Verificação do Teorema da Divergência e Problemas Relacionados

335 Verifique o teorema da divergência S A dS V A dv para cada um dos seguintes casos a A x²y² y³z e S é a superfície de um cuboide definido por 0 x 1 0 y 1 0 z 1 b A 2ρ²z 3z cos φ aφ e S é a superfície da fatia definida por 0 ρ 2 0 φ 45 0 z S c A r²a r r sen θ cos φ aφ e S é a superfície de um quarto de uma esfera definida por 0 r 3 0 φ π2 0 θ π2 331 Dado F x²y a₁ y a₂ encontre a L F dL onde L é o da Figura 329 b S V dS onde S é a área limitada por L c O teorema de Stokes é satisfeito para esse caso Figura 329 Referente ao Problema 331 316 Encontre a divergência e o rotacional dos seguintes vetores a A ex² a₁ sen xy a₂ cos² x a₃ b B ρ² cos φ aρ z sen² φ aφ c C r cos θ a₁ 1r sen θ a₂ 2r² sen θ a₃ 315 A temperatura em um auditório é dada por T x2 y2 z Um mosquito localizado em 1 1 2 dentro do auditório deseja voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais rápido possível Em qual orientação ele deve voar 314 Determine o vetor unitário normal à Sx y z x2 y2 z no ponto 1 3 0 313 Determine o gradiente dos seguintes campos e calcule seu valor nos pontos especificados a V e2xy cosz 01 02 04 b T 5peπ3 senφ 2 π3 0 c Q senθ senφ r2 1 π6 π2 37 Se a integral A F dA for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícula de A até B encontre o trabalho realizado pelo campo de força F 2xy2 ax x2 z2 ay 3x2 az sobre uma partícula que se desloca de A0 0 0 até B2 1 3 ao longo a do segmento 0 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 3 b da linha reta entre 0 0 0 até 2 1 3 33 Utilize o volume diferencial dV para determinar os volumes das seguintes regiões a 0 x 1 1 y 2 3 z 3 b 2 ρ 5 π3 φ π 1 z 4 c 1 r 3 π2 θ 2π3 π6 φ π2 32 Calcule as áreas das seguintes superfícies utilizando a área da superfície diferencial dS a ρ 2 0 z 5 π3 φ π2 b z 1 1 ρ 3 0 φ π4 c ρ 10 π4 θ 2π3 0 φ 2π d 0 r 4 60 θ 90 φ constante 31 Utilizando o comprimento diferencial dl determine o comprimento de cada uma das seguintes curvas a ρ 3 π4 φ π2 z constante b r 10 m 30 θ 60 c r 4 30 θ 90 φ constante 1 Eletromagnetismo Aulas 05 06 07 e 08 Cálculo vetorial grad div e rot e os teoremas integrais 1 O gradiente de um campo escalar 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 ℝ2 ℝ 𝑓 ℝ3 ℝ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 𝑓𝑥 𝑦 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑘 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛í𝑣𝑒𝑙 Exemplo 1 a Esboce o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 9 𝑥2 𝑦2 e esboce as curvas de nível para os valores níveis 𝑘 0 1 2 3 b Encontre as superfícies de nível da função 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑥2 𝑦2 𝑧2 O operador vetorial de diferenciação nabla del em coordenadas cartesianas 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 Em cada ponto do domínio de uma função 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 associase o vetor gradiente da função 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑉 𝑦 𝑒 𝑦 𝑉 𝑧 𝑒 𝑧 Exemplo 2 Calcule o gradiente da função num ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 qualquer e nos pontos indicados em cada caso a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦3 𝑂00 𝑒 𝐴12 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑂000 𝐴111 𝑒 𝐵123 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑅 2 onde 𝑅 é o vetor posição do ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 𝑂000 𝐴111 𝑒 𝐵123 O vetor gradiente é perpendicular aos conjuntos de nível no domínio da função Considere a curva 𝑟 𝑟 𝑡 no domínio da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 A função 𝑓 avaliada ao longo da curva 𝑟 𝑡 é função do parâmetro da curva 𝑓𝑟 𝑡 𝑓𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝑓𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑓 𝑓 𝑑𝑟 Se 𝑟 𝑟 𝑡 é uma curva no conjunto de nível da função 𝑓 𝑟 𝑡 é vetor tangente a curva no conjunto de nível 𝑓𝑟 𝑡 𝑘 𝑑𝑓 𝑑𝑡 0 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 2 Exemplo 3 Considere a função em ℝ2 𝑓𝑥 𝑦 1 4 𝑥2 𝑦2 1 4 𝑟 2 a Identifique as curvas de nível da função e encontre a equação vetorial das curvas de nível b Calcule o gradiente da função e o vetor tangente às curvas de nível Calcule o produto escalar entre eles c Calcule a derivada da função 𝑓 em relação ao parâmetro da curva d Faça um esboço das curvas de diferentes níveis 𝑘 Para cada nível esboçado encontre os vetores tangentes às curvas do nível e o vetor gradiente num ponto da curva de nível Derivada direcional taxa de variação da função na direção paralela a um vetor unitário Considere a função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 avaliada ao longo da reta que passa pelo ponto 𝑃0𝑥0 𝑦0 𝑧0 e tem direção dada pelo vetor unitário 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 Consideraro 𝑟 0 𝑂𝑃 0 A equação da reta é 𝑟 𝑡 𝑟 0 𝑡𝑢 Querse calcular a derivada da função 𝑓 na direção do vetor 𝑢 no ponto 𝑃0 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑓𝑟 𝑡 𝑓𝑟 0 𝑡𝑢 𝑓𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑧𝑡 𝐷𝑢 𝑓𝑃0 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑡 0 𝑓 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑃0 𝑓 𝑢𝑃0 Então a derivada da função 𝑓 na direção de um vetor 𝑣 é 𝐷𝑣 𝑓 𝑓 𝑣 Observe que a derivada direcional dá a projeção do gradiente 𝑓 na direção de 𝑣 no ponto 𝑃 Exemplo 4 Considere os versores 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑒 𝑧 Interprete a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 nessas direções Exemplo 5 Calcular a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦2𝑧3 no ponto 321 na direção dos vetores 𝑎 𝑣 2 10 𝑒 b 𝑤 541 O gradiente informa a direção de mais rápido crescimento da função e seu módulo é o valor da taxa no ponto 𝜃 0 máxima taxa de crescimento 𝐷𝑣 𝑓 𝑓 𝑣 𝑓 cos 𝜃 𝜃 𝜋 2 a função não varia 𝜃 𝜋 máxima taxa de decrescimento Portanto 𝑓 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑟á𝑝𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑢 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 Exemplo 6 Suponha que a temperatura T medida em graus Celsius em um ponto do espaço x y z em que as coordenadas são medidas em metros seja dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 80 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧2 Em que direção no ponto 11 2 a temperatura aumenta mais rapidamente Qual é a taxa máxima de aumento Exemplo 7 Considere o vetor posição relativa 𝑅 𝑟 𝑟 em que 𝑟 é o vetor posição de um ponto do espaço em relação a origem do sistema de coordenadas cartesiana e 𝑅 𝑅 Mostre que será utilizado posteriormente quando estudarmos meios materiais 1 𝑅 1 𝑅 𝑒 𝑅 𝑅2 3 Resumo Interpretação do gradiente de uma função 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 A taxa de variação espacial da função 𝑉 é a derivada direcional a qual é máxima na direção normal a superfície de nível 𝑑𝑉 𝑉 𝑥 𝑑𝑥 𝑉 𝑦 𝑑𝑦 𝑉 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑙 𝑉 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑙 𝑉 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑙 𝑉 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑙 𝑉 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑙 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑒 𝑛 𝑒 𝑙 𝑉 𝑒 𝑙 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑒 𝑛 𝑑𝑉 𝑑𝑙 𝑚á𝑥 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑛 𝑑𝑉𝑚á𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑙 𝑑𝑛 O gradiente de uma função nos sistemas de coordenadas ortogonais 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 𝜙 𝑧 𝑟 𝜃 𝜙 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 111 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑧 1 𝜌 1 𝑒 𝜌 𝑒 𝜙 𝑒 𝑧 1 𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑒 𝑟 𝑒 𝜃 𝑒 𝜙 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 Exemplo 8 O campo elétrico 𝐸 pode ser encontrado sabendo que é o negativo do gradiente da função potencial elétrico 𝑉 isto é 𝐸 𝑉 Determine 𝐸 no ponto 110 se 𝑎 𝑉 𝑉0𝑒𝑥 sin 𝜋𝑦 4 𝑒 𝑏 𝑉 𝐸0𝑟 cos 𝜃 sendo 𝑉0 e 𝐸0 constantes 2 O fluxo integral de superfície e a divergência de um campo vetorial Linhas de fluxo de campos vetoriais 𝐸 𝑘 𝜌 𝑒 𝜌 𝐷 𝜎𝑒 𝑧 𝐻 𝑘 𝜌 𝑒 𝜙 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 𝐵 𝑦 𝑥 0 Fluxo ou escoamento de um campo vetorial por uma superfície a integral de superfície ψ 𝐴 𝑠𝑢𝑝 𝑑𝑠 𝑒 ψ𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝑑𝑠 𝑠𝑢𝑝 4 Exemplo 9 Considere o campo vetorial 𝐴 𝑥2𝑒 𝑥 𝑥𝑦𝑒 𝑦 𝑦𝑧𝑒 𝑧 para calcular o fluxo líquido através da superfície de um cubo de lado 1 definido por 0 𝑥 𝑦 𝑧 1 encontro de 6 superfícies planas Exemplo 10 Considere o campo vetorial 𝐴 𝑘𝑟𝑒 𝑟 Calcule o fluxo deste campo vetorial através da casca esférica definida pelas esferas 𝑟 𝑅1 𝑒 𝑟 𝑅2 sendo 𝑅2 𝑅1 A divergência de um campo vetorial fontesumidouro de linhas de fluxo 𝐴 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴𝑥𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑥 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝐴 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑒 𝑧 𝑑𝑖𝑣 𝐴 𝐴𝑥 𝑥 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 𝑧 Definição interpretação sumidouro ou fonte de linhas e a divergência nos sistemas de coordenadas 𝐴 lim 𝑣0 1 𝑣 𝐴 𝑑𝑠 𝑠𝑢𝑝 calcular os fluxos ψ1 ψ2 𝑒 ψ3 através das faces do cubo de comprimentos ℎ1𝑥1 ℎ2𝑥2 𝑒 ℎ3𝑥3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3𝐴1 𝑥2 ℎ1ℎ3𝐴2 𝑥3 ℎ1ℎ2𝐴3 Exemplo 11 Calcule a divergência do campo vetorial definido pelo vetor posição de um ponto no espaço tanto em coordenadas cartesianas quanto em esféricas Exemplo 12 A densidade de fluxo magnético 𝐵 fora de um fio condutor por onde flui uma corrente elétrica é circunferencial direção 𝑒 𝜙 e inversamente proporcional a distância ao fio Calcule 𝐵 O teorema da divergência teorema de Gauss ψ𝑠𝑗 𝐴 𝑑𝑠𝑗 𝑠𝑗 𝐴 𝑗 𝑣𝑗 ψ𝑆 𝐴 𝑑𝑠𝑗 𝑠𝑗 𝑗 𝐴 𝑗 𝑣𝑗 𝑗 𝐴 𝑑𝑠 ℛ𝑆 𝐴 𝑑𝑣 ℛ Exemplo 13 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial e região definidos no exemplo 9 Exemplo 14 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial e região definidos no exemplo 10 Exemplo 15 Considere o campo vetorial 𝐴 𝜌𝑒 𝜌 𝑧𝑒 𝑧 a Calcule o fluxo total do campo 𝐴 para fora do cilindro circular em torno do eixo 𝑧 de raio 2 e altura 4 com centro na origem b Repita a parte a para o mesmo cilindro sendo que agora a sua base coincide com o plano 𝑥𝑦 c Calcule a divergência do campo 𝐴 e verifique o teorema da divergência R a48𝜋 c 3 5 3 A integral de linha circulação e o rotacional de um campo vetorial A integral de linha de um campo vetorial e a circulação 𝐶 desse campo por uma curva ou contorno 𝛾 𝐴 𝛾 𝑑𝑙 𝑒 C 𝐴 𝑑𝑙 𝛾 Exemplo 16 a Calcule o trabalho para mover uma partícula de 𝐴001 a 𝐵241 ao longo da trajetória parabólica 𝑦 𝑥2 𝑧 1 no campo de força 𝐹 2𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 b Calcule o trabalho agora pela curva 𝑦 2𝑥 c Calcule agora por caminhos paralelos aos eixos coordenados d Calcule a o trabalho de 𝐹 para mover o corpo desde o ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 pela parábola e retornando ao ponto 𝐴 pela reta ou seja calcule a circulação de 𝐹 R abc16 J d0 O rotacional de um campo vetorial fonte de vorticidade Cálculo a partir do operador nabla usando coordenadas cartesianas 𝐴 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝐴𝑥𝑒 𝑥 𝐴𝑦𝑒 𝑦 𝐴𝑧𝑒 𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝐴 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝑦𝐴𝑧 𝑧𝐴𝑦𝑒 𝑥 𝑧𝐴𝑥 𝑥𝐴𝑧𝑒 𝑦 𝑥𝐴𝑦 𝑦𝐴𝑥𝑒 𝑧 Exemplo 17 Considere 𝐵 um corpo rígido girando em torno do eixo 𝑧 A rotação pode ser descrita pelo vetor 𝜔 𝜔𝑒 𝑧 em que 𝜔 é a magnitude da velocidade angular de 𝐵 Seja 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 o vetor posição do ponto 𝑃 de 𝐵 a Considerando o ângulo 𝜃 da figura mostre que o campo de velocidades de 𝐵 é dado por 𝑣 𝜔 𝑟 b Mostre que 𝑣 𝜔𝑦𝑒 𝑥 𝜔𝑥𝑒 𝑦 c Mostre que 𝑣 2𝜔 Exemplo 18 Faça um esboço do campo vetorial 𝐴 𝐾𝑧𝑒 𝑥 𝐾 é uma constante Pelo esboço visualize que este campo é análogo ao escoamento de água em um rio Calcule o rotacional deste campo vetorial R 𝐾𝑒 𝑦 Definição interpretação medida da intensidade da fonte de vórtex e o rotacional nos sistemas 𝐴 𝑛 lim 𝑠𝑛0 1 𝑠𝑛 𝐴 𝑑𝑙 𝛾 𝑒 𝑛 calcular a circulação através da espira C1 de comprimentos ℎ2𝑥2 𝑒 ℎ3𝑥3 e depois para C2 𝑒 C3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 ℎ1𝑒 1 ℎ2𝑒 2 ℎ3𝑒 3 1 2 3 ℎ1𝐴1 ℎ2𝐴2 ℎ3𝐴3 6 Exemplo 19 Verifique que 𝐴 0 define campo irrotacional conservativo para 𝑎 𝐴 𝑘 𝜌 𝑒 𝜙 𝑒 𝑏 𝐴 𝑓𝑟𝑒 𝑟 O teorema do rotacional Stokes Regra da mão direita para orientar 𝑑𝑙 dedos e 𝑑𝑠 polegar contornando a curva borda da superfície ficando esta interna a mão direita C𝛾𝑗 𝐴 𝑑𝑙𝑗 𝛾𝑗 𝐴 𝑗 𝑠 𝑗 C𝑆 𝐴 𝑑𝑙𝑗 𝛾𝑗 𝑗 𝐴 𝑗 𝑠 𝑗 𝑗 𝐴 𝑑𝑙 𝑆𝐶 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 Exemplo 20 Verifique o teorema do rotacional para o campo vetorial 𝐹 𝜌𝑒 𝜙 quando o caminho fechado é o círculo de raio 𝜌 𝑎 com centro na origem R2𝜋𝑎2 2𝜋𝑎2 Exemplo 21 a Considere o campo vetorial 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 calcule a circulação do campo pela curva 𝛾 𝑂𝐴𝐵𝑂 mostrada na figura abaixo b Verifique o teorema do rotacional Exemplo 22 Seja 𝐹 sin 𝜙 𝑒 𝜌 3 cos 𝜙 𝑒 𝜙 e a região definida no exemplo 21 a Determine 𝛾𝑂𝐴𝐵𝑂 𝐹 𝑑𝑙 ou seja determine a circulação de 𝐹 pelo caminho 𝛾 b Encontre 𝐹 e calcule o fluxo do rotacional pela superfície cuja borda é a curva 𝛾 para verificar o teorema de Stokes ou seja calcule 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 onde 𝑆 𝛾 R a6 b 2 𝜌 cos𝜙 𝑒 𝑧 4 Complementos importantes O teorema fundamental do cálculo e o teorema de Stokes generalizado 𝑑𝜔 ℛ 𝜔 ℛ 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝑓 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝑓𝑏 𝑓𝑎 𝐴 𝑑𝑠 𝑆 𝐴 𝑑𝑙 𝑆𝐶 𝐴 𝑑𝑣 ℛ 𝐴 𝑑𝑠 ℛ𝑆 7 Teorema de Helmholtz para campos vetoriais Se 𝐴 𝑒 𝐴 são conhecidos o campo está determinado Identidades importantes campos irrotacionais conservativos e campos solenoidais 𝑓 0 𝑆𝑒 𝐸 0 𝐸 𝑓 𝐸 é campo irrotacional ou conservativo 𝐴 0 𝑆𝑒 𝐵 0 𝐵 𝐴 𝐵 é campo solenoidal Laplaciano de um campo escalar 𝑉𝑟 Coordenadas cartesianas 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 𝑒 𝑧 𝑉 𝑥 𝑒 𝑥 𝑉 𝑦 𝑒 𝑦 𝑉 𝑧 𝑒 𝑧 2𝑉𝑥 𝑦 𝑧 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 𝑥𝑥𝑉 𝑦𝑦𝑉 𝑧𝑧𝑉 Coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas conhecendo os coeficientes métricos 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑉𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝐴 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3𝐴1 𝑥2 ℎ1ℎ3𝐴2 𝑥3 ℎ1ℎ2𝐴3 𝑉 2𝑉 1 ℎ1ℎ2ℎ3 𝑥1 ℎ2ℎ3 1 ℎ1 𝑉 𝑥1 𝑥2 ℎ1ℎ3 1 ℎ2 𝑉 𝑥2 𝑥3 ℎ1ℎ2 1 ℎ3 𝑉 𝑥3 8 5 Exercícios Exercício 1 Estime cálculo aproximado o gradiente do campo escalar Φ𝑥 𝑦 nos pontos 𝑃1 𝑒 𝑃2 Veja a figura abaixo R Φ𝑃1 313𝑒 𝑥 Φ𝑃2 769𝑒 𝑥 714𝑒 𝑦 Exercício 2 Considere que 𝑉 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 encontre no ponto 𝑃 236 a a direção e a magnitude do maior aumento de 𝑉 e b a taxa espacial de variação de 𝑉 em direção a origem R a 3𝑒 𝑥 10𝑒 𝑦 6𝑒 𝑧 b 60 7 Exercício 3 Escreva fórmulas para o gradiente de um campo escalar nos três sistemas de coordenadas Exercício 4 a Calcule o fluxo do campo vetorial 𝐴 1 𝑟2 𝑒 𝑟 que atravessa a esfera 𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 0 𝜙 2𝜋 b Calcule o fluxo desse campo através do cubo de lado 1 𝑚 com centro na origem R 4𝜋 Exercício 5 Escreva fórmulas para a divergência de um campo vetorial nos três sistemas de coordenadas Exercício 6 Resolva o problema do exemplo 11 em coordenadas cilíndricas Exercício 7 a Verificar o teorema da divergência para o campo vetorial 𝐴 1 𝑟 𝑒 𝑟 considerando a superfície de uma esfera de raio 𝑎 com centro na origem b Verificar o teorema considerando a superfície de cone de raio 𝑎 e ângulo de abertura 𝜃0 R𝑎4𝜋𝑎 𝑏2𝜋𝑎1 cos 𝜃0 Exercício 8 Encontre a circulação do campo vetorial 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 no sentido horário do caminho quadrado com centro na origem e lados de comprimento 4 unidades R 32 Exercício 9 Desenhar alguns valores dos campos 𝐴 𝑟 𝐵 𝐵0𝑒 𝑧 𝑒 𝐶 𝑦𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑦 e calcular o rotacional de cada campo Nas expressões dos campos 𝐵0 é uma constante e 𝑟 é o vetor posição de um ponto Exercício 10 Escreva fórmulas para o rotacional de um campo vetorial nos três sistemas de coordenadas 9 Exercício 11 Classificar os campos abaixo como solenoidal eou irrotacional ou nenhum dos dois 𝐴 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦2𝑒 𝑦 𝑥𝑧𝑒 𝑧 𝐵 𝜌sin 𝜙 𝑒 𝜌 2 cos 𝜙 𝑒 𝜙 𝐶 𝑥𝑒 𝑥 2𝑦𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝐷 𝑘 𝑟 𝑒 𝑟 R nenhum solenoidal solenoidal e irrotacional irrotacional Exercício 12 Use coordenadas cartesianas para mostrar 𝑓 0 𝑒 𝐴 0 Exercício 13 Escreva fórmulas para o laplaciano de um campo escalar nos três sistemas de coordenadas 10 6 Problemas Problemas A 31 Complementação do Exemplo 6 Calcule o trabalho para mover uma partícula de 𝐴001 a 𝐵241 no campo de força 𝐹 2𝑦𝑒 𝑥 2𝑥𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 inicialmente movendo a partícula paralelamente ao eixo 𝑥 de 0 𝑎 2 depois movendoa paralelamente ao eixo 𝑦 de 𝑦 0 a 𝑦 4 Mostre que 𝐹 é um campo conservativo 32 Encontre o fluxo do campo vetorial 𝐴 𝑒 𝜌 𝜌 através a da esfera 𝑟 𝑎 centrada na origem b do cubo de lado 2𝑎 centrado na origem com faces paralelas aos eixos cartesianos c do cilindro 0 𝜌 2𝑎 0 𝜙 2𝜋 𝑎 𝑧 𝑎 33 Mostre que a divergência de 𝐴 1 𝑟2 𝑒 𝑟 exceto em 𝑟 0 Encontre a divergência de 𝐴 em 𝑟 0 usando uma esfera de raio 𝑟 𝑎 e a equação que define a divergência como uma integral de fluxo e fazendo o limite de 𝑎 0 O resultados concordam Qual a implicação dos resultados 34 Encontre 𝐶 se 35 Usando um vetor unitário encontre a direção na qual o campo escalar 𝑇 𝑥2𝑦 𝑧𝑥 10 varia nmais rápidamente Qual é a maior taxa de variação em 111 36 Seja Φ 10𝑥2 𝑦 a Encontre Φ em 000 b Repita o problema usando a definição de gradiente definida por Φ lim 𝑣0 1 𝑣 Φ ds 𝑠𝑢𝑝 quando o volume é um paralelepípedo retangular centrado na origem com lados 𝑎 𝑏 𝑒 𝑐 paralelos aos eixos coordenados 37 Determine quais dos seguintes campos são conservativos 11 38 Use a idéia de uma pequena hélice como sonda para explorar os seguintes campos e determinar se os rotacionais são nulos 39 Obtenha as fórmulas para o gradiente a divergência e o rotacional em coordenadas cilíndricas e esféricas a partir das fórmulas em coordenadas cartesianas 310 Use coordenadas cartesians para mostrar que 311 Use coordenadas cartesianas para mostrar que 312 Encontre o fluxo do campo vetorial 𝐴 𝑒 𝜌 𝜌 para fora das seguintes superfícies a esfera 𝑟 𝑎 b hemisfério superior 𝑟 𝑎 0 𝜃 𝜋 2 c hemisfério inferior 𝑟 𝑎 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 d cilindro 𝜌 01 𝑎 2 𝑧 𝑎 2 313 Verifique o teorema da divergência para o campo vetorial 𝐴 𝑟𝑒 𝑟 quando a superfície fechada é a a esfera 𝑟 𝑎 b o cilindro 𝜌 𝑎 0 𝑧 ℎ 314 Repita o problema 313 para o campo 𝐴 5𝑒 𝜌 315 Repita o problema 313 para o campo 𝐴 10𝑒 𝑧 316 Verifique o teorema de Stokes para o campo 𝐴 𝑟𝑒 𝜙 quando a curva fechada é o circulo 𝜌 𝑎 em 𝑧 0 e a superfície aberta é a o disco 0 𝜌 𝑎 𝑧 0 b o hemisfério inferior 𝑟 𝑎 𝜋 2 𝜃 𝜋 12 Problemas B 317 Denote o vetor posição do ponto 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 por 𝑅 Determine 1 𝑅 em a coordenadas cartesianas e b coordenadas esféricas R 𝑎 𝑥𝑒 𝑥 𝑦𝑒 𝑦 𝑧𝑒 𝑧 𝑅3 𝑏 1 𝑅2 𝑒 𝑅 318 Dado o campo escalar 𝑉 2𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑧 a encontre o vetor representando a direção e magnitude da taxa máxima de aumento de 𝑉 no ponto 𝑃 2 10 e b a taxa de variação de 𝑉 no ponto 𝑃 na direção ao ponto 𝑄 026 R 𝑎 2𝑒 𝑥 4𝑒 𝑦 3𝑒 𝑧 𝑏 34 7 319 Encontre a divergência dos seguintes campos radiais 𝑘 é uma constante 𝑎 𝑓𝑟 𝑟𝑛𝑒 𝑟 𝑏𝑔𝑟 𝑘 𝑟2 𝑒 𝑟 R 𝑎𝑛 2𝑟𝑛1 𝑏0 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑟 0 320 Considere o campo vetorial 𝐹 𝑥𝑦𝑒 𝑥 𝑦𝑧𝑒 𝑦 𝑧𝑥𝑒 𝑧 e um cubo unitário que está no primeiro octante com um vértice na origem a Calcule o fluxo de 𝐹 pela superfície do cubo e b calcule a divergência de 𝐹 e verifique o teorema da divergência R 𝑎 3 2 𝑏 𝐹 𝑦 𝑧 𝑥 3 2 321 Considere o campo vetorial 𝐴 𝜌2𝑒 𝜌 2𝑧𝑒 𝑧 para verificar o teorema da divergência na região cilíndrica circular encoberta por 𝜌 5 𝑧 0 𝑒 𝑧 4 R 𝐴 3𝜌 2 1200𝜋 322 Seja o campo vetorial 𝐴 𝑧𝑒 𝑧 Verifique o teorema da divergência considerando a superfície da região hemisférica formada pelo hemisfério superior da esfera de raio 3 centrada na origem com sua base plana que é o disco circular no plano 𝑥𝑦 definido pelo corte da esfera com o plano R 𝐴 1 18𝜋 323 O campo 𝐷 cos2 𝜙 𝑟3 𝑒 𝑟 existe na região entre duas cascas esféricas definidas por 𝑟 2 𝑒 𝑟 3 Calcule o fluxo do campo vetorial pela superfície definida pelas duas esferas e verifique o teorema da divergência R 𝐷 cos2 𝜙 𝑟4 𝜋 3 324 Seja o campo vetorial 𝐹 𝑦𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑦 para calcular a integral de linha 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 desde o ponto 𝐴 21 1 até o ponto 𝐵 82 1 ao longo da curva C a reta que liga os dois pontos e b parábola 𝑥 2𝑦2 O campo 𝐹 é um campo conservativo Explique R 𝑎14 𝑏14 𝑆𝑖𝑚 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 0 𝑜𝑢 𝐴 0 325 Seja 𝐴 2𝑥2 𝑦2𝑒 𝑥 𝑥𝑦 𝑦2𝑒 𝑦 a Calcule 𝐴 𝑑𝑙 o longo do contorno triangular da figura e b Calcule 𝐴 𝑑𝑠 sobre a região triangular c O campo 𝐴 pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar Explique R 𝑎 𝑒 𝑏 4 3 𝑐𝑁ã𝑜 𝐴 𝑑𝑙 0 𝑜𝑢 𝐴 𝑦𝑒 𝑧 0 13 326 Seja o campo 𝐹 5𝜌 sin 𝜙 𝑒 𝜌 𝜌2 cos 𝜙 𝑒 𝜙 a Calcule a circulação do campo 𝐹 ao longo do contorno 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 na direção indicada na figura b Calcule o fluxo do rotacional do campo 𝐹 sobre a região sombreada e compare com o resultado do item a R 𝑎 1 2 𝑏 𝐹 3𝜌 5 cos 𝜙 𝑒 𝑧 1 2 327 Seja a função vetorial 𝐴 3 sin𝜙 2 𝑒 𝜙 Verifique o teorema de Stokes sobre a superfície de um hemisfério inferior de uma esfera de raio 4 e sua borda circular no plano 𝑥𝑦 328 Considere a função vetorial 𝐴 𝑥 3𝑦 𝑎𝑧𝑒 𝑥 𝑏𝑥 5𝑧𝑒 𝑦 2𝑥 𝑐𝑦 𝑑𝑧𝑒 𝑧 aDetermine 𝑎 𝑏 𝑒 𝑐 se 𝐴 for campo irrotacional e b determine 𝑑 se 𝐴 for também campo solenoidal 329 Regra do produto com o operador Considere uma função escalar 𝑓 e uma função vetorial 𝐴 mostre que 𝑎 𝑓𝐴 𝑓 𝐴 𝐴 𝑓 𝑒 𝑏 𝑓𝐴 𝑓 𝐴 𝐴 𝑓 330 Vimos que num sistema curvilíneo de coordenadas a diferenciação de um versor de base pode levar a um novo vetor em uma nova direção a Determine 𝑒 𝜌 𝜙 𝑒 𝑒 𝜙 𝜙 em coordenadas cilíndricas b Use o resultado da parte a para encontrar uma fórmula para 𝐴 em coordenadas cilíndricas utilizando as equações 1 ℎ1 𝑥1 𝑒 1 1 ℎ2 𝑥2 𝑒 2 1 ℎ3 𝑥3 𝑒 3 𝑒 𝐴 𝐴𝜌𝑒 𝜌 𝐴𝜙𝑒 𝜙 𝐴𝑧𝑒 𝑧 R a 𝑒 𝜙 𝑒 𝜌 Problemas C 14 Problemas D 39 Se V x yz e calcule S x ds onde S é a superfície de uma fatia cilíndrica definida por 0 φ π2 0 z 2 e z normal à sua superfície 311 A aceleração de uma partícula dada por r 2a₀ ms² A posição inicial da partícula é r 0 0 0 a Determine a posição da partícula no tempo t b Determine a velocidade da partícula como uma função do tempo t 331 Dado F y²z a₁ y a₂ encontre a f F e L onde L é da Figura 329 b S F dS onde S é a área limitada por L c O teorema de Stokes é satisfeito para esse caso 332 Seja D 2z² a₁ cos² φ a₂ Calcule a D dS b F dr na região definida por 0 r 5 1 z 1 0 φ 2π 333 Se F r² a₁ y² a₂ z² 1 a₃ encontre S F dS onde S é definido por ρ 2 0 θ π2 e 0 z 2 r a Dado que A y a₁ x² a₂ calcule S A dS onde S é a superfície do cubo definido por 0 x 1 0 y 1 b Resolva novamente o parte a considerando que S permaneça o mesmo e A yz a₁ x² a₂ 335 Verifique o teorema da divergência A dS A dv para cada um dos seguintes casos a A xy a₁ y² a₂ z a₃ e S é a superfície de um cubo definido por 0 x 1 0 y 1 0 z 1 b A 2z a₁ 3z sen φ a₂ 4 cos φ a₃ e S é a superfície da fatia definida por 0 ρ 2 0 θ 45 0 z S c A r a₁ r² sen θ a₂ e S é a superfície de um quarto de uma esfera definida por 0 r ρ 0 θ π2 0 ϕ π2 336 O momento de inércia em torno do eixo z de um corpo rígido é proporcional a x² y² da dy dz Expresse esse momento como o fluxo de algum campo vetorial A através da superfície do corpo 337 Seja A ρ sen θ a₁ r² ϕ a₁ Calcule S A d l dado que a L é o contorno da Figura 330a b L é o contorno da Figura 330b 339 Encontre o fluxo do rotacional do campo T 1r² cos θ a₁ r sen θ cos φ a₂ cos θ a₃ através do hemicírculo r 4 e z 0 340 Um campo vetorial dado por Q 7 3y x² y y² Calcule as seguintes integrais a F Q e L é a borda circular do volume na forma de uma casquinha de sorvete mostrada na Figura 331 b S Q dS onde S é a superfície no topo desse volume c S Q dS onde S é a superfície da lateral cônica desse volume f F Q dv Como os resultados nos itens a até f podem ser comparados entre si 341 Um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo que atravessa o seu centro com uma velocidade angular ω Se u é a velocidade em qualquer ponto no corpo mostre que ω 12 u 342 Sejam U e V campos escalares mostre que U V d l V U d l 343 Mostre que r dr 13 r³ c 344 Dado o campo vetorial G 16xy 2y² a₁ 8x² 3z² a₂ x₃ a₃ a É G irrotacional ou conservativo b Encontre o fluxo líquido de G através do cubo 0 x y z 1 c Determine a circulação de G no contorno do quadrado x 0 0 x 1 19 Respostas dos Problemas C Respostas dos Problemas D