Propriedades Geométricas da Seção Homogeneizada

4423F02 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Engenharia Civil AULA 09 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA NO ESTÁDIO I Profa Bruna Manica Lazzari brunalazzaripucrsbr TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Leva em conta a contribuição das armaduras na rigidez do elemento A seção de aço é transformada em área de concreto levando em conta a relação entre os módulos de elasticidade A contribuição da armadura no momento de inércia é tomada pela excentricidade de sua área o momento de inércia de cada barra em relação ao seu centro de gravidade é desprezada TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Área da seção homogeneizada 𝐴ℎ 𝐴𝐶 α𝑒 𝐴𝑝 α𝑒 𝐴𝑠 Sendo 𝐴ℎ área da seção homogeneizada 𝐴𝑐 área da seção bruta de concreto 𝐴𝑝 área de aço das armaduras ativas 𝐴𝑠 área de aço das armaduras passivas α𝑒 relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto α𝑒 𝐸𝑝 𝐸𝑐 𝐸𝑠 𝐸𝑐 Como os módulos de elasticidade dos aços de protensão Ep e aço comum Es são muito próximos podese adotar um único valor No cálculo das perdas imediatas em que a protensão é uma ação de curta duração aplicada em uma idade inferior a 28 dias adotase Ec Ecit TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Área da seção homogeneizada 𝐴ℎ 𝐴𝐶 α𝑒 𝐴𝑝 α𝑒 𝐴𝑠 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Área da seção homogeneizada 𝐴ℎ 𝐴𝐶 α𝑒 𝐴𝑝 α𝑒 𝐴𝑠 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Distância do centro de gravidade da seção homogeneizada até os bordos inferior e superior 𝑌ℎ𝐼 𝐴𝑐 𝑌𝐼 σ α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 σ α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝐴ℎ Sendo 𝑌ℎ𝐼 distância do centro de gravidade da seção homogeneizada até o bordo inferior 𝑌ℎ𝑆 distância do centro de gravidade da seção homogeneizada até o bordo superior 𝑌𝐼 distância do centro de gravidade da seção bruta de concreto até o bordo inferior 𝑌𝑆 distância do centro de gravidade da seção bruta de concreto até o bordo superior 𝑌𝑝 distância do centro de gravidade da armadura ativa até o bordo inferior 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 distância do centro de gravidade da armadura passiva até o bordo inferior H altura da seção 𝑌ℎ𝑆 𝐻 𝑌ℎ𝐼 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Momento de inércia da seção homogeneizada 𝐼ℎ 𝐼𝐶 𝐴𝐶 𝑌𝐼 𝑌ℎ𝐼 ² α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 𝑌ℎ𝐼² α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑌ℎ𝐼² Sendo 𝐼ℎ momento de inércia da seção homogeneizada 𝐼𝐶 momento de inércia da seção bruta de concreto TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA EXERCÍCIO PROPOSTO Determinar o momento de inércia da seção homogeneizada 𝐼ℎ da seção apresentada a seguir Considere Ec igual a Eci e que o agregado utilizado é o granito 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas DADOS Concreto C30 Ep 200000 MPa 1 cordoalha Api 1434 cm² 10 6 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Figura Ai cm² yi cm Ai yi cm3 Ii cm4 YCG yi cm I cm4 1 3300 110 363000 2 4750 475 225626 8050 588625 Ac 8050 cm² Área da seção bruta de concreto Ac YCG σ 𝑨𝒊𝒚𝒊 σ 𝑨𝒊 YCG 7312 cm Distância do centro de gravidade da seção bruta de concreto até o bordo inferior YI 30 50 30 30 95 cm 1 Xref 2 YI 7312 cm YS 5188 cm TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Figura Ai cm² yi cm Ai yi cm3 Ii cm4 YCG yi cm Ic cm4 1 3300 110 363000 247500 3688 473567139 2 4750 475 225626 357239583 2562 669049385 8050 588625 Momento de inércia da seção bruta de concreto Ic 30 50 30 30 95 cm 1 Xref 2 c YCG 7312 cm Ic 1142616524 cm4 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Área da seção homogeneizada 𝐴ℎ 𝐴𝐶 α𝑒 𝐴𝑝 α𝑒 𝐴𝑠 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 10 x 1434 1434 cm² 𝜶𝒆 𝑬𝒑 𝑬𝒄 200000 3067246 𝟔 𝟓𝟐 Considerando neste exemplo que Ec igual a Eci 𝐸𝑐𝑖 α𝐸 5600 𝑓𝑐𝑘 𝐸𝑐𝑖 1 𝑥 5600 𝑥 30 3067246 𝑀𝑃𝑎 As 0 cm² α𝐸 granito é 10 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Área da seção homogeneizada 𝐴ℎ 𝐴𝐶 α𝑒 𝐴𝑝 α𝑒 𝐴𝑠 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 10 x 1434 1434 cm² 𝜶𝒆 𝟔 𝟓𝟐 As 0 cm² 𝐴ℎ 8050 𝑐𝑚2 652 𝑥 1434 𝑐𝑚2 𝑨𝒉 𝟖 𝟏𝟒𝟑 𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 0 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Distância do centro de gravidade da seção homogeneizada até os bordos inferior e superior 𝑌ℎ𝐼 𝐴𝑐 𝑌𝐼 σ α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 σ α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝐴ℎ 𝑌ℎ𝑆 𝐻 𝑌ℎ𝐼 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 1434 cm² 𝜶𝒆 𝟔 𝟓𝟐 𝑨𝒉 𝟖 𝟏𝟒𝟑 𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 YI 7312 cm 𝑌𝑝 13 𝑐𝑚 𝑌ℎ𝐼 8050 𝑐𝑚2𝑥 7312 𝑐𝑚 652 𝑥 1434 𝑐𝑚2𝑥 13 𝑐𝑚 814350 𝑐𝑚² 𝒀𝒉𝑰 𝟕𝟐 𝟒𝟑 𝒄𝒎 𝒀𝒉𝑺 𝟓𝟐 𝟓𝟕 𝒄𝒎 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Distância do centro de gravidade da seção homogeneizada até os bordos inferior e superior 𝑌ℎ𝐼 𝐴𝑐 𝑌𝐼 σ α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 σ α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝐴ℎ 𝑌ℎ𝑆 𝐻 𝑌ℎ𝐼 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 1434 cm² 𝜶𝒆 𝟔 𝟓𝟐 𝑨𝒉 𝟖 𝟏𝟒𝟑 𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 YI 7312 cm 𝑌𝑝 13 𝑐𝑚 𝑌ℎ𝐼 8050 𝑐𝑚2𝑥 7312 𝑐𝑚 652 𝑥 1434 𝑐𝑚2𝑥 13 𝑐𝑚 814350 𝑐𝑚² 𝒀𝒉𝑰 𝟕𝟐 𝟒𝟑 𝒄𝒎 Como a armadura ativa é excêntrica o baricentro da seção homogeneizada se desloca da posição original em direção ao baricentro da armadura ativa o que resulta na alteração das tensões nos bordos 𝒀𝒉𝑺 𝟓𝟐 𝟓𝟕 𝒄𝒎 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Momento de inércia da seção homogeneizada 𝐼ℎ 𝐼𝐶 𝐴𝐶 𝑌𝐼 𝑌ℎ𝐼 ² α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 𝑌ℎ𝐼² α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑌ℎ𝐼² 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 1434 cm² 𝜶𝒆 𝟔 𝟓𝟐 YI 7312 cm 𝒀𝒉𝑰 𝟕𝟐 𝟒𝟑 𝒄𝒎 𝒀𝒑 𝟏𝟑 𝒄𝒎 Ic 1142616524 cm4 𝐼ℎ 1142616524 8050 𝑥 7312 7243 2 652 𝑥 1434 𝑥 13 7243² TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Profa Bruna Manica Lazzari ENGENHARIA CIVIL PUCRS PROP GEOM DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA Momento de inércia da seção homogeneizada 𝐼ℎ 𝐼𝐶 𝐴𝐶 𝑌𝐼 𝑌ℎ𝐼 ² α𝑒 𝐴𝑝 𝑌𝑝 𝑌ℎ𝐼² α𝑒 𝐴𝑠 𝑌𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎 𝑌ℎ𝐼² 30 50 30 30 95 cm 2 x 5 cordoalhas 10 6 Ac 8050 cm² Ap 1434 cm² 𝜶𝒆 𝟔 𝟓𝟐 YI 7312 cm 𝒀𝒉𝑰 𝟕𝟐 𝟒𝟑 𝒄𝒎 𝒀𝒑 𝟏𝟑 𝒄𝒎 Ic 1142616524 cm4 𝐼ℎ 1142616524 8050 𝑥 7312 7243 2 652 𝑥 1434 𝑥 13 7243² 𝑰𝒉 𝟏𝟏 𝟕𝟔𝟎 𝟐𝟓𝟗 𝟔𝟏 cm4 Logo utilizar as propriedades geométricas originais da seção sem homogeneização é um procedimento conservador e aceitável uma vez que o aumento da seção é em geral pouco significativo Por outro lado utilizar as propriedades geométricas da seção homogeneizada conduz a resultados mais coerentes e precisos e pode resultar em um dimensionamento mais econômico 4423F02 TÓPICOS ESPECIAIS ECIVIL II Engenharia Civil AULA 09 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA NO ESTÁDIO I Profa Bruna Manica Lazzari brunalazzaripucrsbr Obrigada pela atenção