Análise Complexa: Funções Complexas

17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 144 ANÁLISE COMPLEXA ANÁLISE COMPLEXA FUNÇÕES COMPLEXAS FUNÇÕES COMPLEXAS Autora Dr Guilherme Augusto Pianezzer Revisor Gesseca Camara Lubachewski Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 15 minutos 17112023 2219 Ebook Introdudo Ola caroa estudante Neste material vamos aprofundar nosso conhecimento sobre fungdes complexas Para configurar uma funao complexa podemos entender o conjunto dos numeros complexos como a imagem ou o dominio de uma determinada funcao Nesse caso as propriedades envolvidas sao similares aquelas das funcées de variaveis reais e as diferencas geralmente sao observadas para algumas operacgdes de limite de fungdes operacgées de derivagao e operacoes de integracao Em especial nessa aula investigaremos uma familia especifica de funcées as quais se comportam como transformaoes lineares Entao trataremos de fungdes que podem ser escritas com base em operagdes de rotacao translagao e dilatagao Vamos a Bons estudos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 244 17112023 2219 Ebook Estudante definimos uma fungao complexa como uma fungao digamos f em que seu dominio e sua imagem sao subconjuntos dos numeros complexos Note que o conjunto dos numeros reais um dos subconjuntos dos numeros complexos de forma que as fungdes reais também podem ser vistas como fungdes complexas assim como sabemos que os numeros reais também podem ser vistos como numeros complexos Em alguns livros ao tratar de fungdes complexas vira a denominagao fungao de valor complexa de uma variavel complexa mas escolhemos muitas vezes simplificar a denominando apenas de funcao complexa Por exemplo de acordo com Avila 2000 p 34 seja D um conjunto de numeros complexos e f uma lei que faz corresponder a cada elemento z do conjunto D um Unico numero complexo que denotamos por fz Nestas condicées dizse que f é uma fungao com dominio D Além disso a notagao utilizada sera dada muitas vezes por w fz de forma que reservamos a notacdéo y fx para as vezes que estivermos tratando de fungdes de varidveis reais Veja isso em alguns exemplos a seguir httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 344 17112023 2219 Ebook Funcoes complexas Sao varios os exemplos de fungdes complexas que podemos citar entre elas podemos definir 42 fl2 e 2iz gz z 2Rez Note caroa estudante que ambas as fungées fz e gz sao definidas para o conjunto dos numeros complexos Uma das utilizagoes principais das fungdes é o calculo de seu valor em determinados pontos Por exemplo considerando z 2 temos 2 ye f Qif2 gi i 2Ret i Ou seja a transformagaéo de 7 por f gera um numero real enquanto a transformagao de 2 por g gera um numero imaginario puro Outro exemplo para que vocé possa entender melhor seria o caso de considerar z 1 12 Nesse caso poderiamos calcular 2 fi4i4i 2472147 11 g1 2 174 2Re173i Como a fungao Rez retorna a parte real do numero complexo z enquanto Imz retorna a sua parte imaginaria podemos concluir que Re2 31 2 Im2 31 3 Nos casos em que o dominio ou a imagem da funao nao sao explicitados iremos considerar em Analise Complexa que se trata do conjunto dos numeros complexos Nesse caso denotamos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 444 17112023 2219 Ebook Domf C Imf C Além disso como todo resultado de uma funao complexa também é um numero complexo podemos escrever de forma viavel a transformagao de z pela funcao f da forma fz uz y toz y ressaltando que ux y e ux y sao fungées reais Veja por exemplo no caso de tratarmos a funcao 2 w fz z poderiamos encontrar a imagem isto é os possiveis valores de resposta para os dados numeros complexos z x y2 Assim ficariamos com a 2 2 2 1 Oma w fx ty xtyy a y 2ayt Nesse caso observamos que 2 2 Rew uzy 2 y Imw vz y 2xy Outro exemplo seria a transformagao da fungdo w fz z 2Reza qual transforma um numero complexo z x yt na forma w fyt a yi 2Rea 4 yi 3x4 4 yi Nesse caso observamos que Rew ua y 2a Imw zy y Note que a identificagao da parte real e da parte imaginaria de um numero complexo e de sua transformagao nos permite analisar o comportamento da httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 544 17112023 2219 Ebook fungao complexa Por exemplo na secao seguinte vamos usar essa analise para observar 0 que ocorre com a fungao exponencial complexa Funcao exponencial complexa Agora que vocé entendeu o que é uma fungao complexa e viu alguns exemplos para identificala 6 preciso que saiba que sao varios os tipos de fungdes existentes De forma geral podemos reescrever as fundes reais mais conhecidas em suas versOes complexas Nesse caso especifico analisaremos o comportamento de uma fungao conhecida como funao exponencial complexa Essa fungao é definida como e ecosyieseny e e cos y isen y Entao podemos observar que Ree ecos y Ime eseny Note que tal funcao realmente reproduz sua versao real isto é quando Domf 0 conjunto dos ntmeros reais Para isso 0 leitor pode escolher z x Nesse caso e e cos 0 isen 0 e e Além disso quando escolhemos z 0 temos que 0 0 e e cos0isen01 mostrando que a fungao e também preserva a propriedade de que todo numero diferente de zero elevado a zero é igual a 1 O que muda em relacao httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 644 17112023 2219 Ebook ao caso real 6 que podemos calcular e para z 2 Nesse caso temos que z 0 e e cos1isen1cos1isen1 Uma das grandes diferengcas entre as fungdes exponenciais reais e complexas acaba sendo que sua versao complexa evidencia que a fungao exponencial é na verdade periddica quer dizer ap6s um periodo especifico comegca a se repetir Com uma analise mais avancgada podemos verificar que esse resultado implica outras propriedades como a nao existéncia de uma fungao exponencial inversa Veja no elemento a seguir como podemos representar o numero complexo na forma exponencial Tais relagdes discutidas ao longo da segao nos mostram como a funao exponencial complexa também traz caracteristicas da fungao exponencial real embora tenham algumas diferengas marcantes A partir de agora convido vocé a realizar uma atividade indicando como as fung6ées reais e as fungdes complexas podem ser semelhantes Teste seus Conhecimentos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 744 17112023 2219 Ebook Atividade ndo pontuada Sabemos que uma fungdo complexa uma fungdao cujos conjuntos dominio e imagem sao definidos como o conjunto dos numeros complexos O conjunto dos numeros reais é subconjunto do conjunto dos numeros complexos entao podemos afirmar que a funcdo real um caso particular da fungdo complexa Assim algumas formas de uso de ambas as fungdes sao similares como o calculo do valor da fungdo em determinado ponto Com base nos assuntos discutidos marque a alternativa que apresenta o valor da fundo complexa fz z 2z no ponto z i O a fz 31 O b fz 21 Oc fz 32 Od fz 2 Oe fz httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 844 17112023 2219 Ebook Funcoes complexas transformacoes Prezadoa estudante neste topico vamos nos aprofundar mais nas fungdes complexas e conhecer seu modo de transformagoes As funcdes complexas também podem ser entendidas como transformacoes lineares exportando os conceitos desenvolvidos em Algebra Linear Entretanto como as transformacgdes complexas levam vetores de duas coordenadas a vetores de também duas coordenadas nao temos condicao de realizar a sua representagao grafica ao contrario da representacao de transformacgodes lineares de fungdes reais Mesmo assim podemos fazer uma representacao das fungcdes complexas apresentando a regiao dominio e a imagem da fungao separadamente Veja melhor como isso funciona na imagem a seguir httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexIlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8Wa 944 17112023 2219 Ebook y V Th m u a Conjunto no plano z b Imagem de S no plano u E Figura 21 Representacao de funcdes complexas Fonte Zill e Shanahan 2011 p 46 PraCegoVer na figura podemos observar dois planos cartesianos ambos formados por dois eixos No primeiro plano observamos Os eixos ortogonais entre si x e y e uma representagao de um dominio formado por uma secao circular de abertura de 90 nomeada por S No segundo plano observamos os eixos ortogonais entre si u e v e uma representacao da imagem formada por uma outra secao circular nomeada por S httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1044 17112023 2219 Ebook Veja que um numero complexo transformado pela funao complexa f pode ser escrito como w fzNessecasocomo z x iyew u iv teriamos sua representagao quadridimensional Representacao de algumas funcoes complexas Como exemplo suponha que tenha o interesse em representar a imagem do semiplano definido por Rez 2 para a transformacao complexa definida por w z Agora veja que a representacao do dominio esta apresentada na Figura 22 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1144 17112023 2219 Ebook E importante vocé notar que além da representagao grafica tal regido também tem representacao algébrica Como esse semiplano é definido como Rez 2 se escolhermos o conjunto de pontos complexos z x ty devemos ter y qualquer e x 2 Note também que o dominio possui uma fronteira definida nesse caso como uma reta definida por x 2 E essencial que perceba também esses detalhes para poder realizar a transformacgao de todos os pontos Ao comegarmos transformando a fronteira obtemos W 1z httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1244 17112023 2219 Ebook w 12 iy y4 2i o qual também representa uma reta Observe também que os pontos interiores do dominio configuram um semiplano em que x 2 para z x 1y Transformar os elementos desse conjunto nos leva a wizuzy ivz y em que uzy y xy x Além disso ao observar as restrigdes de x e y para o semiplano observamos que uxy pode assumir qualquer valor enquanto vx y 2 Assim podemos escrever a imagem geralmente denotada por S do dominio denotado por S Veja isso na Figura 23 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1344 17112023 2219 Ebook V Ss 2 u Figura 23 Imagem S de S Fonte Zill e Shanahan 2011 p 48 PraCegoVer na figura obServamos um plano cartesiano formado pelos eixos ortogonais u e v Também esta representado um semiplano denotado por S formado pelos pontos uv tais que v22 Essa operacgao realizada tanto na forma geometrica como na forma algébrica de representar uma transformagao linear deve ser de seu dominio visto que é a melhor representagao de fungdes que podemos escrever aqui No link do box a seguir vocé podera retomar os conceitos de espaco vetorial e fazer uma Conexao com o conteudo visto aqui httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1444 17112023 2219 Ebook Claro que apenas um exemplo nao seria suficiente para compreender o comportamento da funcao complexa por isso na proxima secao verificaremos uma forma de determinar 0 conjunto dominio e imagem de uma transformacgao complexa ainda mais complexa Outra funcao complexa De acordo com Avila 2000 p 34 frequentemente consideramos funcdes dadas em termos de relagdes analiticas bem definidas w fz sem especificar o dominio de definicao Nestes casos fica entao subentendido gue o dominio da funcao o conjunto de todos os valores de z para os quais faz sentido a expressdo analitica fz Nesse problema vamos supor que vocé esteja interessado em determinar o conjunto dominio e imagem além de suas representacodes ao transformar a reta vertical 2 1 para a transformacado complexa w s em um caso que o dominio esta especificado httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1544 17112023 2219 Ebook Sempre iniciamos fazendo a representacao grafica para em seguida realizar a representagao algébrica do dominio Apdos fazer atransformacao identificamos a representagao algébrica da imagem para apos isso identificar a sua representagao grdafica No caso do dominio a reta vertical no Plano Complexo x 1 representa o conjunto dos numeros complexos z xz7y em que x1 e y pode assumir qualquer valor real Veja como esse dominio esta representado na Figura 24 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1644 17112023 2219 Ebook A seguir operamos a transformagao de z obtendo 2 ws 2 w x iy w 2 y 4 2ayi Como sabemos que x 1 para todos os pontos do dominio podemos escrever 2 w1y dy e ao Comparar com w uxy ivxy concluimos que 2 Rew uzy1y Imw vx y 2y Assim podemos relacionar a parte real e a parte imaginaria de w para escrever uma relacao entre as varidveis que possa ser representada graficamente Nesse caso isolando y e substituindo em qualquer uma das igualdades obtemos 2 ux y 1 vx y 4 O qual representa uma parabola Vocé pode visualizar isso na Figura 25 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1744 17112023 2219 Ebook Note que essa solucao nos mostra como a transformagao do ponto de vista geométrico pode criar figuras completamente distintas O tratamento de tais figuras é realizado geralmente pelo operacional fornecido na Geometria Analitica especialmente quando parametrizamos determinadas curvas Vejamos na proxima segao como isso também pode ser realizado em Analise Complexa é e Curvas parametricas ho plano complexo httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1844 17112023 2219 Ebook Podemos escrever curvas paramétricas complexas se considerarmos que zt e yt sdo fungdes de valores reais da varidvel real t Nesse caso poderiamos assumir que o conjunto C consiste de todos os pontos zt at iytatb Essa fungao de valor complexo da variavel real ou seja zt é conhecida como parametrizacéo de C Algumas parametrizagdes comuns em analise complexa lembram as equacgoes de Geometria Analitica Entre elas a reta que contém os pontos z0 e z1 é dada por zt z01 t z1t com t podendo assumir qualquer valor real enquanto 0 segmento de reta de z0 até z1 6 definido como zt z01 t zlt mas com t assumindo valores reais entre 0 e 1 Quando estamos interessados em descrever o raio que emana de z0 e contém z1 podemos escrever zt z01 t z1t com t assumindo qualquer valor real positivo Finalmente quando precisamos escrever a circunferéncia com centro em z0 e raio r podemos escrevéla como zt 20 rcos t isent com t assumindo valores entre 0 e 2pi Essas parametrizagoes nos ajudam na escrita da representacao grafica do conjunto dos pontos do dominio ou da imagem de uma dada funao complexa Como exemplo podemos entender o segmento de reta e 1 a i como dominio e investigar 0 que ocorre com a sua imagem quando transformada por wig em que q representa o numero complexo conjugado do numero z Para escrever a forma algébrica da representagao usamos a parametrizagao do segmento de reta que sera dado por zt z01 t zlt com t variando de 0 a 1 Nesse caso especifico obtemos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 1944 17112023 2219 Ebook zt 1 t it com t variando de 0 a 1 Transformando tal conjunto de pontos pela transformagao dada obtemos w igi1tit t i1t com t variando de 0 a 1 0 qual também representa uma parametrizagao de um segmento de reta saindo do ponto z0 ie chegando ao ponto z1 1 Nesse caso particular podemos representar o dominio e a imagem em ambos os graficos como vocé pode ver na representagao dada pela Figura 26 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2044 17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2144 Agora que percebeu como a forma paramétrica também nos ajuda a escrever a transformação de determinado domínio vejamos em uma atividade se você consegue operar de forma similar para outro problema 17112023 2219 Ebook Teste seus Conhecimentos Atividade ndo pontuada Definimos a transformagdo linear de uma fungao complexa como um numero complexo que pode ser descrito em termos de suas partes reais e imaginarias Dessa forma dado z x ty quando transformado por w fz setornaw u2 y ivz y de forma que uz y é Rez evz y Imz Com base nas Fungdes Complexas marque a alternativa que apresenta ReweImwdadofz 2 2z6 O a Rez 2xy 2yImz 2 y2246 Ob Rez a7 y 22 6 Imz 2xy 2y Oc Rez 2xy 2y Imz a y 226 O d Rez x y 22 6Imz 2xy 2y O e Rez 0 Imz 1 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2244 17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2344 Caroa estudante veja que as transformações lineares representam combinações de operações de rotações translações e dilatações Por isso como as funções complexas podem ser entendidas como transformações lineares também poderão ser entendidas como tais operações Translação rotação e dilatação Dizemos que uma função é linear complexa quando pode ser escrita na forma com a e b elementos do conjunto dos números complexos Note que a escolha de cria a transformação conhecida como a operação de translação Nesse caso dados e temos que Assim você pode observar na Figura 27 que a operação de translação de fato translada um determinado ponto a partir de um deslocamento dado por Transformações lineares fz az b a 1 Tz z b z x iy b x0 iy0 Tz tx iy x iy x0 iyo x x0 iy y0 b x0 iy0 17112023 2219 Ebook No caso da fungao linear complexa em que definimos Rz az em que modulo de a é igual a 1 teremos a conhecida transformagao de rotagao Para analisar 0 comportamento dessa fungao é interessante escrever os numeros complexos a e z em suas formas exponenciais Assim ze ea re 02 e 62 Entao a transformagao é dada por httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2444 17112023 2219 Ebook eG 1002 Rz az reOe62 re Observe que a Figura 28 confirma que a operagao de rotagao rotaciona um ponto em torno de uma origem e a partir de um angulo dado por a etF2 RZ y Figura 28 Rotacao Fonte Zill e Shanahan 2011 p 53 PraCegoVer na figura obServamos um plano cartesiano formado por eixos ortogonais Observamos um vetor de origem coincidente ao sistema de referéncia e extremidade no ponto z o qual forma um angulo phi com o eixo real enquanto representa um outro vetor com a mesma origem mas extremidade em Rz formando um Angulo theta com o vetor OZ No caso em que Mz az com a positivo teremos a operagao de dilatagao Nesse cenario dado o numero complexo 1 eid zZx1yre httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2544 17112023 2219 Ebook Mz are A Figura 29 auxilia a ver melhor como a operacao de dilatagao modificou o comprimento do vetor a partir da constante a Nos casos em que a foi um numero entre 0 e 1 a transformacgao reduziu 0 comprimento do numero complexo enquanto para a maior que 1 a operagao aumentou seu comprimento a Mz ar Oss Figura 29 Dilatagao Fonte Zill e Shanahan 2071 p 53 PraCegoVer na figura sao apresentados eixos ortogonais formando um plano cartesiano e um vetor com origem em um ponto que dista r da origem do sistema cartesiano e extremidade em Mz A compreensdo dada pela Algebra Linear ao compreender as transformacées lineares como operagoes geometricas de rotagao translagao e dilatagao httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2644 17112023 2219 Ebook pode nos ajudar a entender ainda mais como essas areas estao interligadas Vamos pensar um pouco sobre isso na proxima seao Vocé deve ter distinguido por fim as operagdoes lineares de rotagao translagao e dilatagdo O interessante é que a unificagao delas é realizada com a operacao de transformagao linear Vejamos na sequéncia como isso funciona Transformacao linear Enfim vocé conhecera a transformagao linear definida como fz azb httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2744 17112023 2219 Ebook como um ponto no plano complexo o qual pode ser obtido pela combinagao das operacoes de rotagao translagao e dilatagao Nesse caso vocé podera ver no elemento a seguir dados os pontos 20 e w0 fz0 podemos encontrar w0 fazendo Uma rotacdo de z0 a partir de um angulo arga em torno da origem 02 Dilatando esse resultado por a 03 Transladando esse resultado por b PraCegoVer o infografico apresenta trés topicos em linha horizontal O primeiro deles esta inserido dentro de um circulo vermelho e tem o texto Uma rotagao de z0 a partir de um Angulo arga em torno da origem Ao lado direito ha uma flecha da cor vermelha saindo do primeiro topico e apontando para o tdpico seguinte que esta dentro de um circulo verde com o texto Dilatando esse resultado por a Ao lado direito ha uma flecha da cor verde saindo do segundo topico e apontando para o terceiro e ultimo topico que esta inserido dentro de um circulo azul com o seguinte texto Transladando esse resultado por b httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2844 17112023 2219 Ebook Como vocé percebeu no elemento verificamos que a transformagao linear é um tipo de operagao que modifica as dimensdes da figura mas nunca altera sua forma Sendo assim tratase de uma fungao com determinado dominio restringido Em relacao a isso Avila 2000 p 35 afirma que uma funcao f1 com dominio D é restrigéo de uma fungao f2 com dominio D2 se D estiver contido em D2 e f1z f2z para todo z em D Para que vocé compreenda esse fato veja 0 seguinte caso Um retangulo sob qualquer transformagao linear definida da forma acima continua sendo um retangulo entretanto de tamanho e posicao diferentes Assim definimos um retangulo a partir dos seus vértices digamos 1721721 27e 1 22 Quando transformamos pela operacao fz 4iz 24 33 tal operacgao nao altera o formato Para isso verificamos que f1 2i f4it 24 71 f14 2i 64 Ti f14 21 6i httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 2944 17112023 2219 Ebook Veja que a Figura 210 representa o que esta ocorrendo sob a transformacao linear dada Esse resultado foi obtido pela composicao de uma rotagao uma dilatagao e uma translagao Nesse caso especifico uma rotagao de 90 graus uma dilatacdo pelo fator 4 e uma translacdo pelo vetor 2 32 Com esse conhecimento adquirido até aqui que tal treinar fazendo uma atividade Vamos la httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3044 17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3144 praticar Vamos praticar Suponha que tenhamos que determinar a imagem S do conjunto S dada pela reta para a transformação complexa A partir dos assuntos discutidos ao longo do material encontre essa transformação y 2x 1 w fz 1 iz F E E D B A C K 17112023 2219 Ebook Funcoes poteéncias especiais Neste ultimo tdpico ficaremos mais por dentro das fungdes poténcias especiais entao vamos em frente Certas fungdes poténcias como é 0 caso da funcdo fz zn podem nos auxiliar na criagdo de funcdes polinomiais complexas ou nas funcgoes raizes quadradas complexas A particularidade aqui que a operacao de raiz enésima apresenta mais de uma solugao para valor do dominio escolhido de forma que nao representa uma funao nos termos conhecidos mesmo possuindo tal nome Para utilizarmos na forma usual de funao selecionamos uma dessas solucgées a qual denominamos solugao principal Funcao polinomial complexa Para a funcao polinomial complexa definimos uma fungao da forma 2 fz anza2z alz a0 em que n é um numero inteiro positivo ean a2 a1 a0 sao constantes complexas Especificamente para n 2 a fungao w z é a conhecida funcdo poténcia complexa da forma z nos casos em que w Zn em nm 2 estaremos tratando da fungdo poténcia complexa da forma z1n httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktU VhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3244 17112023 2219 Ebook Especificamente para n 2 teremos a funcédo w z conhecida como fungao quadratica complexa Veja que para escrever os numeros complexos na forma exponencial podemos deduzir que a funcao 2 gera um vetor de raio r2 com um angulo dobrado Nesse caso veja tal resultado na Figura 211 Zz r2 Zw Ze Figura 211w 2 Fonte Zill e Shanahan 2011 p 47 PraCegoVer na figura vemos um sistema de coordenadas ortogonais nao nomeado e dois vetores O primeiro com extremidade em z tem um angulo de abertura em relagao ao eixo horizontal de theta e raio 7 O segundo tem um Angulo do dobro de theta e raio r2 O segundo vetor é 0 vetor z Quando analisamos a circunferéncia definida por z 2 verificamos que 0 argz 90 como descrito na Figura 212 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3344 17112023 2219 Ebook y Cc X 2 Figura 212 Analise do caso do arco da circunferéncia Fonte Zill e Shanahan 2011 p 48 PraCegoVer na figura vemos um sistema cartesiano de coordenadas com os eixos ortogonais x e y Vemos uma seao circular de raio 2 compondo todo o primeiro quadrante do sistema Essa segao tem nome C Assim ao transformar pela fungao quadratica complexa obtemos a duplicagao do argumento e a expansao de sua abertura conforme representado na Figura 213 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3444 17112023 2219 Ebook Ao analisar por exemplo a transformagao das retas verticais definidas por za21y em que x k para algum k real como apresentado na figura 214 podemos transformala também pela funcdo w 2 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3544 17112023 2219 Ebook Nesse caso de transformagao temos 2 kiykiy k y 2ki w 2 kiykty k y 2kiy Como visto em um exemplo anterior podemos visualizar o grafico das transformacoes conforme apresentado na Figura 215 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3644 17112023 2219 Ebook 20 15 Q 5 20 15 10 5 0 15 20 5 0 15 20 Figura 215 Transformac6es das retas verticais Fonte Zill e Shanahan 2011 p 49 PraCegoVer na figura obServamos eixos ortogonais formando um plano cartesiano e algumas parabolas com concavidade voltada para a esquerda das familias de retas coordenadas x const e y const sao ortogonais Quando estamos operando outras fungdes poténcias como w z para n maior que verificamos que o resultado da transformaao é um vetor com raio dado por r e abertura n vezes maior que o anterior Por exemplo para n 3 w z triplica o raio e amplia o seu argumento Isso pode ser observado a partir da transformagao de z na Figura 216 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3744 17112023 2219 Ebook V Ss 9g U Figura 216 Resultado de w 2 Fonte Zill e Shanahan 2011 p 49 PraCegoVer nessa figura obServamos outra segao de arco de circunferéncia mas nesse caso ocupando o primeiro o segundo e o terceiro quadrantes e de raio 8 nomeado aqui de S Vamos praticar httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3844 17112023 2219 Ebook Quando transformados por uma transformacao linear os objetos mantém o formato mas podem mudar de tamanho ou de posigdo Assim verificaremos se isso realmente ocorre para um dado triangulo de vertices conhecidos Para isso considere o tridngulo de vértice 0 1 e2 Com base nos assuntos discutidos ao longo deste conteudo apresente a transformacao dos vértices para a transformacdo w fz z 2 httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 3944 17112023 2219 Ebook Material FILME O jogo da imitado Ano 2014 ae Diregao Morten Tyldum atexate Comentario Nesse filme conhecemos a historia de Alan steerer Turing 0 pai da computagao Embora tratando de outra area da Matematica o filme mostra de forma excelente como o trabalho de um matematico se desenvolve quando esta associado a uma aplicagao pratica TRAILER httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktU VhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 4044 17112023 2219 Ebook LIVRO s e e Algebra linear com aplicagoes Editora Bookman Autores Howard Anton e Chris Rorres ISBN 8540701693 Comentario A medida que vai se desenrolando a disciplina de Analise Complexa o leitor percebe como os conceitos desenvolvidos ao longo de Algebra Linear sao essenciais para relacionar representagdes de numeros complexos com outras areas da Matematica Assim uma releitura de algum livro de Algebra Linear é uma 6tima oportunidade para ressignificar esses conceitos Para isso 0 livro de Anton e Rorres traz aplicagoes inclusive na area de numeros complexos dos espacos vetoriais httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 4144 17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 4244 17112023 2219 Ebook C lusa Neste material vocé p6de compreender as principais caracteristicas das fungdes complexas Assim com esse conteudo vocé esta apto a realizar a andalise de tais funcées definindo antes de tudo o conceito de limite de fungdes para enfim definir suas derivadas e integracoes Lembrese que o essencial é fazer a descriao correta tanto do ponto de vista geométrico como do algébrico do dominio e da imagem de cada uma das transformagoes Mas como tudo em Matematica com um pouco de dedicaao o processo se torna simples Referéncias ANTON H RORRES C Algebra linear com aplicagoes 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 AVILA G Varidveis complexas e aplicagoes 3 ed Rio de Janeiro LTC 2000 O JOGO da imitagao Diregao de Morten Tyldum Reino Unido Black Bear Pictures Bristol Automotive 2014 1 DVD 114 min son color O JOGO da imitacao Trailer Oficial Legendado S s n 2014 1 video 2 min 30 s Publicado pelo canal Diamond Films Brasil Disponivel em httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktUVhdOhUfml82h0OYA7WQ3d3dlnnWuNuoNSryTIVUEnvMMaDA3d3dcdm8W 4344 17112023 2219 Ebook httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcrktJVhdOhUfml82h0YA7wQ3d3dlnnWuNuoNSryTIUEnvMMaDA3d3dcdm8W 4444 httpswwwyoutubecomwatchvGxokSkSqF5E Acesso em 16 maio 2021 SODRÉ U Espaços e subespaços vetoriais Universidade Estadual de Londrina 2020 Disponível em httpwwwuelbrprojetosmatessencialsuperioralinearespvetorhtml Acesso em 16 maio 2021 ZILL D G SHANAHAN P D Curso introdutório à análise complexa com aplicações 2 ed Rio de Janeiro LTC 2011