Aula 03 e 04: Coordenadas Cilíndricas e Esféricas no Eletromagnetismo

1 Eletromagnetismo Aula 03 e 04 Coordenadas cilíndricas e esféricas 1 Sistema de coordenadas cilíndricas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜌 𝜙 𝑧 Superfícies coordenadas cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝜌0 𝜙0 𝑧0 𝜌 𝜌0 cilindro circular de raio 𝜌0 com eixo central no eixo coordenado 𝑧 𝜙 𝜙0 semiplano com início no eixo coordenado 𝑧 e ângulo 𝜙0 no semiplano 𝑥𝑧 𝑧 𝑧0 plano infinito paralelo ao plano 𝑥𝑦 passando pelo ponto 𝑧0 Versores coordenados perpendiculares às superfícies coordenadas no sentido do aumento da coordenada 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 Produto escalar 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 𝑒𝜌 0 𝑒 𝑒𝜌 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 1 Produto vetorial 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝜌 𝜙 𝑧 𝑒 𝑒𝜌 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝜙 𝑒𝑧 𝑒𝑧 0 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝜌𝑒𝜌 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑧𝑒𝑧 Transformação de coordenadas e vetores Transformação entre coordenadas 𝑅 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 𝑅 𝜌 cos 𝜙 𝑒𝑥 𝜌 sin 𝜙 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 Transformação entre versores cartesianos e cilíndricos 𝑒𝜌 𝑅 𝜌 𝑒𝜙 1 𝜌 𝑅 𝜙 𝑒𝑧 𝑅 𝑧 Matriz de transformação entre versores 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑒𝑗 onde 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝜌 𝑒𝑥 cos 𝜙 𝑒𝜙 sin 𝜙 𝑒𝑧 0 𝑒𝑦 sin 𝜙 cos 𝜙 0 𝑒𝑧 0 0 1 Transformação das componentes covariância das equações vetoriais 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝑒 𝐴 𝐴𝜌𝑒𝜌 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 𝑜𝑢 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 2 Exemplo 1 Um campo vetorial definido em coordenadas cilíndricas é 𝐵 3 cos 𝜙 𝑒𝜌 2𝜌𝑒𝜙 𝑧 𝑒𝑧 a Qual é o campo no ponto 𝑃4 600 5 b Expresse a localização do ponto 𝑃 em coordenadas cartesianas e c expresse o campo 𝐵𝑃 em coordenadas cartesianas Distância entre pontos 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 transformar as coordenadas Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 As coordenadas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝜌 𝜙 𝑧 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 1 𝜌 1 𝑑𝑙 𝑑𝜌 𝑒𝜌 𝜌𝑑𝜙 𝑒𝜙 𝑑𝑧 𝑒𝑧 𝑑𝑠 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 𝑒𝜌 𝑑𝑧𝑑𝜌 𝑒𝜙 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙 𝑒𝑧 𝑑𝑣 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 Exemplo 2 A componente diferencial de área normal à superfície de um cilindro é 𝑑𝑠𝜌 𝑑𝑠 𝑒𝜌 Considere um cilindro de raio 𝑅 e altura 𝐻 Use o elemento diferencial apropriado para encontrar uma fórmula para a área da superfície e outro elemento diferencial para encontrar seu volume Calcule a área do disco que forma a superfície cilíndrica fechada 2 Sistema de coordenadas esféricas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑟 𝜃 𝜙 Superfícies coordenadas cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝑟0 𝜃0 𝜙0 𝑟 𝑟0 esfera de raio 𝑟0 com centro na origem 𝜃 𝜃0 cone circular com vértice na origem e ângulo de abertura 𝜃0 em relação ao eixo 𝑧 𝜙 𝜙0 semiplano com início no eixo coordenado 𝑧 e ângulo 𝜙0 no semiplano 𝑥𝑧 Versores coordenados perpendiculares às superfícies coordenadas no sentido do aumento da coordenada formando um triedro direito 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜙 Produto escalar 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝑧 𝑒𝜙 𝑒𝑟 0 𝑒 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒𝜙 1 3 Produto vetorial 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟 𝜃 𝜙 𝑒 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜃 𝑒𝜙 𝑒𝜙 0 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑟 𝐴𝜃𝑒𝜃 𝐴𝜙𝑒𝜙 Transformação de coordenadas e vetores Transformação entre coordenadas 𝑅 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦 𝑧 𝑒𝑧 𝑅 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝑥 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝑒𝑦 𝑟 cos 𝜃 𝑒𝑧 Transformação entre versores cartesianos e esféricos 𝑒 𝑟 𝑅 𝑟 𝑒𝜃 1 𝑟 𝑅 𝜃 𝑒𝜙 1 𝑟 sin 𝜃 𝑅 𝜙 Matriz de transformação entre versores 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗𝑒𝑗 onde 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝑟 𝑒𝑥 sin 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝜃 cos 𝜃 cos 𝜙 𝑒𝜙 sin 𝜙 𝑒𝑦 sin 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜙 𝑒𝑧 cos 𝜃 sin 𝜃 0 Transformação das componentes covariância das equações vetoriais 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝑒 𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑟 𝐴𝜃𝑒𝜃 𝐴𝜙𝑒𝜙 𝐴𝑖𝑒𝑖 3 𝑖1 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 𝑜𝑢 𝐴𝑖 𝐴 𝑒𝑖 Exemplo 3 Considerando o ponto 1 1 2 dado em coordenadas cartesianas calcule o valor do campo vetorial 𝐴𝑥 𝑦 𝑧 2𝑒𝑥 𝑥2𝑒𝑦 𝑥𝑦𝑒𝑧 em a coordenadas cartesianas b coordenadas cilíndricas e c coordenadas esféricas Distância entre pontos 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 transformar as coordenadas Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 As coordenadas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑟 𝜃 𝜙 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑙 𝑑𝑟 𝑒𝑟 𝑟𝑑𝜃 𝑒𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙 𝑒𝜙 𝑑𝑠 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑒𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑒𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑒𝜙 𝑑𝑣 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 4 Exemplo 4 A componente diferencial de área normal à superfície da esfera é 𝑑𝑠𝑟 𝑑𝑠 𝑒𝑟 Considere uma esfera de raio 𝑅 Use o elemento diferencial apropriado para encontrar uma fórmula para a área da superfície da esfera e outro elemento diferencial para encontrar seu volume R4𝜋𝑅2 4 3 𝜋𝑅3 3 Resumo das coordenadas coeficientes métricos e versores 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 𝜙 𝑧 𝑟 𝜃 𝜙 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑒1 𝑒2 𝑒3 111 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 1 𝜌 1 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑧 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑒𝑟 𝑒 𝜃 𝑒𝜙 4 Exercícios Exercício 1 Expresse o vetor posição do ponto 𝑄345 em coordenadas cilíndricas R 5𝑒𝜌 5 𝑒𝑧 Exercício 2 As coordenadas cilíndricas de dois pontos são 𝐴4 600 1 𝑒 𝐵3 1800 1 Encontre a distância entre os pontos R41 Exercício 3 Transforme as coordenadas cartesianas 4 612 em coordenadas esféricas R 14 310 30370 Exercício 4 Expressar o vetor 𝑒𝑦 em coordenadas esféricas e o vetor 𝑒𝜃 em coordenadas cartesianas Exercício 5 a Encontre a transformação entre as coordenadas cilíndricas e esféricas e b encontre a matriz de transformação entre os versores cilíndricos e esféricos Exemplo 6 Uma nuvem de elétrons está confinada na região entre duas esferas de raios 2 𝑐𝑚 𝑒 5𝑐𝑚 Determine a carga total na casca esférica se a densidade volumétrica de carga é dada por 𝜌𝑣 3 108 cos2 𝜙 𝑟4 𝐶 𝑚3 5 5 Problemas Problemas A 21 Sobre um objeto atuam três forças 𝐹1 10𝑒𝑥 𝐹2 15𝑒𝑦 e 𝐹3 20𝑒𝜌 na direção 𝜙 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 Encontre uma quarta força que deve ser aplicada ao objeto que irá mantêlo sem movimento R 𝐹4 3232𝑒𝑦 22 Sejam os campos vetoriais 𝐴 10 𝜌 𝑒𝜌 5𝑒𝜙 2𝑒𝑧 e 𝐵 5𝑒𝜌 cos 𝜙 𝑒𝜙 𝜌𝑒𝑧 a Encontre 𝐴 𝐵 no ponto 111 b Encontre 𝐴 𝐵 no ponto 111 23 a Resolva os versores 𝑒𝜌 𝑒𝜙 𝑒𝑟 𝑒 𝑒𝜃 em versores constantes b Com isto calcule as seguintes integrais 𝑑𝜙𝑒𝜌 𝜋 0 𝑑𝜙𝑒𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝑧𝑒𝑟 1 0 𝑑𝜃𝑒𝜃 𝜋2 0 24 a Encontre o volume da fatia cilíndrica definida por 𝜌 1 0 𝜙 𝜋 3 0 𝑧 1 b Encontre a área da superfície definida pela fatia cilíndrica 25 a Determine o volume do cone de altura ℎ e raio da base 𝑎 b Determine a área total da superfície do cone Problemas B 26 Encontre a componente do vetor 𝐴 𝑧𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑧 no ponto 𝑃1 102 que é direcionada ao ponto 𝑃2 3 1500 1 12 32 1 27 A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é 3 4𝜋 3 4 Especifique a localização do ponto em a coordenadas cartesianas e b em coordenadas esféricas 28 Encontre o resultado dos seguintes produtos entre versores coordenados 𝑎𝑒𝜙 𝑒𝑥 𝑏𝑒 𝑟 𝑒𝑦 𝑐𝑒 𝑧 𝑒𝑟 𝑑𝑒𝜙 𝑒𝑥 𝑒𝑒𝜌 𝑒𝑟 𝑓 𝑒𝜃 𝑒 𝑧 6 29 Expresse a componente radial cilíndrica 𝐴𝜌 do vetor 𝐴 a em termos de 𝐴𝑥 𝑒 𝐴𝑦 em coordenadas cartesianas b em termos de 𝐴𝑟 𝑒 𝐴𝜃 em coordenadas esféricas 210 Expresse a componente polar esférica 𝐸𝜃 do vetor 𝐸 a em termos de 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝑒 𝐸𝑧 em coordenadas cartesianas e b em termos de 𝐸𝜌 𝑒 𝐸𝑧 em coordenadas cilíndricas 211 Seja o vetor 𝐹 12 𝑟 𝑒𝑟 a encontre 𝐹 𝑒 𝐹𝑦 no ponto 𝑃 2 44 e b encontre o ângulo que 𝐹 faz com o vetor 𝐴 2𝑒𝑥 3𝑒𝑦 6𝑒𝑧 no ponto 𝑃 7 Problemas C 8 Problemas D 9 11 Respostas dos Problemas C Respostas dos Problemas D