Aproximações Lineares e Taxas de Variação em Funções

lim x2 3x³ 8x² 8x 8 4x⁴ 8x³ x 2 32³ 82² 82 8 38 84 16 8 24 32 8 32 32 0 c 0 xm mxm1 3x³ 8x² 8x 8 3x³ 8x² 8x 8 33x² 82x¹ 81x⁰ 0 9x² 16x 8 4x⁴ 8x³ x 2 4x⁴ 8x³ x 2 4x³ 83x² 1 0 16x³ 24x² 1 lim x2 9x² 16x 2 12 94 32 8 36 24 12 Aproximações lineares Se y ax b é a equação da reta tangente ao gráfico de fx no ponto de coordenada x c então fx ax b para valores de x próximos de c Lx ax b A linearização de fx em x c OBS À medida que nos afastamos de x c a aproximação linear fx ax b fica cada vez pior Exemplo Determine a linearização da função fx x em x 4 e utilize essa linearização para obter valores aproximados para 36 401 e 398 Vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico de fx x no ponto de coordenada x 4 fx 12 x12 12 x 12 1x12 f4 122 14 Equação da reta tangente y ax b onde a 14 f4 4 2 ponto do gráfico x 4 e é o ponto 4 2 y 14 x b Gráfico de funções Exemplo Determine a linearização da função fx 2x em x 3 e utilize essa linearização para obter valores aproximados para 2³¹ 2²⁹ e 2³⁰₅ OBS utilize o valor aproximado ln 2 0693 Reta tangente y 5544x 8632 y 5544x 8632 Exemplo Determine a linearização da função fx x45 em x 1 e utilize a linearização para obter valores aproximados para 0945 10145 e 09745 fx 45x 44 x 45x 44 se x é próximo de 1 Lx 45x 1 1 Relembrando algumas informações sobre retas y 2x y 3x y 4x a 0 a reta é crescente e quanto maior o valor de a mais inclinada está a reta y 5x 3 y 5x 3 0 5x 3 3 5x 5x 3 x 35 y ax b e y ax b são retas espelhadas em relação ao eixo y Taxas de variação A derivada fc nos fornece a taxa de variação de y em relação a x no ponto c fc do gráfico da função fx Se fc 0 então quanto maior for o valor de fc maior será a inclinação da reta tangente ao gráfico de fx no ponto c fc e portanto mais rápido a variável y cresce nesse ponto Se fc 0 então quanto menor for o valor de fc maior será a inclinação da reta tangente ao gráfico de fx no ponto c fc e portanto mais rápido a variável y decrece nesse ponto Exemplo Considere uma partícula que se movimenta ao longo de uma reta durante um certo intervalo de tempo Suponha que a função dt descreva a posição y desta partícula no instante de tempo t Exemplo Considere uma partícula que se movimenta ao longo de uma reta e suponha que a função dt 3t²8t2m descreva a posição desta partícula no instante de tempo t medido em minutos a Determine a função que descreve a velocidade da partícula ao longo do tempo dt 3t² 8t 2 32t¹ 81t⁰ 0 6t 8 6t 8 mmin b Qual a velocidade da partícula depois de 4 minutos v4 64 8 24 8 16 mmin c Qual a aceleração dessa partícula depois de 4 minutos at vt 6t 6 mmin² a4 6 EXERCÍCIO veja dt t³ 5t² 7 m onde t é medido em minutos determine a A posição e a velocidade da partículas depois de 5 minutos b A posição a velocidade e a aceleração da partículas depois de 7 minutos