Sistemas de Controle - Transformadas de Laplace e Equacoes Diferenciais

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA SISTEMAS DE CONTROLE 1 ENG PROF MAURO FERREIRA AULA 4 2 NOSSA AGENDA 20231 AULAS NORMAIS 0602 1302 2702 0603 1303 2003 2703 PROVA P1 0304 VISTA DE PROVA 1004 E AULA AULAS NORMAIS 1704 2404 1505 2205 2905 0506 1206 PROVA P2 1906 VISTA DE PROVA P2 2606 PROVA P3 0307 DIA LIVRE 2002 0105 SEMANA ACADÊMICA 0805 TÉRMINO DO SEMESTRE 0707 httpsyoutube9mLFWSNtzsg TRANSFORMADAS DE LAPLACE httpsyoutube9mLFWSNtzsg 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Transformadas de Laplace Facilita a resolução de Equações Diferenciais Lineares Equação Diferencial Ordinária Solução da Equação Diferencial Domínio do Tempo Equação Algébrica Solução da Equação Algébrica Domínio dos N⁰⁶ Complexos 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Transformadas de Laplace Facilita a resolução de Equações Diferenciais Lineares 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Transformadas de Laplace Facilita a resolução de Equações Diferenciais Lineares f 0 R Lft Fs ₀ ft eˢᵗdt Seja a função degrau no domínio do tempo ft A para t 0 0 para t 0 Vamos aplicar a Transformada de Laplace Lft Fs ₀ ft eˢᵗ dt Lft Fs A eˢᵗ s₀ Lft Fs ₀ A eˢᵗ dt Lft Fs A eˢs eˢ0s Lft Fs A ₀ eˢᵗ dt Lft Fs A 0 1s Lft Fs A s 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais ft A p t 0 0 p t 0 Domínio do Tempo L Fs A s Domínio dos Nos Complexos L1 ft Fs gt Gs ht Hs 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Gf gt ej2πfct dt Transformada de Fourier s jωc ωc 2πfc Gf 0 gt est dt Transformada de Laplace ft Fs gt Gs ht Hs SISTEMAS CAUSAIS REALIZÁVEIS 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Unit impulse δt Unit step 1t t tn1n1 n 1 2 3 tn n 1 2 3 eat teat A Transformada Inversa de Laplace matematicamente é definida por L1Fs ft 12πj cj cj Fsest ds Entretanto esta integral é muito complicada de ser resolvida Vejamos um exemplo No caso de termos a seguinte função no domínio dos números complexos Fs s 3s 1s 2 Técnica das Frações Parciais Fs s 3s 1s 2 As 1 Bs 2 Numerador de Primeira Ordem Denominador de Segunda Ordem Para a descobrirmos o valor de A devemos 1 Multiplicar toda a expressão pelo denominador de A e realizar as devidas simplificações s3s1s1s2 As1s1 Bs1s2 s3s1s1s2 As1s1 Bs1s2 s3s2 A Bs1s2 2 Fazer s ser igual ao valor que faz o denominador de A ser igual a zero S 1 1312 A B1112 3 Calcular o valor de A 21 A 0 A2 Para a descobrirmos o valor de B vamos fazer o mesmo 1 Multiplicar toda a expressão pelo denominador de B e realizar as devidas simplificações s3s2s1s2 As2s1 Bs2s2 s3s2s1s2 As2s1 Bs2s2 s3s1 As2s1 B 2 Fazer s ser igual ao valor que faz o denominador de B ser igual a zero 2321 A2221 B 3 Calcular o valor de B 11 0 B B1 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Vejamos um exemplo No caso de termos a seguinte função no domínio dos números complexos Fs s3s1s2 Técnica das Frações Parciais Fs s3s1s2 As1 Bs2 A2 B1 Assim podemos escrever nossa expressão inicial expandida em Frações Parciais Fs s3s1s2 2s1 1s2 E agora já temos transformadas imediatamente resolvíveis e dispostas na tabela pois eat 1sa Assim a Transformada Inversa de L1s3s1s2 L12s1 L11s2 Assim a Transformada Inversa de L1s 3s 1s 2 L12s 1 L11s 2 eat 1s a L1s 3s 1s 2 2 L11s 1 L11s 2 et e2t Logo a função ft será L1Fs ft 2 et e2t para todo t 0 ft 2 et e2t pt 0 Domínio do Tempo Fs s 3s 1s 2 Domínio dos Ns Complexos Transformada de Laplace de Derivadas As Transformadas de Laplace das derivadas de 1ª 2ª e nésima ordem de uma função ft são dadas respectivamente por Lddt ft sFs f0 Ld2dt2 ft s2Fs sf0 f0 Ldndtn ft snFs sn1f0 sn2f0 sn2fn20 sn1fn10 Esses resultados são fundamentais na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferencias Em qualquer processo natural as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo O resultado do modelamento matemático de um processo é freqüentemente uma equação diferencial Seja o sistema de um filtro RC passa baixa da figura abaixo Filtro RC Passa Baixa Vin Vout 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais R Vin Vout Sabese que por Kirchoff teremos vint ictR vct 0 vint C dvdt R vct 0 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Soluções de Equações Diferencias pelo Método da Transformada de Laplace Para resolver uma equação diferencial utilizando o método das Transformadas de Laplace devemos conhecer as condições iniciais no sistema e aplicar os 3 passos abaixo 1 Tomar a Transformada de Laplace de cada termo da equação diferencial 2 Organizar a expressão algébrica resultante na forma da função complexa que se deseja a solução 3 Realizar a Transformada Inversa de Laplace com o auxílio das tabelas de Transformadas se necessário expandir a função complexa em frações parciais 2 Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Exemplo Encontrar a solução da equação diferencial abaixo d2dt2 xt 2 ddt xt 5 xt 3 Considerando todas as condições iniciais nulas ou seja ddt x0 0 x0 0 𝓛d2dt2 xt 𝓛2 ddt xt 𝓛5 xt 𝓛3 Ld2dt2 xt L2 ddt xt L5 xt L3 Ld2dt2 xt 2 Lddt xt 5 Lxt L3 s2 Xs s x0 x00 2 s Xs x0 5 Xs 3s s2 Xs 2 s Xs 5 Xs 3s Xs 3 s s2 2 s 5 3 s s 1 j 2 s 1 j 2 Xs 3 s s2 2 s 5 3 s s 1 j 2 s 1 j 2 Expandido em Frações Parciais temos 3 s s 1 j 2 s 1 j 2 As B s 1 j 2 C s 1 j 2 Para encontrar o Valor de A vamos multiplicar toda a expressão por s 3 s s s 1 j 2 s 1 j 2 A s s B s s 1 j 2 C s s 1 j 2 Simplificando a expressão fica 3 s 1 j 2 s 1 j 2 A B s s 1 j 2 C s s 1 j 2 3 s 1 j 2 s 1 j 2 A B s s 1 j 2 C s s 1 j 2 Fazendo s 0 3 0 1 j 2 0 1 j 2 A B 0 0 1 j 2 C 0 0 1 j 2 Resolvemos e encontramos o valor de A 3 1 j 2 1 j 2 A A 35 Para o Valor de B multiplicaremos toda a expressão por s 1 j 2 3 s 1 j 2 s s 1 j 2 s 1 j 2 A s 1 j 2 s B s 1 j 2 s 1 j 2 C s 1 j 2 s 1 j 2 3s 1 j2 ss 1 j2s 1 j2 As 1 j2s Bs 1 j2s 1 j2 Cs 1 j2s 1 j2 Simplificando fica 3 ss 1 j2 As 1 j2s B Cs 1 j2s 1 j2 Fazendo s 1 j2 3 1 j21 j2 1 j2 A1 j2 1 j2 1 j2 B C1 j2 1 j2 1 j2 1 j2 Resolvendo encontramos 3 1 j2j4 B B 3 8 j4 8 j4 B 24 j12 80 03 j015 B 24 j12 80 03 j015 B 03354 eʲ²⁶⁵⁶ C 03354 eʲ²⁶⁵⁶ Xs 3 ss² 2s 5 As B s 1 j2 C s 1 j2 Xs 35 1s 03354 eʲ²⁶⁵⁶ s 1 j2 03354 eʲ²⁶⁵⁶ s 1 j2 Xs 35 1s 03354 eʲ²⁶⁵⁶ s 1 j2 03354 eʲ²⁶⁵⁶ s 1 j2 ℒ¹ xt 35 2 03354 eᵗ cos 2t 2656 xt 35 xt 35 06708 eᵗ cos 2t 2656 Pag 336 8 Edição do Livro Circuitos Elétricos Nilsson e Riedel Pearson ℒ¹ K eʲθ s α jβ K eʲθ s α jβ 2 K eᵅᵗ cos βt θ ℒ¹ K eʲθ s α jβ K eʲθ s α jβ 2 K eᵅᵗ cos βt θ 03354 1 2 2656 ATÉ A PRÓXIMA AULA