Resolução de Exercícios de Resistência dos Materiais - Vigas e Diagramas

MS II CIVIL T A R E F A 4 2 2023 1 Determine as expressões da força cortante e do momento fletor da viga indicada e construa os diagramas respectivos 302n kN 202n kNm 302n kN A 1m B 5m C 1m D 2m E 2 Determine as expressões da força cortante e do momento fletor da viga indicada e construa os diagramas respectivos 202n kN 52n kNm 302n kNm 102n kNm 202n kN A B C D E F 2m 1m 1m 1m 3m 2m 3 Considere a viga em balanço indicada submetida à força de 202n kN com o comprimento de 22n10 m Determine a A tensão máxima de tração b A máxima de compressão c A tensão máxima de cisalhamento SEÇÃOmm 202n kN 22n10 m 100 50 20 40 20 30 4 Considere a viga indicada como um perfil I510x143 Determine a A tensão normal máxima b A tensão de cisalhamento máxima O vão é de 5 m 202n kNm 5m 5 Determine a máxima força w uniformemente distribuída que se pode aplicar à viga indicada sabendo que seu projeto estabeleceu σadm802n MPa e τadm 402n MPa w SEÇÃO TRANSVERSAL mm 200 40 2m 8m 2m 40 200 1 302n138KN 202n28KNm 302n38KN A B c D E S1 S2 S3 S4 S5 Vb Vd 1m 5m 1m 2m Reação de apoio ΣFx0 HD0 ΣMb0 J 381 28525 Vd6 3880 38 350 6 Vd 3040 6 Vd616 Vd 10267KN ΣFy0 J 38 Vb 285 Vd 380 38 Vb 14010267380 Vb11333KN Secção S1 0x1m 38kN A S1 V N ΣFy0 J 38 V0 V 38kN ΣMs10 J M 38 x0 x0m M 38 0 0 M 38 x x1m M 381 38KNm Secção S2 1mx6m 38KN 28KNm A B S2 Vb11333KN 1m x1 x ΣFy0 J 38 11333 28 x1 V0 7533 28 x 28 V0 V 28 x 10333 x1m V 281 10333 7533KN x6m V 286 0333 6467KN ΣMs20 J M 28 x1² 2 11333 x1 38 x0 M 14 x² 28 x 14 11333 x 11333 38 x0 M 14 x² 10333 x 12733 4 x1m M 1412 103331 12733 38KNm 4 x6m M 1462 103336 12733 1135KNm Digitalizado com CamScanner O momento é máximo quando V0 28 x 103330 x 1033328 x369m O momento máximo é M max 14369² 10333369 12733 M max 6333KNm Secção 53 2m x 3m M 38KN N Y S3 VD10267KN x2 2m x ΣFy0 J V 10267 380 V 6467KN ΣMs30 J M 10267x2 38 x0 M 10267 x 20534 38 x M 6467 x 20534 4 x2m M 64672 20534 76KNm 4 x3m M 64673 20534 1133KNm Secção S4 0 x 2m M 38KN N V x ΣFy0 J V 380 V38KN ΣMs4 0 J M 38x0 M 380 0 M 38 x x2m M 382 76KNm Diagrama esforço cortante 7533 38kN 38KN 6467kN Diagrama momento fletor 76KNm 38KNm 1133KNm 6333KNm Digitalizado com CamScanner 2 202n 28kN 57n 13KNm 102n 38KNm 202n 38kN A B c D E F S1 S2 S3 S4 S5 S6 HB VE VB VE 2m 1m 1m 1m 3m 2m Reação de apoio ΣFx0 HB0 ΣMb0 J 282 13305 38 18345 VE6 3880 56 195 38 243 6 VE 3040 6 VE 5095 VE 8492 KN ΣFy0 J 28 133 VB 183 VE 380 28 39 VB 54 8492 380 VB 7408 KN Secção S1 0 x 2m 28kN 13kNm A S1 M V N x ΣFy0 J V 28 13x0 x0m V 130 28 28kN x2m V 132 28 54kN ΣMs10 J M 13 x² 2 38x 0 M 65 x² 28 x 4 x0m M 650² 2800 4 x2m M 652² 282 82kN m Secção S2 2 m x 3 m 28kN 13kNm A B S2 Vb7408KN 2m x2 1 x ΣFy0 J 28 13 x 7408 V0 V 13 x 4608 x2m V 132 4608 2808kN x3m V 133 4608 708kN ΣMs20 J M 28 x 13xx2 7408 x2 0 M 28 x 65 x² 7408 x 148160 M 65 x² 4608 x 14816 4 x2m M 652² 46082 14816 82kN m 4 x3m M 653² 46083 14816 6842 kN m Digitalizado com CamScanner Seção 53 3m x 4 m 28kN 13kNm A B 53 M V N V B 7408 kN 2 m 1m x 3 x Fy 0 28 13 3 7408 V 0 V 708 kN M53 0 5 M 13 3 x15 28 x 7408 x 2 0 M 39 x 585 28 x 7408 x 14816 0 M 708 x 8966 4 x 3 m M 708 3 8966 6842 kNm 4 x 4 m M 708 4 8966 6134 kNm Seção 54 4 m x 5 m 28 kN 13 kNm 38 kN m A B C 54 M V N V B 7408 kN 2 m 1 m 1 m x 4 x Fy 0 28 13 3 7408 V 0 V 708 kN M54 0 5 M 38 13 3 x15 28 x 7408 x 2 0 M 38 39 x 585 28 x 7408 x 14816 0 M 708 x 5166 x 4 m M 708 4 5166 2334 kN m x 5 m M 708 5 5166 1626 kN m Seção 55 2 m x 5 m M N 55 E 18 kNm 38 kN V E 8492 kN x 2 2 m x Fy 0 v 18 x2 8492 38 0 V 18 x 36 4692 0 V 18 x 8292 x 2 m V 18 2 8292 4692 kN x 5 m V 18 5 8292 708 kN M53 0 5 M 18 x 2² 2 8492 x2 38 x 0 M 9 x² 36 x 36 8492 x 16984 38 x 0 M 9 x² 8492 x 20584 x 2 m M 9 2² 8292 2 20584 76 kNm x 5 m M 9 5² 8292 5 20584 160241 kNm Digitalizado com CamScanner 1 momento é máximo quando V 0 18 x 8292 0 x 8292 18 x 461 m O momento máximo é Mmáx 9 461² 8292 461 20584 Mmáx 1485 kN m Seção 56 0 x 2 m N M 56 38 kN x Fy 0 V 38 0 V 38 kN M56 0 5 M 38 x 0 M 38 x x 0 m M 38 0 0 x 2 m M 38 2 76 kNm Diagrama esforço cortante 2008 kN 708 kN 38 kN 38 kN 54 kN 4692 kN Diagrama momento fletor 82 kN m 6242 kN m 6134 kN m 2334 kN m 1485 kN m 1626 kN m 3 20 2 n 28 kN A S E B H B V 0 2 2 n 10 28 m Reação de apoio F x 0 H B 0 Fy 0 28 V B 0 V B 28 kN M B 0 5 M B 28 28 0 M B 784 kN Seção 5 0 x 28 m 28 kN S M N x Fy 0 28 V 0 V 28 kN Digitalizado com CamScanner Ms 0 5 M 28 x 0 x 0 m M 28 0 0 x 28 m M 28 28 784 kNm Diagrama esforço cortante 28 kN Diagrama momento fletor 784 kN m Com isso os valores máximos de esforço cortante é 28 kN e de momento fletor é de 784 kN m Seção transversal 40 y 40 100 C A1 180 50 x 30 A2 E y x 20 40 20 D Separando a seção em 2 áreas temos 1 área A1 A1 80 180 14400 mm² ȳ1 180 2 90 mm 2 área A2 A2 50 40 2000 mm² ȳ2 30 50 2 55 mm com isso ȳ A i ȳ i A i ȳ 14400 90 2000 55 14400 2000 ȳ 1186000 122400 ȳ 9565 mm Além disso 1 área A1 dy1 ȳ ȳ 90 9565 565 mm I x1 b h³ 12 80 180³ 12 38880000 mm⁴ 2 área A2 dy2 ȳ ȳ 55 9565 4065 mm I x2 b h³ 12 40 50³ 12 41666667 mm⁴ Com isso I x I xi A i dy i² I x 38880000 14400 565² 41666667 2000 4065² Digitalizado com CamScanner 1x 39 339 684 37 21 511 67 Ix 35 618 172 33 mm4 Ix 35618x106 m4 a la tensión máxima de tracción ocurre no ponto C e é yc 180 y 180 9565 yc 84 35 mm 0 08435 m σc MycJx σc 784x10300843535618x106 σc 18567 MPa b la tensión máxima de compresión ocurre no ponto D e é yd y 9565 mm 009565 m σD MydJx σD 784x10300956535618x106 σD 21054 MPa c la tensión máxima de cisalhamento ocurre no ponto E onde t 220 40 mm 004 m Q Aÿ 3080302 9565 Q 193560 mm3 19356x106 m3 Portanto τE VQIt τE 28x103 19356x10635618x106004 τE 3804 MPa 4 Perfil I 510x143 20 2n 28 kNm A B HB VA Vβ 5 m Reacción de apoyo ΣFx 0 HB 0 ΣMA 0 5 28525 Vβ5 0 5Vβ 350 Vβ 70 kN ΣFy 0 VA 285 Vβ 0 VA 140 70 0 VA 70 kN Sección S 0 x 5 m 28 kNm A S M N V VA 70 kN x ΣFy 0 70 28x V 0 V 70 28x x 0 m V 70 280 70 kN x 5 m V 70 28 5 70 kN ΣMs 0 5 Mt 28x x2 70 x 0 M 70 x 14 x 2 x 0 m M 700 1402 0 x 5 m M 705 1452 0 O momento é máximo ocorre quando V 0 70 28 x 0 x 7028 x 25 m O momento máximo é M máx 7025 14252 Máx 875 kN m Diagrama de momento fletor 875 kNm Portanto o momento máximo da viga é de 875 kNm Diagrama esforço cortante 70 kN I esforço cortante máximo é de 70kN Seção transversal Perfil I 510x143 y 234 mm 469 2 mm x 516 mm 20 3 mm C 234 mm D 183 mm Para esse perfil temos que Ix 700x106 mm4 Jx 700x106 m4 a la tensión normal máxima ocurre no ponto D onde yd 5162 258 mm 0258 m σmáx MydIx σmáx 875 x 103 0258700 x 106 σmáx 3225 MPa b la tensión de cisalhamento máxima ocorre no ponto C onde yc 5162 234 2346 mm 02346 m Qc Ay 2341832342 Qc 5010174 mm3 5010174x106 m3 tc 203 mm 00203 m Portanto τmáx VQcIxtc τmáx 70x1035010174x106 700x10600203 τmáx 24681 KPa 5 σadm 802n 88MPa τadm 402n 48 MPa S1 S2 w S3 HA VA VB 2 m 8 m 2 m Reacción de apoyo ΣFx 0 HA 0 ΣMA 0 5 w124 VB8 0 8VB 48w VB 6w ΣFy 0 w12 VA VB 0 12 w VA 6 w 0 VA 6w Seção S1 0 x 2 m w M N x S1 ΣFy 0 wx V 0 V wx x 0 m V w0 0 x 2 m V w2 ΣMS1 0 J M wxx2 0 M 05 wx2 x 0 m M 05w02 0 x 2 m M 05 w 22 2 w Seção S2 2m x 10m w M N S2 VA 6w 2 m x 2 x ΣFy 0 t wx 6 w V 0 V w6 x x 2 m V w62 4 w x 10 m V w6 10 4 w ΣM520 5 M wxx2 6wx20 M 05 wx² 6wx 12w M 05wx² 6wx 12w x 2m M 05 w 2² 6w 2 12w 2w x 10 m M 05 w 10² 6w 10 12 w 2 w O momento é máximo ocorre quando V 0 w 6x 0 x 6 m O momento máximo é M máx 05w 6² 6 w 6 12w M máx 6 w Seção 53 0 x 2 m M w N w s3 x Σ F y 0 V w x 0 x 0 m V w 0 0 Vwx x 2 m V w 2 Σ M S3 0 5 M w x x2 0 x 0 m M 05 w 0² 0 x 2 m M 05 w 2² 2 w Diagrama esforço cortante 4w 2w 0 0 2w 4w O máximo esforço cortante é de 4w Diagrama momento fletor 2 w 2 w 0 0 6w O maior valor de momento fletor é 6 w Seção transversal y 200 A1 C 40 x 200 40 D x Separando a seção em 2 áreas temos 4 área A1 A1 200 40 8000 mm yj 200 402 220 mm a área A2 A2 20040 8000 mm yj 2002 100 mm Portanto y Σ Ai yj Σ Ai y 8000 220 8000 100 8000 8000 y 2 560 000 1 6000 y 160 mm Além disso temos 4 área A1 dy1 yj y 220 160 60 mm Ix1 b h³ 12 200 40³ 12 1 066 666 67 mm⁴ 4 área A2 dy2 y2 y 100 160 60 mm Ix2 b h³ 12 40 200³ 12 26 666 666 67 mm⁴ Com isso Ix Σ Ix i Aidy² Ix 1066 666 67 8000 602 26 666 666 67 8000 60² Ix 29 866 666 67 55 466 666 67 Ix 85 333 33334 mm⁴ Ix 85333 x 10⁶ m⁴ Dimensionando em relação à tensão normal O ponto com maior valor de tensão normal é o ponto D onde y 160 mm 016 m σadm M y Ix M σadm Ix y 6 w 88 x 10⁶ 85333 x 10⁶ 016 6 w 4693333 w 782222 Nm w 782 kN m Dimensionando em relação ao cisalhamento O ponto crítico é o ponto C onde t 40 mm 004 m Q A y 200 40 240 402 160 Q 480000 mm³ 480 x 10⁶ m³ τ adm V Q Ix t V τ adm Ix t Q 4w 48 x 10⁶ 85333 x 10⁶ 004 480 x 10⁶ 4 w 34133333 w 85 33333 N m w 8533 kNm O máximo valor de w é o menor dos valores encontrados ou seja w 782 kNm