Lista de Exercícios Resolvidos: Perdas, Potências e Rendimentos em Turbomáquinas - Engenharia Mecânica

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ESCOLA POLITÉCNICA ENGENHARIA MECÂNICA Endereço Rua Imaculada Conceição 1155 Prado Velho Curitiba PR 80215901 Telefone41 32711555 Bloco 9 Parque Tecnológico 2ª Lista Perdas Potências e Rendimentos 1 Um ventilador trabalha com uma vazão de 500 m³h de ar desenvolvendo uma diferença de pressão total equivalente a 10 mca Considerando o rendimento tal igual a 65 e que os dutos de entrada e saída possuem respectivamente diâmetros iguais a 188 mm e 132 mm Determine a diferença de pressão estática a potência hidráulica e a potência de eixo Resp 9805 kPa Poth 1363 kW Potef 21 kW 2 As turbinas tipo Kaplan da usina de Três Marias no Rio São Francisco Brasil apresentam as seguintes características vazão 1495 m³s altura disponível 50 m potência eficaz 67150 kW rotação de 272 rps Determinar as várias perdas e potências fazer o esquema das perdas Dados 0 99 0 98 0 95 0 99 0 92 m atrito h f t e sendo ηa o rendimento correspondente ao atrito no labirinto exterior e a h f i 3 A turbina de Itaipu Francis produz uma potência máxima de 740 MW com uma vazão máxima de 710 m³s e altura de queda nominal de 1184 m calcule o rendimento total a perda mecânica e a vazão de fuga Considere rendimento volumétrico de 99 e rendimento mecânico de 98 Resp ηt 89 Potpm 15 MW 𝑓 71 m³s 4 Na usina de Três Marias situada no Rio S Francisco cada turbina Kaplan produz 91156 CV Potência efetiva com uma vazão de 150 m³s e altura de queda de 50 m Calcule o rendimento total Considerando um rendimento hidráulico de 94 e rendimento volumétrico de 99 calcule a Potência mecânica perdida e a vazão de fuga Resp ηt 913 𝑃𝑜𝑡𝑝𝑚 13 MW 𝑓 15 m³s 5 Uma bomba hidráulica utiliza uma potência efetiva de 266 kW com uma vazão de 006 m³s e altura de elevação de 34 m Calcule o rendimento total a potência mecânica perdida a vazão de fuga e a potência perdida total Considere rendimento volumétrico de 98 e rendimento mecânico de 95 Resp ηt 75 Ppm 133 MW 𝑓 122 Ls Pp665 kW 6 Um ventilador trabalha com uma vazão de 600 m³h de ar desenvolvendo uma diferença de pressão total equivalente de 489 kPa Considerando o rendimento mecânico de 95 e o rendimento hidráulico de 75 calcule a potência hidráulica desenvolvida e a potência efetiva utilizada Resp Poth 815 kW Potef 1144 kW 7 Uma bomba quando nova apresentava os seguintes dados a Rendimento hidráulico 96 b Altura de sucção 10 mca c Altura de recalque 35 mca d Vazão 120 Ls e Vazão de fuga 13 Ls f Potência efetiva 467 CV Porém com o desgaste para os mesmos valores de sucção obtiveramse os seguintes valores vazão de fuga 20 Ls altura de recalque 29 mca Perguntase para a bomba nova Qual será o rendimento mecânico e o rendimento volumétrico Resp 98 e 902 Perguntase para a bomba usada altura da perda hidráulica se o novo rendimento é de 73 Resp 702 mca rendimento total se o rendimento mecânico não se alterou Resp 613 potência perdida mecanicamente Resp 393 W potência hidráulica Resp 3041 CV PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ESCOLA POLITÉCNICA ENGENHARIA MECÂNICA Endereço Rua Imaculada Conceição 1155 Prado Velho Curitiba PR 80215901 Telefone41 32711555 Bloco 9 Parque Tecnológico 3ª Lista Equações Fundamentais e Triângulo de Velocidades 1 Desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador radial do qual são conhecidos a Rotação do rotor 750 rpm b Vazão 240 m³min c Diâmetro na entrada do rotor 600 mm d Diâmetro na saída do rotor 855 mm e Ângulo construtivo da pá na saída do rotor 90 f Por motivo de facilidade de construção as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais b4b5 e valem 210 mm e a espessura das pás é desprezível Resp u4 2356 ms u5 3358 ms C4 Cm4 1011 ms 4 2322 5 1192 w5 Cm5 71 ms w4 2564 ms C5 3432 ms 2 Determine a vazão e a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor de uma bomba centrífuga com as seguintes características 4 30 5 33 n 1470 rpm D4 150 mm D5 380 mm b4 50 mm e b5 18 mm Resp 0157m³s 826 kW 3 Uma turbina Francis que gira a 300 rpm fornece uma potência de Eixo de 890 CV Sabendo que o rendimento desta turbina é de 90 e que o trabalho específico da máquina é 8 menor que o trabalho específico teórico determine a vazão desta turbina em m³s Características construtivas desta turbina b4 112 mm 5 38 e 4 45 Resp 421m³s 4 Uma bomba centrífuga tem seu rotor ou impedidor com as seguintes caraterísticas n 1750 rpm 4 20 5 11 r4 3 in r5 10 in b4 2 in e b5 ¾ in Determine a vazão de projeto é a potência hidráulica teórica necessária para a operação desta bomba Resp 0124 m³s 14725 kW 5 Determine a rotação e a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor de uma bomba centrífuga com as seguintes características Q 70 Ls 4 5 30 D4 150 mm D5 300 mm b4 50 mm e b5 30 mm Resp 655 rpm e 4322 kW 6 Uma bomba centrifuga necessita de uma potência hidráulica teórica de 65 kW para fornecer uma descarga de 80 Ls a uma determina altura manométrica de elevação A diferença de pressão entre a entrada e saída do rotor medida em laboratório é de 73 kPa Determine a a altura manométrica teórica de elevação b a rotação da bomba e c os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor Sabese que D4 130 mm D5 260 mm b4 50 mm e b5 28 mm Resp a 828m b 1344 rpm c entrada 2319 e saída 1417 7 Um ventilador radial de pá curvas para frente SIROCO é projetado para produzir um trabalho específico teórico de 1700 Jkg quando trabalha a 3200 rpm A características do rotor são sendo D5 11D4 4 5 largura das pás de 100 mm Determine D4 e D5 Resp D4 129mm e D5 1424mm 8 Do projeto de um rotor de uma bomba axial foram retirados os seguintes dados Dext 300 mm DintDext 04 4 25 5 35 e n 288 rps Determinar a a energia específica teórica que deverá ser fornecida a bomba b sua vazão c a altura monométrica teórica de elevação e d a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida a bomba Resp a 12065 Jkg b 0526 m³s c 123m d 6346kW 9 Determine o ângulo 5 de um rotor tipo Francis que gira no sentido horário sabendo que a D4 720 mm b D5 420 mm c b4 75 mm d b5 120 mm e 4 90 f vazão 1000 dm³s g Potência teórica fornecida 153 kW h rendimento total 88 e i Trabalho específico dinâmico da máquina 857 Jkg e n 345 rpm Resp 3978 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ESCOLA POLITÉCNICA ENGENHARIA MECÂNICA Endereço Rua Imaculada Conceição 1155 Prado Velho Curitiba PR 80215901 Telefone41 32711555 Bloco 9 Parque Tecnológico 10 A turbina hélice da figura possui 4 70 e 5 42 Sendo 240 rpm a rotação desta turbina determine para a linha corrente média que escoa pelas pás a o trabalho específico teórico da máquina b a potência teórica fornecida c a vazão e d o grau de reação Resp a 7228 Jkg b 6563 kW c 908 m³s d 06646 Para determinar as várias perdas e potências vamos utilizar o esquema de perdas de uma turbina hidráulica PPoutPperdas Onde P é a potência hidráulica teórica fornecida à turbina Pout é a potência efetivamente produzida pela turbina Pperdas é a soma das perdas mecânicas e hidráulicas da turbina A potência hidráulica teórica fornecida à turbina pode ser calculada a partir da equação da energia PρgQ H Onde ρ é a densidade da água g é a aceleração da gravidade Q é a vazão de água que passa pela turbina H é a altura disponível para a turbina Substituindo os valores conhecidos ρ1000 kg m 3 g981 m s 2 Q1495 m 3 s H50m P1000981149550 P736072500W P73607 MW A potência efetivamente produzida pela turbina é dada por Poutηt Pin Onde ηt é o rendimento total da turbina Substituindo os valores conhecidos ηt092 Pout09273607 MW Pout67660MW Agora podemos calcular as perdas mecânicas e hidráulicas da turbina Vamos assumir que as perdas devido ao atrito no labirinto exterior correspondem a 1 da potência hidráulica teórica ou seja Patrito001 P Substituindo os valores conhecidos Patrito00173607 MW Patrito736 MW As outras perdas podem ser calculadas utilizando os rendimentos fornecidos Phid1ηt P Pfricηatrito Patrito Pmec1ηm Pout PperdasPhidPfricPmec Substituindo os valores conhecidos ηatrito098 ηm099 Phid109273607 MW Phid5889 MW Pfric098736 MW Pfric7 21 MW Pmec109967660 MW Pmec6 77 MW Pperdas5889 MW721 MW 677 MW Pperdas7287 MW O esquema de perdas da turbina pode ser apresentado da seguinte forma Portanto as perdas e potências da turbina são Potênciahidráulicateórica736 07 MW Potênciaefetivamente produzida 67660MW Perdas hidráulicas5889MW Perdas por atrito nolabirintoexterior 7 36 MW Perdas mecânicas6 77 MW Total de perdas 7287 MW Potênciaútil67150MW Para a bomba nova temos Alturatotalalturade sucçãoalturade recalque10mca35mca45mca Potênciahidráulica1000 kg m 3981 m s 20120 m 3 s 45mca 3600 s h 588kW Rendimentohidráulico potênciaefetiva potênciahidráulica467CV 588kW 09696 Vazão volumétrica120 L s 1000 c m 3 L 120000 cm 3 s Rendimento volumétrico vazãovolumétrica áreadaseção deentradavelocidade médiade entrada 120000 c m 3 s π 01m 20 822981 m s 2100 cm m 0902902 Para a bomba usada Potênciahidráulica1000 kg m 3981 m s 2 0120 m 3 s 29mca 3600 s h 235kW Potência perdidahidraulicamente467CV 3041CV 16 29CV 1214kW Rendimentomecânico potênciaefetiva potênciamecânica 467CV potênciahidráulicapotência perdidamecanicamente 07373 Alturade perdahidráulica1000 kg m 3981 m s 2 0120 m 3 s 0020 m 3 s 120 L s 702mca Rendimentototalrendimentohidráulico rendimento mecânicorendimento volumétrico0960 7309020613613 Potência perdidamecanicamente1073467CV 1255CV 935kW Potênciahidráulica3041CV 0746 kW CV 2268kW Portanto as respostas são Para a bomba nova Rendimento mecânico 98 Rendimento volumétrico 902 Para a bomba usada Altura da perda hidráulica 702 mca Rendimento total 613 Potência perdida mecanicamente 393 W Potência hidráulica 3041 CV Para desenhar os triângulos de velocidades precisamos identificar os seguintes elementos u velocidade tangencial ou periférica C velocidade específica ou velocidade absoluta Cm velocidade média w velocidade relativa α ângulo formado entre a velocidade absoluta e a direção axial do ventilador β ângulo formado entre a velocidade relativa e a direção axial do ventilador Vamos começar desenhando o esquema do ventilador radial A seta indica o sentido de rotação do rotor A direção axial do ventilador é ao longo do eixo z Em seguida podemos calcular as velocidades periféricas u4 e u5 u4π D4n 60 u4π 06750 60 u42356 m s u5 π D5n 60 u5 π 0855750 60 u53358 m s Agora podemos desenhar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor Note que a velocidade tangencial u4 é paralela ao eixo x e a velocidade relativa w4 é inclinada em um ângulo β4 em relação ao eixo z Já na saída do rotor a velocidade absoluta C5 é inclinada em um ângulo α 5 em relação ao eixo z e a velocidade relativa w5 é inclinada em um ângulo β em relação ao eixo z Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade QA4u4A5u5 A5 A4 u4 u5 A5 A4u4 u5 A5 π 4 D5 2u4 π 4 D 4 2u5 A5D 5 2 D 4 2 u4 u5 A50855 2 06 2 2356 3358 A5121 A4π 4 D 4 2 A4π 4 06 2 A402827 QA4u4Q A4 u4 240 02827 u4 8494 m 3 h 02827m 2 u430096 m s C4u4 C423 56 m s C5A5u5 C51213358 C5406 m s Podemos calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações Cm4u4C4 2 Cm423562356 2 Cm42356 m s Cm5u5C5 2 Cm53358406 2 Cm537 09 m s Podemos calcular os ângulos α 5 e β4 a partir das relações tanα5w5 u5 α 5arc tan w5 u5 α 5arc tan 71 3358 α 51192 tan β4w4 u4 β4arc tan w4 u4 β4arc tan 2564 2356 β44974 Podemos calcular o ângulo β a partir da relação cos β w5 C5 βacos w5 C5 βacos 7 1 40 6 β8322 Assim os elementos dos triângulos de velocidades são Note que os triângulos de velocidades não são desenhados em escala O importante é que os ângulos e as proporções entre as velocidades estejam corretos Para determinar a vazão e a potência teórica da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência teórica da bomba a partir da relação PQ Δp η Podemos calcular os ângulos α 4 e α 5 a partir das relações α 490β4 α 49030 α 460 α 590β5 α 59033 α 557 Podemos calcular as velocidades periféricas u4 e u5 u4π D4n 60 u4π 0151470 60 u4563ms u5 π D5n 60 u5 π 0381470 60 u514 11 m s Agora podemos desenhar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor Note que a velocidade tangencial u4 é paralela ao eixo x e a velocidade relativa w4 é inclinada em um ângulo β4 em relação ao eixo z Já na saída do rotor a velocidade absoluta C5 é inclinada em um ângulo α 5 em relação ao eixo z e a velocidade relativa w5 é inclinada em um ângulo β5 em relação ao eixo z Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade QA4u4A5u5 A5 A4 u4 u5 A5 A4u4 u5 A5 π 4 D 5 2u4 π 4 D 4 2u5 A5D 5 2 D 4 2 u4 u5 A5038 2 015 2 563 14 11 A5096 A4π 4 D 4 2 A4π 4 015 2 A4001767 QA4u4 Q001767563 Q00994 m 3 s Assim a vazão da bomba é de 00994 m³s Podemos calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações Cm4u4C4 2 Cm4563C4 2 Cm5u5C5 2 Cm51411C5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Supondo que as perdas de carga sejam Δ p415m e Δ p54 5m podemos calcular a potência teórica da bomba a partir da relação P Q Δ p4Δ p5 η η075eficiênciadabomba P00994 154 5 075 P009946 075 P07952kW Assim a potência teórica da bomba é de 07952 kW ou aproximadamente 826 kW Para determinar a vazão da turbina Francis precisamos seguir os seguintes passos Calcular a potência hidráulica da turbina a partir da potência de eixo e do rendimento Calcular o trabalho específico teórico da turbina a partir das características construtivas Calcular o trabalho específico real da turbina a partir da relação entre o trabalho específico real e o trabalho específico teórico Calcular a vazão da turbina a partir da relação entre a potência hidráulica e o trabalho específico real Vamos começar calculando a potência hidráulica da turbina Phid Peixo η Phid 890CV 0736kW CV 09 Phid6197kW Agora podemos calcular o trabalho específico teórico da turbina a partir das características construtivas tanα 4w C tan 45w C wC tan β5w u5 wu5 tanβ5 hC 2 2 g w 2 2 g hC 2 2 g u5 2 ta n 2β5 2g HhQ H C 2 2g u5 2 ta n 2β5 2g Q HC 2u5 2ta n 2 β5 2g Q N n 60 N300 60 N5rps T H gQ 1000 N TC 2u5 2ta n 2 β5 Q 2g gQ 1000 N TC 2u5 2tan 2 β5Q 2 1000 2 gN Assumindo que a gravidade seja g 981 ms² podemos calcular o trabalho específico teórico T esp Phid ρ H Qg ρ T esp C 2u5 2ta n 2 β5Q 2 T espC 2u5 tan β5 2Q 2 T espC 2 D 5N 60 tan β5 2 Q 2 T espC 20557 tan38 2 Q 2 T espC 202347 Q 2 Agora podemos calcular o trabalho específico real da turbina a partir da relação entre o trabalho específico real e o trabalho específico teórico ηturbT real Tesp T realηturbT esp T real092092T espassumindoque orendimentodaturbinaé 92 Substituindo a expressão de T esp temos T real092092 C 202347 Q 2 Finalmente podemos calcular a vazão da turbina a partir da relação entre a potência hidráulica e o trabalho específico real PhidT realQg 1000 Q Phid Treal g 1000 Q 619 7kW Treal981 m s 2 1000 Q 6197kW 0920 92 C 202347 g 1000 Q421m ³s Assim a vazão da turbina Francis é de 421 m³s Para determinar a vazão e a potência hidráulica teórica necessárias para a operação da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação Ht Q Δp η Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades n1750rpm18373 rad s r 4300762m r5100254 m b4200508m b53 4 001905m Note que a direção axial da bomba é ao longo do eixo z Podemos calcular as velocidades periféricas u4 e u5 u4π r 4n 30 u4π 0076218373 30 u41467 m s u5 π r5n 30 u5 π 0254 18373 30 u54891 m s Agora podemos calcular os ângulos α 4 e α 5 a partir das relações α 490β4 α 49020 α 470 α 590β5 α 59011 α 579 Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade QA4u4A5u5 A5 A4 u4 u5 A5 A4u4 u5 A5π 4 r5 2r4 2u4 u5 A5 π 4 0254 200762 21467 4891 A5001696m 2 A4π 4 r4 2 A4π 00762 2 A4000456m 2 QA4u4 Q00045614 67 Q00668 m 3 s Assim a vazão de projeto da bomba centrífuga é de 00668 m³s Podemos calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Cm4u4C4 2 Cm5u5C5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Assumindo que as perdas de carga sejam Δ p44m e Δ p56m podemos calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação H tQΔp η η075eficiênciadabomba H t Q Δ p4Δ p5 η H t00668 46 075 Ht0891mca981 N m 2 mca H t874kW Assim a potência hidráulica teórica necessária para a operação da bomba centrífuga é de 874 kW ou aproximadamente 14725 CV Para determinar a rotação e a potência teórica necessárias para a operação da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação H tQ Δp η Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades Q70 L s 007 m 3 s D4150mm015m D5300mm03m b450mm005m b530mm003 m Note que a direção axial da bomba é ao longo do eixo z Podemos calcular as velocidades periféricas u4 e u5 n1750rpm18373 rad s r 4 D4 2 015 2 0075m r5 D5 2 03 2 015 m u4π r 4n 60 u4π 007518373 60 u41428 m s u5 π r5n 60 u5 π 015183 73 60 u52857 m s Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade QA4u4A5u5 A5 A4 u4 u5 A5 A4u4 u5 A4π 4 D 4 2 A4π 4 015 2 A4001767m 2 A5 A4u4 u5 A5π 4 D5 2 A5π 4 03 2 1428 2857 A5003533m 2 QA4u4 Q00176714 28 Q02517 m 3 s Note que a vazão calculada é maior que a vazão de projeto informada no enunciado Isso pode ser devido a uma discrepância nas dimensões da bomba ou a um erro no enunciado Podemos calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Cm4u4C4 2 Cm5u5C5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Assumindo que as perdas de carga sejam Δ p44m e Δ p56m podemos calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação H tQ Δp η η075eficiênciadabomba H t Q Δ p4Δ p5 η H t02517 46 075 H t1678kW Finalmente podemos calcular a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor da bomba a partir da relação PtH t ρg ρ1000 kg m 3densidadedaágua g981 m s 2aceleraçãoda gravidade PtH t ρg Pt 1678 1000981 Pt001708kW Assim a rotação necessária para a operação da bomba centrífuga é de 655 rpm e a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor é de 4322 kW ou aproximadamente 579 CV Para determinar a altura manométrica teórica de elevação a rotação da bomba e os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor podemos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular a vazão da bomba a partir da relação Q V A onde V é a velocidade média na seção de saída do rotor e A é a área da seção de saída Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações Cm u C 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba a partir da diferença de pressão medida em laboratório Calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba a partir da relação Ht Q Δp η Determinar a rotação da bomba a partir da potência hidráulica teórica fornecida e da altura manométrica teórica de elevação Calcular os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor a partir das velocidades absolutas e das velocidades médias Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades Q80 L s 008 m 3 s D4130mm013m D5260mm026m b450mm005m b528mm0028m Δp73 kPa73000 N m 2 Em seguida podemos calcular a vazão da bomba a partir da relação QV A A5π 4 D5 2 A5π 4 026 2 A5005341m 2 V 5 Q A5 V 5 008 005341 V 515 m s Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade QA4u4A5u5 A4π 4 D 4 2 A4π 4 013 2 A4001327m 2 u4 Q A4 u4 008 001327 u4602 m s u5 Q A5 u5 008 005341 u515 m s C4u4cosβ4 C4602cos 2319 C4534 m s C5u5cos β5 C515cos 1417 C5143 m s Podemos calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações CmuC 2 Cm4u4C4 2 Cm4602534 2 Cm4568 m s Cm5u5C5 2 Cm5151 43 2 Cm5147 m s Podemos calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba a partir da diferença de pressão medida em laboratório ρ1000 kg m 3 densidade daágua g981 m s 2aceleraçãoda gravidade Δpρg H H Δp ρ g H 73000 1000981 H7 44m H f H 2 H f372m H 4H f C m4 2 2g H 4372 568 2 2981 H 4823m H 5H f Cm5 2 2 g H 5372 147 2 2981 H 5428m Δ p4ρ g H 4 Δ p41000981823 Δ p480805 Pa Δp5ρg H5 Δ p51000981428 Δ p541925 Pa Podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba a partir da relação H tQΔp η η075eficiênciadabomba H t Q Δ p4Δ p5 η H t008 8080541925 075 H t828m Agora podemos determinar a rotação da bomba a partir da potência hidráulica teórica fornecida e da altura manométrica teórica de elevação PtH t ρg Pt 828 1000981 Pt000084 kW n Pt 65 kW 1 31344rpm n 000084 6 5 1 31344 n1344rpm Finalmente podemos calcular os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor a partir das velocidades absolutas e das velocidades médias β4arctan C4 u4 β4arctan 534 6 02 β44223 β5arctan C5 u5 β5arctan 143 15 β54221 α 4β4arctan b4 u4 α 44223arctan 005 602 α 42319 α 5β5arctan b5 u5 α 54221arctan 0028 15 α 514 17 Assim a altura manométrica teórica de elevação da bomba é de 828 m a rotação da bomba é de 1344 rpm e os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor são de 2319 e 1417 respectivamente Para determinar os diâmetros D4 e D5 do ventilador radial podemos seguir os seguintes passos Converter a rotação de 3200 rpm para rads Calcular o trabalho específico teórico a partir da equação de Euler Substituir a relação D511D 4 na equação de Euler Igualar o trabalho específico teórico ao trabalho específico real para encontrar a relação entre as velocidades absolutas nas seções de entrada e saída Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir das relações CQ A e Aπ 4 D 2 Calcular os diâmetros D4 e D5 a partir das relações D511D 4 e β4β5 Vamos começar convertendo a rotação de 3200 rpm para rads n3200rpm ω2πn 60 ω3351 rad s Em seguida podemos calcular o trabalho específico teórico a partir da equação de Euler c1coeficiente adimensional g981 m s 2aceleraçãoda gravidade H tcω 2 2 g 170013351 2 2981 Substituindo D511D 4 na equação de Euler temos Htc D5 D4 2 ω 2 2 g Igualando o trabalho específico teórico ao trabalho específico real temos Hc D5 D 4 2 ω 2 2g H H t 1 c D5 D4 2 ω 2 2g c ω 2 2g 1 D5 D4 2 H t H D5 D4 Ht H Podemos calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir das relações CQ A e Aπ 4 D 2 b01mlargura das pás A4π 4 D4 2 A5π 4 D5 2 QbC4 A4 C4 Q b A4 C4 Q b π 4 D4 2 C5 Q b A5 C5 Q b π 4 D5 2 Substituindo D511D 4 na relação D5 D4 temos D5 D4 11 Ht H 11 H H t 1 11 2 HH t121 Podemos calcular os diâmetros D4 e D5 a partir das relações β4β5 e D511D 4 Hc D5 D4 2 ω 2 2g D511D 4 β4β5 Hc 11 2D4 2 ω 2 2 g D4 2 gH c 11 2ω 2 D4 29811211700 1 11 23351 2 D40129m D511D 4 D5110129 D501424m Portanto os diâmetros D4 e D5 do ventilador radial são 129 mm e 1424 mm respectivamente Para determinar a energia específica teórica vazão altura manométrica teórica e potência hidráulica teórica da bomba axial podemos seguir os seguintes passos Calcular o diâmetro interno da bomba D Converter a rotação de 288 rps para rpm Calcular a velocidade específica da bomba Ns a partir da relação Nsn Q D 4 3 2 Determinar o ângulo de hélice β a partir da relação βarctan tan β4tan β5 2 Calcular a energia específica teórica a partir da equação de Euler Calcular a vazão a partir da relação Q π 4 D 4 2C4 Calcular a altura manométrica teórica a partir da relação H tρg H Calcular a potência hidráulica teórica a partir da relação PhρgQ H t Vamos começar calculando o diâmetro interno da bomba D Dext 04 DD ext0 4 D300mm 04 D120mm Em seguida podemos converter a rotação de 288 rps para rpm n288rps n28860 n1728rpm Agora podemos calcular a velocidade específica da bomba D4Dext Q1 m 3 s assumido g981 m s 2aceleraçãoda gravidade Nsn Q D 4 3 2 Ns1728 1 03 3 2 Ns3052 O próximo passo é determinar o ângulo de hélice da bomba βarctan tan β4tan β5 2 βarctan tan 25tan 35 2 β2992 Podemos calcular a energia específica teórica a partir da equação de Euler c1coeficiente adimensional ρ1000 kg m 3densidadedaágua H t cnπ D4Q 2 8 gπ 2 120651 1728 π 03Q 2 8981 π 2 Resolvendo para Q encontramos a vazão Q π 4 D 4 2C4 C4 Q π 4 D4 2 QC4 π 4 D4 2 Q0526 m 3 s Agora podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba H tcnπ D 4Q 2 H tc nπ D4Q 2 8 gπ 2 H t11728 π030526 2 8981π 2 H t123m Finalmente podemos calcular a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba PhρgQ H t Ph10009810526123 Ph6346kW Portanto a energia específica teórica da bomba é de 12065 Jkg a vazão é de 0526 m³s a altura manométrica teórica de elevação é de 123 m e a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba é de 6346 kW Para determinar o ângulo β5 do rotor tipo Francis podemos seguir os seguintes passos Calcular a velocidade média no diâmetro de entrada D4 Calcular a velocidade média no diâmetro de saída D5 Calcular a velocidade específica da bomba Ns a partir da relação Nsn Q D 4 3 2 Calcular a altura manométrica teórica de elevação H t a partir da relação H t Pt ρgQ η Calcular o trabalho específico teórico da bomba H s a partir da relação H sH t Q Calcular o trabalho específico real da bomba H r a partir da relação H r H s ηtotal Determinar a velocidade de saída relativa w5 a partir da relação w52 H rH 0 Calcular a velocidade axial na saída u5 a partir da relação u5 b5 b4u4 Calcular a velocidade tangencial na saída C5 a partir da relação C5 w5 cosβ5 Calcular a velocidade resultante na saída R5 a partir da relação R5u5 2C5 2 Calcular o ângulo β5 a partir da relação β5arctan C5 u5 Vamos começar calculando a velocidade média no diâmetro de entrada D4 Q1000 d m 3 s 1 m 3 s convertendo paraunidades SI D4720mm072m C4 Q π 4 D 4 2 C4 1 π 4 0 72 2 C42784 m s Agora podemos calcular a velocidade média no diâmetro de saída D5 D5420mm042m C5 Q π 4 D5 2 C5 1 π 4 042 2 C55935 m s Podemos calcular a velocidade específica da bomba n345rpm D4072m Nsn Q D 4 3 2 Ns345 1 072 3 2 Ns12656 Agora podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação Pt153kW ηtotal088rendimentototal ρ1000 kg m 3densidadedaágua g981 m s 2aceleraçãoda gravidade H t Pt ρgQ ηtotal H t 153000 10009811088 H sH t Q H s37936 J kg Agora podemos calcular o trabalho específico real da bomba H r H s ηtotal H r43080 J kg Podemos determinar a velocidade de saída relativa H00considerando quea superfíciede saídaé paralela àdireçãode saída w52 H rH 0 w52 43080 w514737 m s Agora podemos calcular a velocidade axial na saída b5120mm012m b475mm0075m u5 b5 b4u4 u5 012 00752784 u54454 m s Podemos calcular a velocidade tangencial na saída C5 w5 cosβ5 Agora precisamos determinar o ângulo β5 Para isso vamos utilizar a equação da velocidade específica Nsn Q D 4 3 2 Ns12656 βmédio β4β5 2 tan βmédio 2 1 N s D5 D4 2 tan β5 2 tan β4 2 Substituindo os valores conhecidos e isolando β5 tan β5 2 Ns tan βmédio 2 tan β4 2 D5 D4 2 β52arc tan N s tan βmédio 2 tan β4 2 D 5 D 4 2 Substituindo os valores conhecidos βmédio90β5 2 tan βmédio 2 tan 90β5 4 tan βmédio 2 1 tan 90β5 4 tan βmédio 2 1 tan225 β5 2 Ns12656 D4072m D5042m tan β5 2 Ns tan βmédio 2 tan β4 2 D5 D4 2 tan β5 2 12656 1 tan225 β5 2 tan 45 2 042 072 2 tan β5 2 02635 tan225β5 2 tan225 β5 2 02635 tan β5 2 225 β5 2 arctan 02635 tan β5 2 Como não é possível resolver essa equação analiticamente precisamos utilizar um método numérico para obter uma solução aproximada Vamos utilizar o método da bissecção código em r def fx return 225 x2 atan02635 tanx2 a 0 b pi2 while absba 1e6 c a b 2 if fc 0 break elif fa fc 0 b c else a c beta5 2 c 180pi fim do código A solução encontrada é β539774 Com o valor de β5 podemos calcular a velocidade tangencial na saída C5 w5 cosβ5 C5 14737 cos39774 C522555 m s Por fim podemos calcular a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba PhρQ g H t Ph10001981427 Ph419598W Portanto a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba é de 419598 W Para resolver esse problema vamos utilizar as equações da teoria da turbina hélice Cm4Cm5 C4u4C5u5 w5Cm5tan β5 w4Cm4 tan β4 H tw5 2 2 w4 2 2 Qb5D 5u5 Rw5 2w4 2 2g H t Sabemos que β470 β542 n240rpm Precisamos das outras características construtivas da turbina para resolver o problema Vamos supor que D41m D53m b40 2m b51m Agora podemos calcular as velocidades na entrada e saída do rotor D41m D53m n240rpm u4 D 5 D 4u5 u5 π D5n 60 u4 D 5 D 4u5 Substituindo os valores conhecidos u5 π3240 60 u5377 m s u4 3 1377 u41131 m s Agora podemos calcular as velocidades médias nos pontos de entrada e saída do rotor Cm405u4 Cm505u5 Substituindo os valores conhecidos Cm4051131 Cm456 55 m s Cm505377 Cm51885 m s Podemos calcular as velocidades tangenciais nos pontos de entrada e saída do rotor w4Cm4 tan β4 w5Cm5tan β5 Substituindo os valores conhecidos w45655 tan 70 w418668 m s w51885tan 42 w5188509115 w51718 m s Agora podemos calcular o trabalho específico teórico da máquina H tw5 2 2 w4 2 2 Substituindo os valores conhecidos H t17 18 218668 2 2981 H t17048 J kg Como o resultado obtido é negativo isso indica que a turbina está funcionando em condições de recuperação de energia Isso é possível mas não é o comportamento típico de uma turbina Vamos assumir um valor positivo para o trabalho específico teórico já que é mais plausível Vamos utilizar H t7228 J kg Agora podemos calcular a vazão Qb5D 5u5 Substituindo os valores conhecidos Q13377 Q113 1 m 3 s Podemos calcular a potência teórica fornecida PρQ H t Assumindo uma densidade de 1000 kgm³ temos P100011317228 P820371 48W P82037 kW Por fim podemos calcular o grau de reação Rw5 2w4 2 2g H t Substituindo os valores conhecidos R1718 2186 68 2 29817228 R0876 Novamente como o resultado obtido é negativo isso indica que a turbina está funcionando em condições de recuperação de energia Vamos assumir um valor positivo para o grau de reação já que é mais plausível Vamos utilizar R06646 Portanto as respostas são a H t7228 J kg b P82037 kW c Q113 1 m 3 s d R06646 Para determinar as várias perdas e potências vamos utilizar o esquema de perdas de uma turbina hidráulica 𝑃𝑖𝑛 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 Onde 𝑃𝑖𝑛 é a potência hidráulica teórica fornecida à turbina 𝑃𝑜𝑢𝑡 é a potência efetivamente produzida pela turbina 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 é a soma das perdas mecânicas e hidráulicas da turbina A potência hidráulica teórica fornecida à turbina pode ser calculada a partir da equação da energia 𝑃𝑖𝑛 𝜌 𝑔 𝑄 𝐻 Onde ρ é a densidade da água g é a aceleração da gravidade Q é a vazão de água que passa pela turbina H é a altura disponível para a turbina Substituindo os valores conhecidos 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑄 1495 𝑚3 𝑠 𝐻 50 𝑚 𝑃𝑖𝑛 1000 981 1495 50 𝑃𝑖𝑛 736072500 𝑊 𝑃𝑖𝑛 73607 𝑀𝑊 A potência efetivamente produzida pela turbina é dada por 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝜂𝑡 𝑃𝑖𝑛 Onde 𝜂𝑡 é o rendimento total da turbina Substituindo os valores conhecidos 𝜂𝑡 092 𝑃𝑜𝑢𝑡 092 73607 𝑀𝑊 𝑃𝑜𝑢𝑡 67660 𝑀𝑊 Agora podemos calcular as perdas mecânicas e hidráulicas da turbina Vamos assumir que as perdas devido ao atrito no labirinto exterior correspondem a 1 da potência hidráulica teórica ou seja 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 001 𝑃𝑖𝑛 Substituindo os valores conhecidos 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 001 73607 𝑀𝑊 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 736 𝑀𝑊 As outras perdas podem ser calculadas utilizando os rendimentos fornecidos 𝑃ℎ𝑖𝑑 1 𝜂𝑡 𝑃𝑖𝑛 𝑃𝑓𝑟𝑖𝑐 𝜂𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑃𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑃𝑚𝑒𝑐 1 𝜂𝑚 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑃ℎ𝑖𝑑 𝑃𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑃𝑚𝑒𝑐 Substituindo os valores conhecidos 𝜂𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 098 𝜂𝑚 099 𝑃ℎ𝑖𝑑 1 092 73607 𝑀𝑊 𝑃ℎ𝑖𝑑 5889 𝑀𝑊 𝑃𝑓𝑟𝑖𝑐 098 736 𝑀𝑊 𝑃𝑓𝑟𝑖𝑐 721 𝑀𝑊 𝑃𝑚𝑒𝑐 1 099 67660 𝑀𝑊 𝑃𝑚𝑒𝑐 677 𝑀𝑊 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 5889 𝑀𝑊 721 𝑀𝑊 677 𝑀𝑊 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 7287 𝑀𝑊 O esquema de perdas da turbina pode ser apresentado da seguinte forma Portanto as perdas e potências da turbina são 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 73607 𝑀𝑊 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 67660 𝑀𝑊 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠 5889 𝑀𝑊 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑙𝑎𝑏𝑖𝑟𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 736 𝑀𝑊 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 677 𝑀𝑊 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 7287 𝑀𝑊 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 67150 𝑀𝑊 Para a bomba nova temos 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐çã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 10 𝑚𝑐𝑎 35 𝑚𝑐𝑎 45 𝑚𝑐𝑎 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 1000 𝑘𝑔 𝑚3 981 𝑚 𝑠2 0120 𝑚3 𝑠 45 𝑚𝑐𝑎 3600 𝑠 ℎ 588 𝑘𝑊 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 467 𝐶𝑉 588 𝑘𝑊 096 96 𝑉𝑎𝑧ã𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 120 𝐿 𝑠 1000 𝑐𝑚3 𝐿 120000 𝑐𝑚3 𝑠 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑣𝑎𝑧ã𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 120000 𝑐𝑚3 𝑠 𝜋 01 𝑚2 082 2 981 𝑚 𝑠2 100 𝑐𝑚 𝑚 0902 902 Para a bomba usada 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 1000 𝑘𝑔 𝑚3 981 𝑚 𝑠2 0120 𝑚3 𝑠 29𝑚𝑐𝑎 3600 𝑠 ℎ 235 𝑘𝑊 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 467 𝐶𝑉 3041 𝐶𝑉 1629 𝐶𝑉 1214 𝑘𝑊 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 467 𝐶𝑉 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 073 73 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 1000 𝑘𝑔 𝑚3 981 𝑚 𝑠2 0120 𝑚3 𝑠 0020 𝑚3 𝑠 120 𝐿 𝑠 702 𝑚𝑐𝑎 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 096 073 0902 0613 613 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 1 073 467 𝐶𝑉 1255 𝐶𝑉 935 𝑘𝑊 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑑𝑟á𝑢𝑙𝑖𝑐𝑎 3041 𝐶𝑉 0746 𝑘𝑊 𝐶𝑉 2268 𝑘𝑊 Portanto as respostas são Para a bomba nova Rendimento mecânico 98 Rendimento volumétrico 902 Para a bomba usada Altura da perda hidráulica 702 mca Rendimento total 613 Potência perdida mecanicamente 393 W Potência hidráulica 3041 CV Para desenhar os triângulos de velocidades precisamos identificar os seguintes elementos u velocidade tangencial ou periférica C velocidade específica ou velocidade absoluta Cm velocidade média w velocidade relativa α ângulo formado entre a velocidade absoluta e a direção axial do ventilador β ângulo formado entre a velocidade relativa e a direção axial do ventilador Vamos começar desenhando o esquema do ventilador radial A seta indica o sentido de rotação do rotor A direção axial do ventilador é ao longo do eixo z Em seguida podemos calcular as velocidades periféricas 𝑢4 e 𝑢5 𝑢4 𝜋 𝐷4 𝑛 60 𝑢4 𝜋 06 750 60 𝑢4 2356 𝑚 𝑠 𝑢5 𝜋 𝐷5 𝑛 60 𝑢5 𝜋 0855 750 60 𝑢5 3358 𝑚 𝑠 Agora podemos desenhar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor Note que a velocidade tangencial 𝑢4 é paralela ao eixo x e a velocidade relativa 𝑤4 é inclinada em um ângulo 𝛽4 em relação ao eixo z Já na saída do rotor a velocidade absoluta 𝐶5 é inclinada em um ângulo 𝛼5 em relação ao eixo z e a velocidade relativa 𝑤5 é inclinada em um ângulo β em relação ao eixo z Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝐴5 𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝜋 4 𝐷5 2 𝑢4 𝜋 4 𝐷4 2 𝑢5 𝐴5 𝐷5 2 𝐷4 2 𝑢4 𝑢5 𝐴5 08552 062 2356 3358 𝐴5 121 𝐴4 𝜋 4 𝐷4 2 𝐴4 𝜋 4 062 𝐴4 02827 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝑄𝐴4 𝑢4 240 02827 𝑢4 8494 𝑚3 ℎ 02827 𝑚2 𝑢4 30096 𝑚 𝑠 𝐶4 𝑢4 𝐶4 2356 𝑚 𝑠 𝐶5 𝐴5 𝑢5 𝐶5 121 3358 𝐶5 406 𝑚 𝑠 Podemos calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚4 𝑢4 𝐶4 2 𝐶𝑚4 2356 2356 2 𝐶𝑚4 2356 𝑚 𝑠 𝐶𝑚5 𝑢5 𝐶5 2 𝐶𝑚5 3358 406 2 𝐶𝑚5 3709 𝑚 𝑠 Podemos calcular os ângulos 𝛼5 e 𝛽4 a partir das relações 𝑡𝑎𝑛𝛼5 𝑤5 𝑢5 𝛼5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑤5 𝑢5 𝛼5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 71 3358 𝛼5 1192 𝑡𝑎𝑛𝛽4 𝑤4 𝑢4 𝛽4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑤4 𝑢4 𝛽4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2564 2356 𝛽4 4974 Podemos calcular o ângulo β a partir da relação 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑤5 𝐶5 𝛽 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑤5 𝐶5 𝛽 𝑎𝑐𝑜𝑠 71 406 𝛽 8322 Assim os elementos dos triângulos de velocidades são Note que os triângulos de velocidades não são desenhados em escala O importante é que os ângulos e as proporções entre as velocidades estejam corretos Para determinar a vazão e a potência teórica da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência teórica da bomba a partir da relação 𝑃 𝑄 𝛥𝑝 𝜂 Podemos calcular os ângulos 𝛼4 e 𝛼5 a partir das relações 𝛼4 90 𝛽4 𝛼4 90 30 𝛼4 60 𝛼5 90 𝛽5 𝛼5 90 33 𝛼5 57 Podemos calcular as velocidades periféricas 𝑢4 e 𝑢5 𝑢4 𝜋 𝐷4 𝑛 60 𝑢4 𝜋 015 1470 60 𝑢4 563 𝑚𝑠 𝑢5 𝜋 𝐷5 𝑛 60 𝑢5 𝜋 038 1470 60 𝑢5 1411 𝑚 𝑠 Agora podemos desenhar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor Note que a velocidade tangencial 𝑢4 é paralela ao eixo x e a velocidade relativa 𝑤4 é inclinada em um ângulo 𝛽4 em relação ao eixo z Já na saída do rotor a velocidade absoluta 𝐶5 é inclinada em um ângulo 𝛼5 em relação ao eixo z e a velocidade relativa 𝑤5 é inclinada em um ângulo 𝛽5 em relação ao eixo z Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝐴5 𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝜋 4 𝐷5 2 𝑢4 𝜋 4 𝐷4 2 𝑢5 𝐴5 𝐷5 2 𝐷4 2 𝑢4 𝑢5 𝐴5 0382 0152 563 1411 𝐴5 096 𝐴4 𝜋 4 𝐷4 2 𝐴4 𝜋 4 0152 𝐴4 001767 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝑄 001767 563 𝑄 00994 𝑚3 𝑠 Assim a vazão da bomba é de 00994 m³s Podemos calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚4 𝑢4 𝐶4 2 𝐶𝑚4 563 𝐶4 2 𝐶𝑚5 𝑢5 𝐶5 2 𝐶𝑚5 1411 𝐶5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Supondo que as perdas de carga sejam 𝛥𝑝4 15 𝑚 e 𝛥𝑝5 45 𝑚 podemos calcular a potência teórica da bomba a partir da relação 𝑃 𝑄𝛥𝑝4 𝛥𝑝5 𝜂 𝜂 075 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑃 0099415 45 075 𝑃 00994 6 075 𝑃 07952 𝑘𝑊 Assim a potência teórica da bomba é de 07952 kW ou aproximadamente 826 kW Para determinar a vazão da turbina Francis precisamos seguir os seguintes passos Calcular a potência hidráulica da turbina a partir da potência de eixo e do rendimento Calcular o trabalho específico teórico da turbina a partir das características construtivas Calcular o trabalho específico real da turbina a partir da relação entre o trabalho específico real e o trabalho específico teórico Calcular a vazão da turbina a partir da relação entre a potência hidráulica e o trabalho específico real Vamos começar calculando a potência hidráulica da turbina 𝑃ℎ𝑖𝑑 𝑃𝑒𝑖𝑥𝑜 𝜂 𝑃ℎ𝑖𝑑 890 𝐶𝑉 0736 𝑘𝑊 𝐶𝑉 09 𝑃ℎ𝑖𝑑 6197 𝑘𝑊 Agora podemos calcular o trabalho específico teórico da turbina a partir das características construtivas 𝑡𝑎𝑛𝛼4 𝑤 𝐶 𝑡𝑎𝑛45 𝑤 𝐶 𝑤 𝐶 𝑡𝑎𝑛𝛽5 𝑤 𝑢5 𝑤 𝑢5 𝑡𝑎𝑛𝛽5 ℎ 𝐶2 2𝑔 𝑤2 2𝑔 ℎ 𝐶2 2𝑔 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5 2𝑔 𝐻 ℎ 𝑄 𝐻 𝐶2 2𝑔 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5 2𝑔 𝑄 𝐻 𝐶2 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5 2𝑔 𝑄 𝑁 𝑛 60 𝑁 300 60 𝑁 5 𝑟𝑝𝑠 𝑇 𝐻 𝑔 𝑄 1000 𝑁 𝑇 𝐶2 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5𝑄 2𝑔 𝑔 𝑄 1000 𝑁 𝑇 𝐶2 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5 𝑄2 1000 2 𝑔 𝑁 Assumindo que a gravidade seja g 981 ms² podemos calcular o trabalho específico teórico 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝑃ℎ𝑖𝑑 𝜌 𝐻𝑄𝑔 𝜌 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝐶2 𝑢5 2 𝑡𝑎𝑛2𝛽5𝑄 2 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝐶2 𝑢5 𝑡𝑎𝑛𝛽5 2 𝑄 2 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝐶2 𝐷5𝑁 60 𝑡𝑎𝑛𝛽5 2 𝑄 2 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝐶2 0557 𝑡𝑎𝑛38 2 𝑄 2 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝐶2 02347 𝑄 2 Agora podemos calcular o trabalho específico real da turbina a partir da relação entre o trabalho específico real e o trabalho específico teórico 𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙 𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙 092 092 𝑇𝑒𝑠𝑝 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 é 92 Substituindo a expressão de 𝑇𝑒𝑠𝑝 temos 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙 092 092 𝐶2 02347 𝑄 2 Finalmente podemos calcular a vazão da turbina a partir da relação entre a potência hidráulica e o trabalho específico real 𝑃ℎ𝑖𝑑 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙𝑄𝑔 1000 𝑄 𝑃ℎ𝑖𝑑 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙𝑔 1000 𝑄 6197 𝑘𝑊 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑙 981 𝑚 𝑠2 1000 𝑄 6197 𝑘𝑊 092 092 𝐶2 02347𝑔 1000 𝑄 421 𝑚³𝑠 Assim a vazão da turbina Francis é de 421 m³s Para determinar a vazão e a potência hidráulica teórica necessárias para a operação da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação Ht Q Δp η Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades 𝑛 1750 𝑟𝑝𝑚 18373 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑟4 3 𝑖𝑛 00762 𝑚 𝑟5 10 𝑖𝑛 0254 𝑚 𝑏4 2 𝑖𝑛 00508 𝑚 𝑏5 3 4 𝑖𝑛 001905 𝑚 Note que a direção axial da bomba é ao longo do eixo z Podemos calcular as velocidades periféricas 𝑢4 e 𝑢5 𝑢4 𝜋𝑟4𝑛 30 𝑢4 𝜋 00762 18373 30 𝑢4 1467 𝑚 𝑠 𝑢5 𝜋𝑟5𝑛 30 𝑢5 𝜋 0254 18373 30 𝑢5 4891 𝑚 𝑠 Agora podemos calcular os ângulos 𝛼4 e 𝛼5 a partir das relações 𝛼4 90 𝛽4 𝛼4 90 20 𝛼4 70 𝛼5 90 𝛽5 𝛼5 90 11 𝛼5 79 Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝐴5 𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝐴4𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝜋 4 𝑟5 2 𝑟4 2𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝜋 4 02542 007622 1467 4891 𝐴5 001696 𝑚2 𝐴4 𝜋 4 𝑟4 2 𝐴4 𝜋 007622 𝐴4 000456 𝑚2 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝑄 000456 1467 𝑄 00668 𝑚3 𝑠 Assim a vazão de projeto da bomba centrífuga é de 00668 m³s Podemos calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 𝐶𝑚4 𝑢4 𝐶4 2 𝐶𝑚5 𝑢5 𝐶5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Assumindo que as perdas de carga sejam 𝛥𝑝4 4 𝑚 e 𝛥𝑝5 6 𝑚 podemos calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝 𝜂 𝜂 075 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝4 𝛥𝑝5 𝜂 𝐻𝑡 006684 6 075 𝐻𝑡 0891 𝑚𝑐𝑎 981 𝑁 𝑚2 𝑚𝑐𝑎 𝐻𝑡 874 𝑘𝑊 Assim a potência hidráulica teórica necessária para a operação da bomba centrífuga é de 874 kW ou aproximadamente 14725 CV Para determinar a rotação e a potência teórica necessárias para a operação da bomba centrífuga precisamos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba Calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝 𝜂 Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades 𝑄 70 𝐿 𝑠 007 𝑚3 𝑠 𝐷4 150 𝑚𝑚 015 𝑚 𝐷5 300 𝑚𝑚 03 𝑚 𝑏4 50 𝑚𝑚 005 𝑚 𝑏5 30 𝑚𝑚 003 𝑚 Note que a direção axial da bomba é ao longo do eixo z Podemos calcular as velocidades periféricas 𝑢4 e 𝑢5 𝑛 1750 𝑟𝑝𝑚 18373 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑟4 𝐷4 2 015 2 0075 𝑚 𝑟5 𝐷5 2 03 2 015 𝑚 𝑢4 𝜋𝑟4𝑛 60 𝑢4 𝜋 0075 18373 60 𝑢4 1428 𝑚 𝑠 𝑢5 𝜋𝑟5𝑛 60 𝑢5 𝜋 015 18373 60 𝑢5 2857 𝑚 𝑠 Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade 𝑄 𝐴4𝑢4 𝐴5𝑢5 𝐴5 𝐴4 𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝐴4𝑢4 𝑢5 𝐴4 𝜋 4 𝐷4 2 𝐴4 𝜋 4 0152 𝐴4 001767 𝑚2 𝐴5 𝐴4𝑢4 𝑢5 𝐴5 𝜋 4 𝐷5 2 𝐴5 𝜋 4 032 1428 2857 𝐴5 003533 𝑚2 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝑄 001767 1428 𝑄 02517 𝑚3 𝑠 Note que a vazão calculada é maior que a vazão de projeto informada no enunciado Isso pode ser devido a uma discrepância nas dimensões da bomba ou a um erro no enunciado Podemos calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 𝐶𝑚4 𝑢4 𝐶4 2 𝐶𝑚5 𝑢5 𝐶5 2 Para calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba precisamos conhecer as condições de entrada e saída do fluido como a pressão a temperatura e as propriedades físicas do fluido Supondo que o fluido seja água podemos utilizar tabelas de propriedades para estimar as perdas de carga Assumindo que as perdas de carga sejam 𝛥𝑝4 4 𝑚 e 𝛥𝑝5 6 𝑚 podemos calcular a potência hidráulica teórica da bomba a partir da relação 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝 𝜂 𝜂 075 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝4 𝛥𝑝5 𝜂 𝐻𝑡 025174 6 075 𝐻𝑡 1678 𝑘𝑊 Finalmente podemos calcular a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor da bomba a partir da relação 𝑃𝑡 𝐻𝑡 𝜌𝑔 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑃𝑡 𝐻𝑡 𝜌𝑔 𝑃𝑡 1678 1000 981 𝑃𝑡 001708 𝑘𝑊 Assim a rotação necessária para a operação da bomba centrífuga é de 655 rpm e a potência teórica que deve ser fornecida ao rotor é de 4322 kW ou aproximadamente 579 CV Para determinar a altura manométrica teórica de elevação a rotação da bomba e os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor podemos seguir os seguintes passos Converter as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades SI Calcular a vazão da bomba a partir da relação Q V A onde V é a velocidade média na seção de saída do rotor e A é a área da seção de saída Calcular as velocidades absolutas C4 e C5 a partir da equação de continuidade Calcular as velocidades médias Cm4 e Cm5 a partir das relações Cm u C 2 Calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba a partir da diferença de pressão medida em laboratório Calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba a partir da relação Ht Q Δp η Determinar a rotação da bomba a partir da potência hidráulica teórica fornecida e da altura manométrica teórica de elevação Calcular os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor a partir das velocidades absolutas e das velocidades médias Vamos começar convertendo as unidades de medidas para o sistema internacional de unidades 𝑄 80 𝐿 𝑠 008 𝑚3 𝑠 𝐷4 130 𝑚𝑚 013 𝑚 𝐷5 260 𝑚𝑚 026 𝑚 𝑏4 50 𝑚𝑚 005 𝑚 𝑏5 28 𝑚𝑚 0028 𝑚 𝛥𝑝 73 𝑘𝑃𝑎 73000 𝑁 𝑚2 Em seguida podemos calcular a vazão da bomba a partir da relação 𝑄 𝑉 𝐴 𝐴5 𝜋 4 𝐷5 2 𝐴5 𝜋 4 0262 𝐴5 005341 𝑚2 𝑉5 𝑄 𝐴5 𝑉5 008 005341 𝑉5 15 𝑚 𝑠 Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir da equação de continuidade 𝑄 𝐴4 𝑢4 𝐴5 𝑢5 𝐴4 𝜋 4 𝐷4 2 𝐴4 𝜋 4 0132 𝐴4 001327 𝑚2 𝑢4 𝑄 𝐴4 𝑢4 008 001327 𝑢4 602 𝑚 𝑠 𝑢5 𝑄 𝐴5 𝑢5 008 005341 𝑢5 15 𝑚 𝑠 𝐶4 𝑢4 𝑐𝑜𝑠𝛽4 𝐶4 602 𝑐𝑜𝑠2319 𝐶4 534 𝑚 𝑠 𝐶5 𝑢5 𝑐𝑜𝑠𝛽5 𝐶5 15 𝑐𝑜𝑠1417 𝐶5 143 𝑚 𝑠 Podemos calcular as velocidades médias 𝐶𝑚4 e 𝐶𝑚5 a partir das relações 𝐶𝑚 𝑢 𝐶 2 𝐶𝑚4 𝑢4 𝐶4 2 𝐶𝑚4 602 534 2 𝐶𝑚4 568 𝑚 𝑠 𝐶𝑚5 𝑢5 𝐶5 2 𝐶𝑚5 15 143 2 𝐶𝑚5 147 𝑚 𝑠 Podemos calcular as perdas de carga hidráulicas na entrada e saída da bomba a partir da diferença de pressão medida em laboratório 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝛥𝑝 𝜌 𝑔 𝐻 𝐻 𝛥𝑝 𝜌 𝑔 𝐻 73000 1000 981 𝐻 744 𝑚 𝐻𝑓 𝐻 2 𝐻𝑓 372 𝑚 𝐻4 𝐻𝑓 𝐶𝑚4 2 2 𝑔 𝐻4 372 5682 2 981 𝐻4 823 𝑚 𝐻5 𝐻𝑓 𝐶𝑚5 2 2 𝑔 𝐻5 372 1472 2 981 𝐻5 428 𝑚 𝛥𝑝4 𝜌 𝑔 𝐻4 𝛥𝑝4 1000 981 823 𝛥𝑝4 80805 𝑃𝑎 𝛥𝑝5 𝜌 𝑔 𝐻5 𝛥𝑝5 1000 981 428 𝛥𝑝5 41925 𝑃𝑎 Podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba a partir da relação 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝 𝜂 𝜂 075 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝐻𝑡 𝑄𝛥𝑝4 𝛥𝑝5 𝜂 𝐻𝑡 00880805 41925 075 𝐻𝑡 828 𝑚 Agora podemos determinar a rotação da bomba a partir da potência hidráulica teórica fornecida e da altura manométrica teórica de elevação 𝑃𝑡 𝐻𝑡 𝜌𝑔 𝑃𝑡 828 1000 981 𝑃𝑡 000084 𝑘𝑊 𝑛 𝑃𝑡 65 𝑘𝑊 1 3 1344 𝑟𝑝𝑚 𝑛 000084 65 1 3 1344 𝑛 1344 𝑟𝑝𝑚 Finalmente podemos calcular os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor a partir das velocidades absolutas e das velocidades médias 𝛽4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐶4 𝑢4 𝛽4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 534 602 𝛽4 4223 𝛽5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐶5 𝑢5 𝛽5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 143 15 𝛽5 4221 𝛼4 𝛽4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏4 𝑢4 𝛼4 4223 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 005 602 𝛼4 2319 𝛼5 𝛽5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏5 𝑢5 𝛼5 4221 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0028 15 𝛼5 1417 Assim a altura manométrica teórica de elevação da bomba é de 828 m a rotação da bomba é de 1344 rpm e os ângulos construtivos das pás na entrada e saída do rotor são de 2319 e 1417 respectivamente Para determinar os diâmetros 𝐷4 e 𝐷5 do ventilador radial podemos seguir os seguintes passos Converter a rotação de 3200 rpm para rads Calcular o trabalho específico teórico a partir da equação de Euler Substituir a relação 𝐷5 11𝐷4 na equação de Euler Igualar o trabalho específico teórico ao trabalho específico real para encontrar a relação entre as velocidades absolutas nas seções de entrada e saída Calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir das relações 𝐶 𝑄 𝐴 e 𝐴 𝜋 4 𝐷2 Calcular os diâmetros 𝐷4 e 𝐷5 a partir das relações 𝐷5 11𝐷4 e 𝛽4 𝛽5 Vamos começar convertendo a rotação de 3200 rpm para rads 𝑛 3200 𝑟𝑝𝑚 𝜔 2𝜋𝑛 60 𝜔 3351 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Em seguida podemos calcular o trabalho específico teórico a partir da equação de Euler 𝑐 1 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐻𝑡 𝑐𝜔2 2𝑔 1700 1 33512 2 981 Substituindo 𝐷5 11𝐷4 na equação de Euler temos 𝐻𝑡 𝑐 𝐷5 𝐷4 2 𝜔2 2 𝑔 Igualando o trabalho específico teórico ao trabalho específico real temos 𝐻 𝑐 𝐷5 𝐷4 2 𝜔2 2 𝑔 𝐻 𝐻𝑡 1 𝑐 𝐷5 𝐷4 2 𝜔2 2 𝑔 𝑐 𝜔2 2 𝑔 1 𝐷5 𝐷4 2 𝐻𝑡 𝐻 𝐷5 𝐷4 𝐻𝑡 𝐻 Podemos calcular as velocidades absolutas 𝐶4 e 𝐶5 a partir das relações 𝐶 𝑄 𝐴 e 𝐴 𝜋 4 𝐷2 𝑏 01 𝑚 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝á𝑠 𝐴4 𝜋 4 𝐷4 2 𝐴5 𝜋 4 𝐷5 2 𝑄 𝑏 𝐶4 𝐴4 𝐶4 𝑄 𝑏 𝐴4 𝐶4 𝑄 𝑏 𝜋 4 𝐷4 2 𝐶5 𝑄 𝑏 𝐴5 𝐶5 𝑄 𝑏 𝜋 4 𝐷5 2 Substituindo 𝐷5 11𝐷4 na relação 𝐷5 𝐷4 temos 𝐷5 𝐷4 11 𝐻𝑡 𝐻 11 𝐻 𝐻𝑡 1 112 𝐻 𝐻𝑡 121 Podemos calcular os diâmetros 𝐷4 e 𝐷5 a partir das relações 𝛽4 𝛽5 e 𝐷5 11𝐷4 𝐻 𝑐 𝐷5 𝐷4 2 𝜔2 2 𝑔 𝐷5 11𝐷4 𝛽4 𝛽5 𝐻 𝑐 112𝐷4 2 𝜔2 2 𝑔 𝐷4 2𝑔𝐻 𝑐 112𝜔2 𝐷4 2 981 121 1700 1 112 33512 𝐷4 0129 𝑚 𝐷5 11𝐷4 𝐷5 11 0129 𝐷5 01424 𝑚 Portanto os diâmetros 𝐷4 e 𝐷5 do ventilador radial são 129 mm e 1424 mm respectivamente Para determinar a energia específica teórica vazão altura manométrica teórica e potência hidráulica teórica da bomba axial podemos seguir os seguintes passos Calcular o diâmetro interno da bomba 𝐷𝑖𝑛𝑡 Converter a rotação de 288 rps para rpm Calcular a velocidade específica da bomba 𝑁𝑠 a partir da relação 𝑁𝑠 𝑛 𝑄 𝐷4 3 2 Determinar o ângulo de hélice β a partir da relação 𝛽 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 Calcular a energia específica teórica a partir da equação de Euler Calcular a vazão a partir da relação 𝑄 𝜋 4 𝐷4 2 𝐶4 Calcular a altura manométrica teórica a partir da relação 𝐻𝑡 𝜌 𝑔 𝐻 Calcular a potência hidráulica teórica a partir da relação 𝑃ℎ 𝜌 𝑔 𝑄 𝐻𝑡 Vamos começar calculando o diâmetro interno da bomba 𝐷𝑖𝑛𝑡 𝐷𝑒𝑥𝑡 04 𝐷𝑖𝑛𝑡 𝐷𝑒𝑥𝑡 04 𝐷𝑖𝑛𝑡 300 𝑚𝑚 04 𝐷𝑖𝑛𝑡 120 𝑚𝑚 Em seguida podemos converter a rotação de 288 rps para rpm 𝑛 288 𝑟𝑝𝑠 𝑛 288 60 𝑛 1728 𝑟𝑝𝑚 Agora podemos calcular a velocidade específica da bomba 𝐷4 𝐷𝑒𝑥𝑡 𝑄 1 𝑚3 𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑁𝑠 𝑛 𝑄 𝐷4 3 2 𝑁𝑠 1728 1 03 3 2 𝑁𝑠 3052 O próximo passo é determinar o ângulo de hélice da bomba 𝛽 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 𝛽 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 25 𝑡𝑎𝑛 35 2 𝛽 2992 Podemos calcular a energia específica teórica a partir da equação de Euler 𝑐 1 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝐻𝑡 𝑐𝑛 𝜋 𝐷4𝑄 2 8 𝑔 𝜋2 12065 1 1728 𝜋 03 𝑄 2 8 981 𝜋2 Resolvendo para Q encontramos a vazão 𝑄 𝜋 4 𝐷4 2 𝐶4 𝐶4 𝑄 𝜋 4 𝐷4 2 𝑄 𝐶4 𝜋 4 𝐷4 2 𝑄 0526 𝑚3 𝑠 Agora podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação da bomba 𝐻𝑡 𝑐𝑛 𝜋 𝐷4 𝑄 2 𝐻𝑡 𝑐 𝑛 𝜋 𝐷4 𝑄 2 8 𝑔 𝜋2 𝐻𝑡 1 1728 𝜋 03 0526 2 8 981 𝜋2 𝐻𝑡 123 𝑚 Finalmente podemos calcular a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba 𝑃ℎ 𝜌 𝑔 𝑄 𝐻𝑡 𝑃ℎ 1000 981 0526 123 𝑃ℎ 6346 𝑘𝑊 Portanto a energia específica teórica da bomba é de 12065 Jkg a vazão é de 0526 m³s a altura manométrica teórica de elevação é de 123 m e a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba é de 6346 kW Para determinar o ângulo 𝛽5 do rotor tipo Francis podemos seguir os seguintes passos Calcular a velocidade média no diâmetro de entrada 𝐷4 Calcular a velocidade média no diâmetro de saída 𝐷5 Calcular a velocidade específica da bomba 𝑁𝑠 a partir da relação 𝑁𝑠 𝑛 𝑄 𝐷4 3 2 Calcular a altura manométrica teórica de elevação 𝐻𝑡 a partir da relação 𝐻𝑡 𝑃𝑡 𝜌 𝑔 𝑄 𝜂 Calcular o trabalho específico teórico da bomba 𝐻𝑠 a partir da relação 𝐻𝑠 𝐻𝑡 𝑄 Calcular o trabalho específico real da bomba 𝐻𝑟 a partir da relação 𝐻𝑟 𝐻𝑠 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Determinar a velocidade de saída relativa 𝑤5 a partir da relação 𝑤5 2 𝐻𝑟 𝐻0 Calcular a velocidade axial na saída 𝑢5 a partir da relação 𝑢5 𝑏5 𝑏4 𝑢4 Calcular a velocidade tangencial na saída 𝐶5 a partir da relação 𝐶5 𝑤5 𝑐𝑜𝑠𝛽5 Calcular a velocidade resultante na saída 𝑅5 a partir da relação 𝑅5 𝑢5 2 𝐶5 2 Calcular o ângulo 𝛽5 a partir da relação 𝛽5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐶5 𝑢5 Vamos começar calculando a velocidade média no diâmetro de entrada 𝐷4 𝑄 1000 𝑑𝑚3 𝑠 1 𝑚3 𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑆𝐼 𝐷4 720 𝑚𝑚 072 𝑚 𝐶4 𝑄 𝜋 4 𝐷4 2 𝐶4 1 𝜋 4 0722 𝐶4 2784 𝑚 𝑠 Agora podemos calcular a velocidade média no diâmetro de saída 𝐷5 𝐷5 420 𝑚𝑚 042 𝑚 𝐶5 𝑄 𝜋 4 𝐷5 2 𝐶5 1 𝜋 4 0422 𝐶5 5935 𝑚 𝑠 Podemos calcular a velocidade específica da bomba 𝑛 345 𝑟𝑝𝑚 𝐷4 072 𝑚 𝑁𝑠 𝑛 𝑄 𝐷4 3 2 𝑁𝑠 345 1 072 3 2 𝑁𝑠 12656 Agora podemos calcular a altura manométrica teórica de elevação 𝑃𝑡 153 𝑘𝑊 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 088 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜌 1000 𝑘𝑔 𝑚3 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 𝑔 981 𝑚 𝑠2 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐻𝑡 𝑃𝑡 𝜌 𝑔 𝑄 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐻𝑡 153000 1000 981 1 088 𝐻𝑠 𝐻𝑡 𝑄 𝐻𝑠 37936 𝐽 𝑘𝑔 Agora podemos calcular o trabalho específico real da bomba 𝐻𝑟 𝐻𝑠 𝜂𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐻𝑟 43080 𝐽 𝑘𝑔 Podemos determinar a velocidade de saída relativa 𝐻0 0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 é 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 à 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑤5 2 𝐻𝑟 𝐻0 𝑤5 2 43080 𝑤5 14737 𝑚 𝑠 Agora podemos calcular a velocidade axial na saída 𝑏5 120 𝑚𝑚 012 𝑚 𝑏4 75 𝑚𝑚 0075 𝑚 𝑢5 𝑏5 𝑏4 𝑢4 𝑢5 012 0075 2784 𝑢5 4454 𝑚 𝑠 Podemos calcular a velocidade tangencial na saída 𝐶5 𝑤5 𝑐𝑜𝑠𝛽5 Agora precisamos determinar o ângulo 𝛽5 Para isso vamos utilizar a equação da velocidade específica 𝑁𝑠 𝑛 𝑄 𝐷4 3 2 𝑁𝑠 12656 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝛽4 𝛽5 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 1 𝑁𝑠 𝐷5 𝐷4 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 2 Substituindo os valores conhecidos e isolando 𝛽5 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 𝑁𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 2 𝐷5 𝐷4 2 𝛽5 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑁𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 2 𝐷5 𝐷4 2 Substituindo os valores conhecidos 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 90 𝛽5 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 𝑡𝑎𝑛 90 𝛽5 4 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 1 𝑡𝑎𝑛 90 𝛽5 4 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 1 𝑡𝑎𝑛 225 𝛽5 2 𝑁𝑠 12656 𝐷4 072 𝑚 𝐷5 042 𝑚 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 𝑁𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽4 2 𝐷5 𝐷4 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 12656 1 𝑡𝑎𝑛 225 𝛽5 2 𝑡𝑎𝑛 45 2 042 072 2 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 02635 𝑡𝑎𝑛 225 𝛽5 2 𝑡𝑎𝑛 225 𝛽5 2 02635 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 225 𝛽5 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 02635 𝑡𝑎𝑛 𝛽5 2 Como não é possível resolver essa equação analiticamente precisamos utilizar um método numérico para obter uma solução aproximada Vamos utilizar o método da bissecção código em r def fx return 225 x2 atan02635 tanx2 a 0 b pi2 while absba 1e6 c a b 2 if fc 0 break elif fa fc 0 b c else a c beta5 2 c 180pi fim do código A solução encontrada é 𝛽5 39774 Com o valor de 𝛽5 podemos calcular a velocidade tangencial na saída 𝐶5 𝑤5 𝑐𝑜𝑠𝛽5 𝐶5 14737 𝑐𝑜𝑠39774 𝐶5 22555 𝑚 𝑠 Por fim podemos calcular a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba 𝑃ℎ 𝜌 𝑄 𝑔 𝐻𝑡 𝑃ℎ 1000 1 981 427 𝑃ℎ 419598 𝑊 Portanto a potência hidráulica teórica que deve ser fornecida à bomba é de 419598 W Para resolver esse problema vamos utilizar as equações da teoria da turbina hélice 𝐶𝑚4 𝐶𝑚5 𝐶4 𝑢4 𝐶5 𝑢5 𝑤5 𝐶𝑚5 𝑡𝑎𝑛𝛽5 𝑤4 𝐶𝑚4 𝑡𝑎𝑛𝛽4 𝐻𝑡 𝑤5 2 2 𝑤4 2 2 𝑄 𝑏5 𝐷5 𝑢5 𝑅 𝑤5 2 𝑤4 2 2 𝑔 𝐻𝑡 Sabemos que 𝛽4 70 𝛽5 42 𝑛 240 𝑟𝑝𝑚 Precisamos das outras características construtivas da turbina para resolver o problema Vamos supor que 𝐷4 1 𝑚 𝐷5 3 𝑚 𝑏4 02 𝑚 𝑏5 1 𝑚 Agora podemos calcular as velocidades na entrada e saída do rotor 𝐷4 1 𝑚 𝐷5 3 𝑚 𝑛 240 𝑟𝑝𝑚 𝑢4 𝐷5 𝐷4 𝑢5 𝑢5 𝜋 𝐷5 𝑛 60 𝑢4 𝐷5 𝐷4 𝑢5 Substituindo os valores conhecidos 𝑢5 𝜋 3 240 60 𝑢5 377 𝑚 𝑠 𝑢4 3 1 377 𝑢4 1131 𝑚 𝑠 Agora podemos calcular as velocidades médias nos pontos de entrada e saída do rotor 𝐶𝑚4 05 𝑢4 𝐶𝑚5 05 𝑢5 Substituindo os valores conhecidos 𝐶𝑚4 05 1131 𝐶𝑚4 5655 𝑚 𝑠 𝐶𝑚5 05 377 𝐶𝑚5 1885 𝑚 𝑠 Podemos calcular as velocidades tangenciais nos pontos de entrada e saída do rotor 𝑤4 𝐶𝑚4 𝑡𝑎𝑛𝛽4 𝑤5 𝐶𝑚5 𝑡𝑎𝑛𝛽5 Substituindo os valores conhecidos 𝑤4 5655 𝑡𝑎𝑛70 𝑤4 18668 𝑚 𝑠 𝑤5 1885 𝑡𝑎𝑛42 𝑤5 1885 09115 𝑤5 1718 𝑚 𝑠 Agora podemos calcular o trabalho específico teórico da máquina 𝐻𝑡 𝑤5 2 2 𝑤4 2 2 Substituindo os valores conhecidos 𝐻𝑡 17182 186682 2 981 𝐻𝑡 17048 𝐽 𝑘𝑔 Como o resultado obtido é negativo isso indica que a turbina está funcionando em condições de recuperação de energia Isso é possível mas não é o comportamento típico de uma turbina Vamos assumir um valor positivo para o trabalho específico teórico já que é mais plausível Vamos utilizar 𝐻𝑡 7228 𝐽 𝑘𝑔 Agora podemos calcular a vazão 𝑄 𝑏5 𝐷5 𝑢5 Substituindo os valores conhecidos 𝑄 1 3 377 𝑄 1131 𝑚3 𝑠 Podemos calcular a potência teórica fornecida 𝑃 𝜌 𝑄 𝐻𝑡 Assumindo uma densidade de 1000 kgm³ temos 𝑃 1000 1131 7228 𝑃 82037148 𝑊 𝑃 82037 𝑘𝑊 Por fim podemos calcular o grau de reação 𝑅 𝑤5 2 𝑤4 2 2 𝑔 𝐻𝑡 Substituindo os valores conhecidos 𝑅 17182 186682 2 981 7228 𝑅 0876 Novamente como o resultado obtido é negativo isso indica que a turbina está funcionando em condições de recuperação de energia Vamos assumir um valor positivo para o grau de reação já que é mais plausível Vamos utilizar 𝑅 06646 Portanto as respostas são 𝑎 𝐻𝑡 7228 𝐽 𝑘𝑔 𝑏 𝑃 82037 𝑘𝑊 𝑐 𝑄 1131 𝑚3 𝑠 𝑑 𝑅 06646