Consumo-Intertemporal-Romer-Analise-da-Decisao-de-Consumo-e-Poupança-com-Incerteza

Consumo Romer Cap 7 R Hall JPE 1978 Decisão de consumir x poupar em horizonte infinito e sob incerteza Incerteza está presente na renda do trabalho O consumidor representativo escolhe uma sequência cti para maximizar Et Σ i0 βi uCti β 01 fator de desconto Sa At1 Rt At Wt Ct Lo renda do trabalho Lo renda financeira At ativo líquido lim i Et Rti Π j1i Rtj 0 no valor presente do ativo líquido é zero sem dívida e sem herança At é dado Rt taxa de retorno livre de risco O indivíduo pode tomar emprestado à taxa livre de risco Rt mas tem que ser capaz de pagar a dívida Et Σ i0 Cti Π j1i Rtj Rt At Et Σ i0 Wti Π j1i Rtj obtida resolvendo a restrição orçamentária recursivamente Tem que também que assumir lim i Et Rti R lim i Et Wti W os valores previstos no longo prazo de R e W tem que convergir p uma constante O processo p Wt é um AR1 estacionário caso especial de um processo de Markov Wt1 a ρ Wt 𝜀t1 ρ 01 Para resolver o problema do consumidor escreva a equação de Bellman VAt max UCt β Et VAt1 Ct At1 Sa At1 Rt At Wt Ct At é dado Nota Wt é uma variável de estado exógena Escrevendo como um problema sem restrição VAt max URt At Wt At1 β Et VAt1 CPO At1 UCt1 β Et VAt1 0 UCt β Et VAt1 Envelope VAt uCt Rt VAt1 uCt1 Rt1 Euler uCt β Et uCt1 Rt1 uCt β Rt1 Et uCt1 porque Rt é o retorno livre de risco Et Rt1 Rt1 Versão estocástica da equação de Euler 1 β Rt1 Et β uCt1 uCt onde β uCt1 uCt é o fator de desconto estocástico Para fechar o modelo usamos a restrição orçamentária intertemporal em horizonte infinito que tem que ser mantida em expectativas Et Σ i0 Cti Π j1i Rtj Rt At Et Σ i0 Wti Π j1i Rtj Note que Et uC uEt C Desigualdade de Jensen porque a utilidade marginal não é linear Se uCt é quadrática a incerteza não afeta a utilidade marginal existe equivalência certa a solução do problema com incerteza é a mesma do problema sem incerteza Vamos analisar este caso uCt a Ct b2 Ct² quadrática e côncava u 0 uCt a b Ct Assuma que Rt β 1 Então a equação de Euler se torna a b Ct a b Et Ct1 i Neste caso Et uCt uEt Ct Et uCt Et a b Ct a b Et Ct uEt Ct Assim a equação de Euler é equivalente a uCt Rt1 β uEt Ct Utilidade quadrática é ponto de equivalência certa Além disso a equação x implica em a b Ct a b Et Ct1 Ct Et Ct1 no consumo de hoje é igual ao valor esperado de Ct amanhã consumo de t é o melhor preditor de consumo em t1 Usando a definição de expectativas Ct1 Et Ct1 Et1 Onde Et1 é o erro da previsão cometida em t Substituindo acima Ct Ct1 Et1 Ct1 Ct Et1 Se as expectativas são racionais Et Et1 It 0 Consumo segue um caminho aleatório random walk e mudanças no consumo são imprevisíveis Delta Ct1 Et1 Esta é a teoria do consumo random walk de Hall 1978 Dado Ct nenhuma outra variável pode ajudar a prever consumo em t1 dado que sob expectativas racionais notícias sobre mudanças na renda permanente são imprevisíveis Vários testes verificam esta hipótese no resultado na literatura Nota para obter este resultado precisamos de 2 hipóteses i Rt1 Beta 1 e ii UCt é quadrática No caso mais geral ainda com Rt1 Beta 1 UCt Et UCt1 UCt1 UCt Et1 Mg util segue um random walk Indivíduos querem suavizar a utilidade marginal de ct 4 limitações da utilidade quadrática i U 0 implica em aversão absoluta ao risco crescente comportamento irrealista na prática desejo de pagar mais p evitar uma aposta a medida em que a venda aumenta Mais rica tem mais medo da aposta ii implica em U 0 e um aumento na variância do consumo não possui nenhum efeito na utilidade marginal esperada e assim não afeta comportamento iii Utilidades mais plausíveis em relação ao risco devem ter U 0 os indivíduos estão dispostos a renunciar um montante maior de consumo em t para evitar riscos no consumo futuro a medida que se tornam mais ricos é a poupança precaucionária Isso não é captado na equivalência certa uc avaliação teórica Para verificar estes efeitos considere a utilidade CRRA UCt 11theta Ct 1theta Theta 0 log Ct se theta 1 Então terar UCt Ct theta 0 UCt theta Ct theta 1 0 UCt theta theta 1 Ct theta 2 0 Tau U CU A equação de Euler se torna Ct theta Beta Et Rt1 Ct1 theta 1 Rt1 Beta Et Ct1 Ct theta Em Et1 porque não se conhece Wt1 e Ct1 5 Porém temos o seguinte problema Et Ct1 Ct theta Et Ct1 Ct theta Aplicando logs na Euler theta rt1 log Beta log Et Ct1 Ct theta Para resolver o último termo tem uma aproximação de Taylor de 2º ordem de log Ct1 Ct theta em torno da média nãocondicional de Ct1 Ct theta Isto produz Nota prova tem 3 páginas de contas log Et Ct1 Ct theta Et theta Ct1 Ct 12 Theta2 var Ct1 Ct Substituindo acima theta rt1 log Beta theta Et Ct1 Ct 12 Theta2 var Ct1 Ct Et Ct1 Ct sigma2 rt1 sigma2 log Beta 12 theta var Ct1 Ct onde sigma 1theta elasticidade de substituição intertemporal em consumo quanto maior a variância do crescimento do consumo crescimento na incerteza do consumo maior a taxa de crescimento do consumo deseja aumentargarantir Ct1 e aloca mais renda p t1 e mais inclinado é o esboço intertemporal do consumo Nota Se U 0 então U é convexa Neste caso 6 Eₜ uCₜ₁ u Eₜ Cₜ₁ definição de função convexa Assuma que Cₜ Eₜ Cₜ₁ então u Eₜ Cₜ₁ uCₜ E uCₜ₁ uCₜ não suavizar consumo não é ótimo Para manter a igualdade Cₜ esperado futuro deve aumentar em relação a Cₜ A Incerteza faz com que os indivíduos renunciem o consumo e poupem mais Essa é a poupança precaucionária avaliação final Com utilidade ut convexa s ut 0 um aumento na incerteza acarreta um aumento no valor esperado de uCₜ₁ e isso através de uma redução em Cₜ aumenta a poupança O termo 12 var Cₜ₁ Cₜ representa a poupança precaucionária e induce a maior consumo em t1 Quanto maior θ avessão ao risco maior é a poupança precauc Evidência empírica Assuma que Var Cₜ₁ Cₜ é constante Pela definição de esperança Cₜ₁ Eₜ Cₜ₁ εₜ₁ Pela equação anterior Eₜ Cₜ₁ Cₜ 𝛤 rₜ₁ 𝛤 log β 12 θ var Cₜ₁ Cₜ Assuma que rₜ₁ r constante Substituindo acima Cₜ₁ Cₜ 𝛤 r 𝛤 log β 12 θ var Cₜ₁ Cₜ εₜ₁ Cₜ₁ Cₜ constante εₜ₁ M onde constante Drift term 𝛤 r 𝛤 log β θ2 var Cₜ₁ Cₜ Campbell Mankiw 1989 testaram Δ Cₜ₁ constante α Eₜ Δ yₜ₁ εₜ₁ onde Δ Cₜ₁ Cₜ₁ Cₜ e Δ yₜ₁ yₜ₁ yₜ previsão do crescimento futuro na renda baseada em It Eₜ é usada p eliminar correlação com εₜ₁ Se a teoria do ciclo da vida está correta α 0 estatisticamente Teste de Hall Cₜ₁ Cₜ const α Xₜ εₜ₁ onde Xₜ é qualquer variável que possa afetar consumo Hall encontrou α 0 para dados entre 1952 1978 Campbell Mankiw encontraram α entre 04 e 05 0 consumo é mais sujeito a renda atual do que a teoria do ciclo de vida sugere Porém C M usaram dados p países em recessão nos anos 80 Muito da sensibilidade à renda atual veio da recessão Recessão empréstimos venda atual importante Expansão empréstimos facilitador renda permanente é mais importante Teste atual usar painel de países e controlar para períodos de recessão Escolha de Portfólio Modelo CAPM A incerteza continua na renda do trabalho Wt O problema do consumidor é Max 4 cti Σ i0 βᶦ ucₜᵢ β01 sa Sₜ₁ Bₜ₁ Ṝₜ Sₜ Rₜ Bₜ Wₜ Cₜ lim i Eₜ Ṝₜᵢ SₜᵢΠ j1 Ṝₜⱼ 0 lim i Eₜ Rₜᵢ BₜᵢΠ j1 Rₜⱼ 0 Sₜ Bₜ são dados Sₜ estoque de ações ou título com risco Bₜ estoque de títulos sem risco Assuma que Ṝₜ e Rₜ seguem AR1 estacionário Não deve ser estocástico Equação de Bellman VSₜ Bₜ max uCₜ β Eₜ VSₜ₁ Bₜ₁Ct St1 Bt1 sa Sₜ₁ Bₜ₁ Ṝₜ Sₜ Rₜ Bₜ Wₜ Cₜ Substituindo a restrição na equação de Bellman VSₜ Bₜ max uṜₜ Sₜ Rₜ Bₜ Wₜ Sₜ₁ Bₜ₁ β Eₜ VSₜ₁ Bₜ₁ St1 Bt1 CPO Bₜ₁ uCₜ β Eₜ V₂ Sₜ₁ Bₜ₁ Sₜ₁ uCₜ β Eₜ V₁ Sₜ₁ Bₜ₁ 1 Envelope Bt VtSt Bt uCt Rft VtSt1 Bt1 uCt1 Rft1 St VtSt Bt uCt Rt VtSt1 Bt1 uCt1 Rt1 Euler Bt1 uCt Rft1 β Et uCt1 porque Rft é nãoestocástico St1 uCt β Et Rt1 uCt1 porque Rt é estocastico Neutralidade ao risco u é constante Então os retornos Rft e Rt são forçados a serem iguais 1 Rft1 β e 1 β EtRt1 Não haveria suavização apenas o retorno importa Teoria β do consumo 1 Rft1 Et β uCt1 uCt 1 Et Rt1 β uCt1 uCt Aplicando a definição de Et na segunda equação 1 Et Rt1 Et β uCt1 uCt covRt1 β uCt1 uCt Igualando as duas equações Rft1 Et β uCt1 uCt Et Rt1 Et β uCt1 uCt covRt1 β uCt1 uCt Dividindo ambos os lados por Rft1 Et β uCt1 uCt e rearranjando Et Rt1 Rft1 1 covRt1 β uCt1 uCt Et β uCt1 uCt Rft1 Usando a equação de Euler para Bt1 e rearranjando EtRt1 Rft1 Rft1 covRt1 β uCt1 uCt Fornece uma condição de arbitragem entre Rft1 e Rt1 EtRt1 Rft1 Rft1 representa um equity premium prêmio de equidade fornece a diferença percentual entre o retorno esperado de uma equity e o retorno do ativo sem risco Rft1 Essa diferença ganho do ativo arriscado sobre o sem risco é proporcional à covariância entre o retorno sem risco e o crescimento do consumo Neutralidade ao risco u é constante e cov 0 Nesse caso θ 0 com neutralidade ao risco e u é linear O equity premium é positivo desde que covRt1 β uCt1 uCt 0 Equity para fornecerem um prêmio de risco devem ser positivamente correlacionadas com o consumo pois Ct é negativamente correlacionado com u O prêmio é baseado no valor do ativo como um hedge Indivíduos querem ativos que sejam bons hedge contra movimentos na renda e no consumo Se há um excesso de retorno esperado alto então o ativo não é um bom hedge contra o consumo Cov do payoff do ativo e consumo alto exige um prêmio de risco maior porque este ativo não é um bom hedge contra incerteza no consumo em equilíbrio os indivíduos aceitam um retorno esperado menor em um ativo que forneça um hedge contra baixo consumo pagando vendendo mais em estados da natureza em que o consumo é baixo Se a cov entre um retorno e crescimento no consumo é negativa ele fornece um bom hedge e o indivíduo pode querer mantêlo mesmo com Rft1 Rft1 Nota a variância não aparece porque o indivíduo não está preocupado sobre quão arriscado o ativo é mas apenas se é um bom hedge Caso específico CRRA utilidade Aplique logs nas equações de Euler e omita log β 0 log Et Rt1 Ct1Ctθ 1 0 log Rft1 log Et Ct1Ctθ 2 Podemos aproximar 1 como 0 Et log Rt1 θ log Ct1Ct 12 Var log Rt1 θ log Ct1Ct 3 O termo da variância acima pode ser escrito como 0 Et log Rt1 θ log Ct1Ct 12 VarRt1 12 θ2 Varlog Ct1Ct θ cov log Rt1 log Ct1Ct 4 Do mesmo modo podemos aproximar 2 como 0 log Rft1 Et log Ct1Ctθ 12 Var log Ct1Ctθ 0 log Rft1 Et log Ct1Ctθ 12 θ2 Var log Ct1Ct log Ef t1 Θ Etlog Ct1Ct 12 ε² Varlog Ct1Ct 5 Também podemos aproximar log EtṘt1 Etlog Rf t1 12 Varlog Ṙt1 6 Substituindo 5 em 4 0 Etlog Ṙt1 log Rf t1 12 varlog Ṙt1 Θ covlog Ṙt1 log Ct1Ct 7 Substituindo 6 em 4 log EtṘt1 log Rf t1 Θ covlog Ṙt1 log Ct1Ct Usando a definição de corrxy corrxy covxyVarx Vary covxy corrxy Dpx Dpy Dp desvio padrão log EtṘt1 log Rf t1 Θ corrlog Ṙt1 log Ct1Ct Dplog Ṙt1 Dplog Ct1Ct Quanto mais alto for Θ mais risco averso maior é a sensibilidade do prêmio de risco a movimentos no consumo Se Θ0 o prêmio do risco é zero porque teria neutralidade ao risco Na Evidência para os EUA Mehra Prescott 1985 Mankiw Zelder 1992 log EtṘt1 log Rf t1 Θ corrlog Ṙt1 log Ct1Ct Dplog Ṙt1 Dplog Ct1Ct 0062 04 0036 0167 para manter a igualdade precisase de Θ 21 ou 22 elevada curvatura em u e aversão ao risco exagerada Dados Micro estimam Θ 2 ou 5 sempre Θ10 prêmio de risco muito pequeno EQUITY PREMIUM PUZZLE 5 Investimento Considere inicialmente o problema da firma Mais tarde a firma será inserida na indústria Defina kt estoque de capital da firma em t Kt da indústria Insumo variável já foram escolhidos otimizando Πkt lucro variável da firma em t Note que Πk 0 e Πkk 0 côncava tem máximo Preço dos bens de investimento normalizado para 1 A firma enfrenta custo de ajustamento do investimento da forma cIt kt onde c0 k 0 CI0k 0 CIIk 0 Ck Ik 0 CIIIk 0 C é crescente e convexa em I Intuição existem custos para instalar os bens de investimento que aumentam c a taxa de investimento Existem também os custos de treinar a mãodeobra para operar os novos equipamentos Hipótese alternativa mas equivalete o preço dos bens de investimento aumenta c a taxa de investimento sendo este preço dado pelos ofertantes O problema da firma representativa pode ser escrito como Πt Υkt It CIt Kt com competição perfeita e retorna constante de escala lucro são linear em kt Seja S tx de depreciação então a equação de movimento do capital é ṡkt dktdt It δkt A firma maximiza o valor presente descontado dos lucros Vkt max Πkts Its CIts ktsers ds Sa ṡkt It δkt onde r é a taxa de juros constante que desconta os lucros Considere primeiramente uma versão discreta do problema Vkt max Πkt It CItKt 11r Vkt1 Sa k t1 1δkt It Solução substitua a restrição em V Vkt max It Υkt It CIt kt 11r V1δ kt It CPO 1 CIIt kt 11r Vkkt1 0 ou qt 1 CrIt kt onde qt Vkkt11r qt preço sombra do K em t Envelope Vkkt Υkkt CkIt kt 1δ1r Vkkt1 Condição de transversalidade lim T 11rT VkkT 0 valor presente de 1 unidade adicional de k no tempo T vai para zero quando T 2 Resolvendo recursivamente a condição de envelope e usando a condição de transversalidade Vkkt s0 1s 1rs Πkkts CkIts kts o preço sombra do capital é o valor presente descontado da receita marginal dessa unidade extra de k Substituindo a definição de qt na condição de envelope 1rqt1 Πkkt CkIt kt 1sqt Πkkt CkIt kt 1rqt1 1sqt Defina Δqt qt qt1 Podemos escrever 1rqt1 1rqt Δqt qt Δqt rqt rΔqt Disto terma que Πkkt CkIt kt 1rqt Δqt 1sqt rsqt Δqt rΔqt rsqt 1rΔqt o lado esquerdo da equação acima é a receita marginal do produto do capital o lado direito é o custo de oportunidade de uma unidade de capital manter 1 unidade de capital por 1 período requer abandonar rsqt de juros e depreciação e também repor offsetting ganho de capital sobre Δqt para a firma otimizar o retorno do capital deve ser igual a seu custo de oportunidade rsqt despesas de juros e custo de depreciação 1r Δqt ganho de capital o segundo compensa o primeiro 3 Tempo contínuo x deverá obter equação equivalente Defina k capital disponível em t k capital disponível em t Δt Para Δt suficientemente pequeno podemos aproximar a função valor como Vk maxI Πk I CI k Δt 1 1 r Δt Vk Multiplique ambos os lados por 1 r Δt e obtenha r Δt Vk maxI Πk I CI k Δt r Δt2 Vk Vk Divida por Δt e tome limite quando Δt 0 r Vk maxI Πk I CI k dVk dt Interpretação econômica i r Vk retorno requerido pela firma ii Πk I CI k dividendo dVdt ganho de capital Arbitrage implica que i deve igualar ii Para derivar a versão contínua da equação de Bellman use os resultados abaixo dVdt Vk dkdt e dk I s k dt dVdt Vk I s k Defina q Vk Então terá que r V maxI Πk I CI k q I s k 1 Esta é a versão contínua da equação de Bellman É referida como valor corrente do Hamiltoniano onde k é a variável de estado e q é a variável de coestado Isolando os termos que envolvem I maxI I CI k q I CPDO 1 CII k q 0 q 1 CII k nesta equação tem uma equivalente na versão discreta Para obter uma equação para q derive com relação a k r Vk Πk CkI k s q qk I s k onde qk Vkk Usando a definição de q e diferenciando em t dqdt Vkk dkdt qk I s k Substituindo acima r q Πk CkI k s q dqdt dqdt r s q CkI k Πk no equação diferencial em q como função de Vk e CkI k 5 Condição de transversalidade limit t erst qt 0 Usando essa condição terminal e resolvendo dqdt rsq πk Ck I k ddt q erst πk Ck I k erst dq erst πk Ck I k erst dt q erst 0 0 πk Ck I k erst dt Usando a condição de transversalidade qt 0 πkt Ck It kt erst dt Esta equação também tem uma análoga na versão tempo discreto Vkk s0 1δ 1rs πk Ck Sob certas condição o modelo em tempo contínuo produz resulta a teoria q do investimento Teoria q do investimento 1 unidade de em k é o valor presente da firma em q e assim valor da firma em q NOTA q resume todas a informação sobre o futuro que é relevante para sua decisão de investimento q mostra como R1 adicional de capital afeta o valor presente do lucro Assim se q é alto a firma quer k Se q é baixo quer k 6 Se πk e CIk forem linearmente homogeneas então qt Vkt kt q marginal é igual a q médio Prova Queremos mostrar que q Vkk qk Vk Diferenciando com relação a t dqkdt dqdt k q dkdt Sabemos que dqdt rsq CkIk πk e que dkdt I δk Substituindo acima dqkdt rsq CkIk πk k q I δk Homogeneidade linear implica que πk k πk Ck k CIk CIIk I Substituindo acima 7 dqkdt rqk πk CIk I q I CIIk I I A CPO para I implica que o último termo entre parênteses é zero Reorganizando obtemos uma equação diferencial em qk dqkdt rqk πk CIk I Resolvendo e usando a condição de transversalidade limit T erT qT kT 0 obtemos dqkdt ert πk CIk I ert dqk ert πk CIk I ert dt qk ert 0 0 πk CIk I ert dt qk 0 πk CIk I ert dt Vk por definição de Vk q Vkk q marginal q médio o que completa a prova 8 Nota para obter homogeneidade linear precisamos de retornos constantes de escala da função de lucro líquida de custo de ajustamento competição perfeita e ausência de nenhum outro fator quasefixo além de capital Modelo da Indústria Assuma que existam N firmas idênticas A função de produção tem retornos constantes mercados são competitivos e a oferta de todos fatores exceto capital é elástica Então π Π K k onde K Nk K capital da indústria lucro da firma é proporcional a seu estoque de capital absterndose de custo de adquirir e instalar capital lucro da firma é decrescente em K ΠK0 é uma curva de inclinação negativa A firma enfrenta custo de ajustamento po estoque de capital Ck satisfaz C00 C00 C 0 convexa Preço de compra dos bens de capital é 1 Assim só existem custos internos de ajustamento Depreciação é zero δ0 Assim kt I t onde I é o investimento da firma Assuma que as hipóteses acima geram isto CIk C I com C0 0 C0 0 CI 0 CI 0 convexa O problema da firma é maximizar o valor presente dos lucros Π ₀ Π kt kt It CIt ert dt 9 Usando a mesma técnica anterior a equação de Bellman em tempo contínuo se torna rV max Π k k I CI q I Ik pois I Kt qk qk Kt q CPO k rVk Π k qk I rVk Πk q I 1 CI q 0 q 1 CI onde q dqdt O crescimento da indústria satisfaz K N I t CPO I CI q 1 It C1q1 CI 0 I é crescente em q C0 0 I0 quando q1 q é igual p todas as firmas todas escolhem mesmo I Substituindo em K K N It K N C1q 1 K fqt com f1 0 e f 0 K cresce quando q 1 K reduz quando q 1 K 0 quando q 1 q 0 K 0 K 0 K 0 10 A dinâmica de q dado k é obtida por meio da CPO k qt r qt Π Kt Nota Produto da receita marginal Π k iguala custo de uso de k rq q quando rqt Π Kt temos qt 0 Disto q é constante quando q Π kr Π k 0 decrescente em k Então o conjunto de pontos satisfazendo essa condição é inclinado negativamente no espaço Kq A CPO k implica que q é crescente em K pois qk 0 e Π k 0 Assim q 0 à direita de q 0 q 0 à esquerda de q 0 Combinando os dois gráficos em A q 1 firmas aumentam k K 0 k é alto e lucros são baixos q deve aumentar q 0 Assim K e q movem p cima Ponto E existe um único nível de q tal que K e q convergem para o ponto onde são estáveis E saddle path trajetória do setor linha pontilhada Outras regiões Há divergência em q e K Pela condição de transversalidade podem ser eliminadas do modelo Choques afetam qt preço do capital instalado que é a variável de ajuste Kt nível de capital é uma variável do estado que não se ajusta instantaneamente Veja Romer p exemplo 11 Moeda A moeda possui dois papéis distintos na economia i é meio de troca e ii é unidade de conta A função reserva de valor é perdida para ativos Alta inflação moeda estrangeira se torna unidade de conta e só resta a função meio de troca por imposição legal O fator chave é que moeda não é garantida unbacked ela tem valor apenas como meio de troca O seu valor é o montante de bens e compras que alguém pode obter com troca é o inverso do nível de preços Poder de compra da moeda é 1Pt onde Pt é o nível de preços inflação bruta Pt1Pt Feenstra 1986 JME equivalência entre moeda na utilidade e cashinadvance O modelo A moeda real entra na utilidade passe em função porque andava o na carteira Assim moeda não é dominada por título que pagam juro O consumidor representativo escolhe Ct1 Bt1 Mt1Pt1 0 para maximizar βi uCti MtiPti β01 sa Ct Yt TRt Mt1Pt MtPt Bt1Pt 11it BtPt Bt é um título nominal paga promete um valor fixo de face de 1 em t1 Seu retorno nominal bruto é 1it Mt moeda nominal acumulada durante t e levada para t1 Uma unidade de moeda produz um retorno de PtPt1 Assim o retorno da moeda emitida pelo governo é a tx bruta de inflação deflação Seja st 11it preço do título nominal que paga 100 em t2 1it 1st e it 1st 1 retorno líquido Payoff líquido 1st it1it pois it 1st it st e St 11it Nota O equilíbrio não necessariamente é Pareto ótimo ótimo social pode ser do eq competitivo Agora tenha distorção Não há custo para produzir moeda Não é verdade que os indivíduos querem um montante infinito de moeda real em equilíbrio Restrições econômicas Ct Yt economia com dotação dada com produto exógeno TRt Mt Mt1Pt restrição orc do governo MtMt1 1 γt processo de criação de moeda 1 it Rt1 Pt1Pt paridade de Fisher onde Pt1Pt 1 πt tx bruta de inflação Rt1 retorno real bruto do título Equação de Bellman Não há distorção Moeda depende dos preços que por sua vez dependem da criação de moeda pelo governo Variáveis de estado Bt1Pt e Mt1Pt Variáveis de escolha Ct BtPt MtPt Então a eq de Bellman será VBt1Pt Mt1Pt max Ct BtPt MtPt uCt MtPt βVBtPt1 MtPt1 Sa Ct Yt TRt Mt1Pt MtPt Bt1Pt 11it BtPt Nota Não há incerteza no modelo Substituindo a restrição e manipulando Vt1 temos V maxBtPt MtPt uYt TRt Mt1Pt MtPt Bt1Pt 11it BtPt MtPt βVBtPt1 MtPt1 CPO BtPt 11it u1Ct MtPt βV1BtPt1 MtPt1 PtPt1 0 u1Ct MtPt β1it PtPt1 V1BtPt1 MtPt1 Note que 1it PtPt1 Rt1 MtPt u1Ct MtPt1 u2Ct MtPt β V2 BtPt1 MtPt1 PtPt1 u1Ct MtPt β PtPt1 V2BtPt1 MtPt1 u2Ct MtPt Envelopes Bt1Pt V1 u1Ct MtPt V1BtPt1 MtPt1 u1Ct1 Mt1Pt1 Mt1Pt V2Bt1Pt Mt1Pt u1Ct MtPt V2BtPt1 MtPt1 u1Ct1 Mt1Pt1 Substituindo nas CPO 3 U1Ct MtPt β1it PtPt1 U1Ct1 Mt1Pt1 1 U1Ct MtPt β PtPt1 U1Ct1 Mt1Pt1 U2Ct MtPt 2 Interpretação Se 1it 1 ie se it 0 então para reter moeda tem que ter U2Ct MtPt 0 moeda tem que oferecer algum benefício nãomecaniciário Moeda não paga juros Então só será mantida se oferecer algum benefício conveniente é aceita como meio de troca e resolve problemas de transação Usando a definição de Rt podese escrever 1 como U1Ct MtPt β Rt U1Ct1 Mt1Pt1 Esta é uma típica equação de Euler relacionando poupança em bt e consumo A equação 2 pode ser escrita como 1Pt U1Ct MtPt β 1Pt1 U1Ct1 Mt1Pt1 1Pt U2Ct MtPt lado esquerdo custo marginal de manter 1 unidade de moeda real consumo corrente que deve abdicar 1Pt poder de compra de 1 ponderado pela utilidade marginal do consumo lado direito benefício marginal de 1 unidade adicional de moeda 1º termo é o montante de consumo extra que pode ser comprado em t1 1Pt1 ponderado pela UMg de Ct1 e o 2º termo é o ganho em utilidade por aumentar a moeda retida Usando as equações 1 e 2 podese derivar uma demanda por moeda A equação 2 pode ser escrita como U2Ct MtPt U1Ct MtPt 1 β PtPt1 U1Ct1 Mt1Pt1 U1Ct MtPt Da equação 1 β PtPt1 U1Ct1 Mt1Pt1 U1Ct MtPt 11it St Combinando as equações acima U2Ct MtPt U1Ct MtPt 1 11it it1it 1St lado esquerdo utilidade marginal da moeda real padronizada pela utilidade marginal do consumo lado direito custo de oportunidade de manter moeda Assume utilidade separavel U120 U3 não muda se MtPt vary it 1 11it U2 tem que MtPt p manter no há uma relação inversa entre MtPt e it devido ao custo op Ct U1Ct MtPt para dado it U2 para manter MtPt deve U2 no há uma relação direta entre MtPt e Ct Demanda por moeda implícita MtPt fCt it Usando a restrição orçamentaria da economia CtYt MtPt fYt it YtYt equação quantitativa da moeda Mt Nt Pt Yt onde Nt Yt fYt it NYt it é a velocidade de circulação da moeda Se Yt Y constante e it i nv é constante então P é proporcional a M Estado estacionário Todas as variáveis crescem a uma taxa constante Nesse caso C e MtPt são constantes Bt 0 equilíbrio no mercado de títulos Ct Y equilíbrio orçamentario Bt e TRt PtPt1 será constante Tx de juro real Rt também é constante Disto it é constante U2Y MtPt U1Y MtPt 1 11i 1S MtPt é constante no estado estacionário Moeda cresce a taxa M Isto implica que Pt1Pt 1 M Mt1Pt1 MtPt Mt1Pt1 PtMt 1 M Usando a equação 1 U1Y MtPt β1i PtPt1 U1Y MtPt 1i Pt1Pt 1β 1 i PtPt1 R 1β Como Pt1Pt Mt1Mt 1 M tenor que 1 i 1 Mβ tx de crescimento da moeda e o fator de desconto determinam a taxa de juros nominal bruta Modelo exibe propriedade neutralidade mudanças proporcionais ao nível da moeda nominal não afeta variáveis reais Cy R Modelo exibe super neutralidade variáveis reais não são afetadas por mudanças na taxa de crescimento da moeda Nota Quando M do ss aumenta permanentemente o único ajuste que ocorre é no nível de preço P com Ul côncava em MP quando M a util marginal de manter M cai Indivíduos mudam para bens e isso aumenta P A variável de política monetária é M tx de crescimento da moeda porque ela afeta a oferta de MP Se M 0 1 i 1β a política ótima é aquela em que a util marginal da moeda é zero consiste em tomar 11i 1 i 0 conforme visto em Uz Ul Isto i 0 eliminaria o custo de oportunidade de reter moeda 1 M β 1R Rt sera a tx de deflação Regra de Friedman é observada Pte1Pt 1R deflacionar a economia MP igual MP taxa atrativa pelo Rt obtém essa Como β 1 M 0 O retorno real da moeda se iguala ao retorno da ativo fisico Pte1 1 M β 1β Teriduções Deflação M Modelo Novo keynesiano dinâmico Queremos escrever um modelo econômico onde os agentes respondam otimanente aos fundamentos econômicos sujeito as restrições que enfrentam O modelo deve descrever fatores mais importantes que observamos na economia em respeito a flutuação na política monetária e outras disturbs Para obtermos respostas satisfatórias devemos introduzir rigidez no comportamento dos preços nominais Características a serem explicadas i Existe um tradeoff entre produto e inflação no curto prazo mas não no longo prazo existe uma curva de Phillips ii Política monetária tem consequências importantes para produto consumo investimento e horas trabalhadas plano real no Brasil e periodo do Volddker nos EUA iii Dinâmica do produto é humpshaped com pico 1 a 2 anos após o choque monetário iv Inflação movese lentamente Está ligada a criação de moeda no longo prazo mas não no curto prazo Características do modelo i Forward looking com expectativas racionais ii Competição monopolistica poder do mercado para justificar ajuste de preços iii Demanda agregada ajusta lentamente a movimentação na taxa de juros iv A autoridade monetária usa a tx de juro como instru mento de política 1 Indivíduos ou residentes Existe um contínuo de agente que vivem infinitamente cujo total é normalizado para 1 O agente representativo escolhe sequências para Cti Nti MtiPti BtiPti Ktii0 para maximizar o valor presente descontado da utilidade esperada Eti0 βⁱ 11θ Cti1θ a1γ MtiPti1γ b2 Nti² 1 Sujeito a Ct WtPt Nt Zt Kt1 Πt TRt Mt Mt1Pt 11it Bt Bt1Pt Qt Kt 1δ Kt1 com γ θ 1 e λ 1 Ou seja Ct WtPt Nt Zt Kt1 Πt TRt Mt Mt1Pt 11it Bt Bt1 Pt Qt Kt 1δ Kt1 2 onde WtPt Salário real Zt Rt 1 δ custo do capital Rt 1rt taxa de juros real bruta δ depreciação Πt lucro da firma TRt transferências lump sum do governo 1it tx juros nominal bruta Qt preço do capital instalado Bt titular sem risco Mt moeda nominal Pt nível de preço 2 Equação de Bellman V Mt1Pt Bt1Pt Kt1 max 11θ Ct1θ a 1γ MtPt1γ bλ Nλt βEt V MtPt PtPt1 BtPt PtPt1 Kt Sa 2 Substitua a restrição em Ct e diferencie para Nt MtPt BtPt e Kt CPO são Nt Ctθ WtPt b Nλt1 0 WtPt b Nλt1 Ctθ 3 no oferta ótima de trabalho Capta o tradeoff entre consumo e lazer A taxa marginal de substituição razão entre Ulgs entre consumo e lazer é igual ao salário real MtPt Ctθ 1 a MtYPt βEt U1 PtPt1 0 V1 Ctθ Ctθ a MtYPt βEt PtPt1 Ct1θ 4 BtPt Ctθ 11it βEt V2 PtPt1 0 V2 Ctθ 1 Ctθ 11it βEt Ct1θ PtPt1 Ctθ βEt PtPt1 1it Ct1θ 5 ou Ctθ βEt Rt1 Ct1θ onde Rt1 PtPt1 1it Equação de Euler padrão decisão ótima de consumir ou poupar no ativo sem risco Substituindo βEt Ct1Ctθ PtPt1 11it na equação 4 produzir 1 aCtθ MtPtγ 11it a MtPtγ it1it Ctθ θ Equação de demanda por moeda O custo marginal de abdicar de 1 unidade de Ct hoje tem que ser igual ao benefício pecuniário de comprar Ct em t1 mais o benefício nãopecuniário fornecido pela utilidade de se possuir uma unidade extra de moeda Kt Ctθ Qt βEt V3 0 V3 Ctθ Zt Qt 1δ Ctθ βEt Ct1θ Zt1 Qt1 1δ Qt Euler equation relacionando consumo em t e investimento em Kt Nota Rt1 Zt1 Qt1 1δ Qt Zt Preço do capital It preço do investimento 2 Setor produtor de bens finais opera competitivamente Firmas no setor de bens finais produzem um bem homogêneo Yt usando bens intermediários Ytz de acordo com a função de produção Yt 01 Ytzε1ε dz ε ε1 onde ε1 é a elasticidade preço da demanda Função prod CES A firma representativa escolhe fatores Ytz para resolver Max Pt Yt Et Sa Yt 01 Ytzε1ε dz εε1 Et 01 Ptz Ytz dz Pt Yt receita total Et custo total de produção Substituindo as restrições teremos Max ₀¹ Yₜzε1ε dzεε1 ₀¹ PₜzYₜz dz Pₜ CPO para Yₜz ε 1 ε ₀¹ Yₜzε1ε dz1ε1 Yₜz1ε Pₜz Pₜ Yₜ Yₜz Pₜz Pₜε Yₜ Negativamente inclinada na demanda ótima pelo produto intermediário Como os produtores de bens finais operam em competição perfeita Pₜ Yₜ Eₜ Isto produz Pₜ Yₜz Pₜz Pₜε ₀¹ Pₜz Yₜz dz Pₜ ₀¹ Pₜz1ε dz11ε Onde Pₜ é o índice de preços agregado Representa o custo mínimo pl produzir 1 unidade do bem final E ainda Pₜz YₜzYₜ1ε Pₜ 3 Setor produtor de bens intermediários competidores monopolistas 6 Existe um contínuo de firmas que são competidoras monopolísticas de propriedade dos indivíduos indexadas em z 01 Cada firma opera uma tecnologia de CRS e enfrenta a demanda pelo bem z dada por Yₜz Pₜz Pₜε Yₜ A firma z escolhe fatores de produção competitivamente Escolhe Nₜz e Kₜz para minimizar custo Min wₜPₜ Nₜz zₜ Kₜz Sca Yₜz Aₜ Nₜzα Kₜz1α Escrevendo o lagrange L wₜPₜ Nₜz zₜ Kₜz mc L Yₜ Aₜ Nₜzα Kₜz1α CPO são Nₜz wₜPₜ mc L MCₜ α YₜzNₜz 0 1MCₜ wₜPₜ α Yₜz Nₜz Kₜz zₜ MCₜ 1α YₜzKₜz 1MCₜ zₜ 1α YₜzKₜz Onde mc L multiplicador do lagrange É interpretado como o custo marginal real de produzir 1 unidade extra de produto Combinando as equações anteriores MCₜ 1Aₜ wₜαPₜα zₜ1αPₜ1α A firma toma MCₜ como dado quando escolhe o preço de seu produto 7 4 Escolha ótima do preço NOTA Substituir 7 por 5 na prob de não mudar preços A firma z pode escolher seu preço de acordo com uma regra estocástica dependente do tempo conforme proposto por Calvo 1983 Neste cenário apenas uma fração de firmas muda preços em dado período Define q como a probabilidade de não mudar preço e 1q a probabilidade de mudar preços Os eventos são independentes da história e as firmas mudam preços aleatoriamente Uma firma mudando preços escolhe ρₜ z para resolver Max ᵢ₀ q βi Eₜ Δₜᵢ ρₜz MC ₜᵢ Yₜᵢ z ρₜᵢ Sca Yₜᵢ z ρₜz ρₜᵢε Yₜᵢ Onde Δₜᵢ Cₜᵢ Cₜγ o fator de desconto estocástico porque as firmas são dos indivíduos βᶦ Cₜᵢ é um peso util marg vindo da propriedade das firmas pelos indivíduos MCₜᵢ é o custo marginal nominal Substituindo a restrição Max ᵢ₀ q βi Eₜ Δₜᵢ ρₜz MC ₜᵢ ρₜᵢ ρₜz ρₜᵢε Yₜᵢ CPO ᵢ₀ q βi Eₜ Δₜᵢ ρₜz ρₜᵢε Yₜᵢ Δₜᵢ ρₜz MC ₜᵢ ρₜᵢ ε ρₜz ρₜᵢ ε1 Yₜᵢ Yₜᵢz 8 Ei0 qβi Et Δti Pti Ytti Ei0 qβi Et Δti ε Pti ρtz MCti Yttiz ρtz Pti1 0 Ei0 qβi Et 1 ε Δti Pti Yttiz Ei0 qβi Et ε MCti ρtz1 Yttiz ρtz ρtz ε ε1 Et Ei0 qβi MCti Yttiz1Pti Et Ei0 qβi Δti Yttiz1Pti Valor presente esperado da receita marginal futura iguala ao valor presente esperado do custo marginal futuro ε1 por hipótese Mark up desejável sob preços flexíveis Mark up 1μ εε1 111ε 1με 1ε12 0 Maior ε menor 1μ Podemos escrever a equação acima como ρtz 1μ Et Ei0 ωtti0 MCti o preço ótimo é um mark up sobre o valor presente esperado ponderado do custo marginal nominal salário nominal onde o peso é ωtti qβi Δti Yttiz ρti Et Ei0 qβi Δti Ytti 1Pti Notas i Se q0 preços flexíveis ρtz 1μ MCt ii Em geral ρtz depende de variáveis agregadas Yti Pti e de MCti 5 Setor produtor de capital Assuma que exista firmas competitivas que produzem capital Elas compram produto bruto como fator de produção Itz p produzir novos bens de capital que são vendidos ao preço Qt Cada firma opera uma função de produção que possui custo externo de ajustamento ϕ It ItzKt Kt onde ϕ 0 ϕ 0 It é o nível agregado de investimento O problema da firma representativa é escolher Itz para maxItz Qt ϕ It ItzKt Kt Itz CPO produz Qt ϕ 1 0 Qt 1ϕ ItKt Onde se assume que Itz é muito pequeno em relação a It 6 Restrições agregadas Orçamento do governo é equilibrado lumpsum taxes T equivalência ricardiana Mt Mt1Pt Gt TRt Bens finais Yt Ct It Gt Bens de capital Kt1 ϕ ItKt Kt 1δ Kt assumindo Itz muito pequeno em relação a It 7 Equilíbrio Impondo equilíbrio simétrico Ptz Pt Ytz Yt Ntz Nt z t Yt Ct It Gt Cθt Et β Rt1 Cθt1 Rt1 Zt1 1δ Qt1 Qt 1umct zt 1α YtKt Qt 1ϕItKt ρt μ Et Ei0 qβi Δti MCti Yti 1Pti Et Ei0 qβi Δti Yti 1Pti Yt At Nαt K1αt WtPt b Nαt1 1α ρmctPt α YtNt Kt1 ϕ ItKt kt 1δ Kt Substituindo a restrição 8 Regra de política monetária A autoridade monetária segue uma regra de Taylor Taylor 1993 A demanda por moeda não é uma condição de equilíbrio Por quê A demanda por moeda se ajusta ao nível da taxa do juro escolhida pelo Bacen 11 Pt Yt Et Pt YtzPtz Ptε ₀¹ Ptz Ytz dz Pt1ε ₀¹ Ptz1ε dz Pt ₀¹ Ptz1ε dz11ε Ytz Ptz Ptε Yt Ytz Ytε Pt Ptz Σ from i0 to φ βi Eti Δti Pti Pti Pε Yti Δt1 Pt MC P εPt Ptε1 1 Pt Ytt 0 Ei φ βi Eti 1ε Δti Pti Ytiz E φ βi Et E MCR YtPtp 1ε12 1ε1 ε1 ε12 1ε12 0