Instrumentação Eletrônica Atividade Avaliativa - 2 Questões

2 Projete um circuito de medição de espessura Dados a Num processo industrial uma prensa é responsável em comprimir através de duas chapas metálicas uma quantidade de Polipropileno Ele é um termoplástico o que significa que pode ser moldado e remodelado com calor sem perder suas principais características O resultado final são placas de aproximadamente 4 milímetros de espessura com uma área de 80 cm² Porém devido as características ambientais do processo do fornecedor do Polipropileno a ser entregue pode apresentar características diferentes não relacionadas a variação de temperatura mas sim a ação de um campo elétrico que esta placa estará sujeita ao ser aplicada a um dispositivo eletrônico que precisa de total garantia de operação Como a área da placa não pode ser mudada a única opção será mudar a espessura da placa onde a mesma poderá ser maior ou menor do que 4 milímetros com uma precisão de 1 b Logo precisa se desenvolver um sistema que desenvolva um instrumento de medição que seja capaz de encontrar em milímetros a espessura desta placa de polipropileno entre as duas chapas metálicas da prensa com a finalidade de garantir que quando uma destas placas for utilizada no equipamento extremamente preciso que a ação do campo elétrico aplicado na superfície garanta que não afete as variáveis eletroeletrônicas independentemente da placa utilizada c Poderá ser utilizado uma das seguintes pontes à critério da dupla Wheatstone Kevin Schering Wien Maxwell ou Hay d Explique o princípio de funcionamento do elemento sensor passivo Resistência capacitância ou indutância e Faça o projeto da ponte com todos os componentes necessários para seu desenvolvimento f Admita que a espessura da placa tem um range mínimo e máximo de 3 a 5 milímetros resultado final 1 Calculo de Cx cap de placas paralelas Eo 88541 x 1012 Fm Cx ExAoA Eo 88541 x 1012 Fm A 9x103 m2 d 00162 m Valor em m2 e m Calcular Cx para diferentes pressões separando que a ação do campo elétrico não afete os processos de Opsi 10 psi Instrumento com o amplificador Cu 853 x 10 x 1012 1100 x 79 x 105 Cxo 5714 pF para 0psi Equação de equilíbrio da ponte Schering RxR2 1 Cx C3 balanceada em 0psi CxR2 C3R1 C3 5714 pF Cx 5714 pF R1C2 10 kΩ Rx como resistência externa e a resistência interna do Ci Rt tem tal pequeno Rx como resistência externa é a resistência interna do Ci Rt Rx a Assumindo que a cond aman proporcionalmente 10 cada vez que a pressão aumenta 7psi vocês dê o papel 0psi Cx7psi 5714 pF110100 628 pF Cx14psi 5714 pF120100 6857 pF Valor de capacitância aproximad a d diferença de carga Delta com os dados para sin G 6xi6 Vin 144 sin1500t V Ps Gtx b C3 144 pFs auto Rep Cx0psi 5714 pF105 2296 pF Cx9psi 5714 pF 10100 178 pF Cx 14pF 5714 pF 115 3444 pF 5 Medições com Pontes 51 INTRODUÇÃO As pontes são usadas para medições precisas de valores de componentes de circuitos elétńcos A forma mais simples de ponte é a de Wheatstone usada na medição precisa da resistência elétrica Existem pontes modificadas para as medições de indutância capacitância admitância condutância e outros parâmetros relacionados com impedância Medições de impedância em altas freqüências são feitas com pontes de corrente alternada O circuito em ponte é a base de vários métodos de mediçáo e de interface para muitos transdutores Medições precisas de componentes podem ser feitas através de pontes totalmente automatizadas Neste capítulo serão abordadas as medições com pontes CC e CA Será dada atenção às medições utilizando o terminal de guarda e as medições de resistência com três terminais 52 PONTE WHEATSTONE 521 Operação Básica A Fig 5 I mostra o diagrama esquemático do circuito de uma ponte de Wheatstone A ponte tem quatrobraços resistivos uma fonte de tensão CC e um detector de zero que usualmente é um galvanômetro de zero central podendo ainda ser um outro dispositivo detector de corrente A intensidade da corrente elétrica do detector de zero depende da diferença de potencial entre os pontos C e D A ponte é dita equilibrada quando a diferença de potencial ddp através dos pontos C e D é nula assim não há corrente através do detector de zero Esta condição ocorre quando a tensão entre os pontos D e A se iguala à tensâo entre os pontos C e A ou em referência ao outro terminal de bateria quando a tensão entre os pontos C e B é igual a tensão entre os pontos D e B Deste modo a ponte fica em equilíbrio quando 𝐼1𝑅1 𝐼2𝑅2 51 Fig 51 Ponte de Wheatstone usada para medição precisa de resistências variando de frações de ohm até megaohms A chave seletora de faixas modifica a escala em termos de múltiplos de dez Se a intensidade de corrente através do galvanômetro é zero as condições abaixo também existem 𝐼1 𝐼3 𝐸 𝑅1𝑅3 52 e 𝐼2 𝐼4 𝐸 𝑅2𝑅4 53 A combinação das duas equações acima dá 𝑅1 𝑅1𝑅3 𝑅2 𝑅2𝑅4 54 da qual se obtém 𝑅1𝑅4 𝑅2𝑅3 55 A equação 55 é a conhecida expressão de equilíbrio da ponte de Wheatstone Se três das resistências têm valores conhecidos o quarto valor pode ser determinado através da equação 55 Portanto se o resistor 𝑅4 é desconhecido sua resistência 𝑅𝑥 pode ser calculada por 𝑅𝑥 𝑅3 𝑅2 𝑅1 56 Os resistores 𝑅1 e 𝑅2 determinam a extensão da escala da ponte enquanto o resistor 𝑅3 é o braço de referência da ponte A medição da resistência desconhecida 𝑅𝑥 é independente da calibração do galvanômetro detector de zero desde que o detector possua sensibilidade suficiente para indicar a posição de equilíbrio dentro do grau de precisão exigido 522 Erros nas Medições A ponte de Wheatstone é adequada para a medição de resistências entre 1 𝛺 e 1 𝑚𝛺 A maior fonte de erros são os três resistores da ponte Além deste outros erros podem ocorrer tais como a Baixa sensibilidade do detector de zero Na Seção 523 este problema será amplamente abordado b Variações dos resistores O efeito térmico I²R pode modificar os valores das resistências da ponte Um aquecimento excessivo pode mascarar a medição da resistência e também modificar permanentemente o valor das resistências A dissipação de potência nos resistores da ponte deve ser prevista antes da execução da medida sobretudo se for necessário medir valores baixos de resistências A intensidade de corrente deve então ser limitada a valores seguros deve ser prevista antes da execução da medida sobretudo se for necessário medir valores baixos de resistências A intensidade da corrente deve então ser limitada a valores seguros c Efeitos termoelétricos no circuito da ponte podem causar problemas de medição quando baixos valores de resistência são medidos Para evitar tais problemas os galvanômetros mais sensíveis têm bobinas e sistemas de suspensão de cobre Não havendo metais diferentes em contato no circuito os efeitos termoelétricos indesejáveis não ocorrem d Erros devidos às resistências dos cabos e às resistências dos contatos dos terminais de ligação da ponte aos resistores sob medição Estes erros podem ser minimizados pela utilização da ponte de Kelvin ver Seção 53 523 Circuito Equivalente de Thévenin Para determinar se um galvanômetro é suficientemente sensível para detectar uma condição de desequilíbrio é necessário calcular a intensidade da corrente através do galvanômetro detector de zero Sem um cálculo prévio é impossível dizer se determinado galvanômetro é adequado para detectar um certo desequilíbrio da ponte Para resolver o problema da sensibilidade o circuito da ponte visto na Fig 51 é convertido no seu circuito equivalente de Thévenin e o problema é abordado considerandose um pequeno desequilíbrio Como o nosso interesse é calcular a corrente no galvanômetro o circuito equivalente de Thévenin é determinado a partir dos pontos c e d na Fig 51 O primeiro passo é determinar a tensão equivalente entre os pontos c e d quando o detector de zero é removido do circuito ou seja com os terminais c e d em circuito aberto O segundo passo é determinar a resistência equivalente vista dos pontos c e d com a fonte de alimentação substituída por sua resistência interna Os diagramas da Fig 52 a Configuração da ponte de Wheatstone b Resistência de Thévenin vista dos pontos c e d c Circuito equivalente de Thévenin com o galvanômetro conectado nos pontos c e d Fig 52 Aplicação do teorema de Thévenin ao circuito da ponte de Wheatstone a b e c ilustram o processo de obtenção do circuito equivalente de Thévenin a partir do circuito da ponte observado na Fig 51 A tensão equivalente de Thévenin ou tensão de circuito aberto pode ser calculada com referência à Fig 52 a 𝐸𝑐𝑑 𝐸𝑎𝑐 𝐸𝑎𝑑 𝐼1𝑅1 𝐼2𝑅2 onde 𝐼1 𝐸 𝑅1 𝑅3 e 𝐼2 𝐸 𝑅2 𝑅34 Portanto 𝐸𝑐𝑑 𝐸 𝑅1 𝑅1 𝑅3 𝑅2 𝑅2 𝑅4 57 Essa é a tensão equivalente de Thévenin A resistência do circuito equivalente de Thévenin é a resistência vista dos terminais c e d com a fonte de alimentação substituída pela sua resistência interna A Fig 52 b representa a resistência equivalente de Thévenin O circuito pode ser convertido em uma outra forma mais conveniente através do teorema da transformação deltaípsilonOs leitores interessados nesta abordagem deverão procurar textos de análise de circuitos Entretanto na maioria dos casos a resistência interna da fonte de tensão cc pode ser desprezada por seu valor muito baixo o que simplifica o problema consideravelmente Na Fig 52 b a bateria de alimentação é substituída por um curtocircuito porque a sua resistência interna foi considerada nula entre os pontos a e b A resistência equivalente de Thévenin tornase 𝑅𝑇𝐻 𝑅1𝑅3 𝑅1 𝑅3 𝑅2𝑅4 𝑅2 𝑅4 58 O circuito equivalente de Thévenin para a ponte de Wheatstone reduzse então a um gerador de Thévenin com uma força eletromotriz dada pela equação 57 e uma resistência interna dada pela equação 58 Isto é mostrado na Fig 52 c Quando o detector de zero é ligado aos terminasi c e d do equivalente de Thévenin a intensidade da corrente no galvanômetro é dada por 𝐼𝑔 𝐸𝑇𝐻 𝑅𝑇𝐻 𝑅𝑔 59 Onde 𝐼𝑔 e 𝑅𝑔 são a corrente e a resistência interna do galvanômetro detecdor de zero respectivamente EXEMPLO 51 A Fig 53 a mostra o diagrama de uma ponte de Wheatstone A tensão de alimentação é 5V e a resistência interna é desprezível A sensibilidade do galvanômetro vale 10mmµA e a sua resistência interna é de 100Ω Calcule a deflexão do galvanômetro causada pelo desequilíbrio de uma resistência de 5Ω no braço BC da ponte SOLUÇÃO A ponte está equilibrada quando a resistência do braço BC vale 2000Ω A resistência de 2005Ω do braço BC apresenta um pequeno desequilíbrio porque 5Ω 2000Ω O primeiro passo para resolver o problema é converter o circuito no seu equivalente Thévenin Removendo o galvanômetro do circuito a diferença de potencial entre os pontos B e D é dada por 𝐸𝑇𝐻 𝐸𝐴𝐷 𝐸𝐴𝐵 5𝑉 100 100 200 1000 1000 2005 277 mV O segundo passo é a obtenção da resistència de Thévenin vista dos pontos Be D com a bateria substituida por um curtocircuito O circuito é representado pela configuração da Fig 53 b 𝑅𝑡ℎ 100 x 200 300 1000 x 2005 3005 734 Ω O circuito equivalente de Thévenin é visto na Fig 52 c Quando o galvanometro é ligado com terminais do circuito equivalente a intensidade da corrente no detector é 𝐼𝑔 Eth Rth Rg 277mV 734Ω 100Ω 332 µ𝐴 Portanto a deflexão do galvanômetro é dada por 𝑑 334µ𝐴 𝑥 10 𝑚𝑚 µA 332 𝑚𝑚 Neste ponto o mérito do Teorema de Thévenin tornase evidente O cálculo da deflexão de qualquer outro galvanometro que seja usado fica muito simplificado como se vê claramente na Fig 53 c Por outro lado se a sensibilidade do galvanômetro é conhecida podese calcular a tensão necessária para produzir uma unidade de deflexão no galvanometro p ex 1 mm ou em outras palavras podese calcular a resolução da ponte de Wheatstone Esse valor é importante quando queremos determinar a sensibilidade da ponte e um desequilíbrio ou uma resposta à questão O galvanômetro relacionado é capaz de detectar um certo desequilibrio O Método de Thévenin é útil para o cálculo da resposta do galvanometro o que em muitos casos é de interesse fundamental a Ponte de Whesatone bCalculo de Resistência Equivalente Thévenin c Circuito Equivalente de Thévenin Sensibilidade do galvanômetro 10 mmµA Fig 53 Cálculo de deflexão do galvanometro de uma ponte de Wheatstone causada por pequeno desequilibrio no braço BCA abordagem utiliza o teorema de Thevenin ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE EXEMPLO 52 O galvanômetro do Exemplo 51 é substituído por outro com resistência interna de 5000 e sensibilidade de 1 mmgA Assumindo que uma deflexão de 1 mm na escala do galvanômetro pode ser observada verifique se pode ser detectado um desequilíbrio de 50 no braço BC da ponte da Fig 53 a SOLUÇÃO O circuito equivalente de Thévenin é o mesmo do Exemplo 51 Assim 𝐼𝑔 𝐸𝑇𝐻 𝑅𝑇𝐻 𝑅𝑔 277 𝑚𝑉 734 𝛺 500 𝛺 224 µ𝐀 A deflexão do galvanômetro é dada por d 224 µ𝐀 x 1 mmµ𝐀 224 mm o que é facilmente observável A ponte de Wheatstone é limitada à faixa que vai desde alguns ohms até alguns megaohms O limite superior é determinado pela redução da sensibilidade ao desequilíbrio causado por valores elevados de resistência porque a resistência equivalente de Thévenin da Fig 53 c também é alta o que reduz a corrente do galvanômetro O limite inferior é determinado pelas resistências dos cabos de ligação e pelas resistências de contato As resistências dos cabos podem ser calculadas ou medidas e os resultados da medição podem ser compensados Entretanto resistências de contato são difíceis de serem calculadas ou medidas Para a medição de baixos valores de resistência é preferível utilizarse a ponte de Kelvin 53 PONTE DE KELVIN 531 EFEITOS DOS CABOS DE CONEXÃO A ponte de Kelvin é uma ponte modificada de Wheatstone a qual fornece um meio mais acurado para a medição de baixos valores de resistências normalmente menores do que 1 𝛺 Considere o circuito da Fig 54 onde 𝑅𝑦 representa a resistência do cabo de ligação de 𝑅3 𝑅𝑥 O detector de zero pode ser ligado no ponto m ou no ponto n Se a ligação é no ponto m a resistência 𝑅𝑌 é adicionada à resistência desconhecida 𝑅𝑥 resultando num valor superior ao de 𝑅𝑥 Se a ligação é feita no ponto n 𝑅𝑌 é adicionada ao braço de 𝑅3 resultando num valor inferior ao de 𝑅𝑥 porque 𝑅3 fica maior do que seu valor nominal Se o galvanômetro detector de zero for ligado ao ponto p entre m e n de forma que as resistências de n para p e de m para p sejam tais que 𝑅𝑛𝑝 𝑅𝑚𝑝 𝑅1 𝑅2 51 A equação do equilíbrio da ponte assegura que 𝑅𝑥 𝑅𝑛𝑝 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑚𝑝 Fig 54 Ponte de Wheatstone mostrando a resistência R entre os pontos m e n ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Medições com Ponte Cap 5 Substituindo a equação 510 na equação 511 obtemos 𝑅𝑋 𝑅1 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑦 512 que se reduz a 𝑅𝑥 𝑅1 𝑅2 𝑅3 513 A equação 513 é a equação de equilíbrio desenvolvida para a ponte de Wheatstone Ela indica que o efeito da resistência do fio de ligação do ponto m ao ponto n foi eliminado pela ligação do detector de zero do ponto intermediário p Este desenvolvimento estabelece a base para a construção da ponte dupla de Kelvin normalmente conhecida como ponte de Kelvin 532 Ponte Dupla de Kelvin O termo ponte dupla é usado porque o circuito contém um segundo conjunto de braços como é mostrado no diagrama da Fig 55 Este segundo conjunto de braços denominados a e b no diagrama liga o detector de zero ao ponto p que está em um potencial apropriado entre m e n e elimina o efeito indesejável da resistência Ry Uma condição inicialmente estabelecida é que a razão entre as resistências dos braços a e b seja a mesma que a razão entre R1 e R2 A indicação do galvanômetro será zero quando o potencial em k igualar o potencial em p ou quando Ekl Eimp onde 𝐸𝑘𝑙 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝐸 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝐼 𝑅3 𝑅𝑋 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 514 𝐸𝑙𝑚𝑝 𝐼 𝑅3 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 515 Como Ekl Elmp 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝐼 𝑅3 𝑅𝑋 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝐼 𝑅3 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 Fig 55 Circuito básico da ponte dupla de Kelvin ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Simplificando obtemos 𝑅3 𝑅𝑥 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑅2 𝑅3 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 e expandindo o membro à direita 𝑅3 𝑅𝑥 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑅1 𝑅3 𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝑅2 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 Resolvendo para 𝑅𝑥 𝑅𝑥 𝑅1 𝑅3 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 de forma que 𝑅𝑥 𝑅1 𝑅3 𝑅2 𝑏 𝑅𝑦 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 𝑅1 𝑅2 𝑎 𝑏 516 Usando a condição inicialmente estabelecida ou seja ab 𝑅1 𝑅2 verificase que a equação 516 reduzse à relação conhecida 𝑅𝑥 𝑅3 𝑅1 𝑅2 517 A equação 517 indica que a resistência indesejável das ligações não tem nenhum efeito sobre a condição o que é garantido por causa da relação ab 𝑅1 𝑅2 A ponte de Kelvin é utilizada para a medição de baixos valores de resistências compreendidos entre 000001Ω e 1Ω A Fig 56 mostra um circuito simplificado de uma ponte de Kelvin comercial Fig 56 Circuito simplificado de uma ponte de Kelvin para a medição de baixos valores de resistências ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE capaz de medir resistências de 000001Ω até 10Ω Nesta ponte a resistência R3 da equação 517 é representada pelo resistorpadrão variável Os braços de R1 e R2 podem ser chaveados em passos de décadas A queda de tensão nas resistências de contato pode causar graves erros Para reduzir este efeito são utilizados um resistorpadrão com nove passos de 0001Ω cada mais uma barra calibrada de manganina de 00011Ω com um contato deslizante A resistência total do braço de R3 totaliza 00101 e é variável em passos discretos de 0001Ω mais frações de 00011Ω do contato deslizante Quando ambos os contatos são chaveados para selecionarem um valor adequado do resistorpadrão a queda de potencial no ponto de ligação entre os braços é modificada mas a resistência total no circuito da bateria permanece constante Este arranjo coloca qualquer resistência de contato em série com resistências de valores relativamente mais elevados e assim os seus efeitos podem ser negligenciados A razão R1R2 deve ser selecionada de forma que grande parte do resistorpadrão seja usada no circuito de medição Assim o valor da resistência desconhecida R1 é determinado com o maior número possível de algarismos significativos o que melhora a exatidão da medida 54 PONTE DE WHEATSTONE PROTEGIDA DE CORRENTES ESPURIAS 541 Circuitos de Guarda As medições de valores elevados de resistências como p ex a resistência de isolamento de um cabo ou a resistência de fuga de um capacitor normalmente da ordem de centenas de megaohms estão além da capacidade de uma ponte de Wheatstone comum Um dos maiores problemas que ocorre neste tipo de medida é a corrente de fuga através do componente ou correntes espúrias na superfície dos componentes sob teste ou sobre os terminais da ponte que ligam o componente ao instrumento ou ainda no interior do instrumento Estas correntes de fuga são indesejáveis porque podem entrar no circuito de medição e afetar consideravelmente a exatidão das medidas Correntes de fuga ou correntes superficiais são indesejáveis em circuitos de medição de altas resistências onde tensões elevadas são necessárias para que haja deflexões razoáveis em condições de desequilíbrio Além disso esses efeitos variam de um dia para o outro dependendo da temperatura ambiente e da umidade relativa do ar Os efeitos destes caminhos de fuga são minimizados através de um terminal especial que desvia o fluxo indesejável de cargas para um outro circuito diferente do circuito de medição Tais circuitos de desvio são chamados circuitos de guarda A Fig 57 ilustra o princípio de funcionamento de tais circuitos Sem o circuito de guarda a corrente de fuga I1 da superfície isolada do terminal de conexão é adicionada à corrente I1 através do componente sob teste produzindo uma intensidade de corrente maior do que a corrente I1 O condutor de guarda evita que as cargas superficiais fluam através do circuito de medição as cargas são reconduzidas a bateria O posicionamento do circuito de guarda deve ser tal que a corrente de fuga seja interceptada por ele e impedida de entrar no circuito da ponte ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 57 Ponte de Wheatstone com proteção simples de um condutor guarda no terminal Rx Correntes de fuga superficiais são eliminadas Fig 58 O terminal de guarda retorna as cargas espúrias à bateria No diagrama da Fig 58 o guarda ao redor do elemento de ligação de 𝑅𝑥 à ponte indicado por pequeno círculo em torno do terminal não tem contato com parte alguma do circuito da ponte e está diretamente ligado ao terminal positivo da bateria Este princípio de proteção pode ser aplicado em qualquer ponto onde uma corrente espúria possa afetar a medição por isso dizemos que a ponte é uma ponte de Wheatstone protegida de correntes espúrias 542 Resistência com Três Terminais Para evitar os efeitos de correntes de fuga externas ao circuito da ponte a junção dos braços 𝑅𝐴 e 𝑅𝐵 emergem com um terminal de guarda no painel frontal do instrumento Este terminal de guarda pode ser utilizado para a ligação do resistor com três terminais como é mostrado na Fig 59 A resistência de valor elevado é ligada em dois terminais isolantes atarraxados à placa de metal Os a Resistência de Três Terminais b Circuito Ponte com Guarda ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 59 Resistor de três terminais ligados ao terminal guarda de uma ponte de alta tensão para a medição de megaohms dois terminais principais do resistor são ligados à 𝑅𝑥 de forma usual na ponte de Wheatstone O terceiro terminal do resistor é o ponto comum das resistências 𝑅1 e 𝑅2 que representam os caminhos de fuga ou resistência de fuga dos terminais principais aos isolantes ou guarda O guarda é ligado ao terminal guarda no painel frontal do instrumento como indicado na Fig 59 Tal ligação coloca 𝑅1 em paralelo com o braço 𝑅𝐴 mas o efeito de derivação é irrelevante porque 𝑅1 𝑅𝐴 Analogamente a resistência 𝑅2 fica em paralelo com o galvanômetro mas 𝑅2 é muito maior do que a resistência do galvanômetro de forma que o efeito é apenas uma pequena redução na sensibilidade do detector de zero Assim os efeitos de caminhos de fuga externos são removidos Se o circuito de guarda não fosse usado as resistências de fuga 𝑅1 e 𝑅2 estariam ligadas diretamente com 𝑅𝑥 o que introduziria erro considerável na medida desta última Admitindo p ex que a resistência desconhecida seja 100 𝑀𝛺 e que a resistência de fuga de cada terminal ao ponto de guarda seja também 100 𝑀𝛺 a resistência 𝑅𝑥 teria valor medido de 100 𝑀𝛺 ou seja um erro de aproximadamente 33 55 PONTES DE CORRENTE ALTERNADA E APLICAÇÕES 551 Condições de Equilíbrio das Pontes CA A ponte ca é uma evolução natural das pontes cc Consiste basicamente em quatro braços uma fonte de excitação e um detector de zero A fonte de excitação produz tensão ca para a ponte na frequência desejada Para medições em baixas frequências é possível a alimentação direta da rede Em frequências mais elevadas um oscilador fornece o sinal de excitação da ponte O detector de zero deve ser capaz de detectar desequilíbrios ca e uma escolha econômica mas eficiente é o fone de ouvido Em outras aplicações o detector de zero pode ser um amplificador de tensão ca com algum medidor na saída ou um tubo de raios catódicos A forma geral de uma ponte ca é mostrada na Fig 510 Os quatro braços da ponte 𝑍1 𝑍2 𝑍3 e 𝑍4 são impedâncias quaisquer e o detector é representado por um fone de ouvido A condição de equilíbrio é obtida de forma similar à que ocorre na ponte de Wheatstone ou seja quando a resposta do detector é nula O ajuste para a obtenção da condição de equilíbrio é feito pela variação da impedância de um ou mais braços da ponte A equação geral do equilíbrio da ponte é obtida utilizandose notação complexa para as impedâncias do circuito Utilizase negrito para indicar grandezas em notação complexa Estas grandezas podem ser impedâncias admitâncias voltagens ou correntes A condição de equilíbrio da ponte requer que a diferença de potencial entre A e C na Fig 510 seja zero Isto acontece quando a queda de potencial de B para A é igual à queda de potencial de B para C tanto em módulo quanto em fase Utilizando notação complexa escrevese 𝐄𝐵𝐴 𝐄𝐵𝐶 ou 𝐈1𝐙1 𝐈2𝐙2 518 Na condição de equilíbrio as correntes são 𝐈1𝐙1 𝐄 𝐙1 𝐙3 519 Fig510 Forma geral da ponte de corrente alternada ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE e 𝑰𝟐 𝑬 𝒁𝟏 𝒁𝟐 520 Substituindo as equações 519 e 520 em 518 obtémse 𝒁𝟏 𝒁𝟒 𝒁𝟐 𝒁𝟒 521 ou se forem usadas admitâncias 𝒀𝟏 𝒀𝟒 𝒀𝟐 𝒀𝟒 522 A equação 521 é a mais utilizada e conhecida como a equação geral de equilíbrio de uma ponte ca A equação 521 nos diz que o produto das impedâncias de um par de braços opostos deve ser igual ao produto das impedâncias de outro par com as impedâncias expressas em notação complexa Se a impedância é escrita na forma Z Zφ onde Z representa o módulo e φ o ângulo de fase da impedância complexa a equação 521 tornase 𝑧1𝜑1 𝑧4𝜑4 𝑧2𝜑2 𝑧3𝜑3 523 Como na multiplicação de números complexos os módulos são multiplicados e os ângulos de fase somadosreescrevemos 𝑧1 𝑧4𝜑1 𝜑4 𝑧2 𝑧3𝜑2 𝜑3 524 A equação 524 mostra que duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente para que a condição de equilíbrio seja atingida A primeira delas é que 𝑧1 𝑧4 𝑧2 𝑧3 525 ou seja Os produtos dos módulos das impedâncias em braços opostos devem ser idênticosA segunda condição é que 𝜑1 𝜑4 𝜑2 𝜑3 526 ou seja As somas dos ângulos da fase das impedâncias em braços opostos devem ser idênticas 552 Aplicaçõesdas Equações de Equilíbrio de Uma Ponte CA As duas condições de equilíbrio expressas em 525 e 526 podem ser aplicadas quando as impedâncias dos braços da ponte são dadas em notação polar com módulo e ângulo de fase Mas muitas vezes os valores dos componentes dos braços são dados e o problema é resolvido escrevendose a equação de equilíbrio em forma complexa O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO 53 Às impedâncias da ponte ca da Fig 510 são dadas por 𝑧1 100 Ω80º impedância indutiva 𝑧2 250 Ω resistência pura 𝑧3 400 Ω30 impedância indutiva 𝑧4 desconhecida Determine os parâmetros do braço desconhecido ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE SOLUÇÃO A primeira condição de equilíbrio requer que Z1Z4Z2Z3 Substituindo os módulos e resolvendo pra Z4 obtemos Z4 𝑍2 𝑍3 𝑍1 250𝑥400 100 1000Ω A segunda condição de equilíbrio da ponte requer que as somas dos ângulos da fase dos braços opostos sejam iguais ou 𝜃1 𝜃4 𝜃2 𝜃3 526 Substituindo os valores conhecidos dos ângulos da fase e resolvendo para TETA obtemos 𝜃4 𝜃2 𝜃3 𝜃1 0 30 80 50 De forma que a impedância desconhecida Z4 pode ser escrita em forma polar como Z4 1000Ω50 Indicando que se trata de um elemento capacitiva possivelmente consistindo em uma combinação em série de um resistor e um capacitor O problema é um pouco mais complexo quando os valores dos componentes dos braços são especificados e as impedâncias devem ser expressas em notação complexa Neste caso as reatâncias capacitivas ou indutivas só podem ser calculadas quando a frequência da voltagem de excitação é conhecida como no Exemplo 54 EXEMPLO 54 A ponte CA da figura 510 está em equilíbrio Os componentes dos braços são dados por braços AB R 450Ω braço BC R 300Ω em série com C 0265 𝜇F Braço CD desconhecido braço DA R200Ω em serie com L 15mH Determine os componentes do braço CD sabendo que a frequência da excitação é 1 kHz SOLUÇÃO A equação geral do equilíbrio da ponte CA estabelece que Z1Z4Z2Z3 𝑍1 𝑅 450Ω 𝑍2 𝑅 1𝜔𝐶 300 𝑗600𝛺 521 𝑍3 𝑅 𝑗𝜔𝐿 200 𝑗100 Ω 𝑍4 é 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑎 Substituindo os valores dados na equação 521 e resolvendo para o braço desconhecido obtémse 𝑍4 450 200𝑗100 300𝑗600 𝑗150Ω Este resultado indica que Z4 é uma indutância pura com reatância indutiva de 150Ohm na frequência de 1kHz Como a reatância indutiva é dada por XL 1𝜋𝑓L concluise que L239mH ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE 56 PONTE DE MAXWELL A ponte de Maxwell esquematizada na Fig 511 é utilizada para a medição de uma indutância desconhecida em função de uma capacitância conhecida Um dos braços tem um resistor ou um capacitor em paralelo e a utilização da admitância do braço 1 simplifica o trabalho de cálculo Da equação 521 obtemos 𝑍𝑥 𝑍2 𝑍3 𝑌1 527 onde 𝑌1 é a admitância do braço 1 da ponte Da Fig 511 obtémse 𝑍2 𝑅2 𝑍3 𝑅3 e 𝑌1 1 𝑅1 j𝜔𝐶1 Substituindo esses valores na equação 527 temos 𝑍𝑥 𝑅𝑥 j𝜔𝐿𝑥 𝑅2 𝑅3 1 𝑅1 j𝜔𝐶1 528 Separando os termos reais dos termos imaginários obtemos 𝑅𝑥 𝑅2 𝑅3 𝑅1 529 e 𝐿𝑥 𝑅2 𝑅3 𝐶1 530 onde as resistências são expressas em ohms indutâncias em henrys e as capacitâncias em farads A ponte de Maxwell é limitada à medida de indutâncias de bobinas com fatores de qualidade Q médios 1Q10 Isto pode ser mostrado considerandose a segunda condição de equilíbrio a qual diz que a soma dos ângulos de fase de um par de braços opostos deve ser igual à soma dos ângulos de fase do outro par Como a soma dos ângulos de fase dos braços resistivos 2 e 3 é zero então a soma dos ângulos de fase dos braços 1 e 4 também deve ser zero Uma bobina de alto fator de qualidade alto valor de 0 apresentará um ângulo de fase próximo de 90 positivo o que requer um ângulo de fase no braço capacitivo próximo de 90 negativo Isto por sua vez requereria altíssimos e impraticáveis valores de R₁ Assim bobinas com altos fatores de qualidade são medidas com um outro tipo de ponte ca chamada ponte de Hay que será vista na Seção 57 A ponte de Maxwell também é inadequada para a medição de indutâncias em bobinas com fatores Q muito baixos por causa de problemas de convergência ao equilíbrio Q 1 Valores muito baixos de Q ocorrem em resistores indutivos p ex ou em bobinas de RF medidas em baixas freqüências Das equações para 𝑅𝑥 e 𝐿𝑥 vemos que o ajuste de 𝑅3 para a obtenção do equilíbrio perturba o balanceamento resistivo através de 𝑅1 o que gera um fenômeno conhecido como equilíbrio deslizante O equilíbrio deslizante descreve a interação entre dois ajustes para a obtenção do equilíbrio ajustase 𝑅1 então ajustase 𝑅3 e ao retornarse a 𝑅1 um novo ponto de equilíbrio é obtido O ponto de equilíbrio Fig 511 Ponte de Maxwell para medição de indutâncias ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE parece deslocarse para uma posição final i e o ponto de equilíbrio desliza ou deslocase para um certo ponto após muitos ajustes daí o nome equilíbrio deslizante Não ocorre interação quando 𝐶1 e 𝑅1 são usados para a obtenção do equilíbrio mas nem sempre um capacitor variável é adequado Normalmente para se equilibrar a ponte de Maxwell ajustase primeiro 𝑅3 para balanceamento indutivo e depois 𝑅1 para balanceamento resistivo Voltando ao ajuste de 𝑅3 notase que o balanceamento resistivo está sendo perturbado e deslocase para um novo valor Este procedimento é repetido e dá uma lenta convergência ao equilíbrio ou balanceamento final Para fatores de qualidade médio ie 1 Q 10 o efeito resistivo não é significativo e assim o equilibro é atingido após alguns poucos ajustes 57 PONTE DE HAY A ponte de Hay vista na Fig 512 difere da de Maxwell porque o resistor 𝑅1 está em série com o capacitorpadrão 𝐶1 em vez de estar em paralelo Fica evidente que para grandes ângulos de fase 𝑅1 deve ter baixo valor A ponte de Hay é portanto mais conveniente para a medição de indutâncias em bobinas de alto fator Q As operações de equilíbrio são novamente obtidas pela substituição dos valores das impedâncias dos braços na equação geral de equilíbrio da ponte Do circuito da Fig 512 obtemos 𝑍1 𝑅1 𝑗 𝜔𝐶1 𝑍2 𝑅2 𝑍3 𝑅3 𝑍𝑥 𝑅𝑥 𝑗𝜔𝐿𝑥 Substituindo estes valores na equação 521 obtemos 𝑅1 𝑗 𝜔𝐶1 𝑅𝑥 𝑗𝜔𝐿𝑥 𝑅2 𝑅3 531 e portanto 𝑅1𝑅𝑥 𝐿𝑥 𝐶1 𝑗𝑅𝑥 𝜔𝐶1 𝑗𝜔𝐿𝑥𝑅1 𝑅2𝑅3 Separando os termos reais e imaginários obtemos 𝑅1𝑅𝑥 𝐿𝑥 𝐶1 𝑅2𝑅3 532 E 𝑅𝑥 𝜔𝐶1 𝜔𝐿𝑥𝑅1 533 Resolvendo as equações 532 e 533 simultaneamente temos 𝑅𝑥 𝜔2𝐶1 2𝑅1𝑅2𝑅3 1 𝜔2𝐶1 2𝑅1 2 534 Fig 512 Ponte de Hay para medição de indutâncias ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE 𝐿𝑥 𝑅2𝑅3𝐶1 1 ω ² 𝐶1² 𝑅1² 535 Esta expressão para a indutância e resistência desconhecidas contém a freqüência angular ω e portanto pareceria que a freqüência da fonte de excitação deve ser conhecida com exatidão Aas considerações a seguir mostram que isto não é verdade quando se mede a indutância de uma bobina de alto 𝑄 uma vez que as somas de conjuntos opostos de ângulos de fase devem ser iguais o ângulo de fase do braço indutivo deve ser igual ao do braço capacitivo já que os ângulos resistivos são zero A Fig 513 mostra que a tangente da fase indutiva é tan 𝜃𝐿 𝑋𝐿 𝑅 ω𝐿𝑥 𝑅𝑥 𝑄 536 e que a tangente da fase capacitiva é tan 𝜃𝐶 𝑋𝐶 𝑅 1 ω𝐶1𝑅1 537 Quando os dois ângulos de fase são iguais suas tangentes também o são de forma que tan 𝜃𝐿 tan 𝜃𝐶 𝑜𝑢 𝑄 1 ω𝐶1𝑅1 538 Voltando ao termo 1 ω2 𝐶2 1 𝑅2 1 que aparece nas equações 534 e 535 e usando a equação 538 para obter 𝐿𝑥 vemos que a equação 535 reduzse a 𝐿𝑥 𝑅2𝑅3𝐶1 1 1 𝑄 ² 539 Para um valor de 𝑄 10 o termo 1 𝑄 ² será menor do que 1100 e pode ser desprezado A equação 535 portanto reduzse à expressão derivada para a ponte de Maxwell 𝐿𝑥 𝑅2𝑅3𝐶1 A ponte de Hay é adequada à medição de indutâncias em bobinas de alto fator 𝑄 especialmente aquelas com 𝑄 10 Em casos onde 𝑄 10 o termo 1 𝑄² não pode ser desprezado e assim a ponte de Maxwell é mais adequada 57 PONTE DE SCHERING A ponte de Schering uma das mais importantes pontes Ca é muito utilizada para medições de capacitores Embora seja utilizada para a determinação de capacitâncias ela é particularmente útil na medição de propriedades isolantes ie em condições com ângulos da fase muito próximos de 90 Fig 513 Triângulos de impedância ilustram ângulos da fase em impedâncias indutivas e capacitivas ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 514 Ponte de Schering para amedição de capacitâncias O circuito básico é mostrado na Fig 514 Note que o braço 1 agora contém uma combinação paralela de um resistor e um capacitor O capacitorpadrão no braço 3 é normalmente um capacitor de alça de alta qualidade para medições gerais ou um capacitor com dielétrico de ar para medições de isolamento Um bom capacitor de mica tem perdas muito baixas resistência de fuga extremamente alta e portanto um ângulo de fase próximo a 90 Um capacitor de ar quando bem projetado é bastante estável e trabalha com um campo elétrico de baixa intensidade o material isolante a ser testado é então mantido longe de campos elétricos de alta intensidade As condições de equilíbrio requerem que a soma dos ângulos de fase dos braços 1 e 4 iguale a soma dos ângulos de fase dos braços 2 e 3 Como o capacitorpadrão 𝐶3 apresenta ângulo de fase de 90 a soma dos ángulos dos braços 2 e 3 será 0 90 90 Para obter a condição de equilíbrio é necessário colocar um capacitor C em paralelo com o resistor 𝑅1 porque no braço desconhecido sob teste teremos um ângulo de fase menor do que 90 Assim é possível fazer com que a soma dos ângulos de fase do braço 1 e do braço desconhecido quarto braço equilibre a soma dos outros dois braços Um pequeno ângulo de fase capacitivo é fácil de ser obtido requerendo apenas uma baixa capacitância em paralelo com 𝑅1 A condição de equilíbrio é dada por 𝒁𝒙 𝒁𝟐 𝒁𝟑 𝒀𝟏 ou 𝑅𝑥 𝑗 𝜔𝐶𝑋 𝑅2 𝑗 𝜔𝐶3 1 𝑅1 𝑗𝜔 𝐶1 expandindo obtemos 𝑅𝑥 𝑗 𝜔𝐶𝑋 𝑅2 𝐶1 𝐶3 𝑗𝑅2 𝜔𝐶3𝑅1 540 Separando as partes reais e imaginárias obtemos 𝑅𝑥 𝑅2 𝐶1 𝐶2 541 𝐶𝑥 𝐶3 𝑅1 𝑅2 542 Como se pode ver na Fig 514 os dois parâmetros escolhidos para fazerem o ajuste do ponto de equilíbro são o capacitor 𝐶1 e o resistor 𝑅2 A escolha é feita desta forma porque o fator de potência FP de uma combinação RC série é definida como o coseno do ângulo da fase do circuito Portanto o FP do braço desconhecido é dado por PF 𝑅𝑥 𝑍𝑥 Para ângulos de fase próximos a 90 a reatância quase iguala o módulo da impedância e podemos fazer aproximação em que PF 𝑅𝑋 𝑋𝑥 𝜔𝐶𝑋𝑅𝑥 543 ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 515 Ponte de Schering automática Cortesia de Electro Scientific Industries Inc O fator de dissipação D de um circuito série RC é definido como a cotangente do ângulo de fase ou seja 𝐷 𝑅𝑥 𝑋𝑥 𝜔𝐶𝑥𝑅𝑥 544 Observe que como 𝑄 𝑋𝐿 𝑅𝐿 o fator de dissipação D é o recíproco do fator de qualidade i e D 1Q O fator D nos diz quão perto o ângulo de fase do capacitor está do valor ideal de 90º Substituindo o valor de 𝐶𝑥 na equação 542 e o de 𝑅𝑥 na equação 541 e levandoos em 544 obtemos 𝐷 𝜔𝑅1𝐶1 545 Se o resistor 𝑅1 na ponte de Schering tem um valor fixo o dial do capacitor 𝐶1 pode ser diretamente calibrado em termos do fator D Isto é a prática comum nas pontes de Schering Observe que a calibração do dial de 𝐶1 depende da frequência que comparece na equação 545 Se outra frequência de excitação for usada a escala deverá ser corrigida multiplicando se a leitura de 𝐶1 pela razão entre as duas frequências A Fig 515 mostra uma moderna ponte automática 59 DESEQUILÍBRIO NAS PONTES CA Em algumas circunstâncias uma ponte ca não pode ser equilibrada por causa da impossibilidade de se atenderem às condições de equilíbrio Considere p ex o circuito da Fig 516 onde 𝑍1 e 𝑍4 são elementos indutivos ângulos de fase positivos 𝑍2 é puramente capacitivo ângulo de fase de90 e 𝑍3 é um resistor variável ângulo de fase nulo A resistência 𝑅3 necessária para que se alcance a condição de equilíbrio pode ser calculada aplicandose a primeira condição de equilíbrio relacionada com os módulos das impedâncias Encontrase 𝑅3 𝑍1 𝑍4 𝑍2 200 600 400 300 Ω Assim com 𝑅3 300Ω a primeira condição é satisfeita ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 516 Ponte ca cujo equilíbrio não pode ser obtido A segunda condição de equilíbrio nos diz que 𝜃1 𝜃4 60 30 90 𝜃2 𝜃3 90 0 90 Obviamente 𝜃1 𝜃4 𝜃2 𝜃3 e a segunda condição não pode ser satisfeita Uma ilustração interessante de um problema de equilíbrio de ponte é dada no Exemplo 55 no qual pequenos ajustes de um ou mais braços levam a uma situação na qual se atinge o equilíbrio EXEMPLO 55 Considere o circuito da Fig 517a e determine se a ponte está em perfeito equilíbrio Caso não esteja mostre duas maneiras de se obter tal condição especificando valores numéricos para os componentes adicionais Admita que o braço desconhecido não pode ser modificado SOLUÇÃO Por inspeção verificase que um pequeno aumento em 𝑅3 faz com que a primeira condição de equilíbrio módulos seja satisfeita A segunda condição requer que 𝜃1 𝜃4 𝜃2 𝜃3 onde 𝜃1 90 capacitância pura 𝜃2 𝜃3 0 resistência pura 𝜃4 90 impedância indutiva Obviamente o equilíbrio não é possível com a configuração da Fig 517 a porque 𝜃1 𝜃4 será negativa enquanto 𝜃2 𝜃3 será exatamente 0º O equilíbrio pode ser obtido modificando se o circuito de modo a satisfazer a condição para os ângulos de fase Dois métodos podem ser utilizados A primeira opção é modificar 𝒁𝟏 reduzindo o valor do seu ângulo de fase de forma a que fique menor do que 90º igual a 𝜃4 Para tal basta colocar um resistor em paralelo com o capacitor Tal configuração é similar à ponte de Maxwell que está mostrada na Fig 517 b A resistência 𝑅1 pode ser determinada por 𝒀𝟏 𝒁𝟒 𝒁𝟐𝒁𝟑 onde 𝒀𝟏 1 𝑅1 𝑗 1000 Substituindo os valores conhecidos obtemos ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE 1 𝑅1 𝑗 1000 100 𝑗500 500 1000 e portanto R1 50000Ω Devese notar que a inserção de R1 perturba a primeira condição de equilíbrio porque 𝑍1 foi modificada O resistor R3 deverá ser modificado para compensar o distúrbio causado por R1 A segunda opção é modificar o ângulo de fase do braço 2 ou do braço 3 adicionando um capacitor em série como mostrado na Fig 517 c Podemos então escrever 𝑍3 𝑍1 𝑍4 𝑍2 Substituindo os valores dos componentes e resolvendo para 𝑋𝐶 temos 1000 𝑗𝑋𝐶 𝑗1000100 𝑗500 500 ou 𝑋𝐶 200 Ω Também neste caso a grandeza de 𝑍3 foi aumentada o que perturba a primeira condição de equilíbrio Assim um pequeno reajuste em R3 é necessário para restabelecer o equilíbrio a Condição de desequilíbrio b Condição de equilíbrio restabelecida por adição de um resistor no braço 1 Configuração de Maxwell c Condição de equilíbrio restabelecida por adição de um capacitor no braço 3 ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig 517 Problema do equilíbrio de uma ponte ca ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE 510 PONTE DE WIEN A ponte de Wien é apresentada aqui não somente pelo seu uso como ponte ca para medir frequências como também pela sua aplicação em vários outros circuitos importantes Suas aplicações incluem o analisador de distorções harmônicas osciladores de áudio e HF tanto como eliminador de uma frequência primeiro caso como também o elemento determinador da frequência os dois últimos Neste capítulo discutimos sua forma básica projetada para medir freqências em outros capítulos ela é mostrada como elemento de diferentes instrumentos A ponte de Wien tem uma combinação RC série em um braço e uma combinação RC paralelo em um braço consecutivo ver Fig 518 A impedância do braço 1 é 𝑍1 𝑅1 𝑗𝜔𝐶1 A admitância do braço 3 é 𝑌3 1𝑅3 𝑗𝜔𝐶3 Usando as equações básicas das pontes ca e substituindo os valores conhecidos obtemos 𝑅2 𝑅1 𝑗 𝜔𝐶1𝑅4 1 𝑅3 𝑗𝜔𝐶3 546 Expandindo esta expressão temos 𝑅2 𝑅1𝑅4 𝑅3 𝑗𝜔𝐶3𝑅1𝑅4 𝑗𝑅4 𝜔𝐶1𝑅3 𝑅4𝐶3 𝐶1 547 Igualando os termos reais 𝑅2 𝑅1𝑅4 𝑅3 𝑅4𝐶3 𝐶1 548 que se reduz a 𝑅2 𝑅4 𝑅1 𝑅3 𝐶3 𝐶1 549 Igualando os termos imaginários obtemos 𝜔𝐶3𝑅1𝑅4 𝑅4 𝜔𝐶1𝑅3 550 Onde 𝜔 2π𝑓 e resolvendo para 𝑓 obtemos 𝑓 1 2π 𝐶1𝐶3𝑅1𝑅3 551 Observe que as duas condições para o equilíbrio da ponte resultam agora em uma expressão determinando a razão das resistências necessárias 𝑅2𝑅4 e uma outra expressao determinando a frequência da tensão de excitação da ponte Em outras palavras atendendo à equação 549 e excitando a ponte com a frequência dada por 551 a ponte ficará equilibrada Fig 518 Ponte de Wien para a medição de frequência ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Na maioria dos circuitos de Wien os componentes são escolhidos de modo que R1 R3 e C1 C3 Assim obtemos da expressão 549 que R2R4 2 e da expressão 551 que 𝑓 1 2𝜋RC 552 que é a expressão geral para a frequência da ponte Em geral C1 e C3 são capacitores fixos e os resistores R1 e R3 são resistores variáveis acoplados em um eixo comum Observe que o controle dos resistores R1 e R3 pode ser calibrado em termos de frequência desde que a relação R2 2R4 seja garantida Por causa da sensibilidade à frequência a ponte de Wien pode ser difícil de ser balanceada a não ser que a tensão de excitação seja puramente senoidal Como a ponte não é balanceada em termos dos harmônicos presentes na voltagem aplicada estes harmônicos poderão por vezes produzir um sinal de saída que mascara o verdadeiro ponto de equilíbrio a b Fig 519 a Conexão de aterramento de Wagner para eliminação do efeito de capacitâncias indesejáveis b Ponte de capacitância automatizada com interface para computador Cortesia de Boonton Electronics Corporation ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE 511 LIGAÇÃO À TERRA CONEXÃO DE WAGNER Até agora em nossas discussões foi admitido que os quatro braços das pontes são formados por elementos concentrados que não interagem entre si Na prática entretanto surgem capacitáncias indesejáveis entre os vários elementos da ponte e a terra e também entre os braços da própria ponte Estas capacitâncias causam erros nas medições especialmente em altas frequências ou quando baixas capacitâncias ou altas indutâncias estão sendo medidas Uma forma de controlar tais capacitâncias é através de blindagens aterradas dos braços Isto não elimina as capacitâncias indesejáveis mas pelo menos as tornam constantes de modo que possam ser compensadas Um dos métodos mais empregados para eliminar tais efeitos indesejáveis é o aterramento do tipo Wagner Este circuito elimina os efeitos indesejáveis das capacitâncias que existem entre os terminais do detector e a terra A Fig 519 a mostra a ponte de capacitância onde C1 e C2 representam as capacitâncias indesejáveis O oscilador é removido de sua conexão usual ligado em ponte à combinação de Rω e Cω em série A junção Rω e Cω é aterrada e conhecida como aterramento de Wagner O procedimento para o ajuste inicial da ponte é feito como descrito a seguir o detector é ligado ao ponto 1 e R1 é ajustado de forma a gerar o mínimo ou nenhum som no fone de ouvido A chave é então colocada na posição 2 o que liga o detector ao ponto de aterramento de Wagner O resistor Rω é agora ajustado até o mínimo som Quando a chave é retornada à posição 1 algum desequilíbrio possivelmente ocorre Os resistores R1 e R3 são então ajustados de forma que o detector dê a mínima resposta a chave é reposicionada em 2 Este processo de ajustar R1 R3 e Rω deve ser repetido até que se obtenha uma resposta zero do detector com a chave em qualquer uma das duas posições Quando isto ocorre os pontos 1 e 2 estão no mesmo potencial que é o potencial de terra Assim as capacitâncias indesejáveis ficam curtocircuitadas não afetando o equilíbrio normal da ponte Existem ainda capacitâncias dos pontos C e D para a terra mas a inserção do ponto de terra de Wagner eliminaas do circuito detector visto que cargas nestas capacitâncias caem no terra de Wagner As capacitâncias entre os braços das pontes não são eliminadas pelo aterramento de Wagner ainda afetam a exatidão da medida A ideia do aterramento de Wagner também pode ser aplicada a outras partes desde que se leve em conta que os braços para aterramento duplicam a impedância do par de braços da ponte ao qual estão conectados Como o terra de Wagner não afeta as condições de equilíbrio o procedimento de condição permanece inalterado REFERENCIAS 51 ITT Staff Reference Data for Radio Engineers 7th ed chap 12 Indianapolis IndHoward W Sams Company Inc 1985 52 Maloney Timothy Electrical Circuits Principles and Applications chap 6 Englewood Cliffs NJ PrenticeHall Inc 1984 53 Prensky Sol D and Castellucis Richard L Electronic Instrumentation 3rd ed chaps 4 and 5 Englewood Cliffs NJ PrenticeHall Inc 1982 PROBLEMAS 51 O braço do resistorpadrão da ponte do circuito esquematizado na Fig P51 pode variar de 0 a 100 ohms com uma resolução de 0001 ohm O galvanómetro detector de zero tem uma resistência interna de 100 ohms e pode indicar até 05 microampère Se a resistência desconhecida for 50 ohms qual é a resolução da ponte em termos de ohms e em termos de percentagem do valor desconhecido 52 Na Fig 55 R1 R2 100 ohms A resistência interna do galvanómetro vale 500 ohms e a sensibilidade é dada por 200 mmmicroampère A resistência desconhecida vale Rx 01002 ohm e a resistência padrão valendo 01000 ohm Uma corrente cc de 10 A flui através do resistorpadrão e do resistor desconhecido estando a tensão de alimentação de 22V em série com o reostato A resistência Ry é desprezível Calcule a a deflexão do galvanómetro e b o valor de resistência necessário para produzir uma deflexão de 1 mm 53 Na Fig 55 R1 R2 1000 ohms A resistência interna do galvanómetro vale 100 ohms e a sensibilidade é dada por 500 mmmicroampère A resistênciapadrão vale 01000 ohm Uma corrente cc de 10 A flui através do resistorpadrão e do resistor desconhecido estando a tensão de alimentação de 22 V em série com um reostato Desprezando Ry e sabendo que a deflexão é de 30 mm calcule o valor da resistência desconhecida 54 Uma ponte ca equilibrada tem as seguintes caracteristicas braço AB R 2000 ohms em paralelo com C 0047 microfarads braço BC R 1000 ohms em série com C e braço DA C05 microfarad A frequência do oscilador é de 1000 Hz Determine os parámetros do braço CD ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE Fig P51 55 Uma ponte é equilibrada por uma frequência de 1000 Hz e possui as seguintes constates 𝐴𝐵 02 microfarad 𝐵𝐶 500 ohms 𝐶𝐷 é desconhecido e 𝐷𝐴 um resistor de 300 ohms paralelo com um capacitor de 01 microfarad Encontre 𝑅1 𝐿 ou 𝐶 do braço 𝐶𝐷 considerandoos sem série 56 Uma ponte ca 1000 Hz tem as seguintes constantes 𝐴𝐵 𝑅 1000 ohms em paralelo com 𝐶 05 microfarad 𝐵𝐶 𝑅 1000 ohms em série com 𝐶 05 microfarad 𝐶𝐷 𝐿 30 mH em série com 𝑅 200 ohms Encontre os parâmetros do braço desconhecido sob condições de equilíbrio Expresse o resultado como 𝑅 em série com 𝐶 ou 𝐿 e também com 𝑅 em paralelo com 𝐶 ou 𝐿 57 Numa ponte ca o braço 𝐴𝐵 tem uma capacitância de 02 mmicrofarad no braço 𝐵𝐶 uma resistência de 500 ohms no braço 𝐶𝐷 uma combinação série 𝑅 50 ohms 𝐿 01 H O braço 𝐷𝐴 consiste em um capacitor 𝐶 04 microfarad em série com um resistor variável 𝑅𝑠𝜔 5000 rads a Encontre o valor de 𝑅1 para obter o equilíbrio da ponte b É possível um balanceamento completo através de 𝑅1 Se não especifique a posição e o valor da resistência de ajuste para atingir o equilíbrio completo 58 Uma ponte ca tem um braço 𝐴𝐵 𝑅 1000 ohms em paralelo com 𝐶 0159 microfarad 𝐵𝐶 𝑅 1000 ohms 𝐶𝐷 𝑅 500 ohms 𝐷𝐴 𝐶 0636 microfarad em série com uma resistência desconhecida Encontre a frequência de equilíbrio da ponte e determine o valor da resistência do braço DA que produz esse equilíbrio a Descrição do processo O processo industrial descrito envolve uma prensa que comprime polipropileno entre duas chapas metálicas resultando em placas com espessura de aproximadamente 4 mm e área de 80 cm² O problema principal é que as características da placa podem variar devido à ação de um campo elétrico e a espessura da placa pode ser maior ou menor que 4 mm com uma precisão de 1 Aqui o desafio é que o sistema precisa medir a espessura de cada placa de forma precisa uma vez que ela será submetida a um campo elétrico e a medição da espessura deve garantir que a operação do dispositivo eletrônico não seja afetada b Desenvolvimento de um instrumento de medição de espessura Um método prático seria o uso de um extensômetro strain gauges mostrado na Figura 1 que podem ser aplicados na superfície das chapas metálicas O extensômetro funciona alterando sua resistência em resposta à deformação Como a espessura da placa muda haverá uma deformação detectável nas chapas metálicas da prensa o que causa uma mudança na resistência do sensor Figura 1 Extensômetro típico c Escolha da ponte de medição Das opções Wheatstone Kelvin Schering Wien Maxwell ou Hay A ponte de Wheatstone é a mais indicada para medição de pequenas variações de resistência que no caso seriam geradas por um extensômetro em resposta à mudança de espessura da placa A ponte de Wheatstone é composta por quatro resistores três com valores conhecidos e um que varia o extensômetro Essa configuração permite medir mudanças muito pequenas na resistência que serão traduzidas em variações de tensão d Princípio de funcionamento do sensor passivo O extensômetro é um exemplo de sensor resistivo passivo e funciona da seguinte forma Quando uma força é aplicada no material causando deformação alongamento ou compressão a resistência do extensômetro colado a esse material também muda Essa mudança na resistência é proporcional à deformação experimentada pelo material neste caso as chapas metálicas pressionando a placa de polipropileno A variação do valor da resistência do extensômetro pode ser medida e correlacionada à variação de espessura da placa e Projeto da ponte de Wheatstone Componentes Resistores R1 R2 e R3 Resistores de valor fixo e conhecido R4 extensômetro O elemento sensível à deformação que mudará de resistência de acordo com a espessura da placa de polipropileno Fonte de tensão Fonte de alimentação da ponte Amplificador de instrumentação Para amplificar a tensão de saída da ponte Conversor analógicodigital ADC Para converter o sinal de tensão em uma leitura digital que pode ser processada por um sistema eletrônico Estes dois últimos itens são considerados para uma implementação real A Figura 2 mostra o diagrama da Ponte de Wheatstone Figura 2 Ponte de Wheatstone usada para medição precisa de resistências Funcionamento A tensão de saída da ponte de Wheatstone será zero quando a ponte estiver balanceada quando a resistência de R4 não mudar ou seja a espessura está na referência ideal de 4 mm Quando a espessura da placa mudar o R4 extensômetro será deformado alterando sua resistência Essa mudança na resistência gerará uma diferença de potencial entre os dois pontos centrais da ponte que será proporcional à mudança na espessura f Faixa mínima e máxima de espessura range Dado que o range de espessura da placa é de 3 a 5 mm o sistema deve ser calibrado para detectar variações dentro dessa faixa com uma precisão de 1 A precisão de 1 para uma faixa de 2 mm de 3 a 5 mm significa que o sistema precisa ser capaz de detectar variações de 002 mm Questões respondidas sem desenvolvimento obterá nota Zero não é necessário desenvolvimento sucinto porem de fácil entendimento e a apresentação do desenvolvimento é desejável Todas fontes de tensão estão em volts todas fontes de correntes em amperes e as resistncias em ohms 1 Dado o circuito abaixo calcule os valores Um capacitor de titanato de bário é utilizado como captação num sistema de medição de pressão de 0 a 100 psi onde a ação da variação da pressão irá mudar verticalmente a área das placas paralelas do capacitor a ser medido a área máxima de cada placa metálica do capacitor vale 90 cm² a largura de cada placa no sentido horizontal vale 100 mm A permissividade relativa do titanato de bário inserida neste meio vale 11700 e a distância entre as placas 162 mm Este sensor possui uma resposta linear e está conectado numa ponte SCHERING conforme circuito abaixo Projete a ponte O valor da fonte é de v 1414sen1500t V Eo 88541 x 1012 Fm a Desenvolva o projeto calculando R1 R2 RX C1 C3 CX b Faça uma tabela mostrando os valores dos Ranges e Span da variável pressão do valor de CX em relação ao sinal de tensão da ponte Vps para 0 psi 20 psi 40 psi 60 psi 80 psi e 100 psi Resistor 01pi point fundamental Psi00 CxC65744Hf Psi2pi 574 16592 o Psi1 Psi2pi 574 4592 Psi8pi 574 22946 114Hl 1414HL 157V 8 pi Psi4 pi 574 22946 114Hl 3531V 6pi Psi6pi 574 1448 114 Hl V 146097 5 pi Psi5pi 574 1448 114Hl 17283V 4 pi Psi4 pi 574 1148 114 Hl V 1414V 3 pi Psi3pi 574 1148 3 pi V 1414V 2pi Psi2pi 574 0 1pi Psi1pi 574 0 114 Hl V 1414V