa para altas frequências semelhante ao filtro passafaixa para baixas frequências projetado no Pro blema 1451 Não se esqueça de incluir o quarto tom de alta frequência em 1633 Hz em seu projeto Qual é a amplitude da resposta de seu filtro em relação aos tons DTMF de baixa frequência 1453 O sinal de 20 Hz que aciona a campainha de um telefone tem de ter uma amplitude muito grande para produzir um sinal suficiente mente alto Qual é a relação máxima entre a amplitude do sinal da campainha e a dos sinais de baixa frequência do sistema DTMF de forma que a resposta do filtro no Problema 1451 seja no máximo igual à metade da ampli tude de qualquer dos sinais do sistema DTMF Perspectiva Prática Problema de Projeto Perspectiva Prática Problema de Projeto Perspectiva Prática Problema de Projeto Circuitos elétricos 624 Book Nilsson 3indb 624 290116 1356 SUMÁRIO DO CAPÍTULO 151 Filtros ativos passabaixas e passaaltas de primeira ordem 152 Mudança de escala 153 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa 154 Filtros ativos de ordem superior 155 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa de banda estreita Filtros ativos Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Conhecer os circuitos com amplifi cadores operacionais que se comportam como fi ltros passabaixas e passaaltas de primeira ordem e saber calcular os valores dos componentes para que esses circuitos atendam às especifi cações de frequência de corte e ganho na faixa de passagem 2 Saber projetar fi ltros ativos a partir de protótipos e usar mudanças de escala para conseguir as características desejadas 3 Entender como usar fi ltros Butterworth de primeira e segunda ordens em cascata para implementar fi ltros passa baixas passaaltas passafaixa e rejeitafaixa de qualquer ordem 4 Saber usar as equações de projeto para calcular os valores dos componentes para fi ltros protótipos de faixa estreita passafaixa e rejeitafaixa que atendam às especifi cações desejadas Até aqui examinamos somente circuitos de fi ltros passivos isto é circuitos que consistem em resistores indutores e capacitores Entretanto há áreas de aplicação nas quais os circuitos ativos aqueles que empregam amplifi cadores operacionais têm algumas vantagens em relação aos passivos Por exemplo circuitos ativos podem produzir fi ltros passafaixa e rejeitafaixa sem usar indutores Isso é desejável porque de modo geral indutores são grandes pesados e caros e podem introduzir efeitos eletromagnéticos que comprometem as características desejadas da resposta de frequência Examine as funções de transferência de todos os fi ltros do Capítulo 14 e verá que a amplitude máxima não excede 1 Ainda que fi ltros passivos possam realizar amplifi cação de tensão e corrente na frequência de ressonância de modo geral não são capazes de amplifi car pois a amplitude da saída não excede a da entrada Essa observação não surpreende pois muitas das funções de transferência no Capítulo 14 foram derivadas usandose divisão de ten são ou corrente Filtros ativos permitem um controle da amplifi cação característica não disponível em fi ltros passivos 15 Book Nilsson 3indb 625 290116 1356 Por fim lembrese de que a frequência de corte e o ganho na faixa de passagem de filtros passivos foram alterados com a adição de uma carga resistiva na saída do filtro Isso não acontece com filtros ativos em razão das propriedades dos amplificadores operacionais Assim usamos circuitos ativos para implemen tar projetos de filtros quando ganho variação de carga e tamanho físico são parâmetros importantes nas especificações de projeto Neste capítulo estudaremos alguns dos muitos circuitos de filtros que empregam amplificadores ope racionais Como veremos esses circuitos superam as desvantagens dos circuitos passivos Além disso mostraremos como os filtros ativos básicos podem ser combinados para obtermos respostas de frequência específicas e conseguirmos uma resposta mais próxima da ideal Observe que neste capítulo admitimos que todo amplificador operacional seja ideal Perspectiva prática Controle de volume de graves Neste capítulo continuamos a estudar circuitos de seleção de frequências Como descrevemos no Capítulo 14 isso sig nifica que o comportamento do circuito depende da frequência de sua entrada senoidal A maioria dos circuitos apresentados aqui pertence a uma das quatro categorias identificadas no capítulo anterior filtros passabaixas passaaltas passafaixa e rejeitafaixa Contudo enquanto os circuitos no Capítulo 14 foram construídos usandose fontes resistores capacitores e indutores os circuitos deste capítulo empregam amplificadores operacionais Logo conheceremos as vantagens obtidas com um filtro em cuja construção utilizamse amplificadores operacionais Sistemas eletrônicos de áudio como rádios tocafitas e tocaCDs costumam apresentar controles de volume separados de nominados agudos treble e graves bass Esses controles permitem que o usuário selecione o volume de sinais de áudio de alta frequência agudos independentemente do volume de sinais de áudio de baixa frequência graves A capacidade de ajustar de forma independente a quantidade de amplificação ou atenuação nessas duas faixas de frequência permite que o ouvinte ajuste o som com mais precisão do que se existisse um único controle de volume Daí esses circuitos de controle serem chamados de circuitos de controle de tom O exemplo da Perspectiva prática no final deste capítulo apresenta um circuito que implementa o controle de volume de graves usando um único amplificador operacional com resistores e capacitores Um resistor ajustável provê o controle necessário para a amplificação na faixa de frequência dos graves Agudos Graves Dana Hoff Beateworks Corbis Circuitos elétricos 626 Book Nilsson 3indb 626 290116 1356 151 Filtros ativos passabaixas e passa altas de primeira ordem Tomemos o circuito da Figura 151 Do ponto de vista quali tativo quando a frequência da fonte varia somente a impedância do capacitor é afetada Em frequências muito baixas o capacitor funciona como um circuito aberto enquanto o circuito amp op funciona como um amplificador com um ganho de R2R1 Em frequências muito altas o capacitor funciona como um curto circuito ligando a saída do amp op à terra Assim o circuito da Figura 151 funciona como um filtro passabaixas com um ganho na faixa de passagem de R2R1 Para confirmar essa avaliação qualitativa podemos calcular a função de transferência Hs VosVis Observe que o cir cuito na Figura 151 tem a forma do circuito genérico da Figura 152 no qual a impedância de entrada Zi é o resistor R1 e a impedância de realimentação Zf é a combinação em paralelo do resistor R2 e do capacitor C Como o circuito da Figura 152 é análogo ao circuito amplificador inversor do Capítulo 5 sua função de transferên cia é Zf Zi Assim a função de transferência do circuito da Figura 151 é K vc s vc R27 a 1 sC b R1 Hs Zf Zi 151 em que K R2 R1 152 e vc 1 R2C 153 Observe que a Equação 151 tem a mesma forma da equação geral para filtros passa baixas dada no Capítulo 14 com uma importante exceção o ganho na faixa de passagem K é determinado pela razão R2R1 Assim um filtro ativo passabaixas permite que seu ganho na faixa de passagem e sua frequência de corte sejam especificados de modo independente Uma observação sobre gráficos de resposta de frequência Os gráficos de resposta de frequência apresentados no Capítulo 14 proporcionam valiosa percepção sobre o funcionamento de um filtro Por isso faremos uso extensivo de gráficos de Figura 151 Filtro ativo passabaixas de primeira ordem vi vo 1 2 2 1 R2 C R1 1 2 Figura 152 Esquema genérico de um circuito com um amplificador Vi Vo 1 2 2 1 1 2 Zi Zf Capítulo 15 Filtros ativos 627 Book Nilsson 3indb 627 290116 1356 resposta de frequência também neste capítulo Esses gráficos no Capítulo 14 eram duplos um gráfico do módulo da função de transferência em função da frequência e um gráfico do ângulo de fase em graus da função de transferência em função da frequência Quando usa mos ambos os gráficos normalmente eles são sobrepostos de maneira que possam comparti lhar o mesmo eixo de frequência Neste capítulo usamos um tipo especial de gráfico de resposta de frequência denominado diagrama de Bode Os detalhes desse diagrama são discutidos no Apêndice E que inclui infor mações detalhadas sobre como construílos manualmente Como é provável que você use um computador para construir diagramas de Bode resumimos aqui as características especiais desses gráficos Há duas diferenças importantes entre os diagramas de Bode e os gráficos de resposta de frequência do Capítulo 14 A primeira é que em vez de usar um eixo linear para os valores da frequência um diagrama de Bode utiliza um eixo logarítmico o que permite a representação gráfica de uma faixa mais ampla de frequências de interesse Normalmente representamos três ou quatro décadas de fre quências por exemplo de 102 rads a 106 rads ou 1 kHz a 1 MHz escolhendo a faixa de frequên cias na qual as características da função de transferência estão variando Se construirmos diagra mas de Bode do módulo e do ângulo de fase eles também vão compartilhar o eixo da frequência A segunda diferença é que em vez de representar diretamente o módulo da função de transferência em função da frequência o diagrama de Bode representa o módulo em decibéis dB em função do logaritmo da frequência O decibel é discutido no Apêndice D Em resumo se o módulo da função de transferência for Hjv seu valor em dB será dado por AdB 20 log10 Hjv É importante lembrar que embora Hjv seja uma quantidade positiva AdB é uma quan tidade que pode assumir valores negativos Quando AdB 0 o módulo da função de transfe rência é 1 visto que 20 log101 0 Quando AdB 6 0 o módulo da função de transferência está entre 0 e 1 e quando AdB 7 0 o módulo da função de transferência é maior do que 1 Por fim observe que 20 log10 1 2 3 dB Lembrese de que definimos a frequência de corte de filtros determinando a frequência em que o valor máximo do módulo da função de transferência era reduzido em 1 2 Se traduzir mos essa definição para o módulo em dB definimos a frequência de corte de um filtro determi nando a frequência em que o máximo módulo da função de transferência em dB reduzse em 3 dB Por exemplo se o módulo da função de transferência de um filtro passabaixas em sua faixa de passagem for 26 dB o valor usado para determinar a frequência de corte será 26 3 23 dB O Exemplo 151 ilustra o projeto de um filtro ativo passabaixas de primeira ordem que deve atender às especificações desejadas de ganho na faixa de passagem e frequência de corte além de ilustrar um diagrama de Bode do módulo da função de transferência do filtro ExEMPLO 151 Projeto de um filtro ativo passabaixas Usando o circuito mostrado na Figura 151 calcule valores de C e R2 para que junto com R1 1 V ele funcione como um filtro passabaixas com um ganho na faixa de passagem de 1 e uma frequência de corte de 1 rads Determine a função de transferência para esse filtro e usea para desenhar um dia grama de Bode da amplitude da resposta de frequência do filtro Circuitos elétricos 628 Book Nilsson 3indb 628 290116 1356 Solução A Equação 152 expressa o ganho na faixa de passagem em termos de R1 e R2 e assim permite cal cular o valor de R2 R2 KR1 11 1 V Então a Equação 153 permite calcular C para a frequência de corte especificada 1 F 1 11 C 1 R2vc A função de transferência para o filtro passabaixas é dada pela Equação 151 1 s 1 Hs K vc s vc O diagrama de Bode de Hjv é mos trado na Figura 153 Esse circuito é deno minado filtro protótipo passabaixas ativo já que usa um resistor de valor 1 V e um capacitor de valor 1 F e tem uma frequên cia de corte de 1 rads Como veremos na próxima seção filtros protótipos são úteis como ponto de partida para o projeto de filtros com valores mais realistas de com ponentes para se obter a resposta de fre quência desejada Figura 153 Diagrama de Bode do módulo da função de transferência do filtro ativo passabaixas do Exemplo 151 220 215 210 25 0 5 10 10 05 10 50 01 uHjvu dB v rads Você pode ter reconhecido o circuito na Figura 151 como o circuito amplificador integra dor apresentado no Capítulo 7 Eles são realmente o mesmo circuito e portanto a integração no domínio do tempo corresponde à filtragem passabaixas no domínio da frequência Essa relação entre integração e filtragem passabaixas é confirmada também pela transformada operacional de Laplace para integração deduzida no Capítulo 12 O circuito da Figura 154 é um filtro passaaltas de primeira ordem Esse circuito tam bém tem a forma geral daquele da Figura 152 mas agora a impedância do circuito de entrada é a combinação em série de R1 e C e a impedância do circuito de realimentação é o resistor R2 Capítulo 15 Filtros ativos 629 Book Nilsson 3indb 629 290116 1356 ExEMPLO 152 Projeto de um filtro amp op passaaltas A Figura 155 mostra o diagrama de Bode da amplitude de um filtro passaal tas Usando o circuito do filtro ativo pas saaltas da Figura 154 calcule os valo res de R1 e R2 que produzem a resposta desejada Use um capacitor de 01 mF Se um resistor de carga de 10 kV for adicio nado ao filtro como o diagrama de Bode da amplitude será alterado Solução Comece escrevendo uma função de transferência que tenha o gráfico de amplitude mostrado na Figura 155 Para isso observe que o ganho na faixa de pas sagem é 20 dB portanto K 10 Observe também que a queda de 3 dB em relação ao ganho na faixa de passagem ocorre em 500 rads A Equação 154 representa a função de transferência geral para um filtro passaaltas e portanto a função de transferência cujo diagrama de Bode da amplitude se vê na Figura 155 é Hs 10s s 500 Figura 155 Diagrama de Bode da amplitude do filtro passaaltas para o Exemplo 152 240 230 220 210 0 10 20 30 10 5 100 v rads 50 500 1000 5000 10000 1 uHjvu dB Assim a função de transferência para o circuito na Figura 154 é K s s vc R2 R1 1 sC Hs Zf Zi 154 em que K R2 R1 155 e vc 1 R1C 156 Novamente a forma da função de transferência dada na Equação 154 é a mesma que a dada na Equação 1420 que é a equação dos filtros passivos passaaltas com uma diferença importante como um filtro ativo seu ganho na faixa de passagem pode ser maior do que 1 O Exemplo 152 analisa o projeto de um filtro ativo passaaltas que deve atender às espe cificações de resposta de frequência de determinado diagrama de Bode Figura 154 Filtro ativo passaaltas de primeira ordem Vi R2 Vo 1 2 2 1 1 2 R1 sC 1 Circuitos elétricos 630 Book Nilsson 3indb 630 290116 1356 Igualando essa expressão à Equação 154 podemos obter os valores de R1 e R2 Hs 10s s 500 R2R1s s 1R1C Igualando numeradores e denominadores e então simplificando obtemos duas equações 10 R2 R1 500 1 R1C Usando o valor especificado de C 01 mF determinamos R1 20 kV R2 200 kV O circuito resultante é mostrado na Figura 156 Como partimos da premissa de que o amplificador operacional nesse circuito de filtro passaaltas é ideal a adição de qualquer resistor de carga inde pendentemente de sua resistência não tem nenhum efeito sobre seu comportamento Assim a curva de amplitude de um filtro passaaltas com um resistor de carga é a mesma que a de um filtro passaaltas sem um resistor de carga conforme mostrado na Figura 155 Figura 156 Filtro ativo passaaltas para o Exemplo 152 vi 200 kV vo 1 2 2 1 1 2 20 kV 01 mF Objetivo 1 Conhecer os circuitos com amplificadores operacionais que se comportam como filtros passabaixas e passaaltas de primeira ordem e saber calcular os valores de seus componentes 151 Calcule os valores de R2 e C de um filtro passaaltas com ganho na faixa de passagem de 1 e uma fre quência de corte de 1 rads se R1 for 1 V Observação esse é o filtro protótipo passaaltas ativo Resposta R2 1 V C 1 F 152 Calcule o valor dos resistores para que o filtro passabaixas na Figura 151 tenha a função de transferência Hs 20000 s 5000 Use um capacitor de 5 mF Resposta R1 10 V R2 40 V NOTA tente resolver também os problemas 151 e 158 apresentados no final deste capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Capítulo 15 Filtros ativos 631 Book Nilsson 3indb 631 290116 1356 152 Mudança de escala No projeto e análise de circuitos de filtros passivos e ativos é conveniente trabalhar com valores de elementos como 1 V 1 H e 1 F Embora esses valores não sejam realistas simpli ficam muito os cálculos Depois de fazer cálculos usando valores convenientes de R L e C o projetista pode transformar os valores convenientes em valores realistas usando um processo denominado mudança de escala Há dois tipos de mudança de escala a de amplitude e a de frequência Alteramos a escala de amplitude de um circuito multiplicando sua impedância a uma dada frequência por um fator de escala ka Assim multiplicamos todos os resistores e indutores por ka e todos os capa citores por 1ka Se representarmos os valores iniciais dos componentes por R L e C e os valo res dos componentes depois da mudança de escala por Rr Lr e Cr teremos Rr kaR Lr kaL e Cr Cka 157 Observe que ka é por definição um número real positivo que pode ser maior ou menor do que 1 Para mudar a escala de frequência mudamos os parâmetros do circuito de modo que na nova frequência a impedância de cada elemento seja a mesma que era na frequência original Como admitimos que os valores de resistência sejam independentes da frequência os resisto res não são afetados pela mudança da escala de frequência Se denominarmos o fator de escala de frequência kf tanto os indutores quanto os capacitores são multiplicados por 1kf Desse modo para mudar a escala de frequência fazemos Rr R Lr L kf f e Cr Ckf kf 158 O fator de escala de frequência kf também é um número real positivo que pode ser menor ou maior do que a unidade A escala de um circuito pode ser mudada em amplitude e frequência simultaneamente Os valores alterados em termos dos valores originais são Cr 1 kakf C Lr ka kf L Rr ka R 159 Utilização da mudança de escala no projeto de filtros ativos Para usar o conceito de mudança de escala no projeto de filtros ativos faça em primeiro lugar a frequência de corte vc se estiver projetando filtros passabaixas ou passaaltas ou a frequência central vo se estiver projetando filtros passafaixa ou rejeitafaixa igual a 1 rads Em seguida selecione um capacitor de 1 F e calcule os valores dos resistores necessários para determinado ganho na faixa de passagem e para que a frequência de corte ou a frequência central seja 1 rads Por fim use a mudança de escala para calcular valores mais realistas dos componentes para a frequência de corte ou a frequência central desejada O Exemplo 153 ilustra o processo de mudança de escala em geral e o Exemplo 154 a uti lização da mudança de escala no projeto de um filtro passabaixas Fatores de u escala de componentes Circuitos elétricos 632 Book Nilsson 3indb 632 290116 1356 ExEMPLO 153 Mudança de escala de um circuito RLC em série O circuito RLC em série mostrado na Figura 157 tem uma frequência central de 1LC 1 rads uma largura de faixa de RL 1 rads e portanto um fator de qualidade de 1 Use a mudança de escala para calcular novos valores de R e L para que o circuito tenha o mesmo fator de qualidade e uma fre quência central de 500 Hz Use um capacitor de 2 mF Solução Comece calculando o fator de escala que vai alterar a frequência central de 1 rads para 500 Hz Os valores originais representam valores antes da mudança de escala enquanto os valores altera dos representam aqueles após a mudança de escala kf vn o vo 2p500 1 314159 Agora use a Equação 159 para calcular o fator de escala da amplitude que junto com o fator de escala da frequência leve a um valor de capacitância de 2 mF ka 1 kf C Cr 1 3141592 106 159155 Use a Equação 159 mais uma vez para calcular os novos valores de R e L Lr ka kf L 5066 mH Rr kaR 159155 V Com esses valores dos componentes a frequência central do circuito RLC em série é de 1LC 314161 rads ou 500 Hz e a largura de faixa é de RL 314161 rads ou 500 Hz assim o fator de qualidade ainda é 1 Figura 157 Circuito RLC em série para o Exemplo 153 vi 1 F 1 H 1 2 vs 1 V 1 2 ExEMPLO 154 Mudança de escala de um filtro protótipo passabaixas ativo Use o filtro protótipo passabaixas ativo do Exemplo 151 com uma mudança de escala de amplitude e frequência para calcular os valores de resistores para um filtro passabaixas com um ganho de 5 uma frequência de corte de 1000 Hz e um capacitor de realimentação de 001 mF Construa um dia grama de Bode do módulo da função de transferência resultante Solução Para começar use uma mudança de escala de frequência para localizar a frequência de corte em 1000 Hz kf vn cvc 2p10001 6283185 em que a variável alterada assume o novo valor e a variável original tem o valor antigo da frequência de corte Então calcule o fator de escala da amplitude que em associação com kf 6283185 levará a um valor de capacitância de 001 mF ka 1 kf C Cr 1 6283185108 159155 Capítulo 15 Filtros ativos 633 Book Nilsson 3indb 633 290116 1356 Como os valores dos resistores são afetados somente pela mudança de escala da amplitude Rn 1 Rn 2 kaR 1591551 159155 V Por fim precisamos satisfazer a especi ficação do ganho na faixa de passagem Podemos ajustar o valor tanto de R1 quanto de R2 já que K R2R1 Se ajus tarmos R2 mudaremos a frequência de corte porque vc 1R2C Assim deve mos ajustar o valor de R1 para alterar apenas o ganho na faixa de passagem R1 R2K 1591555 31831 V Os valores finais dos componentes são R1 31831 V R2 159155 V C 001 mF A função de transferência do filtro é dada por Hs 3141593 s 6283185 O diagrama de Bode do módulo dessa função de transferência é mostrado na Figura 158 Figura 158 Diagrama de Bode do módulo da função de transferência do filtro ativo passabaixas do Exemplo 154 220 215 210 25 0 5 10 20 15 f Hz 10 100 50 500 1000 10000 5000 uHjf u dB Objetivo 2 Saber projetar filtros ativos a partir de protótipos e usar mudanças de escala para conseguir as características desejadas 153 Quais fatores de escala de amplitude e frequência vão transformar o filtro protótipo passaaltas em um filtro passaaltas com um capacitor de 05 mF e uma frequência de corte de 10 kHz Resposta kf 6283185 ka 31831 NOTA tente resolver também os problemas 1515 e 1516 apresentados no final deste capítulo PROBLEMA PARA AVALIAÇÃO 153 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa Passamos agora à análise e ao projeto de circuitos ativos que se comportam como filtros passafaixa e rejeitafaixa Embora haja uma ampla variedade desses circuitos nossa aborda gem inicial é motivada pela construção do diagrama de Bode mostrado na Figura 159 Pode mos ver pelo gráfico que o filtro passafaixa consiste em três blocos separados Circuitos elétricos 634 Book Nilsson 3indb 634 290116 1356 1 Um filtro passabaixas de ganho unitário cuja frequência de corte é vc2 a maior das duas frequências de corte 2 Um filtro passaaltas de ganho unitário cuja frequência de corte vc1 é a menor das duas frequências de corte 3 Um amplificador cujo fator de amplificação é igual ao ganho desejado na faixa de passagem Figura 159 Construção do diagrama de Bode da amplitude de um filtro passafaixa 240 230 220 210 0 10 20 10 5 100 v rads 50 500 1000 5000 10000 1 30 uHjvu dB Passafaixa em cascata Ganho Passaaltas Passabaixas vc2 vc1 Esses três blocos devem ser ligados em cascata Eles se combinam aditivamente na cons trução do diagrama de Bode e portanto vão se combinar multiplicativamente no domínio da frequência É importante observar que esse método de projeto de um filtro passafaixa supõe que a frequência de corte inferior vc1 seja menor do que a superior vc2 O filtro resultante é denominado filtro passafaixa de banda larga porque a faixa de frequência dos sinais que por ele passam é larga Formalmente um filtro de banda larga é definido de forma que as duas frequências de corte satisfaçam a equação vc2 vc1 2 Como ilustrado pela construção do diagrama de Bode na Figura 159 precisamos que a amplitude do filtro passaaltas seja unitária na frequência de corte do filtro passabaixas e que a amplitude do filtro passabaixas seja unitária na frequência de corte do filtro passaaltas Então o filtro passafaixa terá as frequências de corte especificadas pelos filtros passabaixas e passaaltas Precisamos determinar a relação entre vc1 e vc2 que satisfaça os requisitos ilus trados na Figura 159 Podemos construir um circuito que contenha os três blocos mencionados organizando em cascata um filtro ativo passabaixas um filtro ativo passaaltas e um amplificador inversor veja Capítulo 15 Filtros ativos 635 Book Nilsson 3indb 635 290116 1356 a Seção 53 como mostra a Figura 1510a Essa figura é denominada diagrama de blocos Cada bloco representa um componente ou subcircuito e a saída de um bloco é a entrada do seguinte no sentido indicado Desejamos determinar a relação entre vc1 e vc2 que permitirá que cada subcircuito seja projetado independentemente sem termos de nos preocupar com os outros subcircuitos na cascata Então o projeto do filtro passafaixa é reduzido ao projeto de um filtro passabaixas de primeira ordem de ganho unitário um filtro passaaltas de primeira ordem de ganho unitário e um amplificador inversor sendo cada um dos quais um circuito simples Figura 1510 Filtro ativo passafaixa em cascata a Diagrama de blocos b Circuito 1 2 vo vo Filtro passabaixas RB vi vi b a Filtro passaaltas Amplificador inversor Ri RA RB CB 1 2 CA 2 1 RA 2 1 Rf 2 1 A função de transferência do filtro passafaixa é o produto das funções de transferência dos três blocos em cascata Kvc2s s2 vc1 vc2s vc1vc2 Kvc2s s vc1s vc2 a vc2 s vc2 b a s s vc1 b a Rf Ri b Hs Vo Vi 1510 Observamos imediatamente que a Equação 1510 não está na forma padrão para a função de transferência de um filtro passafaixa discutido no Capítulo 14 ou seja HBP bs s2 bs vo 2 Para converter a Equação 1510 para a forma padrão da função de transferência de um filtro passafaixa precisamos que vc2 W vc1 1511 Circuitos elétricos 636 Book Nilsson 3indb 636 290116 1356 Quando a Equação 1511 é válida vc1 vc2 L vc2 e a função de transferência para o filtro passafaixa em cascata Equação 1510 tornase Hs Kvc2s s2 vc2s vc1vc2 Uma vez confirmado que a Equação 1511 é válida para as frequências de corte especifi cadas para o filtro passafaixa desejado podemos projetar cada estágio do circuito em cascata independentemente e cumprir as especificações do filtro Calculamos os valores de RB e CB no filtro passabaixas para obter a frequência de corte superior desejada vc2 vc2 1 RBCB 1512 Calculamos os valores de RA e CA no filtro passaaltas para obter a frequência de corte inferior desejada vc1 vc1 1 RACA 1513 Agora calculamos os valores de Ri e Rf no amplificador inversor para obtermos o ganho desejado na faixa de passagem Para tal analisamos o módulo da função de transferência do filtro passafaixa na frequência central vo K Kvc2 vc2 Hjvo 2 Kvc2jvo jvo2 vc2jvo vc1vc2 2 1514 Lembrese de que no Capítulo 5 aprendemos que o ganho do amplificador inversor é Rf Ri Dessa forma Hjvo Rf Ri 1515 Qualquer escolha de resistores que satisfaça a Equação 1515 produzirá o ganho desejado na faixa de passagem O Exemplo 155 ilustra o projeto de um filtro passafaixa em cascata ExEMPLO 155 Projeto de um filtro ativo passafaixa de banda larga Projete um filtro passafaixa para um equalizador gráfico com fator de amplificação igual a 2 dentro da faixa de frequências entre 100 e 10000 Hz Use capacitores de 02 mF Solução Só podemos projetar cada subcircuito e obedecer aos valores especificados da frequência de corte se a Equação 1511 for válida Nesse caso vc2 100vc1 e portanto podemos dizer que vc2 W vc1 Capítulo 15 Filtros ativos 637 Book Nilsson 3indb 637 290116 1356 Começamos com o bloco passabaixas Pela Equação 1512 L 80 V RB 1 2p1000002 106 vc2 1 RBCB 2p10000 Em seguida passamos para o bloco passaaltas Pela Equação 1513 L 7958 V RA 1 2p10002 106 vc1 1 RACA 2p100 Por fim precisamos do bloco amplificador Pela Equação 1515 tendose o valor do ganho o valor de um dos resistores pode ser determinado arbitrariamente Vamos fazer Ri 1 kV Então pela Equação 1515 Rf 21000 2000 V 2 kV O circuito resultante é mostrado na Figura 1511 Deixamos que você verifique se o módulo da função de transferência desse circuito é reduzido em 1 2 em ambas as frequências de corte comprovando a validade da hipótese vc2 W vc1 Figura 1511 Filtro ativo passafaixa projetado no Exemplo 155 1 2 vo 80 V 80 V vi 1 kV 7958 V 80 V 02 mF 1 2 02 mF 2 1 7958 V 2 1 2 kV 2 1 R R Podemos usar o conceito de diagrama de blocos também para o projeto de filtros ativos rejeitafaixa como ilustrado na Figura 1512 Assim como o filtro passafaixa o filtro rejeita faixa consiste em três blocos distintos Entretanto há diferenças importantes 1 O filtro passabaixas de ganho unitário tem uma frequência de corte vc1 que é a menor das duas frequências de corte Circuitos elétricos 638 Book Nilsson 3indb 638 290116 1356 2 O filtro passaaltas de ganho unitário tem uma frequência de corte vc2 que é a maior das duas frequências de corte 3 O amplificador determina o ganho desejado na faixa de passagem A diferença mais importante é que esses três blocos não podem ser organizados em cas cata pois não se combinam aditivamente no diagrama de Bode Em vez disso usamos uma ligação em paralelo e um amplificador somador como mostrado no diagrama de blocos e no circuito da Figura 1513 Novamente admitese que as duas frequências de corte sejam ampla mente separadas de modo que o projeto resultante seja um filtro rejeitafaixa de banda larga e vc2 W vc1 Então cada bloco em paralelo poderá ser projetado independentemente e ainda assim as especificações de frequência de corte serão satisfeitas A função de transferência do circuito resultante é a soma das funções de transferência dos filtros passabaixas e passaaltas Pela Figura 1513b Rf Ri a s2 2vc1s vc1vc2 s vc1s vc2 b Rf Ri a vc1s vc2 ss vc1 s vc1s vc2 b Hs a Rf Ri b B vc1 s vc1 s s vc2 R 1516 Figura 1512 Construção do diagrama de Bode da amplitude para a função de transferência de um filtro rejeitafaixa 5 10 50 100 v rads 500 1000 5000 10000 1 240 230 220 210 0 10 20 30 Ganho Passaaltas Passabaixas Rejeitafaixa em paralelo uHjvu dB vc1 vc2 Capítulo 15 Filtros ativos 639 Book Nilsson 3indb 639 290116 1356 Usando o mesmo raciocínio utilizado para o filtro passafaixa em cascata as duas frequên cias de corte para a função de transferência da Equação 1516 são vc1 e vc2 somente se vc2 W vc1 Então as frequências de corte são dadas pelas equações vc2 1 RACA vc1 1 RBCB 1517 1518 Nas duas faixas de passagem quando s S 0 e s S o ganho da função de transferência é Rf Ri Portanto K Rf Ri 1519 Como no projeto do filtro passafaixa em cascata temos seis incógnitas e três equações Normalmente escolhemos valores de capacitores disponíveis no mercado para CB e CA Então as equações 1517 e 1518 permitemnos calcular RB e RA para atender às frequências de corte especificadas Por fim escolhemos um valor para Rf ou para Ri e então usamos a Equação 1519 para calcular a outra resistência Observe o módulo da função de transferência na Equação 1516 na frequência central vo vc1 vc2 L Rf Ri 2vc1 vc2 Rf Ri 2vc1 vc1 vc2 H jvo 2 Rf Ri a jvo2 2vc1 jvo vc1vc2 jvo2 vc1 vc2 jvo vc1vc2 b 2 Figura 1513 Filtro ativo rejeitafaixa em paralelo a Diagrama de blocos b Circuito vi Filtro passabaixas Filtro passaaltas a b Amplificador somador RB Ri Ri RB CB 2 1 vi 1 2 RA CA RA 2 1 Rf 2 1 1 2 vo vo Circuitos elétricos 640 Book Nilsson 3indb 640 290116 1356 Capitulo 15 e Filtros ativos Rr wa R V1 2 Rr 2 wy eel 1520 Ri 2 Se w wentao HjaK2R R pois 5 1 e portanto a amplitude na frequén cia central é muito menor do que na faixa de passagem Assim o filtro rejeitafaixa consegue rejeitar frequéncias proximas da frequéncia central confirmando mais uma vez nossa premissa de que a implementagao em paralelo serve para projetos de filtros rejeitafaixa de banda larga O Exemplo 156 ilustra 0 projeto de um filtro rejeitafaixa em paralelo EXEMPLO 156 Projeto de um filtro ativo rejeitafaixa de banda larga Projete um circuito baseado no filtro ativo da Figura 1513b O diagrama de Bode para a resposta de amplitude desse filtro é mostrado na Figura 1514 Use capacitores de 05 wF em seu projeto Solugao Pelo diagrama de Bode da amplitude na Figura 1514 oo beer eee da amplitude para 0 circuito a ser projetado Figura 1514 vemos que o filtro rejeita faixa tem frequéncias de corte de 100 20 ase 2000 rads eum ga do3mas tL HME LIE UT 15 tener amecee TEM CTU ortanto adotamos a premissa de que Pp Pp 4q Vo 10 FP PW ETH wComece com 0 filtro prototipo pas 654 LTP Lal sabaixas e use uma mudanga de escala 5 ih Swamsrsemenmrcnmcre TTI TIN etl quéncia de corte e para o valor do capaci sy 0 hi tor O fator de escala da frequéncia kp 5 i 100 o que desloca a frequéncia de corte a lll de 1 rads para 100 rads O fator de escala 10 Nd smincecsnwoweenes TUE TN Till utilizagao de um capacitor de 05 wE Esses 15 fatores de escala determinam os seguintes EAM ETE ETM eee eee cs LI CUTIE TTT ve LLL EITTTI Cp 05 HF 0 50 100 500 1000 5000 10000 A frequéncia de corte resultante do filtro w rads passabaixas é 1 Mc Rp Cp 1 20 X 1005 X 10 100 rads Usamos a mesma abordagem para projetar o filtro passaaltas começando com o filtro protótipo pas saaltas ativo Nesse caso o fator de escala da frequência é kf 2000 e o fator de escala da amplitude é ka 1000 o que resulta nos seguintes valores para os componentes RA 1 kV CA 05 mF Por fim como as frequências de corte são amplamente separadas podemos usar a razão Rf Ri para estabelecer o ganho desejado na faixa de passagem de 3 Vamos escolher Ri 1 kV porque já estamos usando essa resistência para RA Assim Rf 3 kV e K Rf Ri 30001000 3 O circuito do filtro ativo rejeitafaixa resultante é mostrado na Figura 1515 Agora vamos verificar nossa hipótese de que vc2 W vc1 calculando o ganho real nas frequências de corte especificadas Fazemos isso com as substituições s j2p100 e s j2p2000 na função de transferência para o filtro rejeitafaixa Equação 1516 e calculando a amplitude resultante Deixa mos para você verificar que a amplitude nas frequências de corte especificadas é 2024 o que é menor do que a magnitude de 3 2 212 que esperávamos Assim nossa faixa de rejeição é um pouco mais larga do que a especificada no enunciado do problema Figura 1515 Circuito do filtro rejeitafaixa projetado no Exemplo 156 20 kV 20 kV 1 kV 1 kV 1 kV 3 kV 1 kV 05 mF vi 1 2 vo 05 mF 2 1 2 1 1 2 2 1 NOTA avalie sua compreensão a respeito deste material tentando resolver os problemas 1530 e 1531 apresentados no final deste capítulo 154 Filtros ativos de ordem superior Você deve ter percebido que todos os circuitos de filtros que estudamos até aqui passi vos e ativos são não ideais Lembrese de que dissemos no Capítulo 14 que um filtro ideal tem uma descontinuidade no ponto de corte que divide acentuadamente a faixa de passagem e a faixa de rejeição Embora não seja possível construir um circuito com uma resposta de frequên cia descontínua podemos construir circuitos com uma transição mais abrupta porém ainda contínua na frequência de corte Circuitos elétricos 642 Book Nilsson 3indb 642 290116 1356 Capitulo 15 e Filtros ativos Filtros idénticos em cascata Figura 1516 Diagrama de Bode da amplitude de uma cascata de filtros prototipos de primeira ordem idénticos Como podemos obter uma transigéo mais acentuada entre a faixa de passagem 20 e a faixa de rejeigao Um método 0 suge 10 ETAT LT rido pelos diagramas de Bode de amplitude ll na Figura 1516 Essa figura mostra graficos 0 SSO de amplitude de Bode para filtros passabaixa 3 POTTER orimeira ore protétipos idénticos e inclui graficos de ape 10 PSS ey IT nas um filtro ou dois trés e quatro em cascata 59 1 ETTISSSNS PNET E 6bvio que quanto mais filtros forem adicio 69 TL LTT NAIF nados a cascata mais abrupta sera a transigao e 30 Kc N 4 da faixa de passagem para a faixa de rejeigao Jseaunda oraem N ANY Segundo as regras para construir diagramas 40 NS BS de Bode Apéndice E no caso de um tinico iresciza ordem Pf NY HY filtro a transigao ocorre com uma inclinacgao 50 ant negativa de 20 decibéis por década dBdec 60 LLP TT Ff uaa oraemy NY Visto que circuitos em cascata tém seus res ll pectivos diagramas de Bode de amplitudes 70 N somados uma cascata com dois filtros tem oT ETT EL TN uma transigéo que ocorre com a inclinacgao 80 negativa de 20 20 40 dBdec para trés fil 01 05 I 10 tros a inclinagao é de 60 dBdec e para qua w rads tro filtros 80 dBdec como apresentado na Figura 1516 De modo geral uma cascata de filtros passabaixas idénticos de n elementos fara a tran sigdo da faixa de passagem para a faixa de rejeicao segundo uma inclinagao negativa de 20n dBdec O diagrama de blocos e o circuito para tal cascata so mostrados na Figura 1517 E facil calcular a fungao de transferéncia para uma cascata de n filtros protétipos passabaixas basta multiplicar cada funcdo de transferéncia 1 1 1 1 moh Gie a A ordem de um filtro 6 determinada pelo ntimero de polos em sua fungao de transfe réncia Pela Equacao 1521 vemos que uma cascata de filtros passabaixas de primeira ordem resulta em um filtro de ordem superior Na realidade uma cascata de n filtros de primeira ordem produz um filtro de nésima ordem com n polos em sua fungao de transferéncia e uma inclinagao negativa final de 20n dBdec na faixa de transiao Ainda ha uma questao importante a resolver como revela um exame atento da Figura 1516 Quando a ordem do filtro passabaixas é aumentada pela adigdo de filtros protdtipos passabaixas a cascata a frequéncia de corte também é alterada Por exemplo em uma cascata de dois filtros passabaixas de primeira ordem o médulo da fungao de transferéncia do filtro de segunda ordem em w 6 dB e dessa forma a frequéncia de corte do filtro de segunda ordem nao é w Na verdade a frequéncia de corte menor do que w Contanto que possamos calcular a frequéncia de corte dos filtros de ordem superior for mados por cascata dos filtros de primeira ordem podemos usar a mudanga de escala de fre quéncia para calcular valores de componentes que deslocam a frequéncia de corte para a localização especificada Se começarmos com uma cascata de n filtros protótipos passabai xas poderemos calcular a frequência de corte para o filtro passabaixas resultante de nésima ordem Fazemos isso explicitando o valor de vcn na equação Hjv 1 2 vcn n 2 1 n 2 vcn 2 1 1 vcn 2 1 1 2 2n 1 vcn 2 1n 1 2 Hjvcn 1 jvcn 1n 1 2 Hs 1n s 1n 1522 Para demonstrar a utilização da Equação 1522 vamos calcular a frequência de corte de um filtro passabaixas de quarta ordem de ganho unitário construído por meio de uma cascata de quatro filtros protótipos passabaixas vc4 2 4 1 0435 rads 1523 Assim podemos projetar um filtro passabaixas de quarta ordem com qualquer frequên cia de corte arbitrária começando com uma cascata de quarta ordem consistindo em filtros protó tipos passabaixas e então alterando a escala de frequência dos filtros componentes por meio de um fator kf vc0435 para situar a frequência de corte em qualquer valor desejado de vc Observe que podemos construir um filtro passabaixas de ordem superior com um ganho diferente da unidade adicionando um circuito amplificador inversor à cascata O Exemplo 157 ilustra o projeto de um filtro passabaixas de quarta ordem com ganho diferente da unidade Figura 1517 Cascata de filtros passabaixas idênticos de ganhos unitários a Diagrama de blocos b Circuito 1 2 vo vo Filtro passabaixas Filtro passabaixas C R2 C R2 C R2 R1 R1 R1 Filtro passabaixas vi a vi b 1 2 2 1 2 1 2 1 Circuitos elétricos 644 Book Nilsson 3indb 644 290116 1356 ExEMPLO 157 Projeto de um filtro amp op passabaixas de quarta ordem Projete um filtro passabaixas de quarta ordem com uma frequência de corte de 500 Hz e um ganho na faixa de passagem de 10 Use capacitores de 1 mF Faça o diagrama de Bode de amplitude para esse filtro Solução Começamos nosso projeto com uma cascata de quatro filtros protótipos passabaixas Já usamos a Equação 1523 para calcular a frequência de corte para o filtro passabaixas de quarta ordem resul tante como 0435 rads Um fator de escala de frequência de kf 722239 vai alterar os valores dos componentes a fim de obter uma frequência de corte de 500 Hz Um fator de escala de amplitude de ka 13846 permite a utilização de capacitores de 1 mF Desse modo os valores dos componentes são R 13846 V C 1 mF Por fim adicionamos um estágio amplificador inversor com um ganho de Rf Ri 10 Como sempre podemos selecionar arbitrariamente um dos dois valores de resistores Como já estamos usando resis tores de 13846 V fazemos Ri 13846 V então Rf 10Ri 13846 V O circuito para esse filtro passabaixas de quarta ordem em cascata é mostrado na Figura 1518 Ele tem a função de transferência Hs 10B 722239 s 722239R 4 O diagrama de Bode do módulo dessa função de transferência é apresentado na Figura 1519 Figura 1518 Circuito em cascata para o filtro passabaixas de quarta ordem do Exemplo 157 1 2 vo 1 2 2 1 1 mF 13846 V 2 1 1 mF 13846 V 13846 V 13846 V 2 1 1 mF 13846 V 13846 V 2 1 2 1 1 mF 13846 V 13846 V 13846 V 13846 V vi Capítulo 15 Filtros ativos 645 Book Nilsson 3indb 645 290116 1356 Figura 1519 Diagrama de Bode do módulo da função de transferência do filtro passabaixas de quarta ordem do Exemplo 157 230 220 210 0 uHjfu dB f Hz 10 20 30 100 50 500 1000 500010000 10 Conectando filtros passabaixas idênticos em cascata podemos aumentar a inclinação da curva de amplitude na transição e controlar a localização da frequência de corte mas nossa abordagem tem uma séria deficiência o ganho do filtro não é constante entre zero e a frequência de corte vc Lembrese de que em um filtro passabaixas ideal o ganho na faixa de passagem é 1 para todas as frequências abaixo da frequência de corte No entanto na Figura 1516 vemos que o ganho é menor do que 1 0 dB para frequências muito menores do que a frequência de corte Entendemos melhor esse comportamento não ideal na faixa de passagem examinando o módulo da função de transferência para uma cascata de filtros passabaixas de nésima ordem com ganho unitário Visto que Hs vcn n s vcnn o módulo é dado por 1 a vvcn2 1b n H jv vcn n a v2 vcn 2 b n 1524 Como podemos ver pela Equação 1524 quando v V vcn seu denominador é aproximada mente 1 assim como o módulo da função de transferência Contudo quando v S vcn o deno minador tornase maior do que 1 e portanto o módulo tornase menor do que 1 Como a cascata de filtros passabaixas resulta em um comportamento não ideal na faixa de passagem são ado tadas outras abordagens no projeto de filtros de ordem superior Uma delas é estudada a seguir Circuitos elétricos 646 Book Nilsson 3indb 646 290116 1356 Filtros Butterworth Um filtro Butterworth passabaixas de ganho unitário tem uma função de transferência cujo módulo é dado por Hjv 1 1 vvc2n 1525 em que n é um inteiro que denota a ordem do filtro1 Ao estudar a Equação 1525 observe o seguinte 1 A frequência de corte é vc rads para todos os valores de n 2 Se n for suficientemente grande o denominador estará sempre próximo da unidade quando v 6 vc 3 Na expressão para Hjv o expoente de vvc é sempre par Essa última observação é importante porque um expoente par é necessário para que o circuito seja fisicamente realizável veja o Problema 1526 no final deste capítulo Dada uma equação para o módulo da função de transferência como determinamos Hs A determinação de Hs é bastante simplificada com a utilização de um filtro protótipo Portanto fazemos vc igual a 1 rads na Equação 1525 Como antes usaremos uma mudança de escala para transformar o filtro protótipo em um filtro que atenda às especificações de filtragem Para determinar Hs primeiro observe que se N for uma quantidade complexa então N2 NN em que N é o conjugado de N Decorre que Hjv2 HjvHjv 1526 Entretanto como s jv podemos escrever Hjv2 HsHs 1527 Agora observe que s2 v2 Assim 1 1 1ns2n 1 1 s2n 1 1 v2n Hjv 2 1 1 v2n ou HsHs 1 1 1ns2n 1528 1 Esse filtro foi desenvolvido pelo engenheiro britânico S Butterworth e apresentado na Wireless Engi neering 7 1930 p 536541 Capítulo 15 Filtros ativos 647 Book Nilsson 3indb 647 290116 1356 O procedimento para determinar Hs para um dado valor de n é o seguinte 1 Determine as raízes do polinômio 1 1ns2n 0 2 Atribua as raízes localizadas no semiplano esquerdo a Hs e as raízes localizadas no semiplano direito a Hs 3 Combine termos no denominador de Hs para formar fatores de primeira e segunda ordens O Exemplo 158 ilustra esse processo ExEMPLO 158 Cálculo das funções de transferência de Butterworth Determine as funções de transferência de Butterworth para n 2 e n 3 Solução Para n 2 determinamos as raízes do polinômio 1 12s4 0 Rearranjando os termos determinamos s4 1 1l180 Assim as quatro raízes são s4 1l315 1 2 j 2 s3 1l225 1 2 j 2 s2 1l135 1 2 j 2 s1 1l45 1 2 j 2 As raízes s2 e s3 estão no semiplano esquerdo Assim 1 s2 2s 1 Hs 1 s 1 2 j 2 s 1 2 j 2 Para n 3 determinamos as raízes do polinômio 1 13s6 0 Rearranjando os termos s6 1l0 1l360 Circuitos elétricos 648 Book Nilsson 3indb 648 290116 1356 Portanto as seis raízes são s6 1l300 12 j 32 s5 1l240 12 j 32 s4 1l180 1 j0 s3 1l120 12 j 32 s2 1l60 12 j 32 s1 1l0 1 As raízes s3 s4 e s5 estão no semiplano esquerdo Assim 1 s 1s2 s 1 Hs 1 s 1s 12 j 32s 12 j 32 Observamos de passagem que as raízes do polinômio de Butterworth estão sempre igualmente espa çadas ao redor do círculo unitário no plano s Para auxiliar no projeto de filtros Butterworth a Tabela 151 apresenta uma lista de polinômios de Butterworth até n 8 Tabela 151 Polinômios de Butterworth normalizados de modo que vc 1 rads até a oitava ordem n Polinômio de Butterworth de nésima ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 s2 0390s 1s2 1111s 1s2 16663s 1s2 1962s 1 s 1s2 0445s 1s2 1247s 1s2 1802s 1 s2 0518s 1s2 2 1s2 1932s 1 s 1s2 0618s 1s2 1618s 1 s2 0765s 1s2 1848s 1 s 1s2 s 1 s2 2s 1 s 1 Circuitos de filtros Butterworth Agora que sabemos como especificar a função de transferência para um filtro Butterworth seja diretamente pelo cálculo dos polos da função de transferência seja usando a Tabela 151 passamos ao projeto de um circuito com tal função de transferência Observe a forma dos polinômios de Butterworth na Tabela 151 Eles são o produto de fatores de primeira e segunda ordens por conseguinte podemos construir um circuito cuja função de transferência tenha um polinômio de Butterworth em seu denominador organizando circuitos em cascata sendo que cada um deles fornece um dos fatores necessários Um diagrama de blocos de tal cascata é mostrado na Figura 1520 usando um polinômio de Butterworth de quinta ordem como exemplo Capítulo 15 Filtros ativos 649 Book Nilsson 3indb 649 290116 1356 Como todos os polinômios de Butterworth de ordem ímpar incluem o fator s 1 todos os circuitos de filtros Butterworth de ordem ímpar devem ter um subcircuito que tenha a fun ção de transferência Hs 1s 1 Essa é a função de transferência do filtro protótipo passa baixas ativo da Figura 151 Portanto o que resta é determinar um circuito que forneça uma função de transferência da forma Hs 1s2 b1s 1 Tal circuito é mostrado na Figura 1521 A análise desse circuito começa escrevendose as equações nodais no domínio da frequência no terminal não inversor do amp op e para o nó Va Vo sC2 Vo Va R 0 Va Vi R Va VosC1 Va Vo R 0 1529 1530 Simplificando as equações 1529 e 1530 obtemos Va 1 RC2sVo 0 2 RC1sVa 1 RC1sVo Vi 1531 1532 Aplicando a regra de Cramer às equações 1531 e 1532 determinamos Vo Vi R2C1C2s2 2RC2s 1 Vo 2RC1s Vi 1 0 2RC1s 1RC1s 1 1RC2s 1533 Então rearranjamos os termos da Equação 1533 para obter a função de transferência para o circuito na Figura 1521 Hs Vo Vi 1 R2C1C2 s2 2 RC1 s 1 R2C1C2 1534 Por fim fazemos R 1 V na Equação 1534 então Hs 1 C1C2 s2 2 C1 s 1 C1C2 1535 Figura 1521 Circuito que gera a função de transferência de segunda ordem dos filtros Butterworth 1 2 Vo R R Vi Va sC2 1 sC1 1 2 1 1 2 Figura 1520 Cascata de circuitos de primeira e segunda ordens com as funções de transferência indicadas que resultam em um filtro Butterworth passabaixas de quinta ordem com vc 1 rads Vo Vi 1 s2 1 0618s 1 1 1 s2 1 1618s 1 1 1 s 1 1 Circuitos elétricos 650 Book Nilsson 3indb 650 290116 1356 ExEMPLO 159 Projeto de um filtro Butterworth passabaixas de quarta ordem Projete um filtro Butterworth passabaixas de quarta ordem com uma frequência de corte de 500 Hz e um ganho na faixa de passagem de 10 Use o maior número possível de resistores de 1 kV Compare o diagrama de Bode da amplitude para esse filtro Butterworth com o da cascata de filtros idênticos do Exemplo 157 Solução Pela Tabela 151 determinamos que o polinômio de Butterworth de quarta ordem é s2 0765s 1s2 1848s 1 Por isso precisaremos de uma cascata de dois filtros de segunda ordem para obter a função de trans ferência de quarta ordem além de um circuito amplificador inversor para um ganho na faixa de pas sagem de 10 O circuito é mostrado na Figura 1522 O primeiro estágio da cascata implementa a função de transferência para o polinômio s2 0765s 1 Pela Equação 1536 C1 261 F C2 038 F R R C1 C2 R R1 Rf R C3 C4 vi 1 2 vo 1 2 2 1 2 1 2 1 Figura 1522 Filtro Butterworth de quarta ordem com ganho não unitário Observe que a Equação 1535 tem a forma requerida para o circuito de segunda ordem na cascata de Butterworth Em outras palavras para obter uma função de transferência da forma Hs 1 s2 b1s 1 usamos o circuito na Figura 1521 e escolhemos valores de capacitores de modo que b1 2 C1 e 1 1 C1C2 1536 Desse modo delineamos o procedimento para projetar um filtro Butterworth passabai xas de nésima ordem com uma frequência de corte vc de 1 rads e um ganho unitário na faixa de passagem Podemos usar uma mudança de escala de frequência para calcular novos valores para os capacitores que resultem em qualquer outra frequência de corte e uma mudança de escala de amplitude para obter valores mais realistas de componentes em nosso projeto Pode mos conectar em cascata um circuito amplificador inversor para obter um ganho na faixa de passagem diferente de 1 O Exemplo 159 ilustra esse processo Capítulo 15 Filtros ativos 651 Book Nilsson 3indb 651 290116 1356 O segundo estágio da cascata implementa a função de transferência para o polinômio s2 1848s 1 Pela Equação 1536 C3 108 F C4 0924 F Os valores precedentes para C1 C2 C3 e C4 dão um filtro Butterworth de quarta ordem com uma fre quência de corte de 1 rads Um fator de escala de frequência de kf 31416 deslocará a frequência de corte para 500 Hz Um fator de escala de amplitude de ka 1000 permitirá a utilização de resistores de 1 kV no lugar de resistores de 1 V Os valores resultantes dos componentes são R 1 kV C1 831 nF C2 121 nF C3 344 nF C4 294 nF Por fim precisamos especificar os valo res dos resistores do estágio amplificador inversor para dar um ganho na faixa de passagem de 10 Seja R1 1 kV então Rf 10R1 10 kV A Figura 1523 compara as respostas de amplitude da cascata de filtros de quarta ordem idênticos do Exemplo 157 e do filtro Butterworth que acabamos de pro jetar Observe que ambos os filtros dão um ganho na faixa de passagem de 10 20 dB e uma frequência de corte de 500 Hz mas o filtro Butterworth está mais próximo de um filtro passabai xas ideal em razão de sua resposta mais plana na faixa de passagem e do decai mento do ganho mais acentuado após a frequência de corte Assim o filtro But terworth é melhor que uma cascata de filtros idênticos Figura 1523 Comparação das respostas de amplitude de um filtro passa baixas de quarta ordem construído a partir de uma cascata de filtros idênticos e de um filtro Butterworth 230 220 210 uHjfu dB f Hz 10 20 30 10 100 50 500 1000 10000 5000 Butterworth fc 0 Cascata de filtros idênticos A ordem de um filtro Butterworth A esta altura já ter ficado evidente que quanto mais alta a ordem do filtro Butterworth mais a resposta de amplitude aproximase da de um filtro passabaixas ideal Em outras Circuitos elétricos 652 Book Nilsson 3indb 652 290116 1356 palavras à medida que n cresce a amplitude permanece próxima da unidade na faixa de pas sagem a faixa de transição estreitase e a amplitude permanece próxima de zero na faixa de rejeição Ao mesmo tempo à medida que a ordem cresce o número de componentes do cir cuito cresce Então decorre que um problema fundamental no projeto de um filtro é determi nar o menor valor de n que atenderá às especificações de filtragem No projeto de um filtro passabaixas as especificações de filtragem costumam ser dadas em termos da largura da faixa de transição como mostra a Figura 1524 Uma vez identificadas Ap vp As e vs a ordem do filtro Butterworth pode ser determinada Para o filtro Butterworth 10 log101 vs 2n As 20 log10 1 1 vs 2n 10 log101 vp 2n Ap 20 log10 1 1 vp 2n 1537 1538 Decorre da definição de logaritmo que 1 0 01As 1 v2n s 1 0 01Ap 1 v2n p 1539 1540 Agora determinamos vp n e vs n e então calculamos a razão vsvpn Obtemos a vs vp b n 1001As 1 1001Ap 1 ss sp 1541 em que os símbolos ss e sp foram introduzidos por conveniência Pela Equação 1541 podemos escrever n log10vsvp log10sssp ou n log10sssp log10vsvp 1542 Podemos simplificar a Equação 1542 se vp for a frequência de corte porque então Ap será igual a 20log10 2 e sp 1 Daí n log10 ss log10vsvp 1543 Ainda é possível mais uma simplificação Estamos usando um filtro Butterworth para obter uma faixa de transição acentuada Assim a especificação de filtragem fará com que 1001As W 1 Assim l og 10 ss L 005As ss L 10005As 1544 Figura 1524 Definição da faixa de transição para um filtro passabaixas Faixa de passagem Faixa de transição Faixa de rejeição As Ap uHjvu dB vp vs log10v Capítulo 15 Filtros ativos 653 Book Nilsson 3indb 653 290116 1356 l og 10 ss L 005As ss L 10005As 1545 Portanto uma boa aproximação para o cálculo de n é n 005As log10vsvp 1546 Como vsvp fsfp podemos trabalhar no cálculo de n tanto com radianos por segundo quanto com hertz A ordem do filtro deve ser um mínimo inteiro daí usando a Equação 1542 ou a Equação 1546 devemos selecionar o valor inteiro mais próximo e maior do que o resultado dado pela equação Os exemplos a seguir ilustram a utilidade das equações 1542 e 1546 ExEMPLO 1510 Determinação da ordem de um filtro Butterworth a Determine a ordem de um filtro Butterworth que tem uma frequência de corte de 1000 Hz e um ganho de não mais do que 50 dB em 6000 Hz b Qual é o ganho real em dB em 6000 Hz Solução a Visto que a frequência de corte é dada sabemos que sp 1 Além disso observamos pela especi ficação que 100150 é bem maior do que 1 Daí podemos usar com convicção a Equação 1546 n 00550 log1060001000 321 Dessa forma precisamos de um filtro Butterworth de quarta ordem b Podemos usar a Equação 1525 para calcular o ganho real em 6000 Hz O ganho em decibéis será K 20 log10 1 1 68 6225 dB ExEMPLO 1511 Abordagem alternativa para a determinação da ordem de um filtro Butterworth a Determine a ordem de um filtro Butterworth cuja amplitude seja 10 dB menor do que a amplitude na faixa de passagem em 500 Hz e no mínimo 60 dB menor do que a amplitude na faixa de passa gem em 5000 Hz b Determine a frequência de corte do filtro em hertz c Qual é o ganho real do filtro em decibéis em 5000 Hz Solução a Visto que a frequência de corte não é dada usamos a Equação 1542 para determinar a ordem do filtro n log1010003 log1010 252 vsvp f sf p 5000500 10 ss 100160 1 L 1000 sp 100110 1 3 Circuitos elétricos 654 Book Nilsson 3indb 654 290116 1356 n log1010003 log1010 252 vsvp f sf p 5000500 10 ss 100160 1 L 1000 sp 100110 1 3 Portanto precisamos de um filtro Butterworth de terceira ordem para atender às especificações b Sabendo que o ganho em 500 Hz é 10 dB podemos determinar a frequência de corte Pela Equa ção 1525 podemos escrever 10 log101 vvc 6 10 em que v 1000prads Assim 1 vvc6 10 e 217826 rads vc v 9 6 Disso decorre que fc 34668 Hz c O ganho real do filtro em 5000 Hz é K 10 log101 5000346686 6954 dB Filtros Butterworth passaaltas passafaixa e rejeitafaixa Um filtro Butterworth passaaltas de nésima ordem tem uma função de transferência com o polinômio de Butterworth de nésima ordem no denominador exatamente como o fil tro Butterworth passabaixas de nésima ordem No entanto no filtro passaaltas o numerador da função de transferência é sn ao passo que no filtro passabaixas o numerador é 1 Usamos novamente um circuito em cascata no projeto do filtro Butterworth passaaltas O fator de pri meira ordem é obtido incluindose na cascata um filtro protótipo passaaltas Figura 154 com R1 R2 1 V e C 1 F Para obter os fatores de segunda ordem do polinômio de Butterworth precisamos de um circuito com uma função de transferência da forma Hs s2 s2 b1s 1 Tal circuito é mostrado na Figura 1525 Esse circuito tem a função de transferência Hs Vo Vi s2 s2 2 R2Cs 1 R1R2C2 1547 Capítulo 15 Filtros ativos 655 Book Nilsson 3indb 655 290116 1356 Fazendo C 1 F obtemos Hs s2 s2 2 R2 s 1 R1R2 1548 Assim podemos obter qualquer fator de segunda ordem em um polinômio de But terworth da forma s2 b1s 1 incluindo na cascata o circuito de segunda ordem da Figura 1525 com valores de resistores que satisfaçam a Equação 1549 b1 2 R2 e 1 1 R1R2 1549 Neste ponto fazemos uma pausa para algumas obser vações relativas às figuras 1521 e 1525 e às funções de transferência protótipo 1s2 b1s 1 e s2s2 b1s 1 Essas observações são importantes porque de modo geral são verdadeiras Em primeiro lugar o circuito passaaltas da Figura 1525 foi obtido do circuito passabaixas na Figura 1521 intercambiandose resistores e capacitores Em segundo lugar a função de transferência de um filtro protótipo passaaltas pode ser obtida de um filtro passa baixas substituindose s na expressão do passabaixas por 1s veja o Problema 1546 apresentado no final do capítulo Podemos usar uma mudança de escala de frequência e amplitude para projetar um fil tro Butterworth passaaltas com valores reais de componentes e uma frequência de corte diferente de 1 rads Adicionar um amplificador inversor à cascata possibilitará projetos com ganhos na faixa de passagem diferentes da unidade Os problemas no final do capítulo incluem vários projetos de filtros Butterworth passaaltas Agora que podemos projetar filtros Butterworth passabaixas e passaaltas de nésima ordem com frequências de corte e ganhos arbitrários na faixa de passagem podemos combiná los em cascata como fizemos na Seção 153 para produzir filtros Butterworth passafaixa de nésima ordem Podemos combinar esses filtros em paralelo conectando suas saídas na entrada de um amplificador somador mais uma vez como fizemos na Seção 153 para produzir filtros Butterworth rejeitafaixa de nésima ordem Os problemas deste capítulo também incluem projetos de filtros Butterworth passafaixa e rejeitafaixa Figura 1525 Circuito de um filtro Butterworth passaaltas de segunda ordem 1 2 vo C C R1 R2 vi 2 1 1 2 Objetivo 3 Entender como usar filtros Butterworth de primeira e segunda ordens em cascata 154 Determine valores de R1 e R2 para o circuito na Figura 1525 de modo que ele se comporte como um filtro protótipo Butterworth passaaltas de segunda ordem Resposta R1 0707 V R2 141 V NOTA tente resolver também os problemas 1534 1536 e 1540 apresentados no final deste capítulo PROBLEMA PARA AVALIAÇÃO Circuitos elétricos 656 Book Nilsson 3indb 656 290116 1356 155 Filtros ativos passafaixa e rejeitafaixa de banda estreita Os projetos de circuitos em cascata e em paralelo para sintetizar filtros passafaixa e rejeitafaixa a partir de filtros passabaixas e passaaltas mais simples têm uma restrição são obtidos somente filtros de banda larga ou de baixo Q Q é claro representa fator de quali dade Essa limitação devese principalmente ao fato de que as funções de transferência para filtros passafaixa em cascata e para filtros rejeitafaixa em paralelo têm polos reais discretos As técnicas de síntese funcionam melhor para frequências de corte amplamente espaçadas e por conseguinte para fatores de qualidade mais baixos No entanto o maior fator de qualidade que podemos obter com polos reais discretos surge quando as frequências de corte e portanto as localizações dos polos são as mesmas Considere a função de transferência que resulta disso 05bs s2 bs vc 2 svc s2 2vcs vc 2 Hs a vc s vc b a s s vc b 1550 A Equação 1550 está na forma padrão da função de transferência de um filtro passa faixa por isso podemos determinar diretamente a largura da faixa e a frequência central v 2vc 1551 vo 2 vc 2 1552 Pelas equações 1551 e 1552 e pela definição de Q vemos que Q vo b vc 2vc 1 2 1553 Assim com polos discretos reais o filtro passafaixa ou o filtro rejeitafaixa da mais alta qualidade que pode mos obter tem Q 12 Para construir filtros ativos com altos valores de fator de qualidade precisamos de um circuito ativo que possa produzir uma função de transferência com polos comple xos conjugados A Figura 1526 representa um desses circui tos para analisarmos Na entrada inversora do amplificador operacional somamos as correntes para obter Va 1sC Vo R3 Explicitando Va Va Vo sR3C 1554 No nó a somamos as correntes para obter Vi Va R1 Va Vo 1sC Va 1sC Va R2 Figura 1526 Filtro ativo passafaixa com alto Q 1 2 Vo R1 R3 R2 Vi a sC 1 sC 1 2 1 1 2 Capítulo 15 Filtros ativos 657 Book Nilsson 3indb 657 290116 1356 Explicitando Vi Vi 1 2sR1C R1R2Va sR1CVo 1555 Substituindo a Equação 1554 na Equação 1555 e então rearranjando os termos obte mos uma expressão para a função de transferência VoVi Hs s R1C s2 2 R3Cs 1 ReqR3C2 1556 em que Req R17R2 R1R2 R1 R2 Visto que a Equação 1556 está na forma padrão da função de transferência para um filtro passafaixa isto é Hs Kbs s2 bs vo 2 podemos igualar termos e determinar os valores dos resistores que determinarão uma frequên cia central vo um fator de qualidade Q e um ganho na faixa de passagem K especificados vo 2 1 ReqR3C2 Kb 1 R1C b 2 R3C 1557 1558 1559 Neste ponto é conveniente definir um circuito protótipo do circuito na Figura 1525 como um circuito no qual vo 1 rads e C 1 F Então as expressões para R1 R2 e R3 podem ser dadas em termos do fator de qualidade e do ganho na faixa de passagem desejados Deixamos que você mostre no Problema 1548 apresentado no final do capítulo que para o circuito protótipo as expressões para R1 R2 e R3 são R1 QK R2 Q2Q2 K R3 2Q Uma mudança de escala é usada para especificar os valores práticos para os componentes do circuito Esse processo é ilustrado no Exemplo 1512 ExEMPLO 1512 Projeto de um filtro passafaixa de alto Q Projete um filtro passafaixa usando o circuito na Figura 1526 que tenha uma frequência central de 3000 Hz um fator de qualidade de 10 e um ganho na faixa de passagem de 2 Use capacitores de 001 Circuitos elétricos 658 Book Nilsson 3indb 658 290116 1356 mF em seu projeto Calcule a função de transferência de seu circuito e construa o diagrama de Bode de sua amplitude Solução Visto que Q 10 e K 2 os valores para R1 R2 e R3 do circuito protótipo são R1 102 5 R2 10200 2 10198 R3 210 20 Os fatores de escala são kf 6000p e ka 108kf Após mudança de escala R1 265 kV R2 2680 V R3 1061 kV O circuito é mostrado na Figura 1527 Substituindo os valores de resistência e capacitância na Equação 1556 obtemos a função de transferência para esse circuito Hs 3770s s2 18850s 355 106 É fácil ver que essa função de trans ferência está de acordo com a especi ficação do filtro passafaixa definido no exemplo O diagrama de Bode de sua amplitude é apresentado na Figura 1528 Figura 1527 Filtro passafaixa de alto Q projetado no Exemplo 1512 1 2 vo 001 mF 265 kV 001 mF 1061 kV 268 V vi 2 1 1 2 Figura 1528 Diagrama de Bode da amplitude para o filtro passafaixa de alto Q projetado no Exemplo 1512 240 235 230 225 220 215 210 25 0 5 10 100 f Hz 500 1000 5000 10000 100000 50000 uHjfu dB 6 dB ganho de 2 A implementação em paralelo de um filtro rejeitafaixa que combina os filtros passa baixas e passaaltas com um amplificador somador tem a mesma restrição de baixo Q de um filtro passafaixa em cascata O circuito na Figura 1529 é um filtro ativo rejeitafaixa de alto Q conhecido como um filtro supressor de faixa duploT por causa dos circuitos em T ligados aos nós denominados a e b Começamos a análise desse circuito somando as correntes que saem do nó a Va VisC Va VosC 2Va sVo R 0 ou Va 2sCR 2 Vo sCR 2s sCRVi 1560 Capítulo 15 Filtros ativos 659 Book Nilsson 3indb 659 290116 1356 Somando as correntes que saem do nó b obtemos Vb Vi R Vb Vo R Vb sVo2sC 0 ou Vb2 2RCs Vo1 2sRCs Vi 1561 Somando as correntes que saem da entrada não inversora do amplificador operacional superior obtemos Vo Va sC Vo Vb R 0 ou sRCVa Vb sRC 1Vo 0 1562 Usando a regra de Cramer nas equações 15601562 temos R2C2s2 1Vi R2C2s2 4RC1 ss 1 Vo 3 2RCs 1 0 sCRVi 0 2RCs 1 Vi RCs 1 0 3 3 2RCs 1 0 RCs 2s 0 2RCs 1 2sRCs 1 RCs 1 RCs 1 3 1563 Rearranjando os termos da Equação 1563 podemos obter a função de transferência Hs Vo Vi s2 1 R2C2 cs2 41 s RC s 1 R2C2 d 1564 Figura 1529 Filtro ativo rejeitafaixa de alto Q b a R R Vi Vo R 2 1 2 sVo 1 2 sVo 1 2 sR sR sC 1 sC 1 2sC 1 1 2 2 1 1 2 Circuitos elétricos 660 Book Nilsson 3indb 660 290116 1356 ExEMPLO 1513 Projeto de um filtro rejeitafaixa de alto Q Projete um filtro ativo rejeitafaixa de alto Q baseado no circuito da Figura 1529 com frequência central de 5000 rads e largura de faixa de 1000 rads Use capacitores de 1 mF em seu projeto Solução No filtro protótipo rejeitafaixa vo 1 rads R 1 V e C 1 F Como acabamos de discutir dados vo e Q C pode ser escolhido arbitrariamente e R e s podem ser determinados pelas equações 1568 e 1569 Pelas especi ficações Q 5 Usando as equações 1568 e 1569 vemos que R 200 V s 095 Assim precisamos de resistores de 200 V R 100 V R2 190 V sR e 10 V 1 sR O projeto final é apresentado na Figura 1530 e o dia grama de Bode da amplitude é mos trado na Figura 1531 Figura 1530 Filtro ativo rejeitafaixa de alto Q projetado no Exemplo 1513 10 V 100 V 190 V 200 V 200 V 1 mF 1 mF 2 mF 1 2 svo 1 2 svo vo vi 2 1 1 2 1 2 que está na forma padrão de um filtro rejeitafaixa Hs s2 v2 0 s2 bs v2 0 1565 Igualando as equações 1564 e 1565 obtemos b 41 s RC vo 2 1 R2C2 1566 1567 Nesse circuito temos três parâmetros R C e s e duas restrições de projeto vo e b Assim um parâmetro é escolhido de modo arbitrário normalmente é o valor do capacitor pois esse valor costuma oferecer a menor quantidade de opções disponíveis no mercado Uma vez escolhido C R 1 voC 1568 e s 1 b 4vo 1 1 4Q 1569 O Exemplo 1513 ilustra o projeto de um filtro ativo rejeitafaixa de alto Q Capítulo 15 Filtros ativos 661 Book Nilsson 3indb 661 290116 1356 Figura 1531 Diagrama de Bode da amplitude para o filtro ativo rejeitafaixa projetado no Exemplo 1513 220 215 210 25 0 uHjvu dB v rads 5 10 10000 5000 50000 100000 1000 Objetivo 4 Saber usar as equações de projeto para calcular os valores dos componentes para filtros protótipos de faixa estreita passafaixa e rejeitafaixa 155 Projete um filtro ativo passafaixa com Q 8 K 5 e vo 1000 rads Use capacitores de 1 mF e espe cifique os valores de todos os resistores Resposta R1 16 kV R2 6504 V R3 16 kV 156 Projete um filtro ativo rejeitafaixa de ganho unitário com vo 1000 rads e Q 4 Use capacitores de 2 mF e especifique os valores de R e s Resposta R 500 V s 09375 NOTA tente resolver o Problema 1560 apresentado no final do capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Perspectiva prática Controle de volume de graves Agora estudaremos um circuito ativo que pode ser usado para controlar a amplificação de um sinal de áudio na faixa dos graves A faixa de áudio consiste em sinais com frequências de 20 Hz a 20 kHz A faixa de graves inclui frequências até 300 Hz Circuitos elétricos 662 Book Nilsson 3indb 662 290116 1356 O circuito de controle de volume e sua resposta de frequência são mostrados na Figura 1532 A curva de resposta particular da família de curvas de resposta é selecionada ajustandose o potenciômetro da Figura 1532a Ao estudar as curvas de resposta de frequência da Figura 1532b observe o seguinte Em primeiro lugar o ganho em dB pode ser positivo ou negativo Se for positivo um sinal na faixa dos graves é amplificado ou reforçado Se for negativo o sinal é atenuado ou eliminado Em segundo lugar é possível selecionar uma resposta característica com ganho unitário zero dB para todas as frequências na faixa dos graves Como veremos se o potenciômetro for ajustado em seu ponto médio o circuito não terá nenhum efeito sobre os sinais na faixa dos graves Por fim à medida que a frequência aumenta todas as respostas características aproximamse de zero dB ou ganho unitário Daí o circuito de controle de volume não terá efeito algum sobre os sinais na extremidade superior do espectro ou faixa de agudos das frequências de áudio A primeira etapa na análise da resposta de frequência do circuito na Figura 1532a é calcular a função de transferência Vo Vs Para facilitar esse cálculo o circuito equivalente no domínio da frequência é dado na Figura 1533 As tensões de nó Va e Vb foram identificadas no circuito para auxiliar a análise A posição do potenciômetro é determinada pelo valor numérico de a como observado na Figura 1533 Para determinar a função de transferência escrevemos as três equações de tensões de nó que descrevem o circuito e então determinamos a razão Vo Vs As equações de tensões de nó são Va 1 aR2 Vb aR2 0 Vb aR2 Vb Vas C1 Vb Vo R1 0 Va 1 aR2 Va Vs R1 Va Vbs C1 0 Dessas três equações podese determinar Vo em função de Vs e daí a função de transferência H s Hs Vo Vs R1 aR2 R1R2C1s R1 1 aR2 R1R2C1s Figura 1532 a Circuito de controle de volume de graves b resposta de frequência do circuito de controle de volume de graves dB1 dB2 dB3 0 dB3 dB2 dB1 a b vo R1 R1 R2 C1 vs Vo dB Vs v 2 1 Capítulo 15 Filtros ativos 663 Book Nilsson 3indb 663 290116 1356 Disso decorre diretamente que Hjv R1 aR2 jvR1R2C1 R1 1 aR2 jvR1R2C1 Agora vamos verificar se essa função de transferência vai gerar a família de curvas de resposta de frequência representada na Figura 1532b Em primeiro lugar observe que quando a 05 o módulo de H j v é unitário para todas as frequências isto é Hjv R1 05R2 jvR1R2C1 R1 05R2 jvR1R2C1 1 Quando v 0 temos H j0 R1 aR2 R1 1 aR2 Observe que H j 0 para a 1 é a recíproca de H j 0 para a 0 isto é H j0a1 R1 R2 R1 1 H j0a0 Basta raciocinar um pouco para perceber que a relação recíproca é válida para todas as frequências e não apenas para v 0 Por exemplo a 04 e a 06 são simétricas a a 05 e Hjva04 R1 04R2 jvR1R2C1 R1 06R2 jvR1R2C1 enquanto Hjva06 R1 06R2 jvR1R2C1 R1 04R2 jvR1R2C1 Daí H jva04 1 Hjva06 Assim dependendo do valor de a o circuito de controle de volume pode amplificar ou atenuar o sinal de entrada Os valores numéricos de R1 R2 e C1 são determinados por duas decisões de projeto A primeira delas é a amplificação ou a atenuação dos graves na faixa de passagem quando v S 0 A segunda decisão de projeto é a frequência na qual essa amplificação ou atenuação varia em 3 dB em relação ao máximo Os valores dos componentes que satisfazem as decisões de projeto são calculados com a igual a 1 ou a 0 Como já observamos o ganho máximo será R1 R2R1 e a atenuação máxima será R1R1 R2 Se admitirmos que R1 R2R1 W 1 então o ganho ou atenuação terá uma diferença de 3 dB em relação a seu valor máximo quando v 1 R2C1 o que pode ser percebido observandose que R1 R2 R1 j1 1 j1 L 1 2 R1 R2 R1 H j 1 R2C1 a1 R1 R2 jR1 R1 jR1 e Figura 1533 Circuito no domínio da frequência para o controle de volume de graves Observe que a determina o ajuste do potenciômetro portanto 0 a 1 R1 R1 R2 l2aR2 1sC1 Vs Vo Vb Va aR2 2 1 Circuitos elétricos 664 Book Nilsson 3indb 664 290116 1356 1 j1 R1 R2 R1 j1 L 2 R1 R1 R2 H j 1 R2C1 a0 R1 jR1 R1 R2 jR1 NOTA avalie sua compreensão a respeito desta Perspectiva prática tentando resolver os problemas 1561 e 1562 apresentados no final do capítulo Resumo Filtros ativos consistem na combinação de amplificadores operacionais resistores e capaci tores Eles podem ser configurados como filtros passabaixas passaaltas passafaixa e rejeita faixa e superam muitas das desvantagens asso ciadas aos filtros passivos Seção 151 Os valores dos componentes de um filtro pro tótipo passabaixas são R1 R2 1 V e C 1 F Esse filtro tem um ganho unitário na faixa de passagem e uma frequência de corte de 1 rads Os valores dos componentes de um filtro protó tipo passaaltas são os mesmos que os do passa baixas e ele também tem um ganho unitário na faixa de passagem e uma frequência de corte de 1 rads Seção 151 Uma mudança de escala de amplitude pode ser usada para mudar valores de componentes sem alterar a resposta de frequência de um circuito Para um fator de escala de amplitude de ka os valores alterados de resistência capacitância e indutância são Rr kaR Lr kaL e Cr Cka Seção 152 Uma mudança de escala de frequência pode ser usada para deslocar a resposta de frequência de um circuito para outra região de frequência sem alterar sua forma global Para um fator de escala de frequência kf os valores alterados de resistência capacitância e indutância são Rr R Lr Lkf e Cr Ckf Seção 152 Uma mudança de escala de amplitude e de fre quência altera os valores dos componentes para Rr kaR Lr kakf L e Cr Ckakf Seção 152 O projeto de filtros ativos passabaixas e passa altas pode começar com um circuito protótipo do filtro Então podese aplicar uma mudança de escala para deslocar a resposta de frequência para a frequência de corte desejada usando componen tes de valores disponíveis no mercado Seção 152 Um filtro ativo passafaixa de banda larga pode ser construído usandose uma cascata de um filtro passabaixas com a frequência de corte superior à do filtro passafaixa um filtro passa altas com a frequência de corte inferior à do filtro passafaixa e opcionalmente um amplifi cador inversor para obter ganho na faixa de pas sagem diferente da unidade Filtros passafaixa implementados dessa maneira devem ser filtros de banda larga vc2 W vc1 de modo que os elementos da cascata possam ser especificados independentemente um do outro Seção 153 Um filtro ativo rejeitafaixa de banda larga pode ser construído usandose uma combina ção em paralelo de um filtro passabaixas com a frequência de corte inferior à do filtro rejeita faixa e um filtro passaaltas com a frequência de corte superior à do filtro rejeitafaixa Então as saídas alimentam um amplificador somador que pode produzir um ganho na faixa de pas sagem diferente da unidade Filtros rejeitafaixa implementados desse modo devem ser filtros de Capítulo 15 Filtros ativos 665 Book Nilsson 3indb 665 290116 1356 banda larga vc2 W vc1 de maneira que os cir cuitos dos filtros passabaixas e passaaltas pos sam ser projetados independentemente um do outro Seção 153 Filtros ativos de ordem superior têm múltiplos polos em suas funções de transferência o que resulta em uma transição mais abrupta da faixa de passagem para a faixa de rejeição e por isso em uma resposta de frequência mais próxima da ideal Seção 154 A função de transferência de um filtro But terworth passabaixas de ordem n com uma fre quência de corte igual a 1 rads pode ser deter minada pela equação HsHs 1 1 1ns2n determinandose as raízes do polinômio do denominador atribuindose as raízes do semiplano esquerdo a Hs escrevendose o denominador de Hs como um produto entre os fatores de primeira e segunda ordens Seção 154 O problema fundamental no projeto de um fil tro Butterworth é determinar a ordem do filtro A especificação do filtro é feita normalmente em termos da largura da faixa de transição por meio das quantidades Ap vp As e vs A partir dessas quantidades calculamos o menor inteiro maior que a solução de qualquer das equações 1542 ou 1546 Seção 154 Uma cascata de filtros ativos passabaixas de segunda ordem Figura 1521 com resisto res de 1 V e capacitores de valores escolhidos de forma a gerar cada fator no polinômio de Butterworth vai constituirse em um filtro But terworth passabaixas de ordem par Se adicio narmos um filtro protótipo passabaixas ativo obteremos um filtro Butterworth passabaixas de ordem ímpar Seção 154 Uma cascata de filtros ativos passaaltas de segunda ordem Figura 1525 com capacitores de 1 F e valores de resistores escolhidos para pro duzir cada fator no polinômio de Butterworth vai constituirse em um filtro Butterworth passaaltas de ordem par Se adicionarmos um filtro protótipo passaaltas ativo obteremos um filtro Butterworth passaaltas de ordem ímpar Seção 154 Podemse usar mudanças de escala de frequên cia e amplitude para ambos os filtros Butterworth passaaltas e passabaixas a fim de deslocar a frequência de corte de 1 rads e usar no projeto componentes com valores realistas Conectar amplificadores inversores à cascata de filtros per mitirá a obtenção de um ganho na faixa de passa gem diferente da unidade Seção 154 Podemse ligar em cascata filtros Butterworth passabaixas e passaaltas para obter filtros Butterworth passafaixa de qualquer ordem n Podemse combinar filtros Butterworth passa baixas e passaaltas em paralelo e um amplifi cador somador para obter um filtro Butterworth rejeitafaixa de qualquer ordem n Seção 154 Se for necessário um filtro passafaixa ou rejeita faixa de banda estreita com alto Q a combina ção em cascata ou em paralelo não funcionará Em vez disso os circuitos mostrados nas figuras 1526 e 1529 são usados com as devidas equações de projeto Normalmente os valores de capacito res são escolhidos entre os disponíveis no mer cado e as equações de projeto são usadas para especificar os valores dos resistores Seção 155 Problemas Seção 151 151 a Usando o circuito da Figura 151 projete um filtro passabaixas com um ganho de 10 dB na faixa de passagem e uma frequência de corte de 1 kHz Admita que haja um capacitor disponível de 750 nF Problema de Projeto Circuitos elétricos 666 Book Nilsson 3indb 666 290116 1356 b Desenhe o diagrama do circuito e identi fique todos os componentes 152 a Usando somente três componentes do Apêndice H projete um filtro passa baixa com frequência de corte e ganho de faixa de passagem com especificações que mais se aproximem das indicadas no Problema 151a Desenhe o diagrama do circuito e identifique os valores dos componentes b Calcule o erro percentual na frequência de corte do filtro e no ganho de faixa de passagem desse novo filtro quando com parados com os valores especificados no Problema 151 a 153 Projete um filtro ativo passabaixas com uma frequência de corte de 2500 Hz e um ganho na faixa de passagem de 5 usando um capa citor de 10 nF a Desenhe o circuito identificando os valores dos componentes e a tensão de saída b Se o valor do resistor de realimenta ção for mudado mas o valor do resistor de entrada permanecer inalterado qual característica do filtro será mudada 154 O sinal de entrada para o filtro passabaixas projetado no Problema 153 é 35 cos vt V a Suponha que a fonte de alimentação tenha tensões de Vcc Qual é o menor valor de Vcc que ainda fará com que o amp op funcione em sua região linear b Determine a tensão de saída quando v vc c Determine a tensão de saída quando v 0125vc d Determine a tensão de saída quando v 8vc 155 Determine a função de transferência VoVi para o circuito mostrado na Figura P155 se Zf for a impedância equivalente do circuito de realimentação Zi for a impedância equiva lente do circuito de entrada e o amplificador operacional for ideal Figura P155 Vi Vo 1 2 1 2 Zi Zf 2 1 156 a Use os resultados do Problema 155 para determinar a função de transferência do circuito mostrado na Figura P156 b Qual é o ganho do circuito quando v S 0 c Qual é o ganho do circuito quando v S q d Suas respostas para b e c fazem sen tido em termos do comportamento conhecido do circuito Figura P156 vi vo 1 2 1 2 R1 C1 R2 C2 2 1 157 Repita o Problema 156 usando o circuito mos trado na Figura P157 Figura P157 vi vo 1 2 1 2 R1 C1 R2 C2 2 1 Capítulo 15 Filtros ativos 667 Book Nilsson 3indb 667 290116 1356 158 a Use o circuito da Figura 154 para projetar um filtro passaaltas com uma frequência de corte de 8 kHz e um ganho na faixa de passagem de 14 dB Use um capacitor de 39 nF no projeto b Desenhe o diagrama do circuito do filtro e identifique todos os componentes 159 Usando somente três componentes do Apên dice H projete um filtro passaaltas com fre quência de corte e ganho de faixa de passagem com especificações que mais se aproximem das indicadas no Problema 158 a Desenhe o diagrama do circuito e identi fique os valores dos componentes b Calcule o erro percentual na frequência de corte do filtro e no ganho de faixa de passagem desse novo filtro quando com parados com os valores especificados no Problema 1510a 1510 Projete um filtro ativo passaaltas com uma frequência de corte de 4 kHz e um ganho na faixa de passagem de 8 usando um capacitor de 250 nF a Desenhe o circuito identificando os valo res dos componentes e a tensão de saída b Se o valor do resistor de realimentação no filtro for mudado mas o valor do resis tor de entrada permanecer inalterado qual característica do filtro será mudada 1511 O sinal de entrada para o filtro passaaltas projetado no Problema 1510 é 25 cos vt V a Suponha que a fonte de alimentação tenha tensões de Vcc Qual é o menor valor de Vcc que ainda fará com que o amp op funcione em sua região linear b Determine a tensão de saída quando v vc c Determine a tensão de saída quando v 0125vc d Determine a tensão de saída quando v 8vc Seção 152 1512 A função de transferência da tensão de qual quer dos filtros protótipos passaaltas mostra dos na Figura P1512 é Hs s s 1 Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência em qualquer dos cir cuitos a função de transferência passará a ser Hrs skf skf 1 Figura P1512 C 5 1 F 1 2 vo 1 2 vi R 5 1 V a L 5 1 H R 5 1 V 1 2 vo 1 2 vi b 1513 A função de transferência da tensão de qual quer dos filtros protótipos passabaixas mos trados na Figura P1513 é Hs 1 s 1 Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência em qualquer dos cir cuitos a função de transferência passará a ser Hrs 1 skf 1 Figura P1513 a 1 2 vo 1 2 vi C 5 1 F R 5 1 V R 5 1 V b L 5 1 H 1 2 vo 1 2 vi 1514 A função de transferência de tensão para qualquer dos filtros protótipos mostrados na Figura P1514 é Hs a 1 Qbs s2 a 1 Qbs 1 Problema de Projeto Circuitos elétricos 668 Book Nilsson 3indb 668 290116 1356 Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência em qualquer dos circuitos a função de transferência modificada será Hrs a 1 Qb a s kf b a s kf b 2 a 1 Qb a s kf b 1 Figura P1514 L 5 1 H 1 2 vo 1 2 vi C 5 1 F R 5 1 V Q 1515 a Especifique os valores dos componentes para o filtro protótipo passivo passafaixa descrito no Problema 1514 se o fator de qualidade do filtro for 20 b Especifique os valores dos componentes para o filtro passafaixa descrito no Pro blema 1514 se o fator de qualidade for 20 a frequência central ou de ressonân cia for 40 krads e a impedância na res sonância for 5 kV c Desenhe um diagrama do circuito do filtro modificado e identifique todos os componentes 1516 Uma alternativa ao filtro protótipo passafaixa ilustrado na Figura P1514 é fazer vo 1 rads R 1 V e L Q henrys a Qual é o valor de C no filtro protótipo b Qual é a função de transferência do filtro protótipo c Use o circuito protótipo alternativo que acabamos de descrever para projetar um filtro passivo passafaixa que tenha um fator de qualidade de 16 uma frequência central de 25 krads e uma impedância de 10 kV na ressonância d Desenhe o diagrama do filtro modificado e identifique todos os componentes e Use os resultados obtidos no Problema 1514 para escrever uma função de trans ferência do circuito modificado 1517 O filtro passivo passafaixa ilustrado na Figura 1422 tem dois circuitos protótipos No primeiro vo 1 rads C 1 F L 1 H e R Q ohms No segundo vo 1 rads R 1 V C Q farads e L 1Q henrys a Use um desses protótipos à sua escolha para projetar um filtro passivo passa faixa que tenha um fator de qualidade de 25 e uma frequência central de 50 krads O resistor R é de 40 kV b Desenhe o diagrama do circuito do fil tro modificado e identifique todos os componentes 1518 O filtro passivo rejeitafaixa ilustrado na Figura 1428a tem dois circuitos protótipos mostrados na Figura P1518 a Mostre que para ambos os circuitos a função de transferência é Hs s2 1 s2 a 1 Qbs 1 b Escreva a função de transferência para um filtro rejeitafaixa que tenha uma fre quência central de 8000 rads e um fator de qualidade de 10 Figura P1518 b 1 V 1 2 vo 1 2 vi a 1 H 1 F Q H 1 2 vo 1 2 vi 1 V Q F 1 Q 1519 A função de transferência para o filtro rejeita faixa mostrado na Figura 1428a é Hs s2 a 1 LCb s2 a R Lbs a 1 LCb Problema de Projeto Capítulo 15 Filtros ativos 669 Book Nilsson 3indb 669 290116 1356 Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência a função de trans ferência do circuito modificado passará a ser igual à função de transferência do circuito ori ginal com s substituído por skf onde kf é o fator de escala da frequência 1520 Mostre que a observação feita no Problema 1519 a respeito da função de transferência para o circuito da Figura 1428a também se aplica ao circuito do filtro rejeitafaixa o de baixo na Figura 1431 1521 As duas versões do filtro protótipo passivo rejeitafaixa da Figura 1431 circuito de baixo são mostradas na Figura P1521a e b Mostre que a função de transferência para qualquer das versões é Hs s2 1 s2 a 1 Qbs 1 Figura P1521 Q V 1 H 1 F a b 1 2 vo 1 2 vi 1 V Q F 1 2 vo 1 2 vi 1 H Q 1522 O circuito da Figura P924 é modificado de modo que o resistor de 200 V é substituído por um resistor de 80 V e o indutor de 400 mH é substituído por um indutor 20 mH a Qual é o valor modificado do capacitor b Determine a frequência para a qual a impedância Zab é puramente resistiva para o circuito modificado c Como a frequência determinada na parte b relacionase com a frequência para a qual a impedância Zab é puramente resis tiva no circuito original 1523 Faça uma mudança de escala no indutor e no capacitor da Figura P966 de modo que a ampli tude e o ângulo de fase da corrente de saída não mudem quando a frequência de entrada é alterada de 250 rads a 10000 rads a Quais são os valores modificados do indutor e do capacitor b Qual é o valor em regime permanente da corrente de saída io quando a corrente de entrada é 60 cos de 10000t mA 1524 Faça uma mudança de escala no filtro passa faixa do Problema 1418 de modo que a fre quência central seja 25 kHz e o fator de qua lidade ainda seja 8 usando um indutor de 25 mH Determine os valores do resistor do indu tor e das duas frequências de corte do filtro modificado 1525 Faça uma mudança de escala no filtro rejeita faixa do Problema 1438 de modo que a fre quência central seja 16 krads usando um capacitor de 50 nF Determine os valores do resistor do indutor e da largura de faixa do filtro modificado 1526 a Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência no fil tro passabaixas ilustrado na Figura 151 a função de transferência do circuito modifi cado será a mesma da Equação 151 com a substituição de s por skf onde kf é o fator de escala da frequência b Na versão do filtro protótipo passabai xas da Figura 151 vc 1 rads C 1 F R2 1 V e R1 1K ohms Qual é a função de transferência do circuito protótipo c Usando o resultado de a deter mine a função de transferência do filtro modificado 1527 a Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência no fil tro passaaltas ilustrado na Figura 154 a função de transferência será a mesma da Equação 154 com a substituição de s por skf onde kf é o fator de escala da frequência b Na versão do filtro protótipo passaaltas da Figura 154 vc 1 rads R1 1 V C 1 F e R2 K ohms Qual é a função de transferência do circuito protótipo c Usando o resultado de a determine a função de transferência do filtro após mudança de escala Circuitos elétricos 670 Book Nilsson 3indb 670 290116 1356 Seção 153 1528 a Usando capacitores de 50 nF projete um filtro ativo passafaixa de banda larga de primeira ordem que tenha uma frequência de corte inferior de 200 Hz uma frequên cia de corte superior de 2000 Hz e um ganho na faixa de passagem de 20 dB Use filtros protótipos passabaixas e passaaltas no projeto veja os problemas 1526 e 1527 b Escreva a função de transferência do fil tro modificado c Use a função de transferência do item b para determinar Hjvo onde vo é a fre quência central do filtro d Qual é o ganho em decibéis da faixa de passagem do filtro em vo e Usando um programa de computador de sua escolha construa um diagrama de Bode de amplitude do filtro 1529 a Usando capacitores de 2 mF projete um filtro ativo rejeitafaixa de banda larga de primeira ordem que tenha uma frequên cia de corte inferior de 80 Hz uma frequên cia de corte superior de 800 Hz e um ganho na faixa de passagem de 0 dB Use os filtros protótipos apresentados nos problemas 1526 e 1527 no processo de projeto b Desenhe o diagrama de circuito do filtro e identifique todos os componentes c Qual é a função de transferência do filtro modificado d Avalie a função de transferência deter minada em c na frequência central do filtro e Qual é o ganho em decibéis na frequên cia central f Usando um programa de computador de sua escolha construa um diagrama de Bode da função de transferência do filtro 1530 Projete um filtro passafaixa de ganho unitá rio usando uma ligação em cascata para obter uma frequência central de 200 Hz e uma lar gura de faixa de 1000 Hz Use capacitores de 5 mF Especifique fc1 fc2 RB e RA 1531 Projete um filtro rejeitafaixa em paralelo que tenha uma frequência central de 1000 rads uma largura de faixa de 4000 rads e um ganho na faixa de passagem de 6 Use capa citores de 02 mF e especifique os valores de todos os resistores 1532 Mostre que o circuito na Figura P1532 com portase como um filtro passafaixa Suges tão determine a função de transferência para esse circuito e mostre que ela tem a mesma forma que a função de transferência de um filtro passafaixa Use o resultado do Pro blema 151 a Determine a frequência central a lar gura de faixa e o ganho para esse filtro passafaixa b Determine as frequências de corte e o fator de qualidade desse filtro passafaixa Figura P1532 vo 1 2 vi 1 2 2 1 5 kV 10 mF 50 mF 400 V 1533 Para circuitos que consistem em resistores capacitores indutores e amp ops Hjv2 envolve somente potências pares de v Para ilustrar isso calcule Hjv2 para os três cir cuitos na Figura P1533 em que Hs Vo Vi Problema de Projeto Pspice Multisim Problema de Projeto Pspice Multisim Capítulo 15 Filtros ativos 671 Book Nilsson 3indb 671 290116 1356 Figura P1533 b R1 R2 1 sC 1 2 Vo 1 2 Vi sL R 1 sC a 1 2 Vo 1 2 Vi c Vi Vo R1 R3 R2 1 sC 1 sC 2 1 Seção 154 1534 a Determine a ordem de um filtro But terworth passabaixas que tem uma fre quência de corte de 2000 Hz e um ganho de no mínimo 30 dB em 7000 Hz b Qual é o ganho real em decibéis em 7000 Hz 1535 A função de transferência do circuito na Figura 1521 é dada pela Equação 1534 Mostre que se houver uma mudança de escala de amplitude e frequência no circuito da Figura 1521 a função de transferência do circuito será Hrs 1 R2C1C2 a s kf b 2 2 RC1 a s kf b 1 R2C1C2 1536 a Escreva a função de transferência para o filtro protótipo Butterworth passabaixas obtido no Problema 1534a b Escreva a função de transferência para o filtro modificado do item a veja o Pro blema 1535 c Verifique a expressão do item b usando a para calcular o ganho em decibéis em 7000 Hz Compare seu resultado com o encontrado no Problema 1534b 1537 a Usando resistores de 1 kV e amp op ideais projete o filtro Butterworth passabaixas especificado no Problema 1534 O ganho é unitário na faixa de passagem b Faça o diagrama do circuito identifi cando todos os valores dos componentes 1538 A finalidade deste problema é ilustrar a van tagem de um filtro Butterworth passabaixas de nésima ordem em relação a uma cascata de n seções passabaixas idênticas mediante o cálculo da inclinação em decibéis por década de cada gráfico de amplitude na frequência de corte vc Para facilitar o cálculo represente a amplitude em decibéis por y e faça x log10v Então calcule dydx em vc para cada curva a Mostre que na frequência de corte vc 1 rads de um filtro protótipo But terworth passabaixas de nésima ordem dy dx 10n dBdec b Mostre que para uma cascata de n seções idênticas de filtros protótipos passabai xas a inclinação em vc é dy dx 20n21n 1 21n dBdec c Calcule dydx para cada tipo de filtro em n 1 2 3 4 e q d Discuta o significado dos resultados obti dos no item c 1539 Verifique as expressões da Tabela 151 para n 5 e n 6 1540 A função de transferência do circuito na Figura 1525 é dada pela Equação 1547 Mos tre que se houver uma mudança de escala de Problema de Projeto Circuitos elétricos 672 Book Nilsson 3indb 672 290116 1356 amplitude e frequência a função de transfe rência será Hrs a s kf b 2 a s kf b 2 2 R2C a s kf b 1 R1R2C2 Daí a função de transferência de um circuito modificado é obtida da função de transferên cia do circuito original pela simples substi tuição de s na função de transferência ori ginal por skf onde kf é o fator de escala da frequência 1541 a Usando resistores de 8 kV e amp ops ide ais projete um filtro Butterworth passa altas de ganho unitário que tenha uma frequência de corte de 25 kHz e um ganho não superior a 55 dB em 500 Hz b Desenhe o diagrama de circuito e identi fique todos os componentes 1542 a Usando capacitores de 250 nF e amp ops ideais projete um filtro Butterworth passa baixas de ganho unitário que tenha uma frequência de corte de 40 kHz e cuja ampli tude caia no mínimo 55 dB em 200 kHz b Desenhe o diagrama de filtro e identifi que todos os componentes 1543 O filtro passaaltas projetado no Problema 1541 é colocado em cascata com o filtro passa baixas projetado no Problema 1542 a Descreva o tipo de filtro formado por essa conexão b Especifique as frequências de corte a frequência média e o fator de qualidade do filtro c Use os resultados dos problemas 1535 e 1540 para calcular a função de transferên cia do filtro em função dos fatores de escala d Verifique o cálculo do item c usandoo para determinar Hjvo onde vo é a fre quência média do filtro 1544 a Projete um filtro Butterworth passafaixa de banda larga com uma frequência de corte inferior de 200 Hz e uma frequência de corte superior de 2500 Hz O ganho na faixa de passagem do filtro é 40 dB O ganho deve baixar no mínimo 40 dB em 40 Hz e 125 kHz Use capacitores de 1 mF no circuito passaaltas e resistores de 25 kV no circuito passabaixas b Desenhe o diagrama de filtro e identifi que todos os componentes 1545 a Deduza a expressão para a função de transferência em função dos fatores de escala para o filtro projetado no Pro blema 1544 b Usando a expressão deduzida no item a determine o ganho em decibéis em 40 Hz e 1000 Hz c Os valores obtidos no item b satisfazem as especificações de filtragem dadas no Problema 1544 1546 Deduza a função de transferência para um filtro protótipo Butterworth passaaltas de quinta ordem escrevendo primeiro a fun ção de transferência para um filtro protótipo Butterworth passabaixas de quinta ordem e então substituindo s por 1s na expressão do filtro passabaixas 1547 O filtro Butterworth de quinta ordem do Pro blema 1546 é usado em um sistema em que a frequência de corte é 800 rads a Qual é a função de transferência para o filtro em função dos fatores de escala b Teste a expressão determinada calcu lando o ganho em decibéis na frequên cia de corte 1548 Mostre que se vo 1 rads e C 1 F no cir cuito da Figura 1526 os valores de R1 R2 e R3 do filtro protótipo serão R3 2Q R2 Q 2Q2 K R1 Q K 1549 a Use capacitores de 20 nF no circuito da Figura 1526 para projetar um filtro passa faixa com um fator de qualidade de 16 Problema de Projeto Problema de Projeto Problema de Projeto Problema de Projeto Capítulo 15 Filtros ativos 673 Book Nilsson 3indb 673 290116 1356 uma frequência central de 64 kHz e um ganho na faixa de passagem de 20 dB b Desenhe o diagrama do filtro e identifi que todos os componentes 1550 A finalidade deste problema é orientálo na análise necessária para estabelecer um pro cedimento de projeto voltado à determinação dos componentes de um filtro O circuito a ser analisado é mostrado na Figura P1550 a Analise o circuito do ponto de vista qua litativo e convençase de que o circuito é um filtro passabaixas com um ganho na faixa de passagem R2R1 b Comprove sua análise qualitativa dedu zindo a função de transferência VoVi Sugestão ao deduzir a função de trans ferência represente os resistores por suas condutâncias equivalentes isto é G1 1 R1 e assim por diante Para usar a Tabela 151 coloque a função de transferência na forma Hs Kbo s2 b1s bo c Agora observe que temos cinco com ponentes de circuito R1 R2 R3 C1 e C2 e três restrições aplicadas à fun ção de transferência K b1 e bo À primeira vista parece que temos duas opções livres entre os cinco componen tes Todavia quando investigamos as relações entre eles e as restrições à fun ção de transferência verificamos que se C2 for escolhido haverá um limite supe rior para C1 acima do qual não é pos sível obter um valor para R2G2 Com isso em mente mostre que se C2 1 F as três condutâncias serão dadas pelas expressões G2 b1 b2 1 4bo1 KC1 21 K G3 a bo G2 bC1 G1 KG2 Para G2 ser realizável C1 b2 1 4bo1 K d Com base nos resultados obtidos em c esboce o procedimento de projeto para selecionar os componentes do circuito uma vez conhecidos K bo e b1 Figura P1550 R1 R3 R2 C1 C2 2 1 1 2 vo 1 2 vi 1551 Suponha que o circuito analisado no Problema 1550 seja parte de um filtro Butterworth passabaixas de terceira ordem com um ganho na faixa de passagem de 4 Sugestão imple mentar o ganho de 4 na seção de segunda ordem do filtro a Se C2 1 F na parte do filtro que corres ponde à seção de segunda ordem qual é o limite superior para C1 b Se for escolhido o valor limite de C1 quais serão os valores de R1 R2 e R3 no circuito protótipo c Se a frequência de corte do filtro for 25 kHz e se for escolhido o valor de 10 nF para C2 calcule os novos valores de C1 R1 R2 e R3 d Especifique os novos valores dos resisto res e do capacitor na seção de primeira ordem do filtro e Construa o diagrama do circuito e identifique os valores de todos os seus componentes 1552 Permute os Rs e Cs no circuito da Figura P1550 isto é substitua R1 por C1 R2 por C2 R3 por C3 C1 por R1 e C2 por R2 Problema de Projeto Problema de Projeto Problema de Projeto Circuitos elétricos 674 Book Nilsson 3indb 674 290116 1356 a Descreva o tipo de filtro implementado como resultado da permuta b Confirme o tipo de filtro descrito em a deduzindo sua função de transferência VoVi Escreva a função de transferência na forma que a torne compatível com a Tabela 151 c Faça C2 C3 1 F e calcule as expressões para C1 R1 e R2 em termos de K b1 e bo Veja o Problema 1550 para a definição de b1 e bo d Suponha que o filtro descrito em a seja usado no mesmo tipo de filtro Butterworth de terceira ordem que tem um ganho na faixa de passagem de 8 Com C2 C3 1 F calcule os valores protótipos de C1 R1 e R2 na seção de segunda ordem do filtro 1553 a Use os circuitos analisados nos problemas 1550 e 1552 para implementar um filtro rejeitafaixa de banda larga que tenha um ganho na faixa de passagem de 20 dB uma frequência de corte inferior de 1 kHz uma frequência de corte superior de 8 kHz e uma atenuação de no mínimo 24 dB em 2 kHz e 4 kHz Use capacitores de 25 nF sempre que possível b Desenhe o diagrama do circuito e identi fique todos os componentes 1554 a Deduza a função de transferência para o filtro rejeitafaixa descrito no Problema 1553 b Use a função de transferência do item a para determinar a atenuação em deci béis na frequência central do filtro 1555 A finalidade deste problema é desenvolver as equações de projeto para o circuito na Figura P1555 Consulte o Problema 1550 para sugestões sobre o desenvolvimento de equa ções de projeto a Com base em uma análise qualitativa descreva o tipo de filtro implementado pelo circuito b Verifique a conclusão a que você chegou em a derivando a função de transferência VoVi Escreva a função de transferência na forma que a torne compatível com a Tabela 151 c Quantas escolhas livres há na seleção dos componentes do circuito d Calcule as expressões para as condutân cias G1 1R1 e G2 1R2 em termos de C1 C2 e os coeficientes bo e b1 Consulte o Problema 1550 para ter a definição de bo e b1 e Há restrições para C1 ou C2 f Suponha que o circuito na Figura P1555 seja usado para projetar um filtro But terworth passabaixas de quarta ordem e ganho unitário Especifique os valores de R1 e R2 do filtro protótipo se em cada seção de segunda ordem forem usados capacitores de 1 F Figura P1555 1 2 vo 1 2 vi R1 R2 C1 C2 2 1 2 1 1556 O filtro Butterworth passabaixas de quarta ordem e ganho unitário do Problema 1555 é usado em um sistema em que a frequência de corte é 3 kHz O filtro tem capacitores de 47 nF a Especifique os valores numéricos de R1 e R2 em cada seção do filtro b Desenhe o diagrama do circuito e identi fique todos os componentes 1557 Permute os Rs e Cs no circuito da Figura P1555 isto é substitua R1 por C1 R2 por C2 e viceversa a Analise o circuito do ponto de vista qua litativo e preveja o tipo de filtro imple mentado pelo circuito Problema de Projeto Problema de Projeto Problema de Projeto Problema de Projeto Capítulo 15 Filtros ativos 675 Book Nilsson 3indb 675 290116 1356 b Verifique a conclusão a que chegou em a deduzindo a função de transferência VoVi Escreva a função de transferência de uma forma que a torne compatível com a Tabela 151 c Quantas escolhas livres há na seleção dos componentes do circuito d Determine R1 e R2 em função de bo b1 C1 e C2 e Há alguma restrição para C1 e C2 f Suponha que o circuito seja usado em um filtro Butterworth de terceira ordem do tipo determinado em a Especifique os valores de R1 e R2 do filtro protótipo na seção de segunda ordem do filtro se C1 C2 1 F 1558 a O circuito do Problema 1557 é usado em um filtro Butterworth passaaltas de ter ceira ordem e ganho unitário cuja frequên cia de corte é de 800 Hz Especifique os valores de R1 e R2 se capacitores de 5 mF forem utilizados para construir o filtro b Especifique os valores de resistência e capacitância na seção de primeira ordem do filtro c Desenhe o diagrama do circuito e identi fique todos os componentes d Calcule a função de transferência modifi cada do filtro e Use a função de transferência do item d para determinar o ganho na frequência de corte em dB Seção 155 1559 a Mostre que a função de transferência de um filtro protótipo rejeitafaixa é Hs s2 1 s2 1Qs 1 b Use o resultado do item a para deter minar a função de transferência do filtro projetado no Exemplo 1513 1560 a Usando o circuito mostrado na Figura 1529 projete um filtro rejeitafaixa de banda estreita que tenha uma frequência central de 4 kHz e um fator de qualidade de 10 Utilize no projeto C 05 mF b Desenhe o diagrama do circuito e identi fique todos os valores dos componentes c Qual é a função de transferência modifi cada do filtro Seções 151155 1561 Usando o circuito da Figura 1532a projete um circuito de controle de volume de ganho máximo de 14 dB e ganho de 11 dB a uma frequência de 50 Hz Use um resistor de 10 kV e um potenciômetro de 50 kV Teste seu pro jeto calculando o ganho máximo em v 0 e o ganho em v 1R2C1 utilizando os valores selecionados de R1 R2 e C1 1562 Use o circuito da Figura 1532a para projetar um circuito de controle de volume de graves que tenha um ganho máximo de 20 dB e que caia 3 dB em 75 Hz 1563 Desenhe o gráfico do ganho máximo em deci béis em função de a quando v 0 para o circuito projetado no Problema 1561 Faça a variar de 0 a 1 em incrementos de 01 1564 a Mostre que os circuitos da Figura P1564a e b são equivalentes b Mostre que os pontos identificados como x e y na Figura P1564b estão sempre no mesmo potencial c Usando as informações de a e b mos tre que o circuito da Figura 1533 pode ser desenhado como mostra a Figura P1564c Problema de Projeto Problema de Projeto Perspectiva Prática Problema de Projeto Perspectiva Prática Problema de Projeto Perspectiva Prática Perspectiva Prática Circuitos elétricos 676 Book Nilsson 3indb 676 290116 1356 d Mostre que o circuito da Figura P1564c está na forma do circuito da Figura 152 onde Zf R1 aR2 R1R2C1s 1 R2C1s Zi R1 1 aR2 R1R2C1s 1 R2C1s Figura P1564 1sC1 12aR2 a aR2 12aR2 b aR2 12a sC1 a sC1 x y c 12aR2 R4 1 2R3 aR2 R1 R1 12a sC1 a sC1 2 1 Vs Vo x y 1565 a Um gerente de projetos de engenharia recebeu de um subordinado uma proposta segundo a qual o circuito mostrado na Figura P1565 poderia ser usado como um circuito de controle de volume de agudos se R4 W R1 R3 2R2 O subordinado afirma ainda que a função de transferên cia de tensão para o circuito é 5 2R3 R4 1 bR4 RobR4 R3C2s6 5 2R3 R4 1 bR4 R3bR4 RoC2s6 Hs Vo Vs em que Ro R1 R3 2R2 Felizmente o enge nheiro projetista tem na equipe um estagiário estudante de engenharia elétrica a quem pede que verifique a proposta do subordinado O estudante deve verificar o comportamento da função de transferência quando v S 0 quando v S q e o comportamento quando v q e b varia entre 0 e 1 Com base em seu teste da função de transferência você acha que o circuito poderia ser usado como um controle de volume de agudos Explique Figura P1565 12bR4 bR4 2 1 R1 R2 vs v0 R1 R3 R3 R4 C2 1566 No circuito da Figura P1565 os valores dos componentes são R1 R2 20 kV R3 59 kV R4 500 kV e C2 27 nF a Calcule a amplificação máxima em decibéis b Calcule a atenuação máxima em decibéis c R4 é significativamente maior do que Ro d Quando b 1 qual é a amplificação em decibéis quando v 1R3C2 e Quando b 0 qual é a atenuação em decibéis quando v 1R3C2 f Com base nos resultados obtidos em d e e qual é o significado da frequência 1 R3C2 quando R4 W R0 1567 Usando os valores dos componentes dados no Problema 1566 faça o gráfico do ganho máximo em decibéis em função de b quando v 0 Faça b variar de 0 a 1 em incrementos de 01 Perspectiva Prática Perspectiva Prática Perspectiva Prática Capítulo 15 Filtros ativos 677 Book Nilsson 3indb 677 290116 1357 Capitulo 7 6 series de Fourier uf Band oe nt If SUMARIO DO CAPITULO 161 Séries de Fourier uma visao geral 165 Exemplo de aplicacao 162 Coeficientes de Fourier 166 Calculos de poténcia média de funcdes 163 Efeito da simetria sobre os coeficientes de periodicas Fourier 167 Valor eficaz de uma funao periddica 164 Forma trigonométrica alternativa da série de 168 Forma exponencial da série de Fourier eve 169 Espectros de amplitude e de fase OBJETIVOS DO CAPITULO 1 Saber calcular a forma trigonométrica dos coeficientes de Fourier de uma onda periddica usando as simplificagdes possiveis quando a forma de onda exibir um ou mais tipos de simetria 2 Saber analisar a resposta de um circuito a uma forma de onda periddica usando coeficientes de Fourier e 0 principio da superposiao 3 Saber estimar a poténcia média fornecida a um resistor usando poucos coeficientes de Fourier 4 Saber calcular a forma exponencial dos coeficientes de Fourier para uma onda periddica e usdlos para tragar gra ficos de espectro de amplitude e fase para essa onda Figura 161 Onda periddica Nos capitulos anteriores dedicamos espago consideravel a analise do regime permanente senoidal A razao do interesse pela F funcao senoidal é que ela permite determinar a resposta de regime permanente a funcdes periddicas nao senoidais A fungao periédica A ee x é aquela que se repete a cada 7 segundos Por exemplo a onda trian gular ilustrada na Figura 161 6 nao senoidal porém periddica WT T 0 t fot T AT ty2T t Uma funcao periddica é aquela que satisfaz a relacao fd ft nT 161 Capitulo 16 e Séries de Fourier em que 7 é um numero inteiro 1 2 3 7 0 periodo A fungao Figura 162 Formas de onda na saida de um retificador mostrada na Figura 161 é periddica porque senoidal nao fittrado a Retificacao de onda completa b Retificagao de meiaonda ft ft T fly T fly 2T vt vt para qualquer valor de escolhido arbitrariamente Observe que 760 Vin Vin menor intervalo de tempo em que uma fungao periddica pode ser des locada em ambos os sentidos para produzir uma fungao idéntica a si t t mesma 0 T 2T 0 T2 T Por que 0 interesse em funcdes periddicas Uma razao 6 que mui a b tas fontes reais de energia elétrica geram formas de onda periddicas Por exemplo retificadores elétricos sem filtro de saida alimentados por uma fonte de tensao senoidal produzem tensdes senoidais retificadas que Figura 163 Forma de onda triangular de um gerador de nao sao ondas senoidais embora sejam periddicas As figuras 162a e Varredlura de osciloscopio de ralos catclcos b mostram as formas de onda de tensao na saida de retificadores de rd onda completa e de meiaonda respectivamente V O gerador de varredura utilizado para controlar o feixe de elétrons de um osciloscopio de raios catédicos produz uma onda triangular perid t dica como a da Figura 163 0 Tr 2T 37 Osciladores eletrénicos que sao usados para testar equipamentos em laboratérios sao projetados para produzir formas de onda periddicas nao senoidais Geradores de fungao que sao capazes de produzir ondas Figura 164 Formas de onda produzidas por geradores quadradas ondas triangulares e de pulso retangular s4o encontrados na de fungao usados em laboratorios a Onda maioria dos laboratorios A Figura 164 ilustra formas de onda tipicas vvonguleves Onda triangular c Pulsos Outro problema pratico que estimula o interesse em funcdes periddi v0 cas que os geradores de energia embora projetados para produzir uma forma de onda senoidal nao conseguem produzir uma senoide perfeita Vin Contudo a onda senoidal distorcida é periddica Naturalmente os enge nheiros tém interesse em averiguar as consequéncias de excitar sistemas 0 T oT t de poténcia com uma tensao de forma ligeiramente diferente da senoidal O interesse em fungdes periddicas também surge da observagao Vn geral de que qualquer nao linearidade introduzida em um circuito linear a faz aparecer nele uma fungao periddica nao senoidal O circuito retifi vt cador a que aludimos anteriormente 6 um exemplo desse fendmeno A saturagao magnética que ocorre em maquinas e também em transfor Vin madores é outro exemplo de uma nao linearidade que gera uma funcao periddica nao senoidal Circuitos eletrdnicos limitadores que usam a sa 0 T turacao de transistores constituem outro exemplo V Além disso fungdes periddicas nao senoidais sao importantes em b outros ramos da engenharia Problemas que envolvem vibragao mecani ca escoamento de fluidos e transmissao de calor fazem uso de fungdes vt periddicas Na verdade foram o estudo e a andlise da transmissao de calor em uma barra de metal que levaram o matematico francés Jean Vin Baptiste Joseph Fourier 17681830 a representacao de uma funcao periddica por meio de uma série trigonométrica Essa série recebe seu nome e o ponto de partida para determinar a resposta de regime per 0 T 2T manente de circuitos elétricos submetidos a excitagdes periddicas c Perspectiva prática Filtros ativos de alto Q Nos capítulos 14 e 15 descobrimos que uma característica importante dos filtros passafaixa e rejeitafaixa é o fator de qualidade Q Tratase de um indicador do grau de seletividade do filtro em sua frequência central Por exemplo um filtro passa faixa com alto valor de Q amplifica sinais em sua frequência central ou na proximidade dela e atenua sinais em todas as outras frequências Por outro lado um filtro passafaixa com baixo valor de Q não faz distinção entre os sinais na frequência central e os sinais em frequências muito diversas da frequência central Neste capítulo veremos que qualquer sinal periódico pode ser representado como uma soma de senoides em que as frequências das senoides somadas são compostas pela frequência do sinal periódico e dos múltiplos inteiros dessa frequência Podemos usar um sinal periódico como uma onda quadrada para testar o fator de qualidade de um filtro passafaixa ou rejeita faixa Para isso escolhemos uma onda quadrada cuja frequência seja igual à frequência central de um filtro passafaixa por exemplo Se o filtro passafaixa tiver elevado fator de qualidade sua saída será quase senoidal transformando assim a onda quadrada de entrada em uma saída senoidal Se o filtro tiver baixo fator de qualidade sua saída ainda se parecerá com uma onda quadrada uma vez que o filtro não será capaz de distinguir entre as senoides que compõem a onda quadrada de entrada Apresentamos um exemplo no final deste capítulo Filtro passafaixa de alto Q 161 Séries de Fourier uma visão geral O que Fourier descobriu ao investigar problemas de transmissão de calor é que uma função periódica pode ser representada por uma soma infinita de funções seno ou cosseno de frequências múltiplas harmonicamente relacionadas Em outras palavras o período de qualquer termo trigo nométrico na série infinita é um múltiplo inteiro ou harmônico do período fundamental T da função periódica Assim Fourier mostrou que uma função ft periódica pode ser expressa como f t av a q n1 an cos nv0t bn sen nv0t 162 em que n é a sequência de números inteiros 1 2 3 Representação u em série de Fourier de uma função periódica Circuitos elétricos 680 Book Nilsson 3indb 680 290116 1357 Na Equação 162 av an e bn são conhecidos como coeficientes de Fourier e calculados a partir de ft O termo v0 que é igual a 2pT representa a frequência fundamental da fun ção periódica ft Os múltiplos inteiros de v0 isto é 2v0 3v0 4v0 são conhecidos como frequên cias harmônicas de ft Assim 2v0 é o segundo harmônico 3v0 é o terceiro harmônico e nv0 é o nésimo harmônico de ft Discutiremos a determinação dos coeficientes de Fourier na Seção 162 Antes de entrar mos nos detalhes da utilização da série de Fourier em análise de circuitos precisamos estudar em primeiro lugar o processo em termos gerais Do ponto de vista de aplicações podemos expressar todas as funções periódicas de interesse em termos de uma série de Fourier Do ponto de vista matemático as condições que uma função periódica ft deve satisfazer para que seja possível expressála como uma série de Fourier convergente conhecidas como con dições de Dirichlet são as seguintes 1 ft deve ser unívoca 2 o número de descontinuidades de ft no intervalo periódico deve ser finito 3 o número de máximos e mínimos de ft no intervalo periódico deve ser finito 4 a integral t0T t0 f t dt deve existir Qualquer função periódica gerada por uma fonte fisicamente realizável satisfaz as condi ções de Dirichlet Essas condições são suficientes porém não necessárias Assim se ft satisfi zer esses requisitos saberemos que podemos expressála como uma série de Fourier Contudo caso ft não atenda a esses requisitos poderá ainda ser possível expressála como uma série de Fourier As condições necessárias não são conhecidas Após termos determinado ft e calculado os coeficientes de Fourier av an e bn substi tuímos a fonte periódica por uma fonte cc av mais uma soma de fontes senoidais an e bn Como a fonte periódica está excitando um circuito linear podemos usar o princípio da super posição para determinar a resposta de regime permanente Em particular primeiro calcula mos a resposta a cada fonte da representação em série de Fourier de ft e então somamos as respostas individuais para obter a resposta total A resposta de regime permanente decorrente de uma fonte senoidal específica é determinada com mais facilidade pelo método fasorial O procedimento é direto não envolve nenhuma técnica nova de análise de circuitos e produz a representação em série de Fourier da resposta de regime permanente Por consequ ência a forma real da resposta é desconhecida Além do mais a forma de onda da resposta só pode ser estimada pela soma de um número suficiente de termos Ainda que a abordagem da série de Fourier para determinar a resposta de regime permanente tenha algumas desvanta gens ela apresenta um novo modo de pensar que é tão importante quanto obter resultados quantitativos Na verdade de certa forma o aspecto conceitual é até mais importante do que o quantitativo 162 Coeficientes de Fourier Uma vez definida a função periódica determinamos os coeficientes de Fourier pelas relações Capítulo 16 Séries de Fourier 681 Book Nilsson 3indb 681 290116 1357 bk 2 T t0T t0 f t sen kv0t dt ak 2 T t0T t0 f t cos kv0t dt av 1 T t0T t0 f t dt 163 164 165 Nas equações 164 e 165 o índice k indica o késimo coeficiente na sequência de números inteiros 1 2 3 Observe que av é o valor médio de ft ak é duas vezes o valor médio de ft cos kv0t e bk é duas vezes o valor médio de ft sen kv0t Podemos facilmente deduzir as equações 163165 da Equação 162 recordando as seguin tes relações integrais válidas quando m e n forem inteiros T 2 para m n t0T t0 cos mv0t cos nv0t dt 0 para todo m Z n T 2 para m n t0T t0 sen mv0t sen nv0t dt 0 para todo m Z n t0T t0 cos mv0t sen nv0t dt 0 para todo m e n t0T t0 cos mv0t dt 0 para todo m t0T t0 sen mv0t dt 0 para todo m 166 167 168 169 1610 Deixamos a cargo do leitor a demonstração das equações 1661610 Problema 165 Para deduzir a Equação 163 simplesmente integramos ambos os lados da Equação 162 em um período avT 0 t0T t0 avdt a q n1 t0T t0 an cos nv0t bn sen nv0t dt t0T t0 f t dt t0T t0 aav a q n1 ancos nv0t bn sen nv0tb dt 1611 A Equação 163 decorre diretamente da Equação 1611 Coeficientes u de Fourier Circuitos elétricos 682 Book Nilsson 3indb 682 290116 1357 Capitulo 16 e Séries de Fourier Para deduzir a expressao para o késimo valor de a multiplicamos primeiro a Equagao 162 por cos kwoft e entao integramos ambos os lados ao longo de um periodo de ft toT toT ft cos kwpt dt a COS kwot dt to to Co toT 3 dy COS Nwot cos kwot b sen nwot cos kwot dt nl1Jto T 04 5 0 1612 Explicitando a na Equacao 1612 obtemos a Equagao 164 Obtemos a expressao para o késimo valor de b multiplicando primeiro ambos os lados da Equagao 162 por sen kwof e entao integrando cada lado ao longo de um periodo de ft O Exemplo 161 mostra como usar as equac6es 163165 para determinar os coeficientes de Fourier para uma funcao periddica especifica EXEMPLO 161 Determinagao da série de Fourier de uma onda triangular nao simétrica Determine a série de Fourier para a tensao periddica da Figura 165 Solugao Quando usamos as equagées 163165 para determi Figura 165 Tensao periddica para o Exemplo 161 nar a a b podemos escolher o valor de f Para a vt tensdo periddica da Figura 165 a melhor escolha para t zero Qualquer outra escolha dificultaria as integra V cdes necessarias A expressdo para ut entre 0 e T é T 0 T 2T vn th e wo A equagao para a T 1 V 1 a ca V TJo T 2 Esse é claramente o valor médio da forma da onda na Figura 165 A equagao para o késimo valor de a é T 2 V an 5 cos kwotdt 2Vin 1 t or cos kwot sen kext T k Wo kao 0 Vm 1 cos ank 1 0 todo k cos 2ak ara todo k T kas P A equação para o késimo valor de bn é Vm pk 2Vm T2 a0 T kv0 cos 2pkb 2Vm T2 a 1 k2v0 2 sen kv0t t kv0 cos kv0tb 2 T 0 bk 2 T T 0 a Vm T b t sen kv0t dt A série de Fourier para vt é Vm 2 Vm p sen v0t Vm 2p sen 2v0t Vm 3p sen 3v0t c vt Vm 2 Vm p a q n1 1 n sen nv0t Objetivo 1 Saber calcular a forma trigonométrica dos coeficientes de Fourier de uma onda periódica 161 Calcule as expressões para av ak e bk para a função periódica mostrada se Vm 9p V Resposta av 2199 V bk 6 k 1 cos 4kp 3 V ak 6 k sen 4kp 3 V 162 Considere o Problema para avaliação 161 a Qual é o valor médio da tensão periódica b Calcule os valores numéricos de a1 a5 e b1 b5 c Se T 12566 ms qual é a frequência fundamental em radianos por segundo d Qual é a frequência do terceiro harmônico em hertz e Escreva a série de Fourier até o quinto harmônico inclusive Resposta a 2199 V b 52 V 26 V 0 V 13 e 104 V 9 V 45 V 0 V 225 V e 18 V c 50 rads d 2387 Hz e vt 2199 52 cos 50t 9 sen 50t 26 cos 100t 45 sen 100t 13 cos 200t 225 sen 200t 104 cos 250t 18 sen 250t V NOTA tente resolver também os problemas 161163 apresentados no final do capítulo Vm t Vm 3 T 3 2T 3 4T 3 5T 3 T 2T PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Circuitos elétricos 684 Book Nilsson 3indb 684 290116 1357 Capitulo 16 e Séries de Fourier De modo geral determinar os coeficientes de Fourier é entediante Por consequéncia qualquer coisa que simplifique a tarefa é benéfica Felizmente uma fungao periddica que pos sua certos tipos de simetria reduz significativamente a quantidade de trabalho envolvida na determinagao dos coeficientes Na Secdo 163 discutiremos como a simetria afeta os calculos dos coeficientes em uma série de Fourier 163 Efeito da simetria sobre os coeficientes de Fourier Quatro tipos de simetria podem ser usados para simplificar o calculo dos coeficientes de Fourier e simetria das fungdes pares e simetria das funcgdes impares e simetria de meiaonda e simetria de quarto de onda O efeito de cada tipo de simetria discutido nas secg6es a seguir Simetria das fungoes pares Uma fungao é definida como par se fi f 1613 Funcao par Funcoes que satisfazem a Equacao 1613 sao denominadas pares porque polinémios que tém somente expoentes pares possuem essa caracteristica Para fungdes periddicas pares as equacoes para os coeficientes de Fourier reduzemse a pie a al ft dt 1614 T Jo 4 pie a ft cos kwot dt 1615 0 by 0 para todo k 1616 Observe que todos os coeficientes b serao nulos se a fungao periddica for par A Figura 166 mostra uma fungao periddica par As equagdes 16141616 decorrem diretamente das equagoes 163165 Para mostrar isso selecionamos f T2 e entao dividimos o intervalo de integragéo em duas partes Figura 166 Fungao periddica par ft ft de T2 a0 e de 0a 72 ou ft 1 pt a a ft dt a 17 1 pt t dt t dt 1617 f r rf soa as 7 Agora mudamos a variavel de integracao na primeira integral do lado direito da Equagao 1617 Especificamente fazemos t x e observamos que ft f x fx porque a fungao par Além disso observamos que x 72 quando t T2 e dt dx Entao 0 T2 f t dt 0 T2 f xdx T2 0 f x dx 1618 que mostra que a integração de T2 a 0 é idêntica à de 0 a T2 por consequência a Equação 1617 é idêntica à Equação 1614 A dedução da Equação 1615 é feita de forma semelhante Nesse caso 2 T T2 0 f t cos kv0t dt ak 2 T 0 T2 f t cos kv0t dt 1619 mas T2 0 f x cos kv0x dx 0 T2 f t cos kv0t dt 0 T2 f x cos kv0xdx 1620 Como antes a integração de T2 a 0 é idêntica à de 0 a T2 Combinando a Equação 1620 com a Equação 1619 obtemos a Equação 1615 Todos os coeficientes b são iguais a zero quando ft é uma função periódica par porque a integração de T2 a 0 é igual à integração de 0 a T2 com o sinal trocado isto é T2 0 f x sen kv0x dx 0 T2 f t sen kv0t dt 0 T2 f x sen kv0xdx 1621 Quando usamos as equações 1614 e 1615 para determinar os coeficientes de Fourier o intervalo de integração deve ser de 0 a T2 Simetria das funções ímpares Uma função é definida como ímpar se ft ft 1622 Funções que satisfazem a Equação 1622 são denominadas ímpares porque polinômios que têm apenas expoentes ímpares possuem essa característica As expressões para os coefi cientes de Fourier são av 0 1623 ak 0 para todo k 1624 bk 4 T T2 0 f t sen kv0t dt 1625 Observe que todos os coeficientes a serão iguais a zero se a função periódica for ímpar A Figura 167 mostra uma função periódica ímpar Função ímpar u Circuitos elétricos 686 Book Nilsson 3indb 686 290116 1357 Capitulo 16 e Séries de Fourier Para deduzir as equag6es 16231625 usamos 0 mesmo processo utilizado para deduzir as equacoées 16141616 Deixamos essas dedugoes a cargo do leitor Problema 167 apresentado no final do capitulo Uma fungao peridédica pode se tornar par ou impar ao Figura 167 Funcdo periddica impar ft f ser deslocada ao longo do eixo do tempo Em outras pala vras a escolha criteriosa do local em que t 0 pode criar uma fe simetria par ou impar em uma fungao periddica Por exem A plo a fungao triangular mostrada na Figura 168a nao é nem par nem impar Contudo podemos transformala em fungao t par como mostra a Figura 168b ou em funaéo impar como ies 0 M2 mostra a Figura 168c A Simetria de meiaonda Uma fungao periddica possui simetria de meiaonda Figura 168 Um exemplo de como a escolha do local em que se satisfaz a equacado t 0 pode determinar que uma fungao periddica seja par impar ou nenhum dos dois a Onda f ft T2 1626 triangular periddica que nao 6 nem par nem impar b Onda triangular de a transformada em De aco com a Bquacio 1625 una fing poi incom ae rer nnn om dica tera simetria de meiaonda se apds ser deslocada em funcao impar pelo deslocamento da funcao ao metade de um periodo e invertida for idéntica 4 funcdo longo do eixo t original Por exemplo as fungdes mostradas nas figuras 167 e 168 tém simetria de meiaonda ao passo que as das Ae figuras 165 e 166 ndo tém Observe que simetria de meia A onda nao é funcao do local em que t 0 i Se uma funcAo periddica tiver simetria de meiaonda t a b serao ambos nulos para valores pares de k Além F NY 0 e r disso a também sera igual a zero pois o valor médio de A uma fungado com simetria de meiaonda é nulo As expres a sdes para os coeficientes de Fourier sao fO ad 0 1627 A a 0 para k par 1628 a zi ftcoskwot dt parak impar 1629 A b b 0 para kpar 1630 ee fo by a fsenkwot dt para kimpar 1631 A Deduzimos as equacgoées 16271631 comegando com t as equacg6es 163165 e escolhendo o intervalo de inte rt 0 TI r gragao de T2 a 72 Entao 0 dividimos em intervalos A de T2 a0 e de 0a T2 Por exemplo 0 calculo de a fica c 2 T T2 0 f t cos kv0t dt 2 T 0 T2 f t cos kv0t dt 2 T T2 T2 f t cos kv0t dt ak 2 T t0T t0 f t cos kv0t dt 1632 Agora mudamos a variável de integração da primeira integral do lado direito da Equação 1632 Especificamente fazemos t x T2 Então x T2 quando t 0 x 0 quando t T2 dt dx Reescrevemos a primeira integral como 0 T2 f t cos kv0t dt T2 0 f x T2 cos kv0x T2 dx 1633 Observe que cos kv0x T2 cos kv0x kp cos kp cos kv0x e que por hipótese fx T2 fx Por consequência a Equação 1633 tornase 0 T2 f t cos kv0t dt T2 0 f x cos kp cos kv0x dx 1634 Incorporando a Equação 1634 na Equação 1632 obtemos ak 2 T1 cos kp T2 0 f t cos kv0t dt 1635 Mas cos kp é 1 quando k é par e 1 quando k é ímpar Por conseguinte da Equação 1635 deduzemse as equações 1628 e 1629 Deixamos que o leitor verifique se esse mesmo processo pode ser usado para deduzir as equações 1630 e 1631 veja o Problema 168 apresentado no final do capítulo Resumimos nossas observações afirmando que a representação em série de Fourier de uma função periódica com simetria de meiaonda tem valor médio nulo e contém somente harmônicos ímpares Circuitos elétricos 688 Book Nilsson 3indb 688 290116 1357 Capitulo 16 e Séries de Fourier Simetria de quarto de onda Figura 169 a Fungao com simetria de quarto de onda b Fungao que nao tem simetria de quarto de onda O termo simetria de quarto de onda descreve uma ft fungao periddica que tem simetria de meiaonda e além A disso é simétrica em relagéo aos pontos médios dos semi ciclos positivo e negativo A fungéo mostrada na Figura t 169a tem simetria de quarto de onda em relacdo ao 0 TI4 T ponto médio dos semiciclos positivo e negativo A fun cdo na Figura 169b nao tem simetria de quarto de onda A embora tenha simetria de meiaonda Uma fungao periddica que tenha simetria de quarto a de onda sempre pode ser transformada em par ou impar ft pela escolha adequada do ponto em que t 0 Por exem A plo a fungéo mostrada na Figura 169a é impar e pode ser transformada em par deslocandose a fungao T4 uni dades para a direita ou para a esquerda ao longo do eixo 0 T4 T t Todavia a funcaéo na Figura 169b nunca podera ser transformada em par ou em impar Para aproveitar a van A tagem da simetria de quarto de onda no calculo dos coe b ficientes de Fourier devese escolher 0 ponto em que ft 0 de forma a transformar a fungéo em par ou em impart Se a funcao for transformada em par a 0 por causa da simetria de meiaonda a 0 para k par por causa da simetria de meiaonda g prs AF ft cos kwot dt para k impar 0 by 0 para todo k porque a funcao é par 1636 As equacoes 1636 resultam da simetria de quarto de onda da funcao além do fato da fungao ser par Lembrese de que como a simetria de quarto de onda implica a simetria de meiaonda podemos eliminar a e a para k par Comparando a expressao para a k impar nas equagoes 1636 com a Equacao 1629 vemos que combinar simetria de quarto de onda com a simetria das fung6es pares permite diminuir o intervalo de integragaéo de 0 a T2 para 0 a 74 Fica a cargo do leitor a dedugao das equacgées 1636 Problema 169 apresentado no final do capitulo Se a funcdo com simetria de quarto de onda for transformada em impar ad 0 porque a fungao é impar a 0 para todo k porque a fungao é fmpar b 0 para k par por causa da simetria de meiaonda g prs by rf ftsenkaot dt para k impar 1637 0 Circuitos elétricos As equacées 1637 sao uma consequéncia direta da funcao ter simetria de quarto de onda e ser impar Novamente isso permite diminuir o intervalo de integragao de 0 a T2 para0a T4 Fica a cargo do leitor a dedugao das equagées 1637 Problema 1610 apresentado no final do capitulo O Exemplo 162 mostra como usar a simetria para simplificar 0 calculo dos coeficientes de Fourier EXEMPLO 162 Determinagao da série de Fourier de uma fungao impar com simetria Determine a série de Fourier para a onda de corrente da Figura 1610 Solugao Comegamos procurando na onda graus de simetria Vemos que a fungao é impar e além disso tem simetria de meiaonda e de quarto de onda Como a fungao é impar todos os coeficientes a sao nulos isto a 0 e a 0 para todo k Como a fungao tem simetria de meiaonda b 0 para valores pares de k Como a fungao tem simetria de quarto de onda a expressao para b para valores impares de k gf Figura 1610 Onda periddica para o Exemplo 162 by 7 it senkwot dt 9 a Perroaled para o mxemplo toe To it In No intervalo 0 t S 74 a expressdo para if é t ay 4Lin T2 072 372 572 it t T Tn Assim T4 8 4 b t senkwot dt TJo T 321 senkwot t cos kwot 74 T Ke kay o 81 in ka sen k impar A representacao de it em série de Fourier é 8In 1 n it sen senna TT n1351 2 Blin 1 sen wot sen3aot aw 0 9 0 senSwpt senTuot zz senSapt sen7w seed 25 49 Capitulo 16 e Séries de Fourier PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber calcular a forma trigonométrica dos coeficientes de Fourier de uma onda periddica 163 Calcule a série de Fourier para a tensdo periddica Ug t mostrada Vin 12V senn73 i t rs ts as 0 76 13 TPR T NOTA tente resolver também os problemas 1611 e 1612 apresen y tados no final do capitulo m 164 Forma trigonometrica alternativa da serie de Fourier Em aplicagées da série de Fourier a circuitos combinamos termos em cosseno e seno em um tinico termo por conveniéncia Isso nos permite a representacdo de cada harm6nico de vt ou it como uma tinica quantidade fasorial Os termos em cosseno e seno podem ser combina dos em uma expressao de cosseno ou em uma de seno Como escolhemos 0 cosseno na andlise fasorial veja o Capitulo 9 também escolheremos aqui 0 cosseno para a forma alternativa da série Por isso escrevemos a série de Fourier da Equagao 162 como f a SA cosnaot 4 1638 n1 em que A e 6 sdo definidos pela grandeza complexa a jb Va be 0 An 8 1639 Deduzimos as equacoes 1638 e 1639 usando o método fasorial para somar os termos em cosseno e seno na Equagao 162 Comecamos expressando as fungdes seno como fung6es cos seno isto 6 reescrevemos a Equacao 162 como f a Da cos naot b cosnwpt 90 1640 n1 Ao adicionar os termos do somatorio usando fasores obtemos F a COS Naot a 0 1641 e F by cosnwot 90 b 7 90 by 1642 Entao Fa cosnwt b cosnwpt 90 a jbn Vaz bnZ O An On 1643 Quando executamos a transformada fasorial inversa da Equação 1643 obtemos An cosnv0t un an cos nv0t bn cosnv0t 90 F 15 Anl un6 1644 Substituindo a Equação 1644 na Equação 1640 obtemos a Equação 1638 A Equação 1643 corresponde à Equação 1639 Se a função periódica for par ou ímpar An reduzse a an par ou bn ímpar e un é 0 par ou 90 ímpar A dedução da forma alternativa da série de Fourier para uma dada função periódica é ilustrada no Exemplo 163 ExEMPLO 163 Cálculo das formas da série trigonométrica de Fourier para uma tensão periódica a Calcule as expressões de ak e bk para a função perió dica da Figura 1611 b Escreva os quatro primeiros termos da série de Fou rier de vt usando a forma da Equação 1638 Solução a A tensão vt não é par nem ímpar nem tem simetria de meiaonda Por conseguinte usamos as equações 164 e 165 para determinar ak e bk Escolhendo t0 como zero obtemos 2Vm T senkv0t kv0 2 T4 0 Vm kp senkp 2 ak 2 T B T4 0 Vm cos kv0t dt T T4 0 cos kv0t dt R e Vm kp a1 cos kp 2 b 2Vm T a cos kv0t kv0 T4 0 b bk 2 T T4 0 Vm senkv0t dt b O valor médio de vt é av VmT4 T Vm 4 Os valores de ak jbk para k 1 2 e 3 são Figura 1611 Função periódica para o Exemplo 163 vt Vm 0 t T 4 T 2 3T 4 3T 2 5T 4 7T 4 T 2T Circuitos elétricos 692 Book Nilsson 3indb 692 290116 1357 Capitulo 16 Séries de Fourier Vm Vm V2Vin a jb i LAD Vin Vin ay jbo 0 J T 90 V Vin V2Vin a3 jb3 jo 7135 31 37 37 37 LoS Assim os quatro primeiros termos da série de Fourier de ut sao V V2V V vt coswot 45 cos2mt 90 4 T T V2V cos3wot 135 37 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber calcular a forma trigonométrica dos coeficientes de Fourier de uma onda periddica 164a Calcule A A e 6 4 para a fungao periddica mostrada se V 977 V b Usando a forma da Equagfo 1638 escreva a série de Fourier para Ut até o quinto harmGnico inclusive admitindo que T 12566 ms V Resposta a 104 52 0 26 21 V e 120 60 nao definido m 120 60 b ut 2199 104 cos50r 120 Vin 52 cos100t 60 26 cos200t 120 3 21 cos250r 60 V e TF 27 T 47 ST 27 NOTA tente resolver também o Problema 1622 apresentado no final do capitulo 3 3 3 3 5 x Figura 1612 Um circuito RC excitado por uma tensao 165 Exemplo de aplicagao periddica a Circuito RC em série eo b Tensao de onda quadrada Agora vamos ilustrar como usar a série de Fourier de 0 4 uma fungao periddica para determinar a resposta de regime R permanente de um circuito linear pelo circuito RC da Figura 1612a O circuito é energizado com a onda quadrada de v C tensdo mostrada na Figura 1612b A tensao no capacitor é o sinal de resposta ou saida desejado A primeira etapa na determinacdo da resposta de a regime permanente é representar a fonte de excitagao perid Vg dica por sua série de Fourier Depois de observar que a fonte tem simetria fmpar de meiaonda e de quarto de onda sabe Vin mos que os coeficientes de Fourier reduzemse a b com k restrito a valores inteiros impares T 2T 3T V b 4Vm pk k é ímpar bk 8 T T4 0 Vm senkv0t dt 1645 Então a representação em série de Fourier de vg é vg 4Vm p a q n135 1 n sen nv0t 1646 Escrevendo a série em forma expandida temos 4Vm 5p sen5v0t 4Vm 7p sen7v0t c vg 4Vm p senv0t 4Vm 3p sen3v0t 1647 A fonte de tensão dada pela Equação 1647 é equivalente a um número infinitamente grande de fontes senoidais ligadas em série cada qual com a própria amplitude e frequência Para determinar a contribuição de cada fonte para a tensão de saída usamos o princípio da superposição Para qualquer uma das fontes senoidais a expressão fasorial para a tensão de saída é Vo Vg 1 jvRC 1648 Como todas as fontes de tensão são expressas como funções seno interpretamos um fasor em termos do seno em vez do cosseno Em outras palavras quando passarmos do domínio fasorial para o domínio do tempo simplesmente escreveremos as expressões no domínio do tempo como senvt u em vez de cosvt u A tensão fasorial de saída decorrente da frequência fundamental da fonte senoidal é Vo1 4Vmpl0 1 jv0RC 1649 Escrevendo Vo1 em forma polar obtemos Vo1 4Vml b1 p1 v0 2R2C2 1650 em que b1 tg 1v0RC 1651 A partir da Equação 1650 a expressão no domínio do tempo para o componente da fre quência fundamental de vo é vo1 4Vm p1 v0 2R2C2 senv0t b1 1652 Calculamos o componente do terceiro harmônico da tensão de saída de modo seme lhante A tensão fasorial do terceiro harmônico é Circuitos elétricos 694 Book Nilsson 3indb 694 290116 1357 4Vm 3p1 9v0 2R2C2l b3 Vo3 4Vm3p l0 1 j3v0RC 1653 em que b3 tg13v0RC 1654 A expressão no domínio do tempo para a tensão de saída do terceiro harmônico é vo3 4Vm 3p1 9v0 2R2C2 sen3v0t b3 1655 Daí a expressão para o componente do késimo harmônico da tensão de saída é vok 4Vm kp1 k2v0 2R2C2 senkv0t bk k é ímpar 1656 em que bk tg 1kv0RC k é ímpar 1657 Escrevemos agora a representação em série de Fourier da tensão de saída vot 4Vm p a q n135 sennv0t bn n1 nv0RC2 1658 A dedução da Equação 1658 não foi difícil Contudo embora tenhamos uma expressão analítica para a tensão de saída de regime permanente a forma de vot não fica imediata mente clara pela Equação 1658 Como mencionamos antes essa deficiência é um problema da série de Fourier Todavia a Equação 1658 não é inútil porque nos dá uma ideia da forma de onda de regime permanente de vot se examinarmos a resposta de frequência do circuito Por exemplo se C for grande 1nv0C é pequeno para os harmônicos de ordem superior Assim o capacitor curtocircuita os componentes de alta frequência da onda de entrada e os harmôni cos de ordem superior da Equação 1658 são desprezíveis em comparação com os de ordem inferior A Equação 1658 reflete essa condição no sentido de que para C grande L 4Vm pv0RC a q n135 1 n2 cos nv0t vo L 4Vm pv0RC a q n135 1 n2 sennv0t 90 1659 A Equação 1659 mostra que a amplitude dos harmônicos na tensão de saída decresce pro porcionalmente a 1n2 enquanto os harmônicos da tensão de entrada têm amplitude decres cente com 1n Se C for tão grande que somente o componente fundamental é significativo então como primeira aproximação vot L 4Vm pv0RC cos v0t 1660 e a análise de Fourier nos diz que a onda quadrada de entrada é deformada resultando uma saída senoidal Capítulo 16 Séries de Fourier 695 Book Nilsson 3indb 695 290116 1357 Circuitos elétricos Vamos ver agora 0 que acontece quando C 0 O circuito mostra que v U jg SA0 iguais quando C 0 pois o ramo capacitivo assemelhase a um circuito aberto em todas as frequén cias A Equacao 1658 prevé o mesmo resultado pois 4 medida que C 0 4AMVin GQ 1 vo DY sennapl 1661 T y n n135 Mas a Equacao 1661 idéntica a Equacao 1646 e por consequéncia Vv U quando C0 Desse modo a Equacao 1658 mostrouse ttil ao nos auxiliar a prever que a forma de onda da saida sera uma versao muito distorcida da forma de onda da entrada se C for grande e uma versao razoavelmente fiel se C for pequeno No Capitulo 13 estudamos a distorao entre a entrada e a saida em termos da memoria que a funcdo de peso do sistema possui No domi nio da frequéncia examinamos a distorao entre a entrada e a saida de regime permanente em termos do modo como sAo alteradas a amplitude e a fase dos harm6nicos do sinal de entrada Quando o circuito altera significativamente as relagdes de amplitude e fase dos harm6nicos da saida em relacao aos da entrada a saida é uma versdo distorcida da entrada Assim no domi nio da frequéncia falamos em distorg4o de amplitude e fase Para 0 circuito que apresentamos a distorgao de amplitude esta presente porque as ampli tudes dos harm6nicos de entrada decrescem com 1n ao passo que as amplitudes dos harméni cos de saida decrescem com Po 11 nwpRC Esse circuito também exibe distorgao de fase porque o angulo de fase de cada harménico de entrada é igual a zero ao passo que a fase do nésimo harm6nico da saida é tgnwRC Determinacao direta da resposta de regime permanente Podemos calcular a expressdo para a resposta de regime permanente para o circuito RC simples da Figura 1612a sem recorrer 4 representacgéo em série de Fourier dos sinais de entrada Essa andlise adicional acrescenta algo mais ao que ja entendemos da abordagem da série de Fourier Para determinar a expressdo de regime permanente para VU por analise direta do circuito raciocinamos da seguinte forma a onda quadrada de excitagéo carrega 0 capacitor ora com V ora com V Apos o circuito atingir 0 regime permanente esse carregamento alter nado tornase periddico Pela andlise do circuito RC Capitulo 7 sabemos que sua resposta a mudangas abruptas na tensdo é exponencial Assim a forma de onda da tensdo de regime per manente no capacitor da Figura 1612a é a mostrada na Figura 1613 Figura 1613 Forma de onda de regime permanente de As expresses analiticas para Uf nos intervalos de v para 0 circuito na Figura 1612a tempo0 r 72e T2 t Tsao UV No sentido de V No sentido de V Vo Vmn Vi Ve URE 0 72 1662 7 V2 Vo Vin V2 Vivo UCR 72 1 T 1663 t Calculamos as equagoes 1662 e 1663 usando os métodos 0 T2 3T2 2T do Capitulo 7 como resumidos pela Equacao 760 Obtemos Vi os valores de V e V observando pela Equagao 1662 que N T2RC No sentido de V Nosentidode V Vy Vin V Ve 1664 Capitulo 16 e Séries de Fourier e pela Equacao 1663 que Vi V VA 4 V eo teRe 1665 Explicitando V e V nas equagées 1664 e 1665 obtemos Vinl e TRC V Vi ph eRe 1666 Substituindo a Equacao 1666 nas equacgoes 1662 e 1663 temos 2Vin 1RC Vo Vin Te tpRC IRC 0 t 572 1667 e y etre p 1668 Uy m Lh ecTPRC T2st stv 1668 As equacgoes 1667 e 1668 indicam que U tem simetria de meiaonda e que portanto o valor médio de v igual a zero Esse resultado esta de acordo com a solugao por série de Fourier para a resposta de regime permanente ou seja visto que o sinal de entrada nao tem nenhum componente de frequéncia nulo a resposta também n4o pode ter As equacées 1667 e 1668 também mostram o efeito da variacao do valor do capacitor Se C for pequeno as fungdes exponenciais vao desaparecer rapidamente e v V entre 0 e T2e v V entre 72 e T Em outras palavras v Uv g quando C 0 Se C for grande a forma da onda da saida vai tornarse triangular como mostra a Figura 1614 Observe que para C grande podemos aproximar os termos exponenciais e e el 72VRC pelos termos lineares 1RC e 1 t 72 RC respectivamente A Equagao 1659 expressa a série de Fou rier dessa forma de onda triangular A Figura 1614 resume os resultados A linha tracejada é Figura 1614 Efeito do valor do capacitor na resposta de ayy regime permanente a tensdo de entrada a linha sdlida cinza representa a tens4o de saida quando C é pequeno e a linha solida preta repre Yo C pequeno senta a tensdo de saida quando C é grande Vn HF 4 ITT Por fim verificamos que a resposta de regime perma V Ki KA LA nente das equagodes 1667 e 1668 é equivalente a solucdo da TIM IIR LX t Of T2 NEAT2N2Y série de Fourier da Equacao 1658 Para isso simplesmente V4 calculamos a série de Fourier da funcdo periddica descrita C grande pelas equacgdes 1667 e 1668 Ja percebemos que a resposta Vin de tenséo tem simetria de meiaonda Por consequéncia a série de Fourier contém somente harménicos fmpares Para k impar T2 tRC 4 2Vine a a V aint cos kwot dt 8RCV k é impar 1669 TL kapRC par 1669 T2 tRC 4 2Vine by a V ene ac Senko dt 4V SkaV mRC am SRO ni k 6 impar 1670 km T1 kpRC Circuitos elétricos Para mostrar que os resultados obtidos pelas equagées 1669 e 1670 sAo compativeis com a Equagao 1658 temos de provar que AV 1 Va m Ym 1 1671 kw 1 kapRCY e que ak kw RC 1672 Dx Fica a cargo do leitor verificar as equagées 16691672 nos problemas 1623 e 1623 apre sentados no final do capitulo As equagées 1671 e 1672 sAo usadas com as equagoes 1638 e 1639 para calcular a expressdo da série de Fourier da Equagao 1658 deixamos os detalhes para o Problema 1625 no final do capitulo Com esse circuito ilustrativo mostramos como usar a série de Fourier em conjunto com o prin cipio da superposicdo para obter a resposta de regime permanente para uma funcao de alimenta cdo periddica Novamente a principal deficiéncia da série de Fourier é a dificuldade de visualizar a forma de onda da resposta Contudo raciocinando em termos da resposta de frequéncia de um circuito podemos deduzir uma aproximaca4o razoavel da resposta de regime permanente usando um numero finito de termos adequados na representacéo em série de Fourier Veja os problemas 1628 e 1630 apresentados no final deste capitulo PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber analisar a resposta de um circuito a uma forma de onda periddica 165A onda de tensdo triangular periddica vista 4 esquerda é aplicada ao circuito mostrado 4a direita Calcule os trés primeiros termos nao nulos da série de Fourier da tensao de regime permanente U se V 281257 mV e 0 perfodo da tensdo de entrada for 2007 ms Resposta 223883 cos10 571 23946 cos30t 1670 8050 cos50t 2657 mV Uj Vin 100 kO t UF 100 nF vu 0 T Vin 166 A onda de tenséo quadrada periddica mostrada 4 esquerda é aplicada ao circuito mostrado 4a direita a Calcule os quatro primeiros termos ndo nulos da série de Fourier da tensaéo de regime permanente U se V 2107 V e 0 periodo da tensao de entrada for 027 ms b Qual harm6énico domina a tensao de saida Explique Resposta a 175 cos10000t 8881 2614 cos30000t 9536 168 cos500002 1732 cos70000F 9830 V b O quinto harmG6nico cuja frequéncia regular é 10000 rads pois 0 circuito é um filtro passa faixa com uma frequéncia central de 50000 rads e um fator de qualidade de 10 Capitulo 16 Séries de Fourier i Us V 10kO t Ug 20nF 320mH Vin NOTA tente resolver também os problemas 1628 e 1629 apresentados no final do capitulo 166 Calculos de poténcia média de funcgoes periddicas Se tivermos a representagaéo em série de Fourier da tensdo e da corrente nos terminais de um circuito linear de pardmetros concentrados poderemos expressar facilmente a poténcia média do circuito em funcdo das tensGes e correntes harmGnicas Usando a forma trigonomé trica da série de Fourier expressa na Equagao 1638 escrevemos a tensdo e a corrente perid dicas nos terminais de uma rede como v Veo YVn cosNwpt On 1673 n1 i SI cosnaot Gin 1674 n1 A notagao usada nas equacées 1673 e 1674 é definida da seguinte forma V amplitude do componente continuo da tensao V amplitude do harmonico de ordem n da tensao 6 Angulo de fase do harm6nico de ordem n da tensdo I amplitude do componente continuo da corrente I amplitude do harménico de ordem n da corrente 6 Angulo de fase do harm6nico de ordem n da corrente Consideramos que o sentido de referéncia da corrente seja o da queda de tensao nos ter minais usando a convencao passiva de modo que a poténcia instantanea nos terminais seja vi A poténcia média 1 port 1 port P dt vi dt 1675 rfl paz 1675 Para determinar a expressdo para a poténcia média substituimos as equagdes 1673 e 1674 na Equacao 1675 e integramos A primeira vista a tarefa parece colossal pois vi 0 produto de duas séries finitas Contudo os tnicos termos que sobrevivem a integragado sao os que envolvem produtos de tensfo e corrente de mesma frequéncia Uma revisdo das equacoées 1681610 deve confirmar a validade dessa observacd4o Assim a Equacao 1675 reduzse a cosnv0t uin dt P 1 TVccI cct 2 t0T t0 a q n1 1 T t0T t0 VnI n cosnv0t uvn 1676 Agora usando a identidade trigonométrica cos a cos b 1 2 cosa b 1 2 cosa b simplificamos a Equação 1676 para cos2nv0t uvn uindt P VccI cc 1 T a q n1 VnI n 2 t0T t0 cosuvn uin 1677 Como a integral do segundo termo do integrando é nula P VccI cc a q n1 VnI n 2 cosuvn uin 1678 A Equação 1678 é particularmente importante porque mostra que no caso de uma inte ração entre uma tensão periódica e a corrente periódica correspondente a potência média total é a soma das potências médias obtidas da interação entre correntes e tensões de mesma frequência Correntes e tensões de frequências diferentes não interagem para produzir potên cia média Portanto em cálculos de potência média envolvendo funções periódicas a potência média total é a soma das potências médias de cada harmônico de tensão e corrente conside radas separadamente O Exemplo 164 ilustra o cálculo da potência média envolvendo uma tensão periódica ExEMPLO 164 Cálculo da potência média para um circuito com uma fonte de tensão periódica Suponha que a onda quadrada periódica do Exemplo 163 seja aplicada aos terminais de um resistor de 15 V O valor de Vm é 60 V e o de T é 5 ms a Escreva os primeiros cinco termos não nulos da série de Fourier de vt Use a forma trigonomé trica dada na Equação 1638 b Calcule a potência média associada a cada termo do item a c Calcule a potência média total fornecida ao resistor de 15 V d Qual percentagem da potência total é fornecida pelos primeiros cinco termos da série de Fourier Solução a O componente contínuo de vt é av 60T4 T 15 V Pelo Exemplo 163 temos Circuitos elétricos 700 Book Nilsson 3indb 700 290116 1357 A1 2 60p 2701 V u1 45 A2 60p 1910 V u2 90 A3 202p 900 V u3 135 A4 0 u4 0 A5 540 V u5 45 v0 2p T 2p1000 5 400p rads Assim usando os primeiros cinco termos não nulos da série de Fourier vt 15 2701 cos400pt 45 1910 cos800pt 90 900 cos1200pt 135 540 cos2000pt 45 V b Como a tensão é aplicada aos terminais de um resistor podemos determinar a potência associada a cada termo da seguinte forma P5 1 2 542 15 097 W P3 1 2 92 15 270 W P2 1 2 19102 15 1216 W P1 1 2 27012 15 2432 W Pcc 152 15 15 W c Para obter a potência média total fornecida ao resistor de 15 V em primeiro lugar calculamos o valor eficaz de vt Vef É 602T4 T 900 30 V A potência média total fornecida ao resistor de 15 V é Capítulo 16 Séries de Fourier 701 Book Nilsson 3indb 701 290116 1357 Circuitos elétricos 30 Pr 60W 15 d A poténcia total fornecida pelos cinco primeiros termos nao nulos é PPPP PP5515 W Isto é 551560100 ou 9192 do total PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber estimar a poténcia média fornecida a um resistor usando poucos coeficientes de Fourier 167 A tensao trapezoidal do Problema para avaliacgao 163 é apli 1H 1F cada ao circuito mostrado Se 12V 29609 V e T 20944 ms calcule a poténcia média fornecida ao resistor de 2 Resposta 6075 W Ug 20 UR NOTA tente resolver também os problemas 1634 e 1635 apresentados no final do capitulo 167 Valor eficaz de uma fungao periodica O valor eficaz de uma fungao periddica pode ser expresso em termos dos coeficientes de Fourier por definigao 1 port Fe ft dt 1679 T Ji Representando ft por sua série de Fourier obtemos 1 toT oo 2 Fea 7 a SA COS Nwot 0 dt 1680 T to n1 O calculo da integral do quadrado da fung4o é simplificado pelo fato de os tinicos termos que sobrevivem a integracgdéo serem os relacionados ao termo constante e aos produtos dos harmO6nicos de mesma frequéncia A integral de todos os outros produtos é igual a zero Assim a Equagao 1680 reduzse a 1 T Fe T SA ef T 2 oo Az a n1 2 2 n a ss x 1681 A Equação 1681 mostra que o valor eficaz de uma função periódica é a raiz quadrada da soma do quadrado do valor eficaz de cada harmônico e do quadrado do valor constante Por exemplo vamos supor que uma tensão periódica seja representada pela série finita v 10 30 cosv0t u1 20 cos2v0t u2 5 cos3v0t u3 2 cos5v0t u5 O valor eficaz dessa tensão é 7645 2765 V V 102 30 22 20 22 5 22 2 22 Normalmente é necessário um número infinito de termos para representar uma função periódica por uma série de Fourier e por conseguinte a Equação 1681 dá como resultado uma estimativa do valor verdadeiro Ilustramos esse resultado no Exemplo 165 ExEMPLO 165 Estimativa do valor eficaz de uma função periódica Use a Equação 1681 para estimar o valor eficaz da tensão no Exemplo 164 Solução Pelo Exemplo 164 Vcc 15 V V1 27012 V valor eficaz da fundamental V2 19102 V valor eficaz do segundo harmônico V3 9002 V valor eficaz do terceiro harmônico V5 5402 V valor eficaz do quinto harmônico Assim 2876 V Vef É152 a 2701 2 b 2 a1910 2 b 2 a900 2 b 2 a540 2 b 2 Pelo Exemplo 164 o valor eficaz correto é 30 V Aproximamonos desse valor incluindo cada vez mais harmônicos na Equação 1681 Por exemplo se incluirmos harmônicos até k 9 o valor calculado pas sará a ser 2932 V NOTA avalie sua compreensão a respeito deste material tentando resolver os problemas 1637 e 1639 apresentados no final do capítulo 168 Forma exponencial da série de Fourier A forma exponencial da série de Fourier nos interessa porque nos permite expressar a série com concisão A forma exponencial da série é f t a q n qCnejnv0t 1682 Capítulo 16 Séries de Fourier 703 Book Nilsson 3indb 703 290116 1357 em que Cn 1 T t0T t0 f tejnv0t dt 1683 Para chegar às equações 1682 e 1683 vamos voltar à Equação 162 e substituir as funções cosseno e seno por equivalentes de exponenciais s en nv0t ejnv0t ejnv0t 2j c os nv0t ejnv0t ejnv0t 2 1684 1685 Substituindo as equações 1684 e 1685 na Equação 162 obtemos av a q n1 a an jbn 2 bejnv0t a an jbn 2 bejnv0t f t av a q n1 an 2 ejnv0t ejnv0t bn 2j ejnv0t ejnv0t 1686 Agora definimos Cn como Cn 1 2an jbn An 2 l un n 1 2 3 c 1687 Pela definição de Cn 1 T t0T t0 f tejnv0t dt 1 T t0T t0 f tcos nv0t jsen nv0t dt Cn 1 2 B 2 T t0T t0 f t cos nv0t dt j 2 T t0T t0 f t sen nv0t dtR 1688 o que conclui a dedução da Equação 1683 Para completarmos a dedução da Equação 1682 primeiramente observamos que da Equação 1688 C0 1 T t0T t0 t0f t dt av 1689 Em seguida observamos que Cn 1 T t0T t0 f tejnv0t dt Cn 1 2an jbn 1690 Substituindo as equações 1687 1689 e 1690 na Equação 1686 obtemos a q n0 Cnejnv0t a q n1 Cn ejnv0t f t C0 a q n1 Cnejnv0t Cn ejnv0t 1691 Observe que o segundo somatório do lado direito da Equação 1691 é equivalente a somar Cnejnv0t de 1 a q isto é Circuitos elétricos 704 Book Nilsson 3indb 704 290116 1357 Capitulo 16 e Séries de Fourier Scere Cen oo 1692 n1 n1 Como 0 somatorio de 1 a co 0 mesmo que 0 somatorio de oo a 1 usamos a Equa cao 1692 para reescrever a Equacao 1691 oo 1 ft Celn oot Celn oot n0 0o SCe 1693 o que conclui a dedugao da Equagao 1682 Também podemos expressar o valor eficaz de uma fungao periddica em termos dos coefi cientes complexos de Fourier Pelas equag6es 1681 1687 e 1689 oo 12 2 a b Fe fa 1694 n1 2 IC 1695 2 Ch ai 1696 Substituindo as equagées 1695 e 1696 na Equacao 1694 obtemos a expressao desejada Fe G212 1697 n1 O Exemplo 166 ilustra o processo de representagdéo na forma exponencial da série de Fourier de uma fungao periddica EXEMPLO 166 Determinagao da forma exponencial da série de Fourier Determine a forma exponencial da série de Fourier para a tensdo da Figura 1615 Solugao Usando 72 como ponto de partida para a integracao temos pela Equacao 1683 1 72 Nn wot Cn T p Vine dt Figura 1615 Tensao periddica para o Exemplo 166 ines r t Y om a T jnw Min gnoyr2 elnor nNool t Vv 72 072 T7t2 T T72 sennay72 nNool Nesse caso como Uf tem simetria par b 0 para todo n e portanto C deve ser real Além do mais C proporcional a sen xx j4 que pode ser expresso como Circuitos elétricos C Vint Sennwgt2 T nwot2 Falaremos mais sobre esse assunto na Secao 169 A representagéo em série exponencial de ut é VT Sennwyt2 vt ee re novo T Nwgt 2 2 Ss SemneoT nay T yto Nwgt2 PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber calcular a forma exponencial dos coeficientes de Fourier para uma onda periddica 168 Calcule os coeficientes C de Fourier para a fun iA ao periddica mostrada Sugestdo aproveite o 8 fato de que C a jb2 Resposta C j41 3 cos 2 n impar 2 t ms 169a Calcule o valor eficaz da corrente do Pro as 24 4 8 12 1620 832 36 40 44 blema para avaliagao 168 b Estime o valor eficaz usando os coeficientes de CaC 8 c Qual é 0 erro percentual no valor obtido em b com base no valor verdadeiro determinado em a d No caso dessa funcdo periédica poderfamos usar um nimero menor de termos para estimar o valor efi caz e ainda assim garantir que o erro fosse menor do que 1 Resposta a V34 A b 5777 A c 093 d sim se fossem usados os coeficientes de C a Cy 0 erro seria 098 NOTA tente resolver também os problemas 1644 e 1645 apresentados no final do capitulo 169 Espectros de amplitude e de fase Uma fungao do tempo periddica é definida por seus coeficientes de Fourier e seu periodo Em outras palavras quando conhecemos Ay An be T podemos construir ft ao menos teo ricamente Quando conhecemos a e b também conhecemos a amplitude A e o angulo de fase 0 de cada harménico Mais uma vez de modo geral nado podemos visualizar o aspecto da fungdo periddica no dominio do tempo a partir dos coeficientes e dos 4ngulos de fase contudo reconhecemos que essas quantidades caracterizam a fungdo periddica comple tamente Desse modo se dispusermos de tempo de computacao suficiente poderemos sinte tizar a forma de onda no dominio do tempo pelos dados de amplitude e angulo de fase Além Capitulo 16 e Séries de Fourier disso quando uma fungao periddica alimenta um circuito de alta seletividade de frequéncia a série de Fourier da resposta de regime permanente é dominada por apenas alguns termos Assim a descrigaéo da resposta em termos de amplitude e fase pode nos dizer qual é a forma de onda da saida Podemos representar graficamente uma fungdo periddica em termos da amplitude e do angulo de fase de cada termo da série de Fourier de ft O grafico da amplitude de cada termo em relagdo a frequéncia é denominado espectro de amplitude de ft e o grafico do angulo de fase em relacdo a frequéncia é denominado espectro de fase de ft Como a amplitude e o Angulo de fase sao especificados para valores discretos da frequéncia isto é em wp 2W 9 3wo esses graficos também s4o denominados espectros de linha Um exemplo de espectros de amplitude e de fase Espectros de amplitude e de fase sdo constituidos a partir da Equagao 1638 A e 6 ou da Equacao 1682 C Usaremos a Equacao 1682 e deixaremos os graficos baseados na Equagao 1638 para o Problema 1649 no final do capitulo Para ilustrar os espectros de ampli tude e de fase a partir da forma exponencial da série de Fourier usamos a tensdo periddica do Exemplo 166 Para auxiliar a discussao admitimos que V 5 V e 7 75 Pelo Exemplo 166 C Vint sennayr2 1698 T Nwgt 2 que para os valores de V e r definidos anteriormente reduzse a senn75 C tas 1699 A Figura 1616 mostra 0 grafico do modulo de C dado Figura 1616 Grafico de IC em relagaéo a n quando pela Equacao 1699 para valores de n na faixa de 10 a 10 75 para a tensao do Exemplo 166 A figura mostra claramente que a envolt6éria do espectro da amplitude é a fungdo sen xx Usamos a ordem do har Cr mOnico como escala de frequéncia porque o valor numé LOy rico de T nao é especificado Quando conhecemos 7 tam 8 bém conhecemos w e a frequéncia correspondente a cada ol harm6nico 02 A Figura 1617 apresenta o grafico de sen xx em rela 10 8 6 S 9 4 at 8 10 cao a x que esta em radianos Ele mostra que a fung4o passa o4 n por zero sempre que x for um inteiro multiplo de 7 Pela Equacao 1698 art nT Figura 1617 Grafico de sen x x em relacao a x noo Z TT Tr 16100 sen Pela Equacéo 16100 deduzimos que o espectro da 10 amplitude passa por zero sempre que 7T for um inteiro Por 08 exemplo no grafico 7T 15 e por consequéncia a envolt6 06 ria passa por zero em m 5 10 15 10 15 e assim por diante 05 Em outras palavras o quinto décimo décimo quinto har a1 ZS as 27 157 a 0570 O57 am 150 27 mOnicos sao todos nulos Se aumentarmos a reciproca de 7T x o nimero de harmGnicos a cada zw radianos vai aumentar Circuitos elétricos Se nzT nao for um ntmero inteiro ainda assim o espectro da amplitude tera como envoltéria sen xx Contudo ela nao é nula em miultiplos inteiros de wo Como C é real para todo n o angulo de fase associado a C igual a zero ou 180 depen dendo do sinal algébrico de sen n775n75 Por exemplo o Angulo de fase é zero paran 0 1 23 e 4 nao é definido em n 5 pois C nulo O Angulo de fase é 180 em n 6 7 8 e 9 e nao definido em 10 Esse padrao repetese 4 medida em que n cresce A Figura 1618 mostra o grafico do angulo de C dado pela Equagao 1698 Figura 1618 Angulo de fase de C On 180 90 n 151311 9 7 5 3 11 3 5 7 9 IL 13 15 141210 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 O que acontece com os espectros de amplitude e fase se ft for deslocada ao longo do eixo do tempo Para saber deslocamos a tensdo periddica do Exemplo 166 unidades para a direita Por hipdtese vt Ceo 16101 n Portanto vt to Cel eo to Ce Wevtogin oot 16102 n00 nco 0 que indica que deslocar a origem nao exerce nenhum efeito sobre o espectro da amplitude pois IC 1Ce oo 16103 Contudo se observarmos a Equagao 1687 perceberemos que o espectro de fase mudou para 0 nwot rads Por exemplo vamos deslocar a tensdo periddica do Exemplo 161 72 unidades para a direita Como antes admitimos que 7 75 entao o novo Angulo de fase 6 é Figura 1619 Gréfico de 6 em fungao de n para a On On n75 16104 Equagao 16104 Plotamos a Equacao 16104 no grafico da Figura 1619 On para n na faixa de 8 a 8 Observe que nao ha nenhum 216 Angulo de fase associado ao coeficiente de amplitude zero 144 Talvez o leitor esteja se perguntando por que demos tanta atengdo ao espectro de amplitude da forma de onda do 72 Exemplo 166 A razdo disso é que essa forma de onda pro 2 4 6 8 porciona um excelente exemplo para a transicéo da repre 8 6 4 2 sentacéo de uma funcao periddica em série de Fourier para 72 a representacgao de uma fungdo nao periddica por meio da 144 transformada de Fourier Discutiremos a transformada de Fourier no Capitulo 17 216 Capitulo 16 e Séries de Fourier PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 4 Saber calcular a forma exponencial dos coeficientes de Fourier para uma onda periddica 1610 A fungao do Problema para avaliacao 168 é deslocada 8 ms para a direita ao longo do eixo do tempo Escreva a série de Fourier na forma exponencial para a corrente periddica 4 1 Resposta it 1 3cos BT eCin2 pineal Ty coimpar2 4 NOTA tente resolver também os problemas 1649 e 1650 apresentados no final do capitulo Perspectiva pratica Filtros ativos de alto Q Examine 0 filtro ativo passafaixa de banda estreita mostrado na Figura 1620a A onda quadrada de tensao da Figura 1620b é a entrada para o filtro Sabemos que a onda quadrada constituida por uma soma infinita de senoides uma senoide na mesma frequéncia da onda quadrada e todas as senoides restantes em multiplos inteiros dessa frequéncia Que efeito o filtro tera sobre essa soma de senoides Figura 1620 a Filtro passafaixa de banda estreita b onda quadrada de entrada Cy 100nF R 391250 100 nF R Ug Ro 2 626 a v v a Ug V 15657 Sf a t us 50a7 375a 25r 1257 0 12a 257 3757 507 15657 b Circuitos elétricos A representagao em série de Fourier da onda quadrada na Figura 1620b 6 dada por 4A 2 1 nt t sen COS Naot Ve 7 wan 7 Wo em que A 15657rV Os trés primeiros termos dessa série de Fourier sao dados por Uet 626 cos wot 2087 cos 3mpt 1252 cos Swot O periodo da onda quadrada 5077 jus de modo que a frequéncia da onda quadrada é 40000 rads A funcao de transferéncia para 0 filtro passafaixa na Figura 1620a é KBs Hs 3 5 s Bs wp em que K 400313 8 2000 rads w 40000 rads Esse filtro tem um fator de qualidade de 400002000 20 Observe que a frequéncia central do filtro passafaixa é igual a frequéncia da onda quadrada de entrada Multiplique cada termo da representagao de série de Fourier da onda representado como um fasor pela fungao de trans feréncia Hs avaliada na frequéncia do termo da série de Fourier para obter a representacao dla tensao de saida do filtro como uma série de Fourier Ugt 80 cos wot 05 cos 3mot 017 cos Swot Figura 1621 a Os trés primeiros termos da série de Fourier da onda quadrada na Figura 1620b b os trés primeiros termos da série de Fourier da saida do filtro passafaixa na Figura 1620a em que Q 20 c os trés primeiros termos da série de Fourier da saida do filtro passafaixa na Figura 1620a com valores de componentes alterados para resultar em Q 2 Ug V 80 60 40 20 0 t us 20 0 20 300 40 60 80 a v9 V Ug V 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 0 t us 0 t us 20 100 200 300 20 100 200 300 40 40 60 60 80 80 100 b 100 c Observe a natureza seletiva do filtro de passafaixa o que efetivamente amplifica o componente de frequência fundamen tal de entrada da onda quadrada e atenua todos os componentes harmônicos Agora faça as seguintes alterações ao filtro passafaixa da Figura 1620a façamos R1 39125 V R2 744 V R3 1 kV e C1 C2 01 mF A função de transferência para o filtro Hs tem a mesma forma descrita anteriormente mas agora K 400313 b 20000 rads v0 40000 rads O ganho na faixa de passagem e a frequência central mantêmse inalterados mas a largura de faixa aumentou de 10 vezes Isso torna o fator de qualidade 2 e o filtro passafaixa resultante é menos seletivo do que o filtro original Podemos ver isso ao analisar a tensão de saída do filtro como uma série de Fourier v0t 80 cos v0t 5 cos 3v0t 163 cos 5v0t A frequência fundamental da entrada tem o mesmo fator de amplificação mas os componentes harmônicos mais altos não foram atenuados de modo tão significativo quanto o foram quando se utilizou o filtro com Q 20 A Figura 1621 plota os três primeiros termos das representações da série de Fourier da onda quadrada de entrada e as formas de onda de saída re sultantes para os dois filtros passafaixa Observe a replicação quase perfeita de uma senoide na Figura 1621b e a distorção que resulta da utilização de um filtro menos seletivo na Figura 1621c NOTA avalie sua compreensão da Perspectiva prática tentando resolver os problemas 1656 e 1657 apresentados no final do capítulo Resumo Função periódica é aquela que se repete a inter valos regulares Período é o menor intervalo de tempo T em que uma função periódica pode ser deslocada para produzir uma função idêntica a si mesma Série de Fourier é uma série infinita usada para representar uma função periódica A série con siste em um termo constante e um número infi nito de cossenoides e senoides relacionados harmonicamente Seção 161 Frequência fundamental é a frequência corres pondente ao período fundamental f0 1T ou v0 2pf0 Seção 161 Harmônicos são múltiplos inteiros da frequên cia fundamental Seção 161 Coeficientes de Fourier são o termo constante e as amplitudes das senoides e cossenoides da série de Fourier Veja as equações 163165 Seção 162 cinco tipos de simetria são usados para sim plificar o cálculo dos coeficientes de Fourier das funções pares em que todos os termos em seno se anulam das funções ímpares em que todos os termos em cosseno e o termo constante se anulam de meiaonda em que todos os harmônicos pares se anulam de quarto de onda meiaonda par em que a série contém somente harmônicos ímpares em cosseno de quarto de onda meiaonda ímpar em que a série contém somente harmônicos ímpares em seno Seção 163 Na forma alternativa da série de Fourier cada harmônico representado pela soma do termo em cosseno e em seno combinase em um único termo da forma An cosnv0t un Seção 164 No regime permanente a série de Fourier do sinal de saída é determinada a partir da determi nação da resposta a cada componente do sinal de entrada As respostas individuais são adicio nadas por superposição para formar a série de Fourier do sinal de resposta A resposta a cada componente individual da entrada é deter minada por análise no domínio da frequên cia Seção 165 A forma de onda do sinal de resposta é difí cil de obter sem o uso de um computador Em alguns casos as características de resposta de Capítulo 16 Séries de Fourier 711 Book Nilsson 3indb 711 290116 1357 Circuitos elétricos frequéncia ou filtro do circuito podem ser usa e A série de Fourier também pode ser escrita em das para averiguar o grau de semelhanga entre o forma exponencial usandose a identidade de sinal de saida e o sinal de entrada Segao 165 Euler para substituir os termos em cosseno e Somente harménicos de mesma frequéncia inte seno por expresses exponenciais equivalentes ragem para produzir a poténcia média A potén Segao 168 cia média total é a soma das poténcias médias e Asérie de Fourier é usada para prever a resposta associadas a cada frequéncia Segao 166 de regime permanente de um sistema quando e Ovalor eficaz de uma fungao periddica pode ser ele sume a am al Pere A seme estimado pelos coeficientes de Fourier Veja as auxta a eterminacgao a resposta regime equacoes 1681 1694 e 1697 Secao 167 permanente transferindo a andlise do dominio oe do tempo para o dominio da frequéncia Problemas Secoes 161162 161 Para cada uma das fung6es periddicas da onda na saida de um retificador de onda com Figura P161 especifique pletaem que ut V senz7t0 t T a w em radianos por segundo e a Figura P162c ilustra uma onda na saida oO b f em hertz de um retificador de meiaonda em que vt V sen27Tt0 t T2 c o valor de a d as equagoes para a e b Figura P162 e ut como uma série de Fourier vt Figura P161 Vn tty YT t P PLP VE t ms 20 2 4 6 8 191 a a vt vV 90 Vin 60 30 t ms ul 4 ay 40 60 8 100 T 0 T 2T 3T b 60 vt 90 b Vi 162 Determine as expresses da série de Fourier para as tensOes periddicas da Figura P162 t Observe que a Figura P162a mostra uma 0 T2 r 372 onda quadrada a Figura P162b mostra uma c 163 Calcule a série de Fourier para a tensão perió dica da Figura P163 dado que vt 25 cos 2p T t V T 4 t 3T 4 vt 50 cos 2p T t V T 4 t T 4 Figura P163 vtV 50 T 3T4 T2 T4 T4 T2 3T4 T t 0 25 164 Deduza as expressões para av ak e bk para a tensão periódica mostrada na Figura P164 se Vm 100p V Figura P164 t vt 0 Vm2 Vm T T2 3T4 T4 5T4 165 a Verifique as equações 166 e 167 b Verifique a Equação 168 Sugestão use a identidade trigonométrica cosa sen b 1 2 sena b 1 2 sena b c Verifique a Equação 169 Sugestão use a identidade trigonométrica sena sen b 1 2 cosa b 1 2 cosa b d Verifique a Equação 1610 Sugestão use a identidade trigonométrica cosa cos b 1 2 cosa b 1 2 cosa b 166 Deduza a Equação 165 Seção 163 167 Deduza as expressões para os coeficientes de Fourier de uma função periódica ímpar Sugestão use a mesma técnica empregada no texto para deduzir as equações 16141616 168 Mostre que se ft ft T2 os coeficientes de Fourier bk serão dados pelas expressões bk 0 para k par bk 4 T T2 0 f t senkvot dt para k ímpar Sugestão use a mesma técnica empregada no texto para deduzir as equações 1628 e 1629 169 Deduza a Equação 1636 Sugestão comece com a Equação 1629 e divida o intervalo de integração em 0 a T4 e T4 a T2 Observe que em razão da simetria de função par e da simetria de quarto de onda ft fT2 t no intervalo T4 t T2 Faça x T2 t no segundo intervalo e combine a integral resul tante com a integração entre 0 e T4 1610 Deduza a Equação 1637 Siga a sugestão dada no Problema 169 exceto que em razão da simetria de função ímpar e da simetria de quarto de onda ft fT2 t no intervalo T4 t T2 1611 Sabese que vt 50 cos ptV no intervalo 1 t 1 s Depois disso a função se repete a Qual é a frequência fundamental em radianos por segundo b A função é par c A função é ímpar d A função tem simetria de meiaonda 1612 Um período de uma função periódica é des crito pelas seguintes equações it 8t A 5 ms t 5 ms it 40 mA 5 ms t 15 ms it 8t 016 A 15 ms t 25 ms it 40 mA 25 ms t 35 ms a Qual é a frequência fundamental em hertz b A função é par c A função é ímpar Capítulo 16 Séries de Fourier 713 Book Nilsson 3indb 713 290116 1358 Circuitos elétricos d A fungao tem simetria de meiaonda 1615 Sabese que ft 10f no intervalo5 t5s e A funcao tem simetria de quarto de onda a Construa uma fungaio periddica que f Calcule aaeb seja igual a ft entre S e 5 tenha um wok k 2 1613 Determine a série de Fourier de cada fungao periodo de 20 s e simetria de meiaonda periddica da Figura P1613 b A fungao par ou impar Figura P1613 c A fungéo tem simetria de quarto de vt onda d Calcule a série de Fourier para ft Vn e Calcule a série de Fourier para ft se ft a P a for deslocada 5 s para a direita T 0 T 1616 Repita o Problema 1615 com ft 2 no V intervalo5t5s a 1617 a Deduza a série de Fourier para a tensdo periddica da Figura P1617 vt b Repita a com o eixo vertical de referén cia deslocado 72 unidades para a direita YD Figura P1617 t i 0 XY T2 Vy T2 372 In Vy b 3 T T 3 1614 A funcao periddica da Figura P1614 é pare tem ae I simetria de meiaonda e de quarto de onda a Faca o grafico de um ciclo completo da fungao no intervalo 74 t 374 1618 Em alguns casos é possivel usar simetrias para b Calcule os coeficientes de Fourier aa b v determinar os coeficientes de Fourier ainda c Escreva os trés primeiros termos nao que a funcao original nao seja simétrica Com nulos da série de Fourier de f isso em mente analise a funcao na Figura P164 d Use os trés primeiros termos nao nulos Observe que vt pode ser dividida nas duas para estimar fT78 fung6es da Figura P1618a e b Além disso Figura P1614 podemos transformar vt em uma funcao par deslocandoa 78 unidades para a esquerda i oe o que é mostrado na Figura P1618c Nesse ponto observamos que vt U 4 vt e que a série de Fourier de vt uma série de um 2 unico termo V2 Para determinar a série de Fourier de v primeiramente determinamos 1 a série de Fourier de vt 78 ea seguir des locamos essa série 78 unidades para a direita Use a técnica que acabamos de descrever para TIS TIA verificar os coeficientes de Fourier determina dos no Problema 164 Capitulo 16 e Séries de Fourier Figura P1618 vt Vin2 roo r rar Tr sr 4 4 2 4 4 a v2t vt T8 Vn 2 V2 Tr 0 f 3F fT St T 0 fF T 3F T ST 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 b c Secao 164 1619 Calcule a série de Fourier para vt para cada b Use os cinco primeiros termos nao nulos uma das fung6es periddicas da Figura P163 para estimar iT4 usando a forma da Equacao 1638 Figura P1622 1620 Calcule a série de Fourier para a fungao perid it dica descrita no Problema 1612 usando a forma da Equagao 1638 1621 Calcule a série de Fourier para a fungao perid Im dica construida no Problema 1615 usando a forma da Equagao 1638 0 1622 a Calcule a série de Fourier para a funcao 72 Tr periddica da Figura P1622 quando J 57 A Escreva a série na forma da Equa ly go 1638 Secao 165 1623 Deduza as equagoes 1669 e 1670 1639 o resultado é a Equagao 1658 Sugestao 1624 a Deduzaa Equacao 1671 Sugestdo observe observe pela definicao de B que que b 4V a7k kwRCa Use essa ag expressdo de b para determinar ax by by tg Br em termos de ay Entao use a expressao de a para deduzir a Equacao 1671 e pela definicao de que tg 0 cotg B b Deduza a Equacao 1672 Agora use a identidade trigonométrica 1625 Mostre que quando combinamos as equa tg x cotg90 x cdes 1671 e 1672 com as equacoes 1638 e para mostrar que 6 90 B Circuitos elétricos 1626 a Mostre que para valores grandes de Ca Figura P1628 Equacgao 1667 pode ser aproximada pela 200 mH expressao Vil Vin the s 5 uF rl are RC Vg S5kQ vu Observe que essa expresso é a equa cao da onda triangular para 0 72 oy IRC py Sug estoes 1 suponha que 1 tf 1629 A onda quadrada de tensao da Figura P1629a RC ee oe 1 TRC 2 coloque é aplicada ao circuito da Figura P1629b Cal a expressao resultante sobre o denomina cule os trés primeiros termos ndo nulos da série dor comum 2 T2RC 3 simplifique de Fourier que representa a tensao de regime o numerador 4 para C grande admita permanente Use V 307 V e o periodo da O m que T2RC seja muito menor do que 2 tensdo de entrada é igual 2007 us b Substitua o valor de pico da onda trian Figura P1629 gular na solucéo do Problema 1613 veja 5 a Figura P1613b e mostre que o resul tado é a Equacaéo 1659 Vin 300 0 1627 A onda quadrada de tensdo da Figura S Pspice P1627a é aplicada ao circuito da Figura tv 10 mH v Multisim P1627b 0 T a Determine a série de Fourier da corrente Vin i de regime permanente a b b Determine a expressio de regime per ay 1630 A tensdo de saida de um retificador de onda manente para i por andlise elementar de Coa circuitos completa da Figura P1630a é aplicada ao circuito da Figura P1630b Fi P1627 igura P16 a Determine os quatro primeiros termos 8 nao nulos da série de Fourier de i R Vn b Sua solugao para i faz sentido Explique Figura P1630 v L 8 ve V t 0 72 T 372 a b 340 1628 A onda quadrada de tensdo da Figura Pspice P1613a com V 057 V e T 107 ms é D Vio 160 140 ts ae aplicada ao circuito da Figura P1628 a Calcule os trés primeiros termos nao 16H a nulos da série de Fourier que representa a tensdo de regime permanente Uv b Qual componente de frequéncia na ten 125 uF 1kO sao de entrada é eliminado da tensd4o de Ug saida Explique b Capitulo 16 e Séries de Fourier 1631 Acorrente periddica descrita a seguir usada 1632 Uma tensao periddica com um periodo de 107 para alimentar o circuito da Figura P1631 ps é dada pela seguinte série de Fourier Escreva a expressao no dominio do tempo ne do terceiro harm6nico na expressao para U vg 150 ea 608 Nogt V i 1000A 50 ms 1 50 ms ee OS 5A 50 ms 200 ms Essa tensao é aplicada ao circuito da Figura 251000A 200 ms t 300 ms P1632 Determine a amplitude eo Angulo de fase das componentes de v cujas frequéncias 5SA 300 ms t S 450 ms sao 3 e 5 Mrads Figura P1631 Figura P1632 ig Ct 20 vy SR 50 BF m Oar Secao 166 1633 A corrente periddica da Figura P1633 é apli Figura P1634 cada a um resistor de 25 kQ v V a Use os trés primeiros termos nao nulos da 300 série de Fourier de i para estimar a potén cia média dissipada no resistor de 25 kQ b Calcule o valor exato da poténcia média dissipada no resistor de 25 kQ T 0 T T 37 T c Qual é o erro percentual no valor esti 4 4 2 4 mado da poténcia média 1635 Uma fonte de tensdo de onda triangular ali Figura P1633 menta o circuito da Figura P1635a A ten iA sao da fonte é mostrada na Figura P1635b Estime a poténcia média fornecida ao resis 5 tor de 50V2 0 quando o circuito estd funcio nando em regime permanente Figura P1635 712 0 72 tT 100 mH 1634 A tensdo periddica nos terminais de um resis Ys 50V2 0 tor de 400 é mostrada na Figura P1634 a Use os trés primeiros termos nao nulos a da série de Fourier de ut para estimar v V a poténcia média dissipada no resistor de 400 20 b Calcule o valor exato da poténcia média dissipada no resistor de 400 22 c Qual é o erro percentual no valor esti t ms mado da poténcia média dissipada 0 2a 4a b 6a 8a Circuitos elétricos Secao 167 1636 A tensdo e a corrente nos terminais de um 1639 a Estime o valor eficaz da onda quadrada circuito sao de tensdo da Figura P1639a usando os v 30 60 cos 2000 20 sen 8000t V cinco primeiros termos nao nulos da série i34 cos 2000 25 de Fourier de vt sen8000 45 A b Calcule a percentagem de erro na A corrente esta no sentido da queda de tensao estimativa nos terminais c Repita os itens a e b se a onda qua a Qual é a poténcia média nos terminais drada de tensdo for substituida pela b Qual é 0 valor eficaz da tensio onda triangular de tenséo da Figura c Qual é 0 valor eficaz da corrente P1639b 1637 a Determine o valor eficaz da tensdo da Figura P1639 Figura P1637 para V 100 V Observe v V que a série de Fourier para essa tensio periddica foi determinada no Problema 120 para avaliagao 163 b Estime o valor eficaz da tenséo usando os 0 5 10 t ms trés primeiros termos nao nulos da série de Fourier de v AGE 120 Figura P1637 a Ug 0 Vin J t 0 T6 T3 PNY 120 Vin t ms 5 10 1638 a Use os trés primeiros termos nao nulos da aproximacao por série de Fourier da ten 120 sao periddica da Figura P1638 para esti mar seu valor eficaz b b Calcule o valor eficaz correto jcul d 1640 a Estime o valor eficaz da tensdo senoidal c Calcu 1 a percentagem de erro no valor retificada de onda completa da Figura estimadio P1640a usando os trés primeiros termos Figura P1638 nao nulos da série de Fourier de v vV b Calcule o erro percentual na estimativa 4 c Repita os itens a e b se a tensaéo senoi 2a dal retificada de onda completa for subs tituida pela tensdo senoidal retificada de 0 T8 T4 378 T2 5T8 374 778 T meiaonda da Figura P1640b 4q Capitulo 16 e Séries de Fourier Figura P1640 1642 a Calcule as expressdes dos coeficientes de v V Fourier para a corrente periddica da Figura P1642 170 b Escreva os quatro primeiros termos nao nulos da série usando a forma trigono métrica alternativa dada pela Equacéo t ms 1639 0 20 40 c Use os quatro primeiros termos nao a nulos da expresséo encontrada no item v V b para estimar o valor eficaz de i d Determine o valor eficaz exato de i 170 e Calcule o erro percentual no valor eficaz estimado t ms Figura P1642 0 20 40 i b In 1641 Suponha que a funcao periddica descrita no Problema 1614 seja uma corrente i com valor de pico de3 A t 0 TI4 T2 T a Determine o valor eficaz da corrente b Se essa corrente passar por um resistor In de 100 qual sera a poténcia média dis sipada no resistor c Se i for aproximada usandose apenas 1643 O valor eficaz de qualquer onda periddica o termo de frequéncia fundamental de triangular que tenha a forma representada sua série de Fourier qual sera a poténcia na Figura P1643a é independente de e média fornecida ao resistor de 100 0 t Observe que para a fungao ser univoca d Qual é a o erro percentual na estimativa t O valor eficaz igual a VV3 Veri da poténcia dissipada fique essa observacéo determinando o valor eficaz das trés formas de onda da Figura P1643bd Figura P1643 v V v V vV vV Vy 10 10 10 ts ts ts ts O ta Wi 0 02 0406 08 100 6 oa 10 0 1 6 V 10 VY 10 10 a b c d Circuitos elétricos Secao 168 1644 Deduzaa expressao para os coeficientes com 1647 A fonte de tensdo peridédica no circuito da plexos de Fourier para a corrente periddica Figura P1647a tem a forma de onda da da Figura P1644 Figura P1647b Figura P1644 a Calcule a expressao para C vt b Determine os valores dos coeficientes complexos C C C C C C4 C Vin C e C para a tensao de entrada v se Vi54Ve T 107 us c Repita os cdlculos do item b para v f d Use os coeficientes complexos determi T T 2T A nados no item c para estimar a poténcia 1645 a A corrente periddica do Problema 1644 média fornecida ao resistor de 250 kQ é aplicada a um resistor de 25 0 Se V Figura P1647 150 A qual é a poténcia média fornecida 6250 ao resistor b Admit vt sej imad Admita que vt seja aproximada por C 25 pH L pF 2500 v uma forma exponencial truncada da série 8 de Fourier consistindo nos cinco primei ros termos nao nulos isto én 0 1 2 a 3 e 4 Qual é o valor eficaz da corrente usandose essa aproximacao Ug c Se a aproximagao do item b for usada para representar v qual sera 0 erro per Vin centual na poténcia calculada 1646 Use a forma exponencial da série de Fourier para escrever uma expressdo para a tensdo da t T T2 T Figura P1646 Figura P1646 ut Vin b Vin 1648 a Determine o valor eficaz da tensdo perié dica da Figura P1647b b Use os coeficientes complexos calcula T4 0 T4 T2 374 T Sa4 f dos no Problema 1647b para estimar o valor eficaz de v e c Qual é 0 erro percentual no valor eficaz estimado de v e Secao 169 1649 a Facga um grafico de amplitude e fase V Seja 40 V Plote amplitude e fase em baseado na Equacao 1638 para a tensdo fungao de nwem que n 0 1 2 3 periddica do Exemplo 163 Suponha que Capitulo 16 e Séries de Fourier b Repita o item a fazendo os graficos de a Escreva a expressio para a corrente acordo com a Equagao 1682 periddica usando a forma dada pela 1650 a Facaum grafico de amplitude e fase baseado Equagao 1638 na Equagao 1638 para a tensao periddica b Acorrente é uma fungao par ou impar de ft do Exemplo 1633 Plote amplitude e fase c Acorrente tem simetria de meiaonda em funcao de nw em que n 0 1 2 2 d Calcul ficaz d t b Repita o item a fazendo os graficos de arene VAlON CNCAZ Ca COMPETE eM miliampéres acordo com a Equagao 1682 1651 Uma tensdo periddica é representada por e Escreva a forma exponencial da serie de uma série de Fourier truncada Os espectros Fourier de amplitude e fase séo mostrados na Figura f Desenhe os graficos de espectro de ampli P1651a e b respectivamente tude e fase com base na série exponencial a Escreva uma expresséo para a tensfo Figura P1652 periddica usando a forma dada pela A A Equacao 1638 qnag 882 b A tensfo é uma fungao par ou impar de ft 098 c A tensao tem simetria de meiaonda d A tensao tem simetria de quarto de onda 0353 Figura P1651 018 A rads A 0 250 500 750 1000 A 3 As Ay 9y NW 0 Wo 30 5a TW a 90 On 500 1000 rads 0 250 750 90 Wo 5a 90 NW 0 30 70 90 b 1653 Osinal de entrada para um filtro Butterworth passaaltas de terceira ordem e ganho unitario 1652 Uma tensdo periddica é representada por a tensao senoidal retificada de meiaondaA uma série de Fourier que tem um numero frequéncia de corte do filtro é 2500 rads A finito de termos Os espectros de amplitude amplitude da tens4o senoidal é 2707 V e seu e fase sio mostrados na Figura P1652a e periodo 4007 ps Escreva os trés primeiros b respectivamente termos da série de Fourier que representa a tensdo de saida de regime permanente do filtro Secoes 161169 1654 Osinal de entrada para um filtro Butterworth unitario é a onda triangular periddica de ten passabaixas de segunda ordem e ganho sao mostrada na Figura P1654 A frequéncia Circuitos elétricos de corte do filtro é 2 krads Escreva os trés pri d Calcule o fator de qualidade para o filtro meiros termos da série de Fourier que repre usando 6 e w e compare o valor obtido sentam a tensdo de saida de regime perma com sua estimativa na parte c nente do filtro Figura P1656 Figura P1654 Vv v5 W Ci 5 100 nF R 100 nF 200 25 kO Ry CG Ry 20016 O 06n Oda 027 0 027 Oda 06m Yo v v 1655 Osinal de entrada para um filtro Butterworth a passabaixas de segunda ordem e ganho uni vp mV tario uma onda de seno de um retificador de onda completa com uma amplitude de 257 V 2257 e uma frequéncia fundamental de 5000 rads A frequéncia de corte do filtro é 1 krads t ms oo oe 027 Escreva os dois primeiros termos da série de Fourier que representa a tensdo de saida de 99507 regime permanente do filtro 1656 A funcao de transferéncia VV para o fil b tro passafaixa de banda estreita da Figura P1656a é 1657 a Determine os valores de K 8 w2 para o fil Hs K Bs tro passafaixa mostrado na Figura 1620 b s Ss Bs b Determine os trés primeiros termos da série de Fourier na Figura 1620 b se a a Determine K B e w2 como funcdes dos entrada para 0 filtro é a forma de onda parametros do circuito R R R3 C e C mostrada na Figura 1620 a b Escreva os trés primeiros termos da série de Fourier que representara U se U for a tensdo periddica da Figura P1656b c Estime o valor do fator de qualidade para o filtro examinando o resultado na parte b SUMÁRIO DO CAPÍTULO 171 Dedução da transformada de Fourier 172 Convergência da integral de Fourier 173 Uso de transformadas de Laplace para calcular transformadas de Fourier 174 Uso de limites para calcular transformadas de Fourier 175 Algumas propriedades matemáticas 176 Transformadas operacionais 177 Aplicações em análise de circuitos 178 Teorema de Parseval A transformada de Fourier Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber calcular a transformada de Fourier de uma função por meio de um ou de todos estes meios defi nição da transformada de Fourier transformadas de Laplace propriedades matemáticas da transformada de Fourier transformadas operacionais 2 Saber como usar a transformada de Fourier para determinar a resposta de um circuito 3 Entender o teorema de Parseval e saber usálo para avaliar a energia contida dentro de faixas específi cas de frequência No Capítulo 16 discutimos a representação de uma função periódica por meio de uma série de Fourier Essa representação em série possibilita a descrição da função periódica em termos de seus atributos amplitude e fase no domínio da frequência A transformada de Fourier estende a representação no domínio da frequência a fun ções que não são periódicas Já apresentamos a ideia de transformar uma função aperiódica no domínio do tempo para o domínio da frequência por meio da transformada de Laplace Assim cabe cogitar por que ainda é necessário outro tipo de transformação Na verdade a transformada de Fourier não é uma nova transformada Tratase de um caso especial da transformada bilateral de Laplace na qual a parte real da frequência complexa é anulada Todavia sob o ponto de vista de uma interpretação física a transformada de Fourier é um casolimite de uma série de Fou rier Apresentamos esse ponto de vista na Seção 171 onde deduziremos as equações da transformada de Fourier 17 Book Nilsson 3indb 723 290116 1358 A transformada de Fourier é mais útil do que a de Laplace em certos problemas relacionados ao proces samento de sinais e à teoria de comunicações Embora não possamos estudar a transformada de Fourier em detalhes parecenos adequado apresentála agora enquanto as ideias que fundamentam a transformada de Laplace e a série de Fourier ainda estão frescas em sua memória Perspectiva prática Filtragem digital de sinais É comum o uso de linhas telefônicas para transmissão de informações de um computador para outro Como você deve sa ber os computadores representam todas as informações como conjuntos de 1s e 0s O valor 1 costuma ser representado como uma tensão normalmente de 5 V enquanto o 0 é representado por 0 V tal como mostrado a seguir A linha telefônica tem uma característica de resposta de frequência que se assemelha à de um filtro passabaixas Podemos usar as transformadas de Fourier para compreender o efeito da transmissão de um valor digital usando uma linha telefônica que se comporta como um filtro 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 171 Dedução da transformada de Fourier Começamos a dedução da transformada de Fourier como um casolimite de uma série de Fourier com a forma exponencial da série f t a q n qCne jnv0t 171 em que Circuitos elétricos 724 Book Nilsson 3indb 724 290116 1358 Cn 1 T T2 T2 f tejnv0t dt 172 Na Equação 172 optamos por iniciar a integração em t0 T2 Ao permitir que o período fundamental T tenda ao infinito passase de uma função perió dica a uma função aperiódica Em outras palavras caso T se torne infinito a função nunca se repetirá e portanto vai se tornar aperiódica À medida que T aumenta a separação entre fre quências harmônicas adjacentes fica cada vez menor Em particular Dv n 1v0 nv0 v0 2p T 173 e à medida que T cresce a separação incremental Δv tende a uma separação diferencial dv A partir da Equação 173 1 T S dv 2p quando T S q 174 À medida que o período cresce a frequência deixa de ser uma variável discreta e passa a ser uma variável contínua ou nv0 S v quando T S q 175 Em termos da Equação 172 à medida que o período aumenta os coeficientes de Fourier Cn diminuem No limite Cn S 0 quando T S q Esse resultado faz sentido pois esperase que os coeficientes de Fourier desapareçam à medida que a função perde sua periodicidade Entre tanto observe o valorlimite do produto CnT isto é CnT S q qf tejvt dt quando T S q 176 Quando escrevemos a Equação 176 levamos em conta a Equação 175 A integral na Equação 176 é a transformada de Fourier de ft e é representada como Fv 5 f t6 q qf tejvt dt 177 Obtemos uma expressão explícita para a transformada inversa de Fourier investigando a formalimite da Equação 171 quando T S q Começamos multiplicando e dividindo a equa ção por T f t a q n qCnTe jnv0t a 1 T b 178 À medida que T S q o somatório tende à integral CnT S Fv nv0 S v e 1T S dv2p Assim no limite a Equação 178 tornase f t 1 2p q qFve jvt dv 179 As equações 177 e 179 definem a transformada de Fourier A Equação 177 transforma a expressão no domínio do tempo ft em sua expressão correspondente no domínio da frequên cia Fv A Equação 179 define a operação inversa ou seja a transformação de Fv em ft t Transformada de Fourier t Transformada inversa de Fourier Capítulo 17 A transformada de Fourier 725 Book Nilsson 3indb 725 290116 1358 Circuitos elétricos Calculemos agora a transformada de Fourier do pulso mostrado na Figura 171 Observe que esse pulso Figura 171 Pulso de tensao corresponde a tensdo periddica do Exemplo 166 se vt fizermos T oo A transformada de Fourier de vt pode ser calculada diretamente da Equacao 177 vn 12 Vio Vine dt t 72 72 0 72 e jet 72 V7 Figura 172 Transigao do espectro de amplitude a medida que ft jo a passa de periddica a aperiddica a C em relagao a Nag Tt 5 b Cem relagao a Nw T7 10 Vin oT c Viw em relacdo a w jo 2 sen 1710 C ar que pode ser colocada na forma de sen xx multipli 02 V candose 0 numerador e 0 denominador por 7 Entao sen wt 2 7 Vw V7 1711 w72 NW 4aT 2nt 0 QaT An 7 A expresséo para os coeficientes de Fourier da a sequéncia infinita de pulsos do Exemplo 166 é Cn C Vit sen neogt2 1712 T nwor2 01 Vin Comparando as equagoes 1711 e 1712 vemos cla Nw ramente que 4 medida que a fungéo no dominio do Aa 7 2nt 0 aait Ant tempo passa de periddica para aperiddica o espectro b da amplitude passa de um espectro discreto para um Vo espectro continuo Além disso a envoltéria do espec tro discreto tem a mesma forma do espectro conti Vint nuo Desse modo 4 medida que T aumenta 0 espectro discreto fica mais denso e as amplitudes ficam meno res mas a forma da envoltéria nao muda A transfor anit only oat nae mada de Fourier Vw pode ser interpretada portanto 0 como uma medida do contetido de frequéncias de v c A Figura 172 ilustra essas observagées O grafico do espectro de amplitude pressupde que 7 permaneca constante 4 medida que T cresce 172 Convergéncia da integral de Fourier Uma fungao do tempo ft tem uma transformada de Fourier se a integral na Equagao 177 converge Se ft for uma funcdo nao nula bemcomportada em um intervalo de tempo finito a convergéncia nao sera problema Bemcomportada implica que ft seja univoca e limitada em seu dominio Em termos praticos todos os pulsos de duragao finita que nos interessam sAo fungdes bemcomportadas A avaliacgao da transformada de Fourier do pulso retangular discu tida na Secao 171 ilustra esse ponto Capitulo 17 e A transformada de Fourier Se ft for diferente de zero em um intervalo infinito a convergéncia da integral de Fourier dependera do comportamento de ft quando t oo Uma func4o nao nula e univoca em um intervalo infinito tera uma transformada de Fourier se a integral vola existir e se quaisquer descontinuidades em ft forem finitas A fungéo exponencial decrescente ilustrada na Figura 173 é um exemplo de tal fungao Sua transformada de Fourier é Figura 173 Funcao exponencial decrescente Keut F fe dt Ke e dt oo 0 K Ke tient oo K Ke 01 ajoo a jo t K a0 1713 atjo Um terceiro grupo importante de fungGdes de grande interesse pratico nao possui a rigor transformada de Fourier Por exemplo a integral na Equacao 177 nao vai convergir se ft for uma constante O mesmo acontecera se ft for uma fungao senoidal cos wot ou um degrau Kut Essas fung6es sao de grande utilidade em andlise de circuitos mas para incluilas na andlise de Fourier temos de recorrer a alguns subterfigios matemAaticos Em primeiro lugar criamos uma fungao auxiliar no dominio do tempo que tenha uma transformada de Fourier e ao mesmo tempo possa ser transformada em uma funcdo arbitrariamente proxima da funcdo de interesse Em seguida determinamos a transformada de Fourier da funcAo auxiliar e entao avaliamos o valorlimite de Fw quando essa funcAo tende a fr Por ultimo definimos o valor limite de Fw como a transformada de Fourier de ft Vamos ilustrar essa técnica determinando a transformada de Fourier de uma constante Podemos aproximar uma constante por meio da fungao exponencial ft Ae 0 1714 A medida que e 0 ft AA Figura 174 mostra uma representaciio grafica da aproxi macao A transformada de Fourier de ft é 0 co Fa Aee dt Ae e dt 1715 oo 0 Resolvendo a integracéo da Equacao 1715 obtemos Figura 174 Aproximagao de uma constante por meio de F A A 2A 1716 uma fungao exponencial ejo ettjo 0 FO A fungao dada pela Equacio 1716 gera uma funcgado A impulso em w 0 4 medida que e 0 Vocé pode verificar esse resultado mostrando que 1 F tende ao infinito em w Ae Ae 04 medida que e 0 2 a duragao de Fw tende a zero a Aeit ace Aenét medida que e 0 e 3 a rea sob a curva de Fw independe ot t de A area sob Fw é a intensidade do impulso e é dada por 9 q q 2PA P2 v2 dv 4PA q 0 dv P2 v2 2pA 1717 No limite ft tende a uma constante A e Fv tende a uma função impulso 2pAdv Assim a transformada de Fourier de uma constante A é definida como 2pAdv ou f5 A6 2pAdv 1718 Na Seção 174 voltaremos a tratar de transformadas de Fourier definidas por meio de limites Antes disso mostraremos na Seção 173 como usar a transformada de Laplace para determinar a transformada de Fourier de funções para as quais a integral de Fourier converge Objetivo 1 Saber calcular a transformada de Fourier de uma função 171 Use a integral de definição para determinar a transformada de Fourier das seguintes funções a ft A t2 t 6 0 ft A 0 6 t t2 ft 0 em todos os outros valores de t b ft 0 t 6 0 ft teat t 0 a 7 0 Resposta a b 1 a jv2 j a 2A v b a1 cos vt 2 b 172 A transformada de Fourier de ft é dada por Fv 0 q v 6 3 Fv 4 3 6 v 6 2 Fv 1 2 6 v 6 2 Fv 4 2 6 v 6 3 Fv 0 3 6 v q Determine ft Resposta f t 1 pt 4 sen 3t 3 sen 2t NOTA tente resolver também os problemas 171 e 172 apresentados no final do capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO 173 Uso de transformadas de Laplace para calcular transformadas de Fourier Podemos usar uma tabela de pares de transformadas de Laplace unilaterais para deter minar a transformada de Fourier de funções para as quais a integral de Fourier converge A integral de Fourier converge quando todos os polos de Fs encontramse na metade esquerda Circuitos elétricos 728 Book Nilsson 3indb 728 290116 1358 Capitulo 17 e A transformada de Fourier do plano s Observe que se Fs tiver polos na metade direita do plano s ou ao longo do eixo imaginario ft nao satisfaz a restrigéo de que I f t dt existe As seguintes regras aplicamse 4 utilizacéo de transformadas de Laplace para calcular as transformadas de Fourier nos casos possiveis 1 Se ft for igual a zero para t 0 obtemos a transformada de Fourier de ft pela trans formada de Laplace de ft com a simples substituigao de s por jw Assim FFO ALO so 1719 Por exemplo digamos que ft 0 0 ft e cos wot tO Entao sta jo a FWO 7 5 Fa s ta wosjo jw a a 2 Como o intervalo de integragao da integral de Fourier vai de oo a oo a transformada de Fourier de uma fungdo definida para valores de tempo negativos existe Tal fungao de tempo negativo é nao nula para valores de tempo negativos e nula para valores de tempo positivos Para determinar a transformada de Fourier dessa fungado fazemos o seguinte em primeiro lugar refletimos a funcéo de tempo negativo para o domi nio do tempo positivo e entao determinamos sua transformada unilateral de Laplace Obtemos a transformada de Fourier da funcao original substituindo s por jw Assim quando ft 0 para t 0 FLO AfY sje 1720 Por exemplo se fit 0 para r 0 ft ecos aol parat0 entao ft 0 para t 07 ft e cos wt para t 0 Tanto a fungao f como sua imagem especular estao Figura 175 Reflexao de uma fungao de tempo negativo no representadas no grafico da Figura 175 dominio do tempo positivo A transformada de Fourier de ft é fl EF Sta Ff O LL fF t s jo s a wh ft Sf9 jota yoN jw a a olot Nu f 0 3 Funções não nulas em todo o intervalo de tempo podem ser transformadas em uma soma de funções de tempo positivo e negativo Usamos as equações 1719 e 1720 para calcular a transformada de Fourier das funções de tempo positivo e negativo respecti vamente A transformada de Fourier da função original é a soma das duas transforma das Assim se fizermos f t ft para t 7 0 f t ft para t 6 0 então ft f t f t e l5 f t6 s jv l5 f t6 s jv f5 f t6 f5 f t6 f5 f t6 1721 Um exemplo da utilização da Equação 1721 é o cálculo da transformada de Fourier de eat As funções de tempo positivo e negativo para a função original são f t eat e f t eat Então l5 f t6 1 s a l5 f t6 1 s a Portanto pela Equação 1721 2a v2 a2 1 jv a 1 jv a f5 eat6 1 s a s jv 1 s a s jv Se ft for par a Equação 1721 reduzse a f5 f t6 l5 f t6 s jv l5 f t6 s jv 1722 Se ft for ímpar então a Equação 1721 tornase f5 f t6 l5 f t6 s jv l5 f t6 s jv 1723 Circuitos elétricos 730 Book Nilsson 3indb 730 290116 1358 Capitulo 17 e A transformada de Fourier PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber calcular a transformada de Fourier de uma fungao 173 Determine a transformada de Fourier de cada uma das fung6es Considere a uma constante real positiva a fi 0 r0 Resposta a ao oe fQesenw it t 0 a jw a b fi 0 t0 b 1 ft te t0 OG joy c fp te t 0 j4aw ft te t0 2 o NOTA tente resolver também o Problema 175 apresentado no final do capitulo 174 Uso de limites para calcular transformadas de Fourier Como indicamos na Secao 172 as transformadas de Fourier de varias fung6es de interesse pratico devem ser calculadas por um processo de calculo de limites Voltaremos agora a tais tipos de fungdes e determinaremos suas transformadas Transformada de Fourier da fungao sinal Mostramos na Equacao 1718 que a transformada de Fourier de uma constante A é 277A6w A proxima funcao de interesse é a funcAo sinal definida como 1 para t0e1 para t0A fungAo sinal sgnt pode ser expressa em termos de fungdes degrau unitario ou sent ut ut 1724 A Figura 176 mostra graficamente a fungao Para determinar a transformada de Fourier da fung4o sinal em primeiro lugar criamos uma fungao que tende no limite a fungao sinal sgnt lim eut eut 0 1725 e A fungao entre colchetes apresentada na Figura 177 tem uma transformada de Fourier pois a integral de Fourier converge Como ft é uma funcao impar usamos a Equagao 1723 para determinar sua transformada de Fourier Figura 176 Fungao sinal Figura 177 Fungao que tende a sgnt a medida que e se aproxima de zero sgnt fO 10 10 7 e ut t t 0 0 et 10 eut 10 2jv v2 P2 1 jv P 1 jv P f5 f t6 1 s P s jv 1 s P s jv 1726 Quando P S 0 ft S sgnt e fft S 2jv Assim f5 sgnt6 2 jv 1727 Transformada de Fourier da função degrau unitário Para determinar a transformada de Fourier da função degrau unitário usamos as equa ções 1718 e 1727 Para tal reconhecemos que a função degrau unitário pode ser expressa como ut 1 2 1 2 sgnt 1728 Assim pdv 1 jv f5 ut6 fb 1 2 r fb 1 2 sgntr 1729 Transformada de Fourier da função cosseno Para determinar a transformada de Fourier de cos v0t voltamos à integral da transfor mada inversa da Equação 179 e observamos que se Fv 2pdv v0 1730 então f t 1 2p q q2pdv v0e jvt dv 1731 Usando a propriedade da filtragem da função impulso reduzimos a Equação 1731 a f t e jv0t 1732 Então pelas equações 1730 e 1732 f5 ejv0t6 2pdvv0 1733 Usamos agora a Equação 1733 para determinar a transformada de Fourier de cos v0t pois cos v0t e jv0t e jv0t 2 1734 Assim Circuitos elétricos 732 Book Nilsson 3indb 732 290116 1358 pdv v0 pdv v0 1 2 2pdv v0 2pdv v0 f5 cos v0t6 1 2f5 ejv0t6 f5 ejv0t6 1735 A transformada de Fourier de sen v0t pode ser calculada de forma semelhante o que deixamos para o Problema 174 apresentado no final do capítulo A Tabela 171 apresenta um resumo de pares de transformadas de Fourier das funções elementares importantes Voltamos agora às propriedades da transformada de Fourier que aperfeiçoam nossa capacidade de descrever o comportamento aperiódico no domínio do tempo em termos do comportamento no domínio da frequência Tabela 171 Transformadas de Fourier de funções elementares Tipo ft Fv impulso 1 jpdv v0 dv v0 sen v0t pdv v0 dv v0 cos v0t 2pdv v0 e jv0t 2aa2 v2 a 7 0 eat 1a jv a 7 0 eatut 1a jv a 7 0 eatut pdv 1jv ut 2jv sgnt 2pAdv A dt constante sinal degrau exponencial de tempo positivo exponencial de tempo negativo exponencial de tempo positivo e negativo exponencial complexa cosseno seno 175 Algumas propriedades matemáticas A primeira propriedade matemática importante é que Fv é uma quantidade complexa e pode ser expressa em forma retangular ou polar Assim pela definição dada pela integral q q f t cos vt dt j q q f t sen vt dt q q f tcos vt j sen vt dt Fv q q f tejvt dt 1736 Agora façamos Bv q qf t sen vt dt Av q qf t cos vt dt 1737 1738 Capítulo 17 A transformada de Fourier 733 Book Nilsson 3indb 733 290116 1358 Então usando as equações 1737 e 1738 na Equação 1736 obtemos Fv Av jBv Fve juv 1739 As seguintes observações sobre Fv são pertinentes A parte real de Fv isto é Av é uma função par de v em outras palavras Av Av A parte imaginária de Fv isto é Bv é uma função ímpar de v em outras pala vras Bv Bv O módulo de Fv isto é A2v B2v é uma função par de v O ângulo de fase de Fv isto é uv tg1BvAv é uma função ímpar de v Para obter o complexo conjugado de Fv basta substituir v por v em outras palavras Fv Fv Então se ft for uma função par Fv será real e se ft for uma função ímpar Fv será imaginária Se ft for par pelas equações 1737 e 1738 Av 2 q 0 f t cos vt dt 1740 e Bv 0 1741 Se ft for uma função ímpar Av 0 1742 e Bv 2 q 0 f t sen vt dt 1743 Deixamos para o leitor as deduções das equações 1740 a 1743 problemas 1710 e 1711 apresentados no final do capítulo Se ft for uma função par sua transformada de Fourier será uma função par e se ft for uma função ímpar sua transformada de Fourier será uma função ímpar Além disso se ft for uma função par pela integral inversa de Fourier 2 2p q 0 Av cos vt dv 1 2p q q Av cos vt dv 0 1 2p q q Avcos vt j sen vt dv f t 1 2p q q Fve jvt dv 1 2p q q Ave jvt dv 1744 Compare agora a Equação 1744 com a 1740 Observe que exceto por um fator de 12p essas duas equações têm a mesma forma Assim as formas de onda de Av e ft se tornam Circuitos elétricos 734 Book Nilsson 3indb 734 290116 1358 Capitulo 17 e A transformada de Fourier intercambiaveis se ft for uma fungao par Por exemplo j4 observamos que um pulso retangular no dominio do tempo Figura 178 Espectro de frequéncia retangular produz um espectro de frequéncia da forma sen ww Espe Ao cificamente a Equacdo 1711 expressa a transformada de Fourier do pulso de tenséo mostrado na Figura 171 Assim M um pulso retangular no dominio da frequéncia deve ser gerado por uma fungao da forma sen 1t Podemos ilus o trar esse fato determinando a fungao ft correspondente ao a2 0 wo2 espectro de frequéncia da Figura 178 Pela Equagao 1744 2 pon 2M sm 92 t Mcoswt dw ft on coswt dw an 1 M sen wot2 20 t2 1 senagt 2 Moy f Wo woot 1745 Falaremos mais sobre o espectro de frequéncia de um pulso retangular no dominio do tempo em relagao ao espectro de frequéncia retangular de sen t depois de apresentarmos o teorema de Parseval 176 Transformadas operacionais As transformadas de Fourier assim como as de Laplace podem ser classificadas como funcionais e operacionais Até aqui enfocamos as funcionais Agora discutiremos algumas das transformadas operacionais importantes No que se refere 4 transformada de Laplace essas transformadas operacionais sao semelhantes as discutidas no Capitulo 12 Por isso deixamos para o leitor essas provas problemas 1712 a 1719 apresentados no final do capitulo Multiplicagao por uma constante Pela integral que define a transformada de Fourier FFO FO entao F Kf t KFo 1746 Assim a multiplicagéo de ft por uma constante corresponde 4 multiplicagéo de Fw pela mesma constante Adigao subtragao A adicao subtracgao no dominio do tempo corresponde a adicAo subtracao no dominio da frequéncia Assim se f5 f 3t6 F 3v f5 f 2t6 F 2v f5 f 1t6 F 1v então f5 f 1t f 2t f 3t6 F 1v F 2v F 3v 1747 que pode ser deduzida substituindose a soma algébrica de funções no domínio do tempo na integral que define a transformada de Fourier Diferenciação A transformada de Fourier da derivada de primeira ordem de ft é fb df t dt r jvFv 1748 A derivada de ordem n de ft é fb dnf t dtn r jvnFv 1749 As equações 1748 e 1749 serão válidas apenas se ft for zero em q Integração Se gt t qf x dx então f5 gt6 Fv jv 1750 A Equação 1750 é válida apenas se q q f x dx 0 Mudança de escala Em termos dimensionais tempo e frequência são recíprocos Assim quando o tempo é ampliado a frequência é comprimida e viceversa como mostra a transformada funcional f5 f at6 1 a F a v a b a 7 0 1751 Observe que quando 0 6 a 6 1 o tempo é ampliado ao passo que quando a 7 1 o tempo é comprimido Circuitos elétricos 736 Book Nilsson 3indb 736 290116 1358 Deslocamento no domínio do tempo O deslocamento de uma função no domínio do tempo corresponde a alterar o espectro de fase e deixar o espectro de amplitude inalterado Assim f5 f t a6 ejva Fv 1752 Se a for positivo na Equação 1752 ft será atrasada se a for negativo ft será adiantada Deslocamento no domínio da frequência O deslocamento no domínio da frequência corresponde à multiplicação por uma expo nencial complexa no domínio do tempo f5 ejv0t f t6 Fv v0 1753 Modulação Modulação de amplitude é o processo de variar a amplitude de uma portadora senoidal Se o sinal modulador for ft a portadora modulada se tornará ft cos v0t O espectro de ampli tude dessa portadora é a metade do espectro de amplitude de ft centrada em v0 ou seja f5 f t cos v0t6 1 2 Fv v0 1 2 Fv v0 1754 Convolução no domínio do tempo A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequên cia Em outras palavras yt q qxlht l dl tornase f5 yt6 Yv XvHv 1755 A Equação 1755 é importante em aplicações da transformada de Fourier porque estabe lece que a transformada da função resposta Yv é o produto entre a transformada da função da entrada Xv e a função de transferência do sistema Hv Falaremos mais sobre essa rela ção na Seção 177 Convolução no domínio da frequência A convolução no domínio da frequência corresponde à multiplicação de duas funções no domínio do tempo Assim se ft f1tf2t então Fv 1 2p q q F 1uF 2v u du 1756 Capítulo 17 A transformada de Fourier 737 Book Nilsson 3indb 737 290116 1358 A Tabela 172 resume essas dez transformadas operacionais além de outra que apresenta remos no Problema 1718 no final do capítulo Tabela 172 Transformadas operacionais ft Fv jn dn Fv dvn tnf t 1 2p q q F 1uF 2v u du f 1tf 2t XvHv q q xlht l dl 1 2F v v0 1 2F v v0 f t cos v0t Fv v0 e jv0tf t ejva Fv f t a 1 aF v a a 7 0 f at Fvjv t qf x dx jvn F v dn f tdtn F 1v F 2v F 3v f 1t f 2t f 3t KF v Kf t Objetivo 1 Saber calcular a transformada de Fourier de uma função 174 Suponha que ft seja definida da seguinte forma para todos os outros valores de t f t 0 0 t t 2 f t 2A t t A t 2 t 0 f t 2A t t A a Determine a derivada de segunda ordem de ft b Determine a transformada de Fourier da derivada de segunda ordem c Use o resultado obtido em b para determinar a transformada de Fourier da função em a Sugestão use a transformada operacional correspondente à diferenciação Resposta a b c 4A v2t a1 cos vt 2 b 4A t acos vt 2 1b 2A t d at t 2 b d2f dt2 2A t d at t 2 b 4A t dt PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Circuitos elétricos 738 Book Nilsson 3indb 738 290116 1358 Capitulo 17 e A transformada de Fourier 175 O pulso retangular mostrado pode ser expresso como a diferenca entre duas tensdes degrau isto é vt Vu aF 5 Vu a 5 V vt 2 2 Use a transformada operacional correspondente ao Vin deslocamento no dominio do tempo para determinar a transformada de Fourier de vt senw72 20 2 f Resposta V17 7 7 p V VT or2 NOTA tente resolver também o Problema 1719 apresentado no final do capitulo 177 Aplicagoes em analise de circuitos A transformada de Laplace é mais utilizada em andlise de circuitos que a transformada de Fourier por duas raz6es A primeira delas que a integral da transformada de Laplace converge para uma faixa mais ampla de formas de onda a segunda é que ela ja incorpora as condiées iniciais do problema Apesar das vantagens da transformada de Laplace pode mos usar a transformada de Fourier em andlise de circuitos A relacgéo fundamental subja cente a utilizagao da transformada de Fourier em andlise do regime transitdrio de circuitos é a Equacao 1755 que relaciona a transformada da resposta Yw com a transformada da entrada Xw e a funcdo de transferéncia Hw do circuito Observe que Hq é a ja conhe cida Hs na qual s foi substituido por jw O Exemplo 171 mostra como usar a transformada de Fourier para determinar a resposta de um circuito EXEMPLO 171 Uso da transformada de Fourier para determinar a resposta transitdria de um circuito Use a transformada de Fourier para determinar i no circuito da Figura 179 A fonte de corrente it é igual a 20 sent A Solugao A transformada de Fourier da fonte de corrente é Figura 179 Circuito para o Exemplo 171 T F 20 sgnv 30 2 20 igt 10 igt Je 1H 40 jo A funcdo de transferéncia do circuito é a razdo entre J e I assim I 1 H I 4 jo A transformada de Fourier de it é Circuitos elétricos To 1H 40 jo4 jo Expandindo J em uma soma de frages parciais obtemos K K Iw at od jo 4 jw Avaliando K e K temos 40 K 10 4 40 K 10 a 4 Assim 10 10 I oo jo 4 jw A resposta é entao iot F o 5sent 10e u2 A Figura 1710 mostra o grafico da resposta A solugao Figura 1710 Grafico de Z faz sentido em relagéo ao comportamento conhecido it A do circuito Sim pelas razes a seguir A fonte de cor 5 sen rente fornece 20 A ao circuito para t entre coe 0A ig resistncia em cada ramo determina a divisao de 20 5 sens 0 A entre eles Em particular um quarto da corrente i 510074 aparece no ramo de i portantoi 5 A para t 0 10 Quando a fonte de corrente salta de 20 A para 20 A em t0i tende exponencialmente a seu valor final de 5 A com uma constante de tempo de i S Uma caracteristica importante da transformada de Fourier é que ela fornece diretamente a resposta de regime permanente a uma funca4o de entrada senoidal Isso acontece porque o calculo da transfor mada de Fourier de cos wot baseado na premissa de que a fungao existe por todo 0 tempo O Exem plo 172 ilustra esse aspecto EXEMPLO 172 Uso da transformada de Fourier para determinar a resposta de regime permanente senoidal A fonte de corrente do Exemplo 171 Figura 179 é trocada por uma fonte senoidal A expressao para a corrente é it 50 cos 3t A Use o método da transformada de Fourier para determinar it Capitulo 17 e A transformada de Fourier Solugao A transformada da fonte é Io 5075 3 6w 3 Como antes a funcdo de transferéncia do circuito é 1 H a Entao a transformada da resposta de corrente é d 3 6w 3 1 50a o 507 4 jo Gragas a propriedade de filtragem da fungao impulso a forma mais facil de determinar a transfor mada inversa de J w pela integral inversa igt F 1 o 50m 8w 3 6 3 4 TT ee dw 277 Joo 4 jw ei3t eit 73 4 73 j3t 3687 3t 73687 95 4 oe 5 5 52cos3t 3687 10cos3t 3687 Deixamos para 0 leitor a tarefa de verificar que a solucao para it idéntica a obtida pela andlise fasorial PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber como usar a transformada de Fourier para determinar a resposta de um circuito 176 A fonte de corrente do circuito mostrado fornece uma corrente de 10 sgn t A A resposta é a tenséo no indutor de 1 H Calcule a Lo T b HGa V 4 U9 40 407 g LO aw h i0 i v0 e Gj U0 in Resposta a 20ja f 18 A posta a Dijon f A in 49 1H b 4jal5 jo g 8A c 805 jaw h 8A d 80eut V i OV ec 2A j 80V 178 Teorema de Parseval O teorema de Parseval relaciona a energia associada a uma função no domínio do tempo à transformada de Fourier da função Imagine que a função f t seja a tensão ou a corrente em um resistor de 1 V Então a energia associada a essa função é W1V q q f 2t dt 1757 De acordo com o teorema de Parseval essa mesma energia pode ser calculada por uma integração no domínio da frequência ou especificamente q q f 2t dt 1 2p q q 0 Fv0 2dv 1758 Por conseguinte a energia dissipada por ft em um resistor de 1 V pode ser calculada pela integração do quadrado de ft a todos os instantes de tempo ou integrandose 12p vezes o quadrado do módulo da transformada de Fourier de ft a todas as frequências O teorema de Parseval será válido se ambas as integrais existirem A potência média associada aos sinais de energia finita no domínio do tempo é igual a zero quando a média é calculada ao longo de todo o tempo Assim quando comparamos sinais desse tipo usamos o conteúdo de energia dos sinais É conveniente utilizar um resistor de 1 V para comparar o conteúdo de energia dos sinais de tensão e corrente Começamos a dedução da Equação 1758 reescrevendo o integrando da integral do lado esquerdo como ft vezes ela mesma e então expressamos uma das ft em termos da trans formada inversa q qf t c 1 2p q qF ve jvt dv d dt q qf 2t dt q qf t f t dt 1759 Podemos deslocar ft para a integral interna porque essa integração é em relação a v e então passamos a constante 12p para o lado de fora de ambas as integrais Assim a Equação 1759 tornase 177 A fonte de tensão do circuito mostrado fornece a tensão vg etut ut V a Use o método da transformada de Fourier para determinar va b Calcule va0 va0 e vaq Resposta a b 1 4 V 1 4 V 1 3 V 1 6 sgnt V va 1 4 etut 1 12 e3tut 1 6 NOTA tente resolver também os problemas 1720 1728 e 1730 apresentados no final do capítulo 1 F 05 V 1 V va 1 2 vg 1 2 Circuitos elétricos 742 Book Nilsson 3indb 742 290116 1358 q q f 2t dt 1 2p q q c q q Fv f te jvt dv d dt 1760 Invertemos a ordem de integração e nessa operação percebemos que Fv pode ser des locada para fora da integração em relação a t Assim q q f 2t dt 1 2p q q Fv c q q f te jvt dt d dv 1761 Como a integral interna é Fv a Equação 1761 reduzse a q q f 2t dt 1 2p q q Fv Fv dv 1762 Na Seção 176 observamos que Fv Fv Desse modo o produto FvFv é sim plesmente o módulo de Fv ao quadrado e a Equação 1762 é equivalente à Equação 1758 Além disso notamos que Fv é uma função par de v Portanto também podemos escrever a Equação 1758 como q q f 2t dt 1 p q 0 0 Fv0 2 dv 1763 Exemplo de aplicação do teorema de Parseval Podemos demonstrar melhor a validade da Equação 1763 com um exemplo específico Se ft eat o lado esquerdo da Equação 1763 tornase 1 2a 1 2a 1 a e2at 2a 2 0 q e2at 2a 2 q 0 q q e2a0t 0 dt 0 qe 2at dt q 0 e 2at dt 1764 A transformada de Fourier de ft é Fv 2a a2 v2 e em consequência o lado direito da Equação 1763 tornase 1 a 2 p 0 p 2a 0 0 1 p q 0 4a2 a2 v22 dv 4a2 p 1 2a2 a v v2 a2 1 a tg 1v a b 2 q 0 1765 Observe que o resultado dado pela Equação 1765 é o mesmo dado pela Equação 1764 Capítulo 17 A transformada de Fourier 743 Book Nilsson 3indb 743 290116 1358 Interpretação do teorema de Parseval Segundo uma interpretação física do teorema de Parseval o quadrado do módulo da transformada de Fourier Fv2 é uma densidade de energia em joules por hertz Para com provar isso escrevemos o lado direito da Equação 1763 como 1 p q 0 0 F2pf 0 22p df 2 q 0 0 F2pf 0 2 df 1766 em que F2pf2df é a energia de uma faixa infinitesimal de frequências df e a energia total dissipada por ft em um resistor de 1 V é o somatório integração de F2pf2df em todas as frequências Podemos associar uma parte da energia total a uma faixa específica de frequên cias Em outras palavras a energia na faixa de frequências de v1 a v2 é W1V 1 p v2 v1 0 Fv0 2 dv 1767 Observe que expressar a integração no domínio da frequência como 1 2p q q 0 Fv0 2 dv em vez de 1 p q 0 0 Fv0 2 dv permite que a Equação 1767 seja escrita na forma W1V 1 2p v1 v2 0 Fv0 2 dv 1 2p v2 v1 0 Fv0 2 dv 1768 A Figura 1711 ilustra a interpretação da Equação 1768 Os exemplos 173 a 175 ilustram o uso do teorema de Parseval Figura 1711 Interpretação gráfica da Equação 1768 uFvu2 v 0 v1 2v2 2v1 v2 ExEMPLO 173 Uso do teorema de Parseval A corrente em um resistor de 40 V é i 20e2tut A Qual percentagem da energia total dissipada no resistor pode ser associada à faixa de frequências 0 v 23 rads Solução A energia total dissipada no resistor de 40 V é 16000 e4t 4 2 q 0 4000J W40V 40 q 0 400e4t dt Podemos verificar esse cálculo com o teorema de Parseval Circuitos elétricos 744 Book Nilsson 3indb 744 290116 1358 ExEMPLO 174 Aplicação do teorema de Parseval a um filtro passafaixa ideal A tensão de entrada de um filtro passafaixa ideal é vt 120e24tut V O filtro deixa passar todas as frequências que estão entre 24 e 48 rads sem atenuação e rejeita com pletamente todas as frequências fora dessa faixa de passagem a Faça um gráfico de Vv2 para a tensão de entrada do filtro b Faça um gráfico de Vov2 para a tensão de saída do filtro c Qual percentagem da energia total do sinal na entrada está disponível na saída Solução a A transformada de Fourier da tensão de entrada do filtro é Fv 20 2 jv Assim 0 Fv0 20 4 v2 e 8000 p a p 2 b 4000 J 16000 p a 1 2 tg 1v 2 2 q 0 b W40V 40 p q 0 400 4 v2 dv A energia associada à faixa de frequências 0 v 23 rads é 8000 p a p 3 b 8000 3 J 16000 p 1 2 tg1 v 2 2 23 0 W40V 40 p 23 0 400 4 v2 dv Dessa forma a percentagem da energia total associada a essa faixa de frequências é h 80003 4000 100 6667 Capítulo 17 A transformada de Fourier 745 Book Nilsson 3indb 745 290116 1358 Circuitos elétricos 120 Vio 344 jo Assim 14400 V Ol 6 wt A Figura 1712 mostra 0 grafico de V em fungao de o b Como 0 filtro passafaixa ideal rejeita todas as fre quéncias fora da faixa de passagem 0 grafico de Figura 1712 Vl em fungao de w para o Exemplo 174 Vw em fungao de w tem o aspecto apresentado Vw na Figura 1713 c A energia total disponivel na entrada do filtro é Z 1 14400 14400 1 wad ay Ag 7 Jo 5764 w T 24 24 0 d 0007 309 3 60 4020 0f 20 40 09 a 2 9 x A energia total dispontvel na safda do filtro é Figura 1713 VI em fungao de w para o Exemplo 174 Vow 1 14400 600 ow 25 Wo 5 do tg 1 ol 576 7 is 600 600 0 O tol toy Pe 5 7 tg 2 tg 1 7 4 w rads 60 40 20 0 20 40 60 6145 J A percentagem da energia de entrada disponivel na saida 6145 X 100 2048 1300 Ase EXENMIPLO 175 Aplicagao do teorema de Parseval a um filtro passabaixas O teorema de Parseval permite o cdlculo da energia disponi Figura 1714 Filtro RC passabaixas para vel na saida do filtro ainda que nao conhecamos a expressao no 0 Exemplo 175 dominio do tempo para v Suponha que a tensao de entrada 10 kO para o circuito do filtro RC passabaixas da Figura 1714 seja 4c 10 uF Vt 15euZ V Yi BM Yo a Qual percentagem da energia do sinal de entrada esta dispo nivel no sinal de saida b Qual percentagem da energia de safda esta associada a faixa de frequéncias 0 w 10 rads Solução a A energia do sinal de entrada é Wi q 0 15e5t2 dt 225 e10t 10 2 q 0 225 J A transformada de Fourier da tensão de saída é Vov VivHv em que Hv 1RC 1RC jv 10 10 jv Viv 15 5 jv Daí 0 Vov0 2 22500 25 v2100 v2 Vov 150 5 jv10 jv A energia do sinal de saída é Wo 1 p q 0 22500 25 v2100 v2 dv Podemos calcular facilmente a integral expandindo o integrando em uma soma de frações parciais 22500 25 v2100 v2 300 25 v2 300 100 v2 Então 300 p c 1 5 a p 2 b 1 10 a p 2 b d 15 J Wo 300 p e q 0 dv 25 v2 q 0 dv 100 v2 f Por consequência a energia disponível no sinal de saída representa 6667 da energia disponível no sinal de entrada isto é h 15 225100 6667 b A energia de saída associada à faixa de frequências 0 v 10 rads é Capítulo 17 A transformada de Fourier 747 Book Nilsson 3indb 747 290116 1359 1364 J 300 p a 1 5 tg 1 10 5 1 10 tg 1 10 10 b 30 p a 2p 284 p 4 b Wn o 300 p e 10 0 dv 25 v2 10 0 dv 100 v2 f Como a energia total do sinal de saída é 15 J a percentagem associada à faixa de frequências de 0 a 10 rads é 9097 Energia contida em um pulso retangular de tensão Concluímos nossa discussão sobre o teorema de Parseval calculando a energia associada a um pulso retangular de tensão Na Seção 171 determinamos que a transformada de Fourier do pulso de tensão é Vv Vmt sen vt2 vt2 1769 Para auxiliar nossa discussão redesenhamos o pulso de tensão e sua transformada de Fourier na Figura 1715a e b respectivamente Essas figuras mostram que à medida que o pulso de tensão t torna se menor a parte dominante do espectro de amplitude isto é o espectro de 2pt a 2pt espalhase por uma faixa mais ampla de frequências Esse resultado está de acordo com nossos comentários anteriores sobre a transformada operacional relacionada a mudanças de escala em outras palavras quando o tempo é compri mido a frequência dilatase e viceversa Para transmi tir um único pulso retangular com razoável fidelidade a largura de faixa do sistema deve ser no mínimo sufi ciente para abranger a parte dominante do espectro de amplitude Assim a frequência de corte deve ser no mínimo 2pt rads ou 1t Hz Podemos usar o teorema de Parseval para calcular a fração da energia total associada a vt que se encontra na faixa de frequências 0 v 2pt Pela Equação 1769 W 1 p 2pt 0 Vm 2 t2 sen2 vt2 vt22 dv 1770 Para calcular essa integral fazemos x vt 2 1771 observando que dx t 2 dv 1772 Figura 1715 Pulso retangular de tensão e sua transformada de Fourier a Pulso retangular de tensão b Transformada de Fourier de vt 0 vt Vm 2t2 t2 t a Vv Vm t 24p t 22p t 2p t 4p t b 0 v Circuitos elétricos 748 Book Nilsson 3indb 748 290116 1359 e que x p quando v 2pt 1773 Se fizermos as substituições dadas pelas equações 1771 a 1773 a Equação 1770 tornase W 2Vm 2 t p p 0 sen2 x x2 dx 1774 Podemos calcular a integral na Equação 1774 por partes Se fizermos u sen2x 1775 dv dx x2 1776 então du 2sen x cos x dx sen 2x dx 1777 e v 1 x 1778 Daí 0 p 0 sen 2x x dx p 0 sen2 x x2 dx sen2 x x 2 p 0 p 0 1 x sen 2x dx 1779 Substituindo a Equação 1779 na Equação 1774 obtemos W 4Vm 2 t p p 0 sen 2x 2x dx 1780 Para calcular a integral na Equação 1780 temos em primeiro lugar de colocála na forma de sen yy fazendo y 2x e observando que dy 2 dx e y 2p quando x p Assim a Equa ção 1780 tornase W 2Vm 2 t p 2p 0 sen y y dy 1781 O valor da integral na Equação 1781 pode ser encontrado em uma tabela de integrais de funções trigonométricas1 Seu valor é 141815 e portanto W 2Vm 2 t p 141815 1782 A energia total associada a vt pode ser calculada por integração no domínio do tempo ou pela Equação 1781 com o limite superior igual a infinito Em qualquer dos casos a energia total é Wt Vm 2 t 1783 A fração da energia total associada à faixa de frequências entre 0 e 2pt é 1 Abramowitz M e Stegun I Handbook of Mathematical Functions Nova York Dover 1965 p 244 Capítulo 17 A transformada de Fourier 749 Book Nilsson 3indb 749 290116 1359 Circuitos elétricos Ww 1 Ww 2V7141815 Vint 09028 1784 Assim aproximadamente 90 da energia associada a vt esta contida na faixa domi nante do espectro de amplitude PROBLEMAS PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Entender e saber usar o teorema de Parseval 178 A tens4o em um resistor de 50 2 é v 4teut V Qual percentagem da energia total dissipada no resistor pode ser associada a faixa de frequéncias V jo 0a V3 rads 6 Resposta 9423 179 Admita que o médulo da transformada de Fourier de vt varie como mostrado Essa tensao é aplicada a um resis w rads tor de 6 kQ Calcule a energia total fornecida ao resistor 20007 0 20007 Resposta 4 J NOTA tente resolver também o Problema 1740 apresentado no final do capitulo Perspectiva pratica Filtro de sinais digitais Para entender 0 efeito da transmissao de um sinal digital por uma linha telefonica considere um pulso simples que repre senta um valor digital de 1 usando 5 V conforme mostrado na Figura 1715 a com V5Ve71 us A transformada de Fourier desse pulso é mostrada na Figura 1715 6 em que a amplitude 7416 Oetetod cod ve ss igura 17 efeito da transmissao de um pulso de V7 Saat 0 primeiro ponto de passagem de valor positivo no eixo da ene eae frequéncia 22r7 628 Mrads 1 MHz banda limitada causando distorao do sinal Observe que o pulso digital que representa o valor 1 é idealmente de saida resultante no dominio do tempo a soma de um numero infinito de componentes de frequéncia Mas uma vt linha telefénica nao pode transmitir todos esses componentes de frequén cia Normalmente o telefone tem uma largura de banda de 10 MHz 0 que Vin significa que é capaz de transmitir apenas aqueles componentes de fre quéncia abaixo de 10 MHz Isso faz com que 0 pulso original seja distor cido quando recebido pelo computador na outra ponta da linha telefénica t como se pode ver na Figura 1716 72 0 72 Resumo A transformada de Fourier fornece uma descri ção no domínio da frequência de funções ape riódicas no domínio do tempo Dependendo da natureza do sinal no domínio do tempo uma de três abordagens é usada para determinar sua transformada de Fourier Se o sinal no domínio do tempo for um pulso bemcomportado de duração finita a inte gral que define a transformada de Fourier será usada Se a transformada unilateral de Laplace de ft existir e todos os polos de Fs estiverem na metade esquerda do plano s Fs pode ser usada para determinar Fv Se ft for uma constante uma função sinal uma função degrau ou uma função senoidal a transformada de Fourier será determinada por um processo limite Seção 172 Transformadas operacionais e funcionais de Fourier úteis à análise de circuitos são apresen tadas nas tabelas 171 e 172 Seções 176 e 177 A transformada de Fourier de um sinal de res posta yt é dada por Yv XvHv em que Xv é a transformada de Fourier do sinal de entrada xt e Hv é a função de trans ferência Hs avaliada em s jv Seção 177 A transformada de Fourier existe tanto para funções de tempo negativo quanto para funções de tempo positivo e assim é adequada a proble mas descritos em termos de eventos que come çam em t q Por outro lado a transformada unilateral de Laplace é adequada a problemas descritos em termos de condições iniciais e eventos que ocorrem para t 7 0 O quadrado do módulo da transformada de Fourier é uma medida da densidade de ener gia joules por hertz no domínio da frequência teorema de Parseval Desse modo a transfor mada de Fourier permitenos associar uma fra ção da energia total contida em ft a uma faixa específica de frequências Seção 178 Problemas Seções 171172 171 a Determine a transformada de Fourier da função na Figura P171 b Determine Fv quando v 0 c Faça um gráfico de Fv em função de v quando A 10 e t 01 Sugestão lembre se de que Fv é uma função par de v Figura P171 ft A t 0 t2 2t2 172 A transformada de Fourier de ft é mostrada na Figura P172 a Determine ft b Calcule f0 c Faça um gráfico de ft para 150 t 150 s quando A 5p e v0 100 rads Sugestão lembrese de que ft é par Figura P172 A 2jA v02 2v02 v Fv Capítulo 17 A transformada de Fourier 751 Book Nilsson 3indb 751 290116 1359 173 Use a integral de definição para calcular a transformada de Fourier das seguintes funções a f t A sen p 2 t 2 t 2 ft 0 em todos os outros instantes de tempo b 0 t t 2 f t 2A t t A t 2 t 0 f t 2A t t A ft 0 em todos os outros instantes de tempo Seções 173175 174 Deduza f5 sen v0t6 175 Determine a transformada de Fourier de cada uma das seguintes funções Em todas elas a é uma constante real positiva e q t q a ft teat b ft t3eat c ft eat cos v0t d ft eat sen v0t e ft dt t0 176 Se ft for uma função real de t mostre que a integral que define a transformada inversa reduzse a f t 1 2p q q Av cos vt Bv sen vt dv 177 Se ft for uma função real ímpar de t mos tre que a integral que define a transformada inversa reduzse a f t 1 2p q q Bv sen vt dv 178 Use a definição da transformada inversa Equa ção 179 para mostrar que f2152jv6 sgnt Sugestão veja o Problema 177 179 Determine f5 cos v0t6 usando a função de aproximação ft ePt cos v0t em que P é uma constante real positiva 1710 Mostre que se ft for uma função ímpar Av 0 Bv 2 q 0 f t sen vt dt 1711 Mostre que se ft for uma função par Av 2 q 0 f t cos vt dt Bv 0 Seção 176 1712 a Mostre que jvFv f5 df tdt6 em que Fv f5 f t6 Sugestão use a inte gral de definição e integre por partes b Qual é a restrição sobre ft para que o resultado do item a seja válido c Mostre que f5 dnf tdtn6 jvnFv em que Fv f5 f t6 1713 a Mostre que fb t qf xdx r Fv jv em que Fv f5 f x6 Sugestão use a integral de definição e integre por partes b Qual é a restrição sobre fx para que o resultado do item a seja válido c Se fx eaxux a transformada ope racional do item a pode ser usada Explique 1714 a Mostre que f5 f at6 1 aF av a b a 7 0 b Dado que fat eat para a 7 0 faça um gráfico de Fv f5 f at6 para a 05 10 e 20 Seus gráficos refletem o fato de que uma compressão no domínio do tempo corresponde a uma dilatação no domínio da frequência Circuitos elétricos 752 Book Nilsson 3indb 752 290116 1359 1715 Deduza cada uma das seguintes transforma das operacionais f5 f tcos v0t6 1 2Fv v0 1 2Fv v0 f5 ejv0t f t6 Fv v0 a f5 f t a6 ejva Fv b c 1716 Dado yt q q xlht l dl mostre que Yv f5 yt6 XvHv em que Xv f5 xt6 e Hv f5 ht6 Sugestão use a integral de definição para escrever f5 yt6 q qB q qxlht l dlRejvt dt Em seguida inverta a ordem da integração e então faça uma mudança de variáveis de integração isto é faça u t l 1717 Dada ft f1tf2t mostre que F 1uF 2v u du 12p q q Fv Sugestão em primeiro lugar use a integral de definição para expressar Fv como Fv q q f 1t f 2tejvt dt Em segundo lugar use a transformada inversa para escrever f 1t 1 2p q q F 1ue jvt du Em terceiro lugar substitua a expressão de f1t na integral de definição e então troque a ordem de integração 1718 a Mostre que jnB dnFv dvn R f5 tnf t6 b Use o resultado de a para calcular cada uma das seguintes transformadas de Fou rier considerando a 7 0 f5 te at6 f5 teat6 f5 te at ut6 1719 Suponha ft f1tf2t em que f1t cos v0t f2t 1 t2 6 t 6 t2 f2t 0 em todos os outros instantes de tempo a Use a convolução no domínio da frequên cia para determinar Fv b O que acontece a Fv à medida que a largura de f2t aumenta de modo que ft inclua um número cada vez maior de ciclos de f1t Seção 177 1720 a Use o método da transformada de Fourier para calcular iot no circuito da Figura P1720 se vg 60 sgnt V b Sua solução faz sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique Figura P1720 1 2 480 V vg 625 nF 24 kV 1 2 vo io 1721 Repita o Problema 1720 mas substitua iot por vot 1722 a Use o método da transformada de Fourier para calcular vot no circuito da Figura P1722 O valor inicial de vot é igual a zero e a tensão da fonte é 50ut V b Faça o gráfico de vot Figura P1722 2 H 400 V 1 2 vg 1 2 vo 1723 Repita o Problema 1722 se a tensão de entrada vg for alterada para 25 sgnt Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 17 A transformada de Fourier 753 Book Nilsson 3indb 753 290116 1359 1724 a Use a transformada de Fourier para cal cular io no circuito da Figura P1724 se ig 40 sgnt mA b Sua solução faz sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique Figura P1724 2 1 vot 1250 V ig iot 08 mF 1725 Repita o Problema 1724 mas substitua io por vo 1726 A fonte de tensão no circuito da Figura P1726 é dada pela expressão vg 8 sgnt V a Determine vot b Qual é o valor de vo0 c Qual é o valor de vo0 d Use a transformada de Laplace para cal cular vot para t 7 0 e A solução obtida no item d está de acordo com vot para t 7 0 no item a Figura P1726 1 2 100 V 100 mH vg 1 2 vo io 625 mF 1727 Repita o Problema 1726 mas substitua vot por iot 1728 a Use a transformada de Fourier para cal cular vo no circuito da Figura P1728 se ig for igual a 2e100t A b Determine vo0 c Determine vo0 d Use a transformada de Laplace para determinar vo para t 0 e A solução obtida no item d está de acordo com vo para t 7 0 do item a Figura P1728 500 V 1 2 vo 100 mF ig io 1729 a Use a transformada de Fourier para cal cular io no circuito da Figura P1728 se ig for igual a 2e100t A b Determine io0 c Determine io0 d Use o método da transformada de Laplace para calcular io para t 0 e A solução obtida no item d está de acordo com io para t 7 0 do item a 1730 Use o método da transformada de Fourier para calcular io no circuito da Figura P1730 se vg 300 cos 5000t V Figura P1730 1 2 25 V 100 V io vg 10 mH 800 nF 1731 a Use o método da transformada de Fourier para calcular io no circuito da Figura P1731 se vg 125 cos 40000t V b Verifique a resposta obtida em a deter minando a expressão de regime perma nente para io usando a análise fasorial Figura P1731 1 2 vg 5 mH 20 mH 120 V io 1732 a Use o método da transformada de Fourier para calcular vo no circuito mostrado na Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Circuitos elétricos 754 Book Nilsson 3indb 754 290116 1359 Figura P1732 A fonte de tensão gera a tensão vg 45e500t V b Calcule vo0 vo0 e voq c Determine iL0 iL0 vC0 e vC0 d Os resultados do item b fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique Figura P1732 1 2 vo vC 4 H 800 V iL vg 1 mF 1 2 1 2 1733 A fonte de tensão no circuito da Figura P1733 está gerando o sinal vg 25 sgnt 25 150e100tut V a Calcule vo0 e vo0 b Calcule io0 e io0 c Calcule vo Figura P1733 1 2 25 V vg 02 mF io vo 1 2 1734 a Use a transformada de Fourier para cal cular vo no circuito da Figura P1734 quando vg 36e4t ut 36e4t ut V b Determine vo0 c Determine vo0 Figura P1734 1 2 10 V 625 mF vg vo 1 2 1 H 1735 a Use o método da transformada de Fourier para calcular vo no circuito da Figura P1735 quando ig 18e10t ut 18e10t ut A b Determine vo0 c Determine vo0 d Os resultados dos itens b e c fazem sentido em termos do comportamento conhecido do circuito Explique Figura P1735 1 H ig 10 mF 25 V 1 2 vo 1736 Quando a tensão de entrada para o sistema da Figura P1736 é 20ut V a tensão de saída é vo 40 60e100t 100e300tut V Qual é a tensão de saída se vi 20 sgnt V Figura P1736 ht vit Tensão de entrada vot Tensão de saída Seção 178 1737 Temse que Fv evuv evuv a Determine ft b Determine a energia associada a ft por integração no domínio do tempo c Repita o item b usando integração no domínio da frequência d Determine o valor de v1 para que ft tenha 90 da energia na faixa de frequên cias 0 v v1 1738 O circuito da Figura P1738 é alimentado pela corrente ig 12e10tut A Pspice Multisim Pspice Multisim Pspice Multisim Capítulo 17 A transformada de Fourier 755 Book Nilsson 3indb 755 290116 1359 Circuitos elétricos Qual percentagem da energia total da cor 1741 Oespectro de amplitude da tensao de entrada rente de saida i encontrase na faixa de fre para o filtro RC passaaltas na Figura P1741 é quéncias 0 w 100 rads 200 Figura P1738 Viw Tol 100 rads 200 rads in V w 0 em todos os outros lugares ig 1 250 500 mH a Faga um grafico de Vw para 300 w 300 rads b Faga um grafico de Vw para 300 1739 O sinal da corrente de entrada no circuito da w 300 rads Figura P1739 é c Calcule a energia no sinal de entrada do i 102 ut mA t 0 filtro Qual percentagem da energia total do sinal d Calcule a energia no sinal de saida do de saida encontrase na faixa de frequéncias filtro 0a 100 rads Figura P1741 Figura P1739 05 uF ig 2kO io 25 WF v 20k0 Ug 1740 A tensao de entrada no circuito da Figura 1742 A tensdo de entrada para 0 circuito do filtro P1740 v 30e Hy RC passaaltas na Figura P1742 é a Determine v2 vt Ae ut b Faca um grafico de Vo para5 w Seja a a frequéncia de corte do filtro tal que 5 rads a1RC c Desenhe um grafico de Vw para S a Qual percentagem da energia do sinal na w 5rads saida do filtro é associada a faixa de fre é i q d Calcule a energia total de v quéncias 0 Jol ase aa e Calcule a energia total de v b Repita o item a dado que a V3a f Qual percentagem da energia de v Repita o item a dado que a al V3 encontrase na faixa de frequéncias 0 Figura P1742 o 2 rads g Repita f para v Cc v R Uo Figura P1740 200 e Ug 800 Vo 125 mF SUMÁRIO DO CAPÍTULO 181 Equações terminais 182 Parâmetros do quadripolo 183 Análise de quadripolos com carga em seus terminais 184 Interconexão de quadripolos Quadripolos Capítulo OBJETIVOS DO CAPÍTULO 1 Saber calcular qualquer conjunto de parâmetros do quadripolo por um dos seguintes métodos Análise de circuitos Medições feitas no quadripolo Conversão a partir de outro conjunto de parâmetros do quadripolo utilizando a Tabela 181 2 Saber analisar um quadripolo com carga em seus terminais determinando as correntes tensões impedâncias e relações de interesse usando a Tabela 182 3 Saber analisar uma interligação em cascata de quadripolos Até aqui quase sempre analisamos o comportamento de um circuito em um par específi co de terminais Lembrese de que apresentamos os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton exclusivamente para simplifi car a análise de circuitos do ponto de vista de um par de terminais Para analisar alguns sistemas elétricos também é conveniente focalizar dois pares de terminais Isso é útil em especial quando um sinal é fornecido a um par de terminais e após ser processado pelo sistema é extraído em um segundo par de terminais Esses pares de terminais são também denominados portas do sistema pois representam os pontos em que sinais são fornecidos ou extraí dos Neste capítulo limitaremos a discussão a circuitos que tenham uma única porta de entrada e uma única porta de saída A Figura 181 mostra a estrutura básica para o circuito de duas portas A utilização dessa estrutura está sujeita a várias restrições Em primeiro lugar não pode haver nenhuma energia armazenada no circuito Em segundo não pode haver fontes independentes no circuito somente fontes dependentes são permitidas Terceiro a corrente que entra por um dos terminais de uma porta deve ser igual à corrente que sai no outro terminal isto é i1 i r1 e i2 i r2 Em quarto lugar todas as ligações externas devem ser feitas entre um e outro terminal de cada porta 18 Book Nilsson 3indb 757 290116 1359 Circuitos elétricos nao sao permitidas ligagdes entre portas isto é entre os terminais ae c ae d be cou be d Essas restricdes simplesmente limitam o numero de problemas de circuito que podem ser analisados por meio de quadripolos O principio fundamental subjacente a modelagem de quadripolos 6 que somente as variaveis terminais i U Uz a0 de interesse Nao nos interessa calcular as correntes e tensdes dentro do circuito Ja tratamos do comportamento terminal na andlise de circuitos amplificadores operacionais Neste capitulo formalizamos aquela abordagem apresentando os parametros dos quadripolos Perspectiva pratica Caracterizando um circuito desconhecido Até aqui para criar um modelo de um circuito sempre precisamos saber que tipos de componentes fariam parte do circuito seus valores as interligagdes entre eles Mas e se for 0 caso de se modelar um circuito que esta dentro de uma caixa preta onde os componentes seus valores e suas interconexdes estao ocultos Neste capitulo vamos descobrir que podemos realizar dois experimentos simples nessa caixa preta para criar um modelo que consiste em apenas quatro valores o modelo de quadripolo para o circuito Podemos entao usar esse modelo para pre ver 0 comportamento do circuito quando conectarmos uma fonte de alimentacao a uma das portas e uma carga a outra porta Nesse exemplo vamos supor que encontramos um circuito fechado em uma caixa com dois fios saindo de cada lado como mostra a figura a seguir A caixa esta identificada como amplificador e queremos determinar se é ou nao seguro usar esse amplificador para conectar um tocador de musica modelado como uma fonte de 2 V a um altofalante modelado como um resistor 32 com uma poténcia de 100 W 4 O 43 tal or amplificador 181 Equacoes terminais Quando tomamos um circuito como um quadripolo estamos interessados em relacionar a corrente e a tensao em um par de terminais com a corrente e a tensdo no outro par A Figura 181 mostra as polaridades de referéncia das tensGes terminais e os sentidos de referéncia das correntes terminais As referéncias em cada porta sao mutua Figura 181 Estrutura basica de um quadripolo mente simétricas isto a corrente entra no terminal superior cuja tensdo é mais alta Essa simetria facilita a generalizacao a 27 da andlise de quadripolos e é a razdo de sua utilizac4o univer a Cc 4 4 sal na literatura Porta v1 Ciranttio U joria A descrigéo mais geral do quadripolo é realizada no domi ome eesanee nio da frequéncia Para quadripolos puramente resistivos a ana i b d 5 lise reduzse a de circuitos resistivos Problemas de regime per manente senoidal podem ser resolvidos substituindose s por jw Capitulo 18 e Quadripolos ou por andlise direta no dominio da frequéncia Aqui escrevemos Figura 182 Estrutura basica de um quadripolo no todas as equag6es no dominio da frequéncia as solucées de cir dominio da frequéncia cuitos resistivos e 0 regime permanente senoidal tornamse casos L L especiais A Figura 182 mostra a estrutura basica de um quadripolo z 7 em termos das variaveis I V 1 e Vno dominio da frequéncia Circuito D Lo Vv no dominio V2 essas quatro varidveis terminais somente duas sao inde ne Oo da frequéncia pendentes Assim para qualquer circuito uma vez especifica das duas das variaveis podemos determinar as outras duas Por exemplo conhecendo V e V 0 circuito dentro do retangulo podemos determinar J e Assim podemos descrever um quadripolo por meio de apenas duas equag6es simultaneas Todavia ha seis modos de combi nar as quatro variaveis Vis 2h Zh Vy 2541 215 181 LVuaVi t iV LYyVi t nV3 182 Vi ayVy yl T 45V appl 183 Vi byV Bil TL bY byl 184 Vi Hhyl hyV Lhy IL hyV 185 L8V 8i2b V5 BV Bold 186 Esses seis conjuntos de equagdes também podem ser considerados trés pares de relagdes mutuamente inversas O primeiro conjunto equagdes 181 expressa as tensdes de entrada e saida em fungao das correntes de entrada e saida O segundo conjunto equagoes 182 expressa a relagdo inversa isto 6 as correntes de entrada e saida em fungao das tens6es de entrada e saida As equagoes 183 e 184 sao relagOes inversas assim como as equacoes 185 e 186 Os coeficientes das varidveis corrente eou tensao do lado direito das equagoes 181 a 186 sao denominados parametros do quadripolo Assim quando usamos as equagoes 181 refe rimonos aos parametros z do quadripolo De modo semelhante referimonos aos parametros y aos parametros a aos parametros b aos pardametros h e aos parametros g do quadripolo 182 Parametros do quadripolo Podemos determinar os parametros de qualquer circuito por calculo ou medigéo Ambos sao determinados diretamente das equag6es Por exemplo suponha que o problema seja deter minar os parametros z Pelas equagoes 181 Circuitos elétricos vi m7 187 Ti n0 vi 412 4 Q 188 1 10 Y 21 4 Q 189 Ti n0 V3 zy A Q 1810 1 10 As equacées 187 a 1810 mostram que os quatro parametros z podem ser descritos da seguinte maneira Z aimpedancia vista da porta 1 quando a porta 2 esta em aberto Z uma impedancia de transferéncia E arazio entre a tensdo na porta 1 e a corrente na porta 2 quando a porta 1 esta em aberto Z uma impedancia de transferéncia E arazdo entre a tensdo na porta 2 e a corrente na porta 1 quando a porta 2 esta em aberto Z5 a impedancia vista da porta 2 quando a porta 1 esta em aberto Portanto os parametros de impedancia podem ser calculados ou medidos deixandose a porta 2 em aberto e determinandose as razdes VI e VI e entao deixando a porta 1 em aberto e determinandose as razdes VI e VI O Exemplo 181 ilustra a determinagao dos pardmetros z para um quadripolo resistivo EXEMPLO 181 Determinacao dos parametros z de um quadripolo Determine os pardmetros z para o quadripolo da Figura 183 Solugao Como o quadripolo puramente resistivo ele ser4 puramente Figura 183 Quadripolo para o Exemplo 181 resistivo também no dominio da frequéncia Com a porta 2 em i 5G L aberto isto é0a resisténcia vista da porta 1 o resistor de 20 0 28 em paralelo com a combinacéo em série dos resistores de 5 0 e 15 Por conseguinte vi 200 150 V2 Vi 2020 Zu 100 40 Quando J é igual a zero V vi Vy 15 075V 245450 e assim V 075V a 1 750 Ln0 V10 Quando I1 é igual a zero a resistência vista da porta 2 é o resistor de 15 V em paralelo com a combi nação em série dos resistores de 5 V e 20 V Por conseguinte z22 V2 I2 2 I 10 1525 40 9375 V Quando a porta 1 está em aberto I1 é igual a zero e a tensão V1 é V1 V2 5 2020 08V2 Assim a corrente na porta 2 é I2 V2 9375 Portanto z12 V1 I2 2 I 10 08V2 V29375 75 V As equações 187 a 1810 e o Exemplo 181 mostram por que os parâmetros nas equações 181 são denominados parâmetros z Cada parâmetro é a razão entre uma tensão e uma cor rente e é por consequência uma impedância com dimensão de ohms Usamos o mesmo processo para determinar os outros parâmetros que são calculados ou medidos Os parâmetros são obtidos deixandose uma porta em aberto ou em curtocircuito Além disso um parâmetro é uma impedância uma admitância ou uma grandeza adimensional A grandeza adimensional é a razão entre duas tensões ou duas correntes As equações 1811 a 1815 resumem essas observações y22 I2 V2 2 V10 S y21 I2 V1 2 V20 S y12 I1 V2 2 V10 S y11 I1 V1 2 V20 S 1811 a22 I1 I2 2 V20 a21 I1 V2 2 I 20 S a12 V1 I2 2 V20 V a11 V1 V2 2 I 20 1812 b22 I2 I1 2 V10 b21 I2 V1 2 I 10 S b12 V2 I1 2 V10 V b11 V2 V1 2 I 10 1813 Capítulo 18 Quadripolos 761 Book Nilsson 3indb 761 290116 1359 h22 I2 V2 2 I 10 S h21 I2 I1 2 V20 h12 V1 V2 2 I 10 h11 V1 I1 2 V20 V 1814 g22 V2 I2 2 V10 V g21 V2 V1 2 I 20 g12 I1 I2 2 V10 g11 I1 V1 2 I 20 S 1815 Os parâmetros dos quadripolos também podem ser classificados de acordo com as rela ções mutuamente inversas Os parâmetros de impedância e admitância são agrupados em parâmetros de imitância Esse termo indica uma grandeza que é ou uma impedância ou uma admitância Os parâmetros a e b são denominados parâmetros de transmissão porque descre vem a tensão e a corrente de um lado do quadripolo em termos da tensão e da corrente do outro lado Os parâmetros de imitância e transmissão são as escolhas naturais para relacionar as variáveis terminais Em outras palavras eles relacionam variáveis tensão com variáveis cor rente ou variáveis de entrada com variáveis de saída Os parâmetros h e g relacionam variáveis de entrada com variáveis de saída e viceversa isto é uma tensão de entrada e uma corrente de saída com uma tensão de saída e uma corrente de entrada Daí serem chamados de parâ metros híbridos O Exemplo 182 mostra como um conjunto de medições realizadas nos terminais de um quadripolo pode ser usado para calcular seus parâmetros a ExEMPLO 182 Determinação dos parâmetros a de um quadripolo por meio de medições As medições a seguir referemse a um quadripolo que opera em regime permanente senoidal Com a porta 2 em aberto uma tensão de 150 cos 4000t V é aplicada à porta 1 A corrente na porta 1 é 25 cos 4000t 45 A e a tensão na porta 2 é 100 cos 4000t 15 V Com a porta 2 em curtocircuito uma tensão de 30 cos 4000t V é aplicada à entrada A corrente na porta 1 é 15 cos 4000t 30 A e a corrente na porta 2 é 025 cos 4000t 150 A Determine os parâmetros a que descrevem o com portamento do quadripolo no regime permanente senoidal Solução Do primeiro conjunto de medições temse V2 100 l15 V I2 0 A V1 150 l0 V I1 25l 45 A Pelas equações 1812 a21 I1 V2 2 I 20 25l 45 100l15 025l 60 S a11 V1 V2 2 I 20 150l0 100l15 15l 15 Circuitos elétricos 762 Book Nilsson 3indb 762 290116 1359 a21 I1 V2 2 I 20 25l 45 100l15 025l 60 S a11 V1 V2 2 I 20 150l0 100l15 15l 15 Do segundo conjunto de medições temse V2 0 V I2 025 l150 A V1 30l0 V I1 15 l30A Assim a21 I1 I2 2 V20 15l30 025l150 6l60 a12 V1 I2 2 V20 30l0 025l150 120l30 V Objetivo 1 Saber calcular qualquer conjunto de parâmetros do quadripolo 181 Determine os parâmetros y para o quadripolo da Figura 183 Resposta y11 025 S y12 y21 02 S y22 4 15 S 182 Determine os parâmetros g e h para o quadripolo da Figura 183 Resposta g11 01 S g12 075 g21 075 g22 375 V h11 4 V h12 08 h21 08 h22 01067 S 183 As seguintes medições foram realizadas em um quadripolo resistivo Com 50 mV aplicados à porta 1 e com a porta 2 em aberto a corrente de entrada é 5 mA e a tensão de saída é 200 mV Com a porta 1 em curtocircuito e 10 mV aplicados à porta 2 a corrente na porta 1 é 2 mA e a corrente na porta 2 é 05 mA Determine os parâmetros g do quadripolo Resposta g11 01 mS g12 4 g21 4 g22 20 kV NOTA tente resolver também os problemas 182 184 e 1810 apresentados no final do capítulo PROBLEMAS PARA AVALIAÇÃO Relações entre os parâmetros do quadripolo Visto que os seis conjuntos de equações envolvem as mesmas variáveis os parâmetros associados a qualquer par de equações devem estar relacionados com os parâmetros de todos os outros pares Em outras palavras se conhecermos um conjunto de parâmetros podere mos determinar todos os outros conjuntos Em razão da extensão das manipulações algébricas envolvidas nessas deduções limitamonos a apresentar os resultados na Tabela 181 Capítulo 18 Quadripolos 763 Book Nilsson 3indb 763 290116 1359 Tabela 181 Tabela de conversão de parâmetros Dg g11g22 g12g21 Dh h11h22 h12h21 Db b11b22 b12b21 Da a11a22 a12a21 Dy y11 y22 y12 y21 Dz z11z22 z12z21 g22 Dz z11 1 y22 a12 a11 b12 b22 h11 Dh g21 z21 z11 y21 y22 1 a11 Db b22 h21 Dh g12 z12 z11 y12 y22 Da a11 1 b22 h12 Dh g11 1 z11 Dy y22 a21 a11 b21 b22 h22 Dh h22 1 z22 Dy y11 a21 a22 b21 b11 g11 Dg h21 z21 z22 y21 y11 1 a22 Db b11 g21 Dg h12 z12 z22 y12 y11 Da a22 1 b11 g12 Dg h11 Dz z22 1 y11 a12 a22 b12 b11 g22 Dg b22 z11 z12 y22 y12 a11 Da Dh h12 1 g12 b21 1 z12 Dy y12 a21 Da h22 h12 g11 g12 b12 Dz z12 1 y12 a12 Da h11 h12 g22 g12 b11 z22 z12 y11 y12 a22 Da 1 h12 Dg g12 a22 z22 z21 y11 y21 b11 Db 1 h21 Dg g21 a21 1 z21 Dy y21 b21 Db h22 h21 g11 g21 a12 Dz z21 1 y21 b12 Db h11 h21 g22 g21 a11 z11 z21 y22 y21 b22 Db Dh h21 1 g21 y22 z11 Dz a11 a12 b22 b12 Dh h11 1 g22 y21 z21 Dz 1 a12 Db b12 h21 h11 g21 g22 y12 z12 Dz Da a12 1 b12 h12 h11 g12 g22 y11 z22 Dz a22 a12 b11 b12 1 h11 Dg g22 z22 y11 Dy a22 a21 b11 b21 1 h22 Dg g11 z21 y21 Dy 1 a21 Db b21 h21 h22 g21 g11 z12 y12 Dy Da a21 1 b21 h12 h22 g12 g11 z11 y22 Dy a11 a21 b22 b21 Dh h22 1 g11 Embora não tenhamos deduzido todas as relações apresentadas na Tabela 181 deduzi mos as que relacionam os parâmetros z e y e os parâmetros z e a Essas deduções ilustram o processo geral de determinação da relação entre um conjunto de parâmetros e o outro Para determinar os parâmetros z em função dos parâmetros y em primeiro lugar determinamos V1 e V2 usando as equações 182 Em seguida comparamos os coeficientes de I1 e I2 nas expres sões resultantes com os coeficientes de I1 e I2 nas equações 181 Pelas equações 182 V2 2 y11 I1 y21 I2 2 Dy y21 Dy I1 y11 Dy I2 V1 2 I1 y12 I2 y22 2 2 y11 y12 y21 y22 2 y22 Dy I1 y12 Dy I2 1816 Circuitos elétricos 764 Book Nilsson 3indb 764 290116 1359 V2 2 y11 I1 y21 I2 2 Dy y21 Dy I1 y11 Dy I2 V1 2 I1 y12 I2 y22 2 2 y11 y12 y21 y22 2 y22 Dy I1 y12 Dy I2 1817 Comparando as equações 1816 e 1817 com as equações 181 vemos que z22 y11 Dy z21 y21 Dy z12 y12 Dy z11 y22 Dy 1818 1819 1820 1821 Para determinar os parâmetros z em função dos parâmetros a rearranjamos as equações 183 na forma das equações 181 e então comparamos os coeficientes Pela segunda equação das equações 183 V2 1 a21 I1 a22 a21 I2 1822 Assim substituindo a Equação 1822 na primeira equação das equações 183 obtemos V1 a11 a21 I1 a a11a22 a21 a12b I2 1823 Pela Equação 1823 z12 Da a21 z11 a11 a21 1824 1825 Pela Equação 1822 z22 a22 a21 z21 1 a21 1826 1827 O Exemplo 183 ilustra a utilidade da tabela de conversão de parâmetros ExEMPLO 183 Determinação dos parâmetros h por medições e pela Tabela 181 Dois conjuntos de medições são realizados em um quadripolo resistivo O primeiro é realizado com a porta 2 em aberto e o segundo com a porta 2 em curtocircuito Os resultados são os seguintes Porta 2 em aberto Porta 2 em curtocircuito V1 10 mV V1 24 mV I1 10 mA I1 20 mA V2 40 V I2 1 mA Determine os parâmetros h do quadripolo Capítulo 18 Quadripolos 765 Book Nilsson 3indb 765 290116 1359 Solução Podemos determinar h11 e h21 diretamente do teste de curtocircuito 103 20 106 50 h21 I2 I1 2 V20 24 103 20 106 12 kV h11 V1 I1 2 V20 Os parâmetros h12 e h22 não podem ser obtidos diretamente do teste de circuito aberto Contudo uma verificação das equações 1871815 indica que os quatro parâmetros a podem ser deduzidos dos dados de medição Por consequência h12 e h22 podem ser obtidos pela tabela de conversão Especificamente h22 a21 a22 h12 Da a22 Os parâmetros a são a22 I1 I2 2 V20 20 106 103 20 103 a12 V1 I2 2 V20 24 103 103 24 V a21 I1 V2 2 I 20 10 106 40 025 106 S a11 V1 V2 2 I 20 10 103 40 025 103 O valor numérico de Da é 5 106 6 106 106 Da a11a22 a12a21 Assim 025 106 20 103 125 mS h22 a21 a22 106 20 103 5 105 h12 Da a22 Circuitos elétricos 766 Book Nilsson 3indb 766 290116 1359 025 106 20 103 125 mS h22 a21 a22 106 20 103 5 105 h12 Da a22 Objetivo 1 Saber calcular qualquer conjunto de parâmetros do quadripolo 184 As seguintes medições foram realizadas em um quadripolo resistivo com a porta 1 em aberto V2 15 V V1 10 V e I2 30 A com a porta 1em curtocircuito V2 10 V I2 4 A e I1 5 A Calcule os parâ metros z Resposta z11 415 V z12 13 V z21 16 V z22 05 V NOTA tente resolver também o Problema 1813 apresentado no final do capítulo PROBLEMA PARA AVALIAÇÃO Quadripolos recíprocos Um quadripolo é recíproco quando existem as seguintes relações entre os seus parâmetros z12 z21 1828 y12 y21 1829 a11a22 a12a21 Da 1 1830 b11b22 b12b21 Db 1 1831 h12 h21 1832 g12 g21 1833 Um quadripolo é recíproco se a permuta entre uma fonte ideal de tensão em um par de terminais e um amperímetro ideal em um terminal do outro par produzir a mesma leitura no amperímetro Examine por exemplo o quadripolo resistivo da Figura 184 Quando uma fonte de tensão de 15 V é aplicada aos terminais ad ela produz uma corrente de 175 A no amperí metro dos terminais cd A corrente no amperímetro é determinada facilmente uma vez conhe cida a tensão Vbd Assim Vbd 60 Vbd 15 30 Vbd 20 0 1834 e Vbd 5 V Portanto I 5 20 15 10 175 A 1835 Capítulo 18 Quadripolos 767 Book Nilsson 3indb 767 290116 1359 Circuitos elétricos Figura 184 Quadripolo reciproco Figura 185 Quadripolo da Figura 184 com a permuta entre a fonte de tensao e o amperimetro 100 100 a Cc a Cc 1I5V 60 0 I 7 Amperimetro Amperimetro 1 1I5V d d d d Se a fonte de tens4o e 0 amperimetro forem permutados o amperimetro ainda indicara 175 A o que verificamos analisando o circuito da Figura 185 iA i Voa 15 abd Sbd 4 Zbd 1836 60 30 20 Pela Equacao 1836 V 75 VA corrente I igual a 7 15 Ing 2 LISA 1837 30 10 Um quadripolo também sera reciproco se a permuta de uma fonte ideal de corrente em um par de terminais por um voltimetro ideal no outro par produzir a mesma leitura no volti metro Para um quadripolo reciproco sAo necessarios apenas trés calculos ou medigées para determinar seu conjunto de parametros Um quadripolo recfproco sera simétrico se suas portas puderem ser intercambiadas sem que isso altere os valores das correntes e tenses terminais A Figura 186 mostra quatro exem plos de quadripolos simétricos Em tais quadripolos existem as seguintes relagées adicionais entre seus parametros Figura 186 Quatro exemplos de quadripolos simétricos a Circuito T simétrico b Circuito ar simétrico c Circuito T simétrico com ponte d Treliga simétrica fy l f I Ft a b f Lb elo mle OV Vo SN c d Capitulo 18 e Quadripolos 241 Za 1838 Yi Y22 1839 411 4y9 1840 b 1841 hy hy hyyhy Ah1 1842 811822 81821 A 1 1843 No caso de um quadripolo simétrico reciproco sao necessarios somente dois célculos ou duas medig6es para determinar todos os seus parametros PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 1 Saber calcular qualquer conjunto de parametros do quadripolo 185 As seguintes medigées foram realizadas em um quadripolo resistivo simétrico e reciproco com a porta 2 em aberto V 95 V e I 5 A com a porta 2 em curtocircuito V 1152 V e I 272 A Calcule os parametros z do quadripolo Resposta Z Zy 19 O 21 Z4 17 NOTA tente resolver também o Problema 1814 apresentado no final do capitulo 183 Analise de quadripolos com carga em seus terminais Em aplicagoes tipicas de quadripolos 0 circuito é ligado Figura 187 Quadripolo com cargas ligadas em seus na porta 1 e carregado na porta 2 A Figura 187 mostra uma terminais dessas situacdes Aqui Z representa a impedancia interna L L da fonte V a tensdo interna da fonte e Z a impedancia da z carga A analise desse circuito consiste em expressar as cor Modelo de rentes e tensdes terminais em fungdo dos parametros das ter V quadripolo V minagoes VZ Z commas Seis caracteristicas do quadripolo sob carga definem seu comportamento terminal e aimpedancia ZVI0u a admitancia Y1V e acorrente de saida J e atensao e a impedancia de Thévenin V Z vistas do ponto de vista da porta 2 e oganho de corrente 1 e oganho de tensao VV e oganho de tensAo ViIV Relacao entre as seis caracteristicas e os parametros z Para ilustrar como essas seis caracteristicas sao calculadas deduzimos express6es usando os parametros z para modelar o quadripolo A Tabela 182 mostra as expresses que envolvem os parametros yabheg Tabela 182 Equações de quadripolos com cargas em seus terminais Parâmetros z Parâmetros y V2 Vg y21ZL y12 y21 Zg ZL 1 y11Zg1 y22ZL V2 Vg z21ZL z11 Zgz22 ZL z12z21 V2 V1 y21ZL 1 y22ZL V2 V1 z21ZL z11ZL Dz I2 I1 y21 y11 DyZL I2 I1 z21 z22 ZL ZTh 1 y11Zg y22 DyZg ZTh z22 z12z21 z11 Zg VTh y21Vg y22 DyZg VTh z21 z11 Zg Vg I2 y21Vg 1 y22 ZL y11Zg DyZg ZL I2 z21Vg z11 Zgz22 ZL z12z21 Yent y11 y12 y21ZL 1 y22 ZL Zent z11 z12z21 z22 ZL Parâmetros a Parâmetros b V2 Vg DbZL b12 b11Zg b22ZL b21Zg ZL V2 Vg ZL a11 a21ZgZL a12 a22Zg V2 V1 DbZL b12 b22ZL V2 V1 ZL a11ZL a12 I2 I1 Db b11 b21ZL I2 I1 1 a21ZL a22 ZTh b11Zg b12 b21Zg b22 ZTh a12 a22Zg a11 a21Zg VTh VgDb b22 b21Zg VTh Vg a11 a21Zg I2 VgDb b11Zg b21Zg ZL b22 ZL b12 I2 Vg a11ZL a12 a21Zg ZL a22 Zg Zent b22ZL b12 b21ZL b11 Zent a11ZL a12 a21ZL a22 Parâmetros h Parâmetros g V2 Vg g21ZL 1 g11Zgg22 ZL g12 g21Zg V2 Vg h21ZL h11 Zg1 h22ZL h12h21ZL V2 V1 g21ZL g22 ZL V2 V1 h21ZL DhZL h11 I2 I1 g21 g11ZL Dg I2 I1 h21 1 h22ZL ZTh g22 g12g21Zg 1 g11Zg ZTh Zg h11 h22Zg Dh VTh g21Vg 1 g11Zg VTh h21Vg h22 Zg Dh I2 g21Vg 1 g11Zgg22 ZL g12 g21Zg I2 h21Vg 1 h22ZLh11 Zg h12h21ZL Yent g11 g12 g21 g22 ZL Zent h11 h12h21ZL 1 h22ZL Circuitos elétricos 770 Book Nilsson 3indb 770 290116 1359 A dedução de qualquer dessas expressões envolve a manipulação algébrica das equações do quadripolo juntamente com as duas equações de restrição impostas pelas terminações Se usarmos as equações dos parâmetros z para o circuito da Figura 187 temos V1 z11I1 z12I2 1844 V2 z21I1 z22I2 1845 V1 Vg I1Zg 1846 V2 I2ZL 1847 As equações 1846 e 1847 descrevem as restrições impostas às terminações Para determinar a impedância da porta 1 isto é Zent V1I1 procedemos da seguinte forma na Equação 1845 substituímos V2 por I2ZL e deduzimos a expressão resultante para I2 I2 z21I1 ZL z22 1848 Então substituímos essa equação na Equação 1844 e calculamos Zent Zent z11 z12z21 z22 ZL 1849 Para determinar a corrente terminal I2 em primeiro lugar calculamos I1 pela Equação 1844 depois de substituirmos V1 pelo lado direito da Equação 1846 O resultado é I1 Vg z12I2 z11 Zg 1850 Agora substituímos esse valor de I1 na Equação 1848 e calculamos I2 I2 z21Vg z11 Zgz22 ZL z12z21 1851 A tensão de Thévenin vista dos terminais da porta 2 é igual a V2 quando I2 0 Com I2 0 e pelas equações 1844 e 1845 temos V2I 20 z21I1 z21 V1 z11 1852 Contudo V1 Vg I1Zg e I1 VgZg z11 assim substituindo esses resultados na Equa ção 1852 temos o valor de circuito aberto de V2 V2I 20 VTh z21 Zg z11 Vg 1853 A impedância de Thévenin ou de saída é a razão V2I2 quando Vg é substituída por um curtocircuito Nesse caso a Equação 1846 reduzse a V1 I1Zg 1854 Substituindo a Equação 1854 na Equação 1844 obtemos I1 z12I2 z11 Zg 1855 Capítulo 18 Quadripolos 771 Book Nilsson 3indb 771 290116 1359 Agora substituímos o valor de I1 da Equação 1855 na Equação 1845 o que dá como resultado V2 I2 2 Vg 0 ZTh z22 z12z21 z11 Zg 1856 O ganho de corrente I2I1 pode ser calculado diretamente da Equação 1848 I2 I1 z21 ZL z22 1857 Para deduzir a expressão para o ganho de tensão V2V1 começamos substituindo I2 na Equação 1845 por seu valor dado pela Equação 1847 assim V2 z21I1 z22 a V2 ZL b 1858 Em seguida calculamos I1 pela Equação 1844 em função de V1 e V2 z11I1 V1 z12 a V2 ZL b ou I1 V1 z11 z12V2 z11ZL 1859 Agora substituímos I1 na Equação 1858 pela Equação 1859 e calculamos a expressão resultante para V2V1 z21ZL z11ZL Dz V2 V1 z21ZL z11ZL z11z22 z12z21 1860 Para calcular o ganho de tensão V2Vg primeiramente combinamos as equações 1844 1846 e 1847 para determinar I1 em função de V2 e Vg I1 z12V2 ZLz11 Zg Vg z11 Zg 1861 Agora usamos as equações 1861 e 1847 em conjunto com a Equação 1845 para deduzir uma expressão que envolva apenas V2 e Vg isto é V2 z21z12V2 ZLz11 Zg z21Vg z11 Zg z22 ZL V2 1862 que podemos manipular para obter o ganho de tensão desejado V2 Vg z21ZL z11 Zgz22 ZL z12z21 1863 Os primeiros dados na Tabela 182 resumem as expressões para esses seis atributos do circuito quadripolo com carga em seus terminais Além disso a lista apresenta as expressões correspondentes para os parâmetros y a b h e g O Exemplo 184 ilustra a utilidade das relações apresentadas na Tabela 182 Circuitos elétricos 772 Book Nilsson 3indb 772 290116 1359 Capitulo 18 e Quadripolos EXEMPLO 184 Analise de um quadripolo com carga em seus terminais O quadripolo da Figura 188 descrito em ter Figura 188 Circuito para o Exemplo 184 mos de seus paradmetros b cujos valores sao I I 35000 a b 20 b 3000 boy 2 mS by a 02 000 C Pl V2 oko a Determine a tensao fasorial V b Determine a poténcia média fornecida a carga de 5 kQ c Determine a poténcia média fornecida aos terminais de entrada d Determine a impedancia da carga para maxima transferéncia de poténcia média e Determine a maxima poténcia média fornecida a carga do item d Solugao a Para determinar V temos duas opGes ambas mostradas na Tabela 182 Podemos optar por deter minar I e entao determinar V pela relagdo V IZ ou podemos determinar o ganho de ten sao VV g entao calcular V a partir do ganho Vamos usar a ultima abordagem Para os valores dados do parametro b temos Ab 2002 30002 103 46 2 Pela Tabela 182 Vo AbZ V by byiZg byZy br1Zy Zr 25000 3000 20500 025000 2 105005000 10 19 Entao 10 3 V2 19 500 263160 V b A poténcia média fornecida 4 carga de 5000 0 é 26316 P 693 W 25000 9 c Para determinar a poténcia média fornecida 4 porta 1 em primeiro lugar determinamos a impe dancia de entrada Z Pela Tabela 182 z byZy by by Z bu 025000 3000 2 X 1035000 20 400 30 13333 QO Circuitos elétricos Agora o valor de I é calculado diretamente 500 lL 78947 mA 1500 13333 em A poténcia média fornecida a porta de entrada 078947 P 9 13333 4155 W d A impedancia da carga para maxima transferéncia de poténcia média é 0 conjugado da impedancia de Thévenin vista sob 0 ponto de vista da porta 2 Pela Tabela 182 Zz by Zg by by Ze yp 20500 3000 2 x 107500 02 18000 1083333 12 Assim Z Z 1083333 Q e Para determinar a maxima poténcia média fornecida 4 Z em primeiro lugar determinamos V pela expressao do ganho de tensao VV Quando Z for 1083333 Q esse ganho sera Vo 08333 Ve Assim V 08333500 41667 V e 1 416677 P maxi o rmaximo 5 7 93333 801 W PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 2 Saber analisar um quadripolo com carga em seus terminais determinando as correntes tensdes impedancias e relacdes de interesse 186 Os parametros a do quadripolo mostrado sao a EA a x 104 a 10 a 10 3X 107 5 Xx 10 Bip 0 4 10 S ea 3 o Modelo de O quadripolo é alimentado por uma fonte de tensao Ve duas portas V senoidal com uma amplitude maxima de 50 mV e de uma rede uma impedancia interna de 100 j0 2 Ele é ligado a uma carga resistiva de 5 kQ 184 Interconexão de quadripolos De modo geral é mais fácil sintetizar um sistema grande e complexo projetandose pri meiramente as subseções do sistema Integrase então o sistema interligandose essas unida des mais simples e fáceis de projetar Se as subseções forem modeladas por quadripolos a sín tese do sistema completo se dará por meio da interligação desses quadripolos Quadripolos podem ser interligados de cinco modos 1 em cascata 2 em série 3 em paralelo 4 em sérieparalelo e 5 em paralelosérie A Figura 189 mostra essas cinco inter ligações básicas Nesta seção analisaremos e ilustraremos somente a ligação em cascata Contudo se as outras quatro ligações cumprirem certos requisitos poderemos obter os parâmetros que descrevem os Figura 189 As cinco interligações básicas de quadripolos a Em cascata b Em série c Em paralelo d Em sérieparalelo e Em paralelosérie a 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 b c d e a Calcule a potência média fornecida ao resistor de carga b Calcule a resistência da carga para máxima potência média c Calcule a máxima potência média fornecida ao resistor do item b Resposta a 625 mW b 706 kV c 744 mW NOTA tente resolver também os problemas 1829 1831 e 1833 apresentados no final do capítulo Capítulo 18 Quadripolos 775 Book Nilsson 3indb 775 290116 1359 Circuitos elétricos circuitos interligados pela simples adicao dos parametros das redes individuais Em particular os pardmetros z descrevem a ligacdo em série os parametros y a ligagaéo em paralelo os para metros h a ligaco em sérieparalelo e os parametros g a ligacdo em paralelosérie A ligagéo em cascata é importante porque ocorre frequentemente na modelagem de gran des sistemas Diferentemente das outras quatro interligacg6es basicas nao ha nenhuma restric4o a utilizacdo dos pardametros dos quadripolos individuais para se obter os parametros dos circui tos interligados Os pardmetros a sao mais adequados para descrever a ligagdo em cascata Analisamos a ligagaéo em cascata usando 0 circuito mos Figura 1810 Ligagao em cascata trado na Figura 1810 em que aspas simples denotam para Circuitol Cireuito2 metros a no primeiro Circuito e aspas duplas denotam para 1 22 fl 2 metros a no segundo circuito A tensdo e a corrente de saida auayt lay ap do primeiro circuito sao identificadas por V4 e 4 e a tensao Vy Vv V4 V ea corrente de entrada do segundo circuito sao identificadas ay a a a por V e J O problema consiste em deduzir as equagdes que relacionam V e J com V e J por meio dos parametros a Em outras palavras procuramos 0 par de equagdes V 4V a1 1864 I 4V ayl 1865 em que os parametros a sejam dados explicitamente em termos dos parametros a dos circuitos individuais Comegamos a deducao observando que pela Figura 1810 Vj aliV5 afpl 1866 TL aV4 agol 1867 Com a interligacgéo em cascata temos V5 V e 15 1 Substituindo essas restrigdes nas equacoes 1866 e 1867 temos Vi ayV ail 1868 TL ayVi agol 1869 A tensao V e a corrente J estao relacionadas com V e I por meio dos parametros a do segundo circuito Vi atVa ail 1870 I a3V abn 1871 Substituimos as equacg6ées 1870 e 1871 nas equagdes 1868 e 1869 para criar as relagdes entre V1e V1 Vi ahah aj2a31V2aiiat2 aj2a32b 1872 Ty agaty 4031 Voag1ai2 a42459d 1873 Uma descrico detalhada dessas quatro interligacdes é apresentada por Henry Ruston e Joseph Bor dogna em Electric Networks Functions Filters Analysis Nova York McGrawHill 1966 Capitulo 4 Capitulo 18 e Quadripolos Comparando as equagoes 1872 e 1873 com as equacoes 1864 e 1865 obtemos as expres sdes desejadas para os parametros a dos quadripolos interligados ou seja ayy aah aiyayy 1874 a2 aat2 aja 1875 ay ayyat aya 1876 an a51a4p 447049 1877 Se mais de duas unidades forem ligadas em cascata os parametros a do quadripolo equi valente podem ser determinados pela reduca4o sucessiva do conjunto original um par de qua dripolos de cada vez O Exemplo 185 ilustra 0 uso das equagoes 1874 1877 para analisar uma ligacao em cas cata de dois circuitos amplificadores EXEMPLO 185 Andlise de quadripolos em cascata Dois amplificadores idénticos estaéo ligados em cas cata como mostra a Figura 1811 Cada amplificador Figura 1811 Circuito para o Exemplo 185 é descrito em relagdo a seus parametros h Os valores 5000 sao h 1000 0h 00015h 100 e h 100 pS Determine o ganho de tensao V V Ay A V 10kQ Solugao Em primeiro lugar é necessdrio converter os para metros h em pardmetros a Como os amplificado res sdo idénticos um tinico conjunto de parametros a descreveos Ah 005 ayy 5 X 10 hy 100 hy 1000 p 109 112 hy 100 hy 100 X 10 4 10S 21 hy 100 1 l yy 10 2 hy 100 Em seguida usamos as equagdes 18741877 para calcular os pardmetros a dos amplificadores em cascata Ay aya apa 25 xX 10 1010 1025 x 10 Circuitos elétricos Ay Ay142 apar 5 X 1010 10107 0095 Q An aya aya9 105 X 10 00110 95 X 10S Ax Ady ay7A47 1010 107 11 x 10 Pela Tabela 182 Moo Ve Au AZ Z yz AgLy 10 1025 x 10 95 xX 1050010 0095 11 x 104500 104 015 0095 0055 10 3 3333333 Assim um sinal de entrada de 150 wV produz na saida um sinal de 5 V Uma abordagem alternativa para a determinacao do ganho de tensao V Vé dada no Problema 1841 PROBLEMA PARA AVALIAGAO Objetivo 3 Saber analisar uma interligagao em cascata de quadripolos 187 Cada elemento do circuito mostrado é um resistor de 15 2 Dois desses circuitos estao ligados em cascata entre uma fonte de ten sao continua e uma carga resistiva A fonte de tensao continua Al cn tem uma tensao de saida em vazio de 100 V e uma resisténcia i ne interna de 8 1 O resistor de carga é ajustado até que seja forne y p cida a ele maxima poténcia Calcule a a resistncia da carga b V2 a tensAo da carga e c a poténcia da carga Resposta a 1444 Q b 16 V c 1773 W NOTA tente resolver também o Problema 1838 apresentado no final do capitulo Perspectiva prática Caracterizando um circuito desconhecido Fazemos as seguintes medições a fim de determinar os parâmetros h para o amplificador da caixa preta Com a porta 1 em aberto aplique 50 V na porta 2 Meça a tensão na porta 1 e a corrente em porta 2 V1 50 mV I2 25 A Com a porta 2 em curtocircuito aplique 25 mA na porta 1 Meça a tensão na porta 1 e a corrente na porta 2 V1 125 V I2 375 A Calcule os parâmetros h de acordo com a Equação 1814 h22 I2 V2 2 I 10 25 50 50 mS h21 I 2 I 1 2 V20 375 00025 1500 h12 V1 V2 2 I 10 005 50 103 h11 V1 I 1 2 V20 125 00025 500 V Agora usamos as equações de quadripolo com carga em seus terminais para determinar se é seguro ou não conectar uma fonte de 2 V ef com impedância interna de 100 V à porta 1 e utilizamos essa fonte com o amplificador para ligar um altofalante modelado a uma resistência de 32 V e uma potência de 100 W Aqui determinamos o valor de I2 pela Tabela 182 198 Aef 15002 1 00532500 100 150010332 I 2 h21Vg 1 h22ZLh11 Zg h12h21ZL Calcule a potência do altode falante de 32 V P RI 2 2 321982 126 W O amplificador vai portanto fornecer 126 W para o altofalante que tem potência de 100 W Logo é preferível utilizar um amplificador diferente ou comprar um altofalante mais potente Resumo O modelo de quadripolos é usado para descre ver um circuito em termos da tensão e corrente em seus terminais de entrada e saída O modelo é limitado a circuitos em que não há fontes independentes no interior do circuito nenhuma energia está armazenada no circuito a corrente que entra em um dos terminais de uma porta é igual à corrente que sai pelo outro terminal da mesma porta e não existe nenhuma ligação externa entre entrada e saída Duas das quatro variáveis terminais V1 I1 V2 I2 são independentes dessa forma para Capítulo 18 Quadripolos 779 Book Nilsson 3indb 779 290116 1400 Circuitos elétricos descrever 0 circuito s4o necessdrias apenas e Um quadripolo sera reciproco se a permuta de duas equag6es simultaneas envolvendo as qua uma fonte ideal de tensio em um par de termi tro variaveis Segao 181 nais por um amperimetro ideal no outro par de e Os seis conjuntos possiveis de equacgées simul terminais produzir a mesma leitura no ampert taneas que envolvem as quatro varidveis ter metro O efeito da reciprocidade sobre os para minais sio denominados equacgdes de parame metros do quadripolo dado pelas equagoes tros z y ab he g Veja as equagoes 181186 18281833 Segao 182 Segao 181 e Um quadripolo reciproco sera simétrico se seus As equacées de parametros s4o escritas no pares de terminais puderem ser permutados dominio da frequéncia Os valores dos parame sem alterar os valores das correntes e tensdes tros para tens6es e correntes continuas sao obti terminalis O efeito adicional da simetria sobre dos fazendose s 0 e os valores para 0 regime os parametros do quadripolo dado pelas equa permanente senoidal séo obtidos fazendose goes 18381843 Ss jw Secao 181 e Odesempenho de um quadripolo ligado a uma e Qualquer conjunto de parametros pode ser cal fonte equivalente de Thevenin a uma carga culado ou medido utilizandose condicoes ade é descrito pelas relagdes dadas na Tabela 182 quadas de curtocircuito e circuito aberto nos Segao 183 terminais de entrada e de saida Veja as equa e Grandes redes podem ser divididas em sub des 1871815 Segao 182 redes por meio da modelagem de quadripolos As relacdes entre os seis conjuntos de parame interligados Neste capitulo usamos a ligacdo tros so dadas na Tabela 181 Secao 182 em cascata para ilustrar a andlise da intercone xo de quadripolos Secao 184 Problemas Secoes 181182 181 Determine os pardmetros he g para o circuito Figura P184 do Exemplo 181 80 182 Determine os parametros z para o circuito da l yo 40 L Figura P182 Figura P182 V 100 V LL 10 4Q 2 vi 120 2 185 Determine os pardmetros b do circuito da Figura P185 Figura P185 183 Use os resultados do Problema 182 para cal A 50 we cular os parametros y para o circuito da Figura P182 loa Yi V2 184 Determine os parametros y para o circuito da bo Figura P184 20 0 Capitulo 18 e Quadripolos 186 Determine os pardmetros h do circuito da 1810 Determine os pardmetros a do circuito da Figura P186 Figura P1810 Figura P186 Figura P1810 A 100 200 we AL 1k J Vy 800 200 800 V5 Vv 10 4V 507 240k0 Vv 187 Selecione os valores de R R e R no circuito 1811 Use os resultados do Problema 1810 para cal da Figura P187 de modo que h 4 0h cular os parametros g do circuito da Figura 08 h 08 e h 014 S P1810 Figura P187 1812 Determine os pardmetros h do quadripolo da oe Figura P1812 i T Ry 1 L Figura P1812 I I a j200 2 V Ry Ry Vy 100 j 2000 Vv 50L j1000 V 188 O amplificador operacional no circuito mos trado na Figura P188 é ideal Determine os 1813 As seguintes medicgées em corrente continua parametros h do circuito foram realizadas no quadripolo da Figura Figura P188 PIS13 400 O Vec Porta2emaberto Porta 2 em curtocircuito AW 200 0 V20 mV I 200 pA FT 1 V5V 150 pA 1 025 pA V10V Calcule os parametros g do quadripolo 008 Figura P1813 1 I 189 Determine os paradmetros g para 0 circuito Vv V amplificador operacional da Figura P189 Figura P189 100 0 1814 a Use as medicgées do Problema 1813 para I Il determinar os pardmetros y do quadripolo 1 2 22 b Verifique seus cdlculos determinando os pardmetros y diretamente dos parame Yi Vo 13 Va V2 tros g determinados no Problema 184 1815 Deduza as express6es para os parametros g em fungao dos paradmetros h Circuitos elétricos 1816 Deduza as express6es para os parametros h quadripolo seja considerado reciproco e em fungao dos parametros a simétrico 1817 Deduza as expressGes para os parametros y Figura P1820 em fungao dos parametros g j j 5 oR Ro 47 1818 Determine as expressdes dos pardmetros z M no dominio da frequéncia do quadripolo da ees Figura P1818 Vy L L V2 Figura P1818 1 05F 02H 2 1821 Determine os valores dos parametros a no dominio da frequéncia para o quadripolo da 1 100 2 Figura P1821 e e Figura P1821 I L 1819 Determine as expressdes dos pardmetros y 20 0 no dominio da frequéncia do quadripolo da 1009 Figura P1819 Vv Vi j7500 7 400 V Figura P1819 C 5V 1F i 10 10 in 1822 Determine os paradmetros para o quadripolo da Figura P1821 1823 O quadripolo da Figura P1823 é simétrico U1 1H v2 Justifique sua resposta e e Figura P1823 t L 1820 a Use as equacées de definigdo para deter minar as expresses no dominio da fre quéncia dos parametros a para 0 circuito da Figura P1820 M1 V2 b Mostre que os resultados obtidos em aS a satisfazem os requisitos para que um Secao 183 1824 Deduza a expressdo para o ganho de tensao 1827 Determine 0 circuito equivalente de Thévenin VV do circuito da Figura 187 em fungao com relagao a porta 2 do circuito da Figura dos parametros a 187 em fungao dos parametros g 1825 Deduza a expressao para a admitancia de 1828 Deduza a expressdo para o ganho de tensao entrada Y V do circuito da Figura ViIV do circuito da Figura 187 em funcao 187 em funco dos parametros y dos parametros b 1826 Deduza a expressao para o ganho de corrente 1829 As seguintes medig6es foram realizadas na LI do circuito da Figura 187 em fungao dos rede resistiva da Figura P1829 parametros h Capitulo 18 e Quadripolos Medicio 1 Medicio 2 A impedancia interna da fonte é 2500 j0 V01V V0V Qea impedancia da carga 70000 J00 A 1100 pA 25 pA fonte ideal de tensao fornece uma tensao V200V V200V Ve 80V2 cos 4000f mV 1L0A 15mA a Determine o valor eficaz de V Um resistor varidvel R ligado a porta 2 e b Determine a poténcia média fornecida a Z ajustado para maxima transferéncia de potén c Determine a poténcia média fornecida cia Determine a maxima poténcia pela fonte ideal de tensao Figura P1829 Figura P1831 I L po Hs 1kQ 45mV Vi Rede resistiva V2 2R V Yn 12 V y21 y22 i Lo 1830 Oitap g para o quadripolo da Figura 1832 Para o quadripolo amplificador da Figura oh SAO P1831 determine 1 1 Zu 6 ie S 12 05 705 a o valor de Z para a maxima transferén cia de poténcia média 05 j05 15 j250 821 TNR 822 2 DE b a maxima poténcia média fornecida a Z A impedancia da carga Z ajustada para c a poténcia média fornecida ao circuito maxima transferéncia de poténcia médiaa Z pela fonte ideal de tensdo quando é A fonte ideal de tensao fornece uma tensao maxima a poténcia fornecida a Z senoidal de 1833 Os parametros b do amplificador da Figura Ug 42V2 cos 5000 V P1833 sao a Determine o valor eficaz de V by 25 by 1kO oa b 125 S b 40 b Determine a poténcia média fornecida a Z a Determine a razdo entre a poténcia de saida c Qual percentagem da poténcia média e a fornecida pela fonte ideal de tensao fornecida pela fonte ideal de tensdo é Figura P1833 absorvida por Z g Figura P1830 200 62 a hae 1200 V V Amplificador V2 1000 ef S11 812 V Vi Vs 21 822 I Loi 1834 O transformador linear do circuito da Figura en P1834 tem um coeficiente de acoplamento de 1831 Os paradmetros y para o circuito quadripolo 075 O transformador é alimentado por uma amplificador de poténcia da Figura P1831 sao fonte de tensAo senoidal cuja tensdo interna y2 mS Vo 2 pS é U 80 cos 400r V A impedancia interna da Y 100 mS Voy 50 pS fonte 65 j0 Circuitos elétricos Figura P1834 1836 a Determine os parametros y para o quadri TO polo da Figura P1836 50 109 975 800 ek i b Determine v para t 0 quando v Vg vu 25mH 400 mH v2 2000 10e ut V LS Figura P1836 L ee AL 1Q sQ sQ a a Determine os parametros a no dominio da frequéncia para o transformador linear Vv C V 1sQ Vs 10 b Use os parametros a para determinar o circuito equivalente de Thévenin visto a partir dos terminais da carga b a4 c Calcule a expresso de regime perma 1837 a Determine as express6es dos parametros nente no dominio do tempo de v gno dominio da frequéncia do circuito da 1835 As seguintes medigdes foram realizadas em Figura P1837 dripol istivo ut nae more mss ve oo b A porta 2 do quadripolo da Figura P1837 Condigao 1 crie um curtocircuito na porta é conectada a uma resisténcia de 500 Ne ze aplique 20 V a porta I a porta 1 é alimentada por degrau de ten Medigoes J 1 A11A sao Vt 4ut V Determine v para Condigéo 2 crie um circuito aberto na porta t0se C32nFe L50 mH 1 e aplique 80 V na porta 2 Figura P1837 Medicées V 400 V 1 3 A Determine a maxima poténcia que esse qua sL dripolo pode fornecer a uma carga resistiva conectada a porta 2 quando a porta 1 é ali V LsC LsC V mentada por uma fonte ideal de tensdo con tinua de 60 e Secao 184 1838 Os pardmetros z e y para 0 quadripolo resis Figura P1838 tivo da Figura P1838 sao dados por 100 35 QO 411 38 Yiu 200 ws 71 z y vp 15 kO 100 a2 Os yin 40 wS 4 1839 Os parametros h do primeiro quadripolo da Za 3 kQ Yo 800 pS Figura P1839a sao h 1000 hy 5X 10 10 40 Zn kO yx 40 pS h 40 hy 25 pS O circuito do segundo quadripolo é mostrado na Figura P1839bem que R72 kQ Deter Calcule v se v 30 mV ce mine v se v 9 mV ce Capitulo 18 e Quadripolos Figura P1839 1840 AsredesA e B nocircuito da Figura P1840 sao 8002 Ta c c e reciprocas e simétricas Para a rede A sabese que a S5ea240 Ug h vp S2KOA a Determine os parametros a da rede B b 1a d 2 f b Determine V quando V 75 0 V Z1 0 Qe Z 10 70 O a Figura P1840 R I 1150 F 1S O75 95150 50 STF e e R72k0 R A B d f b Secoes 181184 1841 a Mostre que o circuito da Figura P1841 é Figura P1842 um circuito equivalente cujas equagdes 1 L correspondem as equacées dos parame e tros h IhZ12 Z21 b Use o circuito equivalente do item a Mi V2 para determinar o ganho de tensao ViIV no circuito da Figura 1811 Figura P1841 1843 a Mostre que o circuito na Figura P1843 i hQ L io também é um circuito equivalente cujas equagoes correspondem as equacées dos Vi hyV2 o i hy a V paradmetros z 22 b Suponha que esse circuito seja deter minado por uma impedancia de Z ohms na porta 2 Determine a impe 1842 a Mostre que o circuito da Figura P1842 é dancia de entrada VJ Verifique seus um circuito equivalente cujas equacdes resultados comparandoos aos dados correspondem as equago6es dos parame da Tabela 182 TOS Z Figura P1843 b Suponha que esse circuito seja alimen I I tado por uma fonte de tensao que tenha Z17Z ZZ uma impedancia interna de Z g ohms Cal 1 wo 121 12 cule o circuito equivalente de Thévenin V V em relagdo 4 porta 2 do circuito Con firme seus resultados comparandoos com os dados da Tabela 182 184 a Determine dois circuitos equivalentes cujas equações correspondam às equações dos parâmetros y Sugestão comece com as equações 182 Some e subtraia y21V2 à primeira equação do conjunto Construa um circuito que satisfaça o conjunto de equações resultante pensando em ter mos de tensões de nó Deduza um circuito equivalente alternativo alterando em pri meiro lugar a segunda das equações 182 b Suponha que a porta 1 seja alimentada por uma fonte de tensão com impedância interna Zg e que a porta 2 seja ligada a uma impedância ZL Determine o ganho de corrente I2I1 Verifique seus resul tados comparandoos com os dados da Tabela 182 1845 a Determine o circuito equivalente cujas equações correspondam às equações dos parâmetros g b Use o circuito do item a para calcular a tensão de saída do Problema 1839 Suges tão use o Problema 367 para simplificar o segundo quadripolo do Problema 1839 1846 a Que condições e medidas permitem que você calcule os parâmetros b do amplifica dor da caixa preta descrito na Perspectiva prática b Que medidas serão tomadas se os parâ metros resultantes b forem equivalentes aos parâmetros h calculados na Perspec tiva prática 1847 Repita o Problema 1846 para os parâmetros y Circuitos elétricos 786 Book Nilsson 3indb 786 290116 1400 A análise de circuitos frequentemente envolve a solução de equações lineares simultâ neas Aqui nosso objetivo é fazer uma revisão da utilização de determinantes para resolver tais sistemas de equações A teoria dos determinantes com aplicações pode ser encontrada na maioria dos livros de álgebra de nível intermediário Uma referência particularmente boa para estudantes de engenharia é o Capítulo 1 de E A Guillemin The Mathematics of Circuit Analysis Nova York Wiley 1949 Nesta revisão limitaremos nossa discussão à mecânica da resolução de equações simultâneas por meio de determinantes A1 Etapas preliminares A primeira etapa na resolução de um conjunto de equações simultâneas por meio de determinantes é escrever as equações em um formato retangular quadrado Em outras pala vras organizamos as equações em linhas verticais de forma que cada variável ocupe a mesma posição horizontal em todas as equações Por exemplo nas equações A1 as variáveis i1 i2 e i3 ocupam a primeira a segunda e a terceira posições respectivamente do lado esquerdo de cada equação 21i1 9i2 12i3 33 3i1 6i2 2i3 3 8i1 4i2 22i3 50 A1 Podemos também descrever esse conjunto de equações dizendo que i1 ocupa a primeira coluna do sistema de equações i2 a segunda coluna e i3 a terceira coluna Se uma dada equação não contiver uma ou mais variáveis elas podem ser inseridas sim plesmente atribuindose a cada uma um coefi ciente zero Assim podemos manter as posições relativas das variáveis e as equações A2 podem ser completadas como nas equações A3 2v1 v2 4 4v2 3v3 16 7v1 2v3 5 A2 2v1 v2 0v3 4 0v1 4v2 3v3 16 7v1 0v2 2v3 5 A3 Solução de equações lineares simultâneas A Apêndice Book Nilsson 4 Apendicesindb 787 290116 1407 A2 Método de Cramer O valor de cada variável desconhecida do sistema de equações é expresso como a razão entre dois determinantes Se representarmos o determinante do numerador por N com um índice adequado e representarmos o determinante do denominador por Δ então a késima variável desconhecida xk é xk N k D A4 O determinante do denominador Δ é o mesmo para todas as variáveis desconhecidas e é denominado determinante característico do sistema de equações O determinante do numera dor Nk varia com cada incógnita A Equação A4 é denominada método de Cramer para reso lução de sistemas de equações simultâneas A3 O determinante característico Uma vez organizado o sistema de equações simultâneas em um arranjo ordenado como ilustrado pelas equações A1 e A3 formar o determinante característico é uma tarefa simples Esse determinante é o arranjo quadrado composto pelos coeficientes das variáveis incógnitas Por exemplo os determinantes característicos das equações A1 e A3 são D 3 21 9 12 3 6 2 8 4 22 3 A5 e D 3 2 1 0 0 4 3 7 0 2 3 A6 respectivamente A4 O determinante do numerador O determinante do numerador Nk é formado pelo determinante característico substi tuindose sua késima coluna pela coluna de valores que aparece no lado direito das equações Por exemplo os determinantes Nk para avaliar i1 i2 e i3 nas equações A1 são N 1 3 33 9 12 3 6 2 50 4 22 3 A7 N 2 3 21 33 12 3 3 2 8 50 22 3 A8 e N 3 3 21 9 33 3 6 3 8 4 50 3 A9 Os determinantes Nk para a avaliação de v1 v2 e v3 nas equações A3 são Circuitos elétricos 788 Book Nilsson 4 Apendicesindb 788 290116 1407 N 1 3 4 1 0 16 4 3 5 0 2 3 A10 N 2 3 2 4 0 0 16 3 7 5 2 3 A11 e N 3 3 2 1 4 0 4 16 7 0 5 3 A12 A5 O valor de um determinante O valor de um determinante é calculado expandindoo em termos de seus determinan tes menores O determinante menor de qualquer elemento de um determinante é aquele que resta após a eliminação da linha e da coluna ocupadas pelo elemento Por exemplo o determi nante menor do elemento 6 na Equação A7 é 2 33 12 50 22 2 ao passo que o determinante menor do elemento 22 na Equação A7 é 2 33 9 3 6 2 O cofator de um elemento é seu determinante menor multiplicado pelo fator de controle de sinal 1ij onde i e j denotam a linha e a coluna ocupadas pelo elemento respectivamente Assim o cofa tor do elemento 6 na Equação A7 é 122 2 33 12 50 22 2 e o cofator do elemento 22 é 133 2 33 9 3 6 2 O cofator de um elemento também é denominado seu determinante menor dotado de sinal O fator de controle de sinal 1ij será igual a 1 ou 1 dependendo de i j ser um inteiro par ou ímpar Assim o sinal algébrico de um cofator alternase entre 1 e 1 à medida que percorremos uma linha ou coluna Para um determinante 3 3 os sinais de mais e menos for mam o padrão de tabuleiro de xadrez ilustrado a seguir 3 3 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 789 Book Nilsson 4 Apendicesindb 789 290116 1407 Um determinante pode ser expandido ao longo de qualquer linha ou coluna Desse modo a primeira etapa para fazer uma expansão é selecionar uma linha i ou uma coluna j Uma vez selecionada uma linha ou coluna cada elemento nessa linha ou coluna é multiplicado por seu determinante menor dotado de sinal ou cofator O valor do determinante é a soma des ses produtos Como exemplo vamos avaliar o determinante da Equação A5 expandindoo ao longo de sua primeira coluna Seguindo as regras que acabamos de explicar escrevemos a expansão como D 211 2 6 2 4 22 2 31 2 9 12 4 22 2 81 2 9 12 6 2 2 A13 Os determinantes 2 2 na Equação A13 também podem ser expandidos por meio de determinantes menores O determinante menor de um elemento em um determinante 2 2 é um único elemento Assim a expansão reduzse a multiplicar o elemento superior esquerdo pelo elemento inferior direito e então subtrair desse produto o produto entre o elemento inferior esquerdo e o elemento superior direito Usando essa observação a Equação A13 será escrita como D 21132 8 3198 48 818 72 2604 738 720 1146 A14 Se tivéssemos optado por expandir o determinante ao longo da segunda linha de elemen tos teríamos escrito 738 2196 312 1146 3198 48 6462 96 284 72 D 31 2 9 12 4 22 2 61 2 21 12 8 22 2 21 2 21 9 8 4 2 A15 Os valores numéricos dos determinantes N1 N2 e N3 dados pelas equações A7 A8 e A9 são N1 1146 A16 N2 2292 A17 e N3 3438 A18 Decorre das equações A15 a A18 que as soluções para i1 i2 e i3 na Equação A1 são i1 N 1 D 1 A i2 N 2 D 2 A e i3 N 3 D 3 A A19 Circuitos elétricos 790 Book Nilsson 4 Apendicesindb 790 290116 1407 Fica a cargo do leitor verificar que as soluções para v1 v2 e v3 são v1 49 5 98 V v2 118 5 236 V e v3 184 5 368 V A20 A6 Matrizes Um sistema de equações lineares simultâneas também pode ser resolvido por meio de matrizes A seguir faremos uma breve revisão da notação álgebra e terminologia de matrizes1 Por definição uma matriz é um arranjo retangular de elementos assim A D a11 a12 a13 c a1n a21 a22 a23 c a2n c c c c c am1 am2 am3 c amn T A21 é uma matriz com m linhas e n colunas Descrevemos A como uma matriz de ordem m por n ou m n onde m é igual ao número de linhas e n é o número de colunas Sempre especificamos em primeiro lugar as linhas e depois as colunas Os elementos da matriz a11 a12 a13 podem ser números reais números complexos ou funções Representamos uma matriz por uma letra maiúscula em negrito O arranjo na Equação A21 costuma ser abreviado por A aijmn A22 onde aij é o elemento na iésima linha e jésima coluna Se m 1 A é denominada uma matriz linha isto é A a11 a12 a13 a1n A23 Se n 1 A é denominada uma matriz coluna isto é A E a11 a21 a31 o am1 U A24 Se m n A é denominada uma matriz quadrada Por exemplo se m n 3 a matriz qua drada 3 3 é 1 Um excelente livro didático de nível introdutório a respeito de aplicações de matrizes à análise de circuitos é o de Lawrence P Huelsman Circuits Matrices and Linear Vector Spaces Nova York McGrawHill 1963 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 791 Book Nilsson 4 Apendicesindb 791 290116 1407 A C a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 S A25 Observe também que usamos colchetes para denotar uma matriz ao passo que usamos linhas verticais para denotar um determinante É importante saber a diferença Uma matriz é um arranjo retangular de elementos Um determinante é uma função de um arranjo quadrado de elementos Assim se a matriz A for quadrada podemos definir o determinante de A Por exemplo se A c2 1 6 15 d então det A 2 2 1 6 15 2 30 6 24 A7 Álgebra matricial A igualdade a adição e a subtração de matrizes aplicamse somente a matrizes da mesma ordem Duas matrizes são iguais se e somente se seus elementos correspondentes forem iguais Em outras palavras A B se e somente se aij bij para todo i e j Por exemplo as duas matrizes nas equações A26 e A27 são iguais porque a11 b11 a12 b12 a21 b21 e a22 b22 A c36 20 4 16 d A26 B c36 20 4 16 d A27 Se A e B forem da mesma ordem então C A B A28 implica cij aij bij A29 Por exemplo se A c4 6 10 8 12 4d A30 e B c 16 10 30 20 8 15 d A31 então C c 20 4 20 12 20 11 d A32 A equação D A B A33 Circuitos elétricos 792 Book Nilsson 4 Apendicesindb 792 290116 1407 implica dij aij bij A34 Para as matrizes nas equações A30 e A31 teríamos D c 12 16 40 28 4 19d A35 Dizse que matrizes da mesma ordem são conformáveis em relação às operações de adi ção e de subtração Multiplicar uma matriz por um escalar k equivale a multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar Assim A kB se e somente se aij kbij Devemos observar que k pode ser real ou complexo Como exemplo multiplicaremos a matriz D na Equação A35 por 5 O resultado é 5D c 60 80 200 140 20 95d A36 A multiplicação de matrizes só pode ser realizada se o número de colunas na primeira matriz for igual ao número de linhas na segunda matriz Em outras palavras o produto AB requer que o número de colunas em A seja igual ao número de linhas em B A ordem da matriz resultante será o número de linhas em A pelo número de colunas em B Assim se C AB onde A é de ordem m p e B é de ordem p n então C será uma matriz de ordem m n Quando o número de colunas em A é igual ao número de linhas em B dizemos que A é con formável a B em relação à operação de multiplicação Um elemento em C é dado pela fórmula cij a p k 1 aikbkj A37 A fórmula dada pela Equação A37 será fácil de usar se nos lembrarmos de que a mul tiplicação de matrizes é uma operação de linha por coluna Daí para obter o iésimo jésimo termo em C cada elemento na iésima linha de A é multiplicado pelo elemento correspon dente na jésima coluna de B e os produtos resultantes são somados O exemplo a seguir ilus tra o procedimento Devemos determinar a matriz C para A c6 3 2 1 4 6 d A38 e B C 4 2 0 3 1 2 S A39 Em primeiro lugar observamos que C será uma matriz 2 2 e que cada elemento em C será composto pela soma de três produtos Para determinar C11 multiplicamos os elementos correspondentes na linha 1 da matriz A pelos elementos na coluna 1 da matriz B e então somamos os produtos Podemos visualizar essa multiplicação e o processo de soma separando a linha e a coluna correspondentes de cada matriz e então alinhandoas elemento por elemento Portanto para determinar C11 temos Linha 1 de A Coluna 1 de B 6 4 3 0 2 1 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 793 Book Nilsson 4 Apendicesindb 793 290116 1407 assim C11 6 4 3 0 2 1 26 Para determinar C12 visualizamos Linha 1 de A Coluna 2 de B 6 2 3 3 2 2 assim C12 6 2 3 3 2 2 17 Para C21 temos Linha 2 de A Coluna 1 de B 1 4 4 0 6 1 e C21 1 4 4 0 6 1 10 Por fim para C22 temos Linha 2 de A Coluna 2 de B 1 2 4 3 6 2 pela qual C22 1 2 4 3 6 2 2 Assim C AB B26 17 10 2R A40 De modo geral a multiplicação de matrizes não é comutativa isto é AB BA Como exemplo examine o produto BA para as matrizes nas equações A38 e A39 A matriz gerada por essa multiplicação é de ordem 3 3 e cada termo na matriz resultante contém dois produ tos Portanto se D BA temos D C 26 20 20 3 12 18 4 5 10 S A41 Obviamente C D Deixamos que o leitor verifique os elementos na Equação A41 A multiplicação de matrizes é associativa e distributiva Assim ABC ABC A42 AB C AB AC A43 e A BC AC BC A44 Nas equações A42 A43 e A44 admitimos que as matrizes são conformáveis em relação às operações de adição e multiplicação Circuitos elétricos 794 Book Nilsson 4 Apendicesindb 794 290116 1407 Já observamos que a multiplicação de matrizes não é comutativa Há duas outras pro priedades da multiplicação da álgebra das grandezas escalares que não são válidas na álgebra matricial A primeira é que o produto de matrizes AB 0 não implica nem A 0 nem B 0 Obser vação a matriz é igual a zero quando todos os seus elementos são nulos Por exemplo se A c1 0 2 0 d e B c0 0 4 8 d então AB c0 0 0 0 d 0 Dessa forma o produto é igual a zero mas nem A nem B é nulo Em segundo lugar a equação matricial AB AC não implica B C Por exemplo se A c1 0 2 0 d B c3 4 7 8 d e C c3 4 5 6 d então AB AC c3 4 6 8 d mas B Z C A transposta de uma matriz é formada pela permuta entre suas linhas e colunas Por exemplo se A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 S então AT C 1 4 7 2 5 8 3 6 9 S A transposta da soma de duas matrizes é igual à soma das transpostas isto é A BT AT BT A45 A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas tomadas em ordem inversa Em outras palavras ABT BTAT A46 A Equação A46 pode ser estendida para um produto de qualquer número de matrizes Por exemplo ABCDT DTCTBTAT A47 Se A AT dizse que a matriz é simétrica Somente matrizes quadradas podem ser simétricas A8 Matriz identidade matriz adjunta e matriz inversa Uma matriz identidade é uma matriz quadrada onde aij 0 para i j e aij 1 para i j Em outras palavras todos os elementos em uma matriz identidade são iguais a zero exceto os que estão ao longo da diagonal principal que são iguais a 1 Assim Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 795 Book Nilsson 4 Apendicesindb 795 290116 1407 c1 0 0 1 d C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S e D 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 T são todas matrizes identidade Observe que as matrizes identidade são sempre quadradas Usaremos o símbolo U para uma matriz identidade A matriz adjunta de uma matriz A de ordem n n é definida como adj A Δjinn A48 onde Δij é o cofator de aij Veja a Seção A5 para a definição de cofator Segundo a Equação A48 podemos pensar na determinação da adjunta de uma matriz quadrada como um pro cesso de duas etapas Em primeiro lugar construímos uma matriz composta pelos cofatores de A e então transpomos a matriz de cofatores Como exemplo determinaremos a adjunta da matriz 3 3 A C 1 2 3 3 2 1 1 1 5 S Os cofatores dos elementos em A são D11 110 1 9 D12 115 1 16 D13 13 2 5 D21 110 3 7 D22 15 3 8 D23 11 2 3 D31 12 6 4 D32 11 9 8 D33 12 6 4 A matriz de cofatores é B C 9 16 5 7 8 3 4 8 4 S Decorre que a adjunta de A é adj A BT C 9 7 4 16 8 8 5 3 4 S Podemos verificar a aritmética da determinação da adjunta de uma matriz usando o teorema adj A A det A U A49 A Equação A49 mostra que a adjunta de A vezes A é igual ao determinante de A vezes a matriz identidade ou para nosso exemplo det A 19 37 14 8 Circuitos elétricos 796 Book Nilsson 4 Apendicesindb 796 290116 1407 Se fizermos C adj A A e usarmos a técnica ilustrada na Seção A7 constatamos que os elementos de C são c11 9 21 4 8 c12 18 14 4 0 c13 27 7 20 0 c21 16 24 8 0 c22 32 16 8 8 c23 48 8 40 0 c31 5 9 4 0 c32 10 6 4 0 c33 15 3 20 8 Portanto det A U C C 8 0 0 0 8 0 0 0 8 S 8C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S A matriz quadrada A tem uma inversa denotada por A1 se A1A AA1 U A50 A Equação A50 mostra que uma matriz prémultiplicada ou pósmultiplicada por sua inversa gera a matriz identidade U Para a matriz inversa existir é necessário que o determi nante de A não seja nulo Somente matrizes quadradas têm inversas e a inversa também é quadrada Uma fórmula para determinar a inversa de uma matriz é A1 adj A det A A51 A Equação A51 será muito trabalhosa se a ordem de A for maior do que 3 32 Hoje em dia os computadores facilitam a determinação da inversa de uma matriz em aplicações numé ricas da álgebra matricial Decorre da Equação A51 que a inversa da matriz A no exemplo anterior é C 1125 0875 05 2 1 1 0625 0375 05 S A1 18C 9 7 4 16 8 8 5 3 4 S Você deve verificar que A1A AA1 U 2 Você pode aprender métodos alternativos para determinar a inversa de uma matriz em qualquer livro introdutório à teoria matricial Veja por exemplo Franz E Hohn Elementary Matrix Algebra Nova York Macmillan 1973 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 797 Book Nilsson 4 Apendicesindb 797 290116 1407 A9 Partição matricial Quando manipulamos matrizes muitas vezes é conveniente dividir fazer uma partição de uma dada matriz em submatrizes Assim as operações algébricas originais podem ser exe cutadas em termos das submatrizes Quando dividimos uma matriz a localização das partições é completamente arbitrária e a única restrição é que uma partição deve cortar a matriz inteira Quando selecionamos as partições também é necessário ter certeza de que as submatrizes são conformáveis em relação às operações matemáticas nas quais estão envolvidas Por exemplo vamos utilizar submatrizes para determinar o produto C AB onde A E 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 0 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 0 U e B E 2 0 1 3 0 U Suponha que decidimos partir B em duas submatrizes B11 e B21 desse modo B cB11 B21 d Visto que B foi dividida em uma matriz coluna de duas linhas A deve ser dividida em no mínimo uma matriz de duas colunas caso contrário a multiplicação não pode ser executada A localização das partições verticais da matriz A dependerá das definições de B11 e B21 Por exemplo se B11 C 2 0 1 S e B21 c3 0 d então A11 deverá conter três colunas e A12 deverá conter duas colunas Desse modo a partição mostrada na Equação A52 seria aceitável para executar o produto AB C E 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 0 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 0 U F 2 0 1 c 3 0 V A52 Se por outro lado dividirmos a matriz B de modo que B11 c2 0 d e B21 C 1 3 0 S Circuitos elétricos 798 Book Nilsson 4 Apendicesindb 798 290116 1407 então A11 deverá conter duas colunas e A12 deverá conter três colunas Nesse caso a partição mostrada na Equação A53 seria aceitável para a execução do produto C AB C E 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 1 0 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 0 U F 2 0 c 1 3 0 V A53 A título de ilustração usaremos a Equação A52 e deixaremos a cargo do leitor a verifica ção de que a partição da Equação A53 leva ao mesmo resultado Pela Equação A52 podemos escrever C A11 A12 cB11 B21 d A11B11 A12B21 A54 Decorre das equações A52 e A54 que A12B21 E 4 5 2 1 3 1 0 1 2 0 U c3 0 d E 12 6 9 0 6 U A11B11 E 1 2 3 5 4 3 1 0 2 0 1 1 0 2 1 U C 2 0 1 S E 1 7 4 1 1 U e C E 11 13 13 1 7 U A matriz A também poderia ser dividida na horizontal visto que a partição vertical foi realizada conforme a operação de multiplicação Nesse problema simples as partições hori zontais podem ser realizadas conforme a necessidade do analista Assim C também poderia ser avaliada utilizandose a partição mostrada na Equação A55 C F 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 c c c c c c 1 0 2 3 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 0 V F 2 0 1 c 3 0 V A55 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 799 Book Nilsson 4 Apendicesindb 799 290116 1407 Pela Equação A55 decorre que C cA11 A12 A21 A22 d cB11 B21 d cC11 C21 d A56 onde C11 A11B11 A12B21 C21 A21B11 A22B21 Você deve verificar que C 4 1 1 S C 9 0 6 S C 13 1 7 S C21 C 1 0 2 0 1 1 0 2 1 S C 2 0 1 S C 3 1 0 1 2 0 S c3 0d c 1 7 d c12 6 d c11 13 d C11 c1 2 3 5 4 3 d C 2 0 1 S c4 5 2 1 d c3 0 d e C E 11 13 13 1 7 U Observe de passagem que a partição das equações A52 e A55 é conformável em relação à operação de adição A10 Aplicações Os exemplos a seguir demonstram algumas aplicações da álgebra matricial na análise de circuitos ExEmplo A1 Use o método matricial para determinar as tensões nodais v1 e v2 nas equações 45 e 46 Solução A primeira etapa consiste em reescrever as equações 45 e 46 em notação matricial Colocando os coeficientes v1 e v2 em evidência e ao mesmo tempo passando os termos constantes para o lado direito das equações obtemos Circuitos elétricos 800 Book Nilsson 4 Apendicesindb 800 290116 1407 17v1 05v2 10 05v1 06v2 2 A57 Em notação matricial a Equação A57 tornase c 17 05 05 06 d cv1 v2 d c10 2 d A58 ou AV I A59 onde I c10 2 d V cv1 v2 d A c 17 05 05 06 d e I c10 2d V cv1 v2 d A c 17 05 05 06 d Para determinar os elementos da matriz V prémultiplicamos ambos os lados da Equação A59 pela inversa de A assim A1AV A1I A60 A Equação A60 reduzse a UV A1I A61 ou V A1I A62 Decorre da Equação A62 que as soluções para v1 e v2 são obtidas calculandose o produto matricial A1I Para determinar a inversa de A primeiramente determinamos os cofatores de A Assim D11 1206 06 D12 1305 05 D21 1305 05 D22 1417 17 A63 A matriz de cofatores é B c06 05 05 17 d A64 e a adjunta de A é adj A BT c06 05 05 17d A65 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 801 Book Nilsson 4 Apendicesindb 801 290116 1407 O determinante de A é det A 2 17 05 05 06 2 1706 025 077 A66 Pelas equações A65 e A66 podemos escrever a inversa da matriz de coeficientes isto é A1 1 077 c06 05 05 17d A67 Agora o produto A1I é determinado 100 77 c 7 84 d c 909 1091d A1I 100 77 c06 05 05 17 d c10 2 d A68 Assim cv1 v2 d c 909 1091 d A69 ou v1 909 V e v2 1091 V ExEmplo A2 Use o método matricial para determinar as três correntes de malha no circuito da Figura 424 Solução As equações de corrente de malha que descrevem o circuito da Figura 424 são dadas pela Equação 434 A equação de restrição imposta pela fonte de tensão controlada por corrente é dada pela Equa ção 435 Quando a Equação 435 é substituída na Equação 434 o resultado é o seguinte sistema de equações 25i1 5i2 20i3 50 5i1 10i2 4i3 0 5i1 4i2 9i3 0 A70 Em notação matricial as equações A70 reduzemse a AI V onde I C i1 i2 i3 S A C 25 5 20 5 10 4 5 4 9 S Circuitos elétricos 802 Book Nilsson 4 Apendicesindb 802 290116 1407 e V C 50 0 0 S Decorre da Equação A71 que a solução para I é I A1V A72 Determinamos a inversa de A usando a relação A1 adj A det A A73 Para determinar a adjunta de A primeiramente calculamos os cofatores de A Assim Δ11 1290 16 74 Δ12 1345 20 65 Δ13 1420 50 70 Δ21 1345 80 125 Δ22 14225 100 125 Δ23 15100 25 125 Δ31 1420 200 220 Δ32 15100 100 200 Δ33 16250 25 225 A matriz de cofatores é B C 74 65 70 125 125 125 220 200 225 S A74 pela qual podemos escrever a adjunta de A adj A BT C 74 125 220 65 125 200 70 125 225 S A75 O determinante de A é 2590 16 545 80 520 200 125 d et A 3 25 5 20 5 10 4 5 4 9 3 Decorre da Equação A73 que A1 1 125 C 74 125 220 65 125 200 70 125 225 S A76 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 803 Book Nilsson 4 Apendicesindb 803 290116 1407 A solução para I é I 1 125 C 74 125 220 65 125 200 70 125 225 S C 50 0 0 S C 2960 2600 2800 S A77 C ii i2 i3 S C 296 260 280 S A78 ou i1 296 A i2 26 A e i3 28 A O Exemplo A3 ilustra a aplicação do método matricial quando os elementos da matriz são números complexos ExEmplo A3 Use o método matricial para determinar as correntes de malha fasoriais I1 e I2 do circuito da Figura 937 Solução Somando as tensões ao longo da malha 1 obtemos a equação 1 j2I1 12 j16I1 I2 150l0 A79 Somando as tensões ao longo da malha 2 obtemos a equação 12 j16I2 I1 1 j3I2 39Ix 0 A80 A corrente que controla a fonte de tensão dependente é Ix I1 I2 A81 Após a substituição da Equação A81 na Equação A80 as equações são colocadas em formato matri cial colocandose I1 e I2 em evidência em cada equação portanto 13 j14I1 12 j16I2 150l0 27 j16I1 26 j13I2 0 A82 Usandose a notação matricial a Equação A82 é escrita como AI V A83 onde I cI1 I2 d e V c150l0 0 d A c13 j14 12 j16 27 j16 26 j13 d Decorre da Equação A83 que Circuitos elétricos 804 Book Nilsson 4 Apendicesindb 804 290116 1407 I A1V A84 A inversa da matriz de coeficientes A é determinada usandose a Equação A73 Nesse caso os cofa tores de A são Δ11 1226 j13 26 j13 Δ12 1327 j16 27 j16 Δ21 1312 j16 12 j16 Δ22 1413 j14 13 j14 A matriz de cofatores B é B c26 j13 27 j16 12 j16 13 j14 d A85 A adjunta de A é adj A BT c26 j13 12 j16 27 j16 13 j14 d A86 O determinante de A é 60 j45 13 j1426 j13 12 j1627 j16 d et A 2 13 j14 12 j16 27 j16 26 j13 2 A87 A inversa da matriz de coeficientes é A1 c26 j13 12 j16 27 j16 13 j14 d 60 j45 A88 A Equação A88 pode ser simplificada para 1 375 c 65 j130 96 j28 60 j145 94 j17 d A1 60 j45 5625 c26 j13 12 j16 27 j16 13 j14d A89 A substituição da Equação A89 em A84 resulta em c26 j52 24 j58 d cI1 I2 d 1 375 c65 j130 96 j28 60 j145 94 j17 d c150l0 0 d A90 Decorre da Equação A90 que I1 26 j52 5814l 11657 A I2 24 j58 6277l 12248 A A91 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 805 Book Nilsson 4 Apendicesindb 805 290116 1407 Circuitos elétricos Nos trés exemplos apresentados os elementos da matriz eram nimeros ntimeros reais nos exemplos A1 e A2 e nimeros complexos no Exemplo A3 Também é possivel que os elementos sejam funcgées O Exemplo A4 ilustra a utilizagao da algebra matricial em um pro blema de circuito em que os elementos da matriz de coeficientes sAo funcgGes EXEMPLO A4 Use 0 método matricial para deduzir express6es para as tensdes nodais V e V do circuito da Figura A1 Solugao Com a soma das correntes que saem dos nés 1 e 2 obtémse 0 seguinte sistema de equacoes u R TMC MY Vas 0 Y pt Wsc Y sC 0 A92 Fazendo G 1R e colocando em evidéncia os coefi Figura A1 Circuito para o Exemplo A4 cientes de V e V obtemos 1 sC G2sCV sCVGV 1 sCV G 2sCV sCV A93 R 1 sc Escrevendo a Equacgaéo A93 em notagéo matricial temos vg weR AVL A94 onde A 2sC sC L sC 6G2sc Y GV i cr Decorre da Equacgao A94 que VA4L A95 Como antes determinamos a inversa da matriz de coeficientes resolvendo em primeiro lugar a adjunta de A e 0 determinante de A Os cofatores de A so Ay 1G 2sC G 2sC A 13sC sC A 13sC sC Ay 1G 2sC G 25C A matriz de cofatores é B cG 2sC sC sC G 2sC d A96 e por conseguinte a adjunta da matriz de coeficientes é adj A BT cG 2sC sC sC G 2sC d A97 O determinante de A é det A 2 G 2sC sC sC G 2sC 2 G2 4sCG 3s2C2 A98 A inversa da matriz de coeficientes é A1 cG 2sC sC sC G 2sC d G2 4sCG 3s2C2 A99 Decorre da Equação A95 que cV1 V2 d cG 2sC sC sC G 2sC d c GVg sCVg d G2 4sCG 3s2C2 A100 Executando a multiplicação de matrizes da Equação A100 temos cV1 V2 d 1 G2 4sCG 3s2C2 cG2 2sCG s2C2Vg 2sCG 2s2C2Vg d A101 Agora as expressões para V1 e V2 podem ser escritas diretamente pela Equação A101 assim V1 G2 2sCG s2C2Vg G2 4sCG 3s2C2 A102 e V2 2sCG s2C2Vg G2 4sCG 3s2C2 A103 Em nosso exemplo final ilustramos como a álgebra matricial pode ser usada para analisar ligações em cascata de quadripolos ExEmplo A5 Mostre por meio de álgebra matricial como as variáveis de entrada V1 e I1 podem ser descritas em função das variáveis de saída V2 e I2 na ligação em cascata da Figura 1810 Solução Começamos expressando em notação matricial a relação entre as variáveis de entrada e saída para cada quadripolo Assim cV1 I 1 d ca11 n a12 n a21 n a22 n d cV2 n I 2 n d A104 Apêndice A Solução de equações lineares simultâneas 807 Book Nilsson 4 Apendicesindb 807 290116 1407 e cV1 n I 1 n d ca11 o a12 o a21 o a22 o d cV2 I 2 d A105 Agora a ligação em cascata impõe as restrições V2 n V1 n e I 2 n I 1 n A106 Essas relações de restrição são substituídas na Equação A104 Assim ca11 n a12 n a21 n a22 n d cV1 n I 1 n d cV1 I 1 d ca11 n a12 n a21 n a22 n d c V1 n I 1 n d A107 A relação entre as variáveis de entrada V1 I1 e as variáveis de saída V2 I2 é obtida pela substitui ção da Equação A105 na Equação A107 O resultado é cV1 I 1 d ca11 n a12 n a21 n a22 n d ca11 o a12 o a21 o a22 o d cV2 I 2 d A108 Após a multiplicação das matrizes de coeficientes temos cV1 I 1 d ca11 n a11 o a12 n a21 o a11 n a12 o a12 n a22 o a21 n a11 o a22 n a21 o a21 n a12 o a22 n a22 o d cV2 I 2 d A109 Observe que a Equação A109 é o sistema constituído pelas equações 1872 e 1873 escrito em forma matricial Circuitos elétricos 808 Book Nilsson 4 Apendicesindb 808 290116 1407 Os números complexos foram inventados para permitir a extração das raízes quadradas de números negativos Eles simplifi cam a solução de problemas que caso contrário seriam bem difíceis A equação x2 8x 41 0 por exemplo não tem solução em um sistema numé rico que exclua números complexos Esses números e a capacidade de manipulálos algebrica mente são muito úteis na análise de circuitos B1 Notação Há dois modos de representar um número complexo a forma cartesiana ou retangular e a forma polar ou trigonométrica Na forma retangular um número complexo é escrito em termos de seus componentes reais e imaginários daí n a jb B1 onde a é o componente real b é o componente imaginário e j é por defi nição 11 Na forma polar um número complexo é escrito em termos de seu módulo e ângulo de fase daí n ceju B2 onde c é o módulo u é o ângulo de fase e é a base dos logaritmos naturais e como antes j 1 Na literatura o símbolo u costuma ser usado no lugar de eju isto é a forma polar é escrita n clu B3 Embora a Equação B3 seja mais conveniente em textos impressos a Equação B2 é de importância primordial em operações matemáticas porque as regras para manipular uma quantidade exponencial são bem conhecidas Por exemplo como yxn yxn então ejun ejnu como yx 1yx então eju 1eju e assim por diante Como há duas maneiras de expressar o mesmo número complexo precisamos relacionar uma com a outra A transformação da forma polar para a retangular dáse por meio da iden tidade de Euler eju cos u j sen u B4 Um número complexo expresso na forma polar pode ser convertido para a forma retan gular escrevendose 1 Talvez você esteja mais familiarizado com a notação i 1 Em engenharia elétrica i é usado como símbolo para corrente daí na literatura da área j é usado para representar 1 Números complexos B Apêndice Book Nilsson 4 Apendicesindb 809 290116 1407 Circuitos elétricos ce ccos j sen 0 c cos 6 jc sen 6 atyjb B5 A transformagao da forma retangular para a polar faz uso das propriedades do tridangulo retangulo ou seja ajb Var em cel B6 onde tg 0 bla B7 Pela Equagao B7 nao fica 6bvio em qual quadrante o Angulo esta A ambiguidade pode ser eliminada por uma representagao grafica do numero complexo B2 Representacao grafica dos numeros complexos Um ntimero complexo é representado graficamente no plano complexo aquele definido por um eixo horizontal que representa o componente real e um eixo vertical que representa 0 com ponente imaginario do nimero complexo O Angulo de fase do nimero Figura B1 Representacao grafica de a jb complexo é medido em sentido antihorario em relacdo ao eixo real posi quando ae b sao ambos positivos tivo A representagao grafica do nimero complexon a jb c 0 se admitirmos que a e b sejam ambos positivos é mostrada na Figura B1 bp ae Essa representacao deixa bem clara a relacao entre as formas retan gular e polar Qualquer ponto no plano dos nimeros complexos é definido exclusivamente determinandose ou sua distancia em relacdo a cada eixo aN isto éa e b ou sua distancia radial em relagdo a origem c e ao angulo 0 0 a entre o eixo real e a reta que liga o ponto a origem Pela Figura B1 vemos que 6 esta no primeiro quadrante d bsa b itivos d drant d Figura B2 Representagao grafica de quatro numeros complexos quan oae sae am os Post lvosno segun quacrante quando a é negativo e b positivo no terceiro quadrante quando a e b 3 53687 514313 3 sao ambos negativos e no quarto quadrante quando a é posi 6 6 tivo e b é negativo Essas observacoées sAo ilustradas na Figura 4 4 B2 que mostra as representacGes graficas de 4 j34 j34 j3e43 Observe que também podemos especificar 6 como um 4 j3 53687 4473 514313 angulo negativo no sentido horario a partir do eixo real a b positivo Desse modo na Figura B2c também poderiamos designar 4 j3 como 5 14313 Na Figura B2d obser vamos que 532313 53687 E usual expressar 0 em 4 f termos de valores negativos quando ele esta no terceiro ou no 4 4 quarto quadrante 5216 a 3 532313 A representacgao grafica de um nimero complexo tam 4j3 521687 4j3 532313 bém deixa clara a relagéo entre um nimero complexo e seu c d conjugado O conjugado de um numero complexo é formado Apéndice B e Numeros complexos invertendose o sinal de seu componente imaginario Assim 0 conjugado de a jb ajbe 0 conjugado de a jb é a jb Figura B3 Numeros complexos n 7 Seus Conjugados Quando escrevemos um numero complexo na forma polar me 5 determinamos seu conjugado pela simples inversao do sinal ty ajbc0 n ajbc6 do angulo 6 Por conseguinte o conjugado de c6 é c b O conjugado de um ntimero complexo é indicado por um aste 05 risco Em outras palavras entendese que n é o conjugado de xa n A Figura B3 mostra a representagao grafica de dois nimeros a 4 a complexos e seus conjugados no plano dos nimeros complexos p Observe que a operacéo de formar o conjugado reflete ny ajbc6 nj ajbc simplesmente os nimeros complexos em relacdo ao eixo real B3 Operacoes aritmeéticas Adigao subtragao Para somar ou subtrair nimeros complexos devemos expressalos na forma retangular A soma envolve somar as partes reais dos nimeros complexos para formar a parte real da soma e as partes imagindrias para formar a parte imaginaria da soma Assim se tivermos n 8j16 e n 12 j3 entao n n 8 12 j16 3 20 j13 A subtracdo segue a mesma regra Assim nn 128 j3 16 4j19 Se os nimeros a somar ou subtrair forem dados em forma polar eles serao antes de mais nada convertidos a forma retangular Por exemplo se n 1075313 e n 5135 entao ny n 6 78 3535 73535 6 3535 j8 3535 2465 j4465 510 6110 e ny Ng 6 js 3535 73535 9535 j11535 14966 5042 Multiplicação divisão A multiplicação ou a divisão de números complexos pode ser realizada com os números escritos em forma retangular ou polar Contudo na maioria dos casos a forma polar é mais con veniente Como exemplo vamos determinar o produto n1n2 quando n1 8 j10 e n2 5 j4 Usando a forma retangular temos 82l1268 80 j18 n1n2 8 j105 j4 40 j32 j50 40 Se usarmos a forma polar o produto n1n2 tornase 80 j18 82 l1268 n1n2 1281 l5134 640 l 3866 A primeira etapa na divisão de dois números complexos em forma retangular é multipli car o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador o que reduz o denomina dor a um número real pelo qual dividimos o novo numerador Como exemplo vamos deter minar o valor de n1n2 onde n1 6 j3 e n2 3 j1 Temos 212 l45 15 j15 10 15 j15 18 j6 j9 3 9 1 n1 n2 6 j3 3 j1 6 j33 j1 3 j13 j1 Em forma polar a divisão de n1 por n2 é 15 j15 n1 n2 671 l2657 316 l 1843 212 l45 B4 Identidades úteis Quando lidamos com números e grandezas complexas as seguintes identidades são muito úteis j 1 j j j 1 j 2 1 B8 j 1 j j j 1 j 2 1 B9 j 1 j j j 1 j 2 1 B10 ejp 1 B11 ejp2 j B12 Dado que n a jb clu decorre que nn a2 b2 c2 B13 n n 2a B14 Circuitos elétricos 812 Book Nilsson 4 Apendicesindb 812 290116 1407 n n j2b B15 nn 1l2u n n j 2b n n 2a nn a2 b2 c2 B16 B5 Potências inteiras de um número complexo Para elevar um número complexo a uma potência inteira k é mais fácil expressar o número complexo em forma polar Assim nk a jbk cejuk ckejku ckcos ku j sen ku Por exemplo 2ej125 25ej60 32ej60 16 j2771 e 3 j44 5ej53134 54e j 21252 625ej21252 527 j336 B6 Raízes de um número complexo A determinação da késima raiz de um número complexo é equivalente à solução da equação xk ceju 0 B17 que é uma equação de késimo grau e portanto tem k raízes Para determinar as k raízes comece observando que ceju ceju2p ceju4p c B18 Decorre das equações B17 e B18 que x1 ceju1k c1kejuk B19 x2 ceju2p1k c1keju2pk B20 x3 ceju4p1k c1keju4pk B21 A Continuamos o processo esboçado pelas equações B19 B20 e B21 até que as raízes comecem a repetirse Isso acontecerá quando o múltiplo de p for igual a 2k Por exemplo vamos determinar as quatro raízes de 81ej60 Temos x1 8114ej604 3ej15 x2 8114ej603604 3ej105 x3 8114ej607204 3ej195 x4 8114ej6010804 3ej285 x5 8114ej6014404 3ej375 3ej15 Apêndice B Números complexos 813 Book Nilsson 4 Apendicesindb 813 290116 1407 Circuitos elétricos Aqui x O mesmo que x e portanto as raizes comecaram a repetirse Assim sabemos aS 1 60 ox que as quatro raizes de 81e sao os valores dados por xXX X4 Vale a pena observar que as raizes de um nimero complexo estaéo em um circulo no plano dos nimeros complexos O raio do circulo é c As rafzes so uniformemente distribufdas ao longo do circulo sendo que o angulo entre raizes adjacentes é igual a 277k radianos ou 360k graus As quatro raizes de 81e séo mostradas na Figura B4 Figura B4 As quatro raizes de 81 66 3105 eo 7 N 7 315 3195 7 N 7 NL ee 3285 Apéndice al Tel i P TOpICOS adicionais C sobre enrolamentos magneticamente acoplados C1 Circuitos equivalentes para enrolamentos magneticamente acoplados As vezes 6 conveniente modelar enrolamentos magneticamente acoplados por meio de um circuito equivalente que nao envolva acoplamento magnético Examine os dois enrola mentos magneticamente acoplados mostrados na Figura C1 As resisténcias R e R represen tam a resisténcia de cada enrolamento O objetivo é substituir os enrolamentos magnetica mente acoplados dentro da area sombreada por um conjunto de indutores que nao sejam magneticamente acoplados Antes de determinarmos os circuitos equivalentes é preciso desta car uma importante restrigao a tensdo entre os terminais b e d deve ser nula Em outras pala vras se for possivel colocar os terminais b e d em curtocircuito sem perturbar as tensGes e correntes no circuito original os cir Figura C1 Circuito usado para obter um circuito cuitos equivalentes apresentados a seguir poderdo ser usados equivalente para dois enrolamentos oo magneticamente acoplados para modelar os enrolamentos Essa restrigéo é imposta porque embora os circuitos equivalentes que desenvolveremos tenham Ry a uw c Ry ambos quatro terminais dois desses quatro terminais estado em 4 ek Ne curtocircuito Assim 0 mesmo requisito deve valer para os circui 1 12 os Uy Ly L v2 tos originais Comegamos a desenvolver os modelos escrevendo as duas equacoes que relacionam as tens6es terminais U UV com as corren tes terminais i e i Para as referéncias e pontos de polaridade dados di diy vy Ly M C1 e di diy v ML C2 Circuito equivalente do tipo T Um circuito equivalente para esses dois enrolamentos magneticamente acoplados deve possuir um conjunto de Figura C2 Circuito equivalente em T para 0s enrolamentos indutores que possa ser descrito por um sistema de equagdes magneticamente acoplados da Figura C1 equivalente as equagdes C1 e C2 Para isso consideramos R a LiM LM R as equacgdes C1 e C2 como equacées de corrente de malha soe T Fi com i i como incégnitas Entao precisamos de uma malha 4 2 com uma indutancia total de L He uma segunda malha com i M 2 uma indutancia total de L H Além disso as duas malhas oa oa devem ter uma indutancia comum de M H O arranjo de b d enrolamentos em T da Figura C2 satisfaz esses requisitos Circuitos elétricos Devemos verificar que as equag6es que relacionam U e UV com i e i tém a forma das equagoes C1 e C2 Observe a auséncia de acoplamento magnético entre os indutores e a ten sao nula entre be d Circuito equivalente do tipo 7 Podemos obter um circuito equivalente do tipo 7 para os enrolamentos magneticamente acoplados da Figura C1 Nesse caso as derivadas didt e didt sio explicitadas nas equagdes C1 e C2 e as express6es resultantes sao consideradas um par de equacées de tenses de no Usando o método de Cramer para resolucdo de equago6es simultaneas obtemos as expressdes para didt e didt di v2 Lp Ly M TOOT ST 2 dt p M Lila MP LL MP C3 M L di M v M L a vy at 2 U2 C4 dt LLM LL M LL M Para obtermos i e i basta multiplicar ambos os lados das equagdes C3 e C4 por dt e integrar em seguida L t M t i i0 can vydt orl v2dt C5 LL M 0 LL M 0 e M t L t in i0 coor vydt can v2 dt C6 LL M 0 LL M 0 Se considerarmos Uv e UV tensdes de nd as equagoes C5 e C6 descrevem um circuito da forma mostrada na Figura C3 Resta agora para derivar o circuito equivalente do tipo 7 determinar L Lz e L em fungao de L L e Mo que sera facil se escrevermos as equag6es para i e i da Figura C3 para em seguida compardalas com as equacées C5 e C6 Desse modo Figura C3 Circuito usado para obter 0 circuito equivalente do tipo 7 para dois enrolamentos magneticamente acoplados Ay Lp 2 a Cc AOCL La Le 20 be ed Apéndice C e Tdpicos adicionais sobre enrolamentos magneticamente acoplados 1 f 1 f i i0 f dr 7 v v2dt Ly Jo Lg Jo 1 1f 1 mio ha 2 finde fv te La Lg Jo Lx Jo e 1 t 1 t ly i0 vdT v2 v1 dt Le Jo Lg Jo f wAt d C8 I UV aT U2 aT Lx Jo Lg Lce Jo Entao tM C9 Lp LL M La LL M C10 1 LM C11 Lo LiLM Quando incorporamos as equagdes C9C11 ao circuito da Figura C3 0 circuito equiva lente do tipo 7 para os dois enrolamentos magneticamente acoplados da Figura C1 passa a ser o da Figura C4 Observe que os valores iniciais de i e i estéo explicitos no circuito equivalente tipo 7 mas implicitos no circuito equivalente do tipo T Visto que estamos enfocando aqui 0 compot tamento em regime permanente senoidal de circuitos que contém indutancia mttua podemos admitir que os valores iniciais de i e i sio ambos nulos Desse modo podemos eliminar as fontes de corrente no circuito equivalente do tipo 7 e 0 circuito da Figura C4 é simplificado para o mostrado na Figura C5 A indutancia mttua aparece nos circuitos equivalentes tipo T e 77 com o proprio sinal algébrico Em outras palavras se invertermos a polaridade magnética dos enrolamentos aco plados dada na Figura C1 0 sinal algébrico de M sera invertido Uma inversao de polaridade magnética significa deslocar 0 ponto de polaridade sem alterar os sentidos e as polaridades de referéncia das correntes e tens6es terminais O Exemplo C1 ilustra 0 uso do circuito equivalente do tipo T Figura C4 Circuito equivalente do tipo zr para os dois enrolamentos magneticamente Figura C5 Circuito equivalente do tipo 7 usado para acoplados da Figura C1 andlise de regime permanente senoidal LLM2 LL M Ria M c Rk Ry aq M c Ro is LLM ay 4 LLy M2 1 L7M 2 4 TLM b Uy C1 i0 i0 Co U2 Vy 2 U2 LLM LL M x LM A LM b d b d Circuitos elétricos EXEMPLO C1 a Use 0 circuito equivalente do tipo T para os enrolamentos magneticamente acoplados da Figura C6 para determinar as correntes fasoriais I e I A frequéncia da fonte 400 rads b Repita o item a porém deslocando o ponto de polaridade do enrolamento secundario para o ter minal inferior Figura C6 Circuito equivalente no dominio da frequéncia para o Exemplo C1 500Q f10092 gq 2000 j12009 1000 8000 T e e 3000 V V 3600 2 j16000V j25000 b Solugao a Para os pontos de polaridade mostrados na Figura C6 M tem um valor de 3 H no circuito equi valente do tipo T Portanto as trés indutancias no circuito equivalente sao LM936H Figura C7 Circuito equivalente do tipo T para l os enrolamentos magneticamente LM431H acoplados do Exemplo C1 M3H 6H 1H A Figura C7 mostra 0 circuito equivalente do tipo T e a Figura C8 mostra o circuito equivalente no dominio da frequéncia 3H a uma frequéncia angular de 400 rads A Figura C9 mostra 0 circuito no dominio da frequéncia para o sistema original Aqui o acoplamento magnético é substituido pelo circuito 2 Figura C8 Modelo no dominio da frequéncia da Figura C8 Para determinar as correntes fasoriais I e L an Lv 2 do circuito equivalente para uma primeiramente determinamos a tensdo de no na reatancia frequéncia angular de 400 rads indutiva de 1200 0 Se usarmos oO no inferior como referén j2400 400 cia a Unica equacao de tensao de noé é V 300 Vv Vv 1200 ee t oe tO 0 700 j2500 71200 900 j2100 Explicitando V temos Figura C9 Circuito da Figura C6 com os enrolamentos V 136 j8 13624 337 V ef magneticamente acoplados substituidos por seu circuito equivalente do tipo T Entao 5002 71009 2000 24000 4000 1000 I 300 136 j8 TT L 1 I 700 j2500 800 300 0 V f1200 6325 7157 mA ef j2500 0 e Apéndice C e Tdpicos adicionais sobre enrolamentos magneticamente acoplados 1 0 8 85963 6343 A ef 2 900 2400 7 20883 mA el b Quando o ponto de polaridade é deslocado para o terminal inferior do enrolamento secundario M passa a ter um valor de 3 H no circuito equivalente do tipo T Antes de continuarmos a solugao observamos que inverter o sinal algébrico de M nao exerce nenhum efeito sobre I e desloca I em 180 Portanto podemos antecipar que I 6325 7157 mA ef e I 5963 11657 mA ef Agora passamos para a determinagao das correntes usando 0 novo circuito equivalente do tipo T Com M 3 H as trés indutancias no circuito equivalente sao LM9312 H LM437H M3H A uma frequéncia operacional de 400 rads 0 circuito equivalente no dominio da frequéncia neces sita de dois indutores e um capacitor como mostra a Figura C10 O circuito resultante no dominio da frequéncia para o sistema original aparece na Figura C11 Como antes em primeiro lugar determinamos a tensdo de no no ramo central que nesse caso é uma reatancia capacitiva de j1200 Se usarmos 0 no inferior como referéncia a equagao das tensdes de no sera Vv 300 Vv Vv Figura C10 Circuito equivalente no dominio da ST HH HY oo z frequéncia para M3 He wo 700 74900 j1200 900 7300 400 rads Explicitando V obtemos 4800 OQ j2800 0 V 8 j56 5657 9813 V ef J ef j1200 0 Entao 300 8 j56 I 700 4900 Figura 11 Circuito equivalente no dominio da frequéncia para o Exemplo C1b 6325 7157 mA ef 5000 71000 2000 748000 728000 1000 e 2j 800 0 L 8 556 300 0 V j1200 0 900 j300 j2500 0 5963 11657 mA ef C2 A necessidade do uso de transformadores ideais em circuitos equivalentes Os indutores nos circuitos equivalentes dos tipos T ou 7 de enrolamentos magnetica mente acoplados podem ter valores negativos Por exemplo se L 3 mH L 12 mH e Circuitos elétricos M 5 mH 0 circuito equivalente do tipo T contera um indutor de 2 mH e 0 circuito equi valente do tipo 7 contera um indutor de 55 mH Esses valores negativos de indutancia nao serao problematicos quando se estiver usando os circuitos equivalentes em calculos Contudo quando for preciso montar os circuitos equivalentes a partir de componentes reais de circuito os indutores negativos podem ser incémodos A razdo disso é que sempre que a frequéncia da fonte senoidal se alterar sera necessdrio mudar o valor do capacitor usado para simular a rea tancia negativa Por exemplo a uma frequéncia de 50 krads um indutor de 2 mH tem uma impedancia de j100 Essa impedancia pode ser modelada com um capacitor de 02 wE Se a frequéncia mudar para 25 krads a impedancia do indutor de 2 mH mudara para 50 Agora 0 valor do capacitor sera 08 wF E 6bvio que em uma situacao na qual a frequéncia seja variada continuamente a utilizagao de um capacitor para simular a indutancia negativa é praticamente inutil Podese contornar o problema de lidar com indutancias negativas introduzindose um transformador ideal no circuito equivalente Contudo isso nao resolve completamente o pro blema da modelagem pois transformadores ideais s6 podem ser aproximados Entretanto em algumas situag6es basta uma aproximacao para justificar uma discussdo sobre a utilizacao de um transformador ideal nos circuitos equivalentes do tipo T e do tipo 7 de enrolamentos mag neticamente acoplados Um transformador ideal pode ser usado de dois modos diferentes no circuito equivalente tipo T ou tipo 7 A Figura C12 mostra os dois arranjos para cada tipo de circuito equivalente Para verificar a adequacao de qualquer dos circuitos equivalentes da Figura C12 basta conferir se as equagdes que relacionam U e UV a didt e didt para qualquer dos circuitos sao idénticas as equagées C1 e C2 Aqui validaremos os circuitos da Figura C12a deixa mos ao leitor a verificagao dos circuitos das figuras C12b c e d Para auxiliar a discus sao desenhamos novamente o circuito da Figura C12a na Figura C13 adicionando as variaveis iy Up Desse circuito temos n 14 O aM sa i C12 Figura C12 Quatro modos de usar um transformador ideal no circuito equivalente tipo T e tipo zr de enrolamentos magneticamente acoplados L 44 a Ae LMa L Ma GT ef tafe ef lial vy M v2 Vy Ma V2 Ideal Ideal a b Lib M aLilyM e be ai ee e la Te e lia te 7 vr z L Ma aL Ma L Ma aL Ma Ideal Ideal c d Apéndice C e Tdpicos adicionais sobre enrolamentos magneticamente acoplados e Figura C13 Circuito da Figura C12a mostrando as L M dig Md te aa i 7 a a dg Ot C13 variaveis i Up oar mM 2M O transformador ideal imp6e as seguintes restrigGes a Uy ip L1o ae 4 2 v NN w C14 Fi ip OU te a vy M V9 U2 ig aly C15 Ideal Substituindo as equagées C14 e C15 nas equagdes C12 e a C13 obtemos di Md L ai C16 U1 Vit a dt ai2 e U2 Ly d M di Fw A 17 a at ain a dt C17 Pelas equagdes C16 e C17 di diy L M C18 Uy lat dt e di diy M Ly C19 v2 dt zat As equagoées C18 e C19 sao idénticas 4s equagdes C1 e C2 assim no que se refere ao comportamento terminal 0 circuito mostrado na Figura C13 é equivalente aos enrolamentos magneticamente acoplados mostrados dentro do retangulo da Figura C1 Ao mostrarmos que 0 circuito da Figura C13 equivalente aos enrolamentos magneti camente acoplados na Figura C1 nado impusemos nenhuma restrigao a relacdo de espiras a Assim um numero infinito de circuitos equivalentes é possivel Além do mais sempre podere mos determinar uma relacdo de espiras que torne todas as indutancias positivas Trés valores de a sao de particular interesse M C20 a Ly 2 C21 a M e 2 C22 a Ly C22 O valor de a dado pela Equacao C20 elimina as indutancias L Ma e aL aM dos circuitos equivalentes do tipo T e as indutancias LL MaL aM e aLL M aL aM dos circuitos equivalentes do tipo 7 O valor de a dado pela Equacao C21 elimina as indutancias La Ma e L aM dos circuitos equivalentes do tipo T e as indutancias LL ML aM e aLL ML aM dos circuitos equivalentes do tipo zr Observe também que quando a ML os circuitos nas figuras C12a e c tornamse idénticos e quando a LM os circuitos nas figuras C12b e d tornamse idénticos As figuras C14 e C15 resumem essas observagoes Circuitos elétricos Figura C14 Dois circuitos equivalentes quando a ML Ao calcularmos as expressGes para indutancias dessas 1 figuras usamos a relagio M kV LL Expressando as indu i L is 1 iy tancias em fungao das autoindutancias L e L e do coeficiente e 14 le de acoplamento k e usando os valores de a dados pelas equa xe ror goes C20 e C21 nao so reduzimos o nimero de indutancias v1 Ly v2 do circuito equivalente como também garantimos que todas Ideal as indutancias serao positivas Cabe ao leitor investigar as con a sequéncias de escolher o valor de a dado pela Equagao C22 Os valores de a dados pelas equagdes C20C22 podem i 1 kL ser determinados experimentalmente A razao ML obtida 4 ela 4 alimentandose 0 enrolamento de N espiras por meio de uma 5 fonte de tensdo senoidal Ajustamos uma frequéncia de fonte Kl suficientemente alta de modo que wl R e deixamos o e Ideal e enrolamento N aberto A Figura C16 mostra esse arranjo b Com o enrolamento N aberto ce VjoMI C23 Figura C15 Dois circuitos equivalentes quando a LM 27 JOM L k in Agora como jwL Ra corrente I lia i e e V I C24 v1 RL v2 joLl Ideal Substituindo a Equagao C24 na Equacao C23 temos a V C25 is Liss 7 7 110 1 lea na qual a razao ML a razao entre a tensdo de saida e de entrada quando o enrolamento 2 esta aberto isto é I 0 L 28 Obtemos a razao LM invertendo o procedimento isto e Ideal é energizamos o enrolamento 2 e deixamos o enrolamento 1 b aberto Entao fo 2 C26 Figura C16 Determinagao experimental da razao ML M V 10 I Por fim observamos que o valor de a dado pela Equacao ela Se C22 a média geométrica das raz6es de tensao das equagdes C25 e C26 Assim vi JoL JoL V Nl Np Mh b C27 Vi 10Vi10 lL M Ly A razao entre tensao de entrada e tensdo de saida so sera aproximadamente igual a relagdo de espiras se 0 nicleo comum aos enrolamentos acoplados for ferromagnético Para nticleos nao ferromagnéticos as autoindutancias variam de acordo com o quadrado do ntimero de espiras e a Equacao C27 mostra que a relacao de espiras é aproximadamente igual 4 média geométrica entre as duas razGes de tensdo ou L N IV V 2 AN ee C28 Ll M Vi10 Vi10 Apéndice Engenheiros eletricistas interessados na perda de poténcia em circuitos em cascata usa dos para transmitir sinais telef6nicos inventaram o decibel A Figura D1 ilustra o problema Nessa figura p a poténcia de entrada do sistema p é a saida de poténcia do circuito A p a saida de poténcia do Figura D1 Trés circuitos em cascata circuito B e p a poténcia de saida do sistema O ganho de poténcia de cada circuito é a raz4o entre a poténcia que sai e a poténcia que entra Assim Pi A C Po Pi P2 Po OA OBp OC Pi P1 P2 O ganho global de poténcia do sistema é simplesmente 0 produto dos ganhos individuais ou Po P1 P2Po Ca0poc Pi PiPi P2 A multiplicagéo das raz6es entre poténcias é convertida em adigaéo por meio do loga ritmo isto é logyse2 1 1 1 OS10 108107 A TF 108107B TF 10810c Pi O logaritmo da razao entre duas poténcias foi denominado bel em homenagem a Alexan der Graham Bell Assim calculamos o ganho de poténcia global de um sistema em bels mediante a simples soma dos ganhos de poténcia também em bels de cada subsistema com ponente do sistema de transmissdo Na pratica o bel é uma quantidade inconvenientemente grande Um décimo de um bel uma medida mais ttil para ganho de poténcia dai o decibel Como o ntimero de decibéis é igual a 10 vezes 0 nimero de bels ge Po Numero de decibéis 10 log Pi Quando usamos 0 decibel como medida das razGes entre poténcias em algumas situagGes a resisténcia de entrada do circuito é igual 4 sua resisténcia de carga como ilustrado na Figura D2 Quando a resisténcia de entrada é igual 4 resisténcia de carga podemos converter a razdo entre poténcias para uma a 7s Figura D2 Circuito em que a resisténcia de entrada é razao entre tens6es ou uma razdo entre correntes igual a resisténcia de carga 2 2 Viaida R Veas Po Yaste Re aida lent Tsaida Pi VentRent Vent R ent R on 2 2 Po isatda Rp 4saida A Rent R Pi lentRent Tent Essas equações mostram que o número de decibéis tornase Número de decibéis 20 log10 vsaída vent 20 log10 isaída ient D1 A definição do decibel usada nos diagramas de Bode veja o Apêndice E devese aos resultados expressos pela Equação D1 visto que esses resultados aplicamse a qualquer fun ção de transferência que envolva uma razão entre tensões uma razão entre correntes uma razão entre tensão e corrente ou uma razão entre corrente e tensão Lembrese sempre da defi nição original do decibel porque ela é de fundamental importância em muitas aplicações de engenharia Quando se estiver trabalhando com amplitudes de funções de transferência expressas em decibéis será útil ter uma tabela de equivalência entre o valor do decibel e o valor real da razão saídaentrada A Tabela D1 mostra essas equivalências para alguns valores de deci béis A razão correspondente a um valor de decibel negativo é a recíproca da razão de valor positivo Por exemplo 3 dB corresponde a uma razão saídaentrada de 1141 ou 0707 O interessante é que 3 dB corresponde às frequências de meia potência dos cir cuitos de filtros discutidos nos capítulos 14 e 15 O decibel também é usado como uma unidade de potência quando expressa a razão entre uma potência conhecida e uma potência de referência Normalmente a potência de referência é 1 mW e a unidade de potência é dBm que significa decibéis relativos a um miliwatt Por exemplo uma potência de 20 mW corresponde a 13 dBm Voltímetros de CA normalmente possuem escala em dBm que subentendem não só uma potência de referência de 1 mW mas também uma resis tência de referência de 600 Ω um valor comumente usado em sistemas de telefonia Visto que uma potência de 1 mW em 600 Ω corresponde a 07746 V ef essa tensão é lida como 0 dBm no medidor No caso de medidores analógicos usualmente há uma diferença de exatos 10 dB entre faixas adjacentes Embora as escalas possam estar marcadas como 01 03 1 3 10 e assim por diante na verdade 316 V na escala de 3 V corresponde a 1 V na escala de 1 V Alguns voltímetros têm uma chave seletora que possibilita a escolha da resistência de referência 50 135 600 ou 900 Ω ou a escolha de dBm ou dBV decibéis relativos a 1 volt Tabela D1 Alguns pares de razões dB Razão dB Razão 0 100 30 3162 3 141 40 10000 6 200 60 103 10 316 80 104 15 562 100 105 20 1000 120 106 Circuitos elétricos 824 Book Nilsson 4 Apendicesindb 824 290116 1407 Como vimos o gráfi co de resposta de frequência é uma ferramenta importante para ana lisar o comportamento de um circuito Entretanto até este ponto mostramos gráfi cos qualitati vos da resposta de frequência sem discutir como criar tais diagramas O método mais efi ciente para gerar e representar grafi camente os dados de amplitude e fase é usar um computador digital podemos confi ar que ele fornecerá gráfi cos numéricos precisos de Hjv e ujv em relação a v Todavia em algumas situações usar diagramas de Bode para obter esboços preli minares pode ajudar a garantir uma utilização inteligente do computador Um diagrama de Bode é uma técnica gráfi ca que dá uma ideia da resposta de frequência de um circuito Esses diagramas devem seu nome ao trabalho pioneiro desenvolvido por H W Bode1 e são muito úteis à análise de circuitos em que os polos e zeros de Hs estão razoavel mente bem separados Como os gráfi cos qualitativos de resposta de frequência que vimos até aqui um diagrama de Bode consiste em dois gráfi cos separados um mostra como o módulo de Hjv varia com a frequência e o outro mostra como o ângulo de fase de Hjv varia com a frequência Em diagra mas de Bode os gráfi cos são feitos em papel semilog para maior precisão na representação de uma ampla faixa de valores de frequência Em ambos os gráfi cos de amplitude e de fase a frequência é representada na escala logarítmica horizontal e a amplitude e o ângulo de fase são representados na escala vertical linear E1 Polos e zeros reais de primeira ordem Para simplifi car o desenvolvimento de diagramas de Bode começamos analisando apenas casos em que todos os polos e zeros de Hs são reais e de primeira ordem Mais adiante apre sentaremos casos com polos e zeros complexos e repetidos Ter uma expressão determinada para Hs será útil para nossos propósitos Assim baseamos a discussão na expressão Hs Ks z1 ss p1 E1 em que H jv K jv z1 jv jv p1 E2 A primeira etapa na construção de diagramas de Bode é escrever a expressão para Hjv em uma forma padrão que obtemos simplesmente fatorando os polos e zeros H jv Kz11 jvz1 p1 jv1 jvp1 E3 1 Veja H W Bode Network Analysis and Feedback Design Nova York Van Nostrand 1945 Diagramas de Bode E Apêndice Book Nilsson 4 Apendicesindb 825 290116 1407 Em seguida representamos a quantidade constante Kz1p1 por Ko e ao mesmo tempo expressamos Hjv na forma polar Ko1 jvz1 v1 jvp1 lc1 90 b1 H jv Ko1 jvz1 lc1 v l90 1 jvp1 l b1 E4 Pela Equação E4 H jv Ko1 jvz1 v1 jvp1 E5 uv c1 90 b1 E6 Por definição os ângulos de fase c1 e b1 são c1 tg1vz1 E7 b1 tg1vp1 E8 Os diagramas de Bode consistem na representação gráfica da Equação E5 amplitude e da Equação E6 fase em função de v E2 Gráficos de linha reta para amplitude Para traçar gráficos de amplitude são necessárias multiplicações e divisões de fatores associados a polos e zeros de Hs Transformamos essas operações de multiplicação e divisão em operações de adição e subtração expressando a amplitude de Hjv em termos de um valor logarítmico o decibel dB2 A amplitude de Hjv em decibéis é AdB 20 log10Hjv E9 Para dar uma ideia da unidade decibel a Tabela E1 mostra conversões de valores reais de várias amplitudes e seus valores em decibéis Expressando a Equação E5 em termos de decibéis temos 20 log10 v 20 log101 jvp1 20 log10 Ko 20 log101 jvz1 AdB 20 log10 Ko1 jvz1 v1 jvp1 E10 O gráfico da Equação E10 poderá ser mais facilmente traçado se representarmos cada termo da equação em separado e então combinarmos graficamente os gráficos desses termos individuais Esses termos individuais são fáceis de representar graficamente porque podem ser aproximados em todos os casos por linhas retas O gráfico de 20 log10 Ko é uma linha reta horizontal porque Ko não é função da frequên cia O valor desse termo é positivo para Ko 7 1 zero para Ko 1 e negativo para Ko 6 1 2 Consulte o Apêndice D para mais informações sobre o decibel Tabela E1 Amplitudes reais e seus valores em decibéis AdB A AdB A 0 100 30 3162 3 141 40 10000 6 200 60 103 10 316 80 104 15 562 100 105 20 1000 120 106 Circuitos elétricos 826 Book Nilsson 4 Apendicesindb 826 290116 1407 Apéndice E e Diagramas de Bode Duas linhas retas aproximam o grafico de 20 log1 jwz Para valores pequenos de w o médulo 1 jwz aproximadamente 1 e por conseguinte 20 log o1 jwz 0 quando w 0 E11 Para valores grandes de wo modulo 1 jwz é aproximadamente wz e por conseguinte 20 log1 jwz 20 log wz quando w oo E12 Em uma escala logaritmica de frequéncia 20 log wz uma linha reta com uma incli nacao de 20 dBdécada uma década é uma mudanga de frequéncia de 10 para 1 Essa linha reta intercepta 0 eixo 0 dB em w z Esse valor de w denominado frequéncia de corte Assim com base nas equagées E11 e E12 duas linhas retas podem aproximar o grafico de amplitude de um zero de primeira ordem como mostra a Figura E1 O grafico de 20 log yw uma linha reta com inclinagaéo de 20 dBdécada que intercepta o eixo 0 dB em w 1 Duas linhas retas aproximam 0 grafico de 20 log 91 jwp Nesse caso as duas linhas retas interceptam 0 eixo 0 dB em w p Para valores grandes de w a linha reta 20 logwp tem uma inclinagdo de 20 dBdécada A Figura E2 mostra a aproximagao por linha reta dos graficos de amplitude de um polo de primeira ordem Figura E1 Aproximacao assint6tica do grafico de amplitude de um zero de primeira ordem ot TTT TT 20 4 Ie ae Es i ZU Am TL TL Prapiaccsas ERTL A Pee 5 tH pécada RR Decade 1 2 3 4 5678910 20 30 40 50 w rads Figura E2 Aproximacao assintotica do grafico de amplitude de um polo de primeira ordem i PIN 20togi0 2 10p IN S10 pi 5 ES ee eee Aap 10 APTN er ee 15 c0 SI ee oT 1 2 3 4 5678910 20 30 40 50 w rads Circuitos elétricos A Figura E3 mostra o grafico da Equacéo E10 para K V10 z 01 rads e p 5 rads Como cada termo da Equacao E10 esta identificado na Figura E3 podese verificar que a soma dos termos individuais resulta no grafico indicado por 20 log Hjw O Exemplo E1 ilustra a construgao de um grafico da amplitude de uma funcAo de trans feréncia caracterizada por polos e zeros de primeira ordem Figura E3 Aproximacao assintotica do grafico de amplitude para a Equagao E10 50 I Neen ell III Fenae lll 40 N IN Y PSU LEME LT LCT LT 30 TN 1 20 logio NI 7 N 10 Y 20 logyy Hja 90 IN i NI Ags J s 20 logy Ky 10 pan SEE ee ee li Lh N 0 1 TAME LL TIN STI MI 10 NS NI Nw EAI LUT Lt ENN UTTh 005 01 05 10 5 10 50 100 500 w rads EXEMPLO E1 Para 0 circuito na Figura E4 a Determine a fungao de transferéncia Hs b Plote a aproximagao assintotica do grafico de amplitude de Bode c Calcule 20 logHjw em w S50 rads e w 1000 rads d Represente os valores calculados no item c no grafico aproximado e Suponha que vt 5 cos 500f 15 V e entao use o diagrama de Bode plotado para prever a amplitude de u7 no regime permanente Solugao a Transformando o circuito da Figura E4 para o dominio da Figura E4 Circuito para o Exemplo E1 frequéncia e entao usando a regra de divisdo de tensdo nesse 100 mH 10 mF dominio temos Hs RLs U7 WoO Uo s RLs 7e Substituindo os valores numéricos de R L e C obtemos 110s 110s Hs s110s 1000 s 10s 100 Apéndice E e Diagramas de Bode b Em primeiro lugar escrevemos Hjw na forma padrao A 011 jo MOO TE Ffl0IE je100 A expressao para a amplitude de Hjw em decibéis é Aap 20 logiglH ja 20 log 9011 20 logioljal 20 08 j 20 08 j mh A Figura E5 mostra o grafico correspondente Cada termo que contribui para a amplitude global é identificado c Temos Figura E5 Graficos de amplitude para a fungao de transferéncia do circuito da Figura E4 veny 011j50 40 7 MPO GF isy 705 sof IIE Lea LEI EL os teee TMS TI TINCT a 10 Se THe ies HI 20 logiolH j50 20 logy 09648 aoe au Pate Till cago ASSIS 1 j1001 j10 a mn ogiol 759 a 010948372 50 atop 5 H eg LIN ri fT TP 20 logi9 01094 1922 dB 1 5 10 50100 500100 w rads d Veja a Figura E5 e Como podemos ver pelo diagrama de Bode na Figura E5 0 valor de A em w 500 rads apro ximadamente 125 dB Portanto A 1071220 024 e V 10 IAIV 0245 119 V Podemos calcular 0 valor exato de Hjw substituindo w 500 na equacao para Hja Hj500 O1TG500 022 7754 90 Gy soy 75 PLES Assim a amplitude exata da tensAo de saida para uma frequéncia de 500 rads é Ving IAL 0225 11 V Circuitos elétricos E3 Graficos de amplitude mais precisos Podemos melhorar a precisio dos graficos para polos e zeros de primeira ordem corri gindo os valores da amplitude na frequéncia de corteem metade e no dobro da frequéncia de corte Na frequéncia de corte o valor exato em decibéis é Aap 120 logiol1 jill 120 logiyV2 3 dB E13 O valor exato na metade da frequéncia de corte é 1 A ay 0 logyo 1 TI5 420 logV54 1 dB E14 No dobro da frequéncia de corte o valor exato em decibéis é Aap 120 logjol1 j2 120 logigV5 7 dB E15 Nas equagoes E13E15 0 sinal positivo aplicase a um zero de primeira ordem e 0 sinal nega tivo a um polo de primeira ordem A aproximagado assintotica do grafico de amplitude fornece 0 dB na frequéncia de corte e na metade das frequéncias de corte e 6 dB no dobro da frequéncia de corte Dai as corregdes sao 3 dB na frequéncia de corte e 1 dB na metade da frequéncia de corte e também no dobro da frequéncia de corte A Figura E6 ilustra essas correées Figura E6 Graficos de amplitude corrigidos para um zero e um polo de primeira ordem ot IE TTT a 5 val TE La 10 A ft ie AT 5 SOB AA BHI MS TT Ags 0 l ee TN ee HITT RST N PN So CoN r Con 25 Cc c 2c 2 Apéndice E e Diagramas de Bode Uma mudanga de 2 para 1 na frequéncia é denominada uma oitava Uma inclinacao de 20 dBdécada é equivalente a 602 dBoitava que para a finalidade de representagao grafica equi vale a 6 dBoitava Desse modo as corregdes enumeradas correspondem a uma oitava abaixo e a uma oitava acima da frequéncia de corte Se os polos e zeros de Hs forem bem separados a insergao dessas corregées no grafico global de amplitude e a obtencgdo de uma curva de precisAo razodvel sao relativamente sim ples Contudo se os polos e zeros estiverem muito proximos as corregdes sobrepostas serao dificeis de avaliar e sera melhor usar a aproximagao assint6tica apenas como uma primeira estimativa da caracteristica da amplitude Use entaéo um computador para refinar os calculos na faixa de frequéncia de interesse E4 Graficos de angulo de fase de linha reta Podemos construir também graficos para angulo de fase usando aproximag6es assintoti cas O angulo de fase associado a constante K igual a zero e o Angulo de fase associado a um zero ou polo de primeira ordem na origem é 90 Para um zero ou polo de primeira ordem que n4o esteja na origem as aproximac6es assint6ticas sAo as seguintes e Para frequéncias menores do que um décimo da frequéncia de corte admitese que o angulo de fase seja igual a zero e Para frequéncias maiores do que 10 vezes a frequéncia de corte admitese que o angulo de fase seja 90 e Entre um décimo da frequéncia de corte e 10 vezes a frequéncia de corte o grafico do angulo de fase é uma linha reta que passa por 0 em um décimo da frequéncia de corte 45 na frequéncia de corte e 90 em 10 vezes a frequéncia de corte Em todos esses casos 0 sinal positivo aplicase ao zero de primeira ordem e 0 sinal negativo ao polo de primeira ordem A Figura E7 mostra uma aproximacao assintdtica para um zero e um polo de primeira ordem As curvas tracejadas indicam a variagéo exata do angulo de fase a medida que a frequéncia varia Observe quao prdéxima da variacao exata encontrase a aproxima cao assintdtica O desvio maximo entre a aproximacao e o valor exato é de aproximadamente 6 Figura E7 Graficos de fase para um zero e um polo de primeira ordem 90 Sth ragga CUTIE TAM Lifes sia El 60 aff Real HIN 1h STM Ee rl Coe All Alii 6 w 0 HZ WY B tg7 wp TIE Tithe rodlack lcs Ll 30 hie Aproximacao assintdtica CTT IASC PINT UT 90 N a Z10 p10 zy py 10z 10p w rads Circuitos elétricos Figura E8 Aproximacaéo assintotica do grafico de fase para a Equacao B1 90 CTT HN LRA TTT TT ot EAM LLM CECT TEL I 1 30 6w 0 Z TELEATETl Nit Bi tg ool 309 ATAHTIN 3 OAT Mtr ULE EPI 60 Le Pn 90 alae l l l Ett 001 01 0510 5 10 50 w rads A Figura E8 mostra a aproximagao assintotica do angulo de fase da funao de transferén cia dada pela Equagado B1 A equacao do Angulo de fase é dada pela Equacao B6 0 grafico foi tracado para z 01 rads e p 5 rads O Exemplo E2 ilustra a construgaéo de um grafico de fase usando uma aproximacaéo assintotica EXEMPLO E2 a Desenhe um grafico de fase aproximado para a funcao de transferéncia do Exemplo E1 b Calcule o angulo de fase 0w em w 50 500 e 1000 rads c Represente os valores do item b no diagrama do item a d Usando os resultados do Exemplo E1e e do item b deste exemplo calcule o valor de regime permanente da tensdo de saida se a fonte de tensdo for dada por vt 10 cos 500t 25 V Solugao a Do Exemplo E1 011jw Hjo 7 or iw 1001 1 j101 7100 011 fol Fa cya Z Pi Bo I1 j10II1 jw100 a Bi Bo Assim 0w Wr By By onde 90 B tg w10 e B tg w100 A Figura E9 representa a aproximagao assinté tica de 0w Apéndice E e Diagramas de Bode b Temos Hj50 0967 1525 Hj500 0227 7754 Hj1000 0117 8372 Assim 6 50 1525 6 500 7754 e 6j1000 8372 c Veja a Figura E9 d Temos Figura E9 Aproximacao assintotica de w para o Exemplo E2 i 90 ne CUI UIM UUM set LI 02210 60 a MIT nr CEI Ht tel CCM NE 0 NN bY 1525 oe MII Es LE Ll 6 0w 6 30 Ji I Th i 1 sec ae io UIST Tl 7754 25 60 oP eo S UTI HUH 9372 fee Go Para 10254 o9 WL Te wi ca LIE TINE LETTE LETTE LE 1 5 10 50 100 500 1000 vt 22 cosS00t 10254 V w rads E5 Diagramas de Bode polos e zeros complexos Os polos e zeros complexos exigem especial atengao na construcao de graficos de ampli tude e de fase Vamos analisar a contribuigaéo de um par de polos complexos nos graficos de amplitude e de fase Entendidas as regras para a manipulagao de polos complexos sua aplica cao a um par de zeros complexos tornase evidente Os polos e zeros complexos de Hs sempre aparecem em pares conjugados A primeira etapa na construdo de um grafico de amplitude ou de fase de uma funcao de transferéncia que contém polos complexos é combinar o par conjugado em um Unico termo quadratico Assim para K Hs E16 OG Fa 7B a jp 16 em primeiro lugar reescrevemos o produto s a jBs a jB como s a2 b2 s2 2as a2 b2 E17 Ao traçar diagramas de Bode escrevemos o termo quadrático em uma forma mais conveniente s2 2as a2 b2 s2 2zvns vn 2 E18 Comparando as duas formas vemos que vn 2 a2 b2 E19 e zvn a E20 O termo vn é a frequência de corte do termo quadrático e z é o coeficiente de amorteci mento do termo quadrático O valor crítico de z é 1 Se z 6 1 as raízes do termo quadrático são complexas e usamos a Equação E18 para representar os polos complexos Se z 1 fatoramos o termo quadrático para s p1s p2 e então os gráficos de amplitude e de fase de acordo com a discussão anterior Admitindo que z 6 1 reescrevemos a Equação E16 na forma Hs K s2 2zvns vn 2 E21 A seguir reduzimos a Equação E21 à forma padrão dividindo pelos polos e zeros Para o termo quadrático dividimos por vn Assim Hs K vn 2 1 1 svn2 2zsvn E22 da qual H jv Ko 1 v2vn 2 j2zvvn E23 em que Ko K vn 2 Antes de discutir os diagramas de amplitude e de fase associados à Equação E23 por conveniência substituímos a razão vvn por uma nova variável u Então H jv Ko 1 u2 j2zu E24 Agora escrevemos Hjv na forma polar H jv Ko 1 u2 j2zul b1 E25 da qual AdB 20 log10Hjv 20 log10Ko 20 log10 1 u2 j2zu E26 e uv b1 tg 1 2zu 1 u2 E27 Circuitos elétricos 834 Book Nilsson 4 Apendicesindb 834 290116 1408 Apéndice E e Diagramas de Bode E6 Graficos de amplitude O fator quadratico contribui para a amplitude de Hjw por meio do termo 20 log91 u j2fu Como u ww u 0 quando w 0 e u co quando w ov Para verificar como o termo se comporta quando a faixa de w é de 0 aco observamos que 20 logil1 uw j2ful 20 logyyV 1 uw 427u 10 logiou 2u2 1 1 E28 quando u 0 10 log u 2u2 1 1 0 E29 e quando u oo 10 log ut 2u2 1 1 40 log u E30 Das equagoes E29 e E30 concluimos que o grafico aproximado da amplitude consiste de duas retas Para w w a reta coincide com 0 eixo de 0 dB e para w w a outra reta tem uma inclinagao de 40 dBdécada Essas duas retas encontramse em u 1 que corresponde a w wA Figura E10 mostra a aproximagao por linha reta para um fator quadratico com 1 Figura E10 Grafico de amplitude para um par de polos complexos oT TTT oI TT 0 co ELUNE EET I 4 oot LUTE NUT 20 r XN boca UU 30 L N ont ci 40 NN Oy 10 w rads E7 Correcao de graficos de linha reta para amplitude Corrigir o grafico de linha reta para amplitude de um par de polos complexos nao é tao simples quanto no caso de polos reais de primeira ordem pois as correcdes dependem do coe ficiente de amortecimento A Figura E11 mostra 0 efeito de sobre o grafico de amplitude Observe que 4 medida que se torna bem pequeno ocorre um grande pico de amplitude na vizinhanca da frequéncia de corte wu 1 Quando 12 0 grafico de amplitude corri gido encontrase inteiramente abaixo da aproximagao de linha reta Para fins de representagdo grafica o grafico de linha reta para amplitude pode ser corrigido localizandose quatro pontos na curva exata Esses quatro pontos correspondem 1 a metade da frequéncia de corte 2 a frequéncia na qual a amplitude é maxima 3 a frequéncia de corte e 4 a frequéncia na qual a amplitude é nula A Figura E12 mostra esses quatro pontos Circuitos elétricos Figura E11 0 efeito de sobre o grafico de amplitude 20 10 7 Ve ww 03 0 WN i LL NUE 10 Wyn w rads Figura E12 Quatro pontos no grafico de amplitude corrigido para um par de polos complexos ARN NS jt ee yz J If 0 j ee hw 2 a FEE EH es ee FEET so EE ETE 7 w2 My Oy w rads Apéndice E e Diagramas de Bode Na metade da frequéncia de corte ponto 1 a amplitude exata é A 4p 2 10 log 7 05625 E31 A amplitude atinge o maximo ponto 2 na frequéncia de Wy OV1 26 E32 cujo valor é A 4g 10 log 471 E33 Na frequéncia de corte ponto 3 a amplitude exata é Agp 20 log 2é E34 O grafico de amplitude corrigido cruza 0 eixo 0 dB ponto 4 em Wy On V21 227 V2ap E35 As equagoes E31 E34 e E35 decorrem da Equagao E28 Calculando a Equagao E28 para u05 e u10 obtemos as equagoes E31 e E34 respectivamente Para obter a Equa cao E35 basta determinar o valor de uw para que u 2u27 1 1 1 Para obter a Equagao E32 basta derivar a Equagao E28 em relacao a u e entao determinar o valor de u para o qual a derivada é nula Para obter a Equacao E33 determinase 0 valor da Equacgaéo E28 quando u assume o valor determinado na Equagao E32 O Exemplo E3 ilustra a construgao dos graficos de amplitude para uma funcao de trans feréncia com um par de polos complexos EXEMPLO E3 Calcule a fungao de transferéncia para o circuito da Figura E13 a Qual é 0 valor da frequéncia de corte em radianos por segundo b Qual 0 valor de K c Qual é 0 valor do coeficiente de amortecimento d Faca o diagrama de Bode aproximado para a amplitude para a faixa de 10 a 500 rads e Calcule e plote os valores exatos da amplitude em decibéis para w2 1 Use esses pontos e trace um grafico mais preciso f Pelo grafico de linha reta para amplitude descreva 0 tipo de filtro representado pelo circuito na Figura E13 e estime sua frequéncia de corte w Solugao Transforme 0 circuito da Figura E13 para o dominio da fre Figura E13 Circuito para o Exemplo E3 quéncia e entao use a regra da divisdao de tensdo nesse dominio 50 mH 10 para obter Uj 8 mF Vo Hs s 7 S Le Circuitos elétricos Substituindo os valores dos componentes 2500 MUS 5505 2500 a Pela expresso para Hs w 2500 assim w 50 rads b Por definicao K 2500w ou 1 c Ocoeficiente de s é 2Zw portanto 20 f w 020 d Veja a Figura E14 e As amplitudes exatas sio A gp2 10 logio06025 22 dB w 50V092 4796 rads Agp 10 logi016096 814 dB A gp 20 logio04 796 dB W V2 6782 rads A gp 0 dB A Figura E14 mostra 0 grafico corrigido f Pelo grafico de amplitude da Figura E14 fica claro que esse circuito age como um filtro passabai xas Na frequéncia de corte o médulo da funcao de transferéncia Hjw esta 3 dB abaixo do valor maximo Do grafico corrigido temse que a frequéncia de corte é aproximadamente 55 rads quase a mesma prevista pelo diagrama de Bode aproximado Figura E14 O grafico de amplitude para o Exemplo E3 15 tT I Tor seas CTT geese TTT MOL OT TTT s TINA TTT olL ET TEIN tT TTT Ags 1s LIER EET oo FLUTE N EET os TT NOT TT 39 TE INT TT ee eee NN re NE gL LUI tT ENT Wy Wy 0 w rads Apéndice E e Diagramas de Bode E8 Graficos de fase O grafico de fase para um par de polos complexos a representagao grafica da Equacao E27 O Angulo de fase é igual a zero na frequéncia zero e é 90 na frequéncia de corte Apro ximase de 180 quando wu cresce Como no caso do grafico de amplitude é um fator determinante para a forma exata do grafico de fase Para valores pequenos de o angulo de fase muda rapidamente na vizinhanga da frequéncia de corte A Figura E15 mostra o efeito de sobre 0 grafico de fase Também podemos fazer uma aproximagaéo assintética do grafico de fase para um par de polos complexos Para tal tragamos uma reta tangente a curva do Angulo de fase na frequéncia de corte e estendemos essa reta até que ela intercepte as retas 0 e 180A reta tangente a curva do angulo de fase em 90 tem uma inclinacgéo de 23 raddécada 132 grausdécada e intercepta as retas de 0 e 180 em u 481 e u 481 respectivamente A Figura E16 mos tra a aproximacao assintotica para 03 e o grafico de fase exato Comparando a aproximacao assintotica com a curva exata percebemos que a aproximagao é razoavel na vizinhanga da fre quéncia de corte Contudo na vizinhanga de u u 0 erro bastante grande O Exemplo E4 ilustra a construgao de diagramas de Bode no caso de um par de polos complexos Figura E15 Efeito de sobre o grafico de fase Figura E16 Aproximagao assintotica do angulo de fase para um Oc Soe op LL JCEM COT oT aloe SAT Nl cutest age LN Vee 987 TTT 30 NT Sse TT FIN FET ae ELUNE TET 60 y 00 eC LTA TAA ee ee 0 Tiomaeeaaal CCCI ATT omic HIM ize EIN TTT 120 8 CT SCT LAINE ETH 165 LTTE 7 150 NOT SESS COTM a LTT Hive ase THT 10 20 w rads EXEMPLO E4 a Calcule a funcdo de transferéncia para o circuito da Figura E17 b Faca um grfico assintdtico para a amplitude de 20 log Hjw c Use 0 grafico de amplitude assintotica para determinar o tipo de filtro representado por esse cir cuito e entao estime sua frequéncia de corte Circuitos elétricos d Qual é a frequéncia de corte exata Figura E17 Circuito para o Exemplo E4 e Faca um grafico de fase assintdtico de Hjw 950 mH f Qual é 0 valor de 6w na frequéncia de corte obtida no item c g Qual é o valor exato de 6w na frequéncia de corte Lo Solugao vi Vo a Transforme o circuito da Figura E17 para o dominio da frequén 40 mF cia e entao aplique a regra da divisao de tensdo nesse dominio para obter R 1 H So 17S TE Substituindo os valores dos componentes apresentados no circuito temos 4s 25 As s 4s 100 b A primeira etapa da construgao de diagramas de Bode é escrever Hjw na forma padrao Como Hs contém um fator quadratico primeiramente verificamos o valor de Vemos que 02 ew 10 logo s25 1 H8 a dls 10 1 s10 04s10 da qual 1 jw25 Hjo au Li 1 10 j0410I7 By Observe que para o fator quadratico u w10 a amplitude de Hjw em decibéis é Aap 20 logyll jw25 20 logiol 1 2 j0 2 S10 10 IN 79 e o Angulo de fase é 0w Wr By onde Wy tgw25 0410 By tg 2 1 10 Apéndice E e Diagramas de Bode A Figura E18 mostra 0 grafico de amplitude Figura E18 Grafico de amplitude para o Exemplo E4 oT TAT oT UII eaten sete Ht Ul 20 IMM CPi LU 40 LM TINA Ms 20 cect Ne MSIE Hl nwo HME INT 24 i942 N qi cteeliGay eo TE NIM Tl UIE EAINE FETE FPA EU 80 1 5 10 50 100 500 1000 w rads c Pelo grafico de amplitude assintético da Figura E18 0 circuito age como um filtro passabaixas Na frequéncia de corte a amplitude de Hjw é 3 dB menor do que a amplitude maxima Pelo grafico prevemos que a frequéncia de corte seja aproximadamente 13 rads d Para calcular a frequéncia de corte exata substitua s por jw em Hs calcule a expressdo Hja faca Hjw 1 V2 H 1V2 e determine o valor de w Temos A4jw 100 Hjo jw 4j 100 Assim V 4 100 1 IH jo od V100 w2 402 V2 Calculando w da expressao acima w 16 rads e A Figura E19 mostra o grafico de fase Observe que 0 segmento de 6 entre 10 e 25 rads nao tem a mesma inclinagdo que o segmento entre 25 e 100 rads f Pelo grafico de fase da Figura E19 estimamos que o Angulo de fase na frequéncia de corte 16 rads seja 65 g Podemos calcular o Angulo de fase exato na frequéncia de corte fazendo s 16 na funcao de trans feréncia Hs 4j16 25 Hj16 S016 j16 44716 100 Circuitos elétricos Calculando o Angulo de fase vemos que 0 0j16 1250 Observe o grande erro no Angulo previsto De modo geral graficos de fase assint6ticos nao forne cem resultados satisfat6rios na faixa de frequéncia em que o angulo de fase varia O grafico de fase assintdtico é itil somente para prever o comportamento geral do angulo de fase e nao para estimar os valores exatos do angulo de fase em frequéncias determinadas Figura E19 Grafico de fase para o Exemplo E4 ve ETT TT 90 ie CENIME EHIE CMinecll TI i 45 4 CENT LER TT ENE l 00 LMI UTE ULTIE so LUM coi TT 90 HIS CTEM eco tM TM PIO N 135 Il coe LUNE UIE LI LTTE TE 1 5 10 50 100 500 1000 w rads 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 tg2 a 2 tg a 1 tg 2a tga b tg a tg b 1 tg a tg b sen2a 1 2 1 2 cos2a cos2a 1 2 1 2 cos2a cos2a 2 cos2a 1 1 2 sen2a sen2a 2 sena cosa 2 sena cosb sena b sena b 2 cosa cosb cosa b cosa b 2 sena senb cosa b cosa b cosa cosb 2 sena a b 2 b sen a a b 2 b cosa cosb 2 cosa a b 2 b cosa a b 2 b sena senb 2 cosa a b 2 b sena a b 2 b sena senb 2 sen a b 2 cos a b 2 cosa b cosacosb senasenb sena b senacosb cosasenb Tabela resumida de identidades trigonométricas F Apêndice Book Nilsson 4 Apendicesindb 843 290116 1408 Tabela resumida de integrais G Apêndice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2 senax dx 2x a2 senax a2x2 2 a3 cosax q 0 senax x dx b p 2 a 7 0 p 2 a 6 0 q 0 a dx a2 x2 c p 2 a 7 0 0 a 0 p 2 a 6 0 cos2ax dx x 2 sen2ax 4a sen2ax dx x 2 sen2ax 4a senax cosbx dx cosa bx 2a b cosa bx 2a b a2 Z b2 cosax cosbx dx sena bx 2a b sena bx 2a b a2 Z b senax senbx dx sena bx 2a b sena bx 2a b a2 Z b2 dx x2 a22 1 2a2 a x x2 a2 1 a tg 1 x a b dx x2 a2 1 a tg 1 x a eax cosbx dx eax a2 b2 a cosbx b senbx eax senbx dx eax a2 b2 a senbx b cosbx x cosax dx 1 a2 cosax x a senax x senax dx 1 a2 senax x a cosax x2eax dx eax a3 a2x2 2ax 2 xeax dx eax a2 ax 1 Book Nilsson 4 Apendicesindb 844 290116 1408 18 19 eax cos2 bx dx eax a2 4b2 Ba cosbx 2b senbx cosbx 2b2 a R eax sen2 bx dx eax a2 4b2 Ba senbx 2b cosbx senbx 2b2 a R 17 x2 cosax dx 2x a2 cosax a2x2 2 a3 senax Apêndice G Tabela resumida de integrais 845 Book Nilsson 4 Apendicesindb 845 290116 1408 Valores padrão mais comuns de componentes H Apêndice Resistores 5 tolerância V 10 100 10k 10k 100k 10M 120 12k 12k 120k 15 150 15k 15k 150k 15M 180 18k 18k 180k 22 220 22k 22k 220k 22M 270 27k 27k 270k 33 330 33k 33k 330k 33M 390 39k 39k 390k 47 470 47k 47k 470k 47M 560 56K 56K 560K 68 680 68K 68K 680K 68M Capacitores 10 pF 22 pF 47 pF 100 pF 220 pF 470 pF 0001 mF 00022 mF 00047 mF 001 mF 0022 mF 0047 mF 01 mF 022 mF 047 mF 1 mF 22 mF 47 mF 10 mF 22 mF 47 mF 100 mF 220 mF 470 mF Indutores Valor Valor da corrente 10 mH 3 A 100 mH 091 A 1 mH 015 A 10 mH 004 A Book Nilsson 4 Apendicesindb 846 290116 1408 Respostas dos problemas selecionados Capítulo 1 11 1044 gigawatthoras 15 010 mm 112 a 400 W potência está sendo fornecida pela caixa b entrando c ganhando 119 a 9375 mW b 1875 mJ 124 a 22380 W b 4 J 134 Pdel Pabs 2280 W Capítulo 2 26 a 20 V b 8 W absorvido 212 a 16 mA b 640 mW c 16 mA 640 mW 215 100 V resistor 219 a 12 A 03 A b 120 V c Pdel Pabs 180 W 229 a 20 A em paralelo com 5 V b 320 W 233 15 V 14167 W 242 1800 W que é metade da potência para o circuito na Figura 241 Capítulo 3 32 a 576 W 288 W 192 W 384 W b 1440 W c Pdel Pabs 1440 W 35 a 12 kV 900 V 30 V 120 V b 27 mW 810 mW 270 W 108 mW 312 a 66 V b 188 W 132 W c 17672 V 12408 V 314 a 1200 V 300 V b 1 W 326 a 150 mA b 54 V c 36 V d 1 V 334 75 A 337 a 49980 V b 4980 V c 230 V d 5 V 351 a 1500 V b 288 mA c 750 V 27648 mW d 1000 V 9216 mW 360 a 80 V b 279 W 362 24 A 72576 W 373 a 02 075 b 384 200 Capítulo 4 42 a 9 b 4 c 4 d Malha inferior mais à esquerda não pode ser usada duas malhas compartilhando fonte dependente devem se combinar 45 a 2 b 5 Book Nilsson 4 Apendicesindb 847 290116 1408 Circuitos elétricos c7 c 18176 kO d 147 527 a151V 411 a 68A27 A95 A 25 A12A b 343 kO b 3840 W c 250 kO 413 120V96V 530 a 16V 418 750W b 42Vsvu38V 422 a375V75W 534 29940 R 3006 0 b 375 V75 W 544 a 199844 c Parte b menos equacgées b 7361 wV 426 20V c 500368 432 a01A03A02A d 20 0 5000 0 b 038 A 002 A 036 A 549 a2kO 440 2700 W b 12 mQ 443 a2mA Capitulo 6 b 304 mw c 09 mW 62 ai0 t0 449 525W i4tA 0t25 ms 1024tA 25t50ms 454 a Método da corrente de malha i0 50 ms St b 4mW b v0 t0 c Nao v2V 01t25 ms d 200 mW v2V 25t50ms 462 a085A v0 50 ms b 085 A p0 0 p8tW 0t25 ms 468 1mA para baixo em paralelo com 375 kQ p8t04W 25 t50 ms 472 a513V p0 50 ms t b 5 w 0 t0 479 1500 w4P J 0r25 ms 488 25Q0e2250 w 4 04t 493 a 50 V 10 x 10 J 25t50ms b 250 W w0 50 ms t 4105 39583 V 1025 V 68 vV Capitulo 5 2 15 55 lmA 05 511 a0soa0 040 ms b 95625 A os9 50 10 150 200 250 513 05 RS 60kO 1 520 a 1054V 15 b 455 V sv 455 V 2 Respostas dos problemas selecionados iA b 0242 410i 5e 1 e 05 dt 0 5 ig 5e7 100 04 dt c 53125e 625e V t0 03 d 46875 V 02 646 a 50mH24 01 b 02 x 10 WbA 02 x 10 WbA 0 fms 650 08 nWbA 12 nWbA 0 50 100 150 200 250 653 a 2143 3225 2125 32 43 616 b Tela ampliada uA c Tela reduzida i w Capitulo 7 1s 73 a 05 A 5 I 2 4 b 2 ms 4 c 05e A t 0 80e V t 0 35e9 6 Vt0r 8 d 356 621 a 50 x 104 15V 79 0A 100 mA 0V b 10 V b 400 mA 100 mA 20 V c 16 x 1012V c 500 mA0A0V 4000 e e 05 0 Le 4000 A 60 V f 20e4000t V 0 719 a 10e5 A 0 30 b 80 mJ 20 c 14987 tus 723 a 80e37V t0 0 10 20 30 40 50 b 16375 mA t0 627 5nF com queda de tensAo inicial de 15 V 729 a8kQ 10 wF com queda de tens4o inicial de 25 V b 025 wF 631 a 20e V t0 c 2 ms b 16e 21 V t0 d 648 pJ c 4e 21 V t0 e 1139 ps d 320 pJ 736 a0824e4A 20 e 2525 pJ 416 19240001V t0 f 2205 pJ b 48 V 608 V 639 a 022 10i 0s 753 a 90V b 60 V c 1000 ms d 9163 ms 760 367 ms 768 a 40 40e5000t mA t 0 b 10e5000t V t 0 c 16 16e5000t mA t 0 d 24 24e5000t mA t 0 e Sim 772 5013 V 780 5V 0 t 5 s 5e01t 5 V 5 s t q 788 8309 ms 794 a 1 RC t 0 vb va dy b A saída é a integral da diferença entre vb e va multiplicada por um fator de escala de 1RC c 120 ms 7105 73 batimentos por minuto Capítulo 8 84 a 10000 rads 40000 rads b Superamortecida c 3125 V d 16000 j12000 rads 16000 j12000 rads e 2500 V 87 a 125 H 125 mF 200 Vs 5 V b 2000t 75e80t mA t 0 811 100e400tcos300t 800e400tsen300t V t 0 813 300e250t 400e1000t V t 0 828 2 1 3e 400t 4 3e 1600t A t 0 839 8 kV 2 H 75 mA 0 850 20 10000te500t 20e500t V t 0 856 a 25e30000t sen 40000t V b 2318 ms c 998 V d 10073e6000t sen 496387t V 2922 ms 8392 V 863 a 0 t 05s vo1 16t V vo 10t2 V 05s t tsat vo1 08t 12 V vo 5t2 15t 375 V b 35 s 867 a 633 pF b 503 sen 4p 109t V t 0 Capítulo 9 93 a 25 V b 200 Hz c 125664 rads d 10472 rad e 60 f 5 ms g 41667 ms h 25 cos 400pt V i 292 ms 97 Vm 2 911 a 2838 cos200t 17056 b 14133 cos50t 9416 c 167 cos5000t 17052 d 0 917 a 160 j120 mS b 160 mS c 120 mS d 10 A 929 120 cos 8000t V 935 500 rads 942 23 V 948 6 j4 A em paralelo com 20 j20 V 954 18843 4288 V 8090 V 958 964 25 sen 5000t V 977 a 03536 b 2 A 984 a 247 j725 V b j32 V 241 j8 V c 2690 V 988 a 0 A b 04360 A c Sim Circuitos elétricos 850 Book Nilsson 4 Apendicesindb 850 290116 1408 Capítulo 10 101 a 12941 Wabsorvendo 48296 VARabsorvendo b 1165 Wfornecendo 4347 VARabsorvendo c 6339 Wfornecendo 13595 VARfornecendo d 25712 Wabsorvendo 30642 VARfornecendo 102 a Não b Sim 107 5 mW 1015 a 1581 V ef b 625 W 1020 a 64 W 48 VAR 8 VA b Pabsorvendo 64 W Pfornecendo Qabsorvendo 48 VAR Qfornecendo c 1030 a 096 atrasado 028 08 adiantado 06 06 adiantado 08 b 074 adiantado 067 1041 a 2000 j2000 V b 3125 mW c R 18 kV e C 47 nF resultam em 303 mW 1048 a 360 mW b 4000 V 01 mF c 4431 mW d 450 mW e 4000 V 6667 nF f Sim 1056 a 210 Vef b 63 W c 972 1062 a 125 b 2628125 W 1067 a 1563 kWh b 1172 kWh c 916 kWh d 664 kWh Capítulo 11 111 a abc b acb 1111 a 1524 Aef b 658394 Vef 1112 a 5 3687 Aef 58313 Aef 5 15687 Aef 21651 30 Vef 2165190 Vef 21651 150Vef 12223 136 Vef 1222311864 Vef 12223 12136 Vef 21172 3136 Vef 211728864 Vef 21172 15136 Vef b c d 1115 216412134 Aef 15952934 Vef 61203661 VA 1116 1125 1127 a 18334622 VA b 51962 Vef 1135 699062 Vef 1145 a prova b2592 VAR 2592 VAR 374123 VAR 417280 VAR 1154 a 1671 mF b 5014 mF Capítulo 12 123 a 3t 5ut 5 30ut 3 t 5ut 5 b 5t 4ut 4 10t 2ut 2 10t 2ut 2 5t 4ut 4 1210 2 9 1220 a 1 s a2 v s2 v2 v cosu s senu s2 v2 1 s2 senhu scoshu s2 1 b c d e 1222 a sv s2 v2 v2 s2 v2 Respostas dos problemas selecionados 851 Book Nilsson 4 Apendicesindb 851 290116 1408 Circuitos elétricos o 1314 a 1 s2 w on re OQ R llsC SR YE Yo d Verificado 5 126 1008 s 16s 100s 400 onde R 1kQ C 625 nF 1240 a 10eS 4eJut y 240 V L 16 mH p 024A b 15 6e 11eJut b 240s 160000 1241 a 20e7 sen 14ut s 160000s 101 b 5 72e cos8t 14631ut c pals 97500 c 10e 5666 cos4r 45 ut s 1600005 10 d 925e5 cos3t 4005 a 400e8990r eo560000t 12687 ut V 721e cos2t 16893 ut e 05e800000 cos60000t 1626ut A 162501 1243 b 10te cost 90 10e cost90Jut 1319 Te a 250ut A c 258t Be 12u b 14142e25 cos250r 45ut V c Sim 1250 a 60 b 2015 1325 a 35 573e cos7t 16791ut V c 150 b Sim d 29 1335 6325e cos50t 7157ut mA 1255 0947 1337 a 05e4 05e71 ut A b 05400 05e1600 7 A Capitulo 13 1343 a 22 104s 320 s2 320005 4 x 108 ss 400s 600 134 yh b 42667 320e40 74667Jut V b Zeros em 16000 712000 rads 16000 1352 a nenhum zero polo em 25 rads j12000 rads Polo em 0 s2 s 135 a 16 x 109s b snag zero em 0 polo em 25 rads s22 x 10s 64 x 1010 s c zero em 0 polo em 2000rads b Zero em z 0 s 2000 Polos em 400 krads 1600 krads d nenhum zero polo em 1311 a 2000 rads 3200 100 0 025 45 S e n 3000 zero em 0 polo em 3200 rads S Io 055 1360 1eetV ss 30000 1377 a 2 GF5000 8000 b Die 1 b 5e7000 44e800071t V s s 6 125e4 125 1 ur A c 442 cos10000r 634 V 1378 44 cos20t 3357 V Respostas dos problemas selecionados 1388 a 08A 1434 4kO b 06A 1442 a 39789 0 317 mH c 02A b 442 kHz 362 kHz d 06 A c 800 Hz e 06e 2 10 t A 1451 a 039 H 01 wF f 06e7ut A 3 2x 10F b Voor Voatricl 0707V col g 16 x 1038t 7200e ut V Verona V ssort 0948V ico 1392 a0 A 25V2 A c 0344V b 14407 12292 2s 30007 V2 300 V2 1475 mt Se LdTsq 17882 V2e 151 a 6716 21221 12206 V2 cos120 7t 685 V b 300 V2 V 750 nF c 12206 V2 cos1207 685 V d v V 67160 500 Uj v 400 300 200 158 a 51 kO 2555 kO 100 b 0 t ms 100 255 S 75 10 A25 15 175 20 200 e 39 nF 510 kO Capitulo 14 vi Vo 141 a 381972 Hz b 07071 45 09923 7125 0124 82875 1515 a 1H00501F c 14142 cos24000t 45 V b 25 H 5 kQ 250 pF 19846 cos3000f 7125 V c 250pF 454 248 cos192000t 82875 V 7 147 a 31420 v 5kO Vo b 341998 Hz c Com resistor de 33 0 525211 Hz 1523 a 20 mH 25 pF 1413 a 5305 kO b 1342 cos10000 16657 mA b 33386 Hz 1530 3852 Hz 103852 Hz 3065 Q 82643 O 1417 a 1500 680 0 1531 R 2118kOR118kOse R1k0 entdo R6kO 1425 a 5kO50 mH 1534 a3 b 352 kHz 288 kHz b 3265 dB c 63662 Hz Circuitos elétricos 1549 R 199 kO R 3963 kO R 3979 kO i ae 3 163 2 125 cos wot T 150 s cosn77 2 cosnwot Vv T 7246 1 n 20 pF 1611 a 7 rads 199 kO b sim 20 pF c nao d sim 3963 kO Ys 1622 a 10 S Vinny 4 cosnwot On A n1 35 n 6 tg 1 1560 a Veja valores de componentes na parte b n IS 9 b b 2623 A 05 wF 05 uF tN 1628 a 19999 cos200t 048 06662 cos 600 17785 0286 cos1400t 17666 V b quinto harménico 796 O 1635 185 W 398 O 1639 a 11755 Vef c 692765 Vef 00081 TI693 1644 Cy Vin C jam n 142 t 2 2nt c s7 64 x 10m 1650 a s 800 7s 64 x 10 4 AnA 9375 1562 R 100 kQ R 900 kO C 236 nF 35 3 Capitulo 16 25 5 189 161 a 7854 rads 7854 krads b 125 Hz 125 Hz 15 25 V0 oo 49 c 25 V 05 9398 0321 0265 100 ak d Aka sen Pq 0 0 wk 2 0 o 2a 3wo 4a Swo 6wo nwo Akb Tk sen para k impar agp 0 6 12248 120 20 10198 parak par yp Tk 1 cosk7 100 90 99 2726 90 parak impar by 0 para k par 80 e 60 40 25 100 S sen coset V aT 2 20 n1 1200 1 nt a 0 es nl sen 5 COSNW ot 2sen nat V 0 Diy 30 4p Sty vy BO Respostas dos problemas selecionados b a a cy 4 yp 2 me 2 ICIA 375 art a wo a w an 35 d ja 4 ja 3 a2 a aw wo 25 e e ero 2 1719 a 15 T senw wz 2 a7 senw wt 2 OvetS 1 0945 2 w wm 72 2 w a7 2 0398 0398 01325 0161 0199 0271 05 0271 0199 0161 01325 b F 76 5 wp 65 432 1 0 1 2 3 4 5 6 1728 a 41667e2 2501Jut Pat 16667e0u1 V 12248 10198 9726 b 16667 V 100 90 90 90 c 16667 V 50 d 416672 250e10ut V e Sim Ops 4 Spee ert 23 4 5 6 1739 1 cos5000r 90 A 50 1740 a 24e7 32eut 8eut V 0 6 oe b lo 12248 150 60 50 1657 a a 2000 rads 16 x 108 rad2sec2 db b 80 cos wt 050 cos3wt 9107 30 017 cos5 wt 9060 V 50 10 Capitulo 17 11 a j7A orcostor Psenor 543210 12345 J r we b 0 c c 50 lvw IFw 40 5 30 4 3 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 200 150100 50 0 50 100 150 200 d 900 J e 320 J 175 a a os 95 a2 w f 9595 a 2 g 9975 wo b Bawls Capítulo 18 182 z11 13 V z12 12 V z21 12 V z22 16 V 1810 a11 4 104 a12 20 V a21 05 mS a22 002 1813 g11 125 mS g12 15 g21 250 g22 50 MV 1814 a y11 20 mS y12 30 nS y21 5 mS y22 20 nS b y11 20 mS y12 30 nS y21 5 mS y22 20 nS 1821 a11 3 a12 40 V a21 80 j60 mS a22 24 j08 1831 a 28 Vef b 1120 mW c 288 mW 1833 125 1838 375 V Circuitos elétricos 856 Book Nilsson 4 Apendicesindb 856 290116 1408 A Abordagem indireta análise da resposta ao degrau 309 Admitância Y 356 385 Álgebra matricial para soluções de equações simultâneas 792795 800808 Amperímetro de dArsonval 7072 Amperímetro 7072 80 Amplifi cador de caixa preta 758 779 Amplifi cadores integradores 265268 271 320324 327 análise da resposta de 324327 346347 chaveamento sequencial e 259 circuitos de primeira ordem com 244245 251 circuitos de segunda ordem com 292295 297 ligações em cascata 320324 327 resistores de realimentação e 322324 Amplifi cadores operacionais amp ops 157188 625677 características de transferência 160 circuito amplifi cador inversor 164166 174175 178 circuito amplifi cador não inversor 167169 175176 178 circuito amplifi cador somador 166167 178 circuito de amplifi cador diferencial 169174 178 controle de volume de graves 626 662665 correntes i 159164 em cascata 634644 665666 encapsulamento dual em linha DIP 159 equivalentes modelo realista 174176 178 extensômetros para 158 177178 fi ltros de banda larga 635642 665666 fi ltros de Butterworth 647656 665666 fi ltros de ordem superior 642656 665666 fi ltros de primeira ordem 627631 fi ltros passaaltas 629630 655 665666 fi ltros passabaixas 627629 647655 665666 fi ltros passafaixa 634638 656659 665666 fi ltros rejeitafaixa 638642 656 659662 665666 fi ltros 625677 ganho A 160 165 172173 178 modelo realista equivalente 174176 178 mudança de escala projeto de usando 632634 realimentação negativa 161162 178 resistência R e 158 177178 restrições de entrada 161162178 símbolo de circuito para 160 simplifi cados 159174 178 tensões v 159163 178 terminais 159163 Análise de abordagem direta 309310 696698 resposta ao degrau 309310 resposta em regime permanente 696698 Análise de circuitos de divisão de tensão 6870 80 Análise de circuitos divisores de corrente 6870 7980 Análise de circuitos YY 449454 471 Análise de circuitos YΔ 456458 Análise de circuitos 1011 3134 3847 50 6869 7678 7980 94156 174176 352369 380385 520579 769774 amplifi cador inversor 174175 amplifi cador não inversor 175176 amplifi cadores 105106 113114 129130 circuitos com fonte dependente 4448 102103 110112 126127 128129 circuitos com fonte independente 128 circuitos não planares 9697 circuitos planares 9697 circuitos quadripolos 769775 circuitos resistivos 7678 7980 componentes de circuito ideais 10 diagramas fasoriais para 380383 divisão de corrente 6869 80 divisão de tensão 6869 80 domínio da frequência 353369 384 domínio s 424561 562 equações simultâneas para 9799 equivalente de Norton 123 125 140 363 equivalente de Thévenin 123125 140 363365 533535 função de transferência Hs em 539554 562 função impulso Kdt em 554561 562 impedância Z em série e em paralelo 354359 lei de Ohm 3133 50 524525 leis de Kirchhoff 3843 50 352354 425 máxima transferência de potência 131133 140 método das correntes de malha 96 107119 140 368369 método das tensões de nó 96 99106 115119 140 366367 modelo conceitual 1011 modelos de amplifi cador operacional amp op 174176 protótipo físico 1011 regime permanente senoidal 353369 380384 sensibilidade resistores 136139 superposição para 133136 140 537539 terminologia para 9697 transformações de fonte 119123 125127 140 362364 transformações ΔY 7678 80 359362 transformada de Laplace em 520579 Análise de pulso de tensão 735 748750 Análise de regime permanente veja análise de regime per manente senoidal Análise de sensibilidade resistores 95 136139 Índice remissivo Book Nilsson 4 Apendicesindb 857 290116 1408 Análise do regime permanente senoidal 337399 cálculos de potência 400444 circuito de distribuição residencial 338 383 circuito equivalente de Norton 362 circuito equivalente de Thévenin 362365 diagramas fasoriais para 380382 domínio da frequência 345 349354 362376 384 elementos de circuito passivo 349352 fasores 344349 380 fontes 339342 379 impedância Z 351 354364 369 379 384 leis de Kirchhoff 352353 método de correntes de malha 368369 método de tensões de nó 366367 energia standby vampira 401 430431 reatância 351 relações tensãocorrente vi 349352 resposta 343344 384 transformações de fonte 362365 transformações ΔY 354356 transformador ideal 374379 384 transformadores 374383 400 Análise qualitativa 584586 593 598599 610 circuitos de filtro ativo banda estreita 657658 circuitos de filtro passivo 601 603 611 615 fator de qualidade Q 601 603 611 615 657658 filtros passaaltas 593 filtros passabaixas 584586 filtros passafaixa 598599 filtros rejeitafaixa 610 Análise quantitativa 587588 593594 599601 610614 filtros passafaixa 599601 filtros rejeitafaixa 610614 filtros passaaltas 593594 filtros passabaixas 587588 Ângulo de fase w 339 Atenuação 589 Autoimpedância Z 370371 Autoindßutância 205206 210211 213 B Bobina de corrente 466 C Cálculos de potência 400444 460466 471 699702 711 análise de regime permanente senoidal 400444 cargas ligadas em Y 460461 cargas ligadas em Δ 461462 cargas não especificadas 464465 cargas paralelas 417719 circuitos capacitivos 405406 circuitos indutivos 405 circuitos resistivos 404 circuitos trifásicos equilibrados 462467 471 circuitos trifásicos 462467 471 consumo de energia de eletrodomésticos 408409 equações para 414422 equilíbrio de um circuito ca 420421 fator de potência fp 406 431 fator reativo fr 406 432 funções periódicas e 699702 711 máxima transferência de potência 422429 432 potência aparente 423 432 potência complexa S 411416 432 461 potência instantânea 402403 432 potência média real P 403409 415419 432 460461 699702 7112 potência reativa Q 403409 415417 732 potência standby vampira 401 430431 valor eficaz 409411 Caminho definição 9697 Capacitância C 189 197 197201 217219 combinações sérieparalelo 202204 218219 corrente de deslocamento 197 equações terminais para 197202 219 parâmetro de circuito de 189 197 218 telas de toque 217218 tensão inicial equivalente 204 Capacitores 189 197201 218217 316317 351 523524 554 556 562 combinações sérieparalelo 202204 219 comportamento de 189 corrente i 197200 218219 corrente de deslocamento 197 domínio da frequência 351 domínio s 523524 562 energia w em 199201 218 equações terminais para 197202 219 523524 função impulso I em 554556 operação de chaveamento 554556 potência p em 198199 218 relações correntetensão iv 197198 351352 relações tensãocorrente vi 198 351351 resposta a um degrau de tensão de circuitos RLC em série 315317 símbolo do circuito para 197 telas de toque 190191 217218 tensão v 198201 218219 transformada de Laplace usada para 524525 554556 562563 Cargas ligadas em Y potência em 460461 Cargas ligadas em Δ potência em 461462 Cargas 65 416421 cálculos de potência para 414419 circuitos trifásicos equilibrados e 445450 definição 65 ligadas em delta Δ 456457 ligadas em Y 448449 não especificadas 464 Centelhamento 192 Chaveamento sequencial 259263 267 271 amplificador integrador com 265 circuitos resistorcapacitor RC 240 244 circuitos resistorindutor RL 244246 respostas de circuito de primeira ordem e 244248 251 270 Circuito aberto 36 Circuito amplificador inversor 164166 174 175 Circuitos elétricos 858 Book Nilsson 4 Apendicesindb 858 290116 1408 Circuito amplificador não inversor 167169 175176 178 Circuito amplificador somador 166167 178 Circuito de distribuição residencial 338 383 Circuito de malha resposta ao degrau do 531533 Circuito do amplificador diferencial 169174 178 análise de 155156 178 entrada de modo comum 170172 178 entrada de modo diferencial 170172 178 fator de rejeição de modo comum FRMC 172174 178 Circuito elétrico definição 5 Circuito equivalente do tipo T 815816 Circuito equivalente do tipo π para T 7678 Circuito equivalente do tipo π 816819 Circuito equivalente ΔY 7678 80 Circuito fechado caminho 40 50 Circuitos amplificadores 105107 113115 113115 164176 265267 627 758 análise de 105107 113114 129130 264265 320325 caixa preta 758 equivalente de Thévenin em 129130 integradores 265269 271 320325 método das correntes de malha para 113115 método das tensões de nó para 105107 operacional amp op 157176 respostas e 264265 270 320325 326327 Circuitos capacitivos cálculos de potência para 405406 Circuitos de filtro ativo 625665 controle de volume de graves 626 663665 de ordem superior 642652 de primeira ordem 627642 diagramas de blocos 635636 diagramas de Bode 628631 em cascata 643647 filtros com amp ops 625665 filtros de banda estreita 656662 filtros de banda larga 635641 657 filtros de Butterworth 647655 filtros passaalta 627631 655 filtros passabaixa 627631 647649 filtros passafaixa 634642 655659 filtros protótipos 643645 662 filtros rejeitafaixa 634642 655 657 659662 gráficos de resposta de frequência 627630 mudança de escala 632634 658 Circuitos de filtro passivo 580624 análise qualitativa 584586 análise quantitativa 587589 capacidades de filtragem de 582584 definição 582584 fator de qualidade Q 598 601 611 615 filtros passaaltas 584584 592597 615 filtros passabaixas 584592 615 filtros passafaixa 584 597609 615 filtros rejeitafaixa 584 609613 615 frequência central de ressonância v0 597599 611612 615 frequência de corte vc 582583 585586 594 596 600 611612 615 frequências de faixa de passagem 582584 615 frequências de faixa de rejeição 582584 615 função de transferência Hs para 582 591 596597 608 610611 613614 gráfico de amplitude 583 gráfico de ângulo de fase 583 gráficos de resposta de frequência 582583 largura de banda b 597 600 611612 615 relação entre domínios da frequência e do tempo 591 608 resposta de frequência e 580 telefones de teclas 521 616 Circuitos de frequência seletiva 580677 atenuação 581 categorias de filtro 582584 615 circuitos de filtro ativo 525677 circuitos de filtros passivos 580624 definição 580 615 gráficos de resposta de frequência para 582583 560563 símbolos de circuito para 584 telefones de teclas 581582 614615 Circuitos de parâmetros concentrados 496498 526 541 Circuitos de segunda ordem 292333 amplificadores integradores 320324 327 definição 320 resistorindutorcapacitor RLC 292333 resposta ao degrau de 297306 308309 resposta natural de 290303 307311 315 solução geral de equações diferenciais 293297 Circuitos de telefone de teclas 581582 614615 Circuitos divisores de corrente 66 79 Circuitos divisores de tensão 6465 68 Circuitos elétricos de radiadores 27 4850 Circuitos equivalentes de Norton 125 140 362363 análise de 125 140 definição 125 impedância Z em 362363 transformações de fonte no domínio da frequência 362363 transformações de fonte utilizadas para 125 Circuitos equivalentes de Thévenin 123129 140 337339 533534 análise de transformada de Laplace e 533534 análise de 123129 140 circuito amplificador usando 129130 definição 123 determinação de equivalente de 124125 domínio da frequência uso de em 522523 fonte de resistência RTh 123125 fonte de tensão VTh 123125 fonte de teste para 128 fontes dependentes 110 117 fontes independentes 128129 impedância Z em 351353 no domínio da frequência 352353 transformações de fonte usadas para 125126 362363 Circuitos equivalentes 6164 7678 7980 123130 140 174176 202205 219 354366 384 533535 análise de regime permanente senoidal 354366 384 análise de transformada de Laplace de 533535 capacitores 202205 219 combinações sérieparalelo 6164 76 202205 219 354359 de amplificador operacional amp op 174176 Índice remissivo 859 Book Nilsson 4 Apendicesindb 859 290116 1408 de Norton 125 140 362 de Thévenin 123130 140 362365 533535 enrolamentos magneticamente acoplados e 535536 indutores 202205 219 no domínio da frequência 354366 384 resistores 6164 79 transformação de 7673 76 125127 transformações de fonte 125127 362366 ΔY 7678 71 359362 p para T 7678 Circuitos indutivos cálculos de potência para 414415 Circuitos invariantes no tempo 544545 556 Circuitos ligados em paralelo 6264 79 202205 219 356358 775776 Veja também Circuitos RLC em paralelo capacitores 204205 219 circuitos quadripolos 775276 impedâncias combinadas em 354356 indutores 202203 219 lei de Kirchhoff para 62 64 lei de Ohm para 62 resistores 6264 79 Circuitos ligados em série 41 50 61 79 202204 218 354358 710 Veja também Circuitos RLC em série capacitores 197198 218 circuitos quadripolos 775 conceito de caixa preta 61 impedâncias combinadas em 354358 indutores 191192 218 lei de Kirchhoff das correntes para 39 50 61 posições de nó 39 50 resistores 61 79 Circuitos monofásicos equivalentes 451452 471 Circuitos não planares 96101 Circuitos planares 9697 Circuitos quadripolos com carga em seus terminais 769773 Circuitos quadripolos simétricos 768 780 Circuitos quadripolos 757786 amplificador de caixa preta 758 779 análise de 769773 com cargas em seus terminais 769773 conversão de parâmetro para 764766 conversão de parâmetros 765767 equações terminais para 758 imitância 762763 ligados 775778 parâmetros de transmissão 762 parâmetros de 759765 775 parâmetros híbridos 762 parâmetros Z 759760 769773 portas 757 recíprocos 767768 780 simétricos 768 780 Circuitos RC veja Circuitos resistorcapacitor RC Circuitos recíprocos quadripolos 767768 780 Circuitos resistivos 5990 384 análise de divisão de corrente 6870 8081 análise de divisão de tensão 6870 80 cálculos de potência para 409 carga 65 divisor de corrente 66 70 divisor de tensão 6465 70 equivalente do tipo p para T 7678 equivalente ΔY 7678 80 fontes cc constantes 60 ligada em série 61 79 ligados em paralelo 6264 79 medição de tensão e corrente em 7073 80 ponte de Wheatstone 7475 80 resistores 5962 80 telas touch 60 7880 Circuitos resistorcapacitor RC 231 239 240244 249246 262 264 497498 580586 análise de transformada de Laplace 483484 análise qualitativa de série 592593 análise quantitativa de série 593 chaveamento sequencial 259 261 constante de tempo t 235 270 definição 231 domínio da frequência 520521 expressão derivada de tensão v 305 filtros passaaltas comportamento de como 592594 filtros passabaixas comportamento de como 584585 frequência de corte 586 588 gráfico de resposta de frequência de 583 resposta ao degrau 244251 270 resposta indefinidamente crescente 264265 resposta natural 231232 240245 270 526527 símbolos de circuito para 339 357 solução geral para respostas de 251256 293 Circuitos resistorindutor RL 231 233239 240244 251258 270 584587 591593 análise qualitativa de série 584585 análise quantitativa de série 587588 chaveamento sequencial 259261 constante de tempo t 235236 270 corrente i deduzindo expressão para 233235 definição 231 filtros passaaltas comportamento de como 592594 filtros passabaixas comportamento de como 584587 frequência de corte 586588 594 gráficos de resposta de frequência de 583584 resposta ao degrau 231232 244249 251 resposta em regime permanente 236 resposta natural 231232 240245 270 resposta transitória 236 símbolo de circuito para 339 solução geral para respostas de 251256 293 Circuitos resistorindutorcapacitor RLC 290329 528531 580592 análise qualitativa de série 584585 592 análise quantitativa de série 587588 593596 circuitos seletivos de frequência 581583 domínio da frequência 528531 em paralelo 290309 326 528531 em série 290294 315316 equação característica para 293 298299 316 326 filtros passafaixa comportamento de como 597605 filtros rejeitafaixa comportamento de como 609613 Circuitos elétricos 860 Book Nilsson 4 Apendicesindb 860 290116 1408 frequência angular de ressonância v0 295296 326 frequência de corte vc 583 586587 frequência de Neper a para 294295 316 função de transferência Hs para 597 599600 603 607 gráficos de resposta de frequência 583 627628 resposta ao degrau 290299 308309 528532 resposta natural 290303 315319 326 resposta subamortecida de tensão 295 301304 316 317318 326328 resposta transitória de 481482 respostas de tensão criticamente amortecidas 295 305306 307 311 326327 respostas superamortecidas de tensão 295 297299 302 304 326327 símbolos de circuito para 339 359360 sincronização do relógio do computador 291 325326 transformada de Laplace análise de usando 483486 Circuitos RL veja Circuitos resistorindutor RL Circuitos RLC em paralelo 292315 326327 528531 abordagem direta para 310 abordagem indireta para 309310 análise de transformada de Laplace 521531 domínio da frequência 521531 equação característica para 293 295297 326 frequência angular de ressonância v0 294296 frequência de Neper a para 294296 resposta ao degrau 308315 326327 528529 resposta natural 292308 326 resposta transitória 530531 respostas criticamente amortecidas 295 305307 326 326 respostas subamortecidas 295 301305 326 326 respostas superamortecidas 295 297301 326 326 símbolos de circuito para 290291 308 solução geral de equações diferenciais 292297 Circuitos RLC em série 315319 325326 equação característica de 316 325 frequência angular de ressonância vo 316 frequência de Neper a 316 resposta ao degrau 315319 325326 resposta criticamente amortecida 305 resposta natural 315319 resposta superamortecida 316 respostas subamortecidas 316318 símbolos de circuito para 315316 tensão do capacitor em 316317 Circuitos RLC veja Circuitos resistorindutorcapacitor RLC circuitos trifásicos equilibrados 445481 análise de circuitos YY 449455 471 análise de circuitos YΔ 456459 cálculos de potência em 460466 472 cargas ligadas em Y 460461 cargas ligadas em Δ 461462 cargas não especificadas 464 circuitos equivalentes monofásicos 451 470 condições para 450 corrente de fase 452 452455 corrente de linha 452 452455 energia elétrica transmissão e distribuição de 446 470471 fontes de tensão trifásica 447449 leis de Kirchhoff para 451452 452453 método dos dois wattímetros para medição de energia 467470 472 potência complexa em 461 potência instantânea em 462463 potência média em 460461 472 símbolos de circuito para 448449 tensão de fase 452 452455 tensão de linha 452 452455 tensões v 446447 471 tensões de fase senoidal para 448449 47 terminal neutro para 448 Circuitos trifásicos veja circuitos trifásicos equilibrados Circuitos 193 231336 338 383 445480 482 496497 511513 522524 543544 562 580677 757786 Veja também Circuitos do amplificador Análise de circui tos Circuitos equivalentes elemento básico ideal de circuito abertos 36 convenção passiva de sinal 13 curto 36 de corrente i 1114 2734 3844 de filtro ativo 625677 de filtro passivo 580624 de fontes cc constantes 60 de fontes dependentes 2729 30 4448 50 de primeira ordem 231289 de radiadores elétricos 27 4850 de segunda ordem 290336 de seletividade de frequência 580677 de tensão v 1113 2830 3334 distribuição residencial 338 383 domínio s 522524 562 efeitos transitórios em 482 511512 elementos básicos ideais 1214 2658 energia e 1517 engenharia elétrica e 18 invariantes no tempo 543 562 lei de Ohm 3132 50 leis de Kirchhoff 3844 50 ligados em paralelo 6264 79 ligados em série 41 50 61 79 modelos de 1011 1819 3638 parâmetros concentrados 496497 512 potência p e 1517 quadripolos 757786 resistência elétrica 3134 resistivo 5993 respostas de 231336 sincronização do relógio do computador 291292 325326 Sistema Internacional de Unidades SI para 810 transformada de Laplace e 522524 544 562563 trifásicos equilibrados 445480 variáveis de 125 Coeficiente de acoplamento 214 219 Conceito de caixa preta 61 Condições de Dirichlet 681 Condutância G 32 63 356 Índice remissivo 861 Book Nilsson 4 Apendicesindb 861 290116 1408 Conexões em cascata 320325 326 634638 642646 650656 665666 775778 amplificadores integradores 320325 326327 circuitos quadripolos 775778 filtros ativos 624638 643646 650656 665666 filtros de Butterworth 650665 665666 filtros de ordem superior 643646 filtros de primeira ordem 624638 filtros idênticos 643646 filtros passabaixa 643646 665 filtros passafaixa 624638 função de transferência Hs e 643646 ordem dos filtros 644 652655 665666 Configurações de fonte em Y 448449 Configurações de fonte em Δ 448449 Conjugado de números complexos 810811 Constante de tempo t 235236 240 270 circuitos resistorcapacitor RC 231 269 circuitos resistorindutor RL 231232 269 Consumo de energia de eletrodomésticos 407409 Controle de volume de graves 626 662665 Convenção de pontos 206209 212213 219 377378 indutância mútua M 206209 212213 219 polaridade de enrolamentos mutuamente acoplados 206 219 procedimento para 207208 transformadores ideais 377378 Convenção de sinal passivo 13 19 Convolução 545551 563 737738 integral para função de transferência e 545551 563 transformadas de Fourier operacionais para 737738 Corrente i 1113 19 2734 3844 50 7074 80 108 159164 178 192194 197200 202204 218219 233235 316 339341 352353 376379 452 456459 471 amperímetros 7072 80 amplificadores operacionais amp ops 159164 178 análise de circuitos YΔ e 456459 capacitores 197200 218219 características variáveis terminais 159164 178 carga elétrica e 1113 de deslocamento 197 de fase 452 456459 de linha 452 456459 de malha 108 definição 12 19 determinação de 192194 direção de referência 13 domínio da frequência 352353 376379 384 em circuito RC 233235 em circuito RLC 316 fonte senoidal 339341 384 fontes de 2730 50 indutância equivalente 203 indutores 192194 202203 218219 234 lei de Kirchhoff LKC 3843 50 352353 456 lei de Ohm 3132 50 medição de 7074 80 polaridade de 377379 potência em um resistor 3334 50 razão de transformação 376379 384 resposta natural e 233235 316 restrições de entrada 161162 178 tensão v e 1113 192194 trifásica 452 456459 471 Corrente de deslocamento 197 Corrente de fase 452 456459 Corrente de linha 417 451452 Corrente de malha definição 107 Curtocircuito 36 D Decibéis dB 823824 Deslocamento transformadas operacionais para 491492 737 Determinante do numerador 788789 Determinante menor 789 Determinantes 789791 792 Diagramas de Bode 627631 635636 643 825842 componentes de filtro com amp op de 635636 filtros idênticos em cascata 643 resposta de frequência 627631 uso de análise de filtro ativo 627631 635636 Diagramas fasoriais 380383 452 457 Diferenciação transformadas operacionais para 492493 736 Domínio da frequência 344346 349354 362380 384 494497 591 608 736738 Veja também Domínio s análise de regime permanente senoidal e 344 349354 362380 384 circuito equivalente de Norton 362 circuito equivalente de Thévenin 362365 circuitos de filtro passivo e 591 608 combinações de impedância em paralelo 356358 combinações de impedâncias em série 354359 conversão em 494 736 convolução em 738 definição 344 elementos de circuito passivo em 349352 impedância Z 352 354366 379 384 leis de Kirchhoff 352354 método das correntes de malha 368369 método das tensões de nó 366367 notação no domínio s para funções de Laplace 496497 reatância 352 relações no domínio do tempo 591 608 relações tensãocorrente vi 349352 transformação fasorial inversa 3453346 384 transformação fasorial 344 384 transformações de fonte e 362366 transformações no domínio do tempo 344346 384 transformações operacionais em 494495 736738 transformações ΔY 35932 transformada de Laplace para 494497 transformadas de Fourier para 736738 transformadores 369380 384 Domínio de s 492506 508509 512513 522 análise de circuito em 483497 520 capacitor em 523524 555 equações terminais de tensãocorrente em 522524 562 equivalente de Thévenin uso de em 533534 Circuitos elétricos 862 Book Nilsson 4 Apendicesindb 862 290116 1408 expansão em frações parciais 500510 513 542545 562 função de transferência Hs em 539552 562 função impulso Kdt em 512513 554 indutância mútua em 535536 indutor em 510511 522 lei de Ohm em 521522 leis de Kirchhoff e 521 notação de em transformada de Laplace 483484 polos polinômio denominador 507508 513 resistor em 522 562 respostas de circuitos em 481493 símbolos de circuito para 359360 483484 509510 547 653 superposição uso de em 537539 teorema do valor final 508510 513 teorema do valor inicial 508510 513 transformada de Laplace e 481494 496497 511512 520 transformada inversa de Laplace e 481491 511 zeros polinômio numerador 507508 513 Domínio do tempo 3145347 384 482486 591 608 694695 725726 735736 cálculos de energia 699705 circuitos de filtro passivo e 584 615 convergência da integral da transformada de Fourier e 726728 convolução em 737738 deslocamento em 493494 737 diferenciação em 736 equações íntegrodiferenciais para 493495 integração em 736 mudança de escala em 736 relações no domínio da frequência 591 608 737 Teorema de Parseval para 742748 transformação fasorial inversa 345346 384 transformação fasorial 345 384 transformações no domínio da frequência 345347 384 transformada de Fourier e 723725 728732 739745 transformada de Laplace e 481485 transformadas operacionais para 481482 735739 E Efeitos transitórios em circuitos 482 511512 Elemento de circuito ativo 29 Elementos básicos ideais de circuitos 1214 19 2657 189235 ativos 29 autoindutância 205211 213214 219220 228 capacitores 189 204211 218 circuito fechado caminho 37 50 combinações sérieparalelo 202204 218 construção de modelo 3537 convenção do ponto 206208 212213 convenção passiva de sinal 13 18 191 corrente i 13 2633 3843 definição 1213 19 direção de referência 13 em série 41 50 equações terminais para 191196 198202 216 fontes 2629 4447 50 indutância mútua 189 205206 210211 indutores 202 204210 218219 231 leis de Kirchhoff 3842 50 ligados em série 59 nós 3839 50 passivos 29 190 216 radiadores elétricos 27 4849 referência de polaridade 206212 resistência elétrica 3134 50 resistores 3134 50 sensores de proximidade 217 tensão v 13 2629 3334 Elementos de circuito em série veja Circuitos ligados em série Elementos passivos de corrente 29 191 218 349318 capacitores 191 218 351352 definição 29 domínio da frequência 349352 fontes ideais 29 impedância Z 351352 indutores 191 218 350361 reatância 351352 relações tensãocorrente vi 349351 resistores 349 Encapsulamento dual em linha DIP 159 Energia w 1518 194196 199201 214216 218219 742750 cálculos no domínio do tempo 742750 capacitores 199201 218 indutância mútua e armazenamento de 214216 219 indutores 194196 218 potência p e 1417 Teorema de Parseval para 742750 Energia elétrica transmissão e distribuição de 445446 470471 Veja também Circuitos trifásicos equilibrados Energia standby vampira 401 430431 Energia vampira standby 401 430431 Engenharia elétrica 28 papel de 23 resolução de problemas de 3 68 sistemas de computação 34 sistemas de comunicação 3 sistemas de controle 4 sistemas de potência 5 sistemas de processamento de sinais 45 teoria de circuitos 56 visão geral de 48 Enrolamento primário e secundário 370 Enrolamento do primário transformadores 370 Enrolamento do secundário transformadores 370 Enrolamento potencial 466467 Enrolamentos magneticamente acoplados 206 210213 219 256259 374376 815822 circuito equivalente do tipo T 815816 circuito equivalente do tipo p 816819 circuitos equivalentes para 819822 indutância mútua M de 206 210213 219 resposta ao degrau de 256259 transformadores ideais e 3374376 819822 Entrada de modo comum 171172 178 Entrada de modo diferencial 170172 178 Entrada de onda quadrada de senoides 680 709711 Índice remissivo 863 Book Nilsson 4 Apendicesindb 863 290116 1408 Equação característica 293 295296 316 326327 circuitos RLC em paralelo 293 293296 326327 circuitos RLC série 315316 326327 definição 293 raízes de 293 295296 316 326327 Equação de potência 15 Equação de tensão de nó VN 449450 Equações íntegrodiferenciais 493496 Equações simultâneas 9799 759780 abordagem sistemática por meio de 9899 análise de circuitos usando 9496 avaliação de determinante para 759762 determinação do número de 9798 determinante característico 760 determinante numerador 760761 matriz algébrica para 763767 771775 matrizes para 763764 768773 método de Cramer 650 solução de 759780 Espectro de amplitude 706709 Espectro de fase 706709 Espectro de linha 707 Estratégia de resolução de problemas 2 68 Expansão em frações parciais 498507 512 542545 562 análise de transformada de Laplace e 542545 562 circuitos invariantes no tempo 544545 562 função de transferência Hs em 542554 562 função racional imprópria 478 506507 funções racionais adequadas 497498 512 pares de transformada de Laplace para 506 raízes complexas distintas de Ds 500502 raízes complexas repetidas de Ds 504506 raízes reais distintas de Ds 498500 raízes reais repetidas de Ds 502504 transformadas inversas de Laplace em 497507 512 Extensômetros 158 177178 F Fasores 344348 384 análise de regime permanente senoidal e 344348 384 definição 344 domínio da frequência e 349 384 transformação inversa 345348 384 transformada de 311 384 Fator de amortecimento coeficiente 302 Fator de escala de amplitude ka 632 665 Fator de escala de frequência kf 632 665 Fator de potência fp 406 432 Fator de potência adiantado 406 Fator de potência atrasado 406 Fator de rejeição de modo comum FRMC 172174 178 Fator reativo fr 406 432 Filtragem de sinal digital 724 750 Filtragem de sinal digital 724 751 Filtro supressor de faixa duploT 659662 Filtros ativos de ordem superior 642655 666667 Filtros ativos de primeira ordem 627642 amplificador integrador análise de 265269 271 chaveamento sequencial 259264 268 271 constante de tempo t 235236 240 271 definição 233 271 marcapassos 232233 2692270 resistorcapacitor RC 231 233 240244 249259 262263 270 resistorindutor RL 231 233239 244249 251262 270 resposta ao degrau de 232 224236 2270271 resposta em regime permanente de 270 resposta indefinidamente crescente de 264265 271 resposta natural de 232 233244 251259 270 resposta transitória de 236 soluções gerais para 251259 270 Filtros de alto Q 657662 666 709711 Filtros de banda estreita 657662 666 fator de qualidade Q e 657662 filtro supressor de faixa duploT 659662 filtros passafaixa 657659 rejeitafaixa 659662 Filtros de banda larga 635642 665 Filtros de Butterworth 647649 665666 função de transferência Hs 647649 655656 665 ordem de cascata 652655 passaalta 655656 665666 passabaixa 647649 668669 passafaixa 655656 666 projeto de circuitos 648649 rejeitafaixa 655656 666 Filtros passaaltas 582583 592595 608 610611 615 618619 amplificador operacional amp op 627628 631 análise qualitativa 592593 análise quantitativa 593 circuitos de filtro ativo 627628 630631 668 circuitos de filtro passivo 584585 630634 665 circuitos RC em série 592596 circuitos RL em série 594596 de Butterworth 647 655656 frequência de corte vc 583 585 função de transferência Hs para 589590 596 gráficos de resposta de frequência 583 627628 Filtros passabaixas 580588 610 615616 627628 634635 amplificador operacional amp op 627629 650654 análise qualitativa 584585 análise quantitativa 587588 circuitos de filtro ativo 627629 641642 659660 circuitos de filtro passivo 584592 615 circuitos RC em série 584585 circuitos RL em série 584587 de Butterworth 647653 655656 definição 583584 615 frequência de corte vc 585586 função de transferência Hs para 539 562 gráficos de resposta de frequência 583586 627630 idênticos em cascata 635 643646 regiões de frequência 589 relação entre domínios da frequência e do tempo 554 Filtros passafaixa 582 597609 615 634638 655659 665666 amplificador operacional amp op 635638 655659 665666 análise qualitativa 598599 Circuitos elétricos 864 Book Nilsson 4 Apendicesindb 864 290116 1408 análise quantitativa 599601 banda estreita 657659 banda larga 634641 665 Butterworth 655 666 circuitos de filtro ativo 634637 655659 665666 circuitos de filtro passivo 669 597604 615 circuitos RLC como 598608 diagrama de Bode componentes de 634638 em cascata 634638 fator de qualidade Q 597598 601 615 657658 filtros de alto Q 657659 680 661662 frequência central de ressonância vo 597598 615 frequência de corte vc 597 615 função de transferência Hs para 608 613 639 657 gráficos de resposta de frequência 583 597 largura de faixa b 597598 597598 615 relação entre domínios da frequência e do tempo 608609 Filtros rejeitafaixa 582 609613 615 638642 655 659662 665666 análise qualitativa 610 análise quantitativa 610613 circuito RLC em série como 610613 circuitos de filtro ativo 638642 655656 659662 665666 circuitos de filtro passivo 582 609613 615 diagrama de Bode componentes de 642643 fator de qualidade Q 612 filtro supressor de faixa duploT 659662 filtros com amplificador operacional amp op 638642 656 filtros de alto Q 659662 filtros de banda estreita 659662 filtros de Butterworth 656 666 frequência central de ressonância vo 611612 frequência de corte vc 611612 função de transferência Hs para 611 613 615 639 gráficos de resposta de frequência 583 610 largura de banda b 611612 Filtros 582584 614615 Veja também Circuitos de filtro ativo Circuitos de frequência seletiva Circuitos de filtro passivo Fontes cc constantes 60 Fontes cc constantes 59 Fontes controladas 28 Fontes dependentes 2728 30 4448 50 102103 110112 126127 128129 análise de circuitos com 102103 110112 126127 128129 elementos ideais de circuito de 2728 50 equivalente de Thévenin de circuitos com 126127 128129 ligações de 27 método de correntes de malha para 110112 método de tensões de nó para 102103 Fontes independentes 26 28 30 133134 elementos ideais de circuito 26 50 equivalentes de Thévenin de circuitos com 123124 ligações de 29 Fontes senoidais 339342 370 482 511512 análise de regime permanente 343346 369 ângulo de fase w 339 corrente i 339340 368 período 339 resposta completa de circuito de 482 511512 tensão v 339341 368 transformada de Laplace para 482 511512 valor eficaz 338340 Fontes 2629 4447 49 59 308311 362 401402 432 467468 510513 configurações Y 448449 configurações Δ 448449 constantes cc 60 controladas 28 de corrente ideal 2831 50 de tensão ideal 2831 50 de tensão trifásica 448449 dependentes 2829 31 4447 50 elemento ativo de 29 elemento passivo de 29 impulsivas 554557 independentes 28 31 50 ligação de 3031 resposta completa de circuito e 482 511512 senoidal 339342 370 448 482483 transformada de Laplace e 480 512513 539542 Forma exponencial da série de Fourier 703706 712 Forma polar de números complexos 809810 Forma retangular cartesiana de números complexos 809 Formas de onda 679681 Frequência v 6 582584 586587 589 593 596600 614615 680681 711 alta 584 baixa 584 central ou de ressonância vo 597599 5 crescentes a partir de zero 589 de corte vc 582584 586587 593 596 600 5 definição 6 faixa de passagem 582584 615 faixa de rejeição 582584 615 fundamental 681 711 harmônica 681 711 infinita 589 regiões 591 zero 589 Frequência angular amortecida 301 Frequência angular de ressonância v0 295296 326 Veja também Frequência central v0 Frequência central vo 597600 611612 615 Frequência de corte vc 582584 586587 593 596 601 611613 5 definição 586587 5 filtros passaaltas 593 596 filtros passabaixas 586587 filtros passafaixa 601 filtros rejeitafaixa 611613 frequência central relação com 601 612 frequência de meia potência 586587 largura de banda relação com 601 612 Frequência de corte 748 Frequência de meia potência 587 Frequência de Neper a para 294295 316 Frequência fundamental 681 711 Índice remissivo 865 Book Nilsson 4 Apendicesindb 865 290116 1408 Frequência harmônica 725 681 Frequência infinita 589 Frequência zero 589 Frequências altas 585 Frequências baixas 585 Frequências da faixa de rejeição 583584 609 Frequências de faixa de passagem 582583 615 Função de ponderação memória e 550551 Função de transferência Hs 520533 537 539 540541 545546 551553 582 585592 596597 601 análise de circuitos de transformada de Laplace e 520533 537 análise de circuitos 520533 537 Circuitos de filtro ativo 627 630635 642 665 circuitos de filtro passivo e 584 596597 615 625626 665666 circuitos invariantes no tempo 544545 556 definição 539 expansão por frações parciais uso de em 498501 513 filtros de Butterworth 647650 652 655 filtros idênticos em cascata e 643646 filtros passaaltas 592593 615 filtros passabaixas 584 615 filtros passafaixa 584 597 615 634 filtros rejeitafaixa 609610 612 614 função de ponderação 550551 integral de convolução e 545549 563 memória e 545546 polos de 541 resposta em regime permanente senoidal e 551553 561 zeros de 541 Função degrau Kut 484485 512 Função degrau unitário ut 484 512 732 Função exponencial 486487 Função impulso I 486488 506 554560 561 análise de circuito capacitivo 554555 análise de circuitos por meio de 554560 562 circuito indutor e 510513 definição 486 512 derivadas de 486 equações para Kdt 486488 512 fontes impulsivas 558561 força K de 587 função de parâmetro variável 487488 função exponencial 487488 operações de chaveamento para 484486 554 propriedade de filtragem 488 símbolos de circuito para 520521 transformada de Laplace e 481483 489 496502 512 unidade dt 486 512 Função impulso unitário dt 489 513 Função parâmetro variável 487488 Função racional Fs 497508 513514 definição 497 expansão em frações parciais 498507 513 polos de 507508 513 zeros de 507508 513 Função sinal transformada de Fourier de 731 Funções aperiódicas 724726 Funções cosseno 691693 732733 Funções periódicas 678681 685691 693703 706709 711712 724726 aplicação de séries de Fourier de 693699 cálculos de potência média 699703 713 coeficientes de Fourier e 681 685691 definição 678 711 efeitos de simetria de 685691 711 espectro da fase de 706709 espectro de amplitude de 706709 formas de onda 678680 representação de séries de Fourier de 681 resposta de regime permanente usando 693699 transformadas de Fourier e 724726 transição de função aperiódica a partir de 724726 valor eficaz 702703 712 Funções racionais impróprias 498 506507 Funções seno 680681 G Ganho A de malha aberta 165 178 Ganho A 160 165 172173 178 de malha aberta 165 174 de modo comum 172173 178 de modo diferencial 172173 178 de tensão em amps ops e 160 Gráfico de amplitude 583 Gráficos de amplitude em linha reta 826829 835839 Gráficos de ângulo de fase em linha reta 831833 Gráficos de ângulo de fase 583 831833 839842 Gráficos de resposta de frequência 582586 593 598599 627631 circuitos RC em série 593 circuitos RL em série 584586 circuitos RLC em série 598599 diagramas de Bode 627631 gráfico de amplitude 582583 gráfico de ângulo de fase 582583 I Identidades trigonométricas 700 Imitância 762763 Impedância Z 351 354355 357 362 370371 379383 admitância Y 356 384 análise do regime permanente senoidal e 337349 auto 3370371 cálculos de potência em regime permanente senoidal e 400401 411415 casamento por meio de transformadores ideais 379 circuito equivalente de Norton 362 circuito equivalente de Thévenin 362364 combinadas em série e em paralelo 354358 de carga ZL 379380 definição 352 equivalência de 354364 máxima transferência de potência e 422426 potência complexa S e 411412 reatância e 351 refletida Zr 371 372 Circuitos elétricos 866 Book Nilsson 4 Apendicesindb 866 290116 1408 susceptância B 356 transformações de fonte e 362365 transformações de fontes no domínio da frequência 362374 transformações ΔY 360362 transformadores e 369370 Impedância de carga ZL 400401 Impedância refletida Zr 371 384 Impulso definição 486 Indutância L 189 191 202215 218219 auto 205206 210211 214 centelhamento e 192 combinações sérieparalelo 202204 217 corrente equivalente inicial 202 lei de Faraday 210212 mútua 189 205216 218 parâmetro de circuito de 191 197 218 Indutância mútua M 191 205216 219 535536 análise de transformada de Laplace e 535536 armazenamento de energia w e 213216 219 autoindutância e 210211 213214 219 coeficiente de acoplamento e 214 219 convenção de pontos para polaridade 206209 212213 219 domínio da frequência usando 535536 enrolamentos magneticamente acoplados e 206 211213 219 equações de correntes de malha para 206209 parâmetros de circuito de 189190 213196 219 Indutores 189 191197 202204 218219 325326 482483 510512 519 632 combinações sérieparalelo 202203 218 comportamento de 190 corrente i em 191193 210 domínio da frequência 345346 domínio de s 492493 497 energia w em 194196 210 equações terminais para 191196 216 522523 função impulso I em 520521 operação de chaveamento 554556 potência p em 194196 218 relações tensãocorrente vi 192193 339340 símbolo de circuito para 197 tensão v em 191192 210 transformada de Laplace para análise de 481482 520 522 526 valores de componentes 710 Integração transformadas operacionais para 491492 736 Interruptores 192 amplificador integrador com 265 análise de transformada de Laplace e 488 520524 526 centelhamento 192 chaveamento sequencial 259263 271 circuitos capacitivos 554555 circuitos indutivos 192 556558 circuitos RL e RC 231239 251 funções impulso criadas por 554558 supressores de surto 521 561 Inversa de uma matriz 725 l Largura de banda b 597 600 611612 615 Lei de Faraday 210211 Lei de Ohm 3132 50 62 525526 aplicações no domínio s 525526 resistência elétrica e 3132 50 62 Leis de Kirchhoff 3842 50 6162 64 352353 452453 525 aplicações no domínio da frequência das 520 circuito fechado caminho para aplicação de 40 50 circuitos trifásicos equilibrados por meio de 445446 450 corrente LCK 3943 49 353354 456 domínio da frequência 352353 nós 3839 50 resistores ligados em paralelo 62 66 resistores ligados em série 61 tensão LTK 4043 48 353 451452 Ligação de fontes 2829 Ligação do tipo T 76 Ligação do tipo p 76 Ligação em paralelosérie de circuito quadripolos 775 Ligação em Y 76 Ligação em Δ 76 Ligação sérieparalelo de circuitos quadripolos 775 m Malha definição 9697 Malha definição 9697 Matriz de identidade 700701 Matriz linha 750 Matriz quadrada 750 Matriz definição 791 Matrizes 791792 795797 Máxima transferência de potência 131133 140 423429 432 análise de circuitos e 131133 140 análise de regime permanente senoidal e 423429 432 impedância Z restrita 425427 impedância de carga ZL para 422424 potência média Pmáx absorvida 424 transformador ideal 428429 Medição 810 7075 80 466470 471 823824 amperímetro 7072 80 corrente 7074 de transmissão de potência 823824 decibel dB usado para 823824 medidores analógicos 71 80 medidores digitais 70 80 método de dois wattímetros 467470 471 movimento do amperímetro de dArsonval 7071 ponte de Wheatstone 7475 80 potência média P 466470 471 resistência 7475 80 Sistema Internacional de Unidades SI 810 tensão 7072 80 voltímetro 7071 80 wattímetro 466470 472 Medidores analógicos 71 Medidores digitais 70 80 Medidores veja Medição Memória e a função de ponderação 500501 Método de correntes de malha 96 107119 140 205209 368369 análise de circuitos usando 96 107119 140 Índice remissivo 867 Book Nilsson 4 Apendicesindb 867 290116 1408 análise de regime permanente senoidal usando 368369 análise do circuito amplificador por meio de 113115 casos especiais de 112115 circuitos no domínio da frequência 368369 equações 107110 119 208209 fontes dependentes e 110112 indutância mútua M e 205209 método das tensões de nó comparação de 115119 ramos essenciais e 112113 supermalha 113 Método de Cramer 788 Método de tensões de nó 96 99107 115110 140 366368 análise de circuito amplificador por meio de 105106 análise de circuitos usando 96 99107 115119 140 análise de regime permanente senoidal usando 366368 casos especiais para 103107 circuitos no domínio da frequência 366368 equações 99100 140 fontes dependentes e 102103 método de correntes de malha comparação de 115119 nós essenciais e 103104 supernó 104105 Modelo de circuito para uma lanterna 3537 Modelos reais veja Circuitos equivalentes Modelos 1011 1920 3538 Veja também Circuitos equivalentes circuito 1920 3538 concepção de 1011 construção de 3538 de lanterna 3537 equilíbrio de potência 1920 matemáticos circuito 11 protótipos físicos 11 Modulação de amplitude 737 Modulação transformadas operacionais para 737 Mudança de escala 632634 665 fator de amplitude km 632 665 fator de frequência kf 362 665 projeto de filtros com amp ops por meio de 645646 N Nó essencial 9697 103104 Nós 3840 50 96101 99101 de tensão 99101 definição 38 9697 elemento de circuito 3840 50 essencial 97 Notação de asterisco 547 Números complexos 809814 o Oitava 831 Operação de refletir 547551 p Parâmetros de circuitos quadripolos 759769780779 Parâmetros de transmissão 762 Parâmetros híbridos 762 Parâmetros z circuitos quadripolos 759760 764765 Partição matricial 798800 Período fontes senoidais 339 Polaridade 1516 205207 212213 218 377378 convenção de pontos para 205207 212213 218 indutância mútua 205207 212213 218 referências de potência 1516 relações de tensão e corrente 377378 transformadores ideais 377378 Polos raízes 507508 513 541 825826 833834 complexos 833834 definição 452 diagramas de Bode e 825826 833834 função de transferência Hs 484 função racional Fs 452453 457 reais de primeira ordem 825826 Polos e zeros complexos 833834 Polos e zeros reais de primeira ordem 825826 Ponte de Wheatstone 7475 80 Portas 757 Potência p 1519 3233 50 131132 140 197196 198201 218 401 430431 446 466468 472 decibel dB usado para 823824 definição 16 19 do capacitor 198201 218 elétrica transmissão e distribuição de 446 470471 energia w e 1518 equilíbrio modelo para 1819 indutores 194196 218 máxima transferência 131133 140 medição de 466768 472 823824 referências de polaridade 1617 resistores e 3233 50 sinais algébricos de 1617 standby vampira 401 430431 wattímetro 466468 472 Potência aparente 401 416 Potência complexa S 411416 432 461 cálculos de regime permanente senoidal de 411416 432 circuitos trifásicos 461 equações para 411416 impedância Z e 415416 potência aparente magnitude de 412 432 Potência instantânea real 402 Potência instantânea 402403 431 Potência inteira de números complexos 813 convergência das transformadas de Fourier 723725 726 convolução 545546 549 equações de 846 função de transferência Hs e 539543 551 funções no domínio do tempo 491 736738 Integrais 494495 509 681682 723 726727 notação de asterisco para 525 operação de refletir 547550 Potência média P 400 402 403406 423 460461 466469 471 699702 712 análise de série de Fourier para 699701 cálculos de regime permanente senoidal de 402409 414416 Circuitos elétricos 868 Book Nilsson 4 Apendicesindb 868 290116 1408 cargas ligadas em Y 460461 circuitos capacitivos 405 circuitos indutivos 405 circuitos resistivos 404 circuitos trifásicos equilibrados 460461 462466 consumo de energia de eletrodomésticos 407409 equações para 403407 fator de potência fp 406 funções periódicas cálculos com 699702 instantânea 402403 máxima transferência de potência Pmáx 423 medição de 466469 método dos dois wattímetros 467469 valor eficaz 409411 Potência real veja Potência média Potência reativa Q 403407 417419 432 Veja também Cál culos de potência Propriedade de filtragem 488 Propriedade de mudança de escala transformadas opera cionais 495 736 Q Quantidade por fase w 453 Queda de tensão 60 6869 R Raízes 498508 513 813814 complexas distintas 500502 complexas repetidas 504506 expansão em frações parciais de Ds 498507 513 números complexos 483491 813814 pares de transformada de Laplace para 490 polos polinômio denominador 507508 513 reais distintas 498499 reais repetidas 502504 zeros polinômio numerador 507508 513 Ramo essencial 9697 112113 Ramo definição 9697 Real1imentação amplificadores operacionais 160161 178 Reatância impedância e 351 Relações correntetensão iv 192193 197198 352 Relações tensãocorrente vi 190191 194 349351 354 análise do regime permanente senoidal e 337338 346 capacitores 197 351352 domínio da frequência 345348 impedância Z de 351 indutores 191192 350351 reatância de 351 resistores 349350 Representação gráfica de números complexos 348349 Resistência R 3134 50 7172 121123 158 172173 amplificadores operacionais amp ops 157 164165 condutância G e 32 105 equivalente de Thévenin RTh 123125 equivalente de 5961 6869 extensômetros para 158 177178 lei de Ohm 3132 50 medição de 7071 resistores como modelos de 3134 50 Resistência equivalente 6164 6869 Resistores de realimentação amplificadores integradores com 322325 Resistores 3134 50 6164 75 95 136139 322324 325326 522 533 846 amplificadores integradores com 320322 análise de sensibilidade 95 136139 análise de transformada de Laplace para 481 512 caixa preta 61 condutância G e 32 definição 31 50 domínio da frequência 345346 domínio da frequência 482 512 elementos do domínio do tempo e da frequência 522 ligados em paralelo 6264 79 ligados em série 61 79 realimentação 322324 relações tensãocorrente vi 349350 resistência R e 3134 50 resistência elétrica e 3134 4849 símbolo de circuito para 31 terminais de potência de 3334 50 valores de componentes 710 Resposta ao degrau 231 244256 270 290299 308309 528529 abordagem direta 310311 abordagem indireta 309 análise de transformada de Laplace e 528529 circuito de múltiplas malhas 531533 circuitos de primeira ordem 231 244256 270 circuitos resistorcapacitor RC 240247 249 circuitos resistorindutor RL 233237 244249 253 circuitos resistorindutorcapacitor RLC 290299 308309 circuitos RLC em paralelo 290295 308309 528530 circuitos RLC em série 315319 326327 definição 231 270 enrolamentos magneticamente acoplados e 256257 método de cálculo 256 solução geral para 251256 293 subamortecida 312 295 301302 tensão criticamente amortecida 295 305306 tensão do capacitor em circuitos RLC em série 317318 tensão superamortecida 295 304305 Resposta de frequência definição 580 Resposta de regime permanente 236 482 520521 551553 582583 678679 693 696 abordagem direta para 696698 análise da transformada de Laplace e 551553 583 análise de séries de Fourier 678682 693 circuitos de primeira ordem 236 definição 236 efeitos transitórios e 482 520521 função de transferência Hs e 551553 583 funções periódicas usadas para 678678 senoidal 551553 582583 696 supressores de surto e 521 561 transformada de Fourier para 696 Índice remissivo 869 Book Nilsson 4 Apendicesindb 869 290116 1408 Resposta indefinidamente crescente 264265 271 Resposta natural 231 233244 251259 271 292308 315320 326 526527 análise de transformada de Laplace e 526527 circuito RLC em paralelo 292308 227 circuitos de primeira ordem 231 233244 251259 271 circuitos resistorcapacitor RC 240244 251259 271 526527 circuitos resistorindutor RL 233239 251259 271 circuitos resistorindutorcapacitor RLC 282308 313320 326 circuitos RLC em série 313320 326 constante de tempo t 235236 240 271 corrente i determinada para 233235 316 de tensão criticamente amortecida 295 305306 316 326 definição 231 270 formas de em circuitos RLC 297308 método de cálculo 252 solução geral para 251259 271 282297 tensão v determinada para 240 tensão subamortecida 295 304305 315319 326 tensão superamortecida 295 297300 316 326 Resposta senoidal 343344 384 481 520522 551 553 678 análise de regime permanente e 343344 384 componente de regime permanente em 343 componente transitório de 343 função de transferência Hs e 539541 544 supressores de surto 521 561 transformada de Fourier para 723 transformada de Laplace para 481 511513 520 Resposta transitória 236 530531 739740 definição 236 transformada de Fourier para 739740 transformada de Laplace para 530531 Resposta 231289 290291 384 481 511512 520532 544546 549550 580 696698 amplificadores integradores 265268 271 320324 327 ao degrau 231 244246 251 290299 308309 528532 chaveamento sequencial 259263 267 271 circuitos com múltiplas malhas 531533 circuitos de marcapassos 232 269270 circuitos de primeira ordem 231289 circuitos de segunda ordem 292336 circuitos resistorcapacitor RC 231 239 240244 249256 262 264 497498 circuitos resistorindutor RL circuitos 231 233239 240244 251258 270 circuitos resistorindutorcapacitor RLC 290336 528531 circuitos RLC em paralelo 292311 315316 528531 circuitos RLC em série 315319 326327 completa 482 511512 de frequência 580 de regime permanente 236 481 520521 551552 679 função de transferência e 520522 539540 710 indefinidamente crescente 264265 271 natural 232 234244 251256 270 290303 305309 315 526527 senoidal 343344 384 520522 530531 723 sincronização do relógio do computador 291 325326 soluções gerais para 251256 293 transformada de Fourier para 723725 transformada de Laplace usada para 481 483484 489502 511513 520 transitória 236 481 530531 739740 Respostas criticamente amortecidas 295 305306 312 316 326327 circuitos RLC em paralelo 295 305306 312 226 circuitos RLC em série 316 226 equações de resposta a um degrau 316 227 equações de resposta natural 305306 326327 Respostas de circuitos de marcapassos 232233 269270 Respostas subamortecidas 295 301304 312 316317 326327 características de 301 circuitos RLC em paralelo 297 300301 305 315 circuitos RLC em série 315317 326 equações de resposta ao degrau 308 311 equações de resposta natural 305306 315 fator de amortecimento coeficiente 302 frequência angular amortecida 301 Respostas superamortecidas 295 297301 310311 316 326327 circuitos RLC em paralelo 295 295301 310311 326 circuitos RLC em série 316 326 equações da resposta ao degrau 316 327 equações da resposta natural 297301 326327 S Sequência de tensão de fase negativa acb 447 Sequência de tensão de fase positiva abc 447 Série de Fourier 678722 análise 680681 aplicação de 693699 cálculos de potência média 699702 712 coeficientes de 680691 711 condições de Dirichlet 681 efeitos de simetria 685691 711 entrada de onda quadrada de senoides 680 709711 espectro de amplitude 706709 espectro de fase 706709 filtros de alto Q 680 709711 forma alternativa trigonométrica de 691693 711 forma exponencial de 703706 6712formas de onda 678679 frequência fundamental 681 711 frequência harmônica 681 711 funções periódicas e 678680 685690 693703 706709 711712 resposta em regime permanente 693699 712 valor eficaz 702703 712 Simetria de função ímpar 686687 690 711 Simetria de funções pares 685686 711 Simetria de meia onda 687688 697 Simetria de quarto de onda 689690 711 Simetria 685690 711 coeficientes de Fourier efeitos sobre 685690 711 função ímpar 686687 690 713 função par 685686 713 meiaonda 687688 713 quarto de onda 689690 711 Circuitos elétricos 870 Book Nilsson 4 Apendicesindb 870 290116 1408 Sinal de alimentação xt 545546 Sincronização do relógio do computador 291292 325326 Sistema de parâmetros concentrados 67 Sistema Internacional de Unidades SI 810 Sistemas de computação 3 Sistemas de comunicação 3 Sistemas de controle 4 Sistemas de potência 4 Sistemas de processamento de sinais 56 Supermalha 113 Supernó 104105 Superposição 133136 140 537539 análise de circuitos usando 133136 140 análise de transformada de Laplace e 537539 definição 133 domínio da frequência 537539 Supressores de surto 521 561 Susceptância B 356 T Telas touch 60 7880 190 217219 capacitância de 190 217219 circuitos resistivos de 60 7880 Tensão v 1113 19 2730 3334 40 4344 50 6872 80 119 121 157161 171 189192 197200 202 212213 231 292 293 320321 327 349351 355 405412 431 486489 521 amplificadores operacionais amp ops 157161 174 análise de circuitos YY 449454 471 capacitância equivalente em 204 capacitores 197198 218219 298299 470471 523 características terminais variáveis 190194 203 características de transferência de 160161 178 carga elétrica e 1112 circuitos RC dedução de expressões para 240 configurações em Y e Δ 448449 corrente i e 1113 189191 482483 de fase a b e c 447 451 definição 12 19 determinação de 192193 direção de referência 13 domínio da frequência 345 349351 353 equação de tensão de nó TN 450451 equações no domínio da frequência para 512513 536 equivalente de Thévenin VTh 123125 fase 447 453455 fonte senoidal 339341 410 fontes 2629 50 410421 ganho A 160 indutores 191194 218 511512 521 lei de Kirchhoff LTK 3841 50 352 451452 linha 452454 medição de 7073 80 polaridade de 377378 potência em um resistor 3334 50 razão de transformação 497499 507 resistores 521 562 resposta ao degrau do capacitor de circuito RLC em série 315316 resposta natural e 232 restrições de entrada 160161 178 sequência de fase positiva abc 447 sequência de fase senoidal 447448 sequência negativa acb 447 trifásica 448455 461 Tensão da linha 452454 Tensão de fase a b e c 447 451452 Tensão de fase 447 451455 Teorema de Parseval 742750 análise de pulso retangular de tensão usando 746750 aplicações de filtro 745746 cálculos de energia no domínio do tempo 742750 interpretação gráfica de 744745 transformada de Fourier e 742750 Teorema do valor final 508511 513 Teorema do valor inicial 508510 513 Teoria de circuitos 56 Terminais 3031 36 157161 177 189193 216 510512 699 amplificadores operacionais amp ops 157161 174 características variáveis tensão e corrente 160164 178 circuitos quadripolos 757 equações de capacitores 204208 218 523524 equações de indutores 191196 218 522523 medições para construção de circuito 35 potência do resistor em 3334 restrições de entrada de corrente i 160161 163 restrições de entrada de tensão v 160161 166 Terminal neutro 448 Tolerância 66 Transdutores extensômetros 158 177178 Transformações de circuito 7678 80 119123 125127 140 327329 circuito de Norton equivalentes 125 3363 circuito de Thévenin equivalente 124125 362365 circuitos equivalentes 7678 80 fonte 119123 125127 140 Transformações de fonte 119123 125126 140 362365 análise de circuitos usando 119123 125126 140 circuito equivalente de Thévenin 123124 362364 circuitos equivalentes de Norton 123 362 definição 119 domínio da frequência 362365 impedância Z e 362365 Transformações de Laplace funcionais 484 489491 512 Transformações ΔY 359362 Transformações veja Transformações de circuito Transformada de Fourier 723756 aplicações de circuito 739741 convergência da integral de 726728 definição 724725 derivação de 724726 filtragem de sinais digitais 724 750 função cosseno 732733 função degrau unitário 732 função sinal 731732 funções elementares 733 funções no domínio do tempo de 726728 751 integral e funções no domínio do tempo 726728 751 inversa 725 Índice remissivo 871 Book Nilsson 4 Apendicesindb 871 290116 1408 processo de limite para 731733 propriedades matemáticas de 733735 resposta de regime permanente senoidal determinada por meio de 740741 resposta transitória determinada por meio de 739740 Teorema de Parseval 742750 transformações operacionais 735739 transformadas de Laplace usadas para determinar 729731 transição de espectro de amplitude 725726 transições de funções aperiódicas 724726 Transformada de Laplace unilateral 483484 Transformada de Laplace unilateral 483484 Transformada de Laplace 481576 723726 análise de circuitos usando 520576 aplicações de circuito de parâmetros concentrados 496498 501 526 aplicações de 496498 520522 circuitos invariantes no tempo e 544545 556 conceito de 483484 de um lado unilateral 483484 definição 483 512 deslocamento no domínio do tempo 493496 domínio da frequência e 491 domínio da frequência 494507 510512 520539 541 efeitos transitórios em circuitos 482 511512 equivalente de Thévenin uso no domínio da frequência 533534 expansão por frações parciais 481491 498 506509 513 fontes senoidais e 481 511512 função de transferência Hs 539552 562 função degrau Kut 484485 512 função degrau unitário Kut 484 512 função impulso Kdt 486488 512 554560 561 função impulso unitário 486 512 função racional Fs 497498 506507 funções racionais próprias 498499 513 funções racionais impróprias 498 506507 indutância mútua análise de um circuito com 535536 integral de convolução 545546 549 inversa 497507 513 pares 490491 502 polos polinômio denominador 507508 513 528 resposta ao degrau usando 528532 resposta completa de circuito usando 483 511512 resposta de regime permanente senoidal 520522 551 resposta natural por meio de 526527 resposta transitória por meio de 530531 superposição uso no domínio da frequência 537539 supressores de surto 521 561 teorema do valor final 508510 513 teorema do valor inicial 508510 513 transformadas operacionais 481 491496 513 transformadas de Fourier determinadas por meio de 728731 transformadas funcionais 484 489490 513 unilateral 483484 zeros polinômio numerador 507508 513 528 Transformada fasorial inversa 345347 349 Transformada inversa de Fourier 725 Transformada inversa de Laplace 481491 500 expansão por frações parciais 481491 498 função racional Fs 497 506 funções racionais próprias 498499 513 funções racionais impróprias 498 506507 raízes complexas distintas de Ds 5004502 raízes complexas repetidas de Ds 504506 raízes reais distintas de Ds 498499 raízes reais repetidas de Ds 502504 Transformadas operacionais 484 491496 513 735739 adição 491 735736 convolução 737738 de Fourier 735739 de Laplace 488 491497 512 definição 484 deslocamento 493494 737 diferenciação 492493736 funções no domínio da frequência 494 737 funções no domínio do tempo 493494 737 integração 493 736 modulação de amplitude 37 modulação 737 mudança de escala 495736 multiplicação por uma constante 491 735 subtração 491 735736 tipos de 495 738 Transformador linear 369372 382 Transformadores ideais 337 374378 380 384386 445450 análise do regime permanente senoidal 337 344349 366 casamento de impedâncias por meio de 379 circuitos equivalentes 757763 convenção de pontos para 377378 definição 374 domínio da frequência 345 349354 362 enrolamentos magneticamente acoplados e 374376 535536 máxima transferência de potência com 422423 polaridade das tensões e relações de correntes 377378 propriedades de 374 relações de tensões e correntes 376378 3482 valores limites de 3743375 Transformadores 369378 384 679680 análise de regime permanente senoidal 337346 353 autoimpedância Z 370371 circuitos equivalentes e 757763 convenção de pontos para 377378 definição 369 domínio da frequência e 362371 384 enrolamento primário e secundário 370 ideais 369 374379 384 738745 impedância refletida Zr 371 384 lineares 369372 384 relações de tensão e corrente 349351 352 valores limites de 374376 Transposição de matriz 448 Circuitos elétricos 872 Book Nilsson 4 Apendicesindb 872 290116 1408 U Unidades derivadas 8 V Valor eficaz ef veja Valor rms root mean square Valor rms rootmeansquare 338340 409410 702703 712 cálculos de potência e 400401 fontes senoidais 338340 funções periódicas 678679 687 valor eficaz ef como 409410 Voltamp reativo VAR unidade de 405 412 Voltamps VA unidade de 405 412 Voltímetro 7071 80 W Watt W unidade de 402 432 Wattímetro 466468 472 Z Zeros raízes 507508 513 541 742743 760761 complexos 541542 definição 508 diagramas de Bode e 628629 634636 função de transferência Hs 539 função racional Fs 497498 506 reais de primeira ordem 705706 Índice remissivo 873 Book Nilsson 4 Apendicesindb 873 290116 1408 Book Nilsson 4 Apendicesindb 874 290116 1408 ISBN 9788543004785 9788543004785 Engenharia l o j a p e a r s o n c o m b r svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores apresentações em PowerPoint e manual de soluções em inglês e para estudantes manuais de introdução ao PSpice e ao Multisim em inglês Este livro também está disponível para compra em formato ebook Para adquirilo acesse nosso site CIRCUITOS ELÉTRICOS CIRCUITOS ELÉTRICOS CIRCUITOS ELÉTRICOS JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL Com destaque em sua proposta didática esta obra explora tanto os temas fundamentais quanto os mais avançados sobre circuitos elétricos Esta edição traz novos exemplos e exercícios totalizando mais de 1650 problemas de fi nal de capítulo e cerca de 150 exem plos ao longo do livro Circuitos elétricos conta também com problemas de perspectiva prática que interligam o tema central de cada capítulo com a realidade Voltado para estudantes de engenharia elétrica eletrônica da computação de teleco municação e de controle de automação Circuitos elétricos une teoria e prática para ga rantir o sucesso do futuro profi ssional de engenharia JAMES W NILSSON SUSAN A RIEDEL 10 a EDIÇÃO 10 a EDIÇÃO 10 a EDIÇÃO CVRNILS478510CVRindd All Pages 15022016 115148