Momento de Inércia de uma Área - Resistência dos Materiais

Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Capítulo 10 do livro HIBBELER R C Estática Mecânica para Engenheiros São Paulo Pearson 2011 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA ÁREA Para mostrar a definição formal do momento de inércia considere a área 𝐴 mostrada na Figura 1 que se encontra no plano 𝑥 𝑦 Por definição os momentos de inércia do elemento diferencial 𝑑𝐴 em torno dos eixos 𝑥 e 𝑦 são 𝑑𝐼𝑥 𝑦²𝑑𝐴 e 𝑑𝐼𝑦 𝑥²𝑑𝐴 respectivamente Para a área inteira o momento de inércia é determinado por integração isto é 𝐼𝑥 𝐴𝑦²𝑑𝐴 e 𝐼𝑦 𝐴𝑥²𝑑𝐴 Equações 1 Figura 1 Também podemos formular essa quantidade para 𝑑𝐴 em relação ao polo 𝑂 ou eixo 𝑧 Isso é conhecido como o momento de inércia polar Ele é definido como 𝑑𝐽𝑜 𝑟²𝑑𝐴 onde 𝑟 é a distância perpendicular do polo eixo 𝑧 até o elemento 𝑑𝐴 Para a área inteira o memento de inércia polar é 𝐽𝑜 𝑟2𝑑𝐴 𝐼𝑥 𝐼𝑦 𝐴 Equação 2 Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA UMA ÁREA Se o momento de inércia de uma área em torno de um eixo centroide for conhecido poderemos determinar o momento de inércia da área em torno de um eixo paralelo correspondente por meio do teorema dos eixos paralelos Na Figura 2 sendo os eixos 𝑥 e 𝑦 os eixos centroides do corpo o momento de inércia em relação ao eixo 𝑥 e 𝑦 podem ser calculados respectivamente por 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦² e 𝐼𝑦 𝐼𝑦 𝐴𝑑𝑥² Equações 3 Figura 2 Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Exemplo 1 Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na Figura em relação a ao eixo centroidal 𝑥 b Ao eixo 𝑥𝑏 passando pela base do retângulo Figura 3 Solução a O elemento diferencial mostrado na Figura 3 é escolhido para integração O elemento inteiro está a uma distância 𝑦 do eixo 𝑥 Será necessário integrar a partir de 𝑦 ℎ2 para 𝑦 ℎ2 Como 𝑑𝐴 𝑏 𝑑𝑦 então 𝐼 𝑦2𝑑𝐴 𝐴 𝑦2𝑏 𝑑𝑦 ℎ2 ℎ2 𝑦2𝑑𝑦 ℎ2 ℎ2 1 12 𝑏ℎ³ b O momento de inércia em relação a um eixo passando pela base do retângulo pode ser obtido usando o resultado da parte a e aplicando o teorema dos eixos paralelos 𝐼𝑥𝑏𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦2 1 12 𝑏ℎ3 𝑏ℎ ℎ 2 2 1 3 𝑏ℎ Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área Usando as equações 1 para calcular os momentos de inércia em torno dos eixos centroides de algumas formas de áreas comuns temos o quadro abaixo 𝐼𝑥 1 12 𝑏ℎ³ 𝐼𝑦 1 12 ℎ𝑏³ 𝐼𝑥 1 36 𝑏ℎ³ 𝐼𝑦 1 36 ℎ𝑏³ 𝐼𝑥 𝐼𝑦 1 4 𝜋𝑟4 𝐼𝑥 𝐼𝑦 1 8 𝜋𝑟4 Disciplina Resistência dos Materiais Professor Rafaela Amaral Momento de Inércia de uma Área MOMENTOS DE INÉRCIA PARA ÁREAS COMPOSTAS Uma área composta consiste em uma série de partes ou formas mais simples conectadas como retângulos triângulos e círculos Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for conhecido ou puder ser determinado em relação a um eixo comum então o momento de inércia da área composta em relação ao eixo é igual à soma algébrica dos momentos de inércia de todas as suas partes Exemplo 2 Determine o momento de inércia da área mostrada na Figura 4 em relação ao eixo x Figura 4 Solução Usando o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦2 1 12 1003003 1003002002 1425 109 mm4 Usando o teorema dos eixos paralelos para o retângulo B 𝐼𝑥 1 12 6001003 005 109 mm4 Então o momento de inercia para a seção inteira é 𝐼𝑥 1425 109 1425 109 005 109 290 109 mm4