Solução de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

1 soluções linearmente independentes y1 e y2 isso significa que nem y1 nem y2 são múltiplos um do outro Por exemplo os funções fx x² e gx 5x² são linearmente dependentes Teorema 2 Se y1 e y2 forem soluções linearmente independentes de Px d²y Qx dy Rx y 0 em um potencial de de e Px nunca for 0 então a solução geral será dada por yx C1y1x C2y2x isto quer dizer que se conhecermos duas soluções particulares linearmente independentes então conhecemos todas as soluções Então temos de Px d²y Θx dy Rx y 0 então substituindo y por r² y por r e y por 1 temos de ay by cy 0 temos ar² br c 0 a equação auxiliar também chamada de equação característica da equação diferencial ay by c 0 como é uma equação do 2º grau suas raízes são r1 b b²4ac2a e r2 b b²4ac2a logo se caso 1 b²4ac 0 temos raízes reais distintas r1 e r2 se a raiz r1 e r2 da equação auxiliar a r²brc0 forem reais e distintas então a solução geral de ay by cy 0 e y c1er1x c2er2x Equações lineares de segunda ordem Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma Px d²ydx² Qx dydx Rx y fx onde P Q R e f são funções contínuas equações desse tipo aparecem no estado do movimento de uma vela e em circuitos elétricos Vamos estudar os casos em que Qx 0 portanto temos equações lineares homogêneas Px d²ydx² Rx y 0 e se Qx 0 para algum x a equação é não homogênea Dois fatos básicos permitemnos resolver equações lineares homogêneas 1 O primeiro é que se conhecemos duas soluções y1 e y2 da equação então a combinação linear y Ay1 Cy2 também será uma solução 2 O segundo é a solução geral é uma combinação linear de duas soluções linearmente independentes y1 e y2 Partimos de y y q 0 Resolva y y q 0 Resolvam 3y dy y 0 ex 4 Resolve a equação y 6y 13y 0 1 eq auxiliar r² 6r 13 0 Problemas de valores iniciais e valores de contorno continuando 6 y0 0 vamos derivar y C₁e3x C₂e2x exe 10 Resolva o problema de valor inicial y y 0 y0 2 e y0 3 1 eq auxiliar r²10 2 Δ 0²411 40 3 r₁ 1 42 2i r₂ 42 42 2i 4 y e²xc₁cosβxc₂senβx α0 e β1 y e0xc₁cos1xc₂sen1x y c₁cos x c₂sen x 5 y0 2 então y0 2c₁cos0c₂sen0 e₁cos0c₂sen02 e₁1c₂02 c₁2 e 6 y0 3 y0 31e₁sen01c₂cos0 3c₂1 c₂3 7 então a solução do problema inicial é y2cos x 3sen x então y 3xC₁e3x 2xC₂e2x exe Resolva o problema de valor de contorno y 2y y 0 y0 1 e y1 3 1 eq auxiliar r² 2r 1 0 2 Δ2²411440 r₁r₂ 3 r₁ r₂ 2 0 221 4 solução Geral erx c₁ex c₂xex 5 as condições de contorno são satisfeitas se y01 y01c₁e0 c₂0e0 1 e₁ c₂0 c₁1 e y1 3 y1 c₁e1 c₂1e1 3 e₁ 1c₂ e1 6 como c₁1 então 11c₂3 1c₂3c₂31 a solução do problema de contorno é y1ex 31x ex y 3C₁e3x 2C₂e2x e agora trabalho 4 1 Resolva as equações Diferenciais a yy6y0 Ryc₁e3xc₂e2x b y16y0 Rye0cos4xc₂sen4x c qy12y4y0 Ryc₁esqrt 3 12e₂e3212 d 2d²ydt² 2dydt y0 Ryc₁exc₂ex e 100 d²pdt² 200dpdt 101P0 R P ete₁cosζ0c₂senζt 2 Resolva o problema de valor inicial a 2y5y3y0 y03 e y04 Ry2e32 c ex b 9y12y4y0 y01 e y00 Rye2y3 2x e23 3 Resolver o problema de valor de contorno a y4y0 y05 e yπ43 Ry5e02x 3sen2x b y4y4y0 y02 e y10 Ry2e2x 2x e2x 7 avaliar y0 0 y0 0 3C₁e0 2C₂e0 3C₁ 2C₂ 0 8 vamos resolver o sistema abaixo para definirmos C₁ e C₂ C₁ C₂ 1 3C₁ 2C₂ 0 35 3C₂ 3 3C₁ 2C₂ 0 5C₂ 3 C₂ 35 então C₁ 1 35 25 9 a solução particular é y 25e3x 35e2x