Trabalho Avaliativo Circuitos Elétricos e EDOs Resolvidas

Trabalho Avaliativo de M005 Turma B Nome Mat Instruções Não precisa copiar o enunciado Faça em folha de caderno escanei e envie pela tarefa do Teams dentro do prazo ainda que incompleto 1ª Questão Valor 7 pontos Uma bateria de 10e42 V por ligada em série ao circuito e este for fechado em t 0 determine a equação que permite calcular a carga no capacitor em qualquer instante t 0 Dadas as seguintes condições iniciais q0 0 e i0 0 Dados dos componentes R 25Ω L 5H C 005F 2ª Questão Valor 3 pontos Encontre a solução para a EDO homogênea d4ydx4 8 d3ydx3 16 d2ydx2 0 Questão 1 3y 2y 0 com y0 1 y0 0 e y0 1 Solução Buscamos uma solução do tipo y erx com r a determinar Com efeito teremos 3y 2y 0 3erx 2erx 0 3 d3 dx3erx 2 d2 dx2e4x 0 3r3erx 2r2erx 0 erx3r3 2r2 0 3r3 2r2 0 r23r 2 0 r1 0 r2 0 r3 2 3 Com isso temos três rs todavia dois deles são iguais nesse sentido é preciso determinarmos uma outra solução associada ao r2 Com efeito dos rs achados temos as seguintes soluções y1 er1x 1 y3 er2x e23x agora vamos achar uma solução y2 a partir da solução y1 Com efeito como a EDO é de coeficientes constantes segue que em caso de degenerescências a solução y2 é dada por y2 xy1 x Com isso em mãos temos três soluções para a EDO e logo segue que a solução geral é a seguinte EDO yx y1 y2 y3 A xB Ce23x onde A B e C são constantes de integração que seguem do princípio da superposição 1 Agora vamos determinar as constantes a partir dos PVIs As derivadas da função são yx A xB Ce23x yx B 2 3Ce23x yx 4 9Ce23x Então dos PVIs teremos o seguinte y0 1 1 A C y0 0 0 B 2 3C y0 1 1 4 9C Então segue que da última equação temos que C 9 4 da segunda equação temos que B 2 3C 3 2 e da primeira temos que A 1 C 4 9 4 13 4 Então segue que a solução geral do PVI é yx 13 4 3 2x 9 4e23x Questão 2 y 2y y 18e2x Solução Buscamos uma solução do tipo y erx com r a determinar para a parte homogênea da EDO Com efeito teremos y 2y y 0 erx 2erx erx 0 r2erx 2rerx erx 0 erxr2 2r 1 0 r2 2r 1 0 r 12 0 r1 1 r2 1 2 Disso segue que temos uma única solução que é y1 er1x ex segue que uma segunda solução tendo em vista que essa é uma EDO de coeficientes constantes pode ser determinada por y2 xy1 xex Assim pelo princípio da superposição segue que a solução da EDO homogênea é yh Ay1 By2 Aex Bxex Para a parte não homogênea buscamos uma solução do tipo yp ae2x Com efeito temos que para essa solução teremos o seguinte desenvolvimento y 2y y 18e2x ae2x 2ae2x ae2x 18e2x 4ae2x 4ae2x ae2x 18e2x 9ae2x 18e2x a 18e2x 9e2x a 2 Com isso a solução particular da EDO fica dada por yp 2e2x Então segue que a solução geral da EDO é y yh yp Aex Bxex 2e2x onde A e B são constantes a determinar Onde a derivada de y é y Aex Bxex Bex 4e2x Agora das condições iniciais dadas segue que temos o seguinte y0 y0 0 Logo veja que então somos conduzidos ao seguinte y0 0 0 Ae0 B 0 2e0 A 2 A 2 y0 0 0 Ae0 B 0e0 Be0 4e20 A B 4 Então uma vez que A 2 segue da segunda equação que AB4 0 B A4 24 6 Então temos que A 2 e B 6 logo a solução do PVI fica então definida por yx 2ex 6xex 2e2x 3