Introdução ao Eletromagnetismo: Coordenadas e Álgebra Vetorial

1 Eletromagnetismo Aula 01 e 02 Introdução coordenadas cartesianas e álgebra vetorial 1 Introdução Eletromagnetismo Medida dos campos elétrico e magnético Força de Lorentz e equações constitutivas Equações de Maxwell Consequências equação da continuidade e equação de onda para os campos elétrico e magnético Potenciais elétrico e magnético Aplicações tecnológicas Modelo padrão e gravitação quântica Invariância de calibre 2 Vetores Representação geométrica 𝐴 𝐴𝑒𝐴 𝐴𝑒𝐴 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝐴 𝐴 𝐴 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐴 Se 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑒 𝑒𝐴 𝑒𝐵 Adição e subtração de vetores regra do paralelogramo leis comutativa e associativa 𝐶 𝐴 𝐵 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒 𝐷 𝐴 𝐵 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜 Vetores posição dos pontos 𝑃 𝑒 𝑄 em relação a origem 𝑟𝑃 𝑟𝑂𝑃 𝑒 𝑟𝑄 𝑟𝑂𝑄 Vetor posição relativa deslocamento 𝑅𝑃𝑄 𝑟𝑄 𝑟𝑃 posição relativa de 𝑃 em relação a 𝑄 3 Sistema de coordenadas cartesianas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 Superfícies coordenadas são planos infinitos paralelos aos planos 𝑦𝑧 𝑥𝑧 𝑒 𝑥𝑦 cujas interseções identificam o ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 𝑧 𝑧0 2 Versores coordenados constituem um triedro direito são perpendiculares às superfícies coordenadas e apontam no sentido do aumento da coordenada 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 Componente escalar e componente vetorial de vetores 𝐴 𝐴𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧𝑒𝑧 Módulo do vetor 𝐴 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴𝑧2 Soma e subtração de vetores em componentes 𝐴 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑥𝑒𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑦𝑒𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑧𝑒𝑧 Campos escalares 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 e campos vetoriais 𝑉𝑥 𝑦 𝑦𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑦 4 Multiplicação vetorial Multiplicação por escalar 𝛼 𝛼𝐴 𝛼𝐴𝑒𝐴 Produto escalar 𝐴 𝐵 𝑘 𝐴 𝐵 𝐴𝑥𝐵𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑧 𝐴 𝐴 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 𝐴𝑧 2 𝐴 2 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 cos 𝜃𝐴𝐵 Se 𝐴 𝐵 0 𝐴 𝐵 Produto escalar entre versores 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 𝑒𝑥 0 𝑒 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 1 Distância entre pontos 𝐴𝑥𝐴 𝑦𝐴 𝑧𝐴 𝑒 𝐵𝑥𝐵 𝑦𝐵 𝑧𝐵 𝑑𝐴𝐵 2 𝑥𝐵 𝑥𝐴2 𝑦𝐵 𝑦𝐴2 𝑧𝐵 𝑧𝐴2 Produto vetorial 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝑒𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝑒𝑦 𝐴𝑥 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑧 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵𝑒𝑁 𝐴𝐵 sin 𝜃𝐴𝐵𝑒𝑁 𝑒𝑁 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚ã𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 Interpretação geométrica 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 sin 𝜃𝐴𝐵 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 Distributividade e não comutatividade 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Produto vetorial entre versores 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐í𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 𝑒 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑧 0 3 Produto misto 𝐶 𝐴 𝐵 𝑘 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶𝑥𝑒𝑥 𝐶𝑦𝑒𝑦 𝐶𝑧𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Interpretação geométrica 𝐴 𝐵 𝐶 volume do paralelepípedo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐶 sin 𝜃𝐵𝐶 𝑒𝑁 𝐴 𝐵𝐶 sin 𝜃𝐵𝐶 𝐴cos 𝜃𝐴𝑁 á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Aplicações geométricas importantes Componente vetorial paralela e componente vetorial perpendicular a uma direção 𝑒 vetor unitário 𝐴 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 𝑒 Magnitudes das componentes paralelas e perpendiculares a direção 𝑒 cálculo de distâncias 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 𝑒 𝐴𝑒 𝐴 𝑒 Exemplo 1 Sejam os vetores 𝐴 5𝑒𝑥 2𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒 𝐵 3𝑒𝑥 4𝑒𝑧 Determine a o produto escalar dos dois vetores b o produto vetorial dos dois vetores c o ângulo entre os dois vetores e d a área do paralelogramo que tem lados formados pelos dois vetores d decomponha o vetor 𝐴 em componentes paralela e perpendicular ao vetor 𝐵 e e calcule as magnitudes das componentes encontradas Exemplo 2 Considere os pontos 𝐴132 𝑒 𝐵3 24 Determine a os vetores posição relativa 𝑅𝐴𝐵 e 𝑅𝐵𝐴 b o comprimento da semireta pelos pontos 𝐴 𝑒 𝐵 e c a distância perpendicular da origem do sistema de coordenadas a reta que passa pelos dois pontos 5 Elementos da geometria diferencial Elementos diferenciais de linha 𝑑𝑙 superfície 𝑑𝑠 e volume 𝑑𝑣 𝑑𝑙 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑒𝑦 𝑑𝑧 𝑒𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑒𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑧 𝑑𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Generalização O sistema de coordenadas 𝑥1 𝑥2 𝑥3 possui os coeficientes métricos ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝑑𝑙 ℎ1𝑑𝑥1 𝑒1 ℎ2𝑑𝑥2 𝑒2 ℎ3𝑑𝑥3 𝑒3 𝑑𝑠 ℎ2ℎ3𝑑𝑥2𝑑𝑥3 𝑒1 ℎ1ℎ3𝑑𝑥3𝑑𝑥1 𝑒2 ℎ1ℎ2𝑑𝑥1𝑑𝑥2 𝑒3 𝑑𝑣 ℎ1ℎ2ℎ3𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3 As coordenadas cartesianas são 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑧 e os coeficientes métricos são ℎ1 ℎ2 ℎ3 111 4 6 Exercícios Exercício 1 Três vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 são colocados um após o outro formando os três lados de um triângulo Calcule a 𝐴 𝐵 𝐶 e b 𝐴 𝐵 𝐶 R 0 e 2𝐶 Exercício 2 Usar o produto escalar para encontrar a lei dos cossenos Exercício 3 Seja o vetor 𝐴 𝑒𝑥 2𝑒𝑦 2𝑒𝑧 Determine a a magnitude de 𝐴 b um vetor unitário na direção de 𝐴 e c o ângulo que 𝐴 faz com o eixo coordenado 𝑧 Exercício 4 Usar o produto vetorial para encontrar a lei dos senos Exercício 5 Conhecendose os vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 verifique a seguinte igualdade para o produto misto 𝐴 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐴 Exercício 6 Seja o vetor 𝐸 2𝑒𝑥 6𝑒𝑦 3𝑒𝑧 encontre a a magnitude de 𝐸 b o vetor 𝑒𝐸 e c os ângulos diretores ou seja os ângulos que o vetor 𝐸 faz com os eixos coordenados 𝑥 𝑦 𝑧 R a 7 b 𝑒𝐸 0296𝑒𝑥 0857𝑒𝑦 0429𝑒𝑧 c 7340 14900 6460 Exercício 7 Considere os pontos 𝑃1120 𝑒 𝑃2340 no sistema cartesiano e seus respectivos vetores posição 𝑟1 e 𝑟2 encontre a o vetor posição relativa de 2 em relação a 1 b a distância entre os pontos c o comprimento da projeção de 𝑟2 sobre 𝑟1 e d a área do triângulo cujos vértices são a origem 𝑂 𝑃1 𝑒 𝑃2 R a2236 b5 5 7 Problemas Problemas A 11 Encontre o ângulo 900 entre os vetores 𝐴 4𝑒𝑥 4𝑒𝑦 2𝑒𝑧 e 𝐵 3𝑒𝑥 15𝑒𝑦 𝑒𝑧 12 Encontre os ângulos que o vetor 𝐴 6𝑒𝑥 12𝑒𝑦 4𝑒𝑧 faz com os eixos coordenados 𝑥 𝑦 e 𝑧 R 𝜃𝑥 64620 𝜃𝑦 14900 𝜃𝑧 7340 13 a Determine a equação do plano que é perpendicular ao vetor 𝐴 2𝑒𝑥 3𝑒𝑦 6𝑒𝑧 e que passa pelo ponto final medido em relação à origem do vetor 𝐵 𝑒𝑥 5𝑒𝑦 3𝑒𝑧 b Qual a menor distância da origem ao plano R 𝑎2𝑥 3𝑦 6𝑧 35 𝑏𝐵 𝐴 𝐴 5𝑚 14 Encontre o volume do tetraedro definido pela interseção dos planos 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 e 3𝑥 4𝑦 2𝑧 1 R 𝑉 12 𝑚3 Problemas B 15 O rombus é um paralelogramo equilátero Denote dois de seus lados vizinhos pelos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 a Prove que as suas diagonais são 𝐴 𝐵 e 𝐴 𝐵 b Prove que as diagonais são perpendiculares entre si 16 Os três lados de um triângulo arbitrário são denotados pelos vetores 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 estejam eles direcionados no sentido horário ou antihorário então vale a equação 𝐴 𝐵 𝐶 0 Demonstre a lei dos senos Dica faça o produto vetorial separadamente para 𝐴 𝑒 𝐵 e examine a relação de magnitude entre os produtos 17 Considere os vetores 𝐴 6𝑒𝑥 2𝑒𝑦 3𝑒𝑧 𝐵 4𝑒𝑥 6𝑒𝑦 12𝑒𝑧 𝑒 𝐶 5𝑒𝑥 2𝑒𝑧 encontre a 𝑒𝐵 b 𝐵 𝐴 c a componente de 𝐴 na direção de 𝐵 d 𝐵 𝐴 e a componente de 𝐵 na direção de 𝐴 f 𝜃𝐴𝐵 g 𝐴 𝐶 h 𝐴 𝐵 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 18 Considere os versores unitários 𝑒𝐴 𝑒 𝑒𝐵 definem as direções dos vetores 𝐴 𝑒 𝐵 no plano 𝑥𝑦 que fazem ângulos 𝛼 e 𝛽 respectivamente com o eixo 𝑥 a Obtenha uma fórmula para cos𝛼 𝛽 calculando o produto escalar 𝑒𝐴 𝑒𝐵 b Obtenha uma fórmula para sin𝛼 𝛽 calculando o produto vetorial 𝑒𝐵 𝑒𝐴 19 Os três vértices de um triângulo retângulo estão localizados nos pontos 𝑃1 102 𝑃2 315 𝑒 𝑃3 3 46 a Determine qual vértice é o do ângulo reto b Encontre a área do triângulo R a ângulo reto em 𝑃1 b 153 6 110 Considere os pontos 𝑃1 203 𝑒 𝑃2 04 1 encontre a o comprimento da linha que passa pelos pontos 𝑃1𝑒 𝑃2 e b a distância perpendicular entre o ponto 𝑃3 313 e a reta que passa pelos pontos 𝑃1𝑒 𝑃2 R𝑎6 𝑏453 111 Dado o vetor 𝐴 5𝑒𝑥 2𝑒𝑦 𝑒𝑧 encontre expressões para a um vetor unitário 𝑒𝐵 tal que 𝑒𝐵 𝐴 e b um vetor unitário 𝑒𝐶 do plano 𝑥𝑦 tal que 𝑒𝐶 𝐴 112 Decomponha o vetor 𝐴 2𝑒𝑥 5𝑒𝑦 3𝑒𝑧 nas componentes 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐵 que são respectivamente as componentes paralela e perpendicular ao vetor 𝐵 𝑒𝑥 4𝑒𝑦 𝑅 𝐴𝐵 22 17 1 40 𝑒 𝐴𝐵 3 17 4117 113 Outro produto entre três vetores além do produto escalar triplo é o produto vetorial triplo 𝐴 𝐵 𝐶 Utilizando coordenadas cartesianas prove a seguinte identidade 𝐴 𝐵 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 𝐶𝐴 𝐵 7 Problemas C 8 Problemas D 9 10 Respostas Problemas C Respostas Problemas D