Transformações Lineares e Funções no Plano Complexo

QUESTÃO 1 Leia o excerto a seguir: “Seja uma transformação linear com e um ponto no plano complexo. Se os pontos e forem posicionados na mesma cópia do plano complexo, o ponto é determinado da seguinte forma: (i) é girado de um ângulo em torno da origem, ( ii ) o resultado é dilatado por e ( iii ) este último resultado é transladado de .” ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações . 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 55. Com base nessas informações, sobre a imagem de um número complexo por uma transformação linear, assinale a alternativa correta. QUESTÃO 2 Leia o trecho a seguir: “[...] seja um conjunto de números complexos e seja uma lei que faz corresponder, a cada elemento do conjunto , um único número complexo, que denotamos por . Nestas condições, diz-se que é uma função com domínio . O conjunto dos valores , correspondentes a todos os valores de em , e chamado a imagem de D pela função ”. ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 34. Com base nessas informações e no conteúdo estudado, assinale a alternativa correta. QUESTÃO 3 A figura mostra uma composição de rotação, dilatação e translação, aplicadas a um retângulo pertencente ao plano complexo. O retângulo é o resultado da aplicação de uma rotação ( . O retângulo é o resultado da aplicação de uma dilatação , no retângulo ( Por fim, o retângulo é a aplicação de uma translação , no retângulo ( Note que, se definirmos uma função , obtém-se que Fonte: Elaborada pelo autor. #PraCegoVer : a imagem mostra um gráfico, que representa o plano complexo, e quatro retângulos, definidos nesse plano. O retângulo é o retângulo em sua posição inicial, à esquerda do eixo imaginário e dividido ao meio pelo eixo real. O retângulo está acima do eixo real e dividido ao meio pelo eixo imaginário, tendo o mesmo tamanho do retângulo inicial. O retângulo está logo abaixo do retângulo ainda acima do eixo real e dividido ao meio pelo eixo imaginário, porém, com uma escala menor do que o retângulo . O retângulo está à direita do eixo imaginário e acima do eixo real e tem o mesmo tamanho do retângulo Os retângulos estão com uma opacidade reduzida, enquanto o está mais evidente. Com base nessas informações e nos conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) A função complexa é uma composição entre uma translação e uma rotação. II. ( ) A função é apenas uma translação. III. ( ) A função é uma composição entre uma dilatação e uma translação. IV. ( ) Toda rotação em , seguida de uma translação por , leva todo número complexo do eixo real para um número complexo no eixo imaginário. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 4 Leia o excerto a seguir: “Termos como translação, rotação e reflexão são usados para transmitir as características geométricas dominantes de certas aplicações. [...] Por exemplo, a aplicação , em que , pode ser vista como uma translação de cada ponto uma unidade para a direita”. BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações . Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 39. Com base nas informações apresentadas anteriormente, sobre as translações no plano complexo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) A aplicação , para todo , é uma translação de 4 unidades para a esquerda, no eixo real, e de 5 unidades para cima, no eixo imaginário. II. ( ) Se é uma translação qualquer no plano complexo, então existe uma aplicação , tal que . III. ( ) A aplicação , para todo , é uma translação de 9 unidades para a esquerda, no eixo real, e de 5 unidades para cima, no eixo imaginário. IV. ( ) Seja reais quaisquer, uma translação, definida por . Então, se e somente se Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 5 Leia o trecho a seguir: “A noção de função complexa envolve naturalmente a consideração de 2 variáveis reais. De fato, em linguagem recorrente, uma função complexa da variável complexa é uma correspondência que associa ao número um único número complexo , chamado a imagem de por , ”. SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa . 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 34. Considerando o trecho apresentado, sobre a noção de função complexa, analise as afirmativas a seguir: I. A imagem da função , definida por , é o conjunto dos números reais II. Se é um número complexo qualquer, então a função , definida por , é nula para todo eixo imaginário. III. A função , definida por , também pode ser definida pela expressão IV. A imagem da função , definida por , é o próprio conjunto Está correto o que se afirma em: QUESTÃO 6 Leia o trecho a seguir: “Uma função complexa linear é denominada rotação . [...] Tenhamos em mente que a constante [...] é uma constante complexa. Se for um número complexo não nulo qualquer, é um número complexo com . Portanto, para qualquer número complexo não nulo , é uma rotação”. ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações . 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 53. Considerando o trecho apresentado, sobre a aplicação de rotação no plano complexo, analise as afirmativas a seguir: I. Se são números complexos, com e , então a função é uma rotação e II. A transformação , definida por , leva o complexo no complexo III. Se é uma rotação qualquer no plano complexo, então IV. Se é uma rotação no plano complexo, então Está correto apenas o que se afirma em: QUESTÃO 7 Leia o trecho a seguir: “[...] A função exponencial é definida por . Primeiramente, observe que está definida para todo Além disso, suas componentes são . [...] Antes de mais nada, note que se é real, , então Por outro lado, para todo . Como obtemos ”. SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa . 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 48-49. Considerando o trecho apresentado, sobre a função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir: I. Se então e II. . III. Se é um número imaginário puro qualquer, então IV. para Está correto apenas o que se afirma em: QUESTÃO 8 A dilatação de um número complexo é uma mudança de escala deste número. Dada uma transformação de dilatação e um número complexo qualquer , se e , para então existe um tal que e Com base nas informações apresentadas anteriormente, sobre as aplicações de dilatação no plano complexo, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) Se é uma transformação de dilatação não nula, então se e somente se II. ( ) Se é uma transformação de dilatação dada por , então III. ( ) Se é uma transformação de dilatação qualquer dada por então existe uma outra transformação de dilatação , dada por tal que IV. ( ) Se é uma transformação de dilatação não nula, restrita ao subconjunto dos complexos então pertence ao eixo real se e somente se . Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 9 Leia o trecho a seguir: “Se um ponto for a imagem de um ponto não nulo do plano finito pela transformação então, escrevendo , vemos que Também, por ser vemos O argumento seguinte, que utiliza essas relações entre coordenadas, mostra que a aplicação transforma círculos e retas em círculos e retas”. BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações . Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 303. Com base nessas informações e no conteúdo estudado, assinale a alternativa correta. QUESTÃO 10 Uma curva qualquer no plano complexo pode ser definida como uma aplicação , definida por , de modo que cada aplicação é uma função real de uma variável. Tais aplicações, dos reais nos complexos, são conhecidas como curvas paramétricas no plano complexo . Considerando o trecho apresentado, sobre curvas paramétricas no plano complexo, analise as afirmativas a seguir: I. Se uma curva paramétrica é definida pela equação com e então se e somente se II. A parametrização de uma reta no plano complexo, que passa pelos pontos é dada por III. Uma curva paramétrica definida pela equação para todo t em ℝ , também pode ser definida pela equação com e . IV. Sejam vértices do triângulo no plano complexo. A equação paramétrica da mediana do triângulo , em relação à aresta , é Está correto apenas o que se afirma em: QUESTÃO 11 Leia o excerto a seguir: “Seja aberto, uma função complexa. é holomorfa em se existe para todo ponto . [...] Observe que, [...] dizer que é holomorfa em é o mesmo que dizer que em todos os pontos de . Isso ‘esclarece’ a afirmativa [...] de que uma função é holomorfa quando não depende da variável .” SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa . 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 46-47. Considerando o trecho apresentado, sobre a analiticidade da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir: I. Se é uma função analítica, também o é. II. As funções e são analíticas. III. A função é analítica, mas não satisfaz uma das condições de Cauchy-Riemann em seu domínio. IV. A função não é holomorfa . Está correto o que se afirma em: QUESTÃO 12 Leia o excerto a seguir: “As funções hiperbólicas, seno e cosseno, são definidas, como no caso de variáveis reais, pelas seguintes expressões: Como se vê, seus valores são reais para valores reais de . Elas surgem naturalmente quando se procura separar as partes real e imaginária das funções e .” ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações . 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 64. Com base nessas informações, sobre as funções trigonométricas complexas, assinale a alternativa correta: QUESTÃO 1 3 Leia o excerto a seguir: “Se e o expoente for um número complexo qualquer, definimos a função potência por meio da equação [...] Mencionamos duas outras propriedades esperadas da função potência . Uma dessas propriedades segue da expressão da função exponencial [...] a saber, A outra propriedade é a regra da derivação de . Usando um ramo específico da função logaritmo [...], é uma função analítica no domínio indicado. [...] A derivada desse ramo de pode ser calculada usando a regra da cadeia [...] e lembrando da identidade [...]. Dessa forma, obtemos .” BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações . Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 100-101. Considerando o trecho apresentado, sobre a definição da função potência, analise as afirmativas a seguir: I. . II. . III. O valor principal da expressão é IV. O valor principal da expressão é . Está correto apenas o que se afirma em: QUESTÃO 14 Leia o excerto a seguir: “Se e forem números complexos não nulos e for um inteiro, então: [...] Vale notar que o logaritmo complexo de um número real positivo tem infinitos valores. Por exemplo, o logaritmo complexo é o conjunto de valores onde é um inteiro qualquer; por sua vez, o logaritmo real tem um único valor .” ZILL, D. G.; SHANAHAN, P. D. Curso introdutório à análise complexa com aplicações . 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. p. 138. Considerando o trecho apresentado, sobre as propriedades algébricas da função logaritmo complexo, analise as afirmativas a seguir: I. II. III. IV. . Está correto o que se afirma em: QUESTÃO 15 Considere dois números complexos e , o primeiro escrito na forma polar complexa, e o segundo, na forma usual. A motivação da definição da função logaritmo é a resolução da equação Da igualdade de dois números complexos, obtém-se: e obtendo-se, assim, ; e, reescrevendo w, tem-se que Portanto, aplicando a função em ambos os lados da igualdade obtém-se: Com base nessas informações e no conteúdo estudado, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s). I. ( ) Se e . II. ( ) Se é um número complexo, . III. ( ) Para qualquer número inteiro , . IV. ( ) Para todo número complexo , . Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 16 Leia o excerto a seguir: “[...] as propriedades da exponencial complexa coincidiram com as da exponencial real. As diferenças começam na extração de raízes [...], pois se é um inteiro positivo então, para cada existem números complexos satisfazendo .” SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa . 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. p. 49. Considerando o trecho apresentado, sobre as propriedades algébricas da função exponencial, analise as afirmativas a seguir: I. e para . II. III. IV. existe um complexo tal que Está correto apenas o que se afirma em: QUESTÃO 17 O módulo e o conjugado de um número complexo têm uma relação direta. Para todo número complexo é possível definir o seu módulo como . Para a função exponencial complexa, essa relação é dada da seguinte maneira: para todo Como obtém-se: Por fim, como , tem-se que: . Com base nessas informações e nos conteúdos estudados, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s). I. ( ) Para quaisquer complexos , II. ( ) Se são tais que e , . III. ( ) Para quaisquer complexos , IV. ( ) Para quaisquer complexos , Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 18 Leia o excerto a seguir: “Existem outras propriedades importantes de que são esperadas. [...] por exemplo, em cada ponto do plano complexo. Observe que a derivabilidade de em cada nos diz que é uma função inteira. Por outro lado, algumas propriedades de não são esperadas. Por exemplo, como e vemos que é periódica, com um período puramente imaginário ” BROWN, J. W.; CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e aplicações . Porto Alegre: AMGH, 2015. p. 88. Com base no trecho apresentado anteriormente, sobre as propriedades da função exponencial complexa, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) eFpara a(s) falsa(s). I. ( ) A função exponencial complexa não pode resultar em número negativo. II. ( ) A imagem da função exponencial complexa é o plano complexo ℂ . III. ( ) Para todo é correto afirmar que IV. ( ) Para todo número complexo , se e somente se . Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: QUESTÃO 19 Leia o excerto a seguir: “Quando fixamos um ramo do logaritmo [...], torna-se uma função univalente e analítica. Calculamos sua derivada pela regra da cadeia, assim: Em particular: .” ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações . 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. p. 71. Com base nas informações apresentadas, sobre a analiticidade e a derivada da função potência, analise as afirmativas a seguir: I. Se o ramo principal de . II. Se , o ramo principal de . III. O ramo principal de em que é . IV. O ramo principal de , em que é . QUESTÃO 20 O valor absoluto (ou módulo) de uma aplicação exponencial complexa determina o tamanho do vetor resultante dessa transformação. Note que a função que determina o módulo de um número complexo tem sua imagem nos reais; e, por isso, é possível obter uma relação de ordem entre seus elementos. Considerando o trecho apresentado, sobre o módulo da função exponencial, analise as afirmativas a seguir: I. Para todo número complexo , . II. Se e , . III. Para , . IV. Para a sequência definida por , . Está correto apenas o que se afirma em: