Distância de um Ponto a uma Reta e a um Plano

Aula 15 Distˆancia de um ponto a uma reta Sejam P um ponto qualquer e r uma reta a distˆancia de P a r e definida como a distˆancia de P ao ponto de r mais proximo de P UFBA 19052022 Distˆancia de um ponto a um plano Sejam P um ponto qualquer e π um plano a distˆancia de P a π e definida como sendo a distˆancia de P ate o ponto de π mais proximo de P P π determinado por overrightarrowQP e overrightarrowvr em relação à base overrightarrowvr Ap extbase imes extaltura overrightarrowvr cdot dP r e Ap overrightarrowQP imes overrightarrowvr Rightarrow overrightarrowvr cdot dP r overrightarrowQP imes overrightarrowvr Rightarrow dP r fracoverrightarrowQP imes overrightarrowvsoverrightarrowvs Q in overrightarrowvs Se π ax by cz d 0 Qx₁y₁z₁ π nₑabc QPx₀x₁y₀y₁z₀z₁ dPπ Qx₀x₁ by₀y₁ Cz₀z₁ a²b²c² ax₀ by₀ cz₀ ax₁ by₁ cz₁ a²b²c² dPπ ax₀ by₀ cz₀ d a²b²c² Se Pπ dPπ 0 Exemplo Calcule a distˆancia entre a o ponto P0 1 1 2 e a reta r P 1 0 2 λ2 1 3 λ R b o ponto P0 1 2 3 e o plano π x 2y z 1 0 QP₀ vₛ 010 213 1 0 0 1 3 1 0 2 3 302 dP₀R 302 213 3²0²2² 2²1²3² 94 419 13 14 dP₀ r 13 14 Distˆancia entre dois planos Sejam π1 e π2 dois planos quaisquer a distˆancia entre π1 e π2 e definida como a menor distˆancia entre os pontos de π1 a π2 π2 π1 π2 π1 Se π₁ e π₂ são coincidentes Exemplo Determine a distˆancia entre os planos π1 x 2y 2z 3 e π2 2x 4y 4z 7 0 Portanto dπ₁ π₂ dP π₂ P π₁ na equação de π₁ e achamos o valor da terceira Por exemplo fazendo x1 e y0 120z3 z2 z1 P101 3º Calcular dP π₂ dP π₂ αx₀βy₀γz₀d α²β²γ² P101 e π₂ 2x4y4z70 dP π₂ 2140417 2²4²4² 2047 41616 1 36 16 dP π₂ 16 dπ₁ π₂ 16