Limites e Cardinalidade - Demonstrações e Exercícios Resolvidos

Descrição TEMA DA ATIVIDADE Demonstração da existência de um limite O conceito de limite foi revolucionário na história da Matemática ele permitiu grandes desenvolvimentos principalmente para a física com o conceito de limite foi possível começar a analisar situações contínuas onde as variáveis não davam saltos elas preenchem todo um intervalo real ou a própria reta real em alguns casos Atualmente definimos o limite de uma função f R R como dado ε 0 existe δ 0 tal que x x0 δ fX L ε nesse caso podemos escrever fX L Com essa definição demonstre que x5 35 Enviar tarefa Semana 4 Aprendizagem TEMA DA ATIVIDADE Cardinalidade de Conjuntos Enumeráveis Cantor foi um dos matemáticos mais relevantes da história e um dos mais debatidos ao contrario do que pensa o senso comum a matemática não é exata sem debates e sem problemas A teoria de Cantor para os conjuntos infinitos é polêmica até hoje e mesmo estando formalizada com o maior rigor lógico da atualidade ela ainda é contestada pelo uso do conceito de infinito muito disso se deve ao fato de ser pouco intuitivo o fato de existirem infinitos de tamanhos distintos Para não ficar preso ao conceito de tamanho Cantor elaborou o conceito de cardinalidade assim sendo dois conjuntos possuem mesma cardinalidade se houver uma bijeção entre eles ou seja uma função que seja ao mesmo tempo injetora e sobrejetora Nesse contexto prove que o conjunto X x 2η 1 η R é equivalente tem mesma cardinalidade a Z Enviar tarefa Semana 2 Atividade Definimos o limite de uma função f R R como dado ε 0 existe δ 0 tal que x x₀ δ fx L ε Podemos escrever lim xx₀ fx L Com esta definição demonstre x5 35 ou seja lim x3 fx 35 Demonstração Dado ε0 queremos encontrar δ0 tal que x3 δ fx 35 ε Considere fx 35 ε temos fx 35 ε x5 35 ε x35 ε ε x35 ε Digitalizado com CamScanner 5ε x 3 5ε Tomando δ 5ε segue x 3 5ε fx 35 x 35 x 3 15 5ε 5 ε Portanto dado ε 0 δ 5ε tal que x 3 5ε fx 35 ε ou seja lim x 3 fx 35 Atividade Prove que o conjunto X x 2n 1 n Z é equivalente a Z Prova Considere a função f Z X definida por fn 2n 1 f é injetora fn fn 2n 1 2n 1 n n Logo f é injetora f é sobrejetora Temos que mostrar que para todo x X existe n Z tal que x fn Tomando x 2n 1 n Z R temos x 2n 1 fn Logo f é sobrejetora Portanto a função f Z X é um bijeção ou seja X é equivalente a Z