Análise de Potência em Circuitos de Corrente Alternada

CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CA 2 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 3 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 4 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA pt frac12Vm Im cosθv θi frac12Vm Im cos2ωt θv θi 6 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 7 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 8 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 9 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 10 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA FONTE DE TENSÃO Vmax 100 volts F 60 Hz Resistência 10 ohm Indutor 001 H Capacitor 0005 F 11 0 002 004 006 008 01 Time s 0 200 200 400 600 800 IfonteVFonte 12 POTÊNCIA CA FONTE 0075 008 0085 009 0095 01 Time s 0 200 200 400 600 IfonteVFonte 13 POTÊNCIA CA RESISTENCIA DE 10 OHM 0075 008 0085 009 0095 01 Time s 0 100 200 300 400 IRVR 14 POTÊNCIA CA INDUTOR DE 001 H 0075 008 0085 009 0095 01 Time s 0K 05K 1K 05K 1K ILVL 15 POTÊNCIA CA CAPACITOR DE 0005 F 0075 008 0085 009 0095 01 Time s 0 200 400 600 200 400 600 ICVC 16 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 0075 008 0085 009 0095 01 Time s 0 500 1000 500 1000 ILVL VCIC 17 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 18 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 19 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA Figura 115 Esquema para o Exemplo 114 Solução Aplicamos análise de malhas conforme ilustrado na Figura 115b Para a malha 1 I1 4 A Para a malha 2 j10 j5I2 10I1 6030 0 I1 4 A ou j5I2 1260 j40 I2 1058791 Para a fonte de tensão a corrente que flui a partir dela é I2 1058791 e a tensão nela é 6030 V de modo que a potência média seja Ps frac12601058 cos791 791 2078 W Seguindo a convenção do sinal passivo ver Figura 18 essa potência média é absorvida pela fonte por causa do sentido de I2 e da polaridade da fonte de tensão Isto é o circuito está liberando potência média para a fonte de tensão Para o resistor a corrente através dele é I1 40 e a tensão nela é V1 201φ e I1 4j0 Para o capacitor a corrente através dele é I2 1058791 e a tensão nele é j5I2 A potência média absorvida pelo capacitor é P4 Para o indutor a corrente através dele é I1 I2 j1039 Logo a potência média absorvida pelo indutor é P3 Note que a absorção de potência média do indutor ou do capacitor é nula e que a potência total fornecida pela fonte de corrente e é igual à potência absorvida pelo resistor e pela fonte de tensão ou P1 P2 P4 P5 3678 160 0 2078 0 indicando que a potência é conservada 21 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA A corrente através da carga é I fracVThZTh ZL fracVThRTh jXTh RL jXL A partir da Equação 1111 a potência média liberada para a carga é P frac12 I2RL fracVTh22RTh RL2 XTh XL2 1115 Nosso objetivo é ajustar os parâmetros das cargas RL e XL de modo que P seja máxima Para fazer isso tornamos fracpartial Ppartial RL e fracpartial Ppartial XL igual a zero A partir da Equação 1115 obtemos fracpartial Ppartial XL fracVTh22RLXTh XLRTh RL2 XTh XL2 fracpartial Ppartial RL fracVTh2RTh RL2 XL XTh2 2RLRTh RL2RTh RL2 XL XTh22 1116b Fazendo que fracpartial Ppartial XL seja zero temos XL XTh e fazendo que fracpartial Ppartial RL seja zero resulta em RL sqrtRTh2 XTh XL2 Combinar as Equações 1117 e 1118 nos conduz à conclusão de que para a máxima transferência de potência média ZL deve ser escolhida de tal forma que XL XTh e RL RTh ou seja ZL RL jXL RTh jXTh ZTh 1119 Para a máxima transferência de potência média a impedância da carga ZL deve ser igual ao conjugado complexo da impedância de Thêvenin ZTh Em uma situação na qual a carga é puramente real a condição para a máxima transferência de potência é obtida da Equação 1118 fazendo XL 0 ou seja RL sqrtRTh2 XTh2 ZTh 1121 Isso significa que para a máxima transferência de potência para uma carga resistiva a impedância ou resistência da carga é igual à magnitude da impedância de Thêvenin Determine a impedância ZL da carga que maximiza a potência média absorvida do circuito da Figura 118 Qual é a potência média máxima Solução Primeiro obtemos o circuito equivalente de Thêvenin nos terminais da carga Para obter ZTh considera o circuito mostrado na Figura 119 Encontramos ZTh j5 4 8 j6 j5 frac48 j64 8 j6 2933 j4467 Omega Figura 119 Determinação do equivalente de Thêvenin do circuito na Figura 118 Figura 118 Esquema para o Exemplo 115 Para determinar VTh considere o circuito da Figura 118b Por divisão de tensão VTh 8 j6 4 8 j610 7454103 V A impedância da carga absorve a potência máxima do circuito quando ZL ZTh 2933 j4467 Ω De acordo com a Equação 1120 a potência média máxima é Pmax VTh² 8RTh 7454² 82933 2368 W Figura 1110 Esquema para o Problema prático 115 No circuito da Figura 1111 determine o valor de RL que absorverá a potência média máxima Calcule essa potência Solução Em primeiro lugar determinamos o equivalente de Thévenin nos terminais de RL ZTh 40 j30 j20 j2040 j30 j20 40 j30 9412 j2235 Ω Por divisão de tensão VTh j20 j20 40 j30 15030 7276134 V O valor de RL que absorverá a potência média máxima é RL ZTh 9412² 2235² 2425 Ω A corrente através da carga é I VTh ZTh RL 7276134 3366 j2235 18 10042 A A potência média máxima absorvida por RL é Pmax 12 I² RL 1218²2425 3929 W O valor eficaz da tensão é encontrado da mesma maneira que para a corrente Vef 1T ₀ᵀ v² dt Isso indica que o valor eficaz é a raiz quadrada da média do quadrado do sinal periódico Portanto o valor eficaz é conhecido como raiz do valor médio quadrático rootmeansquare ou simplesmente valor RMS e escrevemos como segue Ief IRMS Vef VRMS vt Vm cosωt VRMS Vm2 O valor eficaz de um sinal periódico é a raiz do valor médio quadrático RMS 29 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 115 Potência aparente e fator de potência Na Seção 112 vimos que se a tensão e a corrente nos terminais de um circuito forem vt Vm cosωt θv e it Im cosωt θi a potência média é P 12 Vm Im cosθv θi Acrescentamos um novo termo à equação S VRMS IRMS A potência média é o produto de dois termos O produto VRMS IRMS é conhecido como a potência aparente S O fator cosθv θi é chamado fator de potência FP A potência aparente é assim nomeada porque parece que deve ser o produto tensãocorrente por analogia com os circuitos resistivos em CC Ela é medida em voltamperes ou VA para distinguila da potência média ou real que é medida em watts O fator de potência é adimensional já que é a razão entre a potência média e a potência aparente FP PS cosθv θi Uma carga ligada em série drena uma corrente it 4 cos100πt 10 A quando a tensão aplicada é vt 120 cos100πt 20 V Determine a potência aparente e o fator de potência da carga Estabeleça os valores dos elementos que formam a carga conectada em série em série Solução A potência aparente é S VRMS IRMS 120 4 2 240 VA O fator de potência é FP cosθv θi cos20 10 0866 adiantado O fator de potência está adiantado pois a corrente está adiantada em relação à tensão O FP também pode ser obtido da impedância da carga Z VI 12020410 3030 2598 j15 Ω FP cos30 0866 adiantado A impedância da carga Z pode ser representada por um modelo formado por um resistor de 2598 Ω em série com um capacitor Xc 15 1ωC C 115ω 115 100π 2122 μF Determine o fator de potência de todo o circuito da Figura 1118 visto pela fonte Calcule a potência média liberada pela fonte Solução A impedância total é Z 6 4j2 6 j2 44 j2 68 j16 71324 Ω O fator de potência é FP cos1324 09734 adiantado uma vez que a impedância é capacitiva O valor RMS da corrente é IRMS VRMSZ 30071324 42861324 A A potência média fornecida pela fonte é P VRMS IRMS FP 30428609734 125 W ou P I²R 4286²68 125 W onde R é a parte resistiva de Z 116 Potência complexa Foi aplicado um esforço considerável ao longo de anos para expressar as relações de potência da forma mais simples possível Os engenheiros de sistemas de potência criaram o termo potência complexa para determinar o efeito total das cargas em paralelo A potência complexa é importante na análise de potência por conter todas as informações pertinentes à potência absorvida por uma determinada carga Consideramos a carga CA da Figura 1120 Dada a forma fasorial V Vmθv e I Imθi da tensão vt e da corrente it a potência complexa S absorvida pela carga CA é o produto da tensão e do conjugado complexo da corrente ou seja S 12 VI 1140 considerando a regra dos sinais passivo ver Figura 1120 Em termos de valores RMS S VRMS IRMS 1141 onde VRMS V2 VRMSθv e IRMS I2 IRMSθi S VRMS IRMS θv θi VRMS IRMS cosθv θi j VRMS IRMS senθv θi Essa equação também pode ser obtida da Equação 119 Notamos da Equação 1144 que a magnitude da potência complexa é a potência aparente logo a potência complexa é medida em voltamperes VA Da mesma forma percebemos que seu ângulo é o ângulo do fator de potência A potência complexa pode ser expressa em termos de impedância local Z Da Equação 1137 a impedância da carga Z pode ser escrita como Z V I VRMS IRMS VRMS IRMS θv θi 1145 Portanto VRMS Z IRMS Substituindo essa expressão na Equação 1141 resulta em S I2RMS Z V2RMS Z VRMS IRMS 1146 37 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA 38 ANÁLISE DE POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA A tensão em uma carga é vt 60 cosωt 10 V e a corrente através do elemento no sentido da queda de tensão é it 15 cosωt 50 A Determine a as potências complexa e aparente b as potências real e reativa c o fator de potência e a impedância da carga Solução a Para os valores RMS da tensão e corrente escrevemos VRMS 60 2 IRMS 15 2 Potência complexa é S VRMS IRMS 60 215 2 ej10 45 60 VA A potência aparente é S S 45 VA b Podemos expressar a potência complexa na forma retangular como S 45 60 45cos60 j sen60 225 j3897 Enquanto a potência reativa é Q 3897 VAR c O fator de potência é FP cos60 05 Ele está adiantado porque a potência reativa é negativa A impedância da carga é Z V I 60 10 15 2 40 60 Ω que é uma impedância capacitiva A Figura 1124 mostra uma carga sendo alimentada por uma fonte de tensão através de uma linha de transmissão A impedância da linha é representada pela impedância 4 j2 Ω e um caminho de retorno Determine as potências real e reativa absorvidas a pela fonte b pela linha c pela carga Solução A impedância total é Z 4 j2 15 j10 19 j8 20622283 Ω A corrente através do circuito é I VsZ 2200 V RMS20622283 10672283 A RMS a Para a fonte a potência complexa é Ss VsI 220010672283 23472283 1635 j9108 VA Desta obtemos a potência real 1635 W e a potência reativa 9108 VAR adiantada b Para a linha a tensão é Vlinha 4 j2I 4472265710672283 4772494 V RMS A potência complexa absorvida pela linha é Silinha VlinhaI 477249410672283 50922283 4554 j2277 VA ou Silinha Zlinhá 10674 j2 4554 j227 VA Isto é a potência real é 4554 W e a potência reativa é 22776 VAR atrasada c Para a carga a tensão é VL 15 j10I 180333710672283 192381087 V RMS A potência complexa absorvida pela carga é SL VL I 19238108710672283 2053337 1708 j1139 VA A potênciareal é 1708 W e a potência reativa é 1139 VAR adiantada Note que Ss Silinha SL conforme esperado Usamos os valores RMS das tensões e correntes Figura 1125 Esquema para o Problema prático 1113