Momento de Inércia de uma Área - Resistência dos Materiais

Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Capítulo 9 do livro HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2011 CENTRO DE GRAVIDADE Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado e assim se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional então cada uma das partículas terá um peso 𝑑𝑊 Figura 1a Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas e a resultante desse sistema é o peso total do corpo que passa por um único ponto chamado centro de gravidade G Figura 1b Figura 1 CENTROIDE DE UMA ÁREA A localização do centroide de uma área com relação aos eixos x e y será determinada por 𝑥 𝑥𝑑𝐴 𝑑𝐴 𝑦 𝑦𝑑𝐴 𝑑𝐴 Equações 1 Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Exemplo 1 Determine a distância 𝑦 medida a partir do eixo 𝑥 até o centroide da área do triângulo mostrado na Figura 2 Figura 2 Solução Considere um elemento retangular que tenha uma espessura 𝑑𝑦 e esteja localizado em uma posição qualquer de modo que intercepte o contorno em 𝑥𝑦 A área do elemento é 𝑑𝐴 𝑥𝑑𝑦 𝑏 ℎ ℎ 𝑦𝑑𝑦 e seu centroide está localizado a uma distância 𝑦 𝑦 do eixo 𝑥 Aplicando a segunda das equações 1 e integrando com relação a y temos 𝑦 𝑦𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝐴 𝐴 𝑦 𝑏 ℎ ℎ 𝑦𝑑𝑦 ℎ 0 𝑏 ℎ ℎ 𝑦𝑑𝑦 ℎ 0 ℎ 3 CORPOS COMPOSTOS Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas mais simples conectados que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e desde que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos podemos então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro O centroide poderá ser calculo por 𝑥 𝑥𝐴 𝐴 𝑦 𝑦𝐴 𝐴 Equações 2 Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Exemplo 2 Localize o centroide da área da placa mostrada na Figura 3 Figura 3 Solução Considere que a área da Figura 3 é formada pela composição das seguintes áreas Sendo as áreas 1 e 2 de adição e a área 3 de subtração Adotando os eixos 𝑥 e 𝑦 como referência pela composição de áreas temos 𝑥 1 233133152125 1 2333321 0348 m 𝑦 1 23313315212 1 2333321 122 m