Exercícios Resolvidos sobre Osciladores Harmônicos e Equações Diferenciais - Engenharia

EXERCÍCIO DESAFIO 05 Um oscilador harmônico é submetido a força período mostrada na figura Determine a resposta em regime permanente do sistema 1 O disco escalonado da figura está inicialmente em repouso Em t 0 o torque M 1 et t 0 é aplicado A mola está indeformada quando θ 0 Determine a equação de movimento e calcule a resposta para θt 7 pontos 2 Calcule a resposta de 3xt 12xt 12xt 35t para condições iniciais nulas As unidades estão em Newtons 6 pontos 3 O came da figura a impõe um deslocamento yt na forma de uma função periódica dente de serra na extremidade inferior do sistema onde yt é mostrada na figura b Determine uma expressão para a resposta em regime permanente xt através de séries de Fourier 7 pontos O oscilador harmônico pode ser modelado por 𝑥 𝜔𝑁𝑥 𝑓𝑡 Em que 𝑥𝑡 é sua posição 𝜔𝑁 sua frequência natural 𝑓𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑖 cos 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑏𝑖 sin 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 𝑎0 2 𝑇 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 𝑓0 2 𝑎𝑖 2 𝑇 𝑓𝑡 cos2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 0 2 𝑇 2𝑓0 𝑇 𝑡 cos 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇2 0 𝑎𝑖 𝑓0 𝑛𝜋2 1𝑛 1 𝑏𝑖 2 𝑇 𝑓𝑡 sin𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 0 2 𝑇 2𝑓0 𝑇 𝑡 sin 𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇2 0 𝑏𝑖 𝑓0 𝑛𝜋2 𝑛𝜋 1𝑛 Assim 𝑓𝑡 𝑓0 4 𝑓0 𝑛𝜋2 1𝑛 1 cos 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑓0 𝑛𝜋2 𝑛𝜋 1𝑛sin2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 Considerando uma resposta em regime permanente do tipo 𝑥𝑡 𝑐1 𝑐2𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑐3𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 Substituindo na equação 𝜔𝑁𝑐3𝑛 4𝑐3𝑛𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝜔𝑁𝑐2𝑛 4𝑐2𝑛𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 ωNc1 ft Igualando os coeficientes dos dois lados da equação 𝜔𝑁𝑐3𝑛 4𝑐3𝑛𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑓0 𝑛𝜋2 𝑛𝜋 1𝑛 𝜔𝑁𝑐2𝑛 4𝑐2𝑛𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑓0 𝑛𝜋2 1𝑛 1 𝜔𝑁𝑐1 𝑓0 4 Resolvendo 𝑐3𝑛 𝑓0𝑇2 𝑛𝜋24𝜋2𝑛2 𝜔𝑁𝑇2 𝑛𝜋 1𝑛 𝑐2𝑛 𝑓0𝑇2 𝑛𝜋24𝜋2𝑛2 𝜔𝑁𝑇2 1𝑛 1 𝑐1 𝑓0 4𝜔𝑁 Substituindo 𝑥𝑡 𝑓0 4𝜔𝑁 𝑓0𝑇2 𝑛𝜋24𝜋2𝑛2 𝜔𝑁𝑇2 1𝑛 1 𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 𝑓0𝑇2 𝑛𝜋24𝜋2𝑛2 𝜔𝑁𝑇2 𝑛𝜋 1𝑛𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 As equações diferenciais podem ser dadas por 𝑚ℎ 𝑘ℎ 𝑘𝑡𝜃 𝑐 𝐼𝜃 𝑘𝑡𝜃 𝑘𝑐ℎ Figura P66 Para a massa 1 2𝑚𝑥1 2𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 𝑥1 2𝑐𝑥1 𝑐𝑥2 𝑥1 Para massa 2 𝑚𝑥2 𝑘𝑥1 𝑥2 𝑐𝑥1 𝑥2 𝐹0 sin𝜔𝑡 Figura 67 Para a massa 1 𝑚𝑥1 𝑘𝑥1 𝑐𝑥1 𝑐𝑥2 𝑥1 𝑚𝑔 Para massa 2 2𝑚𝑥2 𝑐𝑥1 𝑥2 2𝑚𝑔 𝐼𝜃 𝑀𝑡 𝑘2𝑅2𝜃 𝑐𝑅2𝜃 𝐼𝜃 4𝑅2𝑘𝜃 𝑅2𝑐𝜃 1 exp𝑡 𝜃0 0 𝜃0 0 Dividindo pelo momento de inércia 𝜃 2𝜉𝜔𝑁𝜃 𝜔𝑁 2 𝜃 1 exp𝑡 𝐼 𝜉 é o coeficiente de amortecimento Temse que a resposta homogênea é 𝜃𝐻 exp𝜉𝜔𝑁𝑡 𝐴 cos𝜔𝐷𝑡 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜔𝐷𝑡 𝜔𝐷 é a frequência natural amortecida dada por 𝜔𝐷 𝜔𝑁1 𝜉2 Para a particular suponhase 𝜃𝑃 𝑐1 𝑐2 exp𝑡 Substituindo na EDO 2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1𝑐2 exp𝑡 𝑐1𝜔𝑁 2 1 𝑒𝑥𝑝𝑡 𝐼 2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1𝑐2 1 𝐼 𝑐2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝑐1𝜔𝑁 2 1 𝐼 𝑐1 𝑐2 1 𝐼𝜔𝑁 2 𝜃𝑃 1 𝐼𝜔𝑁 2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 exp𝑡 A solução é 𝜃 𝜃𝐻 𝜃𝑃 𝜃 1 𝐼𝜔𝑁 2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝑒𝑥𝑝𝑡 𝑒𝑥𝑝𝜉𝜔𝑁𝑡 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜔𝐷𝑡 Para determinar A e B é necessário aplicar as condições iniciais 1 𝐼𝜔𝑁 2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝐴 0 𝐴 1 𝐼𝜔𝑁 2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 Derivando 𝜃 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝑒𝑥𝑝𝑡 𝜉𝜔𝑁 𝑒𝑥𝑝𝜉𝜔𝑁𝑡 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 𝐵 𝑠𝑖𝑛𝜔𝐷𝑡 𝜔𝐷 𝑒𝑥𝑝𝜉𝜔𝑁𝑡 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜔𝐷𝑡 𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜔𝐷𝑡 0 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝜉𝜔𝑁𝐴 𝐵𝜔𝐷 𝐵 1 𝜔𝐷 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 𝜉𝜔𝑁 1 𝐼𝜔𝑁 2 1 𝐼2𝜉𝜔𝑁 𝜔𝑁 2 1 Substituindo obtemse a resposta do sistema Aplicando a transformada de Laplace 3𝑋𝑠2 12𝑋𝑠 12𝑋 3 𝑋 3 3𝑠2 12𝑠 12 3 3𝑠 22 1 𝑠 22 𝑥𝑡 𝑡 exp2𝑡 𝑚𝑥 𝑘1𝑥 𝑐𝑥 𝑘2𝑦 𝑥 𝑦𝑡 𝑎0 2 𝑎𝑖 cos 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑏𝑖 sin2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 𝑎0 2 𝑇 𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 𝐴 2𝐵 𝑎𝑖 2 𝑇 𝑓𝑡 cos 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 0 0 𝑏𝑖 2 𝑇 𝑓𝑡 sin 𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇 0 2 𝑇 𝐵 𝐴 𝑇 𝑡 sin𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑑𝑡 𝑇2 0 𝑏𝑖 2𝑛𝜋𝐵 𝐴 cos𝑛𝜋2 𝐴 sin𝑛𝜋 cos𝑛𝜋 𝑛𝜋2𝐵 𝐴 𝑛2𝜋2 𝐴 𝑛𝜋 Assim 𝑦𝑡 𝐴 2𝐵 2 𝐴 𝑛𝜋 sin2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 Substituindo na equação diferencial 𝑚𝑥 𝑐𝑥 𝑘1 𝑘2𝑥 𝑘2 𝐴 2𝐵 2 𝐴 𝑛𝜋 𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 Admitindo uma resposta do tipo 𝑥 𝑐1 𝑐2𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑐3𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 E substituindo na EDO temos os seguintes coeficientes das funções igualados 𝑐1 𝑘2 𝑘1 𝑘2 𝐴 2𝐵 2 2𝑐𝑛𝜋 𝑇 𝑐2 4𝑚𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑐3 𝑘1 𝑘2𝑐3 0 2𝑐𝑛𝜋 𝑇 𝑐3 4𝑚𝑛2𝜋2 𝑇2 𝑐2 𝑘1 𝑘2𝑐2 𝐴 𝑛𝜋 Resolvendo Encontrase a resposta do sistema ao substituir em 𝑥 𝑐1 𝑐2𝑛 𝑠𝑖𝑛 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑐3𝑛 𝑐𝑜𝑠 2𝑛𝜋𝑡 𝑇 𝑛1 O oscilador harmônico pode ser modelado por xωN xf t Em que xt é sua posição ωN sua frequência natural f t a0 2 n1 aicos 2nπt T bisin 2nπt T a0 2 T 0 T f tdtf 0 2 ai 2 T 0 T f tcos 2nπt T dt 2 T 0 T 2 2f 0 T t cos 2nπt T dt ai f 0 nπ 2 1 n1 bi 2 T 0 T f tsin nπt T dt 2 T 0 T 2 2 f 0 T t sin nπt T dt bi f 0 nπ 2 nπ 1 n Assim f t f 0 4 n1 f 0 nπ 2 1 n1cos 2nπt T f 0 nπ 2 nπ 1 nsin 2nπt T Considerando uma resposta em regime permanente do tipo x t c1 n1 c2 ncos 2nπt T c3nsin 2nπt T Substituindo na equação ωN c3 n4c3 nn 2 π 2 T 2 sin 2nπt T ωN c2n4c2nn 2π 2 T 2 cos 2nπt T ωN c1f t Igualando os coeficientes dos dois lados da equação ωN c3 n4c3 nn 2 π 2 T 2 f 0 nπ 2 nπ 1 n ωN c2 n4c2 nn 2 π 2 T 2 f 0 nπ 2 1 n1 ωN c1 f 0 4 Resolvendo c3n f 0T 2 nπ 24 π 2n 2ωNT 2 nπ 1 n c2n f 0T 2 nπ 24 π 2n 2ωN T 2 1 n1 c1 f 0 4 ωN Substituindo x t f 0 4 ωN n1 f 0T 2 nπ 24 π 2n 2ωN T 2 1 n1cos 2nπt T f 0T 2 nπ 24 π 2n 2ωN T 2 nπ 1 nsin 2nπt T As equações diferenciais podem ser dadas por m hkhktθ c I θk tθkch Figura P66 Para a massa 1 2m x12k x1k x2x12c x1c x2 x1 Para massa 2 m x2k x1x2c x1 x2F0sin ωt Figura 67 Para a massa 1 m x1k x1c x1c x2 x1mg Para massa 2 2m x2c x1 x22mg I θM t k 2R 2θc R 2 θ I θ4 R 2kθR 2c θ1exp t θ 00 θ 00 Dividindo pelo momento de inércia θ2ξ ωN θωN 2 θ1exp t I ξ é o coeficiente de amortecimento Temse que a resposta homogênea é θHexpξωN t AcosωDtBsin ωDt ωD é a frequência natural amortecida dada por ωDωN1ξ 2 Para a particular suponhase θPc1c2expt Substituindo na EDO 2ξ ωNωN 2 1c2exptc1ωN 2 1exp t I 2ξ ωNωN 2 1c21 I c2 1 I 2ξωNωN 2 1 c1ωN 2 1 I c1c2 1 I ωN 2 θP 1 I ωN 2 1 I 2ξωNωN 2 1 expt A solução é θθHθP θ 1 I ωN 2 1 I 2ξ ωNωN 2 1 exp t expξωN t A cosωDt Bsin ωDt Para determinar A e B é necessário aplicar as condições iniciais 1 I ωN 2 1 I 2ξωNωN 2 1 A0 A 1 I ωN 2 1 I 2ξωNωN 2 1 Derivando θ 1 I 2ξωN ωN 2 1 exp t ξ ωN expξ ωN t A cosωDt Bsin ωDtωDexpξ ωN t A sin ωDt Bcos ωDt 0 1 I 2ξ ωN ωN 2 1 ξωN ABωD B 1 ωD 1 I 2ξ ωN ωN 2 1 ξωN 1 I ωN 2 1 I 2ξ ωNωN 2 1 Substituindo obtemse a resposta do sistema Aplicando a transformada de Laplace 3 X s 212 Xs12 X3 X 3 3 s 212s12 3 3 s2 2 1 s2 2 x t t exp 2t m xk1 xc xk2 yx y ta0 2 n1 aicos 2nπt T bisin 2nπt T a0 2 T 0 T f tdtA2 B ai 2 T 0 T f tcos 2nπt T dt0 bi 2 T 0 T f tsin nπt T dt 2 T 0 T 2 B A T tsin nπt T dt bi2nπ B Acosnπ 2 A sin nπ cosnπnπ 2B A n 2π 2 A nπ Assim y t A2B 2 n1 A nπ sin 2nπt T Substituindo na equação diferencial m xc xk1k 2xk2 A2B 2 n1 A nπ sin 2nπt T Admitindo uma resposta do tipo xc1 n1 c2 nsin 2nπt T c3ncos 2nπt T E substituindo na EDO temos os seguintes coeficientes das funções igualados c1 k2 k1k 2 A2B 2 2cnπ T c24 mn 2 π 2 T 2 c3k1k2c30 2cnπ T c3 4mn 2π 2 T 2 c2k1k2c2A nπ Resolvendo Encontrase a resposta do sistema ao substituir em xc1 n1 c2 nsin 2nπt T c3ncos 2nπt T