Derivação e Integração

Vimos que uma função f A R R é contínua em x₀ se para todo e 0 existe δ 0 tal que para y A se x₀ y δ então fx₀ fy e Caso f seja contínua para todo x₀ A dizemos que f é contínua De forma equivalente podemos caracterizar a continuidade de uma função por sequências f é contínua em x₀ se e somente se para toda sequência aₙₙ em A tal que aₙ x₀ temos lim n faₙ flim n aₙ fx₀ Em alguns casos a escolha do δ não depende de x₀ mas somente de e A classe de funções que apresenta essa propriedade nos fornece a noção de continuidade uniforme Definição Uma função f A R é uniformemente contínua se para todo e 0 existe δ 0 tal que para todo x y A se x y δ então fx fy e Sendo assim a Mostre que toda função uniformemente contínua é contínua O nome dessa classe de funções representa fielmente seu comportamento pois por definição considerando quaisquer pontos que analisarmos no gráfico da função eles não podem se distanciar muito um do outro Assim como no caso das funções contínuas podemos caracterizar de forma equivalente a definição de continuidade uniforme via sequências f A a b é uniformemente continua se para quaisquer duas sequências xₙₙ e yₙₙ em A tal que lim n xₙ yₙ 0 então lim n fxₙ fyₙ 0 b Sejam A R e f A R Mostre que as seguintes condições são equivalentes i f não é uniformemente continua em A ii Existe um e 0 tal que para todo δ 0 existem pontos x y A tal que x y δ e fx fy e iii Existem e 0 e sequências xₙₙ e yₙₙ em A tal que lim n xₙ yₙ 0 e fxₙ fyₙ e para todo n N Como as definições de continuidade e continuidade uniforme não são equivalentes em geral podemos encontrar exemplos que mostram que a recíproca do item a não é verdadeira c Apresente um exemplo de função contínua que não é uniformemente contínua Justifique com argumentos lógicos e bem embasados o motivo pelo qual o exemplo apresentado não satisfaz a continuidade uniforme E0 uₙₙ xₙₙ yₙₙ O mⁿ tal que xₙ yₙ e para todo n N f não é uniformemente contínua F que não é quaindro se continua puica o o conecta um espaço nãocontinuo Uma França oução função continue que uma função continue Uma função contínua fR R é continua que no é fxfy e Uma formula de função que não é contínua que é definda fi j ƶ Com função contínua forma não existe ponto Xa b e porque não tem um g adequado que garante fx fz e De instinto não é uniformemente contínua em a b para y para y existe um malfallemento fx ƶ Continúa Para que toda funçao uniformemente continua é continua 1 a definição de conteúdo em um ponte de xA não para todos e 0 quando x y esse se x y e então fx fy e 2 A definição de continuidade uniforme que que passa para função xₙ e yₙ tal que para todo e 0 e sequências xₙₙ tais que lim n xₙ yₙ 0 Para provar que toda função contínua é uniformemente contínua e quase que uma sequência em função de sequência e continuidade podemos mostrar que para toda continua yₙ e yₙ uma função que fx fy é função contínua Questão B Mostra que as condições na querüência Para que haja sequência do condições Para não ser contínua em A e e 0 existe ponto x A com x y x GA e f