Produto Escalar Vetores e Geometria Analítica - Exercícios e Propriedades

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS Geometria Analítica Vetorial Básica Avaliações T1 P1 T2 P2 Recuperação Unidade 2 Produto escalar Vetores no ℝ𝟑 Produto Vetorial Exercícios para aula PRODUTO ESCALAR Ao multiplicar um vetor por um escalar o resultado obtido é um vetor No entanto a multiplicação de dois vetores resultará num número real ou um escalar Definição algébrica Dados dois vetores 𝑢 𝑢𝑥 𝑢𝑦 e 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 definimos o produto escalar de 𝑢 por 𝑣 o número real dado por 𝑢 𝑣 𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝑢𝑦 𝑣𝑦 Exemplo 1 Determine o produto escalar entre os vetores a 𝑢 33 e 𝑣 2 1 b 𝑢 2𝑖 3𝑗 e 𝑣 12 c 𝑢 𝑖 4𝑗 e 𝑣 3𝑖 2𝑗 d 𝑢 2 2 e 𝑣 2 3 Propriedades i 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 ii 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 𝑤 iii 𝑎𝑢 𝑣 𝑎 𝑢 𝑣 𝑢 𝑎𝑣 iv 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 v 𝑢 𝑢 𝑢 2 2 Verifique as propriedades i iii e v 3 Considere os vetores 𝑖 10 𝑒 𝑗 01 Mostre que a 𝑖 𝑖 1 b 𝑖 𝑗 0 c 𝑗 𝑗 0 O conceito de produto escalar de vetores está intimamente relacionado com a noção de ângulo entre vetores e projeção ortogonal de vetores Note que a propriedade v relaciona uma operação algébrica com uma característica geométrica o vetor comprimento Vamos obter uma segunda caracterização para o produto escalar que incorpora propriedades algébricas de ângulo e comprimento dos vetores Considere os vetores 𝑢 e 𝑣 representados na figura abaixo Defina 𝑎 𝑣 𝑏 𝑢 𝑐 𝑢 𝑣 Então 𝑎2 𝑣𝑥2 𝑣𝑦2 𝑏2 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 𝑐2 𝑎2 𝑏2 2𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 Verifique 4 Usando as expressões acima mostre que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 Desta forma obtemos uma definição geométrica para o produto escalar Definição Geométrica Sejam 𝑢 e 𝑣 vetores e 𝜃 o ângulo formado entre eles Então o produto escalar de 𝑢 por 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 Possibilidades I 𝑢 𝑣 0 cos𝜃 0 0 𝜃 90 II 𝑢 𝑣 0 cos𝜃 0 90 𝜃 180 2 III 𝑢 𝑣 0 cos𝜃 0 𝜃 90 Portanto quando dois vetores são perpendiculares ou ortogonais se e somente se 𝑢 𝑣 0 Notação 𝑢 𝑣 5 Mostre que os vetores abaixo são ortogonais a 𝑢 1 2 e 𝑣 21 b 𝑖 e 𝑗 O produto escalar de vetores também possibilita a obtenção da projeção do vetor 𝑣 na direção do vetor 𝑢 PROJEÇÃO ORTOGONAL Sejam dois vetores 𝑢 e 𝑣 dois vetores A projeção 𝑣 na direção do vetor 𝑢 é definida por 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑣 cos 𝜃 6 Usando a definição geométrica de produto escalar mostre que 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒çã𝑜 𝑣 𝑒𝑢 onde 𝑒𝑢 é o versor do vetor 𝑢 7 Calcule a projeção do vetor 𝑢 32 na direção do vetor 20 Vetor Projeção O vetor de projeção na geometria analítica tem muitas aplicações tais como o cálculo de uma distância de um ponto a um plano ou a determinação do pé de perpendiculares Cálculo de ângulo entre vetores A partir da definição geométrica de produto escalar obtemos cos𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝜃 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Com a restrição sobre 𝜃 0 𝜃 180 8 Encontre o ângulo entre os vetores 𝑢 37 e 𝑣 42 O Espaço Tridimensional ℝ𝟑 Estendendo os resultados das operações com vetores em ℝ2 para o ℝ3 Sejam os vetores 𝑢 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 e 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 Soma 𝑢 𝑣 𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝑢𝑦 𝑣𝑦 𝑢𝑧 𝑣𝑧 Módulo 𝑢 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2 𝑢𝑧2 Multiplicação por escalar 𝛼𝑢 𝛼𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 𝛼𝑢𝑥 𝛼𝑢𝑦 𝛼𝑢𝑧 Produto escalar 𝑢 𝑣 𝑢𝑥 𝑣𝑥 𝑢𝑦 𝑣𝑦 𝑢𝑧 𝑣𝑧 9 Dados os vetores 𝑢 10 2 𝑣 21 3 calcule a 2𝑢 3𝑣 b 𝑢 𝑣 c 2𝑢 3𝑣 d 𝑒𝑢 𝑒𝑣 Os vetores unitários canônicos no ℝ3 são 𝑖 100 𝑗 010 𝑘 001 PRODUTO VETORIAL Em muitas situações é útil determinar um vetor 𝑟 𝑟1 𝑟2 𝑟3 não nulo que seja perpendicular a outros dois vetores não nulos 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e 𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Neste sentido o produto vetorial de 𝑢 e 𝑣 é escrito matematicamente como 𝑢 𝑣 e satisfaz a regra da mão direita que basicamente fornece o sentido de 𝑢 𝑣 O sentido do produto vetorial 𝑢 𝑣 será sempre no sentido de apertar o parafuso conforme ilustra a figura abaixo 3 Vamos obter desta forma os produtos vetoriais envolvendo os versores da base i j k representados no sistema da mão direita conforme a figura abaixo empregando a regra da mão direita Definição Sejam 𝑢 𝑢1𝑖 𝑢2𝑗 𝑢3𝑘 e 𝑣 𝑣1𝑖 𝑣2𝑗 𝑣3𝑘 Então o produto vetorial 𝑢 𝑣 é um vetor ortogonal simultaneamente a 𝑢 e a 𝑣 que cumpre com as propriedades Exemplo Calcule 𝑢 𝑣 se 𝑢 𝑖 e 𝑣 2𝑖 𝑗 Sol 𝑢 𝑣 𝑖 𝑖 2𝑗 𝑖 𝑖 𝑖 2𝑗 pela propriedade 1 𝑖 𝑖 2𝑖 𝑗 pela propriedade 2 𝟎 2 k pela tabela de produto vetorial dos versores 2𝑘 𝑢 𝑣 2𝑘 Quando tivermos vetores não esparsos é operacionalmente mais viável aplicarmos a definição de produto vetorial pelo determinante Definição pelo determinante Sejam 𝑢 𝑢1𝑖 𝑢2𝑗 𝑢3𝑘 e 𝑣 𝑣1𝑖 𝑣2𝑗 𝑣3𝑘 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 𝑖 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 𝑗 𝑐 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 𝑘 Ou seja um vetor perpendicular a 𝑢 e 𝑣 resultante denotado por 𝑢 𝑣 e denominado produto vetorial é dado por 𝑢 𝑣 𝑢2𝑣3 𝑢3𝑣2 𝑢3𝑣1 𝑢1𝑣3 𝑢1𝑣2 𝑢2𝑣1 Note que a O produto vetorial é um vetor b Podemos usar determinantes para simplificar os cálculos quando os vetores em particular 𝑢 e 𝑣 forem não esparsos O determinante de uma matriz 2x2 é definido por 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 𝑢1𝑣2 𝑣1𝑢2 c Algumas propriedades dos determinantes i A permutação de linhas inverte o sinal do determinante ii Se duas linhas possuem elementos proporcionais o determinante é nulo iii Se uma das linhas for nula o determinante é zero iv Um determinante de ordem 3x3 pode ser calculado por 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑢2 𝑢3 𝑣2 𝑣3 𝑎 𝑢1 𝑢3 𝑣1 𝑣3 𝑏 𝑢1 𝑢2 𝑣1 𝑣2 𝑐 10 Calcule o produto vetorial entre os vetores 𝑢 543 e 𝑣 101 Características do vetor 𝑢 𝑣 Direção O vetor 𝑢 𝑣 é ortogonal a 𝑢 e 𝑣 Módulo de 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 onde 𝜃 é o ângulo formado pelos vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 Sentido Regra da mão direita Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial O módulo do produto vetorial de dois vetores 𝑢 e 𝑣 é a área do paralelogramo determinado por eles 11 Dados os vetores 𝑢 1 11 e 𝑣 2 34 calcule a área do paralelogramo determinado por 𝑢 e 𝑣 12 Determinar o vetor 𝑤 tal que 𝑤 seja ortogonal ao eixo dos y e 𝑢 𝑤 𝑣 sendo 𝑢 11 1 e 𝑣 2 11 13 Sejam os vetores 𝑢 1 1 4 e 𝑣 32 2 Determinar um vetor que seja a Ortogonal a 𝑢 e 𝑣 b Ortogonal a 𝑢 e 𝑣 e unitário c Ortogonal a 𝑢 e 𝑣 e tenha módulo igual a 4 4 Exercícios propostos e aplicações 1 Sejam u 25 v 0 4 e w 3 1 Determine o que se pede e justifique a sua resposta a Calcule o produto escalar uv b A partir do resultado obtido no item anterior determine se o ângulo entre os vetores é agudo ou obtuso Justifique a sua resposta c Calcule o produto escalar wv d A partir do resultado obtido no item anterior determine se o ângulo entre os vetores é agudo ou obtuso Justifique a sua resposta 2 Dados os vetores 𝑢 4𝑖 2𝑗 e 𝑣 2𝑖 𝑗4 calcule a uv b u vu v c 2u 3v 3 Determine aproximadamente o ângulo entre os pares de vetores a u 2 1 e v 42 b u 11 e v 42 4 Se um vetor v tem componentes 𝑣𝑥 4 𝑣𝑦 12 e módulo igual a 13 então determine o valor da componente 𝑣𝑧 5 Encontre um vetor p de módulo igual a 4 de mesmo sentido que o vetor v623 6 Seja um vetor 𝑢 𝑢𝑥 𝑢𝑦 Encontre a forma geral de um vetor 𝑢 ortogonal ao vetor 𝑢 7 Calcule a altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶 em relação à base AB considerando A 23 B34 e C 410 8 A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2 1 e 3 Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido sabendo que A212 9 A figura abaixo mostra um cubo com um vértice na origem de um sistema de coordenadas tridimensional a Encontre o ângulo que a diagonal principal do cubo faz com uma das faces do cubo b Encontre o ângulo que a diagonal principal faz com uma diagonal na face do cubo 10 Uma casa é construída com um telhado de quatro águas A extremidade triangular do telhado é exibida na figura abaixo Um sistema de coordenadas xyz é definido com sua origem no canto inferior do telhado no fundo da casa O vetor de posição ℎ que vai até o canto inferior da frente onde está marcado o ângulo e o vetor de posição 𝑣 que vai até o pico do telhado são dados explicitamente por ℎ 20i 45j 0k 𝑣 10i 35j 8k As dimensões estão em pés a O andar do ático está ao longo do plano xy Qual é a distância do pico do telhado ao andar do ático Como você poderia determinar b Qual é a largura e qual é o comprimento da casa Como você poderia determinar c Construtores precisam saber qual deve ser o tamanho da viga que vai do canto com um ângulo marcado até o pico do telhado ao longo do espigão Determine o comprimento da viga 5 d As telhas que vêm em seguida ao espigão deverão ser cortadas a um exato ângulo como mostra a figura Qual deve ser este ângulo e A extremidade do telhado é um triângulo isóceles Como você poderia responder a esta pergunta 11 A figura abaixo exibe um toldo triangular para o canto de uma construção Os vértices do toldo são 10 0 8 0 15 8 0 0 13 onde as dimensões estão em pés a Encontre os vetores que deslocam o vértice pertencente ao eixo z para os outros dois vértices b Encontre área da lona que estará no toldo quando ele estiver construído c Encontre o comprimento dos três lados do toldo e os três ângulos dos vértices pois assim as pessoas que forem fabricar o toldo saberão como cortar a lona 12 Se u312 v241 e w101 determine a 𝑢 𝑣 b 𝑢 𝑣 𝑤 c 𝑢 𝑣 𝑤 d 𝑢 𝑣 𝑤 e 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 13 Efetue a 𝑖 𝑘 b 3𝑖 2𝑗 c 𝑖 𝑗 𝑖 14 Resolva o sistema 𝑥 𝑗 𝑘 𝑥 4𝑖 2𝑗 𝑘 10 15 Determinar um vetor de módulo 2 que seja ortogonal a 𝑢 322 e 𝑣 011 16 Sejam os vetores 𝑢 3 12 e 𝑣 221 Calcule a área do paralelogramo determinado por 𝑢 e 𝑣 17 Determinar as reações nos apoios da viga carregada conforme exibe a figura abaixo 18 Determinar as reações no apoio da viga 19 Determinar o momento da força 𝑃 em relação ao ponto A da estrutura da figura abaixo GABARITO 1 a20 bobtuso pois cos𝜃 0 c 4 d agudo pois cos𝜃 0 2 a 172 b 25516 c 51 3 a 5313 b 10842 4 3 ou 3 5 24 7 8 7 12 7 6 𝑢 𝑢𝑦 𝑢𝑥 7 777 8 A 212 B 222 C 422 D 412 E 415 F 215 G 225 9 a 547 graus b 353 graus 10 a 8 b largura 20 e comprimento 45 6 c 1624 d 5201 graus e Tratase de um triângulo isóceles 11 a u 10 05 e v 0 155 b 875 c Comprimento dos lados a 1118 b 1802 e c 1581 ângulos 𝛼 819 graus 𝛽 603 graus e 𝛾 378 graus 12 a 278 b 1 23 1 c 5 0 5 d 8 2 13 e 000 13 a j b 0 c 0 14 x1 3 0 15 0 2 2 16 310 17 18 19 𝑚𝐴 60𝑖 150𝑗 80𝑘