Modelagem Avançada de Sistemas - Materiais da Disciplina

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ MODELAGEM AVANÇADA DE SISTEMAS Material produzido pelos Professores Dra Izabela Patrício Bastos Dra Karla Cristiane Arsie e Me Luiz Vasconcelos da Silva com a colaboração dos Professores Me Olimpio de Paula Xavier Rosi Mari Portugal e Ma Vanessa Terezinha Ales para a disciplina de Modelagem Avançada de Sistemas dos cursos de Engenharia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná Temas de estudo da segunda parcial da disciplina Equações diferenciais ordinárias Transformada de Laplace Sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares Sumário 4 Equações Diferenciais Ordinárias 4 41 O que é uma Equação Diferencial Por que estudar 4 42 Classicações das Equações Diferenciais EDs 5 421 Exercícios 10 422 Gabarito 10 43 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 11 431 Problema de Valor Inicial PVI 11 432 Variáveis Separáveis 13 433 Exercícios 16 434 Gabarito 16 435 Equações Homogêneas 17 436 Exercícios 21 437 Gabarito 22 438 Equações Exatas 23 439 Exercícios 26 4310 Gabarito 27 4311 Equações Lineares 27 4312 Exercícios 32 4313 Gabarito 32 4314 Equações Não Lineares de Primeira Ordem redutíveis a Lineares 33 4315 Exercícios 35 4316 Gabarito 35 44 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 36 441 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno 36 442 Solução 37 443 Exercícios 40 444 Gabarito 40 2 445 Equações Lineares e Homogêneas de Coecientes Constantes 40 446 Exercícios 46 447 Gabarito 46 448 Equações Lineares Não Homogêneas 47 449 Método dos coecientes a determinar Método de Descartes 47 4410 Exercícios 54 4411 Gabarito 54 45 Aplicações de Equações Diferenciais 54 451 Crescimento Populacional 55 452 Meia Vida 56 453 Cronologia do Carbono 57 454 Resfriamento 57 455 Circuitos em Série 59 456 Problemas de Misturas 60 457 Movimento Harmônico Simples 61 458 Exercícios 62 459 Gabarito 63 5 Transformada de Laplace 64 51 Transformada de Laplace 64 511 Condição de existência da transformada de Laplace 70 512 Transformada Inversa de Laplace 73 513 Transformadas de derivadas e Solução de EDO 76 514 Teoremas de translação derivada de uma transformação convolução e fun ções periódicas 80 515 Função delta Dirac 93 516 Resolução de Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 95 517 Exercícios 96 518 Gabarito 104 Referências 109 Capítulo 4 Equações Diferenciais Ordinárias 41 O que é uma Equação Diferencial Por que estudar Problema 1 Uma partícula em movimento retilíneo tem aceleração no instante t dada por at 3 t Encontre a posição st da partícula no instante t Problema 2 Você foi contratado para descrever o crescimento de uma população de bactérias Como você formularia esse problema Encontre a solução da equação que você formulou para esse problema e compare com o que foi estudado em MSMF 4 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Problema 3 Encontre a função y fx dado que dy dx 2xy O que você acabou de fazer foi resolver uma EQUAÇÃO DIFERENCIAL Denição 1 Equações contendo derivadas são chamadas de equações diferenciais 42 Classicações das Equações Diferenciais EDs Podese classicar uma Equação Diferencial quanto à ordinária ou parcial sua ordem linear ou não linear Denição 2 Equações Diferenciais Ordinárias EDO são as equações que aparecem apenas derivadas simples isto é com uma variável apenas Exemplo 1 Exemplo de EDOs y y 2 0 dy dt 5y 1 y xdx 4xdy 0 também pode ser escrita como 4x dy dx y x Denição 3 Equações Diferenciais Parciais EDP são as equações que aparecem derivadas parciais isto é com duas ou mais variáveis Exemplo 2 Exemplo de EDPS ut c2uxx 0 Equação do Calor utt c2uxx 0 Equação da Onda uxx utt 0 Equação de Laplace Denição 4 A ordem de uma ED é a mais alta ordem de derivada que aparece na equação Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 5 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Exemplo 3 As EDs e suas respectivas ordens ey y20 ordem e oe 5y1 ordem e yxdx 4ady 0 ordem Curr 0 ordem Unt CUrr 0 ordem e dy 5 dz 4y e ordem Definigao 5 O grau de uma ED 0 maior dos expoentes a que esta elevada a derivada de mais alta ordem contida na equacao Exemplo 4 As EDs e seus respectivos graus ey y420 grau e yxdx 4ady 0 grau eu CUre 0 grau e fx 5 dz Aye grau 2 ys 1 x QTQU Definigao 6 Uma ED é dita linear se satisfaz as seguintes condicdes 1 a varidvel dependente y e todas as suas derivadas sao do primeiro grau isto é a poténcia de cada termo envolvendo y 1 2 cada termo depende apenas da varidvel independente x E uma ED é naolinear se nao satisfaz pelo menos uma das condigoes descritas acima Exemplo 5 Exemplos de EDs lineares ey y20 e rdy ydx 0 or fy 72Fy 4 37M 4 5y Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 6 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Exemplo 6 Exemplos de EDs naolineares e yy 2Qy 7 dy 2 Compreendido como uma Equacao Diferencial pode ser classificada 0 objetivo dessa disciplina é discutir as solugdes dessas equagdes e como encontralas Antes disso entendese por SOLUGAO de uma Equacio Diferencial uma funcao f que quando substituida na equacao reduz a equacao a uma identidade Por exemplo a funcgao uxt Inv2 t é solugdo da equacgao de Laplace tr ux 0 Exemplo 7 Verifique que y z solucao da equacao naolinear au ay Exemplo 8 Verifique que y xe solucao da equacao linear y 2y y 0 Exemplo 9 dz 10 possui solucao real Por qué Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 7 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Exemplo 10 Verique que para x 2 2 a relação x2 y2 4 0 é uma solução implícita da equação diferencial dy dx x y Exemplo 11 Verique que para qualquer constante c a função y c x 1 é uma solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem x dy dx y 1 Esboce as soluções no plano xy Exemplo 12 Verique que para quaisquer constantes c1 c2 as funções y c1 cos4x e y c2sen4x são soluções da equação diferencial y 16y 0 E ainda a soma das duas soluções também é solução Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 8 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Existem vários tipos de solução de uma equação diferencial são elas 1 Solução geral é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação Dessa forma uma equação de primeira ordem apresenta apenas uma constante arbitrária em sua solução geral Uma de segunda ordem apresentará duas constantes e assim por diante Como nos exemplos 11 e 12 2 Solução particular é a solução da equação deduzida da solução geral atribuindose valores particulares às constantes arbitrárias Como nos exemplos 7 8 e 10 3 Solução singular é a solução da equação que não pode ser deduzida da solução geral Assim sendo apenas alguns tipos de equações apresentam essa solução No exemplo 7 y 0 é uma solução singular pois ela não pode ser obtida da família mediante atribuição de valor numérico especíco à constante c Observe que para algumas Equações Diferenciais dado mais que uma solução então a combinação linear delas também é solução da ED Denição 7 Geometricamente a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas Estas curvas são denominadas curvas integrais da ED Exemplo 13 Esboce as curvas integrais da ED dy dx 2x Exemplo 14 Sendo dadas as curvas determine para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária 1 y 3x2 2 x 6 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 9 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 2 y csenx C2 cos 421 Exercicios 1 RA 02 RA 03 Encontre as equagoées diferenciais das seguintes familias de curvas a Pyc b y ce c y c cos2x cosen2z d yce ce7 2 RA 03 Verifique se a funcao dada é uma solucao para a equacao diferencial a 2yy0 ye b y 25y y 5tg5x c y 2ayyys3 yer a Ger 3 RA 03 Verifique se a funcao definida por partes é uma solucao para a equacao diferencial dada xv sex 0 a vy2y0 y x sex0 0 sex 0 b y 9xy b y yy 2 ser 0 422 Gabarito fe 1 a yF b yy Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 10 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS c y 4y d y y 2y 0 2 a Sim b Sim c Não 3 a Sim b Sim 43 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Equações Diferenciais Ordinárias EDO de primeira ordem tem a forma dy dx fx y 431 Problema de Valor Inicial PVI Como nos problemas 1 2 e 3 da seção 41 podese observar a necessidade de impor uma condição inicial ao problema Sendo assim seja a EDO de primeira ordem dy dx fx y sujeito a condição inicial yx0 y0 em que x0 é um número no intervalo I e y0 é um número real arbitrário é chamado de problema de valor inicial PVI Em termos geométricos procurase uma solução para a equação diferencial denida em algum intervalo I tal que o gráco da solução passe por um ponto x0 y0 determinado a priori Exemplo 15 Verique que para qualquer constante c y cex é solução da ED y y Note que y cex é uma família a um parâmetro de soluções Dado a condição inicial y0 3 qual é a solução do PVI Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 11 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Esboce a familia de solucoes e destaque a solugao do PVI Quando consideramos um PVI podese questionar duas coisas 1 Existe uma solucao para cada problema 2 Se existe uma solucao ela é tinica Em outras palavras a equacao diferencial a fxy possui uma solucao cujo grafico passa pelo ponto 2 yo E sera que essa solucao se existir é tnica 4 dy xy Exemplo 16 Verifique que y 0 ey 4 sao solugoes para 0 PVI 0 07 Yy Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 12 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Note que nesse exemplo existe solugao mas nao é tnica Dessa forma temse o seguinte teorema Teorema 1 Existéncia de uma tinica Solucao Seja R uma regiao retangular no plano xy definida praxbecyd que contém o ponto Xo yo em seu interior Se fxy e af sao continuas em R entao existe um intervalo I centrado em Lo e uma tinica fungao yx definida em I que satisfaz o problema de valor inicial Resolva fe fxy Sujeito a yxo0 Yo Observacao 1 Note que 1 Garantir que existe solucao nao significa que posstvel exibila 2 O teorema tem condicoes de existéncia e unicidade faceis de serem verificadas 3 Sea equacao diferencial nao satisfaz as condigoes do teorema pode nao ter solugao ter uma unica solucao ou ainda mais que uma solucao Exemplo 17 Para dy 72 y dx observe que fxy 77 y e af 2y sao continuas em todo plano xy Logo para qualquer ponto Xo Yo passa uma e somente uma solugao para a equagao diferencial Porém a equacao nao pode ser resolvida em termos de fungdes elementares podemos expressar uma solugao aproximada usando métodos numéricos A partir de agora sera discutido as metodologias de resolugao de equacoes de primeira ordem dependendo do tipo de equacao diferencial ordinaria de primeiro grau em que se pretende resolver 432 Varidveis Separaveis Definigao 8 Equacao Separdvel Uma equacao diferencial da forma dy gz dx hy chamada separdvel ou tem varidveis separdveis Note que a Equagao Separavel pode ser escrita da forma hydy gxdx 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 13 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Para resolver esse tipo de equacao diferencial como o proprio nome ja diz devese SEPARAR AS VARIAVEIS isto é devese deixar o coeficiente da diferencial dy uma funcdo exclusivamente da varidvel y e o coeficiente da diferencial dx uma funcao exclusivamente de varidvel x hydy gxdx e entao integrando os dois lados segue que raay oeyae Exemplo 18 Resolva as sequintes equagoes por separagao de varidveis 1 3xr1 Resolucgao 1 dy 3x 1dx integrando ambos os lados 3x7 1 2 a 2 1 2dy ydx 0 Resolucgao 2 1 1 dy dzx integrando ambos os lados y 12 Injy Injla4c y elulitee y elnlleco yCila CCx sexl1 Yy CCzr sexrl d x Resposta y x c Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 14 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 4 Resolva o PVI dy dx y2 4 y0 2 Resposta y 2 está solução é singular Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 15 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 433 Exercicios 1 RA 02 RA 03 Resolva a equacao diferencial dada por separacao de varidvel Verifique se a solugao encontrada esté correta h B 2 a 4 sen5z i b B 1 5 c dx edy 0 k yln a uty d ety e e 1 cossecydax secxdy 0 e oe 2ry 0 m 1y2dx V1 2dy 0 y0 v3 f dx x7dy 0 n ydy 4xy ldx y0 1 g wt 4y 0 2yyay y11 434 Gabarito 1 a yzcos5x b y ety 0 y he e d ye e e e ec ya f ye3 g y ca h yo 227 c i ycx1 j ny y cosa c 0 k Ine sv w 2y Iny 1 4cosy 2x sen2x m y a BVT a n Vy 1 20 v2 0 xy eG2 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 16 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 435 Equacgoes Homogéneas Antes de considerar 0 conceito de equagao diferencial homogénea de primeira ordem e seu método de solugao é necessario entender o que é uma funcgao homogénea Definigao 9 Funcao Homogénea Se uma funcao f satisfaz f ta ty t fz y para algum real n e para todo real t 0 tal que txty esteja no dominio de f entao f uma funcao homogénea de grau n Exemplo 19 Verifique se as seguintes funcoes sao homogéneas 1 fxy 2 3ry By Resolucao 3 Note que f tx ty Pa 30 xy 5ty a 3ry 5y t fxy portanto f homogénea de grau 2 2 fty V2 Resposta f homogénea de grau 23 3 fxy r y1 Resposta f nao homogénea Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 17 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 4 fey 244 Resposta f homogénea de grau zero Observagao 2 Se fxy for uma funcao homogénea de grau n entao podemos escrever fay a f 12 e fxy yf 1 zt y em que f 1 u ef 1 sao ambas de grau zero Exemplo 20 fxy 274 3ry y Resolucgao 4 Note que a x x fzyy 31yf 1 y y y e 2 fxy 27 c 432 4 2 a f 1 x x x portanto f homogénea de grau 2 Definigao 10 Equagao Homogénea Uma equacao diferencial da forma M2ydx Nx ydy 0 chamada homogénea se ambos os coeficientes M e N sao funcoes homogéneas do mesmo grau Método de Solugao Uma equacao diferencial homogénea Mx ydx Nx ydy 0 pode ser resolvida por meio de uma substituigao algébrica Especificamente a substituicao y ux ou x vy em que wu e v Sao as novas varidveis indepen dentes transformard a equacao em uma equacao diferencial de primeira ordem separavel De fato se y ux dy udx du Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 18 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS como Mx ydx Nx ydy 0 segue que M a uxdx Nxux ludx xdu 0 Agora pela propriedade de homogeneidade isto é Maux 2M1u Nauxr x N1u podese escrever xM1udx x N1 wu udx xdul 0 ou M1u uN1u dx aN1udu 0 assim dx 1 N1udu 9 zg MiuuN1u Note que nessa ultima expressao temse uma equacao separavel Exemplo 21 Verifique se a equagao homogénea se for resolva 1 a ydx x rydy 0 Resolucao 5 Note que Mx y 27 y e Nx y xxy sao homogéneas de grau 2 logo a equacao homogénea Assim pelo método de solugao das equacées homogéneas considere y ux dy udx du logo a equacgao pode ser escrita como a uxdax x ux udx xdu 0 x1udr 21udu 0 1 1 a du dz 0 1lu x 2 1 1 52 du dz 0 1lu x u2InluInz Inc 1 uIn jee C 2 Y in 7 y x Cx xy cxed Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 19 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 2 QxPydx x ydy 0 Obs Verifique qual escolha de varidvel fica melhor para esta equacao se y ux ou x vy Resposta In y In 5 1 c 3 ee ytaer y11 Resposta y xn e Ina Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 20 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 4 a ydx 2xydy 0 Resposta In x 31n 1 o 436 Exercicios 1 RA 02 Determine se a fungéo dada é homogénea Especifique o grau de homogeneidade quando for 0 caso a fey 2ay b fty Ve Fy4a 3y c fwy cos 5 d fzy y1 2 RA 02 RA 03 Resolva a equagao diferencial homogénea dada usando uma substituicgéo apropriada Verifique se a solucao encontrada estaé correta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 21 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS a a ydx xdy 0 i y acotg 4 dx ady 0 b xdx y 2xdy 0 j 2 2y ydx xydy 0 c y yxdx dy 0 k ey y a y1 2 d 1 20 32y y y1 2 e ydx a xydy 0 m x yedx xedy 0 y1 0 f 2xydx 3x ydy n y32xydxr 4x xydy y1 1 g h5 0 w Jay gh te y a V7yP y1 1 h ye a dye lv p yedx a ayydy 0 y0 1 437 Gabarito 1 a f homogénea de grau 3 b f nao é homogénea c f nao homogénea d f nao homogénea 2 a elnzycxr b wyInay yca y c yln cy d In2 y 2arctg 4 c ce 4x yIny f e y g yx 2Inx e h e 8Iny c i xcosyx c j ytacrey k y 32 In x 82 1 y 4ex y m In x e 1 n 4Inyaalnayxr0 0 34392 4 3xl2y 2y3 5x3 p tx yIny 2 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 22 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 438 Equações Exatas Para resolver as Equações Exatas usaremos a denição de diferencial que foi estudado em Cálculo II isto é se z fx y então o seu diferencial é dado por dz fxdx fydy Sendo assim iniciaremos com um exemplo Considere a equação diferencial ydx xdy 0 Embora ela seja separável e homogênea também é possível escrevêla como o diferencial do produto isto é ydx xdy dxy 0 E por integração obtém imediatamente a solução implícita xy c Lembrese Se z fx y como o seu diferencial é dz f xdx f y dy Então se fx y c temse que f xdx f y dy 0 Isto signica que dada uma família de curvas fx y c é possível gerar uma equação dife rencial de primeira ordem calculando o diferencial Denição 11 Equação Exata Uma expressão diferencial Mx ydx Nx ydy é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função fx y Uma equação diferencial da forma Mx ydx Nx ydy 0 é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 23 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Exemplo 22 Verifique que a equacao x7ydx xydy 0 exata Observagao 3 Note que nesse exemplo encontrar a fungao f tal que f xy e fy xy é trabalhoso Por isso utilizaremos o teorema a seguir Teorema 2 Critério para uma Diferencial Exata Sejam Mxy e Nxy fungdes continuas com derivadas parciais continuas em uma regiado retan gular R Entao uma condicao necessdria e suficiente para que Mx yda Naydy seja uma diferencial exata é OM ON Oy Ox Demonstragao 1 Note que se a equacao Mx ydx Nx ydy é exata entao deve existir uma fungao f talque M f e N fy Disso segue que oe fry oN fyx Mas como as derivadas de M e N sao continuas significa que as derivadas de segunda ordem de f também sao continuas e isso implica que fry fyx Portanto temse que OM ON Oy Ox Método de Solugao Dada a equacao M2ydx Nx ydy 0 mostre primeiro que OM ON Oy Ox Sendo fz y tal que Of Of M2zye Na Aa xy Dy xy podese comecar pela primeira igualdade para chegar a solucdo fxy c Ou também podese comegar pela segunda igualdade para chegar a solucéo fxy c Vamos considerar a primeira opgao integrando Mx y com relacgao a x considerando y cons tante encontre f Fey Mvyde oly 41 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 24 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS em que a fungao arbitraria gy a constante de integracao Agora derivando 41 com relagao a y segue que Of oO 5 5 f Mleude 9 Noy Oy Oy Assim O J y Nxy Dy Mx yda 42 Finalmente integre 42 com relagao a y e substitua o resultado em 41 A solugao para a equagao é fxy c Exemplo 23 Verifique se a equacgao é exata se for resolva 1 2xydx x 1dy 0 Resolugao 6 Se Mxy 2ry e Nxy x 1 segue que oy 27 oN assim a equagao exata entao existe f tal que fr M e fy N Escolhendo f M 2xy integrando ambos os membros em relacao a x segue que fxy 2eydx xy gly Derivando essa expressao em relagao a varidvel y segue que O 5p a8 bay 0 1 8 logo gy 1 entao gy y Portanto fxy xy y e a solugdo da ED é dada implicitamente por fxy c ou seja xyyc0 logo C I PT Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 25 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2 2x y 1dx x 3y 2dy 0 Resposta x2 xy x 3y2 2 2y c 439 Exercícios 1 RA 02 RA 03 Verique se a equação dada é exata Se for resolva a 2x 1dx 3y 7dy 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 26 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS b 5a 4ydax 4x 8ydy 0 c 2y2a 3dx 2yx 4dy 0 d y ysenz xdx 3ry 2ycosxdy 0 e yliny edx 3 a xiny dy 0 f 2y apo G Py 0 g w ydx Qry x 1dy 0 y1 1 h 4y 2a 5dx 6y 4a 1dy 0 y1 2 i y cosa 3xy 2xdx 2ysenz x Inydy 0 y0 e 4310 Gabarito 1 a a 23y7Tyc b 32 dry 2y4 c c y 34 4yc d zy y cosx 2 c e nao é exata f xy arctg3r c g ge ay tay y F h 4ry 2 5a 3yy8 i ysenz ay 2 ylnyy0 4311 Equacgoes Lineares Uma equacao diferencial linear de primeira ordem e primeiro grau tem a forma d 7 Play Aa 43 Fator de Integragao Este método consiste em transformar uma equacao linear numa equacao exata Para tal podese escrever a equacao 43 como dy Pxy Qx de 0 44 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 27 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Equacoes lineares tem a propriedade através da qual podese sempre encontrar uma fungao px em que pxdy px Play Qa de 0 45 é uma equacao diferencial exata se 2 pxPly Qa 46 px pxPxy aa ayl y ou melhor i LL dg MMe P2 Portanto d He Paxdx x Ine f Pl2de a ef Pode 47 A fungao ys definida em 47 6 uma fator de integragao para a equacao linear Observe que esse fator integrante transforma a equacao diferencial linear numa expressao facil de ser resolvida De fato note que pl Pajel PM Px sendo assim multiplicando a equagao 43 pelo fator integrante obtemos a derivada do produto uxy Puxy Quz Re ee y Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 28 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Resumo do método e Para resolver uma equacao linear de primeira ordem primeiro coloquea na forma 43 e Identifique Px e encontre o fator de integracao px ef P4 e Multiplique a equagao obtida em 43 pelo fator de integracao dy px 7 Plaulay Q2u2 e O lado esquerdo da equagao anterior é a derivada do produto do fator de integragao e a varidvel dependente y isto é 1 yey Qu e Integre a equagao encontrada no item anterior e isole y Exemplo 24 Verifique se a equagao é linear e resolva 1 e dy xe Resolucao 7 Note que a ED pode ser reescrito como dy 4 5 x y27e dx a assim o fator integrante é w el paw edine 4 Multiplicando a ED pelo fator integrante segue que ld 14 1 oo y 2e simplificando a expressdo uidx 4a x4 ldy 4 x y xe reconhecendo 0 primeiro membro como a derivada do produto uidx x 1 re integrando ambos os membros em relacao a x x 1 ha y ve dx integrando o segundo membro por partes x 1 wy re ea 1 oe sy re e c isolando 0 y x yxvre xe x Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 29 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2 x2 9 dy dx xy 0 Resposta y c x29 3 dy dx 2xy x y0 3 Resposta y 1 2 7 2ex2 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 30 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 4 dy dx 1 xy2 y2 0 Obs Note que esta equação não se encaixa em nenhuma que foi vista até agora Verique como essa equação ca se escrevemos dx dy Resposta y2 2y 2 x 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 31 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 4312 Exercicios 1 RA 02 RA 03 Encontre a solugaéo para a equacao diferencial linear dada Verifique se a solugao encontrada esté correta a 5y n ay 3 1ye b 3 12y 4 0 ydx 4a ydy 0 c ye p 74 5y 20 y0 2 d y 32y 2 q y tgxy cosz y0 1 e vy ay1 r 4 kT 50 k é constante e T0 200 f w 4ydy 2ydx 0 s 1yIna y1 10 g xdy xsenx ydx t aa 2 2y0 y3 6 h 1 ey tety 0 u s4 y5 2 i cos es ysenr 1 v uu 2y fx onde fr ry dy 23 1 03 j vy 4y a y0 0 k xy ax 2y e 0 r3 d 1 cos esenardy y cos x 1dx 0 w g 2xy fx onde z Oail m ydx xy 2a yedy 0 fx y0 2 0 r1 4313 Gabarito 1 a yce b y3tce c y 4e ce 23 d y tce ec y MES 42 C f sy Ai g y cosax SS h y aq i y senx ccos x y fot tet g y StS k oa x 1 y sec x ccossecx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 32 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS m c FStipt Ss n y e 3 e7 4a 0 x 2y cy p y42e q y senx cos x cosa r Tt 50 150e s 1lyalnxa2421 2x t ys5 i c ly sle 7 Oa3 v y 16 1 24 se lje a 3 1 3 a sts5e O0al e ge ce 4314 Equacgoes Nao Lineares de Primeira Ordem redutiveis a Lineares Resolver equagoes diferenciais nao lineares é muito dificil mas existem algumas delas que mesmo sendo nao lineares podem ser transformadas em equacoes lineares Os principais tipos de tais equacoes sao Bernoulli e Ricatti Vamos tratar apenas da equacao de Bernoulli Equacao de Bernoulli A equacao diferencial dy hn da TP ly Qey 48 x em que n é um nimero real qualquer chamada de equagao de Bernoulli Paran 0en1 a equacao 48 é linear em y Solugao Multiplicando ambos os membros de 48 por y y 0 obtemos n dy n yr Play Qa 19 x Nessa equacao considere y t e derivando em relacao a x temse que 1 ny rs a Logo de 49 temse que n dy ln 1 ny Ln Qx Pwy 410 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 33 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS e entao 1n Qe Ploy dx como y t temse que i t dg Qe Plat isto é dt qq tb Pla t 1 2 Qz Tornandose assim uma equacao linear a ser resolvida pelo método anterior Apos resolvida deve voltar a variavel original y Passos para resolugao de uma Equacao de Bernoulli e dividir a equacao por y e fazer a substituicao t y e resolver a equacao linear e voltar a variavel y Exemplo 25 Resolva as equacoes abaixo 1 wu 2y ay Resposta y Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 34 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2 dy dx 2y x 3xy2 Resposta y 4x2 c3x4 4315 Exercícios 1 RA 02 RA 03 Resolva a equação de Bernoulli dada Verique se a solução encontrada está correta a x dy dx y 1 y2 b dy dx yxy3 1 c x2 dy dx y2 xy d x2 dy dx 2xy 3y4 y1 1 2 e xy1 xy2 dy dx 1 y1 0 4316 Gabarito 1 a y3 1 c x3 b 1 y3 x 1 3 ce3x c exy cx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 35 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS d 1 y3 9 5x 49 5x6 e 1 x 2 y2 ey22 44 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior As equações lineares de ordem n tem a forma an dny dxn an1 dn1y dxn1 a1 dy dx a0y b onde an an1 a1 a0 e b dependem apenas de x ou são constantes 441 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno O problema de valor inicial para equações diferenciais lineares de ordem n é dado por Resolva an dny dxn an1 dn1y dxn1 a1 dy dx a0y b 411 Sujeito a yx0 y0 yx0 y 0 yn1x0 yn1 0 412 412 são chamados de condições iniciais do problema Teorema 3 Existência e unicidade da solução Se an an1 a1 a0 e b são contínuas então existe uma única solução para o problema 411 de valor inicial 412 Exemplo 26 Verique que y 3e2x e2x 3x é a única solução do PVI y 4y 12x y0 4 y0 1 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 36 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equação diferencial de ordem 2 ou maior no qual a variável dependente y ou suas derivadas são especicadas em pontos diferentes Resolva a2 d2y dx2 a1 dy dx a0y b 413 Sujeito a ya y0 yb y1 414 Os valores especicados ya y0 e yb y1 são chamados de condições de contorno ou de fronteira Um solução para o problema em questão é uma função que satisfaça a equação diferencial em algum intervalo I contendo a e b cujo gráco passa pelos pontos a y0 e b y1 Observação 4 Mesmo quando as condições do Teorema 412 estiverem satisfeitas um problema de valor de contorno pode ter várias soluções um única solução ou nenhuma solução Exemplo 27 Verique que y 3x2 6x 3 satisfaz o seguinte problema x2y 2xy 2y 6 y1 0 y2 3 442 Solução Para resolver as Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de ordem superior iniciaremos com de ordem 2 como já vimos elas tem a forma y pxy qxy rx 415 onde px qx e rx são os coecientes yx é a solução do sistema Denição 12 Classicação de homogênea Se rx 0 então a ED é chamada de homogê nea E se rx 0 a ED é chamada de não homogênea Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 37 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS A ED de ordem dois dada em 415 e homogénea possui duas solugées yx yox e sao linearmente independentes isto é uit ux constante Além disso como vocé viu em Modelagem de Sistemas é possivel verificar se duas fungdes continuas sao linearmente independentes analisando o seu wronskiano isto é yiz y2a W yi Y2 0 yx yox Observagao 5 Se a equacao diferencial possuir mais que duas solucoes para analisar a indepen déncia linear s6 é valido utilizar o wronskiano Exemplo 28 Verifique que 1 yx senx e yox cosx sao LL 2 yix sen2x e yox senxcosaz sao LD Dessa forma quando yz e y2x sao LI eles formam uma base para a solugao da EDO de ordem 2 homogénea Exemplo 29 Encontre uma solucao para a ED y y 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 38 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Teorema 4 Princípio da Superposição Equações Homogêneas Sejam y1x e y2x soluções linearmente independentes da equação diferencial linear de ordem 2 homogênea Então a combinação linear y c1y1x c2y2x em que c1 e c2 são constantes arbitrárias é também uma solução Se temos uma solução y1x podese obter y2x mais facilmente Basta utilizar o fato que elas devem ser LI isto é y2x y1x ux logo y2x uxy1x Exemplo 30 Obtenha y2x solução da ED x2y 6y 0 a partir da solução y1x x3 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 39 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 443 Exercícios 1 RA 02 RA 03 Obter y2x nos exercícios abaixo a y 5y 0 com y1x 1 b y 4y 4y 0 com y1x e2x c y 16y 0 com y1x cos4x d x2y 7xy 16y 0 com y1x x4 e xy y 0 com y1x ln x f 1 2xy 4xy 4y 0 com y1x e2x 444 Gabarito 1 a y2 e5x b y2 xe2x c y2 sen4x d y2x4 ln x e y2 1 f y2 x Para encontrar as soluções de uma EDO linear é necessários analisar os coecientes Na sequên cia discutiremos como encontrar as soluções para cada tipo de ED 445 Equações Lineares e Homogêneas de Coecientes Constantes As equações diferenciais ordinárias lineares e homogêneas de coecientes constantes são da forma an dny dxn an1 dn1y dxn1 a1 dy dx a0y 0 onde an an1 a1 e a0 são constantes RESOLUÇÃO Para n 1 tem que se dy dx ay 0 então a solução tem a forma y ceax Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 40 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Dessa forma para equações de ordem maior é natural procurar por soluções exponenciais Sendo assim para n 2 temse que a ED é dada por ay by cy 0 416 onde a e b são constante Utilizando uma solução da forma y eλx e substituindo em 416 segue que aλ2eλx bλeλx ceλx 0 417 eλxaλ2 bλ c 0 418 Como eλx 0 para qualquer valor de x de 418 segue que aλ2 bλ c 0 419 a qual iremos chamar de equação característica da ED 416 Em relação a equação característica pλ aλ2 bλ c 0 temos três casos a considerar CASO 01 RAÍZES REAIS E DISTINTAS Com a hipótese de que a equação característica 419 possui duas raízes reais e distintas λ1 e λ2 encontramos duas soluções para a ED y1 eλ1x e y2 eλ2x Como as soluções são LI segue que a solução geral para 416 é da forma y c1eλ1x c2eλ2x E para uma equação de ordem n ca y c1eλ1x c2eλ2x cneλnx Exemplo 31 Encontre a solução geral da equação 2y 5y 3y 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 41 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS CASO 02 RAIZES REAIS E IGUAIS Se Ap A aplicando a regra do caso anterior teriamos y e e yo e2 No entanto é necessario encontrar solugdes que sejam linearmente independentes pois com as raizes iguais temos que te 1 constante Assim temos que encontrar uma segunda solugao que seja linearmente independente Supondo a equacao em 416 e utilizando o conceito de base em que yox uxyix onde y e temse que Yy2 ue yy ule Que ys ue 4 Du er 4 due Substituindo em 416 segue que aue 2adue adue bue bue cue 0 e assim AL 2 e au 2ad bu ad bA cu 0 Como 4 0 e ad bA c 0 equacao caracteristica tem como sua tinica raiz 2 isto é 2a b 0 temse que au 0 u 0 logo u C e assim uCak Portanto yo Cx Ke Como a solucao do problema é uma combinacao linear de y e yo entao ela é dada por y ce core A propriedade se estende para equacoes de ordem superior y cye cone c307e cna 12 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 42 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Exemplo 32 Encontre a solucao geral da equagao y 10y 25y 0 CASO 03 RAIZES COMPLEXAS Se y a bie y a bias raizes da equacado caracteristica Aplicando a condicao do caso 01 temos a solucao da forma y Cpe hi 4 cy eBie 420 Porém na pratica preferimos trabalhar com funcgoes reais em vez de exponenciais complexas Para tal utilizaremos a formula de Euler e cos 6 isend Como seno é uma fungao impar e cosseno é uma fungao par segue que e cos isend Assim em 420 segue que y e c cz cosba ic cgsenbax fazendo qtaC cy C2 Ca segue que y e C cosba Csenbx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 43 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Exemplo 33 Encontre a solução geral da equação y y y 0 Exemplo 34 Resolva as seguintes equações diferenciais e verique se a solução encontrada está correta 1 y 6y 12y 8y 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 44 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 2 y 4y 0 com y 2 3ey Z 3 dty dy 3 Y 135 36y 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 45 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 446 Exercicios 1 RA 02 RA 03 Resolva as seguintes equagdes Verifique se a solucgdo encontrada esta correta a 4yy 0 b y 36y 0 c y 9y 0 d yy 6y 0 e y 8y 16y 0 f y 3y 5y 0 g y 4y 5y 0 h yl Ay By 0 i yy 0 j yl 3y 3yy 0 k 4 ou 0 1 y 16y 0 y0 2 y0 2 m y Gy 5y 0 y0 0 y0 3 447 Gabarito lL a ya tee 4 b y ce C9 e c y c cos3xz cosen3z d yc1e ce 7 e y ce exe c ff y cyel3V29e2 4 oy 3V292 g y e c cosx cgsenz h yc1 c2e 03 i y ae e ce cos 2c c3sen 2c j ycye cove c327e k y toga e72 cs cos 2c cysen 2c 1 y 2cos4a sen4z m y Se Se Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 46 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 448 Equações Lineares Não Homogêneas Como já foi visto podemos escrever uma Equação Linear Não Homogênea da seguinte forma y pxy qxy rx 421 E sua solução geral é escrita como yx yhx ypx onde y1x y2x formam uma base para a solução da EDO de ordem 2 homogênea yhx solução da EDO de ordem 2 homogênea isto é yhx c1y1x c2y2x ypx uma solução particular função qualquer que satisfaz a EDO de ordem 2 não homogênea A parte da solução dada por yh foi discutido na seção anterior Para determinar yp denominada solução particular dispomos dos seguintes métodos i Método dos coecientes a determinar ou método de Descartes ii Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange iii Método do operador derivada D Nessa disciplina estudaremos apenas o primeiro método 449 Método dos coecientes a determinar Método de Descartes O método de Descartes ou também chamado de métodos dos coecientes indeterminados limitase apenas a equações lineares não homogêneas que tem coecientes constantes rx tem que ser uma constante uma função polinomial uma função exponencial função seno ou cosseno ou somas e produtos nitos dessas funções O candidato a solução particular ypx depende do termo rx Na tabela abaixo encontrase a expressão para tal solução dependendo de qual termo é o rx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 47 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Px agx ax an asAgat Ayartht Ansn P ae senGxr uAga Aya Anyn je cos Bx COS Ba Box Barth treet Brsnyersen Bx Observacao 6 Note que 1 se rx uma composicgao de fungées da primeira coluna ypx composigao das respectivas funcoes na segunda coluna 2 se rx coincide com uma fungado que compoe yx multiplique por x s denota 0 menor inteiro nao negativo s 0 1 ou 2 que garanta que nenhuma parcela de yx seja solugao da equagao homogénea correspondente 3 h denota a ordem da menor derivada da equacao diferencial Exemplo 35 Resolva 1 y 3y 2y 42 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 48 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2 d3y dx3 4 dy dx 1 3x Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 49 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 3 y y 4senx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 50 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 4 y 3y 8e3x 4senx Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 51 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 5 y 2y y ex Verique se a solução encontrada está correta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 52 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 6 y y 4x 10senx yπ 0 yπ 2 Verique se a solução encontrada está correta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 53 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 4410 Exercícios 1 RA 02 RA 03 Resolva as seguintes equações Verique se a solução encontrada está correta a y 3y 2y 6 b 1 4y y y x2 2x c y y 1 4y 3 ex2 d y y 2xsenx e y 2y 5y ex cos2x f y 2y y senx 3 cos2x g y 3y 3y y x 4ex h y 4y 5y 35e4x para y0 3 e y0 1 i y y cos x sen2x para yπ2 0 e yπ2 0 4411 Gabarito 1 a y c1ex c2e2x 3 b y c1e2x c2xe2x x2 4x 7 2 c y c1ex2 c2xex2 12 1 2x2ex2 d y c1 cosx c2senx 3 4x cosx e y c1ex cos2x c2exsen2x 1 4xexsen2x f y c1ex c2xex 1 2 cos x 12 25sen2x 9 25 cos2x g y c1ex c2xex c3x2ex x 3 2 3x3ex h y 10e2x cos x 9e2xsenx 7e4x i y 1 6 cos x π 4senx 1 2xsenx 1 3sen2x 45 Aplicações de Equações Diferenciais Desejase descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos ma temáticos quer sejam eles físicos sociológicos ou mesmo econômicos A descrição matemática de um sistema ou fenômeno recebe o nome de modelo matemático Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 54 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 451 Crescimento Populacional Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio de um modelo matematico foi feita pelo economista inglés Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideia por tras do modelo malthusiano é a hipdtese de que a taxa segundo a qual a populagao de um pais cresce em um determinado instante é proporcional a populacao total do pais naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existirao no futuro Em termos matematicos se Pt for a populacaéo total no instante t entao essa hipétese pode ser expressa por ap kP dt 422 Pto Po onde k é uma constante de proporcionalidade serve como modelo para diversos fendmenos envol vendo crescimento ou decaimento Exemplo 36 Em uma cultura hd inicialmente Po bactérias Uma hora depois t 1 0 ntimero de bactérias passa a ser 3 Pp Se a taxa de crescimento proporcional ao numero de bactérias presentes determine o tempo necessdrio para que o numero de bactérias triplique Resolugao 8 Como aP kP é uma equacao linear entdo seu fator integrante é 4 e e segue que dP kP0 dt dP e Pe 0 dt dy wt e P0 ePc Pce Além disso como P1 3 Pp entdao 3 Py Poe isto é e 3 logo k 32 04 Portanto Pt Poe Agora qual o tempo t para que Pt 3Py Note que 3Pp Poe 3 ett Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 55 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS In3 In 04 t 27h Portanto seraé necessério aproximadamente 3h para que o ntimero de bactérias triplique 452 Meia Vida Em fisica meiavida uma medida de estabilidade de uma substancia radioativa A meiavida é simplesmente 0 tempo gasto para metade dos Atomos de uma quantidade Qp se desintegrar ou se transmutar em atomos de outro elemento Quanto maior a meiavida de uma substancia mais estavel ela é Por exemplo a meia do ultra radioativo radio Ra226 é cerca de 1700 anos Em 1700 anos metade de uma dada quantidade de Ra226 é transmutada em Radénio Rn222 O isdtopo de uranio mais comum U238 tem uma meiavida de aproximadamente 4500000000 de anos Nesse tempo metade de uma quantidade de U238 é transmutada em chumbo Pb206 Da mesma forma que no crescimento populacional a meia vida de uma substancia é descrita pelo mesmo modelo matematico dQ k at 423 Qto Qo Exemplo 37 Um reator converte urdnio 238 em isdtopo de pluténio 239 Apdés 15 anos foi detec tado que 0043 da quantidade inicial Qo de pluténio se desintegrou Encontre a meia vida desse isdtopo se a taxa de desintegracao proporcional a quantidade remanescente Resolucgao 9 Note que apdés 15 anos a quantidade de carbono seré Q15 1 000043Q 9 099957Q 9 Como uo kQ de maneira andloga ao caso de crescimento populacional segue que Qt ce Como Q0 Qo entao Qt Qoe Além disso Q15 099957Qo Qoe assim 0 99957 et In0 99957 jp 1099957 9 goo02867 15 Para determinar a meiavida desse isétopo necessério encontrar t para que Qt oo logo 1 600002867 5 e In2 t B 24176 7416 0 00002867 Portanto a meiavida desse isétopo sao 2418 mil anos Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 56 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 453 Cronologia do Carbono Por volta de 1950 o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade de fósseis usando o carbono radioativo A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio A razão entre a quantidade de C14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma constante e como consequência a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera Quando um organismo morre a absorção de C14 através da respiração ou alimentação cessa Logo comparando a quantidade proporcional de C14 presente digamos em um fóssil com a razão constante na atmosfera é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil O método se baseia no conhecimento da meiavida do carbono radioativo C14 cerca de 5600 anos O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios o tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de Turim Exemplo 38 Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C14 Determine a idade do fóssil Resolução 10 A pergunta do problema é qual deve ser t para que Qt 1 1000Q0 Como dQ dt kQ análogo ao que foi feito no problema de crescimento populacional segue que Qt Q0ekt Além disso como a meiavida do carbono é de 5600 anos então Q0 2 Q0e5600k k 0 00012378 Portanto Qt 1 1000Q0 1 1000 e000012378t t ln1000 0 00012378 55800 Isto é a idade do fóssil é de 55800 anos 454 Resfriamento De acordo com a lei de resfriamento de Newton a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um corpo e a temperatura do meio que o rodeia denominada temperatura ambiente Isto é se Tt representar a temperatura de um corpo Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 57 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS no instante t Tm é a temperatura do meio que o rodeia e dT dt é a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia a lei de Newton do resfriamento é dada por dT dt kT Tm onde k é uma constante de proporcionalidade Exemplo 39 Um bolo é retirado do forno sua temperatura é de 300C Três minutos depois sua temperatura passa para 200C Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75C se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70C Resolução 11 Note T0 300 T3 200 e a pergunta do exercício é qual é o valor de t para que Tt 75 com Tm 70 Assim o PVI é dado por dT dt kT 70 T0 300 T3 200 Pela lei de Newton do resfriamento segue que dT dt kT 70 1 T 70dT kdt ln T 70 kt c T 70 cekt T 70 cekt Como T0 300 então c 230 E como T3 200 segue que 200 70 230e3k 130 230 e3k k ln1323 3 0 19018 Logo Tt 70 230e019018t E assim 75 70 230e019018t e019018t 5 230 t 20 13 Portanto o bolo chegará a temperatura de 75 graus em 20 13 minutos Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 58 CAPITULO 4 EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 455 Circuitos em Série Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor Ldidt e no resistor iR é igual a voltagem aplicada no circuito Et Obtemos assim a equacao diferencial linear para a corrente it di LRi Et Ti t onde L e R sao constantes conhecidas como a indutancia e a resisténcia respectivamente A corrente it também chamada de resposta do sistema A queda de voltagem em um capacitor com capacitancia C é dada por onde q é a carga no capacitor Assim sendo para o circuito em série RC a segunda lei de Kirchhoff nos da Ri Et iaq ct Mas a corrente i e a carga q estao relacionadas por 7 a dessa forma a equacao acima transformase na equacao diferencial linear dq 1 Rq Et an ot EO Exemplo 40 Uma bateria de 12 volts conectada a um circuito em série no qual a indutancia é 5 Henry e a resisténcia 10 ohms Determine a corrente i se a corrente inicial for zero Resolucgao 12 Nesse caso temse que L 12 R 10 E12 e La Ri Et que nesse caso uma equacao linear Queremos encontrar 1 1di 102 12 odb di 20i 24 dt e707 2420t 24 e20tj DO Le 6 20t 12ce 5 Como i0 0 segue que c 65 Logo i eT 20t 5 5 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 59 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 456 Problemas de Misturas A mistura de dois uidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura Exemplo 41 Vamos supor que 50 gramas de sal são dissolvidas em um grande tanque contendo 300 litros de água Uma outra solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três litros por minuto e a solução bem misturada é então drenada na mesma taxa Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos E depois de um longo tempo Resolução 13 A taxa de variação de quantidade de sal no tanque em função do tempo é calculada pela diferença entre a taxa de entrada de sala Re e a taxa de saída de sal Rs O volume inicial é V0 300L a quantidade inicial de sal é Q0 50g a velocidade com que a água entra é qe 3Lmin a velocidade com que a água sai é qs 3Lmin e a concentração de sal que entra é Ce 2gL Se C é a concentração de sal Q a quantidade de sal em t e V o volume de concentração salina segue que V V0 qe qst e C Q V logo Cs Q 300 3 3t Q 300 Portanto dQ dt Re Rs qeCe qsCs dQ dt 6 Q 100 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 60 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Resolvendo essa equação linear e considerando Q0 50 segue que Qt 600 550et100 Dessa forma a quantidade de sal após 50 minutos é Q50 600 550e12 266 41g E depois de um longo período de tempo a quantidade de sal deve ser lim t Qt 600 0 600 isto é depois de um longo período de tempo a quantidade de sala ca próxima de 600g 457 Movimento Harmônico Simples O movimento harmônico simples MHS é o movimento oscilatório ocorrido quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e opostas ao deslocamento É um tipo de frequência do movimento onde oscila a massa Para o movimento harmônico simples unidimensional a equação dos movimentos é aplicada à segunda lei linear com uma equação diferencial ordinária com seus coecientes constantes a partir da segunda lei de Newton e da lei de Hooke F md2x dt2 kx logo d2x dt2 k mx 0 d2x dt2 ω2x 0 onde ω2 km e k é a constante de elasticidade da mola E assim a solução é xt c1 cosωt c2senωt Exemplo 42 Uma massa pesando 2kg distende uma mola em 6cm No instante t 0 a massa é solta de um ponto a 8cm abaixo da posição equilíbrio com uma velocidade direcioanada para cima de 25cms Determine a função xt que descreve o movimento livre da mola Resolução 14 Pela Lei de Hooke mg kx 29 8 k6 k 3 27Ncm Logo o movimento da mola é descrito por d2x dt2 1 64x 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 61 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Resolvendo essa equação diferencial ordinária de segunda ordem com coecientes constantes segue que xt c1 cos1 28t c2sen1 28t Como o deslocamento inicial é x0 8 e a velocidade inicial é x0 25 segue que xt 8 cos1 28t 19 53sen1 28t 458 Exercícios 1 RA 02 Sabese que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante Se a população duplicou em 5 anos quando ela triplicará Quando quadriplicará 2 RA 02 A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15 em 10 anos Qual será a população em 30 anos 3 RA 02 O isótopo radioativo de chumbo Ph 209 decresce a uma taxa proporcional à quan tidade presente em qualquer tempo Sua meia vida é de 3 3 horas Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente quanto tempo levará para 90 de chumbo desaparecer 4 RA 02 Inicialmente havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente Após 6 horas a massa diminui 3 Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo determinar a meia vida desta substância Encontre a quantidade remanescente após 24 horas 5 RA 02 Em um pedaço de madeira queimada ou carvão vericouse que 85 5 do C14 tinha se desintegrado Qual a idade da madeira 6 RA 02 Um termômetro é retirado de uma sala em que a temperatura é 70F e colocado no lado fora onde a temperatura é 10F Após 0 5 minuto o termômetro marcava 50F Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t 1 minuto Quanto levará para marcar 15F 7 RA 02 RA 03 Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia Quando a polícia chega 2 horas depois da chamada examina o cadáver e o ambiente tirando os seguintes dados A temperatura do escritório era de 20C o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35C Uma hora depois medindo novamente Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 62 CAPÍTULO 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS a temperatura do corpo obteve 33 2C O investigador supondo que a temperatura de uma pessoa viva é de 36 5C prende a secretária Por que 8 RA 02 RA 03 Um objeto com massa de 18kg é atado a uma mola cuja constante de elasticidade é 16Nm Qual o período do movimento harmônico simples 459 Gabarito 1 7 9 anos 10 anos 2 760 3 11 horas 4 136 5 horas 88 7 horas 5 15600 anos 6 T1 36 67F aproximadamente 3 06 minutos 7 Porque se considerar a hora da morte sendo a mesma hora que a secretária ligou para a polícia temse que T3 34 2C que é a mesma temperatura medida após três horas que a secretária ligou para a polícia 8 2π8 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 63 2 Capitulo 5 Transformada de Laplace 51 Transformada de Laplace Neste capitulo estudaremos a definigao e as propriedades de uma integral conhecida como Trans formada de Laplace Quando a Transformada de Laplace é aplicada a uma equacao diferencial linear com coeficientes constantes a transforma em uma equacao algébrica que envolve as condicgdes iniciais do problema A transformada de Laplace de uma funcao f é uma transformada integral Isto é ela é da forma B Ys Ks1 ftdt 51 A funcgao Kst é chamada de nitcleo da transformada Para definir a transformada de Laplace precisamos da nogao de integral impropria Definigao 13 Integral imprépria Se ft estiver definida para t 0 entao a integral imprépria Ks1 f tdt 0 é definida por um limite oo b Ks1ftdt Jim Kst ftdt Co 0 0 Se esse limite existir dizemos que a integral existe ou convergente E se o limite nao existe dizemos que a integral nao existe ou é divergente O limite em questao existiréd somente para certos valores da varidvel s 64 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE A escolha Kst e fornece uma transformada integral especialmente importante Definigao 14 Transformada de Laplace Seja f 0co R A transformada de Laplace da fungao ft é Ps f0 fe rida 0 se a integral imprépria converge pelo menos para algum valor de s Exemplo 43 Calcule a transformada de Laplace das segquintes funcoes 1 ft1 Generalizagao Lk ses 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 65 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 2 fite Generalizacao L ekt sesk 3 ftt t0 Generalizagdo L t 4h ses 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 66 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 0 seOt5 4 ft 2 seot Como a transformada de Laplace envolve integragao natural que a transformada herde pro priedades da integral Uma delas é a linearidade Sejam f e g duas fungoes cujas transformadas de Laplace existem Entao Lfaflt Bait fe aflt dgtat 0 co CO a fe reat 3 fegtyat 0 0 alft6L gt para todo a 6 IR O resultado acima permite que calculemos a transformada de algumas fungoes a partir de outras transformadas ja conhecidas Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 67 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 44 Calcule 1 L 5 8t se t 0 2 L cosht e L senht se t 0 cosht etet 2 e senht etet 2 Generalização L coshkt s s2k2 se s k e L senhkt k s2k2 se s k Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 68 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 L sent se t 0 Generalização L senkt k s2k2 se s 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 69 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 511 Condicao de existéncia da transformada de Laplace A integral que define a transformada de Laplace nao necessariamente converge Sendo assim discutiremos quais sao os tipos de fungoes que possuem transformadas de Laplace Inicialmente lembrese que uma funcgao f continua por partes em ab se em qualquer intervalo hA apenas um nimero finito de descontinuidade e toda descontinuidade é de primeira espécie ou seja existem os limites laterais Exemplo 45 Analisando o grafico das funcdes determine quais delas sao continuas por partes c i o at Exemplo 46 Verifique se a funcao continua por partes no conjunto dado 0 set2 1 ft em IR 1 set2 Resolucgao 15 Note que f é constante para todo t diferente de 2 isso porque f é constante Mas emt 2 f nao continua pois seus limites laterais sao distintos a saber lim ft1 t2 e lima ft 0 No entanto f tem limites laterais em t 2 portanto f é continua por partes t2 a 2 t Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 70 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 ft t1 t1 em 0 4 Denição 15 Ordem Exponencial Uma função f é de ordem exponencial em 0 se existem constantes C 0 e k tais que ft Cekt para todo t 0 Df Isto signica que f é limitada superiormente por uma exponecial ou seja f tem crescimento menor que de uma exponencial Exemplo 47 Analisando o gráco das funções determine quais delas são de ordem exponencial Exemplo 48 ft cos2t Resolução 16 Note que ft cos2t 1 1e0t ekt para todo k e t 0 Disso segue que f é de ordem explonencial Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 71 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Para a classe de funcgoes que sao continuas por partes e de ordem exponencial a transformada de Laplace esta bem definida e vale o seguinte teorema Teorema 5 Condicoes Suficientes de Existéncia Seja f uma fungao continua por partes no intervalo 0co e de ordem exponencial tal que existe uma constante C 0 onde ft Ce entao sua transformada de Laplace existe para s k Observagao 7 O teorema garante que se a funcao continua por partes e de ordem exponencial entao existe sua transformada de Laplace Porém essas condigoes sao suficientes mas nao neces sdrias para a existéncia da transformada Por exemplo a funcao ft ai nao continua por partes para t 0 mas sua transformada de Laplace existe Teorema 6 Transformada de Algumas Funcoes Basicas 1 LI4 ses0 2 Lt 25 n12 ses 0 3 LeML ses k 4 Lsenkt wip ses0 5 Lcoskt zy ses 0 6 Lsenhkt 45 ses k 7 Licoshkt zip sesk Exemplo 49 Calcule L sent Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 72 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 512 Transformada Inversa de Laplace Estavamos trabalhando com o problema de dada uma funcao encontrar a sua transformada isto é transformar a funcgao ft em outra fungdo Fs por meio da integral Denotamos isso como Lift Fils Agora vamos trabalhar com o problema inverso ou seja dada uma funcgao Fs tentaremos encon trar uma funcao ft cuja transformada de Laplace seja Fs Dizemos que ft éa transformada de Laplace inversa de Fs e escrevemos ft L Fs A transformada inversa também é um operador linear isto é L aFs BGs al Fs BL Gs Teorema 7 Algumas Transformada Inversas 11L7t 2 L114 n12 8 eM Ltt 4 senkt L7 p 5 coskt L7 2p 6 senhkt 7 45 7 coshkt 7 sp As transformadas de Laplace inversa de uma fungao Fs pode nao ser tinica Se f e fo sao continuas por pares em 00o e de ordem exponencial entao se fit Lfot podese mostrar que f e fz sao essencialmente iguais isto é elas podem ser diferentes somente nos pontos de descontinuidade Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 73 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 50 Calcule 1 9 4 2 Laat 3 1 383 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 74 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 1 4 eae 5 1 sth Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 75 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Nem toda fungao de s é transformada de Laplace de alguma fungao continua por partes de ordem exponencial Teorema 8 Seja ft continua por partes em 000 e de ordem exponencial entao lim Fs lim ft 0 s0o s0o Exemplo 51 Fis s e Fos 45 513 Transformadas de derivadas e Solucao de EDO O nosso objetivo é usar a transformada de Laplace para resolver certos tipos de equacoes diferen ciais Para isso precisamos calcular a transformada da derivada Se ft continua para t 0 da integracao por partes segue que cir few rea 0 co eft s fe reat 0 f0sLft Logo Lift sFs f0 De forma andloga segue que LAS t sLf 0 e substituindo L ft obtemse Lft sFs sf0 f0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 76 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Assim segue 0 teorema Teorema 9 Transformada de uma derivada Se ft ft f Yt forem continuas em 000 de ordem exponencial e se ft for continua por partes em 00o entdo LY fF t sFs 8 F0 sf0 fF 0 onde Fs Lft Podemos aplicar a transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial A transformada de Laplace é apropriada para problemas lineares de valor inicial com coeficientes constantes Exemplo 52 Use a transformada de Laplace para resolver 0 problema de valor inicial y3y e y0 0 Resposta yt Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 77 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 53 Resolva o PVI y y 6y 0 y0 1 y0 2 Observação 8 Observe que para resolver o PVI não encontramos primeiro a solução geral da equação homogênea O método da transformada de Laplace fornece diretamente a solução particular desejada Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 78 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 54 Resolva o PVI y y t y0 2 y0 1 Verique se a solução encontrada está correta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 79 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 514 Teoremas de translagao derivada de uma transformagao convolu cao e funcoes peridédicas Nao é conveniente usar a definicao da transformada de Laplace cada vez que for necessdrio encontrar a transformada de uma fungao alguns exemplos sao extremamente trabalhosos A seguir veremos varios teoremas que facilitam o cdlculo de transformadas Isso nos possibilita construir uma lista mais extensiva de transformadas sem a necessidade de usar a definicgao da transformada de Laplace Teorema 10 Primeiro teorema de translacao Sec éum ntmero real entao Lieft Fso onde Fs Lft Demonstracao 2 Pela definicao da transformada segue que Lfeft fetetroat feeorroae Fsc pois Fs Lft pews 0 0 0 A forma inversa desse teorema pode ser escrita como e ft LFso onde ft Fs O teorema acima nos diz que uma translagao no eixo s corresponde a uma multiplicagao da funcao em t por uma exponencial Exemplo 55 Calcule 1 Let Resolugao 17 Como CL t S entao pelo teorema da translagao 6 Life ert s54 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 80 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 2 Le cos4t Resposta ae 3 L acs Resolugaéo 18 Note que s 4s 5 s21e L sent si Fs entao Fs 2 ss Assim L esent zs portanto 1 1 2t L acaas esent Definigao 16 Funcao Degrau Unitdrio A fungao Ut c definida por 0 Ote Utc 1 tc Exemplo 56 Descreva e esboce a funcao dada 1 Ut Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 81 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 2 Ut 2 3 t 1Ut 1 4 sentUt 2π Teorema 11 Segundo teorema de translação Se c for uma constante positiva então L ft cUt c ecsFs onde Fs L ft Demonstração 3 Pela denição da transformada de Laplace segue que Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 82 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE LiftUuto pere cUt cdt pevre cdt Fazendo a mudanga de 0 c varidvel ut c segue que LiftQUto fee fadu e e fudu e Fs 0 0 A forma inversa desse teorema pode ser escrita como ftOUutc L fe Fs Exemplo 57 Calcule 1 LUt c Resolugao 19 Note que ft 1leLl1 Assim pelo segundo teorema da translacao segue que LUtc e 7 s s 2 LsentUt 27 Resposta nL Sar Resolugdo 20 Note que c m2 e ft Lo aig sen3t logo Lo sar 3sen 3t 72Ut 12 48en 3t 302 Ut 12 cos 3t Ut 12 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 83 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE sentOt 4 Lft onde ft sent cos t t i Resposta see 5 Lo 5 Resposta t t 2Ut 2 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 84 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 58 Dado o PVI y y ft y0 0 y0 0 em que ft 0 0 t π 1 π t 2π 0 t 2π 1 Use a transformada de Laplace para resolver o PVI dado Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 85 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 2 Verique se a solução encontrada está correta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 86 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Agora note que se Fs ft entao derivando sob o sinal da integragao segue que 4Fs period wo dy st e ft dt Glerol 0 CO e tf tdt 0 Liift Analogamente temse que da 9 ql s Lit ft Disso segue 0 proximo teorema Teorema 12 Derivada da transformada Para n 123 temse que n n d LAM FOF YFG Fs s onde Fs Lft Exemplo 59 Calcule 1 Lte Resolugéo 21 Note que L e 4 Fs Assim Lfte 1Fs a s3 s 3 2 Ltsent Resposta oe Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 87 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 Lte cost Resposta rai 4 OS Resolugao 22 Note que Fs zig L sen3t e Fs Giy como Ltft Fs entao L tsen3t ao Portanto 6s 1 L lar tsen3t 5 L arctg 4 Resposta Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 88 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Exemplo 60 Use transformada de Laplace para resolver o PVI y 6y 9y t2e3t y0 2 y0 6 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 89 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Definicgao 17 Convolucao Se as fungoes f e g forem continuas por partes em 000 entao a convolugao de f eg é dada pela integral t Fg t f faglt ade 0 Da definigao segue que feggrf Exemplo 61 Calcule e e t At Resposta Teorema 13 Teorema de convolucao Sejam ft e gt fungdes continuas por partes em 000 e de ordem exponencial entao LifgtLift Lig Fs Gs Esse teorema é algumas vezes ttil no calculo da transformada de Laplace inversa de um produto de duas transformadas Do teorema segue que LFsGs f g Exemplo 62 Calcule t 1L en oar 0 Resolucao 23 Note que t L ersentt xdz L e x sent L e sent ee s1s41 s1s41 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 90 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 1 2 oes Observe que vocé pode calcular essa transformada inversa usando decomposigao em fracoes parciais como fizemos anteriormente Resposta Exemplo 63 Use transformada de Laplace para obter ft na equagao t ft 3P e fre dr 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 91 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 14 Teorema de uma fungao periddica Seja ft continua por partes 000 e de ordem exponencial Se ft é periddica de periodo T entao T l s Lif ow f tdt 0 Exemplo 64 Calcule a transformada de Laplace da fungao periddica dada pelo grafico J A 2 Resposta a 2 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 92 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DELAPLACE 515 Funcao delta Dirac No teorema 8 vimos que Fs 1 nao pode ser a transformada de Laplace de uma fungao continua por partes e de ordem exponencial No entanto agora veremos uma funcgao mais precisamente uma fungao generalizada cuja transformada de Laplace Fs 1 Sistemas mecanicos sofrem frequentemente a agaéo de uma forca externa ou forca eletromotriz num circuito elétrico de grande magnitude que age somente por um curto periodo Por exemplo a asa de um aviao vibrando poderia ser atingida por uma raio uma massa numa mola poderia sofrer a acao de uma martelada uma bola poderia ser mandada pelos ares quando atingida violentamente por algum tipo de tacada Primeiramente consideremos uma funcao que pode servir como modelo para tal forga 0 Ottya datto4 so toacttota 0 t to a onde a 0 e to 0 poderia servir como um modelo para forgas como esta A fungao 64t to é chamada de impulso unitario pois satisfaz dat todt 1 0 Na pratica é conveniente trabalhar com um outro tipo de impulso unitario uma fungao que aproxima 6t to e é definido pelo limite dt to lim dt to a0 Note que 6ttg na verdade nao é uma fungao mas pode ser caracterizada por duas propriedades oo tto i d to 0 tto ii 5t todt 1 0 O impulso unitaério 6t to é chamado de fungao delta de Dirac E possivel obter a transformada de Laplace da funcao delta de Dirac supondo formalmente que LYdtto lim L dat to No préximo teorema temos a transformada de tal fungao a Teorema 15 Teorema da funcao delta de Dirac Para to 0 Ldtto e Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 93 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Demonstragao 4 Comecamos escrevendo a fungdo 5t to a partir da fungao degrau unitdario 1 dat to 3a U t to a U t to Assim 1 e stoa e stota es4 esa L5t to e 52 15a 0 x S S 25a 52 Como 52 uma indeterminagao quando a 0 aplicamos a regra de LHépital 5t to lim L 5at to e lim 2 0 fim SSE esto 28 esta ONS O50 OnS a0 2sa 7 a0 2s 7 2s Note que se to 0 entao dt 1 Além disso pelo teorema 8 esperariamos L f t 0 quando s oo mas isso nao alcontece com a funcao delta de Dirac Exemplo 65 Resolva y y 40t 27 sujeito a y0 1 e y0 0 usando transformada de Laplace Resposta s 2 f Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 94 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 516 Resolucao de Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares Considere um sistema de equacoes diferenciais lineares T At ee Aintn gt Ly ay Aontn grt DoS EH v Ant Gnnin Gnt veremos agora como resolver sistemas lineares com coeficientes constantes usando a transformada de Laplace Exemplo 66 Resolva o PVI vu 2x4 2y y 3ry x01 y0 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 95 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 517 Exercicios 1 RA 02 Calcule sem consultar uma tabela a transformada de Laplace de 1 0tl a t a Ft Ly t Otl b t 9 b ft 1 t sent Ot7 c t c 0 ae d ft e ec ft te f ft e sent 2 RA 02 Calcule a transformada de Laplace de a ft 2 b ft 4t 10 c ft t6t3 a ft t 1 e ft 1 e f ft 1e g ft 4t 5sen3t h ft esenht i ft sen2t cos2t j ft cost cos2t sugestao examine cost tz k ft sent cos2t sugestao examine sent t 3 RA 02 Ache a transformada inversa de Laplace da fungao dada Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 96 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE a 3 i 355 b 448 i sas Ss 3 Ss c Soe kK ps d Z 7 5 1 52 3526 ce ga m Gaeta f 0 aarp wa 0 wae h 36 0 ee 4 RA 02 Encontre Fs ou ft como indicado a L tel 1 t 1Ut 1 b 32 m L tUt 2 c etsen3t n L cos2tUt m d esenh3t o Lt 13e 1Ut 1 e L t eh ey p sx f L esent q 7 su 1 1 s g a 0 1 oh h o Pest s L tcos2t i 7 zane t tsenht j 7 air u L tesen6t i 1 stats 2 ene 5 RA 02 Encontre a transformada de Laplace da fungao dada 2 O0t3 a t a Ft 1 a 0 Otl b t 9 b Ft i t Ot2 c t 7 c ft 0 i 6 RA 03 Esboce o grafico da fungao dada a L7eS Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 97 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE b ft 7 2 8 7 RA 02 Use o teorema da derivada da transformada 1 d tLF ro0 Ere para encontrar a transformada de Laplace inversa dada a In 4 b 5 aretg 5 8 RA 02 Use o resultado de fel e e a transformada de Laplace da derivada para calcular L fet 9 RA 02 Use o resultado de cost sen2t e a transformada de Laplace da derivada para calcular cos t 10 RA 02 RA 03 Enontre a transformada de Laplace da fungao dada sem resolver a integral t a L vas t 0 d a t 0 b tle own ce L1t f LP xt c wena g Lfe e cost 0 11 RA 02 Use a transformada de Laplace da convolugao para encontrar ft a c 4 1 1 b taes Otte 12 RA 02 RA 03 Use a transformada Laplace para resolver os seguintes problemas de valor incial Verifique se a solucao encontrada esta correta a y y1 y0 0 b y4ye y0 2 c y 5y 4y 0 y0 1 y0 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 98 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE d y 6y 9y t y0 90 y0 1 e y 4y 4y e y0 0 y0 0 f y y sent y0 1 y0 1 g yy e cost y0 0 y0 0 0 0Otl h yy ft y0 0 onde ft 7 h y y ft y0 ft ae t Otl i y 2y ft y0 0 onde ft 7 i y 2y ft y0 ft ees j y 4y sentlt 27 y0 1 y0 0 0 Ota7 k y y ft yO 0 0 1 onde ft 4 1 mt2n 0 t27 1 y 3y dt 2 y0 0 m y y dt 27 y0 0 y0 1 n y y 6t m 6 t 3x y0 0 y0 0 0 y 2y dt 1 y0 9 y0 1 p y 4y 5y dt 27 y0 0 y0 0 q y 4y 13y dtm 4 t 37 y0 1 y0 0 13 RA 02 Use a transformada Laplace para resolver a equagao integral dada ou a equacao integrodiferencial t a f twflwau t 0 t b ft tes fuft udu 0 t 0 fe f fdu1 0 t yt 1 sent f yudu y0 0 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 99 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE 14 RA 02 RA 03 Um tanque contém 1000 litros de Agua com 30kg de sal dissolvidos e esta ligado a duas valvulas A e B A partir do instante t 0 entram no tanque através de A 6Lmin de uma solucgao com uma concentracao de 04kgL de sal A partir do instante t 10 a valvula A é fechada e passam a entrar através de B 6Lmin de uma solucgao com uma concentracao de 02kgL de sal Existe também a valvula de saida C pela qual saiem 6Lmin de solugao mantendose constante o volume da solugao dentro do tanque Suponha ainda que em cada instante as solugdes sao homogéneas Determine em cada instante a quantidade de sal dentro do tanque 6 Lmin 04 kgL B 10001 ie 20 30 kg 6 Lmin 15 RA 02 RA 03 Em um circuito em série a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensaéo em um indutor resitor e capacitor é igula 4 voltagem impressa Ft Sabendo que a queda de tensao através do indutor é igual a Le através do resistor igual 4 Rit e através t do capacitor é igual 4 4 iudu em que it a corrente e L R e C sao constantes Disso 0 segue que a corrente em um circuito como na figura abaixo HO a L 2 c al es satisfaz a equacgao integrodiferencial d t i 1 LRi tudu Et TtRig f iwdu EW 0 Use a equacao acima para determinar a corrente it em um circuito em série L RC quando CL 0005henry R lohm C 0 02farad Et 100 1 Ut 1volts e 70 0 16 RA 02 Lembrese que a equacao diferencial para a carga qt em um capacitor em um circuito em série R Cé re to RQ dt Cl Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 100 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE onde Et é a voltagem impressa Use a transformada de Laplace para determinar a carga qt quando q0 0 e Et E0etRC 17 RA 02 A deexão estática yx de uma viga uniforme de comprimento L suportando uma carga wx por unidade de comprimento satisfaz a equação de quarta ordem EI d4y dx4 wx onde E é o módulo de elasticidade de Young e I é um momento de inércia de uma seção transversal da viga Considere uma viga de comprimento L que está xa em ambos os extremos engastada com y0 0 yL 0 y0 0 e yL 0 As duas primeiras condições indicam que não a deexão vertical nas extremidades e as outras duas signicam que a linha de deexão é horizontal nos extremos Encontre a deexão da viga quando uma carga constante w0 está uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento isto é quando wx w0 0 x L 18 RA 02 Usando transformada de Laplace encontre uma solução geral para os seguintes sistemas a x y x y 2x x0 0 y0 1 b x x 2y y 5x y x0 1 y0 2 c 2x y 2x 1 x y 3x 3y 2 x0 0 y0 0 d x x y 0 y y x 0 x0 0 x0 2 y0 0 y0 1 e x y t2 x y 4t x0 8 x0 0 y0 0 y0 0 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 101 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE f x 3y 3y 0 x 3y tet x0 0 x0 2 y0 0 19 RA 02 Duas massas m1 e m2 estão presas a duas molas A e B de massa desprezível com constantes k1 e k2 respectivamente E as duas molas estão unidas como mostra a gura abaixo Sejam x1t e x2t os deslocamentos verticais das massas em relação às respectivas posições de equilíbrio a Determine o sistema de equações que descrevem o movimento do sistema acoplado a partir da lei de Hooke b No sistema acima cosidere k1 6 k2 4 m1 1 m2 1 e as massas partem de suas respectivas posições de equilíbrio com velocidades unitárias opostas Resolva o sistema 20 RA 02 RA 03 Considere dois tanques Suponha que o tanque A contenha 50 galões de água na qual estão dissolvidas 25 libras de sal Suponha que o tanque B contenha 50 galões de água pura O líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como na gura abaixo Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 102 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE Agua pura mistura 3 galmin 1 galmin as mistura mistura 4 galmin 3 galmin Suponha que a mistura trocada entre os dois tanques e o liquido bombeado para fora do tanque B estejam bem misturados Faca o que se pede a Determine o sistema de equagdes que descreve o problema de mistura se xt e xt descrevem o numero de libras de sala nos tanques A e B respectivamente no instante t b Aplique transformada de Laplace para resolver o sistema da letra a c Quanto de sal tera nos tanques apés um longo periodo 21 RA 02 RA 03 Uma rede elétrica com mais de uma malha da origem a equagoes diferenciais simultaneas Considere as correntes it e i2t na rede mostrada figura abaixo contendo um indutor um resistor e um capacitor KAKI QW i L i E RY ae Segundo a primeira lei de Kirchhoff e a segunda lei de Kirchhoff as correntes 7t e i2t sao governadas pelo sistema L Rip Et RCO igi 0 Faca o que se pede a Resolva o sistema a partir da transformada de Laplace sob as condigées Et 60V L 1h R 50Q C 10f e supondo que as correntes iniciais 7 e ig sao inicialmente nulas Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 103 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE b Determine a corrente i3t 7t 7it que passa pelo capacitor apds um longo periodo de tempo 518 Gabarito 1 a 2e b ye d S c f spa 2 a 8 48 sa atotats 0 Sta 8 33 h sQ55 35 i 2h i s253 k 2h ea 2 3 a b 24 c 13t 3 3 d t1e e tent f 2sen7t g cost2 Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 104 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE h jsenh4t i 2cos3t 2sen3t i he k 2e7 te 1 56 ef Fe m Ze Re de n 7 sen2t 0 fe cos2t sen2t p Zsent ésen2t 4 a Gap b aa as 4 G3 ey ter ter 5 sa wtih g 11262 h esent i e cost 2esent j et te k 5t5e 4tet 3te S m 2 n aye 0 Gay p 5t 2Ut 2 q sentlt 7 r Ut 1 e YUt 1 s Sa Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 105 CAPÍTULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE t 6s22 s213 u 12s24 s22362 v 1 2tsent 5 a 2 s 4 se3s b 2 es s3 2 es s2 es s c 1 s2 e2s s2 2 e2s s 6 a b 7 a ete3t t b sen2t t 8 1 s1 9 1 s 2 ss24 10 a 1 ss1 b s1 ss121 c 1 s2s1 d 3s21 s2s212 e 6 s5 f 48 s8 g s1 s1s121 11 a 1 et b 1 3et 1 3e2t c 1 4tsen2t 12 a y 1 et b y te4t 2e4t c y 4 3et 1 3e4t d y 1 9t 2 27 2 27e3t 10 9 te3t e y 1 20t5e2t Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 106 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE f y cost sent St cost g y 5 45e cost Sesent h y 55e Ut 1 i y 44 4t4 te Ft 1 t DUt 1 te DUE 1 j y cos2t Esen2tUt 2m Fsentlt 27 k y sent 1 cost Ut 7 1 costUt 27 y et 2 m y sent sentUt 27 n y costU t 3 costU t 2 0 y44e 2 Fe YU 1 p y e 22 sen tUt 277 q y e cos3t Ze7sen3t ge 7 sen 3t Ut 7 Fe 23 sen 3t 37 Ut 37 13 a ft sent b ft ge gel Ste Get c fte d y sent tsent Bt 00 t 10 14 xt 400 370e 500 200 3t10 le 500 15 it 20000 te0 1e Yt 1 16 qt te RC Wi 2 W W W 17 yx Weg Woh 73 4 wo gt sve 9x L 1 eae y 3e Ge b a cos3t 3sen3t y 2cos3t fsen3t 23t 4 5p2 1 0 eS Yr3e 56 G Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 107 CAPITULO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE a L it 2 2sen 2t y 3t 2 2sen V2t e c8i84t e y 70 x4 f c t4tl1let yZge itet 19 a mal ky2 kox2 2X1 Mor kox2 r1 b xt 2senV2t 3 sen3t X2t 2senV2t 3senV3t vy a 5X2 20 a r ery Ly x10 25 20 0 0 ay Ber t 4 Be312 2q Ber t 2 312 c Em ambos os tanques nao haverd mais sal depois de muito tempo 21 a it e710 60te 1 e int e710 120te 10 b A corrente i3t fica proxima de zero num longo periodo de tempo Material produzido por I P Bastos K C Arsie e L V da Silva 108 Referências 1 ABUNAHMAN SERGIO Equações Diferencias LTC 1994 2 BENEVIDES P Equações Diferenciais httppaginapessoalutfpredubrpaulabenevidesequacoes diferenciais 3 BOYCE WE e DIPRIMA RC Equações diferencias elementares e problemas de valores de contorno LTC 2006 4 ZILL DG e GULLEN MR Equações Diferenciais Vol 1 e Vol 2 Pearson 2006 109