Planejamento Fatorial em Engenharia de Refratários: Análise e Gráficos de Design Fatorial

Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 03 Planejamento fatorial Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Planejamento fatorial mais simples 22 ou seja dois fatores em dois níveis Vamos trazer Boyle e Charles para os dias atuais para estudar o comportamento do gás do nosso engenheiro com os recursos atuais Fatores Resposta Níveis de temperatura nível baixo 1 293 K e nível alto 1 433 K Níveis de volume nível baixo 1 2 m3e nível alto 1 50 m3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Tabela 5 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Terms Como não tem réplicas retirar a marcação do gráfico de pareto em Graphs Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA CRIAR GRÁFICO DO PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Factorial plots Ok Stat DOE Factorial Cube plot Ok Stat DOE Factorial Surface plot Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 4 1 293 1 2 1 121917 2 2 433 1 2 1 181141 1 3 293 1 50 1 4877 3 4 433 1 50 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Constant Temperatura 3024 Volume 14603 TemperaturaVolume 2799 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Segmentos não paralelos para o gráfico de interações combinação dos fatores é importante Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 6 1 1 1 121917 3 2 1 1 179786 1 3 1 1 4877 4 4 1 1 7186 8 5 1 1 122260 2 6 1 1 181141 5 7 1 1 4854 7 8 1 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 175 44967 0000 Temperatura 30333 15167 175 8672 0000 100 Volume 145265 72632 175 41530 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 175 8017 0000 100 P 005 estatisticamente significativo T Coef desvio padrão Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Interação soma dos fatores de uma diagonal soma dos fatores da outra diagonal dividido por 2 Temperatura média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Volume média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² 1 0 1 0 00 5 1000 1 1 0 1 1 0 1 1000 500 1 ressão P emperatura T olume V Surfa ce Plot of Pressão vs Volume Temperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 número de pontos centrais 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com ponto central e duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central e duas réplicas Corrida Temperatura Volume Pressão 1 1 1 121917 2 1 1 179786 3 1 1 4877 4 1 1 7186 5 1 1 122260 6 1 1 181141 7 1 1 4854 8 1 1 7128 9 0 0 11518 10 0 0 11668 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Temperatura 363 K nível 0 Volume 26 nível 0 11518 Pa e 11668 Pa Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 157 49988 0000 Temperatura 30333 15167 157 9640 0000 100 Volume 145265 72632 157 46167 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 157 8912 0000 100 Ct Pt 67051 352 19060 0000 100 O coef do ponto central está muito distante da resposta média o que indica que possivelmente a superfície de resposta não é plana Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Capítulo 3 Planejamento fatorial Um pouco de teoria Fator 1 Fator 2 Fator 3 Resposta 1 Resposta 2 Resposta 3 Sistema O nosso objetivo é construir um modelo empírico para o comportamento do sistema Fatores Respostas Capítulo 3 Planejamento fatorial Primeiro passo estabelecer o objetivo do estudo insegurança em estabelecer o objetivo se você não sabe aonde quer chegar todos os caminhos parecem possíveis e há uma boa chance de você não chegar a lugar nenhum Segundo passo identificar os fatores e as respostas de interesse se você tiver dúvida se um fator é de interesse ou não incluaoVeremos técnicas para tirar a sua dúvida É necessário identificar se há fatores confundidores podem ter influência nas suas respostas mas você não está interessado neles Blocagem Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Por fim é necessário identificar as fontes de erro ou os ruídos aqueles erros sobre os quais você não tem controle e que podem estar causando pequenos desvios nas suas respostas A técnica para lidar com esses erros é a aleatorização já vista Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida x1 x2 y 6 1 1 1 y1 3 2 1 1 y2 1 3 1 1 y3 4 4 1 1 y4 8 5 1 1 y5 2 6 1 1 y6 5 7 1 1 y7 7 8 1 1 y8 com duas réplicas Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Um pouco de teoria 1 1 1 1 x1 x2 2 y y y 5 1 1 1 2 y y y 2 1 1 6 2 y y y 7 3 1 1 2 y y y 8 4 1 1 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Um pouco de teoria 𝒙𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟏𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 No Portal Action wwwportalactioncombrplanejamentode experimento311experimentosfatoriais22 há o exemplo 311 Vamos resolvêlo com o auxílio do Minitab 17 Nesse exemplo foi estudado o efeito no tempo de uma reação química com a variação da temperatura e concentração de um reagente Ele foi realizado com três réplicas Fator A Concentração nível baixo 1 10 nível alto 1 20 Fator B Temperatura nível baixo 1 80oC nível alto 1 90oC Resposta Tempo de reação Não está mais funcionando Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Tabela 8 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 3 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Ordem padrão Concentração Temperatura Tempo 1ª 1 1 266 2ª 1 1 409 3ª 1 1 118 4ª 1 1 340 5ª 1 1 220 6ª 1 1 364 7ª 1 1 159 8ª 1 1 290 9ª 1 1 228 10ª 1 1 367 11ª 1 1 143 12ª 1 1 336 Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 27000 0712 3790 0000 Concentração 16200 8100 0712 1137 0000 100 Temperatura 7800 3900 0712 547 0001 100 ConcentraçãoTemperatura 2000 1000 0712 140 0198 100 Regression Equation in Uncoded Units Tempo 27000 8100 Concentração 3900 Temperatura 1000 ConcentraçãoTemperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO sem o fator não significativo Stat DOE Factorial Analyse factorial design Ajustar parâmetros em Terms retirar a interação entre os fatores Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Um químico está testando um novo método para determinar ferro Fazendo quatro análises num padrão cuja concentração verdadeira é 143 ele obtém 137 140 139 e 141 Como você avalia a exatidão da nova metodologia no nível de 95 de confiança Será que as quatro determinações vêm de uma distribuição com média 143 Exercício 4 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Fatorial 2k Alan Birck Cecília Martins Resolver com o Minitab 17 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Exemplo de Fatorial 22 Fator A efeito de concentração do reagente níveis de 15 baixo e 25 alto Fator B presença de catalisador ausência baixo e presença alto Resposta tempo de reação de um processo químico Nº de repetições 3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 A B Repetição 1 Repetição 2 Repetição 3 1 1 28 25 27 1 1 36 32 32 1 1 18 19 23 1 1 31 30 29 Calcule a influência dos fatores A e B e da sua interação utilizando o Minitab 17 Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 05 Planejamento fatorial III Capítulo 3 Planejament o fatorial Planejamento fatorial 24 Esse planejamento tem quatro fatores em dois níveis Para realizálo em todas as combinações dos níveis dos fatores são necessárias 16 corridas Esse número é bem elevado Se quisermos fazer uma réplica serão necessárias 32 corridas Veja que 30 é um número bem próximo do infinito em termos estatísticos então deve haver uma maneira de obter as informações necessárias com significado estatístico sem ter necessidade de realizar infinitas corridas Capítulo 3 Planejament o fatorial Planejamento fatorial 24 Fatores principais A B C D Interações entre dois fatores AB AC AD BC BD CD Interações entre três fatores ABC ABD BCD ACD Interação entre quatro fatores ABCD 15 efeitos Muito provavelmente alguns desses efeitos não serão significativos Capítulo 3 Planejament o fatorial Exemplo Fatores nível baixo 1 nível alto 1 Temperatura oC 40 60 Catalisador tipo A B Concentração M 10 15 pH 70 60 Ordem Temperatura Catalisador Concentração pH Rendimento padrão execução 3a 1a 1 1 1 1 49 14a 2a 1 1 1 1 94 7a 3a 1 1 1 1 56 1a 4a 1 1 1 1 54 5a 5a 1 1 1 1 64 11a 6a 1 1 1 1 49 13a 7a 1 1 1 1 64 2a 8a 1 1 1 1 85 9a 9a 1 1 1 1 52 10a 10a 1 1 1 1 87 12a 11a 1 1 1 1 64 4a 12a 1 1 1 1 62 15a 13a 1 1 1 1 58 8a 14a 1 1 1 1 70 16a 15a 1 1 1 1 73 6a 16a 1 1 1 1 94 Capítulo 3 Planejament o fatorial Exemplo 25 20 15 10 5 0 5 10 15 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 A Temperatura B Catalisador C Concentração D pH Factor Name Effect Percent Not Significant Significant Effect Type AB C B A Normal Plot of the Effects response is Rendimento α 005 Lenths PSE 09375 Capítulo 3 Planejament o fatorial Exemplo Fatores nível baixo 1 nível alto 1 Temperatura oC 40 60 Catalisador tipo A B Concentração M 10 15 Ordem padrão Temperatura Catalisador Concentração Rendimento 1a réplica 2a réplica 1a 1 1 1 54 52 2a 1 1 1 85 87 3a 1 1 1 49 49 4a 1 1 1 62 64 5a 1 1 1 64 64 6a 1 1 1 94 94 7a 1 1 1 56 58 8a 1 1 1 70 73 Rearranjo dos dados num planejamento 23 com uma réplica Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 67188 0313 21500 0000 Temperatura 22875 11438 0313 3660 0000 100 Catalisador 14125 7063 0313 2260 0000 100 Concentração 8875 4438 0313 1420 0000 100 TemperaturaCatalisador 8625 4313 0313 1380 0000 100 TemperaturaConcentração 0625 0312 0313 100 0347 100 CatalisadorConcentração 0625 0312 0313 100 0347 100 TemperaturaCatalisadorConcentração 0875 0438 0313 140 0199 100 Regression Equation in Uncoded Units Rendimento 67188 11438 Temperatura 7063 Catalisador 4438 Concentração 4313 TemperaturaCatalisador 0312 TemperaturaConcentração Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula A influência de quatro fatores foi investigada sobre a taxa de filtração TF galõesh de uma resina numa planta piloto para um processo químico Os fatores são AA temperatura BB pressão CC Concentração de formaldeído e DD taxa de agitação Os dados obtidos executados em ordem aleatória estão na Tabela Ordem AA BB CC DD TF 1ª 1 1 1 1 45 2ª 1 1 1 1 71 3ª 1 1 1 1 48 4ª 1 1 1 1 65 5ª 1 1 1 1 68 6ª 1 1 1 1 60 7ª 1 1 1 1 80 8ª 1 1 1 1 65 9ª 1 1 1 1 43 10ª 1 1 1 1 100 11ª 1 1 1 1 45 12ª 1 1 1 1 104 13ª 1 1 1 1 75 14ª 1 1 1 1 86 15ª 1 1 1 1 70 16ª 1 1 1 1 96 Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula 24 Factorial design for joint effect of ambient temperature and capacitor price size and phase kVArs on line loss Sushanta Paul Student Member IEEE and Ward Jewell Fellow IEEE httpieeexploreieeeorgstampstampjsp arnumber6939888 Abstract In this paper a single replicate of a 24 factorial design for the joint effect of four factorsambient temperature capacitor price capacitor size and capacitor phase kVArson line loss is presented Each Factor has two levels low and high Line loss responses are considered for 16 combinations of factor levels in a single replicate All Statistical analyses are performed by using Design Expert software and results are presented comparing three cases 2014 IEEE Capítulo 3 Planejament o fatorial Temperatura A 1 25oC 1 50oC Preço do capacitor B 1 125kVAr 1 2kVAr Tamanho do capacitor C 1 contínuo 1 discreto Fase do capacitor D 1 razão de fluxo na linha 1 uniformemen te distribuída Capítulo 3 Planejament o fatorial A B C D Resposta Perda na linha MWh Caso 1 Caso 2 Caso 3 1 1 1 1 50208 53410 51834 1 1 1 1 55636 58864 58312 1 1 1 1 52486 55688 54462 1 1 1 1 58190 61642 60166 1 1 1 1 49582 52534 51308 1 1 1 1 55360 57962 57086 1 1 1 1 52412 55614 53862 1 1 1 1 58116 61068 59916 1 1 1 1 52784 55136 53660 1 1 1 1 59088 60840 59964 1 1 1 1 55588 57414 56538 1 1 1 1 61642 63744 62492 1 1 1 1 52508 55136 53384 1 1 1 1 58212 59964 59338 1 1 1 1 54980 57340 55838 1 1 1 1 61292 63294 62492 Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula Acreditase que o estresse oxidativo esteja diretamente envolvido com o desenvolvimento de inúmeras patologias dentre as quais podemse destacar a arteriosclerose artrite diabetes Mal de Parkinson Mal de Alzheimer esquizofrenia doenças inflamatórias e a isquemia cardíaca Como consequência a busca por moléculas que minimizem os efeitos de agentes oxidativos é de grande importância Sabese que as plantas possuem vários antioxidantes naturais tais como carotenóides vitaminas e compostos fenólicos que apresentam considerável potencial antiradical livre Neste trabalho avaliouse a atividade antioxidante do composto 4nerolidilcatecol 4NC um catecol isolado do extrato de raízes de uma planta nativa da Mata Atlântica Brasileira Pothomorphe umbellata L Miq conhecida popularmente como pariparoba Capítulo 3 Planejament o fatorial Caso para análise em aula Tempo min Tamanho mesh Hidromódul o Temperatura oC 4NC pH 1 1 1 1 07472 6690 1 1 1 1 06433 6785 1 1 1 1 24448 6625 1 1 1 1 31126 6670 1 1 1 1 06805 6720 1 1 1 1 06388 6715 1 1 1 1 28581 6645 1 1 1 1 4229 6685 1 1 1 1 05311 6745 1 1 1 1 05385 6800 1 1 1 1 29121 6685 1 1 1 1 30219 6650 1 1 1 1 04428 6715 1 1 1 1 06043 6775 1 1 1 1 34151 6395 1 1 1 1 28395 6775 Capítulo 3 Planejament o fatorial Analise este artigo que forneço junto com o arquivo da Aula 5 Exercício 8 Capítulo 3 Planejament o fatorial Exercício 8 Com o conhecimento e ferramentas que você possui até o momento tente refazer os cálculos dos autores Talvez você possa até discutir e fazer algumas observações sobre a abordagem deles Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 03 Planejamento fatorial Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Planejamento fatorial mais simples 22 ou seja dois fatores em dois níveis Vamos trazer Boyle e Charles para os dias atuais para estudar o comportamento do gás do nosso engenheiro com os recursos atuais Fatores Resposta Níveis de temperatura nível baixo 1 293 K e nível alto 1 433 K Níveis de volume nível baixo 1 2 m3e nível alto 1 50 m3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Tabela 5 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Terms Como não tem réplicas retirar a marcação do gráfico de pareto em Graphs Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA CRIAR GRÁFICO DO PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Factorial plots Ok Stat DOE Factorial Cube plot Ok Stat DOE Factorial Surface plot Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 4 1 293 1 2 1 121917 2 2 433 1 2 1 181141 1 3 293 1 50 1 4877 3 4 433 1 50 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Constant Temperatura 3024 Volume 14603 TemperaturaVolume 2799 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Segmentos não paralelos para o gráfico de interações combinação dos fatores é importante Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 6 1 1 1 121917 3 2 1 1 179786 1 3 1 1 4877 4 4 1 1 7186 8 5 1 1 122260 2 6 1 1 181141 5 7 1 1 4854 7 8 1 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 175 44967 0000 Temperatura 30333 15167 175 8672 0000 100 Volume 145265 72632 175 41530 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 175 8017 0000 100 P 005 estatisticamente significativo T Coef desvio padrão Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Interação soma dos fatores de uma diagonal soma dos fatores da outra diagonal dividido por 2 Temperatura média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Volume média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² 1 0 1 0 00 5 1000 1 1 0 1 1 0 1 1000 500 1 ressão P emperatura T olume V Surfa ce Plot of Pressão vs Volume Temperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 número de pontos centrais 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com ponto central e duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central e duas réplicas Corrida Temperatura Volume Pressão 1 1 1 121917 2 1 1 179786 3 1 1 4877 4 1 1 7186 5 1 1 122260 6 1 1 181141 7 1 1 4854 8 1 1 7128 9 0 0 11518 10 0 0 11668 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Temperatura 363 K nível 0 Volume 26 nível 0 11518 Pa e 11668 Pa Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 157 49988 0000 Temperatura 30333 15167 157 9640 0000 100 Volume 145265 72632 157 46167 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 157 8912 0000 100 Ct Pt 67051 352 19060 0000 100 O coef do ponto central está muito distante da resposta média o que indica que possivelmente a superfície de resposta não é plana Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Capítulo 3 Planejamento fatorial Um pouco de teoria Fator 1 Fator 2 Fator 3 Resposta 1 Resposta 2 Resposta 3 Sistema O nosso objetivo é construir um modelo empírico para o comportamento do sistema Fatores Respostas Capítulo 3 Planejamento fatorial Primeiro passo estabelecer o objetivo do estudo insegurança em estabelecer o objetivo se você não sabe aonde quer chegar todos os caminhos parecem possíveis e há uma boa chance de você não chegar a lugar nenhum Segundo passo identificar os fatores e as respostas de interesse se você tiver dúvida se um fator é de interesse ou não incluaoVeremos técnicas para tirar a sua dúvida É necessário identificar se há fatores confundidores podem ter influência nas suas respostas mas você não está interessado neles Blocagem Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Por fim é necessário identificar as fontes de erro ou os ruídos aqueles erros sobre os quais você não tem controle e que podem estar causando pequenos desvios nas suas respostas A técnica para lidar com esses erros é a aleatorização já vista Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida x1 x2 y 6 1 1 1 y1 3 2 1 1 y2 1 3 1 1 y3 4 4 1 1 y4 8 5 1 1 y5 2 6 1 1 y6 5 7 1 1 y7 7 8 1 1 y8 com duas réplicas Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Um pouco de teoria 1 1 1 1 x1 x2 2 y y y 5 1 1 1 2 y y y 2 1 1 6 2 y y y 7 3 1 1 2 y y y 8 4 1 1 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Um pouco de teoria 𝒙𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟏𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 No Portal Action wwwportalactioncombrplanejamentode experimento311experimentosfatoriais22 há o exemplo 311 Vamos resolvêlo com o auxílio do Minitab 17 Nesse exemplo foi estudado o efeito no tempo de uma reação química com a variação da temperatura e concentração de um reagente Ele foi realizado com três réplicas Fator A Concentração nível baixo 1 10 nível alto 1 20 Fator B Temperatura nível baixo 1 80oC nível alto 1 90oC Resposta Tempo de reação Não está mais funcionando Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Tabela 8 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 3 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Ordem padrão Concentração Temperatura Tempo 1ª 1 1 266 2ª 1 1 409 3ª 1 1 118 4ª 1 1 340 5ª 1 1 220 6ª 1 1 364 7ª 1 1 159 8ª 1 1 290 9ª 1 1 228 10ª 1 1 367 11ª 1 1 143 12ª 1 1 336 Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 27000 0712 3790 0000 Concentração 16200 8100 0712 1137 0000 100 Temperatura 7800 3900 0712 547 0001 100 ConcentraçãoTemperatura 2000 1000 0712 140 0198 100 Regression Equation in Uncoded Units Tempo 27000 8100 Concentração 3900 Temperatura 1000 ConcentraçãoTemperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO sem o fator não significativo Stat DOE Factorial Analyse factorial design Ajustar parâmetros em Terms retirar a interação entre os fatores Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Um químico está testando um novo método para determinar ferro Fazendo quatro análises num padrão cuja concentração verdadeira é 143 ele obtém 137 140 139 e 141 Como você avalia a exatidão da nova metodologia no nível de 95 de confiança Será que as quatro determinações vêm de uma distribuição com média 143 Exercício 4 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Fatorial 2k Alan Birck Cecília Martins Resolver com o Minitab 17 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Exemplo de Fatorial 22 Fator A efeito de concentração do reagente níveis de 15 baixo e 25 alto Fator B presença de catalisador ausência baixo e presença alto Resposta tempo de reação de um processo químico Nº de repetições 3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 A B Repetição 1 Repetição 2 Repetição 3 1 1 28 25 27 1 1 36 32 32 1 1 18 19 23 1 1 31 30 29 Calcule a influência dos fatores A e B e da sua interação utilizando o Minitab 17 Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 07 Planejamento fatorial fracionado Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Planejamento fatorial fracionado 262 IV Esse exemplo foi obtido no seguinte endereço na internet httpwwwmathmontanaedujobost578sec5apdf É um planejamento fatorial 26 Nesse caso um planejamento completo requer 64 corridas Mesmo uma fração meia é muito grande 32 corridas Assim vamos fazer uma fração ¼ que dá 16 corridas Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Foram utilizadas duas geratrizes a partir de um planejamento fatorial 24 completo E ABC ou I1 ABCE F BCD ou I2 BCDF Nesses casos o produtos das geratrizes também é uma geratriz I3 I1I2 ABCEBCDF ABBCCEDF AEDF Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Planejamento fatorial fracionado 262 IV Ordem A B C D E ABC F BCD Resposta Padrão Execução 1a 8a 1 1 1 1 1 1 6 2a 4a 1 1 1 1 1 1 10 3a 7a 1 1 1 1 1 1 32 4a 1a 1 1 1 1 1 1 60 5a 14a 1 1 1 1 1 1 4 6a 12a 1 1 1 1 1 1 15 7a 16a 1 1 1 1 1 1 26 8a 15a 1 1 1 1 1 1 60 9a 5a 1 1 1 1 1 1 8 10a 11a 1 1 1 1 1 1 12 11a 10a 1 1 1 1 1 1 34 12a 2a 1 1 1 1 1 1 60 13a 9a 1 1 1 1 1 1 16 14a 3a 1 1 1 1 1 1 5 15a 6a 1 1 1 1 1 1 37 16a 13a 1 1 1 1 1 1 52 Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Planejamento fatorial fracionado 262 IV Planejamento 251 V obtido do planejamento 262 IV com a eliminação do fator E Ordem A B C D F Resposta 1a 1 1 1 1 1 6 2a 1 1 1 1 1 10 3a 1 1 1 1 1 32 4a 1 1 1 1 1 60 5a 1 1 1 1 1 4 6a 1 1 1 1 1 15 7a 1 1 1 1 1 26 8a 1 1 1 1 1 60 9a 1 1 1 1 1 8 10a 1 1 1 1 1 12 11a 1 1 1 1 1 34 12a 1 1 1 1 1 60 13a 1 1 1 1 1 16 14a 1 1 1 1 1 5 15a 1 1 1 1 1 37 16ª 1 1 1 1 1 52 Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Planejamento fatorial fracionado 262 IV Planejamento fatorial 24 completo obtido a partir da eliminação do fator C Ordem A B D F Resposta 1a 1 1 1 1 6 2a 1 1 1 1 10 3a 1 1 1 1 26 4a 1 1 1 1 60 5a 1 1 1 1 16 6a 1 1 1 1 5 7a 1 1 1 1 34 8a 1 1 1 1 60 9a 1 1 1 1 4 10a 1 1 1 1 15 11a 1 1 1 1 32 12a 1 1 1 1 60 13a 1 1 1 1 8 14a 1 1 1 1 12 15a 1 1 1 1 37 16a 1 1 1 1 52 Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Exemplo do Ciclista O QUE É MELHOR FAZER EM UM EXPERIMENTO COM MUITOS FATORES Começar com um planejamento fracionado Completar mais tarde caso seja necessário O primeiro planejamento indica como uma fração adicional deve ser escolhida de tal forma a se obter um planejamento mais amplo para resolver questões e sanar ambiguidades Esse é o caso do estudo do desempenho de um ciclista em função de sete fatores A resposta é o tempo que ele leva para subir uma colina Nível Assento Dínamo Guidom Marcha Capa de chuva Café da manhã Pneus 1 Posição alta Desligado Posição alta Baixa Com Com Duros 1 Posição baixa Ligado Posição baixa Média Sem Sem Macios Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Assento A Dínamo B Guidom C Marcha DAB Capa de chuva EAC Café da manhã FBC Pneus GABC Tempo 1 1 1 1 1 1 1 69 1 1 1 1 1 1 1 52 1 1 1 1 1 1 1 60 1 1 1 1 1 1 1 83 1 1 1 1 1 1 1 71 1 1 1 1 1 1 1 50 1 1 1 1 1 1 1 59 1 1 1 1 1 1 1 88 Exemplo do Ciclista D AB I1 ABD E AC I2 ACE F BC I3 BCF I1I2 ABDACE BCDE I1I3 ABDBCF ACDF I2I3 ACEBCF ABEF I1I2I3 ABDACEBCF DEF G ABC I4 ABCG I1I4 ABDABCG CDG I2I4 ACEABCG BEG I3I4 BCFABCG AFG I1I2I4 ABDACEABCG ADEG s 3 274 III Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Tinta automotiva No desenvolvimento de tinta para certos veículos um cliente exigiu que a tinta tenha alto brilho e resistência à abrasão aceitável O brilho y1 é medido numa escala entre 1 e 100 e a resistência à abrasão y2 numa escala 1 e 10 É desejável que a resistência à abrasão seja pelo menos 5 com o brilho o mais alto possível Os experimentadores acreditavam que somente dois fatores A e B tivessem efeitos importantes sobre ambas respostas Entretanto eles ficaram surpresos com os resultados de alguns experimentos confirmatórios onde diferentes níveis de A e B produziram tintas com alto brilho e baixa resistência ou com resistência aceitável mas com baixo brilho Foi sugerido o uso de aditivos especialmente para aumentar o brilho sem alterar a resistência Decidiuse realizar um planejamento 284 IV incluindo seis novos fatores C D E F G e H conforme sugerido por especialistas em tintas O planejamento está no próximo slide Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado A B C D EABC FABD GACD HBCD Dureza Brilho 1 1 1 1 1 1 1 1 53 63 1 1 1 1 1 1 1 1 60 61 1 1 1 1 1 1 1 1 68 55 1 1 1 1 1 1 1 1 78 21 1 1 1 1 1 1 1 1 48 69 1 1 1 1 1 1 1 1 67 51 1 1 1 1 1 1 1 1 55 64 1 1 1 1 1 1 1 1 78 25 1 1 1 1 1 1 1 1 49 82 1 1 1 1 1 1 1 1 68 31 1 1 1 1 1 1 1 1 61 43 1 1 1 1 1 1 1 1 81 32 1 1 1 1 1 1 1 1 52 72 1 1 1 1 1 1 1 1 70 34 1 1 1 1 1 1 1 1 65 30 1 1 1 1 1 1 1 1 82 28 Tinta automotiva Capítulo 3 Planejamento fatorial fracionado Exercício 11 Gere um planejamento 262 a partir das geratrizes I1 ABCE I2 BCDF e I3 ADEF Faça a análise dos resultados experimentais Os dados para a resposta na ordem padrão são Corrida Resposta Corrida Resposta 1 6 9 8 2 10 10 12 3 32 11 34 4 60 12 60 5 4 13 16 6 15 14 5 7 26 15 37 8 60 16 52 Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 04 Planejamento fatorial II Capítulo 3 Planejamento fatorial Outro exemplo Esse exemplo foi retirado de httpwwwebahcombrcontentABAAABeMw AKexperimentosfatoriais Tratase de um estudo de plantio onde um fator é a adubação O nível baixo 1 desse fator é sem adubo e o nível alto 1 é com adubo O outro fator é o uso de calcário O nível baixo 1 é sem calcário e o nível alto 1 é com calcário Fatores qualitativos codificação pode ser feita da mesma maneira É também possível misturar num mesmo planejamento fatores quantitativos e qualitativos A resposta é a produção por área de plantio por exemplo toneladas por hectare Capítulo 3 Planejamento fatorial Outro exemplo Nesse caso não houve réplica e nem aleatorização porque os experimentos foram executados ao mesmo tempo Ordem padrão Adubo Calcário Produção 1a 1 1 14 2a 1 1 32 3a 1 1 23 4a 1 1 53 Capítulo 3 Planejamento fatorial Fórmulas para o planejamento 2² Corrida x1 x2 x1x2 Resposta 1ª 1 1 1 y1 2ª 1 1 1 y2 3ª 1 1 1 y3 4ª 1 1 1 y4 2 4 3 2 1 1 y y y y x 2 4 3 2 1 2 y y y y x 2 4 3 2 1 2 1 y y y y x x Denominador 2k1 sendo k o número de fatores Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2³ Média A B C AB AC BC ABC Resposta 1 1 1 1 1 1 1 1 y1 1 1 1 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 1 1 1 1 y3 1 1 1 1 1 1 1 1 y4 1 1 1 1 1 1 1 1 y5 1 1 1 1 1 1 1 1 y6 1 1 1 1 1 1 1 1 y7 1 1 1 1 1 1 1 1 y8 4 8 7 6 5 4 3 2 1 y y y y y y y y Efeito A Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Esse é o exemplo 321 do Portal Action wwwportalactioncombrplanejamentode experimento32experimentosfatoriais23 Trata se do processo de colagem de um circuito integrado em uma base Os fatores são A tipo de cola nível baixo marca atual nível alto marca nova B Material de base nível baixo atual nível alto nova especificação C Tempo de cura nível baixo 90 minutos nível alto 120 minutos Mistura de fator qualitativo quantitativo Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Ordem padrão Cola Base Tempo Colagem 1a 1 1 1 829 2ª 1 1 1 964 3ª 1 1 1 800 4ª 1 1 1 1036 5ª 1 1 1 931 6ª 1 1 1 1012 7ª 1 1 1 897 8ª 1 1 1 1140 9ª 1 1 1 886 10ª 1 1 1 950 11ª 1 1 1 786 12ª 1 1 1 1050 13ª 1 1 1 947 14ª 1 1 1 1040 15ª 1 1 1 869 16ª 1 1 1 1118 Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais Ordem padrão Cola Base Tempo Colagem Média V 1ª réplica 2ª réplica 1ª 1 1 1 829 886 8575 1625 2ª 1 1 1 950 964 9570 098 3ª 1 1 1 800 786 7930 098 4ª 1 1 1 1050 1036 10430 098 5ª 1 1 1 931 947 9390 128 6ª 1 1 1 1012 1040 10260 392 7ª 1 1 1 869 897 8830 392 8ª 1 1 1 1140 1118 11290 242 1 1 1 1 1 1 1 1 2 42 1 3 92 1 3 92 1 1 28 1 0 98 1 0 98 1 0 98 1 1625 1 conjunta V 3 841 8 30725 Vconjunta Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Quanto mais termos nas interações em geral menos significativa é aquela interação Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 95344 0490 19460 0000 Cola 17063 8531 0490 1741 0000 100 Base 1712 0856 0490 175 0119 100 Tempo 8162 4081 0490 833 0000 100 ColaBase 7738 3869 0490 790 0000 100 ColaTempo 0413 0206 0490 042 0685 100 BaseTempo 0638 0319 0490 065 0534 100 ColaBaseTempo 0213 0106 0490 022 0834 100 Regression Equation in Uncoded Units Colagem 95344 8531 Cola 0856 Base 4081 Tempo 3869 ColaBase 0206 ColaTempo 0319 BaseTempo 0106 ColaBaseTempo Coeficiente é sempre a metade do valor do efeito Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais Como estamos considerando uma variância conjunta a variância de cada resposta é igual a 3841 Como cada média é o resultado de duas medidas a variância de cada média é a metade desse valor ou seja 1921 O Minitab 17 apresenta o SE dos coeficientes 0490 que é a metade desse valor como nós veremos adiante Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais O efeito da Cola é 17063 A incerteza desse valor é dada por considerando um nível de confiabilidade de 095 Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais Um efeito não será significativo quando o valor zero estiver dentro da faixa de incerteza ou seja Este é o Tvalue que o Minitab 17 apresenta O pvalue é o valor de que satisfaz a relação acima Para o efeito da Base 1712 Capítulo 3 Planejamento fatorial Calculando os erros experimentais httpwwwbertoloprobrFinEstEstatisticaDistribuicaoProbabilidades2tindexhtml Capítulo 3 Planejamento fatorial O modelo estatístico b4 b12 b5 b13 b6 b23 b7 b123 Capítulo 3 Planejamento fatorial O modelo estatístico Note que os coeficientes são combinações lineares de todas as respostas obtidas dividas por 8 ou multiplicadas por 0125 Os efeitos são combinações lineares de todas as respostas divididas por 4 É por essa razão que o desviopadrão dos coeficientes é a metade daquele dos efeitos Capítulo 3 Planejamento fatorial O modelo estatístico Ajuste dos mínimos quadrados Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 6 Analise o seguinte experimento Rendimento de uma reação em função de Temperatura oC 40 1 60 1 Catalisador Tipo A 1 B 1 Concentração Mol 10 1 15 1 Ordem padrão Temperatura Catalisador Concentração Rendimento 1ª réplica 2ª réplica 1ª 1 1 1 56 52 2ª 1 1 1 85 88 3ª 1 1 1 49 47 4ª 1 1 1 64 62 5ª 1 1 1 65 61 6ª 1 1 1 92 95 7ª 1 1 1 57 60 8ª 1 1 1 70 74 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 7 Tratase de um processo industrial de preenchimento de garrafas de refrigerante Os fatores são A Carbonatação B pressão e C velocidade A resposta é y desvio da marca de preechimento A psi 10 1 12 1 B psi 25 1 30 1 C garrafasmin 200 1 250 1 Ordem padrão Temperatura Catalisador Concentração y 1ª réplica 2ª réplica 1ª 1 1 1 3 1 2ª 1 1 1 0 1 3ª 1 1 1 1 0 4ª 1 1 1 2 3 5ª 1 1 1 1 0 6ª 1 1 1 2 1 7ª 1 1 1 1 1 8ª 1 1 1 6 5 Planejamento de Experimentos e Estatística Aplicada Engenharia de Refratários Profª Glaucia Marcossi Cardoso Duarte glauciamduartegmailcom PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Aula 03 Planejamento fatorial Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Planejamento fatorial mais simples 22 ou seja dois fatores em dois níveis Vamos trazer Boyle e Charles para os dias atuais para estudar o comportamento do gás do nosso engenheiro com os recursos atuais Fatores Resposta Níveis de temperatura nível baixo 1 293 K e nível alto 1 433 K Níveis de volume nível baixo 1 2 m3e nível alto 1 50 m3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial Tabela 5 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Terms Como não tem réplicas retirar a marcação do gráfico de pareto em Graphs Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial PARA CRIAR GRÁFICO DO PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Factorial plots Ok Stat DOE Factorial Cube plot Ok Stat DOE Factorial Surface plot Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 4 1 293 1 2 1 121917 2 2 433 1 2 1 181141 1 3 293 1 50 1 4877 3 4 433 1 50 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Constant Temperatura 3024 Volume 14603 TemperaturaVolume 2799 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Gráfico dos efeitos Segmentos não paralelos para o gráfico de interações combinação dos fatores é importante Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Ordem de execução Corrida Temperatura Volume Pressão 6 1 1 1 121917 3 2 1 1 179786 1 3 1 1 4877 4 4 1 1 7186 8 5 1 1 122260 2 6 1 1 181141 5 7 1 1 4854 7 8 1 1 7128 Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 175 44967 0000 Temperatura 30333 15167 175 8672 0000 100 Volume 145265 72632 175 41530 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 175 8017 0000 100 P 005 estatisticamente significativo T Coef desvio padrão Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Interação soma dos fatores de uma diagonal soma dos fatores da outra diagonal dividido por 2 Temperatura média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Volume média dos valores no nível alto menos média dos valores no nível baixo Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² 1 0 1 0 00 5 1000 1 1 0 1 1 0 1 1000 500 1 ressão P emperatura T olume V Surfa ce Plot of Pressão vs Volume Temperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Tabela 6 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 2 número de pontos centrais 2 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela com ponto central e duas réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central e duas réplicas Corrida Temperatura Volume Pressão 1 1 1 121917 2 1 1 179786 3 1 1 4877 4 1 1 7186 5 1 1 122260 6 1 1 181141 7 1 1 4854 8 1 1 7128 9 0 0 11518 10 0 0 11668 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Temperatura 363 K nível 0 Volume 26 nível 0 11518 Pa e 11668 Pa Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 78644 157 49988 0000 Temperatura 30333 15167 157 9640 0000 100 Volume 145265 72632 157 46167 0000 100 TemperaturaVolume 28042 14021 157 8912 0000 100 Ct Pt 67051 352 19060 0000 100 O coef do ponto central está muito distante da resposta média o que indica que possivelmente a superfície de resposta não é plana Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com ponto central Capítulo 3 Planejamento fatorial Um pouco de teoria Fator 1 Fator 2 Fator 3 Resposta 1 Resposta 2 Resposta 3 Sistema O nosso objetivo é construir um modelo empírico para o comportamento do sistema Fatores Respostas Capítulo 3 Planejamento fatorial Primeiro passo estabelecer o objetivo do estudo insegurança em estabelecer o objetivo se você não sabe aonde quer chegar todos os caminhos parecem possíveis e há uma boa chance de você não chegar a lugar nenhum Segundo passo identificar os fatores e as respostas de interesse se você tiver dúvida se um fator é de interesse ou não incluaoVeremos técnicas para tirar a sua dúvida É necessário identificar se há fatores confundidores podem ter influência nas suas respostas mas você não está interessado neles Blocagem Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Por fim é necessário identificar as fontes de erro ou os ruídos aqueles erros sobre os quais você não tem controle e que podem estar causando pequenos desvios nas suas respostas A técnica para lidar com esses erros é a aleatorização já vista Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Ordem de execução Corrida x1 x2 y 6 1 1 1 y1 3 2 1 1 y2 1 3 1 1 y3 4 4 1 1 y4 8 5 1 1 y5 2 6 1 1 y6 5 7 1 1 y7 7 8 1 1 y8 com duas réplicas Um pouco de teoria Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² com duas réplicas Um pouco de teoria 1 1 1 1 x1 x2 2 y y y 5 1 1 1 2 y y y 2 1 1 6 2 y y y 7 3 1 1 2 y y y 8 4 1 1 Capítulo 3 Planejamento fatorial Planejamento fatorial 2² Um pouco de teoria 𝒙𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 𝒙𝟏𝒙𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 ഥ𝒚 𝟏 𝟏 𝟐 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 No Portal Action wwwportalactioncombrplanejamentode experimento311experimentosfatoriais22 há o exemplo 311 Vamos resolvêlo com o auxílio do Minitab 17 Nesse exemplo foi estudado o efeito no tempo de uma reação química com a variação da temperatura e concentração de um reagente Ele foi realizado com três réplicas Fator A Concentração nível baixo 1 10 nível alto 1 20 Fator B Temperatura nível baixo 1 80oC nível alto 1 90oC Resposta Tempo de reação Não está mais funcionando Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Tabela 8 da apostila PARA CRIAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Create design factorial Ajustar parâmetros em Designs número de réplicas 3 Ajustar parâmetros em Factors Ajustar parâmetros em Options nível de confiabilidade Ok Acrescentar as respostas na última coluna da Tabela Capítulo 3 Planejamento fatorial Ordem padrão Concentração Temperatura Tempo 1ª 1 1 266 2ª 1 1 409 3ª 1 1 118 4ª 1 1 340 5ª 1 1 220 6ª 1 1 364 7ª 1 1 159 8ª 1 1 290 9ª 1 1 228 10ª 1 1 367 11ª 1 1 143 12ª 1 1 336 Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO Stat DOE Factorial Analyse factorial design Acrescentar a coluna de resposta Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas Coded Coefficients Term Effect Coef SE Coef TValue PValue VIF Constant 27000 0712 3790 0000 Concentração 16200 8100 0712 1137 0000 100 Temperatura 7800 3900 0712 547 0001 100 ConcentraçãoTemperatura 2000 1000 0712 140 0198 100 Regression Equation in Uncoded Units Tempo 27000 8100 Concentração 3900 Temperatura 1000 ConcentraçãoTemperatura Capítulo 3 Planejamento fatorial Exemplo 1 Planejamento 22 com três réplicas PARA ANALISAR O PLANEJAMENTO sem o fator não significativo Stat DOE Factorial Analyse factorial design Ajustar parâmetros em Terms retirar a interação entre os fatores Ajustar parâmetros em Graphs acrescentar gráfico de pareto e de resíduos Ok Capítulo 3 Planejamento fatorial Um químico está testando um novo método para determinar ferro Fazendo quatro análises num padrão cuja concentração verdadeira é 143 ele obtém 137 140 139 e 141 Como você avalia a exatidão da nova metodologia no nível de 95 de confiança Será que as quatro determinações vêm de uma distribuição com média 143 Exercício 4 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Fatorial 2k Alan Birck Cecília Martins Resolver com o Minitab 17 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 Exemplo de Fatorial 22 Fator A efeito de concentração do reagente níveis de 15 baixo e 25 alto Fator B presença de catalisador ausência baixo e presença alto Resposta tempo de reação de um processo químico Nº de repetições 3 Capítulo 3 Planejamento fatorial Exercício 5 A B Repetição 1 Repetição 2 Repetição 3 1 1 28 25 27 1 1 36 32 32 1 1 18 19 23 1 1 31 30 29 Calcule a influência dos fatores A e B e da sua interação utilizando o Minitab 17 Questão 4 Após refazer os cálculos os resultados são os seguintes Média da amostra 13925 13714 013914 1 4 13925 Desvio padrão da amostra 0171 σ i1 4 X iX 4 0171 Valor de t tstatistic 4392 O valor de t é calculado como a diferença entre a média da amostra e a média verdadeira conhecida dividida pelo erro padrão da média da amostra A fórmula é s xμ sn 13925143 01714 4392 Valorp pvalue 00219 O valorp é a probabilidade de obter um resultado pelo menos tão extremo quanto o que foi observado sob a hipótese nula de que a média da amostra é igual à média verdadeira da população Um valorp baixo geralmente menor que 005 indica que é improvável obter tal resultado se a hipótese nula fosse verdadeira levando à rejeição da hipótese nula No nosso caso o valorp foi 00219 o que sugere que há uma diferença significativa entre a média da amostra e a média verdadeira conhecida Intervalo de confiança de 95 13653 14197 O intervalo de confiança é uma faixa de valores dentro da qual queremos estar 95 confiante de que a média verdadeira da população se encontra É calculado como Intervalo deConfiançax t crítico s n 1392531820001714 O valor crítico de t para um intervalo de confiança de 95 com 3 graus de liberdade é aproximadamente 3182 Este é o valor que usamos para calcular a margem de erro no intervalo de confiança de 95 Os graus de liberdade df n 1 O intervalo de confiança calculado foi 13653 14197 O valor de t obtido é uma medida de quantas unidades de desvio padrão a média da amostra está distante da média verdadeira conhecida Um valorp abaixo de 005 indica que há uma diferença estatisticamente significativa entre a média da amostra e a média verdadeira a um nível de confiança de 95 Neste caso o valorp é aproximadamente 0022 o que sugere que a média da amostra é estatisticamente diferente da média verdadeira conhecida de 143 Além disso o intervalo de confiança de 95 não inclui a média verdadeira de 143 o que reforça a conclusão de que a nova metodologia não é exata no nível de confiança de 95 Portanto com base nesses dados parece que a nova metodologia de determinação de ferro não está produzindo resultados que estão de acordo com a concentração verdadeira conhecida de 143 Questão 5 podemos calcular a influência dos fatores A e B e de sua interação sobre o tempo de reação de um processo químico Vou calcular as médias das respostas para cada combinação de níveis dos fatores e então determinar os efeitos dos fatores e da interação Vamos prosseguir com os cálculos Os cálculos dos efeitos dos fatores A e B e da interação AB são os seguintes Para calcular o efeito dos fatores e das interações em um planejamento fatorial 2 2 utilizamos a codificação de níveis onde 1 representa o nível baixo e 1 representa o nível alto Os efeitos são calculados da seguinte maneira 1 Efeito do Fator A O efeito do fator A é a média das respostas nos níveis altos de A menos a média das respostas nos níveis baixos de A Matematicamente é dado por E feitode A O divisor 2 é usado porque estamos comparando a média de dois níveis alto e baixo 2 Efeito do Fator B Da mesma forma o efeito do fator B é a média das respostas nos níveis altos de B menos a média das respostas nos níveis baixos de B Efeitode B 3 Efeito da Interação AB O efeito da interação entre A e B é calculado considerando a diferença entre a média das respostas quando A e B estão no mesmo nível e quando estão em níveis diferentes Efeitode AB No caso específico do exercício os cálculos seriam feitos da seguinte maneira Para A consideramos as corridas onde A é 1 e as corridas onde A é 1 Para B fazemos o mesmo mas considerando os níveis de B Para a interação AB combinamos as corridas em que ambos A e B estão no mesmo nível ambos em 1 ou ambos em 1 e subtraímos as corridas em que eles estão em níveis opostos Os resultados de 833 para A 500 para B e 167 para a interação AB foram calculados usando as médias das respostas obtidas para cada combinação de níveis desses fatores Os cálculos exatos para esses valores foram interrompidos na minha execução anterior mas desejamos posso refazer os cálculos para mostrar como esses números foram obtidos Esses valores representam a mudança média na resposta tempo de reação de um processo químico quando se muda o nível do fator de baixo para alto Um valor positivo indica que o tempo de reação aumenta com o nível alto do fator enquanto um valor negativo indica que o tempo de reação diminui com o nível alto do fator Portanto aumentar a concentração do reagente fator A tende a aumentar o tempo de reação enquanto a presença do catalisador fator B tende a diminuir o tempo de reação A interação entre A e B também tem um efeito positivo mas menor em comparação com os efeitos principais de cada fator Questão 6 Para resolver este problema de estatística experimental com um planejamento fatorial completo seguiremos essencialmente os mesmos passos que eu descrevi anteriormente mas aplicados a este conjunto específico de dados Aqui está um resumo de como pocederemos 1 Calcular as Médias das Respostas para Cada Nível de Fator Por exemplo para calcular o efeito da temperatura encontraremos a diferença entre a média das respostas em que a temperatura é alta 1 e a média das respostas em que a temperatura é baixa 1 2 Calcular os Efeitos Principais dos Fatores Isso é feito encontrando a diferença entre as médias das respostas para cada nível do fator e dividindo pelo número total de observações para esse nível 3 Calcular as Interações entre os Fatores Verifique se há interações significativas entre os fatores analisando as diferenças nas médias de respostas para combinações de níveis de fatores 4 Realizar ANOVA Utilize ANOVA para determinar se os efeitos e interações são estatisticamente significativos 5 Verificar a Significância dos Efeitos Compare os efeitos calculados com valores críticos de uma distribuição F para determinar a significância 6 Análise de Regressão Crie um modelo de regressão que relacione a resposta com os fatores e suas interações significativas 7 Verificar Premissas da ANOVA Garanta que as premissas da ANOVA como a normalidade dos resíduos e a homogeneidade das variâncias sejam cumpridas Para este conjunto específico de dados faremos as seguintes etapas de cálculo Para cada fator Temperatura Catalisador Concentração Calcule o efeito subtraindo a média das respostas nos níveis baixos da média das respostas nos níveis altos Para cada interação TemperaturaCatalisador TemperaturaConcentração CatalisadorConcentração Calcule o efeito de interação da mesma forma considerando a combinação dos níveis dos fatores Por exemplo o efeito principal da Temperatura T seria calculado assim Efeitode T A média das respostas em T seria a média de todas as respostas para as execuções do experimento onde a temperatura é 1 e a média das respostas em T seria para as execuções onde a temperatura é 1 O denominador 4 vem do fato de que há quatro execuções do experimento em cada nível do fator Podemos continuaria a calcular os efeitos de todos os outros fatores e suas interações da mesma forma Uma vez que tivéssemos todos os efeitos realizaríamos a ANOVA para determinar quais são estatisticamente significativos Isso geralmente requer um software de estatística como o R o Minitab ou o Python com pacotes estatísticos pois precisamos calcular somas de quadrados valores F e pvalores para determinar a significância Questão 7 Esta questão é um exemplo clássico de um planejamento fatorial completo 2³8 que é uma ferramenta fundamental na estatística experimental para entender como vários fatores afetam uma resposta de interesse neste caso o desvio da marca de preenchimento y em um processo de preenchimento de garrafas de refrigerante Cada coluna representa um dos fatores Temperatura Catalisador Concentração e cada linha representa uma das combinações possíveis desses fatores Os níveis dos fatores são codificados como 1 para o nível baixo e 1 para o nível alto A última coluna mostra as respostas observadas y para cada combinação dos fatores com duas réplicas por ponto do planejamento Para resolver este problema e analisar os dados normalmente faríamos o seguinte 1 Calcular os Efeitos dos Fatores A diferença entre as médias das respostas nos níveis alto e baixo para cada fator 2 Calcular as Interações O efeito combinado de dois ou mais fatores sobre a resposta 3 Análise de Variância ANOVA Para determinar se os efeitos e as interações são estatisticamente significativos 4 Modelagem de Regressão Para criar um modelo que relacione a resposta aos fatores 5 Otimização Para encontrar a combinação de níveis de fatores que otimize a resposta 6 Por exemplo para calcular o efeito principal do fator A Carbonatação fazemos Efeitode ARespostana altade ARespostanúmero E faríamos isso para cada fator B e C e para as interações AB AC BC e ABC Para calcular os efeitos podemos usar as médias das réplicas para cada combinação de fatores Então compararíamos os efeitos calculados com um valor crítico da distribuição F usando ANOVA para determinar se eles são significativos Como uma nota final sempre que fazemos uma análise estatística é importante verificar as premissas da ANOVA como a normalidade dos resíduos e a homogeneidade das variâncias Questão 8 Técnicas Estatísticas e Experimentais 1 Design Fatorial 2 4 Este é um design experimental comum que analisa quatro fatores cada um em dois níveis e também inclui três pontos centrais para a estabilidade O design fatorial completo permite a análise dos efeitos principais e das interações entre os fatores 2 Construção de Curvas Analíticas As curvas analíticas foram construídas usando pontos de dados obtidos pela análise de soluções padrão com concentrações conhecidas dos ésteres Os pontos foram obtidos em triplicado e injetados aleatoriamente para construir a curva de calibração 3 Cromatografia GasosaEspectrometria de Massas GCMS com Monitoramento de Íons Selecionados SIM A GCMSSIM foi utilizada para quantificar os ésteres específicos no biodiesel Foram selecionados íons característicos para cada composto de interesse permitindo uma quantificação seletiva e precisa 4 Análise de Variância ANOVA A ANOVA foi utilizada para avaliar a significância estatística dos efeitos dos fatores e suas interações Um valor p menor que 005 foi considerado estatisticamente significativo 5 Gráficos de Pareto Utilizados para identificar os fatores e interações mais significativos que afetam a resposta do experimento 6 Superfícies de Resposta Geradas para visualizar as relações entre os fatores experimentais e a resposta mostrando como a resposta muda com níveis diferentes dos fatores Fórmulas e Modelagem Estatística 1 Conversão do Óleo Vegetal em Biodiesel por RMN de 1H C 100 2A1 3A2 Onde C é a porcentagem de conversão A1 é a área do pico a 37 ppm metoxi OCH3 e A2 é a área do pico a 23 ppm αcarbonil metileno CH2CO 2 Modelagem da ANOVA A modelagem da ANOVA é usada para decompor a variabilidade nos dados e atribuíla aos efeitos dos fatores suas interações ou à variabilidade residual A falta de ajuste do modelo é avaliada pela comparação da variância dentro dos grupos de replicatas com a variância residual do modelo 3 Gráficos de Resposta Média Estes gráficos são usados para visualizar as diferenças nas médias de respostas entre os níveis dos fatores 4 Superfícies de Resposta As superfícies de resposta são modeladas para visualizar como a resposta depende de dois fatores ao mesmo tempo e para identificar condições ótimas ou críticas Software e Análise de Dados Statistica 12 Software estatístico utilizado para realizar a ANOVA e outras análises estatísticas Em resumo o artigo apresenta um exemplo clássico de como o design fatorial completo e a análise estatística podem ser utilizados para investigar complexas interações entre múltiplas variáveis em experimentos científicos A precisão e a confiabilidade dos resultados são garantidas pelo uso de análises triplicadas e técnicas analíticas validadas para a quantificação dos componentes Questão 11 O exercício relacionado a um planejamento fatorial fracionado Esse tipo de planejamento é uma técnica estatística usada em experimentação para avaliar várias variáveis ao mesmo tempo Vamos gerar um planejamento 2 62 com base nas geratrizes I 1ABCE I 2BCDF e I 3ADEF e depois realizar a análise dos resultados experimentais Os dados fornecidos incluem resultados de 16 corridas experimentos cada um com um número associado à Resposta Para resolver esse exercício precisaríamos seguir os passos 1 Gerar o planejamento fatorial fracionado Isso envolve determinar quais combinações dos fatores serão testadas Num planejamento 2 62 estamos lidando com 6 fatores e um planejamento fracionário de um quarto porque 2 2 1 4 do planejamento fatorial completo 2 6 2 Calcular os efeitos dos fatores e interações Isso requer calcular a média das respostas para cada nível dos fatores e suas interações 3 Analisar os resultados Inclui olhar para os efeitos estimados dos fatores e decidir quais são estatisticamente significativos Pode envolver testes de hipóteses e a análise de variância ANOVA