Lista de Exercicios Resolvidos - Propriedades Geometricas e Flexao Simples de Vigas

1a LISTA DE EXERCÍCIOS ORIENTAÇÕES Este trabalho deverá ser entregue individualmente na data da 1a Prova impreterivelmente Trabalhos entregues posteriormente não serão aceitos Respostas dos exercícios estão inclusos no final de cada tópico ou próximo ao enunciado A lista deve ser organizada em sequência com os enunciados digitados escaneados ou copiados seguidos da solução do exercício O trabalho deverá ser feito manualmente em papel A4 com capa contendo o nome do aluno registro acadêmico período e turma 1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS Determine as propriedades geométricas Coordenadas Centróide Momentos de Inércia Raio de Giração e o menor Módulo de Resistência Elástico em relação aos eixos que passam pelo centróide das seções a seguir a b Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes RESPOSTAS a xbar175mm ybar225mm Ix38281x108mm4 Iy18281x108mm4 Ixy0 Imax38281x108mm4 Imin18281x108mm4 rx1010363mm ry698212mm Wx1701388889mm3 Wy1044642857mm3 b xbar3in ybar2in Ix64in4 Iy136in4 Ixy48in4 Imax160in4 Imin40in4 rx163299in ry238048in Wx16in3 Wy272in3 c d e f Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes RESPOSTAS c xbar100mm ybar200mm Ix72917x108mm4 Iy69792x107mm4 rx1443376mm ry446548mm Wx36458333333mm3 Wy6979166667mm3 d xbar45mm ybar40mm Ix14133x106mm4 Iy61333x105mm4 rx29721mm ry19579mm Wx3533333mm3 Wy13629630mm3 e xbar150mm ybar375mm Ix16276x107mm4 Iy9479x107mm4 rx36084mm ry87082mm Wx186011905mm3 Wy631944444mm3 f xbar68mm ybar80mm Ix49493x107mm4 Iy36949x107mm4 rx55618mm ry48056mm Wx618666667mm3 Wy401623188mm3 2 FLEXÃO SIMPLES E PROJETO DE VIGAS EM FLEXÃO 22 Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor em Vigas OBS Represente para o momento o lado positivo para baixo conforme recomendação de sala de aula Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes 23 e 24 Tensão Normal e de Cisalhamento na Flexão RESPOSTAS Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes 652 σmax T 671 MPa σmax C 361 MPa 35 Projeto de vigas em flexão RESPOSTAS Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Resistência dos Materiais II Prof William L Fernandes 804 APPENDIX B GEOMETRIC PROPERTIES OF STRUCTURAL SHAPES B y y x x bf tw tf d WideFlange Sections or W Shapes SI Units Web Flange Area Depth thickness width thickness xx axis yy axis Designation A d I S r I S r mm mm mm mm mm mm 19 800 611 1270 3240 190 1 290 4 220 255 108 667 739 17 900 617 1310 2300 222 1 120 3 630 250 451 392 502 15 900 612 1190 2290 196 985 3 220 249 393 343 497 14 400 608 1120 2280 173 875 2 880 247 343 301 488 12 900 603 1050 2280 149 764 2 530 243 295 259 478 11 800 603 1090 1790 150 646 2 140 234 144 161 349 10 500 599 1000 1780 128 560 1 870 231 121 136 339 12 300 466 1140 1930 190 445 1 910 190 228 236 431 11 400 463 1050 1920 177 410 1 770 190 209 218 428 10 400 460 991 1910 160 370 1 610 189 186 195 423 9 460 457 902 1900 145 333 1 460 188 166 175 419 8 730 459 914 1540 154 297 1 290 184 941 122 328 7 590 455 800 1530 133 255 1 120 183 796 104 324 6 640 450 762 1520 108 212 942 179 634 834 309 10 800 417 1090 1810 182 315 1 510 171 180 199 408 9 510 413 965 1800 160 275 1 330 170 156 173 405 8 560 410 876 1790 144 245 1 200 169 138 154 402 6 820 403 749 1770 109 186 923 165 101 114 385 5 890 403 699 1400 112 156 774 163 514 734 295 4 960 399 635 1400 88 126 632 159 402 574 285 10 100 354 940 2050 168 227 1 280 150 242 236 489 8 150 347 775 2030 135 179 1 030 148 188 185 480 7 200 358 787 1720 131 160 894 149 111 129 393 6 450 355 724 1710 116 141 794 148 968 113 387 5 710 352 686 1710 98 121 688 146 816 954 378 4 960 353 648 1280 107 102 578 143 375 586 275 4 190 349 584 1270 85 829 475 141 291 458 264 W360 33 W360 39 W360 45 W360 51 W360 57 W360 64 W360 79 W410 39 W410 46 W410 53 W410 67 W410 74 W410 85 W460 52 W460 60 W460 68 W460 74 W460 82 W460 89 W460 97 W610 82 W610 92 W610 101 W610 113 W610 125 W610 140 W610 155 103 mm3 106 mm4 103 mm3 106 mm4 mm2 mm kgm tf bf tw WIDEFLANGE SECTIONS OR W SHAPES SI UNITS 805 B WideFlange Sections or W Shapes SI Units Web Flange Area Depth thickness width thickness xx axis yy axis Designation A d I S r I S r mm mm mm mm mm mm 16 500 318 1310 3080 206 308 1940 137 100 649 778 9 480 310 940 2050 163 165 1060 132 234 228 497 8 530 306 851 2040 146 145 948 130 207 203 493 4 930 310 584 1650 97 848 547 131 723 876 383 4 180 313 660 1020 108 650 415 125 192 376 214 3 040 305 559 1010 67 428 281 119 116 230 195 2 680 303 508 1010 57 370 244 117 0986 195 192 19 000 282 1730 2630 284 259 1840 117 862 656 674 10 200 256 940 2550 156 126 984 111 431 338 650 8 560 257 889 2040 157 104 809 110 222 218 509 7 400 252 800 2030 135 873 693 109 188 185 504 5 700 266 762 1480 130 711 535 112 703 95 351 3 620 260 635 1020 100 399 307 105 178 349 222 2 850 254 584 1020 69 288 227 101 122 239 207 2 280 251 483 1010 53 225 179 993 0919 182 201 12 700 229 1450 2100 237 113 987 943 366 349 537 11 000 222 1300 2090 206 947 853 928 314 300 534 9 100 216 1020 2060 174 766 709 917 254 247 528 7 580 210 914 2050 142 612 583 899 204 199 519 5 890 203 724 2030 110 455 448 879 153 151 510 4 570 201 622 1650 102 344 342 868 764 926 409 2 860 206 622 1020 80 200 194 836 142 278 223 4 730 162 813 1540 116 222 274 685 707 918 387 3 790 157 660 1530 93 171 218 672 554 724 382 2 860 152 584 1520 66 121 159 650 387 509 368 3 060 160 660 1020 103 134 168 662 183 359 245 2 290 153 584 1020 71 919 120 633 126 247 235 1 730 150 432 1000 55 684 912 629 0912 182 230 W150 14 W150 18 W150 24 W150 22 W150 30 W150 37 W200 22 W200 36 W200 46 W200 59 W200 71 W200 86 W200 100 W250 18 W250 22 W250 28 W250 45 W250 58 W250 67 W250 80 W250 149 W310 21 W310 24 W310 33 W310 39 W310 67 W310 74 W310 129 103 mm3 106 mm4 103 mm3 106 mm4 mm2 mm kgm tf bf tw y y x x bf tw tf d 1 a Temos Parte A x y 22500 175 225 17500 175 225 2500 175 225 where para todos os casos Abh x x b2 ȳy h2 X ΣxA ΣA 17522500 17517500 17525 22500 17500 2500 175 mm Ȳ ΣyA ΣA 22522500 22517500 2252500 22500 17500 2500 225 mm Para o momento de inércia Parte A Ix dx Iy dy 22500 4687500 0 379687500 0 17500 178645833 0 364583333 0 2500 52083333 0 52083333 0 Ix ΣIx dx²A 4687500 178645 83333 520833333 1828110⁸ mm⁴ Iy ΣIy dy²A 379687500 364583333 520833333 3828110⁸ mm⁴ Ixy ΣIxy dxdyA 0 0 0 0 Para o raio de giração rx IxA 1828110⁸ 37500 693212 mm ry IyA 3828110⁸ 37500 1010363 mm Para o módulo de resistência Wx Ixh2 1828110⁸225 81248889 mm³ Wy Iyh2 3828110⁸175 218748571 mm³ b Temos Parte A x y 12 1 3 16 4 1 4 1 1 where para todos os casos A bh x x b2 ȳ y h2 X 112 416 14 12 16 4 7224 3 in Ȳ 312 116 14 12 16 4 4824 2 in Para o momento de inércia Parte A dx dy dx²A dy²A Ix Iy Ixy 12 2 1 48 12 4 36 0 16 1 1 16 16 8533 533 0 4 2 1 16 4 133 133 0 Total 24 48 24 88 40 0 Ix ΣIx dx²A 8848136 in⁴ Iy ΣIy dy²A 402464 in² Ixy ΣIxy dxdyA 0 2112 1116 214 48 in² Momento de inércia máximo e mínimo Imaxmin IxIy2 Ix Iy2² Ixy² Imax160 in⁴ Imin40 in⁴ Raio de giração rx IxA 163299 in ry IyA 238043 in Módulo de resistência Wx Ix8x 644 16 in³ Wy Iy8 x 1365 272 c Para o centróide Parte A x y 10000 100 375 15000 100 200 10000 100 25 X 60010000 10015000 10000100 10000 15000 10000 mm Y 37510000 20015000 2510000 10000 15000 10000 200 mm Para o momento de inércia A dx dy dx²A dy²A Ix Iy Ixy 10000 0 175 0 306250000 208333 3333333 0 15000 0 0 0 0 112500000 3125000 0 10000 0 175 0 306250000 208333 3333333 0 Ix ΣIx dy²A 7291710⁸ mm⁴ Iy ΣIy dy²A 6979210⁸ mm⁴ Raio de giração rx IxA 7291710⁸ 35000 1443378 mm ry IyA 6979210⁸ 35000 446548 mm Para o módulo de resistência Wx Ix 400 x 7291710⁸ 200 364583333 mm³ Wy Iy 200 y 6979210⁸ 100 69791667 mm³ d Para o centróide Parte A x y 500 25 35 600 45 40 500 65 5 X 25500 45600 65500 500 600 500 45 mm Y 75500 40600 5500 500 600 500 40 mm Para o momento de inércia Parte A dx dy dx²A dy²A x Iy 500 35 80 612500 200000 416667 10946667 600 0 0 0 0 180000 5000 500 35 20 612500 200000 416667 1094667 Ix ΣIx dx²A 1413310⁶ mm⁴ Iy ΣIy dy²A 3694910⁷ mm⁴ Para o raio de rotação rx IxA 1413310⁶1600 29721 mm ry IyA 3694910⁷1600 19579 mm Para o módulo de resistência Wx Ix80 x 1413310⁶40 3533333 mm³ Wy Iy100 y 3694910⁷55 1362963 mm³ e Para o centroid A x ȳ 7500 150 125 2500 625 75 2500 2375 75 x 507500 6252500 23752500 7500 2500 2500 150 mm ȳ 1257500 752500 752500 7500 2500 2500 375 mm Para o momento de inercia A dx dy dx2 A dy2 A Ix Iy 7500 25 0 4687500 0 390625 14062500 2500 375 875 3515625 19140625 2083333 13020833 2500 375 875 3515625 19140625 2083333 13020833 Ix Σ Ix dx2 A 16276 107 mm4 Iy Σ Iy dy2 A 9429 107 mm4 Para o raio de rotação rx Ix A 16276107 12500 36084 mm ry Iy A 9429107 12500 87082 mm Para o módulo de resistência Wx Ix 12500 ȳ 16276107 875 186011905 mm3 Wy Iy 350 x 9429107 150 63194444 mm3 f Para o centroid A x ȳ 6400 80 140 3200 20 80 6400 80 20 x 1406400 203200 806400 64002 3200 68 mm ȳ 1406400 206400 803200 64002 3200 80 mm Para o momento de inercia A dx dy dx2 A dy2 A Ix Iy 6400 60 12 23040000 921600 853333 1365333 3200 0 48 0 7372800 1706666 426666 6400 60 12 23040000 921600 853333 1365333 Ix Σ Ix dx2 A 49493 107 mm4 Iy Σ Iy dy2 A 36949 107 mm4 Para o raio de rotação rx Ix A 49493107 16000 55618 mm ry Iy A 36949107 16000 15056 mm Para o módulo de resistência Wx Ix 160 ȳ 49493107 80 61866667 mm3 Wy Iy 160 x 36949107 92 40162383 mm3 2 22 79 Temos as reações de apoio Σ Fy 0 RA RC 15 1 0 RA 15 RC RA 025 kN Σ MA 0 151205 RC3 0 RC 125 kN 025 15 x2 025 x 21667 025 1 2 3 025 2 A equação do momento será 0 x 2 M RA x 2 x 3 M RA 2 15 x22 2 x x 3 M RCxx 15xx2 2 05 0521 2 21667 3 752 Temos as reações de apoio Σ Fy RA 408 RB 20 0 RA RB 340 Σ MA 0 40882 RB8 2011 150 0 RB 20625 kN RA 13375 kN Força cortante entre 0 x 8 Vx RA 40 x Vx 0 x RA 40 13375 40 334375 m Força cortante entre 8 x 11 Vx RA 408 RB 20 Diagrama força cortante VKN 13375 20 33425 11 18625 Momento entre 0 x 8 Mx RAx 40x2 2 M33425 223613 Momento entre 8 x 11 Mx 20x 150 M8 210 22361 669 33425 150 210 Mx 0 13375x 40x2 2 x 669 m 3 Temos as reações de apoio Σ Fy 0 RA RC 86 RA RC 48 RA 12 kN Σ MA 0 8662 RB4 RB 36 kN Força cortante em 0 x 4 Vx RA 8x Vx 0 RA 8x 0 x 15 m Força cortante em 4 x 6 Vx RA 8x RB V6 48 86 0 VKN 16 12 15 6 20 x Momento entre 0 x 4 Mx RAx 8x2 2 M15 1215 8152 2 9 Momento entre 4 x 6 Mx RAx RBx 8x2 2 M6 126 366 862 2 0 9 15 6 16 x