Fundamentos de Física - Rotação - Variáveis Angulares

Halliday httpgeniogrupogencombr wwwgrupogencombr Fundamentos de Física Volume 1 O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica LTC Forense Método EPU e Forense Universitária O GENIO GEN Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras httpgeniogrupogencombr wwwgrupogencombr Capítulo 10 Rotação 102 As Variáveis da Rotação Um corpo rígido é um corpo que gira com todas as partes ligadas entre si e sem mudar de forma Um eixo fixo é um eixo de rotação cuja posição não muda A patinadora Sasha Cohen em um movimento de rotação pura em torno de um eixo vertical ElsaGetty Images Inc 102 As Variáveis da Rotação Esta reta gira com o corpo e é perpendicular ao eixo de rotação Figura 102 Um corpo rígido de forma arbitrária em rotação pura em torno do eixo z de um sistema de coordenadas A posição da reta de referência em relação ao corpo rígido é arbitrária mas a reta é perpendicular ao eixo de rotação e mantém sempre a mesma posição em relação ao corpo girando com ele 102 As Variáveis da Rotação Posição Angular onde s é o comprimento de um arco de circunferência que vai do eixo x posição angular zero até a reta de referência e r é o raio da circunferência Um ângulo definido desta forma é medido em radianos rad 102 As Variáveis de Rotação Deslocamento Angular Se um corpo gira em torno de um eixo de rotação com a posição angular da reta de referência variando de θ1 para θ2 o corpo sofre um deslocamento angular θ dado por Um deslocamento no sentido antihorário é considerado positivo e um deslocamento no sentido horário é considerado negativo 102 As Variáveis de Rotação Velocidade Angular Suponha que um corpo em rotação está na posição angular θ1 no instante t1 e na posição angular θ2 no instante t2 Definimos a velocidade angular média do corpo no intervalo de tempo t como A velocidade angular instantânea ω é o limite dessa razão quando t tende a zero 102 As Variáveis de Rotação Aceleração Angular Se a velocidade angular de um corpo em rotação não é constante o corpo possui uma aceleração angular Se ω2 e ω1 são as velocidades angulares nos instantes t2 e t1 respectivamente a aceleração angular média do corpo em rotação no intervalo de t1 a t2 é definida através da equação A aceleração angular instantânea α é o limite dessa razão quando t tende a zero Essas equações são válidas para todas as partículas do corpo A unidade de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado rads2 Exemplo Fig 105 O disco da Fig 105a está girando em torno do eixo central como um carrossel A posição angular θt de uma reta de referência do disco é dada por θ 100 0600t 0250t² 109 com t em segundos θ em radianos e a posição angular zero indicada na figura a Plote a posição angular do disco em função do tempo de t 30 s a t 54 s Desenhe o disco e a reta de referência em t 20 s 0 s 40 s e nos instantes em que o gráfico cruza o eixo t Cálculos Para desenhar o disco e a reta de referência em um certo instante precisamos determinar o valor de θ nesse instante Para isso substituímos t por seu valor na Eq 109 Para t 20 s obtemos θ 100 060020 025020² 12 rad 12 rad 3602π rad 69 Isso significa que em t 20 s a reta de referência está deslocada de 12 rad 69 no sentido antihorário porque θ é positivo em relação à posição zero O desenho 1 da Fig 105b mostra esta posição da reta de referência Da mesma forma para t 0 obtemos θ 100 rad 57 o que significa que a reta de referência está deslocada de 10 rad 57 no sentido horário em relação à posição angular zero como mostra o desenho 3 Para t 40 s obtemos θ 060 rad 34 desenho 5 Fazer desenhos para os instantes em que a curva cruza o eixo t é fácil pois nesse caso θ 0 e a reta de referência está momentaneamente alinhada com a posição angular zero desenhos 2 e 4 Exemplo continuação A posição angular do disco é o ângulo entre essas duas retas Este é um gráfico da velocidade angular do disco em função do tempo A velocidade é inicialmente negativa diminui em módulo até se anular momentaneamente e passa a aumentar indefinidamente b Em que instante tmin o ângulo θt passa pelo valor mínimo mostrado na Fig 105b Qual é esse valor mínimo IDEIACHAVE Para determinar o valor extremo o mínimo neste caso de uma função calculamos a derivada primeira da função e igualamos o resultado a zero Cálculos A derivada primeira de θt é dθdt 0600 0500t 1010 Igualando este resultado a zero e explicitando t determinamos o instante em que θt é mínimo tmin 120 s Resposta Para obter o valor mínimo de θ substituímos tmin na Eq 109 o que nos dá θ 136 rad 779 Resposta Exemplo continuação A posição angular do disco é o ângulo entre essas duas retas Este é um gráfico da velocidade angular do disco em função do tempo A velocidade é inicialmente negativa diminui em módulo até se anular momentaneamente e passa a aumentar indefinidamente c Plote a velocidade angular ω do disco em função do tempo de t 30 s a t 60 s Desenhe o disco e indique o sentido de rotação e o sinal de ω em t 20 s 40 s e tmin Cálculos Para desenhar o disco em t 20 s substituímos este valor de t na Eq 1011 obtendo ω 16 rads Resposta O sinal negativo mostra que em t 20 s o disco está girando no sentido horário desenho da esquerda da Fig 105c Fazendo t 40 s na Eq 1011 obtemos ω 14 rads Resposta O sinal positivo implícito mostra que em t 40 s o disco está girando no sentido antihorário desenho da direita da Fig 105c d Use os resultados anteriores para descrever o movimento do disco de t 30 s a t 60 s Descrição Quando observamos o disco pela primeira vez em t 30 s o disco tem uma posição angular positiva e está girando no sentido horário com velocidade cada vez menor Depois de parar momentaneamente na posição angular θ 136 rad o disco começa a girar no sentido antihorário e o valor de θ aumenta até se tornar novamente positivo Exemplo Cálculo da velocidade angular a partir da aceleração angular 103 As Grandezas Angulares São Vetores 104 Rotação com Aceleração Angular Constante As equações de movimento para aceleração angular constante são análogas às equações de movimento para aceleração linear constante Exemplo Aceleração angular constante Como a aceleração angular é constante podemos usar a equação de rotação Substituindo os valores conhecidos e fazendo θ0 0 e θ 50 rev 10π rad obtemos Resolvendo esta equação do segundo grau em t obtemos t 32 s b Descreva a rotação da pedra de amolar entre t 0 e t 32 s Descrição A pedra está inicialmente girando no sentido negativo o sentido dos ponteiros do relógio com velocidade angular ω0 46 rads mas a aceleração angular α é positiva A oposição inicial entre os sinais da velocidade angular e da aceleração angular significa que a pedra gira cada vez mais devagar no sentido negativo para momentaneamente e em seguida passa a girar no sentido positivo Depois que a reta de referência passa de volta pela posição inicial θ 0 a pedra dá mais 5 voltas completas até o instante t 32 s c Em que instante t a pedra para momentaneamente Cálculo Fazendo ω 0 e calculando o valor correspondente de t obtemos Exemplo Aceleração Angular Constante 105 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares Se uma reta de referência de um corpo rígido gira de um ângulo θ um ponto do corpo a uma distância r do eixo de rotação descreve um arco de circunferência de comprimento s onde s é dado por Derivando a equação acima em relação ao tempo com r constante obtemos O período de revolução T do movimento de cada ponto e do corpo rígido como um todo é dado por Substituindo v pelo seu valor em termos de ω temos também 105 Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares Derivando a equação da velocidade em relação ao tempo novamente com r constante obtemos onde α dωdt Note que dvdt at representa apenas a parte da aceleração linear que é responsável por variações do módulo v da velocidade linear Como v essa parte da aceleração linear é tangente à trajetória do ponto considerado A parte radial da aceleração é a aceleração centrípeta dada por Exemplo Considere uma montanharussa de indução que pode ser acelerada por forças magnéticas mesmo em um trilho horizontal Os passageiros deixam o ponto de embarque com uma aceleração g ao longo da pista horizontal Como essa primeira parte dos trilhos forma um arco de circunferência os passageiros também experimentam uma aceleração centrípeta Quando os passageiros aceleram ao longo do arco o módulo da aceleração centrípeta aumenta de forma assustadora Quando o módulo a da aceleração resultante atinge 4g em um ponto P de ângulo θP o passageiro passa a se mover em linha reta ao longo de uma tangente ao arco a Que ângulo θP o arco deve subtender para que a seja igual a 4g no ponto P Cálculos Fazendo ωo 0 e θo 0 obtemos Como temos Isso nos leva a uma aceleração total Substituindo ar por seu valor e explicitando θ obtemos Quando a atinge o valor desejado 4g θ é o ângulo θP Fazendo a 4g θ θP e at g obtemos Exemplo continuação b Qual é o módulo a da aceleração experimentada pelos passageiros no ponto P e depois de passarem pelo ponto P Raciocínio No ponto P a tem o valor planejado de 4g Depois de passarem por P os passageiros se movem em linha reta e a aceleração centrípeta deixa de existir Assim os passageiros têm apenas a aceleração de módulo g ao longo dos trilhos e portanto 106 Energia Cinética de Rotação Podemos tratar um corpo rígido como um conjunto de partículas com diferentes velocidades e somar a energia cinética dessas partículas para obter a energia cinética total do corpo onde mi é a massa da partícula i e vi é a velocidade da partícula Como v ωr ω é igual para todas as partículas A grandeza entre parênteses no lado direito é chamada de momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação O momento de inércia representado pela letra I depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação Assim 107 Cálculo do Momento de Inércia Se um corpo rígido contém um grande número de partículas é contínuo como um disco de plástico substituímos o somatório por uma integral e definimos o momento de inércia do corpo como 107 Cálculo do Momento de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos Se h é a distância perpendicular entre um eixo dado e o eixo que passa pelo centro de massa e os dois eixos são paralelos o momento de inércia I em relação ao eixo dado é Seja O o centro de massa e também a origem do sistema de coordenadas de um corpo de forma arbitrária Considere um eixo passando por O e perpendicular ao plano do papel e outro eixo passando pelo ponto P e paralelo ao primeiro eixo Sejam a e b as coordenadas x e y de P Seja dm um elemento de massa de coordenadas genéricas x e y O momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa por P é Como x2 y2 R2 onde R é a distância de O a dm o primeiro termo do lado direito é simplesmente ICM o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa O segundo termo é igual a Mh2 onde M é a massa do corpo Exemplo momento de inércia A Fig 1013a mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível a Qual é o momento de inércia ICM em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra como mostra a figura Neste caso o eixo de rotação passa pelo CM Neste caso o eixo de rotação não passa pelo CM mas é paralelo ao anterior por isso podemos usar o teorema dos eixos paralelos Cálculos Para as duas partículas ambas a uma distância perpendicular L2 do eixo de rotação temos I Σ mi ri² m 12 L² m 12 L² 12 m L² Resposta b Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo Fig 1013b Primeira técnica Calculamos I como no item a exceto pelo fato de que agora a distância perpendicular ri é zero para a partícula da esquerda e L para a partícula da direita De acordo com a Eq 1033 I m0² mL² mL² Resposta Segunda técnica Como já conhecemos ICM o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e como o eixo especificado é paralelo a esse eixo do CM podemos usar o teorema dos eixos paralelos Eq 1036 Temos I ICM Mh² 12 m L² 2m 12 L² m L² Resposta Exemplo Momento de inércia Esta é a barra cujo momento de inércia queremos calcular Para começar escolhemos um pequeno elemento e escrevemos o momento de inércia desse elemento como x² dm A Fig 1014 mostra uma barra fina homogênea de massa M e comprimento L e um eixo x ao longo da barra cuja origem coincide com o centro da barra a Qual é o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro IDEIASCHAVE 1 Como a barra é homogênea o centro de massa coincide com o centro geométrico Assim o momento de inércia pedido é ICM 2 Como a barra é um objeto contínuo precisamos usar a integral da Eq 1035 I r² dm 1038 para calcular o momento de inércia Cálculos Como queremos integrar em relação à coordenada x e não em relação à massa m como na integral da Eq 1038 devemos relacionar a massa dm de um elemento da barra a um elemento de distância dx ao longo da barra Um desses elementos é mostrado na Fig 1014 Como a barra é homogênea a razão entre massa e comprimento é a mesma para todos os elementos e para a barra como um todo de modo que podemos escrever elemento de massa dm elemento de distância dx massa da barra M comprimento da barra L ou dm ML dx Podemos agora substituir dm por este valor e r por x na Eq 1038 Em seguida integramos de uma extremidade a outra da barra de x L2 a x L2 para levar em conta todos os elementos Temos I x L2x L2 x² ML dx M3L x³ from L2 to L2 M3L L2³ L2³ 112 ML² Resposta Este resultado está de acordo com o que aparece na Tabela 102e Exemplo Momento de inércia continuação Exemplo Energia cinética de rotação 108 Torque A capacidade de uma força F de fazer um corpo girar depende do módulo da componente tangencial Ft e também da distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação Para levar em conta os dois fatores definimos uma grandeza chamada torque τ OU onde é o braço de alavanca de F r 109 A Segunda Lei de Newton para Rotações No caso de mais de uma força podemos generalizar Exemplo Segunda lei de Newton para rotações Forças que agem sobre o bloco Aplicando a segunda lei de Newton às componentes das forças em relação ao eixo vertical obtemos T mg ma O torque produzido pela força de tração é RT negativo porque o torque faz o disco girar no sentido dos ponteiros do relógio O momento de inércia do disco é MR22 Assim τres Iα RT MR22α Como a corda não escorrega a aceleração linear do bloco e a aceleração linear tangencial at da borda do disco são iguais e portanto T Ma2 Combinação de resultados Note que a aceleração a do bloco é menor que g e que a tração T da corda 60 N é menor que a força gravitacional a que está sujeito o bloco mg 118 N 1010 Trabalho e Energia Cinética de Rotação onde τ é o torque responsável pelo trabalho W e θi e θf são respectivamente as posições do corpo antes e depois da rotação Quando τ é constante A taxa com a qual o trabalho é realizado é a potência 1010 Trabalho e Energia Cinética de Rotação Exemplo trabalho energia cinética de rotação torque