Análise de Séries Temporais - Modelos ARIMA e Lineares Não Estacionários

ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir modelos lineares não estacionários Identificar os modelos ARIMA Descrever o termo constante nos modelos ARIMA Introdução Um modelo linear não estacionário é denominado autoregressive integrated moving average ARIMA ou em português modelo autorregressivo integrado de médias móveis Ele é dito não estacionário de raiz unitária pois seu polinômio AR tem uma raiz unitária A identificação particular de um modelo ARIMA a ser ajustado aos dados é uma etapa não tão trivial ao se utilizar uma modelagem ARIMA Para escolher o modelo a ser utilizado devese considerar em especial as autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas que são utilizadas para comparar com as quantidades teóricas e identificar um possível modelo para os dados Um tratamento usual para lidar com não estacionariedade de raiz unitária é usar as diferenças sucessivas Neste capítulo veremos os modelos lineares não estacionários na análise de séries temporais Apresentaremos a definição dos modelos lineares não estacionários bem como veremos que os modelos ARIMA são aplicados em alguns casos em que os dados mostram evidências de não estacionariedade A proposta dos modelos é entender mais claramente os dados ou prever pontos Modelos lineares não estacionários Cristiane da Silva futuros na série temporal Veremos algumas aplicações exemplos e repre sentações por meio de figuras no intuito de elucidar o conteúdo em estudo Modelos lineares não estacionários Denominase processo aleatório ou estocástico uma coleção de variáveis aleatórias ordenadas no tempo Exemplos incluem o eletrocardiograma e o produto interno bruto Um tipo de processo estocástico é o processo es tocástico estacionário assim chamado quando sua média e variância são constantes ao longo do tempo e o valor da covariância entre os dois períodos de tempo depender apenas da distância do intervalo ou da defasagem entre os dois períodos e não do tempo real no qual a covariância é computada Por outro lado se uma série temporal não é estacionária ela é chamada de série temporal não estacionária e terá uma média que varia com o tempo ou uma variância que varia com o tempo ou ambas GUJARATI PORTER 2011 Morettin e Toloi 2018 destacam que muitas séries encontradas na prática não são estacionárias Gujarati e Porter 2011 citam o exemplo do modelo de passeio aleatório termo frequentemente comparado com um caminhar de bêbado pois deixando um bar o bêbado movese a uma distância aleatória ut no tempo t e continuando a caminhar indefinidamente eventualmente se desviará cada vez mais do bar O mesmo pode ser dito sobre os preços das ações pois o preço da ação de hoje é igual ao de ontem mais um choque aleatório Outro exemplo é a taxa de câmbio também não estacionária Os passeios aleatórios podem ser sem deslocamento sem termo constante ou intercepto e com deslocamento um termo constante presente Nesta seção trataremos do passeio aleatório sem deslocamento e na última seção abordaremos o passeio aleatório com deslocamento Gujarati e Porter 2011 supõem que ut seja um termo de erro de ruído branco sem média 0 e variância σ² Dizse então que a série Yt é um passeio aleatório se Yt Yt1 ut Modelos lineares não estacionários 2 Nesse modelo de passeio aleatório o valor de Y no tempo t é igual a seu valor no tempo t 1 mais um choque aleatório Portanto tratase de um modelo AR1 Podemos pensar na equação Yt Yt1 ut como uma regressão de Y no tempo t sobre seu valor defasado em um período Com base nessa equação podemos escrever Y1 Y0 u1 Y2 Y1 u2 Y0 u1 u2 Y3 Y2 u3 Y0 u1 u2 u3 De modo geral se o processo iniciou em algum tempo 0 com o valor de Y0 temos Portanto Igualmente pode ser demonstrado que varYt tσ² Como a expressão anterior demonstra a média de Y é igual ao seu valor inicial ou de partida que é constante mas como t aumenta sua variância aumenta indefinidamente violando uma condição de estacionariedade Em resumo o modelo de passeio aleatório sem deslocamento é um processo estocástico não estacionário Na prática Y0 é frequentemente colocado em zero caso em que EYt 0 GUJARATI PORTER 2011 Os autores chamam a atenção para uma característica interessante de modelo de passeio aleatório a persistência de choques aleatórios erros aleatórios Essa característica fica evidente na equação Yt Y0 ut onde Yt é a soma do Y0 inicial mais a soma dos choques aleatórios O resultado é que o impacto de um choque particular não se extingue Para compreendermos melhor vamos imaginar que se u2 2 em vez de u2 0 então todos os Yt a partir de Y2 em diante serão 2 unidades maiores e o efeito desse choque não desaparecerá Por isso dizse que o passeio aleatório tem memória infinita A soma ut também é conhecida como tendência estocástica Modelos lineares não estacionários 3 Curiosamente se escrevermos a equação Yt Yt1 ut como Yt Yt1 Yt ut onde Δ é o primeiro operador de diferenças tornase fácil mostrar que enquanto Yt é não estacionária sua primeira diferença é estacionária Em outras palavras as primeiras diferenças de séries temporais de um passeio aleatório são estacionárias GUJARATI PORTER 2011 Morettin e Toloi 2018 ressaltam que várias séries econômicas e financeiras são não estacionárias mas quando diferenciadas tornamse estacionárias Como exemplo os autores mencionam Zt que é não estacionária mas Wt Zt Zt1 1 BZt Zt é estacionária Uma série pode apresentar várias formas de não estacionariedade Por exemplo considerando um modelo AR1 temos 1 ϕBZ t at A condição de estacionariedade é φ 1 Se φ 1 obtemos um processo não estacionário Z t Z t1 at passeio casual e verificamos que se φ 1 o processo 1 ϕB Z t at explode à medida que t aumenta Os modelos aqui apresentados são apropriados para séries cujo comportamento seja não explosivo séries que apresentam alguma homogeneidade em seu comportamento não estacionário MORETTIN TOLOI 2018 Séries Zt tais que tomandose um número finito d de diferenças tornamse estacionárias são chamadas de não estacionárias homogêneas ou ainda de integradas de ordem d Outras séries não estacionárias não explosivas são aquelas apresentando uma tendência determinística como em Xt β0 β1t εt onde εtRB0 σ² que é um processo trendstationary MORETTIN TOLOI 2018 Então temos 1 EXt μt β0 β1t 2 tomandose uma diferença Xt Xt1 β1 εt εt1 que é um modelo ARMA 11 com φ θ 1 temos um modelo não estacionário e não invertível 3 se Wt Xt Xt1 1 BXt ΔXt Wt ΔXt β1 Δεt que é um modelo MA1 estacionário mas não invertível Modelos lineares não estacionários 4 4 extraindose a tendência de Xt obtemos Yt Xt β1t β0 εt que é estacionário Processo estocástico de raiz unitária Vamos escrever o modelo de passeio aleatório Yt Yt 1 ut como Yt ρYt1 ut 1 ρ 1 Se ρ 1 a equação acima tornase um modelo de passeio aleatório sem deslocamento Se ρ é de fato 1 encontramos o que é conhecido como problema de raiz unitária ou seja uma situação de não estacionariedade Já sabemos que nesse caso a variância de Yt é não estacionária O nome raiz unitária se deve ao fato de que ρ 1 Portanto os termos não estacionariedade passeio aleatório raiz unitária e tendência estocástica podem ser tratados como sinônimos GUJARATI PORTER 2011 Nesta seção conhecemos a definição dos modelos lineares não esta cionários iniciamos a discussão a respeito dos tipos de passeios aleatórios existentes e vimos algumas condições importantes das séries não estacio nárias bem como sua aplicabilidade Na próxima seção conheceremos os modelos ARIMA Modelos ARIMA Nesta seção apresentaremos o processo ARIMA de modo que possamos identificar tais modelos conforme definições e demonstrações de Morettin e Toloi 2018 Se Wt ΔdZt for estacionária podemos representar Wt por um modelo ARMA pq ou seja φBWt θBat Se Wt for uma diferença de Zt então Zt é uma integral de Wt daí dizermos que Zt segue um modelo autorregressivo integrado de médias móveis ou modelo ARIMA ϕBdZt θBat de ordem pdq e escrevemos ARIMA pdq se p e q são as ordens de φB e θB respectivamente Modelos lineares não estacionários 5 No modelo φBWt θBat todas as raízes de φB estão fora do círculo unitário Escrever φBΔdZt θBat é equivalente a escrever φBZt θBat onde φB é um operador autorregressivo não estacionário de ordem p d com d raízes iguais a um sobre o círculo unitário e as restantes p fora do círculo unitário ou seja φB φBΔd φB1 Bd Note que é indiferente escrever φBZt ou φBZ t pois dZt dZ t para d 1 MORETTIN TOLOI 2018 O modelo φBΔdZt θBat supõe que a désima diferença da série Zt pode ser representada por um modelo ARMA estacionário e invertível Na maioria dos casos usuais d 1 ou d 2 que correspondem a dois casos interessantes e comuns de não estacionariedade homogênea Vejamos MORETTIN TOLOI 2018 1 Séries não estacionárias quanto ao nível são aquelas que oscilam ao redor de um nível médio durante algum tempo e depois saltam para outro nível temporário Para tornálas estacionárias basta tomar uma diferença esse é caso típico das séries econômicas 2 Séries não estacionárias quanto à inclinação são aquelas que oscilam em uma direção por algum tempo e depois mudam para outra direção temporária Para tornálas estacionárias é necessário tomar a segunda diferença Observe a Figura 1 Figura 1 Série não estacionária quanto ao nível e à inclinação Fonte Morettin e Toloi 2018 p 5 Modelos lineares não estacionários 6 O modelo ARIMA pdq é um caso especial de um processo integrado Em geral dizse que Xt é integrado de ordem d se ΔdXt for estacionário escrevese XtId se d 0 Xt for estacionário Vejamos alguns exemplos de Morettin e Toloi 2018 Exemplo Alguns casos particulares do modelo φBΔdZt θBat são ARIMA 011 ΔZt 1 θBat ARIMA 111 1 φBΔZt 1 θBat ARIMA p00 ARp ARIMA00q MAq ARIMAp0q ARMApq O primeiro exemplo é um caso importante também é chamado de modelo integrado de médias móveis IMA 11 Zt Zt1 at θat1 Podese demonstrar que esse modelo pode ser escrito na forma autorregressiva Zt λZt1 λ1 λZt2 λ1 λ2Zt3 at onde λ 1 θ Ou seja Zt é dado em termos de seu passado por meio de uma ponderação exponencial De acordo com os autores o modelo ARIMA dado por φBΔdZt θBat pode ser representado de três formas 1 em termos de valores prévios de Zt e do valor atual e prévios de at 2 em termos do valor atual e prévios de at 3 em termos de valores prévios de Zt e do valor atual de at Vejamos cada uma das formas do modelo ARIMA conforme Morettin e Toloi 2018 Forma de equação de diferenças Essa é a forma usual do modelo útil para calcular previsões Zt φ1Zt1 φ2Zt2 φpdZtpd at θ1at1 θqatq onde φB 1 φ1B φ2B2 φpdBpd Forma de choques aleatórios médias móveis infinitas Uma forma convincente para se calcular a variância dos erros de previsão é Zt at ψ1at1 ψ2at2 ψBat Dessa equação obtemos ϕBZt ϕBψBat Usando φB Zt θBat temse que ϕBψB θB Logo os pesos 𝜓j da forma Zt at 𝜓1at1 𝜓2at2 𝜓Bat podem ser obtidos de φB𝜓B θB identificando os coeficientes de B B² etc 1 ϕ1B ϕpdBpd1 ψ1B ψ2B2 1 θ1B θqBq Forma invertida autorregressivo infinito De Zt at 𝜓1at1 𝜓2at2 𝜓Bat obtemos que 𝜓1BZt at ou então Seguese que ϕBZt θBat θBπBZt de onde obtemos a relação ϕB θBπB Modelos lineares não estacionários 8 Portanto os pesos πj podem ser obtidos de φB θBπB conhecendose os operadores φB e θB Os pesos πj em somam um ou seja Nesta seção vimos como identificar os modelos ARIMA Também acompa nhamos dois casos interessantes e comuns de não estacionariedade homo gênea séries não estacionárias quanto ao nível e séries não estacionárias quanto à inclinação Além disso conhecemos alguns casos particulares e três representações do modelo ARIMA Na seção seguinte aprofundaremos o estudo tratando do termo constante nos modelos ARIMA O termo constante No modelo ARIMA pdq ϕBWt θBat Wt dZt Um termo constante foi omitido implicando que EWt μw 0 O modelo acima pode descrever o que se pode chamar de tendência estocástica no sentido de que o processo não é estacionário e muda de nível eou inclinação no decorrer do tempo A tendência ou não estacionariedade estocástica é caracterizada pela existência de zeros de φB sobre o círculo unitário MORETTIN TOLOI 2018 Modelos lineares não estacionários 9 Além dessa não estacionariedade estocástica muitas outras séries tempo rais podem apresentar uma tendência determinística em particular podemos ter Zt como a soma de um polinômio e de um processo ARIMA pdq Nessa equação Zt Tt Yt onde Yt segue um modelo ARIMA pdq isto é φBΔdYt θBat Assim Zt não estacionário se m 0 eou d 0 Tomando d diferenças temos onde θ0 Bdd obtendose uma série estacionária Isso significa que podemos incluir uma tendência polinomial determinística de grau d no modelo bastando acrescentar uma constante θ0 φBZt θ0 θBat Contudo se m d podemos obter um modelo não estacionário tomando d diferenças devido à presença de uma tendência determinística Nesse caso ainda m d tomando m diferenças obteremos um processo estacionário mas não invertível MORETTIN TOLOI 2018 Se θ0 0 então E se W t Wt EWt teremos ϕBW t θBat No que segue quando d 0 suporemos μw 0 e portanto θ0 0 MORETTIN TOLOI 2018 Modelos lineares não estacionários 10 Voltando ao passeio aleatório estudado na primeira seção deste capítulo Gujarati e Porter 2011 distinguem dois tipos de passeios aleatórios 1 passeio aleatório sem deslocamento sem termo constante ou intercepto 2 passeio aleatório com deslocamento ou seja um termo constante está presente Gujarati e Porter 2011 explicam o passeio aleatório com deslocamento a partir da modificação da equação Yt Yt1 ut como segue Yt δ Yt1 ut onde δ é o parâmetro de deslocamento O termo deslocamento se origina do fato de que se escrevemos a equação anterior como Yt Yt1 Yt δ ut conforme Gujarati e Porter 2011 isso demonstra que Yt se desloca para cima ou para baixo dependendo de δ ser positivo ou negativo Perceba que o modelo Yt δ Yt1 ut também é um modelo AR1 Seguindo o procedi mento discutido para o passeio aleatório sem deslocamento na primeira seção podese demonstrar que para o modelo de passeio aleatório com deslocamento Yt δ Yt1 ut EYt Y0 t δ varYt tσ2 Portanto temos que para o modelo de passeio aleatório com deslo camento a média assim como a variância aumenta ao longo do tempo novamente violando as condições de estacionariedade Resumidamente o modelo de passeio aleatório com ou sem deslocamento é um processo estocástico não estacionário GUJARATI PORTER 2011 Vejamos um exemplo de passeio aleatório com e sem deslocamento apresentado pelos autores Modelos lineares não estacionários 11 Vejamos duas simulações Yt Y0 ut onde ut são os termos de erro de ruído branco como utN01 ou seja cada ut segue o padrão normal de distribuição De um gerador de números aleatórios obtivemos 500 valores de u e geramos Yt como demonstrado na equação Yt Y0 ut Admitamos que Y0 0 Então a equação Yt Y0 ut é um modelo de passeio aleatório sem deslocamento Agora considere Yt δ Y0 ut um modelo de passeio aleatório com deslocamento Admitimos ut e Y0 como na equação Yt Y0 ut e admitimos que δ 2 Os gráficos dos modelos Yt Y0 ut e Yt δ Y0 ut estão ilustrados respectivamente nas Figuras 2 e 3 Figura 2 Um passeio aleatório sem deslocamento Fonte Gujarati e Porter 2011 p 737 Modelos lineares não estacionários 12 Figura 3 Um passeio aleatório com deslocamento Fonte Gujarati e Porter 2011 p 738 O modelo de passeio aleatório é um exemplo do que se conhece na literatura específica como processo de raiz unitária GUJARATI PORTER 2011 Nesta seção vimos o termo constante nos modelos ARIMA suas caracterís ticas e como esse termo se comporta no modelo ao longo do tempo Também descobrimos que o modelo de passeio aleatório com ou sem deslocamento é um processo estocástico não estacionário Este capítulo apresentou diversos conceitos definições demonstrações e representações no que diz respeito aos modelos lineares não estacionários trazendo pontos de atenção e tópicos que viabilizaram retomar alguns ele mentos já estudados Além disso os exemplos e figuras tiveram como objetivo aproximar o conteúdo da aplicação e tornálo mais claro e compreensível Referências GUJARATI D N PORTER D C Econometria básica Tradução Denise Durante Mônica Rosemberg Maria Lúcia G L Rosa 5 ed Porto Alegre AMGH 2011 MORETTIN P A TOLOI C M C Análise de séries temporais 3 ed São Paulo Edgard Blucher 2018 Modelos lineares não estacionários 13 Conteúdo