Lista de Exercícios

1 O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 Nm e a uma força de compressão axial de 2 kN Determine se ele fallhará de acordo com a teoria da tensão normal máxima O limite de resistência do concreto é σr28 MPa 2 A tensão de escoamento para uma liga de magnésio e zircônio é σe107 MPa Se uma peça de máquina for fabricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido às tensões principais no plano σa e σb 05σa determine o valor de σa que provocará escoamento de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e teoria da energia de distorção máxima 3 Uma barra com área de seção transversal quadrada é feita de um material cuja tensão de escoamento é σe840 MPa Se a barra for submetida a um momento fletor de 10 kNm determine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima e cisalhamento máximo Use um fator de segurança de 15 para o escoamento 1 Uma coluna retangular de seção 20x30cm2 faz parte de um pórtico em concreto armado Sabese que o módulo de elasticidade do concreto é de 28 GPa e o comprimento da coluna é 3 metros Determine as cargas e tensões críticas para a coluna caso ela tenha as seguintes vinculações a Biarticulada b EngastadaBorda livre c EngastadaArticulada d Biengastada 2 O elemento estrutural W200 x 46 de aço A36 mostrado na figura deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem Dados Eaço 200 GPa σc 250 MPa A 5890 mm2 Ix 455 x 106 mm4 Iy 153 x 106 mm4 Resposta 14725 kN 3 Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas como mostra a figura Sua capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo yy menor inércia Consideramos que essas escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da coluna Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento Considere Eaço 200 GPa e σc 410 MPa Dados tabelados A 3060 mm2 Ix 134 x 106 mm4 Iy 183 x 106 mm4 Resposta 4608 kN 4 Uma barra prismática de aço de seção transversal retangular de 40 mm por 50 mm é articulada nas extremidades e está submetida a uma força axial de compressão supondose que a barra tenha um comprimento igual a 180 m determinar a carga crítica de flambagem Dado Eaço 200 GPa e se 250 MPa Resposta 1625 kN 5 Um pilar de concreto armado possui altura de 10 metros e seção transversal de 12x30cm² Considerandose os apoios engastados módulo de elasticidade de 28 GPa e fcd de 30 MPa qual a carga crítica para o pilar 6 Com o objetivo de aumentar a carga crítica do pilar apresentado no exercício anterior o engenheiro propôs um travamento na direção de menor momento de inércia exatamente no meio do pilar resultando na condição engasterótula para a direção Qual será a carga crítica para o pilar na nova configuração Questões 7 e 8 Utilizar mesma figura 7 Determine a dimensão d para a qual as escoras de alumínio e de aço terão o mesmo peso e calcule para ambas o valor da carga crítica 8 Determine a a dimensão d para a qual ambas escoras tem a mesma carga crítica e b expresse em termos de porcentagem o peso da escora de alumínio em relação a escora de aço Respostas 7 d 2156 mm Aço Pcr 2878 N Alumínio Pcr 8327 N 8 a 1654 mm b 588 9 Uma coluna de alumínio de comprimento L e seção transversal retangular tem uma extremidade engastada B e suporta uma força centrada em A Duas placas lisas e de lados arredondados impedem a extremidade A de se mover em um dos planos verticais de simetria da coluna mas permitem o movimento no outro plano a Determine a relação ab da seção transversal correspondendo ao projeto mais eficiente contra a flambagem b Determine a seção transversal mais eficiente para a coluna sabendo que L 500 mm E 70 GPa P 22 kN e que o coeficiente de segurança adotado é 25 Respostas a ab 035 b b 407 mm a 142 mm 10 Um elemento comprimido com comprimento de flambagem de 15m consiste em uma barra de seção cheia de latão com 30 mm de diâmetro Para reduzir o peso do elemento em 25 a barra de seção cheia é substituída por uma barra de seção vazada como a seção transversal mostrada Determine a a porcentagem de redução na força crítica e b o valor da força crítica para a barra de seção vazada Use E 105 GPa Respostas a 625 b 1717 kN 11 Um tubo de seção retangular de alumínio E 70 GPa de espessura uniforme t 20 mm opera como uma coluna de 6 m de comprimento engastada em ambas as extremidades Calcule a tensão crítica referente a coluna Resposta 1018 kN 12 Repita o Problema 11 admitindo que a coluna seja rotulada em uma das extremidades e engastada na outra 1 a Levando em conta apenas o efeito das tensões normais em virtude da flexão determine a energia de deformação da viga prismática AB para o carregamento mostrado b Avalie a energia de deformação sabendo que a viga é um perfil W250 x 67 P 180 kN L 36 m a 09 m b 27 m e E 200 GPa 2 Cada elemento da treliça mostrada é feito de alumínio e tem a área da seção transversal mostrada Utilizando E 72 GPa a determine a energia de deformação da treliça para o carregamento mostrado b Resolva o problema considerando que a força de 120 kN é removida 3 Usando E 200 GPa determine a energia de deformação devido à flexão para a barra de aço e o carregamento mostrado Considere também o efeito da tensão de cisalhamento 4 Usando E 200 GPa determine a energia de deformação devido a flexão para a barra de aço e o carregamento mostrado Desconsidere os efeitos das tensões de cisalhamento 5 Determine a energia de deformação da viga AB de seção retangular em balanço levando em conta o efeito das tensões normal e de cisalhamento 6 Na montagem mostrada os torques TA e TB são aplicados nos discos A e B respectivamente Sabendo que ambos os eixos são maciços e feitos de alumínio G 73 GPa determine a energia de deformação total acumulado pela montagem 1 O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 Nm e a uma força de compressão axial de 2 kN Determine se ele falhará de acordo com a teoria da tensão normal máxima O limite de resistência do concreto é σr 28 MPa Primeiro vamos determinar as tensões σy PA 2 103 π4 0052 1019 MPa τ TcJ 500 0025 π2 00254 20372 MPa σx 0 Logo as tensões principais serão dadas por σ12 σx σy2 σx σy22 τxy2 Substituindo os dados e fazendo a conta teremos σ1 1987 MPa σ2 2089 MPa Como podemos ver as duas tensões são menor que a tensão máxima admissível logo o cilindro não falhará 2 A tensão de escoamento para uma liga de magnésio e zircônio é σe 107 MPa Se uma peça de máquina for fabricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido às tensões principais no plano σ1 e σ2 05σ1 determine o valor de σa que provocará escoamento de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima e teoria da energia de distorção máxima Para resolver basta substituir na equação da teoria da tensão de cisalhamento máxima σ1 σ2 σe σ1 05σ1 107 15σ1 107 σ1 7133 MPa 3 Uma barra com área de seção transversal quadrada é feita de um material cuja tensão de escoamento é σe 840 MPa Se a barra for submetida a um momento fletor de 10 kNm determine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima e cisalhamento máximo Use um fator de segurança de 15 para o escoamento O primeiro passo é calcular a tensão normal máxima que será dada por σmáx McI Se a gente tem uma seção quadrada de lado a c vai valer a2 e o momento de inércia vai ser I a4 12 Lembrando que ele diz que M 10 kN m Substituindo os dados pelos parâmetros dados pelo enunciado ficaremos com algo assim σmáx 10103a2 a412 σmáx 60000 a3 O próximo passo é calcular as tensões principais Como não temos tensão de cisalhamento já podemos dizer que essa tensão que a gente tem já é uma tensão principal σ1 60000 a3 E como não temos outra tensão no elemento σ2 0 σ1 σe Mas ele pede para usar um fator de segurança e 15 Então a gente vai dividir a tensão de escoamento por ele σ1 σe FS Logo basta substituir os valores e isolar o a Fazendo isso ficamos com 60000 a3 84010615 Isolando a a 475 mm 1 Uma coluna retangular de seção 20x30cm² faz parte de um pórtico em concreto armado Sabese que o módulo de elasticidade do concreto é de 28 GPa e o comprimento da coluna é 3 metros Determine as cargas e tensões críticas para a coluna caso ela tenha as seguintes vinculações a Biarticulada b EngastadaBorda livre c EngastadaArticulada d Biengastada a Pcrπ 2EI O momento de inércia I será I02x 03³ 12 000045m 4 Pcr31416 22810 9000045 9 5527kN σ crPcr A A 20 cm x 30 cm 600 cm² 006 m² σ cr5526 x10 9 006 92116 MPa Assim a tensão crítica para a coluna biarticulada é 92116 MPa b Substituindo K 05 a fórmula para a carga crítica de flambagem se torna Pcrπ 2EI Pcrπ 22810 9000045 σ crPcr A σ cr2208570410 9 006 368095MPa Assim a tensão crítica para a coluna com uma extremidade engastadaborda é aproximadamente 368095 MPa c Substituindo K 07 a fórmula para a carga crítica de flambagem se torna Pcrπ 22810 9000045 σ cr112795210 9 006 187992 MPa Assim a tensão crítica para a coluna com uma extremidade engastadaarticulada é aproximadamente 187992 MPa d Substituindo K 05 a fórmula para a carga crítica de flambagem se torna Pcrπ 22810 9000045 σ cr2208570410 9 006 368095MPa Assim a tensão crítica para a coluna biengastada é aproximadamente 368095 MPa Pcrπ 2EI L² Pcrπ 220010 915310 6 A carga admissível de compressão é a carga máxima que a coluna pode suportar sem ultrapassar a tensão admissível de compressão Ela pode ser calculada pela fórmula PadmσeA Padm25010 6589010 614725kN A coluna será segura se a carga aplicada for menor que a carga admissível de compressão Neste caso a carga admissível de compressão é de 14725 kN o que significa que a coluna pode suportar uma carga máxima de 14725 kN antes de sofrer flambagem Pcrπ 2EI L² Pcrπ 220010 9018310 5 28² 4608kN σcritPcr A 460810³ 3006 150 6 MPa Como a σcrit fyc a flambagem ocorrerá antes da falha do material Pcrπ 2EI L² Pcrπ 220010 60 05004 312 18² 1625kN Pcrπ 2 E I Ibh 3 12 I12cm Pcrπ 22810 9Pa 0027m 4 Pcr28694 x 10 7N Com a introdução de um travamento no meio do pilar alterando a condição de apoio para engasterótula na direção de menor momento de inércia o comprimento efetivo de flambagem será metade do comprimento original do pilar Isso afeta diretamente a carga crítica que pode ser recalculada usando a fórmula de Euler para flambagem considerando o novo coeficiente de comprimento efetivo K para a condição engasterótula que é K 07 Pcr π 2 E I Pcr π 22810 9Pa 0027m 4 Pesodaescoravolume x densidade x gravidade Váreadaseçãotransversal xaltura ParaaescoradeaçoVaçod 2 x122 ParaaescoradealumínioValumínio127 2x122 Igualandoos pesos d 2x122x 7861127 2x 122 x2710 Isolandod 127 2x2710 7861 2156mm Pcrπ 2 E I I d 4 12 Carga crítica para escora de aço Pcr π 220010 9 d 4 12 Pcr π 220010 9 7 49x 10 34 12 Carga crítica para alumínio Pcr π 220010 9 d 4 12 Pcr π 269610 9 127 4 12 Encontrar d para igualar cargas críticas d 4 696 x127 4 200 1654mm Calcular a porcentagem do peso Peso alumínio 2710 x127 x10 3 2x122 7861x 1654 x10 3 2x 122 0588588 9 Uma coluna de alumínio de comprimento L e seção transversal retangular tem uma extremidade engastada B e suporta uma força centrada em A Duas placas lisas e de lados arredondados impedem a extremidade A de se mover em um dos planos verticais de simetria da coluna mas permitem o movimento no outro plano a Determine a relação ab da seção transversal correspondendo ao projeto mais eficiente contra a flambagem b Determine a seção transversal mais eficiente para a coluna sabendo que L 500 mm E 70 GPa P 22 kN e que o coeficiente de segurança adotado é 25 Respostas a ab 035 b b 407 mm a 142 mm Flambagem no plano xy Le 07L Iz a3b12 e A ab mas Iz arz2 rz2 IzA a3b12 1ab rz a²12 rz a12 o índice de esbeltez será Le 07L rz a12 A flambagem no plano xz Le 2L Iy a b³12 ry² a³b12 1ab ry b12 Le 07L rz b12 a Dimensionamento mais eficiente O dimensionamento mais eficiente é aquele para o qual suas tensões que correspondem aos dois modos possíveis de flambagem são iguais 07La12 2Lb12 Logo a b 035 b Para os dados do problema Pcr 25 20 50KN Se a 035b A 035b² e Σcr PcrA 50 10³035b² N como L 05 m Le 2Lr y b12 Le 2 05 b12 3464 b Σcr 2 EL r² 50 10³N035b² 2 70 10³Nmm² 3464 b² b 407 mm a 142 mm 10 Um elemento comprimido com comprimento de flambagem de 15m consiste em uma barra de seção cheia de latão com 30 mm de diâmetro Para reduzir o peso do elemento em 25 a barra de seção cheia é substituída por uma barra de seção vazada como a seção transversal mostrada Determine a a porcentagem de redução na força crítica e b o valor da força crítica para a barra de seção vazada Use E 105 GPa Respostas a 625 b 1717 kN a Pcr π²EI L² Pcr é proporcional a I Para haste sólida c 12 d Is π4 c⁴ c 12 30 15 mm Is π415⁴ 39761 10³ mm⁴ 39761 10⁹ m⁴ Para haste oca ci 12 di Ih π4c⁴ ci⁴ Pcrh Pcrs Ih Is c⁴ ci⁴ c⁴ 1 ci c⁴ 1 di d⁴ 1 1530⁴ 1 116 1516 Redução percentual em Pcr 116 100 625 b Pcr 1516π²EIs L² 1516 π²105 10⁹39761 10⁹ 15² 1717 10³ N Pcr 1717 kN Ix b h3 12 Onde b 200 mm largura da seção h 100 mm altura da seção Substituindo os valores na fórmula obtemos Ix 200 mm 100 mm3 12 167 106 mm4 O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo y é dado por Iy h b3 12 Substituindo os valores na fórmula obtemos Iy 100 mm 200 mm3 12 667 106 mm4 A carga crítica para uma coluna engastada em ambas as extremidades é dada pela fórmula de Euler Pcrπ 2 E I I 167 106 mm4 667 106 mm4 2 417 106 mm4 Pcr pi2 70 GPa 417 106 mm4 6 m2 Pcr 1018 kN A tensão crítica referente à coluna é de 1018 kN Pcr pi2 EI 4L2 I 167 106 mm4 667 106 mm4 2 417 106 mm4 Pcr pi2 70 GPa 417 106 mm4 4 6 m22545 kN A tensão crítica referente à coluna é de 2545 kN U 1 2 EI 0 L M U 1 2 EI M xPb x L18010 327 x 36 M xPa Lx L 18010 309 36x 36 U 1 2 EI a Utilizando I 81103 m4 estimado para W250x67 U 1 220010 98110 3 Resolvendo as integrais obtemos U 1 220010 98110 3 U 1 220010 98110 3 U 1 220010 98110 3 U 1 220010 98110 3 U 1 220010 98110 3 60833310 6072967510 67 29 U 1 220010 98110 3 44368310 649207510 6 U 1 220010 98110 3 93575810 6 U 9357 5810 6 220010 98110 3 U 9357 5810 6 324010 6 289J b Primeiro calculamos as reações nos apoios em A e B 1 Equilíbrio de forças horizontais ΣFx 0 HA 120 kN 2 Equilíbrio de forças verticais ΣFy 0 VA VB 210 kN 3 Momento em A ΣMA 0 VB 18 210 18 0 VB 210 kN Portanto VA 0 kN Decompondo as forças nos nós 1 No C Para o membro CD FCD 18² 15² 210 15 FCD 210 324 15 252 kN Para o membro BC FBC 18 120 kN FBC 120 18 216 kN 2 No B Para o membro AB FAB 18² 15² 216 18 FAB 216 324 270 kN Usamos a fórmula δ F L A E Calculando para cada membro 1 Para AB δAB 270 10³ 18 1200 72 10³ 270 18 1200 72 0005625 m 2 Para BC δBC 216 10³ 18 1800 72 10³ 216 18 1800 72 00036 m 3 Para CD δCD 252 10³ 4 3000 72 10³ 252 24 3000 72 00028 m 4 Para AD δAD 0 1200 72 10³ 0 m A energia de deformação é dada por U 12 F δ Calculando U 12 270 0005625 216 00036 252 00028 Vamos calcular U 12 151875 07776 07056 kJ U 12 3002 kJ U 1501 kJ b 1 Equilíbrio de forças horizontais Fx 0 HA 0 kN 2 Equilíbrio de forças verticais Fy 0 VA VB 210 kN 3 Momento em A MA 0 VB 18 210 18 0 VB 210 kN Portanto VA 0 kN 1 No C Para o membro CD FCD 182 152 21015 FCD 210 182 152 15 252 kN Para o membro BC FBC 18 0 kN FBC 0 kN 2 No B Para o membro AB FAB 182 152 0 FAB 0 kN AB 0 kN BC 0 kN CD 252 kN AD 252 kN considerando a simetria e o balanço de forças no nó D Usamos a fórmula δ F L A E Calculando para cada membro 1 Para AB δAB 0 1200 72 103 0 m 2 Para BC δBC 0 1800 72 103 0 m 3 Para CD δCD 252 103 24 3000 72 103 252 24 3000 72 00028 m 4 Para AD δAD 252 103 18 1200 72 103 252 18 1200 72 000525 m A energia de deformação é dada por U Σ 12 F δ Calculando U 12 252 000525 252 00028 Vamos calcular U 12 1323 07056 kJ U 12 20286 kJ U 10143 kJ Portanto a energia de deformação da treliça após a remoção da força de 120 kN é 10143 kJ 3 Usando E 200 GPa determine a energia de deformação devido à flexão para a barra de aço e o carregamento mostrado Considere também o efeito da tensão de cisalhamento O momento de inércia I para uma seção retangular é dado por I bh³12 2 Determinar as reações nos apoios Utilizando as equações de equilíbrio Σ Fy 0 Σ MB 0 3 Calcular os momentos fletores ao longo da viga Usar a equação do momento fletor para uma viga simplesmente apoiada com cargas pontuais 4 Calcular a energia de deformação devido à flexão A energia de deformação devido à flexão Uf é dada por Uf 0L Mx²2EI dx 5 Calcular a energia de deformação devido ao cisalhamento A energia de deformação devido ao cisalhamento Uv é dada por Uv 0L Vx²2GA dx Onde G é o módulo de elasticidade transversal e A é a área da seção transversal 1 Momento de inércia I bh³12 381 762³12 mm⁴ 2 Reações nos apoios RB e RC podem ser encontradas usando as condições de equilíbrio 3 Momento fletor Para calcular Mx dividimos a viga em trechos e utilizamos as equações de equilíbrio 4 Energia de deformação devido à flexão Integramos Mx²2EI ao longo do comprimento da viga 5 Energia de deformação devido ao cisalhamento Integramos Vx²2GA ao longo do comprimento da viga Vamos prosseguir com os cálculos 1 Momento de Inércia I 381 762³12 mm⁴ 381 4429675312 mm⁴ 14050966 mm⁴ 1405 10⁶ n 2 Reações nos Apoios Usando as equações de equilíbrio Σ Fy 0 RB RC 89 89 kN Σ MB 0 89 381 89 1905 RC 1524 Resolvendo essas equações obtemos RB e RC 3 Momento Fletor Mx Dividimos a viga em segmentos e determinamos Mx para cada segmento 4 Energia de Deformação devido à Flexão Uf 0L Mx²2EI dx 5 Energia de Deformação devido ao Cisalhamento Uy 0L Vx² 2GA dx Vamos prosseguir com os cálculos detalhados Momento de Inércia I 381 7623 12 mm4 1405 106 mm4 1405 106 m4 Reações nos Apoios Usando Fy 0 RB RC 178 kN MB 0 89 0381 89 1905 RC 1524 Resolvendo RC 89 0381 89 1905 1524 1247 kN RB 178 1247 533 kN 1 Energia de deformação devido à flexão Uf 17152 J 2 Energia de deformação devido ao cisalhamento Uy 041 J 3 Energia total de deformação Utotal 17192 J Portanto a energia total de deformação na barra de aço considerando os efeitos da flexão e do cisalhamento é aproximadamente 17192 J A energia de deformação U em uma viga sob flexão pode ser calculada pela seguinte equação U 12 M2 L EI Cálculo da energia de deformação para cada segmento Segmento AB o UAB 12 432 kNm2 24 m 200 GPa 6144000 mm4 0238 kJ Segmento BC o UBC 12 128 kNm2 16 m 200 GPa 6144000 mm4 0038 kJ Segmento CD o UCD 12 128 kNm2 16 m 200 GPa 6144000 mm4 0038 kJ Segmento DE o UDE 12 192 kNm2 24 m 200 GPa 5016000 mm4 0282 kJ A energia de deformação total Utotal é a soma da energia de deformação de cada segmento Utotal UAB UBC UCD UDE 0238 kJ 0038 kJ 0038 kJ 0282 kJ 06 kJ Portanto a energia de deformação devido à flexão para a barra de aço e o carregamento mostrado é de 06 kJ A deformação normal na viga AB é dada por εn Mx EI Onde εn é a deformação normal Mx é o momento fletor na seção transversal x E é o módulo de elasticidade do material I é o momento de inércia da seção transversal O momento fletor na seção transversal x é dado por Mx PL x Onde P é a carga pontual na extremidade livre L é o comprimento da viga x é a distância da seção transversal x da extremidade livre O momento de inércia da seção transversal retangular é dado por I BH3 12 Substituindo as equações acima na equação da deformação normal obtemos εn PL x EBH3 12 A deformação por cisalhamento na viga AB é dada por γ V A G Onde γ é a deformação por cisalhamento V é a força cortante na seção transversal x A é a área da seção transversal G é o módulo de cisalhamento do material A força cortante na seção transversal x é dada por V P A área da seção transversal retangular é dada por A BH Substituindo as equações acima na equação da deformação por cisalhamento obtemos γ P BH G A energia de deformação da viga AB é dada por U 12 εn2 γ2 E dA Substituindo as equações da deformação normal e da deformação por cisalhamento na equação da energia de deformação obtemos U 12 PL x EBH3 122 P BH G2 E dA Integrando a equação acima obtemos a energia de deformação da viga AB U 124 P2 L3 1 12E BH2 G A energia de deformação da viga AB de seção retangular em balanço levando em conta o efeito das tensões normal e de cisalhamento é dada por U 124 P2 L3 1 12E BH2 G O momento de torção em um ponto de um eixo é definido como o produto da força aplicada e da distância perpendicular ao braço da força No caso da imagem os momentos de torção nos discos A e B são MA TA rA 300 Nm 003 m 9 Nm MB TB rB 400 Nm 0046 m 184 Nm A rigidez torcional de um eixo cilíndrico é definida como a razão entre o momento de torção aplicado e a deformação angular resultante A rigidez torcional de um eixo maciço de alumínio é dada pela fórmula K G π r4 4 L Onde G é o módulo de cisalhamento do material 73 GPa para alumínio r é o raio do eixo 0015 m para o eixo A e 0023 m para o eixo B L é o comprimento do eixo 09 m para ambos os eixos Substituindo os valores na fórmula obtemos as rigidezes torcionais dos eixos A e B KA 73 GPa π 0015 m4 4 09 m 1297 Nmrad KB 73 GPa π 0023 m4 4 09 m 2963 Nmrad A deformação angular de um eixo sob um momento de torção é dada pela fórmula θ M K Onde θ é a deformação angular em radianos M é o momento de torção em Nm K é a rigidez torcional em Nmrad Substituindo os valores na fórmula obtemos as deformações angulares dos eixos A e B θA MA KA 9 Nm 1297 Nmrad 070 rad θB MB KB 184 Nm 2963 Nmrad 062 rad A energia de deformação elástica armazenada em um eixo sob um momento de torção é dada pela fórmula U 12 K θ2 Onde U é a energia de deformação elástica em J K é a rigidez torcional em Nmrad θ é a deformação angular em radianos Substituindo os valores na fórmula obtemos as energias de deformação elástica dos eixos A e B UA 12 KA θA2 12 1297 Nmrad 070 rad2 315 J UB 12 KB θB2 12 2963 Nmrad 062 rad2 604 J Solução 1 Cálculo dos momentos de torção O momento de torção em um ponto de um eixo é definido como o produto da força aplicada e da distância perpendicular ao braço da força No caso da imagem os momentos de torção nos discos A e B são MA TA rA 300 Nm 003 m 9 Nm MB TB rB 400 Nm 0046 m 184 Nm 2 Cálculo da rigidez torcional A rigidez torcional de um eixo cilíndrico é definida como a razão entre o momento de torção aplicado e a deformação angular resultante A rigidez torcional de um eixo maciço de alumínio é dada pela fórmula K G π r4 4 L Onde G é o módulo de cisalhamento do material 73 GPa para alumínio r é o raio do eixo 0015 m para o eixo A e 0023 m para o eixo B L é o comprimento do eixo 09 m para ambos os eixos Substituindo os valores na fórmula obtemos as rigidezes torcionais dos eixos A e B KA 73 GPa π 0015 m4 4 09 m 1297 Nmrad KB 73 GPa π 0023 m4 4 09 m 2963 Nmrad 3 Cálculo da deformação angular A deformação angular de um eixo sob um momento de torção é dada pela fórmula θ M K Onde θ é a deformação angular em radianos M é o momento de torção em Nm K é a rigidez torcional em Nmrad Substituindo os valores na fórmula obtemos as deformações angulares dos eixos A e B θA MA KA 9 Nm 1297 Nmrad 070 rad θB MB KB 184 Nm 2963 Nmrad 062 rad 4 Cálculo da energia de deformação elástica A energia de deformação elástica armazenada em um eixo sob um momento de torção é dada pela fórmula U 12 K θ2 Onde U é a energia de deformação elástica em J K é a rigidez torcional em Nmrad θ é a deformação angular em radianos Substituindo os valores na fórmula obtemos as energias de deformação elástica dos eixos A e B UA 12 KA θA2 12 1297 Nmrad 070 rad2 315 J UB 12 KB θB2 12 2963 Nmrad 062 rad2 604 J 5 Cálculo da energia de deformação total A energia de deformação total da montagem é a soma das energias de deformação elástica dos eixos A e B Utotal UA UB 315 J 604 J 919 J A energia de deformação total acumulada pela montagem é de 919 J