Aula 6: Energia Potencial Elétrica e Teorema do Trabalho-Energia

IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Energia Potencial Elétrica os Fisica I revisitada Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob acgao de uma forca F que atua ao longo da linha tee a b x O trabalho feito pela forga para deslocar 0 corpo de a para b é dado por b a A segunda lei de Newton nos da dv Fmam dt Substituindo na expressao para o trabalho b dv a A definigao de velocidade nos da Nota Nao ser4 feita aqui uma revisdio pormenorizada do contetido de Fisica I Apenas alguns conceitos principais seraéo relembrados Para uma revisdo mais rigorosa e detalhada recomendase ler 0 Capitulo 7 do livrotexto Fisica I 1 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 dx v dx vdt dt Substituindo na expressao para o trabalho b dv b Wasp mvadt mvdv a dt a Como a massa do corpo é constante ve v3 Wasp M vdvm a 2 2 A energia cinética do corpo é definida por 1 K mv 2 Portanto podemos escrever o trabalho feito pela forga F como igual a variacao da energia cinética 1 i Wasp F Mvp 5MVa Kb Ka AK 1 Este resultado é conhecido como teorema do trabalhoenergia e ele vale mesmo quando o movimento nao se da em linha reta e a forga nao aponta na mesma diregéo do movimento veja a figura abaixo F dé 4 b Cc 2 IBM1018 Fisica Basica II FFCLRP USP Prof Antonio Roque Aula 6 Nesta figura a curva C indica a trajet6ria do corpo note que ela é orientada e d 0 vetor elemento de linha um vetor infinitesimal com a direcao da reta tangente a trajet6ria em cada ponto e o sentido do movimento do corpo A forga atuando sobre o corpo também esta indicada no desenho Note que ela faz um angulo com dé Se o elemento de trabalho feito pela forca F para deslocar 0 corpo ao longo de C por um elemento de linha dé for indicado por dW F dF cos de 2 onde o Angulo entre Fe dé entao o trabalho feito por F para deslocar 0 corpo ao longo da trajet6ria C de a para b é indicado por b b Wi Pdé F cos dé 3 ac ac e o teorema do trabalhoenergia nos diz que Wo AK Kb Ka 4 Note que em geral o trabalho feito pela forcga F para levar 0 corpo de a para b depende da trajet6ria C por onde o corpo vai de a para b Uma pergunta que podemos fazer é se existe algum tipo de forga tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de a para b nao depende da trajetoria C 3 IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof Antônio Roque Aula 6 4 Não sabemos se existe tal tipo de força2 mas por ora vamos supor que existe Portanto nos próximos parágrafos vamos assumir como hipótese que a força do nosso problema é tal que o trabalho feito por ela não depende da trajetória Assumindo que o trabalho feito pela força independe da trajetória a equação 4 nos diz que a variação da energia cinética do corpo quando ele se move de a para b depende apenas desses dois pontos Uma característica do movimento do corpo que está implícita na afirmação acima é que a energia cinética do corpo varia quando ele vai de a para b Outra pergunta que podemos fazer neste caso é se não seria possível inventar uma grandeza que não varie durante o movimento do corpo isto é que permaneça constante durante o movimento Vamos designar essa possível grandeza invariante por E e vamos chamála de energia do corpo3 Como a energia cinética K não permanece constante durante o movimento do corpo para que essa nova grandeza E permaneça 2 Na verdade sabemos pois já fizemos Física I 3 A palavra energia vem do grego energeia ἐνέργεια e significa força vigor atividade firmeza IBM1018 Fisica Basica II FFCLRP USP Prof Antonio Roque Aula 6 constante é necessario adicionar algo a K para que a soma de K com esse algo permanega constante e seja igual a E EK algo Ja que estamos usando o termo energia vamos chamar este algo de energia potencial Vamos designalo por U Entao EKU 5 Como queremos que F permanega constante durante 0 movimento do corpo devemos ter AE0 AK U 0 Ou seja AK AU 0 Ou ainda AU AK O simbolo A indica o valor da grandeza em b menos o valor da grandeza em a Logo Ub Ua Kb Ka Entao Ka Ua Kb UD ou Ea Eb 5 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Nossa conclusao é que dada a hipotese central sob a qual se baseou nosso estudo acima e A forca F é tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de um ponto a para um ponto b nao depende da trajetoria usada Entao é possivel inventar uma grandeza energia E que permanece constante ao longo do movimento do corpo A constancia da energia é possivel porque inventamos outra grandeza denominada energia potencial U que depende apenas do ponto ocupado pelo corpo U Ux tal que variagdes na energia cinética K correspondem exatamente a variagoes opostas na energia potencial U AK AU Uma forga tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de um ponto inicial a para um ponto final b dependa apenas dos pontos e nao da trajet6ria usada é chamada de conservativa Podemos resumir 0 que fizemos acima dizendo que i Se encontrarmos uma forga conservativa ii Podemos definir uma energia potencial U associada a fora cujo valor depende apenas do ponto onde esta o corpo tal que 6 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 variagoes em U sejam exatamente iguais a variacOes na energia cinética K mas de sinal contrario e i Portanto é possivel definir uma energia EF K U que permanece constante durante 0 movimento do corpo Um tipo importante de forga em fisica 0 que se chama de forca central Uma forga central tem sua origem num centro de forca e atua sobre um corpo ao longo da linha reta que une o corpo ao centro de forgas Exemplos sao a forga gravitacional p ex o centro do Sol é o centro de forga da forga gravitacional que ele exerce sobre a Terra e a forca elétrica p ex o centro de uma carga puntiforme é o centro de forga da forga elétrica que ela exerce sobre uma carga de prova a distancia r dela Uma fora central pode ser expressa como F Fr 6 onde 7 é o versor que define a direcao radial entre o centro de forcga e ponto a distancia r do centro Note que F pode ser atrativa ou repulsiva Quando uma particula se move se um ponto a para um ponto b ao longo de uma trajetéria C sob a acgao de uma forga central o trabalho feito pela forga é dado por 3 7 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 b b 7 We Fdé Frf dé ac ac Esta equacao pode ser reescrita decompondose o vetor elemento de linha dé nas suas componentes ao longo da direcéo radial f e da direcéo perpendicular a Ff que vamos chamar aqui de p veja a figura abaixo r dv dr dp P P C Centro de forca Sendo assim b b b We Fr dé Foare Frdpr p ac ac ac b We Frdr ac 8 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Note que Fr s6 depende da variavel 7 de maneira que o resultado da integral acima distancia s6 vai depender dos pontos inicial e final e nao mais da trajetéria C Portanto no caso de uma forga central o trabalho feito pela forca para levar um corpo de um ponto a a um ponto b nao depende da trajetoria b We Frdr 7 a ou seja forcas centrais sao conservativas Energia potencial elétrica A forga elétrica uma forcga central Por exemplo a forca exercida por uma carga Q sobre uma carga de prova g é 2 2 Qf F q E q Ame r2 Portanto como visto na reviséo acima é possivel associar uma energia potencial a forca elétrica Essa energia potencial s6 depende da posicao 7 em que esta a carga g em relacdo ao centro de forca Ela sera indicada por U e sera chamada de energia potencial elétrica 9 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Devido ao fato de a forcga elétrica ser conservativa o trabalho feito por essa forca para levar uma carga g de um ponto a a um ponto b independe da trajetoria e satisfaz Wasp AU Uy Ug 8 Segundo esta equacao quando o trabalho feito pela forca elétrica é positivo W 0 a variacéo na energia potencial é negativa AU 0 e viceversa Para exemplificar isso consideremos 0 caso de uma carga de prova qo Movendose em um campo elétrico uniforme por exemplo o campo gerado no interior de duas placas planas e paralelas como mostra a figura abaixo OE d 4 4 g 4 b 0 a Xx Consideremos dois pontos a e b ao longo de uma linha horizontal no interior das placas A distancia entre os pontos é d veja a figura acima 10 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Vamos considerar inicialmente 0 caso em que a carga qo é positiva go 0 Quando a carga se move no mesmo sentido do campo ou seja de a para b o trabalho feito pela forga elétrica é b Wasp oF dx oEb a QoEd 0 a De 8 temos AU Wasp 0 A energia potencial elétrica diminui quando a carga positiva go passa de a para b mesmo sentido do campo elétrico e mesmo sentido da forga elétrica sobre qo Por outro lado quando essa carga positiva go se move no sentido contrario ao do campo elétrico por exemplo de D para a o trabalho feito pela forga elétrica é a Wrsa oF dx doEa b qoEd 0 b Neste caso AU Wpa 0 ou seja a energia potencial elétrica aumenta quando a carga qo se move no sentido contrario ao do campo elétrico e sentido contrario ao da forga elétrica sobre go Consideremos agora 0 caso em que a carga go negativa qo 0 11 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Quando a carga se move no mesmo sentido do campo de a para b o trabalho feito pela forga elétrica é b Wasp qoE dX qoEb a qoEd 0 a Portanto AU Wasp 0 A energia potencial elétrica aumenta quando a carga negativa qo se movimenta no mesmo sentido do campo elétrico que é o sentido contrario ao da forga elétrica sobre go Por fim quando a carga negativa gg se move no sentido contrario ao do campo elétrico de b para a o trabalho feito pela fora elétrica é a Whoa qokE dX qoEa b QoEd 0 b Neste caso AU Whoa 0 ou seja a energia potencial elétrica diminui quando a carga negativa qo S Move no sentido contrario ao do campo elétrico mas que é o mesmo sentido da forga elétrica sobre ela Observe com cuidado os resultados acima Note que independentemente do sinal da carga go quando ela se move no mesmo sentido da forga elétrica a energia potencial elétrica diminui 12 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Por outro lado quando a carga gp se move no sentido contrario ao da forcga elétrica atuando sobre ela a energia potencial elétrica aumenta Compare este resultado com o de uma particula de massa m movendose em um campo gravitacional uniforme g Quando a particula cai indo de uma altura maior para uma menor ela se move no mesmo sentido da forca gravitacional Neste caso ela perde energia potencial gravitacional Ja quando a particula sobe indo de uma altura mais baixa para uma maior ela se move no sentido contrario ao da forca gravitacional Neste caso ela ganha energia potencial gravitacional O resultado acima vale para um campo elétrico uniforme Como sera no caso geral de uma carga de prova gy movendose ao longo de uma trajet6ria qualquer de um ponto a para um ponto b na presenca de um campo elétrico gerado por uma carga Q Veja a figura 236 do livrotexto pg 74 Vamos supor para simplificar que a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro da carga Q 0 centro de forga O trabalho feito pela forga elétrica é b b b Wav Pdé qoE dé 0 ps a a q AMET 13 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 doQ dr qQ 1 qoQ 1 1 Wen PE S2 25 q 4AMEQT ATEQ Tlq ATEQ TH a 091 1 Wap 40 au ATEQ Tg Tp 1 qoQ 1 qoQ AU Ub Ua ATEQ Ty ATEQ Ty Portanto podemos definir a energia potencial elétrica associada as cargas go e Q quando elas estao separadas pela distancia r por 1 qoQ Ur 9 r Ame 7 9 Note que esta definigao é absolutamente geral Na deducao acima nao foi feita qualquer restrigao quanto aos sinais das cargas go e Q Quando as duas cargas tem o mesmo sinal a energia potencial é positiva e quando elas tém sinais contrarios a energia potencial é negativa A energia potencial elétrica varia com a distancia r entre as cargas de acordo com r observe os graficos na figura 237 do livrotexto Isto significa que a energia potencial elétrica tende a zero quando a distancia r oo Portanto é natural definir 0 zero da energia potencial elétrica no infinito U 0 r 14 IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof Antônio Roque Aula 6 15 Adotando esta definição para o zero da energia potencial elétrica podemos interpretar a energia potencial Ur associada às duas cargas Q e q0 como o negativo do trabalho feito pela força elétrica para trazer a carga q0 do infinito até uma distância r da carga Q No caso em que Q e q0 têm o mesmo sinal a força entre elas é repulsiva e o trabalho para trazer q0 de até r é negativo a carga q0 é movida no sentido contrário ao da força elétrica Como o trabalho é negativo a variação na energia potencial é positiva Portanto quando as duas cargas têm o mesmo sinal a energia potencial elétrica aumenta quando q0 se aproxima de Q Observe o gráfico da esquerda na figura 237 do livrotexto A análise feita acima se inverte quando as duas cargas têm sinais contrários O trabalho para trazer q0 de até r é positivo a carga q0 é movida no mesmo sentido da força elétrica que neste caso é atrativa Como o trabalho é positivo a variação na energia potencial é negativa Portanto quando as duas cargas têm sinais contrários a energia potencial elétrica diminui quando q0 se aproxima de Q Observe o gráfico da direita na figura 237 do livrotexto Observe também os gráficos de U versus r feitos abaixo IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof Antônio Roque Aula 6 16 Quando a carga q0 se move no mesmo sentido da força elétrica a energia potencial elétrica diminui Quando a carga q0 se move no sentido contrário ao da força elétrica a energia potencial aumenta Note que estamos sempre nos referindo à energia potencial associada às duas cargas q0 e Q A energia potencial elétrica não é uma propriedade de uma carga única mas das duas cargas Ela está associada à interação elétrica entre elas Lembrando das aulas sobre lei de Gauss o campo elétrico na parte de fora de uma distribuição de cargas esfericamente simétrica é o mesmo que o gerado por uma carga puntiforme no centro da distribuição com a mesma carga líquida dela Sendo assim a equação 9 para a energia potencial é a mesma quando a carga de prova q0 está do lado de fora da distribuição esfericamente simétrica de carga a uma distância r do seu centro IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Quando existem N cargas puntiformes no espaco 41 G2 93 s Yn a energia potencial elétrica associada a essas cargas e a uma carga de prova go em um ponto P qualquer do espacgo é dada pelo principio da superposicao por N fo 1 92 9 Nn qo qi U 9 10 ATE T 1 173 TN ATES 7 A situacao esta ilustrada pela figura abaixo q 4 r 1 4 ry q q N y Note que quando todas as distancias r isto é quando qo estiver a uma distancia muito grande de todas as cargas qj a energia potencial associada as cargas e a go tende a zero U Como podemos representar gualquer distribuigaéo de cargas por um conjunto de cargas puntiformes a energia potencial elétrica associada a qualquer distribuicao de cargas e a uma carga de prova qo dada pela expressao acima 17 IBM1018 Fisica Basica II FRCLRP USP Prof Ant6nio Roque Aula 6 Note que isto implica que existe a energia potencial elétrica associada a distribuicao de cargas e a carga go Portanto 0 campo elétrico produzido por qualquer distribuiao estatica de cargas da origem a uma forca conservativa Podemos também definir a energia potencial elétrica de uma distribuicao arbitraria de cargas g G2 93 YN COMO a energia potencial associada as interag6des entre cada par de cargas Note que nao tem sentido definir a energia potencial associada a interagao de uma particula com ela mesma seria infinita e nem se deve contar duas vezes a mesma interacao da particula i com a particula j e daj com al Portanto podemos escrever a energia potencial elétrica de um conjunto de N cargas puntiformes como U aid 11 AME Lot ij ij Note que também é possivel escrever esta energia como uma soma por todas as combinag6des ij i s6 que entéo sera necessario dividir por dois para descontar os termos duplicados A expressao ficaria assim U ety 12 BEy La Nj ij itj 18