Exercícios Resolvidos Estatística Descritiva e Inferencial - Análise de Dados

1Em uma pesquisa com uma amostra de 100 empregados foi possível avaliar o número de filhos de cada empregado Número de livros Frequência 0 25 1 15 2 10 3 21 4 18 5 11 Qual é a mediana do número de livros 2Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada Uma amostra de 100 observações resultou em salário médio R 43000 mediana R 43500 e desviopadrão R 2545 Para análise o coeficiente de assimetria foi calculado 3Uma empresa de baterias afirma que elas têm vida média de 2 anos 720 dias com desvio padrão de 6 meses 180 dias e que esse tempo é normalmente distribuído Ao comprar a bateria é dada a garantia de um ano Então a porcentagem de baterias que serão trocadas é de aproximadamente 4A companhia Parafusex SA produz parafusos usados em máquinas agrícolas Recentemente a companhia tem recebido reclamações referentes a qualidade de seus produtos sobretudo a respeito da falta de precisão nas medidas dos parafusos Para avaliar a qualidade da produção a companhia selecionou uma amostra de 300 parafusos e mediu seus diâmetros As medidas estatísticas estão resumidas no quadro abaixo Medidas Estatísticas Diâmetro mm n 300 Média 4088 Mediana 4833 Desvio padrão 1687 Coef De assimetria 018 Mínimo 1444 Máximo 9486 1 Quartil 2710 3 Quartil 5256 5 Oual o efeito no tamanho da amostra quando temos um desviopadrão alto 6Oual o efeito no tamanho da amostra quando temos um desviopadrão baixo 7 Qual o efeito no intervalo de confiança quando diminuímos o tamanho da amostra 8 Um levantamento de mulheres executivas mostrou que 33 das pessoas pesquisadas avaliaram suas próprias empresas como um excelente lugar para as executivas trabalharem Suponha que se queira realizar um levantamento anual para monitorar essa proporção Assumindo um nível de confiança de 99 quantas executivas deverão ser amostradas para uma margem de erro máxima de 4 9Uma empresa deseja realizar um estudo para estimar o gasto médio da população com refeições fastfood aos finais de semana Um estudo anterior identificou um desviopadrão igual a R 1000 Qual deve ser o tamanho da amostra para fazer a estimativa com 95 de confiança e margem máxima de erro igual a R 100 10 Uma fábrica estimou o diâmetro médio dos parafusos que produz por meio de um intervalo de confiança a partir de uma amostraretirada da produção O intervalo resultante foi de 07 mm a 15 mm com 95 de confiança Qual é a margem de erro 11Uma empresa de mídia eletrônica quer avaliar a viabilidade de continuidade de uma ação de marketing em redes sociaisVerificouse que se a ação de marketing apresentar pelo menos 100 visualizações por dia a viabilidade está garantida Em uma amostra de 90 dias verificouse uma média de 95 visualizações diárias com desviopadrão de 45 Esses dados foram utilizados para a construção de um intervalo de confiança de 95 para a média de visualizações cujos limites estimados foram de 86 a 104 visualizações 12 O salário inicial é considerado um indicador importante do sucesso no mercado de trabalho por vários programas de pósgraduação stricto sensu mestrado e doutorado Um dos fatores que influenciam o salário inicial de um profissional egresso de uma pósgraduação tem sido a pontuação no exame de seleção de alunos No caso da Administração o GMAT desempenha esse papel Se analisarmos uma amostra de n alunos recém graduados considerando o salário inicial e a pontuação GMAT de cada um deles para um modelo de regressão linear teríamos 13 A análise de regressão de lances livres convertidos de 29 times da NBA durante a temporada de 20172018 revelou uma reta de regressão ajustada Y 55 073X com R2 087 O total de lances livres convertidos depende exclusivamente dos lances livres arremessados O intervalo de variação observado de lances arremessados foi de 1502 New York Knicks a 2382 lances Golden State Warriors Qual é o número esperado de lances livres convertidos para um time que faz dois mil arremessos de lance livre LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1Em uma pesquisa com uma amostra de 100 empregados foi possível avaliar o número de filhos de cada empregado Número de livros Frequência 0 25 1 15 2 10 3 21 4 18 5 11 Qual é a mediana do número de livros 25 RESPOSTA Para cálculo de mediana de uma sequência de número par através da sequência em ordem crescente devemos encontrar os valores centrais e realizar uma média aritmética simples dos valores representados O resultado será a mediana da sequência Para esta sequência de 100 números devemos realizar o seguinte cálculo 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑁50 𝑁51 2 2 3 2 5 2 25 2Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada Uma amostra de 100 observações resultou em salário médio R 43000 mediana R 43500 e desviopadrão R 2545 Para análise o coeficiente de assimetria foi calculado RESPOSTA O Coeficiente de Assimetria é baseado na posição relativa das medidas de tendência central de acordo com o tipo de assimetria dos dados 𝐴𝑃𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝐴𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 3𝑥𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 Temos como regra para interpretação do coeficiente a Distribuições simétricas unimodais quando AP 0 b Distribuições assimétricas positivas quando AP 0 c Distribuições assimétricas negativas quando AP 0 Como nos foi informado o valor da média e da mediana então utilizaremos o segundo coeficiente Com isso 𝐴𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 3𝑥430 435 2545 5894 Logo a distribuição dos salários será assimétrica negativa LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 3Uma empresa de baterias afirma que elas têm vida média de 2 anos 720 dias com desvio padrão de 6 meses 180 dias e que esse tempo é normalmente distribuído Ao comprar a bateria é dada a garantia de um ano Então a porcentagem de baterias que serão trocadas é de aproximadamente RESPOSTA Seja X a variável aleatória associada com o tempo de vida de uma bateria Pelo informado no enunciado X possui distribuição normal com média 2 anos e desvio padrão 6 meses 05 anos Como consequência a variável aleatória Z definida por 𝑍 𝑋 2 05 Possui distribuição normal padrão ou seja média igual a 0 e desvio padrão igual a 1 ano A porcentagem de baterias que serão trocadas equivalem aquelas que deram algum defeito dentro do limite da garantia ou seja um tempo de vida inferior a 1 ano Assim estamos interessados na probabilidade 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 05 1 2 05 𝑃𝑍 2 Consultando a tabela da distribuição normal concluímos que 𝑃𝑋 1 𝑃𝑍 2 0228 228 A banca tomou como gabarito uma aproximação bem exagerada assumindo como valor correto 25 Cabe ressaltar que pela tabela da normal tal valor é dada pela probabilidade 𝑃𝑍 196 4A companhia Parafusex SA produz parafusos usados em máquinas agrícolas Recentemente a companhia tem recebido reclamações referentes a qualidade de seus produtos sobretudo a respeito da falta de precisão nas medidas dos parafusos Para avaliar a qualidade da produção a companhia selecionou uma amostra de 300 parafusos e mediu seus diâmetros As medidas estatísticas estão resumidas no quadro abaixo Medidas Estatísticas Diâmetro mm n 300 Média 4088 Mediana 4833 Desvio padrão 1687 Coef De assimetria 018 Mínimo 1444 Máximo 9486 1 Quartil 2710 3 Quartil 5256 5 Oual o efeito no tamanho da amostra quando temos um desviopadrão alto RESPOSTA Quando temos um desvio padrão alto significa que os diâmetros dos parafusos na amostra estão mais dispersos em relação à média Isso indica uma maior variabilidade nas medidas dos parafusos Nesse caso para avaliar com mais precisão a qualidade da produção é recomendável aumentar o tamanho da amostra Um tamanho maior de amostra ajudará a reduzir a incerteza e a capturar melhor a variabilidade dos diâmetros dos parafusos produzidos pela Parafusex SA LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 6Oual o efeito no tamanho da amostra quando temos um desviopadrão baixo RESPOSTA Quando temos um desvio padrão baixo significa que os diâmetros dos parafusos na amostra estão mais próximos da média indicando uma menor variabilidade nas medidas Nessa situação um tamanho menor de amostra pode ser suficiente para obter uma estimativa precisa da qualidade da produção Com um desvio padrão baixo a variabilidade dos diâmetros é menor o que implica que um tamanho menor de amostra pode ser eficaz para avaliar a consistência dos parafusos produzidos pela Parafusex SA 7 Qual o efeito no intervalo de confiança quando diminuímos o tamanho da amostra RESPOSTA Ao diminuirmos o tamanho da amostra o intervalo de confiança tende a ficar mais amplo Com um tamanho menor de amostra a estimativa da média dos diâmetros dos parafusos se torna menos precisa resultando em uma maior margem de erro Portanto o intervalo de confiança aumenta refletindo a maior incerteza em relação à verdadeira média dos diâmetros da população Para obter um intervalo de confiança mais estreito e uma estimativa mais precisa seria necessário aumentar o tamanho da amostra utilizada pela Parafusex SA 8 Um levantamento de mulheres executivas mostrou que 33 das pessoas pesquisadas avaliaram suas próprias empresas como um excelente lugar para as executivas trabalharem Suponha que se queira realizar um levantamento anual para monitorar essa proporção Assumindo um nível de confiança de 99 quantas executivas deverão ser amostradas para uma margem de erro máxima de 4 RESPOSTA Para calcular o tamanho da amostra para uma proporção com um nível de confiança de 99 e uma margem de erro máxima de 4 temos a fórmula a seguir 𝑛 𝑍2 𝑝 1 𝑝 𝐸2 Sendo que neste caso Z será o valor crítico para o nível de confiança desejado p será a proporção estimada e E é a margem de erro Para um nível de confiança de 99 temos Valor crítico Z 258 𝑛 2582 033 1 033 0042 𝑛 66564 033 067 00016 920 Portanto para uma margem de erro máxima de 4 e um nível de confiança de 99 seria necessário amostrar pelo menos 920 executivas LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 9Uma empresa deseja realizar um estudo para estimar o gasto médio da população com refeições fastfood aos finais de semana Um estudo anterior identificou um desviopadrão igual a R 1000 Qual deve ser o tamanho da amostra para fazer a estimativa com 95 de confiança e margem máxima de erro igual a R 100 RESPOSTA Para determinar o tamanho da amostra necessário para realizar uma estimativa com um nível de confiança de 95 e uma margem máxima de erro de R 100 precisamos usar a fórmula para o tamanho da amostra em estudos de média populacional 𝑛 𝑍 𝜎 𝐸 2 Neste caso podemos definir as seguinte variáveis Z valor crítico 196 σ desviopadrão da população E margem máxima de erro desejada Ou seja temos 𝑛 196 10 1 ² 𝑛 196² 𝑛 384 Dessa forma podemos concluir que o tamanho da amostra necessário para estimar o gasto médio da população com refeições fastfood aos finais de semana é aproximadamente 384 10 Uma fábrica estimou o diâmetro médio dos parafusos que produz por meio de um intervalo de confiança a partir de uma amostra retirada da produção O intervalo resultante foi de 07 mm a 15 mm com 95 de confiança Qual é a margem de erro RESPOSTA A margem de erro é a metade da amplitude do intervalo de confiança Portanto para determinar a margem de erro podemos calcular a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo e dividir por 2 No caso dado o limite inferior é 07 mm e o limite superior é 15 mm Portanto a amplitude do intervalo de confiança é 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 15 𝑚𝑚 07 𝑚𝑚 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 08 𝑚𝑚 A margem de erro é a metade dessa amplitude 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 2 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐸𝑟𝑟𝑜 08 𝑚𝑚 2 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐸𝑟𝑟𝑜 04 𝑚𝑚 Portanto a margem de erro para o intervalo de confiança de 95 é de 04 mm Isso significa que podemos esperar que o diâmetro médio dos parafusos na produção esteja dentro de 04 mm do valor médio estimado pelo intervalo de confiança LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 11Uma empresa de mídia eletrônica quer avaliar a viabilidade de continuidade de uma ação de marketing em redes sociais Verificouse que se a ação de marketing apresentar pelo menos 100 visualizações por dia a viabilidade está garantida Em uma amostra de 90 dias verificouse uma média de 95 visualizações diárias com desviopadrão de 45 Esses dados foram utilizados para a construção de um intervalo de confiança de 95 para a média de visualizações cujos limites estimados foram de 86 a 104 visualizações RESPOSTA O intervalo de confiança de 95 para a média de visualizações diárias estimado como 86 a 104 visualizações indica que temos 95 de confiança de que a verdadeira média de visualizações diárias está dentro desse intervalo No entanto é importante notar que a média de visualizações diárias encontrada na amostra foi de 95 visualizações Portanto com base nas informações fornecidas a média de visualizações está abaixo da meta de 100 visualizações por dia para garantir a viabilidade da ação de marketing em redes sociais Isso sugere que a ação de marketing pode não estar atingindo o objetivo desejado de pelo menos 100 visualizações por dia A empresa de mídia eletrônica pode precisar considerar ajustes ou melhorias na estratégia de marketing para aumentar o número de visualizações e atingir a viabilidade desejada 12 O salário inicial é considerado um indicador importante do sucesso no mercado de trabalho por vários programas de pósgraduação stricto sensu mestrado e doutorado Um dos fatores que influenciam o salário inicial de um profissional egresso de uma pósgraduação tem sido a pontuação no exame de seleção de alunos No caso da Administração o GMAT desempenha esse papel Se analisarmos uma amostra de n alunos recém graduados considerando o salário inicial e a pontuação GMAT de cada um deles para um modelo de regressão linear teríamos RESPOSTA Para um modelo de regressão linear simples teríamos uma equação da forma 𝑦 𝑎 𝑏𝑥 Onde neste caso y é o salário inicial x é a pontuação GMAT e a e b são os coeficientes da regressão O coeficiente b representa a mudança esperada no salário inicial para cada unidade de mudança na pontuação GMAT O coeficiente a representa o valor esperado do salário inicial quando a pontuação GMAT é zero Esses coeficientes podem ser estimados a partir dos dados da amostra usando o método dos mínimos quadrados LISTA DE EXERCÍCIO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 13 A análise de regressão de lances livres convertidos de 29 times da NBA durante a temporada de 2017 2018 revelou uma reta de regressão ajustada Y 55 073X com R2 087 O total de lances livres convertidos depende exclusivamente dos lances livres arremessados O intervalo de variação observado de lances arremessados foi de 1502 New York Knicks a 2382 lances Golden State Warriors Qual é o número esperado de lances livres convertidos para um time que faz dois mil arremessos de lance livre RESPOSTA Para determinar o número esperado de lances livres convertidos para um time que faz dois mil arremessos de lance livre podemos usar a equação da reta de regressão ajustada fornecida 𝑌 55 073𝑋 Sendo que podemos considerar Y é o número esperado de lances livres convertidos X é o número de lances livres arremessados Nesse caso queremos encontrar o valor de Y quando X é igual a 2000 Substituindo os valores na equação temos 𝑌 55 073 2000 𝑌 55 1460 𝑌 1515 Portanto o número esperado de lances livres convertidos para um time que faz dois mil arremessos de lance livre é aproximadamente 1515