Eletromagnetismo - Trabalho 3 - Exercícios Resolvidos sobre Campo Elétrico e Potencial

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Curso de Engenharia Elétrica Disciplina Eletromagnetismo Turno Noite Prim Sem 2023 Profa Rose Mary de Souza Batalha Trabalho No 3º Individual ou Dupla Valor 03 pontos Data 020423 Instruções Nos enunciados dos seis problemas a seguir considerar N soma dos dois últimos dígitos não nulos do número de matrícula dos alunos Fazer e entregar via CANVAS todos os exercícios até o dia 12042023 1 A figura a seguir apresenta uma porção de um campo elétrico bidimensional Ez 0 O grid formado pelas linhas tem 1 mm x 1 mm Determinar o valor aproximado do vetor campo elétrico em coordenadas cartesianas nos pontos a b c 2 Uma linha infinita de carga L 45N nCm se estende no vácuo ao longo do eixo z e uma carga pontual Q se localiza no ponto 236 Considerar todas as coordenadas em metros Calcular a a carga Q de forma que a diferença de potencial VAVB entre os pontos A 435 e B 205 seja de 6N V b o potencial do ponto A 435 caso o potencial no ponto B 205 seja de 6N V c o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 2nC de B 205 até A 435 d o trabalho necessário para levar uma carga pontual q de 2nC de C 225 até A 435 Obs Não considerar a influência da carga q no campo das outras cargas 3 Em uma superfície passando por z N m foi depositada uma carga superficial uniformemente distribuída de 25 pCm2 Considerar cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros Calcular a a carga pontual que deve ser colocada no ponto 008N para que seja nula a força exercida em uma carga pontual de 1pC localizada no ponto 004N b o trabalho necessário para mover a carga de 1pC do ponto 004N até o ponto 007N considerar a influência da carga pontual em 0010N e da superfície de carga Cargas no espaço livre e coordenadas dadas em metros 4 Seja uma casca esférica de espessura infinitesimal e raio igual a 7N mm contendo uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície totalizando 6N nC A casca esférica está posicionada no vácuo a Calcular o campo elétrico e o potencial em relação ao infinito dentro e fora da casca esférica b Esboçar os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial em função da distância radial E x r e V x r 5 O potencial elétrico no ar é dado por V 5NxN2y2N2z43 volts a Calcular o vetor campo elétrico E na origem b Calcular a densidade volumétrica de carga v na origem 6 Um loop circular de 4N cm de diâmetro possui uma densidade de carga uniforme de 25N nCm Qual é o potencial num ponto de seu eixo situado 42N cm acima do centro do loop N 1 Questão 1 Em A temos a seguinte direção e sentido para o vetor Em B temos a seguinte direção e sentido para o vetor Em C temos a seguinte direção e sentido para o vetor Quantp ao módulo note que temos aproximadamente 𝐸 𝑉 𝑠 Assim 𝐸𝑎 102 104 17 0001 1176 𝑉 𝑚 𝐸𝑏 104 106 19 0001 1052 𝑉 𝑚 𝐸𝑐 107 106 10 0001 1000 𝑉 𝑚 Assim os vetores cartesianos são aproximadamente 𝑬 𝒂 𝟏𝟏𝟕𝟔𝟎𝟏 𝟎𝟏𝟏𝟕𝟔 𝑬 𝒃 𝟏𝟎𝟓𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟕𝟒𝟒𝟕𝟒𝟒 𝑬 𝒄 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟕𝟎𝟕 𝟕𝟎𝟕 Questão 2 a Primeiramente vamos determinar uma expressão para a diferença de potencial provocada por um fio finito em dois pontos X e Y do espaço Primeiro usamos a lei de Gauss para deduzir o campo elétrico em torno de um fio infinito no ponto P conforme figura Seja 𝜆 𝜌𝐿 Assim temos 𝐸𝑑𝐴 𝑞 𝜀0 𝐸 2𝜋𝑟𝐿 𝜆𝐿 𝜀0 𝐸 𝜆 2𝜋𝜀0𝑟 Assim o potencial entre dois pontos X e Y do espaço é dado por 𝑉 𝐸𝑑𝑟 𝑌 𝑋 𝑉𝑌 𝑉𝑋 𝜆 2𝜋𝜀0𝑟 𝑑𝑟 𝑌 𝑋 𝑉𝑌 𝑉𝑋 𝜆 2𝜋𝜀0 1 𝑟 𝑑𝑟 𝑌 𝑋 𝑉𝑌 𝑉𝑋 2𝜆 4𝜋𝜀0 ln 𝑟𝑌 𝑟𝑋 𝑉𝑌 𝑉𝑋 2𝑘𝜆 ln 𝑟𝑋 𝑟𝑌 Também lembramos 𝑉 que o potencial elétrico a uma distância 𝑑 de uma carga pontual é dada por 𝑉𝑄 𝑘𝑄 𝑑 Assim a ddp 𝑉𝐴 𝑉𝐵 é dada por 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑉𝐵𝑄 𝑉𝐴 𝑉𝐵𝑓𝑖𝑜 61 Logo temos 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐴 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐵 2𝑘𝜆 ln 𝑟𝐵 𝑟𝐴 61 Logo temos 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐴 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐵 61 2𝑘𝜆 ln 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑄 𝑑𝑄𝐴 𝑄 𝑑𝑄𝐵 61 𝑘 2𝜆 ln 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑄 61 𝑘 2𝜆 ln 𝑟𝐵 𝑟𝐴 1 𝑑𝑄𝐴 1 𝑑𝑄𝐵 SUBSTITUINDO VALORES TEMOS 𝑄 61 9 109 2 46 109 ln 2 5 1 2 42 3 32 6 52 1 2 22 3 02 6 52 𝑄 61 9 2 46 ln 2 5 1 22 1 1 32 1 109 𝑸 𝟔𝟗𝟓 𝟏𝟎𝟗 𝑪 b pela exigência do item anterior temos 𝑉𝐴 𝑉𝐵 61 Logo 𝑉𝐴 𝑉𝐵 61 𝑉𝐴 61 61 𝑽𝑨 𝟏𝟐𝟐 𝑽 c este trabalho é dado por 𝑊 𝑞𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑊 2 10961 𝑾 𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟗 𝑱 d A ddp 𝑉𝐴 𝑉𝐶 é dada por 𝑉𝐴 𝑉𝐶 𝑉𝐴 𝑉𝐵𝑄 𝑉𝐴 𝑉𝐵𝑓𝑖𝑜 Logo temos 𝑉𝐴 𝑉𝐶 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐴 𝑘𝑄 𝑑𝑄𝐶 2𝑘𝜆 ln 𝑟𝐶 𝑟𝐴 𝑉𝐴 𝑉𝐶 𝑘𝑄 1 𝑑𝑄𝐴 1 𝑑𝑄𝐶 2𝑘𝜆 ln 𝑟𝐶 𝑟𝐴 𝑉𝐴 𝑉𝐶 9 109695 109 1 2 42 3 32 6 52 1 2 22 3 22 6 52 2 9 10946 109 ln 22 22 5 𝑉𝐴 𝑉𝐶 9695 1 22 1 1 0 1 112 2 946 ln 22 5 𝑉𝐴 𝑉𝐶 2692 𝑉 Assim este trabalho é dado por 𝑊 𝑞𝑉𝐶 𝑉𝐴 𝑊 2 1092692 𝑾 𝟓𝟑𝟖𝟓 𝟏𝟎𝟗 𝑱 Questão 4 A Pela lei de Gauss temos a seguinte equação para o campo elétrico 𝜀0 𝐸 𝑑𝑆 𝑞 Usando uma superfície gaussiana esférica de raio 𝑟 centrada na origem temos um campo 𝐸 uniforme na superfície da esfera de modo que a equação anterior se simplifica para 𝜀0𝐸 𝑑𝑆 𝑞 𝜀0𝐸4𝜋𝑟2 𝑞 Logo o campo elétrico em qualquer ponto é dado por 𝐸 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 Aqui 𝑞 representa a carga total dentro da superfície gaussiana Logo o campo dentro da esfera é dado por 𝐸𝑟 0 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑬𝒓 𝟎 O campo elétrico fora da esfera é dado por 𝐸𝑟 𝑞 4𝜋𝜀0𝑟2 𝐸𝑟 𝑘𝑞 𝑟2 𝐸𝑟 9 109 61 109 𝑟2 𝑬𝒓 𝟓𝟒𝟗 𝒓𝟐 O potencial é dado por 𝑉 𝐸 𝑑𝑟 Logo fora da esfera temos 𝑉𝑟 549 𝑟2 𝑑𝑟 𝑉𝑟 549 𝑟 𝐶 Definindo potencial zero no infinito temos 𝐶 0 logo 𝑽𝒓 𝟓𝟒𝟗 𝒓 Dentro da esfera temos 𝑉𝑟 𝐸 𝑑𝑟 0𝑑𝑟 𝐾 Assim devemos ter 𝐾 𝑉𝑅 549 0008 𝑚 68625 𝑉 Logo dentro da esfera 𝑉 68625 𝑉 b esboço do gráfico de E Esboço do gráfico de V Questão 5 a Temos 𝑉 5𝑥 12𝑦 22𝑧 43 Logo o vetor campo elétrico é dado por 𝐸 𝑉 𝐸 5𝑥 12𝑦 22𝑧 43 𝑥 5𝑥 12𝑦 22𝑧 43 𝑦 5𝑥 12𝑦 22𝑧 43 𝑧 Calculando temos 𝐸 5 𝑥 12 𝑥 𝑦 22𝑧 43 𝑥 12 𝑦 22 𝑦 𝑧 43 𝑥 12𝑦 22 𝑧 43 𝑧 𝐸 52𝑥 1𝑦 22𝑧 43 𝑥 122𝑦 2 𝑧 43 𝑥 12𝑦 223𝑧 42 No ponto 000 temos 𝐸 520 10 220 43 0 1220 2 0 43 0 120 2230 42 𝐸 522243 22 43 22342 𝐸 5843 4 43 43 16 𝐸 20842 43 3 16 𝐸 808 4 42 3 4 𝐸 3208 43 𝑬 𝟑𝟐𝟎𝟖𝟒 𝟑 𝑽 𝒎 b Temos 𝜌𝑣000 𝜀0 𝐸000 Calculando obtemos 𝜌𝑣000 𝜀0 5 2𝑥 1𝑦 22𝑧 43 𝑥 𝑥 122𝑦 2 𝑧 43 𝑦 𝑥 12𝑦 223𝑧 42 𝑧 000 𝜌𝑣000 𝜀052𝑦 22𝑧 43 𝑥 122𝑧 43 𝑥 12𝑦 226𝑧 4000 𝜌𝑣000 4𝜋𝜀0 4𝜋 522243 12243 122264 𝜌𝑣000 1 4𝜋𝑘 5843 243 464 𝜌𝑣000 1 𝜋𝑘 58 42 242 64 𝜌𝑣000 1 𝜋𝑘 5184 𝜌𝑣000 920 𝜋 9 109 𝝆𝒗𝟎𝟎 𝟎 𝟑𝟐𝟓𝟒 𝟏𝟎𝟖 𝑪 𝒎𝟑 Questão 6 A densidade de carga é dada por 𝑞 251 109 𝐶 𝑚 O raio é 𝑎 0025 𝑚 Vamos determinar o potencial gerado por um anel como o da figura Tomando um segmento infinitesimal do anel como volume de controle vemos que o campo absoluto infinitesimal no ponto 𝑃 gerado por este segmento vale 𝑑𝑉 𝑘 𝑑𝑞 𝑟 𝑑𝑉 𝑘 𝑑𝑞 𝑥2 𝑎2 Integrando em todo o anel temos 𝑉 𝑘 𝑑𝑞 𝑥2 𝑎2 𝑞 0 𝑉 𝑘 𝑥2 𝑎2 𝑑𝑞 𝑞 0 𝑉 𝑘𝑞 𝑥2 𝑎2 Mas temse que 𝑞 2𝑎𝜋𝑞 logo 𝑉 𝑘2𝑎𝜋𝑞 𝑥2 𝑎2 Substituindo valores temos 𝑉 9 109 2 0025 𝜋 251 109 0062 00252 𝑉 9 005 𝜋 251 0062 00252 𝑽 𝟓𝟒 𝟓𝟗 𝑽 N 1 Questão 1 Em A temos a seguinte direção e sentido para o vetor Em B temos a seguinte direção e sentido para o vetor Em C temos a seguinte direção e sentido para o vetor Quantp ao módulo note que temos aproximadamente EV s Assim Ea 102104 1700011176 V m Eb 104106 1900011052 V m Ec 107106 1000011000 V m Assim os vetores cartesianos são aproximadamente Ea11760101176 Eb1052 2 2 2 2 744 744 Ec1000 2 2 2 2 707 707 Questão 2 a Primeiramente vamos determinar uma expressão para a diferença de potencial provocada por um fio finito em dois pontos X e Y do espaço Primeiro usamos a lei de Gauss para deduzir o campo elétrico em torno de um fio infinito no ponto P conforme figura Seja λρL Assim temos EdA q ε0 E2πrL λL ε0 E λ 2 π ε0r Assim o potencial entre dois pontos X e Y do espaço é dado por V X Y Edr V YV X X Y λ 2π ε 0r dr V YV X λ 2π ε 0 X Y 1 r dr V YV X 2 λ 4 π ε0 ln rY r X V YV X2kλ ln r X r Y Também lembramos V que o potencial elétrico a uma distância d de uma carga pontual é dada por V QkQ d Assim a ddp V AV B é dada por V AV BV AV BQV AV Bfio61 Logo temos kQ dQA kQ dQB2kλ ln rB r A 61 Logo temos kQ dQA kQ dQB612kλ ln r B r A Q dQA Q dQB61 k 2 λln r B r A Q 61 k 2 λln rB r A 1 dQA 1 dQB SUBSTITUINDO VALORES TEMOS Q 61 910 924610 9ln 2 5 1 24 233 265 2 1 22 230 265 2 Q 61 9 246 ln 2 5 1 2 21 1 3 21 10 9 Q69510 9C b pela exigência do item anterior temos V AV B61 Logo V AV B61 V A6161 V A122V c este trabalho é dado por W q V BV A W 210 9 61 W 12210 9J d A ddp V AV C é dada por V AV CV AV BQV AV Bfio Logo temos V AV C kQ dQA kQ dQC2kλ ln r C r A V AV CkQ 1 dQA 1 dQC2kλ ln rC r A V AV C910 969510 9 1 24 233 265 2 1 22 232 265 22910 94610 9ln 2 22 2 5 V AV C9695 1 2 21 1 0111 22946ln 22 5 V AV C2692V Assim este trabalho é dado por W q V CV A W 210 9 2692 W 538510 9J Questão 4 A Pela lei de Gauss temos a seguinte equação para o campo elétrico ε 0 EdSq Usando uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na origem temos um campo E uniforme na superfície da esfera de modo que a equação anterior se simplifica para ε 0EdSq ε 0E 4 π r 2q Logo o campo elétrico em qualquer ponto é dado por E q 4 π ε0r 2 Aqui q representa a carga total dentro da superfície gaussiana Logo o campo dentro da esfera é dado por E r 0 4 π ε0r 2 E r 0 O campo elétrico fora da esfera é dado por E r q 4 π ε0r 2 E r k q r 2 E r 910 96110 9 r 2 E r 549 r 2 O potencial é dado por V Edr Logo fora da esfera temos V r 549 r 2 dr V r 549 r C Definindo potencial zero no infinito temos C0 logo V r 549 r Dentro da esfera temos V r Edr 0drK Assim devemos ter KV R 549 0008m68625V Logo dentro da esfera V68625V b esboço do gráfico de E Esboço do gráfico de V Questão 5 a Temos V5 x1 2 y2 2 z4 3 Logo o vetor campo elétrico é dado por EV E 5 x1 2 y2 2z4 3 x 5 x1 2 y2 2 z4 3 y 5 x1 2 y2 2 z4 3 z Calculando temos E5 x1 2 x y2 2 z4 3x1 2 y2 2 y z4 3 x1 2 y2 2 z4 3 z E52 x1 y2 2 z4 3 x1 22 y2z4 3 x1 2 y2 23 z4 2 No ponto 000 temos E52 0102 204 3 01 22 0204 3 01 202 23 04 2 E522 2 4 3224 3 2 23 4 2 E58 4 344 34 316 E208 4 24 3 316 E8084 4 2 34 E320 84 3 E320 843 V m b Temos ρv 000ε0 E 000 Calculando obtemos ρv000ε05 2 x1 y2 2z4 3 x x1 22 y2 z4 3 y x1 2 y2 2 3 z4 2 z 000 ρv 000ε052 y2 2z4 3x1 22 z4 3x1 2 y2 2 6 z4 00 0 ρv 0004 π ε0 4π 52 2 2 4 31 22 4 31 22 2 6 4 ρv 000 1 4 π k 58 4 32 4 34 6 4 ρv 000 1 πk 584 22 4 26 4 ρv 000 1 πk 5 184 ρv 000 920 π 9 10 9 ρv 0003254 10 8 C m 3 Questão 6 A densidade de carga é dada por q 25110 9 C m O raio é a0025m Vamos determinar o potencial gerado por um anel como o da figura Tomando um segmento infinitesimal do anel como volume de controle vemos que o campo absoluto infinitesimal no ponto P gerado por este segmento vale d Vk dq r dV k dq x 2a 2 Integrando em todo o anel temos V 0 q k dq x 2a 2 V k x 2a 2 0 q dq V k q x 2a 2 Mas temse que q2aπ q logo Vk 2aπ q x 2a 2 Substituindo valores temos V910 920025π25110 9 006 20025 2 V9005π251 006 20025 2 V54 59V