Limites, Derivadas e Integrais: Conceitos Fundamentais e Propriedades

LIMITE DERIVADA E INTEGRAL Material elaborado com base no livro de Calculo A Graziela de Souza Sombrio Rosˆangela Ramon Xanxerˆe SC 2022 Sumario 1 Limites 4 11 Historia do limite 4 12 Nocao intuitiva 6 13 Propriedades 10 14 Limites laterais 12 15 Calculo de limites 16 16 Assıntotas 21 17 Limites Fundamentais 22 2 Continuidade 27 3 Derivada 32 31 Velocidade e aceleracao 34 32 A derivada de uma funcao num ponto 37 33 A derivada de uma funcao 37 34 Regras de derivacao 37 35 Derivadas de funcoes elementares 42 36 Derivadas sucessivas 44 37 Derivacao implıcita 45 38 Diferencial 47 35 Taxa de variacao 50 36 Maximos e Mınimos 54 37 Analise do comportamento de uma funcao 59 38 Problemas de maximizacao e minimizacao 60 2 39 Regras de LHospital 63 310 Exercıcios 66 4 Integral 70 41 Integral Indefinida 70 42 Metodo da substituicao ou mudanca de variavel para integracao 74 43 Metodo da integracao por partes 76 44 Integral definida 78 45 Calculo de areas 79 46 Exercıcios 83 1 Limites 11 Historia do limite Limites nos apresentam um grande paradoxo Todos os conceitos principais do calculo derivadas continuidade integral convergˆenciadivergˆencia sao definidos em termos de limites Limite e o conceito fundamental do Calculo de fato limite e o que distingue no nıvel mais basico o calculo da algebra geometria e o resto da matematica Portanto em termos do desenvolvimento ordenado e logico do calculo limites devem vir primeiro Porem o registro historico e justamente o oposto Por varios seculos as nocoes de limite eram confusas com ideias vagas e algumas vezes filosoficas sobre o infinito numeros infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matematicas e com intuicao geometrica subjetiva e indefinida O termo limite em nosso sentido moderno e um produto do iluminismo na Europa no final do seculo 18 e inıcio do seculo 19 e nossa definicao moderna tem menos de 150 anos de idade Ate este perıodo existiram apenas raras ocasioes na qual a ideia de limite foi usada rigorosamente e corretamente A primeira vez que limites foram necessarios foi para a resolucao dos quatro paradoxos de Zenao cerca de 450 aC No primeiro paradoxo a Dicotomia Zenao colocou um objeto se movendo uma distˆancia finita entre dois pontos fixos em uma serie infinita de intervalos de tempo o tempo necessario para se mover metade da distˆancia em seguida o tempo necessario para se mover metade da distˆancia restante etc durante o qual o 5 movimento deve ocorrer A conclusao surpreendente de Zenao foi que o movimento era impossıvel Disponıvel em httpwwwufmtbricetmatematicageraldohistlimitehtm 6 12 Nocao intuitiva Considere a sequˆencia 1 2 3 4 5 Note que nesta sequˆencia os termos sao cada vez maiores ou seja nao atingem um LIMITE Dizemos que os termos dessa sequˆencia tendem para o infinito ou que o limite da sucessao e infinito x Considere agora que a sequˆencia 1 0 1 2 3 De forma analoga temos que x Exemplos 1 Complete a tabela a seguir x fx 2x 1 1 5 1 4 1 3 1 05 1 03 1 001 x fx 2x 1 0 5 0 7 0 9 0 95 0 99 0 999 Qual a imagem da funcao quando x se aproxima de 1 Notacao 7 2 fx 1 1 x Complete a tabela a seguir x 1 2 3 4 100 1000 fx 1 1 x x 1 2 3 4 100 1000 fx 1 1 x Qual a imagem quando x tende a Notacao Qual a imagem quando x tende a Notacao lim x1 1 x 8 3 Complete a tabela a seguir x 1 2 3 4 100 1000 fx 1 x x 1 2 3 4 100 1000 fx 1 x Qual a imagem quando x tende a Notacao Qual a imagem quando x tende a Notacao lim x1 x 4 Em cada caso a seguir observe o grafico da funcao e determine o que se pede a i lim x2x 1 x 1 ii lim x2x 1 x 1 b 13 Propriedades 11 4 lim x2 x4 4x 1 5 lim x1 x2 1 x 1 Exercıcios Calcular os seguintes limites 1 lim x5 x 7 2 lim x0 2 3 lim x x5 4 lim x3 1 x2 5 lim x23x2 x 5 6 lim x2 1 x 2 3 R 12 R 2 R 0 R 1 9 R 15 R 13 4 Teorema do Sanduıche Se fx hx gx para todo x em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em x a e se lim xa fx L limxagx entao lim xa hx L Exemplo Calcule lim x0 x2 sen1 x 310 Exercícios 12 14 Limites laterais Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto a c Dizemos que um numero L e o limite a direita da funcao f quando x tende para a e escrevemos lim xa fx L Se lim xa fx L dizemos que fx tende a L quando x tende para a pela direita Usamos o sımbolo x a para indicar que os valores de x sao sempre maiores do que a Seja f uma funcao definida em um intervalo aberto d a Dizemos que um numero L e o limite a esquerda da funcao f quando x tende para a e escrevemos lim xa fx L Neste caso o sımbolo x a indica que os valores de x considerados sao sempre menores do que a Obs As propriedades dos limites vistas anteriormente continuam validas se substituir mos x a por x a ou x a Teorema lim xa fx L se e somente se lim xa fx L e lim xa fx L Exemplos 1 Sendo fx uma funcao cujo grafico esta representado abaixo determine a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx d lim x fx e lim x fx f lim x3 fx g lim x3 fx h lim x3 fx i f3 j f2 13 2 Sendo fx uma funcao cujo grafico esta representado abaixo determine a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx d lim x fx e lim x fx f lim x4 fx g lim x4 fx h lim x4 fx i f4 j f2 3 Sendo fx uma funcao cujo grafico esta representado abaixo determine a lim x0 fx b lim x1 fx c lim x1 fx d lim x1 fx e lim x4 fx f lim x4 fx g lim x4 fx h lim x2 fx i lim x2 fx j lim x2 fx k f4 l f2 14 4 Seja fx x2 1 se x 2 2 se x 2 9 x2 se x 2 Esbocar o grafico da funcao e determinar se existirem lim x2 fx lim x2 fx e lim x2 fx 5 Dada a funcao fx 1 x 3 determinar se possıvel lim x3 fx e lim x3 fx 6 Seja fx x x se x 0 1 se x 0 Esbocar o grafico da funcao e determinar se existirem lim x0 fx e lim x0 fx O que podemos afirmar em relacao a lim x0 fx 15 7 Dada a funcao fx x 2 esbocar o grafico da funcao Determinar lim x2 fx lim x2 fx O que podemos afirmar em relacao a lim x2 fx 8 Com base no grafico abaixo determine a lim x1 fx b lim x1 fx c lim x1 fx d f1 e lim x1 fx f lim x1 fx g lim x1 fx h f1 16 15 Calculo de limites Vamos falar agora de expressoes chamadas de indeterminadas 0 0 0 00 0 1 Exemplos 1 Sejam fx x3 e gx x2 Calcule lim x0 fx gx 2 Considerando fx x2 e gx 2x2 calcular lim x0 fx gx 3 Calcule lim x2 x3 3x 2 x2 4 4 Calcule lim h0 x h2 x2 h 17 5 Calcule lim x0 x 2 2 x 6 Calcule lim x1 3x 1 x 1 Resultados Importantes Se n e um numero inteiro positivo entao 1 lim x 1 xn 0 2 lim x 1 xn 0 3 lim x0 1 xn 4 lim x0 1 xn se n e par se n e ımpar 18 Propriedades dos limites infinitos lim fx lim gx hx lim hx simbolicamente fx gx fx gx e indeterminacao k fx gx k k fx gx k fx gx fx gx k 0 fx gx k k 0 k 0 fx gx k k 0 0 fx gx 0 e indeterminacao k fxgx 0 k 0 fxgx e indeterminacao k 0 0 fxgx k0 k 0 0 fxgx 0 k 0 0 fxgx k0 k 0 0 fxgx 0 0 0 fxgx 00 e indeterminacao 19 Exemplos 1 lim x 2x 5 x 8 2 lim x 2x3 3x 5 4x5 2 3 lim x0x3 x 1 x2 4 lim x 3x5 4x3 1 20 5 lim x x2 3 x 2 6 lim x 2x4 3x2 2x 1 4 x4 7 lim x x2 3x 1 x3 2 21 16 Assıntotas Definicao A reta x a e uma assıntota vertical do grafico y fx se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for verdadeira 1 lim xa fx 2 lim xa fx 3 lim xa fx 4 lim xa fx Exemplo A reta x 2 e uma assıntota vertical do grafico de y 1 x 22 22 Definicao A reta y b e uma assıntota horizontal do grafico y fx se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for verdadeira 1 lim x fx b 2 lim x fx b Exemplo As retas y 1 e y 1 sao assıntotas horizontais do grafico de y x x2 2 17 Limites Fundamentais Proposicao lim x0 sen x x 1 23 Exemplos 1 lim x0 sen 2x x 2 lim x0 sen 3x sen 4x 3 lim x0 tg x x 4 lim x0 1 cos2x 3x2 24 5 lim x0 tg 3x 2x Proposicao lim x1 1 xx e onde e e o numero irracional neperiano cujo valor aproximado e 2 718281828459 Exemplos 1 Determinar lim x01 x 1 x 2 Determinar lim t0 ln1 t 1 t 3 Determinar lim x1 1 x2x 25 4 Determinar lim x1 3 xx 5 Determinar lim x1 2 x1x Proposicao lim x0 ax 1 x ln a a 0 a 1 Exemplos 1 lim x0 6x 4x x 2 lim x0 ax bx x 26 3 lim x0 ex 1 5x 4 lim x0 ex 1 sen x 5 lim x1 ex1 ax1 x2 1 2 Continuidade Definicao Dizemos que uma funcao f e contınua no ponto a se as seguintes condicoes forem satisfeitas a f e definida no ponto a b lim xa fx existe c lim xa fx fa Os graficos abaixo sao de funcoes que NAO sao contınuas em a 28 Propriedades das funcoes contınuas Se as funcoes f e g sao contınuas em um ponto a entao f g e contınua em a f g e contınua em a f g e contınua em a f g e contınua em a desde que ga 0 Importante 1 Uma funcao polinomial e contınua para todo numero real 2 Uma funcao racional e contınua em todos os pontos de seu domınio 3 As funcoes fx senx e fx cosx sao contınuas para todo numero real x 4 A funcao exponencial fx ex e contınua para todo numero real x Proposicao Sejam f e g funcoes tais que lim xa fx b e g e contınua em b Entao lim xag fx gb ou seja lim xa gfx glim xa fx Proposicao Se f e contınua em a e g e contınua em fa entao a funcao composta g f e contınua no ponto a Proposicao Seja y fx uma funcao definida e contınua num intervalo I Seja J Imf Se f admite uma funcao inversa g f 1 J I entao g e contınua em todos os pontos de J 29 Teorema do Valor Intermedio Se f e contınua no intervalo fechado a b e L e um numero tal que fa L fb ou fb L fa entao existe pelo menos um x a b tal que fx L Consequˆencia Se f e contınua em a b e se fa e fb tˆem sinais opostos entao existe pelo menos um numero c entre a e b tal que fc 0 Exemplos Analisar a continuidade de 1 fx x2 1 x 1 em a 1 30 2 gx x2 1 x 1 se x 1 1 se x 1 em a 1 3 fx 1 x 22 em a 2 4 gx 1 x 22 se x 2 3 se x 2 em a 2 31 5 fx x x se x 0 0 se x 0 em a 0 6 hx x 3 se x 1 x 1 se x 1 em a 1 7 A funcao exponencial fx ex e contınua para todo numero real x 3 Derivada Seja y fx uma curva definida no intervalo a b Sejam P x1 y1 e Q x2 y2 dois pontos distintos da curva y fx Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q Considerando o triˆangulo retˆangulo PMQ temos que a inclinacao da reta s ou coeficiente angular de s e tgα y2 y1 x2 x1 y x Vamos manter P fixo e movermos Q sobre a curva em direcao a P A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P a inclinacao da secante varia cada vez menos 33 tendendo para um valor limite constante Esse valor limite e chamado de inclinacao da reta tangente a curva no ponto P Definicao Dada uma curva y fx seja P x1 y1 um ponto sobre ela A inclinacao da reta tangente a curva no ponto P e dada por mx1 limQP y x limx2x1 fx2 fx1 x2 x1 quando o limite existe Fazendo x2 x1 x podemos reescrever o limite na forma mx1 limx0 fx1 x fx1 x Definicao Se a funcao fx e contınua em x1 entao a reta tangente a curva y fx em P x1 fx1 e i A reta que passa por P tendo a inclinacao mx1 limx0 fx1 x fx1 x se este limite existe Neste caso temos a equacao y fx1 mx x1 ii A reta x x1 se limx0 fx1 x fx1 x for infinito 34 Exemplos 1 Encontre a inclinacao da reta tangente a curva y x2 2x 1 no ponto x1 y1 2 Encontre a equacao da reta tangente a curva y 2x2 3 no ponto cuja abscissa e 2 31 Velocidade e aceleracao Velocidade Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s st represente o espaco percorrido pelo movel ate o instante t Entao no intervalo de tempo entre t e t o corpo sofre um deslocamento s st t st 35 Definimos velocidade media nesse intervalo de tempo como o quociente vm st t st t isto e a velocidade media e o quociente do espaco percorrido pelo tempo gasto em percorrˆelo De forma geral a velocidade media nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante t Para obtermos a velocidade instantˆanea do corpo no instante t calculamos sua velocidade media em instantes de tempo t cada vez menores A velocidade instantˆanea ou velocidade no instante t e o limite das velocidades medias quando t se aproxima de zero isto e vt limt0 s t limt0 st t st t Aceleracao O conceito de acelaracao e introduzido de maneira analoga ao de veloci dade A aceleracao media no intervalo de tempo de t ate t t e dada por am vt t vt t Observamos que ela mede a variacao da velocidade do corpo por unidade de tempo t Para obtermos a aceleracao do corpo no instante t tomamos sua aceleracao media em intervalos de tempo t cada vez menores A aceleracao instantˆanea e o limite at limt0 vt t vt t vt 36 Exemplos No instante t 0 um corpo inicia um movimento em linha reta Sua posicao no instante t e dada por st 16t t2 Determinar 1 a velocidade media do corpo no intervalo de tempo 2 4 2 a velocidade do corpo no instante t 2 3 a aceleracao media no intervalo 0 4 4 a aceleracao no instante t 4 37 32 A derivada de uma funcao num ponto A derivada de uma funcao fx no ponto x1 denotada por f x1 e definida pelo limite f x1 lim x0 fx1 x fx1 x quando este limite existe Tambem podemos escrever f x1 lim x2x1 fx2 fx1 x2 x1 33 A derivada de uma funcao A derivada de uma funcao y fx e uma funcao denotada por f x tal que seu valor em qualquer x Df e dado por f x lim x0 fx x fx x se este limite existir Dizemos que uma funcao e derivavel quando existe a derivada em todos os pontos de seu domınio Notacoes 1 y f x 2 Dxfx 3 Dxy 4 dy dx Teorema Toda funcao derivavel num ponto x1 e contınua nesse ponto 34 Regras de derivacao 1 Se fx c para todo x onde c e uma constante entao f x 0 2 Se fx xn onde n e um numero inteiro positivo entao f x n xn1 38 Exemplos 1 fx x5 2 gx x 3 hx x10 3 Considere a funcao c fx onde c e uma constante Entao cfx cf x Exemplos 1 fx 8x2 39 2 gx 2x7 4 Sejam f e g duas funcoes Entao f g f g Exemplos 1 fx 3x4 8x 5 2 gy 9y5 4y2 2y 7 5 Sejam f e g duas funcoes Se hx fxgx entao hx fxgxf xgx Exemplos 1 fx 2x3 1x4 x2 2 ft 1 2t2 5t6 4t 40 6 Sejam f e g duas funcoes Se hx fx gx onde gx 0 entao hx gx f x fx gx gx2 Exemplos 1 fx 2x4 3 x2 5x 3 2 fx 1 x 7 Se fx xn onde n e um numero inteiro positivo e x 0 entao f x nxn1 Exemplo fx x5 8 Regra da cadeia Se y gu e u fx e as derivadas dy du e du dx existem entao a funcao composta y gfx tem a derivada que e dada por dy dx dy du du dx ou yx gu f x Exemplos 1 y x2 5x 27 2 y 3x2 13 41 3 y x x22 4 y 3x2 13 x x22 9 Se u gx e uma funcao derivavel e n e um numero inteiro nao nulo entao d dxgxn ngxn1 gx Exemplos 1 fx 5 x2 2 2 gt t2 3 t3 1 Exercıcios Determinar a derivada das funcoes 1 y x8 2x 43 x 2 y x 1 x2 3 42 3 y 3 6x2 7x 2 4 y 3x8x3 2 35 Derivadas de funcoes elementares 1 Se y ax a 0 e a 1 entao y axlna Caso particular y ex y exlne ex 1 ex 2 Se y logax a 0 e a 1 entao y 1 xlogae Caso particular y lnx y 1 xlne 1 x 3 Se y uv onde u ux e v vx sao funcoes de x derivaveis num intervalo I e ux 0 entao y v uv1 u uv lnu v Exemplos 1 y 32x23x1 2 y 1 2 x 3 y e x1 x1 43 4 y exln x 5 y log23x2 7x 1 6 y ln ex x 1 7 y x2 12x1 4 Se y senx entao y cosx 5 Se y cosx entao y senx 6 Se y tgx entao y sec2x 7 Se y cotgx entao y cossec2x 8 Se y secx entao y secx tgx 9 Se y cossecx entao y cossecx cotgx Exemplos 1 y senx2 2 y cos1 x 44 3 y 3tgx cotg3x 4 y cosx 1 cotgx 5 y secx2 3x 7 6 y cosecx 1 x 1 36 Derivadas sucessivas Definicao Seja f uma funcao derivavel Se f tambem for derivavel entao a sua derivada e chamada derivada segunda de f e e representada por f x lˆese fduas linhas de x ou d2f dx2 lˆese derivada segunda de f em relacao a x Exemplos 1 fx 3x2 8x 1 2 fx tgx 45 3 fx x2 1 Se f e uma funcao derivavel sua derivada representada por f x e chamada derivada terceira de fx A derivada de ordem n ou nesima derivada de f representada por f nx e obtida derivandose a derivada de ordem n 1 de f Exemplos 1 fx 3x5 8x2 2 fx e x 2 3 fx sen x 37 Derivacao implıcita Consideremos a equacao Fx y 0 Dizemos que a funcao y fx e definida implicitamente pela equacao acima se ao substituirmos y por fx na equacao esta se transforma numa identidade Exemplos 1 A equacao x2 1 2y 1 0 define implicitamente a funcao y 21 x2 46 2 A equacao x2 y2 4 define implicitamente uma infinidade de funcoes Se a funcao Fx y 0 define implicitamente uma funcao derivavel y fx pode mos utilizar a regra da cadeia para determinar y sem explicitar y Exemplos 1 x2 y2 4 2 xy2 2y3 x 2y 3 x2y2 xseny 0 47 4 Determinar a equacao da reta tangente a curva x2 1 2y 1 0 no ponto 1 0 38 Diferencial Acrescimos Seja y fx uma funcao Consideramos uma variacao da variavel inde pendente x Se x varia de x1 a x2 definimos o acrescimo de x denotado por x como x x2 x1 A variacao de x origina uma correspondente variacao de y denotada por y dada por y fx2 fx1 ou y fx1 x fx1 48 Diferencial Sejam y fx uma funcao derivavel e x um acrescimo de x Definimos 1 a diferencial da variavel independente x denotada por dx como dx x 2 a diferencial da variavel dependente y denotada por dy como dy f x x Podemos escrever dy f x dx ou dy dx f x Exemplos 1 Se y 2x2 6x 5 calcule o acrescimo y para x 3 e x 0 01 2 Se y 6x2 4 calcule y e dy para x 2 e x 0 001 3 Calcule um valor aproximado para 365 5 usando diferenciais 49 4 Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilındrica de altura 12m raio inferior 7m e espessura 005m Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais 50 35 Taxa de variacao Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variacao Dada uma funcao y fx quando a variavel independente varia de x a xx a correspondente variacao y sera y fx x fx O quociente y x fx x fx x representa a taxa media de variacao de y em relacao a x A derivada f x limx0 fx x fx x e a taxa instantˆanea de variacao de y em relacao a x Exemplos 1 Sabemos que a area de um quadrado e funcao de seu lado Determinar a a taxa de variacao media da area de um quadrado em relacao ao lado quando este varia de 25 a 3 m b a taxa de variacao da area em relacao ao lado quando este mede 4m 51 2 Uma cidade X e atingida por uma molestia epidˆemica Os setores de saude calculam que o numero de pessoas atingidas pela molestia depois de um tempo t medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia e aproximadamente dado por ft 64t t3 3 a Qual a razao da expansao da epidemia no tempo t 4 b Qual a razao da expansao da epidemia no tempo t 8 c Quantas pessoas serao atingidas pela epidemia no 50 dia 52 3 Analistas de producao verificaram que em uma montadora x o numero de pecas produzidas nas primeiras t horas diarias de trabalho e dado por ft 50t2 t para 0 t 4 200t 1 para 4 t 8 a Qual a razao de producao em unidades por hora apos 3 horas de trabalho E apos 7 horas b Quantas pecas sao produzidas na 8a hora de trabalho 53 4 Um reservatorio de agua esta sendo esvaziado para a limpeza A quantidade de agua no reservatorio em litros t horas apos o escoamento ter comecado e dada por V 5080 t2 Determinar a A taxa de variacao media do volume de agua no reservatorio durante as 10 primeiras horas de escoamento b A taxa de variacao do volume de agua no reservatorio apos 8 horas de escoa mento c A quantidade de agua que sai do reservatorio nas 5 primeiras horas de escoa mento 54 36 Maximos e Mınimos Definicao Uma funcao f tem um maximo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x I Df Definicao Uma funcao f tem um mınimo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x I Df Proposicao Suponhamos que fx existe para todos os valores de x a b e que f tem um extremo relativo em c onde a c b Se f x existe entao f c 0 OBS Quando f c 0 fx pode ter ou nao um extremo relativo em c O ponto c Df tal que f c 0 ou f c nao existe e chamado ponto crıtico de f Proposicao Seja f a b R uma funcao contınua definida em um intervalo fechado a b Entao f assume maximo e mınimo absoluto em a b Definicao Dizemos que fc e o maximo absoluto da funcao f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domınio de f Definicao Dizemos que fc e o mınimo absoluto da funcao f se c Df e fc fx para todos os valores de x no domınio de f 55 Teorema de Rolle Seja f uma funcao definida e contınua em a b e derivavel em a b Se fa fb 0 entao existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que f c 0 O Teorema de Rolle pode ser estendido sob as mesmas hipoteses para funcoes tais que fa fb 0 Teorema do Valor Medio Seja f uma funcao contınua em a b e derivavel em a b Entao existe um numero c no intervalo a b tal que f c fb fa b a Definicao Dizemos que uma funcao f definida num intervalo I e crescente neste intervalo se para quaisquer x1 x2 I x1 x2 temos fx1 fx2 Definicao Dizemos que uma funcao f definida num intervalo I e decrescente neste intervalo se para quaisquer x1 x2 I x1 x2 temos fx1 fx2 56 Proposicao Dizemos que uma funcao f contınua no intervalo a b e derivavel no intervalo a b i Se f x 0 para todo x a b entao f e crescente em a b ii Se f x 0 para todo x a b entao f e decrescente em a b Exemplos Determinar os intervalos nos quais as funcoes seguintes sao crescentes ou decrescentes 1 fx x3 1 2 fx x2 x 5 57 Resultados importantes 1 Criterio da derivada primeira para determinacao de extremos Seja f uma funcao contınua num intervalo fechado a b que possui derivada em todo o ponto do intervalo a b exceto possivelmente num ponto c i Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c entao f tem um maximo relativo em c ii Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c entao f tem um mınimo relativo em c 2 Criterio da derivada segunda para determinacao de extremos de uma funcao Sejam f uma funcao derivavel num intervalo a b e c um ponto crıtico de f neste intervalo isto e f c 0 com a c b Se f admite a derivada f em a b temos i Se f c 0 f tem um valor maximo relativo em c ii Se f c 0 f tem um valor mınimo relativo em c Exemplo Encontre os maximos e mınimos relativos de fx 18x3x24x3 aplicando o criterio da derivada segunda 58 Definicao Uma funcao f e dita cˆoncava para cima no intervalo a b se f x e crescente neste intervalo Definicao Uma funcao f e dita cˆoncava para baixo no intervalo a b se f x e decrescente neste intervalo Proposicao Seja f uma funcao contınua no intervalo a b e derivavel ate segunda ordem no intervalo a b i Se f x 0 para todo x a b entao f e cˆoncava para cima em a b ii Se f x 0 para todo x a b entao f e cˆoncava para baixo em a b Os pontos no grafico em que a concavidade muda de sentido sao chamados de pontos de inflexao Definicao Um ponto Pc fc do grafico de uma funcao contınua f e chamado um ponto de inflexao se existe um intervalo a b contendo c tal que uma das seguintes situacoes ocorra i f e cˆoncava para cima em a c e cˆoncava para baixo em c b ii f e cˆoncava para baixo em a c e cˆoncava para cima em c b 59 37 Analise do comportamento de uma funcao Etapas Procedimento O que usar 1a Encontrar Df 2a Calcular os pontos de intersecao com os eixos Quando nao requer muitos calculo 3a Encontrar os pontos crıticos f c 0 ou f c nao existe 4a Determinar os intervalos de crescimentos e f x 0 f crescente decrescimento de fx f x 0 f decrescente 5a Encontrar os maximos e mınimos relativos f c 0 f tem maximo relativo em c f c 0 f tem mınimo relativo em c f c 0 c e ponto de inflexao 6a Determinar a concavidade e os pontos f x 0 f e cˆoncava para cima de inflexao de f f x 0 f e cˆoncava para baixo 7a Encontrar as assıntotas horizontais e Definicao das assıntotas verticais se existirem 8a Esbocar o grafico Exemplos Esbocar o grafico das funcoes 1 fx 3x4 8x3 6x2 2 2 fx x2 x 3 3 fx x 1 1 3 4 fx 1 4x4 2x3 1 2x2 30x 10 60 38 Problemas de maximizacao e minimizacao Exemplos 1 Na Biologia encontramos a formula Φ V A onde Φ e o fluxo de ar na traqueia V e a velocidade do ar e A a area do cırculo formado ao seccionarmos a traqueia Quando tossimos o raio diminui afetando a velocidade do ar na traqueia Sendo r0 o raio normal da traqueia a relacao entre a velocidade V e o raio r da traqueia durante a tosse e dada por V r a r2r0 r onde a e uma constante positiva a Calcular o raio r em que e maior a velocidade do ar b Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo possıvel 61 2 Uma rede de agua potavel ligara uma central de abastecimento situada na margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio 2000 metros abaixo da central O custo da obra atraves do rio e de R64000 por metro enquanto em terra custa R 31200 Qual e a forma mais econˆomica de se instalar a rede de agua portavel 3 Um galpao deve ser construıdo tendo uma area retangular de 12100 m2 A pre feitura exige que existia um espaco livre de 25 m na frente 20 m atras e 12 m em cada lado Encontre as dimensoes do lote que tenha a area mınima na qual possa ser construıdo este galpao 62 4 Uma caixa sem tampa de base quadrada deve ser construıda de forma que o seu volume seja 2500 m3 O material da base vai custar R 120000 por m2 e o material dos lados R 98000 por m2 Encontre as dimensoes da caixa de modo que o custo do material seja mınimo 5 Supor que o custo total Cq de producao q toneladas de um produto em milhares de reais e dado por Cq 0 03q3 1 8q2 39q Supondo que a empresa possa vender tudo o que produz determinar o lucro maximo que pode ser obtido se cada tonelada do produto e vendida a um preco de 21 milhares de reais 63 39 Regras de LHospital Sejam f e g funcoes derivaveis num intervalo aberto I exceto possivelmente em um ponto a I Suponhamos que gx 0 para todo x a em I 1 Se limxafx limxagx 0 e limxa f x gx L entao limxa fx gx limxa f x gx L 2 Se limxafx limxagx e limxa f x gx L entao limxa fx gx limxa f x gx L Exemplos Calcular os seguintes limites 1 limx0 2x ex 1 2 limx2 x2 x 6 x2 3x 2 3 limx0 senx x ex ex 2 64 4 limx ex 1 x3 4x 5 limx3x 9 1 x 6 limxx sen 1 x 7 limx0 1 x2 x 1 cosx 1 65 8 limx02x2 xx 9 limx1 1 2xx 67 3 Numa granja experimental constatouse que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas Wt 20 1 2t 42 0 t 60 24 4t 604 60 t 90 onde t e medido em dias a Qual a razao de aumento do peso da ave quando t 50 R 54 gramasdia b Quanto a ave aumentara no 510 dia R 545 g c Qual a razao de aumento do peso quando t 80 R 244 gramasdia 4 Uma peca de carne foi colocada no freezer no instante t 0 Apos t horas sua temperatura em graus centıgrados e dada por Tt 30 5t 4 t 1 0 t 5 Qual a velocidade de reducao de sua temperatura apos 2 horas R 5 444 0 Chora 5 A temperatura de um gas e mantida constante e sua pressao p em kgfcm3 e volume v em cm3 estao relacionadas pela igualdade vp c onde c e constante Achar a razao de variacao do volume em relacao a pressao quando esta vale 10 kgfcm3 R c100 kgfcm3 6 Uma piscina esta sendo drenada para limpeza Se o volume de agua inicial era de 90000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t2 litros determinar a tempo necessario para o esvaziamento da piscina R 6 horas b taxa media de escoamento no intervalo 2 5 R 17500 lh c taxa de escoamento depois de 2 horas do inıcio do processo R 10000 lh 68 7 Numa pequena comunidade obtevese uma estimativa que daqui a t anos a popu lacao sera de pt 20 5 t 1 milhares a Daqui a 18 meses qual sera a variacao da populacao desta comunidade R 08 milhares de pessoasano b Qual sera a variacao real sofrida durante o 180 mˆes R 0068 milhares de pessoas 8 Um fio de comprimento l e cortado em dois pedacos Com um deles se fara um cırculo e com o outro um quadrado a Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas areas compreendidas pelas figuras seja mınima R 10 pedaco 4l 4 π 20 pedaco lπ 4 π b Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das areas compreendidas seja maxima R Devese fazer somente um semicırculo de raio l 2π 9 Duas industrias A e B necessitam de agua potavel A figura a seguir esquematiza a posicao das industrias bem como a posicao de um encanamento retilıneo l ja existente Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatorio de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mınima R 8 km do encontro da canalizacao l com a perpendicular que passa por A 69 10 Uma agˆencia de turismo esta organizando um servico de barcas de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta para uma cidade que dista 100 km como mostra a figura a seguir Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora e os carros tˆem velocidade media de 50 kmh onde devera estar a estacao das barcas a fim de tornar a viagem a mais rapida possıvel R 8456 km da cidade 11 Determinar os seguintes limites a limx2 x2 4x 4 x2 x 2 R 0 b limx0 x2 6x x3 7x2 5x R 6 5 c limx3 6 2x 3x2 x3 x4 3x3 x 3 R 11 26 d limx x2 6x 7 x3 7x 1 R 0 e limx ex x2 R f limx0 x ex cosx R 1 4 Integral 41 Integral Indefinida Definicao Uma funcao Fx e chamada uma primitiva da funcao fx em um intervalo I ou simplesmente uma primitiva de fx se para todo x I temos F x fx Exemplos 1 Fx x3 3 e uma primitiva da funcao fx x2 pois F x 1 3 3x2 x2 fx 2 As funcoes Gx x3 3 4 Hx 1 3x3 3 tambem sao primitivas da funcao fx x2 pois Gx Hx fx 3 A funcao Fx 1 2sen2x c onde c e uma constante e primitiva da funcao fx cos2x 4 A funcao Fx 1 2x2 e uma primitiva da funcao fx 1 x3 em qualquer intervalo que nao contem a origem pois para todo x 0 temos F x fx Resultados importantes 1 Seja Fx uma primitiva da função fx Então se c é uma constante qualquer a função Gx Fx c também é primitiva de fx 2 Se fx se anula em todos os pontos de um intervalo I então f é constante em I 3 Se Fx e Gx são funções primitivas de fx no intervalo I então existe uma constante c tal que Gx Fx c para todo x I Definição Se Fx é uma primitiva de fx a expressão Fx c é chamada integral indefinida da função fx e é denotada por fx dx Fx c Propriedades da Integral Indefinida Sejam f g I ℝ e K uma constante Então 1 Kfx dx K fx dx 2 fx gx dx fx dx gx dx Exemplos Calcule as seguintes integrais 1 cosx dx 2 senθ dθ 3 ex dx 4 x3 dx 5 dtt 6 3x² 5 x dx 7 3secx tgx cosec²x dx 8 sec²xcosecx dx 9 3x² 13x dx 10 x⁴ 3x² 134x dx 11 2cosx 1x dx 12 2ex senxcos²x 2x² dx 42 Método da substituição ou mudança de variável para integração Seja fx e Fx duas funções tais que Fx fx Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F Podemos então considerar a função composta f o g Pela regra da cadeia temos Fgx Fgx gx fgx gx Isto significa que Fgx é uma primitiva de fgx gx Então fgx gx dx Fgx c Tomamos u gx Então du gxdx Segue que fgx gx dx fu du Fu c Exemplos Calcule as seguintes integrais 1 2x 1 x² dx 2 sen²x cosx dx 3 senx 7 dx 4 tgx dx 5 dx 3x 5⁸ 6 x sec²3x dx 43 Método da integração por partes Sejam fx e gx funções deriváveis no intervalo I Temos fx gx fx gx fx gx ou fx gx fx gx fx gx Integrando ambos os lados dessa equação temos fx gx dx fx gx dx fx gx dx ou ainda fx gx dx fx gx fx gx dx Tomamos u fx e v gx Temos então du fx dx e dv gx dx Podemos escrever então u dv uv v du Exemplos Calcule as seguintes integrais 1 xe²ˣ dx 44 Integral definida Se f é contínua sobre a b e se F é uma primitiva de f neste intervalo então ⁿᵇ ft dt Fb Fa Exemplos Calcule as seguintes integrais definidas 1 ³₁ x dx 2 ²₀ cost dt 3 ¹₀ x³ 4x² 1 dx 4 ¹₀ xx² 1 dx 5 ²₁ xex² 1 dx 45 Cálculo de áreas O cálculo de áreas de figuras planas pode ser feito por integração Vejamos as situações que comumente ocorrem Caso I Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f pelas retas x a x b e o eixo dos x onde f é contínua e fx 0 x a b 82 2 Encontre a area limitada pelas curvas y x3 e y x 3 Encontre a area da regiao limitada pelas curvas y x2 1 e y x 1 4 Encontre a area da regiao S limitada pelas curvas yx 6 yx3 0 e 2yx 0 84 c y 5 x2 e y x 3 R 9 2 d y 1 6x2 e y 6 R 48