Fundamentos de Fisica Volume 1 - Capitulo 9 - Centro de Massa e Momento Linear

Halliday httpgeniogrupogencombr wwwgrupogencombr Fundamentos de Física Volume 1 O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica LTC Forense Método EPU e Forense Universitária O GENIO GEN Informação Online é o repositório de material suplementar dos livros dessas editoras httpgeniogrupogencombr wwwgrupogencombr Capítulo 9 Centro de Massa e Momento Linear 92 O Centro de Massa O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se 1 toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e 2 todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto O centro de massa ponto preto de um taco de beisebol lançado no ar segue uma trajetória parabólica todos os outros pontos seguem trajetórias mais complicadas 92 O Centro de Massa Sistemas de Partículas Considere uma situação na qual n partículas estão distribuídas ao longo do eixo x Sejam m1 m2 mn as massas e x1 x2 xn as posições das partículas Nesse caso se a massa total é M m1 m2 mn a posição do centro de massa xCM é dada por 92 O Centro de Massa Sistemas de Partículas Em três dimensões as coordenadas do centro de massa são dadas por O vetor posição do centro de massa é 92 O Centro de Massa Corpos Sólidos No caso de corpos sólidos as partículas se tornam elementos infinitesimais de massa dm as somas se tornam integrais e as coordenadas do centro de massa são definidas através das equações onde M é a massa do objeto Se o objeto possui uma massa específica temos onde V é o volume do objeto Exemplo Centro de massa Cálculos Primeiro colocamos o disco que foi removido vamos chamálo de disco S de volta no lugar para formar a placa original que vamos chamar de placa C Devido à simetria o centro de massa CMS do disco S está no centro de S em x R Da mesma forma o centro de massa da placa composta C está no centro de C a origem Suponha que a massa mS do disco S está concentrada em uma partícula em xS R e que a massa mP está concentrada em uma partícula em xP Trate as duas partículas como um sistema e determine o centro de massa xSP Note que a superposição do disco S com a placa P é a placa C Assim a posição xSP do CMSP deve coincidir com a posição xC do CMC que está na origem xSP xC 0 Assim e xSR Exemplo CM de 3 partículas Os dados são os seguintes A massa total M do sistema é 71 kg As coordenadas do centro de massa do sistema são portanto Note que zCM 0 93 A 2a Lei de Newton para um Sistema de Partículas A equação vetorial que governa o movimento do centro de massa de um sistema de partículas é Note que 1 Fres é a soma de todas as forças externas que agem sobre o sistema Forças de uma parte do sistema que agem sobre outra parte forças internas não são consideradas 2 M é a massa total do sistema M permanece constante e dizemos que o sistema é fechado 3 aCM é a aceleração do centro de massa do sistema 93 A 2a Lei de Newton para um Sistema de Partículas Demonstração Para um sistema de n partículas onde M é a massa total e ri são os vetores posição das massas mi Derivando temos onde os vetores v são vetores velocidade Isso leva a Finalmente O lado direito é a soma vetorial das forças externas que agem sobre o sistema já que as forças internas se cancelam por causa da 3a Lei de Newton Exemplo Movimento do CM de um sistema de partículas Cálculos Aplicando a segunda lei de Newton ao centro de massa DEFINIÇÃO onde m é a massa e v é a velocidade da partícula A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à força total que age sobre a partícula Essa equação também pode ser escrita na forma 2a Lei de Newton 94 Momento Linear 95 O Momento Linear de um Sistema de Partículas O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total M do sistema pela velocidade do centro de massa 96 Colisão e Impulso Nesse caso a colisão dura pouco tempo mas a bola experimenta uma força que em muitos casos é suficiente para inverter o movimento A figura mostra o instante da colisão A bola sofre uma força Ft que varia durante a colisão e muda o momento linear da bola 96 Colisão e Impulso A variação do momento linear está relacionada à força através da 2a lei de Newton escrita na forma O lado direito da equação é uma medida tanto da intensidade como da duração da força da colisão e recebe o nome de impulso da colisão representado pelo símbolo J 96 Colisão e Impulso Em vez da bola podemos concentrar a atenção no taco Em qualquer instante de acordo com a 3a lei de Newton a força aplicada ao taco tem o mesmo módulo que a força aplicada à bola e o sentido contrário Isso significa que o impulso aplicado ao taco tem o mesmo módulo que o impulso aplicado à bola e o sentido contrário Seja n o número de projéteis que colidem em um intervalo de tempo t Cada projétil tem um momento inicial mv e sofre uma variação p do momento linear por causa da colisão A variação total do momento linear de n projéteis durante o intervalo de tempo t é np O impulso total que o alvo recebe durante o intervalo de tempo t tem a direção do eixo x e o mesmo módulo que np mas o sentido contrário No intervalo de tempo t uma quantidade de massa m nm colide com o alvo 96 Colisão e Impulso Colisões em Série Exemplo Impulso bidimensional A Fig 911a é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro de proteção Antes da colisão o carro está se movendo com uma velocidade escalar vi 70 ms ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30 com o muro Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf 50 ms ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10 com o muro A massa m do piloto é 80 kg a Qual é o impulso J a que o piloto é submetido no momento da colisão Cálculos A Fig 911b mostra o momento do piloto antes da colisão Pi que faz um ângulo de 30 com o semieixo x positivo e o momento do piloto depois da colisão Pf que faz um ângulo de 10 com o semieixo x positivo Componente x Para o eixo x temos Jx mvfx vix 80 kg50 ms cos10 70 ms cos 30 910 kg ms Componente y Para o eixo y temos Jy mvfy viy 80 kg50 ms sen10 70 ms sen 30 3495 kg ms 3500 kg ms Impulso O impulso é portanto J 910i 3500j kg ms Resposta o que significa que o módulo do impulso é J Jx2 Jy2 3616 kg ms 3600 kg ms O ângulo de J é dado por θ tan1Jy Jx Resposta que de acordo com uma calculadora é 754 Lembrese de que o resultado fisicamente correto do arco tangente pode ser o indicado pela calculadora ou o indicado pela calculadora mais 180 Para verificar qual dos dois é o resultado correto podemos desenhar as componentes de J Fig 911c Fazendo isso verificamos que θ é na verdade 754 180 2554 que também pode ser escrito como θ 105 Resposta Exemplo Impulso bidimensional cont 97 Conservação do Momento Linear Se um sistema de partículas não está sujeito a forças externas o momento linear total P do sistema é constante Se a componente da força total externa aplicada a um sistema fechado é nula na direção de um eixo a componente do momento linear do sistema em relação a esse eixo é constante Exemplo Explosão unidimensional Fig 912 Exemplo Explosão bidimensional Ao explodir uma cabeça de negro colocada no interior de um coco vazio de massa M inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito quebra o coco em três pedaços que deslizam em uma superfície horizontal Uma vista superior é mostrada na Fig 913a O pedaço C de massa 030M tem uma velocidade escalar final vfC 50 ms Fig 913 A separação explosiva pode mudar o momento de partes do sistema mas o momento total do sistema permanece constante a Qual é a velocidade do pedaço B de massa 020M Cálculos Para começar introduzimos um sistema de coordenadas xy no sistema como mostra a Fig 913b com o sentido negativo do eixo x coincidindo com o sentido de vfA O eixo x faz 80 com a direção de vfC e 50 com a direção de vfB Piy Pfy onde o índice i indica o valor inicial antes da explosão o índice f o valor final e o índice y a componente y de Pi ou Pf A componente Pfy do momento linear inicial é zero pois o coco está inicialmente em repouso Para obter Pfy determinamos a componente y do momento linear final de cada pedaço usando a versão para a componente y da Eq 922 py mvy PfAy 0 PfBy 020MvfBy 020MvfB sen 50 PfCy 030MvfCy 030MvfC sen 80 Note que PfAy 0 por causa de nossa escolha de eixos A Eq 948 pode ser escrita na forma Piy Pfy PfAy PfBy PfCy Nesse caso com vfC 50 ms temos 0 0 020MvfB sen 50 030M50 ms sen 80 e portanto vfB 964 ms 96 ms Resposta b Qual é a velocidade escalar do pedaço A PjAx 050MvfA PjBx 020MvfBx 020MvfB cos 50 PjCx 030MvfCx 030MvfC cos 80 A Eq 949 pode ser escrita na forma Pix Pfx PfAx PfBx PfCx Nesse caso com vfC 50 ms e vfB 964 ms temos 0 050MvfA 020M964 ms cos 50 030M50 ms cos 80 e portanto vfA 30 ms Resposta 98 Momento e Energia Cinética em Colisões Em um sistema fechado e isolado se dois corpos colidem e a energia cinética total não é alterada pela colisão a energia cinética do sistema é conservada é a mesma antes e depois da colisão Esse tipo de colisão é chamado de colisão elástica Se durante a colisão parte da energia é transferida de energia cinética para outras formas de energia como energia térmica ou energia sonora a energia cinética do sistema não é conservada Esse tipo de colisão é chamado de colisão inelástica 99 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão 99 Colisões inelásticas em Uma Dimensão Velocidade do Centro de Massa Como a colisão dura muito pouco tempo podemos fazer duas importantes suposições 1 Durante a colisão a força gravitacional e as forças das cordas sobre o bloco estão em equilíbrio Isso significa que durante a colisão o impulso externo sobre o sistema balabloco é zero e portanto o sistema está isolado e o momento linear é conservado 2 A colisão é unidimensional no sentido de que a direção do movimento da bala imediatamente após a colisão é a mesma da bala antes da colisão Como a bala e o bloco agora oscilam juntos a energia mecânica do sistema balablocoTerra é conservada Combinando os resultados Exemplo Conservação do momento 910 Colisões Elásticas em Uma Dimensão Nas colisões elásticas a energia cinética dos corpos envolvidos na colisão pode mudar mas a energia cinética total do sistema permanece a mesma 910 Colisões Elásticas em Uma Dimensão Alvo Estacionário 910 Colisões Elásticas em Uma Dimensão Alvo em Movimento Exemplo Dois pêndulos Duas esferas metálicas inicialmente suspensas por cordas verticais apenas se tocam como mostra a Fig 920 A esfera 1 de massa m1 30 g é puxada para a esquerda até a altura h1 80 cm e liberada a partir do repouso Na parte mais baixa da trajetória sofre uma colisão elástica com a esfera 2 cuja massa é m2 75 g Qual é a velocidade v1f da esfera 1 imediatamente após a colisão 1ª etapa Quando a esfera 1 desce a energia mecânica do sistema esferaTerra é conservada A energia mecânica não é alterada pela força da corda sobre a esfera 1 porque essa força é perpendicular à trajetória da esfera Cálculo Vamos tomar o nível mais baixo como o nível de referência de energia potencial gravitacional zero Nesse caso a energia cinética da esfera 1 no nível mais baixo é igual à energia potencial gravitacional do sistema quando a esfera 1 está na altura h1 ou seja 12m1v1i2 m1gh1 que podemos resolver para obter a velocidade v1i da esfera 1 imediatamente antes da colisão v1i 2gh1 298 ms20080 m 1252 ms 2ª etapa Além de supor que a colisão é elástica podemos fazer outras duas suposições Primeiro podemos supor que a colisão é unidimensional já que os movimentos das esferas são aproximadamente horizontais nos momentos anterior e posterior à colisão Segundo como a colisão dura pouco tempo podemos supor que o sistema de duas esferas é fechado e isolado Isso significa que o momento linear total do sistema é conservado v1f m1 m2 m1 m2 v1i 0030 kg 0075 kg 0030 kg 0075 kg 1252 ms 0537 ms 054 ms Resposta O sinal negativo significa que a esfera 1 se move para a esquerda imediatamente após a colisão 911 Colisões em Duas Dimensões Se é elástica E também 912 Sistemas de Massa Variável Um Foguete Nosso sistema é formado pelo foguete e os produtos de exaustão ejetados no intervalo dt Como o sistema é fechado e isolado o momento linear total é conservado no intervalo dt 912 Sistemas de Massa Variável Cálculo da Velocidade onde Mi é a massa inicial do foguete e Mf é a massa Calculando as integrais obtemos para o aumento da velocidade do foguete quando a massa muda de Mi para Mf Exemplo Empuxo e aceleração de um foguete