Ementa da Disciplina Estatística II - Bacharelado em Administração

1 Curso de Graduação Bacharelado em ADMINISTRAÇÃO Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira 2 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EMENTA Introdução à Teoria da Probabilidade Variáveis Aleatórias discretas contínuas unidimensionais e bidimensionais Principais Distribuições Probabilísticas variáveis aleatórias discretas e contínuas Testes de Hipóteses para média variância e proporção Intervalos de Confiança para média variância e proporção 3 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BÁSICA 1 BRUNI Adriano Leal Estatística aplicada à gestão empresarial 3 ed São Paulo Atlas 2011 398 p 2 BUENO Fabrício Estatística para processos produtivos Florianópolis Visual Books 2010 121 p 3 MORETTIN Pedro Alberto BUSSAB Wilton de Oliveira Estatística Básica 7 ed São Paulo Saraiva 2012 540 p 4 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTAR 1 BEKMAN Otto Ruprecht COSTA NETO Pedro Luiz de Oliveira Análise Estatística da Decisão 2ed São Paulo Blucher2009 148p 2 CECON Paulo Roberto et al Métodos Estatísticos Viçosa Ed UFV 2012 229p 3 MONTGOMERY Douglas C RUNGER George C Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros 5 ed Rio de Janeiro LTC 2012 521 p 4 NEUFELD John L Estatística aplicada à Administração usando Excel São Paulo Person Prentice Hall 2003 5 SMAILES Joanne MCGRANE Angela Estatística Aplicada à Administração com Excel Tradução Bazán tecnologia e linguística Christiane Brito São Paulo Atlas 2002 321p 5 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira AVALIAÇÃO A definir OBSERVAÇÃO Será aprovado o aluno que obtiver média igual ou superior a 60 na disciplina e possuir frequência igual ou superior a 75 nas atividades desenvolvidas na disciplina HORÁRIO DE ATENDIMENTO Segundafeira das 18h às 19h 6 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira ESTE MATERIAL FOI PRODUZIDO BASEANDOSE NAS SEGUINTES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 HAZZAN Samuel Fundamentos de Matemática Elementar combinatória probabilidade 6ed São Paulo Atual 1993 v 5 2 HINES William W et al Probabilidade e Estatística na Engenharia Trad Vera Regina Lima de Farias Flores 4ed Rio de Janeiro LTC 2006 3 LARSON Ron FARBER Betsy Estatística Aplicada Trad Luciane Ferreira Pauleti Vianna 4ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 4 MORETTIN Luiz Gonzaga Estatística Básica Probabilidade e Inferência 3ª reimpre São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 5 PETERNELLI Luiz Alexandre EST 106 Estatística I Viçosa 2008 Apostila da Universidade Federal de Viçosa 6 REGAZZI Adair José Curso de Iniciação à Estatística roteiro de aulas Viçosa 2003 Apostila da Universidade Federal de Viçosa 7 SPIEGEL Murray Ralph Probabilidade e Estatística Trad Alfredo Alves de Farias São Paulo Pearson Education do Brasil 1978 2004 8 As imagens foram retiradas ou das referências acima ou de arquivos disponíveis na rede mundial de computadores 7 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira ANÁLISE COMBINATÓRIA 8 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições Notação indica o número de elementos de um conjunto 9 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA Exemplos é o conjunto de números de dois algarismos distintos formados a partir dos dígitos 1 2 e 3 é o conjunto de números de três algarismos todos distintos formados a partir dos dígitos 1 2 3 4 5 6 7 8 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM LEMA 1 Consideremos os conjuntos A addeB by bo b Podemos formar m n pares ordenados a bem que a Aeb B Uma outra forma de visualizarmos os pares ordenados é através do diagrama seguinte conhecido como diagrama sequencia ou diagrama da arvore 10 11 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 12 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Exemplos 1 Temos três cidades e Existem quatro rodovias que ligam com e cinco que ligam com Partindo de e passando por de quantas formas podemos chegar até 2 Quantos números de dois algarismos distintos ou não podem ser formados usando os dígitos 1 2 3 4 5 6 7 e 8 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM LEMA 2 O numero de pares ordenados aa tais que a A a142am aj A Q1Q2Am ea a parai jmm 1 Exemplo 1 Quantos numeros com dois algarismos distintos podemos formar com os digitos 1 2 3 4 5 6 7e 8 13 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Principio Fundamental da Contagem Parte A Consideremos r conjuntos A a4 Ap ws An A n B by bz Dn B No Z 24Z2 Zn Z Nn entao o numero de ruplas ordenadas sequéncias de r elementos do tipo a b wany Zy em que a A b Bz EZ Ny Ngecrr Ny 721 15 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Exemplo 1 Uma moeda é lançada 3 vezes Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TT PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Principio Fundamental da Contagem Parte B Consideremos um conjunto A com mm 2 elementos Entao o numero de ruplas ordenadas sequéncias com r elementos formadas com elementos distintos dois a dois de A é mm1m2mr1 A r fatores Ou seja se A 3 A o numero de sequéncias do tipo a 1 w11y Ajy very Ax a AVI 12m com aj A para ip mm1mr1 ie 17 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Exemplos 1 Quatro atletas participam de uma corrida Quantos resultados existem para o 1º 2º e 3º lugares 2 De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana 18 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Observação algumas vezes o conjunto cujos elementos queremos contar consta de sequências de tamanhos diferentes o que impede o uso do princípio fundamental da contagem Entretanto usando o diagrama de árvore podemos saber facilmente quantas são as sequências 3 Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas ou quatro lançamentos sejam feitos o que primeiro ocorrer Quais as sequências de resultados possíveis 19 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONSEQUÊNCIAS DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem nos fornece o instrumento básico para a Análise Combinatória entretanto sua aplicação direta na resolução de problemas pode às vezes tornarse trabalhosa Iremos então definir os vários modos de formar agrupamentos e usando símbolos simplificativos deduzir fórmulas que permitam a contagem dos mesmos em cada caso particular a ser estudado Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS ARRANJOS COM REPETICAO Seja M um conjunto com m elementos isto M adap Chamamos arranjo com repeticao dos m elementos tomados r a r toda r upla ordenada sequéncia de tamanho r formada com elementos de M nao necessariamente distintos Exemplo 1 Uma urna contém uma bola vermelha V uma branca B e uma azul A Uma bola é extraida observada sua cor e reposta na urna Em seguida outra bola é extraida e observada sua cor Quantas sao as possiveis sequéncias de cores observadas 20 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS ARRANJOS COM REPETICAO Formula do nimero de arranjos com repeticao Seja M ayQ2a indiquemos por AR 0 numero de arranjos com repeticao de m elementos tomados r ar Cada arranjo com repeticao é uma sequéncia de r elementos em que cada elemento pertence a M Pelo Principio Fundamental da Contagem parte A o numero de arranjos AR mr sera AR m mmeersmm J J r vezes al Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT ARRANJOS Seja M um conjunto com m elementos isto é M ajdpam Chamamos de arranjo dos m elementos tomados rar 1rm a qualquer rupla sequéncia de r elementos formada com elementos de M todos distintos Exemplo 1 M abcd Os arranjos dos quatros elementos de M tomados dois a dois sao os pares ordenados x y formados com elementos distintos de M Quantos sao oy Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT ARRANJOS Formula do nimero de arranjos Seja M ayQzA e indiquemos por A 0 numero de arranjos dos m elementos tomados rar Cada arranjo é uma sequéncia de r elementos em que cada elemento pertence a M e sao todos distintos Pelo Principio Fundamental da Contagem parte B o numero de arranjos Amr sera Amr m m1 m DI r fatores a 24 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira ARRANJOS Exemplo 1 De um baralho de 52 cartas 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição Quantas sequências de cartas é possível obter Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI PERMUTACOES Seja M um conjunto com m elementos isto é M ajdpam Chamamos de permutacaéo dos m elementos a todo arranjo em que r m Exemplo 1 Seja M abc As permutacoes dos elementos de M sao todos os arranjos constituidos de 3 elementos Quais sao elas 25 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI PERMUTACOES Formula do nimero de permutacédes Seja M adpa e indiquemos por P o numero de permutacoes dos m elementos de M Temos Fn Amm Logo Pmm1m 2 321 26 27 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PERMUTAÇÕES Exemplo 1 De quantas formas podem 5 pessoas ficar em fila indiana 28 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira FATORIAL A fim de simplificar as fórmulas do número de arranjos e do número de permutações bem como outras que iremos estudar vamos definir o símbolo fatorial Seja um número inteiro não negativo Definimos fatorial de e indicamos por por meio da relação para Exemplos 3 29 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira FATORIAL Observação Muitos cálculos podem ser simplificados se notarmos que Exemplos Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT FATORIAL As formulas do nimero de arranjos e do nimero de permutacodes também podem ser simplificadas com a notacao fatorial De fato Pmm1321mM Amr mm1mr1 A 1 4 mrmr1321 mm seems IN T mr m1rmr1321 m A mr mr 30 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS PERMUTACOES COM ELEMENTOS REPETIDOS Vamos calcular o numero de permutacdes que podemos formar quando alguns elementos a serem permutados sao iguais 1 Caso Consideremos n elementos dos quais n sao iguais a a e OS restantes sao todos distintos entre si e distintos de a O ntmero de permutacoes dos n elementos com n elementos iguais a a é dado por n ny cP n Exemplo Quantos anagramas existem da palavra PARAGUAI 8 p32 6720 3 Eyl Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF PERMUTACOES COM ELEMENTOS REPETIDOS Caso Geral Consideremos n elementos dos quais nN Sao iguais a a Nz SAO iguals a ay n Sao iguais a a O numero de permutacoes dos n elementos nessas condicoes é dado por n pr N2 Nr n nN4Nno n Exemplo Quantos anagramas existem da palavra ANALITICA Q 32 71 P35 3191 30240 By Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TT COMBINACOES Seja M um conjunto com m elementos isto M adap Chamamos de combinacdes dos m elementos tomados r a r aos subconjuntos de M constituidos de r elementos Exemplo M abcd As combinacoes dos 4 elementos tomados dois a dois sao os subconjuntos ab bc cd ac bd ad Observacdao Notemos que ab ba pois conforme definimos combinacao é um conjunto portanto nao depende da ordem dos elementos 33 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Sas icow CSS COMBINACOES E importante notar a diferenca entre uma combinacao conjunto e uma sequéncia pois numa combinacao nao importa a ordem dos elementos ao passo que numa sequéncia importa a ordem dos elementos A propria natureza do problema a ser resolvido nos dira se os agrupamentos a serem formados dependem ou nao da ordem em que figuram os elementos Calculo do nimero de combinacodes 4 m Seja M a2am e indiquemos por C ou o numero de combinacoes dos m elementos tomados r ar m m Cmr VmrNcomrsm r rmr ora 35 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira COMBINAÇÕES Exemplos 1 Desejase formar uma comissão de três membros e dispõese de dez funcionários Quantas comissões podem ser formadas 2 Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os existentes De quantas formas isso pode ser feito 36 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEORIA DA PROBABILIDADE 37 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTRODUÇÃO À TEORIA DA PROBABILIDADE A teoria matemática da probabilidade dános o instrumental para construção e análise de modelos matemáticos relativos a fenômenos aleatórios Ao estudarmos um fenômeno aleatório temos diante de nós um experimento cujo resultado não pode ser previsto Experimentos relacionados com jogos de azar A obtenção de valores numéricos de probabilidades não é o principal objetivo da teoria e sim a descoberta de leis gerais e a construção de modelos teóricos satisfatórios A teoria das probabilidades possibilitou estabelecer as distribuições de probabilidade consideradas hoje a espinha dorsal da teoria estatística pois todos os processos inferenciais são aplicações de distribuições de probabilidade Instituto Federal de Educacgao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT CONCEITOS FUNDAMENTAIS Modelo Deterministico é aquele modelo em que a partir das condicdOes em que o experimento é realizado podese determinar seu resultado Exemplo A mr Modelo Probabilistico é aquele modelo em que as condicoes de execucao de um experimento nao determinam o resultado final mas sim o comportamento probabilistico do resultado observavel Exemplo desejase determinar qual a precipitacao pluviométrica que ocorrera numa determinada localidade como resultado de uma tempestade que se avizinha Dispodese de informacdes sobre pressao barométrica em varios pontos variacao de pressao velocidade do vento etc Embora essas informacoes sejam valiosas nao sao capazes de responder a questao levantada de quanta chuva ira cair 38 39 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS FUNDAMENTAIS Experimentos Probabilísticos ou Aleatórios são aqueles experimentos cujos resultados podem não ser os mesmos ainda que sejam repetidos sob condições essencialmente idênticas Exemplos E1 Lançar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras obtidas E2 Escolher ao acaso um ponto de um círculo de raio unitário E3 Selecionar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe E4 Jogar um dado ao ar e observar a sua face superior Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira ure Branco TT CONCEITOS FUNDAMENTAIS Espaco Amostral chamase espaco amostral o conjunto de todos os possiveis resultados de um experimento aleatorio ou em outras palavras é o conjunto universo relativo aos resultados de um experimento Esse conjunto sera representado pela letra S Exemplos Vv S 01 2345 67 89 10 2 2 Y Sp tyi x ty 1 Vv S ouro paus copas espadas V S 12345 6 40 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT CONCEITOS FUNDAMENTAIS Eventos denominase evento a todo conjunto particular de resultados de S ou ainda a todo subconjunto de S vY Evento certo espaco todo S PS 1 vY Evento impossivel conjunto vazio PG 0 v Se S é um espaco amostral discreto ou enumeravel composto de n pontos amostrais existem 2 subconjuntos ou eventos que podem ser formados a partir de S Y Oconjunto de todos os subconjuntos é chamado de espaco de eventos ou classe de eventos ra os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI CONCEITOS FUNDAMENTAIS Exemplo Seja S 1 2 3 Temos entao n 3 2 8 eventos A Q A 1 A 2 A 3 As 1 2 Ag 1 3 Az 2 3 Ag 1 23 Obs no caso continuo os eventos sao colocados na forma de intervalos Exemplo B ax b PAP 43 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS FUNDAMENTAIS Eventos Mutuamente Exclusivos dizse que dois eventos são mutuamente exclusivos se e somente se a ocorrência de um impede a ocorrência do outro Correspondentemente caracterizamse na teoria dos conjuntos por dois conjuntos disjuntos isto é que não possuem nenhum ponto em comum Em outras palavras dois eventos e são mutuamente exclusivos se o seu conjunto interseção for vazio ou seja 44 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS FUNDAMENTAIS Exemplos No lançamento de um dado a ocorrência de uma face par elimina a possibilidade de ocorrência de uma face ímpar Seja o espaço amostral referente à retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas Seja o evento retirada de um ás e o evento retirada de uma carta de ouro Vêse que a possibilidade de ocorrer e ao mesmo tempo não está descartada ou seja ocorrer ás de ouro Logo os eventos e não são mutuamente exclusivos 45 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Conceito Clássico ou Probabilidade a priori Seja um experimento e um espaço amostral a ele associado composto de pontos amostrais Definese a probabilidade da ocorrência de um evento indicada por como sendo a relação entre o número de pontos favoráveis à realização do evento e o número total de pontos ou seja onde é o número de pontos contrários à realização do evento Ainda 1 46 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Exemplos i Seja o experimento relativo ao lançamento de um dado Seja o evento ocorrência da face 6 Considerando que os pontos de são equiprováveis isto é cada ponto de tem a mesma probabilidade de ocorrer temse que pois possui 6 pontos dos quais um é favorável à Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Guro Branco I CONCEITOS DE PROBABILIDADE Exemplos ll Sejao espaco amostral referente ao numero de caras obtidos em 3 lances de uma moeda e A 0 evento ocorréncia de uma cara Neste caso S 0123eA 1 Aqui o conceito classico nao pode ser aplicado pois os pontos de S nao sao yo 1 equiprovaveis ou seja PA z Observando o espaco amostral original S cacaca cacaco cacoca cocaca Cacoco cocaco cococa cococo A cacoco cocaco cococa 3 Neste caso S é equiprovavel e PA e A os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira urn tone TO CONCEITOS DE PROBABILIDADE Fatos Y O conceito classico s6 pode ser utilizado em situacdes onde o espaco amostral é enumeravel finito e equiprovavel Y Sendo PA t no caso infinito todos os eventos teriam probabilidade zero de ocorrer 48 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT CONCEITOS DE PROBABILIDADE Frequéncia Relativa ou Probabilidade a posteriori Seja E um experimento e A um evento Se apos n realizacoes do experimento E n suficientemente grande forem observados m resultados favoraveis a A entao uma estimativa da probabilidade PA é dada pela frequéncia relativa f m n Também chamada de probabilidade empirica tem por base o principio estatistico da estabilidade ou seja 4a medida que 0 numero de repeticoes do A m experimento cresce a frequéncia relativa f se aproxima da probabilidade PA 49 50 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Exemplo Considere o resultado hipotético do lançamento de um dado 90 vezes consecutivos conforme a tabela a seguir Face Nº Frequência Observada Frequência Obs Relativa Frequência Esperada Frequência Esp Relativa 1 12 12900133 15 160167 2 17 17900189 15 160167 3 15 15900167 15 160167 4 18 1890020 15 160167 5 10 10900111 15 160167 6 18 1890020 15 160167 90 1 90 1 51 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Observação A frequência observada relativa é a probabilidade a posteriori e a frequência esperada relativa é a probabilidade a priori Quando o número de tentativas aumenta consideravelmente as duas se aproximam A exigência suficientemente grande é por demais vaga para que sirva como uma boa definição de probabilidade além de impossibilitar tal como o conceito clássico o tratamento probabilístico de eventos de espaços amostrais contínuos Exemplo Em 660 lançamentos de uma moeda foram observadas 310 caras Qual a probabilidade de num lançamento dessa moeda obterse coroa 52 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Conceito Moderno ou Axiomático Seja um experimento e um espaço amostral associado a A cada evento de associaremos um número real denominado probabilidade da ocorrência do evento se forem satisfeitas as seguintes condições ou axiomas para qualquer evento A em S iii Se e são dois eventos de e são mutuamente exclusivos então Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Conceito Moderno ou Axiomatico Para um numero finito de eventos mutuamente exclusivos n PA UAy UU A PAy PAp PAy PA i1 se A N A para todo par i j com i j Decorre que a 0PA 1 b PA PS PA 1 PA Qualquer processo de calculo da probabilidade é valido desde que satisfaca os axlomas 53 54 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Uma definição Probabilidade Geométrica Suponhamos que um segmento seja parte de um outro segmento e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a é proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em será 55 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Uma definição Probabilidade Geométrica Analogamente suponhamos que uma figura plana seja parte de uma outra figura plana e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a é proporcional à área de e não depende do lugar que ocupa em então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em será O conceito axiomático possibilitou a extensão do estudo às variáveis contínuas englobando eventos pertencentes aos espaços amostrais infinitos não enumeráveis 56 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira CONCEITOS DE PROBABILIDADE Exemplos 1 Seja um segmento de reta e um evento que se caracteriza pela escolha ao acaso de um ponto do segmento que pertença também ao segmento menor contido em Se os comprimentos de e são respectivamente 5 e 2 unidades qual é a probabilidade da ocorrência de os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco OTT TT CONCEITOS DE PROBABILIDADE Exemplos 2 Seja um experimento referente a escolha de um ponto ao acaso de um circulo de raio r centrado na origem Temse entao Sxy xy r7 Ou seja os pares de valores x y que satisfazem a condicao xy r2 sao os pontos amostrais que compoe S Supondo um circulo de raio igual a 2 e os eventos A xy x7 y 1 2eB x yixy7 pedese calcular PA e PB nA Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT ESPACO AMOSTRAL FINITO Seja S um espaco amostral finito S aaa Um espaco de probabilidade finito é obtido associandose a cada ponto a S um numero real p chamado de probabilidade de a satisfazendo as seguintes condicoes lL pj 20 parait 12n 2 n i py t pote Pn dizi Pi 1 A probabilidade de qualquer evento A que denotaremos por PA é dada pela soma das probabilidades dos pontos de A 58 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Sas icow OTT TSS ESPACOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVAVEIS Seja S um espaco de probabilidade finito Se cada ponto de S tem a mesma probabilidade de ocorrer entao 0 espaco amostral chamase equiprovavel ou uniforme Em particular se S contém n pontos entao a probabilidade de 1 cada ponto sera rT Por outro lado se um evento A contém r pontos entao PA 7 Esse método de avaliar PA é frequentemente enunciado da seguinte maneira PA numero de elementos de A numero de elementos de S Ou PA numero de vezes em que o evento A pode ocorrer numero de vezes em que 0 espaco amostral S ocorre be 60 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMAS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADE Teorema 1 Se é um conjunto vazio então Fato A recíproca deste teorema não é verdadeira isto é não implica que seja um conjunto vazio Teorema 2 Se é o complemento de então Teorema 3 Se e são dois eventos quaisquer e é o complemento de então Fato Do mesmo modo Demonstrar 61 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMAS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADE Teorema 4 Teorema da Soma das Probabilidades Se e são dois eventos quaisquer então Fato Para três eventos quaisquer e temos que Teorema 5 Se então Teorema 6 Para um evento qualquer Demonstrar os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco I EXERCICIOS 1 Um algarismo é escolhido dentre os algarismos 1 2 3 4 5 e em seguida uma segunda selecao é feita entre os quatro algarismos restantes Admita que os vinte resultados possiveis tem a mesma probabilidade Determine a probabilidade de que um algarismo impar seja escolhido a na primeira vez b na segunda vez c ambas as vezes d se X 60 algarismo obtido na iésima selecao calcular P2X X 8 oy 63 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 De uma urna que contém quatro bolas brancas e três vermelhas tiramse três bolas de uma só vez Pedese a Obter o espaço amostral referente ao número de bolas brancas retiradas b Obter a probabilidade de ocorrência de cada ponto de espaço amostral c Obter um processo geral para o cálculo das probabilidades 64 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 3 Uma caixa contém 20 peças das quais 5 são defeituosas Extraemse duas ao acaso Qual a probabilidade de a ambas serem perfeitas b ambas serem defeituosas c uma ser perfeita e outra defeituosa 65 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo Preparatório Suponha que o quadro a seguir represente uma possível divisão dos alunos matriculados em dado Instituto de Matemática num dado ano CursoSexo Homens H Mulheres M Totais Matemática Pura P 70 40 110 Matemática Aplicada A 15 15 30 Estatística E 10 20 30 Computação C 20 10 30 Totais 115 85 200 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ers Professora Fernanda Gomes da Silveira PROBABILIDADE CONDICIONAL Considere A o evento que ocorre quando escolhendose ao acaso um aluno do instituto ele for um estudante de Matematica Aplicada A P EC H e M tém significados analogos Desta maneira temse que Na 30 Nu 115 Naw 15 PA N 200 PCH N 200 PANH N 200 PA UH PA PH PAN BF PAUH 30 1 115 15 130 200 200 200 200 66 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT PROBABILIDADE CONDICIONAL Agora considere a subpopulacao formada pelos homens A probabilidade de que um aluno do Instituto escolhido ao acaso nessa rae pe N subpopulacao seja um estudante de Matematica Aplicada é igual a ae H onde N o numero de homens estudantes de Matematica Aplicada O aw 15 resultado é entao 115 oy Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira ees PROBABILIDADE CONDICIONAL O simbolo mais comumente adotado é PAH que pode ser lido como a probabilidade do evento A dado o evento H Em simbolos PAH Naw PANH Ny PH Observacao cada subpopulacao pode ser considerada como sendo uma nova populacao o termo subpopulacaéo é usado unicamente por conveniéncia de linguagem servindo para indicar que existe uma populacao maior sendo considerada 68 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira PROBABILIDADE CONDICIONAL Definicao Seja B um evento cuja probabilidade é positiva Para um evento A arbitrario definimos PAB PANB PB 0 A quantidade assim definida sera chamada de probabilidade condicional de A na hipotese B ou dado B No caso de todos os pontos amostrais terem probabilidades iguais PAB é o quociente A5 do numero de pontos B amostrais comuns a A e B pelo numero de pontos de B Do mesmo modo temse que PBA PAB PA 0 69 70 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PROBABILIDADE CONDICIONAL Considerar probabilidades condicionais de vários eventos com relação a uma hipótese particular é equivalente a escolhermos como um novo espaço amostral com probabilidades proporcionais às probabilidades originais o fator de proporcionalidade é necessário para que se tenha a probabilidade total do novo espaço igual a 1 Essa formulação mostra que todos os teoremas gerais sobre probabilidades são válidos também para probabilidades condicionais com respeito a qualquer hipótese particular Exemplo Se e forem mutuamente exclusivos 71 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira PROBABILIDADE CONDICIONAL Voltando ao exemplo seja aluno é mulher aluno matriculado em Estatística Dada a informação da ocorrência de um evento teremos a redução do espaço amostral A probabilidade condicional pode ser avaliada diretamente no espaço amostral reduzido No exemplo 72 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DO PRODUTO DAS PROBABILIDADES Vimos que a probabilidade condicional de na hipótese ou dado é Ou na forma Esse resultado é conhecido pelo nome de Teorema do Produto das Probabilidades Generalizando para três eventos e Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao Ne Disciplina Estatistica II hitnaas Goraks Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DO PRODUTO DAS PROBABILIDADES Exemplo Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraida ao acaso Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha Fazer diagrama de Arvore Sejam os eventos U escolher a urna I V escolher uma bola vermelha Estamos interessados no evento U NV Logo pelo teorema do produto das probabilidades PU NV PU PWV U PU NV a 25 5 73 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DO PRODUTO DAS PROBABILIDADES Observe que a probabilidade da ocorréncia simultanea de U e V é 0 produto das probabilidades que aparecem nos ramos da arvore onde estao situados I eV Analogamente indicando por U escolher a urna II B escolher uma bola branca Temos PU NB a 25 10 PU NV 1 22 u 29 9 PUN B Pe u 29 18 fe 75 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INDEPENDÊNCIA ESTOCÁSTICA OU PROBABILÍSTICA A probabilidade condicional não é em geral igual à probabilidade No caso em que diremos que é estocasticamente probabilisticamente independente de Sob a condição a expressão pode ser reescrita na forma Essa equação é simétrica em e e mostra que sempre que for estocasticamente independente de o mesmo se pode dizer de com relação a 76 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INDEPENDÊNCIA ESTOCÁSTICA OU PROBABILÍSTICA Definição Dois eventos e dizemse estocasticamente independentes ou simplesmente independentes se for válida a igualdade Essa definição engloba a situação na qual caso em que não é definida os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira INDEPENDENCIA ESTOCASTICA OU PROBABILISTICA Exemplo Duas pessoas praticam tiro ao alvo A probabilidade de a 13 atingir 0 alvo é PA e a probabilidade de a 22 atingir 0 alvo é PB Admitindo A e B independentes se as duas pessoas atiram qual a probabilidade de a ambos atingirem o alvo PANB PA PB 1 4 7 33 9 b ao menos um atingir o alvo 1 2 2 7 PA UB PA PB PANB 3 3 9 9 77 78 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INDEPENDÊNCIA ESTOCÁSTICA OU PROBABILÍSTICA Independência de 3 ou mais eventos Suponha três eventos e tais que são independentes dois a dois Se os eventos e satisfazem a e b eles são mutuamente independentes Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ers Professora Fernanda Gomes da Silveira INDEPENDENCIA ESTOCASTICA OU PROBABILISTICA Definicao Os n eventos AjA3An dizemse mutuamente independentes se para todas as combinacodes 1 ijkn as regras de multiplicacao PA N Aj N Ax PA PA PAx PA NA2NN Ap PAz PA2 PAn se aplicam O numero total de equacoes definidas é 2 n 1 79 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS INDEPENDENCIA ESTOCASTICA QU PROBABILISTICA Exemplo Um dado é lancado 5 vezes Qual a probabilidade de que a face 2 apareca pelo menos uma vez nos 5 lancamentos Sejam os eventos A ocorre um numero diferente de 2 no iésimo lancamento Admitindo A A4 independentes 5 PA AA Ac 5 5 5 5 N NN a ee le we OC ee 6 6 6 6 5 5 ele Entao é a probabilidade de nado observarmos o 2 em nenhum lancamento Ora aparecer o 2 pelo menos uma vez é o evento complementar de o evento nao comparecer nenhuma vez Logo a 5 4 5 probabilidade desejada é 1 80 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL O Teorema a seguir relaciona a probabilidade de um evento com probabilidades condicionais Teorema Sejam B BB eventos mutuamente exclusivos e exaustivos Entao para um evento arbitrario A PA PAB PB PABz PB2 PABy PBr n PA PABi PCB i1 Nota BBB um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos se quaisquer dois eventos B e B nao podem ocorrer ao mesmo tempo e a uniao de todos os eventos é 0 espaco amostral Simbolicamente Bj NB 9 ij e By UBUUBS ool Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Demonstracao Seja o Diagrama de Venn a seguir Escrevendo A como a uniao de eventos mutuamente exclusivos AANB UANB UU ANB PA PANB PANB PANB PA PAB PBy PAB2 PBz PABn PBn PA PABi PBi i1 oy 83 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL A utilidade deste resultado reside no fato de que as probabilidades que compõem o somatório são em geral mais fáceis de calcular do que a própria probabilidade de Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Exemplo Uma urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 brancas outra urna II tem 3 bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraida uma bola Qual a probabilidade de a bola ser vermelha Fazer diagrama de arvore Note que os eventos U escolher a urna I U escolher a urna II U escolher a urna III determinam uma particao de S Seja V escolher uma bola vermelha Entao pelo teorema da probabilidade total PV PU PV U Pi PV Un PU PV Un PV a 51 4 109 35 34 36 180 77 85 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TEOREMA DE BAYES Sejam e dois eventos arbitrários com e Então Pelo Teorema do Produto das Probabilidades Assim Este resultado é chamado Teorema de Bayes e permite calcular a probabilidade a posteriori em termos das informações a priori e os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Oure Branco TT TEOREMA DE BAYES Combinando o Teorema de Bayes com o Teorema da Probabilidade Total temse PBA PAB PB J n ini PAB PBi para qualquer j onde osB representam um conjunto de eventos mutuamente exclusivos e exaustivos 86 87 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 1 Extraído de httpswwwvoittocombrblogartigoteoremadebayes 1 Imagine que um casal tem dois filhos Qual a probabilidade dos dois filhos serem meninos dado que um deles é menino Para calcular essa probabilidade precisamos definir alguns eventos e probabilidades Sejam os eventos dois filhos meninos evento desejado pelo menos um dos filhos é um menino evento dado Assim probabilidade de que os dois filhos sejam meninos probabilidade de que pelo menos um filho seja um menino probabilidade de que um dos filhos seja menino dado que os dois são meninos 88 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 1 Assumindo que a probabilidade de que uma criança seja menino é temos Logo aplicando o Teorema de Bayes 89 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 2 Extraído de httpswwwvoittocombrblogartigoteoremadebayes 2 Imaginemos que o teste de mamografia se comporte da seguinte forma das mulheres têm câncer de mama portanto não tem das mamografias detectam o câncer quando ele existe portanto falha das mamografias detectam o câncer quando ele não existe portanto retornam corretamente um resultado negativo Câncer 1 Sem Câncer 99 Teste Positivo Teste Negativo 90 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 2 Dadas todas essas informações imagine que você se submeteu ao teste de mamografia e esse teste apresentou um resultado positivo Quais são as chances de realmente se ter câncer dado que o teste deu positivo probabilidade de ter câncer dado que o teste deu positivo probabilidade de testar positivo dado que tem câncer Essa é a chance de um positivo verdadeiro que é probabilidade de ter câncer probabilidade de não ter câncer representado por complementar de ou seja não probabilidade de testar positivo dado que não tem câncer que é nesse caso os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao Ne Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 2 Vamos dar uma olhada na formula PBAPA pcaypy PBA PA PB Como fariamos para encontrar PB probabilidade de qualquer teste positivo Bem exatamente por isso que precisamos da informacao sobre todas as possibilidades de um teste dar positivo Um teste pode dar positivo tanto se a mulher tiver cancer como se nao tiver Essas possibilidades sao exatamente PBA e PBAC Assim temos que PB é igual a PB PBA PA PBA PAS or Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Exemplo 2 Logo a formula fica desse jeito PBAPA PAB BA PA PBA PA PBA PA PAB 080 001 7 80 B 0800010096099 Ou seja a probabilidade de se ter cancer de mama dado que a mamografia deu positivo é de apenas 78 Esse valor que pode parecer contrario a sua intuicao é obtido gracas ao calculo de todas as possibilidades de um teste positivo A grande questao 0 peso que a proporcao de pessoas que nao possuem cancer exercem na formula O fato de que a cada 100 pessoas apenas 1 tem a doenca faz toda a diferenca op 93 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Extraemse aleatoriamente duas cartas de um baralho comum de 52 cartas Determine a probabilidade de serem ambas ases se a primeira carta a é reposta com reposição b não é reposta sem reposição 94 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 A urna I contém três fichas vermelhas e duas fichas azuis e a urna II contém duas fichas vermelhas e oito fichas azuis Jogase uma moeda honesta Se a moeda der cara extraise uma ficha da urna I se der coroa extraise uma ficha da urna II Determine a probabilidade de escolha de uma ficha vermelha Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS EXERCICIOS 3 Na figura abaixo temos um sistema com trés componentes funcionando independentemente com confiabilidade p pe p3 Obtenha a confiabilidade do sistema 2 1 3 Obs p 6 a probabilidade do componente i i 1 2 3 funcionar Cada p é chamada a confiabilidade do componente i E 0 sistema funciona PE é chamada a confiabilidade do sistema 95 96 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 4 Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos tipo eou bacilos tipo e simultaneamente As probabilidades de se encontrarem bacilos tipos e são respectivamente 030 020 e 080 Existindo bacilos tipo não existirão bacilos tipo Existindo bacilos tipo a probabilidade de existirem bacilos tipo é reduzida à metade Pedese a Qual a probabilidade de aparecerem bacilos B ou C b Qual a probabilidade da água estar contaminada c Se a água está contaminada qual a probabilidade de aparecerem bacilos tipo B 97 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 5 Em uma fábrica de peças as máquinas e produzem 40 50 e 10 por cento do total produzido respectivamente Da produção de cada máquina 3 5 e 2 por cento respectivamente são peças defeituosas Escolhida ao acaso uma peça da produção conjunta das três máquinas pedese a Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa b Sabendose que a peça escolhida é defeituosa qual a probabilidade de que ela venha da máquina 98 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 99 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Conceito é toda e qualquer variável associada a uma probabilidade isto é seus valores estão relacionados a um experimento aleatório Seja um experimento aleatório e o espaço amostral associado a este experimento Uma função que associa a cada elemento pertencente a um número real é denominada variável aleatória va 100 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Exemplo considere o lançamento de duas moedas e seja número de caras obtidas cara e coroa Observações Apesar da terminologia variável aleatória ela é uma função cujo domínio é e o contradomínio O uso de variáveis aleatórias equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras o que apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático Nem toda função é uma variável aleatória Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira ne VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA Definicao Seja X uma va Se o numero de valores de X for finito ou infinito enumeravel entao X sera uma variavel aleatoria discreta vad Em geral é obtida mediante alguma forma de contagem Exemplos Numero de acidentes ocorridos em uma semana Numero de defeitos por peca produzida por um fabricante Numero de vitorias obtidas por um atleta Numero de filhos do sexo masculino por casal Funcao de Probabilidade chamase funcao de probabilidade fp da vad X a funcao PX xj PX Dj que a cada valor de x associa sua probabilidade de ocorréncia 101 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA A funcao PX sera uma funcao de probabilidade se satisfizer as seguintes condicoes i PX 0 para todo X i Yi PX 1 A colecao de pares X PX i 12n denominaremos distribuicao de probabilidade da vad X que pode ser representada por meio de tabelas e graficos oy os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Guro Branco TS VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA Este é 0 caso mais simples de va discreta onde cada possivel valor ocorre com a mesma probabilidade Definicao A vad X assumindo valores xX2 tem distribuicao uniforme se e somente se 1 PX x Px p para todo i 12n Tabela Xj x4 X2 X3 X4 Xn 1 1 1 1 1 Px i n n n n n 103 104 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA Gráfico os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA Exemplos 1 Seja E lancamento de um dado naoviciado O espaco amostral é S 123456 Cada ponto de S tem probabilidade de ocorrer igual a 1 Tabela x 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 Pa J 2 6 6 6 6 6 6 Este exemplo tratase de uma va X ntimero de pontos obtidos uniformemente distribuida 105 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 2 Seja E lancamento de um dado viciado de tal forma que a probabilidade é proporcional ao seu valor S 123456 X numero de pontos obtidos Os possiveis valores que a va pode assumir sao X 123456 com as respectivas probabilidades p2p3pt4p5p6p1 21p1p121 Tabela X 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Pi r a aT 21 21 21 21 21 21 106 107 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA Gráfico Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TT VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA Observe que as duas condicoes sao satisfeitas As tabelas e graficos sao utilizados para mostrar como a probabilidade total atribuida a um espaco amostral é distribuida pelos diversos resultados daquele espaco Funcao de probabilidade a 123456 ara x Px 71 p l peryY Ty 0 para outros valores de x Este exemplo tratase de uma va X numero de pontos obtidos que nao é uniformemente distribuida 108 109 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIO 1 Uma urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas Duas bolas são retiradas sucessivamente I com reposição e II sem reposição Determine em cada caso a distribuição de probabilidade e a função de probabilidade do número de bolas brancas retiradas os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS VARIAVEL ALEATORIA CONTINUA Definicao Seja X uma va Se X puder assumir todo e qualquer valor em algum intervalo a x b onde a e b podem ser respectivamente e oo entao X é uma variavel aleatoria continua vac Assim uma va X é continua quando associada a um espaco amostral infinito nao enumeravel Funcao densidade de probabilidade fdp A funcao que denotaremos por fx definida para ax b sera chamada fdp se satisfizer as seguintes condicoes iL fx 0 para todo x a b il LF dx 1 a rele os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao Ne Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIAVEL ALEATORIA CONTINUA Observacoes d 1 ParacdPcXdJ fxdx 2 Para um valor fixo de X por exemplo X temos que X0 PX x fx dx 0 Xo Sendo assim as probabilidades abaixo sao todas iguais se X for uma Vac PicXdPcXdPcXdPcXd 3 A funcao densidade de probabilidade fx nao representa probabilidade Somente quando a funcao for integrada entre dois limites ela produzira uma probabilidade que sera a area sob a curva da funcao entre os valores considerados 4 Se o conjunto de valores de X nao estiver contido no intervalo a b entao para x a b temse fx 0 111 112 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA Este é o caso mais simples de va contínua Definição A vac tem distribuição uniforme no intervalo sendo e finitos se a sua função densidade de probabilidade é dada por Gráfico 113 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Seja uma vac definida pela seguinte fdp a Determinar o valor de R b Traçar o gráfico da fdp c Calcular R 114 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 Uma vac tem a seguinte fdp a Determinar o valor de R b Traçar o gráfico da fdp c Calcular R Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCICIOS 3 Uma vac X possui a seguinte fdp k para0Nsx1 fx k2x paralx2 0 para outros valores de x Pedese a Aconstante k para que fx seja uma fdp R 23 1 3 b P5X 5R712 c PX 1R0 d PSX1R13 e PX 2R0 f Grafico de f x 5B Es os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA Definicao dada a variavel aleatoria X chamaremos de funcao distribuicao acumulada ou simplesmente funcao de distribuicao Fx a funcao Fx PX x Observe que o dominio de F é todo o conjunto real Propriedades de Fx i Os Fx 1 para todo x li Sex x5 entao Fx Fx isto é Fx é naodecrescente FX para X vad Para uma vad X temos que Fx PX x Px X SX 116 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao Ne Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA PARA VAD Exemplo 1 Seja X uma vad com a seguinte distribuicao de probabilidade Xj 2 1 2 4 Total 1 1 1 1 Px 1 i 4 8 2 8 Pedese a Tracar o grafico da distribuicao de probabilidade de X b Obter a funcao de distribuicao acumulada e tracar seu grafico 117 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA PARA VAC FX para X vac Para uma vac X temos que x Fx PX x PXx reo ax 0o Temos ainda que d PcX dFdFc f x dx Cc 118 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA PARA VAC Exemplos 1 Seja X uma vac com a seguinte fdp 1 fi 22 paraQsxs2 0 caso contrario Pedese a Tracar o grafico da fdp b Obter Fx e tracar seu grafico c Calcular PX 1 R 14 d Calcular P 1 X R 516 119 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao Ne Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA PARA VAC 2 Seja X uma vac com funcao dada por ax seeQOx1 a se1lx2 PQ ax 3a se2x3 0 sexQoux3 Pedese a Determine a constante a para que fx seja uma fdp R 12 b Tracar o grafico de fdp c Obter Fx e tracar seu grafico d Calcular P0 X 5 R12 e Se XX eX forem trés observacdes independentes de X qual sera a probabilidade de exatamente um desses trés nimeros ser maior do que 15 R 38 120 121 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Se refere ao caso em que para um determinado experimento cada resultado é proveniente da avaliação simultânea de dois caracteres Por exemplo estudar a estatura e o peso de alguma pessoa escolhida ao acaso o que forneceria o resultado Como pode se notar cada resultado é identificado por cada um dos valores que as variáveis aleatórias unidimensionais assumem 122 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Definição Sejam um experimento e um espaço amostral associado a Sejam e duas funções cada uma associando um número real a cada resultado Denominaremos uma va bidimensional Em determinadas situações e não estão necessariamente ligadas a um mesmo experimento mas existe uma razão bastante definida para considerar e conjuntamente Para nosso estudo vamos considerar que e são ambas discretas ou ambas contínuas Do mesmo modo que no caso unidimensional deve ter associada a cada valor que pode assumir uma probabilidade de sua ocorrência Assim precisamos definir a distribuição de probabilidade da va bidimensional os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS XY éva discreta bidimensional XY sera uma va discreta bidimensional se os valores possiveis de X e Y forem finitos ou infinitos enumeraveis Isto é se os valores possiveis de XY podem ser representados por x y i 12rej 12s eke Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS 1 Funcao de probabilidade conjunta de X e Y Chamase funcao de probabilidade conjunta da vad bidimensional XY a funcao PX x Y yj yj Di que a cada valor de x y associa sua probabilidade de ocorréncia Para que Px y seja uma funcao de probabilidade conjunta é necessario que satisfaca as seguintes condicoes a Px y 0 para todo par x y b XiXjPxnyj 1 ey Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS Distribuicéo de probabilidade conjunta é o conjunto xyPxy t 12rej 12s XY V1 V2 Vs PX xj x4 PX1 1 PX1Y2 PX4ys PX x1 x2 PX21 PX2 2 PX25 PX x2 Xr PX 1 PXY2 Pxs PX x PYyPWy1 PYy2 PYy 100 125 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS ll Distribuicdes marginais Dada uma distribuicao conjunta de duas va X e Y podemos determinar a distribuicao de X sem considerar Y e a de Y sem considerar X Sao as chamadas distribuicdes marginais A distribuicao marginal é constituida pelos valores da variavel aleatoria e suas respectivas probabilidades marginais A probabilidade marginal para cada valor é obtida da seguinte forma Para X PX x P yet Pxiy Para Y PY y Py Lei Px yj 126 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ers Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS Com as probabilidades marginais para cada valor podemos construir a distribuicao marginal para a variavel aleatoria Para X Xx T x 1 Xx 2 eee Xr Px Px Px2 Px 10 Para Y Yj Y1 y2 Ys Py Py Py2 a Pys 10 Pays Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao FEDERAL Profecsora Femands Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS iu Distribuicdes condicionais Seja x um valor de X tal que PX x Px 0 A probabilidade PX xY y PUY yX x Y 9X xi PX x é denominada probabilidade condicional de Y y dado que X xj Analogamente para X PX x Y y Px x yj PY y 128 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ers Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS Assim para x fixado os pares yPY yX x definem a distribuicao condicional de Y dado que X xj Yj V1 y2 a Ys PY yX xi PWy1X x PW y2Xx PW ysX x 10 Analogamente para X xj x4 x2 aa Xr PX xiY y PXmY y PX x2Yyj PX xY y 10 129 130 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS E CONDICIONAIS é va contínua bidimensional A variável será uma va contínua bidimensional se puder assumir todos os valores em algum conjunto não enumerável os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS 1 Funcdao densidade de probabilidade conjunta de X e Y Seja XY uma va continua bidimensional Dizemos que fxy é uma funcao densidade de probabilidade conjunta de X e Y se satisfizer as seguintes condicoes a fxy 0 para todo par x y b 72 7S Fy dx dy 1 fx y 0 para x y nao pertencente aos intervalos de xe y Temos ainda que Pia X bcYd pe fo FG ydx dy 131 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS ll Distribuicdes marginais As fdp marginais de X e Y sao dadas por gx ce fxy dyehy ce fx y dx respectivamente Temos ainda que b Piasxb sco ax a d Pic Yd hoyay Cc hey 133 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS E CONDICIONAIS iii Distribuições condicionais Sejam e vac com fdp conjunta e fdp marginais dadas por e A fdp condicional de dado que é definida por Analogamente a fdp condicional de dado que é definida por os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO CONJUNTA DE DUAS VA DISTRIBUICOES MARGINAIS E CONDICIONAIS iu Distribuicdes condicionais As fdp condicionais dadas satisfazem a todas condicdes impostas para uma fdp unidimensional Deste modo para y fixado teremos a fxy 20 Feo pte fy y 1 pte WY b J fxy dx i hy ax hy y dx hny 1 134 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIAVEIS ALEATORIAS INDEPENDENTES XY umava discreta bidimensional Definicao 1 Seja XY vadbidimensional Dizemos que X e Y sao independentes se e somente se para todo par de valores x y deXeY temse PX x Y y PX x PY y Basta que esta condico nao se verifique para um par x y para que X eY nao sejam independentes Neste caso diremos que X e Y sao dependentes Definicao 2 Seja XY vadbidimensional Neste caso X e Y serao independentes se e somente se PX xY y PX x para todo i ej Ou equivalentemente PY yX x PY y para todo ie j 135 136 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES é uma va contínua bidimensional Definição 1 Seja vacbidimensional Diremos que e são independentes se e somente se para todo e todo Definição 2 Seja vacbidimensional Neste caso e serão independentes se e somente se Ou equivalentemente 137 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Dada a distribuição de probabilidade conjunta de na tabela abaixo XY 0 1 2 0 010 020 020 1 004 008 008 2 006 012 012 Pedese a Distribuições de e são independentes c As distribuições condicionais de dado que e dado que R R f Construir a distribuição conjunta a partir das distribuições marginais de e de 138 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 Sejam e vac com fdp conjunta dada por Pedese a O valor de R R R R são va independentes Justifique R Não 139 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Esperança Matemática média ou valor esperado de uma va Parâmetro é uma medida utilizada para descrever uma característica de uma população e caracteriza a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Sob o ponto de vista científico a esperança matemática também denominada uma medida de tendência central corresponde ao que se espera que aconteça em média isto é é o parâmetro média de uma população Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSICAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA X éumava discreta Seja X uma vad com a seguinte distribuicao de probabilidade Xj x4 Xp ve Xn Total Px Px Px2 Pxy 10 Definese a esperanca matematica de X por EX py X1 Pxy x2 Pxg Xp PXy n EX x Px i1 140 141 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Exemplo Um fabricante produz peças tais que 10 delas são defeituosas e 90 não são defeituosas Se uma peça defeituosa for produzida o fabricante perde R 100 enquanto uma peça não defeituosa lhe dá um lucro de R 500 Seja a variável aleatória Calcular a média do lucro líquido por peça R Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS MEDIDAS DE POSICAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA X umava continua A esperanca matematica de uma vac X é definida por 00 EX x fx dx oo p20 143 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Exemplo Uma vac apresenta a seguinte fdp Calcule R os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSICAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Propriedades da Esperanca Matematica As propriedades a seguir sao validas para X va discreta e para X va continua 1 Se X uma va com PX k1 entao EX k sendo k uma constante a média de uma constante é a propria constante 2 EkX kEX 3 Se X eY sao va independentes entao EXY EXEY Obs EXY EXEY nao implica que X e Y sejam va independentes 4 EXY EXEY 5 EXtkEX k 6 A média de uma va centrada é zero EX uy 0 7 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT MEDIDAS DE POSICAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Mediana Md de uma va A mediana é o valor de X que divide a distribuicao em duas partes equiprovaveis ou seja 1 PX Md PX Md 5 Para X uma vac o valor de X Md é obtido por Md 00 1 fxdx fx dx o Md 145 146 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Moda Mo de uma va É o valor que possui maior probabilidade no caso discreto ou maior densidade de probabilidade no caso contínuo 147 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Exemplo é uma vac tal que Determinar R b Moda R c Mediana R d Para calcule R os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Variancia E a medida que quantifica a dispersao dos valores em torno da média A variadncia de uma va X é definida por VX 0 EX EX EX px Para X vad VX Gi uyP CH i Para X vac 00 voy Ge m6O dx IWR os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Variancia Uma formula mais pratica para calcular a variancia é 2 2 VX EX E Para X vad 2 2 EX x Px L Para X Vac 00 EX2 x fx dx oo 149 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Propriedades da Variancia Valem tanto para X vad quanto para X vac 1 Vk 0 2 VX k VX 3 VkKX kVX 4 Se X eY sao va independentes entao VX Y VX 4 VY Do mesmo modo VX Y VX 4 VY 150 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao FEDERAL Profeceora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Desvio Padrao Desvio padrao da variavel X é a raiz quadrada positiva da variadncia de X Ox v VX Covariancia Sejam X e Y duas va A covariancia denotada por CovXY é definida por CovXY EX EX lY EW CovXY EXY EXEY 151 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Covariancia sendo Para XY discreta EXY xiyjP xi y i oj Para XY continua co 0 eary xy fy axay 0CO OoO 152 153 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Covariância Para que haja covariância é necessário que existam pelo menos duas variáveis aleatórias A covariância nos dá uma ideia da relação de dependência entre as variáveis Propriedades da Covariância 2 Se ou então sendo uma constante sendo e constantes 154 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Covariância Se e são duas va quaisquer então Quando duas variáveis aleatórias e não são independentes geralmente é de interesse avaliar quão fortemente estão relacionadas uma com a outra A covariância dá uma ideia da dispersão dos valores da variável bidimensional em relação ao ponto 155 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Covariância Os valores não são padronizados A covariância será positiva se as duas variáveis tendem a variar no mesmo sentido isto é valores de acima da sua média estão associados a valores de acima de sua média o mesmo ocorrendo para valores de ambos inferiores à média A covariância será negativa se valores acima da média de uma variável estão associados a valores inferiores à média da outra O valor da covariância entre duas variáveis aleatórias depende diretamente das unidades de medida adotadas para medir essas variáveis Assim é de interesse introduzir um conceito cujo valor seja independente da unidade medida Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Coeficiente de Correlacao Definese o coeficiente de correlacaéo populacional p entre as va X e Y por CovXxY Pxy lspsl VVXVY O coeficiente de correlacaéo mede o grau de associacao entre duas va X eY 156 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Correlacao Os valores sao padronizados pyy corrige a deficiéncia da CovXY ou seja 0 coeficiente de correlacao nao é afetado por mudanca linear das unidades de medida Quando as duas variaveis estiverem perfeitamente relacionadas de forma linear p assumira os valores extremos positivo 1 ou negativo 1 oy Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira ees MEDIDAS DE DISPERSAO DE UMA VARIAVEL ALEATORIA Covariancia x Coeficiente de Correlacao Se X e Y sao va independentes entao CovXY0 e consequentemente Pyy 0 CovXY 0 nao implica que X e Y sejam va independentes a nao ser que X e Y tenham distribuicao normal bivariada Ou seja X e Y nao correlacionadas pyy 0 nao equivale em geral que X e Y sejam independentes mas apenas que ha auséncia completa de relacao linear Quando pyy 0 X e Y sao ditos naocorrelacionados 158 159 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 160 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Algumas variáveis aleatórias adaptamse muito bem a uma série de problemas práticos e aparecem com bastante frequência Portanto um estudo pormenorizado das mesmas facilita bastante a construção dos correspondentes modelos de probabilidade bem como a determinação dos seus principais parâmetros Assim para um dado problema tentamos verificar se ele satisfaz às condições de algum modelo conhecido pois isso facilitaria muito o nosso trabalho os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco OTT TT DISTRIBUICOES DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS DISTRIBUICAO UNIFORME Definicao A vad X assumindo valores xX2X tem distribuicao uniforme se e somente se 1 PX x Px p para todo i 12n Xj x4 X2 X3 X4 Xn 1 1 1 1 1 Px n n n n n 161 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT DISTRIBUICAO UNIFORME Por definicao a esperanca de X é 1 1 1 EX xx x X n n n ou seja EX é a média aritmética dos valores possiveis de X Com relacao a varidncia temos por definicao que VarX EX Ex V X 1 2 1 2 1 2 72 arX x4 xy By OF n n n oy os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO UNIFORME Exemplo Considere o lancamento de uma moeda Vamos definir a seguinte variavel aleatoria X associada a esse experimento X O se ocorre cara X 1 se ocorre coroa Para que essa va tenha distribuicao uniforme é necessério supor que a moeda seja honesta e nesse caso 1 fx0 fx 5 O1 1 EX X35 varx o 1 Atti ar 0 1 xx 2 2 2 2 24 2 4 4 163 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II jieacieuaie Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO BERNOULLI Definicao Suponha a realizacao de um experimento E cujo o resultado pode ser sucesso ou fracasso unica tentativa n 1 X 0 fracasso X 1 sucesso com PX 0q e PX1p Nessas condicoes PX xpq ptq1 VarX 0q1pp p1p pq 164 165 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI Exemplo No lançamento de uma moeda a va denota o resultado coroa Calcule e a distribuição de probabilidade 166 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Esta distribuição é também conhecida como sequência de Bernoulli nome este devido a Jacques Bernoulli o seu criador Foi a primeira distribuição introduzida na Estatística e é considerada a mais importante distribuição de va discreta A distribuição Binomial advém da distribuição de Bernoulli quando repetimos um ensaio algumas vezes referido como provas de Bernoulli vezes 167 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Vamos procurar caracterizar esta distribuição a partir da seguinte situação Considere um experimento aleatório consistindo em ensaios independentes Cada ensaio admite dois resultados sucesso ou fracasso e a probabilidade de ocorrer sucesso em cada uma das tentativas é sempre igual a Seja então pode assumir os valores Nestas condições a va tem distribuição Binomial com parâmetros e isto é os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS DISTRIBUICAO BINOMIAL Exemplos Considere os seguintes experimentos aleatorios E E N lancamentos de uma moeda X n de caras E N lancamentos de um dado X n de vezes que ocorre a face 5 E Amostragem com reposicao de N pecas de um lote de composicao conhecida X n de pecas defeituosas O modelo Binomial exige que as provas sejam independentes e p constante Esta distribuicao é caracterizada por dois parametros p e N onde a constante p um parametro continuo e N é discreto ou seja para cada combinacao p e N vamos ter uma distribuicao especifica 168 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO BINOMIAL Considere que XBN p Podese demonstrar que EXNp VarX Npq ondeq 1p Funcao de Probabilidade N N N P X yx cx x x x X Cypq Nox 4 em que N00p1pq1 169 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI DISTRIBUICAO BINOMIAL Fato N N XX 7NX p q ci qo 1 x0 Distribuicao de Probabilidade Xj 0 1 2 ve N Total 00N 11N1 242 N2 NN 0 PX x Cyp oq CyP CyPq vo CnP 4 1 170 171 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Se 20 dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos determinar a probabilidade de entre 4 parafusos escolhidos ao acaso no máximo 2 deles serem defeituosos R 09728 172 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 Um fabricante de certas peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá no máximo 2 itens defeituosos Se a caixa contém 20 peças e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 2 por cento de itens defeituosos qual a probabilidade de que uma caixa de suas peças não vá satisfazer a garantia R 00071 173 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 3 Entre 2000 famílias com 4 crianças cada uma quantas se esperaria que tivessem a Pelo menos um menino R 1875 b Exatamente dois meninos R 750 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira ees DISTRIBUICAO DE POISSON E conhecida classicamente como a lei dos fen6menos raros Este tipo de distribuicaéo é util para descrever as probabilidades do numero de ocorréncias num campo ou intervalo continuo em geral tempo ou espaco Exemplos Numero de defeitos por cm Numero de acidentes por dia Numero anual de suicidios Numero de chamadas erradas por hora num circuito telefonico etc Notase que a unidade de medida tempo area etc continua mas a variavel aleatoria n de ocorréncias é discreta 174 175 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Podese verificar também que as falhas não são contáveis Por exemplo não é possível contar os acidentes que não ocorreram em um dia nem tão pouco o número de chamadas telefônicas que não foram feitas A distribuição de Poisson é utilizada quando o número de observações de um experimento aleatório é muito grande ex e a probabilidade de sucesso é muito pequena ex e o termo permanece constante A distribuição de Poisson fica completamente caracterizada por um único parâmetro a média do processo pois na distribuição de Poisson a média é igual à variância ou algumas vezes representado por ou 176 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Sabendose que uma va tem resultados distribuídos segundo Poisson e conhecendo o número médio de ocorrências por unidade de medida podemos determinar a probabilidade de qualquer dos resultados possíveis nos intervalos para os quais desejamos A distribuição de Poisson é uma forma limite da distribuição binomial quando tende a infinito e tende a zero os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Guro Branco TS DISTRIBUICAO DE POISSON Funcao de Probabilidade e m PX x x Sendo X vad representando o numero de sucessos x um particular valor de X e base do logaritmo neperiano e 2718 m média da distribuicao no intervalo de tempo ou medida considerado sendo sempre positiva Formula de recorréncia m Px 1 P x1 a os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO DE POISSON Demonstracao da formula de recorréncia e m oe Sabendo que PX x Px e substituindo x por x 1 temos Px 1 eo mtt ee Mmm e7m m Px m x SS OE eS Ss xX x 1 x 1x x x1 x1 178 179 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão a Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros de impressão R b Estime o número provável de páginas por livro que não contêm erros de impressão R 180 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 2 Numa indústria há uma média de 3 acidentes por mês a Qual a probabilidade de ocorrerem 2 acidentes no próximo mês R b Qual a probabilidade de ocorrerem 10 acidentes nos próximos 6 meses R os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICOES DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS DISTRIBUICAO UNIFORME Definicao A vac X tem distribuicao uniforme no intervalo ab sendo a e b finitos se a sua funcao densidade de probabilidade é dada por xb fx ba paraasxs 0 para outros valores de x Grafico 9 ab EQ 1 EE ba ba VARX xX Kewl 182 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXERCÍCIOS 1 Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo Qual a probabilidade de que esteja entre 1 e 15 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF EXERCICIOS 2 Prove que se X é uniformemente distribuida em a b entao ab ba EX e VARX 2 12 183 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO EXPONENCIAL Definicao Uma variavel aleatoria continua X tem distribuicao exponencial se sua fdp para algum parametro A 0 é dada por fx Ae sexZ0 0 sex 0 Grafico Fx 1 EX r x A 1 0 X 184 185 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Essa é uma distribuição importante utilizada para estudos que envolvem o intervalo de tempodistância entre eventos Exemplos o tempo entre as avarias de um equipamento o tempo entre as chegadas de táxis a uma interseção movimentada o tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto específico a distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética a distância entre grandes buracos em uma rodovia movimentada os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO EXPONENCIAL EXEMPLO Uma variavel aleatéria continua X tem fdp dada por kK s JJrze SX fx 42 0 sex 0 a Calcular o valor de k b Determinar Fx c Determinar a mediana da distribuicao 186 187 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Propriedade da Falta de Memória para Exemplos 1 Se for a vida de um componente eletrônico a relação acima diz que se o componente durou até o instante a probabilidade de ele não falhar até o intervalo é a mesma de não falhar até o instante Nesse sentido esquece a sua idade e a eventual falha do componente não resulta de uma deterioração gradual e sim de alguma falha repentina Neste caso é o tempo médio de vida e é um tempo de falha O parâmetro deve ter a mesma unidade do tempo de falha Isto é se é medido em horas também será medido em horas 188 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 2 A probabilidade de que seja necessário esperar mais que 30 segundos até que o evento aconteça dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais Exponencial x Poisson Existe uma conexão muito próxima entre a distribuição Exponencial e a de Poisson Enquanto a distribuição de Poisson estuda o número de eventos que ocorrem em um dado intervalo de tempo a distribuição Exponencial é utilizada para descrever o tempo entre as ocorrências de sucessivos eventos de uma distribuição de Poisson 189 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Exemplos 1 Podemos estar interessados em algumas quantidades como o número de chegadas em um determinado intervalo contínuo Essa quantidade é descrita por uma variável aleatória Poisson Outra quantidade de interesse poderia ser a distribuição do tempo entre chegadas onde essa quantidade é uma variável aleatória Exponencial 2 Imagine que estejamos analisando um jogo de futebol e temos interesse em caracterizar o número de gols por partida essa variável aleatória é uma Poisson Podemos ainda caracterizar o tempo entre essas ocorrências e essa variável aleatória é uma Exponencial Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI DISTRIBUICAO NORMAL E uma das mais importantes distribuicdes de probabilidades sendo aplicada em intmeros fenOdmenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento teodrico da inferéncia estatistica E também conhecida como distribuicao de Gauss Laplace ou LaplaceGauss Definicao Seja X uma vac Dizemos que X tem distribuicao Normal se possuir a seguinte fdp fx 1 Lamp x e 2 o ov2T paraoptowo wxwM e a Notacao X Nu o7 X tem distribuicao Normal com média p e variancia co 190 191 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO NORMAL Representação Gráfica Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT DISTRIBUICAO NORMAL E um grafico em forma de sino O seu posicionamento em relacao ao eixo das ordenadas e seu achatamento vai ser determinado pelos parametros pl e o respectivamente Funcao de distribuicao acumulada x x 2 1 1 Fx PX x fxdx e 2 ax OvV2T 0COo oo 192 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT DISTRIBUICAO NORMAL Propriedades fx possui um ponto de maximo para X fx tem dois pontos de inflexao em X u0 fx ésimétrica em relacéao a X pw Eainda Mo Md fx tende a zero quando x tende para o assint6tica em relacao ao elxo x EXu e VarX07 193 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS DISTRIBUICAO NORMAL Calculo de probabilidades Para o calculo da probabilidade da vac assumir um valor em determinado intervalo surgem dois problemas 1 Integracao de fx pois para o seu calculo é necessario o desenvolvimento em séries x 2 Elaboracao de tabelas do tipo PX x f fx dx se torna inviavel 0o pois a fdp depende de dois parametros w e a7 0 que acarreta a necessidade do estabelecimento de todas as possiveis combinacoes de valores desses parametros Estes problemas sao resolvidos pela padronizacao dos valores obtendose assim a distribuicao normal padronizada ou reduzida 194 195 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA Variável Normal Padronizada É obtida por meio de uma transformação linear da variável normal obtendose assim uma escala relativa de valores na qual a média é tomada como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento da média onde valor da variável normal padronizada valor de média de desvio padrão de os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira DISTRIBUICAO NORMAL PADRONIZADA Média BZ ec w 8 EWI 0 7 O 7 O an O BIT O H By Variancia Xpy 1 1 1 V2 V Sv SV VW15 0 0 1 O O O O 196 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT DISTRIBUICAO NORMAL PADRONIZADA x e Conclusao Se X Nu07 e Z entao Z N01 para quaisquer valores de p e o Portanto sera possivel tabelar as probabilidades PX x PZ z em funcao dos valores de Z A fdp da variavel Z é dada por 1 12 pz e 2 para wzo V2 Ov os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF DISTRIBUICAO NORMAL PADRONIZADA Tabela da Distribuicao Normal Padrao Ha varios tipos de tabelas que nos fornecem as probabilidades sob a curva normal A tabela que vamos utilizar é aquela que fornece a probabilidade da variavel Z assumir um valor entre zero e um particular Zp ou seja Z 0 z 0 198 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI DISTRIBUICAO NORMAL PADRONIZADA Tabela da Distribuicao Normal Padrao Zo Zo 1 12 POZzZ pz dz e 2 dz V2 0 0 é a area hachurada sob a curva normal z 199 200 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 100 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 110 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 120 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 130 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 140 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 150 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 160 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 170 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 180 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 190 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 201 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXEMPLOS 1 Calcule R R R R 202 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira EXEMPLOS 2 Se calcule R R c Encontre tal que R Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT DISTRIBUICAO NORMAL Teorema da Combinacao Linear A combinacao linear de variaveis normais independentes é também uma variavel normal Assim se X e Y sao variaveis normais independentes entao W aX bY c é também uma varidvel normal com média py e variancia of sendo My aly buy c OY ao b2a eabec constantes Em particular devemos notar que a soma ou subtracao de duas ou mais variaveis aleatorias normais também é uma variavel normal 203 204 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira OUTRAS DISTRIBUIÇÕES Distribuições de variáveis aleatórias discretas Multinomial Geométrica Binomial Negativa e Hipergeométrica Distribuições de variáveis aleatórias contínuas Lognormal Gamma Weibull Beta QuiQuadrado e F 205 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTES DE HIPÓTESES 206 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTES DE HIPÓTESES Introdução O teste estatístico de hipótese é uma regra decisória que nos permite rejeitar ou não rejeitar uma hipótese estatística com base nos resultados de uma amostra Estas hipóteses são em geral sobre parâmetros populacionais e a realização do teste se baseia na distribuição amostral dos respectivos estimadores os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Parametro é uma funcao de valores populacionais sendo em geral um valor desconhecido associado a populacao Exemplo na distribuicao Normal os parametros sao a média p EX ea variancia 07 VX Estimador um estimador de um parametro é qualquer funcao das observacoes da amostra aleatoria XXX Ele representa uma dada formula de calculo que fornecera valores que serao diferentes conforme a amostra selecionada Exemplos O estimador da média p é yi xX A 17 L1 l i xX n 207 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TT TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS O estimador da variancia o é nX n v2 nm y4 Quiz1 Xi L a2 2 die Xi X dizi Xi n 6 SS BEE n1 n1 Estimativa é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores x1 X2 X Sao considerados Exemplos X 1042 es 467 Observacao A correcao n1 garante um estimador nao viesado de melhor qualidade para o parametro o Propriedade Um estimador é nao viciado nao tendencioso nao viesado se E 0 Neste caso Es o 208 209 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTES DE HIPÓTESES CONCEITOS Hipótese Estatística é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional que será verificada por um teste paramétrico ou uma afirmação quanto à natureza da população que será verificada por um teste de aderência As hipóteses estatísticas devem ser formuladas de modo a minimizar os erros de decisão Exemplos A média populacional da altura dos brasileiros adultos é isto é A distribuição dos pesos dos alunos da Universidade Federal de Viçosa é normal A proporção de indivíduos com a doença é Instituto Federal de Educacgao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Hipotese de Nulidade Hj é a hipotese estatistica a ser testada A hipotese Hy é formulada com o expresso proposito de ser rejeitada e os testes sao construidos sob a pressuposicao de Hp ser verdadeira O teste de hipdtese consiste em verificar se a amostra observada difere significativamente do resultado esperado sob Hp Exemplos Um fabricante informa que a tensao média de ruptura dos cabos é 50 kgf Ho uw 50 A informacao de um fabricante quanto a durabilidade média de suas lampadas é de 6000 horas Hy 6000 Duas marcas de racoes A e B para leitoes em fase de crescimento propiciam em média o mesmo ganho de peso Hp U4 Lp 210 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira ce TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Para os trés exemplos anteriores 0 raciocinio é que enquanto nao houver evidéncia amostral sugerindo que a informacao nao deve ser verdadeira tomase a informacao como verdadeira Hipotese Alternativa H é uma hipotese que contraria Hj formulada com base no conhecimento prévio do problema informacoes de pesquisa etc Para o caso das duas médias anteriormente citado poderiamos ter Ha Hy Hz ou Aq by 2 ou Ha M1 Me Neste caso Hy e Ha sao unilaterais e H é bilateral O resultado final do teste é enunciado em termos da hipotese de nulidade 211 212 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTES DE HIPÓTESES CONCEITOS os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Soeuane CSS TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Teste de Hipotese ou teste de significancia ou regra deciséria E um procedimento que mediante informacoes obtidas de amostras permite decidir aceitar ou rejeitar Ho Regiao Critica E a faixa de valores que nos levam a rejeicao da hipotese Hy Isto é caso o valor observado da estatistica do teste Zt y7F pertenca a regiao critica rejeitase Hj caso contrario nao rejeitamos Hp Qualquer deciséo tomada implica na possibilidade de cometer basicamente dois tipos de erros Pale os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Erro Tipo I O erro tipo I é caracterizado pelo fato de rejeitarmos Hy quando esta é verdadeira Designaremos por a a probabilidade de se cometer o erro tipo I ou nivel de significancia do teste Erro Tipo IT O erro tipo II é caracterizado pelo fato de aceitarmos Hy quando esta é falsa Designaremos por f a probabilidade de se cometer o erro tipo II Pav 215 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTES DE HIPÓTESES CONCEITOS os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS Poder de um Teste O poder de um teste frente 4 determinada hipdtese é uma informacao utilizada para o dimensionamento de tamanhos de amostras tendose em vista o controle dos dois tipos de erros E a probabilidade de rejeitar Hy quando esta é falsa Poder1f6 216 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF TESTES DE HIPOTESES CONCEITOS O quadro abaixo sintetiza as probabilidades numa escolha decisiva Realidade Decisao Ho é verdadeira Hp é falsa Rejeitar Ho a 1fp Aceitar Ho 1a p 217 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS PROCEDIMENTOS PARA A REALIZACAO DE UM TESTE DE HIPOTESE 1 Enunciar as hipoteses Hp e H 2 Fixar o nivel de significancia a e identificar a estatistica do teste 3 Determinar a regiao critica faixa de valores que nos levam a rejeicao da hipotese H e a regiao de aceitacao em funcao do nivel a pelas tabelas 0 estatisticas apropriadas 4 Por meio dos elementos amostrais calcular o valor da estatistica do teste 5 Concluir pela rejeicao ou naorejeicao de Hy caso o valor da estatistica obtido no 4 passo pertenca ou nao pertenca respectivamente a regiao critica determinada no 3 passo 218 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco I TESTE Z para uma média populacional Caso em que X é normalmente distribuida com variancia conhecida Seja uma variavel aleatoria X normalmente distribuida com média EX u e variancia VX o Podese demonstrar que X a média amostral 6 normalmente distribuida 4 Ae OF com média p e variancia Isto é gw uo we U n 219 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF TESTE Z para uma média populacional Veja y Wie Xi X1X244Xn n n X14tXoteX 1 EX At A fe X1 EX En n n v X14 tXQqtXy 1 VR v A SIV VG Vn 1 no a s0 007 n n n 220 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI TESTE Z para uma média populacional Usandose a variavel normal padronizada ou reduzida Z temos Xu Z Ox mas o Oo og VVX n Jn logo Xu Z O Jn 221 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI TESTE Z para uma média populacional Regra de decisao Se Zcail Ztqp entao rejeita se Hy RH Regiao de Regiao de os NRHo RHo Se Zcqil Ztqp entao nao rejeita se HNRH ee Ly Zab Regiao de Regido de Regiao de Regiao de Regiao de RHo NRHo RHo RHo NRHo Zab Mo Zab tam Ho 222 223 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE Z para uma média populacional EXEMPLO A tensao de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta a média de 1800 kgf e o desvio padrao de 100 kgf Mediante nova técnica no processo de fabricacéo proclamouse que a tensao de ruptura pode ter aumentado Para testar essa declaracao ensaiouse uma amostra de 50 cabos tendose determinado a tensao média de ruptura de 1850 kgf Podese confirmar a declaracaéo ao nivel de significancia 005 R Hp 1800 vs Hg w 1800 pp os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF TESTE Z para uma média populacional EXEMPLO Considerando 0 mesmo problema anterior testar a Hp 4 1800 vs Hy uw 1800 b Hp 4 1800 vs Hy 1800 a1 R Zcal 353 Z05 257 RH 225 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE Z para diferenca de duas médias populacionais Caso em que XeX sao normalmente distribuidas com variancias conhecidas Sejam X e Xp aS médias obtidas em duas amostras de tamanhos n e nz retiradas de duas populacoes normais Pe Pz respectivamente com variadncias a7 e of conhecidas e médias 1 tg desconhecidas Considerandose as variaveis aleat6rias X e Xz independentes temse que 2 2 Le O Of X Xp N ba bas Nga Np 226 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE Z para diferenca de duas médias populacionais Nosso problema é ao nivel de significancia a testar Ho U4 Lp contra Hg Ua Up Ou Ha Ha Up Ou Ha Ha Mp Utilizaremos entao a estatistica 7 X Xp Wa be VV X4 Xz 227 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI TESTE Z para diferenca de duas médias populacionais os of of Loo Sob Hy segue que X Xz N 0 nA 2 e assim vira XXp0O X4Xp 2 2 2 2 4 OB Oa 4 OB Na Np Na Np 228 Instituto Federal de Educacgao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ase Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE Z para diferenca de duas médias populacionais EXEMPLO Dois métodos A e B para execucao de determinada tarefa sao propostos Desejase saber se sao igualmente eficientes no sentido do tempo exigido para a execucao desta Sabese que os tempos de execucao em minutos através dos métodos A e B sao normalmente distribuidos com variancias of 8 e of 10 A fim de chegar a uma decisao 48 operarios selecionados ao acaso foram treinados para executar a tarefa através do método A e 36 através do método B durante certo tempo A seguir os tempos de execucao foram medidos obtendose as seguintes médias amostrais em minutos X 40 e Xz 42 A que conclusao chegar ao nivel a 5 R Ho Ha Up VS Hg Ua F Up Zcal 3 225 196 RHp 229 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT A DISTRIBUICAO DE QUIQUADRADO x7 Consideremos as varidveis aleatérias normais ZN01 i 12n independentes A funcao definida por n 2 2 eS7 i1 é chamada distribuicao de y quiquadrado com graus de liberdade Como usamos n variaveis aleat6rias independentes y esta definido com go n graus de liberdade 230 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco OTT TT A DISTRIBUICAO DE QUIQUADRADO x7 2 7 Sejam XNu 0 i 12n Xi U l Z N01 O n 2 pn oO L1 n 2 2 ier Xi LL Xpn g2 231 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco OTT TT A DISTRIBUICAO DE QUIQUADRADO y7 Propriedades da x Dy7 0 x2 00 A funcio densidade do x é f M3 2 nN nsl 2 2 uncao densidade do y é f yv Pry y 2 Xmax p 2 2 EQ VARy2 26 232 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco DI A DISTRIBUICAO DE QUIQUADRADO x7 Grafico da y 2 fx d i 610 66 2 x 0 Observe que o grafico de y depende de 233 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco OTT TT A DISTRIBUICAO DE QUIQUADRADO y7 Uso da tabela da y A tabela da fixado o nimero de graus de liberdade o valor 72 no corpo da 2 2 tabela tal que Pyv vg a 2 Ie 7 Pa io 0 Ke 234 235 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE F Teste de comparacao de variancias de duas populacées Sejam U e V variaveis aleatorias independentes com distribuicao de Qui quadrado com n en graus de liberdade respectivamente Denominase F a variavel aleatoria definida pelo quociente U n F 4 Np Considerando duas amostras de tamanhos ny e ny das variaveis aleatorias normais X e Y respectivamente podese demonstrar que 226 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS TESTE F 2 2 2 2 ny 1sy nysx ny 1sy nosy Ox Ox Oy Oy Entao sob Hy of of o a estatistica 2 U ny 1sx 5 pat ny 107 5x 2 6e Voy lsy Sy n 2 2 ny1o ou seja Sx F S Y 237 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE F tem distribuicao F de FisherSnedecor com n ny1e ny ny1 graus de liberdade Essa estatistica F é utilizada para testar Hy 0 of contra o of ou Ha 0 of ou of o Regra de decisao Fealculado Frabelado rejelta se Ho 238 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira urn tone TO TESTE F Uso da tabela F Para cada nivel a temos uma tabela da distribuicao F A entrada na tabela é dupla e leva em consideracao os graus de liberdade do numerador n e do denominador n A tabela nos da F fixados a n e nz nesta ordem PFnn F a I F ee F i 239 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco TT TESTE F Observacao neste curso vamos adotar sempre colocar a maior variancia no numerador de modo a obter um Fygicuigdo Malor que 1 e uSaremos a tabela unilateral para F 1 Assim Se H 0 o vs H0 0 SX Fea z Fray Fany 1 ny 1 Sy Se Hy 0 of vs H 0 of 2 Sy Foal az Frap Fa ny 1ny 1 SX PUN 241 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TABELA TESTE os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF TESTE F EXEMPLO Na aplicacao de dois métodos X e Y obtevese os resultados fornecidos abaixo Testar a hipotese de igualdade das variancias ao nivel de 5 de probabilidade Método X Y s 40 16 n 11 19 R Hy 0 0 vs H 0 of Freq 250 Fray Feo 1018 241 RHy 242 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira urn tone TS A DISTRIBUICAO t DE STUDENT xX Lew A variavel Z tem distribuicao normal Quando nao conhecemos a x variancia 0 devemos usar s estimador de o 2 1 yn 2 Fx Is s j14j X e sy VVX J S n1 int 6 L Xx n Jn A variavel definida como Xu t SX é denominada variavel com distribuicao t de Student com graus de liberdade 243 Instituto Federal de Educacgao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT A DISTRIBUICAO t DE STUDENT Quando n é grande s se aproxima bastante de a7 o que faz com que a variavel t se aproxime da variavel normal Z 2 Xy 2 2 Quando n é pequeno isso nao ocotre hao normal pois sz é uma X ae XU variavel aleatoria 0 que nao ocorre com em que 0 denominador é X constante O ntmero de gl é igual ao numero de informacoes independentes da amostra n menos o numero k de parametros da populacao a serem estimados além do parametro inerente ao estudo nk Como vamos estimar a média de uma populacéo normal com oa desconhecida além de X estimador inerente ao estudo estimaremos 0 um parametro a mais Isso significa que usaremos a distribuicao t com 2a 245 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira A DISTRIBUIÇÃO DE STUDENT Para cada valor de temos uma curva diferente de e quando Apresentamos um gráfico comparativo entre a distribuição e a Vemos que a distribuição é mais alongada que a normal reduzida Quanto maior o mais elevada é a curva A curva de é simétrica com relação à média Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira urn tone TO TESTE t DE STUDENT para uma média populacional Caso em que X é normalmente distribuida com variancia desconhecida Se selecionarmos uma amostra aleatoria de tamanho n de determinada populacao de forma que X X X sejam independentes temos Xu t Jn Desse modo podemos testar Ho L Mp contra Hg H Ho OU Hg H Ug OU Ag LL Lo 246 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT para uma média populacional De acordo com o nivel de significancia e a hipdtese alternativa definidas obtemos o valor tabelado de t na tabela apropriada t tyn 1 Regra de decisao Teste bilateral tq trqgn rejeita se Hy RH Teste unilateral a esquerda tq tigp rejeita se HjRH Teste unilateral a direita t4 trgyn rejeita se HRH Sen 30 usase a distribuicéo normal com s Se n 30 usase a distribuicao t de Student com n1 graus de liberdade 247 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira urn tone TO TESTE t DE STUDENT para uma média populacional Uso da tabela t O valor de t obtido em tabelas apropriadas Teste bilateral entrar coma Tabela bilateral Teste unilateral entrar com 2a Teste bilateral entrar com Tabela unilateral 2 Teste unilateral entrar coma a t 0 t t Ptt a 248 249 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE t DE STUDENT para uma média populacional EXEMPLO Determinada firma desejava comprar cabos tendo recebido do fabricante a informacao de que a tensao média é de 8000 kgf Efetuouse um ensaio em 6 cabos e obteve a tensao média de ruptura de 7750 kgf com um desvio padrao de 145 kgf Efetuar um teste unilateral para analisar se a afirmacao do fabricante é verdadeira ao nivel de 5 de probabilidade R Hg u 8000 vs Hy wu 8000 teal 422 tsy2015 RHy 250 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS TESTE t DE STUDENT para diferenca de duas médias populacionais Quando as variancias das populacoes sao substituidas pelas variancias das amostras isto é s em lugar de ao o teste Z passa ao teste t onde em funcao das variancias das populacdes serem ou nao iguais entre si teremos dois casos a serem considerados Sejam xX e Y normalmente distribuidas sendo suas variancias desconhecidas Desejamos testar Ho Uy My contra Ux Uy ou Hq 4 Ux My ou Ux F Uy 251 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco DI TESTE t DE STUDENT para diferenca de duas médias populacionais Antes devemos testar 72 2 Ho 0x Oy contra of of ou Hi4 0 of ou a X Y of o 252 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira ure Branco DT TESTE t DE STUDENT CASO A CASO A Se H nao for rejeitada vamos admitir que as variancias sao iguais e que consequentemente os valores assumidos por s e s serao estimativas de um mesmo valor o que é a variancia comum de ambas as populacées of 0 07 Sendo assim vamos combinar s e s a fim de obter um melhor estimador para o Temos que n 2 2 SQDy i1 41 ny x ny 1 ny 1 e n 2 yn y2 Qe 52 SQDy ei ny v Ny 1 Ny 1 de modo que 253 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT CASO A s variancia comum estimador de a7 2 2 2 SQDySQDy ny 1s ny 1s ny 1 ny 1 Ny ny 2 A seguir utilizaremos para o nosso teste a variavel aleatoria XY t 52 i i nx Ny que tem distribuicao t de Student com ny ny 2 graus de liberdade Regra de decisao Se tcai trap entao rejeita se Hy RH 254 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT CASO A EXEMPLO Suponhamos que duas técnicas de memorizacao X e Y deverao ser comparadas medindose a eficiéncia pelo tempo exigido para decorar certo tipo de material O mesmo material foi apresentado a ny 18 e ny 13 pessoas que o decoraram através das técnicas X e Y respectivamente Verificar se ha diferenca significativa entre as duas técnicas de memorizacao adotando se a 5 Os resultados foram X 20min Y17 min s 12 min s 15 min ny 18 ny 13 R Hp Ux by vs Ha Ly Uy Itcai 227 tz 529 2045 RH Hj of 0 vs Hj of of Feral 125 Fey1217 238 NRH 255 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco I TESTE t DE STUDENT CASO B CASO B Se Hj for rejeitada vamos admitir que as variancias nao sao iguais portanto nao tem sentido combinarmos s e s Neste caso utilizaremos para o nosso teste a variavel aleatoria XY t 2 2 Sx 4 5 ny Ny que segue aproximadamente a distribuicao t de Student com n graus de liberdade onde 256 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT CASO B 2 sz 1 s ny Ny mT 2 27 SX Sy nx ny A A Ny1 ny1 Observacao Vamos adotar como graus de liberdade o maior inteiro que nao supere o valor calculado Regra de decisao Itcai tray Tejeita se Hy RH Pas Y i Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT CASO B EXEMPLO Desejandose saber se duas racoes alimentares X e Y para determinada raca de suinos sao equivalentes ou se a racao X é superior a racao Y no sentido de causar um maior aumento de peso a 11 animais sorteados ao acaso foi dada a racao X e a outros 19 aracao Y Os resultados foram X 66kg Y 63kg sz 40 kg s 16 kg ny 11 ny 19 A que conclusao chegar se adotarmos um nivel de significancia a 5 R Ao Uy Uy VS Ag Ly Ly ltcar 1418 ts 14 1761 NRHo Hi of o02 vs Hi 02 oe Fg 25 Feo1018 241 RHi 258 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira ce TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados Os resultados de duas amostras constituem dados emparelhados quando estao relacionados dois a dois segundo algum critério que introduz uma influéncia marcante entre os diversos pares que supomos influir igualmente sobre os valores de cada par Por exemplo medidas sobre o mesmo individuo antes e depois da aplicacao de algum medicamento ou uma racao etc Sejam por exemplo X1 representa o peso de determinado animal i antes de receber uma racao X representa o peso do mesmo animal i depois que recebeu a racao dj Xz Xyj 259 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados Tomando n animais nestas condicdes podemos montar a seguinte tabela O ON Xi X2i di X2i Xi 1 X44 X94 dy 2 X42 X92 dy n Xin x 2n dn Nesse teste estaremos testando a hipdtese de que a diferenca entre as médias das duas populacoes emparelhadas seja igual a um certo valor A o que equivale a testar a hipdtese de que a média de todas as diferencas D seja igual a A 260 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados 7 Viet dj Nn d eum estimador de D Por exemplo para A 0 as hipdteses seriam Ho D 0 D0O Ou Ha D 0 Ou D0 A estatistica do teste é dD t sd 261 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados Sob Hy D 0 teremos d t sd em que n 2 n 2 Quiz1 d 5 SQDd dizi di s d Vd 11 n1 n1 Fr 2 Vd sd Vd 7 n n Sd sd Jn 262 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados A estatistica do teste é d t sd Jn Regra de decisao Note que ao trabalharmos com as n diferencas d o problema sera testar uma unica média pela comparacao do t de student calculado com o valor tabelado obtido em tabelas em funcao do a en 1 graus de liberdade 263 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS TESTE t DE STUDENT para dados emparelhados EXEMPLO O quadro abaixo mostra uma sequéncia de observacoes sobre os valores das pressoes de sete individuos antes e depois da aplicacao de um medicamento que tem por finalidade 0 abaixamento de pressao Verificar se o medicamento teve efeito significativo ao nivel de 1 de probabilidade Pressao Individuo Antes X Depois Xp Individuo Antes Depols Xai R Hy D 0 1 11 O Ha D 0 2 359 12 3 31 21 te 5795 4 3 1 ty6 3143 RHp 5 D3 34 6 34 22 7 5 32 264 265 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE QUIQUADRADO 𝟐 Definição Qui Quadrado simbolizado por 𝟐 é um teste de hipóteses que se destina a encontrar um valor da dispersão para duas variáveis nominais avaliando a associação existente entre variáveis qualitativas É um teste não paramétrico ou seja não depende dos parâmetros populacionais como média e variância O princípio básico deste método é comparar proporções isto é as possíveis divergências entre as frequências observadas e esperadas para um certo evento 266 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE QUIQUADRADO 𝟐 Evidentemente podese dizer que dois grupos se comportam de forma semelhante se as diferenças entre as frequências observadas e as esperadas em cada categoria forem muito pequenas próximas a zero Portanto o teste é utilizado para Verificar se a frequência com que um determinado acontecimento observado em uma amostra se desvia significativamente ou não da frequência com que ele é esperado Comparar a distribuição de diversos acontecimentos em diferentes amostras a fim de avaliar se as proporções observadas destes eventos mostram ou não diferenças significativas ou se as amostras diferem significativamente quanto às proporções desses acontecimentos 267 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE QUIQUADRADO 𝟐 Condições necessárias Para aplicar o teste as seguintes proposições precisam ser satisfeitas Os grupos são independentes Os itens de cada grupo são selecionados aleatoriamente As observações devem ser frequências ou contagens Cada observação pertence a uma e somente uma categoria e A amostra deve ser relativamente grande pelo menos 5 observações em cada célula e no caso de poucos grupos pelo menos 10 Exemplo em tabelas 2 x 2 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE DE QUIQUADRADO 77 Uma medida da discrepancia existente entre as frequéncias observadas e esperadas é proporcionada pela estatistica v7 expressa por 2 2 2 2 Fo Fe Fo Fey Fo Fex Neat e4 2 ek K 2 2 F of h e Xcal F e i1 U sendo F frequéncia observada F frequéncia esperada 268 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Soeuane CSS TESTE DE QUIQUADRADO 77 A expressdéo y2 nos dé um valor sempre positivo e tanto menor mais proximo ao zero a esquerda da x7 quanto maior for o acordo entre as frequéncias observadas e as frequéncias esperadas calculadas com base em Ho Podese demonstrar que a estatistica y2 tem uma distribuicéo qui quadrado com v graus de liberdade isto é k 2 Fo Fe oo F Xv i1 i Conclusao 2 2 eo Xcal Xtap Tejettase Ho 269 270 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE QUIQUADRADO 𝟐 271 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE QUIQUADRADO 𝟐 O teste de quiquadrado pode ser usado principalmente como 1 Teste de Aderência 2 Teste de Independência 3 Teste de Homogeneidade 272 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE ADERÊNCIA Pode ser usado para comprovar o ajustamento de uma função de frequência a dados de observação Neste caso o número de graus de liberdade é dado por quando as frequências esperadas puderem ser calculadas sem que se façam estimativas dos parâmetros populacionais a partir das distribuições amostrais Temse que é o número de categorias em que foi dividida a amostra quando para determinação das frequências esperadas parâmetros tiverem suas estimativas calculadas a partir das distribuições amostrais Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS TESTE DE ADERENCIA EXEMPLO Em seus experimentos com ervilhas Mendel observou 315 lisas e amarelas 108 lisas e verdes 101 rugosas e amarelas 32 rugosas e verdes De acordo com sua teoria de hereditariedade os nimeros deveriam apresentarse na proporcao 9331 As observacdes estao de acordo com esta teoria ao nivel de 1 de probabilidade R Hp Proporcgao 9331 vs Hg Proporcao 9331 Xeni 0470 x73 11345 NRHo 273 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DT TESTE DE INDEPENDENCIA Este teste usado em conexao com as tabelas de contingéncia Essas tabelas sao construidas com o proposito de se estudar a relacao de dependéncia associacao entre duas variaveis classificadas segundo critérios qualitativos Colocase a prova as hipoteses Ho as variaveis sao independentes contra H aS variadveis nao sao independentes ou seja elas apresentam algum grau de associacao entre Si 274 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Oure Branco TO TESTE DE INDEPENDENCIA Para investigar a concordancia entre frequéncias observadas e frequéncias esperadas utilizamos a estatistica 2 h k Fe 2 ij ij Xcal Luis F i1 j1 Uy Com os dados obtidos em tabelas com h linhas versus k colunas tabelas de contingéncia 2 2 Xcal Xv 275 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira Ouro Branco TTT SS TESTE DE INDEPENDENCIA Neste caso o numero de graus de liberdade v é dado por vh1k 1 se as frequéncias esperadas podem ser calculadas sem necessidade de estimacao de parametros da populacao vh1k1r se as frequéncias esperadas sO podem ser avaliadas estimandose r parametros populacionais Conclusao 2 2 e Xcal Xtap Tejertase Ho 276 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira TESTE DE INDEPENDENCIA EXEMPLO A tabela a seguir exibe os resultados obtidos por estudantes em Estatistica e Calculo Testar a hipotese de que os resultados em Estatistica sao independentes dos resultados em Calculo ao nivel de significancia de 25 Estatistica Calculo On5 5n7 7n10 Total On5 75 35 13 123 5n7 29 120 32 181 7n10 15 70 46 131 Total 119 225 Q1 A435 R Hp As variaveis sao indep vs H As variaveis nao sao indep Xeq1 11164 y5eu4 11143 RH Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira ne TESTE DE HOMOGENEIDADE No teste de homogeneidade uma das variaveis praticamente representa uma classificacao dos elementos em populacoes distintas Teremos entao varias amostras cada uma retirada de uma populacao diferente e estaremos testando a hipdtese de que a varidvel em estudo se distribui de forma homogénea nas varias populacoes Embora o teste seja formalmente 0 mesmo quando encarado dessa forma iremos consideralo como um teste de homogeneidade Para o caso de k amostras podemos considerar Hp As populacoes sao homogéneas contra H Pelo menos uma das populacoes nao é homogénea com as demais 278 i Instituto Federal de Educacgao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ae Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco CSS EXEMPLO Suponhamos que um certo bairro possua 2 colégios A e B igualmente procurados por criancas de todos os niveis econdmicos e que alguém afirme que a direcao de um dos colégios faz certa discriminacao quanto a aceitacao de alunos no sentido de que criancas de nivel econdmico mais elevado tem mais chances de serem escolhidas A fim de verificar este fato selecionouse uma amostra ao acaso de 100 criancas do colégio A e outra de 120 criancas do colégio B Os resultados estao na tabela abaixo Testar a hipotese de nao haver discriminacao por parte dos colégios Usar a 5 Nivel Econémico Colégio Inferior Médio Superior Total A 20 40 40 100 B 50 40 30 120 Total 70 80 70 220 R Hp Nao ha discriminacao por parte dos colégios vs Hy Ha discriminacao Xeq 1257 yeo2 5991 RHp 279 280 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALOS DE CONFIANÇA Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II mad Professora Fernanda Gomes da Silveira ne INTERVALOS DE CONFIANCA E uma maneira de apresentar uma estimativa de um parametro desconhecido A ideia é construir um intervalo de confianca UC para o parametro com uma probabilidade de 1 a nivel de confianca de que o intervalo contenha o verdadeiro pardmetro Em outras palavras a ideia é construir um intervalo de valores possiveis dentro de um certo nivel de confianca para o parametro de interesse Obs a é o nivel de significancia ou seja é o erro que estaremos cometendo ao afirmarmos que por exemplo 95 das vezes o intervalo 6 6 0 contém Nesse caso 0 erro seria de 5 281 282 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALOS DE CONFIANÇA Se considerarmos o intervalo onde é o limite inferior do intervalo é o limite superior do intervalo e é o parâmetro desconhecido então o comprimento do intervalo de confiança observado é uma medida importante da qualidade da informação obtida da amostra A metade do intervalo ou seja ou é chamado de precisão do estimador Assim quanto maior o intervalo de confiança mais confiante nós estaremos de que realmente o intervalo calculado contenha o verdadeiro valor de Por outro lado quanto maior o intervalo menos informação teremos sobre o verdadeiro valor de Neste capítulo veremos apenas a expressão final para se obter um intervalo de confiança No entanto podese demonstrar facilmente que intervalos de confiança são obtidos com base na teoria discutida no capítulo sobre testes de hipóteses os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF INTERVALO DE CONFIANCA PARA A MEDIA QUANDO A VARIANCIA E CONHECIDA Se X é a média de uma amostra aleatoria de tamanho n de uma populacao com variancia conhecida o7 0 JC1001 a da média p é dado por Xx X4 42 SUS Za2 a vn a vn onde Zq2 obtido da distribuigao normal reduzida Pelo fato de uw ser um parametro e nao uma variavel aleatoria o intervalo acima deve ser interpretado da seguinte maneira numa situacao hipotética 95 dos intervalos assim construidos conterao a verdadeira média pL 283 284 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA QUANDO A VARIÂNCIA É CONHECIDA A fórmula apresentada acima apresenta bons resultados para amostras oriundas da população normal ou para amostras com de população não normal O nível de confiança não será exato para amostras pequenas de população não normais Sabendo que o comprimento do IC mede a precisão da estimação podemos observar que a precisão é inversamente relacionada com o nível de confiança O desejável seria obter um IC que fosse curto o suficiente para o propósito de tomada de decisão e que também tivesse uma confiança adequada Uma maneira de conseguir isso seria pela escolha do tamanho da amostra para ser grande o suficiente para obtermos um IC de um determinado comprimento com uma confiança definida os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco i Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANCA PARA A MEDIA QUANDO A VARIANCIA E CONHECIDA EXEMPLO Um artigo no Journal of Heat Transfer 1974 apresenta os dados abaixo referentes 4 condutividade térmica em BtuhrftF de uma amostra de 10 pecas metalicas ferro 4160 4148 4234 4195 4186 4218 4172 4226 4181 4204 Obtenha o C95 da média da condutividade térmica nessas pecas metalicas sabendo que o 030 Temos X 41924 Za2 Z0052 Z0025 196 IC 95 41924 196 030 u 41924 196 v3 aM 0 dy s LL w7 v10 v10 1C95 41738 uw 42110 285 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANCA PARA A MEDIA QUANDO A VARIANCIA POPULACIONAL E DESCONHECIDA Se X e s sao respectivamente a média e o desvio padrao de uma amostra aleatéria de uma populacao com distribuicéo normal com variancia o7 desconhecida entao o Cde 1001 a da média p é dado por Xt Xt a2 vn LL a2 Vn onde t 2 obtido da distribuicao t de Student 286 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANCA PARA A MEDIA QUANDO A VARIANCIA POPULACIONAL E DESCONHECIDA EXEMPLO A seguinte amostra 9812796116109 foi extraida de uma populacao normal Construir o intervalo de confianca de 95 para u Temos X 87 2 40s2 S 101 Os ts9 226 1C95 87 226 2 u87226 é 0 J a d J J v10 v10 IC95727 u 1013 287 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco ane Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco DI INTERVALO DE CONFIANCA PARA A VARIANCIA DE UMA POPULACAO NORMAL 2 2 n1s n1s IC1 a 3 0 s Xmaior Xmeno onde Ymaior X Xmenor Xa Sao obtidos na tabela de y com n1 2 2 graus de liberdade 288 Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANCA PARA A VARIANCIA DE UMA POPULACAO NORMAL EXEMPLO Considerando a mesma amostra do exemplo anterior calcule o IC para a7 ao nivel de 90 de confianca ou seja a 10 Temos n10s 4g19a10 1C90 9x4 c 222 X4 Be T6919 2 3325 1C90 213 o 1081 289 os Instituto Federal de Educagao Ciéncia e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco a Curso de Graduagao Bacharelado em Administragao INSTITUTO Disciplina Estatistica II ne Professora Fernanda Gomes da Silveira oure Branco FF INTERVALO DE CONFIANCA PARA A PROPORCAO faf faf 1LCla f za p f 2Zq2 2 n n onde f éa estimativa da proporcao p Ou em outra notacao f p O método é apropriado quando n for maior que 30 290 291 Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de Minas Gerais Campus Ouro Branco Curso de Graduação Bacharelado em Administração Disciplina Estatística II Professora Fernanda Gomes da Silveira INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO EXEMPLO Entre 500 pessoas inquiridas a respeito de suas preferências eleitorais 260 mostraramse favoráveis ao candidato Calcular o intervalo de confiança ao nível de para a porcentagem ou proporção dos eleitores favoráveis a Temos