Introdução ao Processamento de Sinais e FFT

Processamento de sinais Introdução a FFT cont Prof Alexandre Lara Elaborado por Dr João Filardi Aula Expositiva 1 Introdução Imagine tentar determinar a origem dos problemas a partir do sinal no domínio do tempo 2 Fontes de Vibração em Máquinas Partes móveis das máquinas criam vibrações em diferentes frequências Muitas diferentes vibrações compõem um único espectro de frequências Nível de vibração 3 Introdução Introdução Todas as ondas são a soma de muitas ondas senos e cossenos 5 Introdução Joseph Fourier 1768 1830 Théorie analytique de la chaleur 1822 Fouriers law of heat conduction ut k ²ux² ²uy² Introdução Sinal analisado em termos de séries matemáticas infinitas utilidade prática Qq sinal descrito como uma combinação de ondas senoidais de diferentes frequências Types of Signals Sine wave Square wave Transient Ideal Impulse Infinite duration in Time Finite bandwidth in Frequency Finite duration in Time Infinite bandwidth in Frequency Introdução For mathematicians To go from time to frequency domain and back Fourier integral Supported by modern signal analysers Spectrum analysers Basic function in all our software For humans Detect sine waves in signal Draw line at frequency of sine wave Funções Periódicas Uma função fx é dita periódica com um período T se fx T fx para qualquer x Decorre que fx nT fx para n inteiro n 0 1 2 Exemplo Se fx sen x temse que sen x 2 sen x Logo o período T 2 Do mesmo modo se fx cosx temse que cos x 2 cos x Logo o período é T 2 11 Definições básicas Time domain T₀ s Period T₀ s Frequency domain f Hz Frequency f₀ 1T₀ Hz ω rads Pulsation circular frequency ω₀ 2πf₀ 2πT₀ rads Série trigonométrica Série de funções cujos termos são obtidos multiplicandose os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são admitidos reais Funções Periódicas 12 Série trigonométrica As funções trigonométricas podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica Funções Periódicas 13 Determinação dos coeficientes de Fourier Usando propriedades elementares das funções trigonométricas determinase an e bn em termos de fx de maneira que no intervalo a série trigonométrica seja igual à função fx ou seja Integrandose os dois membros entre temse 1 Funções Periódicas 0 1ª IE 0 2ª IE 14 Determinação dos coeficientes de Fourier Cálculo dos coeficientes an Multiplicandose 1 por cospx sendo p um número fixo dado e integrando no intervalo temse Funções Periódicas 0 0 se n p 0 Se n p 15 Determinação dos coeficientes de Fourier Cálculo dos coeficientes bn Funções Periódicas Multiplicandose 1 por senpx sendo p um número fixo dado e integrando no intervalo temse 0 0 se n p 0 Se n p 16 Exemplo 1 Determinar a série de Fourier da função fx que supomos possuir período 2 e fazer o esboço gráfico de fx e das três primeiras somas parciais Funções Periódicas 17 Exemplo 1 Solução Somas parciais Funções Periódicas 18 Exemplo 2 Determinar a série de Fourier da função ft que supoese possuir período 2 e fazer o esboço gráfico de ft e das três primeiras somas parciais Funções Periódicas 19 Exemplo 3 Determinar a série de Fourier da função fx que supomos possuir período 2 e fazer o esboço gráfico de fx e das três primeiras somas parciais Funções Periódicas 20