Modelagem Cinemática Estática e Dinâmica em Sistemas Robóticos

Meggiolaro MA 1 Controle de Sistemas Robóticos Marco Antonio Meggiolaro PhD Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica RJ Versão 22032022 Parte 2 Modelagem Cinemática Estática e Dinâmica Meggiolaro MA 2 Manipulador plano 2 graus de liberdade l sin l sin y l cos l cos x 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 Cinemática Direta 1 2 l2 l1 xy Meggiolaro MA 3 solução para x y arctan y x 2 2 2 2 1 2 2 2 1 y x l2 l cos l l 2 1 2 2 2 1 2 2 2 l l2 l l y x cos 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 y x l2 l l y x cos 1 2 l2 l1 2 2 x y y x Cinemática Inversa Meggiolaro MA 4 l sin l sin l sin y l cos l cos l cos x 3 2 1 3 2 1 2 1 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 l2 l1 3 l3 xy Manipulador plano 3 graus de liberdade Cinemática Direta Meggiolaro MA 5 solução para x y f recai no problema anterior resolve o problema de 2 graus de liberdade para x e y e então usa f 3 2 1 f f l sin y y l cos x x 3 3 1 2 l2 l1 y x 3 l3 f xy 2 1 3 f Cinemática Inversa Meggiolaro MA 7 2 2 1 1 2 2 1 1 y d y d dy x d x d dx 1 2 l2 l1 xy l cos l cos cos l l sin l sin l sin J J J 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 d d J dy dx Matriz Jacobiana Cinemática Diferencial Meggiolaro MA 8 Exemplo 1 2 l2 l1 xy Calcule as configurações de singularidade 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 l sin l sin l sin det J l cos l cos l cos 1 1 2 1 2 1 2 12 1 1 12 1 1 2 sin sin det J l l l l s c s c cos cos o 1 2 2 2 det J l l s 0 0 ou 90 Meggiolaro MA 9 Estática F t1 t2 t3 Diagrama de Corpo Livre Dualidade entre Estática e Cinemática ServoRigidez Meggiolaro MA 10 Estática fi1i fii1 mig 0 i1n Ni1i Nii1 ri1i rici x fi1i rici x fii1 0 i1n Elo i Elo i1 Elo i1 Meggiolaro MA 11 n 1 n n 1 n N f F t t1 t2 tnT Elo n Elo n1 Meggiolaro MA 12 Teorema t JTF onde dp J dq Demonstração pelo Princípio do Trabalho Virtual δWork t1 dq1 tn dqn fnn1 T dxe Nnn1 T dfe δWork tT dq FT dp δWork tT dq FT J dq t JTFT dq t JTF Meggiolaro MA 13 Exemplo dado F Fx FyT ache t t1 t2T l cos l cos cos l l sin l sin l sin J 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 t t y x 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 F F l cos sin l l cos l cos l sin sin l l sin l sin y l cos l cos x 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 Meggiolaro MA 14 ServoRigidez ti ki Dqi t KDq JTF n 1 k 0 0 k K Dp JDq Dp J KlJT F Ce F Cemxm J KlJT Kemxm Ce l Meggiolaro MA 15 Exemplo 2 1 k 0 0 k K Cemxm J KlJT l cos l cos cos l l sin l sin l sin J 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 12 2 2 1 2 2 12 1 1 2 12 12 2 2 1 2 12 1 1 2 12 1 1 2 12 12 2 2 1 2 12 1 1 2 12 1 1 2 2 12 2 2 1 2 2 12 1 1 e k l c l c k l c k l c s k l s l c l s c l k l c s k l s l c l s l c k l s l s k l s C Meggiolaro MA 16 Dinâmica Formulação de NewtonEuler fi1i fii1 mig miaci 0 Ni1i Nii1 rici x fii1 ri1ci x fi1i Iiwi wi x Iiwi 0 Meggiolaro MA 17 y dV y x x z dV y z y x dV z x z z dV y z y x dV x z z y dV x y x x dV z x z y dV x y x z dV z y y I 2 c 2 c c c c c c c 2 c 2 c c c c c c c 2 c 2 c massas m1 m2 inércias I1 I2 ângulos 1 2 torques t1 t2 comprimentos e distância do centro de massa l1 l2 lc1 lc2 velocidades dos centros de massa vc1 vc2 f12 força do elo 1 sobre o elo 2 Exemplo robô de 2 graus de liberdade Meggiolaro MA 18 elo 1 f01 f12 m1g m1ac1 0 N01 N12 r1c1 x f12 r0c1 x f01 I1w1 0 elo 2 f12 m2g m2ac2 0 N12 r1c2 x f12 I2w2 0 robô plano Ni1i ti Meggiolaro MA 19 elo 1 f01 f12 m1g m1ac1 t1 t2 rc10 f01 rc11 f12 I1w1 f01 t1 rc10 rc11 t2 f12 ac1 m1g w1 forças momentos Meggiolaro MA 20 elo 2 f12 m2g m2ac2 t2 rc21 f12 I2w2 t2 forças momentos f12 rc21 ac2 m2g w2 Meggiolaro MA 21 cos sen l v 1 1 1 1 c1 c1 2 1 2 1 c 2 c1 l v 1 c1 1 c 1 c1 1 c sen l y cos l x centro de massa do elo 1 aceleração sen cos cos sen l v a 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 c1 c1 c1 Meggiolaro MA 22 2 2 1 c2 1 2 1 c2 1 1 2 2 1 c2 1 2 1 c2 1 1 c2 cos l cos l cos l sen l sen l l sen v 2 2 1 c2 1 1 2 2 1 2 2 c 2 1 2 1 2 c2 cos l2 l l l v sen l l sen y cos l l cos x 2 1 c2 1 1 2 c 2 1 c2 1 1 2 c centro de massa do elo 2 aceleração sendo então 2 2 1 1 c2 J J v 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 c2 J J J J J J a Meggiolaro MA 23 f12 m2g m2ac2 t2 rc21 f12 I2w2 f01 f12 m1g m1ac1 t1 t2 rc10 f01 rc11 f12 I1w1 eliminando f12 t2 rc21 m2ac2 g I2w2 eliminando f01 t1 t2 rc10 m1ac1 g rc10 m2ac2 g rc11 m2g ac2 I1w1 Meggiolaro MA 24 assim substituindo e obtémse 2 1 2 1 1 w w 1 2 1 2 2 12 2 11 1 1 G 2h h H H t 2 2 1 12 1 22 2 2 G h H H t onde H11 m1 lc1 2 I1 m2 l1 2 lc2 2 2 l1 lc2 cos2 I2 H22 m2 lc2 2 I2 H12 m2 l1 lc2 cos2 m2 lc2 2 I2 h m2 l1 lc2 sin2 G1 m1 lc1 g cos1 m2 g lc2 cos12 l1 cos1 G2 m2 lc2 g cos12 em geral i n 1 j n 1 k j k ijk n 1 j ij j i G q q h H q t Meggiolaro MA 25 Formulação de Lagrange para o Manipulador RR U T Lq q i i i i i Q q L q L dt d 2 2 2 2 c2 2 2 1 1 2 1 c1 2 I 1 2 m v 1 2 I 1 2 m v 1 T w w 2 1 2 1 1 2 1 2 1 c 2 c1 l v w w Energia cinética 2 2 1 c2 1 1 2 2 1 2 2 c 2 1 2 1 2 2 c 2 1 2 1 c2 1 1 1 2 1 2 1 c2 1 1 1 2 c cos l2 l l l v cos l cos l sin l sin l v Meggiolaro MA 26 H 2 1 2 H 1 H 2 H 1 T T 2 22 2 1 2 12 2 1 11 onde H11 m1 lc1 2 I1 m2 l1 2 lc2 2 2 l1 lc2 cos2 I2 H22 m2 lc2 2 I2 H12 m2 l1 lc2 cos2 m2 lc2 2 I2 sin l sin m g l sin m g l U 2 1 c2 1 1 2 1 c1 1 Energia potencial U T L 2 2 1 1 1 1 1 G U L G1 m1 lc1 g cos1 m2 g lc2 cos12 l1 cos1 i1 i i i Q L L dt d Meggiolaro MA 27 h m2 l1 lc2 sin2 12 2 1 11 1 H H L 2 2 2 12 1 2 2 11 12 2 1 11 1 dt d H dt d H H H L dt d G2 m2 lc2 g cos12 1 1 2 1 2 2 12 2 11 1 Q G 2h h H H 2 11 12 1 1 2 2 2 2 2 2 2 H H L T U 1 G 2 i2 h m2 l1 lc2 sin2 22 2 1 12 2 H H L Meggiolaro MA 28 δWork tTdq Fext Tdp t JTFext Tdq δWork QT dq Forças generalizadas 2 2 2 1 12 1 22 2 Q G h H H 2 2 2 22 1 2 2 12 22 2 1 12 2 dt d H dt d H H H L dt d Q t JTFext 1 2 1 2 2 12 2 11 1 1 G 2h h H H t 2 2 1 12 1 22 2 2 G h H H t Meggiolaro MA 29 Formulação de Lagrange manipuladores planos i i L q q T U i i i d L L Q dt q q T T 2 2 i i ci ci i i i i ci i i 1 1 1 1 T m v v I m v I 2 2 2 2 w w w n i i 1 T T i ci L i ci A v J q J q w Energia cinética Meggiolaro MA 30 2 q H q 1 q I J q J q J m q J 2 1 T T n 1 i i A i T i A T i L T i L T i n 1 i i A i T i A i L T i i L I J J J m J H n 1 i n 1 j j i ij q H q 2 1 T Energia potencial dWork tT dq Fext T dp t JTFext Tdq dWork QT dq Q t JTFext Forças generalizadas 1 n i ci i U m g y Meggiolaro MA 31 n n n ij ij j ij j j j 1 j 1 j 1 i dH d T d H q H q q dt q dt dt n n ij ij ij k k k 1 k 1 k k dH H H dq q dt q dt q i i i d L L Q dt q q n n n ij j ijk j k i i j 1 j 1 k 1 H q h q q G Q ij jk ijk k i H 1 H h q 2 q 1 1 1 1 1 1 2 2 n n n n jk jk j k j k j k j k i i i H T H q q q q q q q i i U G q 1 n i ci i U m g y Meggiolaro MA 32 Exemplo manipulador RR c1 1 c1 c1 1 l sin 0 v q l cos 0 1 1 c2 1 2 c2 1 2 c2 1 1 c2 1 2 c2 1 2 l sin l sin l sin v q l cos l cos l cos 1 1 1 0 q w 2 1 2 1 1 q w c1 1 1 L c1 1 l sin 0 J l cos 0 1 1 c2 1 2 c2 1 2 2 L 1 1 c2 1 2 c2 1 2 l sin l sin l sin J l cos l cos l cos 1 JA 1 0 2 JA 1 1 c2 1 1 c2 1 2 y l sin l sin c1 c1 1 y l sin c2 1 1 c2 1 2 x l cos l cos c1 c1 1 x l cos Meggiolaro MA 33 2 2 2 2 1 c1 1 2 1 c2 1 c2 2 2 2 1 c2 2 2 c2 2 2 2 2 1 c2 2 2 c2 2 2 c2 2 m l I m l l 2l l cos I m l l cos m l I H m l l cos m l I m l I n iT i iT i i L L A i A i 1 H m J J J I J h112 h121 2m2l1lc2sin2 h211 m2l1lc2sin2 h222 0 h212 h221 0 i jk k ij ijk q H 2 1 q H h 0 H 2 1 H h 1 11 1 11 111 2 1 c2 2 2 12 1 22 2 12 122 sin m l l H H 2 1 H h Meggiolaro MA 34 2 11 1 12 2 122 2 112 121 1 2 1 1 2 22 2 12 1 211 1 2 2 H H h h h G H H h G t t 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 cos cos cos c c U G m g l m g l l 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 sin sin sin n i ci c c i U m g y m g l m g l l 2 2 2 1 2 2 cos c U G m g l Meggiolaro MA 35 2 11 1 12 2 122 2 112 121 1 2 1 1 1 2 2 22 2 12 1 211 1 2 2 2 H H h h h G Q H H h G Q t t t Exemplo com acionamento remoto δWork t1 d1 t2 d1 d2 t1 t2 d1 t2 d2 δWork QT dq Q1 dq1 Q2 dq2 Q1 t1 t2 Q2 t2 elo 2 elo 1 t1 t2