Atividades Logíca

INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ Campus Capanema Curso Licenciatura em Matemática Disciplina Lógica Matemática Professor José Guilherme Simion Antunes Discente Última lista Argumentos e 1º Princípio de Indução Finita 1 Transformar para a linguagem simbólica e mostrar a validade dos seguintes argumentos a 1 Se eu gosto de física então eu não gosto de matemática 2 Se eu gosto de história então eu gosto de matemática 3 Eu gosto de história Eu não gosto de física b 1 Se as vacas não voam então a grama é verde 2 Se a grama é verde então o céu é vermelho 3 O céu não é vermelho As vacas voam c 1 x π x y 2 y 5 x π 3 y 5 x y x y d 1 Mel é salgado se e somente se eu estudar física 2 Cachorros miam se e só se eu estudo física 3 Mel não é salgado Cachorros não miam e H1 Se ele estuda matemática então ele se prepara para conseguir uma boa vida H2 Se ele trabalha então ele se prepara para viver uma vida boa H3 Se ele se prepara para conseguir uma boa vida ou se prepara para viver uma vida boa então ele não está atrasado H4 Ele está atrasado T Ele não estuda matemática e nem trabalha 2 Verificar que são válidos os seguintes argumentos a p q r r s t u t s u p q b r p q r s s c p q q r s t p s r t d p q r s s q e x y x z x z x π x 0 x π x y x 0 f p q q p r g p q r p q s Página 1 de 2 TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO I Demonstração direta Validade de um argumento do tipo P₁ P₂ Pₙ Q II Demonstração direta condicional Validade de um argumento P₁ P₂ Pₙ H Q substituindoo pelo argumento P₁ P₂ Pₙ H Q III Demonstração indireta Validade de um argumento do tipo P₁ P₂ Pₙ Q substituindoo pelo argumento P₁ P₂ Pₙ Q C contradição 3 Demonstrar a validade dos seguintes argumentos pelo método de demonstração direta condicional a P₁ P₂ P₃ Q em que P₁ p q P₂ q r P₃ r s e Q s p b p q r p q r c p q r p q r 4 Demonstrar a validade dos seguintes argumentos pelo método de demonstração indireta a p q r q p r b p q r r p q 5 Utilizar o 1º Princípio de Indução Finita para mostrar que a n N 1 3 5 2n 1 n² b n N 3⁰ 3¹ 3ⁿ 3ⁿ¹ 1 2 c n N n³ 2n é divisível por 3 Definição Dizemos que a é divisível por b se existir c Z tal que a cb d Desigualdade de Bernoulli x 1 n N 1 xⁿ 1 nx 1 b Sejam p As vacas voam q A grama é verde r O céu é vermelho Tradução para linguagem simbólica Premissa 1 Se as vacas não voam então a grama é verde p q Premissa 2 Se a grama é verde então o céu é vermelho q r Premissa 3 O céu não é vermelho r Conclusão As vacas voam p Verificação da validade Modus Tollens nas premissas 2 e 3 q r r q Contraposição na premissa 1 p q é logicamente equivalente a q p Logo se q implica p então q implica p Portanto q é verdadeiro a logo p é verdadeiro Conclusão p q q r r p 2 b r p v q r v s s Temos Premissas 1 r 2 p v q r v s Conclusão s Prova A partir de p v q r v s podemos separar as duas partes utilizando a regra de simplificação conjunção p v q r v s Sabemos que r é verdadeiro premissa 1 Agora consideramos a disjunção r v s Se r é verdadeiro então contradiz a premissa 1 Portanto r deve ser falso logo o que deixa s como única opção para r v s ser verdadeiro Concluímos que s deve ser verdadeiro para satisfazer a disjunção r v s dado que r é falso Portanto s é verdadeiro Conclusão O argumento é válido Pois r r é falso p v q r v s s 3 b 1 Suponção p 2 Suponção q p q conjunção dos suposições 1 e 2 Premissa p q r Por Modus Ponens p q r p q r Como r foi derivado a partir da suposição q podemos concluir q ou seja q r Como q r foi derivado a partir da suposição p podemos concluir p q r Portanto a implicação p q r é uma consequência lógica da premissa p q r 4 b Suposição q Premissa 1 p q v r Premissa 2 r Premissa 3 p De p e p q v r aplicamos Modus Ponens para obter q v r considerando q v r e r se q v r é verdadeiro e r é verdadeiro então q deve ser verdadeiro pois r é falso Esta é uma contradição pois supomos q Portanto q deve ser verdadeiro 5 b Se n 0 temos que 3 1 e por outro lado 31 1 dividido por 2 2 dividido por 2 1 Portanto a igualdade é válida para n 0 Hipótese de indução Suponho que para algum k N a igualdade é válida ou seja 3 3¹ 3k 3k1 1 dividido por 2 Queremos mostrar que a igualdade também é válida para k 1 ou seja 3 3¹ 3k 3k1 3k2 1 dividido por 2 Temos 3 3¹ 3k 3k1 3k1 1 dividido por 2 3k1 por hipótese de indução 3k1 1 2 3k1 dividido por 2 3k1 2 3k1 1 dividido por 2 3k1 1 2 1 dividido por 2 3k1 3 1 dividido por 2 3k2 1 dividido por 2 Portanto a igualdade também é válida para k 1 e pelo 1º princípio de indução finita a igualdade é válida para todo n N