Geometria Analítica R3 - Exercícios Resolvidos sobre Retas e Planos

As retas que passa pelos pontos 233 e 619 e que passa pelos pontos 230 e 322 são concorrentes no ponto 323 506 144 Nenhuma das outras alternativas 233 Considere a reta do R3 que passa pelos pontos 101 e 241 Podemos afirmar que 4121 é um ponto desta reta Todas as outras opções são falsas 2121 é um ponto desta reta 381 é um ponto desta reta Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos a passa pelo ponto D112 e é ortogonal ao vetor v231 b passa pelos pontos A210 B142 e C022 Sejam r1 a reta pelos pontos 122 e 331 e r2 a reta perpendicular ao plano x 2y z 5 e que passa pelo ponto 540 Podemos afirmar que r1 e r2 são retas concorrentes reversas paralelas coincidentes Em qual ponto a reta que passa pelos pontos A638 e B922 intercepta o plano coordenado xz 104 101 Nenhuma das outras alternativas 601 302 Considere o plano de equação ax by cz d que passa pelos pontos A221 B141 e C101 Podemos afirmar que a b c vale 0 Nenhuma das outras alternativas 2 6 4 Um vetor diretor da reta é AB 9 2 2 637 AB 15 5 10 e estas tomando v 15 AB 3 1 2 as equações paramétricas da reta são x 6 3t y 3 1t t R z 8 2t E tal reta corta o plano xz quando y 0 ou seja 0 3 1t t 3 x 6 33 x 6 9 3 z 8 23 z 8 6 2 Portanto corta xz no ponto 302 Alternativa E Um vetor diretor da reta é v 241 101 1 4 0 Assim suas equações paramétricas são x 1 1t y 0 4t z 1 0t x 1 4t y 4t z 1 t R Logo um ponto Pxyz pertence à reta se e somente se z 1 Como 4121 2129 381 1 1 1 então nenhum ponto está na reta Alternativa B 3a seja Pxyz um ponto do plano Temos que o vetor DP xyz 112 x1y1z2 é ortogonal a v 231 Assim DP v 0 x1y1z2231 0 2x1 3y1 1z2 0 2x 2 3y 3 z 2 0 2x 3y z 7 0 é a equação do plano b tendo AB 1 4 2 210 132 AC 0 2 2 2 1 0 2 3 2 então um vetor normal do plano será n AB x AC i j k 1 3 2 2 3 2 66i 42j 36k 12 2 9 Temse 12x 2y 9z d 0 Como C0 2 2 pertence ao plano 120 22 92 d 0 4 18 d 0 d 22 Portanto a equação é 12x 2y 9z 22 0 4 Um vetor diretor da reta que passa por 233 e 619 é 619 233 4412 Assim tomandose u 14 4412 113 as equações paramétricas são x 2 1t y 3 1t z 3 3t t R Em relação a outra reta temse v 322 230 112 e assim x 2 1t y 3 1t z 0 2t t R Elas são concorrentes no ponto que pertence à ambas z 3 3t 0 2t t 3 Assim x 2 3 5 y 3 3 0 z 23 6 506 Alternativa B 5 Temse que o vetor normal do plano é n abc Como AB 141 221 120 AC 101 221 122 então n i j k 1 2 0 1 2 2 424 Tomandose n 424 então a b c 4 2 4 2 Alternativa C 6 Um vetor diretor de r1 é u 331 122 211 e de r2 é v 121 paralelo ao vetor normal do plano Assim suas equações paramétricas são r1 x 1 2t y 2 t z 2 t r2 x 5 t y 4 2t z 0 t com t R Claramente u e v não são paralelos r1 e r2 não são paralelas e nem coincidentes Porém para t 2 em r1 temos x 1 22 5 y 2 2 4 z 2 2 0 como 540 r1 r2 eles são concorrentes Alternativa A