Eliminação de Termos Misto e Translação em Cônicas

Aula 24 Num plano π consideremos a equação Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 com A² B² C² 0 A B C D E F ε R Determinar soluções 2Ah Bk D 0 2Ck Bh E 0 Ax² Bxy Cy² F 0 Num plano π consideremos a equação Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 com A² B² C² 0 Eliminar o termo xy da equação por meio de uma rotação Ou seja determinar o ângulo θ de rotação para transformar a equação acima numa equação da forma Ax² Cy² Dx Ey F 0 Eliminar o termo misto de 2º grau por meio de uma rotação Eliminálo termo misto de 2º grau por meio de uma rotação onde A A cos²θ B2 sen2θ C sen²θ B C A sen2θ B cos2θ 0 C A sen²θ B2 sen2θ C cos²θ D D cosθ E senθ E E cosθ D senθ F F Queremos encontrar θ O C A sen2θ B cos2θ Se CA então B0 O B cos2θ cos2θ0 2θ arccos0 2θ π2 θ π4 Se C A então Pode ser mostrar que A e C são raízes da equação Quem disse cos2θ A C A C e usando identidades trigonométricas podemos calcular senθ e cosθ A e C são raízes da equação Exemplo Considere a cônica ℓ 5x² 4xy 8y² 36 0 Rotação Achar A e C raízes de Odet A λ B2 0 det B2 C λ O 40 5λ 8λ λ² 4 F F 36 e a²b² 94 5 cos2θ A C A C 5 8 4 9 3 5 3 5 0 cos2θ 0 e tg2θ 0 sen2θ 0 2θ 1 quadrante 0 2θ π2 0 θ π4 θ 1 quad cos θ 0 e sen θ 0 Portanto cos θ 1 cos 20 2 e sen θ 1 cos 20 2 F1 sqrt5 Oxy F2 sqrt5 Oxy F1 Rightarrow left x frac2sqrt5sqrt5 frac1sqrt5 cdot O 2 right y frac1sqrt5sqrt5 frac2sqrt5 cdot O 1 Rightarrow F121xy F2 Rightarrow left x frac2sqrt5sqrt5 frac1sqrt5 cdot O 2 right y frac1sqrt5sqrt5 frac3sqrt5 cdot O 1 Rightarrow F2 21xy Ache os vértices A1 A2 B1 B2 Esboço y Y y F1 Exemplo Considere a cônica ell 4x2 24xy 11y2 56x 8y 95 0 Identifique ell determine sua equação na forma reduzida em relação a algum sistema de coordenadas e faça o esboço Translação Eliminar os termos de 1o grau Rotação Eliminar o termo misto de 2o grau