Análise de Manômetros e Propulsores em Sistemas Fluídicos

Questão Considere o manômetro em U da figura com diâmetro 𝑑 Admita que o manômetro é inicialmente defletido de ℓ𝑜 e então liberado A massa específica do fluido manométrico é 𝜌 Despreze a viscosidade e determine a equação diferencial para determinar a variação de ℓ com o tempo Solução Continuidade á𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑡𝑒 𝑉1 𝑉2 𝑉 𝑡 0 ℓ ℓ𝑜 𝑒 ℓ 𝑡 0 𝑢 𝑡 𝑑𝑠 2 1 𝑝2 𝜌 𝑝1 𝜌 𝑉2 2 2 𝑉1 2 2 𝑔𝑧2𝑧1 0 𝑧1 ℓ 𝑧2 ℓ ℒ 2𝐻 𝐿 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑎𝑡𝑚 V 𝑡 ℒ 𝑔ℓ ℓ 0 𝑉 𝑡 2 𝑔 ℒ ℓ 𝑉 ℓ 𝑡 d2 ℓ 𝑑𝑡2 𝑚2ℓ 0 𝑚2 2 𝑔 ℒ 𝐷2 𝑚2 0 𝐷 𝑖𝑚 ℓ 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑚𝑡 𝑑ℓ 𝑑𝑡 𝐴𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑚𝑡 𝐵𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡 𝑡 0 ℓ ℓ𝑜 𝐴 ℓ𝑜 𝑡 0 𝑑ℓ 𝑑𝑡 0 𝐵 0 ℓ ℓ𝑜𝑐𝑜𝑠𝑚𝑡 Questão O propulsor do navio da figura é formado por 4 rotores Flettner Cada rotor consiste em um cilindro com diâmetro 𝐷 2 𝑅 comprimento 𝐿 girando com rotação 𝜔 sujeito a ventos transversais com velocidade 𝑈 O campo de velocidade ao redor de cada rotor pode ser estimado como 𝑢𝑟 𝑈 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 𝑅2 𝑟2 𝑢𝜃 𝑈 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑅2 𝑟2 𝜔𝑅2 𝑟 Determine a potência fornecida para deslocar o navio na direção perpendicular aos rotores Numa primeira aproximação despreze os efeitos viscosos Sabese 𝜌 12 𝑘𝑔 𝑚3 𝐷 4 𝑚 𝐿 27 𝑚 𝜔 20 𝑟𝑝𝑚 𝑈 295 𝑘𝑚 ℎ Solução 𝑃𝑜𝑡 4 𝑉 𝐹𝐿 𝐹𝐿 𝑝 sin 𝜃 𝑑𝐴 𝐴 𝑝 sin 𝜃 𝑅 𝑑 𝜃 𝐿 𝑅 0 𝑝 𝜌 𝑈 2 2 𝑝 𝜌 𝑉2 2 𝑉2𝑟𝑅 𝑢𝑟 2 𝑢𝜃 2𝑟𝑅 2 𝑈𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔 𝑅2 4 𝑈 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝜔2 𝑎𝑅2 4 𝑈𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔𝑅 𝑝 𝜌 𝑈 2 2 𝑝 𝜌 𝑉2 2 𝑝 𝑝 𝜌 𝑈 2 2 1 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝜔2 𝑅2 𝑈2 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜔𝑅 𝑈 𝐹𝐿 𝑅 𝐿 𝑝 𝜌 𝑈 2 2 1 𝜔2 𝑅2 𝑈 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑 𝜃 𝜌 𝑈 2 2 4 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑 𝜃 2 𝜋 0 2 𝜋 0 𝜌 𝑈 2 2 𝜔𝑅 𝑈 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑 𝜃 2 𝜋 0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃0 2 𝜋 0 2 𝜋 0 𝑠𝑒𝑛3 𝜃 𝑑 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 0 2 𝜋 0 2 𝜋 0 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑 𝜃 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 0 2 𝜋 𝜋 2 𝜋 0 𝐹𝐿 𝑅 𝐿 4 𝜌 𝑈 2 2 𝜔𝑅 𝑈 𝜋 2 𝜋 𝐿 𝜌𝑈 𝜔𝑅2 𝑃𝑜𝑡 4 𝑉 𝐹 4 𝜔 𝑅 2 𝜋 𝜔𝑅2 𝐿 𝜌𝑈 8 𝜋 𝜔2 𝑅3 𝐿 𝜌𝑈 𝑃𝑜𝑡 8 𝜋 20 2𝜋 60 2 22 27 12 295 42 105𝑊 566 𝐻𝑃 Questão Água escoa ao longo do duto capilar com diâmetro 𝐷 3 𝑚𝑚 o qual possui uma inclinação igual a 𝜃 com a horizontal como ilustrado na figura Um manômetro em U é utilizado para medir a velocidade média sendo os pontos de medição afastados de 𝐿 50 cm O fluido manométrico é carbono tetracloride CCl com densidade 𝜌𝑚 1594 𝑔 𝑐𝑚3 e a altura de coluna do fluido manométrico ℎ𝐶𝐷 ℎ 25 𝑐𝑚 Sabese que a densidade da água é 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑐𝑚3 e a viscosidade é 𝜇 0001 𝑃𝑎 𝑠 Determine em função dos parâmetros do problema 𝐷 𝐿 𝜌 𝜇 𝜌𝑚 ℎ 𝑔 1 se o fluido sobre ou desce 2 o perfil de velocidade e a velocidade média 3 tensão cisalhante na parede e mostre que o balanço de forças é satisfeito 4 o fator de atrito viscoso vezes o número de Reynolds 𝑓𝜇 𝑅𝑒 onde 𝑓𝜇 𝜏𝑤 1 2𝜌𝑢𝑚 2 Note i Mostre claramente todas as passagens e hipóteses ii Medidas de ℎ e 𝐿 são suficientes calcular o escoamento 𝜃 não é necessário Porque solução 𝜌𝑚 1594 𝑔 𝑐𝑚3 1584 𝑔 𝑐𝑚3 𝑘𝑔 1000 𝑔 1003 𝑐𝑚3 𝑚3 1584 𝑘𝑔 𝑚3 Hipóteses 1 fluido Newtoninao 2 propriedades contantes 3 regime permanente 4 bidimensional 5 desenvolvido 6 laminar Eq continuidade 𝜌 𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝜌 𝑉 0 𝜌 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣 𝑉 0 𝑟 𝑢𝑟 𝑟𝑟 𝑣𝜃 𝑟 𝜃 𝑢𝑧 𝑧 0 𝑟 𝑢𝑟 𝑐𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑟 𝑅 𝑢𝑟 0 𝑉 𝑢𝑧𝑟 Eq QML 𝐷𝑉 𝐷𝑡 𝜌𝑔 𝑝 𝜇2𝑉 Eq QML direção axial 𝜌 𝑢 𝑡 𝑢𝑟 𝑢 𝑟 𝑣𝜃 𝑢 𝑟 𝜃 𝑢 𝑢 𝑧 𝑝 𝑥 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝜇 𝑢 𝑟 1 𝑟2 𝜃 𝜇 𝑢 𝜃 𝑧 𝜇 𝑢 𝑧 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑢 𝑟 1 𝜇 𝑝 𝑥 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐾 𝜇 𝐾 𝑝 𝑥 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑢 𝑟 𝐾 𝜇 𝑟2 2 𝐶1 𝑢 𝑟 𝐾 𝜇 𝑟 2 𝐶1 𝑟 𝑢 𝐾 𝜇 𝑟2 4 𝐶1 ln 𝑟 𝐶2 1 𝑟 0 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝐶1 0 2 𝑟 𝑅 𝑢 0 𝐶2 𝐾 𝜇 𝑅2 4 𝑢 𝐾 𝜇 𝑅2 4 1 𝑟2 𝑅2 z Velocidade média 𝑢𝑚 1 𝐴 𝑢 𝑑𝐴 𝑅 0 1 𝜋 𝑅2 𝐾 𝜇 𝑅2 4 1 𝑟2 𝑅2 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝐾 2𝜇 𝑅 0 𝑅2 2 𝑅4 4𝑅2 𝐾 𝑅2 𝜇 2 4 𝐾 𝐷2 𝜇 32 fluido desde 𝐾 𝑝 𝑥 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐿 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝐿 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝜌𝑔 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑃𝐷 𝑃𝐸 𝑃𝐵 𝜌 𝑔 ℎ𝐵𝐶 𝜌𝑚𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝜌𝑔 ℎ𝐴𝐹 𝜌 𝑔 ℎ𝐵𝐶 ℎ𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝜌𝑔 ℎ𝐴𝐹 𝑃𝐵 𝜌𝑚 𝜌𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝐾 1 𝐿 𝜌𝑚 𝜌 𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝑢 𝜌𝑚 𝜌 𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝜇 𝐿 𝑅2 4 1 𝑟2 𝑅2 Balanço de forças 𝐹 0 𝑃𝐴 𝑃𝐵𝐴 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐿 𝐴 𝜏𝑤 𝑆 𝐿 0 𝜏𝑤 𝜋𝐷2 4 𝜋𝐷 1 𝐿 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝜌 𝑔 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐷 4 𝐿 𝜌𝑚 𝜌𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝐾 𝐷 4 𝜏𝑤 𝜇 𝑢 𝑟 𝑟 𝐾 𝑅 2 𝐾 𝐷 4 𝑓𝜇 𝜏𝑤 1 2 𝜌𝑢𝑚 2 𝐾 𝐷 4 1 2 𝜌𝑢𝑚 2 𝑓 4 𝑅𝑒 𝜌𝑢𝑚𝐷 𝜇 𝑓𝜇 𝑅𝑒 𝐾 𝐷 4 1 2 𝜌𝑢𝑚 2 𝜌𝑢𝑚𝐷 𝜇 𝐾 𝐷2 2 𝑢𝑚 𝐾 𝐷2 2 𝐾 𝐷2 32 𝜇 𝜇 16 𝑢𝑚 𝐾 𝐷2 𝜇 32 𝜌𝑚 𝜌𝑔 ℎ𝐶𝐷 𝐷2 𝐿 𝜇 32 1594 1000 9 81 0025 00032 05 0001 32 𝑢𝑚 82 102 𝑚 𝑠 𝑅𝑒 𝜌𝑢𝑚𝐷 𝜇 246 2300 𝑜𝑘 Questão Desejase bombear querosene q 1000 kgm3 e q 17 x 103 Kgms ao longo de um tubo 20 km de comprimento de ferro galvanizado 015 mm com 12 in de diâmetro com uma vazão de 025 m3s a Estime a potência de bombeamento necessária b Qual a vazão que seria obtida com a mesma potência de bombeamento se o fluido a ser bombeado fosse óleo SAE 30 a 20oC o 800 kgm3 e o 04 Kgms Solução D49x104 𝑃𝑜𝑡 𝛥𝑃𝑄 𝛥𝑃 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝐿 𝑓 1 2 𝐿 𝐷 𝜌𝑉2 03 𝑉 4𝑄 𝜋𝐷2 343 𝑚 𝑠 𝑅𝑒𝐿 𝜌𝑉𝐷 𝜇 1000 343 𝑥00254 12 17 103 614 105 2300𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑜 025 𝑙𝑜𝑔 𝜀𝐷ℎ 37 574 𝑅𝑒09 2 00176 1 𝑓05 20 𝑙𝑜𝑔 𝜀 𝐷ℎ 37 251 𝑅𝑒 𝑓05 𝑓 00174 𝑃𝑜𝑡 𝛥𝑃𝑄 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝐿 𝑓 1 2 𝐿 𝐷 𝜌𝑉2𝑄 1680𝑘𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 2250𝐻𝑃 b𝑃𝑜𝑡 𝛥𝑃𝑄 𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝐿 𝑄 𝑓 1 2 𝐿 𝐷 𝜌 𝑉2𝑉 𝐴 𝑓 𝑉3 2 𝐷 𝑃𝑜𝑡 𝜌 𝐿 𝜋 𝐷2 4 2 1680 000 800 20 000 𝜋 12 00254 4 00877 𝑅𝑒𝐿 𝜌𝑉𝐷 𝜇 800 𝑉 00254 12 04 6096 𝑉 Se laminar fRe64 64 6096 𝑉 𝑉3 00877 𝑉 09 𝑚 𝑠 𝑅𝑒 574 𝑄 00687 Questão Um bloco retangular com massa específica bloco2000 kgm3 com L20 cm de comprimento b15 cm de largura e H5 cm de altura desliza ao longo de um plano inclinado com velocidade constante V sob uma camada de um óleo viscoso oleo800 kgm3 oleo0005 Pa s com espessura h01 mm i Determine a força 𝐹 N e tensão 𝜏𝑠 Pa na superfície do bloco para deslizar com velocidade 𝑉 constante ii Determine o perfil de velocidade na folga em função dos parâmetros do problema iii Determine a velocidade de deslizamento do bloco em ms Gabarito i s As Vcte mg balanço de forças no bloco na direção x 𝑉 𝑐𝑡𝑒 𝑎 0 𝐹𝑥 0 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝐹 𝜏𝑠 𝐴𝑠 𝐹 𝜌𝑏 𝑔 sin 𝜃 𝑏𝐻 𝐿 15 𝑥 103 𝑚3 𝐹 14715 𝑁 𝜏𝑠 𝐹𝐿 𝑏 4905 𝑃𝑎 𝜌𝑏 𝑏 𝐻 𝐿 𝑔 sin 𝜃 𝜏𝑠𝑏 𝐿 𝜏𝑠 𝜌𝑏 𝐿 𝑔 sin 𝜃 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ii Hipóteses 1 fluido Newtoninao 2 propriedades contantes 3 regime permanente 4 bidimensional 5 desenvolvido 6 laminar 7 𝑝 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑝𝑥 0 𝑝𝑥 𝐿 Eq continuidade 𝜌 𝑡 𝑑𝑖𝑣 𝜌 𝑉 0 𝜌 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑣 𝑉 0 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑤 𝑧 0 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑦 0 𝑣 0 𝑉 𝑢𝑦𝑒𝑥 Eq QML 𝐷𝑉 𝐷𝑡 𝜌𝑔 𝑝 𝜇2𝑉 Eq QML direção axial 𝜌 𝑢 𝑡 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑦 𝑤 𝑢 𝑧 𝑝 𝑥 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑥 𝜇 𝑢 𝑥 𝑦 𝜇 𝑢 𝑦 𝑧 𝜇 𝑢 𝑧 V y s h V V L h m g sin 0 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 𝜇 𝑢 𝑦 𝐾 𝜌𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑦 𝑢 𝑦 𝐾 𝜇 𝑢 𝑦 𝐾 𝜇 𝑦 𝐶1 𝑢 𝐾 𝜇 𝑦2 2 𝐶1𝑦 𝐶2 𝜏 𝜇 𝑢 𝑦 𝐾 𝑦 𝜇 𝐶1 1 𝑦 0 𝑢 0 𝐶2 0 2 𝑦 ℎ 𝜇 𝑢 𝑦 𝜏 𝜏𝑠 𝐶1 𝜏𝑠 𝜇 𝐾ℎ 𝜇 𝑢 𝐾ℎ2 𝜇 𝑦 ℎ 1 2 𝑦2 ℎ2 𝜏𝑠ℎ 𝜇 𝑦 ℎ 𝑜𝑢 𝑢 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ℎ2 𝜇 𝑦 ℎ 1 2 𝑦2 ℎ2 𝜏𝑠 ℎ 𝜇 𝑦 ℎ 𝑢 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ℎ2 𝜇 𝑦 ℎ 1 2 𝑦2 ℎ2 𝜌𝑏 𝐿 𝑔 sin 𝜃 ℎ 𝜇 𝑦 ℎ 𝑢 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ℎ2 𝜇 𝑦 ℎ 1 2 𝑦2 ℎ2 𝜌𝑏 𝜌 𝐿 ℎ 𝑦 ℎ iii 𝑉 𝑢𝑦 ℎ 𝑉 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ℎ2 2 𝜇 𝜏𝑠 ℎ 𝜇 800 981 𝑠𝑖𝑛 30 000012 2 0005 490 00001 0005 98 𝑚 𝑠 OBS estamos desprezando efeitos de entrada e saída por isso podemos desprezar variação da pressão ao longo de x Rigorosamente temos balanço de forças no bloco na direção y 𝑎 0 𝐹𝑦 0 𝑝 𝑏 𝑑𝑥 𝐿 0 𝑝𝑎𝑡𝑚𝑏 𝐿 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑝𝑔𝑎𝑝 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝜌𝑏 𝐻 𝑔 cos 𝜃 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐿𝑏 𝑝 𝑏 𝑑𝑥 𝐿 0 Vcte mg m g cos